Đề thi giữa kì 1 Toán 12 - Đề số 3

Câu 1 : Cho hàm số y = f(x) xác định trên R\{-1}, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.

Hàm số nghịch biến trên $(- \infty; - 1)$
B.

Hàm số nghịch biến trên $(- \infty; + \infty)$
C.

Hàm số đồng biến trên khoảng $(- 1; + \infty)$
D.

Hàm số đồng biến trên khoảng $(- \infty; 1)$

Câu 2 : Hàm số $y = \frac{x - 2}{x - 1}$ có đồ thị là hình vẽ nào sau đây? Hãy chọn câu trả lời đúng.

A.
B.
C.
D.

Câu 3 : Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [–1;2] và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [–1;2]. Tính M + 2m.

A.

y = 2
B.

y = -1
C.

y = 0
D.

y = 1

Câu 4 : Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Tổng số tiệm cận ngang và số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là:

A.

4
B.

1
C.

3
D.

2

Câu 5 : Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = \frac{x^{2} + 4 x - 7}{x - 2}$ là:

A.

y = x + 6
B.

y = x – 6
C.

y = 6x
D.

y = 6

Câu 6 : Tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = \frac{x + 4}{x - 3}$ là:

A.

(3;1)
B.

(1;3)
C.

(3;-4)
D.

(3;4)

Câu 7 : Cho hình hộp ABCD.EFGH. Kết quả phép toán $\vec{A B} - \vec{E H}$ là

A.

$\vec{B D}$
B.

$\vec{A E}$
C.

$\vec{B H}$
D.

$\vec{D B}$

Câu 8 : Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số nào trong bốn hàm số dưới đây?

A.

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 2$
B.

$y = x^{2} - x + 1$
C.

$y = \frac{x + 3}{x - 2}$
D.

$y = - x^{3} + 3 x^{2} + 2$

Câu 9 : Giá trị lớn nhất của hàm số $y = \sqrt{25 - x^{2}}$ trên đoạn [-4;4] là:

A.

5
B.

4
C.

3
D.

0

Câu 10 : Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm $f^{'} (x) = x (x - 2) (x^{2} - 4) (x + 1)$ . Hàm số y = f(x) có bao nhiêu điểm cực trị?

A.

3
B.

2
C.

4
D.

5

Câu 11 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vecto $\vec{u} = 2 \vec{j} + 3 \vec{i} - \vec{k}$ . Tọa độ của vecto $\vec{u}$ là

A.

(2;1;-3)
B.

(2;3;-1)
C.

(3;2;-1)
D.

(2;1;3)

Câu 12 : Cho hai vecto $\vec{u} = (2; - 1; 3)$ , $\vec{v} = (- 3; 4; 1)$ . Tích $\vec{u} . \vec{v}$ bằng:

A.

11
B.

-7
C.

5
D.

-2

Câu 1 : Cho hàm số f(x) xác định trên R có bảng biến thiên như sau:

a) Hàm số f(x) đồng biến trên mỗi khoảng (0;2) và (2;3)

Đúng

Sai

b) Số điểm cực trị của hàm số đã cho là 3

Đúng

Sai

c) Hàm số f(x) có giá trị lớn nhất bằng 3

Đúng

Sai

Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1

d) Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1

Đúng

Sai

Câu 2 : Cho hàm số $f (x) = - x^{4} + 12 x^{2} + 1$ .

a) Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (1;37)

Đúng

Sai

b) Số điểm cực trị của hàm số đã cho là 3

Đúng

Sai

c) Hàm số f(x) có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [-1;2] bằng 12

Đúng

Sai

d) Hàm số f(x) có giá trị lớn nhất trên đoạn [-1;2] bằng 33

Đúng

Sai

Câu 3 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O và G là trọng tâm tam giác SBD.

a) $\vec{S G} = \frac{2}{3} \vec{S O}$

Đúng

Sai

b) $\vec{A S} + \vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A G}$

Đúng

Sai

c) $\vec{S A} + \vec{S C} = 3 \vec{S G}$

Đúng

Sai

d) $\vec{S A} + \vec{S B} + \vec{S C} + \vec{S D} = 12 \vec{G O}$

Đúng

Sai

Câu 4 : Trong không gian Oxyz, cho vecto $\vec{a} = (1; 2; 3)$ , $\vec{b} = (3; 6; 9)$ .

