Đề thi giữa kì 2 Toán 10

Đề bài

Phần trắc nghiệm (7 điểm)

Câu 1: Nam muốn tô màu cho một hình vuông và một hình tròn. Biết rằng chỉ có thể tô màu xanh, màu

đỏ hoặc màu vàng cho hình vuông, và chỉ có thể tô màu hồng hoặc màu tím cho hình tròn. Hỏi Nam có bao nhiêu cách tô màu cho hai hình?

A. 2 cách.

B. 3 cách.

C. 5 cách.

D. 6 cách.

Câu 2: Từ Hà Nội bay vào Đà Nẵng có các chuyến bay trực tiếp của ba hãng máy bay. Hãng thứ nhất cung cấp 4 chuyến bay mỗi ngày. Hãng thứ hai cung cấp 3 chuyến bay mỗi ngày. Hãng thứ ba cung cấp 1 chuyến bay mỗi ngày. Hỏi mỗi ngày có bao nhiêu cách bay trực tiếp từ Hà Nội vào Đà Nẵng?

A. 3 cách.

B. 8 cách.

C. 12 cách.

D. 16 cách.

Câu 3: Lớp \(10\;A\) có 21 bạn nam và 18 bạn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một học sinh làm lớp trưởng?

A. 168 cách.

B. 29 cách.

C. 39 cách.

D. 158 cách.

Câu 4: Một quán ăn phục vụ 5 món ăn vặt và 2 loại nước uống. Hỏi bạn Mai có bao nhiêu cách để gọi một món ăn và một loại nước uống?

A. 5 cách.

B. 7 cách.

C. 10 cách.

D. 3 cách.

Câu 5: Một quán ăn phục vụ 5 món ăn vặt và 2 loại nước uống. Hỏi bạn Mai có bao nhiêu cách để gọi một món ăn và một loại nước uống?

A. 5 cách.

B. 7 cách.

C. 10 cách.

D. 3 cách.

Câu 6: Có bao nhiêu cách chọn hai học sinh từ một nhóm gồm 10 học sinh?

A. \(A_{10}^2\).

B. \(C_{10}^2\).

C. \({10^2}\).

D. \({2^{10}}\).

Câu 7: Có 5 con ngựa chạy đua. Hỏi có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra? Biết rằng không có hai con ngựa nào vể đích cùng lúc.

A. 2!.

B. 5!.

C. \(C_5^2\).

D. \(A_5^2\).

Câu 8: Đội tuyển toán có 5 bạn nam và 7 bạn nữ. Giáo viên phải chọn ra một nhóm bốn bạn. Hỏi giáo viên có bao nhiêu cách chọn?

A. \(\frac{{12!}}{{4!}}\).

B. 12!.

C. \(C_{12}^4\).

D. \(A_{12}^4\).

Câu 9: Một lớp có 34 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 10 học sinh để tham gia hoạt động trồng cây của trường?

A. \(A_{34}^{10}\).

B. \(C_{34}^{10}\).

C. \(\frac{{34!}}{{10!}}\).

D. \(\frac{{10!}}{{(34 - 10)!}}\).

Câu 10: Cho tập hợp \(A = \{ 1;2;3;4;5;6;7\} \). Hỏi có bao nhiêu cách lập được số có ba chữ số khác nhau từ các chữ số thuộc tập hợp \(A\)?

A. \(C_7^3\).

B. \(C_7^4\).

C. \(A_7^3\).

D. \(A_7^4\).

Câu 11: Số cách chia 10 học sinh thành ba nhóm lần lượt có \(2,3,5\) học sinh là:

A. \(C_{10}^2 + C_{10}^3 + C_{10}^5\).

B. \(C_{10}^2 \cdot C_8^3 \cdot C_5^5\).

C. \(C_{10}^2 + C_8^3 + C_5^5\).

D. \(C_{10}^5 + C_5^3 + C_2^2\).

Câu 12: Có bao nhiêu cách xếp 5 sách Văn khác nhau và 7 sách Toán khác nhau trên một kệ sách dài nếu các sách Văn phải xếp kề nhau?

A. 5!.7!.

B. \(2.5!.7!\).

C. \(5!.8!\).

D. \(12!\).

Câu 13: Giả sử ta dùng 5 màu để tô cho 3 nước khác nhau trên bản đồ và không có màu nào được dùng hai lần. Số các cách để chọn những màu cần dùng là:

A. \(\frac{{5!}}{{2!}}\).

B. 8.

C. \(\frac{{5!}}{{3!2!}}\).

D. \({5^3}\).

Câu 14: Trong mặt phẳng cho 2010 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu vectơ khác \(\vec 0\) có điểm đầu và điểm cuối lấy từ 2010 điểm đã cho?

A. 4039137.

B. 4038090.

C. 4167114.

D. 167541284.

Câu 15: Khai triển của \({(x + 1)^4}\) là:

A. \({x^4} + 2{x^2} + 1\).

B. \({x^4} + 4{x^3} + 6{x^2} + 4x + 1\).

C. \({x^4} + 5{x^3} + 10{x^2} + 5x + 1\).

D. \({x^4} + 3{x^3} + 4{x^2} + 3x + 1\).

Câu 16: Hệ số của \({x^3}\) trong khai triển của \({(2x + 1)^4}\) là:

A. 4.

B. 6.

C. 10.

D. 32.

Câu 17: Tổng các hệ số trong khai triển của \({(x + 2)^4}\) là:

A. 14.

B. 16.

C. 79.

D. 81.

Câu 18: Hệ số của \({x^2}\) trong khai triển của \({(2x - 3)^4}\) là:

A. 216.

B. 16.

C. \( - 16\).

D. \( - 216\).

Câu 19: Giả sử có khai triển \({(1 - 2x)^n} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} +  \ldots  + {a_n}{x^n}\). Tìm \({a_4}\) biết \({a_0} + {a_1} + {a_2} = 31\).

A. 80.

B. \( - 80\).

C. 40.

D. \( - 40\).

Câu 20: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), toạ độ của vectơ \(2\vec i - 7\vec j\) là:

A. \((2;7)\).

B. \(( - 2;7)\).

C. \((2; - 7)\).

D. \(( - 7;2)\).

Câu 21: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(A(3; - 2)\). Toạ độ của vectơ \(\overrightarrow {OA} \) là:

A. \((3; - 2)\).

B. \(( - 3;2)\).

C. \(( - 2;3)\).

D. \((2; - 3)\).

Câu 22: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(A( - 3;2),B(5; - 1)\). Toạ độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} \) là:

A. \((2;1)\).

B. \((8; - 3)\).

C. \(( - 8;3)\).

D. \(( - 2; - 1)\).

Câu 23: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\) cho các vectơ \(\vec a,\vec b,\vec c,\vec d\) được vẽ ở hình bên. Ta có các khẳng định sau:

 

a) \(\vec a = (2; - 3)\);

b) \(\vec b = ( - 3;0)\);

c) \(\vec c = (5;1)\);

d) \(\vec d = (4;0)\).

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Câu 24: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(\vec a = (2; - 3),\vec b = ( - 2;5)\). Toạ độ của vectơ \( - \vec a + 3\vec b\) là:

A. \((8;18)\).

B. \(( - 8; - 18)\).

C. \(( - 8;18)\).

D. \((8; - 18)\).

Câu 25: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(\vec a = (1;2),\vec b = (3; - 3)\). Toạ độ của vectơ \(\vec c = 3\vec a - 2\vec b\) là:

A. \(( - 3;12)\).

B. \((3;12)\).

C. \((9;0)\).

D. \(( - 3;0)\).

Câu 26: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho ba điểm \(A( - 1;2),B(2; - 2),C(3;1)\). Toạ độ của vectơ \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} \) là:

A. \(( - 4; - 1)\).

B. \((4; - 1)\).

C. \(( - 4;1)\).

D. \((4;1)\).

Câu 27: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho ba điểm \(A( - 1;2),B(0; - 2),C(3;3)\). Toạ độ của vectơ \(2\overrightarrow {AB}  - 4\overrightarrow {BC} \) là:

A. \((14;12)\).

B. \(( - 10; - 28)\).

C. \(( - 14; - 12)\).

D. \((10;28)\).

Câu 28: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cặp vectơ nào sau đây có cùng phương?

A. \(\vec a = \left( { - \frac{2}{3};2} \right)\) và \(\vec b = (2; - 6)\).

B. \(\vec u = (2;1)\) và \(\vec v = (2; - 6)\).

C. \(\vec c = (\sqrt 2 ;2\sqrt 2 )\) và \(\vec d = (2;2)\).

D. \(\vec e = (1; - 1)\) và \(\vec f = (3;3)\).

Câu 29: Một đường thẳng có bao nhiêu vectơ pháp tuyến?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. Vô số.

Câu 30: Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta :y = 2x + 1\) là:

A. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} (2; - 1)\).

B. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} (1; - 1)\).

C. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} ( - 2; - 1)\).

D. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} (1;1)\).

Câu 31: Đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_\Delta }} (12; - 13)\). Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của \(\Delta \)?

A. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} ( - 13;12)\).

B. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} (12;13)\).

C. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} (13;12)\).

D. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} ( - 12; - 13)\).

Câu 32: Phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n(a;b)\) là:

A. \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b}\).

B. \(b\left( {x - {x_0}} \right) - a\left( {y - {y_0}} \right) = 0\).

C. \(a\left( {x + {x_0}} \right) + b\left( {y + {y_0}} \right) = 0\).

D. \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0\).

Câu 33: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:x - 2y + 1 = 0\), \({\Delta _2}:3x - y + 7 = 0\). Nhận định nào sau đây là đúng?

A. Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) vuông góc với nhau.

B. Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) song song với nhau.

C. Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) trùng nhau.

D. Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau.

Câu 34: Người ta quy ước góc giữa hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau là:

A. \({180^0}\).

B. \({120^0}\).

C. \({90^0}\).

D. \({0^0}\).

Câu 35: Cho \(\alpha \) là góc tạo bởi hai đường thẳng \({\Delta _1}:2x - 3y + 5 = 0\) và \({\Delta _2}:3x + y - 14 = 0\). Giá trị của cosa là:

A. \(\frac{{ - 3}}{{130}}\).

B. \(\frac{3}{{\sqrt {130} }}\).

C. \(\frac{{\sqrt 3 }}{{130}}\).

D. \(\frac{{ - 3}}{{\sqrt {130} }}\)

Phần tự luận (3 điểm)

Bài 1. Từ một nhóm 30 học sinh lớp 12 gồm 15 học sinh khối \(A,10\) học sinh khối \(B\) và 5 học sinh khối \(C\), cần chọn ra 15 học sinh, hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho:

a) Số học sinh mỗi khối là bằng nhau?

b) Có ít nhất 5 học sinh khối \(A\) và có đúng 2 học sinh khối \(C\)?

Bài 2. Cho biểu thức \(Q = {(xy - 1)^5}\).

a) Viết khai triển biểu thức \(Q\) bằng nhị thức Newton.

b) Tìm số hạng có chứa \({x^2}{y^2}\) trong khai triển trên.

Bài 3. Cho các vectơ \(\vec a = (2;0),\vec b = \left( { - 1;\frac{1}{2}} \right),\vec c = (4; - 6)\).

a) Tìm tọa độ của vectơ \(\vec d = 2\vec a - 3\vec b + 5\vec c\).

b) Biểu diễn vectơ \(\vec c\) theo cặp vectơ không cùng phương \(\vec a,\vec b\).

Bài 4. Cho tam giác \(ABC\) với \(A( - 1; - 2)\) và phương trình đường thẳng chứa cạnh \(BC\) là \(x - y + 4 = 0\).

a) Viết phương trình đường cao \(AH\) của tam giác.

b) Viết phương trình đường trung bình ứng với cạnh đáy \(BC\) của tam giác.

-------- Hết --------

Lời giải

Phần trắc nghiệm

 

Câu 1. D	Câu 2. B	Câu 3. C	Câu 4. C	Câu 5. C	Câu 6. B	Câu 7. B
Câu 8. C	Câu 9. B	Câu 10. C	Câu 11. B	Câu 12. C	Câu 13. A	Câu 14. B
Câu 15. B	Câu 16. D	Câu 17. D	Câu 18. A	Câu 19. A	Câu 20. C	Câu 21. A
Câu 22. B	Câu 23. C	Câu 24. C	Câu 25. A	Câu 26. B	Câu 27. B	Câu 28. A
Câu 29. D	Câu 30. A	Câu 31. C	Câu 32. D	Câu 33. D	Câu 34. D	Câu 35. B

 

Câu 1: Nam muốn tô màu cho một hình vuông và một hình tròn. Biết rằng chỉ có thể tô màu xanh, màu

đỏ hoặc màu vàng cho hình vuông, và chỉ có thể tô màu hồng hoặc màu tím cho hình tròn. Hỏi Nam có bao nhiêu cách tô màu cho hai hình?

A. 2 cách.

B. 3 cách.

C. 5 cách.

D. 6 cách.

Lời giải

Đáp án D.

