Đề số 13 - Đề thi vào lớp 10 môn Toán

Đề bài

Câu 1 (4 điểm) Rút gọn biểu thức:

a) $A=\sqrt{45}+\sqrt{20}-2\sqrt{5}.$

b) $B=\frac{a+2\sqrt{a}}{\sqrt{a}+2}-\frac{a-4}{\sqrt{a}-2}$ (với $a\ge 0,a\ne 4$).

Câu 2 (4 điểm)

a) Giải hệ phương trình $\{\begin{array}{c}x-y=4\\ 2x-y=5\end{array}.$

b) Cho hàm số $y=\frac{1}{2}{x}^2$ có đồ thị $\left(P\right)$ và đường thẳng $d:y=x-2m.$ Vẽ đồ thị $\left(P\right).$ Tìm tất cả các giá trị của $m$ sao cho $d$ cắt $\left(P\right)$ tại điểm có hoành độ bằng $-1.$

Câu 3 (6 điểm) Cho phương trình $x^2+4x+m+1=0\left(1\right)$ (với m là tham số).

a) Giải phương trình (1) với m = 2.

b) Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có nghiệm.

c) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình (1) có hai nghiệm $x_1;x_2$ thỏa mãn điều kiện $\frac{x_1-1}{2x_2}-\frac{x_2-1}{2x_1}=-3$.

Câu 4: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ bán kính CO vuông góc với AB, M là một điểm bất kỳ trên cung AC (M khác A, C và điểm chính giữa AC), BM cắt AC tại H. Gọi K là chân đường vuông góc kẻ từ H đến AB.

a) Chứng minh tứ giác BCHK là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh CA là phân giác của góc MCK

c) Kẻ CP vuông góc với BM $\left(P\in BM\right)$ và trên đoạn thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM. Chứng minh ME = 2CP

Lời giải chi tiết

Câu 1:

$\begin{array}{c}a)A=\sqrt{45}+\sqrt{20}-2\sqrt{5}\\ =\sqrt{3^2.5}+\sqrt{2^2.5}-2\sqrt{5}\\ =3\sqrt{5}+2\sqrt{5}-2\sqrt{5}\\ =3\sqrt{5}.\\ b)B=\frac{a+2\sqrt{a}}{\sqrt{a}+2}-\frac{a-4}{\sqrt{a}-2}\left(a\ge 0,a\ne 4\right)\\ =\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+2\right)}{\sqrt{a}+2}-\frac{\left(\sqrt{a}+2\right)\left(\sqrt{a}-2\right)}{\sqrt{a}-2}\\ =\sqrt{a}-\left(\sqrt{a}+2\right)\\ =\sqrt{a}-\sqrt{a}-2\\ =-2\end{array}$

Câu 2:

a) Giải hệ phương trình $\{\begin{array}{c}x-y=4\\ 2x-y=5\end{array}.$

$\{\begin{array}{c}x-y=4\\ 2x-y=5\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=1\\ y=x-4\end{array}$$\iff \{\begin{array}{c}x=1\\ y=-3\end{array}.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất: $\left(x;y\right)=\left(1;-3\right).$

b) Cho hàm số $y=\frac{1}{2}{x}^2$ có đồ thị $\left(P\right)$ và đường thẳng $d:y=x-2m.$ Vẽ đồ thị $\left(P\right).$ Tìm tất cả các giá trị của $m$ sao cho $d$ cắt $\left(P\right)$ tại điểm có hoành độ bằng $-1.$

Ta có bảng giá trị:

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$y=\frac{1}{2}{x}^2$	$2$	$\frac{1}{2}$	$0$	$\frac{1}{2}$	$2$

$\Rightarrow$ Đồ thị hàm số $y=\frac{1}{2}{x}^2$ đi qua các điểm $\left(-2;2\right);\left(-1;\frac{1}{2}\right);\left(0;0\right);\left(1;\frac{1}{2}\right);$$\left(2;2\right)$

Đồ thị:

 

Hoành độ giao điểm của đường thẳng $d$ và parabol $\left(P\right)$ là nghiệm của phương trình $\frac{1}{2}{x}^2=x-2m\iff \frac{1}{2}{x}^2-x+2m=0.\left(1\right)$  

Để $d$ cắt $\left(P\right)$ tại điểm có hoành độ bằng $-1\iff x=-1$ là nghiệm của phương trình $\left(1\right)$

$\begin{array}{c}\iff \frac{1}{2}{\left(-1\right)}^2-\left(-1\right)+2m=0\\ \iff 2m=-\frac{3}{2}\\ \iff m=-\frac{3}{4}.\end{array}$  

Vậy $m=-\frac{3}{4}.$

Câu 3.

a) Giải phương trình (1) với m = 2.