a) $\vec{b} - \vec{a} = (2; 4; 6)$

Đúng

Sai

b) $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương

Đúng

Sai

c) $| \vec{a} | = \sqrt{6}$

Đúng

Sai

d) $- \vec{b} = 3 \vec{i} + 6 \vec{j} + 9 \vec{k}$

Đúng

Sai

Câu 1 : Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f (x) = \frac{x^{2} + 3}{x - 1}$ trên đoạn [2;4] bằng bao nhiêu?

Đáp án:

Câu 2 : Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị của hàm số $y = \frac{(2 m + 1) x + 3}{x + 1}$ có đường tiệm cận đi qua điểm A(-2;7).

Đáp án:

Câu 3 : Một cửa hàng bán một loại sản phẩm với lợi nhuận thu được khi bán x (trăm) sản phẩm được mô tả bởi hàm số $L (x) = - 0, 5 x^{2} + 6 x - 10$ . Trong đó, x là số lượng sản phẩm bán ra, L(x) là lợi nhuận thu được (đơn vị: triệu đồng). Hãy xác định số lượng sản phẩm mà cửa hàng cần bán ra để lợi nhuận đạt mức cao nhất.

Đáp án:

Câu 4 : Cho parabol (P): $y = x^{2}$ và điểm A(-3;0). Xác định điểm M thuộc (P) sao cho khoảng cách AM là ngắn nhất. Tung độ của điểm M bằng bao nhiêu?

Đáp án:

Câu 5 : Ba lực $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}, \vec{F_{3}}$ cùng tác động vào một vật có phương đôi một vuông góc và có độ lớn lần lượt là 2N; 3N; 4N. Hợp lực của ba lực đã cho có độ lớn bao nhiêu Niu-tơn (kết quả làm tròn đến một chữ số thập phân)?

Đáp án:

Câu 6 : Trong không gian Oxy (đơn vị đo lấy theo km), radar phát hiện một chiếc máy bay di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm A(800;500;7) đến điểm B(940;550;8) trong 10 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên tốc độ và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo là D(x;y;x). Khi đó, x + y + z bằng bao nhiêu?

Đáp án:

Câu 1 : Cho hàm số y = f(x) xác định trên R\{-1}, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.

Hàm số nghịch biến trên $(- \infty; - 1)$
B.

Hàm số nghịch biến trên $(- \infty; + \infty)$
C.

Hàm số đồng biến trên khoảng $(- 1; + \infty)$
D.

Hàm số đồng biến trên khoảng $(- \infty; 1)$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Quan sát bảng biến thiên và nhận xét.

Lời giải chi tiết :

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy trên khoảng $(- \infty; - 1)$ đạo hàm y' < 0 nên hàm số nghịch biến.

Câu 2 : Hàm số $y = \frac{x - 2}{x - 1}$ có đồ thị là hình vẽ nào sau đây? Hãy chọn câu trả lời đúng.

A.
B.
C.
D.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Quan sát đồ thị và nhận xét.

Lời giải chi tiết :

Hàm số $y = \frac{x - 2}{x - 1}$ có tiệm cận đứng x = 1. Tiệm cận ngang y = 1 nên loại trường hợp D.

Đồ thị hàm số $y = \frac{x - 2}{x - 1}$ đi qua điểm (0; 2) nên chọn đáp án A.

Câu 3 : Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [–1;2] và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [–1;2]. Tính M + 2m.

A.

y = 2
B.

y = -1
C.

y = 0
D.

y = 1

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Quan sát đồ thị và nhận xét.

Lời giải chi tiết :

$M = max_{[- 1; 2]} f (x) = f (1) = 3$ .

$M = min_{[- 1; 2]} f (x) = f (2) = - 2$ .

Vậy M + 2m = 3 + 2.(-2) = -1.

Câu 4 : Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Tổng số tiệm cận ngang và số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là:

A.

