Đề thi giữa kì 1 Toán 11

Đề thi giữa kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức - Đề số 1

Đề bài

Phần trắc nghiệm (4 điểm)

Câu 1: Góc lượng giác có số đo \(\alpha \) thì mọi góc lượng giác cùng tia đầu và tia cuối với nó có số đo dạng nào trong các dạng sau:

A. \(\alpha  + k180^\circ \)	B. \(\alpha  + k360^\circ \)
C. \(\alpha  + k2\pi \)	D. \(\alpha  + k\pi \)

Câu 2: Biết \(\tan x = \frac{1}{2}\), giá trị của biểu thức \(M = \frac{{2{{\sin }^2}x + 3\sin x.\cos x - 4{{\cos }^2}x}}{{5{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}\) bằng:

A. \( - \frac{8}{{13}}\)	B. \(\frac{2}{{19}}\)
C. \( - \frac{2}{{19}}\)	D. \( - \frac{8}{{19}}\)

Câu 3: Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. \(\tan \left( {x - y} \right) = \frac{{\tan x + \tan y}}{{\tan x\tan y}}\).

B. \(\tan \left( {x - y} \right) = \frac{{\tan x - \tan y}}{{1 + \tan x\tan y}}\).

C. \(\tan \left( {x - y} \right) = \frac{{\tan x - \tan y}}{{1 - \tan x\tan y}}\).

D. \(\tan \left( {x - y} \right) = \frac{{\tan x - \tan y}}{{\tan x\tan y}}\).

Câu 4: Công thức nào sau đây là sai?

A. \(\cos a + \cos b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}.\cos \frac{{a - b}}{2}\).

B. \(\cos a - \cos b =  - 2\sin \frac{{a + b}}{2}.\sin \frac{{a - b}}{2}\).

C. \(\sin a + \sin b = 2\sin \frac{{a + b}}{2}.\cos \frac{{a - b}}{2}\).

D. \(\sin a - \sin b = 2\sin \frac{{a + b}}{2}.\cos \frac{{a - b}}{2}\).

Câu 5: Cho các hàm số: \(y = \cos x\), \(y = \tan x\), \(y = \cot x\). Có bao nhiêu hàm số tuần hoàn với chu kỳ \(T = \pi \).

A. 1	B. 2
C. 3	D. 4

Câu 6: Gọi \(M\) và \(m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \cos 2x + \cos x.\) Khi đó \(M + m\)bằng bao nhiêu?

A. \(M + m = \frac{7}{8}\)	B. \(M + m = \frac{8}{7}\)
C. \(M + m = \frac{9}{8}\)	D. \(M + m = \frac{9}{7}\)

Câu 7: Nghiệm của phương trình \(\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) là:

A. \(\left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x =  - \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)	B. \(\left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x =  - \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
C. \(\left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)	D. \(\left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Câu 8: Số nghiệm của phương trình \(\cos x = \frac{1}{2}\) thuộc đoạn \(\left[ { - 2\pi ;2\pi } \right]\) là:

A. 4	B. 2
C. 3	D. 1

Câu 9: Cho dãy số có các số hạng đầu là:\(5;10;15;20;25;...\) Số hạng tổng quát của dãy số này là:

A. \({u_n} = 5(n - 1)\)	B. \({u_n} = 5n\)
C. \({u_n} = 5 + n\)	D. \({u_n} = 5.n + 1\)

Câu 10: Cho dãy số \(SC\), biết \(AD\). Ba số hạng đầu tiên của dãy số là:

A. \(\left( \alpha  \right)\)	B. \(S.ABCD\)
C. \(M\)	D. \(SA\)

Câu 11: Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số cộng?

A. \(1; - 2; - 4; - 6; - 8\)	B. \(1; - 3; - 6; - 9; - 12.\)
C. \(1; - 3; - 7; - 11; - 15.\)	D. \(1; - 3; - 5; - 7; - 9\)

Câu 12: Xác định số hàng đầu \({u_1}\) và công sai \(d\) của cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_9} = 5{u_2}\) và \({u_{13}} = 2{u_6} + 5\).

A. \({u_1} = 3\) và \(d = 4\)	B. \({u_1} = 3\) và \(d = 5\)
C. \({u_1} = 4\) và \(d = 5\)	D. \({u_1} = 4\) và \(d = 3\)

Câu 13: Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa \(\left\{ \begin{array}{l}{u_2} - {u_3} + {u_5} = 10\\{u_4} + {u_6} = 26\end{array} \right.\). Tính \(S = {u_1} + {u_4} + {u_7} + ... + {u_{2011}}\)

A. \(S = 2023736\)	B. \(S = 2023563\)
C. \(S = 6730444\)	D. \(S = 6734134\)

Câu 14: Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?

A. \(1\,;\, - 3\,;\,9\,;\, - 27\,;\,54\)	B. \(1\,;\,2\,;\,4\,;\,8\,;\,16\)
C. \(1\,;\, - 1\,;\,1\,;\, - 1\,;\,1\)	D. \(1\,;\, - 2\,;\,4\,;\, - 8\,;\,16\)

Câu 15: Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \(\left\{ \begin{array}{l}{u_4} - {u_2} = 54\\{u_5} - {u_3} = 108\end{array} \right.\). Tìm số hạng đầu \({u_1}\) và công bội \(q\) của cấp số nhân trên.

A. \({u_1} = 9\); \(q = 2\)	B. \({u_1} = 9\); \(q =  - 2\)
C. \({u_1} =  - 9\); \(q =  - 2\)	D. \({u_1} =  - 9\); \(q = 2\)

Câu 16: Giá trị của tổng \(4 + 44 + 444 + ... + 44...4\) bằng:

A. \(\frac{{40}}{9}\left( {{{10}^{2018}} - 1} \right) + 2018\)	B. \(\frac{4}{9}\left( {\frac{{{{10}^{2019}} - 10}}{9} - 2018} \right)\)
C. \(\frac{4}{9}\left( {\frac{{{{10}^{2019}} - 10}}{9} + 2018} \right)\)	D. \(\frac{4}{9}\left( {{{10}^{2018}} - 1} \right)\)

Câu 17: Khảo sát thời gian tập thể dục trong ngày của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

 

Giá trị đại diện của nhóm \([20;40)\) là:

A. 10	B. 20
C. 30	D. 40

Câu 18: Doanh thu bán hàng trong 20 ngày được lựa chọn ngã̃u nhiên của một cửa hàng được ghi lại ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng):

 

Số trung bình của mẫu số liệu trên thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

A. \(\left[ {7;9} \right)\)	B. \(\left[ {9;11} \right)\)
C. \(\left[ {11;13} \right)\)	D. \(\left[ {13;15} \right)\)

Câu 19: Doanh thu bán hàng trong 20 ngày được lựa chọn ngã̃u nhiên của một cửa hàng được ghi lại ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng):

 

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu trên gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau?

A. 7	B. 7,6
C. 8	D. 8,6

Câu 20: Doanh thu bán hàng trong 20 ngày được lựa chọn ngã̃u nhiên của một cửa hàng được ghi lại ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng):

 

Trung vị của mẫu số liệu trên thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

A. \(\left[ {7;9} \right)\)	B. \(\left[ {9;11} \right)\)
C. \(\left[ {11;13} \right)\)	D. \(\left[ {13;15} \right)\)

Phần tự luận (6 điểm)

Bài 1. ( 1 điểm)

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất : \(y = 4{\cos ^2}x - 4\cos x + 3\)  với \(x \in \left[ {\frac{\pi }{3};\,\frac{{5\pi }}{6}} \right]\).

Bài 2. ( 1.5 điểm)

a) Giải phương trình \(\sin \left( {\frac{x}{2} - \frac{\pi }{3}} \right) =  - \frac{{\sqrt 3 }}{4}\)

b) Tìm nghiệm thuộc khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{4};2\pi } \right)\) của phương trình \(\sin \left( {\frac{\pi }{6} + 2x} \right) =  - 1\).

c) Giải phương trình sau: \(\cos \,x + \cos \,2x + \cos \,3x = 0\).

Bài 3. ( 2 điểm)

a) Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\)có \({u_1} =  - 2\) và \(d = 3\). Biết \({S_n} = 6095374\), tìm \(n\).

b) Tìm số hạng đầu tiên và công bội của cấp số nhân sau, biết rằng: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_5} = 51\\{u_2} + {u_6} = 102\end{array} \right.\).

Bài 4. ( 1,5 điểm)

Ghi lại tốc độ bóng trong 200 lần giao bóng của một vận động viên môn quần vợt cho kết quả như bảng bên.

a) Tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm này.

b) Tìm tứ phân vị thứ nhất và tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm này.

-------- Hết --------

Lời giải chi tiết

Phần trắc nghiệm (4 điểm)

Câu 1: Góc lượng giác có số đo \(\alpha \) (rad) thì mọi góc lượng giác cùng tia đầu và tia cuối với nó có số đo dạng nào trong các dạng sau:

A. \(\alpha  + k180^\circ \)	B. \(\alpha  + k360^\circ \)
C. \(\alpha  + k2\pi \)	D. \(\alpha  + k\pi \)

Phương pháp

- Hai góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối hơn kém nhau bội nguyên lần của \(2\pi \) hoặc \({360^o}\).

- Chú ý: Góc \(\alpha \) đang ở đơn vị radian

Lời giải

Góc lượng giác có số đo \(\alpha \) thì mọi góc lượng giác cùng tia đầu và tia cuối với nó có số đo dạng nào trong các dạng sau: \(\alpha  + k2\pi \).

Đáp án C

Câu 2: Biết \(\tan x = \frac{1}{2}\), giá trị của biểu thức \(M = \frac{{2{{\sin }^2}x + 3\sin x.\cos x - 4{{\cos }^2}x}}{{5{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}\) bằng:

A. \( - \frac{8}{{13}}\)	B. \(\frac{2}{{19}}\)
C. \( - \frac{2}{{19}}\)	D. \( - \frac{8}{{19}}\)

Phương pháp

B1: Từ giả thiết \(\tan x = \frac{1}{2} \Rightarrow \cos x = 2\sin x\).

B2: Thay \(\cos x = 2\sin x\) vào biểu thức M sau đó rút gọn.

Lời giải

Ta có: \(\tan x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos x = 2\sin x\).

Khi đó \(M = \frac{{2{{\sin }^2}x + 3\sin x.2\sin x - 4.{{\left( {2\sin x} \right)}^2}}}{{5.{{\left( {2\sin x} \right)}^2} - {{\sin }^2}x}} = \frac{{ - 8{{\sin }^2}x}}{{19{{\sin }^2}x}} =  - \frac{8}{{19}}\).

Đáp án D

Câu 3: Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. \(\tan \left( {x - y} \right) = \frac{{\tan x + \tan y}}{{\tan x\tan y}}\).

B. \(\tan \left( {x - y} \right) = \frac{{\tan x - \tan y}}{{1 + \tan x\tan y}}\).

C. \(\tan \left( {x - y} \right) = \frac{{\tan x - \tan y}}{{1 - \tan x\tan y}}\).

D. \(\tan \left( {x - y} \right) = \frac{{\tan x - \tan y}}{{\tan x\tan y}}\)

Phương pháp

Sử dụng công thức cộng.

Lời giải

Ta có: \(\tan \left( {x - y} \right) = \frac{{\tan x - \tan y}}{{1 + \tan x\tan y}}\).

Đáp án B

Câu 4: Công thức nào sau đây là sai?

A. \(\cos a + \cos b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}.\cos \frac{{a - b}}{2}\).

B. \(\cos a - \cos b =  - 2\sin \frac{{a + b}}{2}.\sin \frac{{a - b}}{2}\).

C. \(\sin a + \sin b = 2\sin \frac{{a + b}}{2}.\cos \frac{{a - b}}{2}\).

D. \(\sin a - \sin b = 2\sin \frac{{a + b}}{2}.\cos \frac{{a - b}}{2}\).

Phương pháp

Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích.

 Lời giải

Ta có: \(\sin a - \sin b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}.\sin \frac{{a - b}}{2}\).

Đáp án D

Câu 5: Cho các hàm số: \(y = \cos x\), \(y = \tan x\), \(y = \cot x\). Có bao nhiêu hàm số tuần hoàn với chu kỳ \(T = \pi \).

A. 1	B. 2
C. 3	D. 4

Phương pháp

Hàm số \(y = \sin x,y = \cos x\) tuần hoàn với chu kỳ \(T = 2\pi \)

Hàm số \(y = \tan x\), \(y = \cot x\) là hàm số tuần hoàn với chu kỳ \(T = \pi \).

Lời giải

Hàm số \(y = \tan x\), \(y = \cot x\) là hàm số tuần hoàn với chu kỳ \(T = \pi \).

Hàm số \(y = \cos x\) là hàm số tuần hoàn với chu kỳ \(T = 2\pi \).

Đáp án B

Câu 6: Gọi \(M\) và \(m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \cos 2x + \cos x.\) Khi đó \(M + m\) bằng bao nhiêu?

A. \(M + m = \frac{7}{8}\)	B. \(M + m = \frac{8}{7}\)
C. \(M + m = \frac{9}{8}\)	D. \(M + m = \frac{9}{7}\)

Phương pháp

B1: Sử dụng công thức \(\cos 2x = 2{\cos ^2}x - 1\).

B2: Đưa hàm số về dạng \(y = 2{\cos ^2}x + \cos x - 1\) sau đó đặt ẩn phụ và khảo sát hàm số.

Lời giải

TXĐ : \(D = \mathbb{R}\).

Ta có: \(y = \cos 2x + \cos x = 2{\cos ^2} + \cos x - 1\).

Đặt : \(t = \cos x\), \(t \in \left[ { - 1;1} \right]\).

Xét\(f\left( t \right) = 2{t^2} + t - 1\).

Đồ thị của hàm số \(f\) là parabol có đỉnh \(I\left( { - \frac{1}{4}; - \frac{9}{8}} \right)\).

BBT:

 

Dựa vào BBT ta có : \(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( t \right) = 2\), \(m = \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( t \right) =  - \frac{9}{8}\).

Vậy \(M + m = \frac{7}{8}\).

Đáp án A

Câu 7: Nghiệm của phương trình \(\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) là:

A. \(\left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x =  - \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)	B. \(\left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x =  - \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
C. \(\left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)	D. \(\left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Phương pháp

- Trường hợp \(\left| m \right| > 1\) phương trình vô nghiệm.

- Trường hợp \(\left| m \right| \le 1\), khi đó: Tồn tại duy nhất một số thực \(\alpha  \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) sao cho \(\cos \alpha  = m\).

Ta có : \(\cos x = \cos \alpha  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha  + k2\pi \\x =  - \alpha  + k2\pi \end{array} \right.,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Lời giải

Phương trình \(\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{4}} \right) \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Đáp án D

Câu 8: Số nghiệm của phương trình \(\cos x = \frac{1}{2}\) thuộc đoạn \(\left[ { - 2\pi ;2\pi } \right]\) là:

A. 4	B. 2
C. 3	D. 1

Phương pháp

Áp dụng các công thức giải phương trình lượng giác cơ bản rồi kết hợp điều kiện đã cho để chọn nghiệm thỏa mãn.

Lời giải

Ta có: \(\cos x = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow \)\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x =  - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\), \(k \in \mathbb{Z}\).

Xét \(x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \), do \(x \in \left[ { - 2\pi ;2\pi } \right]\) và \(k \in \mathbb{Z}\) nên \( - 2\pi  \le \frac{\pi }{3} + k2\pi  \le 2\pi \)\( \Rightarrow k =  - 1\); \(k = 0\).

Xét \(x =  - \frac{\pi }{3} + k2\pi \), do \(x \in \left[ { - 2\pi ;2\pi } \right]\) và \(k \in \mathbb{Z}\) nên \( - 2\pi  \le  - \frac{\pi }{3} + k2\pi  \le 2\pi \)\( \Rightarrow k = 1\); \(k = 0\).

Vậy phương trình có \(4\) nghiệm trên đoạn \(\left[ { - 2\pi ;2\pi } \right]\).

Đáp án A

Câu 9: Cho dãy số có các số hạng đầu là:\(5;10;15;20;25;...\) Số hạng tổng quát của dãy số này là:

A. \({u_n} = 5(n - 1)\)	B. \({u_n} = 5n\)
C. \({u_n} = 5 + n\)	D. \({u_n} = 5.n + 1\)

Phương pháp

Tìm tính chất chung của các số trong dãy số rồi dự đoán công thức tổng quát.

Lời giải

Ta có:

\(5 = 5.1\)

\(10 = 5.2\)

\(15 = 5.3\)

\(20 = 5.4\)

\(25 = 5.5\)

Suy ra số hạng tổng quát \({u_n} = 5n\).

Đáp án B

Câu 10: Cho dãy số \(SC\), biết \(AD\). Ba số hạng đầu tiên của dãy số là:

A. \(\left( \alpha  \right)\)	B. \(S.ABCD\)
C. \(M\)	D. \(SA\)

Phương pháp

Thay lần lượt \(n = 1,2,3\) vào công thức \({u_n}\).

Lời giải

Ta có: \({u_1} = \frac{1}{{{2^1} - 1}} = 1;{u_2} = \frac{2}{{{2^2} - 1}} = \frac{2}{3};{u_3} = \frac{3}{{{2^3} - 1}} = \frac{3}{7}\).

Đáp án D

Câu 11: Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số cộng?

A. \(1; - 2; - 4; - 6; - 8\)	B. \(1; - 3; - 6; - 9; - 12.\)
C. \(1; - 3; - 7; - 11; - 15.\)	D. \(1; - 3; - 5; - 7; - 9\)

Phương pháp

Để chứng minh dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng, ta xét \(A = {u_{n + 1}} - {u_n}\)

\( \bullet \) Nếu \(A\) là hằng số thì \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng với công sai \(d = A\).

\( \bullet \) Nếu \(A\) phụ thuộc vào \(n\) thì \(\left( {{u_n}} \right)\) không là cấp số cộng.

Lời giải

Ta thấy dãy số: \(1; - 3; - 7; - 11; - 15\) là một cấp số cộng có số hạng đầu là 1 và công sai bằng \( - 4.\)

Đáp án C

Câu 12: Xác định số hàng đầu \({u_1}\) và công sai \(d\) của cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_9} = 5{u_2}\) và \({u_{13}} = 2{u_6} + 5\).

A. \({u_1} = 3\) và \(d = 4\)	B. \({u_1} = 3\) và \(d = 5\)
C. \({u_1} = 4\) và \(d = 5\)	D. \({u_1} = 4\) và \(d = 3\)

Phương pháp

Dựa vào giả thuyết, ta lập một hệ phương trình chứa công sai d và số hạng đầu \({u_1}\), giải hệ phương trình này tìm được d và \({u_1}\).

Lời giải

Ta có: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\).

Theo đầu bài ta có hpt: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 8d = 5\left( {{u_1} + d} \right)\\{u_1} + 12d = 2\left( {{u_1} + 5d} \right) + 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{u_1} - 3d = 0\\{u_1} - 2d =  - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\d = 4\end{array} \right.\).

Đáp án A

Câu 13: Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa \(\left\{ \begin{array}{l}{u_2} - {u_3} + {u_5} = 10\\{u_4} + {u_6} = 26\end{array} \right.\). Tính \(S = {u_1} + {u_4} + {u_7} + ... + {u_{2011}}\)

A. \(S = 2023736\)	B. \(S = 2023563\)
C. \(S = 6730444\)	D. \(S = 6734134\)

Phương pháp

Cho một cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai \(d\).

Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\).

Khi đó : \({S_n} = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2}\)  hoặc \({S_n} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + (n - 1)d} \right]}}{2} = n{u_1} + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}d\) .

Lời giải

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_2} - {u_3} + {u_5} = 10\\{u_4} + {u_6} = 26\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + d - {u_1} - 2d + {u_1} + 4d = 10\\{u_1} + 3d + {u_1} + 5d = 26\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 3d = 10\\2{u_1} + 8d = 26\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = 3\end{array} \right.\).

Ta có: \({u_1}\), \({u_4}\), \({u_7}\), \({u_{10}}\), …,\({u_{2011}}\) là cấp số cộng có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = 9\\n = 671\end{array} \right.\)

Do đó: \(S = \frac{{671}}{2}\left( {2.1 + 670.9} \right) = 2023736\).

Đáp án A

Câu 14: Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?

A. \(1\,;\, - 3\,;\,9\,;\, - 27\,;\,54\)	B. \(1\,;\,2\,;\,4\,;\,8\,;\,16\)
C. \(1\,;\, - 1\,;\,1\,;\, - 1\,;\,1\)	D. \(1\,;\, - 2\,;\,4\,;\, - 8\,;\,16\)

Phương pháp

Chứng minh \(\forall n \ge 1,{u_{n + 1}} = {u_n}.q\) trong đó \(q\) là một số không đổi.

Nếu \({u_n} \ne 0\) với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\) thì ta lập tỉ số \(T = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\).

\( * \) T là hằng số thì \(({u_n})\) là cấp số nhân có công bội \(q = T\).

\( * \) T phụ thuộc vào n thì \(({u_n})\) không là cấp số nhân.

Lời giải

Dãy \(1\,;\,2\,;\,4\,;\,8\,;\,16\) là cấp số nhân với công bội \(q = 2\).

Dãy \(1\,;\, - 1\,;\,1\,;\, - 1\,;\,1\) là cấp số nhân với công bội \(q =  - 1\).

Dãy \(1\,;\, - 2\,;\,4\,;\, - 8\,;\,16\) là cấp số nhân với công bội \(q =  - 2\).

Dãy \(1\,;\, - 3\,;\,9\,;\, - 27\,;\,54\) không phải là cấp số nhân vì \( - 3 = 1.( - 3)\,;\,( - 27).( - 3) = 81 \ne 54\).

Đáp án A

Câu 15: Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \(\left\{ \begin{array}{l}{u_4} - {u_2} = 54\\{u_5} - {u_3} = 108\end{array} \right.\). Tìm số hạng đầu \({u_1}\) và công bội \(q\) của cấp số nhân trên.

A. \({u_1} = 9\); \(q = 2\)	B. \({u_1} = 9\); \(q =  - 2\)
C. \({u_1} =  - 9\); \(q =  - 2\)	D. \({u_1} =  - 9\); \(q = 2\)

Phương pháp

Dựa vào giả thuyết, ta lập một hệ phương trình chứa công bội q và số hạng đầu \({u_1}\), giải hệ phương trình này tìm được q và \({u_1}\).

Lời giải

Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}{u_4} - {u_2} = 54\\{u_5} - {u_3} = 108\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}{q^3} - {u_1}q = 54\\{u_1}{q^4} - {u_1}{q^2} = 108\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}q\left( {{q^2} - 1} \right) = 54\\{u_1}{q^2}\left( {{q^2} - 1} \right) = 108\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 9\\q = 2\end{array} \right.\).

Vậy \({u_1} = 9\); \(q = 2\).

