Đề minh họa THPT môn Toán năm 2025 có lời giải

Câu 1 : Nguyên hàm của hàm số $f (x) = e^{x}$ là

A.

$\frac{e^{x + 1}}{x + 1} + C$ .
B.

$e^{x} + C$ .
C.

$\frac{e^{x}}{x} + C$ .
D.

$x . e^{x - 1} + C$ .

Câu 2 : Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục, nhận giá trị dương trên đoạn [a;b]. Xét hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f (x)$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = a$ , $x = b$ . Khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox có thể tích là:

A.

$V = π b \int a | f (x) | d x$ .
B.

$V = π^{2} b \int a f (x) d x$ .
C.

$V = π^{2} b \int a {[f (x)]}^{2} d x$ .
D.

$V = π b \int a {[f (x)]}^{2} d x$ .

Câu 3 : Hai mẫu số liệu ghép nhóm $M_{1}, M_{2}$ có bảng tần số ghép nhóm như sau:

Gọi $s_{1}, s_{2}$ lần lượt là độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm $M_{1}, M_{2}$ . Phát biểu nào sau đây là đúng?

A.

$s_{1} = s_{2}$ .
B.

$s_{1} = 2 s_{2}$ .
C.

$2 s_{1} = s_{2}$ .
D.

$4 s_{1} = s_{2}$ .

Câu 4 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình của đường thẳng đi qua điểm $M (1; - 3; 5)$ và có một vectơ chỉ phương $⃗ u (2; - 1; 1)$ là:

A.

$\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 3}{- 1} = \frac{z - 5}{1}$ .
B.

$\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 3}{- 1} = \frac{z + 5}{1}$ .
C.

$\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 3}{- 1} = \frac{z - 5}{1}$ .
D.

$\frac{x + 1}{2} = \frac{y + 3}{- 1} = \frac{z - 5}{1}$ .

Câu 5 : Cho hàm số $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ $(c \neq 0; a d - b c \neq 0)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là:

A.

$x = - 1$
B.

$y = \frac{1}{2}$
C.

$y = - 1$
D.

$x = \frac{1}{2}$

Câu 6 : Tập nghiệm của bất phương trình ${log}_{2} (x - 1) < 3$ là:

A.

$(1; 9)$ .
B.

$(- \infty; 9)$ .
C.

$(9; + \infty)$ .
D.

$(1; 7)$ .

Câu 7 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình $x - 3 y - z + 8 = 0$ . Vecto nào sau đây là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P)?

A.

$\to n_{1} (1; - 3; 1)$
B.

$\to n_{2} (1; - 3; - 1)$
C.

$\to n_{3} (1; - 3; 8)$
D.

$\to n_{4} (1; 3; 8)$

Câu 8 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và SA⊥(ABCD). Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với mặt phẳng (ABCD)?

A.

(SAB)
B.

(SBC)
C.

(SCD)
D.

(SBD)

Câu 9 : Nghiệm của phương trình $2^{x} = 6$ là:

A.

$x = {log}_{6} 2$
B.

$x = 3$
C.

$x = 4$
D.

$x = {log}_{2} 6$

Câu 10 : Cấp số cộng $(u_{n})$ có $u_{1} = 1$ , $u_{2} = 3$ . Số hạng $u_{5}$ của cấp số cộng là:

A.

5
B.

7
C.

9
D.

11

Câu 11 : Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ (minh họa như hình bên). Phát biểu nào sau đây là đúng?

A.

$- - \to A B + - - \to B B^{'} + - -- \to B^{'} A^{'} = - - \to A C^{'}$
B.

$- - \to A B + - - \to B C^{'} + - -- \to C^{'} D^{'} = - - \to A C^{'}$
C.

$- - \to A B + - - \to A C + - - \to A A^{'} = - - \to A C^{'}$
D.

$- - \to A B + - - \to A A^{'} + - - \to A D = - - \to A C^{'}$

Câu 12 : Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A.

$(- \infty; - 1)$
B.

$(- \infty; 1)$
C.

$(- 1; 1)$
D.

$(1; + \infty)$

Câu 1 : Cho hàm số $f (x) = 2 cos x + x$ .

a) $f (0) = 2; f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2}$ .

Đúng

Sai

b) Đạo hàm của hàm số đã cho là $f^{'} (x) = 2 sin x + 1$ .

Đúng

Sai

c) Nghiệm của phương trình $f^{'} (x) = 0$ trên đoạn $[0; \frac{π}{2}]$ là $\frac{π}{6}$ .

Đúng

Sai

d) Giá trị lớn nhất của $f (x)$ trên đoạn $[0; \frac{π}{2}]$ là $\sqrt{3} + \frac{π}{6}$ .

Đúng

Sai

Câu 2 : Một người điều khiển ô tô đang ở đường dẫn muốn nhập làn vào đường cao tốc. Khi ô tô cách điểm nhập làn 200m , tốc độ của ô tô là $36 k m / h$ . Hai giây sau đó, ô tô bắt đầu tăng tốc với tốc độ $v (t) = a t + b (a, b \in R, a > 0)$ , trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc. Biết rằng ô tô nhập làn cao tốc sau 12 giây và duy trì sự tăng tốc trong 24 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc.

a) Quãng đường ô tô đi được từ khi bắt đầu tăng tốc đến khi nhập làn là 180m .

Đúng

Sai

b) Giá trị của $b$ là 10.

Đúng

Sai

c) Quãng đường $S (t)$ (đơn vị: mét) mà ô tô đi được trong thời gian $t$ giây $(0 \leq t \leq 24)$ kể từ khi tăng tốc được tính theo công thức $S (t) = \int_{0}^{24} v (t) d t$ .

Đúng

Sai

d) Sau 24 giây kể từ khi tăng tốc, tốc độ của ô tô không vượt quá tốc độ tối đa cho phép là $100 k m / h$ .

