Đề thi giữa kì 1 Toán 8 - Đề số 6

Câu 1 : Biểu thức nào sau đây là đa thức?

A.

$\frac{x + 2 y}{3}$ .
B.

$x + \frac{1}{y}$ .
C.

$- x + \frac{2}{x} y - 3 y^{2}$ .
D.

$\frac{1}{2 x} + y^{2}$ .

Câu 2 : Cặp đơn thức nào dưới đây là hai đơn thức đồng dạng?

A.

$12 x^{4} y^{4}$ và $12 x^{4} y^{6}$ .
B.

$- 12 x^{4} y^{4}$ và $12 x^{6} y^{6}$ .
C.

$12 x^{6} y^{4}$ và $- 2 x^{6} y^{4}$ .
D.

$12 x^{4} y^{6}$ và $12 x^{6} y^{6}$ .

Câu 3 : Đa thức $7 x^{3} y^{2} z - 2 x^{4} y^{3}$ chia hết cho đơn thức nào dưới đây?

A.

$3 x^{4}$ .
B.

$- 3 x^{4}$ .
C.

$- 2 x^{3} y$ .
D.

$2 x y^{3}$ .

Câu 4 : Kết quả của phép nhân $(x^{2} - 2 x + 1) (x - 1)$ là

A.

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ .
B.

$x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 1$ .
C.

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x + 1$ .
D.

$x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$ .

Câu 5 : Kết quả của biểu thức ${(x + 2)}^{2} - 4 (x + 2) + 4$ là

A.

$x^{2} + 16$ .
B.

$x^{2} + 8 x + 16$ .
C.

$x^{2} - 4 x$ .
D.

$x^{2}$ .

Câu 6 : Đa thức $14 x^{2} y - 21 x y^{2} + 28 x^{2} y^{2}$ được phân tích thành

A.

$7 x y (2 x - 3 y + 4 x y)$ .
B.

$x y (14 x - 21 y + 28 x y)$ .
C.

$7 x^{2} y (2 - 3 y + 4 x y)$ .
D.

$7 x y^{2} (2 x - 3 y + 4 x)$ .

Câu 7 : Biểu thức nào sau đây không phải là phân thức đại số?

A.

$\frac{1}{x}$ .
B.

$x$ .
C.

$\frac{0}{x}$ .
D.

$\frac{x}{0}$ .

Câu 8 : Phân thức nào sau đây không phải là phân thức đối của phân thức $\frac{1 - x}{x}$ ?

A.

$\frac{x + 1}{x}$ .
B.

$\frac{- (1 - x)}{x}$ .
C.

$- \frac{1 - x}{x}$ .
D.

$\frac{x - 1}{x}$ .

Câu 9 : Khẳng định nào sau đây sai về hình chóp tam giác đều $S . A B C ?$

A.

Đáy $A B C$ là tam giác đều.
B.

$S A = S B = S C$ .
C.

Tam giác $S B C$ là tam giác đều.
D.

$Δ S A B = Δ S B C = Δ S C A$ .

Câu 10 : Cho hình chóp tam giác đều $A . B C D$ như hình vẽ bên. Đoạn thẳng nào sau đây là trung đoạn của hình chóp?

A.

$A C$ .
B.

$A M$ .
C.

$B N$ .
D.

$A P$ .

Câu 11 : Cho tam giác $A B C$ vuông có cạnh huyền $A B = \sqrt{117} c m, B C = 6 c m .$ Gọi $K$ là trung điểm của đoạn thẳng $A C$ . Độ dài $B K$ là

A.

$3 c m$ .
B.

$4, 5 c m$ .
C.

$7, 5 c m$ .
D.

$10 c m$ .

Câu 12 : Cho tứ giác $A B C D$ . Khẳng định nào sau đây là sai?

A.

$A B$ và $B C$ là hai cạnh kề nhau.
B.

$B C$ và $A D$ là hai cạnh đối nhau.
C.

$\hat{A}$ và $\hat{B}$ là hai góc đối nhau.
D.

$A C$ và $B D$ là hai đường chéo.

Câu 1 : Thu gọn biểu thức:

a) $(- 9 x^{2} y^{3} + 6 x^{3} y^{2} - 4 x y^{2}) : 3 x y^{2};$

b) $\frac{1}{2} x y (x^{5} - y^{3}) - x^{2} y (\frac{1}{4} x^{4} - y^{3}) .$

Câu 2 : Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) $3 x (3 - x) - 6 (x - 3)$ ;

b) ${(x^{2} + 1)}^{2} - 4 x^{2}$ ;

c) $x^{6} + x^{3} - x^{2} - 1$ .

