Đề thi giữa kì 1 Toán 12 - Đề số 7

Câu 1 : Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(- \infty; - 2)$ và $(- 3; 0)$
B.

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(- 3; - 2)$
C.

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(0; 1)$
D.

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(0; + \infty)$

Câu 2 : Cho hàm số f(x) có đạo hàm $f^{'} (x) = x (x + 1)^{2} (x - 2)^{3}$ , $\forall x \in R$ . Số điểm cực trị của hàm số là

A.

1
B.

2
C.

3
D.

0

Câu 3 : Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên.

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-2;2]. Tính M + m.

A.

-1
B.

-2
C.

0
D.

-3

Câu 4 : Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Hỏi đồ thị của hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?

A.

1
B.

4
C.

2
D.

3

Câu 5 : Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = \frac{x^{2} + 3 x}{x - 2}$ là:

A.

$y = x - 5$
B.

$y = 5 x$
C.

$y = x + 5$
D.

$y = - x - 5$

Câu 6 : Tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3 x + 1$ là:

A.

(-1;3)
B.

(1;0)
C.

(1;-1)
D.

(0;1)

Câu 7 : Cho ba vecto $\to a, \to b, \to c$ không đồng phẳng. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A.

Nếu $\to a, \to b, \to c$ không đồng phẳng thì từ $m \to a + n \to b + p \to c = \to 0$ ta suy ra m = n = p = 0
B.

Nếu có $m \to a + n \to b + p \to c = \to 0$ , trong đó $m^{2} + n^{2} + p^{2} > 0$ thì $\to a, \to b, \to c$ đồng phẳng
C.

Với ba số thực m, n, p thỏa mãn $m + n + p \neq 0$ ta có $m \to a + n \to b + p \to c = \to 0$ thì $\to a, \to b, \to c$ đồng phẳng
D.

Nếu giá của $\to a, \to b, \to c$ đồng quy thì $\to a, \to b, \to c$ đồng phẳng

Câu 8 : Hình bên là đồ thị của hàm số f’(x). Hỏi hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A.

$(2; + \infty)$
B.

$(1; 2)$
C.

$(0; 1)$
D.

$(0; 1)$ và $(2; + \infty)$

Câu 9 : Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A.

a > 0, b < 0, c > 0, d > 0
B.

a > 0, b < 0, c < 0, d > 0
C.

a > 0, b > 0, c < 0, d > 0
D.

a < 0, b > 0, c > 0, d < 0

Câu 10 : Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ sau.

Xác định công thức của hàm số.

A.

$y = \frac{x - 4}{2 x + 2}$
B.

$y = \frac{- 2 x - 4}{x + 1}$
C.

$y = \frac{- 2 x + 3}{x + 1}$
D.

$y = \frac{2 - x}{x + 1}$

Câu 11 : Cho tứ diện hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD. Số đo góc (MN, SC) bằng

A.

$45^{o}$
B.

$30^{o}$
C.

$90^{o}$
D.

$60^{o}$

Câu 12 : Cho hai vecto $\to a, \to b \neq 0$ . Xác định góc giữa hai vecto $\to a, \to b$ khi $\to a . \to b = - ∣ ∣ \to a ∣ ∣ . ∣ ∣ ∣ \to b ∣ ∣ ∣$ .

A.

$α = 180^{o}$
B.

$α = 0^{o}$
C.

$α = 90^{o}$
D.

$α = 45^{o}$

Câu 1 : Cho hàm số f(x) xác định trên R có đồ thị như sau:

a) Đồ thị hàm số đã cho có một 1 cực trị

Đúng

Sai

b) Hàm số đã cho đồng biến trên R

Đúng

Sai

c) Điểm (1;2) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số y = f(x)

Đúng

Sai

d) Đồ thị hàm số f(x) là $y = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$

Đúng

Sai

Câu 2 : Cho đồ thị của hàm số f(x) như sau:

a) Đồ thị hàm số f(x) có tiệm cận đứng x = 0

Đúng

Sai

b) Đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng

Đúng

Sai

c) Hàm số f(x) nghịch biến trên mỗi khoảng và

Đúng

Sai

d) Đồ thị hàm số f(x) có điểm cực đại (-3;-4) và điểm cực tiểu (1;4)

