Đề thi giữa kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo

Đề bài

Phần trắc nghiệm (7 điểm)

Câu 1: Biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai?

A. \(0{x^2} + 5x - 3\).

B. \(\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{x} + 1\).

C. \(7x - {x^2} + 5\).

D. \({\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)^2}\).

Câu 2: Chọn từ thích hợp để điền vào chỗ (.).

Nếu tam thức bậc hai \(f(x) = a{x^2} + bx + c(a \ne 0)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) \(\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) thì \(f(x) \ldots  \ldots ..(1) \ldots ...\) với hệ số \(a\) với mọi \(x \in \left( { - \infty ;{x_1}} \right) \cup \left( {{x_2}; + \infty } \right)\) và \(f(x)\).(2). với hệ số \(a\) với mọi \(x \in \left( {{x_1};{x_2}} \right)\).

A. (1) trái dấu - (2) cùng dấu.

B. (1) trái dấu - (2) trái dấu.

C. (1) cùng dấu - (2) trái dấu.

D. (1) cùng dấu - (2) cùng dấu.

Câu 3: Tập nghiệm của bất phương trình \({x^2} - 2x + 3 > 0\) là:

A. \(\emptyset \).

B. \(\mathbb{R}\).

C. \(( - \infty ; - 1) \cup (3; + \infty )\).

D. \(( - 1;3)\).

Câu 4: Tam thức bậc hai \( - {x^2} + 7x - 12\) nhận giá trị dương khi nào?

A. \(x \in (3;4)\).

B. \(x \in [3;4]\).

C. \(x \in ( - \infty ;3) \cup (4; + \infty )\).

D. \(x \in ( - \infty ;3] \cup [4; + \infty )\).

Câu 5: Cô Mai có \(60\;m\) lưới muốn rào một mảnh vườn hình chữ nhật để trồng rau. Biết rằng một cạnh là tường (nên không cần rào), cô Mai chỉ cần rào ba cạnh còn lại của hình chữ nhật để làm vườn. Để diện tích mảnh vườn không ít hơn \(400\;{m^2}\) thì chiều rộng của vườn cần có giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu?

A. \(20\;m\).

B. \(15\;m\).

C. \(10\;m\).

D. \(9\;m\).

Câu 6: Nghiệm của bất phương trình \({x^2} - 9x + 20 > 0\) là:

A. \(x \in [4;5]\).

B. \(x \in (4;5)\).

C. \(x \in ( - \infty ;4] \cup [5; + \infty )\).

D. \(x \in ( - \infty ;4) \cup (5; + \infty )\).

Câu 7: Tập ngiệm của bất phương trình: \( - {x^2} + 6x + 7 \ge 0\) là:

A. \(( - \infty ; - 1] \cup [7; + \infty )\).

B. \([ - 1;7]\).

C. \(( - \infty ; - 7] \cup [1; + \infty )\).

D. \([ - 7;1]\).

Câu 8: Hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(x + 3)(4 - x) > 0}\\{x - m + 1 < 0}\end{array}} \right.\) vô nghiệm khi và chỉ khi:

A. \(m \le  - 2\).

B. \(m >  - 2\).

C. \(m <  - 1\).

D. \(m = 0\).

Câu 9: Hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 1 \le 0}\\{x - m > 0}\end{array}} \right.\) có nghiệm khi:

A. \(m > 1\).

B. \(m = 1\).

C. \(m < 1\).

D. \(m \ne 1\).

Câu 10: Cho tam thức bậc hai \(f(x) = {x^2} - bx + 3\). Với giá trị nào của \(b\) thì \(f(x)\) có hai nghiệm phân biệt?

A. \(b \in [ - 2\sqrt 3 ;2\sqrt 3 ]\).

B. \(b \in ( - 2\sqrt 3 ;2\sqrt 3 )\).

C. \(b \in ( - \infty ; - 2\sqrt 3 ] \cup [2\sqrt 3 ; + \infty )\).

D. \(b \in ( - \infty ; - 2\sqrt 3 ) \cup (2\sqrt 3 ; + \infty )\).

Câu 11: Tập hợp tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình bậc hai \({x^2} + 2(m + 1)x + 3m = 0\) có nghiệm là

A. \(\{ 0\} \)

B. \(\mathbb{R}\backslash \{ 0\} \).

C. \(\mathbb{R}\).

D. \(\emptyset \).

Câu 12: Phương trình \(m{x^2} - mx + 2 = 0\) có nghiệm khi và chỉ khi:

A. \(m \le 0\) hoặc \(m \ge 8\).

C. \(0 < m \le 8\).

B. \(m < 0\) hoặc \(m \ge 8\).

D. \(0 \le m \le 8\).

Câu 13: Giá trị \(x = 2\) là nghiệm của phương trình nào sau đây?

A. \(\sqrt {{x^2} - x - 4}  = \sqrt {x - 4} \).

B. \(x - 1 = \sqrt {x - 3} \).

C. \(x + 2 = 2\sqrt {3x - 2} \).

D. \(x + 2 = \sqrt {x - 1} \).

Câu 14: Số nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} - 2x - 3}  = \sqrt {2{x^2} + x - 3} \) là:

A. 1.

B. 2.

C. 0.

D. 3.

Câu 15: Tập nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} - 3x + 1}  = x - 1\) là:

A. \(S = \{ 1\} \).

B. \(S = \{ 2\} \).

C. \(S = \{ 0\} \).

D. \(S = \emptyset \).

Câu 16: Cho phương trình \(\sqrt {{x^2} - mx + {m^2}}  = x - m\) (với \(m\) là tham số). Giá trị của \(m\) đê phương trình nhận \(x = 2\) làm nghiệm là:

A. \(m = 2\).

B. \(m = 3\).

C. \(m = 0\).

D. \(m = 1\).

Câu 17: Phương trình \(\left( {{x^2} - 6x} \right)\sqrt {17 - {x^2}}  = {x^2} - 6x\) có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

A. 2.

B. 1.

C. 4.

D. 3.

Câu 18: Tổng các nghiệm của phương trình \(\sqrt {3x + 7}  - \sqrt {x + 1}  = 2\) là

A. 2.

B. \( - 1\).

C. \( - 2\).

D. 4.

Câu 19: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), toạ độ của vectơ \(2\vec i - 7\vec j\) là:

A. \((2;7)\).

B. \(( - 2;7)\).

C. \((2; - 7)\).

D. \(( - 7;2)\).

Câu 20: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(A(3; - 2)\). Toạ độ của vectơ \(\overrightarrow {OA} \) là:

A. \((3; - 2)\).

B. \(( - 3;2)\).

C. \(( - 2;3)\).

D. \((2; - 3)\).

Câu 21: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(A( - 3;2),B(5; - 1)\). Toạ độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} \) là:

A. \((2;1)\).

B. \((8; - 3)\).

C. \(( - 8;3)\).

D. \(( - 2; - 1)\).

Câu 22: Một đường thẳng có bao nhiêu vectơ pháp tuyến?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. Vô số.

Câu 23: Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta :y = 2x + 1\) là:

A. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} (2; - 1)\).

B. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} (1; - 1)\).

C. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} ( - 2; - 1)\).

D. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} (1;1)\).

Câu 24: Đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_\Delta }} (12; - 13)\). Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của \(\Delta \)?

A. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} ( - 13;12)\).

B. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} (12;13)\).

C. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} (13;12)\).

D. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} ( - 12; - 13)\).

Câu 25: Phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n(a;b)\) là:

A. \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b}\).

B. \(b\left( {x - {x_0}} \right) - a\left( {y - {y_0}} \right) = 0\).

C. \(a\left( {x + {x_0}} \right) + b\left( {y + {y_0}} \right) = 0\).

D. \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0\).

Câu 26: Phương trình của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M(5;4)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n(11; - 12)\) là:

A. \(5x + 4y + 7 = 0\).

B. \(5x + 4y - 7 = 0\).

C. \(11x - 12y - 7 = 0\).

D. \(11x - 12y + 7 = 0\).

Câu 27: Phương trình của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M(5;4)\) và vuông góc với đường thẳng \(x - 2y + 5 = 0\) là:

A. \(x - 2y + 3 = 0\).

B. \(2x + y - 14 = 0\).

C. \(x + 2y - 13 = 0\).

D. \(2x + y = 0\).

Câu 28: Cho đường thẳng \(\Delta \) có phương trình tổng quát là \(x - 2y - 5 = 0\). Phương trình nào sau đây là phương trình tham số của \(\Delta \)?

A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 + 2t}\\{y = 4 - t}\end{array}} \right.\).

B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t}\\{y = 5 + 2t}\end{array}} \right.\).

C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + 4t}\\{y = 1 - 2t}\end{array}} \right.\).

D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5 + 2t}\\{y = t}\end{array}} \right.\).

Câu 29: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:x - 2y + 1 = 0\), \({\Delta _2}:3x - y + 7 = 0\). Nhận định nào sau đây là đúng?

A. Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) vuông góc với nhau.

B. Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) song song với nhau.

C. Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) trùng nhau.

D. Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau.

Câu 30: Người ta quy ước góc giữa hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau là:

A. \({180^0}\).

B. \({120^0}\).

C. \({90^0}\).

D. \({0^0}\).

Câu 31: Cho \(\alpha \) là góc tạo bởi hai đường thẳng \({\Delta _1}:2x - 3y + 5 = 0\) và \({\Delta _2}:3x + y - 14 = 0\). Giá trị của cosa là:

A. \(\frac{{ - 3}}{{130}}\).

B. \(\frac{3}{{\sqrt {130} }}\).

C. \(\frac{{\sqrt 3 }}{{130}}\).

D. \(\frac{{ - 3}}{{\sqrt {130} }}\).

Câu 32: Góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:2x + 4y - 1 = 0\) và \({\Delta _2}:x - 3y + 1 = 0\) là:

A. \({0^0}\).

B. \({45^0}\).

C. \({60^0}\).

D. \({90^0}\).

Câu 33: Cho đường tròn \((C):{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} = 25\). Đường tròn \((C)\) có:

A. Tâm \(I(1;2)\) và bán kính \(R = 25\).

B. Tâm \(I( - 1; - 2)\) và bán kính \(R = 25\).

C. Tâm \(I(1;2)\) và bán kính \(R = 5\).

D. Tâm \(I( - 1; - 2)\) và bán kính \(R = 5\).

Câu 34: Cho đường tròn \((C):{x^2} + {y^2} + 6x - 4y + 2 = 0\). Đường tròn \((C)\) có:

A. Tâm \(I( - 3;2)\) và bán kính \(R = 11\).

B. Tâm \(I( - 3;2)\) và bán kính \(R = \sqrt {11} \).

C. Tâm \(I(3; - 2)\) và bán kính \(R = 11\).

D. Tâm \(I(3; - 2)\) và bán kính \(R = \sqrt {11} \).

Câu 35: Phương trình nào sau đây là phương trình của một đường tròn?

A. \({x^2} - {y^2} + 6x - 4y + 2 = 0\).

B. \({x^2} + {y^2} + 2x - 4y + 8 = 0\).

C. \({x^2} + {y^2} + 6x - 10y + 45 = 0\).

D. \({x^2} + {y^2} + 4x - 8y + 13 = 0\)

Phần tự luận (3 điểm)

Bài 1. Giải phương trình sau: \(\sqrt {{x^2} + 2x + 4}  = \sqrt {2 - x} \)

Bài 2. Tìm \(m\) để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi \(x\):

a) \(3{x^2} - 2(m - 1)x + {m^2} + 4 > 0\)

b) \(m{x^2} + (m - 1)x + m - 1 < 0\)

Bài 3. Cho các vectơ \(\vec a = (2;0),\vec b = \left( { - 1;\frac{1}{2}} \right),\vec c = (4; - 6)\).

a) Tìm tọa độ của vectơ \(\vec d = 2\vec a - 3\vec b + 5\vec c\).

b) Biểu diễn vectơ \(\vec c\) theo cặp vectơ không cùng phương \(\vec a,\vec b\).

Bài 4. Cho tam giác \(ABC\) với \(A( - 1; - 2)\) và phương trình đường thẳng chứa cạnh \(BC\) là \(x - y + 4 = 0\).

a) Viết phương trình đường cao \(AH\) của tam giác.

b) Viết phương trình đường trung bình ứng với cạnh đáy \(BC\) của tam giác.

-------- Hết --------

Lời giải

Phần trắc nghiệm

 

Câu 1. C	Câu 2. C	Câu 3. B	Câu 4. A	Câu 5. C	Câu 6. D	Câu 7. B
Câu 8. A	Câu 9. C	Câu 10. D	Câu 11. C	Câu 12. B	Câu 13. C	Câu 14. A
Câu 15. D	Câu 16. C	Câu 17. D	Câu 18. A	Câu 19. C	Câu 20. A	Câu 21. B
Câu 22. D	Câu 23. A	Câu 24. C	Câu 25. D	Câu 26. C	Câu 27. B	Câu 28. D
Câu 29. D	Câu 30. D	Câu 31. B	Câu 32. B	Câu 33. C	Câu 34. B	Câu 35. D

 

Câu 1: Biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai?

A. \(0{x^2} + 5x - 3\).

B. \(\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{x} + 1\).

C. \(7x - {x^2} + 5\).

D. \({\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)^2}\).

Lời giải

Đáp án C.

Câu 2: Chọn từ thích hợp để điền vào chỗ (.).

Nếu tam thức bậc hai \(f(x) = a{x^2} + bx + c(a \ne 0)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) \(\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) thì \(f(x) \ldots  \ldots ..(1) \ldots ...\) với hệ số \(a\) với mọi \(x \in \left( { - \infty ;{x_1}} \right) \cup \left( {{x_2}; + \infty } \right)\) và \(f(x)\).(2). với hệ số \(a\) với mọi \(x \in \left( {{x_1};{x_2}} \right)\).

