Đề thi giữa kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo - Đề số 8

Câu 1 : Góc có số đo $\frac{π}{6}$ radian bằng bao nhiêu độ?

A.

$30^{o}$
B.

$45^{o}$
C.

$60^{o}$
D.

$90^{o}$

Câu 2 : Cho $\cos α = - \frac{1}{4}$ với $π < α < \frac{3 π}{2}$ . Giá trị của $\sin α$ là?

A.

$\sin α = \frac{\sqrt{15}}{4}$
B.

$\sin α = - \frac{\sqrt{15}}{4}$
C.

$\sin α = \frac{15}{16}$
D.

$\sin α = - \frac{15}{16}$

Câu 3 : Giá trị lượng giác $\cos (\frac{37 π}{12})$ bằng?

A.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$
B.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$
C.

$- \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$
D.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Câu 4 : Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?

A.

$y = | \sin x |$
B.

$y = x^{2} . \sin x$
C.

$y = \frac{x}{\cos x}$
D.

$y = x + \sin x$

Câu 5 : Nghiệm của phương trình $\cos x = 0$ là?

A.

$x = k 2 π, k \in Z$
B.

$x = k π, k \in Z$
C.

$x = \frac{π}{2} + k π, k \in Z$
D.

$x = \frac{π}{2} + k 2 π, k \in Z$

Câu 6 : Số hạng thứ 3 của dãy số ${\begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{n} = 2 u_{n - 1} + 3 \end{matrix}$ là?

A.

5
B.

8
C.

28
D.

13

Câu 7 : Dãy số nào sau đây là cấp số cộng?

A.

1; 4; 8; 10
B.

2; 3; 5; 8; 9
C.

0; 2; 4; 6; 8
D.

1; 3; -5; -7; -9

Câu 8 : Cho cấp số nhân $(u_{n})$ có số hạng đầu $u_{1} = 12$ và công bội $q = - 2$ . Số hạng thứ sáu của cấp số nhân đã cho bằng

A.

2
B.

-384
C.

-24
D.

-34

Câu 9 : Trên mặt phẳng cho bốn điểm A, B, C, D như hình vẽ. Ba điểm nào sau đây không xác định một mặt phẳng?

A.

A, B, C
B.

B, C, D
C.

A, B, D
D.

A, C, D

Câu 10 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Chọn khẳng định đúng.

A.

AB//(SBD)
B.

BC//(SCD)
C.

AD//(SBC)
D.

BD//(SAC)

Câu 11 : Số nghiệm của phương trình $\sin 2 x + \cos x = 0$ trên $[0; 2 π]$ là

A.

3
B.

1
C.

2
D.

4

Câu 12 : Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có $u_{5} = - 10$ và $u_{15} = 60$ . Tổng 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là

A.

560
B.

480
C.

570
D.

475

Câu 1 : Cho phương trình lượng giác $2 \sin (x - \frac{π}{12}) + \sqrt{3} = 0$ . Khi đó

a) Phương trình tương đương $\sin (x - \frac{π}{12}) = \sin \frac{π}{3}$

Đúng

Sai

b) Phương trình có nghiệm là $x = \frac{π}{4} + k 2 π$ ; $x = \frac{7 π}{12} + k 2 π$ $(k \in Z)$

Đúng

Sai

c) Phương trình có nghiệm âm lớn nhất bằng $- \frac{π}{4}$

Đúng

Sai

d) Số nghiệm của phương trình trong khoảng $(- π; π)$ là hai nghiệm

Đúng

Sai

Câu 2 : Cho $\cos α = - \frac{1}{4}$ và $π < α < \frac{3 π}{2}$ . Khi đó

a) $\sin^{2} α = \frac{15}{16}$

Đúng

Sai

b) $\sin α = \frac{\sqrt{15}}{4}$

Đúng

Sai

c) $\tan α = \sqrt{15}$

Đúng

Sai

d) $\cot α = - \frac{1}{\sqrt{15}}$

Đúng

Sai

Câu 3 : Cho dãy số $(u_{n})$ biết $u_{n} = 2^{n} + 1$ . Khi đó

a) Dãy số $(u_{n})$ là dãy số tăng

Đúng

Sai

b) Dãy số $(u_{n})$ là dãy số bị chặn

Đúng

Sai

c) $u_{6} = 65$

Đúng

Sai

d) Số hạng thứ n + 2 của dãy số là $u_{n + 2} = 2^{n} .2$

Đúng

Sai

Câu 4 : Trong mặt phẳng (P), cho hình bình hành ABCD tâm O, ngoài mặt phẳng (P) cho một điểm S.