Đúng

Sai

Câu 3 : Cho tứ diện ABCD có các cạnh đều bằng a.

a) $- - \to A D + - - \to C B + - - \to B C + - - \to D A = \to 0$

Đúng

Sai

b) $- - \to A B . - - \to B C = - \frac{a^{2}}{2}$

Đúng

Sai

c) $- - \to A C . - - \to A D = - - \to A C . - - \to C D$

Đúng

Sai

d) $A B ⊥ C D$

Đúng

Sai

Câu 4 : Trong không gian Oxyz, cho vecto $\to a = (2; 3; 1)$ , $\to b = (- 1; 5; 2)$ , $\to c = (4; - 1; 3)$ và $\to x = (- 3; 22; 5)$ .

a) $∣ ∣ 2 \to a ∣ ∣ = 14$

Đúng

Sai

b) $∣ ∣ ∣ \to a + \to b ∣ ∣ ∣ = \sqrt{74}$

Đúng

Sai

c) $3 \to a - 2 \to c = (- 2; 11; - 3)$

Đúng

Sai

d) $\to x = - 2 \to a - 3 \to b + \to c$

Đúng

Sai

Câu 1 : Gọi giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \sqrt{1 - x} + \sqrt{1 + x}$ lần lượt là M, m. Tính $M + 2 m^{2}$ .

Đáp án:

Câu 2 : Với giá trị nào của tham số m để đồ thị hàm số $y = \frac{m x^{2} - 4}{m x - 1}$ có tiệm cận đứng đi qua điểm A(1;4)?

Đáp án:

Câu 3 : Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A(1;0;1), B(2;1;2), D(1;-1;1), C’(4;5;-5). Tính tổng của hoành độ, tung độ, cao độ đỉnh A’.

Đáp án:

Câu 4 : Một chất điểm chuyển động theo quy luật $s (t) = 6 t^{2} - t^{3}$ . Tính thời điểm t (giây) tại đó vận tốc v (m/s) của chuyển động tại giá trị lớn nhất.

Đáp án:

Câu 5 : Một khách sạn có 60 phòng. Chủ khách sạn nhận thấy nếu cho thuê mỗi phòng với giá 500 000 đồng/ngày thì tất cả các phòng đều được thuê hết và cứ tăng giá thêm 50 000 đồng một phòng thì có thêm 2 phòng trống. Hỏi chủ khách sạn nên cho thuê mỗi phòng với giá bao nhiêu tiền (đơn vị: nghìn đồng) một ngày để tổng doanh thu một ngày là lớn nhất.

Đáp án:

Câu 6 : Cho hàm số $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ có đồ thị như hình. Biết a là số thực dương, hỏi trong các số a, c, d có tất cả bao nhiêu số dương?

Đáp án:

Câu 1 : Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(- \infty; - 2)$ và $(- 3; 0)$
B.

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(- 3; - 2)$
C.

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(0; 1)$
D.

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(0; + \infty)$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Quan sát bảng biến thiên và nhận xét.

Lời giải chi tiết :

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-∞;-2) và (0;1); nghịch biến trên khoảng (-2;0) và (1;+∞).

Câu 2 : Cho hàm số f(x) có đạo hàm $f^{'} (x) = x (x + 1)^{2} (x - 2)^{3}$ , $\forall x \in R$ . Số điểm cực trị của hàm số là

A.

1
B.

2
C.

3
D.

0

Đáp án : B

Phương pháp giải :

$x_{0}$ là điểm cực trị của hàm số $f (x)$ nếu $f^{'} (x_{0}) = 0$ và $f^{'} (x_{0})$ đổi dấu qua $x_{0}$ .

Lời giải chi tiết :

$f^{'} (x) = x (x + 1)^{2} (x - 2)^{3} = 0 \Leftrightarrow ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x = 0 x = - 1 x = 2 \end{matrix}$ .

