Đề thi giữa kì 1 Toán 11 Cánh diều - Đề số 7
Đề bài
Câu 1 : Góc có số đo π6 radian bằng bao nhiêu độ?
-
A.
30o
-
B.
45o
-
C.
60o
-
D.
90o
Câu 2 : Cho cosα=−14 với π<α<3π2. Giá trị của sinα là?
-
A.
sinα=√154
-
B.
sinα=−√154
-
C.
sinα=1516
-
D.
sinα=−1516
Câu 3 : Giá trị lượng giác cos(37π12) bằng?
-
A.
√6+√24
-
B.
√6−√24
-
C.
−√6+√24
-
D.
−√6−√24
Câu 4 : Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?
-
A.
y=|sinx|
-
B.
y=x2.sinx
-
C.
y=xcosx
-
D.
y=x+sinx
Câu 5 : Nghiệm của phương trình cosx=0 là?
-
A.
x=k2π,k∈Z
-
B.
x=kπ,k∈Z
-
C.
x=π2+kπ,k∈Z
-
D.
x=π2+k2π,k∈Z
Câu 6 : Số hạng thứ 3 của dãy số {u1=1un=2un−1+3 là?
-
A.
5
-
B.
8
-
C.
28
-
D.
13
Câu 7 : Dãy số nào sau đây là cấp số cộng?
-
A.
1; 4; 8; 10
-
B.
2; 3; 5; 8; 9
-
C.
0; 2; 4; 6; 8
-
D.
1; 3; -5; -7; -9
Câu 8 : Cho dãy số có các số hạng đầu là 0;12;23;34;45;... Số hạng tổng quát của dãy số là:
-
A.
un=n+1n
-
B.
un=nn+1
-
C.
un=n−1n
-
D.
un=n2−nn+1
Câu 9 : Các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng?
-
A.
Ba điểm phân biệt
-
B.
Một điểm và một đường thẳng
-
C.
Hai đường thẳng cắt nhau
-
D.
Bốn điểm phân biệt
Câu 10 : Trong các hình sau, hình nào có thể là hình biểu diễn một hình tứ diện?
-
A.
(I)
-
B.
(I), (II)
-
C.
(I), (II), (IV)
-
D.
(I), (II), (III), (IV)
Câu 11 : Số nghiệm của phương trình sin2x+cosx=0 trên [0;2π] là
-
A.
3
-
B.
1
-
C.
2
-
D.
4
Câu 12 : Cho cấp số cộng (un) có u5=−10 và u15=60. Tổng 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là
-
A.
560
-
B.
480
-
C.
570
-
D.
475
Câu 1 : Cho phương trình lượng giác 2sin(x−π12)+√3=0. Khi đó
a) Phương trình tương đương sin(x−π12)=sinπ3
b) Phương trình có nghiệm là x=π4+k2π; x=7π12+k2π (k∈Z)
c) Phương trình có nghiệm âm lớn nhất bằng −π4
d) Số nghiệm của phương trình trong khoảng (−π;π) là hai nghiệm
Câu 2 : Cho cosα=−14 và π<α<3π2. Khi đó
a) sin2α=1516
b) sinα=√154
c) tanα=√15
d) cotα=−1√15
Câu 3 : Cho dãy số (un) biết un=2n+1. Khi đó
a) Dãy số (un) là dãy số tăng
b) Dãy số (un) là dãy số bị chặn
c) u6=65
d) Số hạng thứ n + 2 của dãy số là un+2=2n.2
Câu 4 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Mặt phẳng (P) qua BD và song song với SA. Khi đó
a) Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) là SO
b) SO thuộc mặt phẳng (SBD)
c) Gọi I là giao điểm của SC và (P). Khi đó OI//SA
d) Thiết diện giữa (P) và hình chóp là hình bình hành
Câu 1 : Hằng ngày mực nước tại một cảng biển lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h (m) của mực nước theo thời gian t (giờ) trong một ngày được cho bởi công thức h=11+2sin(π12t) với 0≤t≤24. Tính thời điểm mực nước tại cảng cao nhất.
Đáp án:
Câu 2 : Phương trình 2sin2x+4cosx=0 có bao nhiêu nghiệm trong khoảng (0; 3000)?
Đáp án:
Câu 3 : Công ty cây xanh X trồng 496 cây hoa trong một khu vườn hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây hoa, kể từ hàng thứ hai trở đi số cây hoa trồng mỗi hàng nhiều hơn 1 cây so với hàng liền trước nó. Hỏi công ty cây xanh X trồng được bao nhiêu hàng cây trong khu vườn hình tam giác đó.