4
B.

1
C.

3
D.

2

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Quan sát bảng biến thiên và nhận xét các giới hạn.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$lim_{x \to - \infty} f (x) = 2$ nên ta có tiệm cận ngang y = 2.

$lim_{x \to + \infty} f (x) = 5$ nên ta có tiệm cận ngang y = 5.

$lim_{x \to 1^{-}} f (x) = + \infty$ nên ta có tiệm cận đứng x = 1.

Vậy tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là 3.

Câu 5 : Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = \frac{x^{2} + 4 x - 7}{x - 2}$ là:

A.

y = x + 6
B.

y = x – 6
C.

y = 6x
D.

y = 6

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Thực hiện phép chia đa thức (ở tử) cho đa thức (ở mẫu) ta được $y = a x + b + \frac{M}{c x + d}$ (a≠0) với M là hằng số.

Đường thẳng y = ax + b (a≠0) gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) nếu $lim_{x \to + \infty} [f (x) - (a x + b)] = 0$ $lim_{x \to - \infty} [f (x) - (a x + b)] = 0$ .

Kết luận đường thẳng y = ax + b là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $y = \frac{x^{2} + 4 x - 7}{x - 2} = x + 6 + \frac{5}{x - 2} = f (x)$ .

Từ đó: $lim_{x \to + \infty} [f (x) - (x + 6)] = lim_{x \to + \infty} \frac{5}{x - 2} = 0$ .

Vậy đường thẳng y = x + 6 là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

Câu 6 : Tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = \frac{x + 4}{x - 3}$ là:

A.

(3;1)
B.

(1;3)
C.

(3;-4)
D.

(3;4)

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị và tìm giao điểm của chúng.

Lời giải chi tiết :

Tiệm cận ngang của đồ thị là y = 1, tiệm cận đứng của đồ thị là x = 3 nên tâm đối xứng có tọa độ (3;1).

Câu 7 : Cho hình hộp ABCD.EFGH. Kết quả phép toán $\vec{A B} - \vec{E H}$ là

A.

$\vec{B D}$
B.

$\vec{A E}$
C.

$\vec{B H}$
D.

$\vec{D B}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Dựa vào định nghĩa các vecto bằng nhau, quy tắc cộng, trừ vecto.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\vec{A B} = \vec{E F}$ , $\vec{D B} = \vec{H F}$ vì chúng cùng độ dài và cùng hướng.

$\vec{A B} - \vec{E H} = \vec{E F} + \vec{H E} = \vec{H F} = \vec{D B}$ .

Câu 8 : Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số nào trong bốn hàm số dưới đây?

A.

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 2$
B.

$y = x^{2} - x + 1$
C.

$y = \frac{x + 3}{x - 2}$
D.

$y = - x^{3} + 3 x^{2} + 2$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Quan sát đồ thị và nhận xét.

Lời giải chi tiết :

Dựa vào đồ thị ta thấy có hai điểm cực trị nên đây là hàm số bậc ba.

Mặt khác, $lim_{x \to + \infty} y = + \infty$ nên hệ số a > 0.

Câu 9 : Giá trị lớn nhất của hàm số $y = \sqrt{25 - x^{2}}$ trên đoạn [-4;4] là:

A.

5
B.

4
C.

3
D.

0

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Tìm đạo hàm của hàm số sau đó tính các giá trị f(x).

Lời giải chi tiết :

$f^{'} (x) = \frac{- x}{\sqrt{25 - x^{2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 0$ .

Ta có: f(-4) = 4; f(0) = 5; f(4) = 3.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số $y = \sqrt{25 - x^{2}}$ trên đoạn [-4;4] bằng 5.

Câu 10 : Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm $f^{'} (x) = x (x - 2) (x^{2} - 4) (x + 1)$ . Hàm số y = f(x) có bao nhiêu điểm cực trị?

A.

3
B.

2
C.

4
D.

5

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Cực trị của hàm số f(x) là nghiệm bội lẻ của phương trình f’(x) = 0.

Lời giải chi tiết :

$f^{'} (x) = x (x - 2) (x^{2} - 4) (x + 1)$

$= x (x - 2)^{2} (x + 2) (x + 1)$ .