$f^{'} (x)$ đổi dấu qua $x = 0$ , $x = 2$ .

Vậy số điểm cực trị của hàm số là 2.

Câu 3 : Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên.

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-2;2]. Tính M + m.

A.

-1
B.

-2
C.

0
D.

-3

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Quan sát đồ thị và nhận xét.

Lời giải chi tiết :

Dựa vào đồ thị ta thấy:

$max [- 2; 2] f (x) = f (2) = 0$ , $min [- 2; 2] f (x) = f (- 1) = f (2) = - 2$ . Vậy M + m = 0 + (-2) = -2.

Câu 4 : Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Hỏi đồ thị của hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?

A.

1
B.

4
C.

2
D.

3

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Quan sát bảng biến thiên và nhận xét.

Lời giải chi tiết :

Dựa vào bảng biến thiên ta có: $lim x \to 1^{-} f (x) = + \infty$ nên x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Mặt khác: $lim x \to - \infty f (x) = 1$ , $lim x \to + \infty f (x) = - 1$ nên y = 1, y = -1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị có 3 tiệm cận.

Câu 5 : Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = \frac{x^{2} + 3 x}{x - 2}$ là:

A.

$y = x - 5$
B.

$y = 5 x$
C.

$y = x + 5$
D.

$y = - x - 5$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Thực hiện phép chia đa thức (ở tử) cho đa thức (ở mẫu) ta được $y = a x + b + \frac{M}{c x + d}$ (a≠0) với M là hằng số.

Đường thẳng y = ax + b (a≠0) gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) nếu $lim x \to + \infty [f (x) - (a x + b)] = 0$ hoặc $lim x \to - \infty [f (x) - (a x + b)] = 0$ .

Kết luận đường thẳng y = ax +b là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $y = y = \frac{x^{2} + 3 x}{x - 2} = x + 5 + \frac{10}{x - 2} = f (x)$ .

Từ đó: $lim x \to + \infty [f (x) - (x + 5)] = lim x \to + \infty \frac{10}{x - 2} = 0$ .

Vậy đường thẳng $y = x + 5$ là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

Câu 6 : Tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3 x + 1$ là:

A.

(-1;3)
B.

(1;0)
C.

(1;-1)
D.

(0;1)

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Giải phương trình y’’ = 0, tìm nghiệm $x_{0}$ .

Tọa độ tâm đối xứng là $(x_{0}; f (x_{0}))$ .

Lời giải chi tiết :

$y^{'} = 3 x^{2} - 3$ , $y^{''} = 6 x = 0 \Leftrightarrow x = 0$ .

Thay x = 0 vào hàm số, được: $y = 0^{3} - 3.0 + 1 = 1$ .

Vậy tâm đối xứng của đồ thị hàm số là (0; 1).

Câu 7 : Cho ba vecto $\to a, \to b, \to c$ không đồng phẳng. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A.

Nếu $\to a, \to b, \to c$ không đồng phẳng thì từ $m \to a + n \to b + p \to c = \to 0$ ta suy ra m = n = p = 0
B.

Nếu có $m \to a + n \to b + p \to c = \to 0$ , trong đó $m^{2} + n^{2} + p^{2} > 0$ thì $\to a, \to b, \to c$ đồng phẳng
C.

Với ba số thực m, n, p thỏa mãn $m + n + p \neq 0$ ta có $m \to a + n \to b + p \to c = \to 0$ thì $\to a, \to b, \to c$ đồng phẳng
D.

Nếu giá của $\to a, \to b, \to c$ đồng quy thì $\to a, \to b, \to c$ đồng phẳng

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Dựa vào lý thuyết vecto cùng phương, vecto đồng phẳng.

Lời giải chi tiết :

Câu D sai. Ví dụ phản chứng: 3 cạnh của hình chóp tam giác đồng quy tại 1 đỉnh nhưng chúng không đồng phẳng.

Câu 8 : Hình bên là đồ thị của hàm số f’(x). Hỏi hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A.

$(2; + \infty)$
B.

$(1; 2)$
C.

$(0; 1)$
D.