Đúng

Sai

Câu 3 : Trước khi đưa một loại sản phẩm ra thị trường, người ta đã phỏng vấn ngẫu nhiên 200 khách hàng về sản phẩm đó. Kết quả thống kê như sau: có 105 người trả lời "sẽ mua"; có 95 người trả lời "không mua". Kinh nghiệm cho thấy tỉ lệ khách hàng thực sự sẽ mua sản phẩm tương ứng với những cách trả lời "sẽ mua" và "không mua" lần lượt là $70 %$ và $30 %$ .

Gọi là biến cố "Người được phỏng vấn thực sự sẽ mua sản phẩm".

Gọi là biến cố "Người được phỏng vấn trả lời sẽ mua sản phẩm".

a) Xác suất $P (B) = \frac{21}{40}$ và $P (¯ B) = \frac{19}{40}$ .

Đúng

Sai

b) Xác suất có điều kiện $P (A ∣ B) = 0, 3$ .

Đúng

Sai

c) Xác suất $P (A) = 0, 51$ .

Đúng

Sai

d) Trong số những người được phỏng vấn thực sự sẽ mua sản phẩm có $70 %$ người đã trả lời "sẽ mua" khi được phỏng vấn (kết quả tính theo phần trăm được làm tròn đến hàng đơn vị).

Đúng

Sai

Câu 4 : Các thiên thạch có đường kính 140mvà có thể lại gần Trái Đất ở khoảng cách nhỏ hơn 7500000km được coi lf những vật thể có khả năng va chạm và gây nguy hiểm cho Trái Đất. Để theo dõi những thiên thạch này, người ta đã thiết lập các trạm quan sát các vật thể bay gần Trái Đất. Giả sử có một hệ thống quan sát có khả năng theo dõi các vật thể ở độ cao không vượt quá 6600km so với mực nước biển. Coi Trái Đất là khối cầu có bán kính 6400km. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian có gốc $O$ tại tâm Trái Đất và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là 1000km. Một thiên thạch chuyển động (coi như một hạt) với tốc độ không đổi theo một đường thẳng từ điểm $M (6; 20; 0)$ đến điểm $N (- 6; - 12; 16)$ .

a) Đường thẳng MN có phương trình tham số là $⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ \begin{matrix} x = 6 + 3 t y = 20 + 8 t z = - 4 t \end{matrix}, (t \in R)$ .

Đúng

Sai

b) Vị trí đầu tiên thiên thạch di chuyển vào phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là điểm $A (- 3; - 4; 12)$ .

Đúng

Sai

c) Khoảng cách giữa vị trí đàu tiên và ví trí cuối cùng mà thiên thạch di chuyển trong phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là 18900km ( kết quả làm tròn đến hàng trăm theo đơn vị ki-lô-mét).

Đúng

Sai

d) Nếu thời gian di chuyển của thiên thạch trong phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là 3 phút thì giời gian nó di chuyển từ M đến N là 6 phút.

Đúng

Sai

Câu 1 : Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có AB = 5, BC = 6, CA = 7. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BC bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Đáp án:

Câu 2 : Một trò chởi điện tử quy định như sau: Có 4 trụ A, B, C, D với số lượng các thử thách trên đường đi giữa các cặp trụ được mô tả trong hình bên. Người chơi xuất phát từ một trụ nào đó, đi qua tất cả các trụ còn lại, mỗi khi đi qua một trụ thì trụ đó sẽ bị phá hủy và không thể quay trở lại trụ đó được nữa, nhưng người chơi vẫn phải trở về trụ ban đầu. Tổng số thử thách của đường đi thoả mãn điều kiện trên nhận giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu?

Đáp án:

Câu 3 : Hệ thống định vị toàn cầu GPS là một hệ thống cho phép xác định vị trí của một vật thể trong không gian. Trong cùng một thời điểm, vị trí của một điểm $M$ trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước nhờ các bộ thu phát tín hiệu đặt trên các vệ tinh. Giả sử trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, có bốn vệ tinh lần lượt đặt tại các điểm $A (3; 1; 0)$ , $B (3; 6; 6)$ , $C (4; 6; 2)$ , $D (6; 2; 14)$ ; vị trí $M (a; b; c)$ thỏa mãn $M A = 3, M B = 6,$ $M C = 5, M D = 13$ . Khoảng cách từ điểm $M$ đến điểm $O$ bằng bao nhiêu?

Đáp án:

Câu 4 : Kiến trúc sư thiết kế một khu sinh hoạt cộng đồng có dạng hình chữ nhật với chiều rộng và chiều dài lần lượt là 60 m và 80 m . Trong đó, phần được tô màu đậm là sân chơi, phần còn lại để trồng hoa. Mỗi phần trồng hoa có đường biên cong là một phần của parabol với đỉnh thuộc một trục đối xứng của hình chữ nhật và khoảng cách từ đỉnh đó đến trung điểm cạnh tương ứng của hình chữ nhật bằng 20 m (xem hình minh họa). Diện tích của phần sân chơi là bao nhiêu mét vuông?

Đáp án:

Câu 5 : Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá 500 sản phẩm. Nếu doanh nghiệp sản xuất $x$ sản phẩm $(1 \leq x \leq 500)$ thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm đó là $F (x) = x^{3} - 1999 x^{2} + 1001000 x + 250000$ (đồng), trong khi chi phí sản xuất bình quân cho một sản phẩm là $G (x) = x + 1000 + \frac{250000}{x}$ (đồng). Doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Đáp án:

Câu 6 : Có hai chiếc hộp, hộp I có 6 quả bóng màu đỏ và 4 quả bóng màu vàng, hộp II có 7 quả bóng màu đỏ và 3 quả bóng màu vàng, các quả bóng có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp I bỏ vào hộp II. Sau đó, lấy ra ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp II. Tính xác suất để quả bóng được lấy ra từ hộp II là quả bóng được chuyển từ hộp I sang, biết rằng quả bóng đó có màu đỏ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Đáp án:

Câu 1 : Nguyên hàm của hàm số $f (x) = e^{x}$ là

A.

