Đề số 18 - Đề thi vào lớp 10 môn Toán

Đề bài

Bài 1(2,0 điểm): Rút gọn các biểu thức

$\begin{array}{c}A=3\sqrt{\frac{1}{3}}+\frac{1}{2}\sqrt{48}+\sqrt{75}\\ B=3\sqrt{20}-20\sqrt{\frac{1}{5}}-\frac{4}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\end{array}$

Bài 2 (2,0 điểm): Cho hai biểu thức $A=\frac{2\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}-1}$ và $B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\frac{3}{\sqrt{x}+1}+\frac{6\sqrt{x}-4}{1-x}$$\left(x\ge 0;x\ne 1\right)$.

a) Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x=9$.

b) Rút gọn $B$.

c) Đặt $P=A.B$. So sánh giá trị của $P$ với $2$.

Bài 3 (1,5 điểm): Cho hàm số $y=\left(m-1\right)x-4$ có đồ thị là đường thẳng $\left(d\right)$.

a) Tìm $m$ để đường thẳng $\left(d\right)$ song song với đường thẳng $y=2x+5$.

b) Vẽ đồ thị hàm số trên với $m$ tìm được ở câu a.

c) Đường thẳng $\left(d\right)$ cắt trục $Ox$ tại $A$,  cắt trục $Oy$ tại $B$. Tìm $m$ để tam giác $OAB$ vuông cân.

Bài 4 (1,0 điểm): Tính chiều cao của cây trong hình vẽ bên (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)

Bài 5 (3,0 điểm): Cho đường tròn $\left(O\right)$ và một điểm $M$ nằm ngoài đường tròn. Từ $M$ kẻ hai tiếp tuyến $MA,MB$ với đường tròn $\left(O\right)$ ($A$ và $B$là hai tiếp điểm). Gọi $I$ là giao điểm của $OM$ và $AB$. Kẻ đường kính $BC$ của $\left(O\right)$.

a) Chứng minh $4$ điểm $M,O,A,B$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh $OI.OM=O{A}^2$.

c) Qua $\left(O\right)$ vẽ đường thẳng vuông góc với $MC$ tại $E$ và cắt đường thẳng $BA$ tại $F$. Chứng minh $FC$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left(O\right)$.

Bài 6 (0,5 điểm): Cho ba số dương $x,y,z$ thay đổi nhưng luôn thỏa mãn điều kiện $x+y+z=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $P=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}$.

Lời giải chi tiết

Bài 1 (VD):

Phương pháp

Đưa thừa số ra ngoài dấu căn $\sqrt{A^{2}B}=\left|A\right|\sqrt{B}$.

Trục căn thức ở mẫu $\frac{C}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}=\frac{C\left(\sqrt{A}-\sqrt{B}\right)}{A-B}$.

Cách giải:

+) Ta có :

$A=3\sqrt{\frac{1}{3}}+\frac{1}{2}\sqrt{48}+\sqrt{75}$$=3.\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{1}{2}.4\sqrt{3}+5\sqrt{3}$ $=\sqrt{3}+2\sqrt{3}+5\sqrt{3}=8\sqrt{3}$

+) Ta có:

$B=3\sqrt{20}-20\sqrt{\frac{1}{5}}-\frac{4}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$$=3.2\sqrt{5}-20.\frac{\sqrt{5}}{5}-\frac{4\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}$

$B=6\sqrt{5}-4\sqrt{5}-\frac{4\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}{5-3}$$=2\sqrt{5}-2\sqrt{5}+2\sqrt{3}=2\sqrt{3}$.

Bài 2 (VD):

Phương pháp

a) Thay $x=9$ vào $A$ và tính giá trị.

b) Qui đồng, khử mẫu và rút gọn.

c) Tính $P=AB$ và xét dấu của hiệu $P-2$.

Cách giải:

a) Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x=9$.

