Đề thi giữa kì 1 Toán 12 - Đề số 2

Câu 1 : Cho hàm số f(x) liên tục trên R có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

A.

$(- \infty; 3)$
B.

$(5; + \infty)$
C.

$(3; 5)$
D.

$R$

Câu 2 : Đường cong dưới đây là đồ thị hàm số nào?

A.

$y = \frac{2 x - 1}{x + 1}$
B.

$y = \frac{2 x + 1}{x - 1}$
C.

$y = \frac{2 x + 1}{x + 1}$
D.

$y = \frac{1 - 2 x}{x - 1}$

Câu 3 : Cho hàm số f(x) có đồ thị như hình dưới đây:

Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên [-1;3] là:

A.

y = 1
B.

y = 2
C.

y = -2
D.

y = 3

Câu 4 : Đồ thị hàm số dưới đây có bao nhiêu đường tiệm cận?

A.

0
B.

2
C.

1
D.

4

Câu 5 : Đồ thị $y = \frac{x^{2} - 3 x + 2}{x - 1}$ có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

A.

3
B.

1
C.

0
D.

2

Câu 6 : Tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x + 1}{x - 3}$ là?

A.

(3;2)
B.

(-3;2)
C.

(-1;3)
D.

(1;-3)

Câu 7 : Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B, C, D không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để A, B, C, D tạo thành hình bình hành là?

A.

$\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = \vec{0}$
B.

$\vec{O A} + \vec{O C} = \vec{O B} + \vec{O D}$
C.

$\vec{O A} + \frac{1}{2} \vec{O B} = \vec{O C} + \frac{1}{2} \vec{O D}$
D.

$\vec{O A} + \frac{1}{2} \vec{O C} = \vec{O B} + \frac{1}{2} \vec{O D}$

Câu 8 : Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như trong hình dưới?

A.

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 2$
B.

$y = - x^{3} + 3 x^{2} + 2$
C.

$y = x^{3} + 3 x^{2} + 2$
D.

$y = - x^{3} - 3 x^{2} + 2$

Câu 9 : Giá trị lớn nhất của hàm số $\frac{2 x + 1}{x - 2}$ trên đoạn $[- \frac{1}{2}; 1]$ bằng:

A.

0
B.

$\frac{1}{2}$
C.

-3
D.

1

Câu 10 : Cho hàm số $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ có bảng biến thiên như hình vẽ:

Xác định công thức của hàm số.

A.

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 1$
B.

$y = - x^{3} - 3 x^{2} + 1$
C.

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 2$
D.

$y = - x^{3} - 3 x^{2} - 1$

Câu 11 : Công thức tính tích vô hướng của 2 vecto là?

A.

$\vec{a .} \vec{b} = | \vec{a .} \vec{b} | . \cos (\vec{a,} \vec{b})$
B.

$\vec{a .} \vec{b} = | \vec{a} | . | \vec{b} | . \cos (\vec{a,} \vec{b})$
C.

$\vec{a .} \vec{b} = | \vec{a} | . | \vec{b} | . \sin (\vec{a,} \vec{b})$
D.

$\vec{a .} \vec{b} = - | \vec{a} | . | \vec{b} | . \cos (\vec{a,} \vec{b})$

Câu 12 : Cho ba vecto $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ không đồng phẳng. Xét các vecto $\vec{x} = 2 \vec{a} - \vec{b}$ ; $\vec{y} = - 4 \vec{a} + 2 \vec{b}$ ; $\vec{z} = - 3 \vec{b} - 2 \vec{c}$ . Chọn khẳng định đúng?

A.

Hai vecto $\vec{y}, \vec{z}$ cùng phương
B.

Hai vecto $\vec{x}, \vec{y}$ cùng phương
C.

Hai vecto $\vec{x}, \vec{z}$ cùng phương
D.

Ba vecto $\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}$ đồng phẳng.

