Đề thi giữa kì 1 Toán 12 - Đề số 4

Câu 1 : Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ.

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A.

$(- \infty; 0)$
B.

$(- 1; 1)$
C.

$(- 1; 0)$
D.

$(1; + \infty)$

Câu 2 : Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A.

$y = \frac{2 x - 1}{x + 1}$
B.

$y = \frac{2 x + 1}{x - 1}$
C.

$y = \frac{2 x + 1}{x + 1}$
D.

$y = \frac{1 - 2 x}{x - 1}$

Câu 3 : Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [−1;4] và có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [–1;4]. Tính M + m.

A.

4
B.

3
C.

2
D.

1

Câu 4 : Cho hàm số y = f(x) là hàm số xác định trên R∖{1}, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.

Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là y = 0, y = 5 và tiệm cận đứng là x = 1
B.

Giá trị cực tiểu của hàm số là y = 3
C.

Giá trị cực đại của hàm số 5
D.

Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận

Câu 5 : Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = \frac{- x^{2} + 4 x - 1}{x + 3}$ là:

A.

y = x + 7
B.

y = -x + 7
C.

y = x - 7
D.

y = -x - 7

Câu 6 : Tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x + 3}{x - 1}$ là:

A.

(2;1)
B.

(-1;2)
C.

(1;2)
D.

(1;-2)

Câu 7 : Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A.

Vecto trong không gian là một đoạn thẳng có hướng
B.

Hai vecto cùng phương là hai vecto có giá song song hoặc trùng nhau
C.

Hai vecto bằng nhau là hai vecto cùng hướng và có độ dài bằng nhau
D.

Hai vecto cùng phương thì cùng hướng

Câu 8 : Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số nào trong bốn hàm số dưới đây?

A.

$y = x^{3} - 4 x + 1$
B.

$y = x^{3} + 3 x^{2} + 1$
C.

$y = x^{3} - 4 x - 1$
D.

$y = - x^{3} + 4 x + 1$

Câu 9 : Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \frac{1}{\sin x}$ trên đoạn $[\frac{π}{3}; \frac{5 π}{6}]$ là:

A.

0
B.

1
C.

2
D.

3

Câu 10 : Cho hàm số $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ có bảng biến thiên như hình vẽ sau:

Xác định công thức của hàm số.

A.

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 1$
B.

$y = - x^{3} - 2 x^{2} + 1$
C.

$y = - x^{3} - 3 x^{2} + 1$
D.

$y = - x^{3} + 3 x^{2} + 1$

Câu 11 : Trong không gian, cho vecto $\vec{A B}$ và vecto $\vec{B C}$ . Khi đó, vecto $\vec{A C}$ bằng

A.

$\vec{A B} + \vec{B C}$
B.

$\vec{A B} - \vec{B C}$
C.

$\vec{A B} + \vec{C B}$
D.

$\vec{B A} - \vec{B C}$

Câu 12 : Cho hai vecto $\vec{u} = (1; 4; 2)$ , $\vec{v} = (- 1; 3; 0)$ . Tích $\vec{u} . \vec{v}$ bằng:

A.

12
B.

-11
C.

0
D.

11

Câu 1 : Cho hàm số f(x) xác định trên R có bảng biến thiên như sau:

a) Hàm số f(x) đồng biến trên mỗi khoảng $(- \infty; 1)$ và $(3; + \infty)$

Đúng

Sai

b) Số điểm cực trị của hàm số đã cho là 2

Đúng

Sai

c) Hàm số f(x) có giá trị lớn nhất bằng 5

Đúng

Sai

d) Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2

Đúng

Sai

Câu 2 : Cho hàm số $f (x) = x^{3} - 24 x$ .

a) Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng $(- \infty; 0)$ .

Đúng

Sai

b) Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là (16;-2048).

Đúng

Sai

c) Hàm số f(x) có giá trị lớn nhất trên đoạn [2;19] bằng 6403.

Đúng

Sai

d) Hàm số f(x) có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [2;19] bằng -40.