Câu 3 : Cho $A = \frac{x + 1}{x - 2} + \frac{x - 1}{x + 2} + \frac{x^{2} + 4 x}{4 - x^{2}}$ với $x \neq \pm 2.$

a) Rút gọn biểu thức $A$ .

b) Tính giá trị của $A$ khi $x = 4$ .

c) Tìm giá trị nguyên của $x$ để $A$ nhận giá trị nguyên dương.

Câu 4 : Hình ảnh bên là ảnh của một lọ nước hoa hình kim tự tháp. Khi đậy nắp, lọ có dạng hình chóp tứ giác đều (tính cả thân lọ và nắp lọ) trong đó nắp lọ cũng là hình chóp tứ giác đều có chiều cao 5 cm, cạnh đáy 2,5 cm. Chiều cao thân lọ và cạnh đáy lọ đều bằng chiều cao của nắp lọ. Bỏ qua độ dày của vỏ.

a) Tính thể tích của lọ nước hoa hình kim tự tháp đó.

b) Tính dung tích của lọ nước hoa đó ra đơn vị mi – li – lít (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Câu 5 : Một hồ bơi có dạng tứ giác $A B C D$ được mô tả như hình vẽ bên. Biết $A C$ là tia phân giác $\hat{B A D}$ và $\hat{D A C} = 40^{\circ}$ .

a) Tính $\hat{B C D} .$

b) Biết $A B = 7, 66$ m và $B C = 6, 43$ m. Một vận động viên bơi lội muốn bơi từ $A$ đến $C$ trong 20 giây thì cần bơi với vận tốc là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Câu 6 : Cho $x, y$ thỏa mãn $x^{2} + 2 x y + 6 x + 6 y + 2 y^{2} + 8 = 0.$ Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức $P = x + y + 2024.$

Câu 1 : Biểu thức nào sau đây là đa thức?

A.

$\frac{x + 2 y}{3}$ .
B.

$x + \frac{1}{y}$ .
C.

$- x + \frac{2}{x} y - 3 y^{2}$ .
D.

$\frac{1}{2 x} + y^{2}$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Dựa vào khái niệm đa thức: Đa thức là một tổng của những đơn thức.

Lời giải chi tiết :

Biểu thức $\frac{x + 2 y}{3} = \frac{1}{3} x + \frac{2}{3} y$ là đa thức.

Biểu thức $x + \frac{1}{y}$ không phải là đa thức vì $\frac{1}{y}$ không phải đơn thức.

Biểu thức $- x + \frac{2}{x} y - 3 y^{2}$ không phải là đa thức vì $\frac{2}{x} y$ không phải đơn thức.

Biểu thức $\frac{1}{2 x} + y^{2}$ không phải là đa thức vì $\frac{1}{2 x}$ không phải đơn thức.

Đáp án A.

Câu 2 : Cặp đơn thức nào dưới đây là hai đơn thức đồng dạng?

A.

$12 x^{4} y^{4}$ và $12 x^{4} y^{6}$ .
B.

$- 12 x^{4} y^{4}$ và $12 x^{6} y^{6}$ .
C.

$12 x^{6} y^{4}$ và $- 2 x^{6} y^{4}$ .
D.

$12 x^{4} y^{6}$ và $12 x^{6} y^{6}$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có hệ số khác 0 và có cùng phần biến.

Lời giải chi tiết :

Hai đơn thức $12 x^{6} y^{4}$ và $- 2 x^{6} y^{4}$ là hai đơn thức đồng dạng vì cùng có hệ số khác 0 và cùng phần biến $x^{6} y^{4}$ .

Đáp án C.

Câu 3 : Đa thức $7 x^{3} y^{2} z - 2 x^{4} y^{3}$ chia hết cho đơn thức nào dưới đây?

A.

$3 x^{4}$ .
B.

$- 3 x^{4}$ .
C.

$- 2 x^{3} y$ .
D.

$2 x y^{3}$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Đa thức chia hết cho đơn thức nếu mọi hạng tử của đa thức chia hết cho đơn thức đó.

Lời giải chi tiết :

Đa thức $7 x^{3} y^{2} z - 2 x^{4} y^{3}$ chia hết cho $- 2 x^{3} y$ .