Câu 1 : Cho hàm số f(x) xác định trên R có bảng biến thiên như sau:

a) Hàm số f(x) đồng biến trên mỗi khoảng (-1;0) và (0;1)

Đúng

Sai

b) Số điểm cực trị của hàm số đã cho là 3

Đúng

Sai

c) Hàm số f(x) có giá trị lớn nhất bằng -3

Đúng

Sai

d) Đồ thị hàm số không có đường tiệm cận

Đúng

Sai

Câu 2 : Cho hàm số $y = x - \sqrt{x^{2} + 1}$ .

a) Hàm số đã cho nghịch biến trên R

Đúng

Sai

b) Đồ thị hàm số đã cho có cực tiểu

Đúng

Sai

c) Đồ thị hàm số đã cho có 1 tiệm cận ngang

Đúng

Sai

d) Đồ thị hàm số đã cho không đi qua gốc tọa độ

Đúng

Sai

Câu 3 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O.

a) $\vec{A B} = \vec{D C}$

Đúng

Sai

b) $\vec{A C} = \vec{B D}$

Đúng

Sai

c) $\vec{S A} + \vec{S C} = \vec{S O}$

Đúng

Sai

d) $\vec{S A} + \vec{S B} + \vec{S C} + \vec{S D} = 2 \vec{S O}$

Đúng

Sai

Câu 4 : Cho hình hộp chữ nhật $A B C D . A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ có $A B = a$ , $B C = 2 a$ , $A A_{1} = 3 a$ .

a) $(\vec{A B_{1}}; \vec{C_{1} D}) = 45^{o}$

Đúng

Sai

b) $\vec{A_{1} B} . \vec{D_{1} D} = 9 a^{2}$

Đúng

Sai

c) $\vec{A C} . \vec{A D} = \vec{C_{1} A_{1}} . \vec{C_{1} B_{1}}$

Đúng

Sai

d) $\vec{A_{1} D_{1}} . \vec{C_{1} C} = 0$

Đúng

Sai

Câu 1 : Giá trị lớn nhất của hàm số $y = x (5 - 2 x)^{2}$ trên [0;3] là một phân số có dạng $\frac{a}{b}$ . Tính a + 2b.

Đáp án:

Câu 2 : Khoảng cách từ điểm A(-5;1) đến đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x^{2} + 2 x}$ là bao nhiêu?

Đáp án:

Câu 3 : Trong không gian Oxyz, cho hình bình hành ABCD. Biết A(1;0;1), B(2;1;2), và D(1;-1;1). Tọa độ điểm C là (a;b;c). Tính tổng a + b + c.

Đáp án:

Câu 4 : Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức $G (x) = 0, 025 x^{2} (30 - x)$ , trong đó x là liều lượng thuốc được tiêm cho bênh nhân (x được tính bằng milligram). Tính liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất.

Đáp án:

Câu 5 : Một con nhện đang treo mình dưới một sợi tơ theo phương thẳng đứng thì bị một cơn gió thổi theo phương ngang làm dây treo lệch đi so với phương thẳng đứng một góc $30^{o}$ . Biết trọng lượng của con nhện là P = 0,1 N. Xác định độ lớn của lực mà gió tác dụng lên con nhện ở vị trí cân bằng (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Đáp án:

Câu 6 : Hình vẽ dưới đây mô tả một sân cầu long với kích thước theo chuẩn quốc tế. Ta chọn hệ trục Oxyz cho sân đó như hình vẽ (đơn vị trên mỗi trục là mét). Giả sử AB là một trụ cầu lông để căng lưới. Gọi (x;y;z) là tọa độ của $\vec{A B}$ . Tính x + y + x.

Đáp án:

Câu 1 : Cho hàm số f(x) liên tục trên R có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

A.

$(- \infty; 3)$
B.

$(5; + \infty)$
C.

$(3; 5)$
D.

$R$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Quan sát bảng biến thiên và nhận xét.

Lời giải chi tiết :

Quan sát bảng biến thiên thấy y’ < 0 trên khoảng (3;5) nên hàm số nghịch biến trên khoảng (3;5).

Câu 2 : Đường cong dưới đây là đồ thị hàm số nào?

A.

$y = \frac{2 x - 1}{x + 1}$
B.

$y = \frac{2 x + 1}{x - 1}$
C.

$y = \frac{2 x + 1}{x + 1}$
D.

$y = \frac{1 - 2 x}{x - 1}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Quan sát đồ thị và nhận xét.

Lời giải chi tiết :

Nhìn vào đồ thị thấy ngay tiệm cận đứng x = -1, tiệm cận ngang y = 2. Loại đáp án B, D.