$\frac{e^{x + 1}}{x + 1} + C$ .
B.

$e^{x} + C$ .
C.

$\frac{e^{x}}{x} + C$ .
D.

$x . e^{x - 1} + C$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về nguyên hàm của hàm số mũ để tính: $\int e^{x} d x = e^{x} + C$ .

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\int f (x) d x = \int e^{x} d x = e^{x} + C$ .

Câu 2 : Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục, nhận giá trị dương trên đoạn [a;b]. Xét hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f (x)$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = a$ , $x = b$ . Khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox có thể tích là:

A.

$V = π b \int a | f (x) | d x$ .
B.

$V = π^{2} b \int a f (x) d x$ .
C.

$V = π^{2} b \int a {[f (x)]}^{2} d x$ .
D.

$V = π b \int a {[f (x)]}^{2} d x$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức ứng dụng tích phân tích thể tích của vật thể.

Lời giải chi tiết :

Thể tích vật thể tạo thành khi quay (H) quanh trục Ox và hai đường thẳng $x = a$ , $x = b$ là:

$V = π b \int a {[f (x)]}^{2} d x$ .

Câu 3 : Hai mẫu số liệu ghép nhóm $M_{1}, M_{2}$ có bảng tần số ghép nhóm như sau:

Gọi $s_{1}, s_{2}$ lần lượt là độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm $M_{1}, M_{2}$ . Phát biểu nào sau đây là đúng?

A.

$s_{1} = s_{2}$ .
B.

$s_{1} = 2 s_{2}$ .
C.

$2 s_{1} = s_{2}$ .
D.

$4 s_{1} = s_{2}$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Tính số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm.

Sử dụng công thức tính phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm.

Lời giải chi tiết :

Mẫu số liệu $M_{1}$ có $n_{M_{1}} = 3 + 4 + 8 + 6 + 4 = 25$ .

Số trung bình của mẫu số liệu $M_{1}$ là:

$¯ ¯¯¯¯¯¯¯ ¯ x_{M_{1}} = \frac{3.9 + 4.11 + 8.13 + 6.15 + 4.17}{25} = 13, 32$ .

Phương sai của mẫu số liệu $M_{1}$ là:

${s_{1}}^{2} = \frac{3 {(9 - 13, 32)}^{2} + 4 {(11 - 13, 32)}^{2} + 8 {(13 - 13, 32)}^{2} + 6 {(15 - 13, 32)}^{2} + 4 {(17 - 13, 32)}^{2}}{25} = 5, 9776$

Suy ra độ lệch chuẩn của mẫu số liệu $M_{1}$ là: $s_{1} = \sqrt{{s_{1}}^{2}} = \sqrt{5, 9776} \approx 2, 44$ .

Mẫu số liệu $M_{2}$ có $n_{M_{2}} = 6 + 8 + 16 + 12 + 8 = 50$ .

Số trung bình của mẫu số liệu $M_{2}$ là:

$¯ ¯¯¯¯¯¯¯ ¯ x_{M_{2}} = \frac{6.9 + 8.11 + 16.13 + 12.15 + 8.17}{50} = 13, 32$ .

Phương sai của mẫu số liệu $M_{2}$ là:

${s_{2}}^{2} = \frac{6 {(9 - 13, 32)}^{2} + 8 {(11 - 13, 32)}^{2} + 16 {(13 - 13, 32)}^{2} + 12 {(15 - 13, 32)}^{2} + 8 {(17 - 13, 32)}^{2}}{50} = 5, 9776$

Suy ra độ lệch chuẩn của mẫu số liệu $M_{2}$ là: $s_{2} = \sqrt{{s_{2}}^{2}} = \sqrt{5, 9776} \approx 2, 44$ .

Vậy $s_{1} = s_{2}$ .

Câu 4 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình của đường thẳng đi qua điểm $M (1; - 3; 5)$ và có một vectơ chỉ phương $⃗ u (2; - 1; 1)$ là:

A.

$\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 3}{- 1} = \frac{z - 5}{1}$ .
B.

$\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 3}{- 1} = \frac{z + 5}{1}$ .
C.

$\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 3}{- 1} = \frac{z - 5}{1}$ .
D.

$\frac{x + 1}{2} = \frac{y + 3}{- 1} = \frac{z - 5}{1}$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Đường thẳng đi qua điểm $A (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ có vecto chỉ phương là $⃗ u (a; b; c)$ có phương trình:

$\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c}$ .

Lời giải chi tiết :

Phương trình của đường thẳng đi qua điểm $M (1; - 3; 5)$ và có một vectơ chỉ phương $⃗ u (2; - 1; 1)$ là:

$\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 3}{- 1} = \frac{z - 5}{1}$ .

Câu 5 : Cho hàm số $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ $(c \neq 0; a d - b c \neq 0)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là:

A.

$x = - 1$
B.

$y = \frac{1}{2}$
C.

$y = - 1$
D.

$x = \frac{1}{2}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Dựa vào kiến thức về tiệm cận ngang.

Lời giải chi tiết :

Tiệm cận ngang của hàm số trên là $y = \frac{1}{2}$ .

Câu 6 : Tập nghiệm của bất phương trình ${log}_{2} (x - 1) < 3$ là:

A.

$(1; 9)$ .
B.

$(- \infty; 9)$ .
C.

$(9; + \infty)$ .
D.

$(1; 7)$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Xét bất phương trình ${log}_{a} u (x) < b$ với $a > 0$ thì $0 < u (x) < a^{b}$ .

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: $x - 1 > 0$ hay $x > 1$ .

Vì $2 > 0$ nên ${log}_{2} (x - 1) < 3$ khi

$x - 1 < 2^{3}$

$x - 1 < 8$

$x < 9$ .