Hạng tử $7 x^{3} y^{2} z$ không chia hết cho đơn thức $3 x^{4}$ , $- 3 x^{4}$ và $2 x y^{3}$ nên đa thức $7 x^{3} y^{2} z - 2 x^{4} y^{3}$ cũng không chia hết cho $3 x^{4}$ , $- 3 x^{4}$ và $2 x y^{3}$ .

Đáp án C.

Câu 4 : Kết quả của phép nhân $(x^{2} - 2 x + 1) (x - 1)$ là

A.

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ .
B.

$x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 1$ .
C.

$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x + 1$ .
D.

$x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu ${(A - B)}^{2} = A^{2} - 2 A B + B^{2}$ và lập phương của một hiệu ${(A - B)}^{3} = A^{3} - 3 A^{2} B + 3 A B^{2} - B^{3}$ .

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$(x^{2} - 2 x + 1) (x - 1) = {(x - 1)}^{2} (x - 1) = {(x - 1)}^{3} = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ .

Đáp án A.

Câu 5 : Kết quả của biểu thức ${(x + 2)}^{2} - 4 (x + 2) + 4$ là

A.

$x^{2} + 16$ .
B.

$x^{2} + 8 x + 16$ .
C.

$x^{2} - 4 x$ .
D.

$x^{2}$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu ${(A - B)}^{2} = A^{2} - 2 A B + B^{2}$ .

Lời giải chi tiết :

Ta có:

${(x + 2)}^{2} - 4 (x + 2) + 4 = {(x + 2 - 2)}^{2} = x^{2} .$

Đáp án D.

Câu 6 : Đa thức $14 x^{2} y - 21 x y^{2} + 28 x^{2} y^{2}$ được phân tích thành

A.

$7 x y (2 x - 3 y + 4 x y)$ .
B.

$x y (14 x - 21 y + 28 x y)$ .
C.

$7 x^{2} y (2 - 3 y + 4 x y)$ .
D.

$7 x y^{2} (2 x - 3 y + 4 x)$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung để phân tích đa thức thành nhân tử.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$14 x^{2} y - 21 x y^{2} + 28 x^{2} y^{2} = 7 x y (2 x - 3 y + 4 x y)$ .

Đáp án A.

Câu 7 : Biểu thức nào sau đây không phải là phân thức đại số?

A.

$\frac{1}{x}$ .
B.

$x$ .
C.

$\frac{0}{x}$ .
D.

$\frac{x}{0}$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Phân thức đại số là biểu thức có dạng $\frac{P}{Q}$ , trong đó P, Q là các đa thức và Q khác đa thức 0.

Lời giải chi tiết :

Biểu thức $\frac{x}{0}$ không phải là phân thức đại số vì có mẫu thức bằng 0.

Đáp án D.

Câu 8 : Phân thức nào sau đây không phải là phân thức đối của phân thức $\frac{1 - x}{x}$ ?

A.

$\frac{x + 1}{x}$ .
B.

$\frac{- (1 - x)}{x}$ .
C.

$- \frac{1 - x}{x}$ .
D.

$\frac{x - 1}{x}$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Phân thức đối của phân thức $\frac{A}{B}$ là phân thức $- \frac{A}{B}$ .

Sử dụng kiến thức về tính chất của phân thức để tìm các phân thức bằng phân thức đối.

Lời giải chi tiết :

Phân thức đối của phân thức $\frac{1 - x}{x}$ là $- \frac{1 - x}{x} = \frac{- (1 - x)}{x} = \frac{x - 1}{x}$

Vậy phương án A là sai.

Đáp án A.

Câu 9 : Khẳng định nào sau đây sai về hình chóp tam giác đều $S . A B C ?$

A.

Đáy $A B C$ là tam giác đều.
B.

$S A = S B = S C$ .
C.

Tam giác $S B C$ là tam giác đều.
D.

$Δ S A B = Δ S B C = Δ S C A$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Dựa vào đặc điểm của hình chóp tam giác đều.

Lời giải chi tiết :

Hình chóp tam giác đều $S . A B C$ có mặt bên là các tam giác cân nên $Δ S B C$ là tam giác cân.

Do đó khẳng định C sai.

Đáp án C.

Câu 10 : Cho hình chóp tam giác đều $A . B C D$ như hình vẽ bên. Đoạn thẳng nào sau đây là trung đoạn của hình chóp?

A.