Đúng

Sai

Câu 3 : Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.

a) $\vec{A B} + \vec{B^{'} C^{'}} + \vec{D D^{'}} = \vec{A C^{'}}$

Đúng

Sai

b) $\vec{B D} + \vec{D D^{'}} + \vec{B^{'} D^{'}} = \vec{B B^{'}}$

Đúng

Sai

c) $\vec{A C} + \vec{B A^{'}} + \vec{D B} + \vec{C^{'} D} = \vec{0}$

Đúng

Sai

d) $\vec{A B^{'}} = \vec{C^{'} D}$

Đúng

Sai

Câu 4 : Trong không gian Oxyz, cho vecto $\vec{a} = (2; - 2; - 4)$ , $\vec{b} = (1; - 1; 1)$ .

a) $\vec{a} + \vec{b} = (3; - 3; - 3)$

Đúng

Sai

b) $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương

Đúng

Sai

c) $| \vec{b} | = \sqrt{3}$

Đúng

Sai

d) $\vec{a} = 2 \vec{i} - 2 \vec{j} - 4 \vec{k}$

Đúng

Sai

Câu 1 : Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của của hàm số $f (x) = \frac{3 x - 1}{x - 3}$ trên đoạn [0;2]. Giá trị của 3M - m bằng bao nhiêu?

Đáp án:

Câu 2 : Tìm hai số a, b để đồ thị hàm số $y = \frac{(4 a - b) x^{2} + a x + 1}{x^{2} + a x + b - 12}$ nhận trục hoành và trục tung làm hai tiệm cận. Tổng của a và b bằng bao nhiêu?

Đáp án:

Câu 3 : Một chất điểm chuyển động theo phương trình $s (t) = - \frac{1}{3} t^{3} + 18 t^{2} - 35 t + 10$ , trong đó t tính bằng giây, s tính bằng mét. Trong 40 giây đầu tiên, chất điểm đó có vận tốc tức thời giảm trong khoảng thời gian (a;b). Tính giá trị biểu thức P = a + 9b.

Đáp án:

Câu 4 : Chu vi một tam giác là 16 cm, độ dài một cạnh tam giác là 6 cm. Diện tích lớn nhất của tam giác có thể đạt được là bao nhiêu?

Đáp án:

Câu 5 : Ba lực cùng tác động vào một vật. Hai trong ba lực này hợp với nhau một góc $120^{o}$ và có độ lớn lần lượt là 25 N và 12 N. Lực thứ ba vuông góc với mặt phẳng tạo bởi hai lực đã cho và có độ lớn 4 N. Tính độ lớn (đơn vị: N) của hợp lực của ba lực trên (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Đáp án:

Câu 6 : Ở một sân bay, vị trí của máy bay được xác định bởi điểm M trong không gian Oxyz như hình bên. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M xuống mặt phẳng (Oxy). Cho biết OM = 50, $(\vec{i}, \vec{O H}) = 64^{o}$ , $(\vec{O H}, \vec{O M}) = 48^{o}$ . Biết tọa độ của điểm M là (a;b;c), a, b, c được làm tròn đến hàng phần chục. Tính a + b – c.

Đáp án:

Câu 1 : Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ.

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A.

$(- \infty; 0)$
B.

$(- 1; 1)$
C.

$(- 1; 0)$
D.

$(1; + \infty)$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Quan sát bảng biến thiên và nhận xét.

Lời giải chi tiết :

Dựa vào bảng biến thiên hàm số y = f(x) đồng biến trên các khoảng $(- \infty; - 1)$ và $(- 1; 0)$ .

Câu 2 : Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A.

$y = \frac{2 x - 1}{x + 1}$
B.

$y = \frac{2 x + 1}{x - 1}$
C.

$y = \frac{2 x + 1}{x + 1}$
D.

$y = \frac{1 - 2 x}{x - 1}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Quan sát đồ thị và nhận xét.

Lời giải chi tiết :

Nhìn vào đồ thị ta thấy ngay tiệm cận đứng x = -1, tiệm cận ngang y = 2. Loại B, D.

Đồ thị hàm số đi qua điểm (0; -1).

Xét $y = \frac{2 x + 1}{x + 1}$ khi x = 0 ⇒ y = 1. Loại đáp án C.

