Đề thi giữa kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo - Đề số 6
Đề bài
Câu 1 : Góc có số đo 75o bằng bao nhiêu radian?
-
A.
5π12
-
B.
7π12
-
C.
π2
-
D.
π6
Câu 2 : Cho sinα=23 với π2<α<π. Giá trị của cosα là?
-
A.
cosα=23
-
B.
cosα=−√53
-
C.
cosα=√53
-
D.
cosα=32
Câu 3 : Giá trị lượng giác sin(5π12) bằng?
-
A.
0,9
-
B.
√2(1+√3)2
-
C.
√3(1+√2)4
-
D.
√2(1+√3)4
Câu 4 : Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?
-
A.
y=−cosx
-
B.
y=−2sinx
-
C.
y=2sin(−x)
-
D.
y=sinx−cosx
Câu 5 : Nghiệm của phương trình sinx=0 là?
-
A.
-
B.
-
C.
-
D.
Câu 6 : Số hạng thứ 4 của dãy số là?
-
A.
-
B.
-
C.
-
D.
Câu 7 : Dãy số nào sau đây là cấp số cộng?
-
A.
1; 3; 6; 9
-
B.
1; 3; 5; 7; 9
-
C.
1; 2; 4; 6; 8
-
D.
1; -3; -5; -7; -9
Câu 8 : Cho cấp số nhân 32; 16; 8; 4; 2. Công bội của cấp số nhân là?
-
A.
-
B.
-
C.
-
D.
Câu 9 : Cho hình chóp S.ABCD, gọi O là giao điểm của AC và BD. Lấy M, N lần lượt thuộc các cạnh SA, SC. Đường thẳng nào sau đây không thuộc mặt phẳng (SAC)?
-
A.
SA
-
B.
MN
-
C.
AC
-
D.
BO
Câu 10 : Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ như hình. Mệnh đề nào sau đây là sai?
-
A.
AB//CD
-
B.
AB//C’D’
-
C.
AB//A’B’
-
D.
AB//A’C’
Câu 11 : Nghiệm của phương trình là
-
A.
hoặc ,
-
B.
hoặc ,
-
C.
hoặc ,
-
D.
hoặc ,
Câu 12 : Cho cấp số cộng có và công sai . Số 198 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng?
-
A.
25
-
B.
39
-
C.
40
-
D.
41
Câu 1 : Cho hàm số . Khi đó
a) khi
b) Hàm số lẻ với mọi
c) Phương trình có nghiệm ,
d) Hàm số có chặn dưới là 0
Câu 2 : Cho và . Khi đó
a)
b)
c)
d)
Câu 3 : Cho dãy số được xác định bởi với . Khi đó
a) Dãy số là dãy số giảm
b) Dãy số là dãy số bị chặn
c)
d) Công thức tổng quát của là
Câu 4 : Cho hình chóp S.ABCD như hình vẽ, có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi O là giao điểm của AC và BD; điểm M, N lần lượt là trung điểm của SA và SC. Khi đó
a) Gọi P là giao điểm của SO và MN. Khi đó, P (SBD)
b) AC//(DMN)
c) Giao tuyến của (SAD) và (SBC) sẽ song song với đường thẳng AB
d) MN//(ABCD)
Câu 1 : Khi đu quay hoạt động, vận tốc theo phương ngang của một cabin M phụ thuộc vào góc lượng giác theo hàm số (m/s). Vận tốc lớn nhất của cabin là (Viết dưới dạng số thập phân)?
Đáp án:
Câu 2 : Cho vận tốc v (cm/s) của một con lắc đơn theo thời gian t (giây) được xác định bởi công thức với . Xác định thời điểm vận tốc con lắc bằng 2 cm/s (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Đáp án:
Câu 3 : Khán đài D của một sân vận động có 20 hàng ghế xếp theo hình quạt. hàng thứ nhất có 13 ghế, hàng thứ hai có 16 ghế, hàng thứ ba có 19 ghế,…, cứ thế tiếp tục cho đến hàng cuối cùng. Số ghế ở hàng cuối cùng là?
Đáp án:
Câu 4 : Một tỉnh có 2 triệu dân vào năm 2020 với tỉ lệ tăng dân số là 1%/năm. Gỉa sử tỉ lệ tăng dân số là không đổi. Tính số dân (đơn vị: triệu người) của tỉnh đó sau 10 năm kể từ năm 2020 (Làm tròn đến hàng phần trăm)?
Đáp án:
Câu 5 : Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành, cạnh AB = 6 cm, AC và BD cắt nhau tại O. Gọi I là trung điểm của SO. Mặt phẳng (ICD) cắt SA, SB lần lượt tại M, N. Độ dài MN là?