Đồ thị hàm số đi qua điểm (0;-1). Thay x = 0 vào đáp án A, C để tính y, thấy ở đồ thị đáp án A y = -1.

Câu 3 : Cho hàm số f(x) có đồ thị như hình dưới đây:

Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên [-1;3] là:

A.

y = 1
B.

y = 2
C.

y = -2
D.

y = 3

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Quan sát đồ thị và nhận xét.

Lời giải chi tiết :

Hàm số đạt giá trị lớn nhất y = 3.

Câu 4 : Đồ thị hàm số dưới đây có bao nhiêu đường tiệm cận?

A.

0
B.

2
C.

1
D.

4

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Quan sát đồ thị và nhận xét.

Lời giải chi tiết :

Có tất cả 4 đường tiệm cận.

Câu 5 : Đồ thị $y = \frac{x^{2} - 3 x + 2}{x - 1}$ có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

A.

3
B.

1
C.

0
D.

2

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Tìm đường tiệm cận đứng thông qua giới hạn của hàm số.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $y = \frac{x^{2} - 3 x + 2}{x^{2} - 1} = \frac{(x - 1) (x - 2)}{(x - 1) (x + 1)} = \frac{x - 2}{x + 1}$ .

$\Rightarrow lim_{x \to - 1^{+}} y = lim_{x \to - 1^{+}} \frac{x - 2}{x + 1} = - \infty$ .

Vậy x = -1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Câu 6 : Tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x + 1}{x - 3}$ là?

A.

(3;2)
B.

(-3;2)
C.

(-1;3)
D.

(1;-3)

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Tìm giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết :

Ta có $lim_{x \to \pm \infty} y = 2$ suy ra đuờng thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ta có $lim_{x \to 3^{+}} y = + \infty;$ $lim_{x \to 3^{-}} y = - \infty$ suy ra đường thẳng x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy tâm đối xứng của đồ thị có tọa độ (3;2).

Câu 7 : Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B, C, D không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để A, B, C, D tạo thành hình bình hành là?

A.

$\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = \vec{0}$
B.

$\vec{O A} + \vec{O C} = \vec{O B} + \vec{O D}$
C.

$\vec{O A} + \frac{1}{2} \vec{O B} = \vec{O C} + \frac{1}{2} \vec{O D}$
D.

$\vec{O A} + \frac{1}{2} \vec{O C} = \vec{O B} + \frac{1}{2} \vec{O D}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Dựa vào lí thuyết phép cộng (trừ) các vecto trong không gian, các vecto bằng nhau, đối nhau, quy tắc hình bình hành.

Lời giải chi tiết :

Điều kiện cần và đủ để ABCD là hình bình hành là: $\vec{B D} = \vec{B A} + \vec{B C}$ (quy tắc hình bình hành).

Với mọi điểm O bất kì khác A, B, C, D, ta có:

$\vec{B D} = \vec{B A} + \vec{B C} \Leftrightarrow \vec{O D} - \vec{O B} = \vec{O A} - \vec{O B} + \vec{O C} - \vec{O B} \Leftrightarrow \vec{O A} + \vec{O C} = \vec{O B} + \vec{O D} .$

Câu 8 : Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như trong hình dưới?

A.

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 2$
B.

$y = - x^{3} + 3 x^{2} + 2$
C.

$y = x^{3} + 3 x^{2} + 2$
D.

$y = - x^{3} - 3 x^{2} + 2$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Quan sát đồ thị và nhận xét.

Lời giải chi tiết :

Ta có $lim_{x \to + \infty} y = + \infty$ nên a > 0. Loại B, D.

Hàm số đạt cực trị tại $x_{1} = 0$ và $x_{2} > 0$ .

Xét hàm số $y = x^{3} + 3 x^{2} + 2$ có $y^{'} = 3 x^{2} + 6 x = 0$ suy ra x = -2 hoặc x = 0.

Suy ra $y = x^{3} + 3 x^{2} + 2$ đạt cực trị tại $x_{1} = 0$ và $x_{2} < 0$ . Loại C.

Câu 9 : Giá trị lớn nhất của hàm số $\frac{2 x + 1}{x - 2}$ trên đoạn $[- \frac{1}{2}; 1]$ bằng:

A.

0
B.

$\frac{1}{2}$
C.

-3
D.

