Đề thi giữa kì 1 Toán 12 - Đề số 9

Câu 1 : Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A.

$(- \infty - 1)$ .
B.

$(- 2; 2)$ .
C.

$(- 1; 2)$ .
D.

$(0; + \infty)$ .

Câu 2 : Hàm số $y = \frac{2 x + 8}{5 x - 9}$ nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

A.

$(0; + \infty)$ .
B.

$(- \infty; + \infty)$ .
C.

$(2; + \infty)$ .
D.

$(- \infty; 5)$ .

Câu 3 : Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đạt cực đại tại

A.

$x = - 2$ .
B.

$x = 1$ .
C.

$x = - 1$ .
D.

$x = 2$ .

Câu 4 : Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm $f^{'} (x) = x . {(x - 1)}^{3} . {(x + 2)}^{4}$ , $\forall x \in R$ . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A.

$3$ .
B.

$2$ .
C.

$0$ .
D.

$1$ .

Câu 5 : Cho hàm số $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ $(a \neq 0)$ có đồ thị là đường cong trong hình bên dưới.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên $(0; + \infty)$ là

A.

$0$ .
B.

$2$ .
C.

$- 1$ .
D.

$3$ .

Câu 6 : Tìm giá trị nhỏ nhất $m$ của hàm số $y = x^{2} + \frac{2}{x}$ trên đoạn $[\frac{1}{2}; 2]$ .

A.

$m = 5$ .
B.

$m = 3$ .
C.

$m = \frac{17}{4}$ .
D.

$m = 10$ .

Câu 7 : Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như sau:

Phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là

A.

$x = 1$ .
B.

$y = - 1$ .
C.

$x = - 1$ .
D.

$y = 1$ .

Câu 8 : Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x + 2}$ là đường thẳng có phương trình:

A.

$x = \frac{1}{2}$ .
B.

$y = 2$ .
C.

$x = - 2$ .
D.

$y = - 2$ .

Câu 9 : Cho hàm số $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ $(a \neq 0)$ có đồ thị như hình bên dưới. Chọn khẳng định đúng.

A.

$a < 0; d > 0$ .
B.

$a > 0; d > 0$ .
C.

$a < 0; d < 0$ .
D.

$a > 0; d < 0$ .

Câu 10 : Cho hình lập phương $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ (Hình vẽ). Vectơ nào dưới đây bằng vectơ $\vec{A B}$ .

A.

$\vec{C D}$ .
B.

$\vec{D^{'} C^{'}}$ .
C.

$\vec{D^{'} C}$ .
D.

$\vec{C^{'} D^{'}}$ .

Câu 11 : Cho ba điểm M, N, P tùy ý. Khẳng định nào sau đây đúng?

A.

$\vec{M N} + \vec{N P} = \vec{M P}$ .
B.

$\vec{M N} - \vec{N P} = \vec{M P}$ .
C.

$\vec{P N} - \vec{P M} = \vec{N M}$ .
D.

$\vec{M P} + \vec{P N} = \vec{0}$ .

Câu 12 : Cho hình lập phương $A B C D . E F G H$ . Số đo góc giữa hai vectơ $\vec{A D}$ và $\vec{B G}$ là

A.

$30^{\circ}$ .
B.

$45^{\circ}$ .
C.

$90^{\circ}$ .
D.

$135^{\circ}$ .

Câu 1 : Cho hàm số $y = f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 4}{x + 2}$ .

a) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(0; + \infty)$ .

Đúng

Sai

b) Gọi A, B là các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số. Diện tích của tam giác OAB bằng 8 (đơn vị diện tích), trong đó O là gốc tọa độ.

Đúng

Sai

c) Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là $y = 2 x + 2$ .

Đúng

Sai

d) Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[- 3; 3]$ bằng $- 3, 2$ .

Đúng

Sai

Câu 2 : Cho hình chóp tứ giác đều $S . A B C D$ có độ dài tất cả các cạnh đều bằng $a$ . Đáy $A B C D$ có tâm là $O$ .

Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = 4 \vec{S O}$ .