Đáp án A

Câu 16: Giá trị của tổng \(4 + 44 + 444 + ... + 44...4\) bằng:

A. \(\frac{{40}}{9}\left( {{{10}^{2018}} - 1} \right) + 2018\)	B. \(\frac{4}{9}\left( {\frac{{{{10}^{2019}} - 10}}{9} - 2018} \right)\)
C. \(\frac{4}{9}\left( {\frac{{{{10}^{2019}} - 10}}{9} + 2018} \right)\)	D. \(\frac{4}{9}\left( {{{10}^{2018}} - 1} \right)\)

Phương pháp

Cho một cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội \(q\).

Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\).

Khi đó : \({S_n} = {u_1}.\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}},q \ne 1\).

Lời giải

Đặt \(S = 4 + 44 + 444 + ... + 44...4\).

Ta có:\(\frac{9}{4}S = 9 + 99 + 999 + ... + 99...9\)\( = \left( {10 - 1} \right) + \left( {{{10}^2} - 1} \right) + \left( {{{10}^3} - 1} \right) + ...\left( {{{10}^{2018}} - 1} \right)\)

Suy ra: \(\frac{9}{4}S = \)\(\left( {10 + {{10}^2} + {{10}^3} + ... + {{10}^{2018}}} \right) - 2018\).

Đặt \(A = 10 + {10^2} + {10^3} + ... + {10^{2018}}\).

Ta có: \(A = 10 + {10^2} + {10^3} + ... + {10^{2018}}\) là tổng \(2018\) số hạng của một cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 10\), công bội \(q = 10\) nên ta có \(A = {u_1}\frac{{1 - {q^{2018}}}}{{1 - q}}\)\( = 10\frac{{1 - {{10}^{2018}}}}{{ - 9}}\)\( = \frac{{{{10}^{2019}} - 10}}{9}\).

Do đó \(\frac{9}{4}S = \frac{{{{10}^{2019}} - 10}}{9} - 2018\)\( \Leftrightarrow S = \frac{4}{9}\left( {\frac{{{{10}^{2019}} - 10}}{9} - 2018} \right)\).

Đáp án B

Câu 17: Khảo sát thời gian tập thể dục trong ngày của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Giá trị đại diện của nhóm \([20;40)\) là:

A. 10	B. 20
C. 30	D. 40

Phương pháp

Đọc bảng số liệu.

Lời giải

Giá trị đại diện của nhóm \([20;40)\) là: \(\frac{{20 + 40}}{2} = 30\).

Đáp án C

Câu 18: Doanh thu bán hàng trong 20 ngày được lựa chọn ngã̃u nhiên của một cửa hàng được ghi lại ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng):

Số trung bình của mẫu số liệu trên thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

A. \(\left[ {7;9} \right)\)	B. \(\left[ {9;11} \right)\)
C. \(\left[ {11;13} \right)\)	D. \(\left[ {13;15} \right)\)

Phương pháp

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm kí hiệu là \(\bar x\).

\(\bar x = \frac{{{m_1}{x_1} +  \ldots  + {m_k}{x_k}}}{n}\)

trong đó, \(n = {m_1} +  \ldots  + {m_k}\) là cỡ mẫu và \({x_i} = \frac{{{a_i} + {a_{i + 1}}}}{2}\) (với \(i = 1, \ldots ,k\) ) là giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {{a_i};{a_{i + 1}}} \right)\).

Lời giải

 

Số trung bình của mẫu số liệu xấp xỉ bằng: \(\left( {6.2 + 8.7 + 10.7 + 12.3 + 14.1} \right):20 = 9,4\)

Đáp án B

Câu 19: Doanh thu bán hàng trong 20 ngày được lựa chọn ngã̃u nhiên của một cửa hàng được ghi lại ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng):

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu trên gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau?

A. 7	B. 7,6
C. 8	D. 8,6

Phương pháp

Để tính tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa \({Q_1}\), giả sử đó là nhóm thứ \(p\) : \(\left[ {{a_p};{a_{p + 1}}} \right)\). Khi đó,

\({Q_1} = {a_p} + \frac{{\frac{n}{4} - \left( {{m_1} +  \ldots  + {m_{p - 1}}} \right)}}{{{m_p}}} \cdot \left( {{a_{p + 1}} - {a_p}} \right),\)

trong đó, \(n\) là cỡ mẫu, \({m_p}\) là tần số nhóm \(p\), với \(p = 1\) ta quy ước \({m_1} +  \ldots  + {m_{p - 1}} = 0\).

Lời giải

Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là \(\frac{1}{2}\left( {{x_4} + {x_5}} \right)\) thuộc nhóm \(\left[ {7;9} \right)\) nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là \({Q_1} = 7 + \frac{{\frac{{20}}{4} - 2}}{7}\left( {9 - 7} \right) = 7,86\).

Đáp án B

Câu 20: Doanh thu bán hàng trong 20 ngày được lựa chọn ngã̃u nhiên của một cửa hàng được ghi lại ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng):

Trung vị của mẫu số liệu trên thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

A. \(\left[ {7;9} \right)\)	B. \(\left[ {9;11} \right)\)
C. \(\left[ {11;13} \right)\)	D. \(\left[ {13;15} \right)\)

Phương pháp

Trung vị là giá trị ở giữa của mẫu số liệu.

Lời giải

Gọi \({x_1};{x_2};{x_3}; \ldots ;{x_{20}}\) lần lượt là thời gian chạy của các vận động viên theo thứ tự từ nhỏ đến lớn.

Do \({x_1},{x_2} \in \left[ {5;7} \right);{x_3}, \ldots ,{x_9} \in \left[ {7;9} \right);{x_{10}}, \ldots ,{x_{16}} \in \left[ {9;11} \right);{x_{17}}, \ldots ,{x_{19}} \in \left[ {11;13} \right)\); \({x_{20}} \in \left[ {13;15} \right)\).

Trung vị của mẫu số liệu là \({x_{10}}, \ldots ,{x_{16}}\) thuộc nhóm \(\left[ {9;11} \right)\).

Đáp án B

Phần tự luận.

Bài 1. ( 1 điểm)

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất : \(y = 4{\cos ^2}x - 4\cos x + 3\)  với \(x \in \left[ {\frac{\pi }{3};\,\frac{{5\pi }}{6}} \right]\).

Phương pháp

B1: Đặt ẩn phụ và tìm điều kiện của ẩn

B2: Lập bảng biến thiên, khảo sát hàm số rồi kết luận

Lời giải

Đặt \(t = \cos x\).

Với \(\frac{\pi }{3} \le x \le \frac{{5\pi }}{6}\) ta có \(\frac{{ - \sqrt 3 }}{2} \le t \le \frac{1}{2}\) .

Khi đó ta có \(y = f\left( t \right) = 4{t^2} - 4t + 3\) , \(\frac{{ - \sqrt 3 }}{2} \le t \le \frac{1}{2}\).

Ta có bảng biến thiên:

 

Từ bảng biến thiên ta có:

Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên \(\left[ {\frac{\pi }{3};\,\frac{{5\pi }}{6}} \right]\) là \(6 + 2\sqrt 3 \).

Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên \(\left[ {\frac{\pi }{3};\,\frac{{5\pi }}{6}} \right]\) là \(2\).

Bài 2. (1.5 điểm)

a) Giải phương trình \(\sin \left( {\frac{x}{2} - \frac{\pi }{3}} \right) =  - \frac{{\sqrt 3 }}{4}\)

b) Tìm nghiệm thuộc khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{4};2\pi } \right)\) của phương trình \(\sin \left( {\frac{\pi }{6} + 2x} \right) =  - 1\).

c) Giải phương trình sau: \(\cos \,x + \cos \,2x + \cos \,3x = 0\).

Phương pháp

a)

- Trường hợp \(\left| m \right| > 1\), phương trình vô nghiệm.

- Trường hợp \(\left| m \right| \le 1\), tồn tại duy nhất một số \(\alpha  \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) thỏa mãn \(\sin \alpha  = m\). Ta có

\(\sin x = \sin \alpha \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha  + k2\pi \\x = \pi  - \alpha  + k2\pi \end{array} \right.,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

b) Áp dụng các công thức giải phương trình lượng giác cơ bản rồi kết hợp điều kiện đã cho để chọn nghiệm thỏa mãn.

c) Sử dụng công thức biến tổng thành tính để làm xuất hiện nhân tử chung: \(\cos a + \cos b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}\cos \frac{{a - b}}{2}\).

Lời giải

a) Ta có: \(\sin \left( {\frac{x}{2} - \frac{\pi }{3}} \right) =  - \frac{{\sqrt 3 }}{4}\) đặt \(\sin t =  - \frac{{\sqrt 3 }}{4}\)\( \Rightarrow \sin \left( {\frac{x}{2} - \frac{\pi }{3}} \right) = \sin t \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{x}{2} - \frac{\pi }{3} = t + k2\pi }\\{\frac{x}{2} - \frac{\pi }{3} = \pi  - t + k2\pi }\end{array} \Leftrightarrow } \right.\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{2\pi }}{3} + 2t + k4\pi }\\{x = \frac{{8\pi }}{3} - 2t + k4\pi }\end{array}} \right.\).

b) Ta có: \(\sin \left( {\frac{\pi }{6} + 2x} \right) =  - 1 \Leftrightarrow \frac{\pi }{6} + 2x =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi  \Leftrightarrow x =  - \frac{\pi }{3} + k\pi \).

Theo để bài, ta có: \( - \frac{\pi }{4} <  - \frac{\pi }{3} + k\pi  < 2\pi  \Rightarrow k = 1;2 \Rightarrow x = \frac{{2\pi }}{3};\frac{{5\pi }}{3}.\)

c) Ta có: \(\cos \,x + \cos \,2x + \cos \,3x = 0\)

\( \Leftrightarrow 2\cos \,\left( {\frac{{x + 3x}}{2}} \right).\cos \,\left( {\frac{{x - 3x}}{2}} \right) + \cos \,2x = 0\)

\( \Leftrightarrow 2\cos \,2x.\cos \,x + \cos \,2x = 0\)

\( \Leftrightarrow \cos \,2x\left( {2\cos \,x + 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos \,2x = 0\\\cos \,x = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\\x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\x =  - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\).

Bài 3. (2 điểm)

a) Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\)có \({u_1} =  - 2\) và \(d = 3\). Biết \({S_n} = 6095374\), tìm \(n\).

b) Tìm số hạng đầu tiên và công bội của cấp số nhân sau, biết rằng: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_5} = 51\\{u_2} + {u_6} = 102\end{array} \right.\).

Phương pháp

a) Cho một cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai \(d\).

Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\).

Khi đó : \({S_n} = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2}\)  hoặc \({S_n} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + (n - 1)d} \right]}}{2} = n{u_1} + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}d\) .

b) Dựa vào giả thuyết, ta lập một hệ phương trình chứa công bội q và số hạng đầu \({u_1}\), giải hệ phương trình này tìm được q và \({u_1}\).

Lời giải

a) Ta có : \({S_n} = n{u_1} + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}d =  - 2n + \frac{{3\left( {{n^2} - n} \right)}}{2} = \frac{{n\left( {3n - 7} \right)}}{2}\)

Vì \({S_n} = 6095374\) nên \(\frac{{n\left( {3n - 7} \right)}}{2} = 6095374 \Leftrightarrow 3{n^2} - 7n - 12190748 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 2017\\n =  - \frac{{6044}}{3}\end{array} \right.\).

Vậy \(n = 2017\).

b) Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_5} = 51\\{u_2} + {u_6} = 102\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_1}{q^4} = 51\\{u_1}q + {u_1}{q^5} = 102\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\left( {1 + {q^4}} \right) = 51{\rm{   }}\left( * \right)\\{u_1}q\left( {1 + {q^4}} \right) = 102{\rm{ }}\left( {**} \right)\end{array} \right.\).

Lấy\(\frac{{\left( {**} \right)}}{{\left( * \right)}} \Leftrightarrow \frac{{{u_1}q\left( {1 + {q^4}} \right)}}{{{u_1}\left( {1 + {q^4}} \right)}} = \frac{{102}}{{51}}\) \( \Leftrightarrow q = 2 \Rightarrow {u_1} = \frac{{51}}{{1 + {q^4}}} = \frac{{51}}{{17}} = 3.\)

Kết luận có công bội \(q = 2\)và số hạng đầu tiên \({u_1} = 3\).

Bài 4. ( 1.5 điểm)

Ghi lại tốc độ bóng trong 200 lần giao bóng của một vận động viên môn quần vợt cho kết quả như bảng bên.

b) Tìm tứ phân vị thứ nhất và tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm này.

Phương pháp

a) Để tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm, ta làm như sau:

Bước 1. Xác định nhóm chứa trung vị. Giả sử đó là nhóm thứ \(p\) : \(\left[ {{a_p};{a_{p + 1}}} \right)\).

Bước 2. Trung vị là \({M_e} = {a_p} + \frac{{\frac{n}{2} - \left( {{m_1} +  \ldots  + {m_{p - 1}}} \right)}}{{{m_p}}} \cdot \left( {{a_{p + 1}} - {a_p}} \right)\),

trong đó \(n\) là cỡ mẫu, \({m_p}\) là tần số nhóm \(p\). Với \(p = 1\), ta quy ước \({m_1} +  \ldots  + {m_{p - 1}} = 0\).

b) Để tính tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa \({Q_1}\), giả sử đó là nhóm thứ \(p\) : \(\left[ {{a_p};{a_{p + 1}}} \right)\). Khi đó,

\({Q_1} = {a_p} + \frac{{\frac{n}{4} - \left( {{m_1} +  \ldots  + {m_{p - 1}}} \right)}}{{{m_p}}} \cdot \left( {{a_{p + 1}} - {a_p}} \right),\)

trong đó, \(n\) là cỡ mẫu, \({m_p}\) là tần số nhóm \(p\), với \(p = 1\) ta quy ước \({m_1} +  \ldots  + {m_{p - 1}} = 0\).

Để tính tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa \({Q_3}\). Giả sử đó là nhóm thứ \(p\) : \(\left[ {{a_p};{a_{p + 1}}} \right)\). Khi đó,

\({Q_3} = {a_p} + \frac{{\frac{{3n}}{4} - \left( {{m_1} +  \ldots  + {m_{p - 1}}} \right)}}{{{m_p}}} \cdot \left( {{a_{p + 1}} - {a_p}} \right),\)

trong đó, \(n\) là cỡ mẫu, \({m_p}\) là tần số nhóm \(p\), với \(p = 1\) ta quy ước \({m_1} +  \ldots  + {m_{p - 1}} = 0\).

Tứ phân vị thứ hai \({Q_2}\) chính là trung vị \({M_e}\).

Nhận xét. Ta cũng có thể xác định nhóm chứa tứ phân vi thứ \(r\) nhờ tính chất: có khoảng \(\left( {\frac{{r \cdot n}}{4}} \right)\) giá trị nhỏ hơn tứ phân vị này.

Lời giải

a) Cỡ mẫu là: \(n = 18 + 28 + 35 + 43 + 43 + 41 + 35 = 200\).

Gọi \({x_1},{x_2} \ldots {x_{200}}\) là tốc độ giao bóng của 200 lần và giả sử dãy này được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Khi đó trung vị là \(\frac{{{x_{100}} + {x_{101}}}}{2}\).

Do hai giá trị \({x_{100}},{x_{101}}\) thuộc nhóm [165;170) nên nhóm này chứa trung vị.

Suy ra, \(p = 4;{a_4} = 165;{m_4} = 43;{m_1} + {m_2} + {m_3} = 18 + 28 + 35 = 81;{a_5} - {a_4} = 5\) và ta có:

\({M_e} = 165 + \frac{{\frac{{200}}{2} - 81}}{{43}} \times 5 = 167,21\).

b) Cỡ mẫu: \(n = 200\).

Tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) là \(\frac{{{x_{50}} + {x_{51}}}}{2}\). Do \({x_{50}};{x_{51}}\) đều thuộc nhóm [160;165) nên tứ phân vị thứ nhất thuộc nhóm [160;165). Do đó, \(p = 3;{a_3} = 160;{m_3} = 35;{m_1} + {m_2} = 18 + 28 = 46;{a_4} - {a_3} = 5\) và ta có:

\({Q_1} = 160 + \frac{{\frac{{200}}{4} - 46}}{{35}} \times 5 = 160,57\).

Tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) là \(\frac{{{x_{150}} + {x_{151}}}}{2}\). Do \({x_{150}},{x_{151}}\) đều thuộc nhóm [170;175) nên tứ phân vị thứ ba thuộc nhóm [170;175). Do đó,\(p = 5;{a_5} = 170;{m_5} = 41;{m_1} + {m_2} + {m_3} + {m_4} = 18 + 28 + 35 + 43 = 124;{a_6} - {a_5} = 5\)

và ta có:

\({Q_3} = 170 + \frac{{\frac{{600}}{4} - 124}}{{41}} \times 5 = 173,17\).

Đề thi giữa kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức - Đề số 2

Đề bài

Lời giải chi tiết

Phần trắc nghiệm (4 điểm)

 

Câu 1: Trên đường tròn lượng giác, cho điểm \(M\left( {x;\;y} \right)\) và sđ\(\left( {OA,OM} \right) = \alpha \). Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. \(\sin \alpha = y\)	B. \(\sin \alpha = x - y\)
C. \(\cos \alpha = y\)	D. \(\cos \alpha = x + y\)

Phương pháp

Với \(M\left( {x;y} \right)\) là điểm trên đường tròn lượng giác, biểu diễn góc lượng giác có số đo \(\alpha \) ta có:

\( \bullet \)\(\cos \alpha = x\).

\( \bullet \)\(\sin \alpha = y\).

\( \bullet \) Nếu \(\cos \alpha \ne 0,\)\(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}.\)

\( \bullet \) Nếu \(\sin \alpha \ne 0,\)\(\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}.\)

Lời giải

Ta có: \(\sin \alpha = y\).

Đáp án A

Câu 2: Cho \(\tan x = 3\). Khi đó giá trị của biểu thức \(P = \frac{{2\sin x - \cos x}}{{\sin x + \cos x}}\) là:

A. \(P = \frac{3}{2}\)	B. \(P = \frac{5}{4}\)
C. \(P = 3\)	D. \(P = \frac{2}{5}\)

Phương pháp

B1: Từ giả thiết \(\tan x = 3 \Rightarrow \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = 3 \Rightarrow \sin x = 3\cos x.\).

B2: Thay \(\sin x = 3\cos x\) vào biểu thức P sau đó rút gọn.

 

Lời giải

Ta có: \(\tan x = 3 \Rightarrow \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = 3 \Rightarrow \sin x = 3\cos x.\)

Khi đó \(P = \frac{{2.3\cos x - \cos x}}{{3\cos x + \cos x}} = \frac{{5\cos x}}{{4\cos x}} = \frac{5}{4}\).

Đáp án B

Câu 3: Biểu thức \(\sin x\cos y - \cos x\sin y\) bằng:

A. \(\cos \left( {x - y} \right)\).	B. \(\cos \left( {x + y} \right)\).
C. \(\sin \left( {x - y} \right)\).	D. \(\sin \left( {y - x} \right)\).

Phương pháp

Sử dụng công thức cộng.

Lời giải

Ta có: \(\sin \left( {x - y} \right) = \sin x\cos y - \cos x\sin y.\).

Đáp án C

Câu 4: Công thức nào sau đây là sai?

A. \(\cos a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a - b} \right) + \cos \left( {a + b} \right)} \right]\)	B. \(\sin a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {a - b} \right) - \cos \left( {a + b} \right)} \right]\)
C. \(\sin a\sin b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a - b} \right) - \cos \left( {a + b} \right)} \right]\)	D. \(\sin a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {a - b} \right) + \sin \left( {a + b} \right)} \right]\)

Phương pháp

Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng.

Lời giải

Ta có: \(\sin a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {a + b} \right) + \sin \left( {a - b} \right)} \right]\).

Đáp án B

Câu 5: Khẳng định nào dưới đây là sai?

A. Hàm số\(y = \sin x\) là hàm số lẻ	B. Hàm số\(y = \cos x\)là hàm số lẻ
C. Hàm số\(y = \tan x\) là hàm số lẻ	D. Hàm số\(y = \cot x\) là hàm số lẻ

Phương pháp

Trong 4 hàm lượng giác cơ bản chỉ có hàm số \(y = \cos x\) là hàm chẵn

Lời giải

Hàm số \(y = \cos x\) là hàm số chẵn.

Đáp án B

Câu 6: Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ ?

A. \(y = \cot 4x\)	B. \(y = \frac{{\sin x + 1}}{{\cos x}}\)
C. \(y = {\tan ^2}x\)	D. \(y = \left| {\cot x} \right|\)

Phương pháp

Để xét tính chẵn – lẻ của hàm số, ta làm như sau:

Bước 1: Tìm tập xác định \(D\) của hàm số, khi đó:

- Nếu \(D\) là tập đối xứng (tức \(\forall x \in D \Rightarrow - x \in D\)), thì ta thực hiện tiếp bước 2.

- Nếu \(D\) không phải tập đối xứng (tức là \(\exists x \in D\) mà \( - x \notin D\)) thì ta kết luận hàm số không chẵn không lẻ.

Bước 2: Xác định \(f\left( { - x} \right)\):

- Nếu \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right),\forall x \in D\) thì kết luận hàm số là hàm số chẵn.

- Nếu \(f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right),\forall x \in D\) thì kết luận hàm số là hàm số lẻ.

- Nếu không thỏa mãn một trong hai điều kiện trên thì kết luận hàm số không chẵn không lẻ.

Lời giải

Nhận xét: Hàm số lẻ có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ

Xét: Hàm số \(y = \cot 4x.\)

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{k\pi }}{4},k \in \mathbb{Z}} \right\}\)là tập đối xứng. Do đó \(\forall x \in {\rm{D}} \Rightarrow - x \in {\rm{D}}{\rm{.}}\)

Ta có \(f\left( { - x} \right) = \cot \left( { - 4\pi } \right) = - \cot 4\pi = - f\left( x \right)\) là hàm số lẻ \( \Rightarrow \)Chọn A

Xét: Hàm số \(y = \frac{{\sin x + 1}}{{\cos x}}.\)

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)là tập đối xứng. Do đó \(\forall x \in {\rm{D}} \Rightarrow - x \in {\rm{D}}{\rm{.}}\)

Ta có \(f\left( { - x} \right) = \frac{{\sin \left( { - x} \right) + 1}}{{\cos \left( { - x} \right)}} = \frac{{ - \sin x + 1}}{{\cos x}} \ne \left\{ {f\left( x \right), - f\left( x \right)} \right\}\)Hàm số không có tính chẵn, lẻ

Xét: Hàm số \(y = {\tan ^2}x.\)

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)là tập đối xứng. Do đó \(\forall x \in {\rm{D}} \Rightarrow - x \in {\rm{D}}{\rm{.}}\)

Ta có \(f\left( { - x} \right) = {\tan ^2}\left( { - x} \right) = {\tan ^2}x = f\left( x \right)\) là hàm số chẵn

Xét: Hàm số \(y = \left| {\cot x} \right|.\)

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)là tập đối xứng. Do đó \(\forall x \in {\rm{D}} \Rightarrow - x \in {\rm{D}}{\rm{.}}\)

Ta có \(f\left( { - x} \right) = \left| {\cot \left( { - x} \right)} \right| = \left| {\cot x} \right| = f\left( x \right)\) là hàm số chẵn.

