Đề thi giữa kì 1 Toán 11 Cánh diều - Đề số 10

Câu 1 :

Cho góc lượng giác $(O a, O b)$ có số đo là $50^{\circ} .$ Hỏi số đo của góc lượng giác nào trong bốn đáp án A, B, C, D bên dưới cũng có tia đầu là $O a$ và tia cuối là $O b ?$

A.

$α_{1} = 140^{\circ} .$
B.

$α_{2} = 410^{\circ} .$
C.

$α_{3} = 320^{\circ} .$
D.

$α_{4} = 230^{\circ} .$

Câu 2 : Cho một góc lượng giác (Ox, Ou) có số đo $- 30^{o}$ và một góc lượng giác (Ox, Ov) có số đo $120^{o}$ . Tính số đo góc lượng giác (Ou, Ov).

A.

$150^{o} + k 360^{o} (k \in Z)$
B.

$- 150^{o} + k 360^{o}$ $(k \in Z)$
C.

$90^{o} + k 360^{o}$ $(k \in Z)$
D.

$- 90^{o} + k 360^{o}$ $(k \in Z)$

Câu 3 : Góc có số đo $\frac{7 π}{4}$ radian bằng bao nhiêu độ?

A.

$315^{o}$
B.

$45^{o}$
C.

$345^{o}$
D.

$275^{o}$

Câu 4 : Bánh xe đạp có bán kính 50cm. Một người quay bánh xe 5 vòng quanh trục thì quãng đường đi được là:

A.
$250 π (c m)$
B.
$1000 π (c m)$
C.
$500 π (c m)$
D.
$200 π (c m)$

Câu 5 :

Cho góc $α$ thỏa mãn $cos α = \frac{3}{5}$ . Giá trị của $P = cos 2 α$ là

A.

$P = - \frac{2}{5} .$
B.

$P = - \frac{7}{25} .$
C.

$P = \frac{16}{25} .$
D.

$P = \frac{4}{5} .$

Câu 6 : Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n} = \frac{{(- 1)}^{n - 1}}{n + 1}$ . Số hạng thứ 9 của dãy là

A.

$u_{9} = \frac{1}{10}$
B.

$u_{9} = \frac{- 1}{10}$
C.

$u_{9} = \frac{- 1}{9}$
D.

$u_{9} = \frac{1}{9}$

Câu 7 :

Trong các dãy số sau dãy số nào là dãy số tăng?

A.

$4; 9; 14; 19; 24$ .
B.

$9; 7; 5; 3; 1; 0$ .
C.

$\frac{1}{2}; \frac{2}{5}; \frac{3}{7}; \frac{4}{9}; \frac{5}{12}$ .
D.

$0; 1; 2; - 3; 7$ .

Câu 8 :

Dãy số nào sau đây là dãy số bị chặn?

A.

$a_{n} = \sqrt{n + 10}$ .
B.

$b_{n} = \sqrt{5 n + 10}$ .
C.

$u_{n} = \sqrt{n + 10} + \sqrt{20 - n}$ .
D.

$v_{n} = \sqrt{5 n - 6}$ .

Câu 9 :

Trong các dãy số sau, dãy số nào không phải là cấp số cộng?

A.

$\frac{1}{2}; \frac{3}{2}; \frac{5}{2}; \frac{7}{2}; \frac{9}{2} .$
B.

$1; 1; 1; 1; 1.$
C.

$- 8; - 6; - 4; - 2; 0.$
D.

$3; 1; - 1; - 2; - 4.$

Câu 10 :

Trong các dãy số sau, dãy số nào không phải là một cấp số nhân?

A.

$1; 1; 1; 1; . . .$
B.

$2; 4; 8; 16; . . .$
C.

$\sqrt{2}; 2; 2 \sqrt{2}; 4 \sqrt{2}; . . .$
D.

$1; - \frac{1}{3}; \frac{1}{9}; - \frac{1}{27}; . . .$

Câu 11 :

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A.

Qua 2 điểm phân biệt có duy nhất một mặt phẳng.
B.

Qua 3 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng.
C.

Qua 3 điểm không thẳng hàng có duy nhất một mặt phẳng.
D.

Qua 4 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng.

Câu 12 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi E là trung điểm của SA. Mặt phẳng nào dưới đây chứa đường thẳng OE?

A.

(SBC)
B.

(ABCD)
C.

(SAC)
D.

(CDE)

Câu 1 : Cho phương trình lượng giác $cos 2 x = - \frac{1}{2}$ (*).

a) Phương trình (*) tương đương với phương trình: $cos 2 x = cos (- \frac{π}{3})$ .