Câu 2: Từ Hà Nội bay vào Đà Nẵng có các chuyến bay trực tiếp của ba hãng máy bay. Hãng thứ nhất cung cấp 4 chuyến bay mỗi ngày. Hãng thứ hai cung cấp 3 chuyến bay mỗi ngày. Hãng thứ ba cung cấp 1 chuyến bay mỗi ngày. Hỏi mỗi ngày có bao nhiêu cách bay trực tiếp từ Hà Nội vào Đà Nẵng?

A. 3 cách.

B. 8 cách.

C. 12 cách.

D. 16 cách.

Lời giải

Đáp án B.

Câu 3: Lớp \(10\;A\) có 21 bạn nam và 18 bạn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một học sinh làm lớp trưởng?

A. 168 cách.

B. 29 cách.

C. 39 cách.

D. 158 cách.

Lời giải

Đáp án C.

Câu 4: Một quán ăn phục vụ 5 món ăn vặt và 2 loại nước uống. Hỏi bạn Mai có bao nhiêu cách để gọi một món ăn và một loại nước uống?

A. 5 cách.

B. 7 cách.

C. 10 cách.

D. 3 cách.

Lời giải

Đáp án C.

Câu 5: Một quán ăn phục vụ 5 món ăn vặt và 2 loại nước uống. Hỏi bạn Mai có bao nhiêu cách để gọi một món ăn và một loại nước uống?

A. 5 cách.

B. 7 cách.

C. 10 cách.

D. 3 cách.

Lời giải

Đáp án C.

Câu 6: Có bao nhiêu cách chọn hai học sinh từ một nhóm gồm 10 học sinh?

A. \(A_{10}^2\).

B. \(C_{10}^2\).

C. \({10^2}\).

D. \({2^{10}}\).

Lời giải

Đáp án B.

Câu 7: Có 5 con ngựa chạy đua. Hỏi có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra? Biết rằng không có hai con ngựa nào vể đích cùng lúc.

A. 2!.

B. 5!.

C. \(C_5^2\).

D. \(A_5^2\).

Lời giải

Đáp án B.

Câu 8: Đội tuyển toán có 5 bạn nam và 7 bạn nữ. Giáo viên phải chọn ra một nhóm bốn bạn. Hỏi giáo viên có bao nhiêu cách chọn?

A. \(\frac{{12!}}{{4!}}\).

B. 12!.

C. \(C_{12}^4\).

D. \(A_{12}^4\).

Lời giải

Đáp án C.

Câu 9: Một lớp có 34 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 10 học sinh để tham gia hoạt động trồng cây của trường?

A. \(A_{34}^{10}\).

B. \(C_{34}^{10}\).

C. \(\frac{{34!}}{{10!}}\).

D. \(\frac{{10!}}{{(34 - 10)!}}\).

Lời giải

Đáp án B.

Câu 10: Cho tập hợp \(A = \{ 1;2;3;4;5;6;7\} \). Hỏi có bao nhiêu cách lập được số có ba chữ số khác nhau từ các chữ số thuộc tập hợp \(A\)?

A. \(C_7^3\).

B. \(C_7^4\).

C. \(A_7^3\).

D. \(A_7^4\).

Lời giải

Đáp án C.

Câu 11: Số cách chia 10 học sinh thành ba nhóm lần lượt có \(2,3,5\) học sinh là:

A. \(C_{10}^2 + C_{10}^3 + C_{10}^5\).

B. \(C_{10}^2 \cdot C_8^3 \cdot C_5^5\).

C. \(C_{10}^2 + C_8^3 + C_5^5\).

D. \(C_{10}^5 + C_5^3 + C_2^2\).

Lời giải

Chọn 2 trong 10 học sinh vào nhóm thứ nhất: có \(C_{10}^2\) cách.

Chọn 3 trong 8 học sinh còn lại vào nhóm thứ hai: có \(C_8^3\) cách.

Chọn 5 trong 5 học sinh cuối cùng vào nhóm thứ ba: có \(C_5^5\) cách.

Vậy có \(C_{10}^2 \cdot C_8^3 \cdot C_5^5\) cách chọn thỏa mãn đề bài.

Đáp án B.

Câu 12: Có bao nhiêu cách xếp 5 sách Văn khác nhau và 7 sách Toán khác nhau trên một kệ sách dài nếu các sách Văn phải xếp kề nhau?

A. 5!.7!.

B. \(2.5!.7!\).

C. \(5!.8!\).

D. \(12!\).

Lời giải

Sắp xếp 5 quyển Văn chung một nhóm ngang (nhóm \(V)\): có 5! cách.

Sắp xếp 7 quyển Toán với \(V\) (ta xem như sắp xếp 8 phần tử): có \(8!\) cách. Vậy có tất cả \(5!.8!\) cách sắp xếp thỏa mãn đề bài.

Đáp án C.

Câu 13: Giả sử ta dùng 5 màu để tô cho 3 nước khác nhau trên bản đồ và không có màu nào được dùng hai lần. Số các cách để chọn những màu cần dùng là:

A. \(\frac{{5!}}{{2!}}\).

B. 8.

C. \(\frac{{5!}}{{3!2!}}\).

D. \({5^3}\).

Lời giải

Chọn 3 trong 5 màu để tô vào 3 nước khác nhau: có \(A_5^3 = \frac{{5!}}{{2!}}\) cách.

Đáp án A.

Câu 14: Trong mặt phẳng cho 2010 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu vectơ khác \(\vec 0\) có điểm đầu và điểm cuối lấy từ 2010 điểm đã cho?

A. 4039137.

B. 4038090.

C. 4167114.

D. 167541284.

Lời giải

Số vectơ thỏa mãn là \(A_{2010}^2 = 4038090\).

Đáp án B.

Câu 15: Khai triển của \({(x + 1)^4}\) là:

A. \({x^4} + 2{x^2} + 1\).

B. \({x^4} + 4{x^3} + 6{x^2} + 4x + 1\).

C. \({x^4} + 5{x^3} + 10{x^2} + 5x + 1\).

D. \({x^4} + 3{x^3} + 4{x^2} + 3x + 1\).

Lời giải

Đáp án B.

Câu 16: Hệ số của \({x^3}\) trong khai triển của \({(2x + 1)^4}\) là:

A. 4.

B. 6.

C. 10.

D. 32.

Lời giải

Đáp án D.

Câu 17: Tổng các hệ số trong khai triển của \({(x + 2)^4}\) là:

A. 14.

B. 16.

C. 79.

D. 81.

Lời giải

Đáp án D.

Câu 18: Hệ số của \({x^2}\) trong khai triển của \({(2x - 3)^4}\) là:

A. 216.

B. 16.

C. \( - 16\).

D. \( - 216\).

Lời giải

Đáp án A.

Câu 19: Giả sử có khai triển \({(1 - 2x)^n} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} +  \ldots  + {a_n}{x^n}\). Tìm \({a_4}\) biết \({a_0} + {a_1} + {a_2} = 31\).

A. 80.

B. \( - 80\).

C. 40.

D. \( - 40\).

Lời giải

Ta có:

\({(1 - 2x)^n} = C_n^0{1^n}{( - 2x)^0} + C_n^1{n^{n - 1}}( - 2x) + C_n^2{n^{n - 2}}{( - 2x)^2} +  \ldots  = 1 - 2C_n^1x + 4C_n^2{x^2} +  \ldots \)

Vậy \({a_0} = 1;{a_1} =  - 2C_n^1;{a_2} = 4C_n^2\). Theo bài ra \({a_0} + {a_1} + {a_2} = 31\) nên ta có:

\(1 - 2C_n^1 + 4C_n^2 = 31 \Leftrightarrow 1 - 2\frac{{n!}}{{1!(n - 1)!}} + 4\frac{{n!}}{{2!(n - 2)!}} = 31 \Leftrightarrow 1 - 2n + 2n(n - 1) = 31\)

\( \Leftrightarrow 2{n^2} - 4n - 30 = 0 \Leftrightarrow {n^2} - 2n - 15 = 0 \Rightarrow n = 5\). Từ đó ta có \({a_4} = C_5^4{( - 2)^4} = 80\).

Đáp án A.

Câu 20: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), toạ độ của vectơ \(2\vec i - 7\vec j\) là:

A. \((2;7)\).

B. \(( - 2;7)\).

C. \((2; - 7)\).

D. \(( - 7;2)\).

Lời giải

Đáp án C.

Câu 21: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(A(3; - 2)\). Toạ độ của vectơ \(\overrightarrow {OA} \) là:

A. \((3; - 2)\).

B. \(( - 3;2)\).

C. \(( - 2;3)\).

D. \((2; - 3)\).

Lời giải

Đáp án A.

Câu 22: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(A( - 3;2),B(5; - 1)\). Toạ độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} \) là:

A. \((2;1)\).

B. \((8; - 3)\).

C. \(( - 8;3)\).

D. \(( - 2; - 1)\).

Lời giải

Đáp án B.

Câu 23: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\) cho các vectơ \(\vec a,\vec b,\vec c,\vec d\) được vẽ ở hình bên. Ta có các khẳng định sau:

 

a) \(\vec a = (2; - 3)\);

b) \(\vec b = ( - 3;0)\);

c) \(\vec c = (5;1)\);

d) \(\vec d = (4;0)\).

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Lời giải

Đáp án C.

Câu 24: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(\vec a = (2; - 3),\vec b = ( - 2;5)\). Toạ độ của vectơ \( - \vec a + 3\vec b\) là:

A. \((8;18)\).

B. \(( - 8; - 18)\).

C. \(( - 8;18)\).

D. \((8; - 18)\).

Lời giải

Ta có: \( - \vec a = ( - 2;3)\) và \(3\vec b = ( - 6;15)\). Suy ra \( - \vec a + 3\vec b = ( - 8;18)\).

Đáp án C.

Câu 25: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(\vec a = (1;2),\vec b = (3; - 3)\). Toạ độ của vectơ \(\vec c = 3\vec a - 2\vec b\) là:

A. \(( - 3;12)\).

B. \((3;12)\).

C. \((9;0)\).

D. \(( - 3;0)\).

Lời giải

Ta có: \(3\vec a = (3;6)\) và \( - 2\vec b = ( - 6;6)\). Suy ra \(3\vec a - 2\vec b = ( - 3;12)\).

Đáp án A.

Câu 26: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho ba điểm \(A( - 1;2),B(2; - 2),C(3;1)\). Toạ độ của vectơ \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} \) là:

A. \(( - 4; - 1)\).

B. \((4; - 1)\).

C. \(( - 4;1)\).

D. \((4;1)\).

Lời giải

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC}  = (4; - 1)\).

Đáp án B.

Câu 27: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho ba điểm \(A( - 1;2),B(0; - 2),C(3;3)\). Toạ độ của vectơ \(2\overrightarrow {AB}  - 4\overrightarrow {BC} \) là:

A. \((14;12)\).

B. \(( - 10; - 28)\).

C. \(( - 14; - 12)\).

D. \((10;28)\).

Lời giải

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = (1; - 4) \Rightarrow 2\overrightarrow {AB}  = (2; - 8)\); \(\overrightarrow {BC}  = (3;5) \Rightarrow 4\overrightarrow {BC}  = (12;20).\)

Suy ra \(2\overrightarrow {AB}  - 4\overrightarrow {BC}  = ( - 10; - 28)\).

Đáp án B.

Câu 28: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cặp vectơ nào sau đây có cùng phương?

A. \(\vec a = \left( { - \frac{2}{3};2} \right)\) và \(\vec b = (2; - 6)\).

B. \(\vec u = (2;1)\) và \(\vec v = (2; - 6)\).

C. \(\vec c = (\sqrt 2 ;2\sqrt 2 )\) và \(\vec d = (2;2)\).

D. \(\vec e = (1; - 1)\) và \(\vec f = (3;3)\).

Lời giải

Đáp án A.

Câu 29: Một đường thẳng có bao nhiêu vectơ pháp tuyến?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. Vô số.

Lời giải

Đáp án D.

Câu 30: Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta :y = 2x + 1\) là:

A. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} (2; - 1)\).

B. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} (1; - 1)\).

C. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} ( - 2; - 1)\).

D. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} (1;1)\).

Lời giải

Đáp án A.

Câu 31: Đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_\Delta }} (12; - 13)\). Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của \(\Delta \)?

A. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} ( - 13;12)\).

B. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} (12;13)\).

C. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} (13;12)\).

D. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} ( - 12; - 13)\).

Lời giải

Đáp án C.

Câu 32: Phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n(a;b)\) là:

A. \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b}\).

B. \(b\left( {x - {x_0}} \right) - a\left( {y - {y_0}} \right) = 0\).

C. \(a\left( {x + {x_0}} \right) + b\left( {y + {y_0}} \right) = 0\).

D. \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0\).

Lời giải

Đáp án D.

Câu 33: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:x - 2y + 1 = 0\), \({\Delta _2}:3x - y + 7 = 0\). Nhận định nào sau đây là đúng?

A. Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) vuông góc với nhau.

B. Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) song song với nhau.

C. Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) trùng nhau.

D. Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau.

Lời giải

Đáp án D.

