Đề thi giữa kì 1 Toán 10

Đề thi giữa kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo - Đề số 1

Đề bài

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Mệnh đề nào sau đây là phủ định của mệnh đề: “\(\exists x \in \mathbb{R}|{x^2} - 3x + 2 > 0\)”

     A. \(\exists x \in \mathbb{R}|{x^2} - 3x + 2 < 0\)

     B. \(\exists x \in \mathbb{R}|{x^2} - 3x + 2 \le 0\)

     C. \(\forall x \in \mathbb{R}|{x^2} - 3x + 2 \le 0\)

     D. \(\forall x \in \mathbb{R}|{x^2} - 3x + 2 > 0\)

 

Câu 2. Cho tập hợp \(A = \{ 1;2;5;7;8\} \) và \(B = \{ x \in \mathbb{N}|x \le 3\} \). Tập hợp \(A \cap B\) là:

     A. \(\{ 1;2\} \).              B. \(\{ 1\} \).                       C. \(\{ 2\} \).                       D. \(\emptyset \)

Câu 3. Mỗi học sinh của lớp 10A đều thích môn Toán hoặc môn Tiếng Anh, biết rằng có 30 học sinh thích môn Toán, 25 học sinh thích môn Tiếng Anh và 15 em học sinh thích cả hai môn. Hỏi lớp 10A có tất cả bao nhiêu học sinh?

     A. \(70\).                        B. \(60\).                              C. \(50\).                             D. \(40\).

Câu 4. Số tập hợp con của tập hợp A có 5 phần tử là :

     A. \(20\).                        B. \(25\).                              C. \(32\)                              D. \(35\).

Câu 5. Cặp số nào sau đây là nghiệm của bất phương trình \(3(x - 1) + 4(y - 2) < 5x + 3\)

     A. \((2;5)\).                    B. \(( - 2;3)\).                      C. \((0;6)\).                         D. \((4;5)\).

Câu 6. Miền nghiệm của bất phương trình \(x - 2y < 4\) là:

     A.                      B.  

     C.                        D. 

Câu 7. Giá trị nhỏ nhất của \(F(x;y) = x - 3y\), với điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\0 \le y \le 5\\x + y - 2 \ge 0\\3x - y \le 6\end{array} \right.\) 

     A.\(2\)                             B. \( - 6\)                              C.\( - \frac{{34}}{3}\)        D. \( - 15\)

Câu 8. Tập xác định của hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{{x^2} - 4}}\)

     A. \(\mathbb{R}\).       B. \(\mathbb{R}{\rm{\backslash }}\{ 2\} \)               C. \(\mathbb{R}{\rm{\backslash }}\{  - 2;2\} \).             D. \(\mathbb{R}{\rm{\backslash }}\{  - 2; - 1;2\} \).

Câu 9. Parabol \((P):y = {x^2} - 6x + 9\) có số điểm chung với trục hoành là

     A.\(0\)                             B. \(1\).                                C. \(2\).                          D. \(3\).

Câu 10. Cho hàm số \(f(x)\) xác định trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như sau:

Khẳng định nào sau đây đúng?

     A. \(f( - 3) > f( - 2)\)                                                      B. \(f(2) < f(\sqrt 5 )\)

     C. \(f(1) < f(0)\)                                                            D. \(f(2020) > f(2022)\)

Câu 11. Đường thẳng nào dưới đây song song với đường thẳng \(y = \sqrt 3 x + 1\)

     A. \(y =  - \sqrt 3 x + 1\)                                               B. \(y = \frac{{\sqrt 3 }}{3}x - 2\)           C. \(y = \sqrt 3 x + 5\).                                        D. \(y = \sqrt 3  - 5x\).

Câu 12. Cho hàm số \(f(x) = {x^2} - 4x + 10\). Khẳng định nào sau đây đúng?

     A. Hàm số nghịch biến trên \(( - \infty ;2)\), đồng biến trên \((2; + \infty )\).

     B. Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

     C. Hàm số nghịch biến trên \((2; + \infty )\), đồng biến trên \(( - \infty ;2)\).

     D. Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

II. PHẦN TỰ LUẬN

Câu 1. Xác định các tập hợp sau và biểu diễn chúng trên trục số.

a) \(( - \infty ;1) \cap ( - 2; + \infty )\)   b) \((3;7] \cup ( - 1;5]\)                c) \(( - 4;7]{\rm{\backslash }}[2; + \infty )\)

Câu 2. Cô Lan dự định mua tối đa 210 bông hoa gồm hoa tươi và hoa sáp về bán ngày lễ. Biết số hoa tươi cần mua ít nhất là 50 bông, số hoa sáp tối đa là 100 bông và số hoa sáp chiếm ít nhất \(\frac{1}{3}\) tổng số hoa. Lợi nhuận trung bình là 4 nghìn với một bông hoa tươi và  3 nghìn cho một bông hoa sáp. Vậy cô Lan cần mua bao nhiêu hoa mỗi loại để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Câu 3.

a) Xác định parabol (P) biết \((P):y = a{x^2} + bx + 2\) đi qua A(1;0) và có trục đối xứng \(x = \frac{3}{2}\)

b) Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trên.

Lời giải chi tiết

 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

THỰC HIỆN: BAN CHUYÊN MÔN trithuchub.com

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM

 

Câu 1:

Phương pháp:

Mệnh đề phủ định của mệnh đề “\(\exists x \in \mathbb{R}|P(x)\)” là “\(\forall x \in \mathbb{R}|\overline {P(x)} \)”

Cách giải:

Mệnh đề phủ định của mệnh đề: “\(\exists x \in \mathbb{R}|{x^2} - 3x + 2 > 0\)” là “\(\forall x \in \mathbb{R}|{x^2} - 3x + 2 \le 0\)”

Chọn C.

Câu 2:

Phương pháp:

Tập hợp \(A \cap B = \{ x \in A|x \in B\} \)

Cách giải:

\(A = \{ 1;2;5;7;8\} \) và \(B = \{ x \in \mathbb{N}|x \le 3\}  = \{ 0;1;2;3\} \).

Tập hợp \(A \cap B = \{ 1;2\} \)

Chọn A.

Câu 3:

Phương pháp:

Gọi A là tập hợp các học sinh thích môn Toán của lớp 10A.

B là là tập hợp các học sinh thích môn Tiếng Anh của lớp 10A.

Cách giải:

Gọi A là tập hợp các học sinh thích môn Toán của lớp 10A.

B là là tập hợp các học sinh thích môn Tiếng Anh của lớp 10A.

Suy ra : \(A \cup B\) là tập hợp các học sinh thích môn Toán và Tiếng Anh (hay là tập hợp HS lớp 10A)

\(A \cap B\) là tập hợp các học sinh thích cả hai môn Toán và Tiếng Anh

Ta có : \(n(A) = 30;n(B) = 25;n(A \cap B) = 15\)

\( \Rightarrow \) Số học sinh lớp 10A là : \(n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 30 + 25 - 15 = 40\)

Vậy lớp 10A có 40 học sinh.

Chọn D.

Câu 4:

Phương pháp:

Số tập hợp con của tập hợp A có n phần tử là : \({2^n}\)

Cách giải:

Số tập hợp con của tập hợp A có 5 phần tử là : \({2^5} = 32\)

Chọn C.

Câu 5:

Phương pháp:

Thay cặp số vào BPT, cặp số nào cho ta mệnh đề đúng thì cặp số đó là nghiệm của BPT đã cho.

Cách giải:

Xét bất phương trình :\(3(x - 1) + 4(y - 2) < 5x + 3\)

 \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3x - 3 + 4y - 8 - 5x - 3 < 0\\ \Leftrightarrow  - 2x + 4y - 14 < 0\\ \Leftrightarrow x - 2y + 7 > 0\end{array}\)

Lần lượt thay các cặp số vào BPT, ta được:

+ \(2 - 2.5 + 7 =  - 1 > 0\)sai nên \((2;5)\) không là nghiệm của bất phương trình

+ \( - 2 - 2.3 + 7 =  - 1 > 0\) sai nên \(( - 2;3)\) không là nghiệm của bất phương trình

+ \(0 - 2.6 + 7 =  - 5 > 0\) sai nên \((0;6)\) không là nghiệm của bất phương trình

+ \(4 - 2.5 + 7 = 1 > 0\) đúng nên \((4;5)\) là nghiệm của bất phương trình

Chọn D.

Câu 6:

Phương pháp:

Xác định đường thẳng \(x - 2y = 4\) và xét một điểm (không thuộc đường thẳng) xem có thuộc miền nghiệm hay không.

Cách giải:

Miền nghiệm của bất phương trình \(x - 2y < 4\) là:

Đường thẳng \(x - 2y = 4\) đi qua điểm có tọa độ (4;0) và (0; -2) => Loại C, D.

Xét điểm O(0;0), ta có: \(0 - 2.0 = 0 < 4\) nên O thuộc miền nghiệm.

Chọn A.

Câu 7:

Phương pháp:

Bước 1: Biểu diễn miền nghiệm, xác định các đỉnh của miền nghiệm

Bước 2: Thay tọa độ các đỉnh vào \(F(x;y) = x - 3y\), kết luận giá trị nhỏ nhất.

Cách giải:

Xét hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\0 \le y \le 5\\x + y - 2 \ge 0\\3x - y \le 6\end{array} \right.\)

Biểu diễn miền nghiệm của hệ, ta được

Miền nghiệm là miền tứ giác ABCD trong đó \(A\left( {0;2} \right),{\rm{ }}B\left( {0;5} \right),{\rm{ }}C\left( {\frac{{11}}{3};5} \right),D(2;0)\)

Thay tọa độ các điểm A, B, C, D vào \(F(x;y) = x - 3y\) ta được

\(F(0;2) = 0 - 3.2 =  - 6\)

\(F(0;5) = 0 - 3.5 =  - 15\)

\(F\left( {\frac{{11}}{3};5} \right) = \frac{{11}}{3} - 3.5 =  - \frac{{34}}{3}\)

\(F(2;0) = 2 - 3.0 = 2\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của F bằng -15.

Chọn D.

Câu 8:

Phương pháp:

\(\frac{{f(x)}}{{g(x)}}\) xác định khi \(g(x) \ne 0\)

Cách giải:

Hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{{x^2} - 4}}\) xác định khi \({x^2} - 4 \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\x \ne  - 2\end{array} \right.\)

Tập xác định là \(\mathbb{R}{\rm{\backslash }}\{  - 2;2\} \)

Chọn C.

Câu 9:

Phương pháp:

Số giao điểm của Parabol \((P):y = f(x)\) với trục hoành là số nghiệm của phương trình \(f(x) = 0\).

Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) với trục hoành là:

\(\begin{array}{l}{x^2} - 6x + 9 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow x - 3 = 0\\ \Leftrightarrow x = 3\end{array}\)

PT có nghiệm duy nhất \(x = 3\) nên parabol có đúng 1 điểm chung với trục hoành

Chọn B.

Câu 10:

Cách giải:

Từ bảng biến thiên ta suy ra

Hàm số đồng biến trên \(( - \infty ; - 1)\) và \((3; + \infty )\)

Hàm số nghịch biến trên \(( - 1;3)\)

+ Vì \( - 3, - 2 \in ( - \infty ; - 1)\) và \( - 3 <  - 2\) nên \(f( - 3) < f( - 2)\) => A sai.

+ Vì \(2,\sqrt 5  \in ( - 1;3)\) và \(2 < \sqrt 5 \) nên \(f(2) > f(\sqrt 5 )\) => B sai.

+ Vì \(0,1 \in ( - 1;3)\) và \(0 < 1\) nên \(f(0) > f(1)\) => C đúng.

+ Vì \(2000,2022 \in (3; + \infty )\) và \(2000 < 2022\) nên \(f(2020) < f(2022)\) => D sai.

Chọn C.

Câu 11:

Phương pháp:

Đường thẳng song song với đường thẳng \(y = ax + b\) có dạng \(y = ax + b'\) với \(b \ne b'\)

Cách giải:

Đường thẳng song song với đường thẳng \(y = \sqrt 3 x + 1\) có dạng \(y = \sqrt 3 x + b'\) với \(b' \ne 1\)

Chọn C.

Câu 12:

Cách giải:

Xét hàm số \(f(x) = {x^2} - 4x + 10\), có \(a = 1 > 0,b =  - 4,c = 10\)

\( \Rightarrow \frac{{ - b}}{{2a}} = 2;\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{ - {{( - 4)}^2} + 4.1.10}}{4} = 6\)

Bảng biến thiên:

 

Hàm số đồng biến trên \((2; + \infty )\) và nghịch biến trên \(( - \infty ;2)\).

Chọn A.

 

II. PHẦN TỰ LUẬN

Câu 1 (TH):

Phương pháp:

a) \(A \cap B = \{ x \in A|x \in B\} \)         

b) \(A \cup B = \{ x|x \in A\) hoặc \(x \in B\} \)

c) \(A{\rm{\backslash }}B = \{ x \in A|x \notin B\} \)

Cách giải:

a) Biểu diễn hai tập \(( - \infty ;1)\) và \(( - 2; + \infty )\) trên trục số, ta được:

 

Giao của hai tập hợp: \(( - \infty ;1) \cap ( - 2; + \infty ) = ( - 2;1)\)

b) Biểu diễn hai tập \((3;7]\) và \(( - 1;5]\) trên trục số, ta được:

 

Hợp của hai tập hợp: \((3;7] \cup ( - 1;5] = ( - 1;7]\)

c) Biểu diễn hai tập \(( - 4;7]\) và \([2; + \infty )\) trên trục số, ta được:

 

Hiệu của hai tập hợp: \(( - 4;7]{\rm{\backslash }}[2; + \infty ) = ( - 4;2)\)

 

Câu 2 (VD):

Cách giải:

Gọi số hoa tươi và hoa sáp cần mua lần lượt là x, y (bông). \((x,y \in \mathbb{N})\)

Mua tối đa 210 bông nên ta có: \(x + y \le 210\)

Số hoa tươi cần mua ít nhất là 50 bông, số hoa sáp tối đa là 100 bông hay \(x \ge 50;0 \le y \le 100\)

Số hoa sáp chiếm ít nhất \(\frac{1}{3}\) tổng số hoa nên \(y \ge \frac{1}{3}(x + y)\) hay \(x - 2y \le 0\)

Lợi nhuận thu được là: \(F(x;y) = 4x + 3y\)

Ta có hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 50\\0 \le y \le 100\\x + y \le 210\\x - 2y \le 0\end{array} \right.\)

Biểu diễn miền nghiệm trên hệ trục Oxy, ta được:

 

Miền nghiệm là miền tứ giác ABCD (kể cả các cạnh) , trong đó \(A(50;25),B(50;100),C(110;100),D(140;70)\)

Lần lượt thay tọa độ các điểm A, B, C, D vào biểu thức \(F(x;y) = 4x + 3y\) ta được:

\(\begin{array}{l}F(50;25) = 4.50 + 3.25 = 275\\F(50;100) = 4.50 + 3.100 = 500\\F(110;100) = 4.110 + 3.100 = 740\\F(140;70) = 4.140 + 3.70 = 770\end{array}\)

Do đó F đạt giá trị lớn nhất bằng 770 tại \(x = 140;y = 70\)

Vậy cô Lan cần mua 140 bông hoa tươi và 70 bông hoa sáp.

 

Câu 3:

Cách giải:

a) Parabol \((P):y = a{x^2} + bx + 2\) đi qua A(1;0) nên \(0 = a{.1^2} + b.1 + 2 \Leftrightarrow a + b =  - 2\)

Lại có: (P) có trục đối xứng \(x =  - \frac{b}{{2a}} = \frac{3}{2}\)\( \Rightarrow 3a =  - b\)

Từ đây ta tìm được \(a = 1,b =  - 3\)

Vậy parabol đó là \((P):y = {x^2} - 3x + 2\)

b) Parabol \((P):y = {x^2} - 3x + 2\) có \(a = 1 > 0,b =  - 3\)

Bảng biến thiên

 

Hàm số đồng biến trên \((\frac{3}{2}; + \infty )\) và nghịch biến trên \(( - \infty ;\frac{3}{2})\).

+ Vẽ đồ thị

Đỉnh \(I(\frac{3}{2};2)\)

(P) giao Ox tại \(A\left( {1;0} \right)\) và \(B(2;0)\)

(P) giao Oy tại điểm C(0;2)

Điểm D(3;2) đối xứng với C(0;2) qua trục đối xứng.

 

Đề thi giữa kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo - Đề số 2

Đề thi giữa kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo - Đề số 3

Đề thi giữa kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo - Đề số 4

Đề thi giữa kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo - Đề số 5

Đề thi giữa kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo - Đề số 6

Đề bài

Phần trắc nghiệm (7 điểm)

Câu 1: Chọn câu trả lời đúng.

A. Mệnh đề là một câu hỏi	B. Mệnh đề là một câu cảm thán
C. Mệnh đề là một khẳng định đúng hoặc sai	D. Cả A, B, C đều đúng

Câu 2: Mệnh đề “Tồn tại một số thực mà lập phương của nó bằng 10” được viết lại là:

A. \(\forall x \in \mathbb{Z},{x^3} = 10\)	B. \(\exists x \in \mathbb{R},{x^3} = 10\)
C. \(\forall x \in \mathbb{Q},{x^3} = 10\)	D. \(\exists x \in \mathbb{Q},{x^3} = 10\)

Câu 3: Chọn khẳng định sai:

A. Mệnh đề P có mệnh đề phủ định là \(\overline P \), nếu P đúng thì \(\overline P \) sai

B. Mệnh đề P có mệnh đề phủ định là \(\overline P \), \(\overline P \) đúng thì chưa khẳng định được P sai

C. Mệnh đề phủ định của mệnh đề P là mệnh đề không phải P, kí hiệu là \(\overline P \)

D. Mệnh đề P có mệnh đề phủ định là \(\overline P \), nếu P sai thì \(\overline P \) đúng

Câu 4: Tập hợp nào dưới đây cho bằng cách liệt kê các phần tử của tập hợp:

A. \(A = \left[ {1;2;3;4;5} \right]\)	B. \(A = \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\)
C. \(A = \left\{ {x \in \mathbb{Z}|0 < x < 5} \right\}\)	D. \(A = \left\{ {x \in \mathbb{Z}|0 < x < 5} \right\}\)

Câu 5: Tập hợp C gồm các số tự nhiên lẻ. Viết tập hợp C bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử.

A. \(C = \left\{ {x|x = 2n + 1,n \in \mathbb{N}} \right\}\)	B. \(C = \left\{ {1;3;5;7...} \right\}\)
C.  Cả A và B đều đúng.	D. Cả A và B đều sai

Câu 6: Tập hợp A gồm các chữ cái trong từ “NHA TRANG” là:

A. \(A = \left\{ {N,H,A,T,R,A,N,G} \right\}\)	B. \(A = \left\{ {H,A,T,R,A,N,G} \right\}\)
C.  \(A = \left[ {N,H,A,T,R,A,N,G} \right]\)	D. \(A = \left\{ {N,H,T,R,A,G} \right\}\)

Câu 7: Miền nghiệm của một hệ bất phương trình là miền không bị gạch chéo (tính cả bờ) như hình dưới. Điểm nào sau đây nằm trong miền nghiệm của hệ bất phương trình trên?

A. \(\left( { - 1;2} \right)\)	B. \(\left( {0; - 3} \right)\)
C. \(\left( { - 2;3} \right)\)	D. \(\left( {1;1} \right)\)

Câu 8: Trong các hệ bất phương trình dưới đây, hệ bất phương trình nào là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. \(\left\{ \begin{array}{l}5x + y - 3 = 0\\x - 2{y^2} + 3 = 7\end{array} \right.\)	B. \(\left\{ \begin{array}{l}x + y \ge 0\\x - y + 5 < 0\end{array} \right.\)
C. \(\left\{ \begin{array}{l}5x + y - z > 0\\x - 2y + 3 = 7\end{array} \right.\)	D. \(\left\{ \begin{array}{l}x + y \ge z\\x + 5 < y\end{array} \right.\)

Câu 9: Hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y > 0\\2x + 5y < 0\end{array} \right.\) có tập nghiệm là S. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \(\left( {1;1} \right) \in S\)	B. \(\left( { - 1; - 1} \right) \in S\)
C. \(\left( {1;\frac{{ - 1}}{2}} \right) \in S\)	D. \(\left( {1;\frac{1}{2}} \right) \in S\)

Câu 10: Miền nghiệm của bất phương trình \( - x + y > 1\) là:

A. Nửa mặt phẳng không kể bờ \(d: - x + y = 1\) chứa điểm O (0; 0)

B. Nửa mặt phẳng bờ \(d: - x + y = 1\) chứa điểm O (0; 0)

C. Nửa mặt phẳng bờ \(d: - x + y = 1\) không chứa điểm O (0; 0)

D. Nửa mặt phẳng không kể bờ \(d: - x + y = 1\) không chứa điểm O (0; 0)

Câu 11: Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. \(x - \frac{1}{2}y > 0\)	B. \({x^2} + 2x - y > 0\)
C. \(4y \le 11y\)	D. \(x + y - 5 > 0\)

Câu 12: Cho bất phương trình có miền nghiệm là phần không bị gạch chéo (không tính bờ) như hình dưới. Điểm nào sau đây nằm trong miền nghiệm của bất phương trình trên?

 

A. \(\left( {0;0} \right)\)	B. \(\left( {0;2} \right)\)
C. \(\left( {2;0} \right)\)	D. \(\left( {1;1} \right)\)

Câu 13: Với \({0^0} \le \alpha  \le {180^0}\) thì:

A. \(\sin \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) = \sin \alpha \)	B. \(\sin \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) =  - \sin \alpha \)
C. \(\sin \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) = 2\sin \alpha \)	D. \(\sin \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) = \frac{1}{2}\sin \alpha \)

Câu 14: Nếu \(\alpha \) là góc nhọn thì:

A. \(\sin \alpha  > 0\)	B. \(\cos \alpha  > 0\)
C. Cả A và B đều đúng	D. Cả A và B đều sai

Câu 15: Với \(\alpha  \ne {90^0}\), thì:

A. \(\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\)	B. \(\tan \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\)
C.  \(\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{2\cos \alpha }}\)	D. \(\tan \alpha  = \frac{{2\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\)

Câu 16: Giá trị của biểu thức \(A = \sin {30^0} + \cos {60^0}\) là:

A. \(A = \frac{5}{2}\)	B. \(A = \frac{1}{2}\)
C. \(A = \frac{3}{2}\)	D. \(A = 1\)

Câu 17: Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\). Khi đó:

A. \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)	B. \({a^2} = {b^2} - {c^2} - 2bc\cos A\)
C. \({a^2} = {b^2} + {c^2} + 2bc\cos A\)	D. \({a^2} = {c^2} - {b^2} - 2bc\cos A\)

Câu 18: Cho tam giác ABC có \(AC = 40cm,\widehat B = {45^0}\). Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:

A. 10cm	B. 20cm
C. \(10\sqrt 2 cm\)	D. \(20\sqrt 2 cm\)

Câu 19: Cho tam giác ABC có \(AB = 5cm,BC = 6cm,\widehat B = {45^0}.\) Diện tích tam giác ABC là:

A. \(\frac{{15\sqrt 2 }}{4}c{m^2}\)	B. \(\frac{{15\sqrt 2 }}{2}c{m^2}\)
C. \(30\sqrt 2 c{m^2}\)	D. \(15\sqrt 2 c{m^2}\)

Câu 20: Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\), \(p = \frac{{a + b + c}}{2}\). Diện tích S của tam giác ABC là:

A. \(S = p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)\)

B. \(S = \frac{1}{2}p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)\)

C. \(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \)

D. \(S = \frac{1}{2}\sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \)

Câu 21: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng?