Xét $y = \frac{2 x - 1}{x + 1}$ y = (2x – 1)/(x + 1) khi x = 0 ⇒ y = -1. Chọn đáp án A.

Câu 3 : Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [−1;4] và có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [–1;4]. Tính M + m.

A.

4
B.

3
C.

2
D.

1

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Quan sát đồ thị và nhận xét.

Lời giải chi tiết :

$M = max_{[- 1; 4]} f (x) = f (- 1) = 3$ .

$M = min_{[- 1; 4]} f (x) = f (1) = - 1$ .

Vậy M + m = 3 + (-1) = 2.

Câu 4 : Cho hàm số y = f(x) là hàm số xác định trên R∖{1}, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.

Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là y = 0, y = 5 và tiệm cận đứng là x = 1
B.

Giá trị cực tiểu của hàm số là y = 3
C.

Giá trị cực đại của hàm số 5
D.

Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Quan sát bảng biến thiên và nhận xét.

Lời giải chi tiết :

Do $lim_{x \to - \infty} f (x) = 0$ , $lim_{x \to + \infty} f (x) = 5$ nên đồ thị có hai tiệm cận ngang là y = 0, y = 5.

Do $lim_{x \to 1^{-}} f (x) = - \infty$ nên đồ thị có một tiệm cận đứng là x = 1.

Câu 5 : Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = \frac{- x^{2} + 4 x - 1}{x + 3}$ là:

A.

y = x + 7
B.

y = -x + 7
C.

y = x - 7
D.

y = -x - 7

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Thực hiện phép chia đa thức (ở tử) cho đa thức (ở mẫu) ta được $y = a x + b + \frac{M}{c x + d}$ (a≠0) với M là hằng số.

Đường thẳng y = ax + b (a≠0) gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) nếu $lim_{x \to + \infty} [f (x) - (a x + b)] = 0$ hoặc $lim_{x \to - \infty} [f (x) - (a x + b)] = 0$ .

Kết luận đường thẳng y = ax +b là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $y = \frac{- x^{2} + 4 x - 1}{x + 3} = - x + 7 + \frac{- 22}{x + 3} = f (x)$ .

Từ đó: $lim_{x \to + \infty} [f (x) - (- x + 7)] = lim_{x \to + \infty} \frac{- 22}{x + 3} = 0$ .

Vậy đường thẳng y = -x + 7 là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

Câu 6 : Tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x + 3}{x - 1}$ là:

A.

(2;1)
B.

(-1;2)
C.

(1;2)
D.

(1;-2)

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị và tìm giao điểm của chúng.

Lời giải chi tiết :

Tiệm cận ngang của đồ thị là y = 2, tiệm cận đứng của đồ thị là x = 1 nên tâm đối xứng có tọa độ (1;2).

Câu 7 : Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A.

Vecto trong không gian là một đoạn thẳng có hướng
B.

Hai vecto cùng phương là hai vecto có giá song song hoặc trùng nhau
C.

Hai vecto bằng nhau là hai vecto cùng hướng và có độ dài bằng nhau
D.

Hai vecto cùng phương thì cùng hướng

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Dựa vào lý thuyết về vecto trong không gian.

Lời giải chi tiết :

D sai. Hai vecto cùng phương có thể cùng hướng ngoặc ngược hướng.

Câu 8 : Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số nào trong bốn hàm số dưới đây?

A.

$y = x^{3} - 4 x + 1$
B.

$y = x^{3} + 3 x^{2} + 1$
C.

$y = x^{3} - 4 x - 1$
D.

$y = - x^{3} + 4 x + 1$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Quan sát đồ thị và nhận xét.

Lời giải chi tiết :

Dựa vào đồ thị ta thấy $lim_{x \to + \infty} y = + \infty$ nên hệ số a > 0. Loại D.

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên d > 0. Loại C.

Xét đáp án A: $y^{'} = 3 x^{2} - 4 = 0 \Leftrightarrow x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

Xét đáp án B: $y^{'} = 3 x^{2} + 6 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = - 2 \end{array}$ .

