Đề thi giữa kì 1 Toán 10

Đề bài

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Kí hiệu nào sau đây viết đúng mệnh đề: “\(\sqrt 2 \) không là số hữu tỉ”

A. \(\sqrt 2  = \mathbb{Q}\)

B. \(\sqrt 2  \in \mathbb{Q}\)

C. \(\sqrt 2  \subset \mathbb{Q}\)

D. \(\sqrt 2  \notin \mathbb{Q}\)

Câu 2. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. \(\forall x \in \mathbb{R},{x^2} > 4 \Rightarrow x >  - 2\).

B. \(\forall x \in \mathbb{R},{x^2} > 4 \Rightarrow x > 2\).

C. \(\forall x \in \mathbb{R},x >  - 2 \Rightarrow {x^2} > 4\).

D. \(\forall x \in \mathbb{R},x > 2 \Rightarrow {x^2} > 4\)

Câu 3. Cho A là tập hợp các số tự nhiên chẵn, \(B = \{ n \in \mathbb{N}|n \le 8\} \) và \(C = \{ n \in \mathbb{N}|2 \le n \le 5\} \). Tìm tập hợp \(A \cap \left( {B \cap C} \right)\).

A. \(\{ 2;4\} \).

B. \(\{ 2\} \).

C. \(\{ 4\} \).

D. \(\emptyset \).

Câu 4. Cho \(A = ( - 2;5]\) và \(B = (m; + \infty )\). Tìm \(m \in \mathbb{Z}\) để \(A{\rm{\backslash }}B\) chứa đúng 3 số nguyên là:

A. \(0\).

B. \(1\).

C. \(2\).

D. \(3\).

Câu 5. Để chuẩn bị cho các tiết mục văn nghệ, lớp 10B cử ra 12 bạn tham gia tiết mục múa và 7 bạn vào tiết mục hát. Biết rằng có 3 bạn tham gia cả hai tiết mục và 22 bạn không tham gia văn nghệ. Số học sinh lớp 10B là:

A. \(36\).

B. \(38\).

C. \(40\).

D. \(45\).

Câu 6. Miền nghiệm của bất phương trình \(x - 2y \ge 4\) là:

A.   

B.    

C.   

D. 

Câu 7. Giá trị lớn nhất của \(F(x;y) = x - 3y\), với điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\0 \le y \le 5\\x + y - 2 \ge 0\\3x - y \le 6\end{array} \right.\)

A.\(2\).

B. \( - 6\).

C.\( - \frac{{34}}{3}\).

D. \( - 15\).

Câu 8. Cho góc \(x\;({0^ \circ } < x < {180^ \circ })\) thỏa mãn \(\tan x = 3\). Tính biểu thức \(P = \frac{{10\sin x + 13\cos x}}{{7\sin x - 8\cos x}}\)

A. \(\frac{{10}}{7}\).

B. \(\frac{{19}}{4}\).

C. \(\frac{{ - 49}}{7}\).

D. \(\frac{{43}}{{13}}\).

Câu 9. Rút gọn biểu thức \(A = \frac{{1 - \cos \alpha  + \cos 2\alpha }}{{\sin 2\alpha  - \sin \alpha }}\)

A.\(\sin \alpha \).

B. \(\cos \alpha \).

C. \(\tan \alpha \).

D. \(\cot \alpha \).

Câu 10. Cho tam giác ABC có góc A nhọn thỏa mãn \(\sin A\sin B = \cos C\) thì:

A. \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2}\).

B. \(AB > AC\).

C. Tam giác ABC cân tại B.

D. \(\cos C < 0\).

Câu 11. Cho tam giác ABC có \(a = 4,b = 5,c = 7\). Bán kính đường tròn nội tiếp r của tam giác ABC bằng:

A. \(12\).

B. \(6\).

C. \(\frac{{\sqrt 6 }}{2}\).

D. \(\sqrt 6 \).

Câu 12. Cho tam giác \(ABC\) có \(c = 32\), \(\widehat A = {70^o}\), \(b = 45\). Độ dài cạnh BC là:

A. \(40\).

B. \(41\).

C. \(42\).

D. \(43\).

Câu 13. Điểm \(A(1;2)\) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình nào dưới đây?

A. \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y > 7\\3x - y < 5\end{array} \right.\)

B. \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y > 7\\x + y \le 3\end{array} \right.\)

C. \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 4 \le 10\\4x - y > 3\end{array} \right.\)

D. \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 5y > 8\\x - 3y \le 4\end{array} \right.\)

Câu 14. Cho \({0^ \circ } < a,b < {90^ \circ }\) thỏa mãn: \(\sin {108^ \circ } = \sin ({10^ \circ } + a) = \cos (b - {10^ \circ })\). Tổng \(a + b\) là:

A. \(70\).

B. \(90\).

C. \(130\).

D. \(170\).

Câu 15. Cho bất phương trình \(2(2x - 3y) - (2x - y + 5) > x - 3y + 1\). Điểm nào dưới đây thuộc miền nghiệm của hệ đã cho?

A. \(O(0;0)\).

B. \(A(1;0)\).

C. \(B(3; - 2)\).

D. \(C(0;2)\).

II. PHẦN TỰ LUẬN

Câu 1. Xác định các tập hợp sau và biểu diễn chúng trên trục số.

a) \(( - \infty ;3) \cap ( - 4; + \infty )\).

b) \((1;6] \cup ( - 2;5]\).

c) \([ - 3;7){\rm{\backslash }}(1; + \infty )\).

d) \(\mathbb{R}{\rm{\backslash }}( - 1;8]\).

Câu 2. Nhà cô Minh có mảnh vườn rộng 8 \({m^2}\). Cô dự định trồng cà chua và cải bắp trên toàn bộ mảnh vườn đó. Nếu trồng cà chua thì cần 20 công và thu được 300 nghìn đồng trên mỗi \({m^2}\). Nếu trồng cải bắp thì cần 30 công và thu được 400 nghìn đồng trên mỗi \({m^2}\). Hỏi cần cần trồng mỗi loại cây trên diện tích bao nhiêu để tthu được nhiều tiền nhất mà tổng số công không quá 180?

Câu 3. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có:

a) \({b^2} - {c^2} = a(b.\cos C - c.\cos B)\).

b) \({h_a} = 2R\sin B\sin C\).

Câu 4. Cho \(\sin (a + b) = 2\cos (a - b)\). Chứng minh biểu thức \(M = \frac{1}{{2 - \sin 2a}} + \frac{1}{{2 - \sin 2b}}\) không phụ thuộc vào a,b.

Lời giải chi tiết

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM

Câu 1:

Cách giải:

Tập hợp các số hữu tỉ: \(\mathbb{Q}\).

“\(\sqrt 2 \) không là số hữu tỉ” viết là: \(\sqrt 2  \notin \mathbb{Q}\).

Chọn D.

Câu 2:

Cách giải:

Mệnh đề “\(\forall x \in \mathbb{R},{x^2} > 4 \Rightarrow x >  - 2\)” sai, chẳng hạn \(x =  - 3\) thì \({x^2} > 4\) nhưng \(x <  - 2\).

Mệnh đề “\(\forall x \in \mathbb{R},{x^2} > 4 \Rightarrow x > 2\)” sai, chẳng hạn \(x =  - 3\) thì \({x^2} > 4\) nhưng \(x < 2\).

Mệnh đề “\(\forall x \in \mathbb{R},x >  - 2 \Rightarrow {x^2} > 4\)” sai, chẳng hạn \(x = 0 >  - 2\) nhưng \({x^2} < 4\).

Mệnh đề “\(\forall x \in \mathbb{R},x > 2 \Rightarrow {x^2} > 4\)” đúng.

Chọn D.

Câu 3:

Phương pháp:

Cho A là tập hợp các số tự nhiên chẵn, \(B = \{ n \in \mathbb{N}|n \le 8\} \) và \(C = \{ n \in \mathbb{N}|2 \le n \le 5\} \).

Tìm tập hợp \(A \cap \left( {B \cap C} \right)\).

Cách giải:

\(A = \{ 0;2;4;6;8;...\} \)

\(B = \{ 0;1;2;3;4;5;6;7;8\} \).

\(C = \{ 2;3;4;5\} \).

Ta có: \(B \cap C = \{ 2;3;4;5\}  = C \)

\(\Rightarrow A \cap \left( {B \cap C} \right) = A \cap C = \{ 2;4\} \).

Chọn A.

Câu 4:

Cách giải:

+ Nếu \(m \ge 5\) thì \(A{\rm{\backslash }}B = ( - 2;5]{\rm{\backslash }}(m; + \infty ) = A = ( - 2;5]\), chứa 7 số nguyên là -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5 (nhiều hơn 3) nên ta loại trường hợp m > 5.

+ Để \(A{\rm{\backslash }}B \ne \emptyset \) thì m > -2. Xét trường hợp -2 < m < 5, khi đó \(A{\rm{\backslash }}B = ( - 2;5]{\rm{\backslash }}(m; + \infty ) = ( - 2;m]\).

Chứa 3 số nguyên -1; 0; 1 thì m = 1.

Chọn B.

Câu 5:

Phương pháp:

Thay cặp số vào BPT, cặp số nào cho ta mệnh đề đúng thì cặp số đó là nghiệm của BPT đã cho.

Để chuẩn bị cho các tiết mục văn nghệ, lớp 10B cử ra 12 bạn tham gia tiết mục múa và 7 bạn vào tiết mục hát. Biết rằng có 3 bạn tham gia cả hai tiết mục và 22 bạn không tham gia văn nghệ. Số học sinh lớp 10B là:

Gọi A là tập hợp các học sinh tham gia tiết mục múa.

B là là tập hợp các học sinh tham gia tiết mục hát.

Cách giải:

Gọi A là tập hợp các học sinh tham gia tiết mục múa.

B là là tập hợp các học sinh tham gia tiết mục hát.

Suy ra : \(A \cup B\) là tập hợp các học sinh tham gia văn nghệ.

\(A \cap B\) là tập hợp các học sinh tham gia cả hai tiết mục.

Ta có : \(n(A) = 12\), \(n(B) = 7\), \(n(A \cap B) = 3\)

\( \Rightarrow \) Số học sinh tham gia văn nghệ là:

\(n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 12 + 7 - 3 = 16\) (học sinh).

Số học sinh lớp 10B (gồm học sinh tham gia văn nghệ và các học sinh không tham gia văn nghệ) là: \(16 + 22 = 38\) (học sinh).

Chọn B.

Câu 6:

Phương pháp:

Xác định đường thẳng \(x - 2y = 4\) và xét một điểm (không thuộc đường thẳng) xem có thuộc miền nghiệm hay không.

Cách giải:

Đường thẳng \(x - 2y = 4\) đi qua điểm có tọa độ (4; 0) và (0; -2) => Loại C, D.

Xét điểm O(0; 0), ta có: \(0 - 2.0 = 0 < 4\) nên O không thuộc miền nghiệm.

Chọn B.

Câu 7:

Phương pháp:

Bước 1: Biểu diễn miền nghiệm, xác định các đỉnh của miền nghiệm.

Bước 2: Thay tọa độ các đỉnh vào \(F(x;y) = x - 3y\), kết luận giá trị nhỏ nhất.

Cách giải:

Xét hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\0 \le y \le 5\\x + y - 2 \ge 0\\3x - y \le 6\end{array} \right.\)

Biểu diễn miền nghiệm của hệ, ta được:

 

Miền nghiệm là miền tứ giác ABCD trong đó \(A\left( {0;2} \right)\), \(B\left( {0;5} \right)\), \(C\left( {\frac{{11}}{3};5} \right)\), \(D(2;0)\).

Thay tọa độ các điểm A, B, C, D vào \(F(x;y) = x - 3y\) ta được:

\(F(0;2) = 0 - 3.2 =  - 6\);

\(F(0;5) = 0 - 3.5 =  - 15\);

\(F\left( {\frac{{11}}{3};5} \right) = \frac{{11}}{3} - 3.5 =  - \frac{{34}}{3}\);

\(F(2;0) = 2 - 3.0 = 2\).

Vậy giá trị lớn nhất của F bằng 2.

Chọn A.

Câu 8:

Phương pháp:

Chia cả tử và mẫu của P cho cosx để làm xuất hiện tanx.

Cách giải:

Vì \(\tan x = 3\) nên \(\cos x \ne 0\).

Khi đó: \(P = \frac{{10\sin x + 13\cos x}}{{7\sin x - 8\cos x}}\)

\(= \frac{{\frac{{10\sin x + 13\cos x}}{{\cos x}}}}{{\frac{{7\sin x - 8\cos x}}{{\cos x}}}} = \frac{{10\frac{{\sin x}}{{\cos x}} + 13}}{{7\frac{{\sin x}}{{\cos x}} - 8}}\)

\( = \frac{{10\tan x + 13}}{{7\tan x - 8}} = \frac{{10.3 + 13}}{{7.3 - 8}} = \frac{{43}}{{13}}\).

Chọn D.

Câu 9:

Phương pháp:

Áp dụng công thức: \(\cos 2\alpha  = 2{\cos ^2}\alpha  - 1\); \(\sin 2\alpha  = 2\sin \alpha \cos \alpha \).

Cách giải:

\(A = \frac{{1 - \cos \alpha  + \cos 2\alpha }}{{\sin 2\alpha  - \sin \alpha }} = \frac{{1 - \cos \alpha  + 2{{\cos }^2}\alpha  - 1}}{{2\sin \alpha \cos \alpha  - \sin \alpha }}\)

\(= \frac{{2{{\cos }^2}\alpha  - \cos \alpha }}{{2\sin \alpha \cos \alpha  - \sin \alpha }} = \frac{{\cos \alpha \left( {2\cos \alpha  - 1} \right)}}{{\sin \alpha \left( {2\cos \alpha  - 1} \right)}} \)

\(= \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \cot \alpha\).

Chọn D.

Câu 10:

Cách giải:

Ta có: \(\sin A\sin B = \cos C\)

Mà \(\cos C =  - \cos ({180^ \circ } - C) =  - \cos (A + B)\)

\(=  - \cos A\cos B + \sin A\sin B\).

\( \Rightarrow \sin A\sin B =  - \cos A\cos B + \sin A\sin B\)

\(\Leftrightarrow \cos A\cos B = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos A = 0\\\cos B = 0\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\widehat A = {90^ \circ }\\\widehat B = {90^ \circ }\end{array} \right.\)

Theo giải thiết, góc A nhọn nên \(\widehat B = {90^ \circ }\) hay tam giác ABC vuông tại B.

Khi đó: \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2}\), \(AC > AB\) (do AC là cạnh huyền), \(\cos C > 0\) (do \({0^ \circ } < \widehat C < {90^ \circ }\)).

Chọn A.

Câu 11:

Phương pháp:

Bước 1: Tính diện tích \(S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} \).

Bước 2: Tính bán kính \(R\) dựa vào công thức \(S = \frac{{abc}}{{4R}}\).

Cách giải:

Ta có \(a = 4,b = 5,c = 7 \Rightarrow p = \frac{{4 + 5 + 7}}{2} = 8\).

Suy ra diện tích tam giác ABC là:

\(S = \sqrt {8.(8 - 4)(8 - 5)(8 - 7)}  = 4\sqrt 6 \).

Bán kính đường tròn nội tiếp r của tam giác ABC bằng:

\(r = \frac{S}{p} = \frac{{4\sqrt 6 }}{8} = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\).

Chọn C.

Câu 12:

Phương pháp:

Áp dụng định lí cos: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\).

Cách giải:

Ta có: \(c = 32,\widehat A = {70^o},b = 45\).

Áp dụng định lí cos trong tam giác ABC ta có:

\({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)

\( \Leftrightarrow {a^2} = {45^2} + {23^2} - 2.45.23\cos {70^ \circ } \approx 1846\)

\(\Rightarrow a = \sqrt {1846}  \approx 43\).

Vậy độ dài cạnh AC là khoảng 43.

Chọn D.

Câu 13.

Phương pháp:

Thay tọa độ điểm A vào hệ BPT, hệ nào cho ta các mệnh đề đúng thì điểm A thuộc miền nghiệm của hệ BPT đó.

Cách giải

+ Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y > 7\\3x - y < 5\end{array} \right.\), thay \(x = 1,y = 2\) ta được: \(1 + 2.2 > 7\) sai nên A(1;2) không thuộc miền nghiệm của hệ BPT.

+ Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y > 7\\x + y \le 3\end{array} \right.\), thay \(x = 1,y = 2\) ta được: \(2.1 - 2 > 7\) sai nên A(1;2) không thuộc miền nghiệm của hệ BPT.

+ Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 4 \le 10\\4x - y > 3\end{array} \right.\), thay \(x = 1,y = 2\) ta được: \(4.1 - 2 > 3\) sai nên A(1;2) không thuộc miền nghiệm của hệ BPT.

+ Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 5y > 8\\x - 3y \le 4\end{array} \right.\), thay \(x = 1,y = 2\) ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}2.1 + 5.2 > 8\\1 - 3.2 \le 4\end{array} \right.\) đúng nên A(1;2) thuộc miền nghiệm của hệ BPT.

Chọn D.

Câu 14.