A. 2020 là số chia hết cho 3

B. \(\pi  > 3,15\)

C. Tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác đều

D. Tam giác có hai góc bằng \({45^0}\) là tam giác vuông cân 

Câu 22: Cho mệnh đề: “Nghiệm của phương trình \({x^2} - 10 = 0\) là số vô tỉ”. Mệnh đề phủ định của mệnh đề trên là:

A. “Nghiệm của phương trình \({x^2} - 10 = 0\) không là số vô tỉ”

B. “Nghiệm của phương trình \({x^2} - 10 = 0\) là không số hữu tỉ”

C.  “Phương trình \({x^2} - 10 = 0\) vô nghiệm”

D. “Nghiệm của phương trình \({x^2} - 10 = 0\) không là số nguyên”

Câu 23: Cho số tự nhiên n. Xét mệnh đề: “Nếu n chia hết cho 16 thì n chia hết cho 4”. Mệnh đề đảo của mệnh đề đó là:

A. Nếu n chia hết cho 16 thì n không chia hết cho 4

B. Nếu n chia hết cho 4 thì n chia hết cho 16

C. Nếu n chia hết cho 4 thì n không chia hết cho 16

D. Nếu n không chia hết cho 16 thì n không chia hết cho 4

Câu 24: Tập hợp \(A = \left\{ {x \in \mathbb{R}|x < 2} \right\}\) được biểu diễn trên trục số là:

 

Câu 25: Cho các tập hợp \(A = \left\{ {1;\;2;\;3} \right\}\), \(B = \left\{ {2;\;3;\;4} \right\}\), \(C = \left\{ {1;2;3;4} \right\}\). Chọn khẳng định đúng.

A. \(A \subset B\)	B. \(A \cap B = C\)
C. \(A \cup B = C\)	D. \(A\backslash B = C\)

Câu 26: Chọn đáp án đúng:

A. \(\left( {2;5} \right) \subset \left[ {2;5} \right]\)	B. \(\left( {2;5} \right] \subset \left[ {2;5} \right]\)
C. \(\left[ {2;5} \right) \subset \left[ {2;5} \right]\)	D. Cả A, B, C đều đúng.

Câu 27: Cho bất phương trình: \(6x + 4y - 3 > 9\). Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ là:

 

Câu 28: Miền nghiệm của bất phương trình \(3x - 2y + 6 < 0\) là:

 

Câu 29: Cho hình vẽ sau:

 

Miền không gạch chéo (không kể đường thẳng \(\Delta \)) là miền nghiệm của bất phương trình nào dưới đây:

A. \(x - 2y - 1 \ge 0\)	B. \(x - 2y - 1 < 0\)
C. \(x - 2y - 1 \le 0\)	D. \(x - 2y - 1 > 0\)

Câu 30: Cho hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y \ge  - 2\\7x - 4y \le 16\\2x + y \ge  - 4\end{array} \right.\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F\left( {x;y} \right) = 3x - y\) với (x; y) thỏa mãn hệ bất phương trình trên là:

A. \( - 6\)	B. 6
C. \( - 12\)	D. 12

Câu 31: Cho tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \(\sin A = \sin \left( {B + C} \right)\)	B. \(\sin A =  - \sin \left( {B + C} \right)\)
C. \(\sin A = 2\sin \left( {B + C} \right)\)	D. \(\sin A =  - 2\sin \left( {B + C} \right)\)

Câu 32: Cho góc \(\alpha \left( {{0^0} < \alpha  < {{180}^0},\alpha  \ne {{90}^0}} \right)\) thỏa mãn \(\tan \alpha  = 2\). Giá trị của biểu thức \(P = \frac{{2\sin \alpha  - 3\cos \alpha }}{{3\sin \alpha  + 2\cos \alpha }}\) là:

A. \(P = 2\)	B. \(P = 8\)
C. \(P = \frac{1}{2}\)	D. \(P = \frac{1}{8}\)

Câu 33: Cho tam giác ABC có \(AB = 6cm,AC = 5cm,BC = 8cm\). Số đo góc A là (làm tròn đến hàng phần trăm)

A. \(\widehat A \approx 87,{14^0}\)	B. \(\widehat A \approx 87,{13^0}\)
C. \(\widehat A \approx 92,{87^0}\)	D. \(\widehat A \approx 92,{86^0}\)

Câu 34: Cho tam giác ABC có \(AB = 13cm,BC = 14cm,AC = 15cm\). Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:

A. 65cm	B. \(\frac{{65}}{8}cm\)
C. \(\frac{{65}}{2}cm\)	D. \(\frac{{65}}{4}cm\)

Câu 35: Cho tam giác ABC có diện tích bằng \(10\sqrt 3 c{m^2}\) và chu vi của tam giác bằng 20cm. Bán kính đường tròn nội tiếp r của tam giác trên là:

A. \(2\sqrt 3 cm\)	B. \(\sqrt 3 cm\)
C. 3cm	D. 2cm

Phần tự luận (3 điểm)

Bài 1. (1,0 điểm) Cho hai tập hợp \(A = \left[ { - 1;6} \right],B = \left[ {m - 4;2m + 3} \right)\).

a) Tìm tập hợp \(A \cap \mathbb{Z}\)                                                           b) Tìm m để \(A \cap B = \emptyset \)

Bài 2. (1,0 điểm)

Giả sử \(CD = h\) là chiều cao của một tòa tháp. Chọn hai điểm A và B trên mặt đất sao cho A, B, C thẳng hàng (xem hình vẽ). Ta đo được \(AB = 48m,\widehat {CAD} = \alpha  = {63^0},\widehat {CBD} = \beta  = {48^0}\). Tính chiều cao h của tòa tháp (kết quả làm tròn đến một chữ số thập phân).

Bài 3. (1,0 điểm) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh thỏa mãn \(B{C^4} - A{B^4} - A{C^4} = 0\). Chứng minh rằng tam giác ABC có ba góc nhọn.

-------- Hết --------

Lời giải chi tiết

Câu 7: Miền nghiệm của một hệ bất phương trình là miền không bị gạch chéo (tính cả bờ) như hình dưới. Điểm nào sau đây nằm trong miền nghiệm của hệ bất phương trình trên?

 

A. \(\left( { - 1;2} \right)\)	B. \(\left( {0; - 3} \right)\)
C. \(\left( { - 2;3} \right)\)	D. \(\left( {1;1} \right)\)

Phương pháp

Sử dụng kiến thức: Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là miền nghiệm của hệ bất phương trình đó. Miền nghiệm của hệ là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.

Lời giải

Trong các điểm trên, chỉ có điểm \(\left( {1;1} \right)\) thuộc miền không bị gạch chéo trong mặt phẳng tọa độ.

Vậy điểm có tọa độ \(\left( {1;1} \right)\) nằm trong miền nghiệm của hệ bất phương trình

Đáp án D

Câu 8: Trong các hệ bất phương trình dưới đây, hệ bất phương trình nào là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. \(\left\{ \begin{array}{l}5x + y - 3 = 0\\x - 2{y^2} + 3 = 7\end{array} \right.\)	B. \(\left\{ \begin{array}{l}x + y \ge 0\\x - y + 5 < 0\end{array} \right.\)
C. \(\left\{ \begin{array}{l}5x + y - z > 0\\x - 2y + 3 = 7\end{array} \right.\)	D. \(\left\{ \begin{array}{l}x + y \ge z\\x + 5 < y\end{array} \right.\)

Phương pháp

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y

Lời giải

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là \(\left\{ \begin{array}{l}x + y \ge 0\\x - y + 5 < 0\end{array} \right.\)

Đáp án B

Câu 9: Hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y > 0\\2x + 5y < 0\end{array} \right.\) có tập nghiệm là S. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \(\left( {1;1} \right) \in S\)	B. \(\left( { - 1; - 1} \right) \in S\)
C. \(\left( {1;\frac{{ - 1}}{2}} \right) \in S\)	D. \(\left( {1;\frac{1}{2}} \right) \in S\)

Phương pháp

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y. Mỗi nghiệm chung của các bất phương trình trong hệ được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đó.

Lời giải

Với \(x = 1;y = \frac{1}{2}\) thay vào hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y > 0\\2x + 5y < 0\end{array} \right.\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} > 0\\2.1 + 5.\frac{1}{2} = \frac{9}{2} < 0\left( {VL} \right)\end{array} \right.\) nên \(\left( {1;\frac{1}{2}} \right)\not  \in S\)

Với \(x = 1;y = 1\) thay vào hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y > 0\\2x + 5y < 0\end{array} \right.\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}1 + 1 = 2 > 0\\2.1 + 5.1 = 7 < 0\left( {VL} \right)\end{array} \right.\) nên \(\left( {1;1} \right)\not  \in S\)

Với \(x = 1;y = \frac{{ - 1}}{2}\) thay vào hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y > 0\\2x + 5y < 0\end{array} \right.\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} > 0\\2.1 - 5.\frac{1}{2} = \frac{{ - 1}}{2} < 0\end{array} \right.\) nên \(\left( {1;\frac{{ - 1}}{2}} \right) \in S\)

Với \(x =  - 1;y =  - 1\) thay vào hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y > 0\\2x + 5y < 0\end{array} \right.\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} - 1 - 1 > 0\left( {VL} \right)\\ - 2.1 - 5.1 =  - 7 < 0\end{array} \right.\) nên \(\left( { - 1; - 1} \right)\not  \in S\)

Đáp án C

Câu 10: Miền nghiệm của bất phương trình \( - x + y > 1\) là:

A. Nửa mặt phẳng không kể bờ \(d: - x + y = 1\) chứa điểm O (0; 0)

B. Nửa mặt phẳng bờ \(d: - x + y = 1\) chứa điểm O (0; 0)

C. Nửa mặt phẳng bờ \(d: - x + y = 1\) không chứa điểm O (0; 0)

D. Nửa mặt phẳng không kể bờ \(d: - x + y = 1\) không chứa điểm O (0; 0)

Phương pháp

Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình \(ax + by + c > 0\) như sau:

Bước 1: Trên mặt phẳng Oxy, vẽ đường thẳng \(d:ax + by + c = 0\)

Bước 2: Lấy một điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) không thuộc d. Tính \(a{x_0} + b{y_0} + c\)

Bước 3: Kết luận: + Nếu \(a{x_0} + b{y_0} + c < 0\) thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ d) không chứa điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)

+ Nếu \(a{x_0} + b{y_0} + c > 0\) thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ d) chứa điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)

Lời giải

Ta thấy điểm O (0; 0) không thuộc đường thẳng \(d: - x + y = 1\) và \(0 + 0 < 1\) nên điểm O không thuộc miền nghiệm của bất phương trình \( - x + y > 1\) . Vậy miền nghiệm của bất phương trình \( - x + y > 1\) là mặt phẳng không kể bờ \(d: - x + y = 1\) không chứa điểm O (0; 0)

Đáp án D

Câu 11: Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. \(x - \frac{1}{2}y > 0\)	B. \({x^2} + 2x - y > 0\)
C. \(4y \le 11y\)	D. \(x + y - 5 > 0\)

Phương pháp

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là bất phương trình có một trong các dạng

\(ax + by + c > 0,ax + by + c \ge 0,ax + by + c < 0,ax + by + c \le 0\)

Trong đó a, b, c là những số cho trước, a, b không đồng thời bằng 0 và x, y là các ẩn.

Lời giải

Bất phương trình \({x^2} + 2x - y > 0\) không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có chứa \({x^2}\)

Đáp án B

Câu 12: Cho bất phương trình có miền nghiệm là phần không bị gạch chéo (không tính bờ) như hình dưới. Điểm nào sau đây nằm trong miền nghiệm của bất phương trình trên?

 

A. \(\left( {0;0} \right)\)	B. \(\left( {0;2} \right)\)
C. \(\left( {2;0} \right)\)	D. \(\left( {1;1} \right)\)

Phương pháp

Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp các tọa độ là nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn được gọi là miền nghiệm của bất phương trình đó.

Lời giải

Trong các điểm ở trên, chỉ có điểm \(\left( {0;0} \right)\) thuộc miền không bị gạch chéo. Do đó, điểm \(\left( {0;0} \right)\) nằm trong miền nghiệm của bất phương trình trong hình.

Đáp án A

Câu 13: Với \({0^0} \le \alpha  \le {180^0}\) thì:

A. \(\sin \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) = \sin \alpha \)	B. \(\sin \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) =  - \sin \alpha \)
C. \(\sin \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) = 2\sin \alpha \)	D. \(\sin \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) = \frac{1}{2}\sin \alpha \)

Phương pháp

Với \({0^0} \le \alpha  \le {180^0}\) thì \(\sin \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) = \sin \alpha \)

Lời giải

Với \({0^0} \le \alpha  \le {180^0}\) thì \(\sin \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) = \sin \alpha \)

Đáp án A

Câu 14: Nếu \(\alpha \) là góc nhọn thì:

A. \(\sin \alpha  > 0\)	B. \(\cos \alpha  > 0\)
C. Cả A và B đều đúng	D. Cả A và B đều sai

Phương pháp

Nếu \(\alpha \) là góc nhọn thì \(\sin \alpha  > 0\), \(\cos \alpha  > 0\)

Lời giải

Nếu \(\alpha \) là góc nhọn thì \(\sin \alpha  > 0\), \(\cos \alpha  > 0\)

Đáp án C

Câu 15: Với \(\alpha  \ne {90^0}\), thì:

A. \(\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\)	B. \(\tan \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\)
C.  \(\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{2\cos \alpha }}\)	D. \(\tan \alpha  = \frac{{2\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\)

Phương pháp

Nếu \(\alpha  \ne {90^0}\) thì \(\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\)

Lời giải

Nếu \(\alpha  \ne {90^0}\) thì \(\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\)

Đáp án A

Câu 16: Giá trị của biểu thức \(A = \sin {30^0} + \cos {60^0}\) là:

A. \(A = \frac{5}{2}\)	B. \(A = \frac{1}{2}\)
C. \(A = \frac{3}{2}\)	D. \(A = 1\)

Phương pháp

\(\sin {30^0} = \frac{1}{2},\cos {60^0} = \frac{1}{2}\)

Lời giải

\(A = \sin {30^0} + \cos {60^0} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\)

Đáp án D

Câu 17: Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\). Khi đó:

A. \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)	B. \({a^2} = {b^2} - {c^2} - 2bc\cos A\)
C. \({a^2} = {b^2} + {c^2} + 2bc\cos A\)	D. \({a^2} = {c^2} - {b^2} - 2bc\cos A\)

Phương pháp

Định lý côsin: Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\) thì \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)

Lời giải  

Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\) thì theo định lí côsin ta có: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)

Đáp án A

Câu 18: Cho tam giác ABC có \(AC = 40cm,\widehat B = {45^0}\). Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:

A. 10cm	B. 20cm
C. \(10\sqrt 2 cm\)	D. \(20\sqrt 2 cm\)

Phương pháp

Định lí sin: Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\) và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là R. Khi đó, \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\)

Lời giải

Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC ta có: \(R = \frac{{CA}}{{2\sin B}} = \frac{{40}}{{2\sin {{45}^0}}} = 20\sqrt 2 \left( {cm} \right)\)

Đáp án D

Câu 19: Cho tam giác ABC có \(AB = 5cm,BC = 6cm,\widehat B = {45^0}.\) Diện tích tam giác ABC là:

A. \(\frac{{15\sqrt 2 }}{4}c{m^2}\)	B. \(\frac{{15\sqrt 2 }}{2}c{m^2}\)
C. \(30\sqrt 2 c{m^2}\)	D. \(15\sqrt 2 c{m^2}\)

Phương pháp

Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\) thì diện tích S của tam giác ABC là: \(S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ac\sin B\)

Lời giải

Diện tích tam giác ABC là: \(S = \frac{1}{2}AB.BC.\sin B = \frac{1}{2}.5.6.\sin {45^0} = \frac{{15\sqrt 2 }}{2}\left( {c{m^2}} \right)\)

Đáp án B

Câu 20: Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\), \(p = \frac{{a + b + c}}{2}\). Diện tích S của tam giác ABC là:

A. \(S = p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)\)

B. \(S = \frac{1}{2}p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)\)

C. \(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \)

D. \(S = \frac{1}{2}\sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \)

Phương pháp

Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\), \(p = \frac{{a + b + c}}{2}\) thì diện tích S của tam giác ABC là: \(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \)

Lời giải

Tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\), \(p = \frac{{a + b + c}}{2}\) thì diện tích S của tam giác ABC là:

\(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \)

Đáp án C

Câu 21: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng?

A. 2020 là số chia hết cho 3

B. \(\pi  > 3,15\)

C. Tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác đều

D. Tam giác có hai góc bằng \({45^0}\) là tam giác vuông cân 

Phương pháp

Một khẳng định đúng gọi là mệnh đề đúng, khẳng định sai gọi là mệnh đề sai.

Lời giải

Mệnh đề đúng là: Tam giác có hai góc bằng \({45^0}\) là tam giác vuông cân.

Đáp án D

Câu 22: Cho mệnh đề: “Nghiệm của phương trình \({x^2} - 10 = 0\) là số vô tỉ”. Mệnh đề phủ định của mệnh đề trên là:

A. “Nghiệm của phương trình \({x^2} - 10 = 0\) không là số vô tỉ”

B. “Nghiệm của phương trình \({x^2} - 10 = 0\) là không số hữu tỉ”

C.  “Phương trình \({x^2} - 10 = 0\) vô nghiệm”

D. “Nghiệm của phương trình \({x^2} - 10 = 0\) không là số nguyên”

Phương pháp

Mỗi mệnh đề P có mệnh đề phủ định, kí hiệu \(\overline P \). Mệnh đề P và mệnh đề phủ định \(\overline P \) của nó có tính đúng sai trái ngược nhau. Nghĩa là P đúng thì \(\overline P \) sai, khi P sai thì \(\overline P \) đúng.

Lời giải

Mệnh đề phủ định của mệnh đề trên là: Nghiệm của phương trình \({x^2} - 10 = 0\) không là số vô tỉ.

Đáp án A

Câu 23: Cho số tự nhiên n. Xét mệnh đề: “Nếu n chia hết cho 16 thì n chia hết cho 4”. Mệnh đề đảo của mệnh đề đó là:

A. Nếu n chia hết cho 16 thì n không chia hết cho 4

B. Nếu n chia hết cho 4 thì n chia hết cho 16

C. Nếu n chia hết cho 4 thì n không chia hết cho 16

D. Nếu n không chia hết cho 16 thì n không chia hết cho 4

Phương pháp

Mệnh đề đảo của mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) (hay “Nếu P thì Q”) là \(Q \Rightarrow P\) (hay “Nếu Q thì P”)

Lời giải

Mệnh đề đảo của mệnh đề trên là: Nếu n chia hết cho 4 thì n chia hết cho 16

Đáp án B

Câu 24: Tập hợp \(A = \left\{ {x \in \mathbb{R}|x < 2} \right\}\) được biểu diễn trên trục số là:

 

Phương pháp

Tập hợp \(\left\{ {x \in \mathbb{R}|x < a} \right\}\) kí hiệu là khoảng \(\left( { - \infty ;a} \right)\) được biểu diễn trên trục số là:

 

Lời giải

Tập hợp \(A = \left\{ {x \in \mathbb{R}|x < 2} \right\}\) được biểu diễn trên trục số là:

 

Đáp án A

Câu 25: Cho các tập hợp \(A = \left\{ {1;\;2;\;3} \right\}\), \(B = \left\{ {2;\;3;\;4} \right\}\), \(C = \left\{ {1;2;3;4} \right\}\). Chọn khẳng định đúng.

A. \(A \subset B\)	B. \(A \cap B = C\)
C. \(A \cup B = C\)	D. \(A\backslash B = C\)

Phương pháp

Tập hợp gồm những phần tử thuộc tập hợp A hoặc thuộc tập hợp B được gọi là hợp của A và B, kí hiệu \(A \cup B\).

Tập hợp gồm những phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B được gọi là giao của A và B, kí hiệu là \(A \cap B\).

Tập hợp gồm những phần tử thuộc A nhưng không thuộc B gọi là hiệu của A và B, kí hiệu \(A\backslash B\).

Lời giải

Ta có: \(A \cap B = \left\{ {2;3} \right\},A \cup B = \left\{ {1;2;3;4} \right\}\). Vậy \(A \cup B = C\)

Đáp án C

Câu 26: Chọn đáp án đúng:

A. \(\left( {2;5} \right) \subset \left[ {2;5} \right]\)	B. \(\left( {2;5} \right] \subset \left[ {2;5} \right]\)
C. \(\left[ {2;5} \right) \subset \left[ {2;5} \right]\)	D. Cả A, B, C đều đúng.

Phương pháp

Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập hợp B thì ta nói A là một tập con của tập hợp B, và viết là \(A \subset B\)

Lời giải

Các khẳng định đúng là: \(\left( {2;5} \right) \subset \left[ {2;5} \right]\), \(\left( {2;5} \right] \subset \left[ {2;5} \right]\), \(\left[ {2;5} \right) \subset \left[ {2;5} \right]\)

Đáp án D

Câu 27: Cho bất phương trình: \(6x + 4y - 3 > 9\). Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ là:

 

Phương pháp

Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình \(ax + by + c > 0\) như sau:

Bước 1: Trên mặt phẳng Oxy, vẽ đường thẳng \(d:ax + by + c = 0\)

Bước 2: Lấy một điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) không thuộc d. Tính \(a{x_0} + b{y_0} + c\)

Bước 3: Kết luận: + Nếu \(a{x_0} + b{y_0} + c < 0\) thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ d) không chứa điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)

+ Nếu \(a{x_0} + b{y_0} + c > 0\) thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ d) chứa điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)

Lời giải

Ta có: \(6x + 4y - 3 > 9 \Leftrightarrow 6x + 4y - 12 > 0 \Leftrightarrow 3x + 2y - 6 > 0\)

Ta thấy điểm O (0; 0) không thuộc đường thẳng \(3x + 2y - 6 = 0\) và \(3.0 + 2.0 - 6 < 0\) nên miền nghiệm của bất phương trình \(6x + 4y - 3 > 9\) là nửa mặt phẳng (không kể bờ d) không chứa điểm O.

Đáp án A

Câu 28: Miền nghiệm của bất phương trình \(3x - 2y + 6 < 0\) là:

 

Phương pháp

Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình \(ax + by + c < 0\) như sau:

Bước 1: Trên mặt phẳng Oxy, vẽ đường thẳng \(d:ax + by + c = 0\)

Bước 2: Lấy một điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) không thuộc d. Tính \(a{x_0} + b{y_0} + c\)

Bước 3: Kết luận: + Nếu \(a{x_0} + b{y_0} + c < 0\) thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ d) chứa điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)

+ Nếu \(a{x_0} + b{y_0} + c > 0\) thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ d) không chứa điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)

Lời giải

Nhận thấy, điểm O (0; 0) không thuộc đường thẳng \(d:3x - 2y + 6 = 0\) và \(3.0 - 2.0 + 6 > 0\) nên miền nghiệm của phương trình \(3x - 2y + 6 < 0\) là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d (không tính bờ) không chứa điểm O.