a) C là một điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD)

Đúng

Sai

b) Giao tuyến của hai mặt phẳng (SCB) và (SCD) là đường thẳng SC

Đúng

Sai

c) Đường thẳng AB song song với mặt phẳng (SCD)

Đúng

Sai

d) Giao điểm của đường thẳng BC với mặt phẳng (SBD) là điểm C

Đúng

Sai

Câu 1 : Hằng ngày mực nước tại một cảng biển lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h (m) của mực nước theo thời gian t (giờ) trong một ngày được cho bởi công thức $h = 11 + 2 \sin (\frac{π}{12} t)$ với $0 \leq t \leq 24$ . Tính thời điểm mực nước tại cảng cao nhất.

Đáp án:

Câu 2 : Phương trình $2 \sin 2 x + 4 \cos x = 0$ có bao nhiêu nghiệm trong khoảng (0; 3000)?

Đáp án:

Câu 3 : Công ty cây xanh X trồng 496 cây hoa trong một khu vườn hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây hoa, kể từ hàng thứ hai trở đi số cây hoa trồng mỗi hàng nhiều hơn 1 cây so với hàng liền trước nó. Hỏi công ty cây xanh X trồng được bao nhiêu hàng cây trong khu vườn hình tam giác đó.

Đáp án:

Câu 4 : Cho dãy số $(u_{n})$ biết $u_{n} = n + \frac{1}{n}$ . Tìm m để dãy số $(u_{n})$ bị chặn dưới bởi m.

Đáp án:

Câu 5 : Cho tứ diện ABCD, M thuộc đoạn AB, thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng $(α)$ đi qua M song song với BD và AC là hình có mấy cạnh?

Đáp án:

Câu 6 : Cho tứ diện ABCD có N, P lần lượt là trung điểm của BC, BD. Điểm M là điểm thay đổi trên cạnh AC. Mặt phẳng (MNP) cắt AD tại Q. Giả sử AC = kAM. Tìm k để tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Đáp án:

Câu 1 : Góc có số đo $\frac{π}{6}$ radian bằng bao nhiêu độ?

A.

$30^{o}$
B.

$45^{o}$
C.

$60^{o}$
D.

$90^{o}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Áp dụng quan hệ giữa radian và độ: $1 r a d = {(\frac{180}{π})}^{o}$ , $1^{o} = \frac{π}{180} r a d$ .

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\frac{π}{6} r a d = \frac{π}{6} . \frac{180^{o}}{π} = 30^{o}$ .

Câu 2 : Cho $\cos α = - \frac{1}{4}$ với $π < α < \frac{3 π}{2}$ . Giá trị của $\sin α$ là?

A.

$\sin α = \frac{\sqrt{15}}{4}$
B.

$\sin α = - \frac{\sqrt{15}}{4}$
C.

$\sin α = \frac{15}{16}$
D.

$\sin α = - \frac{15}{16}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ và sử dụng đường tròn lượng giác để xét dấu.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\sin^{2} α = 1 - \cos^{2} α = 1 - {(\frac{1}{4})}^{2} = \frac{15}{16}$ , suy ra $\sin α = \pm \frac{\sqrt{15}}{4}$ .

Vì $π < α < \frac{3 π}{2}$ nên điểm cuối của cung $α$ thuộc cung phần tư thứ III, do đó $\sin α < 0$ .

Vậy $\sin α = - \frac{\sqrt{15}}{4}$ .

Câu 3 : Giá trị lượng giác $\cos (\frac{37 π}{12})$ bằng?

A.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$
B.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$
C.

$- \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$
D.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức cộng lượng giác $\cos (a - b) = \cos a . \cos b + \sin b . \sin a$ .