Thay $m=2$ vào $\left(1\right)$: $x^2+4x+2+1=0$

$\iff x^2+4x+3=0$

Ta có : $a-b+c=1-4+3=0$

$\Rightarrow$ Phương trình có hai nghiệm  $\{\begin{array}{c}{x}_1=-1\\ x_2=-3\end{array}$

Vậy, với $m=2$ thì phương trình có hai nghiệm $x_1=-1,x_2=-3$.

b) Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có nghiệm.

${\Delta }^{\prime }=2^2-(m+1)=4-m-1$$=3-m$

Để phương trình (1) có nghiệm thì ${\Delta }^{\prime }\ge 0\iff 3-m\ge 0\iff m\le 3$.

c) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình (1) có hai nghiệm $x_1;x_2$ thỏa mãn điều kiện $\frac{x_1-1}{2x_2}-\frac{x_2-1}{2x_1}=-3$.

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt $\iff {\Delta }^{\prime }>0\iff 3-m>0\iff m<3$

Áp dụng định lý Vi-et, ta có:  $\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=-4\\ x_1{x}_2=m+1(\ast )\end{array}$

$\Rightarrow x_2=-4-x_1$ . Thay vào $\frac{x_1-1}{2x_2}-\frac{x_2-1}{2x_1}=-3$, ta có:

$\begin{array}{c}\frac{x_1-1}{2\left(-4-x_1\right)}-\frac{-4-x_1-1}{2x_1}=-3,\left(x_1\ne 0,x_1\ne 4\right)\\ \iff \frac{x_1-1}{2(-4-x_1)}-\frac{-5-x_1}{2x_1}=-3\\ \iff \frac{x_1\left(x_1-1\right)-\left(-4-x_1\right)\left(-5-x_1\right)}{2x_1(-4-x_1)}=-3\\ \iff x_1\left(x_1-1\right)-\left(4+x_1\right)\left(5+x_1\right)=-3.2x_1(-4-x_1)\\ \iff x_1^2-x_1-20-4x_1-5x_1-x_1^2-24x_1-6x_1^2=0\\ \iff -6x_1^2-34x_1-20=0\\ \iff 3x_1^2+17x_1+10=0\\ \iff 3x_1^2+15x_1+2x_1+10=0\\ \iff 3x_1\left(x_1+5\right)+2\left(x_1+5\right)=0\\ \iff \left(x_1+5\right)\left(3x_1+2\right)=0\\ \iff [\begin{array}{c}{x}_1=-5\\ x_1=-\frac{2}{3}\end{array}\end{array}$

Với $x_1=-5$ $\Rightarrow x_2=-4-x_1=-4+5=1$

Thay vào (*) ta có $-5=m+1\iff m=-6\left(tm\right)$

Với $x_1=-\frac{2}{3}\Rightarrow x_2=-4-x_1=-\frac{10}{3}$

 Thay vào (*) ta có $\frac{20}{9}=m+1\iff m=\frac{11}{9}\left(tm\right)$

Vậy $m=-6$ hoặc $m=\frac{11}{9}$.

Câu 4.

 

a) Chứng minh tứ giác CHKB là tứ giác nội tiếp.

Xét tứ giác BCHK có:

$\widehat{HCB}={90}^0$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\widehat{HKB}={90}^0$ (giả thiết)

$\Rightarrow \widehat{HCB}+\widehat{HKB}={90}^0+{90}^0={180}^0$.

Vậy tứ giác $CHKB$ là tứ giác nội tiếp (đpcm).

b) Chứng minh CA là phân giác của góc MCK.

- Tứ giác BCHK nội tiếp nên $\widehat{ACK}=\widehat{MBA}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $HK$).

- $\widehat{MCA}=\widehat{MBA}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung MA của đường tròn tâm (O)).

Do đó $\widehat{ACK}=\widehat{MBA}=\widehat{MCA}$ hay $CA$ là tia phân giác của $\widehat{MCK}$ (đpcm).

c) Chứng minh ME = 2CP.

Xét $\Delta CMA$ và $\Delta CEB$ có:

$MA=EB\left(gt\right)$

$\widehat{MAC}=\widehat{EBC}$ (cùng chắn cung MC của đường tròn (O))

$CA=CB$ ($\Delta CAB$ vuông cân)

Do đó $\Delta CMA=\Delta CEB\left(c.g.c\right)$

$\Rightarrow CM=CE$ (cạnh tương ứng) $\Rightarrow \Delta CME$ cân tại $C$.

Lại có $\widehat{CMB}=\widehat{CAB}={45}^0$ (cùng chắn cung $CB$) nên $\widehat{CEM}={45}^0\Rightarrow \widehat{MCE}={90}^0$.

Vậy $\Delta CME$ vuông cân tại $C$.

Mà $CP\perp ME\left(gt\right)$ nên $CP$ là đường cao và cũng là đường trung tuyến của $\Delta CME$.

Do đó $PM=PE=CP\Rightarrow ME=2CP$ (đpcm).

trithuchub.com