Câu 34: Người ta quy ước góc giữa hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau là:

A. \({180^0}\).

B. \({120^0}\).

C. \({90^0}\).

D. \({0^0}\).

Lời giải

Đáp án D.

Câu 35: Cho \(\alpha \) là góc tạo bởi hai đường thẳng \({\Delta _1}:2x - 3y + 5 = 0\) và \({\Delta _2}:3x + y - 14 = 0\). Giá trị của cosa là:

A. \(\frac{{ - 3}}{{130}}\).

B. \(\frac{3}{{\sqrt {130} }}\).

C. \(\frac{{\sqrt 3 }}{{130}}\).

D. \(\frac{{ - 3}}{{\sqrt {130} }}\)

Lời giải

Đáp án B.

Phần tự luận (3 điểm)

Bài 1. Từ một nhóm 30 học sinh lớp 12 gồm 15 học sinh khối \(A,10\) học sinh khối \(B\) và 5 học sinh khối \(C\), cần chọn ra 15 học sinh, hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho:

a) Số học sinh mỗi khối là bằng nhau?

b) Có ít nhất 5 học sinh khối \(A\) và có đúng 2 học sinh khối \(C\)?

Lời giải

a) Số cách chọn 5 học sinh mỗi khối \((A,B,C)\) lần lượt là: \(C_{15}^5,C_{10}^5,C_5^5\).

Vậy số cách chọn thỏa mãn là \(C_{15}^5 \times C_{10}^5 \times C_5^5 = 756756\) (cách).

b) Ta sử dụng quy tắc loại trừ như Lời giải sau:

Xét bài toán 1: Chọn 2 học sinh khối \(C,13\) học sinh khối \(B\) hoặc khối \(A\): có \(C_5^2C_{25}^{13}\) cách.

Xét bài toán 2: Chọn 2 học sinh khối \(C,13\) học sinh khối \(B\) và khối \(A\) không thỏa mãn yêu cầu.

- Trường hợp 1: Chọn 2 học sinh khối \(C,10\) học sinh khối \(B\) và 3 học sinh khối A có \(C_5^2C_{10}^{10}C_{15}^3\) cách.

- Trường hợp 2: Chọn 2 học sinh khối \(C,9\) học sinh khối \(B\) và 4 học sinh khối A có \(C_5^2C_{10}^9C_{15}^4\) cách.

Vậy số cách chọn thỏa mãn là \(C_5^2C_{25}^{13} - C_{10}^{10}C_{15}^3 - C_{10}^9C_{15}^4 = 51861950\) (cách).

Bài 2. Cho biểu thức \(Q = {(xy - 1)^5}\).

a) Viết khai triển biểu thức \(Q\) bằng nhị thức Newton.

b) Tìm số hạng có chứa \({x^2}{y^2}\) trong khai triển trên.

Lời giải

a) Ta có: \(Q = {(xy - 1)^5} = C_5^0{(xy)^5} + C_5^1{(xy)^4}( - 1) + C_5^2{(xy)^3}{( - 1)^2}\)

\(\begin{array}{l} + C_5^3{(xy)^2}{( - 1)^3} + C_5^4(xy){( - 1)^4} + C_5^5{( - 1)^5}\\ = {x^5}{y^5} - 5{x^4}{y^4} + 10{x^3}{y^3} - 10{x^2}{y^2} + 5xy - 1.\end{array}\)

b) Số hạng có chứa \({x^2}{y^2}\) trong khai triển là \( - 10{x^2}{y^2}\).

Bài 3. Cho các vectơ \(\vec a = (2;0),\vec b = \left( { - 1;\frac{1}{2}} \right),\vec c = (4; - 6)\).

a) Tìm tọa độ của vectơ \(\vec d = 2\vec a - 3\vec b + 5\vec c\).

b) Biểu diễn vectơ \(\vec c\) theo cặp vectơ không cùng phương \(\vec a,\vec b\).

Lời giải

a) Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2\vec a = (4;0)}\\{ - 3\vec b = \left( {3; - \frac{3}{2}} \right) \Rightarrow \vec d = 2\vec a - 3\vec b + 5\vec c = \left( {27; - \frac{{63}}{2}} \right)}\\{5\vec c = (20; - 30)}\end{array}} \right.\)

b) Gọi: \(\vec c = x\vec a + y\vec b(x,y \in \mathbb{R})\). Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4 = x \cdot 2 + y( - 1)}\\{ - 6 = x \cdot 0 + y \cdot \frac{1}{2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 4}\\{y =  - 12}\end{array}} \right.} \right.\) Vậy \(\vec c =  - 4\vec a - 12\vec b\).

Bài 4. Cho tam giác \(ABC\) với \(A( - 1; - 2)\) và phương trình đường thẳng chứa cạnh \(BC\) là \(x - y + 4 = 0\).

a) Viết phương trình đường cao \(AH\) của tam giác.

b) Viết phương trình đường trung bình ứng với cạnh đáy \(BC\) của tam giác.

Lời giải

a) Đường cao \(AH\) vuông góc với \(BC\) nên nhận \(\vec u = (1; - 1)\) làm vectơ chỉ phương, suy ra \(AH\) có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (1;1)\).

Phương trình tổng quát \(AH:1(x + 1) + 1(y + 2) = 0\) hay \(x + y + 3 = 0\).

b) Chọn điểm \(K(0;4)\) thuộc \(BC\), gọi \(E\) là trung điểm đoạn \(AK\) nên \(E\left( { - \frac{1}{2};1} \right)\). Gọi \(d\) là đường trung bình ứng với cạnh đáy \(BC\) của tam giác \(ABC\), suy ra \(d\) qua \(E\) và có một vectơ pháp tuyến .

Phương trình tổng quát \(d:1\left( {x + \frac{1}{2}} \right) - 1(y - 1) = 0\) hay \(2x - 2y + 3 = 0\).

Đề bài

Phần trắc nghiệm (7 điểm)

Câu 1: Có bao nhiêu số tự nhiên từ 1 đến 20 không nguyên tố cùng nhau với số 15?

A. 11 số.

B. 10 số.

C. 9 số.

D. 8 số.

Câu 2: Khi chọn thực đơn để tổ chức tiệc sinh nhật, cô Yến yêu cầu nhà hàng chuẩn bị một món khai vị, một món chính và một món tráng miệng. Biết rằng nhà hàng có 3 loại món khai vị, 5 loại món chính và 2 loại món tráng miệng. Hỏi cô Yến có bao nhiêu cách chọn thực đơn cho bữa tiệc sinh nhật?

A. 10 cách.

B. 15 cách.

C. 25 cách.

D. 30 cách.

Câu 3: Mã mở khoá của một chiếc khoá số là một dãy gồm bốn chữ số. Mỗi chữ số có thể là một chữ số bất kì từ 0 đến 9. Hỏi có thể có bao nhiêu mã mở khoá khác nhau như vậy?

A. \({4^9}\)mã.

B. \({9^4}\) mã.

C. \({4^{10}}\) mã.

D. \({10^4}\) mã.

Câu 4: Trên giá sách có 5 quyển sách Ngũ văn khác nhau, 7 quyển sách Toán khác nhau và 6 quyển sách Tiếng Anh khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn hai quyển sách khác môn?

A. 210 cách.

B. 107 cách.

C. 47 cách.

D. 72 cách.

Câu 5: Với \(k,n\) là các số tự nhiên và \(0 \le k \le n\), công thức nào sau đây là đúng?

A. \(C_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!k!}}\).

B. \(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!}}\).

C. \(C_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!}}\).

D. \(C_n^k = \frac{{(n - k)!k!}}{{n!}}\).

Câu 6: Số cách chia 5 chiếc kẹo khác nhau cho 5 bạn nhỏ (mỗi bạn một chiếc kẹo) là:

A. 5! cách.

B. 10! cách.

C. 4! cách.

D. 16 cách.

Câu 7: Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau đều là các chữ số lẻ?

A. 120 số.

B. 60 số.

C. 240 số.

D. 15 số.

Câu 8: Có bao nhiêu cách xếp 5 quyển sách Văn khác nhau và 7 quyển sách Toán khác nhau trên một kệ sách dài nếu các quyển sách Văn phải xếp kề nhau?

A. \(12!\).

B. \(2.5!.7!\).

C. \(8!.5!\).

D. \(5!.7!\).

Câu 9: Có 14 người gồm 8 nam và 6 nữ. Có bao nhiêu cách chọn một tổ 6 người trong đó có nhiều nhất 2 nữ?

A. 1524.

B. 472.

C. 1414.

D. 3003.

Câu 10: Tính số cách chọn ra một nhóm 5 người từ 20 người sao cho trong nhóm đó có 1 tổ trưởng, 1 tổ phó và 3 thành viên còn lại có vai trò như nhau.

A. 310080.

B. 930240.

C. 1860480.

D. 15505.

Câu 11: Có bao nhiêu cách để đi từ \(A\) đến \(C\) mà qua \(B\) trong hình sau đây?

 

A. 15 cách.

B. 20 cách.

C. 21 cách.

D. 24 cách.

Câu 12: Cuối buổi liên hoan trước khi ra về, mọi người đều bắt tay nhau, hai người bất kì chỉ bắt tay nhau một lần. Hỏi số người tham dự là bao nhiêu? Biết số cái bắt tay là 28.

A. \(14.\)

B. \(7.\)

C. 8.

D. 28.

Câu 13: Một tỉnh tổ chức giải bóng đá cho các trường THPT trong tỉnh. Có 20 đội tham gia thi đấu vòng tròn một lượt (hai đội bất kì gặp nhau 1 lần). Chi phí tối thiểu cho mỗi trận đấu (sân bãi, trọng tài, y tế,.) là 600000 đồng. Chi phí trao giải (tiền thưởng, loa đài,.) là 10 triệu đồng. Hỏi ban tổ chức phải chuẩn bị tối thiểu bao nhiêu tiền để tổ chức giải?

A. 122 triệu đồng.

B. 124 triệu đồng.

C. 120 triệu đồng.

D. 123 triệu đồng.

Câu 14: Có bao nhiêu cách xếp 10 học sinh gồm 5 học sinh nam và 5 học sinh nữ thành một hàng sao cho hai học sinh nữ bất kì không đứng cạnh nhau?

A. 3628800.

B. 86400.

C. 14400.

D. 120.

Câu 15: Khai triển của \({(x - 1)^4}\) là:

A. \({x^4} + 4{x^3} + 6{x^2} + 4x + 1\).

B. \({x^4} - 4{x^3} - 6{x^2} - 4x - 1\).

C. \({x^4} - 4{x^3} + 6{x^2} - 4x + 1\).

D. \({x^4} + 4{x^3} - 6{x^2} + 4x - 1\).

Câu 16: Hệ số tự do trong khai triển của \({(71x + 1)^4}\) là:

A. 71.

B. 70.

C. 4.

D. 1.

Câu 17: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?

A. \({(x - y)^4} = {y^4} - 4{x^3}y + 6{x^2}{y^2} - 4x{y^3} + {x^4}\).

B. \({(x + y)^4} = {x^4} + 4{x^3}y + 6{x^2}{y^2} + 4x{y^3} + {y^4}\).

C. \({(x - y)^4} = {x^4} - 4{x^3}y + 6{x^2}{y^2} + 4x{y^3} + {y^4}\).

D. \({(x + y)^4} = {\left[ {{{(x + y)}^2}} \right]^2}\).

Câu 18: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng?

A. \({(a + b)^5} = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}\).

B. \({(a - b)^5} = {a^5} - 5{a^4}b - 10{a^3}{b^2} - 10{a^2}{b^3} - 5a{b^4} + {b^5}\).

C. \({(a + b)^5} = {a^5} + {b^5}\).

D. \({(a - b)^5} = {a^5} - {b^5}\).

Câu 19: Tìm hệ số của \({x^7}\) trong khai triển: \(f(x) = {\left( {{x^3} + \frac{2}{{{x^2}}}} \right)^n}\), với \(x > 0\), biết tổng ba hệ số đầu của \(x\) trong khai triển bằng 33.

A. 34.

B. 8.

C. 6.

D. 12.

Câu 20: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hình bình hành \(ABCD\) có \(A(4;1),B(1;3)\), \(C(5;5)\). Tọa độ điểm \(D\) là:

A. \((2;7)\).

B. \((8;3)\).

C. \((0; - 1)\).

D. \(( - 8; - 3)\).

Câu 21: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(\vec a = 2\vec i - 3\vec j\) và \(\vec b = \vec i - \vec j\). Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. \(\vec a + \vec b = (2; - 3)\).

B. \(\vec a + \vec b = (1; - 1)\).

C. \(\vec a + \vec b = (3; - 4)\).

D. \(\vec a + \vec b = ( - 1; - 2)\).

Câu 22: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(\vec a = (2;t),\vec b = (1; - 5)\) và \(\vec c = (7;t)\). Với giá trị nào của \(t\) dưới đây thì \(\vec c = 2\vec a + 3\vec b\)?

A. \(t = 5\).

B. \(t = 15\).

C. \(t =  - 5\).

D. \(t =  - \frac{5}{2}\).

Câu 23: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(\vec a = ( - 4;2),\vec b = (2k; - k)\). Với giá trị nào của \(k\) dưới đây thì \(\vec a = \vec b\)?