Lời giải chi tiết :

$\cos \frac{37 π}{12} = \cos (3 π + \frac{π}{12})$

$= \cos (π + \frac{π}{12})$

$= - \cos \frac{π}{12}$

$= - \cos (\frac{π}{3} - \frac{π}{4})$

$= - (\cos \frac{π}{3} . \cos \frac{π}{4} + \sin \frac{π}{3} . \sin \frac{π}{4})$

$= - \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

Câu 4 : Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?

A.

$y = | \sin x |$
B.

$y = x^{2} . \sin x$
C.

$y = \frac{x}{\cos x}$
D.

$y = x + \sin x$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Cho hàm số y = f(x) liên tục và xác định trên khoảng (đoạn) K. Với mỗi $x \in K$ thì $- x \in K$ .

- Nếu f(x) = f(-x) thì hàm số y = f(x) là hàm số chẵn trên tập xác định.

- Nếu f(-x) = -f(x) thì hàm số y = f(x) là hàm số lẻ trên tập xác định.

Lời giải chi tiết :

Xét phương án A, hàm số $y = | \sin x |$ có tập xác định D = R, suy ra có $x \in R$ thì $- x \in R$ .

Mặt khác, $f (- x) = | \sin (- x) | = | - \sin x | = \sin x = f (x)$ .

Vậy hàm số đáp án A là hàm số chẵn.

Câu 5 : Nghiệm của phương trình $\cos x = 0$ là?

A.

$x = k 2 π, k \in Z$
B.

$x = k π, k \in Z$
C.

$x = \frac{π}{2} + k π, k \in Z$
D.

$x = \frac{π}{2} + k 2 π, k \in Z$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản.

Lời giải chi tiết :

$\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k π, k \in Z$ .

Câu 6 : Số hạng thứ 3 của dãy số ${\begin{matrix} u_{1} = 1 \\ u_{n} = 2 u_{n - 1} + 3 \end{matrix}$ là?

A.

5
B.

8
C.

28
D.

13

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Tìm lần lượt $u_{2}, u_{3}$ bằng cách thay n vào công thức tổng quát.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$u_{2} = 2 u_{2 - 1} + 3 = 2 u_{1} + 3 = 2.1 + 3 = 5$

$u_{3} = 2 u_{3 - 1} + 3 = 2 u_{2} + 3 = 2.5 + 3 = 13$

Câu 7 : Dãy số nào sau đây là cấp số cộng?

A.

1; 4; 8; 10
B.

2; 3; 5; 8; 9
C.

0; 2; 4; 6; 8
D.

1; 3; -5; -7; -9

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Dãy số lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi hai phần tử liên tiếp sai khác nhau một hằng số.

Lời giải chi tiết :

Xét hiệu các phần tử liên tiếp trong các dãy số, chỉ có dãy ở đáp án C phần tử sau hơn phần tử liền trước 2 đơn vị (8 – 6 = 6 – 4 = 4 – 2 = 2 – 0 = 2).

Câu 8 : Cho cấp số nhân $(u_{n})$ có số hạng đầu $u_{1} = 12$ và công bội $q = - 2$ . Số hạng thứ sáu của cấp số nhân đã cho bằng

A.

2
B.

-384
C.

-24
D.

-34

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức $u_{n} = u_{1} q^{n - 1}$ .

Lời giải chi tiết :

Ta có: $u_{6} = u_{1} q^{6 - 1} = 12. (- 2)^{5} = - 384$ .

Câu 9 : Trên mặt phẳng cho bốn điểm A, B, C, D như hình vẽ. Ba điểm nào sau đây không xác định một mặt phẳng?

A.

A, B, C
B.

B, C, D
C.

A, B, D
D.

A, C, D

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Một mặt phẳng được xác định nếu nó đi qua:

- Ba điểm không thẳng hàng.

- Một điểm và một đường thẳng không đi qua điểm đó.

- Hai đường thẳng cắt nhau.

Lời giải chi tiết :

Một mặt phẳng được xác định nếu nó đi qua:

- Ba điểm không thẳng hàng.

- Một điểm và một đường thẳng không đi qua điểm đó.

- Hai đường thẳng cắt nhau.