Đáp án A

Câu 7: Nghiệm của phương trình \(2\cos \left( {x - 15^\circ } \right) - 1 = 0\) là:

A. \(\left[ \begin{array}{l}x = 75^\circ + k360^\circ \\x = 135^\circ + k360^\circ \end{array} \right.\)	B. \(\left[ \begin{array}{l}x = 60^\circ + k360^\circ \\x = - 60^\circ + k360^\circ \end{array} \right.\)
C. \(\left[ \begin{array}{l}x = 45^\circ + k360^\circ \\x = - 45^\circ + k360^\circ \end{array} \right.\)	D. \(\left[ \begin{array}{l}x = 75^\circ + k360^\circ \\x = - 45^\circ + k360^\circ \end{array} \right.\)

Phương pháp

- Trường hợp \(\left| m \right| > 1\) phương trình vô nghiệm.

- Trường hợp \(\left| m \right| \le 1\), khi đó: Tồn tại duy nhất một số thực \(\alpha \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) sao cho \(\cos \alpha = m\).

Ta có : \(\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = - \alpha + k2\pi \end{array} \right.,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Lời giải

Ta có: \(2\cos \left( {x - 15^\circ } \right) - 1 = 0 \Leftrightarrow \cos \left( {x - 15^\circ } \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos \left( {x - 15^\circ } \right) = \cos 60^\circ \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 15^\circ = 60^\circ + k360^\circ \\x - 15^\circ = - 60^\circ + k360^\circ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 75^\circ + k360^\circ \\x = - 45^\circ + k360^\circ \end{array} \right.\), \(k \in \mathbb{Z}\).

Đáp án D

Câu 8: Số nghiệm của phương trình \(\sin \left( {3x + \frac{\pi }{3}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) thuộc khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) là:

A. 4	B. 2
C. 3	D. 1

Phương pháp

Áp dụng các công thức giải phương trình lượng giác cơ bản rồi kết hợp điều kiện đã cho để chọn nghiệm thỏa mãn.

Lời giải

Ta có \(\sin \left( {3x + \frac{\pi }{3}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \sin \left( {3x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x + \frac{\pi }{3} = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \\3x + \frac{\pi }{3} = \pi + \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{{2\pi }}{9} + k\frac{{2\pi }}{3}\\x = \frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

+) Trường hợp 1: \(x = - \frac{{2\pi }}{9} + k\frac{{2\pi }}{3} \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right) \Leftrightarrow 0 < - \frac{{2\pi }}{9} + k\frac{{2\pi }}{3} < \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow \frac{1}{3} < k < \frac{{13}}{{12}}\).

Do \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k = 1\). Suy ra trường hợp này có nghiệm \(x = \frac{{4\pi }}{9}\) thỏa mãn.

+) Trường hợp 2: \(x = \frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3} \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right) \Leftrightarrow 0 < \frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3} < \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow - \frac{1}{2} < k < \frac{1}{4}\).

Do \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k = 0\). Suy ra trường hợp này có nghiệm \(x = \frac{\pi }{3}\) thỏa mãn.

Vậy phương trình chỉ có \(2\) nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\).

Đáp án B

Câu 9: Cho dãy số có các số hạng đầu là:\( - 1;1; - 1;1; - 1;...\).Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng:

A. \({u_n} = 1\)	B. \({u_n} = - 1\)
C. \({u_n} = {( - 1)^n}\)	D. \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^{n + 1}}\)

Phương pháp

Tìm tính chất chung của các số trong dãy số rồi dự đoán công thức tổng quát.

Lời giải

Ta có: các số hạng đầu của dãy là \({\left( { - 1} \right)^1};{\left( { - 1} \right)^2};{\left( { - 1} \right)^3};{\left( { - 1} \right)^4};{\left( { - 1} \right)^5};... \Rightarrow {u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}\).

Đáp án C

Câu 10: Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\) biết \({u_n} = \frac{1}{{n + 1}}\). Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số nào dưới đây?

A. \(\frac{1}{2};\frac{1}{3};\frac{1}{4}.\)	B. \(1;\frac{1}{2};\frac{1}{3}.\)
C. \(\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{6}.\)	D. \(1;\frac{1}{3};\frac{1}{5}.\)

Phương pháp

Thay lần lượt \(n = 1,2,3\) vào công thức \({u_n}\).

Lời giải

Ta có: \({u_1} = \frac{1}{{1 + 1}} = \frac{1}{2},\,\,{u_2} = \frac{1}{{1 + 2}} = \frac{1}{3},\,\,{u_3} = \frac{1}{{1 + 3}} = \frac{1}{4}\).

Đáp án A

Câu 11: Trong các dãy số sau, dãy số nào không phải cấp số cộng?

A. \(\frac{1}{2};\frac{3}{2};\frac{5}{2};\frac{7}{2};\frac{9}{2}\)	B. \(1;1;1;1;1\)
C. \( - 8; - 6; - 4; - 2;0\)	D. \(3;1; - 1; - 2; - 4\)

Phương pháp

Để chứng minh dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng, ta xét \(A = {u_{n + 1}} - {u_n}\)

\( \bullet \) Nếu \(A\) là hằng số thì \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng với công sai \(d = A\).

\( \bullet \) Nếu \(A\) phụ thuộc vào \(n\) thì \(\left( {{u_n}} \right)\) không là cấp số cộng.

Lời giải

Xét đáp án A: Là cấp số cộng với \({u_1} = \frac{1}{2};d = 1\).

Xét đáp áp B: Là cấp số cộng với \({u_1} = 1;d = 0\).

Xét đáp án C: Là cấp số cộng với \({u_1} = - 8;d = 2\).

Xét đáp án D: Không là cấp số cộng vì \({u_2} = {u_1} + \left( { - 2} \right);{u_4} = {u_3} + \left( { - 1} \right)\).

Đáp án D

Câu 12: Cho \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng thỏa mãn \({u_1} + {u_3} = 8\) và \({u_4} = 10\). Công sai của cấp số cộng đã cho bằng:

A. \(3\)	B. \(6\)
C. \(2\)	D. \(4\)

Phương pháp

Dựa vào giả thuyết, ta lập một hệ phương trình chứa công sai d và số hạng đầu \({u_1}\), giải hệ phương trình này tìm được d và \({u_1}\).

Lời giải

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_3} = 8\\{u_4} = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_1} + 2d = 8\\{u_1} + 3d = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{u_1} + 2d = 8\\{u_1} + 3d = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = 3\end{array} \right.\).

Vậy công sai của cấp số cộng là \(d = 3\).

Đáp án A

Câu 13: Gọi \({S_n}\) là tổng \(n\) số hạng đầu tiên trong cấp số cộng \(\left( {{a_n}} \right).\) Biết \({S_6} = {S_9},\) tỉ số \(\frac{{{a_3}}}{{{a_5}}}\) bằng:

A. \(\frac{9}{5}\)	B. \(\frac{5}{9}\)
C. \(\frac{5}{3}\)	D. \(\frac{3}{5}\)

Phương pháp

Cho một cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai \(d\).

Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\).

Khi đó : \({S_n} = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2}\) hoặc \({S_n} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + (n - 1)d} \right]}}{2} = n{u_1} + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}d\) .

Lời giải

Ta có: \({S_6} = {S_9} \Leftrightarrow \frac{{6\left( {2{a_1} + 5d} \right)}}{2} = \frac{{9\left( {2{a_1} + 8d} \right)}}{2} \Leftrightarrow {a_1} = - 7d.\)

Vậy \(\frac{{{a_3}}}{{{a_5}}} = \frac{{{a_1} + 2d}}{{{a_1} + 4d}} = \frac{{ - 7d + 2d}}{{ - 7d + 4d}} = \frac{5}{3}.\)

Đáp án C

Câu 14: Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?

A. \(1;\,\, - 1;\,\,1;\,\, - 1\)	B. \(1;\,\, - 3;\,\,9;10\)
C. \(1;\,\,0;\,\,0;0\)	D. \(32;\,\,16;\,\,8;\,4\)

Phương pháp

Chứng minh \(\forall n \ge 1,{u_{n + 1}} = {u_n}.q\) trong đó \(q\) là một số không đổi.

Nếu \({u_n} \ne 0\) với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\) thì ta lập tỉ số \(T = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\).

\( * \) T là hằng số thì \(({u_n})\) là cấp số nhân có công bội \(q = T\).

\( * \) T phụ thuộc vào n thì \(({u_n})\) không là cấp số nhân.

Lời giải

\(1; - 1;1; - 1\) là cấp số nhân với \(q = - 1\).

\( - 1;3;9;10\) không là cấp số nhân.

\(1;\,0;0;0\) là cấp số nhân với \(q = 0\).

\(32;16;8;4\) là cấp số nhân với \(q = \frac{1}{2}\).

Đáp án B

Câu 15: Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_5} = 2\) và \({u_9} = 6\). Tính \({u_{21}}\)

A. \(18\)	B. \(54\)
C. \(162\)	D. \(486\)

Phương pháp

Dựa vào giả thuyết, ta lập một hệ phương trình chứa công bội q và số hạng đầu \({u_1}\), giải hệ phương trình này tìm được q và \({u_1}\).

Lời giải

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_5} = 2\\{u_9} = 6\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}{q^4} = 2\\{u_1}{q^8} = 6\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \frac{2}{3}\\{q^4} = 3\end{array} \right.\).

Suy ra \({u_{21}} = {u_1}{q^{20}} = {u_1}{\left( {{q^4}} \right)^5} = \frac{2}{3}{.3^5} = 162\).

Đáp án C

Câu 16: Giá trị của tổng \(7 + 77 + 777 + ... + 77...7\) bằng

A. \(\frac{{70}}{9}\left( {{{10}^{2018}} - 1} \right) + 2018\)	B. \(\frac{7}{9}\left( {\frac{{{{10}^{2018}} - 10}}{9} - 2018} \right)\)
C. \(\frac{7}{9}\left( {\frac{{{{10}^{2019}} - 10}}{9} - 2018} \right)\)	D. \(\frac{7}{9}\left( {{{10}^{2018}} - 1} \right)\)

Phương pháp

Cho một cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội \(q\).

Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\).

Khi đó : \({S_n} = {u_1}.\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}},q \ne 1\).

Lời giải

Ta có \(7 + 77 + 777 + ... + 77...7\)

\( = \frac{7}{9}\left( {9 + 99 + 999 + ... + 99...9} \right)\) \( = \frac{7}{9}\left( {10 - 1 + {{10}^2} - 1 + {{10}^3} - 1 + ... + {{10}^{2018}} - 1} \right)\)

\( = \frac{7}{9}\left( {10 + {{10}^2} + {{10}^3} + ... + {{10}^{2018}} - 2018} \right)\)

Mặt khác,ta có \(10 + {10^2} + {10^3} + ... + {10^{2018}}\) là tổng của một cấp số nhân với \({u_1} = 10\) và công bội \(q = 10\) \( \Rightarrow \)\(10 + {10^2} + {10^3} + ... + {10^{2018}}\)\( = 10\frac{{{{10}^{2018}} - 1}}{9} = \frac{{{{10}^{2019}} - 10}}{9}\).

Do đó \(\frac{7}{9}\left( {10 + {{10}^2} + {{10}^3} + ... + {{10}^{2018}} - 2018} \right)\)\( = \frac{7}{9}\left( {\frac{{{{10}^{2019}} - 10}}{9} - 2018} \right)\).

Đáp án B

Câu 17: Thống kê về nhiệt độ tại một địa điểm trong \(30\) ngày, ta có bảng số liệu sau:

Số ngày có nhiệt độ thấp hơn \({25^0}C\) là:

A. 10	B. \(9\)
C. \(19\)	D. \(3\)

Phương pháp

Đọc bảng số liệu.

Lời giải

Số ngày có nhiệt độ thấp hơn \({25^0}C\) là: \(9\) ngày.

Đáp án B

Câu 18: Điều tra về điểm kiểm tra giữa HKI của \(36\) học sinh lớp 11A ta được kết quả sau:

Điểm trung bình của \(36\) học sinh trên gần nhất với số nào dưới đây?

A. \(6,4\)	B. \(6,2\)
C. \(6,0\)	D. \(6,6\)

Phương pháp

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm kí hiệu là \(\bar x\).

\(\bar x = \frac{{{m_1}{x_1} + \ldots + {m_k}{x_k}}}{n}\)

trong đó, \(n = {m_1} + \ldots + {m_k}\) là cỡ mẫu và \({x_i} = \frac{{{a_i} + {a_{i + 1}}}}{2}\) (với \(i = 1, \ldots ,k\) ) là giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {{a_i};{a_{i + 1}}} \right)\).

Lời giải

Số trung bình của mẫu số liệu xấp xỉ bằng: \(\left( {1.1 + 3.5 + 5.9 + 7.14 + 9.7} \right):36 = 6,2\)

Đáp án B

Câu 19: Thời gian luyện tập trong một ngày (tính theo giờ) của một số vận động viên được ghi lại ở bảng sau:

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu trên gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau?

A. 3	B. 4
C. 6	D. 5

Phương pháp

Để tính tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa \({Q_1}\), giả sử đó là nhóm thứ \(p\) : \(\left[ {{a_p};{a_{p + 1}}} \right)\). Khi đó,

\({Q_1} = {a_p} + \frac{{\frac{n}{4} - \left( {{m_1} + \ldots + {m_{p - 1}}} \right)}}{{{m_p}}} \cdot \left( {{a_{p + 1}} - {a_p}} \right),\)

trong đó, \(n\) là cỡ mẫu, \({m_p}\) là tần số nhóm \(p\), với \(p = 1\) ta quy ước \({m_1} + \ldots + {m_{p - 1}} = 0\).

Lời giải

Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu \({x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{39}}\) là \({x_{10}} \in \left[ {2;4} \right)\). Do đó tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là

\({Q_1} = 2 + \frac{{\frac{{1.39}}{4} - 3}}{8} \cdot \left( {4 - 2} \right) = \frac{{59}}{{16}} = 3,6875\)

Đáp án A

Câu 20: Kết quả khảo sát cân nặng của 25 quả bơ ở một lô hàng cho trong bảng sau:

 

 

 

Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

A. \(\left[ {170;190} \right)\)	B. \(\left[ {160;180} \right)\)
C. \(\left[ {130;150} \right)\)	D. \(\left[ {180;200} \right)\)

Phương pháp

Gọi\(n\) là cỡ mẫu.

Giả sử nhóm \(\left[ {{u_m};{u_{m + 1}}} \right)\) chứa trung vị;

\({n_m}\) là tần số của nhóm chứa trung vị;

\(C = {n_1} + {n_2} + \ldots + {n_{m - 1}}\).
Khi đó \({M_e} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{2} - C}}{{{n_m}}} \cdot \left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right)\)

Lời giải

Gọi \({x_1};{x_2}, \ldots ,{x_{25}}\) là cân nặng của 25 quả bơ xếp theo thứ tự không giảm.
Do \({x_1} \in \left[ {150;155} \right);{x_2}, \ldots ,{x_8} \in \left[ {155;160} \right);{x_9}, \ldots ,{x_{20}} \in \left[ {160;165} \right)\) nên trung vị của mẫu số liệu \({x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{25}}\) là \({x_{13}} \in \left[ {160;165} \right)\).
Ta xác định được \(n = 25,{n_m} = 12,C = 1 + 7 = 8,{u_m} = 160,{u_{m + 1}} = 165\).
Vậy trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là

\({M_e} = 160 + \frac{{\frac{{25}}{2} - 8}}{{12}} \cdot \left( {165 - 160} \right) = 161,875\)

Đáp án B

 

Phần tự luận.

Bài 1.

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất : \(y = 2\cos x + \cos 2x - 8\) với \(x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\,\frac{\pi }{4}} \right]\).

Phương pháp

B1: Đặt ẩn phụ và tìm điều kiện của ẩn

B2: Lập bảng biến thiên, khảo sát hàm số rồi kết luận

Lời giải

Ta có: \(y = 2\cos x + 2{\cos ^2}x - 1 - 8 = 2{\cos ^2}x + 2\cos x - 9\)

Đặt \(cosx = t\), với \(x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{4}} \right]\) thì \(t \in \left[ {0\,;\,1} \right]\), hàm số có dạng: \(y = 2{t^2} + 2t - 9\).

Xét hàm số \(y = 2{t^2} + 2t - 9\) trên \(\left[ {0\,;\,1} \right]\) có BBT như sau:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng \( - 9\) khi và chỉ khi \(t = 0\) tức \({\rm{cos}}x = 0\)\( \Leftrightarrow \)\(x = \frac{\pi }{2} + k\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\).

Giá trị lớn nhất của hàm số bằng \( - 5\) khi và chỉ khi \(t = 1\) tức là \(cosx = 1\)\( \Leftrightarrow \)\(x = k2\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\).

Bài 2.

a) Giải phương trình \(\sin \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right) = \sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right)\)

b) Tìm nghiệm của phương trình \(\sin x = - \frac{1}{2}\) trên khoảng \((0;\pi )\).

c) Giải phương trình sau: \(\sin 4x + \cos 3x - \cos x = 0\).

Phương pháp

a)

- Trường hợp \(\left| m \right| > 1\), phương trình vô nghiệm.

- Trường hợp \(\left| m \right| \le 1\), tồn tại duy nhất một số \(\alpha \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) thỏa mãn \(\sin \alpha = m\). Ta có

\(\sin x = \sin \alpha \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

b) Áp dụng các công thức giải phương trình lượng giác cơ bản rồi kết hợp điều kiện đã cho để chọn nghiệm thỏa mãn.

c) Sử dụng công thức biến tổng thành tính để làm xuất hiện nhân tử chung: \(\cos a - \cos b = - 2\sin \frac{{a + b}}{2}\sin \frac{{a - b}}{2}\) và công thức nhân đôi\(\sin 2x = 2\sin x\cos x\).

Lời giải

a) Ta có \(\sin \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right) = \sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + \frac{\pi }{2} = x - \frac{\pi }{3} + k2\pi \\2x + \frac{\pi }{2} = \pi - \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{{18}} + \frac{{k2\pi }}{3}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

b) Ta có \(\sin x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Theo đề bài:

\(0 < - \frac{\pi }{6} + k2\pi < \pi \Leftrightarrow \frac{1}{{12}} < k < \frac{7}{{12}} \Rightarrow \)không tồn tại \(k\).

\(0 < \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi < \pi \Leftrightarrow - \frac{7}{{12}} < k < - \frac{1}{{12}} \Rightarrow \)không tồn tại \(k\).

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

c) Ta có: \(\sin 4x + \cos 3x - \cos x = 0\)

\( \Leftrightarrow 2\sin 2x\cos 2x - 2\sin 2x\sin x = 0\)

\( \Leftrightarrow \sin 2x(\cos 2x - \sin x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 2x = 0\\\cos 2x = \sin x\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{k\pi }}{2}\\\cos 2x = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{k\pi }}{2}\\x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3}\\x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3}\\x = \frac{{k\pi }}{2}\end{array} \right.\).

Bài 3.

a) Trong một đợt quyên góp để ủng hộ học sinh vùng khó khăn. 40 học sinh lớp 11 của trường THPT X thực hiện kế hoạch quyên góp như sau: Ngày đầu tiên mỗi bạn quyên góp 2000 đồng, từ ngày thứ hai trở đi mỗi bạn quyên góp hơn ngày liền trước là 500 đồng. Hỏi sau bao nhiêu ngày thì số tiền quyên góp được là 9800000 đồng.

b) Đầu mùa thu hoạch sầu riêng, ông A đã bán cho người thứ nhất nửa số sầu riêng thu hoạch được và tặng thêm 1 quả, bán cho người thứ hai nửa số sầu riêng còn lại và tặng thêm 1 quả. Ông cứ tiếp tục cách bán như trên thì đến người thứ bảy số sầu riêng của ông được bán hết. Tính số sầu riêng mà ông A thu hoạch được.

Phương pháp

a) Cho một cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai \(d\).

Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\).

Khi đó : \({S_n} = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2}\) hoặc \({S_n} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + (n - 1)d} \right]}}{2} = n{u_1} + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}d\) .

b) Cho một cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội \(q\).

Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\).

Khi đó : \({S_n} = {u_1}.\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}},q \ne 1\).

Lời giải

a) Số tiền mỗi học sinh quyên góp theo từng ngày lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu \({u_1} = 2000\) và công sai \(d = 500\)

Do đó tổng số tiền mà 40 học sinh quyên góp được sau \(n\) ngày là \(40.\frac{n}{2}\left[ {2.2000 + \left( {n - 1} \right)500} \right] = 10000{n^2} + 70000n\)

Theo giả thiết ta có: \(10000{n^2} + 70000n = 9800000 \Leftrightarrow {n^2} + 7n - 980 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 28\\n = - 35\;\left( L \right)\end{array} \right.\)

Vậy số ngày cần quyên góp là 28 ngày

b) Gọi \(x\) là số quả sầu riêng mà ông A thu hoạch được

Khi đó số quả sầu riêng mà người thứ nhất mua và được tặng là: \(\frac{1}{2}x + 1 = \frac{{x + 2}}{2}\)

Số quả sầu riêng mà người thứ hai mua và được tặng là: \(\frac{1}{2}\left( {x - \frac{{x + 2}}{2}} \right) + 1 = \frac{{x + 2}}{{{2^2}}}\)

...

Số quả sầu riêng mà người thứ bảy mua và được tặng là: \(\frac{{x + 2}}{{{2^7}}}\)

 

Khi đó: \(\frac{{x + 2}}{2} + \frac{{x + 2}}{{{2^2}}} + ... + \frac{{x + 2}}{{{2^7}}} = x \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^7}}}} \right) = x\)

\( \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\frac{1}{2}.\frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^7}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = x \Leftrightarrow \frac{{127}}{{128}}\left( {x + 2} \right) = x \Leftrightarrow x = 254\)

Bài 4.

Thống kê điểm trung bình môn Toán của một số học sinh lớp 11 được cho ở bảng sau:

a) Tính số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm này.

b) Tìm tứ phân vị thứ nhất và tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm này.

Phương pháp

a) Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm kí hiệu là \(\bar x\).