Đáp án B

Câu 29: Cho hình vẽ sau:

 

Miền không gạch chéo (không kể đường thẳng \(\Delta \)) là miền nghiệm của bất phương trình nào dưới đây:

A. \(x - 2y - 1 \ge 0\)	B. \(x - 2y - 1 < 0\)
C. \(x - 2y - 1 \le 0\)	D. \(x - 2y - 1 > 0\)

Phương pháp

Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình \(ax + by + c > 0\) như sau:

Bước 1: Trên mặt phẳng Oxy, vẽ đường thẳng \(d:ax + by + c = 0\)

Bước 2: Lấy một điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) không thuộc d. Tính \(a{x_0} + b{y_0} + c\)

Bước 3: Kết luận: + Nếu \(a{x_0} + b{y_0} + c < 0\) thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ d) không chứa điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)

+ Nếu \(a{x_0} + b{y_0} + c > 0\) thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ d) chứa điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)

Lời giải

Đường thẳng \(\Delta \) có phương trình là: \(x - 2y - 1 = 0\)

Ta thấy điểm O (0; 0) không thuộc đường thẳng \(\Delta \), \(0 - 2.0 - 1 < 0\) và điểm O không thuộc miền nghiệm của bất phương trình nên bất phương trình cần tìm là \(x - 2y - 1 > 0\).

Đáp án D

Câu 30: Cho hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y \ge  - 2\\7x - 4y \le 16\\2x + y \ge  - 4\end{array} \right.\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F\left( {x;y} \right) = 3x - y\) với (x; y) thỏa mãn hệ bất phương trình trên là:

A. \( - 6\)	B. 6
C. \( - 12\)	D. 12

Phương pháp

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F ta làm như sau:

Bước 1: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình trên, xác định các đỉnh của đa giác.

Bước 2: Tính giá trị biểu thức F tại các đỉnh của đa giác đó.

Bước 3: So sánh các giá trị thu được của F, giá trị nhỏ nhất của F là giá trị cần tìm.

Lời giải

Vẽ ba đường thẳng \({d_1}:x - 2y =  - 2,{d_2}:7x - 4y = 16,{d_3}:2x + y =  - 4\) và biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ Oxy ta được:

 

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tam giác ABC (kể cả các cạnh) với tọa độ các đỉnh \(A\left( {4;3} \right),B\left( {0; - 4} \right),C\left( { - 2;0} \right)\).

Tại \(A\left( {4;3} \right)\) ta có: \(F = 3.4 - 3 = 9\)

Tại \(B\left( {0; - 4} \right)\) ta có: \(F = 3.0 + 4 = 4\)

Tại \(C\left( { - 2;0} \right)\) ta có: \(F = 3.\left( { - 2} \right) - 0 =  - 6\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của F là \( - 6\) tại \(x =  - 2;y = 0\)

Đáp án A

Câu 31: Cho tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \(\sin A = \sin \left( {B + C} \right)\)	B. \(\sin A =  - \sin \left( {B + C} \right)\)
C. \(\sin A = 2\sin \left( {B + C} \right)\)	D. \(\sin A =  - 2\sin \left( {B + C} \right)\)

Phương pháp

Áp dụng công thức: \(\sin \alpha  = \sin \left( {{{180}^0} - \alpha } \right)\)

Lời giải

Tam giác ABC có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0} \Rightarrow \widehat A = {180^0} - \left( {\widehat B + \widehat C} \right)\)

Ta có: \(\sin A = \sin \left[ {{{180}^0} - \left( {B + C} \right)} \right] = \sin \left( {B + C} \right)\)

Đáp án A

Câu 32: Cho góc \(\alpha \left( {{0^0} < \alpha  < {{180}^0},\alpha  \ne {{90}^0}} \right)\) thỏa mãn \(\tan \alpha  = 2\). Giá trị của biểu thức \(P = \frac{{2\sin \alpha  - 3\cos \alpha }}{{3\sin \alpha  + 2\cos \alpha }}\) là:

A. \(P = 2\)	B. \(P = 8\)
C. \(P = \frac{1}{2}\)	D. \(P = \frac{1}{8}\)

Phương pháp

Sử dụng kiến thức \(\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\)

Lời giải

\(P = \frac{{2\sin \alpha  - 3\cos \alpha }}{{3\sin \alpha  + 2\cos \alpha }} = \frac{{2\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - 3}}{{3\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + 2}} = \frac{{2\tan \alpha  - 3}}{{3\tan \alpha  + 2}} = \frac{{2.2 - 3}}{{3.2 + 2}} = \frac{1}{8}\)

Đáp án D

Câu 33: Cho tam giác ABC có \(AB = 6cm,AC = 5cm,BC = 8cm\). Số đo góc A là (làm tròn đến hàng phần trăm)

A. \(\widehat A \approx 87,{14^0}\)	B. \(\widehat A \approx 87,{13^0}\)
C. \(\widehat A \approx 92,{87^0}\)	D. \(\widehat A \approx 92,{86^0}\)

Phương pháp

Định lí Côsin: Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\) thì \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)

Lời giải

Áp dụng định lí Côsin vào tam giác ABC ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos A\)

\( \Rightarrow {8^2} = {6^2} + {5^2} - 2.5.6.\cos A \Rightarrow \cos A = \frac{{ - 1}}{{20}} \Rightarrow \widehat A \approx 92,{87^0}\)

Đáp án C

Câu 34: Cho tam giác ABC có \(AB = 13cm,BC = 14cm,AC = 15cm\). Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:

A. 65cm	B. \(\frac{{65}}{8}cm\)
C. \(\frac{{65}}{2}cm\)	D. \(\frac{{65}}{4}cm\)

Phương pháp

Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\), p là nửa chu vi tam giác và R là bán kính đường tròn ngoài tiếp tam giác thì diện tích tam giác ABC là: \(S = \frac{{abc}}{{4R}} = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \)

Lời giải

Nửa chu vi tam giác ABC là: \(p = \frac{{13 + 14 + 15}}{2} = 21\left( {cm} \right)\)

Diện tích tam giác ABC là: \(S = \sqrt {21\left( {21 - 14} \right)\left( {21 - 15} \right)\left( {21 - 13} \right)}  = \sqrt {21.7.8.6}  = 84\left( {c{m^2}} \right)\)

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: \(\frac{{AB.AC.BC}}{{4.S}} = \frac{{13.14.15}}{{4.84}} = \frac{{65}}{8}\left( {cm} \right)\)

Đáp án B

Câu 35: Cho tam giác ABC có diện tích bằng \(10\sqrt 3 c{m^2}\) và chu vi của tam giác bằng 20cm. Bán kính đường tròn nội tiếp r của tam giác trên là:

A. \(2\sqrt 3 cm\)	B. \(\sqrt 3 cm\)
C. 3cm	D. 2cm

Phương pháp

Cho tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp là r, nửa chu vi tam giác là p thì diện tích của tam giác là \(S = pr\)

Lời giải

Nửa chu vi tam giác ABC là: \(\frac{{20}}{2} = 10\left( {cm} \right)\). Ta có: \(S = pr \Rightarrow r = \frac{S}{p} = \frac{{10\sqrt 3 }}{{10}} = \sqrt 3 \left( {cm} \right)\)

Đáp án B

Phần tự luận (3 điểm)

Bài 1. (1,0 điểm) Cho hai tập hợp \(A = \left[ { - 1;6} \right],B = \left[ {m - 4;2m + 3} \right)\).

a) Tìm tập hợp \(A \cap \mathbb{Z}\)

b) Tìm m để \(A \cap B = \emptyset \)

Phương pháp

Tập hợp gồm những phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B được gọi là giao của A và B, kí hiệu là \(A \cap B\).

Lời giải

a) \(A \cap \mathbb{Z} = \left\{ { - 1;0;1;2;3;4;5;6} \right\}\).

b) Ta có: \(A \cap B = \emptyset  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2m + 3 \le  - 1\\m - 4 > 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le  - 2\\m > 10\end{array} \right.\).

Bài 2. (1,0 điểm)

Giả sử \(CD = h\) là chiều cao của một tòa tháp. Chọn hai điểm A và B trên mặt đất sao cho A, B, C thẳng hàng (xem hình vẽ). Ta đo được \(AB = 48m,\widehat {CAD} = \alpha  = {63^0},\widehat {CBD} = \beta  = {48^0}\). Tính chiều cao h của tòa tháp (kết quả làm tròn đến một chữ số thập phân).

Phương pháp

Định lí sin: Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\) và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là R. Khi đó, \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\)

Lời giải

Vì góc DAC là góc ngoài tại đỉnh A của tam giác DAB nên \(\widehat {ADB} = \alpha  - \beta  = {15^0}\)

Áp dụng định lí sin vào tam giác ADB ta có:

\(\frac{{AD}}{{\sin \beta }} = \frac{{AB}}{{\sin \widehat {ADB}}} \Rightarrow AD = \frac{{48.\sin {{48}^0}}}{{\sin {{15}^0}}}\left( m \right)\)

Tam giác CDA vuông tại C nên \(DC = AD.\sin \alpha  \Rightarrow h = \frac{{48.\sin {{48}^0}}}{{\sin {{15}^0}}}.\sin {63^0} \approx 122,8\left( m \right)\)

Bài 3. (1,0 điểm) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh thỏa mãn \(B{C^4} - A{B^4} - A{C^4} = 0\). Chứng minh rằng tam giác ABC có ba góc nhọn.

Phương pháp

Định lý cosin: Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\) thì \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)

Lời giải

Ta có: \(B{C^4} - A{B^4} - A{C^4} = 0\) nên \(B{C^4} > A{C^4},B{C^4} > A{B^4} \Rightarrow BC > AC,BC > AB\), do đó, góc A là góc lớn nhất.

Lại có: \(B{C^4} - A{B^4} - A{C^4} = 0 \Rightarrow B{C^4} = A{B^4} + A{C^4} < A{B^2}.B{C^2} + A{C^2}.B{C^2} \Rightarrow B{C^2} < A{B^2} + A{C^2}\)

Do đó, \(\cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2AB.AC}} > 0\). Do đó, góc A nhọn.

Vậy tam giác ABC có ba góc nhọn.

Đề thi giữa kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo - Đề số 7

Đề bài

Phần trắc nghiệm (7 điểm)

Câu 1: Cho mệnh đề “P(x), \(x \in X\)”. Chọn câu trả lời đúng.

A. Phủ định của mệnh đề “\(\forall x \in X,P\left( x \right)\)” là “\(\exists x \in X,\overline {P\left( x \right)} \)”

B. Phủ định của mệnh đề “\(\forall x \in X,P\left( x \right)\)” là “\(\forall x \in X,\overline {P\left( x \right)} \)”

C. Phủ định của mệnh đề “\(\forall x \in X,P\left( x \right)\)” là “\(\exists x \in X,P\left( x \right)\)”

D. Cả A, B, C đều sai.

Câu 2: Kí hiệu “\(\forall \)” đọc là:

A. Tồn tại	B. Có duy nhất
C. Với mọi	D. Cả A, B, C đều sai

Câu 3: Chọn câu trả lời đúng

A. Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là một mệnh đề kéo theo và kí hiệu là \(P \Rightarrow Q\)

B. Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là một mệnh đề tương đương và kí hiệu là \(P \Rightarrow Q\)

C. Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là một mệnh đề kéo theo và kí hiệu là \(Q \Rightarrow P\)

D. Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là một mệnh đề kéo theo và kí hiệu là \(P \Leftrightarrow Q\)

Câu 4: Tập A là tập hợp các tháng của quý I trong một năm. Cách viết đúng tập hợp A là:

A. \(A = \)[tháng 1; tháng 2; tháng 3]

B. \(A = \){tháng 1; tháng 2; tháng 3}

C. \(A = \)(tháng 1; tháng 2; tháng 3)

D. Cả A, B, C đều đúng

Câu 5: Cho tập hợp \(C = \left\{ { - 2; - 1;0;1;2} \right\}\). Tập hợp được xác định bằng cách nêu tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó là:

A. \(C = \left\{ {x \in \mathbb{Z}| - 2 < x < 2} \right\}\)	B. \(C = \left\{ {x \in \mathbb{Z}| - 3 < x < 3} \right\}\)
C. \(C = \left\{ {x \in R| - 2 \le x \le 2} \right\}\)	D. Cả A và B đều đúng

Câu 6: Tập hợp nào sau đây viết đúng bằng cách liệt kê:

A. \(A = \left\{ {1; - 1;1; - 1} \right\}\)	B. \(A = \left( {1;2;3;4} \right)\)
C.  \(A = \left[ {1; - 1;1; - 1} \right]\)	D. \(A = \left\{ {1;2;3;4} \right\}\)

Câu 7: Miền nghiệm của một hệ bất phương trình là miền không bị gạch chéo (không tính cả bờ) như hình dưới. Điểm nào sau đây nằm trong miền nghiệm của hệ bất phương trình trên?

 

A. \(\left( {1;2} \right)\)	B. \(\left( {0; - 3} \right)\)
C. \(\left( {4;3} \right)\)	D. \(\left( {1;1} \right)\)

Câu 8: Hệ nào sau đây không là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 9y \ge 9\\30 + 2x \le 98\end{array} \right.\)	B. \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 0\\x - 2y + 5 = 0\end{array} \right.\)
C. \(\left\{ \begin{array}{l}x + y < 3\\6 + x < 4\end{array} \right.\)	D. \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2 \ge 9\\y - 4 \le 3\end{array} \right.\)

Câu 9: Hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y > 0\\2x + y \le 0\end{array} \right.\) có tập nghiệm là S. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \(\left( {1;1} \right) \in S\)	B. \(\left( { - 1;2} \right) \in S\)
C. \(\left( {1; - 3} \right) \in S\)	D. \(\left( {1;\frac{1}{2}} \right) \in S\)

Câu 10: Miền nghiệm của bất phương trình \( - x + y < 2\) là: 

A. Nửa mặt phẳng không kể bờ \(d: - x + y = 2\) chứa điểm O (0; 0)

B. Nửa mặt phẳng tính cả bờ \(d: - x + y = 2\) chứa điểm O (0; 0)

C. Nửa mặt phẳng tính cả bờ\(d: - x + y = 2\) không chứa điểm O (0; 0)

D. Nửa mặt phẳng không kể bờ \(d: - x + y = 2\) không chứa điểm O (0; 0)

Câu 11: Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. \(x - \frac{1}{2} > 0\)	B. \(x - \frac{1}{2}y + 6 \le 0\)
C. \(4y \ge \frac{3}{4}\)	D. \(\frac{{x - 7y}}{y} > 0\)

Câu 12: Cho bất phương trình có miền nghiệm là phần không bị gạch chéo (tính cả bờ) như hình dưới. Điểm nào sau đây không nằm trong miền nghiệm của bất phương trình trên?

 

A. \(\left( {0;0} \right)\)	B. \(\left( {0;2} \right)\)
C. \(\left( {2;0} \right)\)	D. \(\left( {1;0} \right)\)

Câu 13: Với \({0^0} \le \alpha  \le {180^0}\) thì:

A. \(\cos \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) = \cos \alpha \)	B. \(\cos \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) =  - \cos \alpha \)
C. \(\cos \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) = 2\cos \alpha \)	D. \(\cos \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) = \frac{1}{2}\cos \alpha \)

Câu 14: Cho tam giác ABC có \(\widehat A = {110^0}\). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \(\sin A > 0\)	B. \(\cos A > 0\)
C. \(\tan A > 0\)	D. \(\cot A > 0\)

Câu 15: Chọn câu trả lời đúng.

A. \(\sin {30^0} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)	B. \(\sin {30^0} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
C. \(\sin {30^0} = \frac{1}{2}\)	D. \(\sin {30^0} =  - \frac{1}{2}\)

Câu 16: Biết rằng \({0^0} \le \alpha  \le {180^0}\) và \(\tan \alpha  = 1\). Chọn đáp án đúng.

A. \(\alpha  = {30^0}\)	B. \(\alpha  = {45^0}\)
C. \(\alpha  = {60^0}\)	D. \(\alpha  = {145^0}\)

Câu 17: Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b,\widehat B = {60^0}\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \({b^2} = {a^2} + {c^2} + 2ac\)	B. \({b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac\)
C. \({b^2} = {a^2} + {c^2} + ac\)	D. \({b^2} = {a^2} + {c^2} - ac\)

Câu 18: Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \(\frac{a}{{\tan A}} = \frac{b}{{\tan B}} = \frac{c}{{\tan C}}\)	B. \(\frac{{\cos A}}{a} = \frac{{\cos B}}{b} = \frac{{\cos C}}{c}\)
C. \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\)	D. \(\frac{a}{{\cos A}} = \frac{b}{{\cos B}} = \frac{c}{{\cos C}}\)

Câu 19: Cho tam giác ABC có \(AC = 10cm,BC = 5cm,\widehat C = {30^0}.\) Diện tích tam giác ABC là:

A. \(\frac{{25}}{2}c{m^2}\)	B. \(\frac{{25}}{4}c{m^2}\)
C. \(25c{m^2}\)	D. \(\frac{{25\sqrt 3 }}{2}c{m^2}\)

Câu 20: Cho tam giác ABC có nửa chu là p, bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là r thì diện tích tam giác ABC là:

A. \(S = \frac{1}{2}pr\)	B. \(S = pr\)
C. \(S = \sqrt {pr} \)	D. \(S = 2pr\)

Câu 21: Câu nào sau đây không là mệnh đề?

A. Linh học giỏi quá!	B. \(6 < 0\)
C. \(19 - 22 = 3\)	D. Hình vuông có bốn góc vuông.

Câu 22: Cho mệnh đề A: “\(\exists x \in \mathbb{R},{x^2} - 3x + 2 = 0\)”. Mệnh đề phủ định của A là:

A. \(\exists x \in \mathbb{R},{x^2} - 3x + 2 \ne 0\)	B. \(\forall x \in \mathbb{R},{x^2} - 3x + 2 \ne 0\)
C.  \(\exists x \in \mathbb{R},{x^2} - 3x + 2 > 0\)	D. \(\exists x \in \mathbb{R},{x^2} - 3x + 2 < 0\)

Câu 23: Cho mệnh đề: “Nếu tam giác ABC có hai cạnh bằng nhau thì tam giác ABC là một tam giác cân”. Phát biểu mệnh đề trên bằng cách sử dụng khái niệm “điều kiện đủ”.

A. Tam tam giác ABC có hai cạnh bằng nhau là điều kiện đủ để tam giác ABC là một tam giác cân

B. Tam tam giác ABC có hai cạnh bằng nhau là điều kiện cần để tam giác ABC là một tam giác cân

C. ABC là tam giác cân là điều kiện cần để tam giác ABC có hai cạnh bằng nhau

D. ABC là tam giác cân là điều kiện đủ để tam giác ABC có hai cạnh bằng nhau

Câu 24: Tập hợp M được biểu diễn trên trục số như sau:

 

Tập hợp M là:

A. \(M = \left[ {2;7} \right)\)	B. \(M = \left\{ {x \in \mathbb{R}|2 < x < 7} \right\}\)
C. \(M = \left\{ {x \in \mathbb{R}|2 \le x \le 7} \right\}\)	D. \(M = \left( {2;7} \right)\)

Câu 25: Cho tập hợp \(A = \left[ { - 5;1} \right];B = \left( { - 2;5} \right]\). Khi đó, tập \(A \cup B\) là:

A. \(\left( {5; - 5} \right)\)	B. \(\left[ { - 5;5} \right]\)
C. \(\left[ { - 5;5} \right)\)	D. \(\left( { - 5;5} \right]\)
Câu 26: Cho A, B, C là ba tập hợp được minh họa như hình vẽ bên dưới. Phần gạch sọc trong hình vẽ là tập hợp nào sau đây? A. \(\left( {A \cap B} \right)\backslash C\) B. \(A\backslash \left( {B \cup C} \right)\) C. \(\left( {A \cup B} \right)\backslash C\) D. \(A\backslash \left( {B \cap C} \right)\)

Câu 27: Miền nghiệm (phần không bị gạch) của bất phương trình \( - 2x + y \ge 2\) là:

Câu 28: Miền nghiệm (phần không bị gạch) của bất phương trình \(3x + 2y + 6 > 0\) là:

 

Câu 29: Nửa mặt phẳng bờ d (không tính cả bờ) phần không bị gạch là nghiệm của bất phương trình nào?

 

A. \(x - 3y \ge 3\)	B. \(x + 3y < 3\)
C. \(x + 3y > 3\)	D. \(x - 3y >  - 3\)

Câu 30: Phần không gạch chéo (tính cả bờ) trong hình dưới đây là miền nghiệm của hệ bất phương trình nào?

 

A. \(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 3 \le 0\\ - 2x + y + 3 \ge 0\end{array} \right.\)	B. \(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 3 < 0\\ - 2x + y + 3 > 0\end{array} \right.\)
C. \(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 3 > 0\\ - 2x + y + 3 \ge 0\end{array} \right.\)	D. \(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 3 \ge 0\\ - 2x + y + 3 \ge 0\end{array} \right.\)

Câu 31: Chọn khẳng định đúng.

A. \(\cos A = \cos \left( {B + C} \right)\)	B. \(\cos A =  - \cos \left( {B + C} \right)\)
C. \(\cos A = 2\cos \left( {B + C} \right)\)	D. \(\cos A =  - 2\cos \left( {B + C} \right)\)

Câu 32: Cho \(\sin x = \frac{1}{4}\). Tính giá trị của \({\cos ^2}x\).

A. \(\frac{9}{8}\)	B. \(\frac{7}{8}\)
C. \(\frac{3}{4}\)	D. \(\frac{{15}}{{16}}\)

Câu 33: Cho tam giác ABC có \(BC = 10cm\) và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác bằng 6cm. Khi đó, số đo góc A là (làm tròn đến hàng phần trăm)

A. \(\widehat A \approx 56,{4^0}\)	B. \(\widehat A \approx 56,{45^0}\)
C. \(\widehat A \approx 56,{44^0}\)	D. \(\widehat A \approx 56,{5^0}\)

Câu 34: Cho tam giác ABC có \(AB = 2a,\widehat {BAC} = {120^0}.\) Chiều cao của tam giác BH của tam giác ABC là:

A. \(a\sqrt 3 cm\)	B. \(2a\sqrt 3 cm\)
C. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}cm\)	D. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{4}cm\)

Câu 35: Tam giác với ba cạnh 3cm; 4cm; 5cm có bán kính đường tròn nội tiếp tam giác r bằng bao nhiêu?

A. 2cm	B. \(\sqrt 3 cm\)
C. 3cm	D. 1cm

Phần tự luận (3 điểm)

Bài 1. (1,0 điểm) Cho hai tập hợp \(A = \left\{ {x \in \mathbb{N}\left| {{x^2} + 2x - 3 = 0} \right.} \right\};B = \left\{ {x \in \mathbb{Z}\left| {3{x^2} - 27 = 0} \right.} \right\}\). Tính \(A \cup B,B\backslash A.\)

Bài 2. (1,0 điểm) Đứng ở vị trí A trên bờ biển, bạn M đo được góc nghiêng so với bờ biển tới một vị trí C trên đảo là \({30^0}\). Sau đó di chuyển dọc bờ biển đến vị trí B cách A một khảng 50m và đo được góc nghiêng so với bờ biển tới vị trí C đã chọn là \({40^0}\). Tính khoảng cách từ vị trí C trên đảo tới bờ biển theo đơn vị mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

 

Bài 3. (1,0 điểm) Cho tam giác ABC với đường cao \({h_a},{h_b},{h_c}\) thỏa mãn \(\frac{{{h_a}}}{{{h_b}}} + \frac{{{h_b}}}{{{h_c}}} + \frac{{{h_c}}}{{{h_a}}} = \frac{{{h_b}}}{{{h_a}}} + \frac{{{h_c}}}{{{h_b}}} + \frac{{{h_a}}}{{{h_c}}}\). Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác cân.