Đáp án:
Câu 6 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và một điểm M nằm trên cạnh AD (giữa A và D) sao cho AD = 3MD. Một mặt phẳng đi qua M, song song với CD và SA, cắt BC, SC, SD lần lượt tại N, P, Q. Với cạnh CD = 9 (cm) thì độ dài đoạn PQ là bao nhiêu?
Đáp án:
Lời giải và đáp án
Câu 1 : Góc có số đo bằng bao nhiêu radian?
-
A.
-
B.
-
C.
-
D.
Đáp án : A
Áp dụng quan hệ giữa radian và độ: , .
Ta có: .
Câu 2 : Cho với . Giá trị của là?
-
A.
-
B.
-
C.
-
D.
Đáp án : B
Áp dụng công thức và sử dụng đường tròn lượng giác để xét dấu.
Ta có: , suy ra .
Vì nên điểm cuối của cung thuộc cung phần tư thứ II, do đó .
Vậy .
Câu 3 : Giá trị lượng giác bằng?
-
A.
0,9
-
B.
-
C.
-
D.
Đáp án : D
Sử dụng công thức cộng lượng giác .
.
Câu 4 : Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?
-
A.
-
B.
-
C.
-
D.
Đáp án : A
Cho hàm số y = f(x) liên tục và xác định trên khoảng (đoạn) K. Với mỗi thì .
- Nếu f(x) = f(-x) thì hàm số y = f(x) là hàm số chẵn trên tập xác định.
- Nếu f(-x) = -f(x) thì hàm số y = f(x) là hàm số lẻ trên tập xác định.
Xét phương án A, hàm số có tập xác định D = R, suy ra có thì .
Mặt khác, f(-x) = - cos(-x) = - cosx = f(x).
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.
Câu 5 : Nghiệm của phương trình là?
-
A.
-
B.
-
C.
-
D.
Đáp án : B
Cách 1: Thuộc công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản.
Cách 2: Giải phương trình lượng giác cơ bản:
.
Cách 3: Sử dụng đường tròn lượng giác.
Xét k nguyên.
Cách 1:
.
Cách 2:
Họ nghiệm được biểu diễn là điểm A, họ nghiệm được biểu diễn là điểm B trên đường tròn lượng giác.
Kết hợp hai họ nghiệm trên, nói cách khác, để biểu diễn cả điểm A và B ta có thể tóm gọn thành .
Cách 3:
Tìm các điểm trên đường tròn lượng giác có tung độ bằng 0 (do trục sin là trục tung). Ta xác định được đúng hai điểm A, B vừa nêu.
Câu 6 : Số hạng thứ 4 của dãy số là?
-
A.
-
B.
-
C.
-
D.
Đáp án : A
Tìm lần lượt bằng cách thay n vào công thức tổng quát.
Ta có:
Câu 7 : Dãy số nào sau đây là cấp số cộng?
-
A.
1; 3; 6; 9
-
B.
1; 3; 5; 7; 9
-
C.
1; 2; 4; 6; 8
-
D.
1; -3; -5; -7; -9
Đáp án : B
Dãy số lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi hai phần tử liên tiếp sai khác nhau một hằng số.
Xét hiệu các phần tử liên tiếp trong các dãy số, chỉ có dãy ở đáp án B phần tử sau hơn phần tử liền trước 2 đơn vị (9 – 7 = 7 – 5 = 5 – 3 = 3 – 1 = 2).
Câu 8 : Cho cấp số nhân 32; 16; 8; 4; 2. Công bội của cấp số nhân là?
-
A.
-
B.
-
C.
-
D.
Đáp án : B
.
Ta có: . Vậy .
Câu 9 : Cho hình chóp S.ABCD, gọi O là giao điểm của AC và BD. Lấy M, N lần lượt thuộc các cạnh SA, SC. Đường thẳng nào sau đây không thuộc mặt phẳng (SAC)?
-
A.
SA
-
B.
MN
-
C.
AC
-
D.
BO
Đáp án : D
Đường thẳng thuộc mặt phẳng khi và chỉ khi tất cả các điểm trên đường thẳng thuộc mặt phẳng đó.
Dễ thấy các điểm S, A, C, M, N, O đều thuộc mặt phẳng (SAC), điểm B không thuộc mặt phẳng (SAC). Suy ra BO không thuộc mặt phẳng (SAC).
Câu 10 : Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ như hình. Mệnh đề nào sau đây là sai?
-
A.
AB//CD
-
B.
AB//C’D’
-
C.
AB//A’B’
-
D.