Đúng

Sai

b) $\vec{S A} + \vec{S C} = \vec{S B} + \vec{S D}$ .

Đúng

Sai

c) $(\vec{S A}, \vec{A C}) = 45^{\circ}$ .

Đúng

Sai

d) $\vec{S A} \cdot \vec{A C} = - a^{2}$ .

Đúng

Sai

Câu 1 : Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm $f^{'} (x) = x (x^{2} - 2025)$ với mọi $x \in R$ . Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(- \infty; a)$ và $(b; c)$ . Khoảng $(b; c)$ có bao nhiêu số nguyên?

Câu 2 : Mỗi trang của một quyển sách giáo khoa Toán được thiết kế thỏa mãn các tiêu chí sau (trang sách có dạng hình chữ nhật ABCD, phần diện tích dùng để trình bày là MNPQ):

- Diện tích của trang sách ABCD bằng 491,04 (cm $^{2}$ ).

- Lề trên và lề dưới bằng nhau và bằng 22 (mm).

- Lề trái và phải lần lượt là 15 (mm) và 16 (mm).

Phần diện tích dùng để trình bày (sau khi căn chỉnh lề) đạt giá trị lớn nhất, khi đó chu vi mỗi trang sách bằng bao nhiêu? (đơn vị: mm).

Câu 3 : Sau khi tiêm một loại thuốc vào cơ thể bệnh nhân, nồng độ thuốc trong máu (tính theo $m g / c m^{3}$ ) thay đổi theo công thức $C (t) = \frac{0, 15 t}{t^{2} + 1}$ , trong đó $t$ là thời gian (tính theo giờ) kể từ thời điểm tiêm thuốc, $t \geq 0$ . Nồng độ thuốc trong máu đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu $m g / c m^{3}$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Câu 4 : Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không dãn xuất phát từ điểm $O$ trên trần nhà và lần lượt buộc vào ba điểm $A, B, C$ trên đèn tròn sao cho các lực căng $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}, \vec{F_{3}}$ lần lượt trên mối dây $O A, O B, O C$ đôi một vuông góc với nhau và $| \vec{F_{1}} | = | \vec{F_{2}} | = | \vec{F_{3}} | = 20$ (N) (như hình vẽ). Trọng lượng của chiếc đèn tròn đó là bao nhiêu Newton (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)?

Câu 1 : Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = f (x) = \frac{x^{2} - 3 x + 2}{x + 3}$ .

Câu 2 : Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số $y = x^{3} + (m + 1) x^{2} + 3 x + 2025$ đồng biến trên $R$ .

Câu 3 : Cho hình tứ diện ABCD, chứng minh rằng: $\vec{A B} = \frac{1}{2} \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{A D} + \frac{1}{2} \vec{C D} + \vec{D B}$ .

Câu 1 : Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A.

$(- \infty - 1)$ .
B.

$(- 2; 2)$ .
C.

$(- 1; 2)$ .
D.

$(0; + \infty)$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Hàm số đồng biến trên khoảng đồ thị đi lên từ trái sang.

Lời giải chi tiết :

Hàm số đồng biến trên $(- \infty - 1)$ .

Câu 2 : Hàm số $y = \frac{2 x + 8}{5 x - 9}$ nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

A.

$(0; + \infty)$ .
B.

$(- \infty; + \infty)$ .
C.

$(2; + \infty)$ .
D.

$(- \infty; 5)$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Hàm số nghịch biến trên khoảng y' < 0.

Lời giải chi tiết :

$y^{'} = \frac{- 58}{{(5 x - 9)}^{2}} < 0$ , $\forall x \neq \frac{9}{5}$ .

Do đó hàm số nghịch biến trên các khoảng $(- \infty; \frac{9}{5})$ và $(\frac{9}{5}; + \infty)$ .

Ta có $(2; + \infty) \subset (\frac{9}{5}; + \infty)$ nên hàm số nghịch biến trên $(2; + \infty)$ .

Chú ý

null

Câu 3 : Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đạt cực đại tại

A.

$x = - 2$ .
B.

$x = 1$ .
C.

$x = - 1$ .
D.