1

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Bước 1: Tìm tập xác định (trong trường hợp xét trên đoạn [a;b], tập xác định đang xét chính là đoạn đó).

Bước 2: Tính đạo hàm f’(x). Tìm các giá trị thuộc đoạn [a;b] mà tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không tồn tại. (Các điểm này còn được gọi là điểm cực trị hoặc điểm dừng nếu đạo hàm bằng 0, hoặc điểm kì dị nếu đạo hàm không tồn tại).

Bước 3: Tính giá trị của hàm số tại các điểm vừa tìm được ở Bước 2 và tại hai đầu mút của đoạn [a;b]. Tức là tính các giá trị .

Giá trị lớn nhất trong số các giá trị vừa tính chính là GTLN của hàm số trên đoạn [a; b].

Giá trị nhỏ nhất trong số các giá trị vừa tính chính là GTNN của hàm số trên đoạn [a; b].

Lời giải chi tiết :

Tập xác định $D = R ∖ {2}$ .

$y^{'} = \frac{- 5}{{(x - 2)}^{2}} < 0, \forall x \in [- \frac{1}{2}; 1]$

$y (- \frac{1}{2}) = 0,$ $y (1) = - 3$ .

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[- \frac{1}{2}; 1]$ bằng 0.

Câu 10 : Cho hàm số $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ có bảng biến thiên như hình vẽ:

Xác định công thức của hàm số.

A.

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 1$
B.

$y = - x^{3} - 3 x^{2} + 1$
C.

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 2$
D.

$y = - x^{3} - 3 x^{2} - 1$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Quan sát bảng biến thiên, tìm đạo hàm, xét các điểm cực trị và các giá trị của hàm số tại điểm đó, thay số vào f(x), f’(x) để tìm các hệ số của phương trình.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $f^{'} (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c$ . Đồ thị đạt cực trị tại các điểm (0;1) và (-2;-3) nên f’(0) = 0, f’(-2) = 0.

Đồ thị hàm số đi qua các điểm (-2;-3) và (0;1) nên f(-2) = -3, f(0) = 1.

Ta có hệ phương trình sau:

${\begin{matrix} f^{'} (0) = 0 \\ f (0) = 1 \\ f^{'} (- 2) = 0 \\ f (- 2) = - 3 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} c = 0 \\ d = 1 \\ 12 a - 4 b = 0 \\ - 8 a + 4 b + 1 = - 3 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} c = 0 \\ d = 1 \\ a = - 1 \\ b = - 3 \end{matrix}$

Vậy hàm số cần tìm là: $y = - x^{3} - 3 x^{2} + 1$ .

Câu 11 : Công thức tính tích vô hướng của 2 vecto là?

A.

$\vec{a .} \vec{b} = | \vec{a .} \vec{b} | . \cos (\vec{a,} \vec{b})$
B.

$\vec{a .} \vec{b} = | \vec{a} | . | \vec{b} | . \cos (\vec{a,} \vec{b})$
C.

$\vec{a .} \vec{b} = | \vec{a} | . | \vec{b} | . \sin (\vec{a,} \vec{b})$
D.

$\vec{a .} \vec{b} = - | \vec{a} | . | \vec{b} | . \cos (\vec{a,} \vec{b})$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Dựa vào lý thuyết công thức tính tích vô hướng.

Lời giải chi tiết :

Công thức tính tích vô hướng của 2 vecto là: $\vec{a .} \vec{b} = | \vec{a} | . | \vec{b} | . \cos (\vec{a,} \vec{b}) .$

Câu 12 : Cho ba vecto $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ không đồng phẳng. Xét các vecto $\vec{x} = 2 \vec{a} - \vec{b}$ ; $\vec{y} = - 4 \vec{a} + 2 \vec{b}$ ; $\vec{z} = - 3 \vec{b} - 2 \vec{c}$ . Chọn khẳng định đúng?

A.

Hai vecto $\vec{y}, \vec{z}$ cùng phương
B.

Hai vecto $\vec{x}, \vec{y}$ cùng phương
C.

Hai vecto $\vec{x}, \vec{z}$ cùng phương
D.

Ba vecto $\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}$ đồng phẳng.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng lí thuyết hai vecto cùng phương. $\vec{x}$ cùng phương $\vec{y}$ khi và chỉ khi $\vec{x} = k \vec{y}$ với $k \neq 0$ .