Vì hai điểm cực trị trên hình vẽ đồ thị trái dấu nên loại B.

Câu 9 : Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \frac{1}{\sin x}$ trên đoạn $[\frac{π}{3}; \frac{5 π}{6}]$ là:

A.

0
B.

1
C.

2
D.

3

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Tìm đạo hàm của hàm số sau đó tính các giá trị f(x).

Lời giải chi tiết :

$f^{'} (x) = \frac{- \cos x}{\sin^{2} x} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k π$ .

Vì $x \in [\frac{π}{3}; \frac{5 π}{6}]$ nên $f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{π}{2}$ .

Ta có: $f (\frac{π}{3}) = 2 \sqrt{3}$ ; $f (\frac{π}{2}) = 1$ ; $f (\frac{5 π}{6}) = 2$ .

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \frac{1}{\sin x}$ trên đoạn $[\frac{π}{3}; \frac{5 π}{6}]$ bằng 1.

Câu 10 : Cho hàm số $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ có bảng biến thiên như hình vẽ sau:

Xác định công thức của hàm số.

A.

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 1$
B.

$y = - x^{3} - 2 x^{2} + 1$
C.

$y = - x^{3} - 3 x^{2} + 1$
D.

$y = - x^{3} + 3 x^{2} + 1$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Dựa vào sự biến thiên, cực trị và các điểm hàm số đi qua để lập hệ phương trình tìm hệ số.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $f^{'} (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c$ .

Đồ thị hàm số đạt cực trị tại điểm (0;1) và (−2;−3) nên ta có:

${\begin{matrix} f^{'} (0) = 0 \\ f (0) = 1 \\ f^{'} (- 2) = 0 \\ f (- 2) = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} c = 0 \\ d = 1 \\ 12 a - 4 b = 0 \\ - 8 a + 4 b + 1 = - 3 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} a = - 1 \\ b = - 3 \\ c = 0 \\ d = 1 \end{matrix}$

Vậy hàm số cần tìm là $y = - x^{3} - 3 x^{2} + 1$ .

Câu 11 : Trong không gian, cho vecto $\vec{A B}$ và vecto $\vec{B C}$ . Khi đó, vecto $\vec{A C}$ bằng

A.

$\vec{A B} + \vec{B C}$
B.

$\vec{A B} - \vec{B C}$
C.

$\vec{A B} + \vec{C B}$
D.

$\vec{B A} - \vec{B C}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Dựa vào quy tắc ba điểm.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$ (theo quy tắc ba điểm).

Câu 12 : Cho hai vecto $\vec{u} = (1; 4; 2)$ , $\vec{v} = (- 1; 3; 0)$ . Tích $\vec{u} . \vec{v}$ bằng:

A.

12
B.

-11
C.

0
D.

11

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính tọa độ tích vô hướng của hai vecto.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\vec{u} . \vec{v} = 1. (- 1) + 4.3 + 2.0 = 11$ .

Câu 1 : Cho hàm số f(x) xác định trên R có bảng biến thiên như sau:

a) Hàm số f(x) đồng biến trên mỗi khoảng $(- \infty; 1)$ và $(3; + \infty)$

Đúng

Sai

b) Số điểm cực trị của hàm số đã cho là 2

Đúng

Sai

c) Hàm số f(x) có giá trị lớn nhất bằng 5

Đúng

Sai

d) Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2

Đúng

Sai

Đáp án

a) Hàm số f(x) đồng biến trên mỗi khoảng $(- \infty; 1)$ và $(3; + \infty)$

Đúng

Sai

b) Số điểm cực trị của hàm số đã cho là 2

Đúng

Sai

c) Hàm số f(x) có giá trị lớn nhất bằng 5

Đúng

Sai

d) Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Quan sát bảng biến thiên và nhận xét.

Lời giải chi tiết :

a) Đúng. f'(x) > 0 trên $(- \infty; 1)$ và $(3; + \infty)$ .

b) Đúng. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là 2 (x = 1, x = 3).

c) Sai. Hàm số f(x) không có giá trị lớn nhất.

d) Sai. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3.