A. (1) trái dấu - (2) cùng dấu.

B. (1) trái dấu - (2) trái dấu.

C. (1) cùng dấu - (2) trái dấu.

D. (1) cùng dấu - (2) cùng dấu.

Lời giải

Đáp án C.

Câu 3: Tập nghiệm của bất phương trình \({x^2} - 2x + 3 > 0\) là:

A. \(\emptyset \).

B. \(\mathbb{R}\).

C. \(( - \infty ; - 1) \cup (3; + \infty )\).

D. \(( - 1;3)\).

Lời giải

Ta có: \({x^2} - 2x + 3 > 0 \Leftrightarrow {(x - 1)^2} + 2 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\).

Đáp án B.

Câu 4: Tam thức bậc hai \( - {x^2} + 7x - 12\) nhận giá trị dương khi nào?

A. \(x \in (3;4)\).

B. \(x \in [3;4]\).

C. \(x \in ( - \infty ;3) \cup (4; + \infty )\).

D. \(x \in ( - \infty ;3] \cup [4; + \infty )\).

Lời giải

Đáp án A.

Câu 5: Cô Mai có \(60\;m\) lưới muốn rào một mảnh vườn hình chữ nhật để trồng rau. Biết rằng một cạnh là tường (nên không cần rào), cô Mai chỉ cần rào ba cạnh còn lại của hình chữ nhật để làm vườn. Để diện tích mảnh vườn không ít hơn \(400\;{m^2}\) thì chiều rộng của vườn cần có giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu?

A. \(20\;m\).

B. \(15\;m\).

C. \(10\;m\).

D. \(9\;m\).

Lời giải

Gọi \(x,y(0 < x,y < 60)\) lần lượt là độ dài hai cạnh của hình chữ nhật.

 

Ta có \(2x + y = 60 \Rightarrow y = 60 - 2x\).

Diện tích hình chữ nhật là \(S = xy = x(60 - 2x)\).

Ta xét bất phương trình \(x(60 - 2x) \ge 400 \Leftrightarrow 10 \le x \le 20\).

Vậy giá trị tối thiểu của chiều rộng là \(10\;m\).

Đáp án C.

Câu 6: Nghiệm của bất phương trình \({x^2} - 9x + 20 > 0\) là:

A. \(x \in [4;5]\).

B. \(x \in (4;5)\).

C. \(x \in ( - \infty ;4] \cup [5; + \infty )\).

D. \(x \in ( - \infty ;4) \cup (5; + \infty )\).

Lời giải

Đáp án D.

Câu 7: Tập ngiệm của bất phương trình: \( - {x^2} + 6x + 7 \ge 0\) là:

A. \(( - \infty ; - 1] \cup [7; + \infty )\).

B. \([ - 1;7]\).

C. \(( - \infty ; - 7] \cup [1; + \infty )\).

D. \([ - 7;1]\).

Lời giải

Xét \( - {x^2} + 6x + 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x =  - 1\\x = 7\end{array}\end{array}} \right.{\rm{. }}\)

Bảng xét dấu:

 

Ta có \(: - {x^2} + 6x + 7 \ge 0 \Leftrightarrow x \in [ - 1;7]\).

Đáp án B.

Câu 8: Hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(x + 3)(4 - x) > 0}\\{x - m + 1 < 0}\end{array}} \right.\) vô nghiệm khi và chỉ khi:

A. \(m \le  - 2\).

B. \(m >  - 2\).

C. \(m <  - 1\).

D. \(m = 0\).

Lời giải

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(x + 3)(4 - x) > 0}\\{x - m + 1 < 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 3 < x < 4}\\{x < m - 1}\end{array}} \right.\left( * \right)\).

Hệ \(\left( * \right)\) vô nghiệm \( \Leftrightarrow m - 1 \le  - 3 \Leftrightarrow m \le  - 2\).

Đáp án A.

Câu 9: Hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 1 \le 0}\\{x - m > 0}\end{array}} \right.\) có nghiệm khi:

A. \(m > 1\).

B. \(m = 1\).

C. \(m < 1\).

D. \(m \ne 1\).

Lời giải

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 1 \le 0}\\{x - m > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 1 \le x \le 1}\\{x > m}\end{array}\quad (*)} \right.} \right.\)

Do đó hệ \(\left( * \right)\) có nghiệm khi và chỉ khi \(m < 1\).

Đáp án C.

Câu 10: Cho tam thức bậc hai \(f(x) = {x^2} - bx + 3\). Với giá trị nào của \(b\) thì \(f(x)\) có hai nghiệm phân biệt?

A. \(b \in [ - 2\sqrt 3 ;2\sqrt 3 ]\).

B. \(b \in ( - 2\sqrt 3 ;2\sqrt 3 )\).

C. \(b \in ( - \infty ; - 2\sqrt 3 ] \cup [2\sqrt 3 ; + \infty )\).

D. \(b \in ( - \infty ; - 2\sqrt 3 ) \cup (2\sqrt 3 ; + \infty )\).

Lời giải

\(f(x)\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta  = {b^2} - 12 > 0\). Xét \(\Delta  = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{b =  - 2\sqrt 3 }\\{b = 2\sqrt 3 }\end{array}} \right.\).

Bảng xét dấu:

 

Ta có: \(\Delta  = {b^2} - 12 > 0 \Leftrightarrow b \in ( - \infty ; - 2\sqrt 3 ) \cup (2\sqrt 3 ; + \infty )\).

Đáp án D.

Câu 11: Tập hợp tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình bậc hai \({x^2} + 2(m + 1)x + 3m = 0\) có nghiệm là

A. \(\{ 0\} \)

B. \(\mathbb{R}\backslash \{ 0\} \).

C. \(\mathbb{R}\).

D. \(\emptyset \).

Lời giải

Phương trình \({x^2} + 2(m + 1)x + 3m = 0\) có nghiệm khi và chỉ khi \({\Delta ^\prime } \ge 0\) \( \Leftrightarrow {(m + 1)^2} - 3m \ge 0 \Leftrightarrow {m^2} - m + 1 \ge 0\).

Xét \(f(m) = {m^2} - m + 1\) có \({\Delta _f} = 1 - 4 =  - 3 < 0\) nên \(f(m)\) luôn dương (do cùng dấu \(\left. {{a_f} = 1} \right)\).

Vậy \({m^2} - m + 1 \ge 0 \Leftrightarrow m \in \mathbb{R}\).

Đáp án C.

Câu 12: Phương trình \(m{x^2} - mx + 2 = 0\) có nghiệm khi và chỉ khi:

A. \(m \le 0\) hoặc \(m \ge 8\).

C. \(0 < m \le 8\).

B. \(m < 0\) hoặc \(m \ge 8\).

D. \(0 \le m \le 8\).

Lời giải

Trường hợp 1: \(m = 0\). Thay vào phương trình: \(2 = 0\) (vô nghiệm). Vì vậy \(m = 0\)

không thỏa mãn.

Trường hợp 2: \(m \ne 0\).

Phương trình có nghiệm khi \(\Delta  \ge 0 \Leftrightarrow {( - m)^2} - 8m \ge 0 \Leftrightarrow {m^2} - 8m \ge 0\).

Xét \(f(m) = {m^2} - 8m;f(m) = 0 \Leftrightarrow m = 0 \vee m = 8\).

Bảng xét dấu:

 

Ta có: \(f(m) = {m^2} - 8m \ge 0 \Leftrightarrow m \in ( - \infty ;0) \cup (8; + \infty )\).

So với điều kiện, ta có \(m < 0\) hoặc \(m \ge 8\) thỏa mãn đề bài.

Đáp án B.

Câu 13: Giá trị \(x = 2\) là nghiệm của phương trình nào sau đây?

A. \(\sqrt {{x^2} - x - 4}  = \sqrt {x - 4} \).

B. \(x - 1 = \sqrt {x - 3} \).

C. \(x + 2 = 2\sqrt {3x - 2} \).

D. \(x + 2 = \sqrt {x - 1} \).

Lời giải

Đáp án C.

Câu 14: Số nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} - 2x - 3}  = \sqrt {2{x^2} + x - 3} \) là:

A. 1.

B. 2.

C. 0.

D. 3.

Lời giải

Đáp án A.

Câu 15: Tập nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} - 3x + 1}  = x - 1\) là:

A. \(S = \{ 1\} \).

B. \(S = \{ 2\} \).

C. \(S = \{ 0\} \).

D. \(S = \emptyset \).

Lời giải

Đáp án D.

Câu 16: Cho phương trình \(\sqrt {{x^2} - mx + {m^2}}  = x - m\) (với \(m\) là tham số). Giá trị của \(m\) đê phương trình nhận \(x = 2\) làm nghiệm là:

A. \(m = 2\).

B. \(m = 3\).

C. \(m = 0\).

D. \(m = 1\).

Lời giải

Đáp án C.

Câu 17: Phương trình \(\left( {{x^2} - 6x} \right)\sqrt {17 - {x^2}}  = {x^2} - 6x\) có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

A. 2.

B. 1.

C. 4.

D. 3.

Lời giải

Điều kiện: \(17 - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow  - \sqrt {17}  \le x \le \sqrt {17} \).

Ta có: \(\left( {{x^2} - 6x} \right)\sqrt {17 - {x^2}}  = {x^2} - 6x \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 6x} \right)\left( {\sqrt {17 - {x^2}}  - 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}{x^2} - 6x = 0\\\sqrt {17 - {x^2}}  = 1\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x(x - 6) = 0\\16 - {x^2} = 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x = 0 & (T)\\x = 6 & (L)\\x =  \pm 4 & (T)\end{array}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Vậy phương trình có 3 thực phân biệt.

Đáp án D.

Câu 18: Tổng các nghiệm của phương trình \(\sqrt {3x + 7}  - \sqrt {x + 1}  = 2\) là

A. 2.

B. \( - 1\).

C. \( - 2\).

D. 4.

Lời giải

\(\sqrt {3x + 7}  - \sqrt {x + 1}  = 2 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge  - 1}\\{\sqrt {3x + 7}  = 2 + \sqrt {x + 1} }\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \ge  - 1\\3x + 7 = 4 + x + 1 + 4\sqrt {x + 1} \end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \ge  - 1\\x + 1 = 2\sqrt {x + 1} \end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \ge  - 1\\{x^2} - 2x - 3 = 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x =  - 1\\x = 3\end{array}\end{array}.} \right.} \right.} \right.} \right.\)

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là 2.

Đáp án A.

Câu 19: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), toạ độ của vectơ \(2\vec i - 7\vec j\) là:

A. \((2;7)\).

B. \(( - 2;7)\).

C. \((2; - 7)\).

D. \(( - 7;2)\).

Lời giải

Đáp án C.

Câu 20: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(A(3; - 2)\). Toạ độ của vectơ \(\overrightarrow {OA} \) là:

A. \((3; - 2)\).

B. \(( - 3;2)\).

C. \(( - 2;3)\).

D. \((2; - 3)\).

Lời giải

Đáp án A.

Câu 21: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(A( - 3;2),B(5; - 1)\). Toạ độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} \) là:

A. \((2;1)\).

B. \((8; - 3)\).

C. \(( - 8;3)\).

D. \(( - 2; - 1)\).

Lời giải

Đáp án B.

Câu 22: Một đường thẳng có bao nhiêu vectơ pháp tuyến?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. Vô số.

Lời giải

Đáp án D.

Câu 23: Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta :y = 2x + 1\) là:

A. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} (2; - 1)\).

B. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} (1; - 1)\).

C. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} ( - 2; - 1)\).

D. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} (1;1)\).

Lời giải

Đáp án A.

Câu 24: Đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_\Delta }} (12; - 13)\). Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của \(\Delta \)?

A. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} ( - 13;12)\).

B. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} (12;13)\).

C. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} (13;12)\).

D. \(\overrightarrow {{n_\Delta }} ( - 12; - 13)\).

Lời giải

Đáp án C.

Câu 25: Phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n(a;b)\) là:

A. \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b}\).

B. \(b\left( {x - {x_0}} \right) - a\left( {y - {y_0}} \right) = 0\).

C. \(a\left( {x + {x_0}} \right) + b\left( {y + {y_0}} \right) = 0\).

D. \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0\).

Lời giải

Đáp án D.

Câu 26: Phương trình của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M(5;4)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n(11; - 12)\) là:

A. \(5x + 4y + 7 = 0\).

B. \(5x + 4y - 7 = 0\).

C. \(11x - 12y - 7 = 0\).

D. \(11x - 12y + 7 = 0\).

Lời giải

Đáp án C.

Câu 27: Phương trình của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M(5;4)\) và vuông góc với đường thẳng \(x - 2y + 5 = 0\) là:

A. \(x - 2y + 3 = 0\).

B. \(2x + y - 14 = 0\).

C. \(x + 2y - 13 = 0\).

D. \(2x + y = 0\).

Lời giải

Đáp án B.

Câu 28: Cho đường thẳng \(\Delta \) có phương trình tổng quát là \(x - 2y - 5 = 0\). Phương trình nào sau đây là phương trình tham số của \(\Delta \)?

A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 + 2t}\\{y = 4 - t}\end{array}} \right.\).

B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t}\\{y = 5 + 2t}\end{array}} \right.\).

C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + 4t}\\{y = 1 - 2t}\end{array}} \right.\).

D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5 + 2t}\\{y = t}\end{array}} \right.\).

Lời giải

Đáp án D.

Câu 29: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:x - 2y + 1 = 0\), \({\Delta _2}:3x - y + 7 = 0\). Nhận định nào sau đây là đúng?

A. Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) vuông góc với nhau.

B. Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) song song với nhau.

C. Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) trùng nhau.

D. Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau.

Lời giải

Đáp án D.

Câu 30: Người ta quy ước góc giữa hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau là:

A. \({180^0}\).

B. \({120^0}\).

C. \({90^0}\).

D. \({0^0}\).

Lời giải

Đáp án D.