\(\bar x = \frac{{{m_1}{x_1} + \ldots + {m_k}{x_k}}}{n}\)

trong đó, \(n = {m_1} + \ldots + {m_k}\) là cỡ mẫu và \({x_i} = \frac{{{a_i} + {a_{i + 1}}}}{2}\) (với \(i = 1, \ldots ,k\) ) là giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {{a_i};{a_{i + 1}}} \right)\)

b) Để tính tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa \({Q_1}\), giả sử đó là nhóm thứ \(p\) : \(\left[ {{a_p};{a_{p + 1}}} \right)\). Khi đó,

\({Q_1} = {a_p} + \frac{{\frac{n}{4} - \left( {{m_1} + \ldots + {m_{p - 1}}} \right)}}{{{m_p}}} \cdot \left( {{a_{p + 1}} - {a_p}} \right),\)

trong đó, \(n\) là cỡ mẫu, \({m_p}\) là tần số nhóm \(p\), với \(p = 1\) ta quy ước \({m_1} + \ldots + {m_{p - 1}} = 0\).

Để tịnh tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa \({Q_3}\). Giả sử đó là nhóm thứ \(p\) : \(\left[ {{a_p};{a_{p + 1}}} \right)\). Khi đó,

\({Q_3} = {a_p} + \frac{{\frac{{3n}}{4} - \left( {{m_1} + \ldots + {m_{p - 1}}} \right)}}{{{m_p}}} \cdot \left( {{a_{p + 1}} - {a_p}} \right),\)

trong đó, \(n\) là cỡ mẫu, \({m_p}\) là tần số nhóm \(p\), với \(p = 1\) ta quy ước \({m_1} + \ldots + {m_{p - 1}} = 0\).

Tứ phân vị thứ hai \({Q_2}\) chính là trung vị \({M_e}\).

Nhận xét. Ta cũng có thể xác định nhóm chứa tứ phân vi thứ \(r\) nhờ tính chất: có khoảng \(\left( {\frac{{r \cdot n}}{4}} \right)\) giá trị nhỏ hơn tứ phân vị này.

Lời giải

a) Số trung bình của mẫu số liệu xấp xỉ bằng:

\(\left( {6,75.8 + 7,25.10 + 7,75.16 + 8,25.24 + 8,75.13 + 9,25.7 + 9,75.4} \right):82 = 8,12\).

b) Gọi \({x_1};{x_2};{x_3}; \ldots ;{x_{85}}\) lần lượt là tần số theo thứ tự không gian.

Do \({x_1}, \ldots ,{x_8} \in \left[ {6,5;7} \right);{x_9}, \ldots ,{x_{18}} \in \left[ {7;7,5} \right);{x_{19}}, \ldots ,{x_{34}} \in \left[ {7,5;8} \right)\);\({x_{35}}, \ldots ,{x_{58}} \in \left[ {8;8,5} \right);{x_{59}}, \ldots ,{x_{71}} \in \left[ {8,5;9} \right); \ldots \).

Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{20}} + {x_{21}}} \right)\) thuộc nhóm \(\left[ {7,5;8} \right)\) nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là \({Q_1} = 7,5 + \frac{{\frac{{82}}{4} - 18}}{{16}}\left( {8 - 7,5} \right) = 7,58\)

 

Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{61}} + {x_{62}}} \right)\) thuộc nhóm \(\left[ {8,5;9} \right)\) nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là \({Q_3} = 8,5 + \frac{{\frac{{3.82}}{4} - 58}}{{13}}\left( {9 - 8,5} \right) = 8,63\)

Đề thi giữa kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức - Đề số 3

Đề bài

Phần trắc nghiệm (4 điểm)

Câu 1: Đường tròn lượng giác có bán kính bằng:

A. \(2\)	B. \(1\)
C. \(\frac{\pi }{2}\)	D. \(\pi \)

Câu 2: Cho \(\sin a = \frac{1}{3}\). Giá trị của biểu thức \(A = \frac{{\cot a - \tan a}}{{\tan a + 2\cot a}}\) bằng:

A. \(\frac{1}{9}\)	B. \(\frac{7}{9}\)
C. \(\frac{{17}}{{81}}\)	D. \(\frac{7}{{17}}\)

Câu 3: Trong các công thức sau, công thức nào đúng?

A. \(\sin \left( {a-b} \right) = \sin a.\cos b - \cos a.\sin b.\).	B. \(\cos \left( {a-b} \right) = \cos a.\cos b - \sin a.\sin b.\).
C. \(\sin \left( {a + b} \right) = \sin a.\cos b - \cos a.\sin b.\).	D. \(\cos \left( {a + b} \right) = \cos a.\cos b + \sin a.\sin b.\).

Câu 4: Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. \(\cos 2a = {\cos ^2}a - {\sin ^2}a\)	B. \(\cos 2a = {\cos ^2}a + {\sin ^2}a\)
C. \(\cos 2a = 2{\cos ^2}a + 1\)	D. \(\cos 2a = 2{\sin ^2}a - 1\)

Câu 5: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?

A. \(y = - 2\cos x\)	B. \(y = - 2\sin x\)
C. \(y = 2\sin \left( { - x} \right)\)	D. \(y = \sin x - \cos x\)

Câu 6: Hình nào dưới đây biểu diễn đồ thị hàm số \(y = f(x) = 2\sin 2x?\)

A.	B.
C.	D.

Câu 7: Nghiệm của phương trình \(\cos x = \frac{1}{2}\) là:

A. \(x = \pm \frac{\pi }{2} + k2\pi \)	B. \(x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \)
C. \(x = \pm \frac{\pi }{4} + k2\pi \)	D. \(x = \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi \)

Câu 8: Trên đoạn \(\left[ {0;2018\pi } \right]\), phương trình \(\sqrt 3 \cot x - 3 = 0\) có số nghiệm là :

A. \(2018.\)	B. \(6340.\)
C. \(2017.\)	D. \(6339.\)

Câu 9: Cho dãy số có các số hạng đầu là: \(\frac{1}{3};\,\frac{1}{{{3^2}}};\,\frac{1}{{{3^3}}};\,\frac{1}{{{3^4}}};\,\frac{1}{{{3^5}}};\,...\)Số hạng tổng quát của dãy số này là?

A. \({u_n} = \frac{1}{3}.\frac{1}{{{3^{n + 1}}}}\)	B. \({u_n} = \frac{1}{{{3^{n + 1}}}}\)
C. \({u_n} = \frac{1}{{{3^n}}}\)	D. \({u_n} = \frac{1}{{{3^{n - 1}}}}\)

Câu 10: Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_{n + 1}} = \frac{1}{3}\left( {{u_n} + 1} \right)\end{array} \right..\) Tìm số hạng \({u_4}.\)

A. \({u_4} = \frac{5}{9}.\)	B. \({u_4} = 1.\)
C. \({u_4} = \frac{2}{3}.\)	D. \({u_4} = \frac{{14}}{{27}}.\)

Câu 11: Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng?

A. \({u_n} = {3^n}\)	B. \({u_n} = {\left( { - 3} \right)^{n + 1}}\)
C. \({u_n} = 3n + 1\)	D. \({u_n} = {2^{n + 1}}\)

Câu 12: Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) và gọi \({S_n}\) là tổng \(n\) số hạng đầu tiên của nó. Biết \({u_{21}} = - 19\) và \({S_{22}} = 0\). Tìm số hạng tổng quát \({u_n}\) của cấp số cộng đó.

A. \({u_n} = 21 + 2n\)	B. \({u_n} = 21 - 2n\)
C. \({u_n} = 23 - 2n\)	D. \({u_n} = 23 + 2n\)

Câu 13: Hùng đang tiết kiệm để mua một cây đàn piano có giá 142 triệu đồng. Trong tháng đầu tiên, anh ta để dành được 20 triệu đồng. Mỗi tháng tiếp theo anh ta để dành được 3 triệu đồng và đưa số tiền tiết kiệm của mình. Hỏi ít nhất vào tháng thứ bao nhiêu thì Hùng mới có đủ tiền để mua cây đàn piano đó?

A. \(43\)	B. \(41\)
C. \(40\)	D. \(42\)

Câu 14: Trong các dãy số cho dưới đây, dãy số nào là cấp số nhân?

A. \(1;\,2;\,3;\,4;\,5\)	B. \(1;\,3;\,6;\,9;\,12\)
C. \(2;\,4;\,6;\,8;\,10\)	D. \(2;\,2;\,2;\,2;\,2\)

Câu 15: Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} = 2\) và \({u_6} = 486\). Công bội q bằng

A. \(q = 3\)	B. \(q = 5\)
C. \(q = \frac{3}{2}\)	D. \(q = \frac{2}{3}\)

Câu 16: Cho \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân, đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\). Biết \({S_2} = 4;\,{S_3} = 13\)và \({u_2} < 0\), giá trị \({S_5}\) bằng

A. \(2\)	B. \(\frac{{181}}{{16}}\)
C. \(\frac{{35}}{{16}}\)	D. \(121\)

Câu 17: Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian (phút) đi từ nhà đến nơi làm việc của các nhân viên một công ty như sau:

Có bao nhiêu nhân viên có thời gian đi từ nhà đến nơi làm việc là từ 15 phút đến dưới 20 phút?

A. 6	B. \(9\)
C. 14	D. 13

Câu 18: Cho mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Với \(n = {m_1} + {m_2} + ... + {m_k}\) là cỡ mẫu và \({x_i} = \frac{{{a_i} + {a_{i + 1}}}}{2}\) (\(i = 1,...k\)) là giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {{a_i};{a_{i + 1}}} \right)\). Khi đó công thức tính số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:

A. \(\bar x = \frac{n}{{{m_1}{x_1} + \ldots + {m_k}{x_k}}}\)	B. \(\bar x = \frac{{\left( {{m_1}{x_1}} \right) \ldots \left( {{m_k}{x_k}} \right)}}{n}\)
C. \(\bar x = \frac{{{m_1}{x_1} - \ldots - {m_k}{x_k}}}{n}\)	D. \(\bar x = \frac{{{m_1}{x_1} + \ldots + {m_k}{x_k}}}{n}\)

Câu 19: Thời gian luyện tập trong một ngày (tính theo giờ) của một số vận động viên được ghi lại ở bảng sau:

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu trên gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau?

A. 3	B. 4
C. 7	D. 5

Câu 20: Trong một hội thao, thời gian chạy \(200{\rm{\;m}}\) của một nhóm các vận động viên được ghi lại ở bảng sau:

Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

A. \(\left[ {20;30} \right)\)	B. \(\left[ {30;40} \right)\)
C. \(\left[ {50;60} \right)\)	D. \(\left[ {60;70} \right)\)

 

Phần tự luận (6 điểm)

Bài 1. (1 điểm)

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất : \(y = {\tan ^2}x - \tan x + 1\) với \(x \in \left[ { - \frac{\pi }{4};\,\frac{\pi }{4}} \right]\).

Bài 2. (1,5 điểm)

a) Giải phương trình \(\cot \;x = \sqrt 3 \)

b) Trong khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\), phương trình \(\cos 4x + \sin x = 0\) có tập nghiệm là \(S\). Tìm S.

c) Giải phương trình \(\frac{3}{2} - 3cos4x = 6sinx.sin3x\).

Bài 3. (2 điểm)

a) Một cơ sở khoan giếng đưa ra định mức giá như sau : Giá từ mét khoan đầu tiên là \(100000\) đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá mỗi mét tăng thêm \(30000\) đồng so với giá của mét khoan ngay trước đó. Một người muốn kí hợp đồng với cơ sở khoan giếng này để khoan giếng sâu \(20\) mét lấy nước dùng cho sinh hoạt gia đình. Hỏi sau khi hoàn thành việc khoan giếng, gia đình đó phải thanh toán cho cơ sở khoan giếng số tiền bằng bao nhiêu?

b) Cho cấp số nhân \(\left( {{x_n}} \right)\) có \({x_2} = - 3\) và \({x_4} = - 27.\) Tính số hạng đầu \({x_1}\) và công bội \(q\) của cấp số nhân

Bài 4. (1,5 điểm)

Một người thống kê lại thời gian thực hiện các cuộc gọi điện thoại của người đó trong một tuần ở bảng sau:

a) Tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm này.

b) Tìm tứ phân vị thứ nhất và tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm này.

---- Hết ----

Lời giải chi tiết

Phần trắc nghiệm (4 điểm)

 

Câu 1: Đường tròn lượng giác có bán kính bằng:

A. \(2\)	B. \(1\)
C. \(\frac{\pi }{2}\)	D. \(\pi \)

Phương pháp

Đường tròn lượng giác có bán kính bằng 1.

Lời giải

Đường tròn lượng giác có bán kính bằng 1.

Đáp án B

Câu 2: Cho \(\sin a = \frac{1}{3}\). Giá trị của biểu thức \(A = \frac{{\cot a - \tan a}}{{\tan a + 2\cot a}}\) bằng:

A. \(\frac{1}{9}\)	B. \(\frac{7}{9}\)
C. \(\frac{{17}}{{81}}\)	D. \(\frac{7}{{17}}\)

Phương pháp

B1: Biến đổi biểu thức A để xuất hiện giả thiết .

B2: Thay \(\sin a = \frac{1}{3}\) vào biểu thức A sau đó rút gọn.

Lời giải

Ta có: \(A = \frac{{\cot a - \tan a}}{{\tan a + 2\cot a}} = \frac{{\frac{{\cos a}}{{\sin a}} - \frac{{\sin a}}{{\cos a}}}}{{\frac{{\sin a}}{{\cos a}} + 2\frac{{\cos a}}{{\sin a}}}} = \frac{{{{\cos }^2}a - {{\sin }^2}a}}{{{{\sin }^2}a + 2{{\cos }^2}a}}\)\( = \frac{{\left( {1 - {{\sin }^2}a} \right) - {{\sin }^2}a}}{{{{\sin }^2}a + 2\left( {1 - {{\sin }^2}a} \right)}} = \frac{{1 - 2{{\sin }^2}a}}{{2 - {{\sin }^2}a}} = \frac{7}{{17}}\).

Đáp án D

Câu 3: Trong các công thức sau, công thức nào đúng?

A. \(\sin \left( {a-b} \right) = \sin a.\cos b - \cos a.\sin b.\).	B. \(\cos \left( {a-b} \right) = \cos a.\cos b - \sin a.\sin b.\).
C. \(\sin \left( {a + b} \right) = \sin a.\cos b - \cos a.\sin b.\).	D. \(\cos \left( {a + b} \right) = \cos a.\cos b + \sin a.\sin b.\).

Phương pháp

Sử dụng công thức cộng.

Lời giải

Ta có: \(\sin \left( {a-b} \right) = \sin a.\cos b - \cos a.\sin b.\).

Đáp án A

Câu 4: Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. \(\cos 2a = {\cos ^2}a - {\sin ^2}a\)	B. \(\cos 2a = {\cos ^2}a + {\sin ^2}a\)
C. \(\cos 2a = 2{\cos ^2}a + 1\)	D. \(\cos 2a = 2{\sin ^2}a - 1\)

Phương pháp

Áp dụng công thức nhân đôi

Lời giải

Ta có: \(\cos 2a = {\cos ^2}a - {\sin ^2}a = 2{\cos ^2}a - 1 = 1 - 2{\sin ^2}a\).

Đáp án A

Câu 5: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?

A. \(y = - 2\cos x\)	B. \(y = - 2\sin x\)
C. \(y = 2\sin \left( { - x} \right)\)	D. \(y = \sin x - \cos x\)

Phương pháp

Để xét tính chẵn – lẻ của hàm số, ta làm như sau:

Bước 1: Tìm tập xác định \(D\) của hàm số, khi đó:

- Nếu \(D\) là tập đối xứng (tức \(\forall x \in D \Rightarrow - x \in D\)), thì ta thực hiện tiếp bước 2.

- Nếu \(D\) không phải tập đối xứng (tức là \(\exists x \in D\) mà \( - x \notin D\)) thì ta kết luận hàm số không chẵn không lẻ.

Bước 2: Xác định \(f\left( { - x} \right)\):

- Nếu \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right),\forall x \in D\) thì kết luận hàm số là hàm số chẵn.

- Nếu \(f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right),\forall x \in D\) thì kết luận hàm số là hàm số lẻ.

- Nếu không thỏa mãn một trong hai điều kiện trên thì kết luận hàm số không chẵn không lẻ.

Lời giải

Xét đáp án A:

Do tập xác định \(D = \mathbb{R}\) nên \(\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow - x \in \mathbb{R}\).

Ta có: \(f\left( { - x} \right) = - 2\cos \left( { - x} \right) = - 2\cos x = f\left( x \right)\).

Vậy hàm số \(y = - 2\cos x\) là hàm số chẵn.

Đáp án A

Câu 6: Hình nào dưới đây biểu diễn đồ thị hàm số \(y = f(x) = 2\sin 2x?\)

A.	B.
C.	D.

Phương pháp

Dựa vào các điểm đặc biết của đồ thị để nhận biết hàm số.

Lời giải

Ta thấy \( - 2 \le 2\sin 2x \le 2\) nên ta có loại A và B.

Tiếp theo với C và D ta có :

Ta thấy với \(x = 0\) thì \(y = 0\) nên đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ.

Từ đây ta chọn đáp án C.

Đáp án C

Câu 7: Nghiệm của phương trình \(\cos x = \frac{1}{2}\) là:

A. \(x = \pm \frac{\pi }{2} + k2\pi \)	B. \(x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \)
C. \(x = \pm \frac{\pi }{4} + k2\pi \)	D. \(x = \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi \)

Phương pháp

- Trường hợp \(\left| m \right| > 1\) phương trình vô nghiệm.

- Trường hợp \(\left| m \right| \le 1\), khi đó: Tồn tại duy nhất một số thực \(\alpha \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) sao cho \(\cos \alpha = m\).

Ta có : \(\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = - \alpha + k2\pi \end{array} \right.,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Lời giải

Ta có: \(\cos x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos x = \cos \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{3} + k2\pi }\\{x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi }\end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Đáp án B

Câu 8: Trên đoạn \(\left[ {0;2018\pi } \right]\), phương trình \(\sqrt 3 \cot x - 3 = 0\) có số nghiệm là :

A. \(2018.\)	B. \(6340.\)
C. \(2017.\)	D. \(6339.\)

Phương pháp

Áp dụng các công thức giải phương trình lượng giác cơ bản rồi kết hợp điều kiện đã cho để chọn nghiệm thỏa mãn.

Lời giải

Ta có : \(\cot x = \sqrt 3 \Leftrightarrow \cot x = \cot \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)

Theo giả thiết, ta có $0\le \frac{\pi }{6}+k\pi \le 2018\pi \xrightarrow{\text{xap xi}}-\frac{1}{6}\le k\le 2017,833$.

$3\xrightarrow{k\in \mathbb{Z}}k\in \left\{ 0;1;...;2017 \right\}$. 

Vậy có tất cả \(2018\) giá trị nguyên của \(k\) tương ứng với có \(2018\) nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án A

Câu 9: Cho dãy số có các số hạng đầu là: \(\frac{1}{3};\,\frac{1}{{{3^2}}};\,\frac{1}{{{3^3}}};\,\frac{1}{{{3^4}}};\,\frac{1}{{{3^5}}};\,...\)Số hạng tổng quát của dãy số này là?

A. \({u_n} = \frac{1}{3}.\frac{1}{{{3^{n + 1}}}}\)	B. \({u_n} = \frac{1}{{{3^{n + 1}}}}\)
C. \({u_n} = \frac{1}{{{3^n}}}\)	D. \({u_n} = \frac{1}{{{3^{n - 1}}}}\)

Phương pháp

Tìm tính chất chung của các số trong dãy số rồi dự đoán công thức tổng quát.

Lời giải

Từ các số hạng đầu tiên của dãy số ta dự đoán \({u_n} = \frac{1}{{{3^n}}},\,n \in {\mathbb{N}^*}\).

Đáp án C

Câu 10: Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_{n + 1}} = \frac{1}{3}\left( {{u_n} + 1} \right)\end{array} \right..\) Tìm số hạng \({u_4}.\)

A. \({u_4} = \frac{5}{9}.\)	B. \({u_4} = 1.\)
C. \({u_4} = \frac{2}{3}.\)	D. \({u_4} = \frac{{14}}{{27}}.\)

Phương pháp

Tính lần lượt \({u_2},{u_3},{u_4}\) theo bằng cách thay lần lượt \(n = 1,2,3\) vào công thức truy hồi của dãy số.

Lời giải

Ta có:

\({u_2} = \frac{1}{3}\left( {{u_1} + 1} \right) = \frac{1}{3}\left( {2 + 1} \right) = 1\).

\({u_3} = \frac{1}{3}\left( {{u_2} + 1} \right) = \frac{1}{3}\left( {1 + 1} \right) = \frac{2}{3}\).

\({u_4} = \frac{1}{3}\left( {{u_3} + 1} \right) = \frac{1}{3}\left( {\frac{2}{3} + 1} \right) = \frac{5}{9}\).

Vậy \({u_4} = \frac{5}{9}\).

Đáp án A

Câu 11: Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng?

A. \({u_n} = {3^n}\)	B. \({u_n} = {\left( { - 3} \right)^{n + 1}}\)
C. \({u_n} = 3n + 1\)	D. \({u_n} = {2^{n + 1}}\)

Phương pháp

Để chứng minh dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng, ta xét \(A = {u_{n + 1}} - {u_n}\)

\( \bullet \) Nếu \(A\) là hằng số thì \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng với công sai \(d = A\).

\( \bullet \) Nếu \(A\) phụ thuộc vào \(n\) thì \(\left( {{u_n}} \right)\) không là cấp số cộng.

Lời giải

Ta có:

Xét đáp án A: \({u_{n + 1}} - {u_n} = {3^{n + 1}} - {3^n} = {2.3^n}\left( {\forall n \in {{\rm N}^*}} \right)\) nên \({u_n} = {3^n}\) không phải là cấp số cộng.

Xét đáp án B: \({u_{n + 1}} - {u_n} = {\left( { - 3} \right)^{n + 1}} - {\left( { - 3} \right)^n} = - 4.{\left( { - 3} \right)^n}\left( {\forall n \in {{\rm N}^*}} \right)\) nên \({u_n} = {\left( { - 3} \right)^{n + 1}}\) không phải là cấp số cộng.

Xét đáp án C: \({u_{n + 1}} - {u_n} = \left[ {3\left( {n + 1} \right) + 1} \right] - \left( {3n + 1} \right) = 3\left( {\forall n \in {{\rm N}^*}} \right)\) không đổi, nên \({u_n} = 3n + 1\) là cấp số cộng.

Xét đáp án D: \({u_{n + 1}} - {u_n} = {2^{n + 2}} - {2^{n + 1}} = {2^{n + 1}}\left( {\forall n \in {{\rm N}^*}} \right)\) nên \({u_n} = {2^{n + 1}}\) không phải là cấp số cộng.

Đáp án C

Câu 12: Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) và gọi \({S_n}\) là tổng \(n\) số hạng đầu tiên của nó. Biết \({u_{21}} = - 19\) và \({S_{22}} = 0\). Tìm số hạng tổng quát \({u_n}\) của cấp số cộng đó.