Câu 2 : Cho hàm số $f (x) = x^{3} - 24 x$ .

a) Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng $(- \infty; 0)$ .

Đúng

Sai

b) Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là (16;-2048).

Đúng

Sai

c) Hàm số f(x) có giá trị lớn nhất trên đoạn [2;19] bằng 6403.

Đúng

Sai

d) Hàm số f(x) có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [2;19] bằng -40.

Đúng

Sai

Đáp án

a) Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng $(- \infty; 0)$ .

Đúng

Sai

b) Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là (16;-2048).

Đúng

Sai

c) Hàm số f(x) có giá trị lớn nhất trên đoạn [2;19] bằng 6403.

Đúng

Sai

d) Hàm số f(x) có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [2;19] bằng -40.

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Lập bảng biến thiên và nhận xét.

Lời giải chi tiết :

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 24 = 0 \Leftrightarrow {\begin{matrix} x = 2 \sqrt{2} \in [2; 19] \\ x = - 2 \sqrt{2} \notin [2; 19] \end{matrix}$

a) Sai.

b) Sai. Hàm số có điểm cực tiểu là $(2 \sqrt{2}; - 32 \sqrt{2})$ .

c) Đúng. Hàm số f(x) có giá trị lớn nhất trên [2;19] bằng 6403.

d) Sai. Hàm số f(x) có giá trị nhỏ nhất trên [2;19] bằng $- 32 \sqrt{2}$ .

Câu 3 : Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.

a) $\vec{A B} + \vec{B^{'} C^{'}} + \vec{D D^{'}} = \vec{A C^{'}}$

Đúng

Sai

b) $\vec{B D} + \vec{D D^{'}} + \vec{B^{'} D^{'}} = \vec{B B^{'}}$

Đúng

Sai

c) $\vec{A C} + \vec{B A^{'}} + \vec{D B} + \vec{C^{'} D} = \vec{0}$

Đúng

Sai

d) $\vec{A B^{'}} = \vec{C^{'} D}$

Đúng

Sai

Đáp án

a) $\vec{A B} + \vec{B^{'} C^{'}} + \vec{D D^{'}} = \vec{A C^{'}}$

Đúng

Sai

b) $\vec{B D} + \vec{D D^{'}} + \vec{B^{'} D^{'}} = \vec{B B^{'}}$

Đúng

Sai

c) $\vec{A C} + \vec{B A^{'}} + \vec{D B} + \vec{C^{'} D} = \vec{0}$

Đúng

Sai

d) $\vec{A B^{'}} = \vec{C^{'} D}$

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Sử dụng quy tắc cộng vecto, lý thuyết các vecto bằng nhau, vecto đối nhau, quy tắc hình hộp.

Lời giải chi tiết :

a) Đúng. Vì $\vec{A B} + \vec{B^{'} C^{'}} + \vec{D D^{'}} = \vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A^{'}} = \vec{A C^{'}}$ (quy tắc hình hộp).

b) Sai. Vì $\vec{B D} - \vec{D D^{'}} - \vec{B^{'} D^{'}} = \vec{B D} + \vec{D^{'} B^{'}} + \vec{D^{'} D} = \vec{D^{'} D} = \vec{B^{'} B}$ .

c) Đúng. Vì $\vec{A C} + \vec{B A^{'}} + \vec{D B} + \vec{C^{'} D} = \vec{A C} + \vec{B A^{'}} + \vec{C^{'} B} = \vec{A C} + \vec{C^{'} A^{'}} = \vec{0}$ .

d) Sai. Vì $\vec{A B^{'}} = \vec{D C^{'}} \neq \vec{C^{'} D}$ .

Câu 4 : Trong không gian Oxyz, cho vecto $\vec{a} = (2; - 2; - 4)$ , $\vec{b} = (1; - 1; 1)$ .

a) $\vec{a} + \vec{b} = (3; - 3; - 3)$

Đúng

Sai

b) $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương

Đúng

Sai

c) $| \vec{b} | = \sqrt{3}$

Đúng

Sai

d) $\vec{a} = 2 \vec{i} - 2 \vec{j} - 4 \vec{k}$

Đúng

Sai

Đáp án

a) $\vec{a} + \vec{b} = (3; - 3; - 3)$

Đúng

Sai

b) $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương

Đúng

Sai

c) $| \vec{b} | = \sqrt{3}$

Đúng

Sai

d) $\vec{a} = 2 \vec{i} - 2 \vec{j} - 4 \vec{k}$

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Sử dụng các quy tắc cộng, trừ vecto, nhân vecto với một số, khái niệm hai vecto cùng phương, công thức tính độ dài vecto.