Đúng

Sai

b) Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình (*) bằng $\frac{π}{3}$ .

Đúng

Sai

c) Tổng các nghiệm của phương trình (*) trong khoảng $(0; π)$ bằng $\frac{3 π}{2}$ .

Đúng

Sai

d) Trong khoảng $(0; π)$ phương trình (*) có 3 nghiệm.

Đúng

Sai

Câu 2 : Anh Bình là nhân viên của một công ty A. Từ ngày 1/2/2024 anh Bình được nâng lương lên bậc 4, mức lương anh hiện hưởng là 11.718.750 đồng mỗi tháng (chưa trừ thuế và bảo hiểm). Theo quy định của công ty, nếu không bị kỷ luật, không có khen thưởng đặc biệt thì cứ sau 3 năm anh Bình sẽ được nâng một bậc lương, tăng thêm 25% so với bậc lương trước, tối đa là bậc 7. Khi hết bậc 7 sẽ chuyển sang vượt khung. Lương vượt khung năm sau cao hơn năm trước 1% và vẫn nhận hàng tháng. Lương bậc 1 sẽ được tính sau khi hết đúng 1 năm tập sự. Anh Bình là người rất nghiêm túc, không vi phạm kỷ luật. Anh dự định sẽ làm việc 30 năm ở công ty này rồi nghỉ hưu.

Các mệnh đề sau đúng hay sai? (làm tròn đến đồng).

a) Lương bậc 5 của anh Bình sẽ là 14.500.000 đồng.

Đúng

Sai

b) Lương bậc 1 của anh Bình là 6.000.000 đồng.

Đúng

Sai

c) Lương bậc 7 anh Bình là 23.250.000 đồng.

Đúng

Sai

d) Tổng tiền lương anh Bình nhận được kể từ khi hết tập sự đến khi nghỉ hưu là 5.554.357.709 đồng.

Đúng

Sai

Câu 1 : Số giờ có ánh sáng của thành phố T ở vĩ độ $40^{o}$ bắc trong ngày thứ t của một năm không nhuận được cho bởi hàm số $d (t) = 3 \cdot sin [\frac{π}{182} (t - 80)] + 12$ với $t \in Z$ và $0 < t \leq 365$ . Bạn An muốn đi tham quan thành phố T nhưng lại không thích ánh sáng mặt trời, vậy bạn An nên chọn đi vào ngày nào trong năm để thành phố T có ít giờ có ánh sáng mặt trời nhất?

Câu 2 : Litva là một nước trong liên minh Châu Âu, đã gia nhập khu vực đồng tiền chung Châu Âu thông qua việc sử dụng đồng Euro vào ngày 01 tháng 01 năm 2015. Để kỷ niệm thời khắc lịch sử này, chính quyền đất nước Litva quyết định dùng 122550 đồng tiền xu Litas Lithuania cũ của đất nước để xếp một mô hình kim tự tháp. Biết rằng tầng dưới cùng có 4901 đồng và cứ lên thêm một tầng thì số đồng xu giảm đi 100 đồng. Hỏi mô hình Kim tự tháp này có tất cả bao nhiêu tầng?

$Description: C:\Users\FPT SHOP\Downloads\mo hinh xu.jpg$

Câu 3 : Một loại thuốc được dùng mỗi ngày một lần. Lúc đầu nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân tăng nhanh, nhưng mỗi liều kế tiếp có tác dụng ít hơn liều trước đó. Lượng thuốc trong máu ở ngày thứ nhất là 50mg, và mỗi ngày sau đó giảm chỉ còn một nửa so với ngày kể trước đó. Tính tổng lượng thuốc (tính bằng mg) trong máu của bệnh nhân sau khi dùng thuốc 10 ngày liên tiếp. (Kết quả được làm tròn đến hàng phần mười).

Câu 4 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB và CD. Đường thẳng SN cắt mặt phẳng (MAD) tại K. Biết SK = xKN. Tính x.

Câu 1 : Cho dãy số $(u_{n})$ , biết $u_{n} = sin [(2 n - 1) \frac{π}{4}]$ .

a) Viết bốn số hạng đầu của dãy số.

b) Chứng minh rằng $u_{n + 4} = u_{n}$ với mọi $n \geq 1$ .

c) Tính tổng 12 số hạng đầu của dãy số.

Câu 2 : Cho $s i n x = - \frac{1}{3}$ , $x \in (π; \frac{3 π}{2})$ . Tính giá trị $c o s (2 x - \frac{π}{3})$ .