Ta có: f’(x) = 0 có 3 nghiệm bội lẻ là x = 0, x = 2 và x = -1, tương ứng với 3 điểm cực trị.

Câu 11 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vecto $\vec{u} = 2 \vec{j} + 3 \vec{i} - \vec{k}$ . Tọa độ của vecto $\vec{u}$ là

A.

(2;1;-3)
B.

(2;3;-1)
C.

(3;2;-1)
D.

(2;1;3)

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Trong không gian có hệ trục tọa độ Oxyz, $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ lần lượt là các vecto đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz.

Lời giải chi tiết :

Tọa độ của vecto $\vec{u}$ là (3;2;-1).

Câu 12 : Cho hai vecto $\vec{u} = (2; - 1; 3)$ , $\vec{v} = (- 3; 4; 1)$ . Tích $\vec{u} . \vec{v}$ bằng:

A.

11
B.

-7
C.

5
D.

-2

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính tọa độ tích vô hướng của hai vecto.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\vec{u} . \vec{v} = 2. (- 3) + (- 1) .4 + 3.1 = - 7$ .

Câu 1 : Cho hàm số f(x) xác định trên R có bảng biến thiên như sau:

a) Hàm số f(x) đồng biến trên mỗi khoảng (0;2) và (2;3)

Đúng

Sai

b) Số điểm cực trị của hàm số đã cho là 3

Đúng

Sai

c) Hàm số f(x) có giá trị lớn nhất bằng 3

Đúng

Sai

Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1

d) Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1

Đúng

Sai

Đáp án

a) Hàm số f(x) đồng biến trên mỗi khoảng (0;2) và (2;3)

Đúng

Sai

b) Số điểm cực trị của hàm số đã cho là 3

Đúng

Sai

c) Hàm số f(x) có giá trị lớn nhất bằng 3

Đúng

Sai

Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1

d) Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Quan sát bảng biến thiên và nhận xét.

Lời giải chi tiết :

a) Sai. Hàm số f(x) nghịch biến trên (0;2).

b) Đúng. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là 3 (x = 0, x = 2, x = 3).

c) Đúng. Hàm số f(x) có giá trị lớn nhất là 3.

d) Sai. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2.

Câu 2 : Cho hàm số $f (x) = - x^{4} + 12 x^{2} + 1$ .

a) Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (1;37)

Đúng

Sai

b) Số điểm cực trị của hàm số đã cho là 3

Đúng

Sai

c) Hàm số f(x) có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [-1;2] bằng 12

Đúng

Sai

d) Hàm số f(x) có giá trị lớn nhất trên đoạn [-1;2] bằng 33

Đúng

Sai

Đáp án

a) Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (1;37)

Đúng

Sai

b) Số điểm cực trị của hàm số đã cho là 3

Đúng

Sai

c) Hàm số f(x) có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [-1;2] bằng 12

Đúng

Sai

d) Hàm số f(x) có giá trị lớn nhất trên đoạn [-1;2] bằng 33

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Lập bảng biến thiên và nhận xét.

Lời giải chi tiết :

$f^{'} (x) = - 4 x^{3} + 24 x^{2} = 0$ khi $x = \sqrt{6}$ , $x = - \sqrt{6}$ hoặc x = 0.

Bảng biến thiên:

Ta có: f(-1) = 12; f(2) = 33; f(0) = 1.

a) Sai. Hàm số f(x) nghịch biến trên .

b) Đúng. Hàm số có ba điểm cực trị (, x = 0, ).

c) Sai. Hàm số f(x) có giá trị nhỏ nhất trên [-1;2] bằng 1.

d) Đúng. Hàm số f(x) có giá trị lớn nhất trên [-1;2] bằng 33.

Câu 3 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O và G là trọng tâm tam giác SBD.

a) $\vec{S G} = \frac{2}{3} \vec{S O}$

Đúng

Sai

b) $\vec{A S} + \vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A G}$

Đúng

Sai

c) $\vec{S A} + \vec{S C} = 3 \vec{S G}$

Đúng

Sai

d) $\vec{S A} + \vec{S B} + \vec{S C} + \vec{S D} = 12 \vec{G O}$

Đúng

Sai

Đáp án

a) $\vec{S G} = \frac{2}{3} \vec{S O}$

Đúng

Sai

b) $\vec{A S} + \vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A G}$

Đúng

Sai

c) $\vec{S A} + \vec{S C} = 3 \vec{S G}$

Đúng

Sai

d) $\vec{S A} + \vec{S B} + \vec{S C} + \vec{S D} = 12 \vec{G O}$

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Sử dụng quy tắc cộng vecto, lý thuyết các vecto bằng nhau, vecto đối nhau, quy tắc trọng tâm.