A. \(k =  - \frac{1}{2}\).

B. \(k = 2\).

C. \(k =  - 2\).

D. Không tồn tại \(k\).

Câu 24: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(\vec a = ( - m + 2n; - 1),\vec b = (5; - m - n)\). Với giá trị nào của \(m,n\) dưới đây thì \(\vec a = \vec b\)?

A. \(m =  - 1,n = 2\).

B. \(m = 2,n =  - 1\).

C. \(m = 2,n = 1\).

D. Không tồn tại \(m,n\).

Câu 25: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(A(2; - 3),B( - 4;1)\) và \(C( - 1; - 1)\). Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. \(\overrightarrow {AB}  = 2\overrightarrow {AC} \).

B. \(\overrightarrow {AB}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).

C. \(\overrightarrow {AB}  =  - 2\overrightarrow {AC} \).

D. \(\overrightarrow {AB}  =  - \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).

Câu 26: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(A(2;3),B( - 2; - 1)\) và \(C(4;5)\). Khẳng định nào dưới đây là sai?

A. \(\overrightarrow {AB}  + 2\overrightarrow {AC}  = \vec 0\).

B. \(\overrightarrow {AB}  =  - 2\overrightarrow {AC} \).

C. \(\overrightarrow {AB}  - 2\overrightarrow {AC}  = \vec 0\).

D. \(\overrightarrow {BA}  =  - 2\overrightarrow {CA} \).

Câu 27: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(\vec a = ( - 2;1),\vec b = (3; - 2)\) và \(\vec c = (0;1)\). Biểu thức biểu diễn vectơ \(\vec c\) qua hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) là:

A. \(\vec c = 3\vec a + 2\vec b\).

B. \(\vec c =  - 3\vec a - 2\vec b\).

C. \(\vec c =  - 3\vec a + 2\vec b\).

D. \(\vec c = 3\vec a - 2\vec b\).

Câu 28: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \(A( - 6; - 1),B(3;4)\) và trọng tâm \(G(1;1)\). Tọa độ điểm \(C\) là:

A. \((6;3)\).

B. \(( - 6;3)\).

C. \((6;0)\).

D. \(( - 6;0)\).

Câu 29: Phương trình của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M(5;4)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n(11; - 12)\) là:

A. \(5x + 4y + 7 = 0\).

B. \(5x + 4y - 7 = 0\).

C. \(11x - 12y - 7 = 0\).

D. \(11x - 12y + 7 = 0\).

Câu 30: Phương trình của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M(5;4)\) và vuông góc với đường thẳng \(x - 2y + 5 = 0\) là:

A. \(x - 2y + 3 = 0\).

B. \(2x + y - 14 = 0\).

C. \(x + 2y - 13 = 0\).

D. \(2x + y = 0\).

Câu 31: Cho đường thẳng \(\Delta \) có phương trình tổng quát là \(x - 2y - 5 = 0\). Phương trình nào sau đây là phương trình tham số của \(\Delta \)?

A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 + 2t}\\{y = 4 - t}\end{array}} \right.\).

B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t}\\{y = 5 + 2t}\end{array}} \right.\).

C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + 4t}\\{y = 1 - 2t}\end{array}} \right.\).

D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5 + 2t}\\{y = t}\end{array}} \right.\).

Câu 32: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A(5;4),B( - 1;0)\). Đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\) có phương trình là:

A. \(x - 2y + 5 = 0\).

B. \(3x + 2y - 10 = 0\).

C. \(3x + 2y - 5 = 0\).

D. \(2x + 3y - 1 = 0\).

Câu 33: Góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:2x + 4y - 1 = 0\) và \({\Delta _2}:x - 3y + 1 = 0\) là:

A. \({0^0}\).

B. \({45^0}\).

C. \({60^0}\).

D. \({90^0}\).

Câu 34: Góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + \sqrt 3 t}\\{y = 1 - t}\end{array}} \right.\) và \({\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + m}\\{y = 5 - \sqrt 3 m}\end{array}} \right.\) (với \(t,m\) là các tham số) là:

A. \({30^0}\).

B. \({60^0}\).

C. \({90^0}\).

D. \({150^0}\).

Câu 35: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho điểm \(A(5;0)\) và đường thẳng \(\Delta :12x - 5y + 5 = 0\). Khoảng cách từ \(A\) đến đường thẳng \(\Delta \) là:

A. 2.

B. 8.

C. 5.

D. \(2\frac{1}{2}\)

Phần tự luận (3 điểm)

Bài 1. Tính số các số tự nhiên đôi một khác nhau có 6 chữ số tạo thành từ các chữ số \(0,1,2,3,4,5\) sao cho hai chữ số 3 và 4 đứng cạnh nhau.

Bài 2. Tìm tất cả nghiệm thực của phương trình \(A_x^{10} + A_x^9 = 9A_x^8\).

Bài 3. Cho các vectơ \(\vec a = (1; - 2),\vec b = ( - 2; - 6),\vec c = (m + n; - m - 4n)\).

a) Hai vectơ \(\vec a,\vec b\) có cùng phương không? Tìm góc tạo bởi hai vectơ \(\vec a,\vec b\).

b) Tìm hai số \(m,n\) sao cho \(\vec c\) cùng phương \(\vec a\) và \(|\vec c| = 3\sqrt 5 \).

Bài 4. Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) biết rằng:

a) \(\Delta \) chắn các trục tọa độ tại hai điểm \(A( - 4;0),B(0; - 2)\).

b) \(\Delta \) qua điểm \(E(2;3)\), đồng thời cắt các tia \(Ox,Oy\) tại các điểm \(M,N\) (khác gốc tọa độ \(O\)) biết rằng \(OM + ON\) bé nhất.

-------- Hết --------

Lời giải

Phần trắc nghiệm

 

Câu 1. C	Câu 2. D	Câu 3. D	Câu 4. B	Câu 5. A	Câu 6. A	Câu 7. B
Câu 8. C	Câu 9. C	Câu 10. A	Câu 11. C	Câu 12. C	Câu 13. B	Câu 14. B
Câu 15. C	Câu 16. D	Câu 17. C	Câu 18. A	Câu 19. B	Câu 20. B	Câu 21. D
Câu 22. B	Câu 23. C	Câu 24. A	Câu 25. A	Câu 26. C	Câu 27. B	Câu 28. C
Câu 29. C	Câu 30. B	Câu 31. D	Câu 32. B	Câu 33. B	Câu 34. A	Câu 35. C

 

Câu 1: Có bao nhiêu số tự nhiên từ 1 đến 20 không nguyên tố cùng nhau với số 15?

A. 11 số.

B. 10 số.

C. 9 số.

D. 8 số.

Lời giải

Đáp án C.

Câu 2: Khi chọn thực đơn để tổ chức tiệc sinh nhật, cô Yến yêu cầu nhà hàng chuẩn bị một món khai vị, một món chính và một món tráng miệng. Biết rằng nhà hàng có 3 loại món khai vị, 5 loại món chính và 2 loại món tráng miệng. Hỏi cô Yến có bao nhiêu cách chọn thực đơn cho bữa tiệc sinh nhật?

A. 10 cách.

B. 15 cách.

C. 25 cách.

D. 30 cách.

Lời giải

Đáp án D.

Câu 3: Mã mở khoá của một chiếc khoá số là một dãy gồm bốn chữ số. Mỗi chữ số có thể là một chữ số bất kì từ 0 đến 9. Hỏi có thể có bao nhiêu mã mở khoá khác nhau như vậy?

A. \({4^9}\)mã.

B. \({9^4}\) mã.

C. \({4^{10}}\) mã.

D. \({10^4}\) mã.

Lời giải

Đáp án D.

Câu 4: Trên giá sách có 5 quyển sách Ngũ văn khác nhau, 7 quyển sách Toán khác nhau và 6 quyển sách Tiếng Anh khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn hai quyển sách khác môn?

A. 210 cách.

B. 107 cách.

C. 47 cách.

D. 72 cách.

Lời giải

Đáp án B.

Câu 5: Với \(k,n\) là các số tự nhiên và \(0 \le k \le n\), công thức nào sau đây là đúng?

A. \(C_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!k!}}\).

B. \(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!}}\).

C. \(C_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!}}\).

D. \(C_n^k = \frac{{(n - k)!k!}}{{n!}}\).

Lời giải

Đáp án A.

Câu 6: Số cách chia 5 chiếc kẹo khác nhau cho 5 bạn nhỏ (mỗi bạn một chiếc kẹo) là:

A. 5! cách.

B. 10! cách.

C. 4! cách.

D. 16 cách.

Lời giải

Đáp án A.

Câu 7: Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau đều là các chữ số lẻ?

A. 120 số.

B. 60 số.

C. 240 số.

D. 15 số.

Lời giải

Đáp án B.

Câu 8: Có bao nhiêu cách xếp 5 quyển sách Văn khác nhau và 7 quyển sách Toán khác nhau trên một kệ sách dài nếu các quyển sách Văn phải xếp kề nhau?

A. \(12!\).

B. \(2.5!.7!\).

C. \(8!.5!\).

D. \(5!.7!\).

Lời giải

Ta coi 5 quyển sách Văn là một Quyển và xếp Quyển này với 7 quyển sách Toán khác nhau ta có 8! cách xếp. Mỗi cách đổi vị trí các quyển sách văn cho nhau thì tương ứng sinh ra một cách xếp mới, mà có 5! cách đổi vị trí các quyển sách Văn. Vậy số cách xếp là \(8!.5\)!.

Đáp án C.

Câu 9: Có 14 người gồm 8 nam và 6 nữ. Có bao nhiêu cách chọn một tổ 6 người trong đó có nhiều nhất 2 nữ?

A. 1524.

B. 472.

C. 1414.

D. 3003.

Lời giải

Ta có các trường hợp sau:

+ Chọn 6 nam và không có nữ có: \(C_8^6 = 28\) (cách),

+ Chọn 1 nũ̃ và 5 nam: \(C_6^1C_8^5 = 336\) (cách),

+ Chọn 2 nữ 4 nam có: \(C_6^2C_8^4 = 1050\) (cách).

Theo quy tắc cộng có: \(28 + 336 + 1050 = 1414\) cách để chọn một tổ có 6 người trong đó có nhiều nhất 2 nữ.

Đáp án C.

Câu 10: Tính số cách chọn ra một nhóm 5 người từ 20 người sao cho trong nhóm đó có 1 tổ trưởng, 1 tổ phó và 3 thành viên còn lại có vai trò như nhau.

A. 310080.

B. 930240.

C. 1860480.

D. 15505.

Lời giải

Có 20 cách để chọn 1 tổ trưởng từ 20 người,

Sau khi chọn 1 tổ trưởng thì có 19 cách để chọn 1 tổ phó,

Sau đó có \(C_{18}^3\) cách để chọn 3 thành viên còn lại.

Vậy có \(20 \cdot 19 \cdot C_{18}^3 = 310080\) cách chọn một nhóm 5 người thỏa yêu cầu bài toán.

Đáp án A.

Câu 11: Có bao nhiêu cách để đi từ \(A\) đến \(C\) mà qua \(B\) trong hình sau đây?

 

A. 15 cách.

B. 20 cách.

C. 21 cách.

D. 24 cách.

Lời giải

Đáp án C.

Câu 12: Cuối buổi liên hoan trước khi ra về, mọi người đều bắt tay nhau, hai người bất kì chỉ bắt tay nhau một lần. Hỏi số người tham dự là bao nhiêu? Biết số cái bắt tay là 28.

A. \(14.\)

B. \(7.\)

C. 8.

D. 28.

Lời giải

Gọi số người tham dự trong buổi liên hoan là \(n,(n \ge 2,n \in \mathbb{N})\).

Số cái bắt tay của \(n\) người là \(C_n^2\). Ta có \(C_n^2 = 28 \Leftrightarrow \frac{{n(n - 1)}}{2} = 28\)

\( \Leftrightarrow {n^2} - n - 56 = 0\). Suy ra \(n =  - 7\) (loại); \(n = 8\) (thoả mãn).

Vậy số người tham dự trong buổi liên hoan là 8.

Đáp án C.

Câu 13: Một tỉnh tổ chức giải bóng đá cho các trường THPT trong tỉnh. Có 20 đội tham gia thi đấu vòng tròn một lượt (hai đội bất kì gặp nhau 1 lần). Chi phí tối thiểu cho mỗi trận đấu (sân bãi, trọng tài, y tế,.) là 600000 đồng. Chi phí trao giải (tiền thưởng, loa đài,.) là 10 triệu đồng. Hỏi ban tổ chức phải chuẩn bị tối thiểu bao nhiêu tiền để tổ chức giải?

A. 122 triệu đồng.

B. 124 triệu đồng.

C. 120 triệu đồng.

D. 123 triệu đồng.

Lời giải

Cứ hai đội bất kì thì được một trận đấu nên số trận đấu là: \(C_{20}^2 = 190\) trận.