$(0; 1)$ và $(2; + \infty)$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Quan sát đồ thị và nhận xét.

Lời giải chi tiết :

Dựa vào đồ thị ta thấy $f^{'} (x) > 0, \forall x > 2$ nên y = f(x) đồng biến trên $(2; + \infty)$ .

Câu 9 : Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A.

a > 0, b < 0, c > 0, d > 0
B.

a > 0, b < 0, c < 0, d > 0
C.

a > 0, b > 0, c < 0, d > 0
D.

a < 0, b > 0, c > 0, d < 0

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Dựa vào sự biến thiên và cực trị của hàm số để xét dấu.

Lời giải chi tiết :

Dựa vào đồ thị ta thấy $lim x \to + \infty y = + \infty$ nên a > 0. Loại D.

Đồ thị đi qua điểm (0;d) nên d > 0 (vì đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương).

Hàm số đạt cực trị tại hai điểm $x_{1}, x_{2}$ . Dựa vào hình vẽ ta thấy $x_{1} < 0, x_{2} > 0$ và $x_{1} + x_{2} > 0$ .

Mặt khác, $y^{'} = 3 a x^{2} + 2 b x + c \Rightarrow {\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = \frac{- 2 b}{3 a} > 0 \Rightarrow b < 0 x_{1} x_{2} = \frac{c}{3 a} < 0 \Rightarrow c < 0 \end{matrix}$

Câu 10 : Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ sau.

Xác định công thức của hàm số.

A.

$y = \frac{x - 4}{2 x + 2}$
B.

$y = \frac{- 2 x - 4}{x + 1}$
C.

$y = \frac{- 2 x + 3}{x + 1}$
D.

$y = \frac{2 - x}{x + 1}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Dựa vào sự biến thiên, tiệm cận và các điểm hàm số đi qua để lập hệ phương trình tìm hệ số.

Lời giải chi tiết :

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = -1 và tiệm cận ngang y = -2. Loại A và D.

Xét hàm số $y = \frac{- 2 x - 4}{x + 1}$ có $y^{'} = \frac{2}{{(x + 1)}^{2}} > 0$ . Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định của nó.

Xét hàm số $y = \frac{- 2 x + 3}{x + 1}$ có $y^{'} = \frac{- 5}{{(x + 1)}^{2}} < 0$ . Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó.

Mà theo bảng biến thiên thì hàm số nghịch biến. Ta chọn hàm số $y = \frac{- 2 x + 3}{x + 1}$ .

Câu 11 : Cho tứ diện hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD. Số đo góc (MN, SC) bằng

A.

$45^{o}$
B.

$30^{o}$
C.

$90^{o}$
D.

$60^{o}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Tính góc thông qua tích vô hướng của 2 vecto.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $A C = a \sqrt{2}$

$\Rightarrow A C^{2} = 2 a^{2} = a^{2} + a^{2} = S A^{2} + S C^{2}$ .

Suy ra $Δ S A C$ vuông tại S.

Khi đó: $- -- \to N M . - - \to S C = \frac{1}{2} - \to S A . - - \to S C = 0$ . Như vậy $(- -- \to N M, - - \to S C) = 90^{o}$ , tức $(M N, S C) = 90^{o}$ .

Câu 12 : Cho hai vecto $\to a, \to b \neq 0$ . Xác định góc giữa hai vecto $\to a, \to b$ khi $\to a . \to b = - ∣ ∣ \to a ∣ ∣ . ∣ ∣ ∣ \to b ∣ ∣ ∣$ .

A.

$α = 180^{o}$
B.

$α = 0^{o}$
C.

$α = 90^{o}$
D.

$α = 45^{o}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính tích góc giữa hai vecto.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\to a . \to b = - ∣ ∣ \to a ∣ ∣ . ∣ ∣ ∣ \to b ∣ ∣ ∣ \Rightarrow cos (\to a, \to b) = \frac{\to a . \to b}{∣ ∣ \to a ∣ ∣ . ∣ ∣ ∣ \to b ∣ ∣ ∣} = - 1 \Rightarrow (\to a, \to b) = 180^{o}$ .