Lời giải chi tiết :

a) Đúng. Vì hai vecto $\vec{S G}$ , $\vec{S O}$ cùng hướng và $| \vec{S G} | = \frac{2}{3} | \vec{S O} |$ .

b) Sai. Vì $\vec{A S} + \vec{A B} + \vec{A D} = 3 \vec{A G}$ (quy tắc trọng tâm)

c) Đúng. Vì $\vec{S A} + \vec{S C} = 2 \vec{S O} = 2. \frac{2}{3} \vec{S G} = 3 \vec{S G}$ .

d) Đúng. Vì $\vec{S A} + \vec{S B} + \vec{S C} + \vec{S D} = \vec{S A} + \vec{S C} + \vec{S B} + \vec{S D} = 2 \vec{S O} + 2 \vec{S O}$

$= 4 \vec{S O} = 4.3 \vec{G O} = 12 \vec{G O}$ .

Câu 4 : Trong không gian Oxyz, cho vecto $\vec{a} = (1; 2; 3)$ , $\vec{b} = (3; 6; 9)$ .

a) $\vec{b} - \vec{a} = (2; 4; 6)$

Đúng

Sai

b) $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương

Đúng

Sai

c) $| \vec{a} | = \sqrt{6}$

Đúng

Sai

d) $- \vec{b} = 3 \vec{i} + 6 \vec{j} + 9 \vec{k}$

Đúng

Sai

Đáp án

a) $\vec{b} - \vec{a} = (2; 4; 6)$

Đúng

Sai

b) $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương

Đúng

Sai

c) $| \vec{a} | = \sqrt{6}$

Đúng

Sai

d) $- \vec{b} = 3 \vec{i} + 6 \vec{j} + 9 \vec{k}$

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Sử dụng các quy tắc cộng, trừ vecto, nhân vecto với một số, khái niệm hai vecto cùng phương, công thức tính độ dài vecto.

Lời giải chi tiết :

a) Đúng. Vì $\vec{b} - \vec{a} = (3 - 1; 6 - 2; 9 - 3) = (2; 4; 6)$ .

b) Đúng. Vì $\frac{1}{3} = \frac{2}{6} = \frac{3}{9}$ nên $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương.

c) Sai. Vì $| \vec{a} | = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 3^{2}} = \sqrt{14}$ .

d) Sai. Vì $- \vec{b} = (- 3; - 6; - 9) = - 3 \vec{i} - 6 \vec{j} - 9 \vec{k}$ .

Câu 1 : Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f (x) = \frac{x^{2} + 3}{x - 1}$ trên đoạn [2;4] bằng bao nhiêu?

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

- Tính y’, tìm các nghiệm của y’ = 0

- Tìm giá trị y tại các điểm cực trị của hàm số và hai đầu mút của đoạn.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $f^{'} (x) = \frac{x^{2} - 2 x - 3}{{(x - 1)}^{2}} = 0$ khi x = -1 hoặc x = 3.

Xét đoạn [2;4] có: f(2) = 7; f(3) = 6; $f (4) = \frac{19}{3}$ .

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [2;4] là 6.

Câu 2 : Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị của hàm số $y = \frac{(2 m + 1) x + 3}{x + 1}$ có đường tiệm cận đi qua điểm A(-2;7).

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

Sử dụng quy tắc tìm đường tiệm cận của hàm phân thức.

Lời giải chi tiết :

Nếu m = 1, ta có hàm số $y = \frac{3 x + 3}{x + 1} = 3$ không có tiệm cận qua A(-2;7).

Nếu $m \neq 1$ , đồ thị có tiệm cận đứng x = -1 và tiệm cận ngang y = 2m + 1.