Câu 31: Cho \(\alpha \) là góc tạo bởi hai đường thẳng \({\Delta _1}:2x - 3y + 5 = 0\) và \({\Delta _2}:3x + y - 14 = 0\). Giá trị của cosa là:

A. \(\frac{{ - 3}}{{130}}\).

B. \(\frac{3}{{\sqrt {130} }}\).

C. \(\frac{{\sqrt 3 }}{{130}}\).

D. \(\frac{{ - 3}}{{\sqrt {130} }}\).

Lời giải

Đáp án B.

Câu 32: Góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:2x + 4y - 1 = 0\) và \({\Delta _2}:x - 3y + 1 = 0\) là:

A. \({0^0}\).

B. \({45^0}\).

C. \({60^0}\).

D. \({90^0}\).

Lời giải

Đáp án B.

Câu 33: Cho đường tròn \((C):{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} = 25\). Đường tròn \((C)\) có:

A. Tâm \(I(1;2)\) và bán kính \(R = 25\).

B. Tâm \(I( - 1; - 2)\) và bán kính \(R = 25\).

C. Tâm \(I(1;2)\) và bán kính \(R = 5\).

D. Tâm \(I( - 1; - 2)\) và bán kính \(R = 5\).

Lời giải

Đáp án C.

Câu 34: Cho đường tròn \((C):{x^2} + {y^2} + 6x - 4y + 2 = 0\). Đường tròn \((C)\) có:

A. Tâm \(I( - 3;2)\) và bán kính \(R = 11\).

B. Tâm \(I( - 3;2)\) và bán kính \(R = \sqrt {11} \).

C. Tâm \(I(3; - 2)\) và bán kính \(R = 11\).

D. Tâm \(I(3; - 2)\) và bán kính \(R = \sqrt {11} \).

Lời giải

Đáp án B.

Câu 35: Phương trình nào sau đây là phương trình của một đường tròn?

A. \({x^2} - {y^2} + 6x - 4y + 2 = 0\).

B. \({x^2} + {y^2} + 2x - 4y + 8 = 0\).

C. \({x^2} + {y^2} + 6x - 10y + 45 = 0\).

D. \({x^2} + {y^2} + 4x - 8y + 13 = 0\)

Lời giải

Đáp án D.

Phần tự luận (3 điểm)

Bài 1. Giải phương trình sau: \(\sqrt {{x^2} + 2x + 4}  = \sqrt {2 - x} \)

Lời giải

Cách 1:

Bình phương hai vế phương trình, ta được:

\({x^2} + 2x + 4 = 2 - x \Leftrightarrow {x^2} + 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow x =  - 1 \vee x =  - 2.{\rm{ }}\)

Thay giá trị \(x =  - 1\) vào phương trình: \(\sqrt 3  = \sqrt 3 \) (thỏa mãn).

Thay giá trị \(x =  - 2\) vào phương trình: \(\sqrt 4  = \sqrt 4 \) (thỏa mãn).

Vậy tập nghiệm phương trình là \(S = \{  - 1; - 2\} \).

Cách 2:

Ta có: \(\sqrt {{x^2} + 2x + 4}  = \sqrt {2 - x}  \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2 - x \ge 0}\\{{x^2} + 2x + 4 = 2 - x}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \le 2\\{x^2} + 3x + 2 = 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \le 2\\x =  - 1 \vee x =  - 2\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x =  - 1\\x =  - 2\end{array}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Vậy tập nghiệm phương trình là \(S = \{  - 1; - 2\} \).

Bài 2. Tìm \(m\) để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi \(x\):

a) \(3{x^2} - 2(m - 1)x + {m^2} + 4 > 0\)

b) \(m{x^2} + (m - 1)x + m - 1 < 0\)

Lời giải

a) Đặt \(f(x) = 3{x^2} - 2(m - 1)x + {m^2} + 4\) với \(a = 3,{b^\prime } =  - (m - 1),c = {m^2} + 4\).

Theo giả thiết:

\(f(x) = 3{x^2} - 2(m - 1)x + {m^2} + 4> 0,\forall x \in \mathbb{R}\left( * \right)\).

Đặt \(f(m) =  - 2{m^2} - 2m - 11\) có \({\Delta _f} = {( - 2)^2} - ( - 2)( - 11) =  - 18 < 0\).

Vì vậy \(f(m)\) luôn cùng dấu với \( - 2\) tức là \(f(m) < 0,\forall m \in \mathbb{R}\). Do đó (*) luôn đúng.

Vậy, với mọi \(m\) thuộc \(\mathbb{R}\) thì \(f(x) > 0,\forall x \in \mathbb{R}\).

b) Đặt \(f(x) = m{x^2} + (m - 1)x + m - 1\) với \(a = m,{b^\prime } = m - 1,c = m - 1\).

Theo giả thiết: \(f(x) = m{x^2} + (m - 1)x + m - 1 < 0,\forall x \in \mathbb{R}\left( * \right)\).

Trường hợp 1: \(a = m = 0\).

Thay vào \((*): - x - 1 < 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow x >  - 1,\forall x \in \mathbb{R}\) (sai).

Suy ra \(m = 0\) không thỏa mãn.

Trường hợp 2: \(a = m \ne 0\).

Ta có: \((*) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a < 0}\\{\Delta  < 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 0}\\{{{(m - 1)}^2} - 4m(m - 1) < 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 0}\\{ - 3{m^2} + 2m + 1 < 0}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Xét \(g(m) =  - 3{m^2} + 2m + 1;g(m) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 1}\\{m =  - \frac{1}{3}}\end{array}} \right.\).

Bảng xét dấu \(g(m)\):

 

Ta có: \(g(m) < 0 \Leftrightarrow m \in \left( { - \infty ; - \frac{1}{3}} \right) \cup (1; + \infty )\). Vậy \((1) \Leftrightarrow m \in \left( { - \infty ; - \frac{1}{3}} \right)\). Kết hợp hai trường hợp đã xét, ta thu được \(m \in \left( { - \infty ; - \frac{1}{3}} \right)\) thỏa mãn đề bài

Bài 3. Cho các vectơ \(\vec a = (2;0),\vec b = \left( { - 1;\frac{1}{2}} \right),\vec c = (4; - 6)\).

a) Tìm tọa độ của vectơ \(\vec d = 2\vec a - 3\vec b + 5\vec c\).

b) Biểu diễn vectơ \(\vec c\) theo cặp vectơ không cùng phương \(\vec a,\vec b\).

Lời giải

a) Ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2\vec a = (4;0)}\\{ - 3\vec b = \left( {3; - \frac{3}{2}} \right) \Rightarrow \vec d = 2\vec a - 3\vec b + 5\vec c = \left( {27; - \frac{{63}}{2}} \right)}\\{5\vec c = (20; - 30)}\end{array}} \right.\)

b) Gọi: \(\vec c = x\vec a + y\vec b(x,y \in \mathbb{R})\). Ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4 = x \cdot 2 + y( - 1)}\\{ - 6 = x \cdot 0 + y \cdot \frac{1}{2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 4}\\{y =  - 12}\end{array}} \right.} \right.\) Vậy \(\vec c =  - 4\vec a - 12\vec b\).

Bài 4. Cho tam giác \(ABC\) với \(A( - 1; - 2)\) và phương trình đường thẳng chứa cạnh \(BC\) là \(x - y + 4 = 0\).

a) Viết phương trình đường cao \(AH\) của tam giác.

b) Viết phương trình đường trung bình ứng với cạnh đáy \(BC\) của tam giác.

Lời giải

a) Đường cao \(AH\) vuông góc với \(BC\) nên nhận \(\vec u = (1; - 1)\) làm vectơ chỉ phương, suy ra \(AH\) có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (1;1)\).

Phương trình tổng quát \(AH:1(x + 1) + 1(y + 2) = 0\) hay \(x + y + 3 = 0\).

b) Chọn điểm \(K(0;4)\) thuộc \(BC\), gọi \(E\) là trung điểm đoạn \(AK\) nên \(E\left( { - \frac{1}{2};1} \right)\). Gọi \(d\) là đường trung bình ứng với cạnh đáy \(BC\) của tam giác \(ABC\), suy ra \(d\) qua \(E\) và có một vectơ pháp tuyến .

Phương trình tổng quát \(d:1\left( {x + \frac{1}{2}} \right) - 1(y - 1) = 0\) hay \(2x - 2y + 3 = 0\).

 

Đề bài

Phần trắc nghiệm (7 điểm)

Câu 1: Điều kiện để tam thức bậc hai \(a{x^2} + bx + c(a \ne 0)\) nhận giá trị âm với mọi \(x \in \mathbb{R}\) là:

A. \(\Delta  > 0\).

B. \(\Delta  < 0\).

C. \(\Delta  < 0\) và \(a > 0\).

D. \(\Delta  < 0\) và \(a < 0\).

Câu 2: Bảng xét dấu sau đây là của tam thức bậc hai nào?

 

A. \({x^2} - x + 6\).

B. \({x^2} + x + 6\).

C. \({x^2} - x - 6\).

D. \( - {x^2} + x - 6\).

Câu 3: Nghiệm của bất phương trình \({x^2} - 8x + 15 \le 0\) là:

A. \(x \in [3;5]\).

B. \(x \in (3;5)\).

C. \(x \in ( - \infty ;3] \cup [5; + \infty )\).

D. \(x \in ( - \infty ;3) \cup (5; + \infty )\).

Câu 4: Với giá trị nào của \(m\) thì bất phương trình \( - {x^2} - x + m \ge 0\) vô nghiệm?

A. \(m \ge  - \frac{1}{4}\).

B. \(m >  - \frac{1}{4}\).

C. \(m \le  - \frac{1}{4}\).

D. \(m <  - \frac{1}{4}\).

Câu 5: Một đường hầm xuyên thẳng qua núi và có mặt cắt là một parabol (thông số như hình bên). Giả sử một chiếc xe tải có chiều ngang \(6\;m\) đi vào vị trí chính giữa miệng hầm. Hỏi chiều cao \(h\) của xe tải cần thoả mãn điều kiện gì để có thể đi vào cửa hầm mà không chạm tường?

 

A. \(0 < h < 6\).

B. \(0 < h \le 6\).

C. \(0 < h < 7\).

D. \(0 < h \le 7\).

Câu 6: Giá trị nào của \(m\) thì phương trình \((m - 3){x^2} + (m + 3)x - (m + 1) = 0\) có hai nghiệm phân biệt?

A. \(m \in \left( { - \infty ; - \frac{3}{5}} \right) \cup (1; + \infty )\backslash \{ 3\} \).

B. \(m \in \left( { - \frac{3}{5};1} \right)\).

C. \(m \in \left( { - \frac{3}{5}; + \infty } \right)\).

D. \(m \in \mathbb{R}\backslash \{ 3\} \).

Câu 7: Tìm các giá trị của tham số \(m\) để bất phương trình \( - {x^2} + (2m - 1)x + m < 0\) có tập nghiệm là \(\mathbb{R}\).

A. \(m = \frac{1}{2}\).

B. \(m =  - \frac{1}{2}\).

C. \(m \in \mathbb{R}\).

D. Không tồn tại \(m\).

Câu 8: Với giá trị nào của \(m\) thì bất phương trình \({x^2} - x + m \le 0\) vô nghiệm?

A. \(m < 1\).

B. \(m > 1\).

C. \(m < \frac{1}{4}\).

D. \(m > \frac{1}{4}\).

Câu 9: Bất phương trình \({x^2} - (m + 2)x + m + 2 \le 0\) vô nghiệm khi và chỉ khi:

A. \(m \in ( - \infty ; - 2] \cup [2; + \infty )\).

B. \(m \in ( - \infty ; - 2) \cup (2; + \infty )\).

C. \(m \in [ - 2;2]\).

D. \(m \in ( - 2;2)\).

Câu 10: Xác định \(m\) để với mọi \(x\), ta có \( - 1 \le \frac{{{x^2} + 5x + m}}{{2{x^2} - 3x + 2}} < 7\).

A. \( - \frac{5}{3} \le m < 1\).

B. \(1 < m \le \frac{5}{3}\).

C. \(m \le  - \frac{5}{3}\).

D. \(m < 1\).

Câu 11: Xác định \(m\) để \((x - 1)\left[ {{x^2} + 2(m + 3)x + 4m + 12} \right] = 0\) có ba nghiệm phân biệt lớn hơn \( - 1\).

A. \(m <  - \frac{7}{2}\)

B. \( - 2 < m < 1\) và \(m \ne  - \frac{{16}}{9}\).

C. \( - \frac{7}{2} < m <  - 1\) và \(m \ne  - \frac{{16}}{9}\).

D. \( - \frac{7}{2} < m <  - 3\) và \(m \ne  - \frac{{19}}{6}\).

Câu 12: Tam thức bậc hai \(f(x) = {x^2} + (\sqrt 5  - 1)x - \sqrt 5 \) nhận giá trị dương khi?

A. \(x \in ( - \sqrt 5 ;1)\).

В. \(x \in ( - \infty ; - \sqrt 5 ) \cup (1; + \infty )\).

C. \(x \in ( - \sqrt 5 ; + \infty )\).

D. \(x \in ( - \infty ;1)\).

Câu 13: Cho phương trình \(\sqrt {{x^4} - 3{x^2} + 2}  = {x^2} + 2\). Nếu đặt \(t = {x^2},t \ge 0\) thì phương trình đã cho trở thành phương trình nào sau đây?