Vậy chi phí tối thiểu ban tổ chức phải chuẩn bị là:

\(190 \cdot 600000 + 10000000 = 124000000\) (đồng).

Đáp án B.

Câu 14: Có bao nhiêu cách xếp 10 học sinh gồm 5 học sinh nam và 5 học sinh nữ thành một hàng sao cho hai học sinh nữ bất kì không đứng cạnh nhau?

A. 3628800.

B. 86400.

C. 14400.

D. 120.

Lời giải

Xếp 5 học sinh nam vào các vị trí: N1, N2, N3, N4, N5 (như hình dưới đây) thành một hàng có: \(5! = 120\).

Để các học sinh cùng giới không đứng cạnh nhau thì 5 học sinh nữ được xếp vào 6 vị trí còn trống, số cách xếp 5 học sinh nữ là: \(A_6^5 = 720\).

Vậy số cách xếp 10 học sinh thoả mãn yêu cầu bài toán là: \(120 \cdot 720 = 86400\) cách.

Đáp án B.

Câu 15: Khai triển của \({(x - 1)^4}\) là:

A. \({x^4} + 4{x^3} + 6{x^2} + 4x + 1\).

B. \({x^4} - 4{x^3} - 6{x^2} - 4x - 1\).

C. \({x^4} - 4{x^3} + 6{x^2} - 4x + 1\).

D. \({x^4} + 4{x^3} - 6{x^2} + 4x - 1\).

Lời giải

Đáp án C.

Câu 16: Hệ số tự do trong khai triển của \({(71x + 1)^4}\) là:

A. 71.

B. 70.

C. 4.

D. 1.

Lời giải

Đáp án D.

Câu 17: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?

A. \({(x - y)^4} = {y^4} - 4{x^3}y + 6{x^2}{y^2} - 4x{y^3} + {x^4}\).

B. \({(x + y)^4} = {x^4} + 4{x^3}y + 6{x^2}{y^2} + 4x{y^3} + {y^4}\).

C. \({(x - y)^4} = {x^4} - 4{x^3}y + 6{x^2}{y^2} + 4x{y^3} + {y^4}\).

D. \({(x + y)^4} = {\left[ {{{(x + y)}^2}} \right]^2}\).

Lời giải

Đáp án C.

Câu 18: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng?

A. \({(a + b)^5} = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}\).

B. \({(a - b)^5} = {a^5} - 5{a^4}b - 10{a^3}{b^2} - 10{a^2}{b^3} - 5a{b^4} + {b^5}\).

C. \({(a + b)^5} = {a^5} + {b^5}\).

D. \({(a - b)^5} = {a^5} - {b^5}\).

Lời giải

Đáp án A.

Câu 19: Tìm hệ số của \({x^7}\) trong khai triển: \(f(x) = {\left( {{x^3} + \frac{2}{{{x^2}}}} \right)^n}\), với \(x > 0\), biết tổng ba hệ số đầu của \(x\) trong khai triển bằng 33.

A. 34.

B. 8.

C. 6.

D. 12.

Lời giải

\(C_n^0 + 2C_n^1 + 4C_n^2 = 33 \Rightarrow n = 4\); Số hạng tổng quát của khai triển \(f(x) = {\left( {{x^3} + \frac{2}{{{x^2}}}} \right)^4}\) là: \({T_{k + 1}} = C_4^k{\left( {{x^3}} \right)^{4 - k}}{\left( {\frac{2}{{{x^2}}}} \right)^k} = {2^k}C_4^k{x^{12 - 5k}}\).

Số hạng chứa \({x^7}\) trong khai triển ứng với số mũ của \(x\) là: \(12 - 5k = 7 \Leftrightarrow k = 1\).

Vậy hệ số của \({x^2}\) trong khai triển là: \({2^2}C_4^2 = 24\).

Đáp án B.

Câu 20: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hình bình hành \(ABCD\) có \(A(4;1),B(1;3)\), \(C(5;5)\). Tọa độ điểm \(D\) là:

A. \((2;7)\).

B. \((8;3)\).

C. \((0; - 1)\).

D. \(( - 8; - 3)\).

Lời giải

Giả sử \(D(a;b)\). Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = ( - 3;2)\) và \(\overrightarrow {DC}  = (5 - a;5 - b)\).

Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC}  \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 3 = 5 - a}\\{2 = 5 - b}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 8}\\{b = 3.{\rm{ }}}\end{array}} \right.} \right.\) Vậy \(D(8;3)\).

Đáp án B.

Câu 21: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(\vec a = 2\vec i - 3\vec j\) và \(\vec b = \vec i - \vec j\). Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. \(\vec a + \vec b = (2; - 3)\).

B. \(\vec a + \vec b = (1; - 1)\).

C. \(\vec a + \vec b = (3; - 4)\).

D. \(\vec a + \vec b = ( - 1; - 2)\).

Lời giải

Ta có: \(\vec a = (2; - 3),\vec b = (1; - 1)\). Suy ra \(\vec a + \vec b = (3; - 4)\).

Đáp án D.

Câu 22: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(\vec a = (2;t),\vec b = (1; - 5)\) và \(\vec c = (7;t)\). Với giá trị nào của \(t\) dưới đây thì \(\vec c = 2\vec a + 3\vec b\)?

A. \(t = 5\).

B. \(t = 15\).

C. \(t =  - 5\).

D. \(t =  - \frac{5}{2}\).

Lời giải

Ta có: \(2\vec a = (4;2t),3\vec b = (3; - 15)\) và \(\vec c = (7;t)\).

Khi đó \(\vec c = 2\vec a + 3\vec b \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{7 = 4 + 3}\\{t = 2t - 15}\end{array}} \right.\).

Suy ra \(t = 15\).

Đáp án B.

Câu 23: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(\vec a = ( - 4;2),\vec b = (2k; - k)\). Với giá trị nào của \(k\) dưới đây thì \(\vec a = \vec b\)?

A. \(k =  - \frac{1}{2}\).

B. \(k = 2\).

C. \(k =  - 2\).

D. Không tồn tại \(k\).

Lời giải

Ta có: \(\vec a = \vec b \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 4 = 2k}\\{2 =  - k}\end{array}} \right.\)

Suy ra \(k =  - 2\).

Đáp án C.

Câu 24: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(\vec a = ( - m + 2n; - 1),\vec b = (5; - m - n)\). Với giá trị nào của \(m,n\) dưới đây thì \(\vec a = \vec b\)?

A. \(m =  - 1,n = 2\).

B. \(m = 2,n =  - 1\).

C. \(m = 2,n = 1\).

D. Không tồn tại \(m,n\).

Lời giải

Đáp án A.

Câu 25: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(A(2; - 3),B( - 4;1)\) và \(C( - 1; - 1)\). Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. \(\overrightarrow {AB}  = 2\overrightarrow {AC} \).

B. \(\overrightarrow {AB}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).

C. \(\overrightarrow {AB}  =  - 2\overrightarrow {AC} \).

D. \(\overrightarrow {AB}  =  - \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).

Lời giải

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = ( - 6;4)\) và \(\overrightarrow {AC}  = ( - 3;2)\). Suy ra \(\overrightarrow {AB}  = 2\overrightarrow {AC} \).

Đáp án A.

Câu 26: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(A(2;3),B( - 2; - 1)\) và \(C(4;5)\). Khẳng định nào dưới đây là sai?

A. \(\overrightarrow {AB}  + 2\overrightarrow {AC}  = \vec 0\).

B. \(\overrightarrow {AB}  =  - 2\overrightarrow {AC} \).

C. \(\overrightarrow {AB}  - 2\overrightarrow {AC}  = \vec 0\).

D. \(\overrightarrow {BA}  =  - 2\overrightarrow {CA} \).

Lời giải

Đáp án C.

Câu 27: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(\vec a = ( - 2;1),\vec b = (3; - 2)\) và \(\vec c = (0;1)\). Biểu thức biểu diễn vectơ \(\vec c\) qua hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) là:

A. \(\vec c = 3\vec a + 2\vec b\).

B. \(\vec c =  - 3\vec a - 2\vec b\).

C. \(\vec c =  - 3\vec a + 2\vec b\).

D. \(\vec c = 3\vec a - 2\vec b\).

Lời giải

Giả sử \(\vec c = x\vec a + y\vec b\), ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 =  - 2x + 3y}\\{1 = x - 2y}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 3}\\{y =  - 2}\end{array}} \right.} \right.\) Suy ra \(\vec c =  - 3\vec a - 2\vec b\).

Đáp án B.

Câu 28: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \(A( - 6; - 1),B(3;4)\) và trọng tâm \(G(1;1)\). Tọa độ điểm \(C\) là:

A. \((6;3)\).

B. \(( - 6;3)\).

C. \((6;0)\).

D. \(( - 6;0)\).

Lời giải

Đáp án C.

Câu 29: Phương trình của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M(5;4)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n(11; - 12)\) là:

A. \(5x + 4y + 7 = 0\).

B. \(5x + 4y - 7 = 0\).

C. \(11x - 12y - 7 = 0\).

D. \(11x - 12y + 7 = 0\).

Lời giải

Đáp án C.

Câu 30: Phương trình của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M(5;4)\) và vuông góc với đường thẳng \(x - 2y + 5 = 0\) là:

A. \(x - 2y + 3 = 0\).

B. \(2x + y - 14 = 0\).

C. \(x + 2y - 13 = 0\).

D. \(2x + y = 0\).

Lời giải

Đáp án B.

Câu 31: Cho đường thẳng \(\Delta \) có phương trình tổng quát là \(x - 2y - 5 = 0\). Phương trình nào sau đây là phương trình tham số của \(\Delta \)?

A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 + 2t}\\{y = 4 - t}\end{array}} \right.\).

B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t}\\{y = 5 + 2t}\end{array}} \right.\).

C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + 4t}\\{y = 1 - 2t}\end{array}} \right.\).

D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5 + 2t}\\{y = t}\end{array}} \right.\).

Lời giải

Đáp án D.

Câu 32: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A(5;4),B( - 1;0)\). Đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\) có phương trình là:

A. \(x - 2y + 5 = 0\).

B. \(3x + 2y - 10 = 0\).

C. \(3x + 2y - 5 = 0\).

D. \(2x + 3y - 1 = 0\).

Lời giải

Đáp án B.

Câu 33: Góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:2x + 4y - 1 = 0\) và \({\Delta _2}:x - 3y + 1 = 0\) là:

A. \({0^0}\).

B. \({45^0}\).

C. \({60^0}\).

D. \({90^0}\).

Lời giải

Đáp án B.

Câu 34: Góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + \sqrt 3 t}\\{y = 1 - t}\end{array}} \right.\) và \({\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + m}\\{y = 5 - \sqrt 3 m}\end{array}} \right.\) (với \(t,m\) là các tham số) là:

A. \({30^0}\).

B. \({60^0}\).

C. \({90^0}\).

D. \({150^0}\).

Lời giải

Đáp án A.

Câu 35: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho điểm \(A(5;0)\) và đường thẳng \(\Delta :12x - 5y + 5 = 0\). Khoảng cách từ \(A\) đến đường thẳng \(\Delta \) là:

A. 2.

B. 8.

C. 5.

D. \(2\frac{1}{2}\)

Lời giải

Đáp án C.

Phần tự luận (3 điểm)

Bài 1. Tính số các số tự nhiên đôi một khác nhau có 6 chữ số tạo thành từ các chữ số \(0,1,2,3,4,5\) sao cho hai chữ số 3 và 4 đứng cạnh nhau.

Lời giải

Xét số có hình thức \(\overline {{\bf{0bcdef}}} \).

Số cách hoán đổi vị trí hai chữ số 3,4 (cùng nhóm \(X\)) là 2.

Số cách hoán đổi vị trí của \(X\) với các chữ số \(1,2,5\) là: 4!

Vậy số các số được lập theo hình thức này là \(2.4! = 48\).

Xét số có hình thức \(\overline {abcdef} \) trong đó \(a\) được phép bằng 0.

Số cách hoán đổi vị trí của hai chữ số 3,4 (cùng nhóm \(X\)) là 2.

Số cách hoán đổi vị trí của \(X\) với các chữ số \(0,1,2,5\) là: 5!.

Số các số được lập theo hình thức này là \(2.5! = 240\).

Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn đề bài là \(240 - 48 = 192\).

Bài 2. Tìm tất cả nghiệm thực của phương trình \(A_x^{10} + A_x^9 = 9A_x^8\).

Lời giải

Điều kiện: \(x \in \mathbb{N},x \ge 10\).

Ta có: \(A_x^{10} + A_x^9 = 9A_x^8 \Leftrightarrow \frac{{x!}}{{(x - 10)!}} + \frac{{x!}}{{(x - 9)!}} = 9 \cdot \frac{{x!}}{{(x - 8)!}}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{1}{{(x - 10)!}} + \frac{1}{{(x - 9)!}} = 9 \cdot \frac{1}{{(x - 8)!}} \Leftrightarrow \frac{{(x - 8)!}}{{(x - 10)!}} + \frac{{(x - 8)!}}{{(x - 9)!}} = 9 \cdot \frac{{(x - 8)!}}{{(x - 8)!}}\\ \Leftrightarrow (x - 8)(x - 9) + (x - 8) = 9 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 11}\\{x = 5}\end{array}} \right.{\rm{ (tm)}}{\rm{. }}\end{array}\)

Vậy tập nghiệm phương trình là \(S = \{ 5;11\} \).