Vậy $x \in (1; 9)$ .

Câu 7 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình $x - 3 y - z + 8 = 0$ . Vecto nào sau đây là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P)?

A.

$\to n_{1} (1; - 3; 1)$
B.

$\to n_{2} (1; - 3; - 1)$
C.

$\to n_{3} (1; - 3; 8)$
D.

$\to n_{4} (1; 3; 8)$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Phương trình mặt phẳng có dạng tổng quát là $A x + B y + C z + D = 0$ với $⃗ n (A; B; C)$ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng.

Lời giải chi tiết :

Mặt phẳng (P): $x - 3 y - z + 8 = 0$ có vecto pháp tuyến là $⃗ n (1; - 3; - 1)$ .

Câu 8 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và SA⊥(ABCD). Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với mặt phẳng (ABCD)?

A.

(SAB)
B.

(SBC)
C.

(SCD)
D.

(SBD)

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và d vuông góc với mặt phẳng (Q) thì mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (Q).

Lời giải chi tiết :

Ta có $S A \subset (S A B)$ và SA vuông góc với đáy, suy ra mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD).

Câu 9 : Nghiệm của phương trình $2^{x} = 6$ là:

A.

$x = {log}_{6} 2$
B.

$x = 3$
C.

$x = 4$
D.

$x = {log}_{2} 6$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

$a^{x} = b \Leftrightarrow x = {log}_{a} b$ .

Lời giải chi tiết :

Ta có: $2^{x} = 6 \Leftrightarrow x = {log}_{2} 6$ .

Câu 10 : Cấp số cộng $(u_{n})$ có $u_{1} = 1$ , $u_{2} = 3$ . Số hạng $u_{5}$ của cấp số cộng là:

A.

5
B.

7
C.

9
D.

11

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng: $u_{n} = u_{1} + (n - 1) d$ .

Lời giải chi tiết :

Ta có $u_{2} = u_{1} + (2 - 1) d$ .

Thay $u_{1} = 1$ , $u_{2} = 3$ vào công thức trên, ta được: $3 = 1 + d \Leftrightarrow d = 2$ .

Số hạng $u_{5} = u_{1} + (5 - 1) d = 1 + 4.2 = 9$ .

Câu 11 : Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ (minh họa như hình bên). Phát biểu nào sau đây là đúng?

A.

$- - \to A B + - - \to B B^{'} + - -- \to B^{'} A^{'} = - - \to A C^{'}$
B.

$- - \to A B + - - \to B C^{'} + - -- \to C^{'} D^{'} = - - \to A C^{'}$
C.

$- - \to A B + - - \to A C + - - \to A A^{'} = - - \to A C^{'}$
D.

$- - \to A B + - - \to A A^{'} + - - \to A D = - - \to A C^{'}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Áp dụng quy tắc ba điểm và quy tắc hình hộp.

Lời giải chi tiết :

Xét đáp án A:

$- - \to A B + - - \to B B^{'} + - -- \to B^{'} A^{'} = - - \to A B^{'} + - -- \to B^{'} A^{'} = - - \to A A^{'}$ (theo quy tắc ba điểm).

Vậy A sai.

Xét đáp án B:

$- - \to A B + - - \to B C^{'} + - -- \to C^{'} D^{'} = - - \to A C^{'} + - -- \to C^{'} D^{'} = - - \to A D^{'}$ (theo quy tắc ba điểm).

Vậy B sai.

Theo quy tắc hình hộp, ta có: $- - \to A B + - - \to A A^{'} + - - \to A D = - - \to A C^{'}$ nên đáp án C sai, đáp án D đúng.

Câu 12 : Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A.

$(- \infty; - 1)$
B.

$(- \infty; 1)$
C.

$(- 1; 1)$
D.

$(1; + \infty)$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Quan sát đồ thị. Hàm số đồng biến khi đồ thị đi lên theo hướng từ trái sang, hàm số nghịch biến khi đồ thị đi xuống từ trái sang.

Lời giải chi tiết :

Quan sát đồ thị, thấy đồ thị đi lên khi $x \in (- 1; 1)$ . Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(- 1; 1)$ .

Câu 1 : Cho hàm số $f (x) = 2 cos x + x$ .

a) $f (0) = 2; f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2}$ .

Đúng

Sai

b) Đạo hàm của hàm số đã cho là $f^{'} (x) = 2 sin x + 1$ .

Đúng

Sai

c) Nghiệm của phương trình $f^{'} (x) = 0$ trên đoạn $[0; \frac{π}{2}]$ là $\frac{π}{6}$ .

Đúng

Sai

d) Giá trị lớn nhất của $f (x)$ trên đoạn $[0; \frac{π}{2}]$ là $\sqrt{3} + \frac{π}{6}$ .

Đúng

Sai

Đáp án

a) $f (0) = 2; f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2}$ .

Đúng

Sai

b) Đạo hàm của hàm số đã cho là $f^{'} (x) = 2 sin x + 1$ .

Đúng

Sai

c) Nghiệm của phương trình $f^{'} (x) = 0$ trên đoạn $[0; \frac{π}{2}]$ là $\frac{π}{6}$ .

Đúng

Sai

d) Giá trị lớn nhất của $f (x)$ trên đoạn $[0; \frac{π}{2}]$ là $\sqrt{3} + \frac{π}{6}$ .

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Thay x bằng các giá trị đã cho để tính.

Tính đạo hàm của hàm số lượng giác.

Giải phương trình lượng giác.

Ứng dụng sự biến thiên của hàm số để tìm giá trị lớn nhất.

Lời giải chi tiết :

a) Đúng. $f (x) = 2 cos x + x$ .