AB//A’C’
Đáp án : D
Dựa vào tính chất hình hộp.
Ta có: ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp chữ nhật nên:
- AB//CD.
- AB//C’D’ (cùng song song với CD)
- AB//A’B’
- AC//A’C’, mà AC cắt AB nên A’C’ cắt AB.
Câu 11 : Nghiệm của phương trình là
-
A.
hoặc ,
-
B.
hoặc ,
-
C.
hoặc ,
-
D.
hoặc ,
Đáp án : A
Giải phương trình lượng giác :
- Nếu thì phương trình vô nghiệm.
- Nếu thì chọn cung sao cho . Khi đó phương trình trở thành:
với .
Do nên với .
Câu 12 : Cho cấp số cộng có và công sai . Số 198 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng?
-
A.
25
-
B.
39
-
C.
40
-
D.
41
Đáp án : D
Cấp số cộng có số hạng đầu và công sai thì số hạng thứ n là .
Gọi 198 là số hạng thứ n của dãy. Ta có: .
Câu 1 : Cho hàm số . Khi đó
a) khi
b) Hàm số lẻ với mọi
c) Phương trình có nghiệm ,
d) Hàm số có chặn dưới là 0
a) khi
b) Hàm số lẻ với mọi
c) Phương trình có nghiệm ,
d) Hàm số có chặn dưới là 0
a) Dựa vào góc phần tư của đường tròn lượng giác.
b) Cho hàm số y = f(x) liên tục và xác định trên khoảng (đoạn) K. Với mỗi thì .
- Nếu f(x) = f(-x) thì hàm số y = f(x) là hàm số chẵn trên tập xác định.
- Nếu f(-x) = -f(x) thì hàm số y = f(x) là hàm số lẻ trên tập xác định.
c) Giải phương trình lượng giác :
- Nếu thì phương trình vô nghiệm.
- Nếu thì chọn cung sao cho . Khi đó phương trình trở thành:
với .
d) Xét tập giá trị của hàm số .
a) Đúng. suy ra điểm biểu diễn góc x thuộc góc phần tư thứ IV. Khi đó .
b) Đúng. Tập xác định: D = R. Mặt khác, . Vậy là hàm số lẻ.
c) Sai. Do nên với .
d) Sai. Hàm số có chặn dưới là -1.
Câu 2 : Cho và . Khi đó
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
a) Áp dụng công thức và dựa vào góc phần tư của đường tròn lượng giác để xét dấu.
b) Áp dụng công thức và dựa vào góc phần tư của đường tròn lượng giác để xét dấu.
c)
d)
a) Sai. .
Vì nên điểm cuối của cung thuộc góc phần tư thứ I nên . Vậy .
b) Đúng. Từ câu a) ta tính được .
c) Đúng. .
d) Sai. .
Câu 3 : Cho dãy số được xác định bởi với . Khi đó
a) Dãy số là dãy số giảm
b) Dãy số là dãy số bị chặn
c)
d) Công thức tổng quát của là
a) Dãy số là dãy số giảm
b) Dãy số là dãy số bị chặn
c)
d) Công thức tổng quát của là
a) Dãy số là dãy số giảm nếu . Dãy số là dãy số tăng nếu .
b) Dãy số là dãy số bị chặn nếu vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức tồn tại hai số m, M sao cho .
c) Tính bằng công thức .
d) Tìm số hạng đầu và công sai d. Công thức tổng quát: .
a) Sai. Ta có: . Với n = 1, ta được .
Giả sử n = k, ta cần chứng minh thì .
Thật vậy, vì .
Vậy .
Ta có: . Suy ra . Vậy dãy số trên là dãy số tăng.
b) Sai. Ta có: là dãy số tăng nên bị chặn dưới tại .
Mặt khác, là cấp số nhân có công bội và số hạng đầu nên công thức tổng quát là . Ta có nên dãy không bị chặn trên.
Vậy dãy số không bị chặn.
c) Đúng. .
d) Đúng. Theo câu b), công thức tổng quát là .
Câu 4 : Cho hình chóp S.ABCD như hình vẽ, có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi O là giao điểm của AC và BD; điểm M, N lần lượt là trung điểm của SA và SC. Khi đó
a) Gọi P là giao điểm của SO và MN. Khi đó, P (SBD)
b) AC//(DMN)
c) Giao tuyến của (SAD) và (SBC) sẽ song song với đường thẳng AB
d) MN//(ABCD)
a) Gọi P là giao điểm của SO và MN. Khi đó, P (SBD)
b) AC//(DMN)
c) Giao tuyến của (SAD) và (SBC) sẽ song song với đường thẳng AB
d) MN//(ABCD)
Sử dụng các định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng, cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng.
a) Đúng. Ta có: , suy ra .