Bài 3. Cho các vectơ \(\vec a = (1; - 2),\vec b = ( - 2; - 6),\vec c = (m + n; - m - 4n)\).

a) Hai vectơ \(\vec a,\vec b\) có cùng phương không? Tìm góc tạo bởi hai vectơ \(\vec a,\vec b\).

b) Tìm hai số \(m,n\) sao cho \(\vec c\) cùng phương \(\vec a\) và \(|\vec c| = 3\sqrt 5 \).

Lời giải

a) Ta có: \(\frac{1}{{ - 2}} \ne \frac{{ - 2}}{{ - 6}} \Rightarrow \vec a,\vec b\) không cùng phương.

Ta có: \(\cos (\vec a,\vec b) = \frac{{\vec a \cdot \vec b}}{{|\vec a| \cdot |\vec b|}} = \frac{{1( - 2) + ( - 2)( - 6)}}{{\sqrt {{1^2} + {{( - 2)}^2}}  \cdot \sqrt {{{( - 2)}^2} + {{( - 6)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow (\vec a,\vec b) = 45^\circ \).

b) \(\vec c\) cùng phương \(\vec a\) và \(|\vec c| = 3\sqrt 5  \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{m + n}}{1} = \frac{{ - m - 4n}}{{ - 2}}}\\{\sqrt {{{(m + n)}^2} + {{( - m - 4n)}^2}}  = 3\sqrt 5 }\end{array}} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l} - 2m - 2n =  - m - 4n\\{(m + n)^2} + {(m + 4n)^2} = 45\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m = 2n\\{(3n)^2} + {(6n)^2} = 45\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m = 2n\\{(3n)^2} + {(6n)^2} = 45\end{array}\end{array}} \right.} \right.} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m = 2n\\45{n^2} = 45\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m = 2\\n = 1\end{array}\end{array} \vee \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m =  - 2\\n =  - 1\end{array}\end{array}.} \right.} \right.} \right.\end{array}\)

Bài 4. Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) biết rằng:

a) \(\Delta \) chắn các trục tọa độ tại hai điểm \(A( - 4;0),B(0; - 2)\).

b) \(\Delta \) qua điểm \(E(2;3)\), đồng thời cắt các tia \(Ox,Oy\) tại các điểm \(M,N\) (khác gốc tọa độ \(O\)) biết rằng \(OM + ON\) bé nhất.

Lời giải

a) \(\Delta \) có phương trình theo đoạn chắn là \(\frac{x}{{ - 4}} + \frac{y}{{ - 2}} = 1\) hay \(x + 2y + 4 = 0\).

b) Gọi \(M(m;0) = \Delta  \cap Ox,N(0;n) = \Delta  \cap Oy\) với \(m,n > 0\). Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{OM = m}\\{ON = n}\end{array}} \right.\).

Phương trình \(\Delta \) được viết theo đoạn chắn \(\frac{x}{m} + \frac{y}{n} = 1\). Vì \(E(2;3) \in \Delta \) nên \(\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 1 \Rightarrow \frac{2}{m} = \frac{{n - 3}}{n} \Rightarrow m = \frac{{2n}}{{n - 3}}\). Vì \(m,n > 0\) nên \(n - 3 > 0 \Rightarrow n > 3\).

Ta có: \(OM + ON = m + n = \frac{{2n}}{{n - 3}} + n = 2 + \frac{6}{{n - 3}} + n = 5 + \frac{6}{{n - 3}} + (n - 3)\).

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: \(\frac{6}{{n - 3}} + (n - 3) \ge 2\sqrt {\frac{6}{{n - 3}} \cdot (n - 3)}  = 2\sqrt 6 \).

Suy ra: \(OM + ON = 5 + \frac{6}{{n - 3}} + (n - 3) \ge 5 + 2\sqrt 6 \).

Khi tổng \(OM + ON\) đạt giá trị nhỏ nhất (bằng \(5 + 2\sqrt 6 \)) thì dấu bằng của bất đẳng thức trên xảy ra: \(\frac{6}{{n - 3}} = n - 3 \Rightarrow {(n - 3)^2} = 6 \Rightarrow n = \sqrt 6  + 3(n > 3)\). Suy ra \(m = \frac{{2(\sqrt 6  + 3)}}{{(\sqrt 6  + 3) - 3}} = \frac{{2\sqrt 6  + 6}}{{\sqrt 6 }} = 2 + \sqrt 6 \).

Phương trình tổng quát \(\Delta :\frac{x}{{2 + \sqrt 6 }} + \frac{y}{{3 + \sqrt 6 }} = 1\) hay \(\frac{x}{{2 + \sqrt 6 }} + \frac{y}{{3 + \sqrt 6 }} - 1 = 0\).

 

Đề bài

Phần trắc nghiệm (7 điểm)

Câu 1: Trên giá sách có 10 cuốn sách Toán khác nhau, 7 cuốn sách Ngữ văn khác nhau và có 5 cuốn truyện khác nhau. Số cách để Nam chọn một quyển sách để đọc là

A. 350 cách.

B. 75 cách.

C. 10 cách.

D. 22 cách.

Câu 2: Lớp 11B có 40 học sinh trong đó có 25 nam và 15 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một học sinh đi tham dự Đại hội Đoàn trường?

A. 25 cách.

B. 40 cách.

C. 15 cách.

D. 375 cách.

Câu 3: Từ các chữ số \(1,3,7\), có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số?

A. 6 số.

B. 8 số.

C. 27 số.

D. 12 số.

Câu 4: Thực đơn của một nhà hàng bao gồm: 5 loại món ăn, 5 loại quả tráng miệng và 3 loại nước uống. Một người chọn bữa ăn cho mình bao gồm 1 loại món ăn, 1 loại quả tráng miệng và 1 loại nước uống. Số cách chọn một bữa ăn đó là

A. 25 cách.

B. 75 cách.

C. 100 cách.

D. 15 cách.

Câu 5: Với \(k,n\) là các số tự nhiên và \(1 \le k \le n\), công thức nào sau đây là đúng?

A. \(A_n^k = \frac{{n!}}{{k!}}\).

B. \(A_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!}}\).

C. \(A_n^k = \frac{{k!}}{{n!}}\).

D. \(A_n^k = \frac{{(n - k)!}}{{k!}}\).

Câu 6: Cho \(k,n\) là các số nguyên dương thoả mãn \(n \ge k\). Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng?

A. \({A_n} = n(n - 1) \ldots (n - k + 1)\).

B. \(A_n^k = n(n - 1) \ldots k\).

C. \(A_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!k!}}\).

D. \(A_n^k = \frac{{n!}}{{k!}}\).

Câu 7: Cho tập hợp \(A\) có \(n\) phần tử ( \(n \ge 1\)) và số nguyên dương \(k\) thoả mãn \(k \le n\). Một tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử là:

A. Tất cả kết quả của việc lấy \(k\) phần tử từ \(n\) phần tử của tập hợp \(A\) và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó.

B. Tất cả tập con gồm \(k\) phần tử được lấy ra từ \(n\) phần tử của tập hợp \(A\).

C. Mỗi kết quả của việc lấy \(k\) phần tử từ \(n\) phần tử của tập hợp \(A\) và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó.

D. Mỗi tập con gồm \(k\) phần tử được lấy ra từ \(n\) phần tử của tập hợp \(A\).

Câu 8: Cho \(k,n\) là các số nguyên dương thoả mãn \(n > k\). Trong các mệnh đề sau, phát biểu nào sai?

A. \(C_n^k = C_n^{n - k}\).

B. \(C_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!}}\).

C. \(C_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!k!}}\).

D. \(C_n^k = C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^k\).

Câu 9: Một đề thi trắc nghiệm có 10 câu hỏi, mỗi câu có 1 đáp án đúng trong 4 đáp án. Giả sử các đáp án được chọn ngẫu nhiên. Số khả năng làm đúng 4 câu trên 10 câu của đề thi đó là:

A. \(C_{10}^{10}\).

B. \(C_{10}^4\).

C. \({3^6}C_{10}^4\).

D. \({3^6}A_{10}^4\).

Câu 10: Có bao nhiêu số tự nhiên có 2020 chữ số sao cho tổng các chữ số trong mỗi số bằng 3?

A. 2041209.

B. \(2037172.\)

C. 2041210.

D. 4039.

Câu 11: Lớp \(10\;A\) có 20 học sinh nam và 25 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn một bạn làm lớp phó lao động?

A. 500.

B. \(20.\)

C. 45.

D. 25.

Câu 12: Có bao nhiêu số tự nhiên chã̃n có ba chữ số?

A. 450.

B. 900.

C. 405.

D. 328.

Câu 13: Cho số nguyên dương \(n\) thoả mãn \(C_n^2 = 45\). Giá trị \(A_n^3\) là

A. 80.

B. 90.

C. 750.

D. 720.

Câu 14: Hệ số của \({x^3}\) trong khai triển của \({(2x - 5)^4}\) là

A. 160.

B. \( - 160\).

C. 600.

D. \( - 600\).

Câu 15: Khai triển của \({(x + 1)^5}\) là:

A. \({x^5} + 5{x^4} + 10{x^3} + 10{x^2} + 5x + 1\).

B. \({x^5} - 5{x^4} + 10{x^3} - 10{x^2} + 5x - 1\).

C. \({x^5} + 4{x^4} + 3{x^3} + 2{x^2} + x + 1\).

D. \({x^5} + 2{x^4} + 3{x^3} + 4{x^2} + 5x + 1\).

Câu 16: Biểu diễn \({(1 + \sqrt 2 )^4}\) dưới dạng \(a + b\sqrt 2 \) với \(a,b\) là các số nguyên. Vậy \(a + b\) bằng:

A. 29.

B. 18.

C. 17.

D. 12.

Câu 17: Hệ số của \({x^2}\) trong khai triển biểu thức \({(2 - 3x)^4}\) là:

A. \(216.\)

B. \( - 216\).

C. 72.

D. \( - 72\).

Câu 18: Hệ số của \({x^4}\) trong khai triển biểu thức \({(x + 2)^5}\) là:

A. \( - 8\).

B. 40.

C. 80.

D. 10.

Câu 19: Khai triển nhị thức Newton của \({(3 - y)^4}\) là

A. \(81 + 108y + 54{y^2} - 12{y^3} + {y^4}\).

B. \(81 - 108y + 54{y^2} - 12{y^3} + {y^4}\).

C. \(243 - 108y + 54{y^2} - 12{y^3} + {y^4}\).

D. \(81 - 108y + 54{y^2} - 12{y^3} + {y^5}\).

Câu 20: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \(A( - 1; - 5),B(5;2)\) và trọng tâm là gốc toạ độ. Toạ độ điểm \(C\) là:

A. \((4; - 3)\).

B. \(( - 4; - 3)\).

C. \(( - 4;3)\).

D. \((4;3)\).

Câu 21: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) và \(M(4; - 1),N(0;2),P(5;3)\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(BC,CA,AB\). Toạ độ điểm \(B\) là:

A. \((1;6)\).

B. \((9;0)\).

C. \(( - 1; - 2)\).

D. \((0;9)\).

Câu 22: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A( - 3;4)\) và \(B(6; - 2)\). Điểm \(M\) thuộc trục tung sao cho ba điểm \(A,B,M\) thẳng hàng. Toạ độ điểm \(M\) là:

A. \((0;3)\).

B. \((0; - 3)\).

C. \((0; - 2)\).

D. \((0;2)\).

Câu 23: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A( - 4;5)\) và \(B(8; - 1)\). Điểm \(P\) thuộc trục hoành sao cho ba điểm \(A,B,P\) thẳng hàng. Toạ độ điểm \(P\) là:

A. \((0;3)\).

B. \((0; - 3)\).

C. \(( - 6;0)\).

D. \((6;0)\).

Câu 24: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A(1;5),B(3;2)\). Điểm \(C\) đối xứng với \(A\) qua \(B\). Toạ độ điểm \(C\) là:

A. \((5; - 1)\).

B. \(\left( {2;\frac{7}{2}} \right)\).

C. \(( - 1;8)\).

D. \((5;1)\).

Câu 25: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cặp vectơ nào vuông góc với nhau trong các vectơ \(\vec a = (2; - 1),\vec b = (3;7),\vec c = (3;1)\) và \(\vec d = (2; - 6)\)?