$x = 2$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Quan sát bảng biến thiên và nhận xét.

Lời giải chi tiết :

Hàm số đạt cực đại tại $x = - 1$ .

Câu 4 : Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm $f^{'} (x) = x . {(x - 1)}^{3} . {(x + 2)}^{4}$ , $\forall x \in R$ . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A.

$3$ .
B.

$2$ .
C.

$0$ .
D.

$1$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Dựa vào số điểm x thuộc tập xác định mà qua đó f'(x) đổi dấu.

Lời giải chi tiết :

f'(x) có hai nghiệm bội lẻ là x = 0 và x = 1, qua đó f'(x) đổi dấu.

Vậy hàm số có 2 điểm cực trị.

Câu 5 : Cho hàm số $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ $(a \neq 0)$ có đồ thị là đường cong trong hình bên dưới.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên $(0; + \infty)$ là

A.

$0$ .
B.

$2$ .
C.

$- 1$ .
D.

$3$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Quan sát đồ thị hàm số và nhận xét.

Lời giải chi tiết :

Trên $(0; + \infty)$ , hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng -1.

Câu 6 : Tìm giá trị nhỏ nhất $m$ của hàm số $y = x^{2} + \frac{2}{x}$ trên đoạn $[\frac{1}{2}; 2]$ .

A.

$m = 5$ .
B.

$m = 3$ .
C.

$m = \frac{17}{4}$ .
D.

$m = 10$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Bước 1: Tìm tập xác định (trong trường hợp xét trên đoạn [a;b], tập xác định đang xét chính là đoạn đó).

Bước 2: Tính đạo hàm f’(x). Tìm các giá trị $x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n}$ thuộc đoạn [a;b] mà tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không tồn tại. (Các điểm này còn được gọi là điểm cực trị hoặc điểm dừng nếu đạo hàm bằng 0, hoặc điểm kì dị nếu đạo hàm không tồn tại).

Bước 3: Tính giá trị của hàm số tại các điểm vừa tìm được ở Bước 2 và tại hai đầu mút của đoạn [a;b]. Tức là tính các giá trị $f (a), f (x_{1}), f (x_{2}), . . ., f (x_{n}), f (b)$ .

Giá trị lớn nhất trong số các giá trị vừa tính chính là GTLN của hàm số trên đoạn [a; b].

Giá trị nhỏ nhất trong số các giá trị vừa tính chính là GTNN của hàm số trên đoạn [a; b].

Lời giải chi tiết :

TXĐ: D = R \ {0}.

$y^{'} = 2 x - \frac{2}{x^{2}} = 0 \Leftrightarrow x = 1$ .

Ta có $f (\frac{1}{2}) = \frac{17}{4}$ ; $f (1) = 3$ ; $f (2) = 5$ .

Vậy m = 3.

Câu 7 : Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như sau:

Phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là

A.

$x = 1$ .
B.

$y = - 1$ .
C.

$x = - 1$ .
D.

$y = 1$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Đường thẳng $x = x_{0}$ gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:

$lim_{x \to {x_{0}}^{+}} f (x) = + \infty$ ; $lim_{x \to {x_{0}}^{+}} f (x) = - \infty$ ; $lim_{x \to {x_{0}}^{-}} f (x) = + \infty$ ; $lim_{x \to {x_{0}}^{-}} f (x) = - \infty$ .

Lời giải chi tiết :

Vì $lim_{x \to 1^{-}} f (x) = - \infty$ và $lim_{x \to 1^{+}} f (x) = + \infty$ nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là x = 1.

Câu 8 : Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x + 2}$ là đường thẳng có phương trình:

A.

$x = \frac{1}{2}$ .
B.

$y = 2$ .
C.

$x = - 2$ .
D.

$y = - 2$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Đường thẳng $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ có tiệm cận đứng là $x = - \frac{d}{c}$ .

Lời giải chi tiết :

$y = \frac{2 x - 1}{x + 2}$ có tiệm cận đứng là $x = - 2$ .

Câu 9 : Cho hàm số $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ $(a \neq 0)$ có đồ thị như hình bên dưới. Chọn khẳng định đúng.