Lời giải chi tiết :

a) Đúng. Vì $\vec{a} + \vec{b} = (2 + 2; - 2 - 1; - 4 + 1) = (3; - 3; - 3)$ .

b) Sai. Vì $\frac{2}{1} = \frac{- 2}{- 1} \neq \frac{- 4}{1}$ nên $\vec{a}$ và $\vec{b}$ không cùng phương.

c) Đúng. Vì $| \vec{b} | = \sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}} = \sqrt{3}$ .

d) Đúng. Vì $\vec{a} = (2; - 2; - 4) = 2 \vec{i} - 2 \vec{j} - 4 \vec{k}$ .

Câu 1 : Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của của hàm số $f (x) = \frac{3 x - 1}{x - 3}$ trên đoạn [0;2]. Giá trị của 3M - m bằng bao nhiêu?

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

- Tính y’, tìm các nghiệm của y’ = 0

- Tìm giá trị y tại các điểm cực trị của hàm số và hai đầu mút của đoạn.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $f^{'} (x) = - \frac{8}{{(x - 3)}^{2}} < 0$ $(\forall x \in D)$ nên hàm nghịch biến trên tập xác định.

Suy ra giá trị nhỏ nhất của f(x) trên [0;2] là f(2) = -5, giá trị lớn nhất của f(x) trên [0;2] là $\frac{1}{3}$ .

Vậy $M = \frac{1}{3}, m = - 5$ nên $3 M - m = 3. \frac{1}{3} - (- 5) = 6$ .

Câu 2 : Tìm hai số a, b để đồ thị hàm số $y = \frac{(4 a - b) x^{2} + a x + 1}{x^{2} + a x + b - 12}$ nhận trục hoành và trục tung làm hai tiệm cận. Tổng của a và b bằng bao nhiêu?

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

Sử dụng quy tắc tìm đường tiệm cận của hàm phân thức.

Lời giải chi tiết :

Do đồ thị nhận trục hoành làm tiệm cận ngang nên 4a – b = 0.

Do đồ thị nhận trục tung làm tiệm cận đứng, suy ra biểu thức $x^{2} + a x + b - 12$ nhận x = 0 làm nghiệm, tức b = 12.

Từ b, ta tìm được a = 3.

Thử lại, ta có a = 3 và b = 12 là hai số cần tìm.

Vậy a + b = 3 + 12 = 15.

Câu 3 : Một chất điểm chuyển động theo phương trình $s (t) = - \frac{1}{3} t^{3} + 18 t^{2} - 35 t + 10$ , trong đó t tính bằng giây, s tính bằng mét. Trong 40 giây đầu tiên, chất điểm đó có vận tốc tức thời giảm trong khoảng thời gian (a;b). Tính giá trị biểu thức P = a + 9b.

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

Xét sự biến thiên của hàm số v(t) = s’(t).

Lời giải chi tiết :

$v (t) = s^{'} (t) = - t^{2} + 36 t - 35$ .

$v^{'} (t) = - 2 t + 36 = 0 \Leftrightarrow t = 18$ .

Từ bảng biến thiên, ta thấy trong khoảng (18;40) giây, vận tốc tức thời của chất điểm giảm.

P = 18 + 9.40 = 378.

Câu 4 : Chu vi một tam giác là 16 cm, độ dài một cạnh tam giác là 6 cm. Diện tích lớn nhất của tam giác có thể đạt được là bao nhiêu?

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

Thiết lập hàm số biểu diễn diện tích của tam giác dựa vào công thức Heron. Lập bảng biến thiên tìm giá trị lớn nhất của hàm số đó.