Câu 3 :

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình bình hành. Gọi $G, N$ lần lượt là trọng tâm của tam giác $S A B, A B C$ .

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(S A C)$ và $(S B D)$ .

b) Chứng minh rằng $N G$ song song với mặt phẳng $(S A C)$ .

Câu 1 :

Cho góc lượng giác $(O a, O b)$ có số đo là $50^{\circ} .$ Hỏi số đo của góc lượng giác nào trong bốn đáp án A, B, C, D bên dưới cũng có tia đầu là $O a$ và tia cuối là $O b ?$

A.

$α_{1} = 140^{\circ} .$
B.

$α_{2} = 410^{\circ} .$
C.

$α_{3} = 320^{\circ} .$
D.

$α_{4} = 230^{\circ} .$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Các góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối hơn kém nhau $k 360^{o}$ .

Lời giải chi tiết :

Xét đáp án A: $140^{o} - 50^{o} = 90^{o}$ .

Xét đáp án B: $410^{o} - 50^{o} = 360^{o}$ .

Xét đáp án C: $320^{o} - 50^{o} = 270^{o}$ .

Xét đáp án D: $230^{o} - 50^{o} = 180^{o}$ .

Các góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối hơn kém nhau $k 360^{o}$ nên chỉ có đáp án B thỏa mãn.

Câu 2 : Cho một góc lượng giác (Ox, Ou) có số đo $- 30^{o}$ và một góc lượng giác (Ox, Ov) có số đo $120^{o}$ . Tính số đo góc lượng giác (Ou, Ov).

A.

$150^{o} + k 360^{o} (k \in Z)$
B.

$- 150^{o} + k 360^{o}$ $(k \in Z)$
C.

$90^{o} + k 360^{o}$ $(k \in Z)$
D.

$- 90^{o} + k 360^{o}$ $(k \in Z)$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng hệ thức Chasles: Với ba tia Ou, Ov, Ow bất kì, ta có:

sđ (Ou,Ov) + sđ (Ov,Ow) = sđ (Ou,Ow) + $k 360^{0} (k \in Z)$

Lời giải chi tiết :

Với ba tia Ox, Ou, Ov bất kì, ta có:

sđ (Ox, Ou) + sđ (Ou, Ov) = sđ (Ox, Ov) $+ k 360^{o}$ $(k \in Z)$

$- 30^{o}$ + sđ (Ou, Ov) = $120^{o} + k 360^{o}$

sđ (Ou, Ov) = $150^{o} + k 360^{o}$ .

Câu 3 : Góc có số đo $\frac{7 π}{4}$ radian bằng bao nhiêu độ?

A.

$315^{o}$
B.

$45^{o}$
C.

$345^{o}$
D.

$275^{o}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Áp dụng quan hệ giữa radian và độ: $1 r a d = {(\frac{180}{π})}^{o}$ , $1^{o} = \frac{π}{180} r a d$ .

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\frac{7 π}{4} r a d = \frac{7 π}{4} . \frac{180^{o}}{π} = 315^{o}$ .

Câu 4 : Bánh xe đạp có bán kính 50cm. Một người quay bánh xe 5 vòng quanh trục thì quãng đường đi được là:

A.
$250 π (c m)$
B.
$1000 π (c m)$
C.
$500 π (c m)$
D.
$200 π (c m)$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Một cung của đường tròn bán kính R và có số đo $α$ rad thì có độ dài $l = R α$ .

Lời giải chi tiết :

Ta có R = 50 cm suy ra:

$l = R α = 50.2 π .5 = 500 π$ (cm).

Câu 5 :

Cho góc $α$ thỏa mãn $cos α = \frac{3}{5}$ . Giá trị của $P = cos 2 α$ là

A.

$P = - \frac{2}{5} .$
B.

$P = - \frac{7}{25} .$
C.

$P = \frac{16}{25} .$
D.

$P = \frac{4}{5} .$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức nhân đôi $cos 2 α = 2 {cos}^{2} α - 1$ .

Lời giải chi tiết :

Ta có $P = cos 2 α = 2 {cos}^{2} α - 1 = 2 {(\frac{3}{5})}^{2} - 1 = - \frac{7}{25}$ .

Câu 6 : Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n} = \frac{{(- 1)}^{n - 1}}{n + 1}$ . Số hạng thứ 9 của dãy là

A.

$u_{9} = \frac{1}{10}$
B.

$u_{9} = \frac{- 1}{10}$
C.