A.

$a < 0; d > 0$ .
B.

$a > 0; d > 0$ .
C.

$a < 0; d < 0$ .
D.

$a > 0; d < 0$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Dựa vào đặc điểm của đồ thị.

Lời giải chi tiết :

Nhánh cuối của đồ thị đi lên từ trái sang nên a > 0.

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ lớn hơn 0 nên d > 0.

Câu 10 : Cho hình lập phương $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ (Hình vẽ). Vectơ nào dưới đây bằng vectơ $\vec{A B}$ .

A.

$\vec{C D}$ .
B.

$\vec{D^{'} C^{'}}$ .
C.

$\vec{D^{'} C}$ .
D.

$\vec{C^{'} D^{'}}$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Hai vecto bằng nhau có cùng độ dài và cùng hướng.

Lời giải chi tiết :

$\vec{A B} = \vec{D^{'} C^{'}}$ vì hai vecto có cùng độ dài và cùng hướng.

Câu 11 : Cho ba điểm M, N, P tùy ý. Khẳng định nào sau đây đúng?

A.

$\vec{M N} + \vec{N P} = \vec{M P}$ .
B.

$\vec{M N} - \vec{N P} = \vec{M P}$ .
C.

$\vec{P N} - \vec{P M} = \vec{N M}$ .
D.

$\vec{M P} + \vec{P N} = \vec{0}$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Áp dụng quy tắc ba điểm.

Lời giải chi tiết :

Theo quy tắc ba điểm, ta có $\vec{M N} + \vec{N P} = \vec{M P}$ .

Câu 12 : Cho hình lập phương $A B C D . E F G H$ . Số đo góc giữa hai vectơ $\vec{A D}$ và $\vec{B G}$ là

A.

$30^{\circ}$ .
B.

$45^{\circ}$ .
C.

$90^{\circ}$ .
D.

$135^{\circ}$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Trong không gian, cho hai vecto $\vec{a}, \vec{b} \neq \vec{0}$ . Lấy một điểm O bất kì và gọi A, B là hai điểm sao cho $\vec{O A} = \vec{a}$ , $\vec{O B} = \vec{b}$ . Khi đó, $\hat{A O B}$ $(0^{o} < \hat{A O B} < 180^{o})$ được gọi là góc giữa hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$ , kí hiệu là $(\vec{a}, \vec{b})$ .

Lời giải chi tiết :

$(\vec{A D}; \vec{B G}) = (\vec{B C}; \vec{B G}) = \hat{C B G} = 45^{o}$ .

Câu 1 : Cho hàm số $y = f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 4}{x + 2}$ .

a) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(0; + \infty)$ .

Đúng

Sai

b) Gọi A, B là các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số. Diện tích của tam giác OAB bằng 8 (đơn vị diện tích), trong đó O là gốc tọa độ.

Đúng

Sai

c) Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là $y = 2 x + 2$ .

Đúng

Sai

d) Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[- 3; 3]$ bằng $- 3, 2$ .

Đúng

Sai

Đáp án

a) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(0; + \infty)$ .

Đúng

Sai

b) Gọi A, B là các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số. Diện tích của tam giác OAB bằng 8 (đơn vị diện tích), trong đó O là gốc tọa độ.

Đúng

Sai

c) Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là $y = 2 x + 2$ .

Đúng

Sai

d) Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[- 3; 3]$ bằng $- 3, 2$ .

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Tính đạo hàm và khảo sát hàm số.

Lời giải chi tiết :

a) Đúng. $y = x + \frac{4}{x + 2}$ .

$y^{'} = 1 - \frac{4}{{(x + 2)}^{2}} > 0$ khi x > 0.

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(0; + \infty)$ .

b) Sai. $y^{'} = 1 - \frac{4}{{(x + 2)}^{2}} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = - 4 \end{array}$ .

Tọa độ hai cực trị của hàm số là A(-4;-6), B(0;2).