Mà nên .
b) Đúng. Xét có MN là đường trung bình, suy ra AC//MN. Khi đó AC//(DMN).
c) Sai. Vì AD//BC, S là điểm chung của (SAD) và (SBC) nên giao tuyến của hai mặt phẳng trên là đường thẳng qua S song song với AD và BC. Vậy giao tuyến đó không song song với AB.
d) Đúng. Vì MN//AC nên MN//(ABCD).
Câu 1 : Khi đu quay hoạt động, vận tốc theo phương ngang của một cabin M phụ thuộc vào góc lượng giác theo hàm số (m/s). Vận tốc lớn nhất của cabin là (Viết dưới dạng số thập phân)?
Đáp án:
Đáp án:
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số .
Vì nên . Vậy giá trị nhỏ nhất của là 0,25 (m/s).
Câu 2 : Cho vận tốc v (cm/s) của một con lắc đơn theo thời gian t (giây) được xác định bởi công thức với . Xác định thời điểm vận tốc con lắc bằng 2 cm/s (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Đáp án:
Đáp án:
Thay vào công thức và tìm t.
với .
Vì nên chỉ có 1 giá trị của t thỏa mãn là .
Câu 3 : Khán đài D của một sân vận động có 20 hàng ghế xếp theo hình quạt. hàng thứ nhất có 13 ghế, hàng thứ hai có 16 ghế, hàng thứ ba có 19 ghế,…, cứ thế tiếp tục cho đến hàng cuối cùng. Số ghế ở hàng cuối cùng là?
Đáp án:
Đáp án:
Số ghế mỗi hàng ở khán đài lập thành một cấp số cộng với 20 hàng tương đương 20 số hạng. Tìm số hạng đầu, công sai từ đó tìm số hạng thứ 20.
Số ghế mỗi hàng ở khán đài lập thành một cấp số cộng với 20 hàng tương đương 20 số hạng.
Ta có: nên công sai bằng .
Số ghế hàng cuối cùng là: .
Câu 4 : Một tỉnh có 2 triệu dân vào năm 2020 với tỉ lệ tăng dân số là 1%/năm. Gỉa sử tỉ lệ tăng dân số là không đổi. Tính số dân (đơn vị: triệu người) của tỉnh đó sau 10 năm kể từ năm 2020 (Làm tròn đến hàng phần trăm)?
Đáp án:
Đáp án:
Số dân mỗi năm lập thành môt cấp số nhân. Tìm công thức tổng quát của cấp số nhân đó và tìm số hạng thứ 10.
Số dân mỗi năm lập thành môt cấp số nhân với số hạng đầu triệu người và công bội .
Khi đó, số hạng tổng quát .
(*) Số dân tỉnh đó sau 1 năm là , sau 2 năm là ,...
Số dân tỉnh đó sau 10 năm là (triệu người).
Lưu ý: Đọc kĩ (*) để tránh nhầm lẫn tính .
Câu 5 : Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành, cạnh AB = 6 cm, AC và BD cắt nhau tại O. Gọi I là trung điểm của SO. Mặt phẳng (ICD) cắt SA, SB lần lượt tại M, N. Độ dài MN là?
Đáp án:
Đáp án:
Tìm giao điểm của IC với SA, ID với SB. Tìm MN theo định lý Menelaus.
Ta có:
suy ra
suy ra
Vậy, C, I, M thẳng hàng, tức M là giao điểm của IC và SA.
Chứng minh tương tự, ta có N, I, D thẳng hàng, tức N là giao điểm của ID và SB.
Ta có:. Theo định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng, ta được: AB//CD//MN.
Áp dụng định lý Menelaus cho với cát tuyến CIM, ta có:
.
Xét có MN//AB. Theo định lý Thales, ta có: (cm).
Câu 6 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và một điểm M nằm trên cạnh AD (giữa A và D) sao cho AD = 3MD. Một mặt phẳng đi qua M, song song với CD và SA, cắt BC, SC, SD lần lượt tại N, P, Q. Với cạnh CD = 9 (cm) thì độ dài đoạn PQ là bao nhiêu?
Đáp án:
Đáp án:
Sử dụng định lý giao tuyến của ba mặt phẳng, định lý Thales.
nên SA không cắt .
Mặt khác, SA và QM cùng thuộc mặt phẳng (SAD) nên SA//QM.
Xét có QM//SA: , suy ra .
Ta có: . Theo định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng, ta được: PQ//CD//MN.
Xét có PQ//CD: , suy ra .