A. \({u_n} = 21 + 2n\)	B. \({u_n} = 21 - 2n\)
C. \({u_n} = 23 - 2n\)	D. \({u_n} = 23 + 2n\)

Phương pháp

Dựa vào giả thuyết, ta lập một hệ phương trình chứa công sai d và số hạng đầu \({u_1}\), giải hệ phương trình này tìm được d và \({u_1}\).

Lời giải

Giả sử cấp số cộng có số hạng đầu là \({u_1}\) và công sai \(d\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_{21}} = - 19\\{S_{22}} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_{21}} = {u_1} + 20d\\{S_{22}} = 22{u_1} + \frac{{22.21d}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 20d = - 19\\2{u_1} + 21d = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 21\\d = - 2\end{array} \right.\).

Khi đó: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 21 - 2\left( {n - 1} \right) = 23 - 2n\).

Đáp án C

Câu 13: Hùng đang tiết kiệm để mua một cây đàn piano có giá 142 triệu đồng. Trong tháng đầu tiên, anh ta để dành được 20 triệu đồng. Mỗi tháng tiếp theo anh ta để dành được 3 triệu đồng và đưa số tiền tiết kiệm của mình. Hỏi ít nhất vào tháng thứ bao nhiêu thì Hùng mới có đủ tiền để mua cây đàn piano đó?

A. \(43\)	B. \(41\)
C. \(40\)	D. \(42\)

Phương pháp

Cho một cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai \(d\).

Khi đó : \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\)

Lời giải

Tổng số tiền Hùng tiết kiệm được vào mỗi tháng lập thành một cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} = 20\) và công sai \(d = 3\).

Tổng số tiền Hùng tiết kiệm được vào tháng thứ \(n\) bằng: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 20 + \left( {n - 1} \right).3 = 3n + 17\).

Hùng có đủ tiền mua cây đàn \({u_n} \ge 142 \Leftrightarrow 3n + 17 \ge 142\) \( \Leftrightarrow n \ge \frac{{125}}{3} \approx 41,67\).

Vậy ít nhất vào tháng thứ 42 thì Hùng mới có đủ tiền để mua cây đàn piano đó.

Đáp án D

Câu 14: Trong các dãy số cho dưới đây, dãy số nào là cấp số nhân?

A. \(1;\,2;\,3;\,4;\,5\)	B. \(1;\,3;\,6;\,9;\,12\)
C. \(2;\,4;\,6;\,8;\,10\)	D. \(2;\,2;\,2;\,2;\,2\)

Phương pháp

Chứng minh \(\forall n \ge 1,{u_{n + 1}} = {u_n}.q\) trong đó \(q\) là một số không đổi.

Nếu \({u_n} \ne 0\) với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\) thì ta lập tỉ số \(T = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\).

\( * \) T là hằng số thì \(({u_n})\) là cấp số nhân có công bội \(q = T\).

\( * \) T phụ thuộc vào n thì \(({u_n})\) không là cấp số nhân.

Lời giải

Ta thấy ở đáp án D có \({u_1} = {u_2} = {u_3} = {u_4} = {u_5} = 2\) nên đây là cấp số nhân với công bội \(q = 1\).

Đáp án D

Câu 15: Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} = 2\) và \({u_6} = 486\). Công bội q bằng

A. \(q = 3\)	B. \(q = 5\)
C. \(q = \frac{3}{2}\)	D. \(q = \frac{2}{3}\)

Phương pháp

Dựa vào giả thuyết, ta lập một hệ phương trình chứa công bội q và số hạng đầu \({u_1}\), giải hệ phương trình này tìm được q và \({u_1}\).

Lời giải

Theo đề ra ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_6} = 486\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\486 = {u_1}.{q^5}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow {q^5} = 243 = {3^5}\)\( \Rightarrow q = 3\).

Đáp án A

Câu 16: Cho \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân, đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\). Biết \({S_2} = 4;\,{S_3} = 13\)và \({u_2} < 0\), giá trị \({S_5}\) bằng

A. \(2\)	B. \(\frac{{181}}{{16}}\)
C. \(\frac{{35}}{{16}}\)	D. \(121\)

Phương pháp

Cho một cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội \(q\).

Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\).

Khi đó : \({S_n} = {u_1}.\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}},q \ne 1\).

Lời giải

Gọi \({u_1},q\) lần lượt là số hạng đầu tiên và công bội của cấp số nhân cần tìm.

Từ giả thiết ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{S_2} = 4\\{S_3} = 13\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\left( {1 + q} \right) = 4\\{u_1}\left( {1 + q + {q^2}} \right) = 13\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\left( {1 + q} \right) = 4\\\left[ \begin{array}{l}q = 3\\q = \frac{{ - 3}}{4}\end{array} \right.\end{array} \right.\).

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}{u_2} < 0\\{u_3} = {S_3} - {S_2} = 9 > 0\end{array} \right. \Rightarrow q = \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}} < 0\) nên cấp số nhân cần tìm có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 16\\q = - \frac{3}{4}\end{array} \right.\).

Do đó \({S_5} = {u_1}\left( {\frac{{1 - {q^5}}}{{1 - q}}} \right) = \frac{{181}}{{16}}\).

Đáp án B

Câu 17: Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian (phút) đi từ nhà đến nơi làm việc của các nhân viên một công ty như sau:

Có bao nhiêu nhân viên có thời gian đi từ nhà đến nơi làm việc là từ 15 phút đến dưới 20 phút?

A. 6	B. \(9\)
C. 14	D. 13

Phương pháp

Đọc bảng số liệu.

Lời giải

Có 6 nhân viên có thời gian đi từ nhà đến nơi làm việc là từ 15 phút đến dưới 20 phút.

Đáp án A

Câu 18: Cho mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Với \(n = {m_1} + {m_2} + ... + {m_k}\) là cỡ mẫu và \({x_i} = \frac{{{a_i} + {a_{i + 1}}}}{2}\) (\(i = 1,...k\)) là giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {{a_i};{a_{i + 1}}} \right)\). Khi đó công thức tính số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:

A. \(\bar x = \frac{n}{{{m_1}{x_1} + \ldots + {m_k}{x_k}}}\)	B. \(\bar x = \frac{{\left( {{m_1}{x_1}} \right) \ldots \left( {{m_k}{x_k}} \right)}}{n}\)
C. \(\bar x = \frac{{{m_1}{x_1} - \ldots - {m_k}{x_k}}}{n}\)	D. \(\bar x = \frac{{{m_1}{x_1} + \ldots + {m_k}{x_k}}}{n}\)

Phương pháp

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm kí hiệu là \(\bar x\).

\(\bar x = \frac{{{m_1}{x_1} + \ldots + {m_k}{x_k}}}{n}\)

trong đó, \(n = {m_1} + \ldots + {m_k}\) là cỡ mẫu và \({x_i} = \frac{{{a_i} + {a_{i + 1}}}}{2}\) (với \(i = 1, \ldots ,k\) ) là giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {{a_i};{a_{i + 1}}} \right)\).

Lời giải

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm kí hiệu là \(\bar x\).

\(\bar x = \frac{{{m_1}{x_1} + \ldots + {m_k}{x_k}}}{n}\)

Đáp án D

Câu 19: Thời gian luyện tập trong một ngày (tính theo giờ) của một số vận động viên được ghi lại ở bảng sau:

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu trên gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau?

A. 3	B. 4
C. 7	D. 5

Phương pháp

Để tính tứ phân vị thứ nhất \({Q_3}\) của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa \({Q_3}\), giả sử đó là nhóm thứ \(p\) : \(\left[ {{a_p};{a_{p + 1}}} \right)\). Khi đó,

\({Q_3} = {a_p} + \frac{{\frac{{3n}}{4} - \left( {{m_1} + \ldots + {m_{p - 1}}} \right)}}{{{m_p}}} \cdot \left( {{a_{p + 1}} - {a_p}} \right),\)

trong đó, \(n\) là cỡ mẫu, \({m_p}\) là tần số nhóm \(p\), với \(p = 1\) ta quy ước \({m_1} + \ldots + {m_{p - 1}} = 0\).

Lời giải

Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu \({x_1};{x_2}, \ldots ,{x_{39}}\) là \({x_{30}} \in \left[ {6;8} \right)\). Do đó tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là

\({Q_3} = 6 + \frac{{\frac{{3.39}}{4} - \left( {3 + 8 + 12} \right)}}{{12}} \cdot \left( {8 - 6} \right) = \frac{{169}}{{24}} \approx 7,042\)

Đáp án C

Câu 20: Trong một hội thao, thời gian chạy \(200{\rm{\;m}}\) của một nhóm các vận động viên được ghi lại ở bảng sau:

Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

A. \(\left[ {20;30} \right)\)	B. \(\left[ {30;40} \right)\)
C. \(\left[ {50;60} \right)\)	D. \(\left[ {60;70} \right)\)

Phương pháp

• Gọi\(n\) là cỡ mẫu.
• Giả sử nhóm \(\left[ {{u_m};{u_{m + 1}}} \right)\) chứa trung vị;
• \({n_m}\) là tần số của nhóm chứa trung vị;
• \(C = {n_1} + {n_2} + \ldots + {n_{m - 1}}\).
  Khi đó \({M_e} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{2} - C}}{{{n_m}}} \cdot \left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right)\)

Lời giải

Số vận động viên tham gia chạy là: \(n = 5 + 12 + 32 + 45 + 30 = 124\)
Gọi \({x_1};{x_2};{x_3}; \ldots ;{x_{124}}\) lần lượt là thời gian chạy của các vận động viên theo thứ tự từ nhỏ đến lớn
Do \({x_1}, \ldots ,{x_5} \in \left[ {21;21,5} \right);{x_6}, \ldots ,{x_{17}} \in \left[ {21,5;22} \right)\)
\({x_{18}}, \ldots ,{x_{49}} \in \left[ {22;22,5} \right);{x_{50}}, \ldots ,{x_{94}} \in \left[ {22,5;23} \right); \ldots \) nên trung vị của mẫu số liệu thuộc nhóm \(\left[ {22,5;23} \right)\)
Ta có: \(n = 124;{n_m} = 45;C = 5 + 12 + 32 = 49;{u_m} = 22,5;{u_{m + 1}} = 23\)
Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\({M_e} = 22,5 + \frac{{\frac{{124}}{2} - 49}}{{124}} \cdot \left( {23 - 22,5} \right) = 22,55\)

Đáp án A

 

Phần tự luận.

Bài 1.

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất : \(y = {\tan ^2}x - \tan x + 1\) với \(x \in \left[ { - \frac{\pi }{4};\,\frac{\pi }{4}} \right]\).

Phương pháp

B1: Đặt ẩn phụ và tìm điều kiện của ẩn

B2: Lập bảng biến thiên, khảo sát hàm số rồi kết luận

Lời giải

Đặt \(tanx = t\), \(t \in \left[ { - 1\,;\,1} \right]\), hàm số có dạng: \(y = {t^2} - t + 1\).

Xét hàm số \(y = {t^2} - t + 1\) trên \(\left[ { - 1\,;\,1} \right]\) có BBT như sau:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng \(\frac{3}{4}\) khi và chỉ khi \(t = \frac{1}{2}\) tức \(tanx = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow \)\(x = \arctan \left( {\frac{1}{2}} \right) + k\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\).

Giá trị lớn nhất của hàm số bằng \(3\) khi và chỉ khi \(t = - 1\) tức là \(tanx = - 1\)\( \Leftrightarrow \)\(x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\).

Bài 2.

a) Giải phương trình \(\cot \;x = \sqrt 3 \)

b) Trong khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\), phương trình \(\cos 4x + \sin x = 0\) có tập nghiệm là \(S\). Tìm S.

c) Giải phương trình \(\frac{3}{2} - 3cos4x = 6sinx.sin3x\).

Phương pháp

a) Ta có: \(\cot x = m\,\)\( \Leftrightarrow \cot x = \cot \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

b) Áp dụng các công thức giải phương trình lượng giác cơ bản rồi kết hợp điều kiện đã cho để chọn nghiệm thỏa mãn.

c) Sử dụng công thức biến tích thành tổng để rút gọn phương trình: \(\sin a.\sin b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a - b} \right) - \cos \left( {a + b} \right)} \right]\).

Lời giải

a) Ta có: \(\cot x = \sqrt 3 \)\( \Leftrightarrow \cot x = \cot \;\frac{\pi }{6}\)\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\pi \;\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)\( \Leftrightarrow x = \frac{{ - 5\pi }}{6} + k\pi \;\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

b) Ta có \(\cos 4x + \sin x = 0 \Leftrightarrow {\rm{cos}}4x = - \sin x \Leftrightarrow {\rm{cos}}4x = \sin \left( { - x} \right) \Leftrightarrow {\rm{cos}}4x = {\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{2} + x} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x = \frac{\pi }{2} + x + k2\pi \\4x = - \frac{\pi }{2} - x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k\frac{{2\pi }}{3}\\x = - \frac{\pi }{{10}} + k\frac{{2\pi }}{5}\end{array} \right.\), \(k \in \mathbb{Z}\).

Vì \(x \in \left( {0;\pi } \right)\) nên \(S = \left\{ {\frac{\pi }{6};\frac{{5\pi }}{6};\frac{{3\pi }}{{10}};\frac{{7\pi }}{{10}}} \right\}\).

c) Ta có: \(\frac{3}{2} - 3cos4x = 6sinx.sin3x\)

\( \Leftrightarrow \frac{3}{2} - 3\cos 4x = 3(\cos 2x - \cos 4x)\)

\( \Leftrightarrow 3\cos 2x = \frac{3}{2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \cos 2x = \frac{1}{2}\,\\ \Leftrightarrow {\mathop{\rm x}\nolimits} = \pm \frac{\pi }{6} + {\mathop{\rm k}\nolimits} \pi ,{\mathop{\rm k}\nolimits} \in \mathbb{Z}\,\end{array}\).

Bài 3.

a) Một cơ sở khoan giếng đưa ra định mức giá như sau : Giá từ mét khoan đầu tiên là \(100000\) đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá mỗi mét tăng thêm \(30000\) đồng so với giá của mét khoan ngay trước đó. Một người muốn kí hợp đồng với cơ sở khoan giếng này để khoan giếng sâu \(20\) mét lấy nước dùng cho sinh hoạt gia đình. Hỏi sau khi hoàn thành việc khoan giếng, gia đình đó phải thanh toán cho cơ sở khoan giếng số tiền bằng bao nhiêu?

b) Cho cấp số nhân \(\left( {{x_n}} \right)\) có \({x_2} = - 3\) và \({x_4} = - 27.\) Tính số hạng đầu \({x_1}\) và công bội \(q\) của cấp số nhân

Phương pháp

a) Cho một cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai \(d\).

Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\).

Khi đó : \({S_n} = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2}\) hoặc \({S_n} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + (n - 1)d} \right]}}{2} = n{u_1} + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}d\) .

b) Dựa vào giả thuyết, ta lập một hệ phương trình chứa công bội q và số hạng đầu \({u_1}\), giải hệ phương trình này tìm được q và \({u_1}\).

Lời giải

a) Giá tiền mỗi mét khoan giếng lập thành một cấp số cộng với

\({u_1} = 100000\) (số tiền mét khoan đầu tiên),

\({u_2} = {u_1} + 30000\) (số tiền mét khoan thứ hai),

\({u_3} = {u_2} + 30000 = {u_1} + 2.30000\) (số tiền mét khoan thứ ba)

…

\({u_{20}} = {u_{19}} + 30000 = {u_1} + 19.30000\) (số tiền mét khoan thứ 20),

và công sai \(d = 30000\).

Tổng chi phí cần phải thanh toán là:

\({S_{20}} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_{20}}\) \( = \frac{{20(2.10000 + 19.30000)}}{2}\)\( = 7700000\).

b) Ta có : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_2} = - 3}\\{{x_4} = - 27.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1}q = - 3}\\{{x_1}{q^3} = - 27.}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{q^2} = 9}\\{{x_1} = - \frac{3}{q}.}\end{array}} \right.} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{q = \pm 3}\\{{x_1} = \mp 1.}\end{array}} \right.\).

Vậy dãy số có \({x_1} = - 1,q = 3\) hoặc \({x_1} = 1,q = - 3.\)

Bài 4.

Một người thống kê lại thời gian thực hiện các cuộc gọi điện thoại của người đó trong một tuần ở bảng sau:

a) Tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm này.

b) Tìm tứ phân vị thứ nhất và tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm này.

Phương pháp

a) Để tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm, ta làm như sau:

Bước 1. Xác định nhóm chứa trung vị. Giả sử đó là nhóm thứ \(p\) : \(\left[ {{a_p};{a_{p + 1}}} \right)\).

Bước 2. Trung vị là \({M_e} = {a_p} + \frac{{\frac{n}{2} - \left( {{m_1} + \ldots + {m_{p - 1}}} \right)}}{{{m_p}}} \cdot \left( {{a_{p + 1}} - {a_p}} \right)\),

trong đó \(n\) là cỡ mẫu, \({m_p}\) là tần số nhóm \(p\). Với \(p = 1\), ta quy ước \({m_1} + \ldots + {m_{p - 1}} = 0\).

b) Để tính tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa \({Q_1}\), giả sử đó là nhóm thứ \(p\) : \(\left[ {{a_p};{a_{p + 1}}} \right)\). Khi đó,

\({Q_1} = {a_p} + \frac{{\frac{n}{4} - \left( {{m_1} + \ldots + {m_{p - 1}}} \right)}}{{{m_p}}} \cdot \left( {{a_{p + 1}} - {a_p}} \right),\)

trong đó, \(n\) là cỡ mẫu, \({m_p}\) là tần số nhóm \(p\), với \(p = 1\) ta quy ước \({m_1} + \ldots + {m_{p - 1}} = 0\).

Để tịnh tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa \({Q_3}\). Giả sử đó là nhóm thứ \(p\) : \(\left[ {{a_p};{a_{p + 1}}} \right)\). Khi đó,

\({Q_3} = {a_p} + \frac{{\frac{{3n}}{4} - \left( {{m_1} + \ldots + {m_{p - 1}}} \right)}}{{{m_p}}} \cdot \left( {{a_{p + 1}} - {a_p}} \right),\)

trong đó, \(n\) là cỡ mẫu, \({m_p}\) là tần số nhóm \(p\), với \(p = 1\) ta quy ước \({m_1} + \ldots + {m_{p - 1}} = 0\).

Tứ phân vị thứ hai \({Q_2}\) chính là trung vị \({M_e}\).

Nhận xét. Ta cũng có thể xác định nhóm chứa tứ phân vi thứ \(r\) nhờ tính chất: có khoảng \(\left( {\frac{{r \cdot n}}{4}} \right)\) giá trị nhỏ hơn tứ phân vị này.

Lời giải

a) Số lần thực hiện cuộc gọi là: \({\rm{n}} = 8 + 10 + 7 + 5 + 2 + 1 = 33\).
Gọi \({x_1};{x_2};{x_3}; \ldots ;{x_{33}}\) lần lượt là thời gian thực hiện cuộc gọi theo thứ tự không gian.
Do \({x_1}, \ldots ,{x_8} \in \left[ {0;60} \right);{x_9}, \ldots ,{x_{18}} \in \left[ {60;120} \right);{x_{19}}, \ldots ,{x_{25}} \in \left[ {120;180} \right)\) \({x_{26}}, \ldots ,{x_{30}} \in \left[ {180;240} \right); \ldots \)

Trung vị của dãy số liệu là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{16}} + {x_{17}}} \right)\) thuộc nhóm \(\left[ {60;120} \right)\)nên tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là

\({Q_2} = 60 + \frac{{\frac{{33}}{2} - 8}}{{10}}\left( {120 - 60} \right) = 111\).

b) Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{16}} + {x_{17}}} \right)\) thuộc nhóm \(\left[ {60;120} \right)\)nên tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là \({Q_2} = 60 + \frac{{\frac{{33}}{2} - 8}}{{10}}\left( {120 - 60} \right) = 111\).

Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{24}} + {x_{25}}} \right)\) thuộc nhóm [120;180) nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là \({Q_3} = 120 + \frac{{\frac{{3.33}}{4} - 18}}{7}\left( {180 - 120} \right) = 177,8\).

Đề thi giữa kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức - Đề số 4

Đề bài

Phần trắc nghiệm (4 điểm)

Câu 1: Góc có số đo \(250^\circ \) thì có số đo theo đơn vị là radian là:

A. \(\frac{{35\pi }}{{18}}\)	B. \(\frac{{25\pi }}{{18}}\)
C. \(\frac{{25\pi }}{{12}}\)	D. \(\frac{{25\pi }}{9}\)

Câu 2: Tính \(P = \sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{2}} \right) + \cos \left( {3\pi - \alpha } \right) + \cot \left( {\pi - \alpha } \right)\), biết \(\sin \alpha = - \frac{1}{2}\) và \( - \frac{\pi }{2} < \alpha < 0\).

A. \(\frac{{3\sqrt 3 - 1}}{2}\)	B. \( - \sqrt 3 \)
C. \(\sqrt 3 \)	D. \(\frac{{3\sqrt 3 + 1}}{2}\)

Câu 3: Giá trị của biểu thức \(A = \sin \left( {\frac{\pi }{3} + \frac{\pi }{4}} \right)\) là:

A. \(\frac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{4}.\)	B. \(\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4}.\)
C. \(\frac{{ - \sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4}.\)	D. \(\frac{{ - \sqrt 6 - \sqrt 2 }}{4}.\)

Câu 4: Công thức \(\sin 2a\) bằng

A. \(2\sin a.\cos a\)	B. \(\sin a\)
C. \(\cos a\)	D. \(\cos 2a\)

Câu 5: Chu kỳ tuần hoàn của hàm số \(y = \sin x\) là

A. \(k2\pi \)	B. \(\frac{\pi }{2}\)
C. \(\pi \)	D. \(2\pi \)

Câu 6: Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ?

A. \(y = - 2\cos x\)	B. \(y = - 2{\sin ^2}x + 2\)
C. \(y = - 2\sin x\)	D. \(y = - 2\cos x + 2\)

Câu 7: Tập nghiệm của phương trình \(\cos x = - 1\) là:

A. \(S = \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi |\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)	B. \(S = \left\{ { - \frac{\pi }{2} + k2\pi |\,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
C. \(S = \left\{ {k2\pi |\,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)	D. \(S = \left\{ {\pi + k2\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)

Câu 8: Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình \(\sin \left( {3x - \frac{{3\pi }}{4}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) bằng:

A. \(\frac{\pi }{9}.\)	B. \( - \frac{\pi }{6}.\)
C. \(\frac{\pi }{6}.\)	D. \( - \frac{\pi }{9}.\)

Câu 9: Cho dãy số \(1,\,\frac{1}{3},\,\frac{1}{9},\,\frac{1}{{27}},\,...\) (số hạng sau bằng một phần ba số hạng liền trước nó). Công thức tổng quát của dãy số đã cho là

A. \({u_n} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^n}\)	B. \({u_n} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{n - 1}}\)
C. \({u_n} = \frac{1}{{3n}}\)	D. \({u_n} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{3^{n - 1}}}}\)

Câu 10: Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \({u_n} = 2n - 1\) với \(n \ge 1\). Số hạng \({u_1}\) bằng

A. \(1.\)	B. \(2\)
C. \(3.\)	D. \(4\)

Câu 11: Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sau đây, dãy số nào là cấp số cộng?