Đáp án:
Câu 4 : Cho dãy số (un) biết un=n+1n. Tìm m để dãy số (un) bị chặn dưới bởi m.
Đáp án:
Câu 5 : Cho tứ diện ABCD. Điểm I và J theo thức tự là trung điểm của AD và AC, G là trọng tâm tam giác BCD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (GIJ) và (BCD) cắt BD tại E, cắt BC tại F. Tính tỉ số IJEF (Viết dưới dạng số thập phân)?
Đáp án:
Câu 6 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành. Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho MA = 2MS. Mặt phẳng (CDM) cắt SB tại N. Biết rằng AB = 3 cm, tính tổng MN + CD.
Đáp án:
Lời giải và đáp án
Câu 1 : Góc có số đo π6 radian bằng bao nhiêu độ?
-
A.
30o
-
B.
45o
-
C.
60o
-
D.
90o
Đáp án : A
Áp dụng quan hệ giữa radian và độ: 1rad=(180π)o, 1o=π180rad.
Ta có: π6rad=π6.180oπ=30o.
Câu 2 : Cho cosα=−14 với π<α<3π2. Giá trị của sinα là?
-
A.
sinα=√154
-
B.
sinα=−√154
-
C.
sinα=1516
-
D.
sinα=−1516
Đáp án : B
Áp dụng công thức sin2α+cos2α=1 và sử dụng đường tròn lượng giác để xét dấu.
Ta có: sin2α=1−cos2α=1−(14)2=1516, suy ra sinα=±√154.
Vì π<α<3π2 nên điểm cuối của cung α thuộc cung phần tư thứ III, do đó sinα<0.
Vậy sinα=−√154.
Câu 3 : Giá trị lượng giác cos(37π12) bằng?
-
A.
√6+√24
-
B.
√6−√24
-
C.
−√6+√24
-
D.
−√6−√24
Đáp án : C
Sử dụng công thức cộng lượng giác cos(a−b)=cosa.cosb+sinb.sina.
cos37π12=cos(3π+π12)
=cos(π+π12)
=−cosπ12
=−cos(π3−π4)
.
Câu 4 : Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?
-
A.
-
B.
-
C.
-
D.
Đáp án : A
Cho hàm số y = f(x) liên tục và xác định trên khoảng (đoạn) K. Với mỗi thì .
- Nếu f(x) = f(-x) thì hàm số y = f(x) là hàm số chẵn trên tập xác định.
- Nếu f(-x) = -f(x) thì hàm số y = f(x) là hàm số lẻ trên tập xác định.
Xét phương án A, hàm số có tập xác định D = R, suy ra có thì .
Mặt khác, .
Vậy hàm số đáp án A là hàm số chẵn.
Câu 5 : Nghiệm của phương trình là?
-
A.
-
B.
-
C.
-
D.
Đáp án : C
Nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản.
.
Câu 6 : Số hạng thứ 3 của dãy số là?
-
A.
5
-
B.
8
-
C.
28
-
D.
13
Đáp án : D
Tìm lần lượt bằng cách thay n vào công thức tổng quát.
Ta có:
Câu 7 : Dãy số nào sau đây là cấp số cộng?
-
A.
1; 4; 8; 10
-
B.
2; 3; 5; 8; 9
-
C.
0; 2; 4; 6; 8
-
D.
1; 3; -5; -7; -9
Đáp án : C
Dãy số lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi hai phần tử liên tiếp sai khác nhau một hằng số.
Xét hiệu các phần tử liên tiếp trong các dãy số, chỉ có dãy ở đáp án C phần tử sau hơn phần tử liền trước 2 đơn vị (8 – 6 = 6 – 4 = 4 – 2 = 2 – 0 = 2).
Câu 8 : Cho dãy số có các số hạng đầu là Số hạng tổng quát của dãy số là:
-
A.
-
B.
-
C.
-
D.
Đáp án : B
Viết các số hạng đầu của từng đáp án để kiểm tra.
Ta có: ; ; ; ; . Vậy
.
Câu 9 : Các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng?
-
A.
Ba điểm phân biệt
-
B.
Một điểm và một đường thẳng
-
C.
Hai đường thẳng cắt nhau
-
D.
Bốn điểm phân biệt
Đáp án : C
Dựa vào lý thuyết các xác định một mặt phẳng.
Một mặt phẳng được xác định nếu nó đi qua:
- Ba điểm không thẳng hàng
- Một điểm và một đường thẳng không đi qua điểm đó.