Vì B, C, D thẳng hàng nên ba điểm này không xác định một mặt phẳng.

Câu 10 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Chọn khẳng định đúng.

A.

AB//(SBD)
B.

BC//(SCD)
C.

AD//(SBC)
D.

BD//(SAC)

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Lý thuyết đường thẳng song song với mặt phẳng.

Lời giải chi tiết :

- Xét A: AB và (SBD) chung điểm B nên AB cắt (SBD)

- Xét B: BC và (SCD) chung điểm C nên BC cắt (SCD)

- Xét C: AD//BC vì ABCD là hình bình hành nên AD//(SBC)

- Xét D: Vì BD cắt AC tại tâm O của hình bình hành nên BD cắt (SAC)

Vậy khẳng định đúng là C.

Câu 11 : Số nghiệm của phương trình $\sin 2 x + \cos x = 0$ trên $[0; 2 π]$ là

A.

3
B.

1
C.

2
D.

4

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Biến đổi phương trình trở thành dạng phương trình tích, đưa về giải phương trình lượng giác cơ bản.

Lời giải chi tiết :

$\sin 2 x + \cos x = 0 \Leftrightarrow 2 \sin x . \cos x + \cos x = 0 \Leftrightarrow \cos x . (2 \sin x + 1) = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} \cos x = 0 \\ 2 \sin x + 1 = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} \cos x = 0 \\ \sin x = - \frac{1}{2} \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = \frac{π}{2} + k π \\ x = - \frac{π}{6} + k 2 π \\ x = \frac{7 π}{6} + k 2 π \end{matrix}$ với $k \in Z$ .

Vì $x \in [0; 2 π]$ nên chỉ có 4 nghiệm thỏa mãn: $x = {\frac{π}{2}; \frac{3 π}{2}; \frac{7 π}{6}; \frac{11 π}{6}}$ .

Câu 12 : Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có $u_{5} = - 10$ và $u_{15} = 60$ . Tổng 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là

A.

560
B.

480
C.

570
D.

475

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Tìm số hạng đầu và công sai dựa theo công thức $u_{n} = u_{1} + (n - 1) d$ .

Từ đó tìm tổng 20 số hạng đầu tiên $S_{n} = \frac{(u_{1} + u_{n}) n}{2}$ .

Lời giải chi tiết :

Ta có: ${\begin{matrix} u_{5} = u_{1} + 4 d \\ u_{15} = u_{1} + 14 d \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} - 10 = u_{1} + 4 d \\ 60 = u_{1} + 14 d \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} u_{1} = - 38 \\ d = 7 \end{matrix}$

Từ đó ta tính được $u_{20} = - 38 + (20 - 1) 7 = 95$ .

Vậy tổng 20 số hạng đầu của cấp số cộng là $S_{20} = \frac{(u_{1} + u_{20}) .20}{2} = \frac{(- 38 + 95) .20}{2} = 570$ .

Câu 1 : Cho phương trình lượng giác $2 \sin (x - \frac{π}{12}) + \sqrt{3} = 0$ . Khi đó

a) Phương trình tương đương $\sin (x - \frac{π}{12}) = \sin \frac{π}{3}$

Đúng

Sai

b) Phương trình có nghiệm là $x = \frac{π}{4} + k 2 π$ ; $x = \frac{7 π}{12} + k 2 π$ $(k \in Z)$

Đúng

Sai

c) Phương trình có nghiệm âm lớn nhất bằng $- \frac{π}{4}$

Đúng

Sai

d) Số nghiệm của phương trình trong khoảng $(- π; π)$ là hai nghiệm

Đúng

Sai

Đáp án

a) Phương trình tương đương $\sin (x - \frac{π}{12}) = \sin \frac{π}{3}$

Đúng

Sai

b) Phương trình có nghiệm là $x = \frac{π}{4} + k 2 π$ ; $x = \frac{7 π}{12} + k 2 π$ $(k \in Z)$

Đúng

Sai

c) Phương trình có nghiệm âm lớn nhất bằng $- \frac{π}{4}$

Đúng

Sai

d) Số nghiệm của phương trình trong khoảng $(- π; π)$ là hai nghiệm

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Giải phương trình lượng giác $\sin x = a$ :

- Nếu $| a | > 1$ thì phương trình vô nghiệm.