 

-------- Hết --------

Lời giải chi tiết

Phần trắc nghiệm (7 điểm)

Câu 1: A	Câu 2: C	Câu 3: A	Câu 4: B	Câu 5: B	Câu 6: D	Câu 7:D
Câu 8: B	Câu 9: B	Câu 10: A	Câu 11: D	Câu 12: C	Câu 13: B	Câu 14: A
Câu 15: C	Câu 16: B	Câu 17: D	Câu 18: C	Câu 19: A	Câu 20: B	Câu 21: A
Câu 22: B	Câu 23: A	Câu 24: C	Câu 25: B	Câu 26: A	Câu 27: D	Câu 28: D
Câu 29: C	Câu 30: A	Câu 31: B	Câu 32: D	Câu 33: C	Câu 34: A	Câu 35: D

 

Câu 1: Cho mệnh đề “P(x), \(x \in X\)”. Chọn câu trả lời đúng.

A. Phủ định của mệnh đề “\(\forall x \in X,P\left( x \right)\)” là “\(\exists x \in X,\overline {P\left( x \right)} \)”

B. Phủ định của mệnh đề “\(\forall x \in X,P\left( x \right)\)” là “\(\forall x \in X,\overline {P\left( x \right)} \)”

C. Phủ định của mệnh đề “\(\forall x \in X,P\left( x \right)\)” là “\(\exists x \in X,P\left( x \right)\)”

D. Cả A, B, C đều sai.

Phương pháp

Cho mệnh đề “P(x), \(x \in X\)”. Phủ định của mệnh đề “\(\forall x \in X,P\left( x \right)\)” là “\(\exists x \in X,\overline {P\left( x \right)} \)”

Lời giải

Cho mệnh đề “P(x), \(x \in X\)”. Phủ định của mệnh đề “\(\forall x \in X,P\left( x \right)\)” là “\(\exists x \in X,\overline {P\left( x \right)} \)”

Đáp án A

Câu 2: Kí hiệu “\(\forall \)” đọc là:

A. Tồn tại	B. Có duy nhất
C. Với mọi	D. Cả A, B, C đều sai

Phương pháp

Kí hiệu \(\forall \) đọc là “với mọi”

Lời giải

Kí hiệu \(\forall \) đọc là “với mọi”

Đáp án C

Câu 3: Chọn câu trả lời đúng

A. Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là một mệnh đề kéo theo và kí hiệu là \(P \Rightarrow Q\)

B. Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là một mệnh đề tương đương và kí hiệu là \(P \Rightarrow Q\)

C. Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là một mệnh đề kéo theo và kí hiệu là \(Q \Rightarrow P\)

D. Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là một mệnh đề kéo theo và kí hiệu là \(P \Leftrightarrow Q\)

Phương pháp

Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là một mệnh đề kéo theo và kí hiệu là \(P \Rightarrow Q\)

Lời giải

Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là một mệnh đề kéo theo và kí hiệu là \(P \Rightarrow Q\)

Đáp án A

Câu 4: Tập A là tập hợp các tháng của quý I trong một năm. Cách viết đúng tập hợp A là:

A. \(A = \)[tháng 1; tháng 2; tháng 3]  B. \(A = \){tháng 1; tháng 2; tháng 3}

C. \(A = \)(tháng 1; tháng 2; tháng 3) D. Cả A, B, C đều đúng

Phương pháp

Khi liệt kê các phần tử của tập hợp, ta cần chú ý 1 số chú ý:

+ Các phần tử của tập hợp cho vào trong dấu ngoặc {}.

+ Các phần tử có thể viết theo thứ tự tùy ý.

+ Mỗi phần tử chỉ liệt kê một lần.

+ Nếu quy tắc các phần tử đủ rõ ràng thì người ta dùng “…” mà không nhất thiết viết ra tất cả các phần tử của tập hợp.

Lời giải

Cách viết đúng là: \(A = \){tháng 1; tháng 2; tháng 3}

Đáp án B

Câu 5: Cho tập hợp \(C = \left\{ { - 2; - 1;0;1;2} \right\}\). Tập hợp được xác định bằng cách nêu tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó là:

A. \(C = \left\{ {x \in \mathbb{Z}| - 2 < x < 2} \right\}\)	B. \(C = \left\{ {x \in \mathbb{Z}| - 3 < x < 3} \right\}\)
C. \(C = \left\{ {x \in R| - 2 \le x \le 2} \right\}\)	D. Cả A và B đều đúng

Phương pháp

Sử dụng kiến thức về viết tập hợp bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử của tập hợp.

Lời giải

\(C = \left\{ {x \in \mathbb{Z}| - 3 < x < 3} \right\}\)

Đáp án B

Câu 6: Tập hợp nào sau đây viết đúng bằng cách liệt kê:

A. \(A = \left\{ {1; - 1;1; - 1} \right\}\)	B. \(A = \left( {1;2;3;4} \right)\)
C.  \(A = \left[ {1; - 1;1; - 1} \right]\)	D. \(A = \left\{ {1;2;3;4} \right\}\)

Phương pháp

Khi liệt kê các phần tử của tập hợp, ta cần chú ý 1 số chú ý:

+ Các phần tử của tập hợp cho vào trong dấu ngoặc {}.

+ Các phần tử có thể viết theo thứ tự tùy ý.

+ Mỗi phần tử chỉ liệt kê một lần.

+ Nếu quy tắc các phần tử đủ rõ thì người ta dùng “…” mà không nhất thiết viết ra tất cả các phần tử của tập hợp.

Lời giải

Tập hợp viết đúng bằng cách liệt kê là: \(A = \left\{ {1;2;3;4} \right\}\)

Đáp án D

Câu 7: Miền nghiệm của một hệ bất phương trình là miền không bị gạch chéo (không tính cả bờ) như hình dưới. Điểm nào sau đây nằm trong miền nghiệm của hệ bất phương trình trên?

 

A. \(\left( {1;2} \right)\)	B. \(\left( {0; - 3} \right)\)
C. \(\left( {4;3} \right)\)	D. \(\left( {1;1} \right)\)

Phương pháp

Để biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ Oxy, ta thực hiện:

+ Trên cùng mặt phẳng tọa độ, biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình của hệ.

+ Phần giao của các miền nghiệm là nghiệm của hệ bất phương trình.

Lời giải

Trong các điểm trên, chỉ có điểm \(\left( {1;1} \right)\) thuộc miền không bị gạch chéo trong mặt phẳng tọa độ.

Điểm \(\left( {1;1} \right)\) nằm trong miền nghiệm của hệ bất phương trình

Đáp án D

Câu 8: Hệ nào sau đây không là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 9y \ge 9\\30 + 2x \le 98\end{array} \right.\)	B. \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 0\\x - 2y + 5 = 0\end{array} \right.\)
C. \(\left\{ \begin{array}{l}x + y < 3\\6 + x < 4\end{array} \right.\)	D. \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2 \ge 9\\y - 4 \le 3\end{array} \right.\)

Phương pháp

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y

Lời giải

Hệ không phải là hệ bất phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 0\\x - 2y + 5 = 0\end{array} \right.\) (đây là hệ chỉ gồm các phương trình)

Đáp án B

Câu 9: Hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y > 0\\2x + y \le 0\end{array} \right.\) có tập nghiệm là S. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \(\left( {1;1} \right) \in S\)	B. \(\left( { - 1;2} \right) \in S\)
C. \(\left( {1; - 3} \right) \in S\)	D. \(\left( {1;\frac{1}{2}} \right) \in S\)

Phương pháp

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y. Mỗi nghiệm chung của các bất phương trình trong hệ được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đó.

Lời giải

Với \(x = 1;y = \frac{1}{2}\) ta có: \(2.1 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2} > 0\) nên \(\left( {1;\frac{1}{2}} \right)\not  \in S\)

Với \(x = 1;y = 1\) ta có: \(2.1 + 1 = 3 > 0\) nên \(\left( {1;1} \right)\not  \in S\)

Với \(x = 1;y =  - 3\) ta có: \(1 - 3 < 0\) nên \(\left( {1; - 3} \right)\not  \in S\)

Với \(x =  - 1;y = 2\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} - 1 + 2 = 1 > 0\\2.\left( { - 1} \right) + 2 = 0 \le 0\end{array} \right.\) nên \(\left( { - 1;2} \right) \in S\)

Đáp án B

Câu 10: Miền nghiệm của bất phương trình \( - x + y < 2\) là: 

A. Nửa mặt phẳng không kể bờ \(d: - x + y = 2\) chứa điểm O (0; 0)

B. Nửa mặt phẳng tính cả bờ \(d: - x + y = 2\) chứa điểm O (0; 0)

C. Nửa mặt phẳng tính cả bờ\(d: - x + y = 2\) không chứa điểm O (0; 0)

D. Nửa mặt phẳng không kể bờ \(d: - x + y = 2\) không chứa điểm O (0; 0)

Phương pháp

Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình \(ax + by + c < 0\) như sau:

Bước 1: Trên mặt phẳng Oxy, vẽ đường thẳng \(d:ax + by + c = 0\)

Bước 2: Lấy một điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) không thuộc d. Tính \(a{x_0} + b{y_0} + c\)

Bước 3: Kết luận: + Nếu \(a{x_0} + b{y_0} + c < 0\) thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ d) chứa điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)

+ Nếu \(a{x_0} + b{y_0} + c > 0\) thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ d) không chứa điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)

Lời giải

Ta thấy điểm O (0; 0) không thuộc đường thẳng \(d: - x + y = 2\) và \(0 + 0 < 2\) nên điểm O thuộc miền nghiệm của bất phương trình \( - x + y < 2\) là mặt phẳng không kể bờ \(d: - x + y = 2\) chứa điểm O (0; 0).

Đáp án A

Câu 11: Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. \(x - \frac{1}{2} > 0\)	B. \(x - \frac{1}{2}y + 6 \le 0\)
C. \(4y \ge \frac{3}{4}\)	D. \(\frac{{x - 7y}}{y} > 0\)

Phương pháp

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là bất phương trình có một trong các dạng

\(ax + by + c > 0,ax + by + c \ge 0,ax + by + c < 0,ax + by + c \le 0\)

Trong đó a, b, c là những số cho trước, a, b không đồng thời bằng 0 và x, y là các ẩn.

Lời giải

Bất phương trình \(\frac{{x - 7y}}{{{y^2}}} > 0\) không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Đáp án D

Câu 12: Cho bất phương trình có miền nghiệm là phần không bị gạch chéo (tính cả bờ) như hình dưới. Điểm nào sau đây không nằm trong miền nghiệm của bất phương trình trên?

 

A. \(\left( {0;0} \right)\)	B. \(\left( {0;2} \right)\)
C. \(\left( {2;0} \right)\)	D. \(\left( {1;0} \right)\)

Phương pháp

Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình \(ax + by + c > 0\) như sau:

Bước 1: Trên mặt phẳng Oxy, vẽ đường thẳng \(d:ax + by + c = 0\)

Bước 2: Lấy một điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) không thuộc d. Tính \(a{x_0} + b{y_0} + c\)

Bước 3: Kết luận: + Nếu \(a{x_0} + b{y_0} + c < 0\) thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ d) không chứa điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)

+ Nếu \(a{x_0} + b{y_0} + c > 0\) thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ d) chứa điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)

Lời giải

Trong các điểm ở trên, chỉ có điểm \(\left( {2;0} \right)\) thuộc miền bị gạch chéo. Do đó, điểm \(\left( {2;0} \right)\) không nằm trong miền nghiệm của bất phương trình.

Đáp án C

Câu 13: Với \({0^0} \le \alpha  \le {180^0}\) thì:

A. \(\cos \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) = \cos \alpha \)	B. \(\cos \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) =  - \cos \alpha \)
C. \(\cos \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) = 2\cos \alpha \)	D. \(\cos \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) = \frac{1}{2}\cos \alpha \)

Phương pháp

Với \({0^0} \le \alpha  \le {180^0}\) thì \(\cos \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) =  - \cos \alpha \)

Lời giải

Với \({0^0} \le \alpha  \le {180^0}\) thì \(\cos \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) =  - \cos \alpha \)

Đáp án B

Câu 14: Cho tam giác ABC có \(\widehat A = {110^0}\). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \(\sin A > 0\)	B. \(\cos A > 0\)
C. \(\tan A > 0\)	D. \(\cot A > 0\)

Phương pháp

Nếu \(\alpha \) là góc tù thì \(\sin \alpha  > 0\), \(\cos \alpha  < 0,\tan \alpha  < 0,\cot \,\alpha  < 0\)

Lời giải

Vì góc A là góc tù nên \(\sin A > 0\), \(\cos A < 0,\tan A < 0,\cot \,A < 0\)

Đáp án A

Câu 15: Chọn câu trả lời đúng.

A. \(\sin {30^0} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)	B. \(\sin {30^0} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
C. \(\sin {30^0} = \frac{1}{2}\)	D. \(\sin {30^0} =  - \frac{1}{2}\)

Phương pháp

\(\sin {30^0} = \frac{1}{2}\)

Lời giải

\(\sin {30^0} = \frac{1}{2}\)

Đáp án C

Câu 16: Biết rằng \({0^0} \le \alpha  \le {180^0}\) và \(\tan \alpha  = 1\). Chọn đáp án đúng.

A. \(\alpha  = {30^0}\)	B. \(\alpha  = {45^0}\)
C. \(\alpha  = {60^0}\)	D. \(\alpha  = {145^0}\)

Phương pháp

\(\tan {45^0} = 1\)

Lời giải

Vì \(\tan {45^0} = 1\) nên \(\alpha  = {45^0}\)

Đáp án B

Câu 17: Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b,\widehat B = {60^0}\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \({b^2} = {a^2} + {c^2} + 2ac\)	B. \({b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac\)
C. \({b^2} = {a^2} + {c^2} + ac\)	D. \({b^2} = {a^2} + {c^2} - ac\)

Phương pháp

Định lí côsin: Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\) thì \({b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac\cos B\)

Lời giải

Áp dụng định lí côsin vào tam giác ABC ta có: \({b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac\cos B = {a^2} + {c^2} - 2ac\cos {60^0} = {a^2} + {c^2} - ac\)

Đáp án D

Câu 18: Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \(\frac{a}{{\tan A}} = \frac{b}{{\tan B}} = \frac{c}{{\tan C}}\)	B. \(\frac{{\cos A}}{a} = \frac{{\cos B}}{b} = \frac{{\cos C}}{c}\)
C. \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\)	D. \(\frac{a}{{\cos A}} = \frac{b}{{\cos B}} = \frac{c}{{\cos C}}\)

Phương pháp

Định lí sin: Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\) và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là R. Khi đó, \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\)

Lời giải

Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC ta có: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\)

Đáp án C

Câu 19: Cho tam giác ABC có \(AC = 10cm,BC = 5cm,\widehat C = {30^0}.\) Diện tích tam giác ABC là:

A. \(\frac{{25}}{2}c{m^2}\)	B. \(\frac{{25}}{4}c{m^2}\)
C. \(25c{m^2}\)	D. \(\frac{{25\sqrt 3 }}{2}c{m^2}\)

Phương pháp

Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\) thì diện tích S của tam giác ABC là: \(S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ac\sin B\)

Lời giải

Diện tích tam giác ABC là: \(S = \frac{1}{2}AC.BC.\sin C = \frac{1}{2}.10.5.\sin {30^0} = \frac{{25}}{2}\left( {c{m^2}} \right)\)

Đáp án A

Câu 20: Cho tam giác ABC có nửa chu là p, bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là r thì diện tích tam giác ABC là:

A. \(S = \frac{1}{2}pr\)	B. \(S = pr\)
C. \(S = \sqrt {pr} \)	D. \(S = 2pr\)

Phương pháp

Cho tam giác ABC có nửa chu là p, bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là r thì diện tích S của tam giác ABC là: \(S = pr\)

Lời giải

Cho tam giác ABC có nửa chu là p, bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là r thì diện tích tam giác ABC là \(S = pr\)

Đáp án B

Câu 21: Câu nào sau đây không là mệnh đề?

A. Linh học giỏi quá!	B. \(6 < 0\)
C. \(19 - 22 = 3\)	D. Hình vuông có bốn góc vuông.

Phương pháp

Mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc sai

Lời giải

Câu không là mệnh đề là: Linh học giỏi quá!

Đáp án A

Câu 22: Cho mệnh đề A: “\(\exists x \in \mathbb{R},{x^2} - 3x + 2 = 0\)”. Mệnh đề phủ định của A là:

A. \(\exists x \in \mathbb{R},{x^2} - 3x + 2 \ne 0\)	B. \(\forall x \in \mathbb{R},{x^2} - 3x + 2 \ne 0\)
C.  \(\exists x \in \mathbb{R},{x^2} - 3x + 2 > 0\)	D. \(\exists x \in \mathbb{R},{x^2} - 3x + 2 < 0\)

Phương pháp

Cho mệnh đề “P(x), \(x \in X\)”.  Phủ định của mệnh đề \(\exists x \in X,P\left( x \right)\) là: \(\forall x \in X,\overline {P\left( x \right)} \)

Lời giải

Mệnh đề phủ định của mệnh đề trên là: \(\forall x \in \mathbb{R},{x^2} - 3x + 2 \ne 0\)

Đáp án B

Câu 23: Cho mệnh đề: “Nếu tam giác ABC có hai cạnh bằng nhau thì tam giác ABC là một tam giác cân”. Phát biểu mệnh đề trên bằng cách sử dụng khái niệm “điều kiện đủ”.

A. Tam tam giác ABC có hai cạnh bằng nhau là điều kiện đủ để tam giác ABC là một tam giác cân B. Tam tam giác ABC có hai cạnh bằng nhau là điều kiện cần để tam giác ABC là một tam giác cân

C. ABC là tam giác cân là điều kiện cần để tam giác ABC có hai cạnh bằng nhau D. ABC là tam giác cân là điều kiện đủ để tam giác ABC có hai cạnh bằng nhau

Phương pháp

Khi \(P \Rightarrow Q\) là định lí, ta nói P là điều kiện đủ để có Q, Q là điều kiện cần để có P.

Lời giải

Phát biểu mệnh đề bằng cách sử dụng “điều kiện đủ” là: Tam tam giác ABC có hai cạnh bằng nhau là điều kiện đủ để tam giác ABC làm một tam giác cân

Đáp án A

Câu 24: Tập hợp M được biểu diễn trên trục số như sau:

 

Tập hợp M là:

A. \(M = \left[ {2;7} \right)\)	B. \(M = \left\{ {x \in \mathbb{R}|2 < x < 7} \right\}\)
C. \(M = \left\{ {x \in \mathbb{R}|2 \le x \le 7} \right\}\)	D. \(M = \left( {2;7} \right)\)

Phương pháp

Tập hợp \(\left\{ {x \in \mathbb{R}|a \le x \le b} \right\}\) kí hiệu là khoảng \(\left[ {a;b} \right]\) được biểu diễn trên trục số là:

 

Lời giải

Tập hợp M thỏa mãn là: \(M = \left\{ {x \in \mathbb{R}|2 \le x \le 7} \right\}\); \(M = \left[ {2;7} \right]\)

Đáp án C

Câu 25: Cho tập hợp \(A = \left[ { - 5;1} \right];B = \left( { - 2;5} \right]\). Khi đó, tập \(A \cup B\) là:

A. \(\left( {5; - 5} \right)\)	B. \(\left[ { - 5;5} \right]\)
C. \(\left[ { - 5;5} \right)\)	D. \(\left( { - 5;5} \right]\)

Phương pháp

Tập hợp gồm những phần tử thuộc tập hợp A hoặc thuộc tập hợp B được gọi là hợp của A và B, kí hiệu \(A \cup B\).

Lời giải

Ta có: \(A \cup B = \left[ { - 5;5} \right]\)

Đáp án B

Câu 26: Cho A, B, C là ba tập hợp được minh họa như hình vẽ bên dưới. Phần gạch sọc trong hình vẽ là tập hợp nào sau đây? A. \(\left( {A \cap B} \right)\backslash C\) B. \(A\backslash \left( {B \cup C} \right)\) C. \(\left( {A \cup B} \right)\backslash C\) D. \(A\backslash \left( {B \cap C} \right)\)

Phương pháp

Tập hợp gồm những phần tử thuộc tập hợp A hoặc thuộc tập hợp B được gọi là hợp của A và B, kí hiệu \(A \cup B\).

Tập hợp gồm những phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B được gọi là giao của A và B, kí hiệu là \(A \cap B\).

Tập hợp gồm những phần tử thuộc A nhưng không thuộc B gọi là hiệu của A và B, kí hiệu \(A\backslash B\).

Lời giải

Phần gạch sọc là gồm những phần tử vừa thuộc tập hợp A, vừa thuộc tập hợp B nhưng không thuộc tập hợp C. Do đó, phần gạch sọc trong hình vẽ là tập hợp: \(\left( {A \cap B} \right)\backslash C\)

Đáp án A

Câu 27: Miền nghiệm (phần không bị gạch) của bất phương trình \( - 2x + y \ge 2\) là:

 

Phương pháp

Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình \(ax + by + c > 0\) như sau:

Bước 1: Trên mặt phẳng Oxy, vẽ đường thẳng \(d:ax + by + c = 0\)

Bước 2: Lấy một điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) không thuộc d. Tính \(a{x_0} + b{y_0} + c\)

Bước 3: Kết luận: + Nếu \(a{x_0} + b{y_0} + c < 0\) thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ d) không chứa điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)

+ Nếu \(a{x_0} + b{y_0} + c > 0\) thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ d) chứa điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)

Lời giải

Ta thấy điểm O (0; 0) không thuộc đường thẳng \(d: - 2x + y - 2 = 0\) và \( - 2.0 + 0 - 2 < 0\) nên miền nghiệm của bất phương trình \( - 2x + y \ge 2\) là nửa mặt phẳng (kể cả bờ d) không chứa điểm O.

Đáp án D

Câu 28: Miền nghiệm (phần không bị gạch) của bất phương trình \(3x + 2y + 6 > 0\) là:

 

Phương pháp

Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình \(ax + by + c > 0\) như sau:

Bước 1: Trên mặt phẳng Oxy, vẽ đường thẳng \(d:ax + by + c = 0\)

Bước 2: Lấy một điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) không thuộc d. Tính \(a{x_0} + b{y_0} + c\)

Bước 3: Kết luận: + Nếu \(a{x_0} + b{y_0} + c < 0\) thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ d) không chứa điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)

+ Nếu \(a{x_0} + b{y_0} + c > 0\) thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ d) chứa điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)

Lời giải

Nhận thấy, điểm O (0; 0) không thuộc đường thẳng \(d:3x + 2y + 6 = 0\) và \(3.0 + 2.0 + 6 > 0\) nên miền nghiệm của bất phương trình \( - 3x + 2y + 6 > 0\) là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d (không tính cả bờ) chứa điểm O.

Đáp án D

Câu 29: Nửa mặt phẳng bờ d (không tính cả bờ) phần không bị gạch là nghiệm của bất phương trình nào?

 

A. \(x - 3y \ge 3\)	B. \(x + 3y < 3\)
C. \(x + 3y > 3\)	D. \(x - 3y >  - 3\)

Phương pháp

Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình \(ax + by + c > 0\) như sau:

Bước 1: Trên mặt phẳng Oxy, vẽ đường thẳng \(d:ax + by + c = 0\)

Bước 2: Lấy một điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) không thuộc d. Tính \(a{x_0} + b{y_0} + c\)

Bước 3: Kết luận: + Nếu \(a{x_0} + b{y_0} + c < 0\) thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ d) không chứa điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)

+ Nếu \(a{x_0} + b{y_0} + c > 0\) thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ d) chứa điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)

Lời giải

Đường thẳng d có phương trình là: \(x + 3y - 3 = 0\)

Ta thấy điểm O (0; 0) không thuộc đường thẳng d, \(0 + 3.0 - 3 < 0\) và O không thuộc miền nghiệm của bất phương trình nên bất phương trình cần tìm là \(x + 3y > 3\).