$u_{9} = \frac{- 1}{9}$
D.

$u_{9} = \frac{1}{9}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Thay 9 vào n và tính.

Lời giải chi tiết :

$u_{9} = \frac{{(- 1)}^{9 - 1}}{9 + 1} = \frac{1}{10}$ .

Câu 7 :

Trong các dãy số sau dãy số nào là dãy số tăng?

A.

$4; 9; 14; 19; 24$ .
B.

$9; 7; 5; 3; 1; 0$ .
C.

$\frac{1}{2}; \frac{2}{5}; \frac{3}{7}; \frac{4}{9}; \frac{5}{12}$ .
D.

$0; 1; 2; - 3; 7$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Dãy số tăng có mọi số hạng lớn hơn số hạng liền trước nó.

Lời giải chi tiết :

Chỉ có dãy A là dãy số tăng.

Câu 8 :

Dãy số nào sau đây là dãy số bị chặn?

A.

$a_{n} = \sqrt{n + 10}$ .
B.

$b_{n} = \sqrt{5 n + 10}$ .
C.

$u_{n} = \sqrt{n + 10} + \sqrt{20 - n}$ .
D.

$v_{n} = \sqrt{5 n - 6}$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Dãy số bị chặn là dãy số vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới.

Lời giải chi tiết :

Xét $u_{n} = \sqrt{n + 10} + \sqrt{20 - n}$ .

Ta có:

${\begin{matrix} n + 10 \geq 0 20 - n \geq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} n \geq - 10 n \leq 20 \end{matrix} \Rightarrow n \leq 20$ (vì $n \in N^{*}$ ).

Dãy số chỉ có 20 số hạng nên dãy bị chặn.

Câu 9 :

Trong các dãy số sau, dãy số nào không phải là cấp số cộng?

A.

$\frac{1}{2}; \frac{3}{2}; \frac{5}{2}; \frac{7}{2}; \frac{9}{2} .$
B.

$1; 1; 1; 1; 1.$
C.

$- 8; - 6; - 4; - 2; 0.$
D.

$3; 1; - 1; - 2; - 4.$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Dựa vào định nghĩa cấp số cộng.

Lời giải chi tiết :

Dãy A là cấp số cộng với công sai d = 1.

Dãy B là cấp số cộng với công sai d = 0.

Dãy C là cấp số cộng với công sai d = 2.

Dãy D không phải cấp số cộng.

Câu 10 :

Trong các dãy số sau, dãy số nào không phải là một cấp số nhân?

A.

$1; 1; 1; 1; . . .$
B.

$2; 4; 8; 16; . . .$
C.

$\sqrt{2}; 2; 2 \sqrt{2}; 4 \sqrt{2}; . . .$
D.

$1; - \frac{1}{3}; \frac{1}{9}; - \frac{1}{27}; . . .$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Dựa vào định nghĩa cấp số nhân.

Lời giải chi tiết :

Dãy đáp án A là cấp số nhân với số hạng đầu là 1, công bội bằng 1.

Dãy đáp án B là cấp số nhân với số hạng đầu là 2, công bội bằng 2.

Dãy đáp án D là cấp số nhân với số hạng đầu là 1, công bội bằng $- \frac{1}{3}$ .

Dãy đáp án C không phải cấp số nhân.

Câu 11 :

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A.

Qua 2 điểm phân biệt có duy nhất một mặt phẳng.
B.

Qua 3 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng.
C.

Qua 3 điểm không thẳng hàng có duy nhất một mặt phẳng.
D.

Qua 4 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Dựa vào lý thuyết các tính chất được thừa nhận về đường thẳng và mặt phẳng.

Lời giải chi tiết :

Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng.

Câu 12 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi E là trung điểm của SA. Mặt phẳng nào dưới đây chứa đường thẳng OE?

A.

(SBC)
B.

(ABCD)
C.

(SAC)
D.

(CDE)

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Mặt phẳng cần tìm chứa cả hai điểm O và E.

Lời giải chi tiết :

Ta có ${\begin{matrix} O \in A C E \in S A \end{matrix}$ nên $O E \subset (S A C)$ .

Câu 1 : Cho phương trình lượng giác $cos 2 x = - \frac{1}{2}$ (*).

a) Phương trình (*) tương đương với phương trình: $cos 2 x = cos (- \frac{π}{3})$ .

Đúng

Sai

b) Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình (*) bằng $\frac{π}{3}$ .

Đúng

Sai

c) Tổng các nghiệm của phương trình (*) trong khoảng $(0; π)$ bằng $\frac{3 π}{2}$ .