- Nếu $| a | \leq 1$ thì chọn cung $α$ sao cho $\sin α = a$ . Khi đó phương trình trở thành:

$\sin x = \sin α \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = α + k 2 π \\ x = π - α + k 2 π \end{matrix}$ với $k \in Z$ .

Lời giải chi tiết :

$2 \sin (x - \frac{π}{12}) + \sqrt{3} = 0 \Leftrightarrow \sin (x - \frac{π}{12}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow \sin (x - \frac{π}{12}) = \sin (- \frac{π}{3})$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x - \frac{π}{12} = - \frac{π}{3} + k 2 π \\ x - \frac{π}{12} = π + \frac{π}{3} + k 2 π \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = - \frac{π}{4} + k 2 π \\ x = \frac{17 π}{12} + k 2 π \end{matrix}$

a) Sai. $2 \sin (x - \frac{π}{12}) + \sqrt{3} = 0 \Leftrightarrow \sin (x - \frac{π}{12}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow \sin (x - \frac{π}{12}) = \sin (- \frac{π}{3})$

b) Sai. Phương trình có nghiệm là $x = - \frac{π}{4} + k 2 π$ ; $x = \frac{17 π}{12} + k 2 π$ $(k \in Z)$ .

c) Đúng.

+ Xét họ nghiệm $x = - \frac{π}{4} + k 2 π$ :

Nghiệm âm lớn nhất là $x = - \frac{π}{4}$ khi k = 0.

+ Xét họ nghiệm $x = \frac{17 π}{12} + k 2 π$ :

Nghiệm âm lớn nhất là $x = - \frac{7 π}{12}$ khi k = -1.

Vì $- \frac{π}{4} > - \frac{7 π}{12}$ nên nghiệm âm lớn nhất là $x = - \frac{π}{4}$ .

d) Đúng.

+ Xét họ nghiệm $x = - \frac{π}{4} + k 2 π$ :

$- π < x < π \Leftrightarrow - π < - \frac{π}{4} + k 2 π < π$

$\Leftrightarrow - 1 < - \frac{1}{4} + 2 k < 1 \Leftrightarrow - \frac{3}{4} < 2 k < \frac{5}{4} \Leftrightarrow - \frac{3}{8} < k < \frac{5}{8}$ .

Vậy chỉ có k = 0 thỏa mãn. Khi đó $x = - \frac{π}{4}$ .

+ Xét họ nghiệm $x = \frac{17 π}{12} + k 2 π$ :

$- π < x < π \Leftrightarrow - π < \frac{17 π}{12} + k 2 π < π \Leftrightarrow - 1 < \frac{17}{12} + 2 k < 1$

$\Leftrightarrow - \frac{29}{12} < 2 k < - \frac{5}{12} \Leftrightarrow - \frac{29}{24} < k < - \frac{5}{24}$ .

Vậy chỉ có k = -1 thỏa mãn. Khi đó $x = - \frac{7 π}{12}$ .

Vậy phương trình có hai nghiệm thuộc khoảng $(- π; π)$ là $x = - \frac{π}{4}$ và $x = - \frac{7 π}{12}$ .

Câu 2 : Cho $\cos α = - \frac{1}{4}$ và $π < α < \frac{3 π}{2}$ . Khi đó

a) $\sin^{2} α = \frac{15}{16}$

Đúng

Sai

b) $\sin α = \frac{\sqrt{15}}{4}$

Đúng

Sai

c) $\tan α = \sqrt{15}$

Đúng

Sai

d) $\cot α = - \frac{1}{\sqrt{15}}$

Đúng

Sai

Đáp án

a) $\sin^{2} α = \frac{15}{16}$

Đúng

Sai

b) $\sin α = \frac{\sqrt{15}}{4}$

Đúng

Sai

c) $\tan α = \sqrt{15}$

Đúng

Sai

d) $\cot α = - \frac{1}{\sqrt{15}}$

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

a) Áp dụng công thức $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ và dựa vào góc phần tư của đường tròn lượng giác để xét dấu.

b) Áp dụng công thức $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ và dựa vào góc phần tư của đường tròn lượng giác để xét dấu.

c) $\tan α = \frac{\sin α}{\cos α} = \frac{1}{\cot α}$

d) $\cot α = \frac{\cos α}{\sin α} = \frac{1}{\tan α}$

Lời giải chi tiết :

$\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1 \Rightarrow \cos^{2} α = 1 - \sin^{2} α = 1 - {(- \frac{1}{4})}^{2} = \frac{15}{16} \Rightarrow \sin α = \pm \frac{\sqrt{15}}{4}$ .