A. \(\vec a\) và \(\vec b\).

B. \(\vec c\) và \(\vec d\).

C. \(\vec a\) và \(\vec c\).

D. \(\vec b\) và \(\vec c\).

Câu 26: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), vectơ \(\vec a = ( - 3; - 4)\) có độ dài bằng:

A. 5.

B. 4.

C. 3.

D. 25.

Câu 27: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A( - 1; - 3)\) và \(B(3; - 2)\). Khoảng cách giữa hai điểm \(A\) và \(B\) bằng:

A. \(17.\)

B. \(\sqrt {17} \).

C. 5.

D. \(\sqrt 5 \).

Câu 28: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hai vectơ \(\vec u = (2;1),\vec v = ( - 3;1)\). Góc giữa hai vectơ \(\vec u\) và \(\vec v\) bằng:

A. \({45^0}\).

B. \({150^0}\).

C. \({135^0}\).

D. \({30^0}\).

Câu 29: Trong mặt phẳng tọ̣ độ \(Oxy\), cho ba điểm \(A(2;4),B(0; - 2),C(5;3)\). Đường thẳng đi qua điểm \(A\) và song song với đường thẳng \(BC\) có phương trình là:

A. \(x - y + 5 = 0\).

B. \(x + y - 5 = 0\).

C. \(x - y + 2 = 0\).

D. \(x + y = 0\).

Câu 30: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho ba điểm \(A(5;2),B(5; - 2),C(4; - 3)\). Đường thẳng đi qua điểm \(A\) và vuông góc với đường thẳng \(BC\) có phương trình là:

A. \(x - y + 7 = 0\).

B. \(x + y - 7 = 0\).

C. \(x - y - 5 = 0\).

D. \(x + y = 0\).

Câu 31: Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm \(A(1; - 3)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n(2; - 1)\) là:

A. \(2x + y - 5 = 0\).

B. \(2x - y - 5 = 0\).

C. \(x + 2y + 5 = 0\).

D. \(x + 2y - 5 = 0\).

Câu 32: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \(M(2;1)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec u( - 1;4)\) là:

A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + t}\\{y = 1 - 4t}\end{array}} \right.\).

B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1 + 2t}\\{y = 4 + t}\end{array}} \right.\).

C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 4t}\\{y = 2 - t}\end{array}} \right.\).

D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - t}\\{y = 1 + 4t}\end{array}} \right.\).

Câu 33: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho điểm \(M(2;4)\) và đường thẳng \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5 + 3t}\\{y =  - 5 - 4t}\end{array}} \right.\). Khoảng cách từ \(M\) đến đường thẳng \(\Delta \) là:

A. \(\frac{5}{2}\).

B. 3.

C. 5.

D. \(\frac{9}{5}\).

Câu 34: Cho hai đường thẳng \({d_1}:3x - 4y + 5 = 0,{d_2}:4x - 3y + 2 = 0\). Điểm \(M\) nào sau đây cách đều hai đường thẳng trên?

A. \(M(1;0)\).

B. \(M(2;3)\).

C. \(M(4; - 2)\).

D. \(M( - 1;2)\).

Câu 35: Trong mặt phẳng toạ độ, cho đường thẳng \(\Delta :x - 2y - 3 = 0\). Đường thẳng nào sau đây có vị trí tương đối trùng với đường thẳng \(\Delta \)?

A. \({\Delta _1}:x + 2y - 3 = 0\).

B. \({\Delta _2}:2x + y - 3 = 0\).

C. \({\Delta _3}:2x - 4y - 1 = 0\).

D. \({\Delta _4}:2x - 4y - 6 = 0\).

Phần tự luận (3 điểm)

Bài 1. Cho tập hợp \(A = \{ 0;1;2;3;4;5\} \). Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chã̃n có bốn chữ số khác nhau?

Bài 2. Giải bất phương trình \(2C_{n + 1}^2 + 3A_n^2 - 20 < 0\).

Bài 3. Cho các vectơ \(\vec a = \frac{1}{2}\vec i - 5\vec j,\vec b = x\vec i - 4\vec j\). Tìm \(x\) để:

a) \(\vec a \bot \vec b\)

b) \(|\vec a| = |\vec b|\).

c) \(\vec a,\vec b\) cùng phương với nhau.

Bài 4. Tìm tham số \(m\) để góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1 + mt}\\{y = 9 + t}\end{array}} \right.\), \({\Delta _2}:x + my - 4 = 0\) bằng \(60^\circ \).

-------- Hết --------

Lời giải

Phần trắc nghiệm

 

Câu 1. D	Câu 2. B	Câu 3. C	Câu 4. B	Câu 5. B	Câu 6. A	Câu 7. D
Câu 8. B	Câu 9. C	Câu 10. C	Câu 11. C	Câu 12. A	Câu 13. D	Câu 14. B
Câu 15. A	Câu 16. A	Câu 17. A	Câu 18. D	Câu 19. B	Câu 20. C	Câu 21. B
Câu 22. D	Câu 23. D	Câu 24. A	Câu 25. B	Câu 26. A	Câu 27. B	Câu 28. C
Câu 29. C	Câu 30. B	Câu 31. B	Câu 32. D	Câu 33. B	Câu 34. B	Câu 35. D

 

Câu 1: Trên giá sách có 10 cuốn sách Toán khác nhau, 7 cuốn sách Ngữ văn khác nhau và có 5 cuốn truyện khác nhau. Số cách để Nam chọn một quyển sách để đọc là

A. 350 cách.

B. 75 cách.

C. 10 cách.

D. 22 cách.

Lời giải

Đáp án D.

Câu 2: Lớp 11B có 40 học sinh trong đó có 25 nam và 15 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một học sinh đi tham dự Đại hội Đoàn trường?

A. 25 cách.

B. 40 cách.

C. 15 cách.

D. 375 cách.

Lời giải

Đáp án B.

Câu 3: Từ các chữ số \(1,3,7\), có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số?

A. 6 số.

B. 8 số.

C. 27 số.

D. 12 số.

Lời giải

Đáp án C.

Câu 4: Thực đơn của một nhà hàng bao gồm: 5 loại món ăn, 5 loại quả tráng miệng và 3 loại nước uống. Một người chọn bữa ăn cho mình bao gồm 1 loại món ăn, 1 loại quả tráng miệng và 1 loại nước uống. Số cách chọn một bữa ăn đó là

A. 25 cách.

B. 75 cách.

C. 100 cách.

D. 15 cách.

Lời giải

Đáp án B.

Câu 5: Với \(k,n\) là các số tự nhiên và \(1 \le k \le n\), công thức nào sau đây là đúng?

A. \(A_n^k = \frac{{n!}}{{k!}}\).

B. \(A_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!}}\).

C. \(A_n^k = \frac{{k!}}{{n!}}\).

D. \(A_n^k = \frac{{(n - k)!}}{{k!}}\).

Lời giải

Đáp án B.

Câu 6: Cho \(k,n\) là các số nguyên dương thoả mãn \(n \ge k\). Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng?

A. \({A_n} = n(n - 1) \ldots (n - k + 1)\).

B. \(A_n^k = n(n - 1) \ldots k\).

C. \(A_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!k!}}\).

D. \(A_n^k = \frac{{n!}}{{k!}}\).

Lời giải

Đáp án A.

Câu 7: Cho tập hợp \(A\) có \(n\) phần tử ( \(n \ge 1\)) và số nguyên dương \(k\) thoả mãn \(k \le n\). Một tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử là:

A. Tất cả kết quả của việc lấy \(k\) phần tử từ \(n\) phần tử của tập hợp \(A\) và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó.

B. Tất cả tập con gồm \(k\) phần tử được lấy ra từ \(n\) phần tử của tập hợp \(A\).

C. Mỗi kết quả của việc lấy \(k\) phần tử từ \(n\) phần tử của tập hợp \(A\) và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó.

D. Mỗi tập con gồm \(k\) phần tử được lấy ra từ \(n\) phần tử của tập hợp \(A\).

Lời giải

Đáp án D.

Câu 8: Cho \(k,n\) là các số nguyên dương thoả mãn \(n > k\). Trong các mệnh đề sau, phát biểu nào sai?

A. \(C_n^k = C_n^{n - k}\).

B. \(C_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!}}\).

C. \(C_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!k!}}\).

D. \(C_n^k = C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^k\).

Lời giải

Đáp án B.

Câu 9: Một đề thi trắc nghiệm có 10 câu hỏi, mỗi câu có 1 đáp án đúng trong 4 đáp án. Giả sử các đáp án được chọn ngẫu nhiên. Số khả năng làm đúng 4 câu trên 10 câu của đề thi đó là:

A. \(C_{10}^{10}\).

B. \(C_{10}^4\).

C. \({3^6}C_{10}^4\).

D. \({3^6}A_{10}^4\).

Lời giải

Mỗi cách chọn 4 câu làm đúng trong 10 câu là một tổ hợp chập 4 của 10 phần tử nên số cách chọn là \(C_{10}^4\).

Vì 6 câu còn lại làm sai mà có 3 đáp án sai mỗi câu nên số khả năng làm đúng 4 câu trên 10 câu của đề thi đó là \(3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot C_{10}^4 = {3^6}C_{10}^4\).

Đáp án C.

Câu 10: Có bao nhiêu số tự nhiên có 2020 chữ số sao cho tổng các chữ số trong mỗi số bằng 3?

A. 2041209.

B. \(2037172.\)

C. 2041210.

D. 4039.

Lời giải

Do tổng các chữ số trong mỗi số là 3 nên ta xét các trường hợp sau:

Trường hợp 1: có một số duy nhất là số \(300 \ldots 0\) (có tất cả 2019 số 0).

Trường hợp 2: có 3 chữ số 1 trong số cần tìm.

Vị trí đầu khác 0 nên có 1 cách xếp.

Hai chữ số 1 còn lại có \(C_{2019}^2\) cách xếp nên trường hợp này có \(C_{2019}^2\) số.

Truờng hợp 3: chỉ có hai chữ số khác 0 và chữ số 1 và chữ số 2 còn lại đều là chữ số 0. Vị trí đầu có 2 cách xếp. Có \(C_{2019}^1\) cách xếp chữ số còn lại nên trường hợp này có \(2 \cdot C_{2019}^1\) số. Vậy có tất cả 2041210 số.

Đáp án C.

Câu 11: Lớp \(10\;A\) có 20 học sinh nam và 25 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn một bạn làm lớp phó lao động?

A. 500.

B. \(20.\)

C. 45.

D. 25.

Lời giải

Đáp án C.

Câu 12: Có bao nhiêu số tự nhiên chã̃n có ba chữ số?

A. 450.

B. 900.

C. 405.

D. 328.

Lời giải

Đáp án A.

Câu 13: Cho số nguyên dương \(n\) thoả mãn \(C_n^2 = 45\). Giá trị \(A_n^3\) là

A. 80.

B. 90.

C. 750.

D. 720.

Lời giải

Đáp án D.

Câu 14: Hệ số của \({x^3}\) trong khai triển của \({(2x - 5)^4}\) là

A. 160.

B. \( - 160\).

C. 600.

D. \( - 600\).

Lời giải

Đáp án B.

Câu 15: Khai triển của \({(x + 1)^5}\) là:

A. \({x^5} + 5{x^4} + 10{x^3} + 10{x^2} + 5x + 1\).

B. \({x^5} - 5{x^4} + 10{x^3} - 10{x^2} + 5x - 1\).

C. \({x^5} + 4{x^4} + 3{x^3} + 2{x^2} + x + 1\).

D. \({x^5} + 2{x^4} + 3{x^3} + 4{x^2} + 5x + 1\).

Lời giải

Đáp án A.

Câu 16: Biểu diễn \({(1 + \sqrt 2 )^4}\) dưới dạng \(a + b\sqrt 2 \) với \(a,b\) là các số nguyên. Vậy \(a + b\) bằng:

A. 29.

B. 18.

C. 17.

D. 12.

Lời giải

Đáp án A.

Câu 17: Hệ số của \({x^2}\) trong khai triển biểu thức \({(2 - 3x)^4}\) là:

A. \(216.\)

B. \( - 216\).

C. 72.

D. \( - 72\).

Lời giải

Ta có: \({(2 - 3x)^4} = {(3x - 2)^4}\).

Số hạng chứa \({x^2}\) trong khai triển biểu thức \({(2 - 3x)^4} = {(3x - 2)^4}\) là 6. \({(3x)^2} \cdot {( - 2)^2} = 216{x^2}\). Vậy hệ số của \({x^2}\) là 216.

Đáp án A.

Câu 18: Hệ số của \({x^4}\) trong khai triển biểu thức \({(x + 2)^5}\) là:

A. \( - 8\).

B. 40.

C. 80.

D. 10.

Lời giải

Số hạng chứa \({x^4}\) trong khai triển biểu thức \({(x + 2)^5}\) là \(5 \cdot {x^4} \cdot 2 = 10{x^4}\). Vậy hệ số của \({x^4}\) là 10.

Đáp án D.

Câu 19: Khai triển nhị thức Newton của \({(3 - y)^4}\) là

A. \(81 + 108y + 54{y^2} - 12{y^3} + {y^4}\).

B. \(81 - 108y + 54{y^2} - 12{y^3} + {y^4}\).

C. \(243 - 108y + 54{y^2} - 12{y^3} + {y^4}\).

D. \(81 - 108y + 54{y^2} - 12{y^3} + {y^5}\).

Lời giải

Đáp án B.