Câu 1 : Cho hàm số f(x) xác định trên R có đồ thị như sau:

a) Đồ thị hàm số đã cho có một 1 cực trị

Đúng

Sai

b) Hàm số đã cho đồng biến trên R

Đúng

Sai

c) Điểm (1;2) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số y = f(x)

Đúng

Sai

d) Đồ thị hàm số f(x) là $y = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$

Đúng

Sai

Đáp án

a) Đồ thị hàm số đã cho có một 1 cực trị

Đúng

Sai

b) Hàm số đã cho đồng biến trên R

Đúng

Sai

c) Điểm (1;2) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số y = f(x)

Đúng

Sai

d) Đồ thị hàm số f(x) là $y = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Quan sát đồ thị và nhận xét.

Lời giải chi tiết :

a) Sai. Hàm số f(x) không có cực trị.

b) Đúng. Hàm số đã cho đồng biến trên R.

c) Đúng. Điểm (1;2) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số y = f(x) vì nó là điểm uốn của đồ thị.

d) Sai. Đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ cắt trục tung tại điểm (0;-1), còn đồ thị trên hình vẽ cắt trục tung tại điểm (0;1).

Câu 2 : Cho đồ thị của hàm số f(x) như sau:

a) Đồ thị hàm số f(x) có tiệm cận đứng x = 0

Đúng

Sai

b) Đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng

Đúng

Sai

c) Hàm số f(x) nghịch biến trên mỗi khoảng và

Đúng

Sai

d) Đồ thị hàm số f(x) có điểm cực đại (-3;-4) và điểm cực tiểu (1;4)

Đúng

Sai

Đáp án

a) Đồ thị hàm số f(x) có tiệm cận đứng x = 0

Đúng

Sai

b) Đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng

Đúng

Sai

c) Hàm số f(x) nghịch biến trên mỗi khoảng và

Đúng

Sai

d) Đồ thị hàm số f(x) có điểm cực đại (-3;-4) và điểm cực tiểu (1;4)

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Quan sát đồ thị và nhận xét.

Lời giải chi tiết :

a) Sai. Đồ thị hàm số f(x) có tiệm cận đứng x = -1.

b) Sai. Tâm đối xứng của đồ thị là điểm (-1;0).

c) Sai. Hàm số f(x) đồng biến trên mỗi khoảng $(- \infty; - 3)$ và $(1; + \infty)$

d) Đúng. Đồ thị hàm số f(x) có điểm cực đại (-3;-4) và điểm cực tiểu (1;4) .

Câu 3 : Cho tứ diện ABCD có các cạnh đều bằng a.

a) $- - \to A D + - - \to C B + - - \to B C + - - \to D A = \to 0$

Đúng

Sai

b) $- - \to A B . - - \to B C = - \frac{a^{2}}{2}$

Đúng

Sai

c) $- - \to A C . - - \to A D = - - \to A C . - - \to C D$

Đúng

Sai

d) $A B ⊥ C D$

Đúng

Sai

Đáp án

a) $- - \to A D + - - \to C B + - - \to B C + - - \to D A = \to 0$

Đúng

Sai

b) $- - \to A B . - - \to B C = - \frac{a^{2}}{2}$

Đúng

Sai

c) $- - \to A C . - - \to A D = - - \to A C . - - \to C D$

Đúng

Sai

d) $A B ⊥ C D$

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Sử dụng quy tắc cộng vecto, lý thuyết các vecto bằng nhau, vecto đối nhau, công thức tính góc giữa hai vecto.

Lời giải chi tiết :

a) Đúng. $- - \to A D + - - \to C B + - - \to B C + - - \to D A = - - \to A D + - - \to D A + - - \to B C + - - \to C B = \to 0$ .

b) Đúng. $- - \to A B . - - \to B C = - - - \to B A . - - \to B C = - a . a . cos 60^{o} = - \frac{a^{2}}{2}$ .

c) Sai. $- - \to A C . - - \to A D = a . a . cos 60^{o} = \frac{a^{2}}{2}$ , $- - \to A C . - - \to C D = - - - \to C A . - - \to C D = - a . a . cos 60^{o} = - \frac{a^{2}}{2}$ .

d) Đúng. Giả sử I là trung điểm của CD thì $C D ⊥ (A B I)$ , suy ra $C D ⊥ A B$ .