A. \(\sqrt {{t^2} - 3t + 2}  = {t^2} + 2\).

B. \(\sqrt {{t^2} - 3t + 2}  = t + 2\).

C. \(\sqrt {{t^2} - 3t + 2}  = t - 2\).

D. \(\sqrt {{t^2} + 3t - 2}  = t + 2\).

Câu 14: Số nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} - 4|x| + 3}  = 2x - 1\) là:

A. 1.

B. 2.

C. 4.

D. 0.

Câu 15: Tập nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} - 4x + 3}  = x + 1\) là:

A. \(S = \emptyset \).

B. \(S = \left\{ {\frac{1}{3}} \right\}\).

C. \(S = \{ 3\} \).

D. \(S = \{ 1\} \).

Câu 16: Số nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} - 3x + 2}  = \sqrt {2{x^2} - 7|x| + 4} \) là:

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Câu 17: Tập nghiệm của phương trình \(\sqrt {3{x^2} - 6x - 4}  = \sqrt {x - 8} \) là

A. \(S = \left\{ {\frac{3}{4};1} \right\}\).

B. \(S = \left\{ {\frac{3}{4}} \right\}\).

C. \(S = \{ 1\} \).

D. \(S = \emptyset \).

Câu 18: Phương trình \(2{x^2} - 6x + 4 = 3\sqrt {{x^3} + 8} \) có hai nghiệm dạng \(x = a \pm b\sqrt {13} \) với \(a,b \in \mathbb{N}\). Tính \({a^2} - b\).

A. 0.

B. 1.

C. 8.

D. \( - 1\).

Câu 19: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\) cho các vectơ \(\vec a,\vec b,\vec c,\vec d\) được vẽ ở hình bên. Ta có các khẳng định sau:

 

A) \(\vec a = (2; - 3)\);

B) \(\vec b = ( - 3;0)\);

C) \(\vec c = (5;1)\);

D) \(\vec d = (4;0)\).

Số khẳng định đúng là:

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Câu 20: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(\vec a = (2; - 3),\vec b = ( - 2;5)\). Toạ độ của vectơ \( - \vec a + 3\vec b\) là:

A. \((8;18)\).

B. \(( - 8; - 18)\).

C. \(( - 8;18)\).

D. \((8; - 18)\).

Câu 21: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(\vec a = (1;2),\vec b = (3; - 3)\). Toạ độ của vectơ \(\vec c = 3\vec a - 2\vec b\) là:

A. \(( - 3;12)\).

B. \((3;12)\).

C. \((9;0)\).

D. \(( - 3;0)\).

Câu 22: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A(5;4),B( - 1;0)\). Đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\) có phương trình là:

A. \(x - 2y + 5 = 0\).

B. \(3x + 2y - 10 = 0\).

C. \(3x + 2y - 5 = 0\).

D. \(2x + 3y - 1 = 0\).

Câu 23: Trong mặt phẳng tọ̣ độ \(Oxy\), cho ba điểm \(A(2;4),B(0; - 2),C(5;3)\). Đường thẳng đi qua điểm \(A\) và song song với đường thẳng \(BC\) có phương trình là:

A. \(x - y + 5 = 0\).

B. \(x + y - 5 = 0\).

C. \(x - y + 2 = 0\).

D. \(x + y = 0\).

Câu 24: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho ba điểm \(A(5;2),B(5; - 2),C(4; - 3)\). Đường thẳng đi qua điểm \(A\) và vuông góc với đường thẳng \(BC\) có phương trình là:

A. \(x - y + 7 = 0\).

B. \(x + y - 7 = 0\).

C. \(x - y - 5 = 0\).

D. \(x + y = 0\).

Câu 25: Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm \(A(1; - 3)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n(2; - 1)\) là:

A. \(2x + y - 5 = 0\).

B. \(2x - y - 5 = 0\).

C. \(x + 2y + 5 = 0\).

D. \(x + 2y - 5 = 0\).

Câu 26: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \(M(2;1)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec u( - 1;4)\) là:

A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + t}\\{y = 1 - 4t}\end{array}} \right.\).

B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1 + 2t}\\{y = 4 + t}\end{array}} \right.\).

C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 4t}\\{y = 2 - t}\end{array}} \right.\).

D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - t}\\{y = 1 + 4t}\end{array}} \right.\).

Câu 27: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \(M( - 1;0),N(3;1)\) là:

A. \(x - 4y + 1 = 0\).

B. \(x - 4y - 1 = 0\).

C. \(4x + y + 4 = 0\).

D. \(4x + y - 4 = 0\).

Câu 28: Trong mặt phẳng toạ độ, cho đường thẳng \(d\): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1 - 2t}\\{y = 4 + 3t{\rm{. }}}\end{array}} \right.\) Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là

A. \(\vec u = ( - 1;4)\).

B. \(\vec u = ( - 2;3)\).

C. \(\vec u = (3; - 2)\).

D. \(\vec u = (2;3)\).

Câu 29: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho điểm \(M(2;4)\) và đường thẳng \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5 + 3t}\\{y =  - 5 - 4t}\end{array}} \right.\). Khoảng cách từ \(M\) đến đường thẳng \(\Delta \) là:

A. \(\frac{5}{2}\).

B. 3.

C. 5.

D. \(\frac{9}{5}\).

Câu 30: Cho hai đường thẳng \({d_1}:3x - 4y + 5 = 0,{d_2}:4x - 3y + 2 = 0\). Điểm \(M\) nào sau đây cách đều hai đường thẳng trên?

A. \(M(1;0)\).

B. \(M(2;3)\).

C. \(M(4; - 2)\).

D. \(M( - 1;2)\).

Câu 31: Trong mặt phẳng toạ độ, cho đường thẳng \(\Delta :x - 2y - 3 = 0\). Đường thẳng nào sau đây có vị trí tương đối trùng với đường thẳng \(\Delta \)?

A. \({\Delta _1}:x + 2y - 3 = 0\).

B. \({\Delta _2}:2x + y - 3 = 0\).

C. \({\Delta _3}:2x - 4y - 1 = 0\).

D. \({\Delta _4}:2x - 4y - 6 = 0\).

Câu 32: Góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + t}\\{y =  - 1 + \sqrt 3 t}\end{array}} \right.\) và \({\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 - \sqrt 3 t}\\{y = 5 - t}\end{array}} \right.\) là

A. \({30^0}\).

B. \({45^0}\).

C. \({60^0}\).

D. \({90^0}\).

Câu 33: Đường tròn nào sau đây có tâm là \(I( - 3;5)\) và có bán kính là \(R = 4\)?

A. \({x^2} + {y^2} - 3x + 5y + 9 = 0\).

B. \({x^2} + {y^2} - 3x + 5y - 9 = 0\).

C. \({x^2} + {y^2} + 6x - 10y - 18 = 0\).

D. \({x^2} + {y^2} + 6x - 10y + 18 = 0\).

Câu 34: Phương trình đường tròn có tâm \(I(1;2)\) và đi qua điểm \(A( - 1;3)\) là:

A. \({(x + 1)^2} + {(y + 2)^2} = 25\).

B. \({(x + 1)^2} + {(y + 2)^2} = 5\).

C. \({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} = 5\).

D. \({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} = 25\).

Câu 35: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A( - 4;6)\) và \(B( - 2;4)\). Phương trình đường tròn có đường kính \(AB\) là:

A. \({(x + 3)^2} + {(y - 5)^2} = 2\).

B. \({(x + 3)^2} + {(y + 5)^2} = 2\).

C. \({(x - 3)^2} + {(y + 5)^2} = 2\sqrt 2 \).

D. \({(x - 3)^2} + {(y - 5)^2} = 2\sqrt 2 \)

Phần tự luận (3 điểm)

Bài 1. Một vật chuyển động có vận tốc (mét/giây) được biểu diễn theo thời gian \(t\) (giây) bằng công thức \(v(t) = \frac{1}{2}{t^2} - 4t + 10\).

a) Hỏi sau tối thiểu bao nhiêu giây thì vận tốc của vật không bé hơn \(10\;m/s\) (biết rằng \(t > 0\))?

b) Trong 10 giây đầu tiên, vận tốc của vật đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

Bài 2. Giải phương trình sau: \(\sqrt {2{x^2} + 5}  = \sqrt {{x^2} - x + 11} \).

Bài 3. Cho các vectơ \(\vec a = (1; - 2),\vec b = ( - 2; - 6),\vec c = (m + n; - m - 4n)\).

a) Hai vectơ \(\vec a,\vec b\) có cùng phương không? Tìm góc tạo bởi hai vectơ \(\vec a,\vec b\).

b) Tìm hai số \(m,n\) sao cho \(\vec c\) cùng phương \(\vec a\) và \(|\vec c| = 3\sqrt 5 \).

Bài 4. Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) biết rằng:

a) \(\Delta \) chắn các trục tọa độ tại hai điểm \(A( - 4;0),B(0; - 2)\).

b) \(\Delta \) qua điểm \(E(2;3)\), đồng thời cắt các tia \(Ox,Oy\) tại các điểm \(M,N\) (khác gốc tọa độ \(O\)) biết rằng \(OM + ON\) bé nhất.

-------- Hết --------

Lời giải

Phần trắc nghiệm

 

Câu 1. D	Câu 2. C	Câu 3. A	Câu 4. D	Câu 5. A	Câu 6. A	Câu 7. D
Câu 8. D	Câu 9. D	Câu 10. A	Câu 11. D	Câu 12. B	Câu 13. B	Câu 14. A
Câu 15. B	Câu 16. D	Câu 17. D	Câu 18. C	Câu 19. C	Câu 20. C	Câu 21. A
Câu 22. B	Câu 23. C	Câu 24. B	Câu 25. B	Câu 26. D	Câu 27. A	Câu 28. B
Câu 29. B	Câu 30. B	Câu 31. D	Câu 32. A	Câu 33. D	Câu 34. C	Câu 35. A

 

Câu 1: Điều kiện để tam thức bậc hai \(a{x^2} + bx + c(a \ne 0)\) nhận giá trị âm với mọi \(x \in \mathbb{R}\) là:

A. \(\Delta  > 0\).

B. \(\Delta  < 0\).

C. \(\Delta  < 0\) và \(a > 0\).

D. \(\Delta  < 0\) và \(a < 0\).

Lời giải

Đáp án D.

Câu 2: Bảng xét dấu sau đây là của tam thức bậc hai nào?

A. \({x^2} - x + 6\).

B. \({x^2} + x + 6\).

C. \({x^2} - x - 6\).

D. \( - {x^2} + x - 6\).

Lời giải

Đáp án C.

Câu 3: Nghiệm của bất phương trình \({x^2} - 8x + 15 \le 0\) là:

A. \(x \in [3;5]\).

B. \(x \in (3;5)\).

C. \(x \in ( - \infty ;3] \cup [5; + \infty )\).

D. \(x \in ( - \infty ;3) \cup (5; + \infty )\).

Lời giải

Đáp án A.

Câu 4: Với giá trị nào của \(m\) thì bất phương trình \( - {x^2} - x + m \ge 0\) vô nghiệm?

A. \(m \ge  - \frac{1}{4}\).

B. \(m >  - \frac{1}{4}\).

C. \(m \le  - \frac{1}{4}\).

D. \(m <  - \frac{1}{4}\).

Lời giải

Đáp án D.

Câu 5: Một đường hầm xuyên thẳng qua núi và có mặt cắt là một parabol (thông số như hình bên). Giả sử một chiếc xe tải có chiều ngang \(6\;m\) đi vào vị trí chính giữa miệng hầm. Hỏi chiều cao \(h\) của xe tải cần thoả mãn điều kiện gì để có thể đi vào cửa hầm mà không chạm tường?

 

A. \(0 < h < 6\).

B. \(0 < h \le 6\).

C. \(0 < h < 7\).

D. \(0 < h \le 7\).

Lời giải

Chọn hệ trục toạ độ như hình bên.

Parabol có phương trình dạng \(y = a{x^2} + bx\). Theo đề bài ta có parabol đi qua các điểm \((12;0)\) và \((6;8)\). Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}144a + 12b = 0\\36a + 6b = 8\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}a =  - \frac{2}{9}\\b = \frac{8}{3}\end{array}\end{array}} \right.} \right.\)

Do đó \(y =  - \frac{2}{9}{x^2} + \frac{8}{3}x\). Do chiếc xe tải có chiều ngang \(6\;m\) đi vào vị trí chính giữa hầm nên xe sẽ chạm tường tại điểm \(A(3;6)\) và điểm \(B(9;6)\). Khi đó chiều cao của xe là \(6\;m\). Vậy điều kiện để xe tải có thể đi vào hầm mà không chạm tường là \(0 < h < 6\).

Đáp án A.

Câu 6: Giá trị nào của \(m\) thì phương trình \((m - 3){x^2} + (m + 3)x - (m + 1) = 0\) có hai nghiệm phân biệt?

A. \(m \in \left( { - \infty ; - \frac{3}{5}} \right) \cup (1; + \infty )\backslash \{ 3\} \).

B. \(m \in \left( { - \frac{3}{5};1} \right)\).

C. \(m \in \left( { - \frac{3}{5}; + \infty } \right)\).

D. \(m \in \mathbb{R}\backslash \{ 3\} \).

Lời giải

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}a \ne 0\\{\Delta ^\prime } > 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m - 3 \ne 0\\{(m + 3)^2} + 4(m - 3)(m + 1) > 0\end{array}\end{array}} \right.} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m \ne 3\\5{m^2} - 2m - 3 > 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m \ne 3\\m <  - \frac{3}{5} \vee m > 1\end{array}\end{array}} \right.} \right.\)

Đáp án A.

Câu 7: Tìm các giá trị của tham số \(m\) để bất phương trình \( - {x^2} + (2m - 1)x + m < 0\) có tập nghiệm là \(\mathbb{R}\).

A. \(m = \frac{1}{2}\).

B. \(m =  - \frac{1}{2}\).

C. \(m \in \mathbb{R}\).

D. Không tồn tại \(m\).

Lời giải

Bất phương trình \( - {x^2} + (2m - 1)x + m < 0\) có tập nghiệm là \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi:

Vậy không tồn tại \(m\) thỏa mãn đề bài.

Đáp án D.

Câu 8: Với giá trị nào của \(m\) thì bất phương trình \({x^2} - x + m \le 0\) vô nghiệm?

A. \(m < 1\).

B. \(m > 1\).

C. \(m < \frac{1}{4}\).

D. \(m > \frac{1}{4}\).

Lời giải

Ta có: \({x^2} - x + m \le 0\) vô nghiệm khi và chỉ khi \({x^2} - x + m > 0,\forall x \in \mathbb{R}\).