Diện tích tam giác OAB là $\frac{1}{2} .2 .4 = 4$ (đvdt).

c) Đúng. Thay tọa độ hai cực trị vào phương trình y = 2x + 2 thấy thỏa mãn nên y = 2x + 2 là đường thẳng đi qua hai cực trị.

d) Sai. Khoảng [-3;3] không liên tục, ta có $lim_{x \to - 2^{+}} y = + \infty$ và $lim_{x \to - 2^{-}} y = - \infty$ nên không tìm được GTLN và GTNN của hàm trên khoảng này.

Câu 2 : Cho hình chóp tứ giác đều $S . A B C D$ có độ dài tất cả các cạnh đều bằng $a$ . Đáy $A B C D$ có tâm là $O$ .

Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = 4 \vec{S O}$ .

Đúng

Sai

b) $\vec{S A} + \vec{S C} = \vec{S B} + \vec{S D}$ .

Đúng

Sai

c) $(\vec{S A}, \vec{A C}) = 45^{\circ}$ .

Đúng

Sai

d) $\vec{S A} \cdot \vec{A C} = - a^{2}$ .

Đúng

Sai

Đáp án

a) $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = 4 \vec{S O}$ .

Đúng

Sai

b) $\vec{S A} + \vec{S C} = \vec{S B} + \vec{S D}$ .

Đúng

Sai

c) $(\vec{S A}, \vec{A C}) = 45^{\circ}$ .

Đúng

Sai

d) $\vec{S A} \cdot \vec{A C} = - a^{2}$ .

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Áp dụng tính chất trung điểm và tích vô hướng của hai vecto.

Lời giải chi tiết :

a) Sai. Vì $S . A B C D$ là hình chóp tứ giác đều nên đáy $A B C D$ là hình vuông.

Suy ra tâm $O$ là trung điểm của các đường chéo $A C$ và $B D$ .

Do đó, $\vec{O A} + \vec{O C} = \vec{0}$ và $\vec{O B} + \vec{O D} = \vec{0}$ .

Vậy $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = \vec{0}$ .

b) Đúng. Với điểm $S$ , ta có: ${\begin{cases} \vec{S A} + \vec{S C} = 2 \vec{S O} \\ \vec{S B} + \vec{S D} = 2 \vec{S O} \end{cases}$ .

Suy ra $\vec{S A} + \vec{S C} = \vec{S B} + \vec{S D}$ .

c) Sai. Tứ giác $A B C D$ là hình vuông có độ dài mỗi cạnh là $a$ nên độ dài đường chéo $A C$ là $a \sqrt{2}$ . Tam giác $S A C$ có $S A = S C = a$ và $A C = a \sqrt{2}$ nên tam giác $S A C$ vuông cân tại $S$ , suy ra $\hat{S A C} = 45^{\circ}$ . Do đó, $(\vec{S C}, \vec{A C}) = 180^{\circ} - \hat{S A C} = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$ .

d) Đúng. $\vec{S A} \cdot \vec{A C} = | \vec{S A} | \cdot | \vec{A C} | \cdot \cos 135^{\circ} = a \cdot a \sqrt{2} \cdot (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - a^{2}$ .

Câu 1 : Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm $f^{'} (x) = x (x^{2} - 2025)$ với mọi $x \in R$ . Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(- \infty; a)$ và $(b; c)$ . Khoảng $(b; c)$ có bao nhiêu số nguyên?

Phương pháp giải :

Xét dấu f'(x).

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Suy ra hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(- \infty; - 45)$ và $(0; 45)$ .

Khoảng $(0; 45)$ có 44 số nguyên.

Câu 2 : Mỗi trang của một quyển sách giáo khoa Toán được thiết kế thỏa mãn các tiêu chí sau (trang sách có dạng hình chữ nhật ABCD, phần diện tích dùng để trình bày là MNPQ):

- Diện tích của trang sách ABCD bằng 491,04 (cm $^{2}$ ).

- Lề trên và lề dưới bằng nhau và bằng 22 (mm).

- Lề trái và phải lần lượt là 15 (mm) và 16 (mm).

Phần diện tích dùng để trình bày (sau khi căn chỉnh lề) đạt giá trị lớn nhất, khi đó chu vi mỗi trang sách bằng bao nhiêu? (đơn vị: mm).