Cách giải

Ta có: \(\sin {108^ \circ } = \sin ({180^ \circ } - {108^ \circ }) = \sin {72^ \circ }\)

\( \Rightarrow \sin {72^ \circ } = \sin ({10^ \circ } + a)\)

\( \Rightarrow {72^ \circ } = {10^ \circ } + a \Leftrightarrow a = {62^ \circ }\) (do \({0^ \circ } < a < {90^ \circ }\)).

Tương tự, \(\sin {72^ \circ } = \cos ({90^ \circ } - {72^ \circ }) = \cos {18^ \circ }\)

\( \Rightarrow \cos {18^ \circ } = \cos (b - {10^ \circ })\)

\( \Rightarrow {18^ \circ } = b - {10^ \circ } \Leftrightarrow b = {28^ \circ }\) (do \({0^ \circ } < b < {90^ \circ }\)).

Do đó \(a + b = {62^ \circ } + {28^ \circ } = {90^ \circ }\).

Chọn B.

Câu 15.

Cách giải:

Ta có: \(2(2x - 3y) - (2x - y + 5) > x - 3y + 1\).

\( \Leftrightarrow 4x - 6y - 2x + y - 5 - x + 3y - 1 > 0\)

\(\Leftrightarrow x - 2y - 6 > 0\).

Thay tọa độ các điểm vào BPT:

+ Vì \(0 - 2.0 - 6 =  - 6 < 0\) nên \(O(0;0)\) không thuộc miền nghiệm.

+ Vì \(1 - 2.0 - 6 =  - 5 < 0\) nên \(A(1;0)\) không thuộc miền nghiệm.

+ Vì \(3 - 2.( - 2) - 6 = 1 > 0\) nên \(B(3; - 2)\) thuộc miền nghiệm.

+ Vì \(0 - 2.2 - 6 =  - 10 < 0\) nên \(C(0;2)\) không thuộc miền nghiệm.

Chọn C.

II. PHẦN TỰ LUẬN

Câu 1:

Phương pháp: 

a) \(A \cap B = \{ x \in A|x \in B\} \).           

b) \(A \cup B = \{ x|x \in A\) hoặc \(x \in B\} \).

c) \(A{\rm{\backslash }}B = \{ x \in A|x \notin B\} \).

Cách giải:

a) Biểu diễn hai tập \(( - \infty ;3)\) và \(( - 4; + \infty )\) trên trục số, ta được:

 

Giao của hai tập hợp: \(( - \infty ;3) \cap ( - 4; + \infty ) = ( - 4;3)\).

b) Biểu diễn hai tập \((1;6]\) và \(( - 2;5]\) trên trục số, ta được:

 

Hợp của hai tập hợp: \((1;6] \cup ( - 2;5] = ( - 2;6]\).

c) Biểu diễn hai tập \(( - 3;7]\) và \((1; + \infty )\) trên trục số, ta được:

 

Hiệu của hai tập hợp: \([ - 3;7){\rm{\backslash }}(1; + \infty ) = [ - 3;1]\).

d) Biểu diễn tập \(( - 1;8]\) trên trục số, ta được:

 

Hiệu của hai tập hợp: \(\mathbb{R}{\rm{\backslash }}( - 1;8] = ( - \infty ; - 1] \cup (8; + \infty )\).

Câu 2:

Cách giải:

Gọi diện tích trồng cà chua và cải bắp lần lượt là x, y (đơn vị: \({m^2}\)) \((x,y \ge 0)\).

Mảnh vườn rộng 8 \({m^2}\) nên ta có: \(x + y \le 8\).

Khi trồng x \({m^2}\) cà chua thì cần \(20x\) công và thu được \(300x\) nghìn đồng.

Khi trồng y \({m^2}\) cải bắp thì cần \(30x\) công và thu được \(400x\) nghìn đồng.

Tổng số công không quá 180 nên ta có: \(20x + 30y \le 180\) hay \(2x + 3y \le 18\).

Tổng số tiền thu được là: \(F(x;y) = 300x + 400y\).

Ta có hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 8\\0 \le y \le 8\\x + y \le 8\\2x + 3y \le 18\end{array} \right.\)

Biểu diễn miền nghiệm trên hệ trục Oxy, ta được:

 

Miền nghiệm là miền tứ giác ABCD (kể cả các cạnh), trong đó A(0; 6), B(6; 2), C(8; 0), O(0; 0).

Lần lượt thay tọa độ các điểm A, B, C, D vào biểu thức \(F(x;y) = 300x + 400y\) ta được:

\(F(0;0) = 300.0 + 400.0 = 0\);

\(F(0;6) = 300.0 + 400.6 = 2400\);

\(F(2;6) = 300.2 + 400.6 = 3000\);

\(F(8;0) = 300.8 + 400.0 = 2400\).

Do đó F đạt giá trị lớn nhất bằng 3000 tại x = 2, y = 6.

Vậy cô Minh cần mua trồng 2 \({m^2}\) cà chua và 6 \({m^2}\) cải bắp.

Câu 3:

Phương pháp:

a) Áp dụng hệ quả của định lí cosin:

\(\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}\);

\(\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\).

b) Áp dụng các công thức tính diện tích

\(S = \frac{1}{2}a.{h_a} = \frac{{abc}}{{4R}}\).

Định lí sin: \(\frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\).

Cách giải:

a) Từ định lí cosin, ta suy ra:

\(\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}\);

\(\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\).

\( \Rightarrow a(b.\cos C - c.\cos B) = ab.\cos C - ac.\cos B)\)

\(= ab.\frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} - ac.\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}\)

\(= \frac{1}{2}\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right) - \frac{1}{2}\left( {{a^2} + {c^2} - {b^2}} \right)\)

\(= \frac{1}{2}\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2} - {a^2} - {c^2} + {b^2}} \right)\)

\(= \frac{1}{2}\left( {2{b^2} - 2{c^2}} \right) = {b^2} - {c^2}\).

b) 

a) Từ định lí cosin, ta suy ra:

\(\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}\);

\(\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\).

\(\Rightarrow a(b.\cos C - c.\cos B) = ab.\cos C - ac.\cos B)\)

\(= ab.\frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} - ac.\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}\)

\(= \frac{1}{2}\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right) - \frac{1}{2}\left( {{a^2} + {c^2} - {b^2}} \right)\)

\(= \frac{1}{2}\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2} - {a^2} - {c^2} + {b^2}} \right)\)

\(= \frac{1}{2}\left( {2{b^2} - 2{c^2}} \right) = {b^2} - {c^2}\).

b) Ta có: \(S = \frac{1}{2}a.{h_a} \Rightarrow {h_a} = \frac{{2S}}{a}\)

Mà \(S = \frac{{abc}}{{4R}} \Rightarrow 2S = \frac{{abc}}{{2R}} \Rightarrow {h_a} = \frac{{bc}}{{2R}}\)  (1)

Lại có: Theo định lí sin: \(\frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\)

\( \Rightarrow \sin B = \frac{b}{{2R}}\); \(\sin C = \frac{c}{{2R}}\)

\( \Rightarrow 2R\sin B\sin C = 2R.\frac{b}{{2R}}.\frac{c}{{2R}} = \frac{{bc}}{{2R}}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \({h_a} = 2R\sin B\sin C\).

Câu 4:

Cách giải:

Đặt \(2u = \sin (a + b) = 2\cos (a - b)\).

Dễ thấy \(u \ne  \pm 1\) do \(\left| {2u} \right| = \left| {\sin (a + b)} \right| \le 1\).

Ta có: \(M = \frac{1}{{2 - \sin 2a}} + \frac{1}{{2 - \sin 2b}}\)

\(= \frac{{2 - \sin 2b + 2 - \sin 2a}}{{\left( {2 - \sin 2a} \right)\left( {2 - \sin 2b} \right)}}\)

\(= \frac{{4 - \left( {\sin 2a + \sin 2b} \right)}}{{4 - 2\sin 2a - 2\sin 2b + \sin 2a.\sin 2b}}\).

Mà: \(\sin 2a + \sin 2b = 2\sin \frac{{2a + 2b}}{2}\cos \frac{{2a - 2b}}{2}\)

\( = 2\sin \left( {a + b} \right)\cos \left( {a - b} \right) = 2.2u.u = 4{u^2}\);

\(\sin 2a.\sin 2b =  - \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {2a + 2b} \right) - \cos \left( {2a - 2b} \right)} \right]\)

\(=  - \frac{1}{2}\left[ {1 - 2{{\sin }^2}(a + b) - 2{{\cos }^2}(a - b) + 1} \right]\)

\(= {\cos ^2}(a + b) + {\sin ^2}(a - b) - 1\)

\(= {u^2} + {(2u)^2} - 1 = 5{u^2} - 1\).

\( \Rightarrow M = \frac{{4 - 4{u^2}}}{{4 - 2.4{u^2} + 5{u^2} - 1}} = \frac{{4 - 4{u^2}}}{{3 - 3{u^2}}} = \frac{4}{3}\).

Vậy \(M = \frac{4}{3}\) không phụ thuộc vào a, b.

Đề bài

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Kí hiệu nào sau đây viết đúng mệnh đề: “\(\sqrt 5 \) không là số nguyên”

A. \(\sqrt 5  = \mathbb{Z}\)                      B. \(\sqrt 5  \in \mathbb{Z}\)        C. \(\sqrt 5  \subset \mathbb{Z}\)                 D. \(\sqrt 5  \notin \mathbb{Z}\)

Câu 2. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. \(\forall x \in \mathbb{R},{x^2} > 1 \Rightarrow x >  - 1\).                   B. \(\forall x \in \mathbb{R},{x^2} > 1 \Rightarrow x > 1\).                 

     C. \(\forall x \in \mathbb{R},x >  - 1 \Rightarrow {x^2} > 1\).              D. \(\forall x \in \mathbb{R},x > 1 \Rightarrow {x^2} > 1\)

Câu 3. Cho \(A = \{ n = 2k|k \in \mathbb{N},k \le 3\} \) , \(B = \{ n \in \mathbb{N}|n \le 5\} \) và \(C = \{ n \in \mathbb{N}|2 \le n \le 6\} \).

Tìm tập hợp \(A{\rm{\backslash }}\left( {B \cup C} \right)\)

A. \(\{ 0;8\} \)                        B. \(\{ 0\} \).                      C. \(\{ 8\} \).           D. \(\emptyset \).

Câu 4. Cho \(A = ( - 2;5]\) và \(B = (m; + \infty )\). Tìm \(m \in \mathbb{Z}\) để \(A{\rm{\backslash }}B\) chứa đúng 5 số nguyên là:

A. \(1\).                       B. \(3\).                      C. \(5\)                        D. \(7\)

Câu 5. Lớp 10A có 45 học sinh trong đó có 23 em thích môn Văn, 20 em thích môn Toán, 12 em không thích môn nào. Số em thích cả hai môn trên là :

A. \(8\).                      B. \(10\).                      C. \(12\).                  D. \(14\).

Câu 6. Miền nghiệm của bất phương trình \(2x + 3y \le 12\) là:

A.                     B.     

     C.                D. 

Câu 7. Giá trị lớn nhất của \(F(x;y) = 5x - 3y\), với điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\0 \le y \le 5\\x + y - 2 \ge 0\\3x - y \le 6\end{array} \right.\)

A.\( - 2\)                      B. \(10\)                    C.\(\frac{{10}}{3}\)             D. \( - 15\)

Câu 8. Cho góc \(x\;({0^ \circ } < x < {180^ \circ })\) thỏa mãn \(\tan x = 5\). Tính biểu thức \(P = \frac{{3\sin x + 11\cos x}}{{7\sin x - 9\cos x}}\)

A. \(\frac{{ - 29}}{{19}}\).      B. \(\frac{{29}}{{19}}\).     C. \( - 1\).                 D. \(1\).

Câu 9. Rút gọn biểu thức \(A = \frac{{\sin x + \sin 3x + \sin 5x}}{{\cos x + \cos 3x + \cos 5x}}\)

A.\(\sin 3x\)                    B. \(\cos 3x\).               C. \(\tan 3x\).                   D. \(\tan x\).

Câu 10. Cho tam giác ABC. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. \(\sin (A + B) =  - \sin C\)                B. \(\sin \left( {\frac{{A + B}}{2}} \right) = \cos \frac{C}{2}\)

     C. \(\cos (A + B) = \cos C\)                    D. \(\tan (A + B) = \tan C\)

Câu 11. Cho tam giác ABC có \(BC = 5,\widehat {BAC} = {120^o}\). Bán kính đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\) bằng:

A.\(R = \frac{{5\sqrt 3 }}{2}\)                  B. \(R = \frac{5}{2}\)         C. \(R = \frac{{5\sqrt 3 }}{3}\)                      D. \(R = 5\)

Câu 12. Cho tam giác \(ABC\) có \(c = 4,b = 7,\widehat A = {60^ \circ }\). Chiều cao \({h_a}\) của tam giác ABC (làm tròn đến hàng đơn vị) là:

A. \(2\)                    B. \(3\)                      C. \(4\)                 D. \(5\)

Câu 13. Điểm \(A(2;3)\) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình nào dưới đây?

A. \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y > 9\\3x - y < 5\end{array} \right.\)                     B. \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y > 7\\x + y \le 3\end{array} \right.\)                   C. \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 5 \le 10\\4x - y > 3\end{array} \right.\)                    D. \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 5y > 8\\x - 3y \le 4\end{array} \right.\)

Câu 14. Đơn giản biểu thức \(A = \sin \left( {\frac{{5\pi }}{2} - x} \right) + \cos \left( {13\pi  + x} \right) - 3\sin \left( {x - 5\pi } \right)\)

A. \(3\sin x\)                  B. \(3\sin x - \cos x\)            C. \( - 3\sin x\).                     D. \(2\cos x + 3\sin x\).

Câu 15. Cho bất phương trình \(5(2x - 3y) - 3(2x - y + 7) > x - 3y\). Điểm nào dưới đây thuộc miền nghiệm của hệ đã cho?

A. \(O(0;0)\)                         B. \(A(1;0)\).                         C. \(B(3; - 2)\).                     D. \(C(0;2)\)

II. PHẦN TỰ LUẬN

Câu 1. Xác định các tập hợp sau và biểu diễn chúng trên trục số.

a) \(( - \infty ;1) \cap ( - 5; + \infty )\)                  b) \((2;6] \cup ( - 3;5]\)                  

c) \([ - 3;7){\rm{\backslash }}(4; + \infty )\)                  d) \(\mathbb{R}{\rm{\backslash }}( - 4;9]\)

Câu 2. Một xưởng nhỏ sản xuất hai loại sản phẩm A và B, mỗi cân sản phẩm loại A cần 2 cân nguyên liệu và 30 giờ sản xuất, mức lợi nhuận đem lại là 400 nghìn đồng/kg. Một cân sản phẩm loại B cần 4 cân nuyên liệu và 15 giờ sản xuất, mức lợi nhuận đem lại là 300 nghìn đồng. Mỗi ngày xưởng có 200 cân nguyên liệu và 1200 giờ làm việc. Vậy mỗi ngày xưởng đó nên sản xuất mỗi loại sản phẩm bao nhiêu kg để thu về mức lợi nhuận cao nhất?

Câu 3. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có:

a) \(a = b.\cos C + c.\cos B\)

b) \({m_a}^2 + {m_b}^2 + {m_c}^2 = \frac{3}{4}({a^2} + {b^2} + {c^2})\)

Câu 4. Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có \(\frac{1}{r} = \frac{1}{{{h_a}}} + \frac{1}{{{h_b}}} + \frac{1}{{{h_c}}}\)

Lời giải chi tiết

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM

 

Câu 1:

Cách giải:

Tập hợp các số nguyên: \(\mathbb{Z}\)

“\(\sqrt 5 \) không là số nguyên” viết là: \(\sqrt 5  \notin \mathbb{Z}\)

Chọn D.

Câu 2:

Cách giải:

Mệnh đề “\(\forall x \in \mathbb{R},{x^2} > 1 \Rightarrow x >  - 1\)” sai, chẳng hạn \(x =  - 3\) thì \({x^2} > 1\) nhưng \(x <  - 1\)

Mệnh đề “\(\forall x \in \mathbb{R},{x^2} > 1 \Rightarrow x > 1\)” sai, chẳng hạn \(x =  - 3\) thì \({x^2} > 1\) nhưng \(x < 1\)

Mệnh đề “\(\forall x \in \mathbb{R},x >  - 1 \Rightarrow {x^2} > 1\)” sai, chẳng hạn \(x = 0 >  - 1\) nhưng  \({x^2} < 1\)

Mệnh đề “\(\forall x \in \mathbb{R},x > 1 \Rightarrow {x^2} > 1\)” đúng

Chọn D.

Câu 3:

Phương pháp:

Liệt kê các phần tử của tập hợp A, B, C

Cách giải:

\(A = \{ 0;2;4;6;8\} \)

\(B = \{ 0;1;2;3;4;5\} \)

\(C = \{ 2;3;4;5;6\} \).

Ta có: \(B \cup C = \{ 0;1;2;3;4;5;6\}  \Rightarrow A{\rm{\backslash }}\left( {B \cup C} \right) = \{ 0;8\} \)

Chọn D.

Câu 4:

Cách giải:

+ Nếu \(m \ge 5\) thì \(A{\rm{\backslash }}B = ( - 2;5]{\rm{\backslash }}(m; + \infty ) = A = ( - 2;5]\), chứa 7 số nguyên là -1 ; 0 ;1 ;2 ;3 ;4 ;5 (nhiều hơn 3) nên ta loại trường hợp m > 5.