Ta có $f (0) = 2 cos 0 + 0 = 2$ và $f (\frac{π}{2}) = 2 cos (\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} = \frac{π}{2}$ .

b) Sai. $f^{'} (x) = - 2 sin x + 1$ .

c) Đúng. Ta có:

$f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow - 2 sin x + 1 = 0 \Leftrightarrow sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = \frac{π}{6} + k 2 π x = π - \frac{π}{6} + k 2 π \end{matrix}$

Trên đoạn $[0; \frac{π}{2}]$ , phương trình $f^{'} (x) = 0$ có nghiệm là $\frac{π}{6}$ .

d) Đúng. Ta có $f (0) = 2; f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2} \approx 1, 57; f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} + \frac{π}{6} \approx 2, 26.$

Vậy giá trị lớn nhất của $f (x)$ trên đoạn $[0; \frac{π}{2}]$ là $\sqrt{3} + \frac{π}{6}$ .

Câu 2 : Một người điều khiển ô tô đang ở đường dẫn muốn nhập làn vào đường cao tốc. Khi ô tô cách điểm nhập làn 200m , tốc độ của ô tô là $36 k m / h$ . Hai giây sau đó, ô tô bắt đầu tăng tốc với tốc độ $v (t) = a t + b (a, b \in R, a > 0)$ , trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc. Biết rằng ô tô nhập làn cao tốc sau 12 giây và duy trì sự tăng tốc trong 24 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc.

a) Quãng đường ô tô đi được từ khi bắt đầu tăng tốc đến khi nhập làn là 180m .

Đúng

Sai

b) Giá trị của $b$ là 10.

Đúng

Sai

c) Quãng đường $S (t)$ (đơn vị: mét) mà ô tô đi được trong thời gian $t$ giây $(0 \leq t \leq 24)$ kể từ khi tăng tốc được tính theo công thức $S (t) = \int_{0}^{24} v (t) d t$ .

Đúng

Sai

d) Sau 24 giây kể từ khi tăng tốc, tốc độ của ô tô không vượt quá tốc độ tối đa cho phép là $100 k m / h$ .

Đúng

Sai

Đáp án

a) Quãng đường ô tô đi được từ khi bắt đầu tăng tốc đến khi nhập làn là 180m .

Đúng

Sai

b) Giá trị của $b$ là 10.

Đúng

Sai

c) Quãng đường $S (t)$ (đơn vị: mét) mà ô tô đi được trong thời gian $t$ giây $(0 \leq t \leq 24)$ kể từ khi tăng tốc được tính theo công thức $S (t) = \int_{0}^{24} v (t) d t$ .

Đúng

Sai

d) Sau 24 giây kể từ khi tăng tốc, tốc độ của ô tô không vượt quá tốc độ tối đa cho phép là $100 k m / h$ .

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Ứng dụng tích phân.

Lời giải chi tiết :

a) Đúng: Sau 2 giây, ô tô bắt đầu tăng tốc, ta có quãng đường ô tô đi được từ khi bắt đầu tăng tốc đến khi nhập làn là $S = 200 - 2 v_{1} = 200 - 2.10 = 180 m .$

b) Đúng: Có $v_{1} = 36 (k m / h) = 10 (m / s)$

Ta có $v (t) = a t + b (a, b \in R, a > 0)$ , suy ra vận tốc ban đầu khi ô tô chưa tăng tốc ứng với $t = 0$ . Vậy $v_{1} = v (0) = a .0 + b = 10 (m / s) \Rightarrow b = 10.$

c) Sai: Quãng đường $S (t)$ mà ô tô đi được trong thời gian $t$ giây $(0 \leq t \leq 24)$ kể từ khi tăng tốc được tính theo công thức $S (t) = \int_{0}^{t} v (t) d t$ .

d) Sai: Ta có $v (t) = a t + 10$ , $S (t) = 180 m$ tương ứng thời gian tăng tốc từ 0 đến 12 giây.

Suy ra $12 \int 0 (a t + 10) d t = 180 \Rightarrow {(\frac{a t^{2}}{2} + 10 t) ∣ ∣}_{0}^{12} = 180 \Rightarrow a = \frac{5}{6}$ .

Vậy $v (t) = \frac{5}{6} t + 10 \Rightarrow max [0; 24] v (t) = v (24) = 30 m / s = 108 k m / h .$

Câu 3 : Trước khi đưa một loại sản phẩm ra thị trường, người ta đã phỏng vấn ngẫu nhiên 200 khách hàng về sản phẩm đó. Kết quả thống kê như sau: có 105 người trả lời "sẽ mua"; có 95 người trả lời "không mua". Kinh nghiệm cho thấy tỉ lệ khách hàng thực sự sẽ mua sản phẩm tương ứng với những cách trả lời "sẽ mua" và "không mua" lần lượt là $70 %$ và $30 %$ .

Gọi là biến cố "Người được phỏng vấn thực sự sẽ mua sản phẩm".

Gọi là biến cố "Người được phỏng vấn trả lời sẽ mua sản phẩm".

a) Xác suất $P (B) = \frac{21}{40}$ và $P (¯ B) = \frac{19}{40}$ .

Đúng

Sai

b) Xác suất có điều kiện $P (A ∣ B) = 0, 3$ .

Đúng

Sai

c) Xác suất $P (A) = 0, 51$ .

Đúng

Sai

d) Trong số những người được phỏng vấn thực sự sẽ mua sản phẩm có $70 %$ người đã trả lời "sẽ mua" khi được phỏng vấn (kết quả tính theo phần trăm được làm tròn đến hàng đơn vị).

Đúng

Sai

Đáp án

a) Xác suất $P (B) = \frac{21}{40}$ và $P (¯ B) = \frac{19}{40}$ .

Đúng

Sai

b) Xác suất có điều kiện $P (A ∣ B) = 0, 3$ .

Đúng

Sai

c) Xác suất $P (A) = 0, 51$ .