Đáp án C

Câu 30: Phần không gạch chéo (tính cả bờ) trong hình dưới đây là miền nghiệm của hệ bất phương trình nào?

 

A. \(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 3 \le 0\\ - 2x + y + 3 \ge 0\end{array} \right.\)	B. \(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 3 < 0\\ - 2x + y + 3 > 0\end{array} \right.\)
C. \(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 3 > 0\\ - 2x + y + 3 \ge 0\end{array} \right.\)	D. \(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 3 \ge 0\\ - 2x + y + 3 \ge 0\end{array} \right.\)

Phương pháp

Để biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ Oxy, ta thực hiện:

+ Trên cùng mặt phẳng tọa độ, biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình của hệ.

+ Phần giao của các miền nghiệm là nghiệm của hệ bất phương trình.

Lời giải

Dựa vào hình vẽ ta thấy đồ thị gồm hai đường thẳng \(d:x + y - 3 = 0\) và \(d': - 2x + y + 3 = 0\)

Lại có: Điểm O (0; 0) thuộc miền nghiệm của cả hai bất phương trình

Do đó, hệ bất phương trình biểu diễn miền nghiệm trên là: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 3 \le 0\\ - 2x + y + 3 \ge 0\end{array} \right.\)

Đáp án A

Câu 31: Chọn khẳng định đúng.

A. \(\cos A = \cos \left( {B + C} \right)\)	B. \(\cos A =  - \cos \left( {B + C} \right)\)
C. \(\cos A = 2\cos \left( {B + C} \right)\)	D. \(\cos A =  - 2\cos \left( {B + C} \right)\)

Phương pháp

Áp dụng công thức: \(\cos \alpha  = \cos \left( {{{180}^0} - \alpha } \right)\)

Lời giải

Tam giác ABC có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0} \Rightarrow \widehat A = {180^0} - \left( {\widehat B + \widehat C} \right)\)

Ta có: \(\cos A = \cos \left[ {{{180}^0} - \left( {B + C} \right)} \right] =  - \cos \left( {B + C} \right)\)

Đáp án B

Câu 32: Cho \(\sin x = \frac{1}{4}\). Tính giá trị của \({\cos ^2}x\).

A. \(\frac{9}{8}\)	B. \(\frac{7}{8}\)
C. \(\frac{3}{4}\)	D. \(\frac{{15}}{{16}}\)

Phương pháp

Sử dụng kiến thức \({\cos ^2}x + {\sin ^2}x = 1\)

Lời giải

Vì \(\sin x = \frac{1}{4}\) nên \({\sin ^2}x = \frac{1}{{16}}\). Lại có: \({\cos ^2}x + {\sin ^2}x = 1 \Rightarrow {\cos ^2}x = 1 - {\sin ^2}x = 1 - \frac{1}{{16}} = \frac{{15}}{{16}}\)

Đáp án D

Câu 33: Cho tam giác ABC có \(BC = 10cm\) và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác bằng 6cm. Khi đó, số đo góc A là (làm tròn đến hàng phần trăm)

A. \(\widehat A \approx 56,{4^0}\)	B. \(\widehat A \approx 56,{45^0}\)
C. \(\widehat A \approx 56,{44^0}\)	D. \(\widehat A \approx 56,{5^0}\)

Phương pháp

Định lí sin: Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\) và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là R. Khi đó, \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\)

Lời giải

Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC ta có:

\(\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow \frac{{10}}{{\sin A}} = 2.6 = 12 \Rightarrow \sin A = \frac{5}{6} \Rightarrow \widehat A \approx 56,{44^0}\)

Đáp án C

Câu 34: Cho tam giác ABC có \(AB = 2a,\widehat {BAC} = {120^0}.\) Chiều cao của tam giác BH của tam giác ABC là:

A. \(a\sqrt 3 cm\)	B. \(2a\sqrt 3 cm\)
C. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}cm\)	D. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{4}cm\)

Phương pháp

Cho tam giác ABC có \(AB = c,AC = b\) thì diện tích S của tam giác ABC là: \(S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}a.{h_a}\) (\({h_a}\) là đường cao xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC)

Lời giải

Ta có: \(\frac{1}{2}AB.AC.\sin A = \frac{1}{2}BH.AC \Rightarrow BH = AB.\sin A = 2a.\sin {120^0} = 2a.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \)

Đáp án A

Câu 35: Tam giác với ba cạnh 3cm; 4cm; 5cm có bán kính đường tròn nội tiếp tam giác r bằng bao nhiêu?

A. 2cm	B. \(\sqrt 3 cm\)
C. 3cm	D. 1cm

Phương pháp

Cho tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp là r, nửa chu vi tam giác là p thì diện tích của tam giác là \(S = pr = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \)

Lời giải

Nửa chu vi tam giác là: \(\frac{{3 + 4 + 5}}{2} = 6\left( {cm} \right)\)

Ta có: \(6r = \sqrt {6\left( {6 - 5} \right)\left( {6 - 4} \right)\left( {6 - 3} \right)}  \Rightarrow r = 1cm\)

Đáp án D

Phần tự luận (3 điểm)

Bài 1. (1,0 điểm) Cho hai tập hợp \(A = \left\{ {x \in \mathbb{N}\left| {{x^2} + 2x - 3 = 0} \right.} \right\};B = \left\{ {x \in \mathbb{Z}\left| {3{x^2} - 27 = 0} \right.} \right\}\). Tính \(A \cup B,B\backslash A.\)

Phương pháp

Tập hợp gồm những phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B được gọi là giao của A và B, kí hiệu là \(A \cap B\).

Tập hợp gồm những phần tử thuộc A nhưng không thuộc B được gọi là hiệu của A và B, kí hiệu là \(A\backslash B\)

Lời giải

Ta có: \({x^2} + 2x - 3 = 0\) suy ra \(\left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\), suy ra: \(\left[ \begin{array}{l}x =  - 3\\x = 1\end{array} \right.\). Do đó, \(A = \left\{ 1 \right\}\)

\(3{x^2} - 27 = 0\), suy ra \({x^2} = 9\) nên \(x =  \pm 3\). Do đó, \(B = \left\{ {3; - 3} \right\}\)

Vậy \(A \cup B = \left\{ {1;3; - 3} \right\},B\backslash A = \left\{ {3; - 3} \right\}\)

Bài 2. (1,0 điểm) Đứng ở vị trí A trên bờ biển, bạn M đo được góc nghiêng so với bờ biển tới một vị trí C trên đảo là \({30^0}\). Sau đó di chuyển dọc bờ biển đến vị trí B cách A một khảng 50m và đo được góc nghiêng so với bờ biển tới vị trí C đã chọn là \({40^0}\). Tính khoảng cách từ vị trí C trên đảo tới bờ biển theo đơn vị mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

 

Phương pháp

Định lí sin: Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\) và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là R. Khi đó, \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\)

Lời giải

Xét tam giác ABC có: \(\widehat {ACB} = {180^0} - \left( {{{30}^0} + {{40}^0}} \right) = {110^0}\)

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC có:

\(\frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} \Rightarrow AC = \frac{{AB\sin B}}{{\sin C}} = \frac{{50.\sin {{40}^0}}}{{\sin {{110}^0}}} \approx 34,2\left( m \right)\)

Xét tam giác AHC vuông tại H có: \(CH = AC.\sin {30^0} \approx 34,2.\frac{1}{2} = 17,1\left( m \right)\)

Vậy khoảng cách từ vị trí C trên đảo tới bờ biển khoảng 17,1m

Bài 3. (1,0 điểm) Cho tam giác ABC với đường cao \({h_a},{h_b},{h_c}\) thỏa mãn \(\frac{{{h_a}}}{{{h_b}}} + \frac{{{h_b}}}{{{h_c}}} + \frac{{{h_c}}}{{{h_a}}} = \frac{{{h_b}}}{{{h_a}}} + \frac{{{h_c}}}{{{h_b}}} + \frac{{{h_a}}}{{{h_c}}}\). Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác cân.

Phương pháp

Công thức tính diện tích tam giác ABC: \(S = \frac{1}{2}a.{h_a} = \frac{1}{2}b.{h_b} = \frac{1}{2}c.{h_c}\)

Lời giải

Ta có: \(S = \frac{1}{2}a.{h_a} = \frac{1}{2}b.{h_b} = \frac{1}{2}c.{h_c}\) nên \({h_a} = \frac{{2S}}{a};{h_b} = \frac{{2S}}{b},{h_c} = \frac{{2S}}{c}\)

Do đó: \(\frac{{{h_a}}}{{{h_b}}} + \frac{{{h_b}}}{{{h_c}}} + \frac{{{h_c}}}{{{h_a}}} = \frac{{{h_b}}}{{{h_a}}} + \frac{{{h_c}}}{{{h_b}}} + \frac{{{h_a}}}{{{h_c}}}\) suy ra \(\frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{c} = \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}\)

\({b^2}c + a{c^2} + {a^2}b = {a^2}c + b{c^2} + a{b^2}bc\left( {b - c} \right) - a\left( {{b^2} - {c^2}} \right) + {a^2}\left( {b - c} \right) = 0\)

\(\left( {b - c} \right)\left( {bc - ab - ac + {a^2}} \right) = 0\)

\(\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right) = 0\)

Suy ra \(\left[ \begin{array}{l}a = b\\b = c\\c = a\end{array} \right.\). Suy ra, tam giác ABC cân.

Đề thi giữa kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo - Đề số 8

Đề bài

Câu 11: Chọn đáp án đúng nhất: Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

Câu 28: Miền nghiệm của bất phương trình \(x + y > 2\) phần không tô đậm trong hình vẽ nào trong các hình vẽ sau là: 

Câu 31: Chọn khẳng định đúng.

A. \({\sin ^4}\alpha  - {\cos ^4}\alpha  = {\sin ^2}\alpha  - {\cos ^2}\alpha \)	B. \({\sin ^4}\alpha  - {\cos ^4}\alpha  = {\cos ^2}\alpha  - {\sin ^2}\alpha \)
C. \({\sin ^4}\alpha  - {\cos ^4}\alpha  = 1\)	D. \({\sin ^4}\alpha  - {\cos ^4}\alpha  = \sin \alpha  - \cos \alpha \)

Câu 32: Cho góc \(\alpha \) sao cho \({90^0} < \alpha  < {180^0}\) thỏa mãn \(\cos \alpha  = \frac{{ - 2}}{3}\). Chọn khẳng định đúng.

A. \(\tan \alpha  =  - \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\)	B. \(\tan \alpha  =  - \frac{{\sqrt 5 }}{2}\)
C. \(\tan \alpha  =  \pm \frac{{\sqrt 5 }}{2}\)	D. \(\tan \alpha  = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\)

Câu 33: Cho tam giác ABC có \({b^2} + {c^2} - {a^2} = \sqrt 3 bc\) thì số đo góc A là (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

A. \(\widehat A = {40^0}\)	B. \(\widehat A = {45^0}\)
C. \(\widehat A = {30^0}\)	D. \(\widehat A = {60^0}\)

Câu 34: Tam giác ABC có \(\widehat B = {50^0},\widehat C = {85^0},AB = 6cm.\) Độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh B của tam giác là:

A. \(3\sqrt 2 cm\)	B. \(3\sqrt 3 cm\)
C. \(\frac{{3\sqrt 3 }}{2}cm\)	D. \(\frac{{3\sqrt 2 }}{4}cm\)

Câu 35: Tam giác với ba cạnh 6; 8; 10 có bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác bằng bao nhiêu?

A. 2cm	B. 4cm
C. 3cm	D. 5cm

Phần tự luận (3 điểm)

Bài 1. (1,0 điểm) Lớp 10B có 30 bạn, trong đó có 20 bạn thích bơi lội và 15 bạn thích đá bóng. Biết số học sinh thích cả hai môn bơi lội và bóng đá gấp đôi số bạn không thích môn nào trong hai môn này. Hỏi có bao nhiêu bạn thích bóng đá nhưng không thích bơi lội

Bài 2. (1,0 điểm) Công ty X trong đợt hỗ trợ người dân cần thuê xe để chở ít nhất 120 người và 6,5 tấn hàng. Nơi thuê có 2 loại xe là A và B, loại xe A có 8 chiếc và xe B có 9 chiếc. Một chiếc xe loại A cho thuê với giá 3 triệu đồng, loại xe B thuê với giá 4 triệu đồng. Biết rằng mỗi chiếc xe loại A có thể chở tối đa 10 người và 2 tấn hàng. Mỗi chiếc xe loại B có thể chở tối đa 20 người và 0,5 tấn hàng. Hỏi phải thuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí là thấp nhất?

Bài 3. (1,0 điểm) Cho tam giác ABC với \(BC = a,AC = b,AB = c\), p là nửa chu vi tam giác ABC.

Chứng minh rằng \(abc\left( {\cos A + \cos B + \cos C} \right) = {a^2}\left( {p - a} \right) + {b^2}\left( {p - b} \right) + {c^2}\left( {p - c} \right)\)

 

-------- Hết --------

Lời giải chi tiết

Phần trắc nghiệm (7 điểm)

Câu 1: B	Câu 2: A	Câu 3: C	Câu 4: D	Câu 5: D	Câu 6: C	Câu 7: C
Câu 8: B	Câu 9: A	Câu 10: A	Câu 11: D	Câu 12: C	Câu 13: B	Câu 14: B
Câu 15: B	Câu 16: C	Câu 17: D	Câu 18: C	Câu 19: A	Câu 20: A	Câu 21: D
Câu 22: C	Câu 23: D	Câu 24: C	Câu 25: A	Câu 26: A	Câu 27: D	Câu 28: A
Câu 29: B	Câu 30: C	Câu 31: A	Câu 32: B	Câu 33: C	Câu 34: A	Câu 35: D

 

Câu 1: Cho mệnh đề “P(x), \(x \in X\)”.  Phủ định của mệnh đề “\(\exists x \in X,P\left( x \right)\)” là:

A. \(\exists x \in X,\overline {P\left( x \right)} \)	B. \(\forall x \in X,\overline {P\left( x \right)} \)
C. \(\forall x \in X,P\left( x \right)\)	D. Cả A và C đều đúng

Phương pháp

Cho mệnh đề “P(x), \(x \in X\)”. Phủ định của mệnh đề “\(\exists x \in X,P\left( x \right)\)” là “\(\forall x \in X,\overline {P\left( x \right)} \)”

Lời giải

Cho mệnh đề “P(x), \(x \in X\)”. Phủ định của mệnh đề “\(\exists x \in X,P\left( x \right)\)” là “\(\forall x \in X,\overline {P\left( x \right)} \)”

Đáp án B

Câu 2: Kí hiệu “\(\exists \)” đọc là:

A. Tồn tại	B. Có duy nhất
C. Với mọi	D. Cả A, B, C đều sai

Phương pháp

Kí hiệu \(\exists \) đọc là “tồn tại”

Lời giải

Kí hiệu \(\exists \) đọc là “tồn tại”

Đáp án A

Câu 3: Chọn câu trả lời đúng

A. Mệnh đề “P nếu và chỉ nếu Q” được gọi là một mệnh đề tương đương và kí hiệu là \(P \Rightarrow Q\)

B. Mệnh đề “P nếu và chỉ nếu Q” được gọi là một mệnh đề kéo theo và kí hiệu là \(P \Leftrightarrow Q\)

C. Mệnh đề “P nếu và chỉ nếu Q” được gọi là một mệnh đề tương đương và kí hiệu là \(P \Leftrightarrow Q\)

D. Mệnh đề “P nếu và chỉ nếu Q” được gọi là một mệnh đề kéo theo và kí hiệu là \(P \Rightarrow Q\)

Phương pháp

Mệnh đề “P nếu và chỉ nếu Q” được gọi là một mệnh đề tương đương và kí hiệu là \(P \Leftrightarrow Q\)

Lời giải

Mệnh đề “P nếu và chỉ nếu Q” được gọi là một mệnh đề tương đương và kí hiệu là \(P \Leftrightarrow Q\)

Đáp án C

Câu 4: Tập hợp B là tập hợp các chữ số của số 101 223. Cách viết đúng tập hợp B là:

A. \(B = \left\{ {1;0;1;2;2;3} \right\}\)	B. \(B = \left( {1;0;1;2;2;3} \right)\)
C. \(B = \left\{ {101\;223} \right\}\)	D. \(B = \left\{ {1;0;2;3} \right\}\)

Phương pháp

Khi liệt kê các phần tử của tập hợp, ta cần chú ý 1 số chú ý:

+ Các phần tử của tập hợp cho vào trong dấu ngoặc {}.

+ Các phần tử có thể viết theo thứ tự tùy ý.

+ Mỗi phần tử chỉ liệt kê một lần.

+ Nếu quy tắc các phần tử đủ rõ ràng thì người ta dùng “…” mà không nhất thiết viết ra tất cả các phần tử của tập hợp.

Lời giải

Cách viết đúng là: \(B = \left\{ {1;0;2;3} \right\}\)

Đáp án D

Câu 5: Cho tập hợp \(C = \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\). Tập hợp C được viết bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó là:

A. \(C = \left\{ {x \in \mathbb{N}|x < 5} \right\}\)	B. \(C = \left\{ {x \in \mathbb{N}|x \le 5} \right\}\)
C. \(C = \left\{ {x \in \mathbb{N}*|x < 5} \right\}\)	D. \(C = \left\{ {x \in \mathbb{N}*|x \le 5} \right\}\)

Phương pháp

Sử dụng kiến thức về viết tập hợp bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử của tập hợp.

Lời giải

\(C = \left\{ {x \in \mathbb{N}*|x \le 5} \right\}\)

Đáp án D

Câu 6: Chọn câu trả lời đúng nhất: Tập hợp A gồm các số tự nhiên lớn hơn 6 và nhỏ hơn 10 được viết là:

A. \(A = \left\{ {7;8;9} \right\}\)	B. \(A = \left\{ {x \in \mathbb{N}|6 < x < 10} \right\}\)
C. Cả A và B đều đúng	D. Cả A và B đều sai

Phương pháp

Khi liệt kê các phần tử của tập hợp, ta cần chú ý 1 số chú ý:

+ Các phần tử của tập hợp cho vào trong dấu ngoặc {}.

+ Các phần tử có thể viết theo thứ tự tùy ý.

+ Mỗi phần tử chỉ liệt kê một lần.

+ Nếu quy tắc các phần tử đủ rõ thì người ta dùng “…” mà không nhất thiết viết ra tất cả các phần tử của tập hợp.

Lời giải

\(A = \left\{ {7;8;9} \right\}\), \(A = \left\{ {x \in \mathbb{N}|6 < x < 10} \right\}\)

Đáp án C

Câu 7: Miền nghiệm của một hệ bất phương trình là miền không bị gạch chéo (tính cả bờ) như hình dưới. Điểm nào sau đây không nằm trong miền nghiệm của hệ bất phương trình trên?

 

A. \(\left( {2;1} \right)\)	B. \(\left( {0; - 3} \right)\)
C. \(\left( {4; - 3} \right)\)	D. \(\left( {1;1} \right)\)

Phương pháp

Để biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ Oxy, ta thực hiện:

+ Trên cùng mặt phẳng tọa độ, biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình của hệ.

+ Phần giao của các miền nghiệm là nghiệm của hệ bất phương trình.

Lời giải

Trong các điểm trên, chỉ có điểm \(\left( {4; - 3} \right)\) thuộc miền bị gạch chéo trong mặt phẳng tọa độ.

Vậy điểm \(\left( {4; - 3} \right)\) không nằm trong miền nghiệm của hệ bất phương trình.

Đáp án C

Câu 8: Hệ nào dưới đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. \(\left\{ \begin{array}{l}2{y^4} + x > 0\\x \le 0\end{array} \right.\)	B. \(\left\{ \begin{array}{l}x + y \ge 0\\x - 2y \le 9\end{array} \right.\)
C. \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} < 3\\ - 6 + x < 4\end{array} \right.\)	D. \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2z \ge 9\\{y^2} - 4{x^2} \le 3\end{array} \right.\)

Phương pháp

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y.

Lời giải

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là \(\left\{ \begin{array}{l}x + y \ge 0\\x - 2y \le 9\end{array} \right.\)

Đáp án B

Câu 9: Hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x > y\\2x - y \ge 0\end{array} \right.\) có tập nghiệm là S. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \(\left( {1;1} \right)\not  \in S\)	B. \(\left( {3;2} \right)\not  \in S\)
C. \(\left( {1;\frac{1}{2}} \right) \notin S\)	D. \(\left( {1;\frac{1}{4}} \right)\not  \in S\)

Phương pháp

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y. Mỗi nghiệm chung của các bất phương trình trong hệ được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đó.

Lời giải

Với \(x = 1;y = \frac{1}{2}\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}1 > \frac{1}{2}\\2.1 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \ge 0\end{array} \right.\) nên \(\left( {1;\frac{1}{2}} \right) \in S\)

Với \(x = 1;y = 1\) ta có: \(1 = 1\) nên \(\left( {1;1} \right)\not  \in S\)

Với \(x = 3;y = 2\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}3 > 2\\3.2 - 2 = 4 \ge 0\end{array} \right.\) nên \(\left( {3;2} \right) \in S\)

Với \(x = 1;y = \frac{1}{4}\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}1 > \frac{1}{4}\\2.1 - \frac{1}{4} = \frac{7}{4} \ge 0\end{array} \right.\) nên \(\left( {1;\frac{1}{4}} \right) \in S\)

Đáp án A

Câu 10: Miền nghiệm của bất phương trình \(2x + 3y + 1 > 0\) là: 

A. Nửa mặt phẳng không kể bờ \(d:2x + 3y =  - 1\) chứa điểm O (0; 0)

B. Nửa mặt phẳng bờ \(d:2x + 3y =  - 1\) (tính cả bờ) chứa điểm O (0; 0)

C. Nửa mặt phẳng bờ \(d:2x + 3y =  - 1\) (tính cả bờ) không chứa điểm O (0; 0)

D. Nửa mặt phẳng không kể bờ \(d:2x + 3y =  - 1\) không chứa điểm O (0; 0)

Phương pháp

Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình \(ax + by + c > 0\) như sau:

Bước 1: Trên mặt phẳng Oxy, vẽ đường thẳng \(d:ax + by + c = 0\)

Bước 2: Lấy một điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) không thuộc d. Tính \(a{x_0} + b{y_0} + c\)

Bước 3: Kết luận: + Nếu \(a{x_0} + b{y_0} + c < 0\) thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ d) không chứa điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)

+ Nếu \(a{x_0} + b{y_0} + c > 0\) thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ d) chứa điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)

Lời giải

Ta thấy điểm O (0; 0) không thuộc đường thẳng \(d:2x + 3y =  - 1\) và \(2.0 + 3.0 + 1 > 0\) nên điểm O thuộc miền nghiệm của bất phương trình \(2x + 3y + 1 > 0\). Vậy miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không kể bờ \(d:2x + 3y =  - 1\) chứa điểm O (0; 0)

Đáp án A

Câu 11: Chọn đáp án đúng nhất: Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. \(\frac{x}{6} - \frac{1}{2} > 0\)	B. \(\frac{{ - 5}}{7}x - \frac{1}{2}y \le 6\)
C. \(4y \ge \frac{{11}}{7}\)	D. Cả A, B, C đều đúng

Phương pháp

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là bất phương trình có một trong các dạng

\(ax + by + c > 0,ax + by + c \ge 0,ax + by + c < 0,ax + by + c \le 0\)

Trong đó a, b, c là những số cho trước, a, b không đồng thời bằng 0 và x, y là các ẩn.