+ Để \(A{\rm{\backslash }}B \ne \emptyset \) thì m>-2. Xét trường hợp -2<m<5, khi đó \(A{\rm{\backslash }}B = ( - 2;5]{\rm{\backslash }}(m; + \infty ) = ( - 2;m]\)

Chứa 5 số nguyên \( - 1;0;1;2;3\) thì \(m = 3\).

Chọn B.

Câu 5:

Cách giải:

Gọi X là tập hợp học sinh lớp 10A

A là tập hợp các học sinh thích môn Văn.

B là là tập hợp các học sinh thích môn Toán.

Suy ra :

\(A \cap B\) là tập hợp các học sinh tham gia cả hai môn Văn và Toán.

\(A \cup B\) là tập hợp các học sinh thích môn Văn và Toán.

\(X{\rm{\backslash }}\left( {A \cup B} \right)\) là tập hợp các học sinh không thích môn nào.

Ta có : \(n(A) = 23;n(B) = 20;n\left( {X{\rm{\backslash }}\left( {A \cup B} \right)} \right) = 12\)

\( \Rightarrow \) Số học sinh thích môn Văn và Toán là:

\(n\left( {A \cup B} \right) = 45 - 12 = 33\) (học sinh)

\( \Rightarrow \) Số học sinh học sinh thích cả hai môn Văn và Toán là:

\(n(A \cap B) = n(A) + n(B) - n(A \cup B) = 23 + 20 - 33 = 10\) (học sinh)

Chọn B.

Câu 6:

Phương pháp:

Xác định đường thẳng \(2x + 3y = 12\) và xét một điểm (không thuộc đường thẳng) xem có thuộc miền nghiệm hay không.

Cách giải:

Đường thẳng \(2x + 3y = 12\) đi qua điểm có tọa độ (6;0) và (0;4) => Loại A, D.

Xét điểm O(0;0), ta có: \(2.0 + 3.0 = 0 < 12\) nên O thuộc miền nghiệm của BPT đã cho.

Chọn C.

Câu 7:

Phương pháp:

Bước 1: Biểu diễn miền nghiệm, xác định các đỉnh của miền nghiệm

Bước 2: Thay tọa độ các đỉnh vào \(F(x;y) = 5x - 3y\), kết luận giá trị nhỏ nhất.

Cách giải:

Xét hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\0 \le y \le 5\\x + y - 2 \ge 0\\3x - y \le 6\end{array} \right.\)

Biểu diễn miền nghiệm của hệ, ta được

 

Miền nghiệm là miền tứ giác ABCD trong đó \(A\left( {0;2} \right),{\rm{ }}B\left( {0;5} \right),{\rm{ }}C\left( {\frac{{11}}{3};5} \right),D(2;0)\)

Thay tọa độ các điểm A, B, C, D vào \(F(x;y) = 5x - 3y\) ta được

\(F(0;2) = 5.0 - 3.2 =  - 6\)

\(F(0;5) = 5.0 - 3.5 =  - 15\)

\(F\left( {\frac{{11}}{3};5} \right) = 5.\frac{{11}}{3} - 3.5 = \frac{{10}}{3}\)

\(F(2;0) = 5.2 - 3.0 = 10\)

Vậy giá trị lớn nhất của F bằng 10.

Chọn B.

Câu 8:

Phương pháp:

Chia cả tử và mẫu của P cho cosx để làm xuất hiện tanx.

Cách giải:

Vì \(\tan x = 5\) nên \(\cos x \ne 0\)

Khi đó: \(P = \frac{{3\sin x + 11\cos x}}{{7\sin x - 9\cos x}} = \frac{{\frac{{3\sin x + 11\cos x}}{{\cos x}}}}{{\frac{{7\sin x - 9\cos x}}{{\cos x}}}} = \frac{{3\frac{{\sin x}}{{\cos x}} + 11}}{{7\frac{{\sin x}}{{\cos x}} - 9}}\)

\( = \frac{{3\tan x + 11}}{{7\tan x - 9}} = \frac{{3.5 + 11}}{{7.5 - 9}} = 1\)

Chọn D.

Câu 9:

Phương pháp:

Áp dụng công thức:

\(\sin x + \sin 5x = 2\sin \frac{{x + 5x}}{2}\cos \frac{{x - 5x}}{2}\)

\(\cos x + \cos 5x = 2\cos \frac{{x + 5x}}{2}\cos \frac{{x - 5x}}{2}\)

Cách giải:

Ta có: \(\sin x + \sin 5x = 2\sin \frac{{x + 5x}}{2}\cos \frac{{x - 5x}}{2} = 2\sin 3x\cos \left( { - 2x} \right)\)

\(\cos x + \cos 5x = 2\cos \frac{{x + 5x}}{2}\cos \frac{{x - 5x}}{2} = 2\cos 3x\cos \left( { - 2x} \right)\)

\( \Rightarrow A = \frac{{2\sin 3x\cos \left( { - 2x} \right) + \sin 3x}}{{2\cos 3x\cos \left( { - 2x} \right) + \cos 3x}} = \frac{{\sin 3x\left[ {2\cos \left( { - 2x} \right) + 1} \right]}}{{\cos 3x\left[ {2\cos \left( { - 2x} \right) + 1} \right]}} = \frac{{\sin 3x}}{{\cos 3x}} = \tan 3x\)

Chọn C.

Câu 10:

Phương pháp

\(\begin{array}{l}\sin \left( {{{180}^ \circ } - x} \right) = \sin x\\\cos \left( {{{180}^ \circ } - x} \right) =  - \cos x\\\tan \left( {{{180}^ \circ } - x} \right) =  - \tan x\\\sin \left( {{{90}^ \circ } - x} \right) = \cos x\end{array}\)

Cách giải:

Ta có:  \(A + B + C = {180^ \circ } \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A + B = {180^ \circ } - C\\\frac{{A + B}}{2} = {90^ \circ } - \frac{C}{2}\end{array} \right.\)

Suy ra:

\(\sin \left( {A + B} \right) = \sin \left( {{{180}^ \circ } - C} \right) = \sin C\) => Loại A

\(\cos \left( {A + B} \right) = \cos \left( {{{180}^ \circ } - C} \right) =  - \cos C\) => Loại B

\(\tan \left( {A + B} \right) = \tan \left( {{{180}^ \circ } - C} \right) =  - \tan C\) => Loại D

\(\sin \left( {\frac{{A + B}}{2}} \right) = \sin \left( {{{90}^ \circ } - \frac{C}{2}} \right) = \cos \frac{C}{2}\)

Chọn B.

Câu 11:

Phương pháp:

Áp dụng định lí sin: \(\frac{a}{{\sin A}} = 2R\)

Cách giải:

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có: \(\frac{a}{{\sin A}} = 2R\)

Mà \(a = BC = 5,\widehat {BAC} = {120^o}\)

\( \Rightarrow R = \frac{a}{{2\sin A}} = \frac{5}{{2\sin {{120}^ \circ }}} = \frac{{5\sqrt 3 }}{3}\)

Chọn C.

Câu 12:

Phương pháp:

Áp dụng định lí cosin: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)

Cách giải:

Ta có: \(c = 4,b = 7,\widehat A = {60^ \circ }\)

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

\({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {a^2} = {7^2} + {4^2} - 2.7.4\cos {60^ \circ } = 37\\ \Rightarrow a = \sqrt {37} \end{array}\)

Lại có: \(S = \frac{1}{2}b.c\sin A = \frac{1}{2}a.{h_a} \Rightarrow {h_a} = \frac{{b.c\sin A}}{a} = \frac{{7.4.\sin {{60}^ \circ }}}{{\sqrt {37} }} \approx 4\)

Vậy độ dài đường cao \({h_a}\) là khoảng 4.

Chọn C.

Câu 13.

Phương pháp:

Thay tọa độ điểm A vào hệ BPT, hệ nào cho ta các mệnh đề đúng thì điểm A thuộc miền nghiệm của hệ BPT đó.

Cách giải

+ Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y > 9\\3x - y < 5\end{array} \right.\), thay \(x = 2,y = 3\) ta được: \(2 + 2.3 = 8 > 9\) sai nên A(2;3) không thuộc miền nghiệm của hệ BPT.

+ Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y > 7\\x + y \le 3\end{array} \right.\), thay \(x = 2,y = 3\) ta được: \(2.2 - 3 = 1 > 7\) sai nên A(2;3) không thuộc miền nghiệm của hệ BPT.

+ Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 5 \le 10\\4x - y > 3\end{array} \right.\), thay \(x = 2,y = 3\) ta được: \(3.2 + 5 = 11 \le 10\) sai nên A(2;3) không thuộc miền nghiệm của hệ BPT.

+ Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 5y > 8\\x - 3y \le 4\end{array} \right.\), thay \(x = 2,y = 3\) ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}2.2 + 5.3 = 19 > 8\\2 - 3.3 =  - 7 \le 4\end{array} \right.\) đúng nên A(2;3) thuộc miền nghiệm của hệ BPT.

Chọn D.

Câu 14.

Cách giải

Ta có:

\(\sin \left( {\frac{{5\pi }}{2} - x} \right) = \sin \left( {2\pi  + \frac{\pi }{2} - x} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \cos x\)

\(\cos \left( {13\pi  + x} \right) = \cos \left( {12\pi  + x + \pi } \right) = \cos \left( {x + \pi } \right) =  - \cos x\)

\(\sin \left( {x - 5\pi } \right) = \sin \left( {x + \pi  - 6\pi } \right) = \sin \left( {x + \pi } \right) =  - \sin x\)

\( \Rightarrow A = \cos x + \left( { - \cos x} \right) - 3\left( { - \sin x} \right) = 3\sin x\)

Chọn A

Câu 15. Cho bất phương trình \(5(2x - 3y) - 3(2x - y + 7) > x - 3y\). Điểm nào dưới đây thuộc miền nghiệm của hệ đã cho?

     A. \(O(0;0)\)                    B. \(A(1;0)\).                         C. \(B(3; - 2)\).                     D. \(C(0;2)\)

Cách giải:

Ta có: \(5(2x - 3y) - 3(2x - y + 7) > x - 3y\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 10x - 15y - 6x + 3y - 21 - x + 3y > 0\\ \Leftrightarrow 3x - 9y - 21 > 0\\ \Leftrightarrow x - 3y - 7 > 0\end{array}\)

Thay tọa độ các điểm vào BPT:

+ Vì \(0 - 3.0 - 7 =  - 7 < 0\) nên \(O(0;0)\) không thuộc miền nghiệm

+ Vì \(1 - 3.0 - 7 =  - 6 < 0\) nên \(A(1;0)\) không thuộc miền nghiệm

+ Vì \(3 - 3.( - 2) - 7 = 2 > 0\) nên \(B(3; - 2)\) thuộc miền nghiệm

+ Vì \(0 - 3.2 - 7 =  - 13 < 0\) nên \(C(0;2)\) không thuộc miền nghiệm

Chọn C

II. PHẦN TỰ LUẬN

Câu 1 (TH):

Phương pháp:

a) \(A \cap B = \{ x \in A|x \in B\} \)        

b) \(A \cup B = \{ x|x \in A\) hoặc \(x \in B\} \)

c, d) \(A{\rm{\backslash }}B = \{ x \in A|x \notin B\} \)

Cách giải:

a) Biểu diễn hai tập \(( - \infty ;1)\) và \(( - 5; + \infty )\) trên trục số, ta được:

 

Giao của hai tập hợp: \(( - \infty ;1) \cap ( - 5; + \infty ) = ( - 5;1)\)

b) Biểu diễn hai tập \((2;6]\) và \(( - 3;5]\) trên trục số, ta được:

 

Hợp của hai tập hợp: \((2;6] \cup ( - 3;5] = ( - 3;6]\)

c) Biểu diễn hai tập \(( - 3;7]\) và \((4; + \infty )\) trên trục số, ta được:

 

Hiệu của hai tập hợp: \([ - 3;7){\rm{\backslash }}(4; + \infty ) = [ - 3;4]\)

d) Biểu diễn tập \(( - 4;9]\) trên trục số, ta được:

 

Hiệu của hai tập hợp: \(\mathbb{R}{\rm{\backslash }}( - 4;9] = ( - \infty ; - 4] \cup (9; + \infty )\)

 

Câu 2:

Nhà cô Minh có mảnh vườn rộng \(8{m^2}\). Cô dự định trồng cà chua và cải bắp trên toàn bộ mảnh vườn đó. Nếu trồng cà chua thì cần 20 công và thu được 300 nghìn đồng trên mỗi \({m^2}\). Nếu trồng cải bắp thì cần 30 công và thu được 400 nghìn đồng trên mỗi \({m^2}\). Hỏi cần cần trồng mỗi loại cây trên diện tích bao nhiêu để tthu được nhiều tiền nhất mà tổng số công không quá 180?

Cách giải:

Gọi số kg sản phẩm loại A, loại B cần sản xuất mỗi ngày lần lượt là x, y \((x,y \ge 0)\)

Để sản xuất x kg sản phẩm loại A cần 2x cân nguyên liệu và 30x giờ sản xuất, lợi nhuận đem lại là 400x nghìn đồng

Để sản xuất y kg sản phẩm loại B cần 4y cân nguyên liệu và 15y giờ sản xuất, lợi nhuận đem lại là 300y nghìn đồng

Mỗi ngày có 200 kg nguyên liệu nên \(2x + 4y \le 200\)

Có 1200 giờ làm việc nên \(30x + 15y \le 1200\)

Tổng lợi nhuận đem lại là: \(F(x;y) = 400x + 300y\)

Ta có hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\2x + 4y \le 200\\30x + 15y \le 1200\end{array} \right.\)

Biểu diễn miền nghiệm trên hệ trục Oxy, ta được:

 

Miền nghiệm là miền tứ giác OABC (kể cả các cạnh), trong đó \(A(0;50),B(20;40),C(40;0),O(0;0)\)

Lần lượt thay tọa độ các điểm A, B, C, D vào biểu thức \(F(x;y) = 400x + 300y\) ta được:

\(\begin{array}{l}F(0;0) = 400.0 + 300.0 = 0\\F(0;50) = 400.0 + 300.50 = 15000\\F(20;40) = 400.20 + 300.40 = 20000\\F(40;0) = 400.40 + 300.0 = 16000\end{array}\)

Do đó F đạt giá trị lớn nhất bằng 20 000 (nghìn đồng) tại \(x = 20;y = 40\)

Vậy mỗi ngày xưởng đó cần sản xuất 20kg sản phẩm loại A, 40kg sản phẩm loại B để thu về lợi nhuận lớn nhất.

Câu 3:

Phương pháp:

a) Áp dụng hệ quả của định lí cosin: \(\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}};\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\)

b) Áp dụng các công thức tính diện tích:\(S = \frac{1}{2}a.{h_a} = \frac{{abc}}{{4R}}\)

Định lí sin: \(\frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\)

Cách giải:

a) Từ định lí cosin, ta suy ra:

\(\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}};\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow b\cos C + c.\cos B = b.\frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} + c.\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}\\ = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2a}} + \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2a}}\\ = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2} + {a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2a}}\\ = \frac{{2{a^2}}}{{2a}} = a\\ = \frac{1}{2}\left( {2{b^2} - 2{c^2}} \right) = {b^2} - {c^2}\end{array}\)

Vậy \(a = b.\cos C + c.\cos B\)

b) Gọi M là trung điểm BC. Khi đó \(AM = {m_a}\)

 

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABM, ta có:

\(\begin{array}{l}A{M^2} = A{B^2} + B{M^2} - 2.AB.BM.\cos B\\ = {c^2} + {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} - 2.c.\frac{a}{2}.\cos B\\ = {c^2} + {\frac{a}{4}^2} - ac\cos B\end{array}\)

Mà \(\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}\),

suy ra \({m_a}^2 = {c^2} + {\frac{a}{4}^2} - ac.\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} = {c^2} + {\frac{a}{4}^2} - \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{2} = \frac{{{c^2} + {b^2}}}{2} - {\frac{a}{4}^2}\)

Tương tự ta có: \({m_b}^2 = \frac{{{c^2} + {a^2}}}{2} - {\frac{b}{4}^2};{m_c}^2 = \frac{{{b^2} + {a^2}}}{2} - {\frac{c}{4}^2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {m_a}^2 + {m_b}^2 + {m_c}^2 = \frac{{{c^2} + {b^2}}}{2} - {\frac{a}{4}^2} + \frac{{{c^2} + {a^2}}}{2} - {\frac{b}{4}^2} + \frac{{{b^2} + {a^2}}}{2} - {\frac{c}{4}^2}\\ = \frac{{{c^2}}}{2} + \frac{{{c^2}}}{2} - \frac{{{c^2}}}{4} + \frac{{{b^2}}}{2} + \frac{{{b^2}}}{2} - \frac{{{b^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{2} + \frac{{{a^2}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4}\\ = \frac{{3{c^2}}}{4} + \frac{{3{b^2}}}{4} + \frac{{3{a^2}}}{4} = \frac{3}{4}({a^2} + {b^2} + {c^2})\end{array}\)

 

Ta được điều phải chứng minh.