Điều kiện : $x\ge 0,x\ne 1.$

Thay $x=9$ (tmđk) vào biểu thức $A$, ta có : $A=\frac{2\sqrt{9}-4}{\sqrt{9}-1}=\frac{2.3-4}{3-1}=\frac{2}{2}=1$

Vậy với $x=9$ thì $A=1.$

b) Rút gọn $B$.

Điều kiện : $x\ge 0,x\ne 1.$

$\begin{array}{c}B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\frac{3}{\sqrt{x}+1}+\frac{6\sqrt{x}-4}{1-x}\\ =\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\frac{3}{\sqrt{x}+1}-\frac{6\sqrt{x}-4}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\\ =\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)+3\left(\sqrt{x}-1\right)-6\sqrt{x}+4}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\\ =\frac{x+\sqrt{x}+3\sqrt{x}-3-6\sqrt{x}+4}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\\ =\frac{x-2\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\frac{{\left(\sqrt{x}-1\right)}^2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\\ =\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}.\end{array}$

Vậy $B=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}$ với $x\ge 0;x\ne 1$.

c) Đặt $P=A.B$. So sánh giá trị của $P$ với $2$.

Điều kiện : $x\ge 0,x\ne 1.$

Có $P=A.B=\frac{2\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}-1}.\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}=\frac{2\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}+1}$

Xét  $P-2=\frac{2\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}+1}-2$$=\frac{2\sqrt{x}-4-2\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}=\frac{-6}{\sqrt{x}+1}$

Vì  $-6<0;\sqrt{x}+1\ge 0$ với mọi $x\ge 0;x\ne 1$

$\Rightarrow \frac{-6}{\sqrt{x}+1}<0$ $\Rightarrow P-2<0\Rightarrow P<2$.

Vậy $P<2$.

Bài 3 (VD):

Phương pháp

a) Đường thẳng $d//d^{\prime }\iff \{\begin{array}{c}a=a^{\prime }\\ b\ne b^{\prime }\end{array}$.

b) Cho lần lượt $x=0,y=0$ tìm tọa độ các điểm đi qua và vẽ đồ thị.

c) Tìm tọa độ $A,B$.

Để $\Delta OAB$ vuông cân tại$O$$\Rightarrow OA=OB$

Cách giải:

a) Tìm $m$ để đường thẳng $\left(d\right)$ song song với đường thẳng $y=2x+5$.

Đường thẳng $\left(d\right)$ song song với đường thẳng $y=2x+5$

 $\iff \{\begin{array}{c}a=a^{\prime }\\ b\ne b^{\prime }\end{array}\iff \{\begin{array}{c}m-1=2\\ -4\ne 5\end{array}\iff m=3$.

Vậy $m=3$ thì thỏa mãn bài toán.

b) Vẽ đồ thị hàm số trên với $m$ tìm được ở câu a.

Với $m=3$, ta có : $\left(d\right):y=2x-4$.

Cho $x=0$ ta được $y=2.0-4=-4$ nên $M\left(0;-4\right)$.

Cho $y=0\Rightarrow 0=2x-4\iff x=2$ nên $N\left(2;0\right)$.

Đồ thị hàm số là đường thẳng $\left(d\right)$ đi qua hai điểm $\left(0;-4\right)$ và $\left(2;0\right)$

 

c) Đường thẳng $\left(d\right)$ cắt trục $Ox$ tại $A$,  cắt trục $Oy$ tại $B$. Tìm $m$ để tam giác $OAB$ vuông cân.

$\left(d\right)$ cắt hai trục $Ox;Oy$ tại $A,B$ thì $m-1\ne 0\iff m\ne 1$.

Cho $x=0\Rightarrow y=-4$$\Rightarrow B\left(0;-4\right)\Rightarrow OB=\left|-4\right|=4$.

Cho $y=0\Rightarrow x=\frac{4}{m-1}$$\Rightarrow A\left(\frac{4}{m-1};0\right)\Rightarrow OA=\frac{4}{\left|m-1\right|}$

Để $\Delta OAB$ vuông cân tại$O$$\Rightarrow OA=OB$

$\iff \frac{4}{\left|m-1\right|}=4\iff \left|m-1\right|=1\iff [\begin{array}{c}m=0\\ m=2\end{array}\left(tm\right)$

Vậy $m\in \left\{0;2\right\}$.