Lời giải chi tiết :

Nhận thấy: $\vec{y} = - 4 \vec{a} + 2 \vec{b} = - 2 (2 \vec{a} + \vec{b}) = - 2 \vec{x}$ nên hai vecto $\vec{x}, \vec{y}$ cùng phương.

Câu 1 : Cho hàm số f(x) xác định trên R có bảng biến thiên như sau:

a) Hàm số f(x) đồng biến trên mỗi khoảng (-1;0) và (0;1)

Đúng

Sai

b) Số điểm cực trị của hàm số đã cho là 3

Đúng

Sai

c) Hàm số f(x) có giá trị lớn nhất bằng -3

Đúng

Sai

d) Đồ thị hàm số không có đường tiệm cận

Đúng

Sai

Đáp án

a) Hàm số f(x) đồng biến trên mỗi khoảng (-1;0) và (0;1)

Đúng

Sai

b) Số điểm cực trị của hàm số đã cho là 3

Đúng

Sai

c) Hàm số f(x) có giá trị lớn nhất bằng -3

Đúng

Sai

d) Đồ thị hàm số không có đường tiệm cận

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Quan sát đồ bảng biến thiên và nhận xét.

Lời giải chi tiết :

a) Sai. Hàm số f(x) nghịch biên trên (0;1) và đồng biến trên (-1;0).

b) Đúng. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là 3 (x = -1, x = 0, x = 1).

c) Sai. Hàm số f(x) không có giá trị lớn nhất.

d) Đúng. Đồ thị hàm số liên tục trên và không có tiệm cận.

Câu 2 : Cho hàm số $y = x - \sqrt{x^{2} + 1}$ .

a) Hàm số đã cho nghịch biến trên R

Đúng

Sai

b) Đồ thị hàm số đã cho có cực tiểu

Đúng

Sai

c) Đồ thị hàm số đã cho có 1 tiệm cận ngang

Đúng

Sai

d) Đồ thị hàm số đã cho không đi qua gốc tọa độ

Đúng

Sai

Đáp án

a) Hàm số đã cho nghịch biến trên R

Đúng

Sai

b) Đồ thị hàm số đã cho có cực tiểu

Đúng

Sai

c) Đồ thị hàm số đã cho có 1 tiệm cận ngang

Đúng

Sai

d) Đồ thị hàm số đã cho không đi qua gốc tọa độ

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Lập bảng biến thiên và nhận xét.

Lời giải chi tiết :

Tập xác định: $D = R$ .

$y^{'} = 1 - \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{\sqrt{x^{2} + 1} - x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .

Vì $\sqrt{x^{2} + 1} > \sqrt{x^{2}} = | x | \Rightarrow \sqrt{x^{2} + 1} > x \Rightarrow \sqrt{x^{2} + 1} - x > 0$ .

Mà $\sqrt{x^{2} + 1} > 0$ .

Vậy y’ > 0 với mọi x.

Ta có bảng biến thiên:

a) Sai. Hàm số đồng biến trên R.

b) Sai. Đồ thị hàm số đã cho không có cực tiểu.

c) Đúng. Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận ngang y = 0 vì $lim_{x \to + \infty} y = 0$ .

d) Đúng. Thay tọa độ x = 0, y = 0 của O(0;0) vào phương trình xem có thỏa mãn không:

$0 = 0 - \sqrt{0^{2} + 1}$ (vô lí).

Vậy đồ thị hàm số không đi qua gốc tọa độ.

Câu 3 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O.

a) $\vec{A B} = \vec{D C}$

Đúng

Sai

b) $\vec{A C} = \vec{B D}$

Đúng

Sai

c) $\vec{S A} + \vec{S C} = \vec{S O}$

Đúng

Sai

d) $\vec{S A} + \vec{S B} + \vec{S C} + \vec{S D} = 2 \vec{S O}$

Đúng

Sai

Đáp án

a) $\vec{A B} = \vec{D C}$

Đúng

Sai

b) $\vec{A C} = \vec{B D}$

Đúng

Sai

c) $\vec{S A} + \vec{S C} = \vec{S O}$

Đúng

Sai

d) $\vec{S A} + \vec{S B} + \vec{S C} + \vec{S D} = 2 \vec{S O}$

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Sử dụng quy tắc cộng vecto, lý thuyết các vecto bằng nhau, vecto đối nhau, quy tắc trung điểm, quy tắc trọng tâm.