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}a > 0\\\Delta  < 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}1 > 0{\rm{  }}\\1 - 4m < 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow m > \frac{1}{4}.} \right.} \right.\).

Đáp án D.

Câu 9: Bất phương trình \({x^2} - (m + 2)x + m + 2 \le 0\) vô nghiệm khi và chỉ khi:

A. \(m \in ( - \infty ; - 2] \cup [2; + \infty )\).

B. \(m \in ( - \infty ; - 2) \cup (2; + \infty )\).

C. \(m \in [ - 2;2]\).

D. \(m \in ( - 2;2)\).

Lời giải

Ta có: \({x^2} - (m + 2)x + m + 2 \le 0\) vô nghiệm khi và chỉ khi

\({x^2} - (m + 2)x + m + 2 > 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}a > 0\\\Delta  < 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}1 > 0{\rm{  }}\\{m^2} - 4 < 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow  - 2 < m < 2.} \right.} \right.\)

Đáp án D.

Câu 10: Xác định \(m\) để với mọi \(x\), ta có \( - 1 \le \frac{{{x^2} + 5x + m}}{{2{x^2} - 3x + 2}} < 7\).

A. \( - \frac{5}{3} \le m < 1\).

B. \(1 < m \le \frac{5}{3}\).

C. \(m \le  - \frac{5}{3}\).

D. \(m < 1\).

Lời giải

Ta có \( - 1 \le \frac{{{x^2} + 5x + m}}{{2{x^2} - 3x + 2}} < 7,\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 1(2x - 3x + 2) \le {x^2} + 5x + m}\\{{x^2} + 5x + m < 7\left( {2{x^2} - 3x + 2} \right)}\end{array}} \right.\) có tập nghiệm \(\mathbb{R}\) (do \(\left. {2{x^2} - 3x + 2 > 0,\forall x \in \mathbb{R}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{x^2} + 2x + m + 2 \ge 0 &  & \left( 1 \right)\\13{x^2} - 26x + 14 - m > 0 & \left( 2 \right)\end{array} \right.\)có tập nghiệm\(\mathbb{R}\)

(1) có tập nghiệm là \(\mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{a_{(1)}} = 3 > 0}\\{\Delta _{(1)}^\prime  = {1^2} - 3(m + 2) \le 0}\end{array} \Leftrightarrow  - 5 - 3m \le 0} \right.\) \( \Leftrightarrow m \ge  - \frac{5}{3}\quad (3)\)

(2) có tập nghiệm là \(\mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{a_{(2)}} = 13 > 0}\\{\Delta _{(2)}^\prime  = {{( - 13)}^2} - 13(14 - m) < 0}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow  - 13 + 13m < 0 \Leftrightarrow m < 1\) (4).

Từ (3) và (4) suy ra: \( - \frac{5}{3} \le m < 1\) thỏa mãn đề bài.

Đáp án A.

Câu 11: Xác định \(m\) để \((x - 1)\left[ {{x^2} + 2(m + 3)x + 4m + 12} \right] = 0\) có ba nghiệm phân biệt lớn hơn \( - 1\).

A. \(m <  - \frac{7}{2}\)

B. \( - 2 < m < 1\) và \(m \ne  - \frac{{16}}{9}\).

C. \( - \frac{7}{2} < m <  - 1\) và \(m \ne  - \frac{{16}}{9}\).

D. \( - \frac{7}{2} < m <  - 3\) và \(m \ne  - \frac{{19}}{6}\).

Lời giải

Ta có: \((x - 1)\left[ {{x^2} + 2(m + 3)x + 4m + 12} \right] = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{{x^2} + 2(m + 3)x + 4m + 12 = 0\quad (*)}\end{array}} \right.\)

Yêu cầu bài toán tương đương \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) lớn hơn \( - 1\) và khác \(1(**)\).

Theo định li Vi-ét ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} =  - 2(m + 3)}\\{{x_1} \cdot {x_2} = 4m + 12}\end{array}} \right.\) (giả sử \(\left. {{x_1} < {x_2}} \right)\).

Do đó \(\left( {**} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\Delta ^\prime } > 0}\\{{1^2} + 2(m + 3) \cdot 1 + 4m + 12 \ne 0}\\{{x_2} > {x_1} >  - 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{(m + 3)}^2} - (4m + 12) > 0}\\{6m + 19 \ne 0}\\{\left( {{x_1} + 1} \right) + \left( {{x_2} + 1} \right) > 0}\\{\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) > 0}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}{m^2} + 2m - 3 > 0\\m \ne  - \frac{{19}}{6}\\ - 2(m + 3) + 2 > 0\\4m + 12 - 2(m + 3) + 1 > 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m <  - 3 \vee m > 1\\m \ne  - \frac{{19}}{6}\\m <  - 2\\m >  - \frac{7}{2}\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l} - \frac{7}{2} < m <  - 3\\m \ne  - \frac{{19}}{6}\end{array}\end{array}} \right.} \right.} \right.\).

Đáp án D.

Câu 12: Tam thức bậc hai \(f(x) = {x^2} + (\sqrt 5  - 1)x - \sqrt 5 \) nhận giá trị dương khi?

A. \(x \in ( - \sqrt 5 ;1)\).

В. \(x \in ( - \infty ; - \sqrt 5 ) \cup (1; + \infty )\).

C. \(x \in ( - \sqrt 5 ; + \infty )\).

D. \(x \in ( - \infty ;1)\).

Lời giải

Ta có bảng xét dấu

Đáp án B.

Câu 13: Cho phương trình \(\sqrt {{x^4} - 3{x^2} + 2}  = {x^2} + 2\). Nếu đặt \(t = {x^2},t \ge 0\) thì phương trình đã cho trở thành phương trình nào sau đây?

A. \(\sqrt {{t^2} - 3t + 2}  = {t^2} + 2\).

B. \(\sqrt {{t^2} - 3t + 2}  = t + 2\).

C. \(\sqrt {{t^2} - 3t + 2}  = t - 2\).

D. \(\sqrt {{t^2} + 3t - 2}  = t + 2\).

Lời giải

Đáp án B.

Câu 14: Số nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} - 4|x| + 3}  = 2x - 1\) là:

A. 1.

B. 2.

C. 4.

D. 0.

Lời giải

Đáp án A.

Câu 15: Tập nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} - 4x + 3}  = x + 1\) là:

A. \(S = \emptyset \).

B. \(S = \left\{ {\frac{1}{3}} \right\}\).

C. \(S = \{ 3\} \).

D. \(S = \{ 1\} \).

Lời giải

Đáp án B.

Câu 16: Số nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} - 3x + 2}  = \sqrt {2{x^2} - 7|x| + 4} \) là:

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Lời giải

Đáp án D.

Câu 17: Tập nghiệm của phương trình \(\sqrt {3{x^2} - 6x - 4}  = \sqrt {x - 8} \) là

A. \(S = \left\{ {\frac{3}{4};1} \right\}\).

B. \(S = \left\{ {\frac{3}{4}} \right\}\).

C. \(S = \{ 1\} \).

D. \(S = \emptyset \).

Lời giải

Đáp án D.

Câu 18: Phương trình \(2{x^2} - 6x + 4 = 3\sqrt {{x^3} + 8} \) có hai nghiệm dạng \(x = a \pm b\sqrt {13} \) với \(a,b \in \mathbb{N}\). Tính \({a^2} - b\).

A. 0.

B. 1.

C. 8.

D. \( - 1\).

Lời giải

Điều kiện: \({x^3} + 8 \ge 0 \Leftrightarrow {x^3} \ge {( - 2)^3} \Leftrightarrow x \ge  - 2\).

Phương trình tương đương:

\(2\left( {{x^2} - 2x + 4} \right) - 2(x + 2) - 3\sqrt {(x + 2)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)}  = 0.\)

Chia hai vế phương trình cho \({x^2} - 2x + 4\) (với \({x^2} - 2x + 4 = {(x - 1)^2} + 3 \ne 0,\forall x \in \mathbb{R}\)), ta được: \(2 - 2\left( {\frac{{x + 2}}{{{x^2} - 2x + 4}}} \right) - 3\sqrt {\frac{{x + 2}}{{{x^2} - 2x + 4}}}  = 0\).

Đặt \(t = \sqrt {\frac{{x + 2}}{{{x^2} - 2x + 4}}} (t \ge 0)\).

Phương trình trở thành: \(2 - 2{t^2} - 3t = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = \frac{1}{2}{\rm{ (n) }}}\\{t =  - 2{\rm{ (l) }}}\end{array}} \right.\).

Với \(t = \frac{1}{2}\) thì \(\sqrt {\frac{{x + 2}}{{{x^2} - 2x + 4}}}  = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 4(x + 2) = {x^2} - 2x + 4 \Leftrightarrow x = 3 \pm \sqrt {13} \) (nhận).

Do vậy: \(a = 3,b = 1 \Rightarrow {a^2} - b = 8\).

Đáp án C.

Câu 19: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\) cho các vectơ \(\vec a,\vec b,\vec c,\vec d\) được vẽ ở hình bên. Ta có các khẳng định sau:

A) \(\vec a = (2; - 3)\); B) \(\vec b = ( - 3;0)\); C) \(\vec c = (5;1)\); D) \(\vec d = (4;0)\).

Số khẳng định đúng là:

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Lời giải

Đáp án C.

Câu 20: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(\vec a = (2; - 3),\vec b = ( - 2;5)\). Toạ độ của vectơ \( - \vec a + 3\vec b\) là:

A. \((8;18)\).

B. \(( - 8; - 18)\).

C. \(( - 8;18)\).

D. \((8; - 18)\).

Lời giải

Ta có: \( - \vec a = ( - 2;3)\) và \(3\vec b = ( - 6;15)\). Suy ra \( - \vec a + 3\vec b = ( - 8;18)\).

Đáp án C.

Câu 21: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(\vec a = (1;2),\vec b = (3; - 3)\). Toạ độ của vectơ \(\vec c = 3\vec a - 2\vec b\) là:

A. \(( - 3;12)\).

B. \((3;12)\).

C. \((9;0)\).

D. \(( - 3;0)\).

Lời giải

Ta có: \(3\vec a = (3;6)\) và \( - 2\vec b = ( - 6;6)\). Suy ra \(3\vec a - 2\vec b = ( - 3;12)\).

Đáp án A.

Câu 22: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A(5;4),B( - 1;0)\). Đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\) có phương trình là:

A. \(x - 2y + 5 = 0\).

B. \(3x + 2y - 10 = 0\).

C. \(3x + 2y - 5 = 0\).

D. \(2x + 3y - 1 = 0\).

Lời giải

Đáp án B.

Câu 23: Trong mặt phẳng tọ̣ độ \(Oxy\), cho ba điểm \(A(2;4),B(0; - 2),C(5;3)\). Đường thẳng đi qua điểm \(A\) và song song với đường thẳng \(BC\) có phương trình là:

A. \(x - y + 5 = 0\).

B. \(x + y - 5 = 0\).

C. \(x - y + 2 = 0\).

D. \(x + y = 0\).

Lời giải

Đáp án C.

Câu 24: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho ba điểm \(A(5;2),B(5; - 2),C(4; - 3)\). Đường thẳng đi qua điểm \(A\) và vuông góc với đường thẳng \(BC\) có phương trình là:

A. \(x - y + 7 = 0\).

B. \(x + y - 7 = 0\).

C. \(x - y - 5 = 0\).

D. \(x + y = 0\).

Lời giải

Đáp án B.

Câu 25: Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm \(A(1; - 3)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n(2; - 1)\) là:

A. \(2x + y - 5 = 0\).

B. \(2x - y - 5 = 0\).

C. \(x + 2y + 5 = 0\).

D. \(x + 2y - 5 = 0\).

Lời giải

Đáp án B.

Câu 26: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \(M(2;1)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec u( - 1;4)\) là:

A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + t}\\{y = 1 - 4t}\end{array}} \right.\).

B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1 + 2t}\\{y = 4 + t}\end{array}} \right.\).

C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 4t}\\{y = 2 - t}\end{array}} \right.\).

D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - t}\\{y = 1 + 4t}\end{array}} \right.\).

Lời giải

Đáp án D.

Câu 27: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \(M( - 1;0),N(3;1)\) là:

A. \(x - 4y + 1 = 0\).

B. \(x - 4y - 1 = 0\).

C. \(4x + y + 4 = 0\).

D. \(4x + y - 4 = 0\).

Lời giải

Đáp án A.

Câu 28: Trong mặt phẳng toạ độ, cho đường thẳng \(d\): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1 - 2t}\\{y = 4 + 3t{\rm{. }}}\end{array}} \right.\) Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là

A. \(\vec u = ( - 1;4)\).

B. \(\vec u = ( - 2;3)\).

C. \(\vec u = (3; - 2)\).

D. \(\vec u = (2;3)\).

Lời giải

Đáp án B.

Câu 29: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho điểm \(M(2;4)\) và đường thẳng \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5 + 3t}\\{y =  - 5 - 4t}\end{array}} \right.\). Khoảng cách từ \(M\) đến đường thẳng \(\Delta \) là:

A. \(\frac{5}{2}\).

B. 3.

C. 5.

D. \(\frac{9}{5}\).

Lời giải

Đáp án B.

Câu 30: Cho hai đường thẳng \({d_1}:3x - 4y + 5 = 0,{d_2}:4x - 3y + 2 = 0\). Điểm \(M\) nào sau đây cách đều hai đường thẳng trên?

A. \(M(1;0)\).

B. \(M(2;3)\).

C. \(M(4; - 2)\).

D. \(M( - 1;2)\).

Lời giải

Đáp án B.

Câu 31: Trong mặt phẳng toạ độ, cho đường thẳng \(\Delta :x - 2y - 3 = 0\). Đường thẳng nào sau đây có vị trí tương đối trùng với đường thẳng \(\Delta \)?