Vì $π < α < \frac{3 π}{2}$ nên điểm cuối của cung $α$ thuộc góc phần tư thứ III nên $\sin α < 0$ . Vậy $\sin α = - \frac{\sqrt{15}}{4}$ .

$\tan α = \frac{\sin α}{\cos α} = \frac{- \frac{1}{4}}{- \frac{\sqrt{15}}{4}} = \sqrt{15}$ ; $\cot α = \frac{1}{\tan α} = \frac{1}{\sqrt{15}}$ .

a) Đúng.

b) Sai.

c) Đúng.

d) Sai.

Câu 3 : Cho dãy số $(u_{n})$ biết $u_{n} = 2^{n} + 1$ . Khi đó

a) Dãy số $(u_{n})$ là dãy số tăng

Đúng

Sai

b) Dãy số $(u_{n})$ là dãy số bị chặn

Đúng

Sai

c) $u_{6} = 65$

Đúng

Sai

d) Số hạng thứ n + 2 của dãy số là $u_{n + 2} = 2^{n} .2$

Đúng

Sai

Đáp án

a) Dãy số $(u_{n})$ là dãy số tăng

Đúng

Sai

b) Dãy số $(u_{n})$ là dãy số bị chặn

Đúng

Sai

c) $u_{6} = 65$

Đúng

Sai

d) Số hạng thứ n + 2 của dãy số là $u_{n + 2} = 2^{n} .2$

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

a) Dãy số $(u_{n})$ là dãy số giảm nếu $u_{n} > u_{n + 1}$ . Dãy số $(u_{n})$ là dãy số tăng nếu $u_{n} < u_{n + 1}$ .

b) Dãy số $(u_{n})$ là dãy số bị chặn nếu $(u_{n})$ vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức tồn tại hai số m, M sao cho $m \leq u_{n} \leq M$ $\forall n \in N *$ .

c) Tính $u_{6}$ bằng công thức $u_{n} = 2^{n} + 1$ .

d) Thay n + 2 vào n trong công thức số hạng tổng quát $u_{n} = 2^{n} + 1$ .

Lời giải chi tiết :

a) Đúng. $u_{n + 1} - u_{n} = 2^{n + 1} + 1 - (2^{n} + 1) = 2^{n + 1} - 2^{n} = 2^{n} (2 - 1) = 2^{n} > 0$ với mọi n. Vậy dãy số là dãy tăng.

b) Sai. Dãy không bị chặn trên vì không có giá trị M nào để $2^{n} < M$ với mọi n. Vậy dãy số không bị chặn.

c) Đúng. $u_{6} = 2^{6} + 1 = 64 + 1 = 65$ .

d) Sai. $u_{n + 2} = 2^{n + 2} + 1 = {4.2}^{n} + 1$ .

Câu 4 : Trong mặt phẳng (P), cho hình bình hành ABCD tâm O, ngoài mặt phẳng (P) cho một điểm S.

a) C là một điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD)

Đúng

Sai

b) Giao tuyến của hai mặt phẳng (SCB) và (SCD) là đường thẳng SC

Đúng

Sai

c) Đường thẳng AB song song với mặt phẳng (SCD)

Đúng

Sai

d) Giao điểm của đường thẳng BC với mặt phẳng (SBD) là điểm C

Đúng

Sai

Đáp án

a) C là một điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD)

Đúng

Sai

b) Giao tuyến của hai mặt phẳng (SCB) và (SCD) là đường thẳng SC

Đúng

Sai

c) Đường thẳng AB song song với mặt phẳng (SCD)

Đúng

Sai

d) Giao điểm của đường thẳng BC với mặt phẳng (SBD) là điểm C

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Sử dụng các định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng, cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng.