$A C$ .
B.

$A M$ .
C.

$B N$ .
D.

$A P$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Trung đoạn là đoạn thẳng vuông góc kẻ từ tâm của một đa giác đều xuống cạnh đáy của nó.

Lời giải chi tiết :

Trung đoạn của hình chóp $A . B C D$ là đoạn thẳng $A M$ .

Đáp án B.

Câu 11 : Cho tam giác $A B C$ vuông có cạnh huyền $A B = \sqrt{117} c m, B C = 6 c m .$ Gọi $K$ là trung điểm của đoạn thẳng $A C$ . Độ dài $B K$ là

A.

$3 c m$ .
B.

$4, 5 c m$ .
C.

$7, 5 c m$ .
D.

$10 c m$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC để tính AC.

Tính độ dài CK.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác BCK để tính BK.

Lời giải chi tiết :

Xét $Δ A B C$ vuông tại $C$ , theo định lí Pythagore ta có:

$A C^{2} = A B^{2} - B C^{2} = {(\sqrt{117})}^{2} - 6^{2} = 81$

Suy ra $A C = \sqrt{81} = 9 c m$

Do $K$ là trung điểm của đoạn thẳng $A C$ nên $C K = \frac{1}{2} A C = 4, 5 c m$

Xét $Δ B C K$ vuông tại $C$ , theo định lí Pythagore ta có:

$B K^{2} = B C^{2} + C K^{2} = 6^{2} + 4, 5^{2} = 56, 25$

Suy ra $B K = \sqrt{56, 25} = 7, 5 c m$ .

Đáp án C.

Câu 12 : Cho tứ giác $A B C D$ . Khẳng định nào sau đây là sai?

A.

$A B$ và $B C$ là hai cạnh kề nhau.
B.

$B C$ và $A D$ là hai cạnh đối nhau.
C.

$\hat{A}$ và $\hat{B}$ là hai góc đối nhau.
D.

$A C$ và $B D$ là hai đường chéo.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Dựa vào kiến thức về tứ giác.

Lời giải chi tiết :

Tứ giác $A B C D$ có các cặp góc đối nhau là $\hat{A}$ và $\hat{C};$ $\hat{B}$ và $\hat{D}$ .

Do đó phương án C là khẳng định sai.

Đáp án C.

Câu 1 : Thu gọn biểu thức:

a) $(- 9 x^{2} y^{3} + 6 x^{3} y^{2} - 4 x y^{2}) : 3 x y^{2};$

b) $\frac{1}{2} x y (x^{5} - y^{3}) - x^{2} y (\frac{1}{4} x^{4} - y^{3}) .$

Phương pháp giải :

a) Sử dụng quy tắc chia đa thức cho đơn thức: Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp chia hết), ta chia từng hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả với nhau.

b) Sử dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức: Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.

Lời giải chi tiết :

a) $(- 9 x^{2} y^{3} + 6 x^{3} y^{2} - 4 x y^{2}) : 3 x y^{2}$

$= - 9 x^{2} y^{3} : 3 x y^{2} + 6 x^{3} y^{2} : 3 x y^{2} - 4 x y^{2} : 3 x y^{2}$

$= - 3 x y + 2 x^{2} - \frac{4}{3} .$

b) $\frac{1}{2} x y (x^{5} - y^{3}) - x^{2} y (\frac{1}{4} x^{4} - y^{3})$

$= \frac{1}{2} x y \cdot x^{5} + \frac{1}{2} x y \cdot (- y^{3}) - x^{2} y \cdot \frac{1}{4} x^{4} - x^{2} y \cdot (- y^{3})$

$= \frac{1}{2} x^{6} y - \frac{1}{2} x y^{4} - \frac{1}{4} x^{6} y + x^{2} y^{4}$

$= (\frac{1}{2} x^{6} y - \frac{1}{4} x^{6} y) - \frac{1}{2} x y^{4} + x^{2} y^{4}$

$= \frac{1}{4} x^{6} y - \frac{1}{2} x y^{4} + x^{2} y^{4}$ .

Câu 2 : Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) $3 x (3 - x) - 6 (x - 3)$ ;

b) ${(x^{2} + 1)}^{2} - 4 x^{2}$ ;

c) $x^{6} + x^{3} - x^{2} - 1$ .

Phương pháp giải :

Sử dụng các quy tắc phân tích đa thức thành nhân tử.