A. \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\{u_{n + 1}} = 2{u_n} + 1\end{array} \right.\)	B. \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 1\\{u_{n + 1}} - {u_n} = 2\end{array} \right.\)
C. \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_{n + 1}} = u_n^3 - 1\end{array} \right.\)	D. \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_{n + 1}} = {u_n} + n\end{array} \right.\)

Câu 12: Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\)biết \({u_6} = 48\) và \({u_{11}} = 83\). Tìm cặp \(\left( {{u_1};{\rm{ }}d} \right)\).

A. \(\left( {7;13} \right)\)	B. \(\left( { - 7; - 13} \right)\)
C. \(\left( {13;{\rm{ }}7} \right)\)	D. \(\left( { - 13;{\rm{ }} - 7} \right)\)

Câu 13: Trong hội chợ, một công ty sơn muốn xếp \(1089\) hộp sơn theo số lượng \(1\,,\,3\,,5\,,\,...\) từ trên xuống dưới. Hàng cuối cùng có bao nhiêu hộp sơn?

A. \(63\)	B. \(65\)
C. \(67\)	D. \(69\)

Câu 14: Trong các dãy số cho dưới đây, dãy số nào là cấp số nhân?

A. \(1\), \( - 2\), \(4\), \(8\), \( - 16\)	B. \(2\), \(22\), \(222\), \(22222\).
C. \(3\), \(6\), \(12\), \(24\).	D. \(x\), \(2x\), \(3x\), \(4x\) với \(x \ne 0\).

Câu 15: Một cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 3\), công bội \(q = 2\). Biết \({S_n} = 765\). Tìm \(n\)?

A. \(n = 8\)	B. \(n = 9\)
C. \(n = 6\)	D. \(n = 7\)

Câu 16: Tính tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân có số hạng đầu là \(\frac{1}{2}\), số hạng thứ tư là \(32\) và số hạng cuối là \(2048\)?

A. \(\frac{{1365}}{2}\)	B. \(\frac{{5416}}{2}\)
C. \(\frac{{5461}}{2}\)	D. \(\frac{{21845}}{2}\)

Câu 17: Điều tra về chiều cao của học sinh khối lớp 11, ta có kết quả sau:

Giá trị đại diện của nhóm thứ tư là

A. \(156,5\)	B. \(157\)
C. \(157,5\)	D. \(158\)

Câu 18: Khảo sát thời gian tập thể dục của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên là

A. \([40;60)\)	B. \([20;40)\)
C. \([60;80)\)	D. \([80;100)\)

Câu 19: Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian (phút) đi từ nhà đến nơi làm việc của các nhân viên một công ty như sau:

Thời gian	\(\left[ {15;20} \right)\)	\(\left[ {20;25} \right)\)	\(\left[ {25;30} \right)\)	\(\left[ {30;35} \right)\)	\(\left[ {35;40} \right)\)	\(\left[ {40;45} \right)\)	\(\left[ {45;50} \right)\)
Số nhân viên	7	14	25	37	21	14	10

Tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) và tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) của mẫu số liệu ghép nhóm này là

A. \({Q_1} = \frac{{1360}}{{37}},{Q_3} = \frac{{800}}{{21}}\)	B. \({Q_1} = \frac{{1360}}{{37}},{Q_3} = \frac{{3280}}{{83}}\)
C. \({Q_1} = \frac{{136}}{5},{Q_3} = \frac{{3280}}{{83}}\)	D. \({Q_1} = \frac{{136}}{5},{Q_3} = \frac{{800}}{{21}}\)

Câu 20: Khảo sát thời gian tập thể dục của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu trên là

A. \([40;60)\)	B. \([20;40)\)
C. \([60;80)\)	D. \([80;100)\)

 

Phần tự luận (6 điểm)

Bài 1. (1 điểm)

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất : \(y = {\tan ^2}x - \tan x + 1\) với \(x \in \left[ { - \frac{\pi }{4};\,\frac{\pi }{4}} \right]\).

Bài 2. (1,5 điểm)

a) Giải phương trình \(cot\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sqrt 3 \)

b) Giải phương trình \(\cos 3x - \sin 2x = 0\)

c) Giải phương trình \(\sin 4x + 1 - 2\cos 2x = \sin 2x\).

Bài 3. (2 điểm)

a) Cho cấp số cộng \(\left\{ {{u_n}} \right\}\) có \({u_4} = - 12\); \({u_{14}} = 18\). Tổng của 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng bằng bao nhiêu ?

b) Một du khách vào chuồng đua ngựa đặt cược, lần đầu đặt \(20000\) đồng, mỗi lần sau tiền đặt gấp đôi lần tiền đặt cọc trước. Người đó thua \(9\) lần liên tiếp và thắng ở lần thứ \(10.\) Hỏi du khác trên thắng hay thua bao nhiêu?

Bài 4. (1,5 điểm)

Một cửa hàng đã ghi lại số tiền bán xăng cho 35 khách hàng đi xe máy. Mẫu số liệu gốc có dạng: \({x_1},{x_2}, \ldots ,{x_{35}}\) trong đó \({x_i}\) là số tiền bán xăng cho khách hàng thứ \(i\). Vì một lí do nào đó, cửa hàng chỉ có mẫu số liệu ghép nhóm dạng sau:

a) Tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm này.

b) Tìm tứ phân vị thứ nhất và tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm này.

 

-------- Hết --------

Lời giải chi tiết

Phần trắc nghiệm (4 điểm)

 

Câu 1: Trên đường tròn lượng giác, cho góc lượng giác có số đo \(\frac{\pi }{2}\) thì mọi góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối với góc lượng giác trên đều có số đo dạng

A. \(\frac{\pi }{2}\)	B. \(\frac{\pi }{2} + k\frac{\pi }{2},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
C. \(\frac{\pi }{2} + k2\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)	D. \(\frac{\pi }{2} + k\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Phương pháp

Nếu một góc lượng giác có số đo \({\alpha ^o}\)(hay \(\alpha \)radian) thì mọi góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối với góc lượng giác đó có dạng \({\alpha ^o} + k{360^o}\)(hoặc \(\alpha + k2\pi \)) với k là số nguyên.

Lời giải

Trên đường tròn lượng giác, mọi góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối với góc lượng giác có số đo \(\frac{\pi }{2}\) thì đều có số đo dạng \(\frac{\pi }{2} + k2\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Đáp án C

Câu 2: Tính \(P = \sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{2}} \right) + \cos \left( {3\pi - \alpha } \right) + \cot \left( {\pi - \alpha } \right)\), biết \(\sin \alpha = - \frac{1}{2}\) và \( - \frac{\pi }{2} < \alpha < 0\).

A. \(\frac{{3\sqrt 3 - 1}}{2}\)	B. \( - \sqrt 3 \)
C. \(\sqrt 3 \)	D. \(\frac{{3\sqrt 3 + 1}}{2}\)

Phương pháp

B1: Biến đổi biểu thức P để chỉ còn các giá trị lượng giác của góc \(\alpha \)

B2: Từ \(\sin \alpha = - \frac{1}{2}\) và \( - \frac{\pi }{2} < \alpha < 0\) tính các giá trị lượng giác còn lại của góc \(\alpha \)

Lời giải

Ta có : \(P = \sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{2}} \right) + \cos \left( {3\pi - \alpha } \right) + \cot \left( {\pi - \alpha } \right)\)

\( = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - \left( { - \alpha } \right)} \right) + \cos \left( {2\pi + \pi - 2\alpha } \right) + \cot \left( {\pi - \alpha } \right)\)

\( = \cos \left( { - \alpha } \right) - \cos \left( { - \alpha } \right) + \cot \left( { - \alpha } \right)\).

\( = \cos \alpha - \cos \alpha - \cot \alpha \)

\( = - \cot \alpha \).

Do \({\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{3}{4} \Rightarrow \cos \alpha = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) .

Mà \( - \frac{\pi }{2} < \alpha < 0 \Rightarrow \cos \alpha > 0\) nên \(\cos \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Suy ra \(\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = - \sqrt 3 \).

Do đó \(P = - \cot \alpha = \sqrt 3 \) .

 

Đáp án C

Câu 3: Giá trị của biểu thức \(A = \sin \left( {\frac{\pi }{3} + \frac{\pi }{4}} \right)\) là:

A. \(\frac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{4}.\)	B. \(\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4}.\)
C. \(\frac{{ - \sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4}.\)	D. \(\frac{{ - \sqrt 6 - \sqrt 2 }}{4}.\)

Phương pháp

Sử dụng công thức cộng.

Lời giải

Ta có \(A = \sin \left( {\frac{\pi }{3} + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \frac{\pi }{3}\cos \frac{\pi }{4} + \sin \frac{\pi }{4}\cos \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{1}{2} = \frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4}.\)

Đáp án B

Câu 4: Công thức \(\sin 2a\) bằng

A. \(2\sin a.\cos a\)	B. \(\sin a\)
C. \(\cos a\)	D. \(\cos 2a\)

Phương pháp

Áp dụng công thức nhân đôi

Lời giải

Ta có: \(\sin 2a = 2\sin a.\cos a\).

Đáp án A

Câu 5: Chu kỳ tuần hoàn của hàm số \(y = \sin x\) là

A. \(k2\pi \)	B. \(\frac{\pi }{2}\)
C. \(\pi \)	D. \(2\pi \)

Phương pháp

Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác cơ bản:

- Hàm số \(y = \sin x\) tuần hoàn với chu kì \(T = 2\pi \).

- Hàm số \(y = \cos x\) tuần hoàn với chu kì \(T = 2\pi \).

- Hàm số \(y = \tan x\) tuần hoàn với chu kì \(T = \pi \).

- Hàm số \(y = \cot x\) tuần hoàn với chu kì \(T = \pi \).

Lời giải

Hàm số \(y = \sin x\) tuần hoàn với chu kì \(T = 2\pi \).

Đáp án D

Câu 6: Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ?

A. \(y = - 2\cos x\)	B. \(y = - 2{\sin ^2}x + 2\)
C. \(y = - 2\sin x\)	D. \(y = - 2\cos x + 2\)

Phương pháp

Bước 1: Tìm tập xác định \(D\) của hàm số, khi đó:

- Nếu \(D\) là tập đối xứng (tức \(\forall x \in D \Rightarrow - x \in D\)), thì ta thực hiện tiếp bước 2.

- Nếu \(D\) không phải tập đối xứng (tức là \(\exists x \in D\) mà \( - x \notin D\)) thì ta kết luận hàm số không chẵn không lẻ.

Bước 2: Xác định \(f\left( { - x} \right)\):

- Nếu \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right),\forall x \in D\) thì kết luận hàm số là hàm số chẵn.

- Nếu \(f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right),\forall x \in D\) thì kết luận hàm số là hàm số lẻ.

- Nếu không thỏa mãn một trong hai điều kiện trên thì kết luận hàm số không chẵn không lẻ.

Lời giải

Tập xác định của hàm số\(y = f\left( x \right) = - 2\sin x\) là \(D = \mathbb{R}\).

Do đó, nếu \(x\) thuộc tập xác định \(D\) thì \( - x\)cũng thuộc tập xác định \(D\).

Ta có \(f\left( { - x} \right) = - 2\sin ( - x) = \sin x = - f\left( x \right)\).

Vậy \(y = - 2\sin x\) là hàm số lẻ.

Đáp án C

Câu 7: Tập nghiệm của phương trình \(\cos x = - 1\) là:

A. \(S = \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi |\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)	B. \(S = \left\{ { - \frac{\pi }{2} + k2\pi |\,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
C. \(S = \left\{ {k2\pi |\,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)	D. \(S = \left\{ {\pi + k2\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)

Phương pháp

- Trường hợp \(\left| m \right| > 1\) phương trình vô nghiệm.

- Trường hợp \(\left| m \right| \le 1\), khi đó: Tồn tại duy nhất một số thực \(\alpha \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) sao cho \(\cos \alpha = m\).

Ta có : \(\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = - \alpha + k2\pi \end{array} \right.,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Lời giải

Ta có \(\cos x = - 1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Đáp án D

Câu 8: Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình \(\sin \left( {3x - \frac{{3\pi }}{4}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) bằng:

A. \(\frac{\pi }{9}.\)	B. \( - \frac{\pi }{6}.\)
C. \(\frac{\pi }{6}.\)	D. \( - \frac{\pi }{9}.\)

Phương pháp

Áp dụng các công thức giải phương trình lượng giác cơ bản rồi kết hợp điều kiện đã cho để chọn nghiệm thỏa mãn.

Lời giải

Ta có \(\sin \left( {3x - \frac{{3\pi }}{4}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \sin \left( {3x - \frac{{3\pi }}{4}} \right) = \sin \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x - \frac{{3\pi }}{4} = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\3x - \frac{{3\pi }}{4} = \pi - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\).\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = \frac{{13\pi }}{{12}} + k2\pi \\3x = \frac{{17\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{13\pi }}{{36}} + k\frac{{2\pi }}{3}\\x = \frac{{17\pi }}{{36}} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\left( {k \in Z} \right).\)

TH1. Với

TH2. Với

So sánh bốn nghiệm ta được nghiệm âm lớn nhất là \(x = - \frac{{7\pi }}{{36}}\) và nghiệm dương nhỏ nhất là \(x = \frac{{13\pi }}{{36}}.\) Khi đó tổng hai nghiệm bằng \(\frac{{13\pi }}{{36}} - \frac{{7\pi }}{{36}} = \frac{\pi }{6}.\)

Đáp án C

Câu 9: Cho dãy số \(1,\,\frac{1}{3},\,\frac{1}{9},\,\frac{1}{{27}},\,...\) (số hạng sau bằng một phần ba số hạng liền trước nó). Công thức tổng quát của dãy số đã cho là

A. \({u_n} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^n}\)	B. \({u_n} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{n - 1}}\)
C. \({u_n} = \frac{1}{{3n}}\)	D. \({u_n} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{3^{n - 1}}}}\)

Phương pháp

Tìm tính chất chung của các số trong dãy số rồi dự đoán công thức tổng quát.

Lời giải

Từ các số hạng đầu tiên của dãy số ta dự đoán \({u_n} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{n - 1}}\).

Đáp án C

Câu 10: Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \({u_n} = 2n - 1\) với \(n \ge 1\). Số hạng \({u_1}\) bằng

A. \(1.\)	B. \(2\)
C. \(3.\)	D. \(4\)

Phương pháp

Thay \(n = 1\) vào công thức tổng quát của dãy số.

Lời giải

Ta có: \({u_1} = 2.1 - 1 = 1\)

Đáp án A

Câu 11: Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sau đây, dãy số nào là cấp số cộng?

A. \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\{u_{n + 1}} = 2{u_n} + 1\end{array} \right.\)	B. \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 1\\{u_{n + 1}} - {u_n} = 2\end{array} \right.\)
C. \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_{n + 1}} = u_n^3 - 1\end{array} \right.\)	D. \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_{n + 1}} = {u_n} + n\end{array} \right.\)

Phương pháp

Để chứng minh dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng, ta xét \(A = {u_{n + 1}} - {u_n}\)

\( \bullet \) Nếu \(A\) là hằng số thì \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng với công sai \(d = A\).

\( \bullet \) Nếu \(A\) phụ thuộc vào \(n\) thì \(\left( {{u_n}} \right)\) không là cấp số cộng.

Lời giải

Xét phương án A: \({u_2} = 7,\,{u_3} = 15\) vì \({u_2} - {u_1} \ne \,{u_3} - {u_2}\) do đó \(\left( {{u_n}} \right)\) không phải là cấp số cộng.

Xét phương án B: theo giả thiết ta có \({u_{n + 1}} - {u_n} = 2,\,\forall n \in {\mathbb{N}^ * }\) do đó \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng.

Xét phương án C: \({u_2} = 0,\,{u_3} = - 1,\,{u_4} = - 2;\,{u_5} = - 9\) do đó \(\left( {{u_n}} \right)\) không phải là cấp số cộng.

Xét phương án D: \({u_2} = 2,\,{u_3} = 4\) vì \({u_2} - {u_1} \ne \,{u_3} - {u_2}\) do đó \(\left( {{u_n}} \right)\) không phải là cấp số cộng.

Đáp án B

Câu 12: Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\)biết \({u_6} = 48\) và \({u_{11}} = 83\). Tìm cặp \(\left( {{u_1};{\rm{ }}d} \right)\).

A. \(\left( {7;13} \right)\)	B. \(\left( { - 7; - 13} \right)\)
C. \(\left( {13;{\rm{ }}7} \right)\)	D. \(\left( { - 13;{\rm{ }} - 7} \right)\)

Phương pháp

Dựa vào giả thuyết, ta lập một hệ phương trình chứa công sai d và số hạng đầu \({u_1}\), giải hệ phương trình này tìm được d và \({u_1}\).

Lời giải

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_6} = 48\\{u_{11}} = 83\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 5d = 48\\{u_1} + 10d = 83\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 13\\d = 7\end{array} \right.\).

Đáp án C

Câu 13: Trong hội chợ, một công ty sơn muốn xếp \(1089\) hộp sơn theo số lượng \(1\,,\,3\,,5\,,\,...\) từ trên xuống dưới. Hàng cuối cùng có bao nhiêu hộp sơn?

A. \(63\)	B. \(65\)
C. \(67\)	D. \(69\)

Phương pháp

Cho một cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai \(d\).

Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\).

Khi đó : \({S_n} = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2}\) hoặc \({S_n} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + (n - 1)d} \right]}}{2} = n{u_1} + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}d\) .

Lời giải

Giả sử \(1089\) được xếp thành \(n\) hàng.

Từ giả thiết ta có số hộp sơn trên mỗi hàng là số hạng của một cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với số hạng đầu \({u_1} = 1\) công sai \(d = 2\).

Do đó: \({S_n} = 1089 \Leftrightarrow n + n\left( {n - 1} \right) = 1089 \Leftrightarrow n = 33\).

Vậy số hộp sơn ở hàng cuối cùng là: \({u_{33}} = 1 + 32.2 = 65\).

Đáp án B

Câu 14: Trong các dãy số cho dưới đây, dãy số nào là cấp số nhân?

A. \(1\), \( - 2\), \(4\), \(8\), \( - 16\)	B. \(2\), \(22\), \(222\), \(22222\).
C. \(3\), \(6\), \(12\), \(24\).	D. \(x\), \(2x\), \(3x\), \(4x\) với \(x \ne 0\).

Phương pháp

Chứng minh \(\forall n \ge 1,{u_{n + 1}} = {u_n}.q\) trong đó \(q\) là một số không đổi.

Nếu \({u_n} \ne 0\) với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\) thì ta lập tỉ số \(T = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\).

\( * \) T là hằng số thì \(({u_n})\) là cấp số nhân có công bội \(q = T\).

\( * \) T phụ thuộc vào n thì \(({u_n})\) không là cấp số nhân.

Lời giải

Ta thấy ở đáp án C có \(6 = 3.2\), \(12 = 6.2\), \(24 = 12.2\) nên đây là cấp số nhân với công bội \(q = 2\).

Đáp án C

Câu 15: Một cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 3\), công bội \(q = 2\). Biết \({S_n} = 765\). Tìm \(n\)?

A. \(n = 8\)	B. \(n = 9\)
C. \(n = 6\)	D. \(n = 7\)

Phương pháp

Cho một cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội \(q\).

Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\).

Khi đó : \({S_n} = {u_1}.\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}},q \ne 1\).

Lời giải

Áp dụng công thức của cấp số nhân ta có: \({S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{3.\left( {1 - {2^n}} \right)}}{{1 - 2}} = 765\)\( \Leftrightarrow n = 8\).

Đáp án A

Câu 16: Tính tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân có số hạng đầu là \(\frac{1}{2}\), số hạng thứ tư là \(32\) và số hạng cuối là \(2048\)?

A. \(\frac{{1365}}{2}\)	B. \(\frac{{5416}}{2}\)
C. \(\frac{{5461}}{2}\)	D. \(\frac{{21845}}{2}\)

Phương pháp

Cho một cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội \(q\).

Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\).

Khi đó : \({S_n} = {u_1}.\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}},q \ne 1\).

Lời giải

Theo bài ra ta có \({u_1} = \frac{1}{2}\), \({u_4} = 32\) và \({u_n} = 2048\).

\({u_4} = {u_1}.{q^3}\) \( \Rightarrow 32 = \frac{1}{2}.{q^3}\)\( \Rightarrow q = 4\)

\({u_n} = 2048\)\( \Rightarrow {u_1}.\,{q^{n - 1}} = 2048\)\( \Rightarrow {4^{n - 1}} = {4^6}\)\( \Rightarrow n = 7\)

Khi đó tổng của cấp số nhân này là \({S_7} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^7}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{\frac{1}{2}\left( {1 - {4^7}} \right)}}{{1 - 4}} = \frac{{5461}}{2}\).

Đáp án C

Câu 17: Điều tra về chiều cao của học sinh khối lớp 11, ta có kết quả sau:

Giá trị đại diện của nhóm thứ tư là

A. \(156,5\)	B. \(157\)
C. \(157,5\)	D. \(158\)

Phương pháp

Đọc bảng số liệu.

Lời giải

Giá trị đại diện của nhóm thứ tư là \(\frac{{156 + 158}}{2} = 157\).

Đáp án B

Câu 18: Khảo sát thời gian tập thể dục của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên là

A. \([40;60)\)	B. \([20;40)\)
C. \([60;80)\)	D. \([80;100)\)

Phương pháp

Nhóm chứa mốt là nhóm có tần số lớn nhất.