 

Câu 4:

Cách giải:

Xét tam giác ABC có \(a = BC,b = AC,c = AB\)

Ta có: \(S = \frac{1}{2}a.{h_a} \Rightarrow {h_a} = \frac{{2S}}{a} \Rightarrow \frac{1}{{{h_a}}} = \frac{a}{{2S}}\)

Tương tự ta có: \(\frac{1}{{{h_b}}} = \frac{b}{{2S}};\frac{1}{{{h_c}}} = \frac{c}{{2S}}\)

\( \Rightarrow \frac{1}{{{h_a}}} + \frac{1}{{{h_b}}} + \frac{1}{{{h_c}}} = \frac{a}{{2S}} + \frac{b}{{2S}} + \frac{c}{{2S}} = \frac{{a + b + c}}{{2S}}\)

Lại có: \(S = pr = \frac{{a + b + c}}{2}.r \Rightarrow r = \frac{{2S}}{{a + b + c}} \Rightarrow \frac{1}{r} = \frac{{a + b + c}}{{2S}}\)

Do đó \(\frac{1}{r} = \frac{1}{{{h_a}}} + \frac{1}{{{h_b}}} + \frac{1}{{{h_c}}}\) (đpcm)

 

Đề bài

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Kí hiệu nào sau đây viết đúng mệnh đề: “\(\sqrt 2 \) là số hữu tỉ”

A. \(\sqrt 2  = \mathbb{Q}\)                     B. \(\sqrt 2  \in \mathbb{Q}\)    C. \(\sqrt 2  \subset \mathbb{Q}\)                     D. \(\sqrt 2  \notin \mathbb{Q}\)

Câu 2. Mệnh đề phủ định của mệnh đề \(\forall x \in \mathbb{R},{x^2} - x - 2 > 0\) là:

A. \(\forall x \in \mathbb{R},{x^2} - x - 2 < 0\).          B. \(\exists x \in \mathbb{R},{x^2} - x - 2 < 0\).                                        

     C. \(\forall x \in \mathbb{R},{x^2} - x - 2 \le 0\).  D. \(\exists x \in \mathbb{R},{x^2} - x - 2 \le 0\)

Câu 3. Cho \(A = \{ 1;2;3;4;a;b\} \). Xét các mệnh đề :

\((I): ”1 \in A”\).      \((II): ”\{ 3;4\}  \in A”\)     \((III): ”\{ 2;a;b\}  \subset A”\)    \((IV): ”\{0;b\}  \subset A”\)

Số mệnh đề đúng là

A. \(0\)                  B. \(1\).                     C. \(2\).                    D. \(3\).

Câu 4. Cho \(A = ( - 2;5]\) và \(B = (m; + \infty )\). Tìm \(m \in \mathbb{Z}\) để \(A \cap B\) chứa đúng 5 số nguyên là:

A. \(0\)                    B. \(1\).                      C. \(2\).                   D. \(3\).

Câu 5. Mỗi học sinh của lớp 10E đều học giỏi môn Sử hoặc Địa, biết rằng có 28 học sinh giỏi Sử, 33 học sinh giỏi Địa và 15 em học giỏi cả hai môn. Hỏi lớp 10E có tất cả bao nhiêu học sinh ?

A. \(42\).                             B. \(45\).                              C. \(46\).                             D. \(47\).

Câu 6. Miền nghiệm của bất phương trình \(2x + 3y \ge 12\) là:

A.                     B.     

     C.                D. 

Câu 7. Giá trị lớn nhất của \(F(x;y) = 3x + 4y\), với điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\0 \le y \le 5\\x + y - 2 \ge 0\\3x - y \le 6\end{array} \right.\)

A.\(6\)                                  B. \(8\)                                 C.\(20\)                                D. \(33\)

Câu 8. Cho góc \(x\;({0^ \circ } < x < {180^ \circ })\) thỏa mãn \(\tan x = 3\). Tính biểu thức \(P = \frac{{7\sin x + 15\cos x}}{{11\sin x - 9\cos x}}\)

A. \(\frac{3}{2}\).              B. \(\frac{2}{3}\).              C. \(\frac{{ - 13}}{4}\).     D. \(\frac{{13}}{4}\).

Câu 9. Rút gọn biểu thức \(A = \frac{{\cos x + \cos 3x + \cos 5x}}{{\sin x + \sin 3x + \sin 5x}}\)

A.\(\sin 3x\)                        B. \(\cos 3x\).                     C. \(\tan 3x\).                     D. \(\cot 3x\).

Câu 10. Cho tam giác ABC không là tam giác vuông. Khẳng định nào sai trong các khẳng định dưới đây?

A. \(\sin A.\sin B.\sin C < 0\)                                          B. \(\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2} > 0\)                 C. \(\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2} > 0\)                        D. \(\sin A + \sin B + \sin C > 0\)

Câu 11. Cho tam giác ABC có \(BC = 12,\widehat {BAC} = {68^o}\). Bán kính đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\) bằng:

A.\(R = 5,3\)                        B. \(R = 6,2\)                       C. \(R = 6,5\)                       D. \(R = 13\)

Câu 12. Cho tam giác \(ABC\) có \(c = 4,b = 7,\widehat A = {60^ \circ }\). Chiều cao \({h_b}\) của tam giác ABC (làm tròn đến hàng đơn vị) là:

A. \(\sqrt 3 \)                      B. \(2\sqrt 3 \)                    C. \(4\sqrt 3 \)                   D. \(4\)

Câu 13. Điểm \(A( - 2;3)\) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình nào dưới đây?

A. \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y > 9\\3x - y < 5\end{array} \right.\)                B. \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y > 7\\x + y \le 3\end{array} \right.\)                                     C. \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 5 \le 10\\4x - y > 3\end{array} \right.\)                                D. \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 5y > 8\\x - 3y \le 4\end{array} \right.\)

Câu 14. Đơn giản biểu thức \(A = \sin \left( {\frac{{7\pi }}{2} - x} \right) - \cos \left( {11\pi  + x} \right) - 3\sin \left( {x - 9\pi } \right)\)

A. \(3\sin x\)                       B. \(3\sin x - \cos x\)         C. \( - 3\sin x\).                   D. \(2\cos x + 3\sin x\).

Câu 15. Cho bất phương trình \(5(2x + 3y) - 4(2x + y - 7) > x - 3y\). Điểm nào dưới đây không thuộc miền nghiệm của hệ đã cho?

A. \(O(0;0)\)                       B. \(A(1;0)\).                      C. \(B(3;2)\).                      D. \(C(0; - 2)\)

II. PHẦN TỰ LUẬN

Câu 1. Tìm \(A \cap B,A \cup B,A{\rm{\backslash }}B,B{\rm{\backslash }}A\), biết:

a) \(A = \{ 0;1;2;3\} ,B = \{ x \in \mathbb{Z}|{x^2} - 2x - 3 = 0\} \)

b) \(A = ( - 1;5),B = (3; + \infty )\)

c) \(A = [1,4),B = [4; + \infty )\)

d) \(A = \{ x \in \mathbb{R}|1 \le x < 6\} ,B = (2;9)\)

Câu 2. Một công ty kinh doanh thương mại chuẩn bị cho một đợt khuyến mại nhằm thu hút khách hàng bằn cách tiến hành quảng cáo sản phẩm của công ty trên hệ thống phát thanh và truyền hình. Chi phí cho 1 phút quảng cáo trên sóng phát thanh là 800.000 đồn, trên sóng truyền hình là 4.000.000 đồng. Đài phát thanh chỉ nhận phát các chương trình quảng cáo dài ít nhất là 5 phút. Do nhu cầu quảng cáo trên truyền hình lớn nên đài truyền hình chỉ nhận phát các chươn trình tối đa là 4 phút. Theo các phân tích, cùng thời lượng một phút quảng cáo, trên truyền hình sẽ có hiệu quả gấp 6 lần trên sóng phát thanh. Công ty dự định chi tối đa 16.000.000 dùng cho quảng cáo. Công ty đặt thời lượng quảng cáo trên sóng phát thanh và truyền hình như thế nào để hiệu quả nhất? 

Câu 3. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có:

a) \(a = b.\cos C + c.\cos B\)

b) \(\cot A + \cot B + \cot C = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{4S}}\)

Câu 4. Tam giác ABC là tam giác gì nếu \(a\sin (B - C) + b\sin (C - A) = 0\).

Lời giải chi tiết

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM

 

Câu 1:

Cách giải:

Tập hợp các số hữu tỉ: \(\mathbb{Q}\)

“\(\sqrt 2 \) là số hữu tỉ” viết là: \(\sqrt 2  \in \mathbb{Q}\)

Chọn B.

Câu 2:

Cách giải:

Phủ định của mệnh đề \(\forall x \in \mathbb{R},{x^2} - x - 2 > 0\) là \(\exists x \in \mathbb{R},{x^2} - x - 2 \le 0\)

Chọn D.

Câu 3:

Cách giải:

\((I): ”1 \in A”\)  đúng

\((II): ”\{ 3;4\}  \in A”\) sai. Vì kí hiệu \( \in \) không dùng trong quan hệ giữa 2 tập hợp.

\((III): ”\{ 2;a;b\}  \subset A”\) đúng.

\((IV): ”\{0;b\}  \subset A”\) sai vì \(0 \notin A\).

Vậy có 2 mệnh đề đúng.

Chọn C.

Câu 4:

Cách giải:

+ Nếu \(m \ge 5\) thì \(A \cap B = \emptyset \)

+ Nếu \(m \le  - 2\) thì  \(( - 2;5] \subset (m; + \infty ) \Rightarrow A \cap B = ( - 2;5]\), chứa 7 số nguyên

là -1 ; 0 ;1 ;2 ;3 ;4 ;5 (nhiều hơn 5) nên ta loại trường hợp \(m \le  - 2\)

+  Nếu \( - 2 < m < 5\) thì \(A \cap B = ( - 2;5] \cap (m; + \infty ) = (m;5]\).

Để \(A \cap B\) chứa đúng 5 số nguyên thì \((m;5]\) chứa đúng 5 số nguyên là : 5 ;4 ;3 ;2 ;1

Hay \(m = 0\)

Chọn A.

Câu 5:

Cách giải:

Gọi X là tập hợp học sinh lớp 10E

A là tập hợp các học sinh học giỏi môn Sử.

B là là tập hợp các học sinh học giỏi môn Địa.

Suy ra :

\(A \cap B\) là tập hợp các học sinh học giỏi cả hai môn Sử và Địa.

\(A \cup B\) là tập hợp các học sinh lớp 10E

Ta có : \(n(A) = 28;n(B) = 33;n\left( {A \cap B} \right) = 15\)

\( \Rightarrow \) Số học sinh lớp 10E là:

\(n\left( {A \cup B} \right) = n(A) + n(B) - n\left( {A \cap B} \right) = 28 + 33 - 15 = 46\) (học sinh)

Chọn C.

Câu 6:

Phương pháp:

Xác định đường thẳng \(2x + 3y = 12\) và xét một điểm (không thuộc đường thẳng) xem có thuộc miền nghiệm hay không.

Cách giải:

Đường thẳng \(2x + 3y = 12\) đi qua điểm có tọa độ (6;0) và (0;4) => Loại A, D.

Xét điểm O(0;0), ta có: \(2.0 + 3.0 = 0 < 12\) nên O không thuộc miền nghiệm của BPT đã cho.

Chọn B.

Câu 7:

Phương pháp:

Bước 1: Biểu diễn miền nghiệm, xác định các đỉnh của miền nghiệm

Bước 2: Thay tọa độ các đỉnh vào \(F(x;y) = 3x + 4y\), kết luận giá trị nhỏ nhất.

Cách giải:

Xét hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\0 \le y \le 5\\x + y - 2 \ge 0\\3x - y \le 6\end{array} \right.\)

Biểu diễn miền nghiệm của hệ, ta được

 

Miền nghiệm là miền tứ giác ABCD trong đó \(A\left( {0;2} \right),{\rm{ }}B\left( {0;5} \right),{\rm{ }}C\left( {\frac{{11}}{3};5} \right),D(2;0)\)

Thay tọa độ các điểm A, B, C, D vào \(F(x;y) = 3x + 4y\) ta được

\(F(0;2) = 3.0 + 4.2 = 8\)

\(F(0;5) = 3.0 + 4.5 = 20\)

\(F\left( {\frac{{11}}{3};5} \right) = 3.\frac{{11}}{3} + 4.5 = 33\)

\(F(2;0) = 3.2 + 4.0 = 6\)

Vậy giá trị lớn nhất của F bằng 33.

Chọn D.

Câu 8:

Phương pháp:

Chia cả tử và mẫu của P cho cosx để làm xuất hiện tanx.

Cách giải:

Vì \(\tan x = 3\) nên \(\cos x \ne 0\)

Khi đó: \(P = \frac{{7\sin x + 15\cos x}}{{11\sin x - 9\cos x}} = \frac{{\frac{{7\sin x + 15\cos x}}{{\cos x}}}}{{\frac{{11\sin x - 9\cos x}}{{\cos x}}}} = \frac{{7\frac{{\sin x}}{{\cos x}} + 15}}{{11\frac{{\sin x}}{{\cos x}} - 9}}\)

\( = \frac{{7\tan x + 15}}{{11\tan x - 9}} = \frac{{7.3 + 15}}{{11.3 - 9}} = \frac{3}{2}\)

Chọn A.

Câu 9:

Phương pháp:

Áp dụng công thức:

\(\sin x + \sin 5x = 2\sin \frac{{x + 5x}}{2}\cos \frac{{x - 5x}}{2}\)

\(\cos x + \cos 5x = 2\cos \frac{{x + 5x}}{2}\cos \frac{{x - 5x}}{2}\)

Cách giải:

Ta có: \(\sin x + \sin 5x = 2\sin \frac{{x + 5x}}{2}\cos \frac{{x - 5x}}{2} = 2\sin 3x\cos \left( { - 2x} \right)\)

\(\cos x + \cos 5x = 2\cos \frac{{x + 5x}}{2}\cos \frac{{x - 5x}}{2} = 2\cos 3x\cos \left( { - 2x} \right)\)

\( \Rightarrow A = \frac{{2\cos 3x\cos \left( { - 2x} \right) + \cos 3x}}{{2\sin 3x\cos \left( { - 2x} \right) + \sin 3x}} = \frac{{\cos 3x\left[ {2\cos \left( { - 2x} \right) + 1} \right]}}{{\sin 3x\left[ {2\cos \left( { - 2x} \right) + 1} \right]}} = \frac{{\cos 3x}}{{\sin 3x}} = \cot 3x\)

Chọn D.

Câu 10:

Cách giải:

+ Vì \(0 < A,B,C < {180^ \circ }\) nên \(\sin A,\sin B,\sin C > 0\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin A.\sin B.\sin C > 0\\\sin A + \sin B + \sin C > 0\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \) A sai, D đúng.

+ Ta có:  \(0 < A,B,C < {180^ \circ } \Rightarrow 0 < \frac{A}{2},\frac{B}{2},\frac{C}{2} < {90^ \circ }\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \cos \frac{A}{2},\cos \frac{B}{2},\cos \frac{C}{2} > 0\\ \Rightarrow \cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2} > 0\end{array}\)

Vậy B đúng.

+ Vì \(0 < \frac{A}{2},\frac{B}{2},\frac{C}{2} < {90^ \circ }\) nên  \(\sin \frac{A}{2},\sin \frac{B}{2},\sin \frac{C}{2} > 0\) và \(\cos \frac{A}{2},\cos \frac{B}{2},\cos \frac{C}{2} > 0\)

Do đó: \(\tan \frac{A}{2},\tan \frac{B}{2},\tan \frac{C}{2} > 0 \Rightarrow \tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2} > 0\)

Vậy C đúng.

Chọn A.

Câu 11:

Phương pháp:

Áp dụng định lí sin: \(\frac{a}{{\sin A}} = 2R\)

Cách giải:

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có: \(\frac{a}{{\sin A}} = 2R\)

Mà \(a = BC = 12,\widehat {BAC} = {68^o}\)

\( \Rightarrow R = \frac{a}{{2\sin A}} = \frac{{12}}{{2\sin {{68}^ \circ }}} \approx 6,5\)

Chọn C.

Câu 12:

Phương pháp:

Áp dụng định lí cosin: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)

Cách giải:

Ta có: \(c = 4,b = 7,\widehat A = {60^ \circ }\)

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

\({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {a^2} = {7^2} + {4^2} - 2.7.4\cos {60^ \circ } = 37\\ \Rightarrow a = \sqrt {37} \end{array}\)

Lại có: \(S = \frac{1}{2}b.c\sin A = \frac{1}{2}b.{h_b} \Rightarrow {h_a} = \frac{{b.c\sin A}}{b} = c.\sin A = 4.\sin {60^ \circ } = 2\sqrt 3 \)

Vậy độ dài đường cao \({h_b}\) là \(2\sqrt 3 \).

Chọn B.

Câu 13.

Phương pháp:

Thay tọa độ điểm A vào hệ BPT, hệ nào cho ta các mệnh đề đúng thì điểm A thuộc miền nghiệm của hệ BPT đó.

Cách giải

+ Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y > 9\\3x - y < 5\end{array} \right.\), thay \(x =  - 2,y = 3\) ta được: \( - 2 + 2.3 = 4 > 9\) sai nên A(-2;3) không thuộc miền nghiệm của hệ BPT.

+ Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y > 7\\x + y \le 3\end{array} \right.\), thay \(x =  - 2,y = 3\) ta được: \( - 2.2 - 3 =  - 7 > 7\) sai nên A(-2;3) không thuộc miền nghiệm của hệ BPT.

+ Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 5 \le 10\\4x - y > 3\end{array} \right.\), thay \(x =  - 2,y = 3\) ta được: \(3.( - 2) + 5 =  - 1 \le 10\) sai nên A(-2;3) không thuộc miền nghiệm của hệ BPT.

+ Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 5y > 8\\x - 3y \le 4\end{array} \right.\), thay \(x =  - 2,y = 3\) ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}2.( - 2) + 5.3 = 11 > 8\\ - 2 - 3.3 =  - 9 \le 4\end{array} \right.\) đúng nên A(-2;3) thuộc miền nghiệm của hệ BPT.

Chọn D.

Câu 14.

Cách giải

Ta có:

\(\sin \left( {\frac{{7\pi }}{2} - x} \right) = \sin \left( {4\pi  - \frac{\pi }{2} - x} \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{2} - x} \right) =  - \sin \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right) =  - \cos x\)

\(\cos \left( {11\pi  + x} \right) = \cos \left( {10\pi  + x + \pi } \right) = \cos \left( {x + \pi } \right) =  - \cos x\)

\(\sin \left( {x - 9\pi } \right) = \sin \left( {x + \pi  - 8\pi } \right) = \sin \left( {x + \pi } \right) =  - \sin x\)

\( \Rightarrow A =  - \cos x - \left( { - \cos x} \right) - 3\left( { - \sin x} \right) = 3\sin x\)

Chọn A

Câu 15. Cho bất phương trình \(5(2x + 3y) - 4(2x + y - 7) > x - 3y\). Điểm nào dưới đây thuộc miền nghiệm của hệ đã cho?

     A. \(O(0;0)\)                  B. \(A(1;0)\).                      C. \(B(3; - 2)\).                   D. \(C(0;2)\)

Cách giải:

Ta có: \(5(2x + 3y) - 4(2x + y - 7) > x - 3y\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 10x - 15y - 8x - 4y + 28 - x + 3y > 0\\ \Leftrightarrow x - 16y + 28 > 0\end{array}\)

Thay tọa độ các điểm vào BPT:

+ Vì \(0 - 16.0 + 28 = 28 > 0\) nên \(O(0;0)\) thuộc miền nghiệm

+ Vì \(1 - 16.0 + 28 = 29 > 0\) nên \(A(1;0)\) thuộc miền nghiệm

+ Vì \(3 - 16.2 + 28 =  - 1 < 0\) nên \(B(3;2)\) không thuộc miền nghiệm

+ Vì \(0 - 16.( - 2) + 28 = 60 > 0\) nên \(C(0; - 2)\) thuộc miền nghiệm

Chọn C

 

II. PHẦN TỰ LUẬN

Câu 1:

Phương pháp:

a) \(A \cap B = \{ x \in A|x \in B\} \)     

b) \(A \cup B = \{ x|x \in A\) hoặc \(x \in B\} \)

c, d) \(A{\rm{\backslash }}B = \{ x \in A|x \notin B\} \)

Cách giải:

a) \(A = \{ 0;1;2;3\} ,B = \{ x \in \mathbb{Z}|{x^2} - 2x - 3 = 0\} \)

Ta có: \({x^2} - 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\x =  - 1\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow B = \{ x \in \mathbb{Z}|{x^2} - 2x - 3 = 0\}  = \{  - 1;3\} \)

\(A \cap B = \{ 3\} ,A \cup B = \{  - 1;0;1;2;3\} ,A{\rm{\backslash }}B = \{ 0;1;2\} ,B{\rm{\backslash }}A = \{  - 1\} \)

b) \(A = ( - 1;5),B = (3; + \infty )\)

 

\(A \cap B = (3;5),A \cup B = ( - 1; + \infty ),A{\rm{\backslash }}B = ( - 1;3],B{\rm{\backslash }}A = [5; + \infty )\)

c) \(A = [1,4),B = [4; + \infty )\)

 

\(A \cap B = \emptyset ,A \cup B = [1; + \infty ),A{\rm{\backslash }}B = [1,4),B{\rm{\backslash }}A = [4; + \infty )\)

d) \(A = \{ x \in \mathbb{R}|1 \le x < 6\}  = [1;6),B = (2;9)\)

 

\(A \cap B = (2;6),A \cup B = [1;9),A{\rm{\backslash }}B = [1;2],B{\rm{\backslash }}A = [2;6]\)

 

Câu 2:

Cách giải:

Gọi thời lượng công ty đặt quảng cáo trên sóng phát thanh, trên truyền hình lần lượt là x, y (phút) \((x,y \ge 0)\)

Quảng cáo trên phát thanh dài ít nhất 5 phút nên \(x \ge 5\)

Quảng cáo trên truyền hình dài nhiều nhất 4 phút nên \(0 \le y \le 4\)

Hiệu quả chung của quảng cáo là \(F = x + 6y\)

Chi phí cho quảng cáo là: 800 000.x + 4 000 000.y (đồng)

Chi tối đa 16 000 000 đồng cho quảng cáo nên \(800{\rm{ }}000.x{\rm{ }} + {\rm{ }}4{\rm{ }}000{\rm{ }}000.y \le 16\;000\;000\) hay \(x + 5y \le 20\)

Bài toán trở thành: Tìm x,y sao cho \(F = x + 6y\) đạt GTLN  với các điều kiện:

\(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 5\\0 \le y \le 4\\x + 5y \le 20\end{array} \right.\) (*)

Biểu diễn miền nghiệm của (*) trên hệ trục Oxy, ta được:

 

Miền nghiệm là miền tam giác ABC (kể cả các cạnh), trong đó \(A(5;3),B(5;0),C(20;0)\)

Lần lượt thay tọa độ các điểm A, B, C, D vào biểu thức \(F(x;y) = x + 6y\) ta được:

\(\begin{array}{l}F(5;3) = 5 + 6.3 = 23\\F(5;0) = 5 + 6.0 = 5\\F(20;0) = 20 + 6.0 = 20\end{array}\)

Do đó F đạt giá trị lớn nhất bằng 23 tại \(x = 5;y = 3\)

Vậy công ty đó nên đặt quảng cáo 5 phút trên sóng phát thanh và 3 phút trên truyền hình để đạt hiệu quả cao nhất.

Câu 3:

Phương pháp:

a) Áp dụng hệ quả của định lí cosin: \(\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}};\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\)

b) Áp dụng các công thức tính diện tích:\(S = \frac{1}{2}a.{h_a} = \frac{{abc}}{{4R}}\)

Định lí sin: \(\frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\)

Cách giải:

a) Từ định lí cosin, ta suy ra:

\(\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}};\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow b\cos C + c.\cos B = b.\frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} + c.\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}\\ = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2a}} + \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2a}}\\ = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2} + {a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2a}}\\ = \frac{{2{a^2}}}{{2a}} = a\\ = \frac{1}{2}\left( {2{b^2} - 2{c^2}} \right) = {b^2} - {c^2}\end{array}\)

Vậy \(a = b.\cos C + c.\cos B\)

b) Từ định lí cosin ta suy ra: \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\)

Lại có \(S = \frac{1}{2}bc\sin A \Rightarrow \sin A = \frac{{2S}}{{bc}}\)

\( \Rightarrow \cot A = \frac{{\cos A}}{{\sin A}} = \frac{{\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}}}{{\frac{{2S}}{{bc}}}} = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{4S}}\)

Tương tự ta có: \(\cot B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{4S}};\cot C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{4S}}\)

\( \Rightarrow \cot A + \cot B + \cot C = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{4S}} + \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{4S}} + \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{4S}} = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{4S}}\)

 

Câu 4:

Cách giải:

Ta có:

\(\sin (B - C) = \sin B\cos C - \sin C\cos B\)

Mà \(\sin B = \frac{b}{{2R}};\sin C = \frac{c}{{2R}};\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}};\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow a\sin (B - C) = a.\frac{b}{{2R}}.\frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} - a.\frac{c}{{2R}}.\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}\\ = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{4R}} - \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{4R}} = \frac{{2({b^2} - {c^2})}}{{4R}} = \frac{{{b^2} - {c^2}}}{{2R}}\end{array}\)

Lại có:

\(\sin (C - A) = \sin C\cos A - \sin A\cos C\)

Mà \(\sin A = \frac{a}{{2R}};\sin C = \frac{c}{{2R}};\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}};\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow b\sin (C - A) = b.\frac{c}{{2R}}.\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} - b.\frac{a}{{2R}}.\frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\\ = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{4R}} - \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{4R}} = \frac{{2({c^2} - {a^2})}}{{4R}} = \frac{{{c^2} - {a^2}}}{{2R}}\end{array}\)

\( \Rightarrow a\sin (B - C) + b\sin (C - A) = \frac{{{b^2} - {c^2}}}{{2R}} + \frac{{{c^2} - {a^2}}}{{2R}} = \frac{{{b^2} - {a^2}}}{{2R}}\)

Do đó \(a\sin (B - C) + b\sin (C - A) = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{b^2} - {a^2}}}{{2R}} = 0 \Leftrightarrow {b^2} - {a^2} = 0 \Leftrightarrow b = a\)

Vậy tam giác ABC cân tại C.

Đề bài

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Cho mệnh đề chứa biến  chia hết cho 5”. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. \(P(2)\)                           B. \(P(4)\).                          C. \(P(3)\).                          D. \(P(7)\)

Câu 2. Cặp số \((1; - 1)\) là nghiệm của bất phương trình nào sau đây?

A. \(x + y - 3 > 0\)               B. \( - x - y < 0\).                  C. \(x + 3y + 1 < 0\).           D. \( - x - 3y - 1 < 0\)

Câu 3. Mệnh đề phủ định của mệnh đề “Có một số thực sao cho bình phương của nó không là số nguyên dương”

A. \(\exists x \in \mathbb{R},{x^2} > 0\)                    B. \(\exists x \in \mathbb{R},{x^2} \le 0\).     C. \(\forall x \in \mathbb{R},{x^2} \le 0\).                   D. \(\forall x \in \mathbb{R},{x^2} > 0\)

Câu 4. Cho tam giác ABC có \(AC = 3\sqrt 3 ,AB = 3,BC = 6\). Tính số đo góc B?

A. \({60^o}\)                       B. \({45^o}\).                      C. \({30^o}\).                      D. \({120^o}\)

Câu 5. Giá trị của \(\cos {30^o} + \sin {60^o}\) bằng?

A. \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\)     B. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).                  C. \(\sqrt 3 \).                    D. \(1\)

Câu 6. Cho hai tập hợp \(X = \{ 1;3;5;8\} ,Y = \{ 3;5;7;9\} \). Tập hợp \(X \cup Y\) bằng tập hợp nào sau đây?

A. \(\{ 3;5\} \)                    B. \(\{ 1;3;5;7;8;9\} \).     C. \(\{ 1;7;9\} \).                D. \(\{ 1;3;5\} \)

Câu 7. Biết rằng \({C_\mathbb{R}}A = [ - 3;11)\) và \({C_\mathbb{R}}B = ( - 8;1]\). Khi đó, \({C_\mathbb{R}}\left( {A \cap B} \right)\) bằng?

A. \(( - 8;11)\)                    B. \([3;1]\).                         C. \(( - \infty ; - 8] \cup [11; + \infty )\).                      D. \(( - \infty ; - 3) \cup (1; + \infty )\)

Câu 8. Cho mệnh đề: “Có học sinh trong lớp 10A không thích học môn Toán”. Mệnh đề phủ định của mệnh đề này là:

A. Mọi học sinh trong lớp 10A đều thích học môn Văn.

B. Mọi học sinh trong lớp 10A đều không thích học môn Toán.

C. Có học sinh trong lớp 10A thích học môn Toán.       

D. Mọi học sinh trong lớp 10A đều thích học môn Toán.

Câu 9. Giá trị của \(A = \tan {5^o}.\tan {10^o}.\tan {15^o}...\tan {80^o}.\tan {85^o}\)

A.\(2\).                            B. \(1\).                            C.\(0\).                     D.\( - 1\).

Câu 10. Cho tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp là R. Đẳng thức nào sau đây là đúng?

A.\(\frac{a}{{\sin A}} = R\).                 B. \(\frac{a}{{\sin A}} = 2R\).      C. \(\frac{a}{{\sin A}} = 3R\).                      D. \(\frac{a}{{\sin A}} = 4R\).

Câu 11. Trong mặt phẳng Oxy, phần nửa mặt phẳng không tô màu (không kể bờ) trong hình dưới đây biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình nào?

 

A. \(2x - y > 3\).                  B. \(2x - y < 3\).                  C. \(x - 2y > 3\).      D. \(x - 2y < 3\).

Câu 12. Cho \(M = \{ x \in \mathbb{N}|x\) là bội của \(2\} \), \(N = \{ x \in \mathbb{N}|x\) là bội của \(6\} \), \(P = \{ x \in \mathbb{N}|x\) là ước của \(2\} \), \(Q = \{ x \in \mathbb{N}|x\) là ước của \(6\} \). Khẳng định nào dưới đây đúng?

A.\(M \subset N\).             B. \(Q \subset P\).              C.\(M \cap N = N\).             D. \(P \cap Q = Q\).

Câu 13. Cặp số \((2;3)\) không là nghiệm của bất phươn trình nào sau đây?

A.\(2x - 3y - 1 < 0\).           B. \(x - y > 0\).                     C.\(4x - 3y < 0\).     D. \(x + 3y - 7 \ge 0\).

Câu 14. Cách phát biểu khác của định lý “Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân”?

A. Một tam giác có hai góc bằng nhau là điều kiện cần để tam giác đó là tam giác cân.

B. Một tam giác có hai góc bằng nhau là điều kiện đủ để tam giác đó là tam giác cân.

C. Một tam giác có hai góc bằng nhau khi và chỉ khi tam giác đó là tam giác đều.  

D. Nếu một tam giác là tam giác cân thì tam giác đó có hai góc bằng nhau.

Câu 15. Cho \(A = (2; + \infty )\) và \(B = (m; + \infty )\). Điều kiện cần và đủ của m để \(B \subset A\) là

A.\(m \ge 2\).                     B. \(m \le 2\).                     C.\(m = 2\).             D. \(m > 2\).

 

II. PHẦN TỰ LUẬN

Câu 1.

a) Cho hai tập hợp \(A = \{ x \in \mathbb{Z}|(2x + 1)({x^2} - 9) = 0\} \) và \(B = \{ x \in \mathbb{N}|x < 4\} \). Xác định các tập hợp \(A \cap B,A \cup B,A{\rm{\backslash }}B\)

b) Cho hai tập hợp \(M = (0;3)\) và \(N = [m;m + 1)\). Tìm \(m \in \mathbb{Z}\) để \(M \cap N = N\)

Câu 2. Trong một đợt quảng cáo và bán khuyến mãi sản phẩm mới, công ty X cần thuê xe để chở 140 người và 9 tấn hàng. Nơi thuê chỉ có hai loại xe A và B. Trong đó xe loại A có 10 chiếc, mỗi chiếc chở được tối đa 20 người và 0,6 tấn hàng, giá thuê là 4 triệu; xe loại B có 9 chiếc, mỗi chiếc chở được tối đa 10 người và 1,5 tấn hàng, giá thuê là 3 triệu. Hỏi công ty cần thuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí vận chuyển là thấp nhất?

Câu 3. Từ hai vị trí A và B của một tòa nhà, người ta quan sát đỉnh C của ngọn núi như hình dưới. Biết rằng AB = 70m, phương nhìn AC tạo với phương nằm ngang góc \({30^o}\), phương nhìn BC tạo với phương nằm ngang góc \({15^o}30'\). Tính chiều cao của ngọn núi (làm tròn đến hàng đơn vị).

  

Câu 4. Cho \(\sin (a + b) = 2\cos (a - b)\). Chứng minh biểu thức \(M = \frac{1}{{2 - \sin 2a}} + \frac{1}{{2 - \sin 2b}}\) không phụ thuộc vào a,b.

Lời giải chi tiết

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM

 

Câu 1.

Cách giải:

Ta có: \(P(2) = 5,P(4) = 17,P(3) = 10,P(7) = 50\)

Chọn B

Câu 2.

Cách giải:

Thay \(x = 1,y =  - 1\) vào từng bất phương trình, ta được:

 \(1 + ( - 1) - 3 = 3 < 0\) => Lọai A

\( - 1 - ( - 1) = 0\) => Loại B

\(1 + 3.( - 1) + 1 =  - 1 < 0\) => Chọn C

\( - 1 - 3.( - 1) - 1 = 1 > 0\) => Loại D

Chọn C

Câu 3.

Cách giải:

Viết lại mệnh đề đã cho: P: “\(\exists x \in \mathbb{R},{x^2} \le 0\)”

Suy ra \(\overline P :\) “\(\forall x \in \mathbb{R},{x^2} > 0\)”

Chọn D

Câu 4.