Lời giải chi tiết :

a) $3 x (3 - x) - 6 (x - 3)$

$= 3 x (3 - x) + 6 (3 - x)$

$= (3 - x) (3 x + 6)$

$= 3 (3 - x) (x + 2) .$

b) ${(x^{2} + 1)}^{2} - 4 x^{2}$

$= {(x^{2} + 1)}^{2} - {(2 x)}^{2}$

$= (x^{2} + 1 - 2 x) (x^{2} + 1 + 2 x)$

$= {(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2} .$

c) $x^{6} + x^{3} - x^{2} - 1$

$= (x^{6} + x^{3}) - (x^{2} + 1)$

$= x^{3} (x^{2} + 1) - (x^{2} + 1)$

$= (x^{2} + 1) (x^{3} - 1)$

$= (x^{2} + 1) (x - 1) (x^{2} + x + 1) .$

Câu 3 : Cho $A = \frac{x + 1}{x - 2} + \frac{x - 1}{x + 2} + \frac{x^{2} + 4 x}{4 - x^{2}}$ với $x \neq \pm 2.$

a) Rút gọn biểu thức $A$ .

b) Tính giá trị của $A$ khi $x = 4$ .

c) Tìm giá trị nguyên của $x$ để $A$ nhận giá trị nguyên dương.

Phương pháp giải :

a) Quy đồng mẫu thức để rút gọn biểu thức.

b) Thay $x = 4$ vào $A$ để tính giá trị.

c) Ta biến đổi để đưa A về dạng $A = m + \frac{a}{B}$ với m và a là số nguyên.

Khi đó A có giá trị nguyên khi $a ⋮ B$ hay $B \in$ Ư(a).

Lời giải chi tiết :

a) Với $x \neq \pm 2$ , ta có:

$A = \frac{x + 1}{x - 2} + \frac{x - 1}{x + 2} + \frac{x^{2} + 4 x}{4 - x^{2}}$

$= \frac{x + 1}{x - 2} + \frac{x - 1}{x + 2} - \frac{x^{2} + 4 x}{(x - 2) (x + 2)}$

$= \frac{(x + 1) (x + 2)}{(x - 2) (x + 2)} + \frac{(x - 1) (x - 2)}{(x - 2) (x + 2)} - \frac{x^{2} + 4 x}{(x - 2) (x + 2)}$

$= \frac{x^{2} + 3 x + 2 + x^{2} - 3 x + 2 - x^{2} - 4 x}{(x - 2) (x + 2)}$

$= \frac{x^{2} - 4 x + 4}{(x - 2) (x + 2)} = \frac{{(x - 2)}^{2}}{(x - 2) (x + 2)} = \frac{x - 2}{x + 2}$ .

Vậy với $x \neq \pm 2$ ta có $A = \frac{x - 2}{x + 2} .$

b) Thay $x = 4$ (thỏa mãn) vào biểu thức $A$ ta có: $A = \frac{4 - 2}{4 + 2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} .$

c) Với $x \neq \pm 2$ và $x \in Z$ ta có: $A = \frac{x - 2}{x + 2} = \frac{x + 2 - 4}{x + 2} = 1 - \frac{4}{x + 2}$

Ta có $1 \in Z$ nên để $A = 1 - \frac{4}{x + 2}$ nhận giá trị nguyên thì $\frac{4}{x + 2} \in Z$ ,

suy ra $4 ⋮ (x + 2)$

hay $(x + 2) \in$ Ư $(4) = {\pm 1; \pm 2; \pm 4}$

Ta có bảng sau:

Vậy $x \in {- 3; - 4; - 6} .$

Câu 4 : Hình ảnh bên là ảnh của một lọ nước hoa hình kim tự tháp. Khi đậy nắp, lọ có dạng hình chóp tứ giác đều (tính cả thân lọ và nắp lọ) trong đó nắp lọ cũng là hình chóp tứ giác đều có chiều cao 5 cm, cạnh đáy 2,5 cm. Chiều cao thân lọ và cạnh đáy lọ đều bằng chiều cao của nắp lọ. Bỏ qua độ dày của vỏ.

a) Tính thể tích của lọ nước hoa hình kim tự tháp đó.

b) Tính dung tích của lọ nước hoa đó ra đơn vị mi – li – lít (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính thể tích của hình chóp tứ giác: $V = \frac{1}{3} . S_{đ á y} . h$ .

Biết $1 c m^{3} = 1 m l$ .