Đúng

Sai

d) Trong khoảng $(0; π)$ phương trình (*) có 3 nghiệm.

Đúng

Sai

Đáp án

a) Phương trình (*) tương đương với phương trình: $cos 2 x = cos (- \frac{π}{3})$ .

Đúng

Sai

b) Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình (*) bằng $\frac{π}{3}$ .

Đúng

Sai

c) Tổng các nghiệm của phương trình (*) trong khoảng $(0; π)$ bằng $\frac{3 π}{2}$ .

Đúng

Sai

d) Trong khoảng $(0; π)$ phương trình (*) có 3 nghiệm.

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản: $cos x = cos α \Leftrightarrow x = \pm α + k 2 π$ , $k \in Z$ .

Lời giải chi tiết :

a) Sai. $cos 2 x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow cos 2 x = cos (\frac{2 π}{3})$ .

b) Đúng. $\Leftrightarrow [\begin{matrix} 2 x = \frac{2 π}{3} + k 2 π 2 x = - \frac{2 π}{3} + k 2 π \end{matrix} (k \in Z) \Rightarrow [\begin{matrix} x = \frac{π}{3} + k π x = - \frac{π}{3} + k π \end{matrix} (k \in Z)$ .

$0 < x < π \Rightarrow [\begin{matrix} 0 < \frac{π}{3} + k π < π 0 < - \frac{π}{3} + k π < π \end{matrix} (k \in Z) \Rightarrow [\begin{matrix} k = 0 k = 1 \end{matrix} \Rightarrow [\begin{matrix} x = \frac{π}{3} x = \frac{2 π}{3} \end{matrix}$ .

Do $\frac{2 π}{3} > \frac{π}{3}$ nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là $x = \frac{π}{3}$ .

c) Sai. Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng $(0; π)$ là: $S = \frac{π}{3} + \frac{2 π}{3} = π$ .

d) Sai. Trong khoảng $(0; π)$ phương trình (*) có 2 nghiệm là $x = \frac{π}{3}$ và $x = \frac{2 π}{3}$ .

Câu 2 : Anh Bình là nhân viên của một công ty A. Từ ngày 1/2/2024 anh Bình được nâng lương lên bậc 4, mức lương anh hiện hưởng là 11.718.750 đồng mỗi tháng (chưa trừ thuế và bảo hiểm). Theo quy định của công ty, nếu không bị kỷ luật, không có khen thưởng đặc biệt thì cứ sau 3 năm anh Bình sẽ được nâng một bậc lương, tăng thêm 25% so với bậc lương trước, tối đa là bậc 7. Khi hết bậc 7 sẽ chuyển sang vượt khung. Lương vượt khung năm sau cao hơn năm trước 1% và vẫn nhận hàng tháng. Lương bậc 1 sẽ được tính sau khi hết đúng 1 năm tập sự. Anh Bình là người rất nghiêm túc, không vi phạm kỷ luật. Anh dự định sẽ làm việc 30 năm ở công ty này rồi nghỉ hưu.

Các mệnh đề sau đúng hay sai? (làm tròn đến đồng).

a) Lương bậc 5 của anh Bình sẽ là 14.500.000 đồng.

Đúng

Sai

b) Lương bậc 1 của anh Bình là 6.000.000 đồng.

Đúng

Sai

c) Lương bậc 7 anh Bình là 23.250.000 đồng.

Đúng

Sai

d) Tổng tiền lương anh Bình nhận được kể từ khi hết tập sự đến khi nghỉ hưu là 5.554.357.709 đồng.

Đúng

Sai

Đáp án

a) Lương bậc 5 của anh Bình sẽ là 14.500.000 đồng.

Đúng

Sai

b) Lương bậc 1 của anh Bình là 6.000.000 đồng.

Đúng

Sai

c) Lương bậc 7 anh Bình là 23.250.000 đồng.

Đúng

Sai

d) Tổng tiền lương anh Bình nhận được kể từ khi hết tập sự đến khi nghỉ hưu là 5.554.357.709 đồng.

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức số hạng tổng quát và tổng n số hạng đầu của cấp số nhân.

Lời giải chi tiết :

Gọi $u_{n}$ là mức lương bậc n của anh Bình.