Đúng

Sai

d) Trong số những người được phỏng vấn thực sự sẽ mua sản phẩm có $70 %$ người đã trả lời "sẽ mua" khi được phỏng vấn (kết quả tính theo phần trăm được làm tròn đến hàng đơn vị).

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức xác suất có điều kiện $P (A | B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}$ .

Lời giải chi tiết :

a) Đúng: Số phần tử không gian mẫu $n (Ω) = 200$ .

Số phần tử của biến cố $B$ : $n (B) = 105$ .

Xác suất của biến cố $B$ là : $P (B) = \frac{n (B)}{n (Ω)} = \frac{21}{40}$ .

$\Rightarrow$ Xác suất của $P (¯ B) = 1 - P (B) = \frac{19}{40}$ .

b) Sai: Người được phỏng vấn thực sự sẽ mua sản phẩm là $70 %$ của số người trả lời "sẽ mua" và $30 %$ của những người trả lời " không mua".

Vậy số phần tử của biến cố $A$ là $n (A) = 70 % .105 + 30 % .95 = 102$ .

Xác suất của biến cố $A$ là : $P (A) = \frac{102}{200} = 0, 51$ .

Theo công thức tính xác suất có điều kiện: $P (A | B) = \frac{n (A \cap B)}{n (B)} = 0, 97$ .

c) Đúng: $P (A) = \frac{102}{200} = 0, 51$ .

d) Sai: Những người được phỏng vấn thực sự sẽ mua sản phẩm là 102 người.

Trong nhóm người được phỏng vấn nói "sẽ mua" có $70 % .105 = 73, 5$ người mua.

Vậy trong những người được phỏng vấn thực sự sẽ mua có $\frac{73, 5}{102} .100 \approx 72 %$ người được phỏng vấn trả lời sẽ mua.

Câu 4 : Các thiên thạch có đường kính 140mvà có thể lại gần Trái Đất ở khoảng cách nhỏ hơn 7500000km được coi lf những vật thể có khả năng va chạm và gây nguy hiểm cho Trái Đất. Để theo dõi những thiên thạch này, người ta đã thiết lập các trạm quan sát các vật thể bay gần Trái Đất. Giả sử có một hệ thống quan sát có khả năng theo dõi các vật thể ở độ cao không vượt quá 6600km so với mực nước biển. Coi Trái Đất là khối cầu có bán kính 6400km. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian có gốc $O$ tại tâm Trái Đất và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là 1000km. Một thiên thạch chuyển động (coi như một hạt) với tốc độ không đổi theo một đường thẳng từ điểm $M (6; 20; 0)$ đến điểm $N (- 6; - 12; 16)$ .

a) Đường thẳng MN có phương trình tham số là $⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ \begin{matrix} x = 6 + 3 t y = 20 + 8 t z = - 4 t \end{matrix}, (t \in R)$ .

Đúng

Sai

b) Vị trí đầu tiên thiên thạch di chuyển vào phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là điểm $A (- 3; - 4; 12)$ .

Đúng

Sai

c) Khoảng cách giữa vị trí đàu tiên và ví trí cuối cùng mà thiên thạch di chuyển trong phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là 18900km ( kết quả làm tròn đến hàng trăm theo đơn vị ki-lô-mét).

Đúng

Sai

d) Nếu thời gian di chuyển của thiên thạch trong phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là 3 phút thì giời gian nó di chuyển từ M đến N là 6 phút.

Đúng

Sai

Đáp án

a) Đường thẳng MN có phương trình tham số là $⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ \begin{matrix} x = 6 + 3 t y = 20 + 8 t z = - 4 t \end{matrix}, (t \in R)$ .

Đúng

Sai

b) Vị trí đầu tiên thiên thạch di chuyển vào phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là điểm $A (- 3; - 4; 12)$ .

Đúng

Sai

c) Khoảng cách giữa vị trí đàu tiên và ví trí cuối cùng mà thiên thạch di chuyển trong phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là 18900km ( kết quả làm tròn đến hàng trăm theo đơn vị ki-lô-mét).

Đúng

Sai

d) Nếu thời gian di chuyển của thiên thạch trong phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là 3 phút thì giời gian nó di chuyển từ M đến N là 6 phút.

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Viết phương trình đường thẳng dựa vào 1 điểm mà nó đi qua và vecto chỉ phương.

Lập phương trình mặt cầu mà hệ thống quan sát theo dõi được. Tìm giao điểm của mặt cầu và đường thẳng bằng cách thay tọa độ x, y, z của phương trình đường thẳng vào phương trình mặt cầu.

Sử dụng biểu thức tính khoảng cách giữa hai điểm.

Lời giải chi tiết :

a) Đúng: Ta có $- -- \to M N = (3; 8; - 4)$ .

Có phương trình đường thẳng đi qua $M (6; 20; 0)$ và có vecto chỉ phương mà $- -- \to M N$ .

Vậy đường thẳng MN có phương trình tham số là: $d : ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ \begin{matrix} x = 6 + 3 t y = 20 + 8 t z = - 4 t \end{matrix}, (t \in R)$ .

b) Sai: Ta có phương trình mặt cầu mà hệ thống quan sát theo dõi được các vật thể:

Có tâm $O (0; 0; 0)$ và bán kính là $R = 6, 4 + 6, 6 = 13.$

Suy ra ta có phương trình: $(C)$ : $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 13^{2} = 169$ .

Khi đó điểm đầu và điểm cuối mà thiên thạch di chuyển trong phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là nghiệm của phương trình giao điểm của đường thẳng MN và mặt cầu $(C)$ .

Suy ra: ${(6 + 3 t)}^{2} + (20 + 8)^{2} + (- 4 t)^{2} = 169$ .

Giải phương trình trên ta có: $89 t + 256 t + 267 = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} t = - 1 t = - 3 \end{matrix}$

Ta được hai điểm $A (- 3; - 4; 12)$ và $B (3; 12; 4)$ .