Phương pháp giải :

Gọi $M Q = x$ (đơn vị: mm, $x > 0$ ).

Lập hàm số biểu diễn phần diện tích dùng để trình bày theo $x$ .

Tìm $x$ để hàm số trên đạt GTLN, từ đó suy ra kích thước trang sách.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Gọi $M Q = x$ (đơn vị: mm, $x > 0$ ), suy ra $A D = x + 44$ (mm).

Từ đó ta có $A B = \frac{49104}{x + 44}$ (mm), do đó $M N = \frac{49104}{x + 44} - 31$ (mm).

Diện tích dùng để trình bày là $S (x) = x (\frac{49104}{x + 44} - 31) = \frac{49104 x}{x + 44} - 31 x$ $(m m^{2})$ .

$S^{'} (x) = \frac{49104 (x + 44) - 49104 x}{{(x + 44)}^{2}} - 31 = \frac{2160576}{{(x + 44)}^{2}} - 31$ .

$S^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow \frac{2160576}{{(x + 44)}^{2}} - 31 = 0 \Leftrightarrow (x + 44)^{2} = 69696$

$\Leftrightarrow x + 44 = \pm 264 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 220 \\ x = - 308 \end{array} \begin{matrix} (T M) \\ (L) \end{matrix}$ .

Lập BBT thấy diện tích dùng để trình bày đạt GTLN tại x = 220.

Khi đó AD = 264, AB = 186 (mm).

Chu vi mỗi trang sách là 264.2 + 186.2 = 900 (mm).

Câu 3 : Sau khi tiêm một loại thuốc vào cơ thể bệnh nhân, nồng độ thuốc trong máu (tính theo $m g / c m^{3}$ ) thay đổi theo công thức $C (t) = \frac{0, 15 t}{t^{2} + 1}$ , trong đó $t$ là thời gian (tính theo giờ) kể từ thời điểm tiêm thuốc, $t \geq 0$ . Nồng độ thuốc trong máu đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu $m g / c m^{3}$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Phương pháp giải :

Tính đạo hàm, lập bảng biến thiên.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Ta có $C^{'} (t) = \frac{0, 15 (1 - t^{2})}{{(t^{2} + 1)}^{2}}, t \geq 0$ .

Bảng biến thiên của hàm số $C (t)$ trên $(0; + \infty)$ :

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy nồng độ thuốc trong máu đạt giá trị lớn nhất bằng 0,08 mg/ $c m^{3}$ .

Câu 4 : Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không dãn xuất phát từ điểm $O$ trên trần nhà và lần lượt buộc vào ba điểm $A, B, C$ trên đèn tròn sao cho các lực căng $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}, \vec{F_{3}}$ lần lượt trên mối dây $O A, O B, O C$ đôi một vuông góc với nhau và $| \vec{F_{1}} | = | \vec{F_{2}} | = | \vec{F_{3}} | = 20$ (N) (như hình vẽ). Trọng lượng của chiếc đèn tròn đó là bao nhiêu Newton (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)?

Phương pháp giải :

Sử dụng các phép toán vecto.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Gọi $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ lần lượt là các điểm sao cho $\vec{O A_{1}} = \vec{F_{1}}, \vec{O B_{1}} = \vec{F_{2}}, \vec{O C_{1}} = \vec{F_{3}}$ . Lấy các điểm $D_{1}, A_{1}^{'}, B_{1}^{'}, D_{1}^{'}$ sao cho $O A_{1} D_{1} B_{1} . C_{1} A_{1}^{'} D_{1}^{'} B_{1}^{'}$ là hình hộp như hình dưới đây.

Theo quy tắc hình hộp, ta có: $\vec{O A_{1}} + \vec{O B_{1}} + \vec{O C_{1}} = \vec{O {D^{'}}_{1}}$ .