Lời giải chi tiết :

a) Sai. C không thuộc mặt phẳng (SAB).

b) Đúng. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SCB) và (SCD) là đường thẳng SC.

c) Đúng. Vì ABCD là hình bình hành nên AB//CD, khi đó AB//(SCD).

d) Sai. Giao điểm của đường thẳng BC với mặt phẳng (SBD) là điểm B.

Câu 1 : Hằng ngày mực nước tại một cảng biển lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h (m) của mực nước theo thời gian t (giờ) trong một ngày được cho bởi công thức $h = 11 + 2 \sin (\frac{π}{12} t)$ với $0 \leq t \leq 24$ . Tính thời điểm mực nước tại cảng cao nhất.

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

Tìm t sao cho hàm số $h = 11 + 2 \sin (\frac{π}{12} t)$ đạt giá trị lớn nhất.

Lời giải chi tiết :

$h = 11 + 2 \sin (\frac{π}{12} t)$ đạt giá trị lớn nhất khi $\sin (\frac{π}{12} t) = 1 \Leftrightarrow \frac{π}{12} t = \frac{π}{2} + k 2 π \Leftrightarrow t = 6 + 24 k$ (giờ).

Vì $0 \leq t \leq 24$ nên chỉ có giá trị t = 6 thỏa mãn.

Vậy thời điểm mực nước tại cảng cao nhất là lúc 6 giờ.

Câu 2 : Phương trình $2 \sin 2 x + 4 \cos x = 0$ có bao nhiêu nghiệm trong khoảng (0; 3000)?

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

Giải phương trình lượng giác bằng cách biến đổi về dạng phương trình tích. Xét họ nghiệm trong khoảng (0;3000) để tìm số giá trị k nguyên thỏa mãn.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $2 \sin 2 x + 4 \cos x = 0$

$\Rightarrow 4 \sin x . \cos x + 4 \cos x = 0$

$\Rightarrow 4 \cos x . (\sin x + 1) = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} \cos x = 0 \\ \sin x = - 1 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = \frac{π}{2} + k π \\ x = \frac{3 π}{2} + k 2 π \end{matrix}$

$\Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k π$ với $k \in Z$ .

Xét họ nghiệm $x = \frac{π}{2} + k π$ , ta có:

$0 < \frac{π}{2} + k π < 3000 \Leftrightarrow - \frac{π}{2} < k π < 3000 - \frac{π}{2}$

$\Leftrightarrow - \frac{1}{2} < k < \frac{3000}{π} - \frac{1}{2} \Leftrightarrow - 0, 5 < k < 954, 43$ .

Mà $k \in Z$ nên $k \in {0; 1; 2; 3; . . .; 954}$ , tức có 955 giá trị k thỏa mãn.

Vậy phương trình có 955 nghiệm thuộc khoảng (0; 3000).

Câu 3 : Công ty cây xanh X trồng 496 cây hoa trong một khu vườn hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây hoa, kể từ hàng thứ hai trở đi số cây hoa trồng mỗi hàng nhiều hơn 1 cây so với hàng liền trước nó. Hỏi công ty cây xanh X trồng được bao nhiêu hàng cây trong khu vườn hình tam giác đó.

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

Số cây mỗi hàng lập thành một cấp số cộng với tổng n số hạng là 496, số hạng đầu $u_{1} = 1$ công sai d = 1. Tìm n.

Lời giải chi tiết :

Số cây mỗi hàng lập thành một cấp số cộng với tổng n số hạng là 496, số hạng đầu $u_{1} = 1$ công sai d = 1.

Ta có: $496 = \frac{2.1 + (n - 1) .1}{2} . n \Leftrightarrow 992 = (2 + n - 1) . n = n^{2} + n - 992 = 0$ .

Ta tính được n = 31 hoặc n = -32 (loại).

Vậy số hàng cây trồng được là 31 hàng.

Câu 4 : Cho dãy số $(u_{n})$ biết $u_{n} = n + \frac{1}{n}$ . Tìm m để dãy số $(u_{n})$ bị chặn dưới bởi m.