Câu 4 : Trong không gian Oxyz, cho vecto $\to a = (2; 3; 1)$ , $\to b = (- 1; 5; 2)$ , $\to c = (4; - 1; 3)$ và $\to x = (- 3; 22; 5)$ .

a) $∣ ∣ 2 \to a ∣ ∣ = 14$

Đúng

Sai

b) $∣ ∣ ∣ \to a + \to b ∣ ∣ ∣ = \sqrt{74}$

Đúng

Sai

c) $3 \to a - 2 \to c = (- 2; 11; - 3)$

Đúng

Sai

d) $\to x = - 2 \to a - 3 \to b + \to c$

Đúng

Sai

Đáp án

a) $∣ ∣ 2 \to a ∣ ∣ = 14$

Đúng

Sai

b) $∣ ∣ ∣ \to a + \to b ∣ ∣ ∣ = \sqrt{74}$

Đúng

Sai

c) $3 \to a - 2 \to c = (- 2; 11; - 3)$

Đúng

Sai

d) $\to x = - 2 \to a - 3 \to b + \to c$

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Sử dụng các quy tắc cộng vecto, công thức tính tích vô hướng của hai vecto, độ dài vecto.

Lời giải chi tiết :

a) Sai. Vì $∣ ∣ 2 \to a ∣ ∣ = \sqrt{4^{2} + 6^{2} + 2^{2}} = 2 \sqrt{14}$ .

b) Đúng. Vì $∣ ∣ ∣ \to a + \to b ∣ ∣ ∣ = \sqrt{1^{2} + 8^{2} + 3^{2}} = \sqrt{74}$ .

c) Đúng. Vì $3 \to a - 2 \to c = (6; 9; 3) - (8; - 2; 6) = (- 2; 11; - 3)$

d) Sai. Đặt $\to x = m \to a + n \to b + p \to c$ với $m, n, p \in R$ .

Suy ra $(- 3; 22; 5) = m (2; 3; 1) + n (- 1; 5; 2) + p (; 4; - 1; 3) \Leftrightarrow ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ \begin{matrix} 2 m - n + 4 p = - 3 3 m + 5 n - p = 22 m + 2 n + 3 p = 5 \end{matrix}$

Giải hệ trên ta được m = 2, n = 3, p = -1. Vậy $\to x = 2 \to a + 3 \to b - \to c$ .

Câu 1 : Gọi giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \sqrt{1 - x} + \sqrt{1 + x}$ lần lượt là M, m. Tính $M + 2 m^{2}$ .

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

- Tính y’, tìm các nghiệm của y’ = 0.

- Tìm giá trị y tại các điểm cực trị của hàm số và hai đầu mút của đoạn.

Lời giải chi tiết :

Tập xác định: D = [-1;1].

Ta có: $f^{'} (x) = - \frac{1}{2 \sqrt{1 - x}} + \frac{1}{2 \sqrt{1 + x}} = - \frac{\sqrt{1 + x}}{2 \sqrt{1 - x}} + \frac{\sqrt{1 - x}}{2 \sqrt{1 + x}} = 0$

$\Leftrightarrow \sqrt{1 - x} = \sqrt{1 + x} \Leftrightarrow x = 0$ .

$f (- 1) = f (1) = \sqrt{2}$ ; f(0) = 2.

Vậy $M + 2 m^{2} = 2 + 2. {(\sqrt{2})}^{2} = 6$ .

Câu 2 : Với giá trị nào của tham số m để đồ thị hàm số $y = \frac{m x^{2} - 4}{m x - 1}$ có tiệm cận đứng đi qua điểm A(1;4)?

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

Sử dụng quy tắc tìm đường tiệm cận của hàm phân thức.

Lời giải chi tiết :

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x = \frac{1}{m}$ .