Lời giải

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là:  \(\frac{x}{6} - \frac{1}{2} > 0\); \(\frac{{ - 5}}{7}x - \frac{1}{2}y \le 6\); \(4y \ge \frac{{11}}{7}\)

Đáp án D

Câu 12: Cho bất phương trình có miền nghiệm là phần không bị gạch chéo (không tính cả bờ) như hình dưới. Điểm nào sau đây không nằm trong miền nghiệm của bất phương trình trên?

 

A. \(\left( {0;0} \right)\)	B. \(\left( {0;2} \right)\)
C. \(\left( {0; - 4} \right)\)	D. \(\left( {1;0} \right)\)

Phương pháp

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) sao cho khi thay các giá trị \({x_0};{y_0}\) vào bất phương trình bậc nhất hai ẩn luôn được bất phương trình đúng được gọi là miền nghiệm của bất phương trình đó.

Lời giải

Trong các điểm ở trên, chỉ có điểm \(\left( {0; - 4} \right)\) thuộc miền bị gạch chéo. Do đó, điểm \(\left( {0; - 4} \right)\) không nằm trong miền nghiệm của bất phương trình.

Đáp án C

Câu 13: Với \({0^0} \le \alpha  \le {180^0},\alpha  \ne {90^0}\) thì:

A. \(\tan \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) = \tan \alpha \)	B. \(\tan \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) =  - \tan \alpha \)
C. \(\tan \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) = 2\tan \alpha \)	D. \(\tan \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) = \frac{1}{2}\tan \alpha \)

Phương pháp

Với \({0^0} \le \alpha  \le {180^0},\alpha  \ne {90^0}\) thì \(\tan \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) =  - \tan \alpha \)

Lời giải

Với \({0^0} \le \alpha  \le {180^0},\alpha  \ne {90^0}\) thì \(\tan \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) =  - \tan \alpha \)

Đáp án B

Câu 14: Trên đường tròn đơn vị, cho điểm M sao cho \(\widehat {MOx} = {120^0}\). Tọa độ của điểm M là:

A. \(\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};\frac{{ - 1}}{2}} \right)\)	B. \(\left( {\frac{{ - 1}}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\)
C. \(\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};\frac{1}{2}} \right)\)	D. \(\left( {\frac{{ - 1}}{2};\frac{{ - \sqrt 3 }}{2}} \right)\)

Phương pháp

Trên đường tròn đơn vị, xác định vị trí điểm M sao cho \(\widehat {MOx} = \alpha \), từ điểm M kẻ đường thẳng vuông góc với trục Ox ta tìm được hoành độ, từ M kẻ đường thẳng vuông góc với trục Oy ta tìm được tung độ.

Lời giải

Vì \(\widehat {MOx} = {120^0}\) nên M có tọa độ: \(\left( {\frac{{ - 1}}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\)

Đáp án B

Câu 15: Cho \(\sin \alpha  = \frac{1}{2}\) và \({0^0} \le \alpha  \le {180^0}\) thì có bao nhiêu góc \(\alpha \) thỏa mãn điều kiện trên?

A. 1	B. 2
C. 3	D. 4

Phương pháp

\(\sin {30^0} = \frac{1}{2}\), \(\sin {150^0} = \frac{1}{2}\)

Lời giải

Vì \(\sin {30^0} = \frac{1}{2}\), \(\sin {150^0} = \frac{1}{2}\) và \({0^0} \le \alpha  \le {180^0}\) nên chỉ có 2 góc thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án B

Câu 16: Cho \(\alpha \) là góc tù. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \(\sin \alpha  > 0,\cos \alpha  > 0\)	B. \(\sin \alpha  < 0,\cos \alpha  > 0\)
C. \(\sin \alpha  > 0,\cos \alpha  < 0\)	D. \(\sin \alpha  < 0,\cos \alpha  < 0\)

Phương pháp

Nếu \(\alpha \) là góc tù thì \(\sin \alpha  > 0\), \(\cos \alpha  < 0\)

Lời giải

Vì \(\alpha \) là góc tù nên \(\sin \alpha  > 0\), \(\cos \alpha  < 0\)

Đáp án C

Câu 17: Cho tam giác ABC có \(\widehat C = {120^0},AC = 8,BC = 12.\) Độ dài cạnh AB là:

A. \(304\)	B. \(112\)
C. \(\sqrt {112} \)	D. \(\sqrt {304} \)

Phương pháp

Định lý côsin: Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\) thì \({b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac\cos B\)

Lời giải

Theo định lí côsin ta có: \(A{B^2} = B{C^2} + A{C^2} - 2.BC.AC.\cos C = {12^2} + {8^2} - 2.12.8\cos {120^0} = 304\)\( \Rightarrow AB = \sqrt {304} \)

Đáp án D

Câu 18: Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\) và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là R. Tìm công thức sai.

A. \(\frac{a}{{\sin A}} = 2R\)	B. \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}}\)
C. \(\frac{c}{{\cos C}} = R\)	D. \(\frac{c}{{\sin C}} = 2R\)

Phương pháp

Định lí sin: Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\) và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là R. Khi đó, \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\)

Lời giải

Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC ta có: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\) nên công thức sai là: \(\frac{c}{{\cos C}} = R\)

Đáp án C

Câu 19: Cho tam giác ABC có nửa chu vi bằng 15cm và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 4cm. Diện tích tam giác ABC là:

A. \(60c{m^2}\)	B. \(80c{m^2}\)
C. \(40c{m^2}\)	D. \(30c{m^2}\)

Phương pháp

Cho tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp là r, nửa chu vi tam giác là p thì diện tích của tam giác là \(S = pr\)

Lời giải

Diện tích tam giác ABC là: \(S = pr = 15.4 = 60\left( {c{m^2}} \right)\)

Đáp án A

Câu 20: Cho tam giác ABC độ dài ba cạnh là a, b, c, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là R thì diện tích tam giác ABC là:

A. \(S = \frac{{abc}}{{4R}}\)	B. \(S = \frac{{abc}}{{2R}}\)
C. \(S = \frac{{abc}}{{3R}}\)	D. \(S = \frac{{abc}}{R}\)

Phương pháp

Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\), R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác thì diện tích S của tam giác ABC là: \(S = \frac{{abc}}{{4R}}\)

Lời giải

Đáp án đúng: \(S = \frac{{abc}}{{4R}}\)

Đáp án A

Câu 21: Câu nào sau đây là mệnh đề đúng?

A. \(x - 7 > 0\)	B. \(4 < 2\)
C. Đà Nẵng là thủ đô của Việt Nam	D. Hình chữ nhật có bốn góc vuông.

Phương pháp

Một khẳng định đúng gọi là mệnh đề đúng, một khẳng định sai gọi là mệnh đề sai.

Lời giải

Mệnh đề đúng là: Hình chữ nhật có bốn góc vuông.

Đáp án D

Câu 22: Cho hai mệnh đề: P: “Tứ giác ABCD là hình vuông”, Q: “Tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc”. Cách viết nào sau đây thể hiện hai mệnh đề này tương đương với nhau?

A. Nếu tứ giác ABCD là hình vuông thì tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc B. Nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc thì tứ giác ABCD là hình vuông

C. Tứ giác ABCD là hình vuông nếu và chỉ nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc D. Cả ba cách viết trên đều đúng.

Phương pháp

Mệnh đề “P nếu và chỉ nếu Q” được gọi là một mệnh đề tương đương và kí hiệu là \(P \Leftrightarrow Q\).

Lời giải

Cách viết đúng là: Tứ giác ABCD là hình vuông nếu và chỉ nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc

Đáp án C

Câu 23: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề đảo đúng?

A. Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) có a và c trái dấu thì có hai nghiệm phân biệt B. Nếu a và b cùng chia hết cho c thì a.b chia hết cho c

C. Nếu hai số x, y thỏa mãn \(x + y > 0\) thì có ít nhất một trong hai số x, y dương D. Nếu một số nguyên chia hết cho 15 thì nó chia hết cho cả 5 và 3

Phương pháp

Mệnh đề “\(Q \Rightarrow P\)” được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề “\(P \Rightarrow Q\)”

Lời giải

Mệnh đề có mệnh đề đảo đúng là: Nếu một số nguyên chia hết cho 15 thì nó chia hết cho cả 5 và 3

Đáp án D

Câu 24: Hình vẽ nào dưới đây (phần không bị gạch chéo) minh họa cho tập hợp \(A = \left\{ {x \in \mathbb{R}|\left| x \right| \ge 1} \right\}\)?

 

Phương pháp

Tập hợp \(\left\{ {x \in \mathbb{R}|x \le a} \right\}\) kí hiệu là nửa khoảng \(\left( { - \infty ;a} \right]\) được biểu diễn trên trục số là:

 

Tập hợp \(\left\{ {x \in \mathbb{R}|x \ge a} \right\}\) kí hiệu là nửa khoảng \(\left[ {a; + \infty } \right)\) được biểu diễn trên trục số là:

 

Lời giải

Với \(\left| x \right| \ge 1\) suy ra \(x \ge 1\) hoặc \(x \le  - 1\). Do đó, hình biểu diễn đúng là:

 

Đáp án C

Câu 25: Kí hiệu M là tập hợp các hình chữ nhật, N là tập hợp các hình thoi, P là tập hợp các hình vuông. Đáp án nào sau đây đúng?

A. \(M \cap N = P\)	B. \(M \subset P\)
C. \(N \subset P\)	D. \(M \cap N = \emptyset \)

Phương pháp

Tập hợp gồm những phần tử vừa thuộc tập hợp A vừa thuộc tập hợp B được gọi là giao của A và B, kí hiệu \(A \cap B\).

Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập hợp B thì A là một tập hợp con (tập con) của B và viết là \(A \subset B\).

Nếu A và B không có phần tử chung thì \(A \cap B = \emptyset \)

Lời giải

Vì hình vuông vừa là hình thoi vừa là hình chữ nhật nên \(M \cap N = P\)

Đáp án A

 

Câu 26: Cho A và B là hai tập hợp bất kì khác tập rỗng, được biểu diễn theo biểu đồ Ven như hình bên. Phần gạch sọc trong hình vẽ là tập hợp nào dưới đây?

 

A. \(A\backslash B\)	B. \(A \cap B\)
C. \(A \cup B\)	D. \(B\backslash A\)

Phương pháp

Tập hợp gồm những phần tử thuộc tập hợp A hoặc thuộc tập hợp B được gọi là hợp của A và B, kí hiệu \(A \cup B\).

Tập hợp gồm những phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B được gọi là giao của A và B, kí hiệu là \(A \cap B\).

Tập hợp gồm những phần tử thuộc A nhưng không thuộc B gọi là hiệu của A và B, kí hiệu \(A\backslash B\)

Lời giải 

Phần gạch sọc là gồm những phần tử thuộc tập hợp A nhưng không thuộc tập hợp B.

Do đó, phần gạch sọc trong hình vẽ là tập hợp: \(A\backslash B\).

Đáp án A

Câu 27: Hình nào sau đây biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình \(x - y \le 1\) (phần không bị gạch chéo)?

 

Phương pháp

Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình \(ax + by + c \le 0\) như sau:

Bước 1: Trên mặt phẳng Oxy, vẽ đường thẳng \(d:ax + by + c = 0\)

Bước 2: Lấy một điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) không thuộc d. Tính \(a{x_0} + b{y_0} + c\)

Bước 3: Kết luận: + Nếu \(a{x_0} + b{y_0} + c \le 0\) thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (tính cả bờ d) chứa điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)

+ Nếu \(a{x_0} + b{y_0} + c \ge 0\) thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (tính cả bờ d) không chứa điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)

Lời giải

Ta thấy điểm O (0; 0) không thuộc đường thẳng \(d:x - y - 1 = 0\) và \(0 + 0 - 1 \le 0\) nên miền nghiệm của bất phương trình \(x - y \le 1\) là nửa mặt phẳng (kể cả bờ d) chứa điểm O.

Đáp án D

Câu 28: Miền nghiệm của bất phương trình \(x + y > 2\) phần không tô đậm trong hình vẽ nào trong các hình vẽ sau là: 

 

Phương pháp

Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình \(ax + by + c > 0\) như sau:

Bước 1: Trên mặt phẳng Oxy, vẽ đường thẳng \(d:ax + by + c = 0\)

Bước 2: Lấy một điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) không thuộc d. Tính \(a{x_0} + b{y_0} + c\)

Bước 3: Kết luận: + Nếu \(a{x_0} + b{y_0} + c < 0\) thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ d) không chứa điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)

+ Nếu \(a{x_0} + b{y_0} + c > 0\) thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ d) chứa điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)

Lời giải

Nhận thấy, điểm O (0; 0) không thuộc đường thẳng \(d:x + y - 2 = 0\) và \(0 + 0 < 2\) nên miền nghiệm của bất phương trình \(x + y > 2\) là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d (không tính bờ) không chứa điểm O.

Đáp án A

Câu 29: Nửa mặt phẳng bờ d (tính cả bờ) phần không bị gạch là nghiệm của bất phương trình nào?

d

A. \( - x + y \le 2\)	B. \( - x + y \ge 2\)
C. \(x - y \ge 2\)	D. \(x - y \le 2\)

Phương pháp

Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình \(ax + by + c > 0\) như sau:

Bước 1: Trên mặt phẳng Oxy, vẽ đường thẳng \(d:ax + by + c = 0\)

Bước 2: Lấy một điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) không thuộc d. Tính \(a{x_0} + b{y_0} + c\)

Bước 3: Kết luận: + Nếu \(a{x_0} + b{y_0} + c < 0\) thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ d) không chứa điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)

+ Nếu \(a{x_0} + b{y_0} + c > 0\) thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ d) chứa điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)

Lời giải

Đường thẳng d có phương trình là: \( - x + y = 2\)

Ta thấy điểm O (0; 0) không thuộc đường thẳng d, \(0 + 0 \le 2\) và O không thuộc miền nghiệm của bất phương trình nên bất phương trình cần tìm là \( - x + y \ge 2\).

Đáp án B

Câu 30: Phần không gạch chéo (tính cả bờ) trong hình dưới đây là miền nghiệm của hệ bất phương trình nào?

 

A. \(\left\{ \begin{array}{l}x - y \le  - 2\\ - 2x - y \ge  - 2\end{array} \right.\)	B. \(\left\{ \begin{array}{l}x + y \le 2\\ - 2x - y \ge  - 2\end{array} \right.\)
C. \(\left\{ \begin{array}{l}x + y \ge  - 2\\ - 2x + y \ge  - 2\end{array} \right.\)	D. \(\left\{ \begin{array}{l} - x - y \le  - 2\\2x - y \ge  - 2\end{array} \right.\)

Phương pháp

Để biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ Oxy, ta thực hiện:

+ Trên cùng mặt phẳng tọa độ, biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình của hệ.

+ Phần giao của các miền nghiệm là nghiệm của hệ bất phương trình.

Lời giải

Dựa vào hình vẽ ta thấy đồ thị gồm hai đường thẳng \({d_1}:x + y + 2 = 0\) và \({d_2}: - 2x + y =  - 2\)

Lại có: Điểm O (0; 0) thuộc miền nghiệm của cả hai bất phương trình

Do đó, hệ bất phương trình biểu diễn miền nghiệm trên là: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y \ge  - 2\\ - 2x + y \ge  - 2\end{array} \right.\)

Đáp án C

Câu 31: Chọn khẳng định đúng.

A. \({\sin ^4}\alpha  - {\cos ^4}\alpha  = {\sin ^2}\alpha  - {\cos ^2}\alpha \)	B. \({\sin ^4}\alpha  - {\cos ^4}\alpha  = {\cos ^2}\alpha  - {\sin ^2}\alpha \)
C. \({\sin ^4}\alpha  - {\cos ^4}\alpha  = 1\)	D. \({\sin ^4}\alpha  - {\cos ^4}\alpha  = \sin \alpha  - \cos \alpha \)

Phương pháp

Áp dụng công thức: \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\)

Lời giải

\({\sin ^4}\alpha  - {\cos ^4}\alpha  = \left( {{{\sin }^2}\alpha  - {{\cos }^2}\alpha } \right)\left( {{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha } \right) = {\sin ^2}\alpha  - {\cos ^2}\alpha \)

Đáp án A

Câu 32: Cho góc \(\alpha \) sao cho \({90^0} < \alpha  < {180^0}\) thỏa mãn \(\cos \alpha  = \frac{{ - 2}}{3}\). Chọn khẳng định đúng.

A. \(\tan \alpha  =  - \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\)	B. \(\tan \alpha  =  - \frac{{\sqrt 5 }}{2}\)
C. \(\tan \alpha  =  \pm \frac{{\sqrt 5 }}{2}\)	D. \(\tan \alpha  = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\)

Phương pháp

Sử dụng kiến thức \(\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = 1 + {\tan ^2}\alpha \)

Lời giải

Vì \(\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = 1 + {\tan ^2}\alpha \) nên \({\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} - 1 = \frac{9}{4} - 1 = \frac{5}{4} \Rightarrow \tan \alpha  =  \pm \frac{{\sqrt 5 }}{2}\).

Lại có: \({90^0} < \alpha  < {180^0} \Rightarrow \tan \alpha  < 0 \Rightarrow \tan \alpha  =  - \frac{{\sqrt 5 }}{2}\)

Đáp án B

Câu 33: Cho tam giác ABC có \({b^2} + {c^2} - {a^2} = \sqrt 3 bc\) thì số đo góc A là (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

A. \(\widehat A = {40^0}\)	B. \(\widehat A = {45^0}\)
C. \(\widehat A = {30^0}\)	D. \(\widehat A = {60^0}\)

Phương pháp

Định lý côsin: Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\) thì \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)

Lời giải

Vì \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\) nên \({b^2} + {c^2} - {a^2} = 2bc\cos A\)

Theo đầu bài: \({b^2} + {c^2} - {a^2} = \sqrt 3 bc\) nên \(2bc\cos A = \sqrt 3 bc\), do đó: \(\cos A = \frac{{\sqrt 3 bc}}{{2bc}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \widehat A = {30^0}\)

Đáp án C

Câu 34: Tam giác ABC có \(\widehat B = {50^0},\widehat C = {85^0},AB = 6cm.\) Độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh B của tam giác là:

A. \(3\sqrt 2 cm\)	B. \(3\sqrt 3 cm\)
C. \(\frac{{3\sqrt 3 }}{2}cm\)	D. \(\frac{{3\sqrt 2 }}{4}cm\)

Phương pháp

Cho tam giác ABC có \(AB = c,AC = b,BC = a\) thì diện tích S của tam giác ABC là: \(S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}a.{h_a}\) (\({h_a}\) là đường cao xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC)

Lời giải

Ta có: \(\widehat A = {180^0} - \widehat B - \widehat C = {180^0} - {50^0} - {85^0} = {45^0}\)

Gọi độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh B là \({h_b}\).

Ta có: \(\frac{1}{2}AB.AC.\sin A = \frac{1}{2}{h_b}.AC \Rightarrow {h_b} = AB.\sin A = 6.\sin {45^0} = 6.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = 3\sqrt 2 \left( {cm} \right)\)

Đáp án A

Câu 35: Tam giác với ba cạnh 6; 8; 10 có bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác bằng bao nhiêu?

A. 2cm	B. 4cm
C. 3cm	D. 5cm

Phương pháp

Cho tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp là R, nửa chu vi tam giác là p thì diện tích của tam giác là \(S = \frac{{abc}}{{4R}} = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \)

Lời giải

Nửa chu vi tam giác là: \(\frac{{6 + 8 + 10}}{2} = 12\left( {cm} \right)\)

Ta có: \(\frac{{6.8.10}}{{4R}} = \sqrt {12\left( {12 - 6} \right)\left( {12 - 8} \right)\left( {12 - 10} \right)}  \Rightarrow R = 5cm\)

Đáp án D

Phần tự luận (3 điểm)

Bài 1. (1,0 điểm) Lớp 10B có 30 bạn, trong đó có 20 bạn thích bơi lội và 15 bạn thích đá bóng. Biết số học sinh thích cả hai môn bơi lội và bóng đá gấp đôi số bạn không thích môn nào trong hai môn này. Hỏi có bao nhiêu bạn thích bóng đá nhưng không thích bơi lội

Phương pháp

Tập hợp gồm những phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B được gọi là giao của A và B, kí hiệu là \(A \cap B\).

Lời giải

 

Gọi số bạn không thích bơi lội và bóng đá là x (bạn), \(x \in \mathbb{N}*\)

Số bạn thích bơi lội và bóng đá là \(2x\) (bạn)

Số bạn chỉ thích bơi lội là: \(20 - 2x\), số bạn chỉ thích bóng đá là: \(15 - 2x\)

Ta có phương trình: \(20 + \left( {15 - 2x} \right) + x = 30\), suy ra \(x = 5\)

Số bạn thích bóng đá nhưng không thích bơi lội là: \(20 - 2.5 = 10\) (bạn)

Vậy có 10 bạn thích bóng đá nhưng không thích bơi lội.

Bài 2. (1,0 điểm) Công ty X trong đợt hỗ trợ người dân cần thuê xe để chở ít nhất 120 người và 6,5 tấn hàng. Nơi thuê có 2 loại xe là A và B, loại xe A có 8 chiếc và xe B có 9 chiếc. Một chiếc xe loại A cho thuê với giá 3 triệu đồng, loại xe B thuê với giá 4 triệu đồng. Biết rằng mỗi chiếc xe loại A có thể chở tối đa 10 người và 2 tấn hàng. Mỗi chiếc xe loại B có thể chở tối đa 20 người và 0,5 tấn hàng. Hỏi phải thuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí là thấp nhất?

Phương pháp

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F ta làm như sau:

Bước 1: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình trên, xác định các đỉnh của đa giác.

Bước 2: Tính giá trị biểu thức F tại các đỉnh của đa giác đó.

Bước 3: So sánh các giá trị thu được của F, giá trị nhỏ nhất của F là giá trị cần tìm.

Lời giải

Gọi x (xe) và y (xe) lần lượt là số xe loại B và loại A cần phải thuê, điều kiện: \(0 \le x \le 9,x \in \mathbb{N},0 \le y \le 8,y \in \mathbb{N}\)

Số tiền cần bỏ ra để thuê xe là: \(f\left( {x;y} \right) = 4x + 3y\) (triệu đồng)

Ta có x xe loại B và y xe loại A sẽ chở được \(20x + 10y\) (người) và \(0,5x + 2y\) (tấn hàng).

Theo đề bài ta có hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 9\\0 \le y \le 8\\20x + 10y \ge 120\\0,5x + 2y \ge 6,5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 9\\0 \le y \le 8\\2x + y \ge 12\\x + 4y \ge 13\end{array} \right.\)

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là tứ giác ABCD (kể cả biên) với A (5;2), B (9;1), C (9;8); D (2; 8) như hình vẽ:

 

Ta có: \(f\left( {5;2} \right) = 26;f\left( {9;1} \right) = 39;f\left( {9;8} \right) = 60;f\left( {2;8} \right) = 32\) nên f (x; y) nhỏ nhất khi \(x = 5;y = 2\)

Vậy để chi phí là thấp nhất thì cần 5 xe loại B và 2 xe loại A.

Bài 3. (1,0 điểm) Cho tam giác ABC với \(BC = a,AC = b,AB = c\), p là nửa chu vi tam giác ABC.