A. \({\Delta _1}:x + 2y - 3 = 0\).

B. \({\Delta _2}:2x + y - 3 = 0\).

C. \({\Delta _3}:2x - 4y - 1 = 0\).

D. \({\Delta _4}:2x - 4y - 6 = 0\).

Lời giải

Đáp án D.

Câu 32: Góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + t}\\{y =  - 1 + \sqrt 3 t}\end{array}} \right.\) và \({\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 - \sqrt 3 t}\\{y = 5 - t}\end{array}} \right.\) là

A. \({30^0}\).

B. \({45^0}\).

C. \({60^0}\).

D. \({90^0}\).

Lời giải

Đáp án A.

Câu 33: Đường tròn nào sau đây có tâm là \(I( - 3;5)\) và có bán kính là \(R = 4\)?

A. \({x^2} + {y^2} - 3x + 5y + 9 = 0\).

B. \({x^2} + {y^2} - 3x + 5y - 9 = 0\).

C. \({x^2} + {y^2} + 6x - 10y - 18 = 0\).

D. \({x^2} + {y^2} + 6x - 10y + 18 = 0\).

Lời giải

Đáp án D.

Câu 34: Phương trình đường tròn có tâm \(I(1;2)\) và đi qua điểm \(A( - 1;3)\) là:

A. \({(x + 1)^2} + {(y + 2)^2} = 25\).

B. \({(x + 1)^2} + {(y + 2)^2} = 5\).

C. \({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} = 5\).

D. \({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} = 25\).

Lời giải

Đáp án C.

Câu 35: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A( - 4;6)\) và \(B( - 2;4)\). Phương trình đường tròn có đường kính \(AB\) là:

A. \({(x + 3)^2} + {(y - 5)^2} = 2\).

B. \({(x + 3)^2} + {(y + 5)^2} = 2\).

C. \({(x - 3)^2} + {(y + 5)^2} = 2\sqrt 2 \).

D. \({(x - 3)^2} + {(y - 5)^2} = 2\sqrt 2 \)

Lời giải

Đáp án A.

Phần tự luận (3 điểm)

Bài 1. Một vật chuyển động có vận tốc (mét/giây) được biểu diễn theo thời gian \(t\) (giây) bằng công thức \(v(t) = \frac{1}{2}{t^2} - 4t + 10\).

a) Hỏi sau tối thiểu bao nhiêu giây thì vận tốc của vật không bé hơn \(10\;m/s\) (biết rằng \(t > 0\))?

b) Trong 10 giây đầu tiên, vận tốc của vật đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

Lời giải

a) Để vận tốc vật không dưới \(10\;m/s\), ta cần xét:

\(v(t) = \frac{1}{2}{t^2} - 4t + 10 \ge 10 \Rightarrow \frac{1}{2}{t^2} - 4t \ge 0.\)

Xét \(f(t) = \frac{1}{2}{t^2} - 4t;f(t) = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2}{t^2} - 4t = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 0}\\{t = 8}\end{array}} \right.\).

Bảng xét dấu \(f(t)\):

Ta có: \(f(t) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t \le 0{\rm{ (}}l{\rm{) }}}\\{t \ge 8}\end{array}} \right.\).

Vậy, thời gian tối thiểu là 8 giây thì vật sẽ đạt vận tốc không bé hơn \(10\;m/s\).

b) Xét \(v(t) = \frac{1}{2}{t^2} - 4t + 10\) với \( - \frac{b}{{2a}} = 4,a = \frac{1}{2} > 0\) nên bề lõm parabol hướng lên. Bảng biến thiên của \(v(t)\):

Vậy, ở giây thứ tư thì vận tốc của vật đạt giá trị nhỏ nhất là \(v{(t)_{\min }} = 2\).

Bài 2. Giải phương trình sau: \(\sqrt {2{x^2} + 5}  = \sqrt {{x^2} - x + 11} \).

Lời giải

Cách 1:

Bình phương hai vế phương trình, ta được:

\(2{x^2} + 5 = {x^2} - x + 11 \Leftrightarrow {x^2} + x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 2 \vee x =  - 3.{\rm{ }}\)

Thay giá trị \(x = 2\) vào phương trình: \(\sqrt {13}  = \sqrt {13} \) (thỏa mãn).

Thay giá trị \(x =  - 3\) vào phương trình: \(\sqrt {23}  = \sqrt {23} \) (thỏa mãn).

Vậy tập nghiệm phương trình là \(S = \{ 2; - 3\} \).

Cách 2:

Ta có: \(\sqrt {2{x^2} + 5}  = \sqrt {{x^2} - x + 11}  \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2{x^2} + 5 \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}}\\{2{x^2} + 5 = {x^2} - x + 11}\end{array} \Leftrightarrow {x^2} + x - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{x =  - 3}\end{array}} \right.} \right.\).

Vậy tập nghiệm phương trình là \(S = \{ 2; - 3\} \).

Bài 3. Cho các vectơ \(\vec a = (1; - 2),\vec b = ( - 2; - 6),\vec c = (m + n; - m - 4n)\).

a) Hai vectơ \(\vec a,\vec b\) có cùng phương không? Tìm góc tạo bởi hai vectơ \(\vec a,\vec b\).

b) Tìm hai số \(m,n\) sao cho \(\vec c\) cùng phương \(\vec a\) và \(|\vec c| = 3\sqrt 5 \).

Lời giải

a) Ta có: \(\frac{1}{{ - 2}} \ne \frac{{ - 2}}{{ - 6}} \Rightarrow \vec a,\vec b\) không cùng phương.

Ta có: \(\cos (\vec a,\vec b) = \frac{{\vec a \cdot \vec b}}{{|\vec a| \cdot |\vec b|}} = \frac{{1( - 2) + ( - 2)( - 6)}}{{\sqrt {{1^2} + {{( - 2)}^2}}  \cdot \sqrt {{{( - 2)}^2} + {{( - 6)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow (\vec a,\vec b) = 45^\circ \).

b) \(\vec c\) cùng phương \(\vec a\) và \(|\vec c| = 3\sqrt 5  \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{m + n}}{1} = \frac{{ - m - 4n}}{{ - 2}}}\\{\sqrt {{{(m + n)}^2} + {{( - m - 4n)}^2}}  = 3\sqrt 5 }\end{array}} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l} - 2m - 2n =  - m - 4n\\{(m + n)^2} + {(m + 4n)^2} = 45\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m = 2n\\{(3n)^2} + {(6n)^2} = 45\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m = 2n\\{(3n)^2} + {(6n)^2} = 45\end{array}\end{array}} \right.} \right.} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m = 2n\\45{n^2} = 45\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m = 2\\n = 1\end{array}\end{array} \vee \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m =  - 2\\n =  - 1\end{array}\end{array}.} \right.} \right.} \right.\end{array}\)

Bài 4. Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) biết rằng:

a) \(\Delta \) chắn các trục tọa độ tại hai điểm \(A( - 4;0),B(0; - 2)\).

b) \(\Delta \) qua điểm \(E(2;3)\), đồng thời cắt các tia \(Ox,Oy\) tại các điểm \(M,N\) (khác gốc tọa độ \(O\)) biết rằng \(OM + ON\) bé nhất.

Lời giải

a) \(\Delta \) có phương trình theo đoạn chắn là \(\frac{x}{{ - 4}} + \frac{y}{{ - 2}} = 1\) hay \(x + 2y + 4 = 0\).

b) Gọi \(M(m;0) = \Delta  \cap Ox,N(0;n) = \Delta  \cap Oy\) với \(m,n > 0\). Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{OM = m}\\{ON = n}\end{array}} \right.\).

Phương trình \(\Delta \) được viết theo đoạn chắn \(\frac{x}{m} + \frac{y}{n} = 1\). Vì \(E(2;3) \in \Delta \) nên \(\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 1 \Rightarrow \frac{2}{m} = \frac{{n - 3}}{n} \Rightarrow m = \frac{{2n}}{{n - 3}}\). Vì \(m,n > 0\) nên \(n - 3 > 0 \Rightarrow n > 3\).

Ta có: \(OM + ON = m + n = \frac{{2n}}{{n - 3}} + n = 2 + \frac{6}{{n - 3}} + n = 5 + \frac{6}{{n - 3}} + (n - 3)\).

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: \(\frac{6}{{n - 3}} + (n - 3) \ge 2\sqrt {\frac{6}{{n - 3}} \cdot (n - 3)}  = 2\sqrt 6 \).

Suy ra: \(OM + ON = 5 + \frac{6}{{n - 3}} + (n - 3) \ge 5 + 2\sqrt 6 \).

Khi tổng \(OM + ON\) đạt giá trị nhỏ nhất (bằng \(5 + 2\sqrt 6 \)) thì dấu bằng của bất đẳng thức trên xảy ra: \(\frac{6}{{n - 3}} = n - 3 \Rightarrow {(n - 3)^2} = 6 \Rightarrow n = \sqrt 6  + 3(n > 3)\). Suy ra \(m = \frac{{2(\sqrt 6  + 3)}}{{(\sqrt 6  + 3) - 3}} = \frac{{2\sqrt 6  + 6}}{{\sqrt 6 }} = 2 + \sqrt 6 \).

Phương trình tổng quát \(\Delta :\frac{x}{{2 + \sqrt 6 }} + \frac{y}{{3 + \sqrt 6 }} = 1\) hay \(\frac{x}{{2 + \sqrt 6 }} + \frac{y}{{3 + \sqrt 6 }} - 1 = 0\).

 

Đề bài

Phần trắc nghiệm (7 điểm)

Câu 1: Cho hàm số bậc hai \(y = f(x)\) có đồ thị như hình vẽ sau:

 

Nhận định nào sau đây là đúng?

A. Bất phương trình \(f(x) > 0\) nghiệm đúng với mọi \(x > 1\).

B. Phương trình \(f(x) = 0\) có hai nghiệm là \(x = 0\) và \(x = 1\).

C. Bất phương trình \(f(x) < 0\) có tập nghiệm là \(S = (1;3)\).

D. Bất phương trình \(f(x) > 0\) có tập nghiệm là \(S = (1;3)\).

Câu 2: Tam thức bậc hai nào sau đây luôn nhận giá trị dương với mọi \(x \in \mathbb{R}\)?

A. \({x^2} - 3x + 2\).

B. \({x^2} - 4x + 3\).

C. \( - {x^2} + x - 1\).

D. \({x^2} - 3x + 3\).

Câu 3: Tập nghiệm của bất phương trình \({x^2} - 5x + 6 > 0\) là:

A. \(S = ( - \infty ;2) \cup (3; + \infty )\).

B. \(S = ( - \infty ;3)\).

C. \(S = (2;3)\).

D. \(S = (2; + \infty )\).

Câu 4: Bất phương trình nào sau đây nghiệm đúng với mọi \(x \in \left( {\frac{1}{2};1} \right)\)?

A. \(3{x^2} - 2x - 1 > 0\).

B. \({x^2} - 3x + 2 > 0\).

C. \({x^2} - x - 2 > 0\).

D. \(2{x^2} - 5x + 2 > 0\).

Câu 5: Tập nghiệm của bất phương trình \((1 - 2x)\left( {2{x^2} - 3x - 5} \right) < 0\) là:

A. \(S = \left( { - 1;\frac{1}{2}} \right)\).

B. \(S = \left( { - 1;\frac{5}{2}} \right)\).

C. \(S = \left( { - 1;\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {\frac{5}{2}; + \infty } \right)\).

D. \(S = ( - 1; + \infty )\).

Câu 6: Tam thức bậc hai \(f(x) =  - {x^2} + 5x - 6\) nhận giá trị âm với \(x\) thuộc khoảng nào dưới đây?

A. \(x \in ( - \infty ;3)\).

B. \((3; + \infty )\).

C. \(x \in (2; + \infty )\).

D. \(x \in (2;3)\).

Câu 7: Tam thức bậc hai \(f(x) = {x^2} + (1 - \sqrt 3 )x - 8 - 5\sqrt 3 \)

A. Âm với mọi \(x \in ( - 2 - \sqrt 3 ;1 + 2\sqrt 3 )\).

B. Âm với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

C. Dương với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

D. Âm với mọi \(x \in ( - \infty ;1)\).

Câu 8: Tam thức nào sau đây nhận giá trị âm với \(x < 2\)

A. \({x^2} - 5x + 6\).

B. \(16 - {x^2}\).

C. \({x^2} - 2x + 3\).

D. \( - {x^2} + 5x - 6\).

Câu 9: Tập nghiệm của bất phương trình \({x^2} - 4\sqrt 2 x + 8 < 0\) là:

A. \(( - \infty ;2\sqrt 2 )\).

B. \(\mathbb{R}\backslash \{ 2\sqrt 2 \} \).

C. \(\emptyset \).

D. \(\mathbb{R}\).

Câu 10: Bảng xét dấu nào sau đây là của tam thức \(f(x) =  - {x^2} - x + 6\)?

 

Câu 11: Cho các tam thức \(f(x) = 2{x^2} - 3x + 4;g(x) =  - {x^2} + 3x - 4;h(x) = 4 - 3{x^2}\); \(k(x) = 3{x^2} + x + 1\). Số tam thức đổi dấu trên \(\mathbb{R}\) là?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Câu 12: Cho \(f(x) = a{x^2} + bx + c(a \ne 0)\) và \(\Delta  = {b^2} - 4ac\). Cho biết dấu của \(\Delta \) khi \(f(x)\) luôn cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

A. \(\Delta  < 0\).

B. \(\Delta  = 0\).

C. \(\Delta  > 0\).

D. \(\Delta  \ge 0\).

Câu 13: Tập nghiệm của phương trình \(\sqrt {5{x^2} - 6x - 4}  = 2(x - 1)\) là

A. \(S = \{  - 4\} \).

B. \(S = \{  - 4;2\} \).

C. \(S = \{ 1\} \).

D. \(S = \{ 2\} \).

Câu 14: Số nghiệm của phương trình \(\sqrt {4x + 7}  = 2x - 1\) là

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 0.