- Hai đường thẳng cắt nhau.
Câu 10 : Trong các hình sau, hình nào có thể là hình biểu diễn một hình tứ diện?
-
A.
(I)
-
B.
(I), (II)
-
C.
(I), (II), (IV)
-
D.
(I), (II), (III), (IV)
Đáp án : D
Tứ diện là hình có 4 mặt và 4 đỉnh.
Cả 4 hình đều là tứ diện (4 mặt và 4 đỉnh). Hình (I) và (III) có thể nhìn thấy 2 mặt. Hình (II) có thể nhìn thấy 1 mặt. Hình (IV) có thể nhìn thấy 3 mặt.
Câu 11 : Số nghiệm của phương trình trên là
-
A.
3
-
B.
1
-
C.
2
-
D.
4
Đáp án : D
Biến đổi phương trình trở thành dạng phương trình tích, đưa về giải phương trình lượng giác cơ bản.
với .
Vì nên chỉ có 4 nghiệm thỏa mãn: .
Câu 12 : Cho cấp số cộng có và . Tổng 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là
-
A.
560
-
B.
480
-
C.
570
-
D.
475
Đáp án : C
Tìm số hạng đầu và công sai dựa theo công thức .
Từ đó tìm tổng 20 số hạng đầu tiên .
Ta có:
Từ đó ta tính được .
Vậy tổng 20 số hạng đầu của cấp số cộng là .
Câu 1 : Cho phương trình lượng giác . Khi đó
a) Phương trình tương đương
b) Phương trình có nghiệm là ;
c) Phương trình có nghiệm âm lớn nhất bằng
d) Số nghiệm của phương trình trong khoảng là hai nghiệm
a) Phương trình tương đương
b) Phương trình có nghiệm là ;
c) Phương trình có nghiệm âm lớn nhất bằng
d) Số nghiệm của phương trình trong khoảng là hai nghiệm
Giải phương trình lượng giác :
- Nếu thì phương trình vô nghiệm.
- Nếu thì chọn cung sao cho . Khi đó phương trình trở thành:
với .
a) Sai.
b) Sai. Phương trình có nghiệm là ; .
c) Đúng.
+ Xét họ nghiệm :
Nghiệm âm lớn nhất là khi k = 0.
+ Xét họ nghiệm :
Nghiệm âm lớn nhất là khi k = -1.
Vì nên nghiệm âm lớn nhất là .
d) Đúng.
+ Xét họ nghiệm :
.
Vậy chỉ có k = 0 thỏa mãn. Khi đó .
+ Xét họ nghiệm :
.
Vậy chỉ có k = -1 thỏa mãn. Khi đó .
Vậy phương trình có hai nghiệm thuộc khoảng là và .
Câu 2 : Cho và . Khi đó
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
a) Áp dụng công thức và dựa vào góc phần tư của đường tròn lượng giác để xét dấu.
b) Áp dụng công thức và dựa vào góc phần tư của đường tròn lượng giác để xét dấu.
c)
d)
.
Vì nên điểm cuối của cung thuộc góc phần tư thứ III nên . Vậy .
; .
a) Đúng.
b) Sai.
c) Đúng.
d) Sai.
Câu 3 : Cho dãy số biết . Khi đó
a) Dãy số là dãy số tăng
b) Dãy số là dãy số bị chặn
c)
d) Số hạng thứ n + 2 của dãy số là
a) Dãy số là dãy số tăng
b) Dãy số là dãy số bị chặn
c)
d) Số hạng thứ n + 2 của dãy số là
a) Dãy số là dãy số giảm nếu . Dãy số là dãy số tăng nếu .
b) Dãy số là dãy số bị chặn nếu vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức tồn tại hai số m, M sao cho .
c) Tính bằng công thức .
d) Thay n + 2 vào n trong công thức số hạng tổng quát .
a) Đúng. với mọi n. Vậy dãy số là dãy tăng.
b) Sai. Dãy không bị chặn trên vì không có giá trị M nào để với mọi n. Vậy dãy số không bị chặn.
c) Đúng. .
d) Sai. .