Cách giải:

Ta có: \(b = AC = 3\sqrt 3 ,c = AB = 3,a = BC = 6\)

\(\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} = \frac{{{6^2} + {3^2} - {{\left( {3\sqrt 3 } \right)}^2}}}{{2.6.3}} = \frac{1}{2}\)

\( \Rightarrow B = {60^ \circ }\)

Chọn A

Câu 5.

Cách giải:

Ta có: \(\cos {30^o} + \sin {60^o} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \)

Chọn C

Câu 6.

Cách giải:

Ta có: \(X \cup Y = \{ 1;3;5;7;8;9\} \)

Chọn B

Câu 7.

Cách giải:

Ta có: \({C_\mathbb{R}}A = [ - 3;11) \Rightarrow A = ( - \infty ; - 3) \cup [11; + \infty )\)

\({C_\mathbb{R}}B = ( - 8;1] \Rightarrow B = ( - \infty ; - 8] \cup (1; + \infty )\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow A \cap B = ( - \infty ; - 8] \cup [11; + \infty )\\ \Rightarrow {C_\mathbb{R}}\left( {A \cap B} \right) = ( - 8;11)\end{array}\)

Chọn A

Câu 8.

Cách giải:

Phủ định của mệnh đề đó là: “Mọi học sinh trong lớp 10A đều thích học môn Toán”.

Chọn D

Câu 9.

Cách giải:

Ta có

 \(\begin{array}{l}A = \tan {5^o}.\tan {10^o}.\tan {15^o}...\tan {80^o}.\tan {85^o}\\ = \left( {\tan {5^o}.\tan {{85}^o}} \right).\left( {\tan {{10}^o}.\tan {{80}^o}} \right)...\left( {\tan {{40}^o}.\tan {{50}^o}} \right).\tan {45^o}\\ = \left( {\tan {5^o}.\cot {5^o}} \right).\left( {\tan {{10}^o}.\cot {{10}^o}} \right)...\left( {\tan {{40}^o}.\cot {{40}^o}} \right).\tan {45^o}\\ = \tan {45^o} = 1\end{array}\)

Chọn B

Câu 10.

Cách giải:

Theo định lí sin, ta có \(\frac{a}{{\sin A}} = 2R\)

Chọn B

Câu 11.

Cách giải:

+ Xác định đường thẳng là bở của miền nghiệm:

Đường thẳng d đi qua \(A(\frac{3}{2};0)\) và \(B(0; - 3)\) \( \Rightarrow d:2x - y = 3\)

+ Điểm O(0;0) thuộc miền nghiệm và \(2.0 - 0 = 0 < 3\)

Do đó BPT cần tìm là \(2x - y < 3\)

Chọn B

Câu 12.

Cách giải:

\(M = \{ x \in \mathbb{N}|x\) là bội của \(2\}  = \{ 0;2;4;6;8;...\} \)

\(N = \{ x \in \mathbb{N}|x\) là bội của \(6\}  = \{ 0;6;12;18;24;...\} \)

\(P = \{ x \in \mathbb{N}|x\) là ước của \(2\}  = \{ 1;2\} \)

\(Q = \{ x \in \mathbb{N}|x\) là ước của \(6\}  = \{ 1;2;3;6\} \)

Ta có: \(N \subset M\) và \(P \subset Q\)

Do đó: \(M \cap N = N\) và \(P \cap Q = P\)

Chọn C

Câu 13.

Cách giải:

Thay \(x = 2,y = 3\) vào từng bất phương trình, ta được:

\(2.2 - 3.3 - 1 =  - 6 < 0 \Rightarrow A(2;3)\) là nghiệm của BPT \(2x - 3y - 1 < 0\)

\(2 - 3 =  - 1 < 0 \Rightarrow A(2;3)\) không là nghiệm của BPT \(x - y > 0\)

\(4.2 - 3.3 =  - 1 < 0 \Rightarrow A(2;3)\) là nghiệm của BPT \(4x - 3y < 0\)

\(2 + 3.3 - 7 = 4 \ge 0 \Rightarrow A(2;3)\) là nghiệm của BPT \(x + 3y - 7 \ge 0\)

Chọn B

Câu 14.

Phương pháp

Định lí “Nếu P thì Q” còn được phát biểu là:

“P là điều kiện đủ để có Q”

“Q là điều kiện cần để có P”

Cách giải:

Cách phát biểu khác là: “Một tam giác có hai góc bằng nhau là điều kiện đủ để tam giác đó là tam giác cân”

Chọn B

Câu 15. Cho \(A = (2; + \infty )\) và \(B = (m; + \infty )\). Điều kiện cần và đủ của m để \(B \subset A\) là

     A.\(m \ge 2\).                B. \(m \le 2\).                     C.\(m = 2\).             D. \(m > 2\).

Cách giải:

\(B \subset A \Leftrightarrow (m; + \infty ) \subset (2; + \infty ) \Leftrightarrow m \ge 2\)

Chọn A

 

II. PHẦN TỰ LUẬN

Câu 1:

Phương pháp:

a) \(A \cap B = \{ x \in A|x \in B\} \)     

b) \(A \cup B = \{ x|x \in A\) hoặc \(x \in B\} \)

c) \(A{\rm{\backslash }}B = \{ x \in A|x \notin B\} \)

Cách giải:

a) Ta có: \((2x + 1)({x^2} - 9) = 0 \Leftrightarrow (2x + 1)(x - 3)(x + 3) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 1 = 0\\x - 3 = 0\\x + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{1}{2}\\x = 3\\x =  - 3\end{array} \right.\)

Mà \( - \frac{1}{2} \notin \mathbb{Z}\)\( \Rightarrow A = \{  - 3;3\} \)

\(B = \{ x \in \mathbb{N}|x < 4\}  = \{ 0;1;2;3\} \)

Do đó \(A \cap B = \{ 3\} ,A \cup B = \{  - 3;0;1;2;3\} ,A{\rm{\backslash }}B = \{  - 3\} \)

b) \(M = (0;3)\) và. Để \(M \cap N = N \Leftrightarrow N \subset M\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow [m;m + 1) \subset (0;3)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\m + 1 \le 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\m \le 2\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < m \le 2\end{array}\)

Mà \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m = 1\) hoặc \(m = 2\).

Vậy \(m = 1\) hoặc \(m = 2\) thì \(M \cap N = N.\)

 

Câu 2:

Cách giải:

Gọi x là số xe loại A, y là số xe loại B mà công ty cần thuê  (đơn vị: chiếc). \((x,y \in \mathbb{N})\)

Theo đề bài ta có: \(0 \le x \le 10\) và \(0 \le y \le 9\)

Tổng chi phí thuê xe là \(F(x;y) = 4x + 3y\) (triệu đồng)

Số người cần chở là 140 mà mỗi xe A chở tối đa 20 người, mỗi xe B chở tối đa 10 người nên ta có \(20x + 10y \ge 140\) hay \(2x + y \ge 14\)

Số hàng cần chở là 9 tấn mà mỗi xe A chở được 0,6 tấn, mỗi xe B chở được 1,5 tấn nên ta có \(0,6x + 1,5y \ge 9\) hay \(2x + 5y \ge 30\)

Ta có hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 10\\0 \le y \le 9\\2x + y \ge 14\\2x + 5y \ge 30\end{array} \right.\)

Biểu diễn miền nghiệm trên hệ trục Oxy, ta được:

 

Miền nghiệm là miền tứ giác ABCD (kể cả các cạnh) , trong đó \(A(\frac{5}{2};9),B(10;9),C(10;2),D(5;4)\)

Lần lượt thay tọa độ các điểm A, B, C, D vào biểu thức \(F(x;y) = 4x + 3y\) ta được:

\(\begin{array}{l}F(\frac{5}{2};9) = 4.\frac{5}{2} + 3.9 = 37\\F(10;9) = 4.10 + 3.9 = 67\\F(10;2) = 4.10 + 3.2 = 46\\F(5;4) = 4.5 + 3.4 = 32\end{array}\)

Do đó F đạt giá trị nhỏ nhất bằng 32 tại \(x = 5;y = 4\)

Vậy công ty đó cần thuê 5 xe loại A và 4 xe loại B.

Câu 3:

Phương pháp:

Áp dụng định lí sin: \(\frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\)

Cách giải:

Từ hình vẽ, ta suy ra tam giác ABC có:

\(\begin{array}{l}\widehat {BAC} = {90^ \circ } - {30^ \circ } = {60^ \circ }\\\widehat {ABC} = {90^ \circ } + {15^ \circ }30' = {105^ \circ }30'\\AB = 70\end{array}\)

Vì \(A + B + C = {180^ \circ }\) nên \(C = {180^ \circ } - (A + B) = {180^ \circ } - \left( {{{60}^ \circ } + {{105}^ \circ }30'} \right) = {14^ \circ }30'\)

Áp dụn định lí sin trong tam giác ABC ta có:

\(\frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} \Rightarrow AC = \sin B.\frac{{AB}}{{\sin C}} = \sin {105^ \circ }30'.\frac{{70}}{{\sin {{14}^ \circ }30'}} \approx 269,4\) (m)

Gọi CH là chiều cao ngọn núi

Tam giác ACH vuông tại H, \(\widehat {CAH} = {30^ \circ }\)

\( \Rightarrow CH = AC.\sin A = 269,4.\sin {30^ \circ } = 134,7\)(m)

Vậy ngọn núi cao khoảng 135m.

 

Câu 4:

Cách giải:

Đặt \(2u = \sin (a + b) = 2\cos (a - b)\)

Dễ thấy \(u \ne  \pm 1\) do \(\left| {2u} \right| = \left| {\sin (a + b)} \right| \le 1\).

Ta có:

 \(\begin{array}{l}M = \frac{1}{{2 - \sin 2a}} + \frac{1}{{2 - \sin 2b}} = \frac{{2 - \sin 2b + 2 - \sin 2a}}{{\left( {2 - \sin 2a} \right)\left( {2 - \sin 2b} \right)}}\\ = \frac{{4 - \left( {\sin 2a + \sin 2b} \right)}}{{4 - 2\sin 2a - 2\sin 2b + \sin 2a.\sin 2b}}\\ = \frac{{4 - \left( {\sin 2a + \sin 2b} \right)}}{{4 - 2(\sin 2a + \sin 2b) + \sin 2a.\sin 2b}}\end{array}\)

Mà:

\(\sin 2a + \sin 2b = 2\sin \frac{{2a + 2b}}{2}\cos \frac{{2a - 2b}}{2}\)\( = 2\sin \left( {a + b} \right)\cos \left( {a - b} \right) = 2.2u.u = 4{u^2}\);

\(\begin{array}{l}\sin 2a.\sin 2b =  - \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {2a + 2b} \right) - \cos \left( {2a - 2b} \right)} \right]\\ =  - \frac{1}{2}\left[ {1 - 2{{\sin }^2}(a + b) - 2{{\cos }^2}(a - b) + 1} \right]\\ = {\cos ^2}(a + b) + {\sin ^2}(a - b) - 1\\ = {u^2} + {(2u)^2} - 1 = 5{u^2} - 1\end{array}\)

\( \Rightarrow M = \frac{{4 - 4{u^2}}}{{4 - 2.4{u^2} + 5{u^2} - 1}} = \frac{{4 - 4{u^2}}}{{3 - 3{u^2}}} = \frac{4}{3}\)

 Vậy \(M = \frac{4}{3}\) không phụ thuộc vào a,b.

Đề bài

Phần trắc nghiệm (7 điểm)

Câu 1: Chọn câu trả lời đúng.

A. Mệnh đề là một câu hỏi	B. Mệnh đề là một câu cảm thán
C. Mệnh đề là một khẳng định đúng hoặc sai	D. Cả A, B, C đều đúng

Câu 2: Mệnh đề “Tồn tại một số thực mà lập phương của nó bằng 10” được viết lại là:

A. \(\forall x \in \mathbb{Z},{x^3} = 10\)	B. \(\exists x \in \mathbb{R},{x^3} = 10\)
C. \(\forall x \in \mathbb{Q},{x^3} = 10\)	D. \(\exists x \in \mathbb{Q},{x^3} = 10\)

Câu 3: Chọn khẳng định sai:

A. Mệnh đề P có mệnh đề phủ định là \(\overline P \), nếu P đúng thì \(\overline P \) sai

B. Mệnh đề P có mệnh đề phủ định là \(\overline P \), \(\overline P \) đúng thì chưa khẳng định được P sai

C. Mệnh đề phủ định của mệnh đề P là mệnh đề không phải P, kí hiệu là \(\overline P \)

D. Mệnh đề P có mệnh đề phủ định là \(\overline P \), nếu P sai thì \(\overline P \) đúng

Câu 4: Tập hợp nào dưới đây cho bằng cách liệt kê các phần tử của tập hợp:

A. \(A = \left[ {1;2;3;4;5} \right]\)	B. \(A = \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\)
C. \(A = \left\{ {x \in \mathbb{Z}|0 < x < 5} \right\}\)	D. \(A = \left\{ {x \in \mathbb{Z}|0 < x < 5} \right\}\)

Câu 5: Tập hợp C gồm các số tự nhiên lẻ. Viết tập hợp C bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử.

A. \(C = \left\{ {x|x = 2n + 1,n \in \mathbb{N}} \right\}\)	B. \(C = \left\{ {1;3;5;7...} \right\}\)
C.  Cả A và B đều đúng.	D. Cả A và B đều sai

Câu 6: Tập hợp A gồm các chữ cái trong từ “NHA TRANG” là:

A. \(A = \left\{ {N,H,A,T,R,A,N,G} \right\}\)	B. \(A = \left\{ {H,A,T,R,A,N,G} \right\}\)
C.  \(A = \left[ {N,H,A,T,R,A,N,G} \right]\)	D. \(A = \left\{ {N,H,T,R,A,G} \right\}\)

Câu 7: Miền nghiệm của một hệ bất phương trình là miền không bị gạch chéo (tính cả bờ) như hình dưới. Điểm nào sau đây nằm trong miền nghiệm của hệ bất phương trình trên?

A. \(\left( { - 1;2} \right)\)	B. \(\left( {0; - 3} \right)\)
C. \(\left( { - 2;3} \right)\)	D. \(\left( {1;1} \right)\)

Câu 8: Trong các hệ bất phương trình dưới đây, hệ bất phương trình nào là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. \(\left\{ \begin{array}{l}5x + y - 3 = 0\\x - 2{y^2} + 3 = 7\end{array} \right.\)	B. \(\left\{ \begin{array}{l}x + y \ge 0\\x - y + 5 < 0\end{array} \right.\)
C. \(\left\{ \begin{array}{l}5x + y - z > 0\\x - 2y + 3 = 7\end{array} \right.\)	D. \(\left\{ \begin{array}{l}x + y \ge z\\x + 5 < y\end{array} \right.\)

Câu 9: Hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y > 0\\2x + 5y < 0\end{array} \right.\) có tập nghiệm là S. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \(\left( {1;1} \right) \in S\)	B. \(\left( { - 1; - 1} \right) \in S\)
C. \(\left( {1;\frac{{ - 1}}{2}} \right) \in S\)	D. \(\left( {1;\frac{1}{2}} \right) \in S\)

Câu 10: Miền nghiệm của bất phương trình \( - x + y > 1\) là:

A. Nửa mặt phẳng không kể bờ \(d: - x + y = 1\) chứa điểm O (0; 0)

B. Nửa mặt phẳng bờ \(d: - x + y = 1\) chứa điểm O (0; 0)

C. Nửa mặt phẳng bờ \(d: - x + y = 1\) không chứa điểm O (0; 0)

D. Nửa mặt phẳng không kể bờ \(d: - x + y = 1\) không chứa điểm O (0; 0)

Câu 11: Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. \(x - \frac{1}{2}y > 0\)	B. \({x^2} + 2x - y > 0\)
C. \(4y \le 11y\)	D. \(x + y - 5 > 0\)

Câu 12: Cho bất phương trình có miền nghiệm là phần không bị gạch chéo (không tính bờ) như hình dưới. Điểm nào sau đây nằm trong miền nghiệm của bất phương trình trên?

 

A. \(\left( {0;0} \right)\)	B. \(\left( {0;2} \right)\)
C. \(\left( {2;0} \right)\)	D. \(\left( {1;1} \right)\)

Câu 13: Với \({0^0} \le \alpha  \le {180^0}\) thì:

A. \(\sin \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) = \sin \alpha \)	B. \(\sin \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) =  - \sin \alpha \)
C. \(\sin \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) = 2\sin \alpha \)	D. \(\sin \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) = \frac{1}{2}\sin \alpha \)

Câu 14: Nếu \(\alpha \) là góc nhọn thì:

A. \(\sin \alpha  > 0\)	B. \(\cos \alpha  > 0\)
C. Cả A và B đều đúng	D. Cả A và B đều sai

Câu 15: Với \(\alpha  \ne {90^0}\), thì:

A. \(\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\)	B. \(\tan \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\)
C.  \(\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{2\cos \alpha }}\)	D. \(\tan \alpha  = \frac{{2\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\)

Câu 16: Giá trị của biểu thức \(A = \sin {30^0} + \cos {60^0}\) là:

A. \(A = \frac{5}{2}\)	B. \(A = \frac{1}{2}\)
C. \(A = \frac{3}{2}\)	D. \(A = 1\)

Câu 17: Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\). Khi đó:

A. \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)	B. \({a^2} = {b^2} - {c^2} - 2bc\cos A\)
C. \({a^2} = {b^2} + {c^2} + 2bc\cos A\)	D. \({a^2} = {c^2} - {b^2} - 2bc\cos A\)

Câu 18: Cho tam giác ABC có \(AC = 40cm,\widehat B = {45^0}\). Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:

A. 10cm	B. 20cm
C. \(10\sqrt 2 cm\)	D. \(20\sqrt 2 cm\)

Câu 19: Cho tam giác ABC có \(AB = 5cm,BC = 6cm,\widehat B = {45^0}.\) Diện tích tam giác ABC là:

A. \(\frac{{15\sqrt 2 }}{4}c{m^2}\)	B. \(\frac{{15\sqrt 2 }}{2}c{m^2}\)
C. \(30\sqrt 2 c{m^2}\)	D. \(15\sqrt 2 c{m^2}\)

Câu 20: Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\), \(p = \frac{{a + b + c}}{2}\). Diện tích S của tam giác ABC là:

A. \(S = p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)\)

B. \(S = \frac{1}{2}p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)\)

C. \(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \)

D. \(S = \frac{1}{2}\sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \)

Câu 21: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng?