Như vậy, để thỏa mãn yêu cầu đề bài, tiệm cận ngang phải đi qua A, khi và chỉ khi 2m + 1 = 7, tức m = 3.

Câu 3 : Một cửa hàng bán một loại sản phẩm với lợi nhuận thu được khi bán x (trăm) sản phẩm được mô tả bởi hàm số $L (x) = - 0, 5 x^{2} + 6 x - 10$ . Trong đó, x là số lượng sản phẩm bán ra, L(x) là lợi nhuận thu được (đơn vị: triệu đồng). Hãy xác định số lượng sản phẩm mà cửa hàng cần bán ra để lợi nhuận đạt mức cao nhất.

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

Tìm x để hàm số $L (x) = - 0, 5 x^{2} + 6 x - 10$ đạt giá trị lớn nhất.

Lời giải chi tiết :

Lợi nhuận đạt mức cao nhất khi $L (x) = - 0, 5 x^{2} + 6 x - 10$ đạt giá trị lớn nhất.

Ta có: $L^{'} (x) = - x + 6 = 0 \Leftrightarrow x = 6$ .

Theo bảng biến thiên, L(x) đạt giá trị lớn nhất khi x = 6 (trăm).

Vậy lợi nhuận đạt mức cao nhất khi bán ra 600 sản phẩm.

Câu 4 : Cho parabol (P): $y = x^{2}$ và điểm A(-3;0). Xác định điểm M thuộc (P) sao cho khoảng cách AM là ngắn nhất. Tung độ của điểm M bằng bao nhiêu?

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

Thiết lập hàm số biểu diễn bình phương độ dài AM theo biến x là hoành độ. Lập bảng biến thiên cho hàm số, tìm x để hàm số đó đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết :

Gọi $M (x; x^{2})$ là một điểm bất kì của parabol (P).

Ta có: $A M^{2} = (x + 3)^{2} + x^{4} = x^{4} + x^{2} + 6 x + 9$ .

AM nhỏ nhất khi và chỉ khi $f (x) = A M^{2}$ nhỏ nhất.

Xét $f (x) = x^{4} + x^{2} + 6 x + 9$ .

Có $f^{'} (x) = 4 x^{3} + 2 x + 6 = 0 \Leftrightarrow x = - 1$ .

Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra f(x) đạt giá trị nhỏ nhất tại x = -1.

Như vậy, điểm M cần tìm có tọa độ (-1;1). Tung độ của M bằng 1.

Câu 5 : Ba lực $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}, \vec{F_{3}}$ cùng tác động vào một vật có phương đôi một vuông góc và có độ lớn lần lượt là 2N; 3N; 4N. Hợp lực của ba lực đã cho có độ lớn bao nhiêu Niu-tơn (kết quả làm tròn đến một chữ số thập phân)?

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

Sử dụng quy tắc hình hộp.

Lời giải chi tiết :

Vì ba vecto trên đôi một vuông góc nên ta có thể áp dụng quy tắc hình hộp. Hợp lực F của ba vecto trên có độ lớn là:

$F = \sqrt{F_{1}^{2} + F_{2}^{2} + F_{3}^{2}} = \sqrt{2^{2} + 3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{29} \approx 5, 4$ (N).

Câu 6 : Trong không gian Oxy (đơn vị đo lấy theo km), radar phát hiện một chiếc máy bay di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm A(800;500;7) đến điểm B(940;550;8) trong 10 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên tốc độ và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo là D(x;y;x). Khi đó, x + y + z bằng bao nhiêu?

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

Sử dụng quy tắc cộng vecto.

Lời giải chi tiết :

Máy bay di chuyển với tốc độ không đổi, sau 10 phút sẽ đi được quãng đường đúng bằng quãng đường 10 phút trước, tức AB = BD.

Mặt khác, hướng bay giữ nguyên nên $\vec{A B} = \vec{B D} = (940 - 800; 550 - 500; 8 - 7) = (140; 50; 1)$ .

Ta tính được $D = (940 + 140; 550 + 50; 8 + 1) = (1080; 600; 9)$ .

Vậy x + y + z = 1689.