Lời giải chi tiết :

a) Đúng. Vì hai vecto trên cùng hướng và cùng độ dài.

b) Sai. Vì hai vecto trên không cùng hướng.

c) Sai. Vì O là trung điểm của AC nên $\vec{S A} + \vec{S C} = 2 \vec{S O}$ .

d) Sai. Vì $\vec{S A} + \vec{S B} + \vec{S C} + \vec{S D} = \vec{S A} + \vec{S C} + \vec{S B} + \vec{S D} = 2 \vec{S O} + 2 \vec{S O} = 4 \vec{S O}$ .

Câu 4 : Cho hình hộp chữ nhật $A B C D . A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ có $A B = a$ , $B C = 2 a$ , $A A_{1} = 3 a$ .

a) $(\vec{A B_{1}}; \vec{C_{1} D}) = 45^{o}$

Đúng

Sai

b) $\vec{A_{1} B} . \vec{D_{1} D} = 9 a^{2}$

Đúng

Sai

c) $\vec{A C} . \vec{A D} = \vec{C_{1} A_{1}} . \vec{C_{1} B_{1}}$

Đúng

Sai

d) $\vec{A_{1} D_{1}} . \vec{C_{1} C} = 0$

Đúng

Sai

Đáp án

a) $(\vec{A B_{1}}; \vec{C_{1} D}) = 45^{o}$

Đúng

Sai

b) $\vec{A_{1} B} . \vec{D_{1} D} = 9 a^{2}$

Đúng

Sai

c) $\vec{A C} . \vec{A D} = \vec{C_{1} A_{1}} . \vec{C_{1} B_{1}}$

Đúng

Sai

d) $\vec{A_{1} D_{1}} . \vec{C_{1} C} = 0$

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Sử dụng lý thuyết các vecto bằng nhau, các vecto đối nhau, góc giữa hai vecto.

Lời giải chi tiết :

a) Sai. Vì hai vecto trên ngược hướng nên $(\vec{A B_{1}}; \vec{C_{1} D}) = 180^{o}$ .

b) Đúng. $\vec{A_{1} B} . \vec{D_{1} D} = \vec{A_{1} B} . \vec{A_{1} A} = | \vec{A_{1} B} | . | \vec{A_{1} A} | \cos (\vec{A_{1} B}, \vec{A_{1} A}) = a \sqrt{10} .3 a . \frac{3 a}{a \sqrt{10}} = 9 a^{2}$ .

c) Đúng. $\vec{A C} . \vec{A D} = - \vec{C_{1} A_{1}} . (- \vec{C_{1} B_{1}}) = \vec{C_{1} A_{1}} . \vec{C_{1} B_{1}}$ .

d) Đúng. $\vec{A_{1} D_{1}} . \vec{C_{1} C} = \vec{A_{1} D_{1}} . \vec{D_{1} D} = 0$ (vì $\vec{A_{1} D_{1}}$ và $\vec{D_{1} D}$ vuông góc với nhau).

Câu 1 : Giá trị lớn nhất của hàm số $y = x (5 - 2 x)^{2}$ trên [0;3] là một phân số có dạng $\frac{a}{b}$ . Tính a + 2b.

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

- Tính y’, tìm các nghiệm của y’ = 0

- Tìm giá trị lớn nhất điểm cực đại, cực tiểu của hàm số

Lời giải chi tiết :

Ta có: $y^{'} = 1 (5 - 2 x)^{2} + x .2 (5 - 2 x) . (5 - 2 x)^{'} = 25 - 29 x + 4 x^{2} - 20 x + 8 x^{2} = 12 x^{2} - 40 x + 25$ .

$y^{'} = 0$ khi $x = \frac{5}{2}$ hoặc $x = \frac{5}{6}$ .

Ta có: $y (0) = 0$ ; $y (\frac{5}{6}) = \frac{250}{27}$ ; $y (\frac{5}{2}) = 0$ ; $y (3) = 3$ .

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên [0;3] là $\frac{250}{27}$ khi $x = \frac{5}{6}$ .