Câu 15: Số nghiệm của phương trình \(\sqrt {3 - x}  = \sqrt {x + 2}  + 1\) là

A. \(1.\)

B. 2.

C. 3.

D. 0.

Câu 16: Số nghiệm của phương trình \(\sqrt {2{x^2} + 4x + 5}  = x - 2\) là

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Câu 17: Với giá trị nào của tham số \(a\) thì phương trình \(\left( {{x^2} - 5x + 4} \right)\sqrt {x - a}  = 0\) có 2 nghiệm phân biệt?

A. \(a \ge 1\).

B. \(1 \le a < 4\).

C. \(1 \le a \le 4\).

D. \(a < 4\).

Câu 18: Có ba ngôi làng \(A,B,C\) mỗi làng cách nhau \(6\;km\) (ba ngôi làng không cùng nằm trên một đường thẳng). Vào lúc 6 giờ sáng, một người chạy từ \(A\) đến \(B\) với vận tốc \(10\;km/h\) và cùng lúc đó một người đạp xe từ \(C\) đến \(B\) với vận tốc \(12\;km/h\). Thời điểm sớm nhất mà hai người cách nhau \(1\;km\) (theo đường chim bay) là

A. 6 giờ 25 phút.

B. 6 giờ 30 phút.

C. 7 giờ kém 25 phút.

D. 6 giờ 50 phút.

Câu 19: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho ba điểm \(A( - 1;2),B(2; - 2),C(3;1)\). Toạ độ của vectơ \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} \) là:

A. \(( - 4; - 1)\).

B. \((4; - 1)\).

C. \(( - 4;1)\).

D. \((4;1)\).

Câu 20: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho ba điểm \(A( - 1;2),B(0; - 2),C(3;3)\). Toạ độ của vectơ \(2\overrightarrow {AB}  - 4\overrightarrow {BC} \) là:

A. \((14;12)\).

B. \(( - 10; - 28)\).

C. \(( - 14; - 12)\).

D. \((10;28)\).

Câu 21: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cặp vectơ nào sau đây có cùng phương?

A. \(\vec a = \left( { - \frac{2}{3};2} \right)\) và \(\vec b = (2; - 6)\).

B. \(\vec u = (2;1)\) và \(\vec v = (2; - 6)\).

C. \(\vec c = (\sqrt 2 ;2\sqrt 2 )\) và \(\vec d = (2;2)\).

D. \(\vec e = (1; - 1)\) và \(\vec f = (3;3)\).

Câu 22: Trong mặt phẳng toạ độ, cho đường thẳng \(\Delta :x - 2y + 3 = 0\). Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \)?

A. \(\vec n = (2;1)\).

B. \(\vec n = ( - 2; - 1)\).

C. \(\vec n = (1;2)\).

D. \(\vec n = (2; - 4)\).

Câu 23: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua \(A( - 2;1)\), nhận \(\vec u = (3; - 1)\) làm vectơ chỉ phương là

A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 2 + 3t}\\{y = 1 - t}\end{array}} \right.\).

B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 - 2t}\\{y =  - 1 + t}\end{array}} \right.\).

C. \(3x - y + 7 = 0\).

D. \( - 2x + y + 7 = 0\).

Câu 24: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua 2 điểm \(A(3;0)\) và \(B(0; - 5)\) là

A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + 3t}\\{y =  - 5t}\end{array}} \right.\).

B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + 3t}\\{y =  - 5 + 5t}\end{array}} \right.\).

C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + 3t}\\{y =  - 5 - 5t}\end{array}} \right.\).

D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + 3t}\\{y = 5t}\end{array}} \right.\).

Câu 25: Đường thẳng đi qua \(A( - 1;2)\), nhận \(\vec n = (2; - 4)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

A. \(2x - 4y + 5 = 0\).

B. \( - x + 2y + 10 = 0\).

C. \(x - 2y + 5 = 0\).

D. \(4x + 2y + 8 = 0\).

Câu 26: Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác \(ABC\) có \(A(1;2),B(3;1)\) và \(C(5;4)\). Phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ \(A\) là

A. \(3x - 2y - 5 = 0\).

B. \(3x - 2y + 5 = 0\).

C. \(5x - 6y + 7 = 0\).

D. \(2x + 3y - 8 = 0\).

Câu 27: Trong mặt phẳng toạ độ, cho đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm \(A,B\) và đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(C\) và song song với đường thẳng \(d\).

 

Phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta \) là

A. \(3x + 4y - 11 = 0\).

B. \(3x + 4y - 2 = 0\).

C. \(4x - 3y + 2 = 0\).

D. \(4x - 3y + 14 = 0\).

Câu 28: Fahrenheit là một thang đo nhiệt độ nhiệt động lực học, với điểm đóng băng của nước là 32 độ \(F\left( {^0F} \right)\) và điểm sôi là \({212^0}F\) (ở áp suất khí quyển tiêu chuẩn). Việc quy đổi nhiệt độ giữa đơn vị độ \(C\) và đơn vị độ \(F\) được xác định bởi hai điểm trên mặt phẳng toạ độ: Điểm đóng băng của nước là \((0;32)\) và Điểm sôi của (Kết quả làm tròn đến chữ số hàng phần trăm)

 

A. \(23,{56^0}C\).

B. \(122,{4^0}C\).

C. \(37,{78^0}C\).

D. \({212^0}C\).

Câu 29: Góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:x - 5 = 0\) và \({\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - 1 - 2t}\\{y = 5 - 2t}\end{array}} \right.\) là

A. \({30^0}\).

B. \({45^0}\).

C. \({60^0}\).

D. \({90^0}\).

Câu 30: Khoảng cách từ \(M(1;2)\) đến đường thẳng \(d:3x - 4y - 5 = 0\) là

A. \(\frac{{10\sqrt 5 }}{5}\).

B. \(\sqrt 5 \).

C. \( - 2\).

D. 2.

Câu 31: Khoảng cách từ \(M(4;2)\) đến đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 - 2t}\\{y = 1 + t}\end{array}} \right.\) là

A. 5.

B. \(\sqrt 5 \).

C. \( - 1\).

D. \(\sqrt 3 \).

Câu 32: Cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:ax - y + 5 = 0\) và \({\Delta _2}:x + y + 1 = 0\). Có bao nhiêu giá trị của \(a\) để \({\Delta _1}\) tạo với \({\Delta _2}\) một góc \({60^\circ }\)?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Câu 33: Cho đường tròn \((C):{x^2} + {y^2} + 6x - 4y - 12 = 0\). Tiếp tuyến của đường tròn \((C)\) tại điểm \(M(1;5)\) có phương trình là:

A. \(4x - 3y - 19 = 0\).

B. \( - 4x - 3y + 19 = 0\).

C. \(4x + 3y + 19 = 0\).

D. \( - 4x - 3y - 19 = 0\).

Câu 34: Cho đường tròn \((C):{x^2} + {y^2} - 4x + 6y - 5 = 0\) vả đường thẳng \(\Delta :x + y + m = 0\). Giá trị của \(m\) để đường thẳng \(\Delta \) tiếp xúc với đường tròn \((C)\) là:

A. \(m =  - 5\) hoặc \(m = 7\).

B. \(m =  - 8\) hoặc \(m = 13\).

C. \(m =  - 15\) hoặc \(m = 21\).

D. \(m = 15\) hoặc \(m =  - 8\).

Câu 35: Cho đường tròn \((C)\) có phương trình \({(x - 2)^2} + {(y + 4)^2} = 9\). Tâm \(I\) và bán kính \(R\) của đường tròn \((C)\) là

A. \(I(2; - 4),R = 3\).

B. \(I(2;4),R = 3\).

C. \(I(2; - 4),R = 9\).

D. \(I(2;4),R = 9\).

Phần tự luận (3 điểm)

Bài 1. Một quả bóng được đá lên từ mặt đất, biết rằng chiều cao \(y\) (mét) của quả bóng so với mặt đất được biểu diễn bởi một hàm số bậc hai theo thời gian \(t\) (giây). Sau 3 giây kể từ lúc được đá lên, quả bóng đạt chiều cao tối đa là \(21\;m\) và bắt đầu rơi xuống. Hỏi thời điểm \(t\) lớn nhất là bao nhiêu ( \(t\) nguyên) để quả bóng vẫn đang ở độ cao trên \(10\;m\) so với mặt đất?

Bài 2. Giải phương trình sau:\(\sqrt {5x + 10}  = 8 - x\)

Bài 3. Cho các vectơ \(\vec a = \frac{1}{2}\vec i - 5\vec j,\vec b = x\vec i - 4\vec j\). Tìm \(x\) để:

a) \(\vec a \bot \vec b\)

b) \(|\vec a| = |\vec b|\).

c) \(\vec a,\vec b\) cùng phương với nhau.

Bài 4. Tìm tham số \(m\) để góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1 + mt}\\{y = 9 + t}\end{array}} \right.\), \({\Delta _2}:x + my - 4 = 0\) bằng \(60^\circ \).

-------- Hết --------

Lời giải

Phần trắc nghiệm

 

Câu 1. C	Câu 2. D	Câu 3. A	Câu 4. B	Câu 5. C	Câu 6. B	Câu 7. A
Câu 8. D	Câu 9. C	Câu 10. C	Câu 11. B	Câu 12. A	Câu 13. D	Câu 14. A
Câu 15. A	Câu 16. A	Câu 17. B	Câu 18. B	Câu 19. B	Câu 20. B	Câu 21. A
Câu 22. D	Câu 23. A	Câu 24. D	Câu 25. C	Câu 26. D	Câu 27. A	Câu 28. C
Câu 29. B	Câu 30. D	Câu 31. B	Câu 32. C	Câu 33. B	Câu 34. A	Câu 35. A

 

Câu 1: Cho hàm số bậc hai \(y = f(x)\) có đồ thị như hình vẽ sau:

 

Nhận định nào sau đây là đúng?

A. Bất phương trình \(f(x) > 0\) nghiệm đúng với mọi \(x > 1\).

B. Phương trình \(f(x) = 0\) có hai nghiệm là \(x = 0\) và \(x = 1\).

C. Bất phương trình \(f(x) < 0\) có tập nghiệm là \(S = (1;3)\).

D. Bất phương trình \(f(x) > 0\) có tập nghiệm là \(S = (1;3)\).

Lời giải

Đáp án C.

Câu 2: Tam thức bậc hai nào sau đây luôn nhận giá trị dương với mọi \(x \in \mathbb{R}\)?

A. \({x^2} - 3x + 2\).

B. \({x^2} - 4x + 3\).

C. \( - {x^2} + x - 1\).

D. \({x^2} - 3x + 3\).

Lời giải

Đáp án D.

Câu 3: Tập nghiệm của bất phương trình \({x^2} - 5x + 6 > 0\) là:

A. \(S = ( - \infty ;2) \cup (3; + \infty )\).

B. \(S = ( - \infty ;3)\).

C. \(S = (2;3)\).

D. \(S = (2; + \infty )\).

Lời giải

Đáp án A.

Câu 4: Bất phương trình nào sau đây nghiệm đúng với mọi \(x \in \left( {\frac{1}{2};1} \right)\)?

A. \(3{x^2} - 2x - 1 > 0\).

B. \({x^2} - 3x + 2 > 0\).

C. \({x^2} - x - 2 > 0\).

D. \(2{x^2} - 5x + 2 > 0\).

Lời giải

Đáp án B.

Câu 5: Tập nghiệm của bất phương trình \((1 - 2x)\left( {2{x^2} - 3x - 5} \right) < 0\) là:

A. \(S = \left( { - 1;\frac{1}{2}} \right)\).

B. \(S = \left( { - 1;\frac{5}{2}} \right)\).

C. \(S = \left( { - 1;\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {\frac{5}{2}; + \infty } \right)\).

D. \(S = ( - 1; + \infty )\).

Lời giải

Xét \(f(x) = (1 - 2x)\left( {2{x^2} - 3x - 5} \right)\)

\(f(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}1 - 2x = 0\\2{x^2} - 3x - 5 = 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\x =  - 1 \vee x = \frac{5}{2}\end{array}\end{array}} \right.} \right.\)

Bảng xét dấu:

Ta có: \(f(x) < 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - 1;\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {\frac{5}{2}; + \infty } \right)\).

Đáp án C.

Câu 6: Tam thức bậc hai \(f(x) =  - {x^2} + 5x - 6\) nhận giá trị âm với \(x\) thuộc khoảng nào dưới đây?

A. \(x \in ( - \infty ;3)\).

B. \((3; + \infty )\).

C. \(x \in (2; + \infty )\).

D. \(x \in (2;3)\).

Lời giải

Ta có bảng xét dấu

Đáp án B.

Câu 7: Tam thức bậc hai \(f(x) = {x^2} + (1 - \sqrt 3 )x - 8 - 5\sqrt 3 \)

A. Âm với mọi \(x \in ( - 2 - \sqrt 3 ;1 + 2\sqrt 3 )\).

B. Âm với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

C. Dương với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

D. Âm với mọi \(x \in ( - \infty ;1)\).

Lời giải

Ta có bảng xét dấu

Đáp án A.

Câu 8: Tam thức nào sau đây nhận giá trị âm với \(x < 2\)

A. \({x^2} - 5x + 6\).

B. \(16 - {x^2}\).

C. \({x^2} - 2x + 3\).

D. \( - {x^2} + 5x - 6\).

Lời giải

Vì bảng xét dấu của \( - {x^2} + 5x - 6\) thỏa \(ycbt\)

Đáp án D.

Câu 9: Tập nghiệm của bất phương trình \({x^2} - 4\sqrt 2 x + 8 < 0\) là:

A. \(( - \infty ;2\sqrt 2 )\).

B. \(\mathbb{R}\backslash \{ 2\sqrt 2 \} \).

C. \(\emptyset \).

D. \(\mathbb{R}\).

Lời giải

Ta có: \({x^2} - 4\sqrt 2 x + 8 < 0 \Leftrightarrow {(x - 2\sqrt 2 )^2} < 0 \Leftrightarrow x \in \emptyset \).