Lời giải

Mốt \({M_0}\) chứa trong nhóm \([40;60)\)

Đáp án A

Câu 19: Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian (phút) đi từ nhà đến nơi làm việc của các nhân viên một công ty như sau:

Thời gian	\(\left[ {15;20} \right)\)	\(\left[ {20;25} \right)\)	\(\left[ {25;30} \right)\)	\(\left[ {30;35} \right)\)	\(\left[ {35;40} \right)\)	\(\left[ {40;45} \right)\)	\(\left[ {45;50} \right)\)
Số nhân viên	7	14	25	37	21	14	10

Tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) và tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) của mẫu số liệu ghép nhóm này là

A. \({Q_1} = \frac{{1360}}{{37}},{Q_3} = \frac{{800}}{{21}}\)	B. \({Q_1} = \frac{{1360}}{{37}},{Q_3} = \frac{{3280}}{{83}}\)
C. \({Q_1} = \frac{{136}}{5},{Q_3} = \frac{{3280}}{{83}}\)	D. \({Q_1} = \frac{{136}}{5},{Q_3} = \frac{{800}}{{21}}\)

Phương pháp

Để tính tứ phân vị thứ nhất \({Q_3}\) của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa \({Q_3}\), giả sử đó là nhóm thứ \(p\) : \(\left[ {{a_p};{a_{p + 1}}} \right)\). Khi đó,

\({Q_3} = {a_p} + \frac{{\frac{{3n}}{4} - \left( {{m_1} + \ldots + {m_{p - 1}}} \right)}}{{{m_p}}} \cdot \left( {{a_{p + 1}} - {a_p}} \right),\)

trong đó, \(n\) là cỡ mẫu, \({m_p}\) là tần số nhóm \(p\), với \(p = 1\) ta quy ước \({m_1} + \ldots + {m_{p - 1}} = 0\).

Lời giải

Cỡ mẫu là \(n = 128\).

Tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) là \(\frac{{{x_{32}} + {x_{33}}}}{2}\). Do \({x_{32}},{x_{33}}\) đều thuộc nhóm \([25;30)\) nên nhóm này chứa \({Q_1}\).

Do đó, \(p = 3;{a_3} = 25;{m_3} = 25;{m_1} + {m_2} = 21,{a_4} - {a_3} = 5\) và ta có

\({Q_1} = 25 + \frac{{\frac{{128}}{4} - 21}}{{25}} \cdot 5 = \frac{{136}}{5}\)

Với tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) là \(\frac{{{x_{96}} + {x_{97}}}}{2}\). Do \({x_{96}},{x_{97}}\) đều thuộc nhóm \([35;40)\) nên nhóm này chứa \({Q_3}\).

Do đó, \(p = 5;{a_5} = 35;{m_5} = 21;{m_1} + {m_2} + {m_3} + {m_4} = 7 + 14 + 25 + 37 = 83;{a_6} - {a_5} = 5\) và ta có

\({Q_3} = 35 + \frac{{\frac{{3.128}}{4} - 83}}{{21}} \cdot 5 = \frac{{800}}{{21}}\).

Đáp án D

Câu 20: Khảo sát thời gian tập thể dục của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu trên là

A. \([40;60)\)	B. \([20;40)\)
C. \([60;80)\)	D. \([80;100)\)

Phương pháp

Nhóm chứa trung vị là nhóm chứa 2 phần tử ở giữa của dãy số liệu.

Lời giải

Ta có: \(n = 42\)

Nên trung vị của mẫu số liệu trên là \({Q_2} = \frac{{{x_{21}} + {x_{22}}}}{2}\)

Mà \({x_{21}},{x_{22}} \in \left[ {40;60} \right)\)

Vậy nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu trên là nhóm \([40;60)\)

Đáp án A

 

Phần tự luận.

Bài 1.

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất : \(y = {\tan ^2}x - \tan x + 1\) với \(x \in \left[ { - \frac{\pi }{4};\,\frac{\pi }{4}} \right]\).

Phương pháp

B1: Đặt ẩn phụ và tìm điều kiện của ẩn

B2: Lập bảng biến thiên, khảo sát hàm số rồi kết luận

Lời giải

Đặt \(tanx = t\), \(t \in \left[ { - 1\,;\,1} \right]\), hàm số có dạng: \(y = {t^2} - t + 1\).

Xét hàm số \(y = {t^2} - t + 1\) trên \(\left[ { - 1\,;\,1} \right]\) có BBT như sau:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng \(\frac{3}{4}\) khi và chỉ khi \(t = \frac{1}{2}\) tức \(tanx = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow \)\(x = \arctan \left( {\frac{1}{2}} \right) + k\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\).

Giá trị lớn nhất của hàm số bằng \(3\) khi và chỉ khi \(t = - 1\) tức là \(tanx = - 1\)\( \Leftrightarrow \)\(x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\).

Bài 2.

a) Giải phương trình \(cot\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sqrt 3 \)

b) Giải phương trình \(\cos 3x - \sin 2x = 0\)

c) Giải phương trình \(\sin 4x + 1 - 2\cos 2x = \sin 2x\).

Phương pháp

a) Ta có: \(\cot x = m\,\)\( \Leftrightarrow \cot x = \cot \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

b) Áp dụng các công thức lượng giác đặc biệt để đưa về phương trình lượng giác cơ bản.

c) Sử dụng công thức nhân đôi để làm xuất hiện nhân tử chung: \(\sin 2x = 2\sin x\cos x\).

Lời giải

a) Ta có: \(cot\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sqrt 3 \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6} + k\pi \)\( \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{6} + k\pi \) \((k \in \mathbb{Z})\).

b) Ta có \({\rm{cos3}}x - \sin 2x = 0 \Leftrightarrow {\rm{cos3}}x = \sin 2x \Leftrightarrow {\rm{cos3}}x = {\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right)\)

\( \Leftrightarrow 3x = \pm \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right) + k2\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\).

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{10}} + k\frac{{2\pi }}{5}\\x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.(k \in \mathbb{Z})\)

c) Ta có: \(\sin 4x + 1 - 2\cos 2x = \sin 2x\)

\( \Leftrightarrow 2\sin 2x.\cos 2x + 1 - 2\cos 2x - \sin 2x = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {{\rm{sin2x - 1}}} \right)\left( {2\cos 2x - 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin 2x = 1}\\{{\rm{cos2x = }}\frac{1}{2}}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{4} + k\pi }\\{{\rm{x = }}\frac{\pi }{6} + k\pi }\end{array}\quad \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right..\)

Bài 3.

a) Cho cấp số cộng \(\left\{ {{u_n}} \right\}\) có \({u_4} = - 12\); \({u_{14}} = 18\). Tổng của 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng bằng bao nhiêu ?

b) Một du khách vào chuồng đua ngựa đặt cược, lần đầu đặt \(20000\) đồng, mỗi lần sau tiền đặt gấp đôi lần tiền đặt cọc trước. Người đó thua \(9\) lần liên tiếp và thắng ở lần thứ \(10.\) Hỏi du khác trên thắng hay thua bao nhiêu?

Phương pháp

a) Cho một cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai \(d\).

Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\).

Khi đó : \({S_n} = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2}\) hoặc \({S_n} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + (n - 1)d} \right]}}{2} = n{u_1} + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}d\) .

b) Cho một cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội \(q\).

Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\).

Khi đó : \({S_n} = {u_1}.\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}},q \ne 1\).

Lời giải

a) Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}{u_4} = - 12\\{u_{14}} = 18\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 3d = - 12\\{u_1} + 13d = 18\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 21\\d = 3\end{array} \right.\).

Tổng của 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là: \({S_{16}} = 16.\left( { - 21} \right) + \frac{{16.15}}{2}.3 = 24\).

b) Số tiền du khác đặt trong mỗi lần (kể từ lần đầu) là một cấp số nhân có \({u_1} = 20\,\,000\) và công bội \(q = 2.\)

Du khách thua trong 9 lần đầu tiên nên tổng số tiền thua là:

\({S_9} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_9} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {p^9}} \right)}}{{1 - p}} = 10220000\)

Số tiền mà du khách thắng trong lần thứ \(10\) là \({u_{10}} = {u_1}.{p^9} = 10240000\)

Ta có \({u_{10}} - {S_9} = 20\,\,000 > 0\) nên du khách thắng 20 000.

Bài 4.

Một cửa hàng đã ghi lại số tiền bán xăng cho 35 khách hàng đi xe máy. Mẫu số liệu gốc có dạng: \({x_1},{x_2}, \ldots ,{x_{35}}\) trong đó \({x_i}\) là số tiền bán xăng cho khách hàng thứ \(i\). Vì một lí do nào đó, cửa hàng chỉ có mẫu số liệu ghép nhóm dạng sau:

a) Tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm này.

b) Tìm tứ phân vị thứ nhất và tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm này.

Phương pháp

a) Để tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm, ta làm như sau:

Bước 1. Xác định nhóm chứa trung vị. Giả sử đó là nhóm thứ \(p\) : \(\left[ {{a_p};{a_{p + 1}}} \right)\).

Bước 2. Trung vị là \({M_e} = {a_p} + \frac{{\frac{n}{2} - \left( {{m_1} + \ldots + {m_{p - 1}}} \right)}}{{{m_p}}} \cdot \left( {{a_{p + 1}} - {a_p}} \right)\),

trong đó \(n\) là cỡ mẫu, \({m_p}\) là tần số nhóm \(p\). Với \(p = 1\), ta quy ước \({m_1} + \ldots + {m_{p - 1}} = 0\).

b) Để tính tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa \({Q_1}\), giả sử đó là nhóm thứ \(p\) : \(\left[ {{a_p};{a_{p + 1}}} \right)\). Khi đó,

\({Q_1} = {a_p} + \frac{{\frac{n}{4} - \left( {{m_1} + \ldots + {m_{p - 1}}} \right)}}{{{m_p}}} \cdot \left( {{a_{p + 1}} - {a_p}} \right),\)

trong đó, \(n\) là cỡ mẫu, \({m_p}\) là tần số nhóm \(p\), với \(p = 1\) ta quy ước \({m_1} + \ldots + {m_{p - 1}} = 0\).

Để tịnh tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa \({Q_3}\). Giả sử đó là nhóm thứ \(p\) : \(\left[ {{a_p};{a_{p + 1}}} \right)\). Khi đó,

\({Q_3} = {a_p} + \frac{{\frac{{3n}}{4} - \left( {{m_1} + \ldots + {m_{p - 1}}} \right)}}{{{m_p}}} \cdot \left( {{a_{p + 1}} - {a_p}} \right),\)

trong đó, \(n\) là cỡ mẫu, \({m_p}\) là tần số nhóm \(p\), với \(p = 1\) ta quy ước \({m_1} + \ldots + {m_{p - 1}} = 0\).

Tứ phân vị thứ hai \({Q_2}\) chính là trung vị \({M_e}\).

Nhận xét. Ta cũng có thể xác định nhóm chứa tứ phân vi thứ \(r\) nhờ tính chất: có khoảng \(\left( {\frac{{r \cdot n}}{4}} \right)\) giá trị nhỏ hơn tứ phân vị này.

Lời giải

a) Trung vị là \({x_{18}}\) thuộc nhóm [30;60), do đó \(p = 2;{a_2} = 30;{m_2} = 15;{m_1} = 3,{a_3} - {a_2} = 30\)

và ta có: \({M_e} = 30 + \frac{{\frac{{35}}{2} - 3}}{{15}} \times 30 = 59\)

b) Tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) là \({x_9}\) thuộc nhóm [30;60), do đó \(p = 2;{a_2} = 30;{m_2} = 15;{m_1} = 3;{a_3} - {a_2} = 30\) và ta có: \({Q_1} = 30 + \frac{{\frac{{35}}{4} - 3}}{{15}} \times 30 = 41.5\)

Tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) là \({x_{27}}\) thuộc nhóm [60;90),

do đó \(p = 3;{a_3} = 60;{m_3} = 10;{m_1} + {m_2} = 3 + 15 = 18;{a_4} - {a_3} = 30\) và ta có:

\({Q_3} = 30 + \frac{{\frac{{3 \times 35}}{4} - 18}}{{10}} \times 30 = 54.75\)

Đề thi giữa kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức - Đề số 5

Đề bài

Phần trắc nghiệm (5 điểm)

Câu 1: Trên đường tròn lượng giác, cho góc lượng giác có số đo \(\frac{\pi }{2}\) thì mọi góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối với góc lượng giác trên đều có số đo dạng

A. \(\frac{\pi }{2}\)	B. \(\frac{\pi }{2} + k\frac{\pi }{2},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
C. \(\frac{\pi }{2} + k2\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)	D. \(\frac{\pi }{2} + k\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Câu 2: Biểu thức \(P = \cot {1^0}.\cot {2^0}.\cot {3^0}...\cot {89^0}\) có giá trị là:

A. \(0\)	B. \(1\)
C. \( - 1\)	D. \(2\)

Câu 3: Rút gọn biểu thức: \(\sin \left( {a--17^\circ } \right).\cos \left( {a + 13^\circ } \right)--\sin \left( {a + 13^\circ } \right).\cos \left( {a--17^\circ } \right)\), ta được:

A. \(\sin 2a\)	B. \(\cos 2a\)
C. \( - \frac{1}{2}\)	D. \(\frac{1}{2}\)

Câu 4: Đẳng thức nào sau đây sai:

A. \({\cos ^2}3x = \frac{{1 + \cos 6x}}{2}\)	B. \(\cos 2x = 1 - 2{\sin ^2}x\)
C. \(\sin 2x = 2\sin x\cos x\)	D. \({\sin ^2}2x = \frac{{1 + \cos 4x}}{2}\)

Câu 5: Chu kỳ tuần hoàn của hàm số \(y = \cot x\) là

A. \(k2\pi \)	B. \(\frac{\pi }{2}\)
C. \(\pi \)	D. \(2\pi \)

Câu 6: Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua trục tung ?

A. \(y = \sin \,x\cos 2x\)	B. \(y = {\sin ^3}x.\cos \left( {x - \frac{\pi }{2}} \right)\)
C. \(y = \frac{{\tan \,x}}{{{{\tan }^2}x + 1}}\)	D. \(y = \cos x{\sin ^3}x\)

Câu 7: Phương trình\(\cos x = 0\) có nghiệm là:

A. \(x = \frac{\pi }{2} + k\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)	B. \(x = k2\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
C. \(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)	D. \(x = k\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Câu 8: Tổng các nghiệm của phương trình \(\tan 5x - \tan x = 0\) trên nửa khoảng \(\left[ {0;\pi } \right)\) bằng:

A. \(\frac{{5\pi }}{2}\)	B. \(\pi \)
C. \(\frac{{3\pi }}{2}\)	D. \(2\pi \)

Câu 9: Cho các dãy số sau, dãy số nào là dãy số vô hạn?

A. \(0,2,4,6,8,10.\)	B. \(1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},...,\frac{1}{{{2^n}}},...\)
C. \(1,4,9,16,25.\)	D. \(1,1,1,1,1.\)

Câu 10: Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}}\). Khi đó, \({u_2}\) bằng

A. \(1.\)	B. \(2\)
C. \(3.\)	D. \(4\)

Câu 11: Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sau đây, dãy số nào là cấp số cộng?

A. \(\left( {{u_n}} \right):{u_n} = \frac{1}{n}\)	B. \(\left( {{u_n}} \right):{u_n} = {u_{n - 1}} - 2,\forall n \ge 2\)
C. \(\left( {{u_n}} \right):{u_n} = {2^n} - 1\)	D. \(\left( {{u_n}} \right):{u_n} = 2{u_{n - 1}},\forall n \ge 2\)

Câu 12: Cho cấp số cộng \(({u_n})\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_4} = 8\\{u_3} - {u_2} = 2\end{array} \right.\). Tính tổng \(10\) số hạng đầu của cấp số cộng trên.

A. \(100\)	B. \(110\)
C. \(10\)	D. \(90\)

Câu 13: Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng có \({u_1} = 3\) và công sai \(d = 4\). Biết tổng \(n\) số hạng đầu của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là \({S_n} = 253\). Tìm \(n\).

A. \(9\)	B. \(11\)
C. \(12\)	D. \(10\)

Câu 14: Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) cho bởi số hạng tổng quát \({u_n}\) sau, dãy số nào là một cấp số nhân?

A. \({u_n} = \frac{1}{{{3^{n - 2}}}}\,\,.\)	B. \({u_n} = \frac{1}{{{3^n}}} - 1\,.\)
C. \({u_n} = n + \frac{1}{3}\,\,.\)	D. \({u_n} = {n^2} - \frac{1}{3}.\)

Câu 15: Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + {u_3} = 13\\{u_4} - {u_1} = 26\end{array} \right.\). Tổng \(8\) số hạng đầu của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) là

A. \({S_8} = 1093\)	B. \({S_8} = 3820\)
C. \({S_8} = 9841\)	D. \({S_8} = 3280\)

Câu 16: Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 8\) và biểu thức \(4{u_3} + 2{u_2} - 15{u_1}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính \({S_{10}}.\)

A. \({S_{10}} = \frac{{2\left( {{4^{11}} + 1} \right)}}{{{{5.4}^9}}}\)	B. \({S_{10}} = \frac{{2\left( {{4^{10}} + 1} \right)}}{{{{5.4}^8}}}\)
C. \({S_{10}} = \frac{{{2^{10}} - 1}}{{{{3.2}^6}}}\)	D. \({S_{10}} = \frac{{{2^{11}} - 1}}{{{{3.2}^7}}}\)

Câu 17: Đo chiều cao (tính bằng cm) của \(500\) học sinh trong một trường THPT ta thu được kết quả như sau:

Các em có chiều cao 170 cm được xếp vào nhóm:

A. \(\left[ {155;\,160} \right)\)	B. \(\left[ {160;\,165} \right)\)
C. \(\left[ {165;\,170} \right)\)	D. \(\left[ {170;\,175} \right)\)

Câu 18: Trong mẫu số liệu ghép nhóm, giá trị đại diện \({x_i}\) của nhóm \(\left[ {{a_i};\;{a_{i + 1}}} \right)\) được tính bằng công thức

A. \({x_i} = \frac{{{a_i} + {a_{i + 1}}}}{2}\)	B. \({x_i} = \frac{{{a_{i + 1}} - {a_i}}}{2}\)
C. \({x_i} = {a_i} + {a_{i + 1}}\)	D. \({x_i} = {a_{i + 1}} - {a_i}\)

Câu 19: Trong mẫu số liệu ghép nhóm, số đặc trưng nào sau đây chia mẫu số liệu thành hai phần, mỗi phần chứa \(50\% \) giá trị?

A. số trung vị.	B. số trung bình
C. mốt	D. tứ phân vị

Câu 20: Khẳng định nào sau đây sai?

A. Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho mốt của mẫu số liệu gốc.	B. Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm bằng mốt của mẫu số liệu gốc.
C. Mốt là một trong các số đặc trưng để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu.	D. Mốt của mẫu số liệu là các giá trị xuất hiện với tần số lớn nhất.

Phần tự luận (5 điểm)

Bài 1. (1 điểm)

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất : \(y = 2{\sin ^2}x - \sin x + 2\) với \(x \in \left[ {0;\,\pi } \right]\).

Bài 2. (1,5 điểm)

a) Giải phương trình \(\cot \left( {4x - \frac{\pi }{6}} \right) = \sqrt 3 \)

b) Giải phương trình \(\sin 3x - \cos 2x = 0\)

c) Giải phương trình \(\frac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} i{\rm{n2}}x + 2\cos x - \sin x - 1}}{{\tan x + \sqrt 3 }} = 0\).

Bài 3. (1,5 điểm)

a) Người ta trồng \(465\) cây trong một khu vườn hình tam giác như sau : Hàng thứ nhất có \(1\) cây, hàng thứ hai có \(2\) cây, hàng thứ ba có \(3\) cây….Số hàng cây trong khu vườn là bao nhiêu ?

b) Cho cấp số nhân \(({u_n})\) thỏa: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_4} = \frac{2}{{27}}\\{u_3} = 243{u_8}\end{array} \right.\).Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân.

Bài 4. (1 điểm)

Tuổi thọ (năm) của 50 bình ắc quy ô tô được cho như sau:

a) Xác định mốt .

b) Tính tuổi thọ trung bình của 50 bình ắc quy ô tô này.

 

-------- Hết --------

Lời giải chi tiết

Phần trắc nghiệm (5 điểm)

 

Câu 1: Trên đường tròn lượng giác, cho góc lượng giác có số đo \(\frac{\pi }{2}\) thì mọi góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối với góc lượng giác trên đều có số đo dạng

A. \(\frac{\pi }{2}\)	B. \(\frac{\pi }{2} + k\frac{\pi }{2},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
C. \(\frac{\pi }{2} + k2\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)	D. \(\frac{\pi }{2} + k\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Phương pháp

Nếu một góc lượng giác có số đo \({\alpha ^o}\)(hay \(\alpha \)radian) thì mọi góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối với góc lượng giác đó có dạng \({\alpha ^o} + k{360^o}\)(hoặc \(\alpha + k2\pi \)) với k là số nguyên.

Lời giải

Trên đường tròn lượng giác, mọi góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối với góc lượng giác \(\frac{\pi }{2}\) đều có số đo dạng \(\frac{\pi }{2} + k2\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Đáp án C

Câu 2: Biểu thức \(P = \cot {1^0}.\cot {2^0}.\cot {3^0}...\cot {89^0}\) có giá trị là:

A. \(0\)	B. \(1\)
C. \( - 1\)	D. \(2\)

Phương pháp

Sử dụng các công thức liên quan đến hai góc phụ nhau.

Lời giải

Ta có:

\(\cot 89^\circ = \tan 1^\circ \) \( \Rightarrow \cot 1^\circ \cot 89^\circ = \cot 1^\circ \tan 1^\circ = 1.\)

\(\cot 88^\circ = \tan 2^\circ \)\( \Rightarrow \cot 2^\circ \cot 82^\circ = \cot 2^\circ \tan 2^\circ = 1.\)

\(.....\)

\(\cot 46^\circ = \tan 44^\circ \)\( \Rightarrow \cot 44^\circ \cot 46^\circ = \cot 44^\circ \tan 44^\circ = 1.\)

Vậy \(P = \cot 1^\circ \cot 2^\circ \cot 3^\circ ...\cot 89^\circ = \left( {\cot 1^\circ .\cot 89^\circ } \right).\left( {\cot 2^\circ \cot 3^\circ } \right)...\left( {\cot 44^\circ \cot 46^\circ } \right).\cot 45^\circ = \cot 45^\circ = 1\).

Đáp án B

Câu 3: Rút gọn biểu thức: \(\sin \left( {a--17^\circ } \right).\cos \left( {a + 13^\circ } \right)--\sin \left( {a + 13^\circ } \right).\cos \left( {a--17^\circ } \right)\), ta được:

A. \(\sin 2a\)	B. \(\cos 2a\)
C. \( - \frac{1}{2}\)	D. \(\frac{1}{2}\)

Phương pháp

Sử dụng công thức cộng.

Lời giải

Ta có: \(\sin \left( {a--17^\circ } \right).\cos \left( {a + 13^\circ } \right)--\sin \left( {a + 13^\circ } \right).\cos \left( {a--17^\circ } \right) = \sin \left[ {\left( {a - 17^\circ } \right) - \left( {a + 13^\circ } \right)} \right]\)\( = \sin \left( { - 30^\circ } \right) = - \frac{1}{2}.\)

Đáp án C

Câu 4: Đẳng thức nào sau đây sai:

A. \({\cos ^2}3x = \frac{{1 + \cos 6x}}{2}\)	B. \(\cos 2x = 1 - 2{\sin ^2}x\)
C. \(\sin 2x = 2\sin x\cos x\)	D. \({\sin ^2}2x = \frac{{1 + \cos 4x}}{2}\)

Phương pháp

Áp dụng công thức nhân đôi và hạ bậc.