Câu 4 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Mặt phẳng (P) qua BD và song song với SA. Khi đó
a) Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) là SO
b) SO thuộc mặt phẳng (SBD)
c) Gọi I là giao điểm của SC và (P). Khi đó OI//SA
d) Thiết diện giữa (P) và hình chóp là hình bình hành
a) Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) là SO
b) SO thuộc mặt phẳng (SBD)
c) Gọi I là giao điểm của SC và (P). Khi đó OI//SA
d) Thiết diện giữa (P) và hình chóp là hình bình hành
Sử dụng các định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng, cách tìm giao tuyến, thiết diện của hai mặt phẳng.
a) Sai. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) là SA.
b) Đúng. SO thuộc mặt phẳng (SBD) vì cả , .
c) Đúng. Có mà SA//(P) nên SA không cắt đường thẳng nào trong (P), tức OI//SA (do OI, SA cùng thuộc mặt phẳng (SAC)).
d) Sai. Thiết diện là tam giác BID.
Câu 1 : Hằng ngày mực nước tại một cảng biển lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h (m) của mực nước theo thời gian t (giờ) trong một ngày được cho bởi công thức với . Tính thời điểm mực nước tại cảng cao nhất.
Đáp án:
Đáp án:
Tìm t sao cho hàm số đạt giá trị lớn nhất.
đạt giá trị lớn nhất khi (giờ).
Vì nên chỉ có giá trị t = 6 thỏa mãn.
Vậy thời điểm mực nước tại cảng cao nhất là lúc 6 giờ.
Câu 2 : Phương trình có bao nhiêu nghiệm trong khoảng (0; 3000)?
Đáp án:
Đáp án:
Giải phương trình lượng giác bằng cách biến đổi về dạng phương trình tích. Xét họ nghiệm trong khoảng (0;3000) để tìm số giá trị k nguyên thỏa mãn.
Ta có:
với .
Xét họ nghiệm , ta có:
.
Mà nên , tức có 955 giá trị k thỏa mãn.
Vậy phương trình có 955 nghiệm thuộc khoảng (0; 3000).
Câu 3 : Công ty cây xanh X trồng 496 cây hoa trong một khu vườn hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây hoa, kể từ hàng thứ hai trở đi số cây hoa trồng mỗi hàng nhiều hơn 1 cây so với hàng liền trước nó. Hỏi công ty cây xanh X trồng được bao nhiêu hàng cây trong khu vườn hình tam giác đó.
Đáp án:
Đáp án:
Số cây mỗi hàng lập thành một cấp số cộng với tổng n số hạng là 496, số hạng đầu công sai d = 1. Tìm n.
Số cây mỗi hàng lập thành một cấp số cộng với tổng n số hạng là 496, số hạng đầu công sai d = 1.
Ta có: .
Ta tính được n = 31 hoặc n = -32 (loại).
Vậy số hàng cây trồng được là 31 hàng.
Câu 4 : Cho dãy số biết . Tìm m để dãy số bị chặn dưới bởi m.
Đáp án:
Đáp án:
Chứng minh dãy số tăng và bị chặn dưới tại .
Xét .
Ta có: ; .
Vậy , tức dãy số tăng.
Khi đó, dãy bị chặn dưới bởi .
Câu 5 : Cho tứ diện ABCD. Điểm I và J theo thức tự là trung điểm của AD và AC, G là trọng tâm tam giác BCD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (GIJ) và (BCD) cắt BD tại E, cắt BC tại F. Tính tỉ số (Viết dưới dạng số thập phân)?
Đáp án:
Đáp án:
Sử dụng định lý giao tuyến của ba mặt phẳng, định lý Thales.
Xét có IJ//CD suy ra (I và J theo thức tự là trung điểm của AD và AC).
Từ đó dễ dàng chứng minh ᔕ
, suy ra , tức (1)
Ta có: . Theo định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng, ta được: EF//CD//IJ.
Vì nên E, G, F thẳng hàng.
Xét có FG//CM (vì EF//CD) suy ra (vì G là trọng tâm ).
Xét có EF//CD suy ra .
Từ đó dễ dàng chứng minh ᔕ, suy ra , tức (2)
Từ (1) và (2) suy ra .
Câu 6 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành. Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho MA = 2MS. Mặt phẳng (CDM) cắt SB tại N. Biết rằng AB = 3 cm, tính tổng MN + CD.
Đáp án:
Đáp án:
- Định lý Thales.
- Quy tắc tìm giao tuyến của hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song.
Ta có: nên giao tuyến của (CDM) và (SAB) là đường thẳng d song song với AB, CD và đi qua M.
Giả sử d cắt SA tại N thì đường thẳng MN là giao tuyến của (CDM), (SAB) và MN//AB, suy ra .
Từ đó, dễ dàng chứng minh ᔕ, suy ra , tức (cm).
Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD = 3 (cm).
Vậy MN + CD = 1 + 3 = 4 (cm).