Vậy $a = 250, b = 27$ . Khi đó $a + 2 b = 250 + 2.27 = 304.$

Câu 2 : Khoảng cách từ điểm A(-5;1) đến đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x^{2} + 2 x}$ là bao nhiêu?

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

Tìm đường tiệm cận đứng của đồ thị bằng cách tìm giới hạn. Từ đó tính khoảng cách từ A đến tiệm cận.

Lời giải chi tiết :

Tập xác định: $D = [- 1; 1] ∖ {0}$ .

Ta có: $lim_{x \to 0^{+}} y = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x^{2} + 2 x} = + \infty$ , $lim_{x \to 0^{-}} y = lim_{x \to 0^{-}} \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x^{2} + 2 x} = - \infty$ .

Suy ra đường thẳng x = 0 (trục Oy) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vì hoành độ điểm A là -5 nên khoảng cách $d (A, O y) = | - 5 | = 5$ .

Câu 3 : Trong không gian Oxyz, cho hình bình hành ABCD. Biết A(1;0;1), B(2;1;2), và D(1;-1;1). Tọa độ điểm C là (a;b;c). Tính tổng a + b + c.

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

Sử dụng quy tắc hình bình hành.

Lời giải chi tiết :

Vì ABCD là hình bình hành nên $\vec{D C} = \vec{A B}$ .

Ta có: $\vec{D C} = (a - 1; b + 1 c - 1)$ và $\vec{A B} = (1; 1; 1)$ .

Suy ra ${\begin{matrix} a - 1 = 1 \\ b + 1 = 1 \\ c - 1 = 1 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} a = 2 \\ b = 0 \\ c = 2 \end{matrix}$

Vậy $a = 2, b = 0, c = 2$ . Khi đó $a + b + c = 2 + 0 + 2 = 4$ .

Câu 4 : Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức $G (x) = 0, 025 x^{2} (30 - x)$ , trong đó x là liều lượng thuốc được tiêm cho bênh nhân (x được tính bằng milligram). Tính liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất.

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

Lập bảng biến thiên cho hàm số tính độ giảm huyết áp đó rồi tìm giá trị lớn nhất của hàm số đó.

Lời giải chi tiết :

Xét hàm số $G (x) = 0, 025 x^{2} (30 - x) = 0, 75 x^{2} - 0, 025 x^{3}$ ; $x \in (0; + \infty)$ .

Ta có: $G^{'} (x) = 1, 5 x - 0, 075 x^{2} = 0 \Leftrightarrow$ x = 0 hoặc x = 20.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, hàm G(x) đạt giá trị lớn nhất tại x = 20. Khi đó, độ giảm huyết áp là 100.

Câu 5 : Một con nhện đang treo mình dưới một sợi tơ theo phương thẳng đứng thì bị một cơn gió thổi theo phương ngang làm dây treo lệch đi so với phương thẳng đứng một góc $30^{o}$ . Biết trọng lượng của con nhện là P = 0,1 N. Xác định độ lớn của lực mà gió tác dụng lên con nhện ở vị trí cân bằng (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

Tính lực F thông qua góc lượng giác.

Lời giải chi tiết :

Khi con nhện và sợi tơ cân bằng như hình dưới:

Ta có: $\tan 30^{o} = \frac{F}{P}$ , suy ra $F = P . \tan 30^{o} = 0, 1. \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0, 06$ (N).

Câu 6 : Hình vẽ dưới đây mô tả một sân cầu long với kích thước theo chuẩn quốc tế. Ta chọn hệ trục Oxyz cho sân đó như hình vẽ (đơn vị trên mỗi trục là mét). Giả sử AB là một trụ cầu lông để căng lưới. Gọi (x;y;z) là tọa độ của $\vec{A B}$ . Tính x + y + x.

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

Tìm tọa độ của A, B bằng cách quan sát hình vẽ, từ đó tính tọa độ $\vec{A B}$ .

Lời giải chi tiết :

Quan sát hình vẽ, thấy điểm A có tọa độ $(6, 1; \frac{13, 4}{2}; 0) = (6, 1; 6, 7; 0)$ .

Điểm B có tọa độ $(6, 1; \frac{13, 4}{2}; 1, 55) = (6, 1; 6, 7; 1, 55)$ .

Suy ra $\vec{A B} = (0; 0; 1, 55)$ .

Vậy x + y + z = 0 + 0 + 1,55 = 1,55.