Lời giải

Áp dụng công thức hạ bậc ta có: \({\sin ^2}2x = \frac{{1 - \cos 4x}}{2}\). Vậy D sai

Đáp án D

Câu 5: Chu kỳ tuần hoàn của hàm số \(y = \cot x\) là

A. \(k2\pi \)	B. \(\frac{\pi }{2}\)
C. \(\pi \)	D. \(2\pi \)

Phương pháp

Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác cơ bản:

- Hàm số \(y = \sin x\) tuần hoàn với chu kì \(T = 2\pi \).

- Hàm số \(y = \cos x\) tuần hoàn với chu kì \(T = 2\pi \).

- Hàm số \(y = \tan x\) tuần hoàn với chu kì \(T = \pi \).

- Hàm số \(y = \cot x\) tuần hoàn với chu kì \(T = \pi \).

Lời giải

Hàm số \(y = \cot x\) tuần hoàn với chu kì \(T = \pi \).

Đáp án C

Câu 6: Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua trục tung ?

A. \(y = \sin \,x\cos 2x\)	B. \(y = {\sin ^3}x.\cos \left( {x - \frac{\pi }{2}} \right)\)
C. \(y = \frac{{\tan \,x}}{{{{\tan }^2}x + 1}}\)	D. \(y = \cos x{\sin ^3}x\)

Phương pháp

Bước 1: Tìm tập xác định \(D\) của hàm số, khi đó:

- Nếu \(D\) là tập đối xứng (tức \(\forall x \in D \Rightarrow - x \in D\)), thì ta thực hiện tiếp bước 2.

- Nếu \(D\) không phải tập đối xứng (tức là \(\exists x \in D\) mà \( - x \notin D\)) thì ta kết luận hàm số không chẵn không lẻ.

Bước 2: Xác định \(f\left( { - x} \right)\):

- Nếu \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right),\forall x \in D\) thì kết luận hàm số là hàm số chẵn.

- Nếu \(f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right),\forall x \in D\) thì kết luận hàm số là hàm số lẻ.

- Nếu không thỏa mãn một trong hai điều kiện trên thì kết luận hàm số không chẵn không lẻ.

Lời giải

Nhận xét: Hàm số chẵn có đồ thị đối xứng qua trục tung.

Xét hàm số\(y = f\left( x \right) = {\sin ^3}x.\cos \left( {x - \frac{\pi }{2}} \right) = {\sin ^3}x.\sin x = {\sin ^4}x\).

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\). Do đó \(\forall x \in {\rm{D}} \Rightarrow - x \in {\rm{D}}{\rm{.}}\)

Ta có : \(f\left( { - x} \right) = {\left( {\sin \left( { - x} \right)} \right)^4} = {\sin ^4}x = f\left( x \right)\) là hàm số chẵn\( \Rightarrow \) Chọn B.

Đáp án B

Câu 7: Phương trình\(\cos x = 0\) có nghiệm là:

A. \(x = \frac{\pi }{2} + k\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)	B. \(x = k2\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
C. \(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)	D. \(x = k\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Phương pháp

- Trường hợp \(\left| m \right| > 1\) phương trình vô nghiệm.

- Trường hợp \(\left| m \right| \le 1\), khi đó: Tồn tại duy nhất một số thực \(\alpha \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) sao cho \(\cos \alpha = m\).

Ta có : \(\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = - \alpha + k2\pi \end{array} \right.,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Lời giải

Ta có \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Đáp án D

Câu 8: Tổng các nghiệm của phương trình \(\tan 5x - \tan x = 0\) trên nửa khoảng \(\left[ {0;\pi } \right)\) bằng:

A. \(\frac{{5\pi }}{2}\)	B. \(\pi \)
C. \(\frac{{3\pi }}{2}\)	D. \(2\pi \)

Phương pháp

Áp dụng các công thức giải phương trình lượng giác cơ bản rồi kết hợp điều kiện đã cho để chọn nghiệm thỏa mãn.

Lời giải

Ta có : \(\tan 5x - \tan x = 0\)\( \Leftrightarrow \tan 5x = \tan x\)\( \Leftrightarrow 5x = x + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{4}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Vì \(x \in \left[ {0;\pi } \right)\), suy ra .

Suy ra các nghiệm của phương trình trên \(\left[ {0;\pi } \right)\) là \(\left\{ {0;\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{4}} \right\}\).

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là : \(0 + \frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{2} + \frac{{3\pi }}{4} = \frac{{3\pi }}{2}\).

Đáp án C

Câu 9: Cho các dãy số sau, dãy số nào là dãy số vô hạn?

A. \(0,2,4,6,8,10.\)	B. \(1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},...,\frac{1}{{{2^n}}},...\)
C. \(1,4,9,16,25.\)	D. \(1,1,1,1,1.\)

Phương pháp

Dãy số vô hạn là dãy số có vô hạn phần tử.

Lời giải

Ta thấy dãy số \(1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},...,\frac{1}{{{2^n}}},...\) là dãy vô hạn phần tử.

Đáp án B

Câu 10: Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}}\). Khi đó, \({u_2}\) bằng

A. \(1.\)	B. \(2\)
C. \(3.\)	D. \(4\)

Phương pháp

Thay \(n = 2\) vào công thức tổng quát của dãy số.

Lời giải

Ta có: \({u_2} = \frac{{2.2 - 1}}{{2 + 1}} = 1\)

Đáp án A

Câu 11: Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sau đây, dãy số nào là cấp số cộng?

A. \(\left( {{u_n}} \right):{u_n} = \frac{1}{n}\)	B. \(\left( {{u_n}} \right):{u_n} = {u_{n - 1}} - 2,\forall n \ge 2\)
C. \(\left( {{u_n}} \right):{u_n} = {2^n} - 1\)	D. \(\left( {{u_n}} \right):{u_n} = 2{u_{n - 1}},\forall n \ge 2\)

Phương pháp

Để chứng minh dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng, ta xét \(A = {u_{n + 1}} - {u_n}\)

\( \bullet \) Nếu \(A\) là hằng số thì \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng với công sai \(d = A\).

\( \bullet \) Nếu \(A\) phụ thuộc vào \(n\) thì \(\left( {{u_n}} \right)\) không là cấp số cộng.

Lời giải

Xét dãy số \(\left( {{u_n}} \right):{u_n} = {u_{n - 1}} - 2,\forall n \ge 2\).

Ta có: \({u_n} - {u_{n - 1}} = - 2,\forall n \ge 2\).

Vậy dãy số đã cho là cấp số cộng với công sai \(d = - 2\).

Đáp án B

Câu 12: Cho cấp số cộng \(({u_n})\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_4} = 8\\{u_3} - {u_2} = 2\end{array} \right.\). Tính tổng \(10\) số hạng đầu của cấp số cộng trên.

A. \(100\)	B. \(110\)
C. \(10\)	D. \(90\)

Phương pháp

B1: Dựa vào giả thuyết, ta lập một hệ phương trình chứa công sai d và số hạng đầu \({u_1}\), giải hệ phương trình này tìm được d và \({u_1}\).

B2: Khi đó: \({S_n} = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2}\) hoặc \({S_n} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + (n - 1)d} \right]}}{2} = n{u_1} + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}d\) .

Lời giải

Gọi cấp cố cộng có công sai là \(d\), ta có: \({u_2} = {u_1} + d;{\rm{ }}{u_3} = {u_1} + 2d;{\rm{ }}{u_4} = {u_1} + 3d\).

Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_4} = 8\\{u_3} - {u_2} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{u_1} + 3d = 8\\d = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = 2\end{array} \right.\).

Áp dụng công thức \(S = n{u_1} + \frac{{n(n - 1)}}{2}d\), khi đó tổng của \(10\) số hạng đầu của cấp số cộng là:

\({S_{10}} = 10.1 + \frac{{10.9}}{2}.2 = 100\).

Đáp án A

Câu 13: Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng có \({u_1} = 3\) và công sai \(d = 4\). Biết tổng \(n\) số hạng đầu của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là \({S_n} = 253\). Tìm \(n\).

A. \(9\)	B. \(11\)
C. \(12\)	D. \(10\)

Phương pháp

Cho một cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai \(d\).

Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\).

Khi đó : \({S_n} = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2}\) hoặc \({S_n} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + (n - 1)d} \right]}}{2} = n{u_1} + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}d\) .

Lời giải

Ta có: \({S_n} = \frac{{n\left( {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right)}}{2}\).

Xét \({S_n} = \frac{{n\left( {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right)}}{2} = 253 \Leftrightarrow \frac{{n\left( {2.3 + \left( {n - 1} \right).4} \right)}}{2} = 253\).

\( \Leftrightarrow 4{n^2} + 2n - 506 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 11\\n = - \frac{{23}}{2}\left( L \right)\end{array} \right.\).

Đáp án B

Câu 14: Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) cho bởi số hạng tổng quát \({u_n}\) sau, dãy số nào là một cấp số nhân?

A. \({u_n} = \frac{1}{{{3^{n - 2}}}}\,\,.\)	B. \({u_n} = \frac{1}{{{3^n}}} - 1\,.\)
C. \({u_n} = n + \frac{1}{3}\,\,.\)	D. \({u_n} = {n^2} - \frac{1}{3}.\)

Phương pháp

Chứng minh \(\forall n \ge 1,{u_{n + 1}} = {u_n}.q\) trong đó \(q\) là một số không đổi.

Nếu \({u_n} \ne 0\) với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\) thì ta lập tỉ số \(T = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\).

\( * \) T là hằng số thì \(({u_n})\) là cấp số nhân có công bội \(q = T\).

\( * \) T phụ thuộc vào n thì \(({u_n})\) không là cấp số nhân.

Lời giải

Dãy \({u_n} = \frac{1}{{{3^{n - 2}}}} = 9.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^n}\) là cấp số nhân có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\q = \frac{1}{3}\end{array} \right.\) .

Đáp án A

Câu 15: Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + {u_3} = 13\\{u_4} - {u_1} = 26\end{array} \right.\). Tổng \(8\) số hạng đầu của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) là

A. \({S_8} = 1093\)	B. \({S_8} = 3820\)
C. \({S_8} = 9841\)	D. \({S_8} = 3280\)

Phương pháp

Cho một cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội \(q\).

Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\).

Khi đó : \({S_n} = {u_1}.\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}},q \ne 1\).

Lời giải

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + {u_3} = 13\\{u_4} - {u_1} = 26\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_1}.q + {u_1}.{q^2} = 13\\{u_1}.{q^3} - {u_1} = 26\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\left( {1 + q + {q^2}} \right) = 13\\{u_1}.\left( {q - 1} \right)\left( {1 + q + {q^2}} \right) = 26\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\left( {1 + q + {q^2}} \right) = 13\\q = 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\q = 3\end{array} \right.\).

Vậy tổng \({S_8} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^8}} \right)}}{{1 - q}}\)\( = \frac{{1\left( {1 - {3^8}} \right)}}{{1 - 3}} = 3280\).

Đáp án D

Câu 16: Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 8\) và biểu thức \(4{u_3} + 2{u_2} - 15{u_1}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính \({S_{10}}.\)

A. \({S_{10}} = \frac{{2\left( {{4^{11}} + 1} \right)}}{{{{5.4}^9}}}\)	B. \({S_{10}} = \frac{{2\left( {{4^{10}} + 1} \right)}}{{{{5.4}^8}}}\)
C. \({S_{10}} = \frac{{{2^{10}} - 1}}{{{{3.2}^6}}}\)	D. \({S_{10}} = \frac{{{2^{11}} - 1}}{{{{3.2}^7}}}\)

Phương pháp

Cho một cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội \(q\).

Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\).

Khi đó : \({S_n} = {u_1}.\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}},q \ne 1\).

Lời giải

Gọi \(q\) là công bội của cấp số nhân. Khi đó \(4{u_3} + 2{u_2} - 15{u_1} = 2{\left( {4q + 1} \right)^2} - 122 \ge - 122,\forall q.\)

Dấu bằng xảy ra khi \(4q + 1 = 0\)\( \Leftrightarrow q = - \frac{1}{4}.\)

Suy ra: \({S_{10}} = {u_1}.\frac{{1 - {q^{10}}}}{{1 - q}} = 8.\frac{{1 - {{\left( { - \frac{1}{4}} \right)}^{10}}}}{{1 - \left( { - \frac{1}{4}} \right)}} = \frac{{2\left( {{4^{10}} - 1} \right)}}{{{{5.4}^8}}}\)

Đáp án B

Câu 17: Đo chiều cao (tính bằng cm) của \(500\) học sinh trong một trường THPT ta thu được kết quả như sau:

Các em có chiều cao 170 cm được xếp vào nhóm:

A. \(\left[ {155;\,160} \right)\)	B. \(\left[ {160;\,165} \right)\)
C. \(\left[ {165;\,170} \right)\)	D. \(\left[ {170;\,175} \right)\)

Phương pháp

Đọc bảng số liệu.

Lời giải

Các em có chiều cao 170 cm được xếp vào nhóm \(\left[ {170;\,175} \right)\).

Đáp án D

Câu 18: Trong mẫu số liệu ghép nhóm, giá trị đại diện \({x_i}\) của nhóm \(\left[ {{a_i};\;{a_{i + 1}}} \right)\) được tính bằng công thức

A. \({x_i} = \frac{{{a_i} + {a_{i + 1}}}}{2}\)	B. \({x_i} = \frac{{{a_{i + 1}} - {a_i}}}{2}\)
C. \({x_i} = {a_i} + {a_{i + 1}}\)	D. \({x_i} = {a_{i + 1}} - {a_i}\)

Phương pháp

Giá trị đại diện \({x_i}\) của nhóm \(\left[ {{a_i};\;{a_{i + 1}}} \right)\) được tính bằng công thức \({x_i} = \frac{{{a_i} + {a_{i + 1}}}}{2}\).

Lời giải

Giá trị đại diện \({x_i}\) của nhóm \(\left[ {{a_i};\;{a_{i + 1}}} \right)\) được tính bằng công thức \({x_i} = \frac{{{a_i} + {a_{i + 1}}}}{2}\).

Đáp án A

Câu 19: Trong mẫu số liệu ghép nhóm, số đặc trưng nào sau đây chia mẫu số liệu thành hai phần, mỗi phần chứa \(50\% \) giá trị?

A. số trung vị.	B. số trung bình
C. mốt	D. tứ phân vị

Phương pháp

Lí thuyết

Lời giải

Trong mẫu số liệu ghép nhóm, số đặc trưng nào chia mẫu số liệu thành hai phần, mỗi phần chứa \(50\% \) giá trị là số trung vị

Đáp án A

Câu 20: Khẳng định nào sau đây sai?

A. Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho mốt của mẫu số liệu gốc.	B. Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm bằng mốt của mẫu số liệu gốc.
C. Mốt là một trong các số đặc trưng để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu.	D. Mốt của mẫu số liệu là các giá trị xuất hiện với tần số lớn nhất.

Phương pháp

Lí thuyết

Lời giải

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm bằng mốt của mẫu số liệu gốc là khẳng định sai.

Đáp án B

Phần tự luận.

Bài 1. (1 điểm)

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất : \(y = 2{\sin ^2}x - \sin x + 2\) với \(x \in \left[ {0;\,\pi } \right]\).

Phương pháp

B1: Đặt ẩn phụ và tìm điều kiện của ẩn

B2: Lập bảng biến thiên, khảo sát hàm số rồi kết luận

Lời giải

Đặt \({\mathop{\rm sinx}\nolimits} = t\)với \(x \in \left[ {0\,;\,\pi } \right]\) thì \(t \in \left[ {0\,;\,1} \right]\), hàm số có dạng: \(y = 2{t^2} - t + 2\).

Xét hàm số \(y = 2{t^2} - t + 2\) trên \(\left[ {0\,;\,1} \right]\), hàm số có BBT như sau:

Nhìn vào BBT ta thấy:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng \(\frac{{15}}{8}\) khi và chỉ khi \(t = \frac{1}{4}\) tức là \({\mathop{\rm sinx}\nolimits} = \frac{1}{4}\)

\( \Leftrightarrow \)\(x = \arcsin \left( {\frac{1}{4}} \right) + k2\pi \) hoặc \(x = \pi - \arcsin \left( {\frac{1}{4}} \right) + k2\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\).

Giá trị lớn nhất của hàm số bằng \(3\) khi và chỉ khi \(t = 1\) tức là \({\mathop{\rm sinx}\nolimits} = 1\)\( \Leftrightarrow \)\(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\).

Bài 2. (1,5 điểm)

a) Giải phương trình \(\cot \left( {4x - \frac{\pi }{6}} \right) = \sqrt 3 \)

b) Giải phương trình \(\sin 3x - \cos 2x = 0\)

c) Giải phương trình \(\frac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} i{\rm{n2}}x + 2\cos x - \sin x - 1}}{{\tan x + \sqrt 3 }} = 0\).

Phương pháp

a) Ta có: \(\cot x = m\,\)\( \Leftrightarrow \cot x = \cot \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

b) Áp dụng các công thức lượng giác của các góc liên quan đặc biệt để đưa về phương trình lượng giác cơ bản.

c) Sử dụng công thức nhân đôi để làm xuất hiện nhân tử chung: \(\sin 2x = 2\sin x\cos x\).

Lời giải

a) Ta có : \(\cot \left( {4x - \frac{\pi }{6}} \right) = \sqrt 3 \)\( \Leftrightarrow \cot \left( {4x - \frac{\pi }{6}} \right) = \cot \frac{\pi }{6}\)\( \Leftrightarrow 4x - \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{6} + k\pi \)\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{4},k \in \mathbb{Z}\).

b) Ta có: \(\sin 3x - \cos 2x = 0\)\( \Leftrightarrow \sin 3x = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = \frac{\pi }{2} - 2x + k2\pi \\3x = \frac{\pi }{2} + 2x + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{10}} + \frac{{k2\pi }}{5}\\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

c) Điều kiện:\(\left\{ \begin{array}{l}\tan x \ne - \sqrt 3 \\\cos x \ne 0\end{array} \right.\)

Với điều kiện trên, phương trình\( \Leftrightarrow {\mathop{\rm s}\nolimits} i{\rm{n2}}x + 2\cos x - \sin x - 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow 2\sin x\cos x + 2\cos x - (\sin x + 1) = 0\)

\( \Leftrightarrow 2\cos x\left( {\sin x + 1} \right) - (\sin x + 1) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {\sin x + 1} \right)(2\cos x - 1) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = \frac{1}{2}\\\sin x = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\)

So với điều kiện, nghiệm của phương trình là \(x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\,\,(k \in \mathbb{Z})\).

Bài 3. (1,5 điểm)

a) Người ta trồng \(465\) cây trong một khu vườn hình tam giác như sau: Hàng thứ nhất có \(1\) cây, hàng thứ hai có \(2\) cây, hàng thứ ba có \(3\) cây….Số hàng cây trong khu vườn là bao nhiêu ?

b) Cho cấp số nhân \(({u_n})\) thỏa: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_4} = \frac{2}{{27}}\\{u_3} = 243{u_8}\end{array} \right.\).Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân.

Phương pháp

a) Cho một cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai \(d\).

Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\).

Khi đó : \({S_n} = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2}\) hoặc \({S_n} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + (n - 1)d} \right]}}{2} = n{u_1} + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}d\) .

b) Cho một cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công bội \(q\).

Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\).

Khi đó : \({S_n} = {u_1}.\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}},q \ne 1\).

Lời giải

a) Cách trồng \(465\) cây trong một khu vườn hình tam giác như trên lập thành một cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với số \({u_n}\) là số cây ở hàng thứ \(n\) và \({u_1} = 1\) và công sai \(d = 1\).

Tổng số cây trồng được là: \({S_n} = 465\) \( \Leftrightarrow \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} = 465\)\( \Leftrightarrow {n^2} + n - 930 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 30\\n = - 31\left( l \right)\end{array} \right.\).

Như vậy số hàng cây trong khu vườn là \(30\).

b) Gọi \(q\) là công bội của cấp số. Theo giả thiết ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1}{q^3} = \frac{2}{{27}}\\{u_1}{q^2} = 243.{u_1}{q^7}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}{q^3} = \frac{2}{{27}}\\{q^5} = \frac{1}{{243}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = \frac{1}{3}\\{u_1} = 2\end{array} \right.\)

Tổng 10 số hạng đầu của cấp số \({S_{10}} = {u_1}\frac{{{q^{10}} - 1}}{{q - 1}} = 2.\frac{{{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{10}} - 1}}{{\frac{1}{3} - 1}} = 3\left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{10}}} \right] = \frac{{59048}}{{19683}}\).

Bài 4. (1 điểm)

Tuổi thọ (năm) của 50 bình ắc quy ô tô được cho như sau:

a) Xác định mốt .

b) Tính tuổi thọ trung bình của 50 bình ắc quy ô tô này.

Phương pháp

a) Để tìm mốt của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1. Xác định nhóm có tần số lớn nhất (gọi là nhóm chứa mốt), giả sử là nhóm j: \(\left[ {{a_j};{a_{j + 1}}} \right)\)

Bước 2. Mốt được xác định là: \({M_o} = {a_j} + \frac{{{m_j} - {m_{j - 1}}}}{{\left( {{m_j} - {m_{j - 1}}} \right) + \left( {{m_j} - {m_{j + 1}}} \right)}} \cdot h\)

trong đó \({m_j}\) là tần số của nhóm \(j\) (quy ước \({m_0} = {m_{k + 1}} = 0\) ) và \(h\) là độ dài của nhóm.

b) Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm kí hiệu là \(\bar x\).

\(\bar x = \frac{{{m_1}{x_1} + \ldots + {m_k}{x_k}}}{n}\)

trong đó, \(n = {m_1} + \ldots + {m_k}\) là cỡ mẫu và \({x_i} = \frac{{{a_i} + {a_{i + 1}}}}{2}\) (với \(i = 1, \ldots ,k\) ) là giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {{a_i};{a_{i + 1}}} \right)\).

Lời giải

a) 14 là tần số lớn nhất nên mốt thuộc nhóm [3;3.5), ta có \(j = 3,{a_3} = 3,{m_3} = 14,{m_2} = 9,{m_4} = 11,h = 0.5\)

Do đó: \({M_o} = 3 + \frac{{14 - 9}}{{(14 - 9) + (14 - 11)}} \times 0.5 = 3.31\)

b) Ta có bảng giá trị đại diện như sau:

Tuổi thọ trung bình: \(\bar x = \frac{{4 \times 2.25 + 9 \times 2.75 + 14 \times 3.25 + 11 \times 3.75 + 7 \times 4.25 + 5 \times 4.75}}{{50}} = 3.48\)