Dãy $(u_{n})$ là một cấp số nhân với số hạng đầu $u_{1}$ , công bội q = 1,25.

a) Sai. Lương bậc 5 của anh Bình là:

$u_{5} = u_{4} . q = 11718750.1, 25 \approx 14648438$ (đồng).

b) Đúng. Ta có $u_{4} = u_{1} . q^{3} \Leftrightarrow 11718750 = u_{1} .1, 25^{3} \Leftrightarrow u_{1} = 6000000$ .

Vậy mức lương bậc 1 của anh Bình là 6.000.000 đồng.

c) Sai. Lương bậc 7 của anh Bình là:

$u_{7} = u_{1} . q^{6} = 6000000.1, 25^{6} \approx 228888184$ (đồng).

d) Sai.

Từ năm 1 đến năm 3: lương bậc 1.

Từ năm 4 đến năm 6: lương bậc 2.

…

Từ năm 19 đến năm 21: lương bậc 7.

Từ năm 22 đến năm 30: lương vượt khung.

Tổng số lương anh Bình nhận được từ năm 1 đến năm 21 là:

$S_{1} = 12.3. \frac{6000000. (1 - 1, 25^{7})}{1 - 1, 25} \approx 3255873047$ (đồng).

(Mỗi bậc lương sẽ được nhận trong 12.3 = 36 tháng).

Tổng số lương anh Bình nhận được từ năm 22 đến năm 29 là (đã bỏ qua 1 năm tập sự):

$S_{2} \approx 12. \frac{22888184. (1 - 1, 01^{8})}{1 - 1, 01} \approx 2275727429$ (đồng).

(Mỗi bậc lương vượt khung sẽ nhận được trong 1 năm = 12 tháng).

Vậy tổng tiền lương anh Bình nhận được đến khi nghỉ hưu là:

$S_{1} + S_{2} \approx 5531600476$ (đồng).

Câu 1 : Số giờ có ánh sáng của thành phố T ở vĩ độ $40^{o}$ bắc trong ngày thứ t của một năm không nhuận được cho bởi hàm số $d (t) = 3 \cdot sin [\frac{π}{182} (t - 80)] + 12$ với $t \in Z$ và $0 < t \leq 365$ . Bạn An muốn đi tham quan thành phố T nhưng lại không thích ánh sáng mặt trời, vậy bạn An nên chọn đi vào ngày nào trong năm để thành phố T có ít giờ có ánh sáng mặt trời nhất?

Phương pháp giải :

Áp dụng kiến thức về tập giá trị của hàm sin.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Ta có: $sin [\frac{π}{182} (t - 80)] \geq - 1$ nên $d (t)$ nhỏ nhất khi $sin [\frac{π}{182} (t - 80)] = - 1$ .

$sin [\frac{π}{182} (t - 80)] = - 1$

$\Leftrightarrow \frac{π}{182} (t - 80) = \frac{3 π}{2} + k 2 π$

$\Leftrightarrow t - 80 = 273 + 364 k$

$\Leftrightarrow t = 353 + 364 k$ .

Vì $t \in Z$ và $0 < t \leq 365$ nên lấy $k = 0$ ta có $t = 353$ .

Câu 2 : Litva là một nước trong liên minh Châu Âu, đã gia nhập khu vực đồng tiền chung Châu Âu thông qua việc sử dụng đồng Euro vào ngày 01 tháng 01 năm 2015. Để kỷ niệm thời khắc lịch sử này, chính quyền đất nước Litva quyết định dùng 122550 đồng tiền xu Litas Lithuania cũ của đất nước để xếp một mô hình kim tự tháp. Biết rằng tầng dưới cùng có 4901 đồng và cứ lên thêm một tầng thì số đồng xu giảm đi 100 đồng. Hỏi mô hình Kim tự tháp này có tất cả bao nhiêu tầng?

$Description: C:\Users\FPT SHOP\Downloads\mo hinh xu.jpg$

Phương pháp giải :

- Bài toán về cấp số cộng.

- Tổng của n số hạng đầu tiên trong CSC có số hạng đầu tiên là $u_{1}$ và công sai là d là:

$S_{n} = \frac{[2 u_{1} + (n - 1) d] n}{2}$ .

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Bài toán là bài tập về cấp số cộng nếu ta coi số đồng xu ở tầng dưới cùng là số hạng đầu với công sai là hiệu số đồng xu của tầng 2 tầng liền kề.

Khi đó, ta có một cấp số cộng với $u_{1} = 4901$ và công sai d = -100.

Gọi số tầng của kim tự tháp đó là $n$ ( $n \in N^{*}$ ).