Tuy nhiên, ta có khoảng cách $M A = 3 \sqrt{89} \approx 28.3$ và $M B = \sqrt{89} \approx 9.4$ .

Vậy vị trí đầu tiên thiên thạch di chuyển vào phạm vi theo dõi là $B (3; 12; 4)$ .

Vậy vị trí cuối cùng thiên thạch di chuyển vào phạm vi theo dõi là $A (- 3; - 4; 12)$ .

c) Đúng: Khoảng cách $A B = M B - M A = 2 \sqrt{89} \approx 18, 9$ .

Vậy khoảng cách thực tế giữa AB là $\approx 18900 k m$ .

d) Đúng: Ta có khoảng cách $M N = \sqrt{12^{2} + 32^{2} + 16^{2}} = 4 \sqrt{89}$ .

Ta thấy $M N = 2 A B \Rightarrow \frac{M N}{A B} = 2$ mà vận tốc của thiên thạch không đổi ta có thời gian cũng tỷ lệ với khoảng cách. Khi đó: $\frac{M N}{A B} = \frac{6}{3} = 2$ .

Câu 1 : Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có AB = 5, BC = 6, CA = 7. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BC bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

Tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau: Khoảng cách cần tìm là đường cao kẻ từ A của tam giác ABC.

Sử dụng các công thức tính diện tích tam giác cho tam giác ABC để tính.

Lời giải chi tiết :

Kẻ $A H ⊥ B C$ , H thuộc BC.

Ta có $A A^{'} ⊥ (A B C) \Rightarrow A A^{'} ⊥ A H$ (một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì vuông góc với mọi đường trong mặt đó).

Do đó, AH là đường vuông góc chung của AA’ và BC.

$\Rightarrow d (A A^{'}, B C) = A H$ .

$\frac{1}{2} A H . B C = \sqrt{p (p - A B) (p - B C) (p - C A)}$ .

$\Rightarrow A H = \frac{2}{6} \sqrt{9 (9 - 5) (9 - 7) (9 - 6)} = 4, 9$ với $p = \frac{5 + 6 + 7}{2} = 9$ .

Câu 2 : Một trò chởi điện tử quy định như sau: Có 4 trụ A, B, C, D với số lượng các thử thách trên đường đi giữa các cặp trụ được mô tả trong hình bên. Người chơi xuất phát từ một trụ nào đó, đi qua tất cả các trụ còn lại, mỗi khi đi qua một trụ thì trụ đó sẽ bị phá hủy và không thể quay trở lại trụ đó được nữa, nhưng người chơi vẫn phải trở về trụ ban đầu. Tổng số thử thách của đường đi thoả mãn điều kiện trên nhận giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu?

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

Liệt kê.

Lời giải chi tiết :

Tổng số cách:

$\begin{matrix} 10 + 11 + 14 + 11 = 46 10 + 12 + 14 + 9 = 45 11 + 14 + 11 + 10 = 46 11 + 12 + 11 + 9 = 43 9 + 14 + 12 + 10 = 45 9 + 11 + 12 + 11 = 43 \end{matrix}$

Câu 3 : Hệ thống định vị toàn cầu GPS là một hệ thống cho phép xác định vị trí của một vật thể trong không gian. Trong cùng một thời điểm, vị trí của một điểm $M$ trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước nhờ các bộ thu phát tín hiệu đặt trên các vệ tinh. Giả sử trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, có bốn vệ tinh lần lượt đặt tại các điểm $A (3; 1; 0)$ , $B (3; 6; 6)$ , $C (4; 6; 2)$ , $D (6; 2; 14)$ ; vị trí $M (a; b; c)$ thỏa mãn $M A = 3, M B = 6,$ $M C = 5, M D = 13$ . Khoảng cách từ điểm $M$ đến điểm $O$ bằng bao nhiêu?

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

Ta có công thức tính khoảng cách:

$A B = \sqrt{{(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(y_{B} - y_{A})}^{2} + {(z_{B} - z_{A})}^{2}}$ .

Áp dụng công thức trên đối với các đoạn thẳng MA, MA, MC, MD rồi giải hệ.

Lời giải chi tiết :

Gọi $M (x, y, z)$ .

$⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ \begin{matrix} M A = 3 M B = 6 M C = 5 M D = 13 \end{matrix} \Leftrightarrow ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ \begin{matrix} {(x - 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + z^{2} = 9 {(x - 3)}^{2} + {(y - 6)}^{2} + {(z - 6)}^{2} = 36 {(x - 4)}^{2} + {(y - 6)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 25 {(x - 6)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 14)}^{2} = 169 \end{matrix}$

$⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ \begin{matrix} x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 x - 2 y + 1 = 0 x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 x - 12 y - 12 z + 45 = 0 x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8 x - 12 y - 4 z + 31 = 0 x^{2} + y^{2} + z^{2} - 12 x - 4 y - 28 z + 67 = 0 \end{matrix}$

$⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ \begin{matrix} 6 x + 2 y - 1 - 6 x - 12 y - 12 z + 45 = 0 6 x + 2 y - 1 - 8 x - 12 y - 4 z + 31 = 0 6 x + 2 y - 1 - 12 x - 4 y - 28 z + 67 = 0 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ \begin{matrix} 10 y + 12 z = 44 2 x + 10 y + 4 z = 30 6 x + 2 y + 28 z = 66 \end{matrix} \Leftrightarrow ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ \begin{matrix} x = 1 y = 2 z = 2 \end{matrix}$

$\Rightarrow M (1; 2, 2) \Rightarrow M O = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 2^{2}} = 3$ .