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

Chứng minh dãy số tăng và bị chặn dưới tại $m = u_{1}$ .

Lời giải chi tiết :

Xét $u_{n + 1} - u_{n} = (n + 1 + \frac{1}{n + 1}) - (n + \frac{1}{n}) = 1 + \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n} = (1 - \frac{1}{n}) + \frac{1}{n + 1}$ .

Ta có: $n \geq 1 \Leftrightarrow \frac{1}{n} < 1 \Leftrightarrow 1 - \frac{1}{n} > 0$ ; $n \geq 1 \Rightarrow \frac{1}{n + 1} > 0$ .

Vậy $u_{n + 1} - u_{n} > 0$ , tức dãy số tăng.

Khi đó, dãy bị chặn dưới bởi $u_{1} = 1 + \frac{1}{1} = 2 = m$ .

Câu 5 : Cho tứ diện ABCD, M thuộc đoạn AB, thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng $(α)$ đi qua M song song với BD và AC là hình có mấy cạnh?

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất: Nếu hai mặt phẳng $(α)$ và $(β)$ có điểm chung M và lần lượt chứa hai đường thẳng song song d và d’ thì giao tuyến của $(α)$ và $(β)$ là đường thẳng đi qua M và song song với d và d’ để xác định thiết diện.

Lời giải chi tiết :

${\begin{cases} M \in (α) \cap (A B C) \\ (α) / / A C \subset (A B C) \end{cases}$ nên giao tuyến của $(α)$ và (ABC) là đường thẳng qua M và song song với AB, cắt BC tại N, suy ra MN//AC.

${\begin{cases} N \in (α) \cap (B C D) \\ (α) / / B D \subset (B C D) \end{cases}$ nên giao tuyến của $(α)$ và (BCD) là đường thẳng qua N và song song với BD, cắt CD tại P, suy ra NP//BD.

${\begin{cases} P \in (α) \cap (A C D) \\ (α) / / A C \subset (A C D) \end{cases}$ nên giao tuyến của $(α)$ và (ACD) là đường thẳng qua P và song song với AC, cắt AD tại Q, suy ra PQ//AC.

${\begin{matrix} (α) \cap (A B D) = M Q \\ (α) / / B D \subset (A B D) \end{matrix}$ nên MQ//BD.

Có: MN//PQ (cùng song song với AC), NP//MQ (cùng song song với BD) nên MNPQ là hình bình hành.

Vậy thiết diện cần tìm có 4 cạnh.

Câu 6 : Cho tứ diện ABCD có N, P lần lượt là trung điểm của BC, BD. Điểm M là điểm thay đổi trên cạnh AC. Mặt phẳng (MNP) cắt AD tại Q. Giả sử AC = kAM. Tìm k để tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

- Định lý Thales.

- Giao tuyến của hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song là đường thẳng song song với hai đường thẳng đó.

Lời giải chi tiết :

Xét tam giác BCD có N là trung điểm của BC, P là trung điểm của BD.

Khi đó, NP là đường trung bình của tam giác BCD, suy ra NP//CD.

Ta có ${\begin{matrix} (M N P) \cap (A C D) = {M} \\ \begin{array}{l} N P / / C D \\ N P \subset (M N P) \\ C D \subset (A C D) \end{array} \end{matrix}$ nên giao tuyến của (MNP) và (ACD) là đường thẳng qua M song song với NP và CD. Gọi giao tuyến đó là d.

Mà ${\begin{matrix} Q \in (M N P) \\ Q \in A D \subset (A C D) \end{matrix}$ nên $Q \in d$ và MQ//NP, MQ//CD.

Vì đã có MQ//NP nên để MNPQ là hình bình hành thì cần điều kiện MQ = NP.

Mà $N P = \frac{1}{2} C D$ nên cần $M Q = \frac{1}{2} C D$ .

Xét tam giác ACD có $M \in A C$ , $Q \in A D$ và MQ//CD.

Khi đó, $\frac{A M}{A C} = \frac{M Q}{C D}$ (định lý Thales đảo).

Vậy để MNPQ là hình bình hành thì $\frac{A M}{A C} = \frac{M Q}{C D} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow A C = 2 A M$ .