Khi đó, tổng số đồng xu của $n$ tầng đó là $S_{n} = 122550$ nên ta có:

$S_{n} = \frac{[2 u_{1} + (n - 1) d] n}{2}$

$\Leftrightarrow 122550 = \frac{[2 \cdot 4901 + (n - 1) \cdot (- 100)] \cdot n}{2}$

$\Leftrightarrow 245100 = [2 \cdot 4901 - 100 n + 100] \cdot n$

$\Leftrightarrow 245100 = [9902 - 100 n] . n$

$\Leftrightarrow 100 n^{2} - 9902 n + 245100 = 0$

$\Leftrightarrow n = 50 (t m)$ hoặc $n = \frac{2451}{50} (k t m)$

Vậy mô hình kim tự tháp đã cho có 50 tầng.

Câu 3 : Một loại thuốc được dùng mỗi ngày một lần. Lúc đầu nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân tăng nhanh, nhưng mỗi liều kế tiếp có tác dụng ít hơn liều trước đó. Lượng thuốc trong máu ở ngày thứ nhất là 50mg, và mỗi ngày sau đó giảm chỉ còn một nửa so với ngày kể trước đó. Tính tổng lượng thuốc (tính bằng mg) trong máu của bệnh nhân sau khi dùng thuốc 10 ngày liên tiếp. (Kết quả được làm tròn đến hàng phần mười).

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Lượng thuốc ở ngày thứ nhất là 50 mg.

Lượng thuốc ở ngày thứ hai là $50. \frac{1}{2} = 25$ mg.

Lượng thuốc ở ngày thứ ba là $50. {(\frac{1}{2})}^{2} = \frac{25}{2}$ mg.

…

Lượng thuốc ở ngày thứ n là $50. {(\frac{1}{2})}^{n - 1}$ mg.

Lượn thuốc mỗi ngày lập thành cấp số nhân với số hạng đầu $u_{1} = 50$ , công bội $q = \frac{1}{2}$ .

Tổng lượng thuốc khi dùng 10 ngày liên tiếp là:

$S_{10} = u_{1} . \frac{1 - q^{10}}{1 - q} = 50. \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{10}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{25575}{256} \approx 99, 9$ (mg).

Câu 4 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB và CD. Đường thẳng SN cắt mặt phẳng (MAD) tại K. Biết SK = xKN. Tính x.

Phương pháp giải :

Áp dụng tính chất của hai đường thẳng song song, tính chất trọng tâm, đường trung bình của tam giác.

Để tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng, ta tìm một điểm thuộc cả đường thẳng và mặt phẳng đó.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Vì AD // BC nên giao tuyến của hai mặt phẳng (MAD) và (SBC) là đường thẳng MP // AD // BC (P thuộc SC).

Vì MP // BC nên theo định lí Thales ta có $\frac{S M}{M B} = \frac{S P}{P C} = 1$ và P cũng là trung điểm của SC.

Xét trong (SCD), ta có SN cắt DP tại K’, do đó ${\begin{matrix} K^{'} \in S N K^{'} \in D P \subset (M A D) \end{matrix}$

Suy ra K’ là giao của SN và (MAD), hay K’ trùng K.

Có DP và SN là hai đường trung tuyến của tam giác SCD và chúng giao nhau tại K. Do đó K là trọng tâm của tam giác SCD. Suy ra SK = 2KN. Vậy x = 2.

Câu 1 : Cho dãy số $(u_{n})$ , biết $u_{n} = sin [(2 n - 1) \frac{π}{4}]$ .

a) Viết bốn số hạng đầu của dãy số.

b) Chứng minh rằng $u_{n + 4} = u_{n}$ với mọi $n \geq 1$ .

c) Tính tổng 12 số hạng đầu của dãy số.

Phương pháp giải :

a) Thay $n = 1, 2, 3, 4$ vào công thức $u_{n} = sin [(2 n - 1) \frac{π}{4}]$ để xác định 4 số hạng đầu của dãy số.

b) Thay $n$ bởi $n + 4$ vào công thức $u_{n} = sin [(2 n - 1) \frac{π}{4}]$ để xác định $u_{n + 4}$ và chú ý rằng $sin (x + k 2 π) = sin x$ .

c) Sử dụng kết quả câu b, ta có $u_{1} = u_{5} = u_{9}$ , $u_{2} = u_{6} = u_{10}$ , $u_{3} = u_{7} = u_{11}$ , $u_{4} = u_{8} = u_{12}$ . Do đó tổng 12 số hạng đầu tiên bằng $3 (u_{1} + u_{2} + u_{3} + u_{4})$ .