Câu 4 : Kiến trúc sư thiết kế một khu sinh hoạt cộng đồng có dạng hình chữ nhật với chiều rộng và chiều dài lần lượt là 60 m và 80 m . Trong đó, phần được tô màu đậm là sân chơi, phần còn lại để trồng hoa. Mỗi phần trồng hoa có đường biên cong là một phần của parabol với đỉnh thuộc một trục đối xứng của hình chữ nhật và khoảng cách từ đỉnh đó đến trung điểm cạnh tương ứng của hình chữ nhật bằng 20 m (xem hình minh họa). Diện tích của phần sân chơi là bao nhiêu mét vuông?

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

Gắn hệ trục tọa độ Oxy một cách phù hợp. Tìm phương trình của đồ thị parabol. Ứng dụng tính diện tích hình phẳng để tìm diện tích trồng hoa. Từ đó tính diện sân chơi.

Lời giải chi tiết :

Xét hệ trục tọa độ như hình:

Parabol có dạng $y = a x^{2} + b x + c$ $(a \neq 0)$ .

Parabol đi qua gốc tọa độ O(0;0) $\Rightarrow c = 0$ .

Parabol đi qua 2 điểm (-30;20) và (30;20)

$\Rightarrow {\begin{matrix} 900 a + 30 b = 20 900 a - 30 b = 20 \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} a = \frac{1}{45} b = 0 \end{matrix} \Rightarrow y = \frac{1}{45} x^{2}$ .

Diện tích nửa phần trồng hoa là: $S_{1} = 30 \int - 30 ∣ ∣ 20 - \frac{1}{45} x^{2} ∣ ∣ d x = 800$ .

Diện tích phần sân chơi là: $S = 60.80 - 2.800 = 3200$ $(m^{2})$ .

Câu 5 : Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá 500 sản phẩm. Nếu doanh nghiệp sản xuất $x$ sản phẩm $(1 \leq x \leq 500)$ thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm đó là $F (x) = x^{3} - 1999 x^{2} + 1001000 x + 250000$ (đồng), trong khi chi phí sản xuất bình quân cho một sản phẩm là $G (x) = x + 1000 + \frac{250000}{x}$ (đồng). Doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

Lập hàm tính lợi nhuận và tìm giá trị lớn nhất. Từ đó đưa ra kết luận.

Lời giải chi tiết :

Chi phí bỏ ra khi sản xuất $x$ sản phẩm là $x$ G(x).

Có $G (x) = x^{2} + 1000 x + 250000$ (đồng).

Lợi nhuận thu được là:

$H (x) = F (x) - x G (x)$

$= x^{3} - 2000 x^{2} + 1000000 x$ .

Ta cần tìm $x$ để $H (x)$ đạt giá trị lớn nhất.

Ta có: $H^{'} (x) = 3 x^{2} - 4000 x + 1000000$ , $x \in [1; 500]$ .

$H^{'} (x) = 0$ $\Leftrightarrow 3 x^{2} - 4000 x + 1000000 = 0$ $\Leftrightarrow [\begin{matrix} x = \frac{1000}{3} x = 1000 \end{matrix}$

Có $H (333) = 148148037$ , $H (334) = 148147704$ .

Bảng biến thiên:

Như vậy doanh nghiệp cần sản xuất 333 sản phẩm để đạt doanh thu lớn nhất.

Câu 6 : Có hai chiếc hộp, hộp I có 6 quả bóng màu đỏ và 4 quả bóng màu vàng, hộp II có 7 quả bóng màu đỏ và 3 quả bóng màu vàng, các quả bóng có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp I bỏ vào hộp II. Sau đó, lấy ra ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp II. Tính xác suất để quả bóng được lấy ra từ hộp II là quả bóng được chuyển từ hộp I sang, biết rằng quả bóng đó có màu đỏ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức tính xác suất toàn phần và xác suất có điều kiện.

Lời giải chi tiết :

Cách 1:

Gọi $A$ là biến cố: "Lấy được từ hộp II quả bóng được chuyển từ hộp I sang".

$B$ là biến cố: "Lấy được từ hộp II quả bóng có màu đỏ".

Ta cần tính $P (A ∣ B)$ .

Gọi $B_{1}$ là biến cố: "Lấy được từ hộp I quả bóng màu đỏ",

$B_{2}$ là biến cố: "Lấy được từ hộp I quá bóng màu vàng".

Khi đó $P (B_{1}) = \frac{6}{10}; P (B_{2}) = \frac{4}{10}$ ; $P (B ∣ B_{1}) = \frac{8}{11}; P (B ∣ B_{2}) = \frac{7}{11}$ .

Theo công thức xác suất toàn phần:

$P (B) = P (B_{1}) P (B ∣ B_{1}) + P (B_{2}) P (B ∣ B_{2})$ $= \frac{6}{10} \cdot \frac{8}{11} + \frac{4}{10} \cdot \frac{7}{11} = \frac{38}{55}$ .

Dể thấy $P (A) = \frac{1}{11}$ và $A B = A B_{1}$ .

Vì hai biến cố $A$ và $B_{1}$ độc lập nên:

$P (A B) = P (A B_{1}) = P (A) P (B_{1}) = \frac{1}{11} \cdot \frac{6}{10} = \frac{3}{55} .$

Xác suất cần tìm là: $P (A ∣ B) = \frac{P (A B)}{P (B)} = \frac{\frac{3}{55}}{\frac{38}{55}} = \frac{3}{38} \approx 0, 08$ .

Cách 2:

Ta có: $n (Ω) = 10.11 = 110$ .

Gọi $A$ là biến cố: "Lấy được bóng từ hộp II mà quả đó được chuyển từ hộp I sang";

$B$ là biến cố: "Lấy được bóng màu đỏ từ hộp II".

Ta có $P (B) = \frac{6.8 + 4.7}{110} = \frac{76}{110}; P (A \cap B) = \frac{6.1}{110} = \frac{6}{110}$ .

Xác suất cần tìm là: $P (A | B) = \frac{P (B \cap A)}{P (B)} = \frac{\frac{6}{110}}{\frac{76}{110}} = \frac{6}{76} \approx 0, 08$ .