Chứng minh rằng \(abc\left( {\cos A + \cos B + \cos C} \right) = {a^2}\left( {p - a} \right) + {b^2}\left( {p - b} \right) + {c^2}\left( {p - c} \right)\)

Phương pháp

Định lý cosin: Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\) thì \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)

Lời giải

Ta có: \(abc\left( {\cos A + \cos B + \cos C} \right) = abc\left( {\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} + \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} + \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}} \right)\)

\( = a.\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{2} + b\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{2} + c\frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{2}\)

\( = \frac{1}{2}\left( {a{b^2} + a{c^2} - {a^3} + {a^2}b + b{c^2} - {b^3} + {a^2}c + {b^2}c - {c^3}} \right)\)

\( = \frac{{{a^2}}}{2}\left( {b + c - a} \right) + \frac{{{b^2}}}{2}\left( {c + a - b} \right) + \frac{{{c^2}}}{2}\left( {a + b - c} \right)\)

\( = {a^2}\left( {p - a} \right) + {b^2}\left( {p - b} \right) + {c^2}\left( {p - c} \right)\)a

Đề thi giữa kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo - Đề số 9

Đề bài

Phần trắc nghiệm (7 điểm)

Câu 1: Chọn câu trả lời đúng:

A. Câu “3n chia hết cho 9” là một mệnh đề	B. Câu “3n chia hết cho 9” là một mệnh đề chứa biến
C. Cả A, B đều sai	D. Cả A và B đều đúng

Câu 2: Viết mệnh đề sau bằng kí hiệu \(\exists \) hoặc \(\forall \): “Có một số nguyên chia hết cho 3”.

A. \(\exists x \in \mathbb{Z},{x^2} \vdots 3\)	B. \(\exists x \in \mathbb{R},{x^2} \vdots 3\)
C. \(\exists x \in \mathbb{R},x \vdots 3\)	D. \(\exists x \in \mathbb{Z},x \vdots 3\)

Câu 3: Ta nói P và Q là hai mệnh đề tương đương khi:

A. Mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) và mệnh đề \(Q \Rightarrow P\) đều đúng.	B. Mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) đúng
C. Mệnh \(Q \Rightarrow P\) đúng	D. Mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) và mệnh đề \(Q \Rightarrow P\) đều sai

Câu 4: Dạng liệt kê tất cả các phần tử của tập hợp \(X = \left\{ {\left. {x \in \mathbb{N}} \right|x \le 1} \right\}\) là:

A. \(X = \left\{ 1 \right\}\) B. \(X = \left\{ 0 \right\}\)

C. \(X = \left\{ {0;1} \right\}\) D. Cả A, B, C đều sai.

Câu 5: Tập hợp A gồm các số thực dương nhỏ hơn 10. Viết tập hợp A bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng

A. \(A = \left\{ {x \in \mathbb{N}|x < 10} \right\}\)	B. \(A = \left\{ {x \in \mathbb{N}*|x < 10} \right\}\)
C. \(A = \left\{ {x \in \mathbb{Z}|0 < x < 10} \right\}\)	D. \(A = \left\{ {x \in \mathbb{R}|0 < x < 10} \right\}\)

Câu 6: Tập hợp A gồm các số nguyên tố nhỏ hơn 10. Cách viết nào sau đây đúng?

A. \(A = \left\{ {2;3;5;7} \right\}\)	B. \(A = \left\{ {3;5;7;9} \right\}\)
C. \(A = \left( {2;3;5;7} \right)\)	D. \(A = \left( {3;5;7;9} \right)\)

Câu 7: Miền nghiệm của một hệ bất phương trình là miền không bị gạch chéo (tính cả bờ) như hình dưới. Điểm nào sau đây nằm trong miền nghiệm của hệ bất phương trình trên?

 

A. \(\left( {1;2} \right)\)	B. \(\left( { - 3;0} \right)\)
C. \(\left( {4;3} \right)\)	D. \(\left( {0;\frac{1}{2}} \right)\)

Câu 8: Hệ nào dưới đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 1} \right)y \ge 4\\x \le 0\end{array} \right.\)	B. \(\left\{ \begin{array}{l}x + \frac{y}{9} \ge 0\\x - 2y \le 10\end{array} \right.\)
C. \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} < 3\\\frac{x}{{3y}} < 4\end{array} \right.\)	D. \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 9\\\frac{1}{2}{y^2} - 4{x^2} \le 3\end{array} \right.\)

Câu 9: Hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{2}x - y < 1\\2x + y > 0\end{array} \right.\) có tập nghiệm là S. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \(\left( {1;1} \right) \in S\)	B. \(\left( {3; - 2} \right) \in S\)
C. \(\left( { - 1;\frac{1}{2}} \right) \in S\)	D. \(\left( {1; - 2} \right) \in S\)

Câu 10: Miền nghiệm của bất phương trình \(2x - y - 1 \le 0\) là: 

A. Nửa mặt phẳng không kể bờ \(d:2x - y - 1 = 0\) chứa điểm O (0; 0)	B. Nửa mặt phẳng bờ \(d:2x - y - 1 = 0\) (tính cả bờ) chứa điểm O (0; 0)
C. Nửa mặt phẳng bờ \(d:2x - y - 1 = 0\) (tính cả bờ) không chứa điểm O (0; 0)	D. Nửa mặt phẳng không kể bờ \(d:2x - y - 1 = 0\) không chứa điểm O (0; 0)

Câu 11: Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. \({x^2} + y >  - 3\)	B. \({y^3} + 2 \le 0\)
C. \(\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) \ge 4\)	D. \(x - 4y < 5\)

Câu 12: Cho bất phương trình có miền nghiệm là phần không bị gạch chéo (tính cả bờ) như hình dưới. Điểm nào sau đây nằm trong miền nghiệm của bất phương trình trên?

 

A. \(\left( {0;0} \right)\)	B. \(\left( {0; - 4} \right)\)
C. \(\left( {4;0} \right)\)	D. \(\left( {\frac{5}{2};0} \right)\)

Câu 13: Với \({0^0} \le \alpha  \le {180^0}\) thì:

A. \(\cot \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) = \cot \alpha \)	B. \(\cot \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) =  - \cot \alpha \)
C. \(\cot \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) = 2\cot \alpha \)	D. \(\cot \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) = \frac{1}{2}\cot \alpha \)

Câu 14: Chọn đáp án đúng.

A. \(\tan {135^0} = \sqrt 2 \)	B. \(\tan {135^0} =  - 1\)
C. \(\tan {135^0} = 1\)	D. \(\tan {135^0} =  - \sqrt 2 \)

Câu 15: Cho \(\cos \alpha  = 0\) và \({0^0} \le \alpha  \le {180^0}\) thì có bao nhiêu góc \(\alpha \) thỏa mãn điều kiện trên?

A. 1	B. 2
C. 3	D. 4

Câu 16: Cho tam giác ABC tù tại C. Chọn đáp án đúng.

A. \(\cos A > 0\)	B. \(\cos B > 0\)
C. \(\cos C < 0\)	D. Cả A, B, C đều đúng

Câu 17: Cho hình vẽ:

 

Chọn đáp án đúng.

A. \(? = 925\)	B. \(? = \sqrt {925} \)
C. \(? = 1975\)	D. \(? = \sqrt {1975} \)

Phương pháp

Câu 18: Cho tam giác ABC có \(AB = 3cm,AC = 5cm\). Chọn đáp án đúng.

A. \(\frac{{\cos B}}{{\cos C}} = \frac{3}{5}\)	B. \(\frac{{\cos B}}{{\cos C}} = \frac{5}{3}\)
C. \(\frac{{\sin B}}{{\sin C}} = \frac{3}{5}\)	D. \(\frac{{\sin B}}{{\sin C}} = \frac{5}{3}\)

Câu 19: Chọn đáp án đúng về công thức tính diện tích tam giác ABC.

A. \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\cos A\)	B. \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin A\)
C. \({S_{ABC}} = AB.AC.\cos A\)	D. \({S_{ABC}} = AB.AC.\sin A\)

Câu 20: Cho tam giác ABC độ dài ba cạnh là a, b, c, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là R, p là nửa chu vi tam giác ABC. Chọn đáp án đúng.

A. \(pr = \frac{{abc}}{{2R}}\)	B. \(pr = \frac{{abc}}{R}\)
C. \(pr = \frac{{abc}}{{3R}}\)	D. \(pr = \frac{{abc}}{{4R}}\)

Câu 21: Câu nào sau đây là mệnh đề sai?

A. \(\pi \) là số hữu tỉ	B. Phương trình \(x - \frac{1}{2} = 0\) có nghiệm là số hữu tỉ
C. \( - 1\) là số nguyên âm	D. Hình thoi là hình có bốn cạnh bằng nhau

Câu 22: Cho định lí: “Nếu hai tam giác bằng nhau thì diện tích của chúng bằng nhau”. Chọn câu trả lời đúng

A. Giả thiết của định lí trên là: Hai tam giác bằng nhau B. Kết luận của định lí trên là: Diện tích của chúng bằng nhau

C. Mệnh đề đảo của định lí trên là sai. D. A, B, C đều đúng.

Câu 23: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề đảo sai?

A. Tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác cân B. Nếu \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\) thì tam giác ABC vuông tại A.

C. Nếu hai số x, y thỏa mãn \(x - y > 0\) thì có ít nhất một trong hai số x, y dương D. Nếu một số nguyên chia hết cho 21 thì nó chia hết cho cả 7 và 3

Câu 24: Cho tập hợp \(A = \left( { - \infty ;4} \right]\) và \(B = \left[ {1;6} \right]\). Khi đó, tập hợp \(A \cup B\) là:

A. \(\left( { - \infty ;4} \right]\)	B. \(\left( { - \infty ;6} \right]\)
C. \(\left[ {1;6} \right]\)	D. \(\left[ {1;4} \right]\)

Câu 25: Kí hiệu nào sau đây dùng để viết đúng mệnh đề “\(\sqrt 3 \) là một số thực”?

A. \(\sqrt 3  \in \mathbb{R}\)	B. \(\sqrt 3  \in \mathbb{N}\)
C. \(\sqrt 3  \in \mathbb{Z}\)	D. \(\sqrt 3  \in \mathbb{N}*\)

Câu 26: Cho hai tập hợp A và B khác rỗng thỏa mãn \(A \subset B\). Mệnh đề nào sai trong các mệnh đề sau?

A. \(A\backslash B = \emptyset \)	B. \(A \cap B = A\)
C. \(A \cup B = B\)	D. \(B\backslash A = B\)

Câu 27: Miền nghiệm của bất phương trình \(x + 2y - 2 \le 0\) là miền không bị gạch chéo (tính cả bờ) trong hình vẽ nào sau đây?

 

Câu 28: Miền nghiệm của bất phương trình \(3x + 2y > 6\) được biểu diễn bởi phần không gạch chéo trong hình nào dưới đây? 

 

Câu 29: Nửa mặt phẳng bờ d (tính cả bờ) phần không bị gạch là miền nghiệm của bất phương trình nào?

 

A. \(2x - y \ge  - 3\)	B. \(2x - y \le  - 3\)
C. \(2x - y <  - 3\)	D. \(2x - y >  - 3\)

Câu 30: Phần không bị gạch chéo (không tính bờ) trong hình dưới đây là miền nghiệm của hệ bất phương trình nào?

 

A. \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\3x + 2y + 6 > 0\end{array} \right.\)	B. \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\3x + 2y - 6 < 0\end{array} \right.\)
C. \(\left\{ \begin{array}{l}y > 0\\3x + 2y - 6 < 0\end{array} \right.\)	D. \(\left\{ \begin{array}{l}y > 0\\3x + 2y + 6 < 0\end{array} \right.\)

Câu 31: Cho tam giác ABC. Chọn khẳng định đúng:

A. \(\sin \frac{A}{2} = \frac{1}{2}\cos \left( {\frac{{B + C}}{2}} \right)\)	B. \(\sin \frac{A}{2} =  - \cos \left( {\frac{{B + C}}{2}} \right)\)
C. \(\sin \frac{A}{2} = \frac{{ - 1}}{2}\cos \left( {\frac{{B + C}}{2}} \right)\)	D. \(\sin \frac{A}{2} = \cos \left( {\frac{{B + C}}{2}} \right)\)

Câu 32: Tính \(B = \sin {5^0} + \sin {150^0} - \sin {175^0} + \sin {180^0}\)

A. \(B = 1\)	B. \(B = \frac{3}{2}\)
C. \(B = \frac{1}{2}\)	D. \(B = 0\)

Câu 33: Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp trong hình vẽ sau:

 

A. \(R = 2\)	B. \(R = \sqrt 2 \)
C. \(R = 4\)	D. \(R = 2\sqrt 2 \)

Câu 34: Cho tam giác ABC có \(AB = 15,AC = 35,\widehat A = {60^0}\). Tính số đo góc B (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

A. \({95^0}\)	B. \({94^0}\)
C. \({93^0}\)	D. \({96^0}\)

Câu 35: Tam giác với ba cạnh 6cm; 8cm; 10cm thì có bán kính đường tròn nội tiếp bằng bao nhiêu?

A. 2cm	B. 4cm
C. 3cm	D. 5cm

Phần tự luận (3 điểm)

Bài 1. (1,0 điểm) Cho tập hợp \(A = \left\{ {n \in \mathbb{N}|3n + 1 \le 19} \right\},B = \left\{ {n \in \mathbb{N}|{n^2} \le 25} \right\}\).

Xác định các tập hợp \(A \cap B,A\backslash B\)

Bài 2. (1,0 điểm) Hai máy bay cùng xuất phát từ một sân bay A và bay theo hai hướng khác nhau, tạo với nhau góc 60 độ. Máy bay thứ nhất bay với vận tốc 700km/h, máy bay thứ hai bay với vận tốc 800km/h. Sau 2 giờ, hai máy bay bay cách nhau bao nhiêu ki- lô- mét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)? Biết rằng cả hai máy bay theo đường thẳng và sau 2 giờ đều chưa hạ cánh.

Bài 3. (1,0 điểm) Cho tam giác ABC có p là nửa chu vi tam giác ABC, \(AB = c,BC = a,AC = b\). Chứng minh rằng \(\cos \frac{A}{2} = \sqrt {\frac{{p\left( {p - a} \right)}}{{bc}}} \)

 

-------- Hết --------

 

Lời giải chi tiết

Phần trắc nghiệm (7 điểm)

Câu 1: B	Câu 2: D	Câu 3: A	Câu 4: C	Câu 5: D	Câu 6: A	Câu 7: D
Câu 8: B	Câu 9: A	Câu 10: B	Câu 11: D	Câu 12: A	Câu 13: B	Câu 14: B
Câu 15: A	Câu 16: D	Câu 17: B	Câu 18: D	Câu 19: B	Câu 20: D	Câu 21: A
Câu 22: D	Câu 23: C	Câu 24: B	Câu 25: A	Câu 26: D	Câu 27: C	Câu 28: A
Câu 29: A	Câu 30: C	Câu 31: D	Câu 32: C	Câu 33: B	Câu 34: A	Câu 35: A

Câu 1: Chọn câu trả lời đúng:

A. Câu “3n chia hết cho 9” là một mệnh đề	B. Câu “3n chia hết cho 9” là một mệnh đề chứa biến
C. Cả A, B đều sai	D. Cả A và B đều đúng

Phương pháp

Mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc sai.

Lời giải

Vì “3n chia hết cho 9” chưa khẳng định được tính đúng sai nên không phải là mệnh đề.

. Câu “3n chia hết cho 9” là một mệnh đề chứa biến

Đáp án B

Câu 2: Viết mệnh đề sau bằng kí hiệu \(\exists \) hoặc \(\forall \): “Có một số nguyên chia hết cho 3”.

A. \(\exists x \in \mathbb{Z},{x^2} \vdots 3\)	B. \(\exists x \in \mathbb{R},{x^2} \vdots 3\)
C. \(\exists x \in \mathbb{R},x \vdots 3\)	D. \(\exists x \in \mathbb{Z},x \vdots 3\)

Phương pháp

Kí hiệu \(\exists \) đọc là “tồn tại” (có một hoặc có ít nhất một), kí hiệu \(\forall \) đọc là “với mọi”.

Lời giải

Cách viết đúng: \(\exists x \in \mathbb{Z},x \vdots 3\)

Đáp án D

Câu 3: Ta nói P và Q là hai mệnh đề tương đương khi:

A. Mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) và mệnh đề \(Q \Rightarrow P\) đều đúng.	B. Mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) đúng
C. Mệnh \(Q \Rightarrow P\) đúng	D. Mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) và mệnh đề \(Q \Rightarrow P\) đều sai

Phương pháp

Nếu cả hai mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) và mệnh đề \(Q \Rightarrow P\) đều đúng thì ta nói P và Q là hai mệnh đề tương đương, kí hiệu \(P \Leftrightarrow Q\)

Lời giải

Nếu cả hai mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) và mệnh đề \(Q \Rightarrow P\) đều đúng thì ta nói P và Q là hai mệnh đề tương đương, kí hiệu \(P \Leftrightarrow Q\)

Đáp án A

Câu 4: Dạng liệt kê tất cả các phần tử của tập hợp \(X = \left\{ {\left. {x \in \mathbb{N}} \right|x \le 1} \right\}\) là:

A. \(X = \left\{ 1 \right\}\) B. \(X = \left\{ 0 \right\}\)

C. \(X = \left\{ {0;1} \right\}\) D. Cả A, B, C đều sai.

Phương pháp

Khi liệt kê các phần tử của tập hợp, ta cần chú ý 1 số chú ý:

+ Các phần tử của tập hợp cho vào trong dấu ngoặc {}.

+ Các phần tử có thể viết theo thứ tự tùy ý.

+ Mỗi phần tử chỉ liệt kê một lần.

+ Nếu quy tắc các phần tử đủ rõ ràng thì người ta dùng “…” mà không nhất thiết viết ra tất cả các phần tử của tập hợp.

Lời giải

Cách viết đúng là: \(X = \left\{ {0;1} \right\}\)

Đáp án C

Câu 5: Tập hợp A gồm các số thực dương nhỏ hơn 10. Viết tập hợp A bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng

A. \(A = \left\{ {x \in \mathbb{N}|x < 10} \right\}\)	B. \(A = \left\{ {x \in \mathbb{N}*|x < 10} \right\}\)
C. \(A = \left\{ {x \in \mathbb{Z}|0 < x < 10} \right\}\)	D. \(A = \left\{ {x \in \mathbb{R}|0 < x < 10} \right\}\)

Phương pháp

Sử dụng kiến thức về viết tập hợp bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử của tập hợp.

Lời giải

Đáp án đúng: \(A = \left\{ {x \in \mathbb{R}|0 < x < 10} \right\}\)

Đáp án D

Câu 6: Tập hợp A gồm các số nguyên tố nhỏ hơn 10. Cách viết nào sau đây đúng?

A. \(A = \left\{ {2;3;5;7} \right\}\)	B. \(A = \left\{ {3;5;7;9} \right\}\)
C. \(A = \left( {2;3;5;7} \right)\)	D. \(A = \left( {3;5;7;9} \right)\)

Phương pháp

Khi liệt kê các phần tử của tập hợp, ta cần chú ý 1 số chú ý:

+ Các phần tử của tập hợp cho vào trong dấu ngoặc {}.

+ Các phần tử có thể viết theo thứ tự tùy ý.

+ Mỗi phần tử chỉ liệt kê một lần.

+ Nếu quy tắc các phần tử đủ rõ thì người ta dùng “…” mà không nhất thiết viết ra tất cả các phần tử của tập hợp.

Lời giải

Cách viết đúng: \(A = \left\{ {2;3;5;7} \right\}\)

Đáp án A

Câu 7: Miền nghiệm của một hệ bất phương trình là miền không bị gạch chéo (tính cả bờ) như hình dưới. Điểm nào sau đây nằm trong miền nghiệm của hệ bất phương trình trên?

 

A. \(\left( {1;2} \right)\)	B. \(\left( { - 3;0} \right)\)
C. \(\left( {4;3} \right)\)	D. \(\left( {0;\frac{1}{2}} \right)\)

Phương pháp

Để biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ Oxy, ta thực hiện:

+ Trên cùng mặt phẳng tọa độ, biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình của hệ.

+ Phần giao của các miền nghiệm là nghiệm của hệ bất phương trình.

Lời giải

Trong các điểm trên, chỉ có điểm \(\left( {0;\frac{1}{2}} \right)\) thuộc miền không bị gạch chéo trong mặt phẳng tọa độ.

Vậy điểm \(\left( {0;\frac{1}{2}} \right)\) nằm trong miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Đáp án D

Câu 8: Hệ nào dưới đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 1} \right)y \ge 4\\x \le 0\end{array} \right.\)	B. \(\left\{ \begin{array}{l}x + \frac{y}{9} \ge 0\\x - 2y \le 10\end{array} \right.\)
C. \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} < 3\\\frac{x}{{3y}} < 4\end{array} \right.\)	D. \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 9\\\frac{1}{2}{y^2} - 4{x^2} \le 3\end{array} \right.\)

Phương pháp

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y

Lời giải

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là \(\left\{ \begin{array}{l}x + \frac{y}{9} \ge 0\\x - 2y \le 10\end{array} \right.\)

Đáp án B

Câu 9: Hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{2}x - y < 1\\2x + y > 0\end{array} \right.\) có tập nghiệm là S. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \(\left( {1;1} \right) \in S\)	B. \(\left( {3; - 2} \right) \in S\)
C. \(\left( { - 1;\frac{1}{2}} \right) \in S\)	D. \(\left( {1; - 2} \right) \in S\)

Phương pháp

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y. Mỗi nghiệm chung của các bất phương trình trong hệ được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đó.

Lời giải

Với \(x =  - 1;y = \frac{1}{2}\) ta có: \(2\left( { - 1} \right) + \frac{1}{2} = \frac{{ - 3}}{2} < 0\) nên \(\left( { - 1;\frac{1}{2}} \right)\not  \in S\)

Với \(x = 1;y = 1\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{2} - 1 < 1\\2.1 + 1 > 0\end{array} \right.\) nên \(\left( {1;1} \right) \in S\)

Với \(x = 3;y =  - 2\) ta có: \(\frac{1}{2}.3 + 2 > 1\) nên \(\left( {3; - 2} \right)\not  \in S\)

Với \(x = 1;y =  - 2\) ta có: \(\frac{1}{2}.1 + 2 > 1\) nên \(\left( {1; - 2} \right)\not  \in S\)

Đáp án A

Câu 10: Miền nghiệm của bất phương trình \(2x - y - 1 \le 0\) là: 

A. Nửa mặt phẳng không kể bờ \(d:2x - y - 1 = 0\) chứa điểm O (0; 0)	B. Nửa mặt phẳng bờ \(d:2x - y - 1 = 0\) (tính cả bờ) chứa điểm O (0; 0)
C. Nửa mặt phẳng bờ \(d:2x - y - 1 = 0\) (tính cả bờ) không chứa điểm O (0; 0)	D. Nửa mặt phẳng không kể bờ \(d:2x - y - 1 = 0\) không chứa điểm O (0; 0)

Phương pháp

Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình \(ax + by + c \le 0\) như sau:

Bước 1: Trên mặt phẳng Oxy, vẽ đường thẳng \(d:ax + by + c = 0\)

Bước 2: Lấy một điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) không thuộc d. Tính \(a{x_0} + b{y_0} + c\)

Bước 3: Kết luận: + Nếu \(a{x_0} + b{y_0} + c \le 0\) thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (kể cả bờ d) chứa điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)

+ Nếu \(a{x_0} + b{y_0} + c > 0\) thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (kể cả bờ d) không chứa điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)

Lời giải

Ta thấy điểm O (0; 0) không thuộc đường thẳng \(d:2x - y - 1 = 0\) và \(2.0 - 0 - 1 \le 0\) nên điểm O thuộc miền nghiệm của bất phương trình \(2x - y - 1 \le 0\). Vậy miền nghiệm của bất phương trình \(2x + y - 1 \le 0\) là nửa mặt phẳng bờ d (tính cả bờ) chứa điểm O (0; 0)

Đáp án B

Câu 11: Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. \({x^2} + y >  - 3\)	B. \({y^3} + 2 \le 0\)
C. \(\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) \ge 4\)	D. \(x - 4y < 5\)

Phương pháp

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là bất phương trình có một trong các dạng

\(ax + by + c > 0,ax + by + c \ge 0,ax + by + c < 0,ax + by + c \le 0\)

Trong đó a, b, c là những số cho trước, a, b không đồng thời bằng 0 và x, y là các ẩn.