Lời giải chi tiết :

a) Thể tích của lọ nước hoa hình kim tự tháp là:

$V_{1} = \frac{1}{3} \cdot 5^{2} \cdot (5 + 5) = \frac{250}{3} (c m^{3}) .$

b) Thể tích của nắp lọ nước hoa là:

$V_{1} = \frac{1}{3} \cdot 2, 5^{2} \cdot 5 = \frac{125}{12} (c m^{3}) .$

Dung tích của lọ nước hoa đó là:

$\frac{250}{3} - \frac{125}{12} \approx 73 c m^{3} = 73 m l$ .

Câu 5 : Một hồ bơi có dạng tứ giác $A B C D$ được mô tả như hình vẽ bên. Biết $A C$ là tia phân giác $\hat{B A D}$ và $\hat{D A C} = 40^{\circ}$ .

a) Tính $\hat{B C D} .$

b) Biết $A B = 7, 66$ m và $B C = 6, 43$ m. Một vận động viên bơi lội muốn bơi từ $A$ đến $C$ trong 20 giây thì cần bơi với vận tốc là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Phương pháp giải :

a) Dựa vào tính chất của tia phân giác để tính góc BAD.

Sử dụng định lí tổng các góc của một tứ giác bẳng $360^{\circ}$ để tính góc BCD.

b) Sử dụng định lí Pythagore để tính AC.

Dựa vào kiến thức: quãng đường = vận tốc . thời gian để tính vận tốc của vận động viên.

Lời giải chi tiết :

a) Do $A C$ là tia phân giác $\hat{B A D}$ nên ta có $\hat{B A D} = 2 \hat{D A C} = 2 \cdot 40^{\circ} = 80^{\circ}$

Xét tứ giác $A B C D$ có: $\hat{B A D} + \hat{B} + \hat{B C D} + \hat{D} = 360^{\circ}$

Suy ra

$\hat{B C D} = 360^{\circ} - (\hat{B A D} + \hat{B} + \hat{D}) = 360^{\circ} - (80^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ}) = 100^{\circ}$

b) Xét $Δ A B C$ vuông tại $B$ , theo định lí Pythagore ta có:

$A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} = 7, 66^{2} + 6, 43^{2} = 100, 0205$

Suy ra $A C = \sqrt{100, 0205} \approx 10, 0$ m.

Khi đó vận động viên cần bơi với vận tốc là $\frac{10, 0}{20} = 0, 5$ (m/s).

Câu 6 : Cho $x, y$ thỏa mãn $x^{2} + 2 x y + 6 x + 6 y + 2 y^{2} + 8 = 0.$ Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức $P = x + y + 2024.$

Phương pháp giải :

Sử dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng, hiệu hai bình phương.

Dựa vào kiến thức $A . B \leq 0$ thì A và B trái dấu để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của P.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $x^{2} + 2 x y + 6 x + 6 y + 2 y^{2} + 8 = 0$

$(x^{2} + 2 x y + y^{2}) + 6 (x + y) + 9 + y^{2} - 1 = 0$

${(x + y)}^{2} + 6 (x + y) + 9 - 1 = - y^{2}$

${(x + y + 3)}^{2} - 1 = - y^{2}$

$(x + y + 3 - 1) (x + y + 3 + 1) = - y^{2}$

$(x + y + 2) (x + y + 4) = - y^{2}$

$(x + y + 2024 - 2022) (x + y + 2024 - 2020) = - y^{2}$

$(P - 2022) (P - 2020) = - y^{2}$

Mà $y^{2} \geq 0$ nên $- y^{2} \leq 0$ với mọi $y$

Do đó $(P - 2022) (P - 2020) \leq 0$ $(*)$

Lại có $(P - 2020) - 2 < P - 2020$ hay $P - 2022 < P - 2020$

Suy ra $(*)$ xảy ra khi $P - 2022 \leq 0 \leq P - 2020$

Nên $2020 \leq P \leq 2022$

Vậy GTLN của $P$ bằng 2022 khi ${\begin{cases} x + y + 2 = 0 \\ - y^{2} = 0 \end{cases}$ , tức ${\begin{cases} x = - 2 \\ y = 0 \end{cases}$ ;

GTNN của $P$ bằng 2020 khi ${\begin{cases} x + y + 4 = 0 \\ - y^{2} = 0 \end{cases}$ , tức ${\begin{cases} x = - 4 \\ y = 0 \end{cases}$ .