Lời giải chi tiết :

a) Ta có:

$u_{1} = sin [(2.1 - 1) \frac{π}{4}] = sin \frac{π}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ;

$u_{2} = sin [(2.2 - 1) \frac{π}{4}] = sin \frac{3 π}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ;

$u_{3} = sin [(2.3 - 1) \frac{π}{4}] = sin \frac{5 π}{4} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ ;

$u_{4} = sin [(2.4 - 1) \frac{π}{4}] = sin \frac{7 π}{4} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Như vậy 4 số hạng đầu của dãy số là: $\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

b) Ta có:

$u_{n + 4} = sin {[2 (n + 4) - 1] \frac{π}{4}} = sin [(2 n - 1 + 8) \frac{π}{4}]$

$= sin [(2 n - 1) \frac{π}{4} + 2 π] = sin [(2 n - 1) \frac{π}{4}] = u_{n}$ .

Vậy $u_{n + 4} = u_{n}$ với $\forall n \in N^{*}$ .

c) Theo câu b, ta có $u_{n + 4} = u_{n}$ với $\forall n \in N^{*}$ . Như vậy $u_{1} = u_{5} = u_{9}$ , $u_{2} = u_{6} = u_{10}$ , $u_{3} = u_{7} = u_{11}$ , $u_{4} = u_{8} = u_{12}$ .

Do đó:

$u_{1} + u_{2} + u_{3} + . . . + u_{12} = 3 (u_{1} + u_{2} + u_{3} + u_{4})$

$= 3 (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{- \sqrt{2}}{2} + \frac{- \sqrt{2}}{2}) = 0$ .

Câu 2 : Cho $s i n x = - \frac{1}{3}$ , $x \in (π; \frac{3 π}{2})$ . Tính giá trị $c o s (2 x - \frac{π}{3})$ .

Phương pháp giải :

Xét dấu $cos x$ khi $x \in (π; \frac{3 π}{2})$ .

Thay vào đẳng thức ${sin}^{2} x + {cos}^{2} x = 1$ ta tìm được $cos x$ .

Áp dụng công thức cộng:

$cos (a - b) = cos a . cos b + sin a . sin b$ .

Lời giải chi tiết :

$x \in (π; \frac{3 π}{2}) \Rightarrow cos x < 0$ .

$\Rightarrow cos x = - \sqrt{1 - {sin}^{2} x}$

$= - \sqrt{1 - {(- \frac{1}{3})}^{2}} = - \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ .

Ta tính được: $cos x = - \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ .

Khi đó: $cos (2 x - \frac{π}{3}) = \frac{1}{2} cos 2 x + \frac{\sqrt{3}}{2} sin 2 x$

$= \frac{1}{2} (1 - 2 {sin}^{2} x) + \sqrt{3} sin x cos x = \frac{7 + 4 \sqrt{6}}{18}$ .

Câu 3 :

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình bình hành. Gọi $G, N$ lần lượt là trọng tâm của tam giác $S A B, A B C$ .

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(S A C)$ và $(S B D)$ .

b) Chứng minh rằng $N G$ song song với mặt phẳng $(S A C)$ .

Phương pháp giải :

a) Tìm 2 điểm chung của 2 mặt phẳng (SAC) và (SBD). Giao tuyến của 2 mặt phẳng là đường thẳng đi qua 2 điểm chung đó.

b) Chứng minh NG song song với 1 đường thẳng thuộc (SAC).

Lời giải chi tiết :

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành (ảnh 1)

a) Ta có:

${\begin{matrix} S \in (S A C) O \in A C \subset (S A C) \end{matrix}$ suy ra $S O \subset (S A C)$ .

${\begin{matrix} S \in (S B D) O \in B D \subset (S B D) \end{matrix}$ suy ra $S O \subset (S B D)$ .

Vậy SO là giao tuyến của (SAC) và (SBD).

b) Gọi I là trung điểm của AB.

Xét tam giác ABC có N là trọng tâm và CI là trung tuyến, ta có: $\frac{I N}{I C} = \frac{1}{3}$ .

Xét tam giác SAB có G là trọng tâm và SI là trung tuyến, ta có: $\frac{I G}{I S} = \frac{1}{3}$ .

Xét tam giác SIC có $G \in S I$ , $N \in I C$ và $\frac{I G}{I S} = \frac{I N}{I C} = \frac{1}{3}$ .

Suy ra GN//SC (định lý Thales đảo).

Mà SC thuộc mặt phẳng (SAC) và GN không thuộc mặt phẳng (SAC).

Vậy GN//(SAC).