A. 2020 là số chia hết cho 3

B. \(\pi  > 3,15\)

C. Tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác đều

D. Tam giác có hai góc bằng \({45^0}\) là tam giác vuông cân 

Câu 22: Cho mệnh đề: “Nghiệm của phương trình \({x^2} - 10 = 0\) là số vô tỉ”. Mệnh đề phủ định của mệnh đề trên là:

A. “Nghiệm của phương trình \({x^2} - 10 = 0\) không là số vô tỉ”

B. “Nghiệm của phương trình \({x^2} - 10 = 0\) là không số hữu tỉ”

C.  “Phương trình \({x^2} - 10 = 0\) vô nghiệm”

D. “Nghiệm của phương trình \({x^2} - 10 = 0\) không là số nguyên”

Câu 23: Cho số tự nhiên n. Xét mệnh đề: “Nếu n chia hết cho 16 thì n chia hết cho 4”. Mệnh đề đảo của mệnh đề đó là:

A. Nếu n chia hết cho 16 thì n không chia hết cho 4

B. Nếu n chia hết cho 4 thì n chia hết cho 16

C. Nếu n chia hết cho 4 thì n không chia hết cho 16

D. Nếu n không chia hết cho 16 thì n không chia hết cho 4

Câu 24: Tập hợp \(A = \left\{ {x \in \mathbb{R}|x < 2} \right\}\) được biểu diễn trên trục số là:

 

Câu 25: Cho các tập hợp \(A = \left\{ {1;\;2;\;3} \right\}\), \(B = \left\{ {2;\;3;\;4} \right\}\), \(C = \left\{ {1;2;3;4} \right\}\). Chọn khẳng định đúng.

A. \(A \subset B\)	B. \(A \cap B = C\)
C. \(A \cup B = C\)	D. \(A\backslash B = C\)

Câu 26: Chọn đáp án đúng:

A. \(\left( {2;5} \right) \subset \left[ {2;5} \right]\)	B. \(\left( {2;5} \right] \subset \left[ {2;5} \right]\)
C. \(\left[ {2;5} \right) \subset \left[ {2;5} \right]\)	D. Cả A, B, C đều đúng.

Câu 27: Cho bất phương trình: \(6x + 4y - 3 > 9\). Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ là:

 

Câu 28: Miền nghiệm của bất phương trình \(3x - 2y + 6 < 0\) là:

 

Câu 29: Cho hình vẽ sau:

 

Miền không gạch chéo (không kể đường thẳng \(\Delta \)) là miền nghiệm của bất phương trình nào dưới đây:

A. \(x - 2y - 1 \ge 0\)	B. \(x - 2y - 1 < 0\)
C. \(x - 2y - 1 \le 0\)	D. \(x - 2y - 1 > 0\)

Câu 30: Cho hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y \ge  - 2\\7x - 4y \le 16\\2x + y \ge  - 4\end{array} \right.\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F\left( {x;y} \right) = 3x - y\) với (x; y) thỏa mãn hệ bất phương trình trên là:

A. \( - 6\)	B. 6
C. \( - 12\)	D. 12

Câu 31: Cho tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \(\sin A = \sin \left( {B + C} \right)\)	B. \(\sin A =  - \sin \left( {B + C} \right)\)
C. \(\sin A = 2\sin \left( {B + C} \right)\)	D. \(\sin A =  - 2\sin \left( {B + C} \right)\)

Câu 32: Cho góc \(\alpha \left( {{0^0} < \alpha  < {{180}^0},\alpha  \ne {{90}^0}} \right)\) thỏa mãn \(\tan \alpha  = 2\). Giá trị của biểu thức \(P = \frac{{2\sin \alpha  - 3\cos \alpha }}{{3\sin \alpha  + 2\cos \alpha }}\) là:

A. \(P = 2\)	B. \(P = 8\)
C. \(P = \frac{1}{2}\)	D. \(P = \frac{1}{8}\)

Câu 33: Cho tam giác ABC có \(AB = 6cm,AC = 5cm,BC = 8cm\). Số đo góc A là (làm tròn đến hàng phần trăm)

A. \(\widehat A \approx 87,{14^0}\)	B. \(\widehat A \approx 87,{13^0}\)
C. \(\widehat A \approx 92,{87^0}\)	D. \(\widehat A \approx 92,{86^0}\)

Câu 34: Cho tam giác ABC có \(AB = 13cm,BC = 14cm,AC = 15cm\). Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:

A. 65cm	B. \(\frac{{65}}{8}cm\)
C. \(\frac{{65}}{2}cm\)	D. \(\frac{{65}}{4}cm\)

Câu 35: Cho tam giác ABC có diện tích bằng \(10\sqrt 3 c{m^2}\) và chu vi của tam giác bằng 20cm. Bán kính đường tròn nội tiếp r của tam giác trên là:

A. \(2\sqrt 3 cm\)	B. \(\sqrt 3 cm\)
C. 3cm	D. 2cm

Phần tự luận (3 điểm)

Bài 1. (1,0 điểm) Cho hai tập hợp \(A = \left[ { - 1;6} \right],B = \left[ {m - 4;2m + 3} \right)\).

a) Tìm tập hợp \(A \cap \mathbb{Z}\)                                                           b) Tìm m để \(A \cap B = \emptyset \)

Bài 2. (1,0 điểm)

Giả sử \(CD = h\) là chiều cao của một tòa tháp. Chọn hai điểm A và B trên mặt đất sao cho A, B, C thẳng hàng (xem hình vẽ). Ta đo được \(AB = 48m,\widehat {CAD} = \alpha  = {63^0},\widehat {CBD} = \beta  = {48^0}\). Tính chiều cao h của tòa tháp (kết quả làm tròn đến một chữ số thập phân).

Bài 3. (1,0 điểm) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh thỏa mãn \(B{C^4} - A{B^4} - A{C^4} = 0\). Chứng minh rằng tam giác ABC có ba góc nhọn.

-------- Hết --------

Lời giải chi tiết

Câu 7: Miền nghiệm của một hệ bất phương trình là miền không bị gạch chéo (tính cả bờ) như hình dưới. Điểm nào sau đây nằm trong miền nghiệm của hệ bất phương trình trên?

 

A. \(\left( { - 1;2} \right)\)	B. \(\left( {0; - 3} \right)\)
C. \(\left( { - 2;3} \right)\)	D. \(\left( {1;1} \right)\)

Phương pháp

Sử dụng kiến thức: Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là miền nghiệm của hệ bất phương trình đó. Miền nghiệm của hệ là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.

Lời giải

Trong các điểm trên, chỉ có điểm \(\left( {1;1} \right)\) thuộc miền không bị gạch chéo trong mặt phẳng tọa độ.

Vậy điểm có tọa độ \(\left( {1;1} \right)\) nằm trong miền nghiệm của hệ bất phương trình

Đáp án D

Câu 8: Trong các hệ bất phương trình dưới đây, hệ bất phương trình nào là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. \(\left\{ \begin{array}{l}5x + y - 3 = 0\\x - 2{y^2} + 3 = 7\end{array} \right.\)	B. \(\left\{ \begin{array}{l}x + y \ge 0\\x - y + 5 < 0\end{array} \right.\)
C. \(\left\{ \begin{array}{l}5x + y - z > 0\\x - 2y + 3 = 7\end{array} \right.\)	D. \(\left\{ \begin{array}{l}x + y \ge z\\x + 5 < y\end{array} \right.\)

Phương pháp

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y

Lời giải

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là \(\left\{ \begin{array}{l}x + y \ge 0\\x - y + 5 < 0\end{array} \right.\)

Đáp án B

Câu 9: Hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y > 0\\2x + 5y < 0\end{array} \right.\) có tập nghiệm là S. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \(\left( {1;1} \right) \in S\)	B. \(\left( { - 1; - 1} \right) \in S\)
C. \(\left( {1;\frac{{ - 1}}{2}} \right) \in S\)	D. \(\left( {1;\frac{1}{2}} \right) \in S\)

Phương pháp

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y. Mỗi nghiệm chung của các bất phương trình trong hệ được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đó.

Lời giải

Với \(x = 1;y = \frac{1}{2}\) thay vào hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y > 0\\2x + 5y < 0\end{array} \right.\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} > 0\\2.1 + 5.\frac{1}{2} = \frac{9}{2} < 0\left( {VL} \right)\end{array} \right.\) nên \(\left( {1;\frac{1}{2}} \right)\not  \in S\)

Với \(x = 1;y = 1\) thay vào hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y > 0\\2x + 5y < 0\end{array} \right.\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}1 + 1 = 2 > 0\\2.1 + 5.1 = 7 < 0\left( {VL} \right)\end{array} \right.\) nên \(\left( {1;1} \right)\not  \in S\)

Với \(x = 1;y = \frac{{ - 1}}{2}\) thay vào hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y > 0\\2x + 5y < 0\end{array} \right.\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} > 0\\2.1 - 5.\frac{1}{2} = \frac{{ - 1}}{2} < 0\end{array} \right.\) nên \(\left( {1;\frac{{ - 1}}{2}} \right) \in S\)

Với \(x =  - 1;y =  - 1\) thay vào hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y > 0\\2x + 5y < 0\end{array} \right.\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} - 1 - 1 > 0\left( {VL} \right)\\ - 2.1 - 5.1 =  - 7 < 0\end{array} \right.\) nên \(\left( { - 1; - 1} \right)\not  \in S\)

Đáp án C

Câu 10: Miền nghiệm của bất phương trình \( - x + y > 1\) là:

A. Nửa mặt phẳng không kể bờ \(d: - x + y = 1\) chứa điểm O (0; 0)

B. Nửa mặt phẳng bờ \(d: - x + y = 1\) chứa điểm O (0; 0)

C. Nửa mặt phẳng bờ \(d: - x + y = 1\) không chứa điểm O (0; 0)

D. Nửa mặt phẳng không kể bờ \(d: - x + y = 1\) không chứa điểm O (0; 0)

Phương pháp

Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình \(ax + by + c > 0\) như sau:

Bước 1: Trên mặt phẳng Oxy, vẽ đường thẳng \(d:ax + by + c = 0\)

Bước 2: Lấy một điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) không thuộc d. Tính \(a{x_0} + b{y_0} + c\)

Bước 3: Kết luận: + Nếu \(a{x_0} + b{y_0} + c < 0\) thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ d) không chứa điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)

+ Nếu \(a{x_0} + b{y_0} + c > 0\) thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ d) chứa điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)

Lời giải

Ta thấy điểm O (0; 0) không thuộc đường thẳng \(d: - x + y = 1\) và \(0 + 0 < 1\) nên điểm O không thuộc miền nghiệm của bất phương trình \( - x + y > 1\) . Vậy miền nghiệm của bất phương trình \( - x + y > 1\) là mặt phẳng không kể bờ \(d: - x + y = 1\) không chứa điểm O (0; 0)

Đáp án D

Câu 11: Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. \(x - \frac{1}{2}y > 0\)	B. \({x^2} + 2x - y > 0\)
C. \(4y \le 11y\)	D. \(x + y - 5 > 0\)

Phương pháp

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là bất phương trình có một trong các dạng

\(ax + by + c > 0,ax + by + c \ge 0,ax + by + c < 0,ax + by + c \le 0\)

Trong đó a, b, c là những số cho trước, a, b không đồng thời bằng 0 và x, y là các ẩn.

Lời giải

Bất phương trình \({x^2} + 2x - y > 0\) không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có chứa \({x^2}\)

Đáp án B

Câu 12: Cho bất phương trình có miền nghiệm là phần không bị gạch chéo (không tính bờ) như hình dưới. Điểm nào sau đây nằm trong miền nghiệm của bất phương trình trên?

 

A. \(\left( {0;0} \right)\)	B. \(\left( {0;2} \right)\)
C. \(\left( {2;0} \right)\)	D. \(\left( {1;1} \right)\)

Phương pháp

Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp các tọa độ là nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn được gọi là miền nghiệm của bất phương trình đó.

Lời giải

Trong các điểm ở trên, chỉ có điểm \(\left( {0;0} \right)\) thuộc miền không bị gạch chéo. Do đó, điểm \(\left( {0;0} \right)\) nằm trong miền nghiệm của bất phương trình trong hình.

Đáp án A

Câu 13: Với \({0^0} \le \alpha  \le {180^0}\) thì:

A. \(\sin \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) = \sin \alpha \)	B. \(\sin \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) =  - \sin \alpha \)
C. \(\sin \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) = 2\sin \alpha \)	D. \(\sin \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) = \frac{1}{2}\sin \alpha \)

Phương pháp

Với \({0^0} \le \alpha  \le {180^0}\) thì \(\sin \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) = \sin \alpha \)

Lời giải

Với \({0^0} \le \alpha  \le {180^0}\) thì \(\sin \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) = \sin \alpha \)

Đáp án A

Câu 14: Nếu \(\alpha \) là góc nhọn thì:

A. \(\sin \alpha  > 0\)	B. \(\cos \alpha  > 0\)
C. Cả A và B đều đúng	D. Cả A và B đều sai

Phương pháp

Nếu \(\alpha \) là góc nhọn thì \(\sin \alpha  > 0\), \(\cos \alpha  > 0\)

Lời giải

Nếu \(\alpha \) là góc nhọn thì \(\sin \alpha  > 0\), \(\cos \alpha  > 0\)

Đáp án C

Câu 15: Với \(\alpha  \ne {90^0}\), thì:

A. \(\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\)	B. \(\tan \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\)
C.  \(\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{2\cos \alpha }}\)	D. \(\tan \alpha  = \frac{{2\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\)

Phương pháp

Nếu \(\alpha  \ne {90^0}\) thì \(\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\)

Lời giải

Nếu \(\alpha  \ne {90^0}\) thì \(\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\)

Đáp án A

Câu 16: Giá trị của biểu thức \(A = \sin {30^0} + \cos {60^0}\) là:

A. \(A = \frac{5}{2}\)	B. \(A = \frac{1}{2}\)
C. \(A = \frac{3}{2}\)	D. \(A = 1\)

Phương pháp

\(\sin {30^0} = \frac{1}{2},\cos {60^0} = \frac{1}{2}\)

Lời giải

\(A = \sin {30^0} + \cos {60^0} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\)

Đáp án D

Câu 17: Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\). Khi đó:

A. \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)	B. \({a^2} = {b^2} - {c^2} - 2bc\cos A\)
C. \({a^2} = {b^2} + {c^2} + 2bc\cos A\)	D. \({a^2} = {c^2} - {b^2} - 2bc\cos A\)

Phương pháp

Định lý côsin: Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\) thì \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)

Lời giải  

Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\) thì theo định lí côsin ta có: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)

Đáp án A

Câu 18: Cho tam giác ABC có \(AC = 40cm,\widehat B = {45^0}\). Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:

A. 10cm	B. 20cm
C. \(10\sqrt 2 cm\)	D. \(20\sqrt 2 cm\)

Phương pháp

Định lí sin: Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\) và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là R. Khi đó, \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\)

Lời giải

Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC ta có: \(R = \frac{{CA}}{{2\sin B}} = \frac{{40}}{{2\sin {{45}^0}}} = 20\sqrt 2 \left( {cm} \right)\)

Đáp án D

Câu 19: Cho tam giác ABC có \(AB = 5cm,BC = 6cm,\widehat B = {45^0}.\) Diện tích tam giác ABC là:

A. \(\frac{{15\sqrt 2 }}{4}c{m^2}\)	B. \(\frac{{15\sqrt 2 }}{2}c{m^2}\)
C. \(30\sqrt 2 c{m^2}\)	D. \(15\sqrt 2 c{m^2}\)

Phương pháp

Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\) thì diện tích S của tam giác ABC là: \(S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ac\sin B\)

Lời giải

Diện tích tam giác ABC là: \(S = \frac{1}{2}AB.BC.\sin B = \frac{1}{2}.5.6.\sin {45^0} = \frac{{15\sqrt 2 }}{2}\left( {c{m^2}} \right)\)

Đáp án B

Câu 20: Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\), \(p = \frac{{a + b + c}}{2}\). Diện tích S của tam giác ABC là:

A. \(S = p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)\)

B. \(S = \frac{1}{2}p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)\)

C. \(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \)

D. \(S = \frac{1}{2}\sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \)

Phương pháp

Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\), \(p = \frac{{a + b + c}}{2}\) thì diện tích S của tam giác ABC là: \(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \)

Lời giải

Tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\), \(p = \frac{{a + b + c}}{2}\) thì diện tích S của tam giác ABC là:

\(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \)

Đáp án C

Câu 21: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng?