Câu 20: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \(A( - 1; - 5),B(5;2)\) và trọng tâm là gốc toạ độ. Toạ độ điểm \(C\) là:

A. \((4; - 3)\).

B. \(( - 4; - 3)\).

C. \(( - 4;3)\).

D. \((4;3)\).

Lời giải

Giả sử \(C(x;y)\). Trọng tâm tam giác \(ABC\) là gốc toạ độ, tức là \(O(0;0)\) nên ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{ - 1 + 5 + x}}{3} = 0}\\{\frac{{ - 5 + 2 + y}}{3} = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - 4}\\{y = 3.}\end{array}} \right.} \right.\) Vậy \(C( - 4;3)\).

Đáp án C.

Câu 21: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) và \(M(4; - 1),N(0;2),P(5;3)\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(BC,CA,AB\). Toạ độ điểm \(B\) là:

A. \((1;6)\).

B. \((9;0)\).

C. \(( - 1; - 2)\).

D. \((0;9)\).

Lời giải

Giả sử \(B(x;y)\). Ta có: \(\overrightarrow {PB}  = (x - 5;y - 3),\overrightarrow {NM}  = (4; - 3)\).

Vì \(MN\) là đường trung bình ứng với cạnh \(AB\), mà \(P\) là trung điểm \(AB\) nên \(\overrightarrow {PB}  = \overrightarrow {NM}  \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 5 = 4}\\{y - 3 =  - 3}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 9}\\{y = 0.}\end{array}} \right.} \right.\) Vậy \(B(9;0)\).

Đáp án B.

Câu 22: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A( - 3;4)\) và \(B(6; - 2)\). Điểm \(M\) thuộc trục tung sao cho ba điểm \(A,B,M\) thẳng hàng. Toạ độ điểm \(M\) là:

A. \((0;3)\).

B. \((0; - 3)\).

C. \((0; - 2)\).

D. \((0;2)\).

Lời giải

Do \(M \in Oy\) nên giả sử \(M(0;m)\). Ta có: \(\overrightarrow {AM}  = (3;m - 4),\overrightarrow {AB}  = (9; - 6)\). Vì \(A,B,M\) thẳng hàng nên \(\frac{3}{9} = \frac{{m - 4}}{{ - 6}} \Leftrightarrow m = 2\). Vậy \(M(0;2)\).

Đáp án D.

Câu 23: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A( - 4;5)\) và \(B(8; - 1)\). Điểm \(P\) thuộc trục hoành sao cho ba điểm \(A,B,P\) thẳng hàng. Toạ độ điểm \(P\) là:

A. \((0;3)\).

B. \((0; - 3)\).

C. \(( - 6;0)\).

D. \((6;0)\).

Lời giải

Do \(P \in Ox\) nên giả sử \(P(p;0)\). Ta có: \(\overrightarrow {AP}  = (p + 4; - 5),\overrightarrow {AB}  = (12; - 6)\). Vì \(A,B,P\) thẳng hàng nên \(\frac{{p + 4}}{{12}} = \frac{{ - 5}}{{ - 6}} \Leftrightarrow p = 6\). Vậy \(P(6;0)\).

Đáp án D.

Câu 24: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A(1;5),B(3;2)\). Điểm \(C\) đối xứng với \(A\) qua \(B\). Toạ độ điểm \(C\) là:

A. \((5; - 1)\).

B. \(\left( {2;\frac{7}{2}} \right)\).

C. \(( - 1;8)\).

D. \((5;1)\).

Lời giải

\(C\) đối xứng của với \(A\) qua \(B\) nên \(B\) là trung điểm của \(AC\).

Giả sử \(C(a;b)\). Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{a + 1}}{2} = 3}\\{\frac{{b + 5}}{2} = 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 5}\\{b =  - 1}\end{array}} \right.} \right.\) Vậy \(C(5; - 1)\).

Đáp án A.

Câu 25: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cặp vectơ nào vuông góc với nhau trong các vectơ \(\vec a = (2; - 1),\vec b = (3;7),\vec c = (3;1)\) và \(\vec d = (2; - 6)\)?

A. \(\vec a\) và \(\vec b\).

B. \(\vec c\) và \(\vec d\).

C. \(\vec a\) và \(\vec c\).

D. \(\vec b\) và \(\vec c\).

Lời giải

Ta có: \(\vec c \cdot \vec d = 3 \cdot 2 + 1 \cdot ( - 6) = 0\). Suy ra \(\vec c \bot \vec d\).  

Đáp án B.

Câu 26: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), vectơ \(\vec a = ( - 3; - 4)\) có độ dài bằng:

A. 5.

B. 4.

C. 3.

D. 25.

Lời giải

Ta có: \(|\vec a| = \sqrt {{{( - 3)}^2} + {{( - 4)}^2}}  = 5\).

Đáp án A.

Câu 27: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A( - 1; - 3)\) và \(B(3; - 2)\). Khoảng cách giữa hai điểm \(A\) và \(B\) bằng:

A. \(17.\)

B. \(\sqrt {17} \).

C. 5.

D. \(\sqrt 5 \).

Lời giải

Ta có: \(AB = \sqrt {{{[3 - ( - 1)]}^2} + \left[ {( - 2) - {{( - 3)}^2}} \right.}  = \sqrt {17} \).

Đáp án B.

Câu 28: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hai vectơ \(\vec u = (2;1),\vec v = ( - 3;1)\). Góc giữa hai vectơ \(\vec u\) và \(\vec v\) bằng:

A. \({45^0}\).

B. \({150^0}\).

C. \({135^0}\).

D. \({30^0}\).

Lời giải

Ta có: \(\cos (\vec u,\vec v) = \frac{{\vec u \cdot \vec v}}{{|\vec u| \cdot |\vec v|}} = \frac{{2 \cdot ( - 3) + 1 \cdot 1}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}}  \cdot \sqrt {{{( - 3)}^2} + {1^2}} }} =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\). Suy ra \((\vec u,\vec v) = {135^0}\).

Đáp án C.

Câu 29: Trong mặt phẳng tọ̣ độ \(Oxy\), cho ba điểm \(A(2;4),B(0; - 2),C(5;3)\). Đường thẳng đi qua điểm \(A\) và song song với đường thẳng \(BC\) có phương trình là:

A. \(x - y + 5 = 0\).

B. \(x + y - 5 = 0\).

C. \(x - y + 2 = 0\).

D. \(x + y = 0\).

Lời giải

Đáp án C.

Câu 30: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho ba điểm \(A(5;2),B(5; - 2),C(4; - 3)\). Đường thẳng đi qua điểm \(A\) và vuông góc với đường thẳng \(BC\) có phương trình là:

A. \(x - y + 7 = 0\).

B. \(x + y - 7 = 0\).

Lời giải

Đáp án B.

Câu 31: Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm \(A(1; - 3)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n(2; - 1)\) là:

A. \(2x + y - 5 = 0\).

B. \(2x - y - 5 = 0\).

C. \(x + 2y + 5 = 0\).

D. \(x + 2y - 5 = 0\).

Lời giải

Đáp án B.

Câu 32: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \(M(2;1)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec u( - 1;4)\) là:

A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + t}\\{y = 1 - 4t}\end{array}} \right.\).

B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1 + 2t}\\{y = 4 + t}\end{array}} \right.\).

C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 4t}\\{y = 2 - t}\end{array}} \right.\).

D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - t}\\{y = 1 + 4t}\end{array}} \right.\).

Lời giải

Đáp án D.

Câu 33: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho điểm \(M(2;4)\) và đường thẳng \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5 + 3t}\\{y =  - 5 - 4t}\end{array}} \right.\). Khoảng cách từ \(M\) đến đường thẳng \(\Delta \) là:

A. \(\frac{5}{2}\).

B. 3.

C. 5.

D. \(\frac{9}{5}\).

Lời giải

Đáp án B.

Câu 34: Cho hai đường thẳng \({d_1}:3x - 4y + 5 = 0,{d_2}:4x - 3y + 2 = 0\). Điểm \(M\) nào sau đây cách đều hai đường thẳng trên?

A. \(M(1;0)\).

B. \(M(2;3)\).

C. \(M(4; - 2)\).

D. \(M( - 1;2)\).

Lời giải

Đáp án B.

Câu 35: Trong mặt phẳng toạ độ, cho đường thẳng \(\Delta :x - 2y - 3 = 0\). Đường thẳng nào sau đây có vị trí tương đối trùng với đường thẳng \(\Delta \)?

A. \({\Delta _1}:x + 2y - 3 = 0\).

B. \({\Delta _2}:2x + y - 3 = 0\).

C. \({\Delta _3}:2x - 4y - 1 = 0\).

D. \({\Delta _4}:2x - 4y - 6 = 0\).

Lời giải

Đáp án D.

Phần tự luận (3 điểm)

Bài 1. Cho tập hợp \(A = \{ 0;1;2;3;4;5\} \). Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chã̃n có bốn chữ số khác nhau?

Lời giải

Gọi số tự nhiên có bốn chữ số là \(\overline {abcd} \).

Trường hợp 1: \(d = 0\).

Chọn \(d\): có 1 cách. Chọn \(a(a \ne 0)\): có 5 cách.

Số cách chọn \(b,c\) lần lượt là 4,3.

Số các số tự nhiên trong trường hợp này là \(1 \times 5 \times 4 \times 3 = 60\).

Trường hợp 2: \(d \in \{ 2;4\} \).

Chọn \(d\): có 2 cách. Chọn \(a(a \ne 0,a \ne d)\): có 4 cách.

Số cách chọn \(b,c\) lần lượt là 4,3.

Số các số tự nhiên trong trường hợp này là \(2 \times 4 \times 4 \times 3 = 96\).

Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn đề bài là \(60 + 96 = 156\).

Bài 2. Giải bất phương trình \(2C_{n + 1}^2 + 3A_n^2 - 20 < 0\).

Lời giải

Điều kiện: \(n \in \mathbb{N},n \ge 2\).

Ta có: \(2C_{n + 1}^2 + 3A_n^2 - 20 < 0 \Leftrightarrow 2 \cdot \frac{{(n + 1)!}}{{2!(n - 1)!}} + 3 \cdot \frac{{n!}}{{(n - 2)!}} - 20 < 0\) \( \Leftrightarrow n(n + 1) + 3(n - 1)n - 20 < 0 \Leftrightarrow 2{n^2} - n - 10 < 0 \Leftrightarrow  - 2 < n < \frac{5}{2}\).

Vì \(n \in \mathbb{N},n \ge 2 \Rightarrow n = 2\). Vậy tập nghiệm bất phương trình là \(S = \{ 2\} \).

Bài 3. Cho các vectơ \(\vec a = \frac{1}{2}\vec i - 5\vec j,\vec b = x\vec i - 4\vec j\). Tìm \(x\) để:

a) \(\vec a \bot \vec b\)

b) \(|\vec a| = |\vec b|\).

c) \(\vec a,\vec b\) cùng phương với nhau.

Lời giải

a) Ta có: \(\vec a = \left( {\frac{1}{2}; - 5} \right),\vec b = (x; - 4);\vec a \bot \vec b \Leftrightarrow \frac{1}{2}x + ( - 5)( - 4) = 0 \Leftrightarrow x =  - 40\).

b) Ta có: \(|\vec a| = |\vec b| \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{( - 5)}^2}}  = \sqrt {{x^2} + {{( - 4)}^2}}  \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 16}  = \frac{{\sqrt {101} }}{2}\) \( \Leftrightarrow {x^2} + 16 = \frac{{101}}{4} \Leftrightarrow x =  \pm \frac{{\sqrt {37} }}{2}\).

c) Ta có: \(\vec a,\vec b\) cùng phương khi và chỉ khi \(\frac{x}{{\frac{1}{2}}} = \frac{{ - 4}}{{ - 5}} \Leftrightarrow x = \frac{2}{5}\).

Bài 4. Tìm tham số \(m\) để góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1 + mt}\\{y = 9 + t}\end{array}} \right.\), \({\Delta _2}:x + my - 4 = 0\) bằng \(60^\circ \).

Lời giải

Hai đường thẳng đã cho có cặp vectơ pháp tuyến \({\vec n_1} = (1; - m),{\vec n_2} = (1;m)\).

Ta có: \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {{{\vec n}_1} \cdot {{\vec n}_2}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_1}} \right| \cdot \left| {{{\vec n}_2}} \right|}} = \frac{{\left| {1 - {m^2}} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2}}  \cdot \sqrt {1 + {m^2}} }} = \cos 60^\circ  \Rightarrow \frac{{\left| {1 - {m^2}} \right|}}{{1 + {m^2}}} = \frac{1}{2}\)

\( \Rightarrow 2\left| {1 - {m^2}} \right| = 1 + {m^2} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{2(1 - {m^2}) = 1 + {m^2}}\\{2(1 - {m^2}) =  - 1 - {m^2}}\end{array} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{3{m^2} = 1}\\{{m^2} = 3}\end{array} \Rightarrow m =  \pm \sqrt 3  \vee m =  \pm \sqrt {\frac{1}{3}} } \right.} \right.{\rm{. }}\)

Vậy \(m =  \pm \sqrt 3  \vee m =  \pm \sqrt {\frac{1}{3}} \) thỏa mãn đề bài.