Mặt khác, do các lực căng $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}, \vec{F_{3}}$ đôi một vuông góc và $| \vec{F_{1}} | = | \vec{F_{2}} | = | \vec{F_{3}} | = 20$ (N) nên hình hộp $O A_{1} D_{1} B_{1} . C_{1} A_{1}^{'} D_{1}^{'} B_{1}^{'}$ có ba cạnh $O A_{1}, O B_{1}, O C_{1}$ đôi một vuông góc và bằng nhau.

Do đó, hình hộp $O A_{1} D_{1} B_{1} . C_{1} A_{1}^{'} D_{1}^{'} B_{1}^{'}$ là hình lập phương có độ dài cạnh bằng 20.

Suy ra độ dài đường chéo của hình lập phương đó bằng $20 \sqrt{3} = 34, 6$ .

Do chiếc đèn ở vị trí cân bằng nên $\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} + \vec{F_{3}} = \vec{P}$ , ở đó $\vec{P}$ là trọng lực tác dụng lên chiếc đèn.

Vậy trọng lượng của chiếc đèn là $| \vec{P} | = | \vec{O {D^{'}}_{1}} | = 20 \sqrt{3} \approx 34, 6$ (N).

Câu 1 : Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = f (x) = \frac{x^{2} - 3 x + 2}{x + 3}$ .

Phương pháp giải :

Đường thẳng $y = a x + b (a \neq 0)$ được gọi là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = f (x)$ nếu:

$lim_{x \to + \infty} [f (x) - (a x + b)] = 0$ hoặc $lim_{x \to - \infty} [f (x) - (a x + b)] = 0$ .

Lời giải chi tiết :

Ta có: $y = f (x) = \frac{x^{2} - 3 x + 2}{x + 3} = x - 6 + \frac{20}{x + 3}$ .

Xét $lim_{x \to + \infty} [f (x) - (x - 6)] = lim_{x \to + \infty} \frac{20}{x + 3} = 0$ .

Vậy đường thẳng $y = x - 6$ là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = f (x) = \frac{x^{2} - 3 x + 2}{x + 3}$ .

Câu 2 : Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số $y = x^{3} + (m + 1) x^{2} + 3 x + 2025$ đồng biến trên $R$ .

Phương pháp giải :

Hàm số y = f(x) đồng biến trên $R$ khi và chỉ khi $y^{'} \geq 0$ , $\forall x \in R$ .

Lời giải chi tiết :

$y = x^{3} + (m + 1) x^{2} + 3 x + 2025$ .

TXĐ: $D = R$ .

Ta có $y^{'} = 3 x^{2} + 2 (m + 1) x + 3$ .

Hàm số $y = x^{3} + (m + 1) x^{2} + 3 x + 2025$ đồng biến trên $R$ khi và chỉ khi $y^{'} \geq 0$ , $\forall x \in R$ .

Khi đó $3 x^{2} + 2 (m + 1) x + 3 \geq 0 \Leftrightarrow {\begin{array}{l} Δ^{'} = {(m + 1)}^{2} - 9 \leq 0 \\ a = 3 > 0 \end{array}$

$\Leftrightarrow m^{2} + 2 m - 8 \leq 0 \Leftrightarrow - 4 \leq m \leq 2$ .

Câu 3 : Cho hình tứ diện ABCD, chứng minh rằng: $\vec{A B} = \frac{1}{2} \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{A D} + \frac{1}{2} \vec{C D} + \vec{D B}$ .

Phương pháp giải :

Bắt đầu biến đổi từ vế trái từng bước suy ra điều phải chứng minh. Áp dụng quy tắc ba điểm.

Lời giải chi tiết :

$\vec{A B} = \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A B}$

$= \frac{1}{2} (\vec{A C} + \vec{C B} + \vec{A D} + \vec{D B})$

$= \frac{1}{2} \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{A D} + \frac{1}{2} (\vec{C B} + \vec{D B})$

$= \frac{1}{2} \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{A D} + \frac{1}{2} (\vec{C D} + \vec{D B} + \vec{D B})$

$= \frac{1}{2} \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{A D} + \frac{1}{2} \vec{C D} + \frac{1}{2} .2 \vec{D B}$

$= \frac{1}{2} \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{A D} + \frac{1}{2} \vec{C D} + \vec{D B}$ .