A. 2020 là số chia hết cho 3

B. \(\pi  > 3,15\)

C. Tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác đều

D. Tam giác có hai góc bằng \({45^0}\) là tam giác vuông cân 

Phương pháp

Một khẳng định đúng gọi là mệnh đề đúng, khẳng định sai gọi là mệnh đề sai.

Lời giải

Mệnh đề đúng là: Tam giác có hai góc bằng \({45^0}\) là tam giác vuông cân.

Đáp án D

Câu 22: Cho mệnh đề: “Nghiệm của phương trình \({x^2} - 10 = 0\) là số vô tỉ”. Mệnh đề phủ định của mệnh đề trên là:

A. “Nghiệm của phương trình \({x^2} - 10 = 0\) không là số vô tỉ”

B. “Nghiệm của phương trình \({x^2} - 10 = 0\) là không số hữu tỉ”

C.  “Phương trình \({x^2} - 10 = 0\) vô nghiệm”

D. “Nghiệm của phương trình \({x^2} - 10 = 0\) không là số nguyên”

Phương pháp

Mỗi mệnh đề P có mệnh đề phủ định, kí hiệu \(\overline P \). Mệnh đề P và mệnh đề phủ định \(\overline P \) của nó có tính đúng sai trái ngược nhau. Nghĩa là P đúng thì \(\overline P \) sai, khi P sai thì \(\overline P \) đúng.

Lời giải

Mệnh đề phủ định của mệnh đề trên là: Nghiệm của phương trình \({x^2} - 10 = 0\) không là số vô tỉ.

Đáp án A

Câu 23: Cho số tự nhiên n. Xét mệnh đề: “Nếu n chia hết cho 16 thì n chia hết cho 4”. Mệnh đề đảo của mệnh đề đó là:

A. Nếu n chia hết cho 16 thì n không chia hết cho 4

B. Nếu n chia hết cho 4 thì n chia hết cho 16

C. Nếu n chia hết cho 4 thì n không chia hết cho 16

D. Nếu n không chia hết cho 16 thì n không chia hết cho 4

Phương pháp

Mệnh đề đảo của mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) (hay “Nếu P thì Q”) là \(Q \Rightarrow P\) (hay “Nếu Q thì P”)

Lời giải

Mệnh đề đảo của mệnh đề trên là: Nếu n chia hết cho 4 thì n chia hết cho 16

Đáp án B

Câu 24: Tập hợp \(A = \left\{ {x \in \mathbb{R}|x < 2} \right\}\) được biểu diễn trên trục số là:

 

Phương pháp

Tập hợp \(\left\{ {x \in \mathbb{R}|x < a} \right\}\) kí hiệu là khoảng \(\left( { - \infty ;a} \right)\) được biểu diễn trên trục số là:

 

Lời giải

Tập hợp \(A = \left\{ {x \in \mathbb{R}|x < 2} \right\}\) được biểu diễn trên trục số là:

 

Đáp án A

Câu 25: Cho các tập hợp \(A = \left\{ {1;\;2;\;3} \right\}\), \(B = \left\{ {2;\;3;\;4} \right\}\), \(C = \left\{ {1;2;3;4} \right\}\). Chọn khẳng định đúng.

A. \(A \subset B\)	B. \(A \cap B = C\)
C. \(A \cup B = C\)	D. \(A\backslash B = C\)

Phương pháp

Tập hợp gồm những phần tử thuộc tập hợp A hoặc thuộc tập hợp B được gọi là hợp của A và B, kí hiệu \(A \cup B\).

Tập hợp gồm những phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B được gọi là giao của A và B, kí hiệu là \(A \cap B\).

Tập hợp gồm những phần tử thuộc A nhưng không thuộc B gọi là hiệu của A và B, kí hiệu \(A\backslash B\).

Lời giải

Ta có: \(A \cap B = \left\{ {2;3} \right\},A \cup B = \left\{ {1;2;3;4} \right\}\). Vậy \(A \cup B = C\)

Đáp án C

Câu 26: Chọn đáp án đúng:

A. \(\left( {2;5} \right) \subset \left[ {2;5} \right]\)	B. \(\left( {2;5} \right] \subset \left[ {2;5} \right]\)
C. \(\left[ {2;5} \right) \subset \left[ {2;5} \right]\)	D. Cả A, B, C đều đúng.

Phương pháp

Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập hợp B thì ta nói A là một tập con của tập hợp B, và viết là \(A \subset B\)

Lời giải

Các khẳng định đúng là: \(\left( {2;5} \right) \subset \left[ {2;5} \right]\), \(\left( {2;5} \right] \subset \left[ {2;5} \right]\), \(\left[ {2;5} \right) \subset \left[ {2;5} \right]\)

Đáp án D

Câu 27: Cho bất phương trình: \(6x + 4y - 3 > 9\). Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ là:

 

Phương pháp

Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình \(ax + by + c > 0\) như sau:

Bước 1: Trên mặt phẳng Oxy, vẽ đường thẳng \(d:ax + by + c = 0\)

Bước 2: Lấy một điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) không thuộc d. Tính \(a{x_0} + b{y_0} + c\)

Bước 3: Kết luận: + Nếu \(a{x_0} + b{y_0} + c < 0\) thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ d) không chứa điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)

+ Nếu \(a{x_0} + b{y_0} + c > 0\) thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ d) chứa điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)

Lời giải

Ta có: \(6x + 4y - 3 > 9 \Leftrightarrow 6x + 4y - 12 > 0 \Leftrightarrow 3x + 2y - 6 > 0\)

Ta thấy điểm O (0; 0) không thuộc đường thẳng \(3x + 2y - 6 = 0\) và \(3.0 + 2.0 - 6 < 0\) nên miền nghiệm của bất phương trình \(6x + 4y - 3 > 9\) là nửa mặt phẳng (không kể bờ d) không chứa điểm O.

Đáp án A

Câu 28: Miền nghiệm của bất phương trình \(3x - 2y + 6 < 0\) là:

 

Phương pháp

Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình \(ax + by + c < 0\) như sau:

Bước 1: Trên mặt phẳng Oxy, vẽ đường thẳng \(d:ax + by + c = 0\)

Bước 2: Lấy một điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) không thuộc d. Tính \(a{x_0} + b{y_0} + c\)

Bước 3: Kết luận: + Nếu \(a{x_0} + b{y_0} + c < 0\) thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ d) chứa điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)

+ Nếu \(a{x_0} + b{y_0} + c > 0\) thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ d) không chứa điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)

Lời giải

Nhận thấy, điểm O (0; 0) không thuộc đường thẳng \(d:3x - 2y + 6 = 0\) và \(3.0 - 2.0 + 6 > 0\) nên miền nghiệm của phương trình \(3x - 2y + 6 < 0\) là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d (không tính bờ) không chứa điểm O.

Đáp án B

Câu 29: Cho hình vẽ sau:

 

Miền không gạch chéo (không kể đường thẳng \(\Delta \)) là miền nghiệm của bất phương trình nào dưới đây:

A. \(x - 2y - 1 \ge 0\)	B. \(x - 2y - 1 < 0\)
C. \(x - 2y - 1 \le 0\)	D. \(x - 2y - 1 > 0\)

Phương pháp

Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình \(ax + by + c > 0\) như sau:

Bước 1: Trên mặt phẳng Oxy, vẽ đường thẳng \(d:ax + by + c = 0\)

Bước 2: Lấy một điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) không thuộc d. Tính \(a{x_0} + b{y_0} + c\)

Bước 3: Kết luận: + Nếu \(a{x_0} + b{y_0} + c < 0\) thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ d) không chứa điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)

+ Nếu \(a{x_0} + b{y_0} + c > 0\) thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng (không kể bờ d) chứa điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)

Lời giải

Đường thẳng \(\Delta \) có phương trình là: \(x - 2y - 1 = 0\)

Ta thấy điểm O (0; 0) không thuộc đường thẳng \(\Delta \), \(0 - 2.0 - 1 < 0\) và điểm O không thuộc miền nghiệm của bất phương trình nên bất phương trình cần tìm là \(x - 2y - 1 > 0\).

Đáp án D

Câu 30: Cho hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y \ge  - 2\\7x - 4y \le 16\\2x + y \ge  - 4\end{array} \right.\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F\left( {x;y} \right) = 3x - y\) với (x; y) thỏa mãn hệ bất phương trình trên là:

A. \( - 6\)	B. 6
C. \( - 12\)	D. 12

Phương pháp

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F ta làm như sau:

Bước 1: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình trên, xác định các đỉnh của đa giác.

Bước 2: Tính giá trị biểu thức F tại các đỉnh của đa giác đó.

Bước 3: So sánh các giá trị thu được của F, giá trị nhỏ nhất của F là giá trị cần tìm.

Lời giải

Vẽ ba đường thẳng \({d_1}:x - 2y =  - 2,{d_2}:7x - 4y = 16,{d_3}:2x + y =  - 4\) và biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ Oxy ta được:

 

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tam giác ABC (kể cả các cạnh) với tọa độ các đỉnh \(A\left( {4;3} \right),B\left( {0; - 4} \right),C\left( { - 2;0} \right)\).

Tại \(A\left( {4;3} \right)\) ta có: \(F = 3.4 - 3 = 9\)

Tại \(B\left( {0; - 4} \right)\) ta có: \(F = 3.0 + 4 = 4\)

Tại \(C\left( { - 2;0} \right)\) ta có: \(F = 3.\left( { - 2} \right) - 0 =  - 6\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của F là \( - 6\) tại \(x =  - 2;y = 0\)

Đáp án A

Câu 31: Cho tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \(\sin A = \sin \left( {B + C} \right)\)	B. \(\sin A =  - \sin \left( {B + C} \right)\)
C. \(\sin A = 2\sin \left( {B + C} \right)\)	D. \(\sin A =  - 2\sin \left( {B + C} \right)\)

Phương pháp

Áp dụng công thức: \(\sin \alpha  = \sin \left( {{{180}^0} - \alpha } \right)\)

Lời giải

Tam giác ABC có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0} \Rightarrow \widehat A = {180^0} - \left( {\widehat B + \widehat C} \right)\)

Ta có: \(\sin A = \sin \left[ {{{180}^0} - \left( {B + C} \right)} \right] = \sin \left( {B + C} \right)\)

Đáp án A

Câu 32: Cho góc \(\alpha \left( {{0^0} < \alpha  < {{180}^0},\alpha  \ne {{90}^0}} \right)\) thỏa mãn \(\tan \alpha  = 2\). Giá trị của biểu thức \(P = \frac{{2\sin \alpha  - 3\cos \alpha }}{{3\sin \alpha  + 2\cos \alpha }}\) là:

A. \(P = 2\)	B. \(P = 8\)
C. \(P = \frac{1}{2}\)	D. \(P = \frac{1}{8}\)

Phương pháp

Sử dụng kiến thức \(\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\)

Lời giải

\(P = \frac{{2\sin \alpha  - 3\cos \alpha }}{{3\sin \alpha  + 2\cos \alpha }} = \frac{{2\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - 3}}{{3\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + 2}} = \frac{{2\tan \alpha  - 3}}{{3\tan \alpha  + 2}} = \frac{{2.2 - 3}}{{3.2 + 2}} = \frac{1}{8}\)

Đáp án D

Câu 33: Cho tam giác ABC có \(AB = 6cm,AC = 5cm,BC = 8cm\). Số đo góc A là (làm tròn đến hàng phần trăm)

A. \(\widehat A \approx 87,{14^0}\)	B. \(\widehat A \approx 87,{13^0}\)
C. \(\widehat A \approx 92,{87^0}\)	D. \(\widehat A \approx 92,{86^0}\)

Phương pháp

Định lí Côsin: Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\) thì \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)

Lời giải

Áp dụng định lí Côsin vào tam giác ABC ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos A\)

\( \Rightarrow {8^2} = {6^2} + {5^2} - 2.5.6.\cos A \Rightarrow \cos A = \frac{{ - 1}}{{20}} \Rightarrow \widehat A \approx 92,{87^0}\)

Đáp án C

Câu 34: Cho tam giác ABC có \(AB = 13cm,BC = 14cm,AC = 15cm\). Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:

A. 65cm	B. \(\frac{{65}}{8}cm\)
C. \(\frac{{65}}{2}cm\)	D. \(\frac{{65}}{4}cm\)

Phương pháp

Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\), p là nửa chu vi tam giác và R là bán kính đường tròn ngoài tiếp tam giác thì diện tích tam giác ABC là: \(S = \frac{{abc}}{{4R}} = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \)

Lời giải

Nửa chu vi tam giác ABC là: \(p = \frac{{13 + 14 + 15}}{2} = 21\left( {cm} \right)\)

Diện tích tam giác ABC là: \(S = \sqrt {21\left( {21 - 14} \right)\left( {21 - 15} \right)\left( {21 - 13} \right)}  = \sqrt {21.7.8.6}  = 84\left( {c{m^2}} \right)\)

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: \(\frac{{AB.AC.BC}}{{4.S}} = \frac{{13.14.15}}{{4.84}} = \frac{{65}}{8}\left( {cm} \right)\)

Đáp án B

Câu 35: Cho tam giác ABC có diện tích bằng \(10\sqrt 3 c{m^2}\) và chu vi của tam giác bằng 20cm. Bán kính đường tròn nội tiếp r của tam giác trên là:

A. \(2\sqrt 3 cm\)	B. \(\sqrt 3 cm\)
C. 3cm	D. 2cm

Phương pháp

Cho tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp là r, nửa chu vi tam giác là p thì diện tích của tam giác là \(S = pr\)

Lời giải

Nửa chu vi tam giác ABC là: \(\frac{{20}}{2} = 10\left( {cm} \right)\). Ta có: \(S = pr \Rightarrow r = \frac{S}{p} = \frac{{10\sqrt 3 }}{{10}} = \sqrt 3 \left( {cm} \right)\)

Đáp án B

Phần tự luận (3 điểm)

Bài 1. (1,0 điểm) Cho hai tập hợp \(A = \left[ { - 1;6} \right],B = \left[ {m - 4;2m + 3} \right)\).

a) Tìm tập hợp \(A \cap \mathbb{Z}\)

b) Tìm m để \(A \cap B = \emptyset \)

Phương pháp

Tập hợp gồm những phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B được gọi là giao của A và B, kí hiệu là \(A \cap B\).

Lời giải

a) \(A \cap \mathbb{Z} = \left\{ { - 1;0;1;2;3;4;5;6} \right\}\).

b) Ta có: \(A \cap B = \emptyset  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2m + 3 \le  - 1\\m - 4 > 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le  - 2\\m > 10\end{array} \right.\).

Bài 2. (1,0 điểm)

Giả sử \(CD = h\) là chiều cao của một tòa tháp. Chọn hai điểm A và B trên mặt đất sao cho A, B, C thẳng hàng (xem hình vẽ). Ta đo được \(AB = 48m,\widehat {CAD} = \alpha  = {63^0},\widehat {CBD} = \beta  = {48^0}\). Tính chiều cao h của tòa tháp (kết quả làm tròn đến một chữ số thập phân).

Phương pháp

Định lí sin: Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\) và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là R. Khi đó, \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\)

Lời giải

Vì góc DAC là góc ngoài tại đỉnh A của tam giác DAB nên \(\widehat {ADB} = \alpha  - \beta  = {15^0}\)

Áp dụng định lí sin vào tam giác ADB ta có:

\(\frac{{AD}}{{\sin \beta }} = \frac{{AB}}{{\sin \widehat {ADB}}} \Rightarrow AD = \frac{{48.\sin {{48}^0}}}{{\sin {{15}^0}}}\left( m \right)\)

Tam giác CDA vuông tại C nên \(DC = AD.\sin \alpha  \Rightarrow h = \frac{{48.\sin {{48}^0}}}{{\sin {{15}^0}}}.\sin {63^0} \approx 122,8\left( m \right)\)

Bài 3. (1,0 điểm) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh thỏa mãn \(B{C^4} - A{B^4} - A{C^4} = 0\). Chứng minh rằng tam giác ABC có ba góc nhọn.

Phương pháp

Định lý cosin: Cho tam giác ABC có \(AB = c,BC = a,AC = b\) thì \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)

Lời giải

Ta có: \(B{C^4} - A{B^4} - A{C^4} = 0\) nên \(B{C^4} > A{C^4},B{C^4} > A{B^4} \Rightarrow BC > AC,BC > AB\), do đó, góc A là góc lớn nhất.

Lại có: \(B{C^4} - A{B^4} - A{C^4} = 0 \Rightarrow B{C^4} = A{B^4} + A{C^4} < A{B^2}.B{C^2} + A{C^2}.B{C^2} \Rightarrow B{C^2} < A{B^2} + A{C^2}\)

Do đó, \(\cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2AB.AC}} > 0\). Do đó, góc A nhọn.

Vậy tam giác ABC có ba góc nhọn.