Lời giải chi tiết :

Gọi x, y là độ dài hai cạnh còn lại của tam giác.

Ta có: x + y = 16 - 6 = 10 (x > 0, y > 0).

Diện tích tam giác là: $S = \sqrt{p (p - 6) (p - x) (p - y)} = \sqrt{8.2 (8 - x) (8 - y)} = 4 \sqrt{(8 - x) (8 - y)}$ .

Thay y = 10 – x, ta được: $S = 4 \sqrt{(8 - x) (x - 2)} = 4 \sqrt{- x^{2} + 10 x - 16}$ , $x \in (0; 10)$ .

Đặt $f (x) = - x^{2} + 10 x - 16$ , ta có $f^{'} (x) = - 2 x + 10 = 0 \Leftrightarrow x = 5$ .

Từ bảng biến thiên, suy ra f(x) lớn nhất khi x = 5. Khi đó, diện tích tam giác cũng đạt giá trị lớn nhất là 12 $c m^{2}$ khi x = 5.

Câu 5 : Ba lực cùng tác động vào một vật. Hai trong ba lực này hợp với nhau một góc $120^{o}$ và có độ lớn lần lượt là 25 N và 12 N. Lực thứ ba vuông góc với mặt phẳng tạo bởi hai lực đã cho và có độ lớn 4 N. Tính độ lớn (đơn vị: N) của hợp lực của ba lực trên (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

Sử dụng quy tắc tổng hợp lực.

Lời giải chi tiết :

Gọi $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}, \vec{F_{3}}$ lần lượt là ba lực tác động vào vật đặt tại điểm O như hình.

Ta có: $- \to F_{1} = O A, - \to F_{2} = O B, - \to F_{3} = O C$ .

Khi đó, độ lớn các lực là OA = 25N, OB = 12N, OC = 4N.

Dựng hình bình hành OADB. Theo quy tắc hình bình hành, ta có: $\vec{O D} = \vec{O A} + \vec{O B}$ .

Suy ra ${\vec{O D}}^{2} = {(\vec{O A} + \vec{O B})}^{2} = {\vec{O A}}^{2} + {\vec{O B}}^{2} + 2 \vec{O A} \vec{O B}$

$= O A^{2} + O B^{2} + 2 O A . O B \cos (\vec{O A}, \vec{O B})$

$= 25^{2} + 12^{2} + 2.25.12 \cos 120^{o} = 469 = O D$ .

Dựng hình bình hành ODEC.

Tổng lực tác động vào vật là $\vec{F} = \vec{O E} = \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C}$ .

Độ lớn của hợp lực tác động vào vật là F = OE.

Vì OC⊥(OADC) nên OC⊥OD, suy ra ODEC là hình chữ nhật. Khi đó, tam giác ODE vuông tại D.

$O E^{2} = O C^{2} + O D^{2} = 4^{2} + 469 = 485$ .

Vậy $F = O E \approx 22$ .

Câu 6 : Ở một sân bay, vị trí của máy bay được xác định bởi điểm M trong không gian Oxyz như hình bên. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M xuống mặt phẳng (Oxy). Cho biết OM = 50, $(\vec{i}, \vec{O H}) = 64^{o}$ , $(\vec{O H}, \vec{O M}) = 48^{o}$ . Biết tọa độ của điểm M là (a;b;c), a, b, c được làm tròn đến hàng phần chục. Tính a + b – c.

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

Điểm M có hoành độ bằng OA, tung độ bằng OB, cao độ bằng OC.

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác để tìm OA, OB, OC.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$c = O C = O M . \sin 48^{o} = 50. \sin 48^{o} \approx 37, 2$ .

$a = O A = O H . \cos 64^{o} = O M . \cos 48^{o} . \cos 64^{o} = 50. \cos 48^{o} . \cos 64^{o} \approx 14, 7$ .

$b = O B = O H . \sin 64^{o} = O M . \cos 48^{o} . \sin 64^{o} = 50. \cos 48^{o} . \sin 64^{o} \approx 30, 1$ .

Vậy a + b – c = 14,7 + 30,1 – 37,2 = 7,6.