Bài 4 (TH): Phương pháp

Sử dụng giá trị lượng giác của một góc nhọn trong tam giác vuông để giải tam giác.

Cách giải:

Tính chiều cao của cây trong hình vẽ bên (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)

Chiều cao của cây là : $h=1,7+20.\tan {35}^{\circ }\approx 15,7m$.

Bài 5(VD):

Phương pháp

a) Gọi $K$ là trung điểm $OM$, chứng minh $KO=KM=KA=KB$ dựa vào tính chất tam giác vuông.

b) Sử dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông $OAM$.

c) Chứng minh $\Delta OCE\sim \Delta OFC\left(c.g.c\right)$ suy ra $\widehat{OCF}=\widehat{OEC}={90}^{\circ }$.

Cách giải:

Cho đường tròn $\left(O\right)$ và một điểm $M$ nằm ngoài đường tròn. Từ $M$ kẻ hai tiếp tuyến $MA,MB$ với đường tròn $\left(O\right)$ ($A$ và $B$là hai tiếp điểm). Gọi $I$ là giao điểm của $OM$ và $AB$. Kẻ đường kính $BC$ của $\left(O\right)$.

 

a) Chứng minh $4$ điểm $M,O,A,B$ cùng thuộc một đường tròn.

Gọi $K$ là trung điểm của $OM$$\Rightarrow OK=KM$.

Tam giác $OAM$ vuông tại $A$ nên $AK=KM=KO=\frac{1}{2}OM$(tính chất trung tuyến tam giác vuông).

Tam giác $OBM$ vuông tại $B$ nên $BK=KM=KO=\frac{1}{2}OM$(tính chất trung tuyến tam giác vuông).

Do đó $OK=KM=KA=KB$.

Suy ra $4$ điểm $O,A,M,B$ nằm trên đường tròn tâm $K$, đường kính $OM$.

b) Chứng minh $OI.OM=O{A}^2$.

Ta có : $OA=OB$ (bán kính)

$MA=MB$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

$\Rightarrow OM$ là trung trực của $AB$$\Rightarrow OM\perp AB$ tại $I$.

$\Delta OAM$ vuông tại $A$ đường cao $AI$ $\Rightarrow OI.OM=O{A}^2$ (hệ thức giữa cạnh và đường cao).

c) Qua $\left(O\right)$ vẽ đường thẳng vuông góc với $MC$ tại $E$ và cắt đường thẳng $BA$ tại $F$.

Xét $\Delta OFI$ và $\Delta OME$ có :

$\begin{array}{c}\angle Ochung\\ \angle OIF=\angle OEM={90}^0\end{array}$  

 (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

$\begin{array}{c}\Rightarrow OF.OE=OI.OM=O{A}^2=O{C}^2\\ \Rightarrow \frac{OF}{OC}=\frac{OC}{OE}.\end{array}$

Có $\Delta OCE$ và $\Delta OFC$  

Nên $\angle OCF=\angle OEC={90}^0$ (góc tương ứng)

$\Rightarrow FC$ là tiếp tuyến của $\left(O\right)$ (đpcm).

Bài 6 (VDC):

Phương pháp

Nhận xét : $P=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)$

Sử dụng bất đẳng thức $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge \frac{9}{a+b+c}$ để đánh giá.

Cách giải:

Cho ba số dương $x,y,z$ thay đổi nhưng luôn thỏa mãn điều kiện $x+y+z=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $P=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}$.

Ta có : $P=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)$

Mà $\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\ge \frac{9}{x+y+z+3}=\frac{9}{4}$

$\Rightarrow P\le 3-\frac{9}{4}=\frac{3}{4}$

Dấu  xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$.

Vạy $maxP=\frac{3}{4}\iff x=y=z=\frac{1}{3}$.

trithuchub.com