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đi qua điểm A(1;4) nên $\frac{1}{m} = 1 \Leftrightarrow m = 1$ .

Thử lại thấy thỏa mãn.

Câu 3 : Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A(1;0;1), B(2;1;2), D(1;-1;1), C’(4;5;-5). Tính tổng của hoành độ, tung độ, cao độ đỉnh A’.

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

Sử dụng quy tắc hình hộp.

Lời giải chi tiết :

Theo quy tắc hình hộp, ta có: $- - \to A A^{'} + - - \to A B + - - \to A D = - - \to A C^{'}$ , suy ra $- - \to A A^{'} = - - \to A C^{'} - - - \to A B - - - \to A D$ .

Lại có: $- - \to A C^{'} = (3; 5; - 6)$ , $- - \to A B = (1; 1; 1)$ , $- - \to A D = (0; - 1; 0)$ .

Do đó:

$- - \to A A^{'} = (2; 5; - 7)$ , suy ra $A^{'} (3; 5; - 6)$ . Tổng cần tìm là 3 + 5 + (-6) = 2.

Câu 4 : Một chất điểm chuyển động theo quy luật $s (t) = 6 t^{2} - t^{3}$ . Tính thời điểm t (giây) tại đó vận tốc v (m/s) của chuyển động tại giá trị lớn nhất.

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

Lập bảng biến thiên và tìm giá trị lớn nhất của hàm số.

Lời giải chi tiết :

Theo giả thiết: $s (t) = 6 t^{2} - t^{3}$ , $t \in (0; + \infty)$ .

Vận tốc của chuyển động là $v (t) = s^{'} (t) = 12 t - 3 t^{2}$ .

Ta có: $v^{'} (t) = 12 - 6 t = 0 \Leftrightarrow t = 2$ .

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy vận tốc đạt giá trị lớn nhất khi t = 2.

Câu 5 : Một khách sạn có 60 phòng. Chủ khách sạn nhận thấy nếu cho thuê mỗi phòng với giá 500 000 đồng/ngày thì tất cả các phòng đều được thuê hết và cứ tăng giá thêm 50 000 đồng một phòng thì có thêm 2 phòng trống. Hỏi chủ khách sạn nên cho thuê mỗi phòng với giá bao nhiêu tiền (đơn vị: nghìn đồng) một ngày để tổng doanh thu một ngày là lớn nhất.

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

Lập hàm số tính doanh thu một ngày của khách sạn và tìm giá trị lớn nhất.

Lời giải chi tiết :

Gọi giá tiền chủ khách sạn cho thuê một phòng là x ( $x \geq 500$ ).

Vì cứ tăng giá thêm 50 000 đồng một phòng thì có thêm 2 phòng trống nên số phòng được thuê là:

$60 - \frac{x - 500}{50} .2 = 80 - \frac{x}{25}$ .

Khi đó, tổng doanh thu 1 ngày là $x (80 - \frac{x}{25}) = 80 x - \frac{x^{2}}{25} = f (x)$ .

Ta có $f^{'} (x) = 80 - \frac{2 x}{25} = 0 \Leftrightarrow x = 1000$ .

Vì là tam thức bậc hai có hệ số cao nhất âm nên f(x) đạt giá trị lớn nhất tại x = 1000.

Vậy để tổng doanh thu lớn nhất thì thì chủ khách sạn nên cho thuê phòng với giá 1000 nghìn đồng/ngày (tức 1 triệu đồng).

Câu 6 : Cho hàm số có đồ thị như hình. Biết a là số thực dương, hỏi trong các số a, c, d có tất cả bao nhiêu số dương?

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

Quan sát đồ thị.

Lời giải chi tiết :

Đường tiệm cận ngang của đồ thị là cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên a.c > 0. Vì a > 0 nên c > 0.

Đường tiệm cận đứng của đồ thị là cắt trục hoành tại điểm có hoành độ âm nên -d.c < 0 hay c.d > 0. Vì c > 0 nên d > 0.

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên . Mà d > 0 nên b < 0.

Vậy ta có a, c, d là các số dương.