Lời giải

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là \(x - 4y < 5\)

Đáp án D

Câu 12: Cho bất phương trình có miền nghiệm là phần không bị gạch chéo (tính cả bờ) như hình dưới. Điểm nào sau đây nằm trong miền nghiệm của bất phương trình trên?

 

A. \(\left( {0;0} \right)\)	B. \(\left( {0; - 4} \right)\)
C. \(\left( {4;0} \right)\)	D. \(\left( {\frac{5}{2};0} \right)\)

Phương pháp

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) sao cho khi thay các giá trị \({x_0};{y_0}\) vào bất phương trình bậc nhất hai ẩn luôn được bất phương trình đúng được gọi là miền nghiệm của bất phương trình đó. 

Lời giải

Trong các điểm ở trên, chỉ có điểm \(\left( {0;0} \right)\) thuộc miền không bị gạch chéo. Do đó, điểm \(\left( {0;0} \right)\) nằm trong miền nghiệm của bất phương trình.

Đáp án A

Câu 13: Với \({0^0} \le \alpha  \le {180^0}\) thì:

A. \(\cot \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) = \cot \alpha \)	B. \(\cot \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) =  - \cot \alpha \)
C. \(\cot \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) = 2\cot \alpha \)	D. \(\cot \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) = \frac{1}{2}\cot \alpha \)

Phương pháp

Với \({0^0} < \alpha  < {180^0}\) thì \(\cot \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) =  - \cot \alpha \)

Lời giải

Với \({0^0} < \alpha  < {180^0}\) thì \(\cot \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) =  - \cot \alpha \)

Đáp án B

Câu 14: Chọn đáp án đúng.

A. \(\tan {135^0} = \sqrt 2 \)	B. \(\tan {135^0} =  - 1\)
C. \(\tan {135^0} = 1\)	D. \(\tan {135^0} =  - \sqrt 2 \)

Phương pháp

\(\tan {135^0} =  - 1\)

Lời giải

\(\tan {135^0} =  - 1\)

Đáp án B

Câu 15: Cho \(\cos \alpha  = 0\) và \({0^0} \le \alpha  \le {180^0}\) thì có bao nhiêu góc \(\alpha \) thỏa mãn điều kiện trên?

A. 1	B. 2
C. 3	D. 4

Phương pháp

\(\cos {90^0} = 0\)

Lời giải

Vì \(\cos {90^0} = 0\) và \({0^0} \le \alpha  \le {180^0}\) nên chỉ có 1 góc thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án A

Câu 16: Cho tam giác ABC tù tại C. Chọn đáp án đúng.

A. \(\cos A > 0\)	B. \(\cos B > 0\)
C. \(\cos C < 0\)	D. Cả A, B, C đều đúng

Phương pháp

Nếu \(\alpha \) là góc tù thì \(\cos \alpha  < 0\), nếu \(\alpha \) là góc nhọn thì \(\cos \alpha  > 0\)

Lời giải

Tam giác ABC tù tại C nên góc A, góc B là góc nhọn, góc C là góc tù. Do đó, \(\cos A > 0\), \(\cos B > 0\), \(\cos C < 0\)

Đáp án D

Câu 17: Cho hình vẽ:

 

Chọn đáp án đúng.

A. \(? = 925\)	B. \(? = \sqrt {925} \)
C. \(? = 1975\)	D. \(? = \sqrt {1975} \)

Phương pháp

Định lý cosin: Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\) thì \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)

Lời giải

Theo định lí cosin ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2.AB.AC.\cos A = {15^2} + {35^2} - 2.15.35\cos {60^0} = 925\)\( \Rightarrow ? = \sqrt {925} \)

Đáp án B

Câu 18: Cho tam giác ABC có \(AB = 3cm,AC = 5cm\). Chọn đáp án đúng.

A. \(\frac{{\cos B}}{{\cos C}} = \frac{3}{5}\)	B. \(\frac{{\cos B}}{{\cos C}} = \frac{5}{3}\)
C. \(\frac{{\sin B}}{{\sin C}} = \frac{3}{5}\)	D. \(\frac{{\sin B}}{{\sin C}} = \frac{5}{3}\)

Phương pháp

Định lí sin: Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\). Khi đó, \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\)

Lời giải

Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC ta có: \(\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{AC}}{{\sin B}}\) nên \(\frac{{\sin B}}{{\sin C}} = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{5}{3}\)

Đáp án D

Câu 19: Chọn đáp án đúng về công thức tính diện tích tam giác ABC.

A. \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\cos A\)	B. \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin A\)
C. \({S_{ABC}} = AB.AC.\cos A\)	D. \({S_{ABC}} = AB.AC.\sin A\)

Phương pháp

Công thức tính diện tích tam giác ABC là: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin A\)

Lời giải

Diện tích tam giác ABC là: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin A\)

Đáp án B

Câu 20: Cho tam giác ABC độ dài ba cạnh là a, b, c, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là R, p là nửa chu vi tam giác ABC. Chọn đáp án đúng.

A. \(pr = \frac{{abc}}{{2R}}\)	B. \(pr = \frac{{abc}}{R}\)
C. \(pr = \frac{{abc}}{{3R}}\)	D. \(pr = \frac{{abc}}{{4R}}\)

Phương pháp

Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\), R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác, p là nửa chu vi tam giác ABC thì diện tích S của tam giác ABC là: \(S = \frac{{abc}}{{4R}} = pr\)

Lời giải

Đáp án đúng: \(pr = \frac{{abc}}{{4R}}\left( { = S} \right)\)

Đáp án D

Câu 21: Câu nào sau đây là mệnh đề sai?

A. \(\pi \) là số hữu tỉ	B. Phương trình \(x - \frac{1}{2} = 0\) có nghiệm là số hữu tỉ
C. \( - 1\) là số nguyên âm	D. Hình thoi là hình có bốn cạnh bằng nhau

Phương pháp

Một khẳng định đúng gọi là mệnh đề đúng, khẳng định sai gọi là mệnh đề sai.

Lời giải

Mệnh đề sai là: \(\pi \) là số hữu tỉ

Đáp án A

Câu 22: Cho định lí: “Nếu hai tam giác bằng nhau thì diện tích của chúng bằng nhau”. Chọn câu trả lời đúng

A. Giả thiết của định lí trên là: Hai tam giác bằng nhau B. Kết luận của định lí trên là: Diện tích của chúng bằng nhau

C. Mệnh đề đảo của định lí trên là sai. D. A, B, C đều đúng.

Phương pháp

Mệnh đề “\(Q \Rightarrow P\)” được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề “\(P \Rightarrow Q\)”

Khi mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) là định lí, ta nói: P là giả thiết, Q là kết luận của định lí.

Lời giải

Giả thiết của định lí trên là: Hai tam giác bằng nhau

Kết luận của định lí trên là: Diện tích của chúng bằng nhau

Vì hai tam giác có diện tích bằng nhau chưa chắc đã bằng nhau nên mệnh đề đảo của định lí trên là sai.

Đáp án D

Câu 23: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề đảo sai?

A. Tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác cân B. Nếu \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\) thì tam giác ABC vuông tại A.

C. Nếu hai số x, y thỏa mãn \(x - y > 0\) thì có ít nhất một trong hai số x, y dương D. Nếu một số nguyên chia hết cho 21 thì nó chia hết cho cả 7 và 3

Phương pháp

Mệnh đề “\(Q \Rightarrow P\)” được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề “\(P \Rightarrow Q\)”

Lời giải

Mệnh đề có mệnh đề đảo sai là: Nếu hai số x, y thỏa mãn \(x - y > 0\) thì có ít nhất một trong hai số x, y dương

Đáp án C

Câu 24: Cho tập hợp \(A = \left( { - \infty ;4} \right]\) và \(B = \left[ {1;6} \right]\). Khi đó, tập hợp \(A \cup B\) là:

A. \(\left( { - \infty ;4} \right]\)	B. \(\left( { - \infty ;6} \right]\)
C. \(\left[ {1;6} \right]\)	D. \(\left[ {1;4} \right]\)

Phương pháp

Tập hợp gồm những phần tử thuộc tập hợp A hoặc thuộc tập hợp B được gọi là hợp của A và B, kí hiệu \(A \cup B\).

Lời giải

Ta có: \(A \cup B = \left( { - \infty ;6} \right]\)

Đáp án B

Câu 25: Kí hiệu nào sau đây dùng để viết đúng mệnh đề “\(\sqrt 3 \) là một số thực”?

A. \(\sqrt 3  \in \mathbb{R}\)	B. \(\sqrt 3  \in \mathbb{N}\)
C. \(\sqrt 3  \in \mathbb{Z}\)	D. \(\sqrt 3  \in \mathbb{N}*\)

Phương pháp

Sử dụng kí hiệu \( \in \) và tập hợp số thực kí hiệu là \(\mathbb{R}\)

Lời giải

Cách viết đúng mệnh đề trên là: \(\sqrt 3  \in \mathbb{R}\)

Đáp án A

Câu 26: Cho hai tập hợp A và B khác rỗng thỏa mãn \(A \subset B\). Mệnh đề nào sai trong các mệnh đề sau?

A. \(A\backslash B = \emptyset \)	B. \(A \cap B = A\)
C. \(A \cup B = B\)	D. \(B\backslash A = B\)

Phương pháp

Tập hợp gồm những phần tử thuộc tập hợp A hoặc thuộc tập hợp B được gọi là hợp của A và B, kí hiệu \(A \cup B\).

Tập hợp gồm những phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B được gọi là giao của A và B, kí hiệu là \(A \cap B\).

Tập hợp gồm những phần tử thuộc A nhưng không thuộc B gọi là hiệu của A và B, kí hiệu \(A\backslash B\)

Lời giải 

Tập hợp \(B\backslash A\) là tập hợp những phần tử thuộc B nhưng không thuộc A. Do đó, \(B\backslash A = B\) là đáp án sai

Đáp án D

Câu 27: Miền nghiệm của bất phương trình \(x + 2y - 2 \le 0\) là miền không bị gạch chéo (tính cả bờ) trong hình vẽ nào sau đây?

 

Phương pháp \(x + 2y - 2 \le 0\)

Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình \(ax + by + c \le 0\) như sau:

Bước 1: Trên mặt phẳng Oxy, vẽ đường thẳng \(d:ax + by + c = 0\)

Bước 2: Lấy một điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) không thuộc d. Tính \(a{x_0} + b{y_0} + c\)

Bước 3: Kết luận: + Nếu \(a{x_0} + b{y_0} + c \le 0\) thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (tính cả bờ d) chứa điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)

+ Nếu \(a{x_0} + b{y_0} + c \ge 0\) thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (tính cả bờ d) không chứa điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)

Lời giải

Ta thấy điểm O (0; 0) không thuộc đường thẳng \(d:x + 2y - 2 = 0\) và \(0 + 2.0 - 2 \le 0\) nên miền nghiệm của bất phương trình \(x + 2y - 2 \le 0\) là nửa mặt phẳng (kể cả bờ d) chứa điểm O.

Đáp án C

Câu 28: Miền nghiệm của bất phương trình \(3x + 2y > 6\) được biểu diễn bởi phần không gạch chéo trong hình nào dưới đây? 

 

Phương pháp

Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình \(ax + by + c > 0\) như sau:

Bước 1: Trên mặt phẳng Oxy, vẽ đường thẳng \(d:ax + by + c = 0\)

Bước 2: Lấy một điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) không thuộc d. Tính \(a{x_0} + b{y_0} + c\)

Bước 3: Kết luận: + Nếu \(a{x_0} + b{y_0} + c < 0\) thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ d) không chứa điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)

+ Nếu \(a{x_0} + b{y_0} + c > 0\) thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ d) chứa điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)

Lời giải

Nhận thấy, điểm O (0; 0) không thuộc đường thẳng \(d:3x + 2y - 6 = 0\) và \(3.0 + 2.0 < 6\) nên miền nghiệm của bất phương trình \(3x + 2y > 6\) là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d (không tính bờ) không chứa điểm O.

Đáp án A

Câu 29: Nửa mặt phẳng bờ d (tính cả bờ) phần không bị gạch là miền nghiệm của bất phương trình nào?

 

A. \(2x - y \ge  - 3\)	B. \(2x - y \le  - 3\)
C. \(2x - y <  - 3\)	D. \(2x - y >  - 3\)

Phương pháp

Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình \(ax + by + c > 0\) như sau:

Bước 1: Trên mặt phẳng Oxy, vẽ đường thẳng \(d:ax + by + c = 0\)

Bước 2: Lấy một điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) không thuộc d. Tính \(a{x_0} + b{y_0} + c\)

Bước 3: Kết luận: + Nếu \(a{x_0} + b{y_0} + c < 0\) thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ d) không chứa điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)

+ Nếu \(a{x_0} + b{y_0} + c > 0\) thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ d) chứa điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)

Lời giải

Đường thẳng d có phương trình là: \(2x - y =  - 3\)

Ta thấy điểm O (0; 0) không thuộc đường thẳng d, \(2.0 - 3.0 \ge  - 3\) và O thuộc miền nghiệm của bất phương trình nên bất phương trình cần tìm là \(2x - y \ge  - 3\).

Đáp án A

Câu 30: Phần không bị gạch chéo (không tính bờ) trong hình dưới đây là miền nghiệm của hệ bất phương trình nào?

 

A. \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\3x + 2y + 6 > 0\end{array} \right.\)	B. \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\3x + 2y - 6 < 0\end{array} \right.\)
C. \(\left\{ \begin{array}{l}y > 0\\3x + 2y - 6 < 0\end{array} \right.\)	D. \(\left\{ \begin{array}{l}y > 0\\3x + 2y + 6 < 0\end{array} \right.\)

Phương pháp

Để biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ Oxy, ta thực hiện:

+ Trên cùng mặt phẳng tọa độ, biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình của hệ.

+ Phần giao của các miền nghiệm là nghiệm của hệ bất phương trình.

Lời giải 

Dựa vào hình vẽ ta thấy đồ thị gồm hai đường thẳng \({d_1}:y = 0\) và \({d_2}:3x + 2y - 6 = 0\)

Phần bị gạch chéo là phần dưới trục hoành nên \(y > 0\) là một bất phương trình của hệ.

Điểm O không thuộc đường thẳng \({d_2}:3x + 2y - 6 = 0\), \(3.0 + 2.0 - 6 < 0\) và O thuộc phần không bị gạch chéo của đường thẳng \({d_2}\) nên \(3x + 2y - 6 < 0\) là một bất phương trình của hệ.

Do đó, hệ bất phương trình biểu diễn miền nghiệm trên là: \(\left\{ \begin{array}{l}y > 0\\3x + 2y - 6 < 0\end{array} \right.\)

Đáp án C

Câu 31: Cho tam giác ABC. Chọn khẳng định đúng:

A. \(\sin \frac{A}{2} = \frac{1}{2}\cos \left( {\frac{{B + C}}{2}} \right)\)	B. \(\sin \frac{A}{2} =  - \cos \left( {\frac{{B + C}}{2}} \right)\)
C. \(\sin \frac{A}{2} = \frac{{ - 1}}{2}\cos \left( {\frac{{B + C}}{2}} \right)\)	D. \(\sin \frac{A}{2} = \cos \left( {\frac{{B + C}}{2}} \right)\)

Phương pháp

Áp dụng công thức: \(\sin \alpha  = \cos \left( {{{90}^0} - \alpha } \right)\)

Lời giải

Ta có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0} \Rightarrow \widehat A = {180^0} - \left( {\widehat B + \widehat C} \right) \Rightarrow \frac{{\widehat B + \widehat C}}{2} = {90^0} - \frac{{\widehat A}}{2}\)

Do đó, \(\sin \frac{A}{2} = \cos \left( {{{90}^0} - \frac{A}{2}} \right) = \cos \frac{{B + C}}{2}\)

Đáp án D

Câu 32: Tính \(B = \sin {5^0} + \sin {150^0} - \sin {175^0} + \sin {180^0}\)

A. \(B = 1\)	B. \(B = \frac{3}{2}\)
C. \(B = \frac{1}{2}\)	D. \(B = 0\)

Phương pháp

Sử dụng kiến thức \(\sin \alpha  = \sin \left( {180 - \alpha } \right)\)

Lời giải

\(B = \sin {5^0} + \sin {150^0} - \sin {175^0} + \sin {180^0} = \sin {5^0} - \sin {175^0} + \sin {180^0} + \sin {150^0}\)

Mà \(\sin {5^0} = \sin \left( {{{180}^0} - {5^0}} \right) = \sin {175^0}\). Do đó, \(B = \sin {180^0} + \sin {150^0} = \frac{1}{2}\)

Đáp án C

Câu 33: Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp trong hình vẽ sau:

 

A. \(R = 2\)	B. \(R = \sqrt 2 \)
C. \(R = 4\)	D. \(R = 2\sqrt 2 \)

Phương pháp

Định lí sin: Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\) và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là R. Khi đó, \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\)

Lời giải

Ta có: \(\widehat C = {180^0} - \widehat A - \widehat B = {45^0}\)

Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC ta có: \(\frac{{AB}}{{\sin C}} = 2R \Rightarrow \frac{2}{{\sin {{45}^0}}} = 2.R \Rightarrow R = \sqrt 2 \)

Đáp án B

Câu 34: Cho tam giác ABC có \(AB = 15,AC = 35,\widehat A = {60^0}\). Tính số đo góc B (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

A. \({95^0}\)	B. \({94^0}\)
C. \({93^0}\)	D. \({96^0}\)

Phương pháp

Định lý côsin: Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\) thì \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)

Lời giải

Áp dụng định lí côsin vào tam giác ABC ta có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos A = {15^2} + {35^2} - 2.15.35.\cos A = 925 \Rightarrow BC = \sqrt {925} \)

Lại có: \(\cos B = \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2AB.BC}} = \frac{{{{15}^2} + 925 - {{35}^2}}}{{2.15.\sqrt {925} }} \approx  - 0,082 \Rightarrow \widehat B \approx {95^0}\)

Đáp án A

Câu 35: Tam giác với ba cạnh 6cm; 8cm; 10cm thì có bán kính đường tròn nội tiếp bằng bao nhiêu?

A. 2cm	B. 4cm
C. 3cm	D. 5cm

Phương pháp

Cho tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp là r, nửa chu vi tam giác là p thì diện tích của tam giác là \(S = pr\)

Lời giải

Vì \({6^2} + {8^2} = {10^2}\) nên tam giác với ba cạnh 6; 8; 10 là tam giác vuông.

Do đó: \(\frac{{6 + 8 + 10}}{2}.r = \frac{1}{2}.6.8 \Rightarrow r = 2cm\)

Đáp án A

Phần tự luận (3 điểm)

Bài 1. (1,0 điểm) Cho tập hợp \(A = \left\{ {n \in \mathbb{N}|3n + 1 \le 19} \right\},B = \left\{ {n \in \mathbb{N}|{n^2} \le 25} \right\}\).

Xác định các tập hợp \(A \cap B,A\backslash B\)

Phương pháp

Tập hợp gồm những phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B được gọi là giao của A và B, kí hiệu là \(A \cap B\).

Tập hợp gồm những phần tử thuộc A nhưng không thuộc B được gọi là hiệu của A và B, kí hiệu là \(A\backslash B\).

Lời giải

Ta có: \(3n + 1 \le 19\) suy ra \(3n \le 18\) hay \(n \le 6\). Mà \(n \in \mathbb{N}\) nên \(A = \left\{ {0;1;2;3;4;5;6} \right\}\)

Lại có: \({n^2} \le 25\) nên \( - 5 \le n \le 5\). Mà \(n \in \mathbb{N}\) nên \(B = \left\{ {0;1;2;3;4;5} \right\}\)

Do đó, \(A \cap B = \left\{ {0;1;2;3;4;5} \right\},A\backslash B = \left\{ 6 \right\}\)

Bài 2. (1,0 điểm) Hai máy bay cùng xuất phát từ một sân bay A và bay theo hai hướng khác nhau, tạo với nhau góc 60 độ. Máy bay thứ nhất bay với vận tốc 700km/h, máy bay thứ hai bay với vận tốc 800km/h. Sau 2 giờ, hai máy bay bay cách nhau bao nhiêu ki- lô- mét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)? Biết rằng cả hai máy bay theo đường thẳng và sau 2 giờ đều chưa hạ cánh.

Phương pháp

Định lí côsin: Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\) thì \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)

Lời giải

Giả sử sau 2 giờ, máy bay thứ nhất bay đến vị trí B, máy bay thứ hai bay đến vị trí C. Ta có: \(AB = 2.700 = 1\;400\left( {km} \right),AC = 2.800 = 1\;600\left( {km} \right)\), \(\widehat A = {60^0}\) Áp dụng định lí côsin vào tam giác ABC ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos A\) \( = 1\;{400^2} + 1\;{600^2} - 2.1400.1600.\cos {60^0} = 2\;280\;000\) \( \Rightarrow BC \approx 1509,97\left( {km} \right)\) Vậy sau 2 giờ hai máy bay cách nhau khoảng 1509,97km

Bài 3. (1,0 điểm) Cho tam giác ABC có p là nửa chu vi tam giác ABC, \(AB = c,BC = a,AC = b\). Chứng minh rằng \(\cos \frac{A}{2} = \sqrt {\frac{{p\left( {p - a} \right)}}{{bc}}} \)

Phương pháp

Định lý côsin: Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\) thì \({b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac\cos B\)

Lời giải

Trên tia đối của tia AC lấy điểm D thỏa mãn \(AD = AB = c\). Do đó, tam giác BAD cân tại A và \(\widehat {BDA} = \frac{1}{2}\widehat {BAC}\) Áp dụng định lí côsin vào tam giác ABD ta có: \(B{D^2} = A{B^2} + A{D^2} - 2AB.AD.\cos \widehat {BAD}\) \( = 2{c^2} - 2{c^2}.\cos \left( {{{180}^0} - \widehat {BAC}} \right)\) \( = 2{c^2}\left( {1 + \cos \widehat {BAC}} \right) = 2{c^2}\left( {1 + \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}} \right)\) \( = \frac{c}{b}\left( {a + b + c} \right)\left( {b + c - a} \right) = \frac{{4c}}{b}p\left( {p - a} \right)\) Do đó, \(BD = 2\sqrt {\frac{{cp\left( {p - a} \right)}}{b}} \) Gọi I là trung điểm của BD thì AI vuông góc với BD tại I. Trong tam giác AID vuông tại I có: \(\cos \frac{{\widehat {BAC}}}{2} = \cos \widehat {ADI} = \frac{{DI}}{{AD}} = \frac{{BD}}{{2c}} = \sqrt {\frac{{p\left( {p - a} \right)}}{{bc}}} \)