Đáp án C.

Câu 10: Bảng xét dấu nào sau đây là của tam thức \(f(x) =  - {x^2} - x + 6\)?

Lời giải

Áp dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai.

Đáp án C.

Câu 11: Cho các tam thức \(f(x) = 2{x^2} - 3x + 4;g(x) =  - {x^2} + 3x - 4;h(x) = 4 - 3{x^2}\); \(k(x) = 3{x^2} + x + 1\). Số tam thức đổi dấu trên \(\mathbb{R}\) là?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Lời giải

Tam thức đổi dấu khi tam thức có 2 nghiệm phân biệt.

Đáp án B.

Câu 12: Cho \(f(x) = a{x^2} + bx + c(a \ne 0)\) và \(\Delta  = {b^2} - 4ac\). Cho biết dấu của \(\Delta \) khi \(f(x)\) luôn cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

A. \(\Delta  < 0\).

B. \(\Delta  = 0\).

C. \(\Delta  > 0\).

D. \(\Delta  \ge 0\).

Lời giải

Áp dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai.

Đáp án A.

Câu 13: Tập nghiệm của phương trình \(\sqrt {5{x^2} - 6x - 4}  = 2(x - 1)\) là

A. \(S = \{  - 4\} \).

B. \(S = \{  - 4;2\} \).

C. \(S = \{ 1\} \).

D. \(S = \{ 2\} \).

Lời giải

Đáp án D.

Câu 14: Số nghiệm của phương trình \(\sqrt {4x + 7}  = 2x - 1\) là

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 0.

Lời giải

Đáp án A.

Câu 15: Số nghiệm của phương trình \(\sqrt {3 - x}  = \sqrt {x + 2}  + 1\) là

A. \(1.\)

B. 2.

C. 3.

D. 0.

Lời giải

Đáp án A.

Câu 16: Số nghiệm của phương trình \(\sqrt {2{x^2} + 4x + 5}  = x - 2\) là

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Lời giải

Đáp án A.

Câu 17: Với giá trị nào của tham số \(a\) thì phương trình \(\left( {{x^2} - 5x + 4} \right)\sqrt {x - a}  = 0\) có 2 nghiệm phân biệt?

A. \(a \ge 1\).

B. \(1 \le a < 4\).

C. \(1 \le a \le 4\).

D. \(a < 4\).

Lời giải

Điều kiện: \(x \ge a\).

Ta có: \(\left( {{x^2} - 5x + 4} \right)\sqrt {x - a}  = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 5x + 4 = 0}\\{x - a = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x = 4}\\{x = a}\end{array}} \right.} \right.\).

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(1 \le a < 4\).

Đáp án B.

Câu 18: Có ba ngôi làng \(A,B,C\) mỗi làng cách nhau \(6\;km\) (ba ngôi làng không cùng nằm trên một đường thẳng). Vào lúc 6 giờ sáng, một người chạy từ \(A\) đến \(B\) với vận tốc \(10\;km/h\) và cùng lúc đó một người đạp xe từ \(C\) đến \(B\) với vận tốc \(12\;km/h\). Thời điểm sớm nhất mà hai người cách nhau \(1\;km\) (theo đường chim bay) là

A. 6 giờ 25 phút.

B. 6 giờ 30 phút.

C. 7 giờ kém 25 phút.

D. 6 giờ 50 phút.

Lời giải

Ta mô hình hoá bài toán bằng hình bên.

Gọi \(t\) (giờ) là thời gian hai người di chuyển, ta có \(AM = 10t,CN = 12t\).

Áp dụng định lí côsin cho tam giác \(BMN\): \(MN = \sqrt {{{(6 - 10t)}^2} + {{(6 - 12t)}^2} - 2 \cdot (6 - 10t) \cdot (6 - 12t) \cdot \cos {{60}^\circ }}  = 1.\)

Bình phương và rút gọn ta được \(124{t^2} - 132t + 35 = 0\).

Giải phương trình ta được \(t = 0,5\) và \(t = \frac{{35}}{{62}}\).

Vậy thời gian sớm nhất hai người cách nhau \(1\;km\) là 6 giờ 30 phút.

Đáp án B.

Câu 19: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho ba điểm \(A( - 1;2),B(2; - 2),C(3;1)\). Toạ độ của vectơ \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} \) là:

A. \(( - 4; - 1)\).

B. \((4; - 1)\).

C. \(( - 4;1)\).

D. \((4;1)\).

Lời giải

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC}  = (4; - 1)\).

Đáp án B.

Câu 20: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho ba điểm \(A( - 1;2),B(0; - 2),C(3;3)\). Toạ độ của vectơ \(2\overrightarrow {AB}  - 4\overrightarrow {BC} \) là:

A. \((14;12)\).

B. \(( - 10; - 28)\).

C. \(( - 14; - 12)\).

D. \((10;28)\).

Lời giải

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = (1; - 4) \Rightarrow 2\overrightarrow {AB}  = (2; - 8)\); \(\overrightarrow {BC}  = (3;5) \Rightarrow 4\overrightarrow {BC}  = (12;20).\)

Suy ra \(2\overrightarrow {AB}  - 4\overrightarrow {BC}  = ( - 10; - 28)\).

Đáp án B.

Câu 21: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cặp vectơ nào sau đây có cùng phương?

A. \(\vec a = \left( { - \frac{2}{3};2} \right)\) và \(\vec b = (2; - 6)\).

B. \(\vec u = (2;1)\) và \(\vec v = (2; - 6)\).

C. \(\vec c = (\sqrt 2 ;2\sqrt 2 )\) và \(\vec d = (2;2)\).

D. \(\vec e = (1; - 1)\) và \(\vec f = (3;3)\).

Lời giải

Đáp án A.

Câu 22: Trong mặt phẳng toạ độ, cho đường thẳng \(\Delta :x - 2y + 3 = 0\). Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \)?

A. \(\vec n = (2;1)\).

B. \(\vec n = ( - 2; - 1)\).

C. \(\vec n = (1;2)\).

D. \(\vec n = (2; - 4)\).

Lời giải

Đáp án D.

Câu 23: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua \(A( - 2;1)\), nhận \(\vec u = (3; - 1)\) làm vectơ chỉ phương là

A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 2 + 3t}\\{y = 1 - t}\end{array}} \right.\).

B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 - 2t}\\{y =  - 1 + t}\end{array}} \right.\).

C. \(3x - y + 7 = 0\).

D. \( - 2x + y + 7 = 0\).

Lời giải

Đáp án A.

Câu 24: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua 2 điểm \(A(3;0)\) và \(B(0; - 5)\) là

A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + 3t}\\{y =  - 5t}\end{array}} \right.\).

B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + 3t}\\{y =  - 5 + 5t}\end{array}} \right.\).

C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + 3t}\\{y =  - 5 - 5t}\end{array}} \right.\).

D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + 3t}\\{y = 5t}\end{array}} \right.\).

Lời giải

Ta có \(\overrightarrow {BA}  = (3;5)\). Đường thẳng \(AB\) đi qua điểm \(A(3;0)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {BA}  = (3;5)\) nên phương trình đường thẳng \(AB\) là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + 3t}\\{y = 5t}\end{array}} \right.\).

Đáp án D.

Câu 25: Đường thẳng đi qua \(A( - 1;2)\), nhận \(\vec n = (2; - 4)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

A. \(2x - 4y + 5 = 0\).

B. \( - x + 2y + 10 = 0\).

C. \(x - 2y + 5 = 0\).

D. \(4x + 2y + 8 = 0\).

Lời giải

Đáp án C.

Câu 26: Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác \(ABC\) có \(A(1;2),B(3;1)\) và \(C(5;4)\). Phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ \(A\) là

A. \(3x - 2y - 5 = 0\).

B. \(3x - 2y + 5 = 0\).

C. \(5x - 6y + 7 = 0\).

D. \(2x + 3y - 8 = 0\).

Lời giải

Kẻ \(AH \bot BC\) tại \(H\). Suy ra vectơ pháp tuyến của đường cao \(AH\) là \(\vec n = \overrightarrow {BC}  = (2;3)\). Phương trình tổng quát của \(AH\) là \(2(x - 1) + 3(y - 2) = 0 \Leftrightarrow 2x + 3y - 8 = 0.\)

Đáp án D.

Câu 27: Trong mặt phẳng toạ độ, cho đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm \(A,B\) và đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(C\) và song song với đường thẳng \(d\).

Phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta \) là

A. \(3x + 4y - 11 = 0\).

B. \(3x + 4y - 2 = 0\).

C. \(4x - 3y + 2 = 0\).

D. \(4x - 3y + 14 = 0\).

Lời giải

Ta có \(A( - 2;2),B(2; - 1),C(1;2)\). Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\vec u = \overrightarrow {AB}  = (4; - 3)\) suy ra vectơ pháp tuyến của nó là \(\vec n = (3;4)\).

Vì \(\Delta //d\) nên vectơ chỉ phương của nó là \(\vec n = (3;4)\).

Do đó phương tình tổng quát của \(\Delta \) là \(4x - 3y + 14 = 0\).

Đáp án A.

Câu 28: Fahrenheit là một thang đo nhiệt độ nhiệt động lực học, với điểm đóng băng của nước là 32 độ \(F\left( {^0F} \right)\) và điểm sôi là \({212^0}F\) (ở áp suất khí quyển tiêu chuẩn). Việc quy đổi nhiệt độ giữa đơn vị độ \(C\) và đơn vị độ \(F\) được xác định bởi hai điểm trên mặt phẳng toạ độ: Điểm đóng băng của nước là \((0;32)\) và Điểm sôi của (Kết quả làm tròn đến chữ số hàng phần trăm)

A. \(23,{56^0}C\).

B. \(122,{4^0}C\).

C. \(37,{78^0}C\).

D. \({212^0}C\).

Lời giải

Giả sử \(x\left( {^0C} \right)\) tương ứng với \(y\left( {^0F} \right)\). Khi đó trên mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), điểm \(M(x;y)\) thuộc đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm đóng băng \((0;32)\) và điểm sôi \((100;212)\) của nước.

Vectơ chỉ phương của \(\Delta \) là \(\vec u = (100;180) = 20(5;9)\). Suy ra vectơ pháp tuyến của \(\Delta \) là \(\vec n = (9; - 5)\). Phương trình đường thẳng là: \(9x - 5y + 160 = 0\).

Đáp án C.

Câu 29: Góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:x - 5 = 0\) và \({\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - 1 - 2t}\\{y = 5 - 2t}\end{array}} \right.\) là

A. \({30^0}\).

B. \({45^0}\).

C. \({60^0}\).

D. \({90^0}\).

Lời giải

Đáp án B.

Câu 30: Khoảng cách từ \(M(1;2)\) đến đường thẳng \(d:3x - 4y - 5 = 0\) là

A. \(\frac{{10\sqrt 5 }}{5}\).

B. \(\sqrt 5 \).

C. \( - 2\).

D. 2.

Lời giải

Đáp án D.

Câu 31: Khoảng cách từ \(M(4;2)\) đến đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 - 2t}\\{y = 1 + t}\end{array}} \right.\) là

A. 5.

B. \(\sqrt 5 \).

C. \( - 1\).

D. \(\sqrt 3 \).

Lời giải

Đáp án B.

Câu 32: Cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:ax - y + 5 = 0\) và \({\Delta _2}:x + y + 1 = 0\). Có bao nhiêu giá trị của \(a\) để \({\Delta _1}\) tạo với \({\Delta _2}\) một góc \({60^\circ }\)?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Lời giải

Ta có \({\vec n_1}(a; - 1)\) và \({\vec n_2}(1;1)\). Theo bài ra \({\Delta _1}\) tạo với \({\Delta _2}\) một góc \({60^\circ }\) nên:

\(\cos {60^\circ } = \frac{{|a - 1|}}{{\sqrt {{a^2} + {{( - 1)}^2}}  \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2}} }} \Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{{|a - 1|}}{{\sqrt 2  \cdot \sqrt {{a^2} + 1} }} \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + 1}  = \sqrt 2 |a - 1|\)

\( \Leftrightarrow {a^2} - 4a + 1 = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 2 + \sqrt 3 }\\{a = 2 - \sqrt 3 {\rm{. }}}\end{array}} \right.\) Vậy có hai giá trị của \(a\).

Đáp án C.

Câu 33: Cho đường tròn \((C):{x^2} + {y^2} + 6x - 4y - 12 = 0\). Tiếp tuyến của đường tròn \((C)\) tại điểm \(M(1;5)\) có phương trình là:

A. \(4x - 3y - 19 = 0\).

B. \( - 4x - 3y + 19 = 0\).

C. \(4x + 3y + 19 = 0\).

D. \( - 4x - 3y - 19 = 0\).

Lời giải

Đáp án B.

Câu 34: Cho đường tròn \((C):{x^2} + {y^2} - 4x + 6y - 5 = 0\) vả đường thẳng \(\Delta :x + y + m = 0\). Giá trị của \(m\) để đường thẳng \(\Delta \) tiếp xúc với đường tròn \((C)\) là:

A. \(m =  - 5\) hoặc \(m = 7\).

B. \(m =  - 8\) hoặc \(m = 13\).

C. \(m =  - 15\) hoặc \(m = 21\).

D. \(m = 15\) hoặc \(m =  - 8\).

Lời giải

Đáp án A.

Câu 35: Cho đường tròn \((C)\) có phương trình \({(x - 2)^2} + {(y + 4)^2} = 9\). Tâm \(I\) và bán kính \(R\) của đường tròn \((C)\) là

A. \(I(2; - 4),R = 3\).

B. \(I(2;4),R = 3\).

C. \(I(2; - 4),R = 9\).

D. \(I(2;4),R = 9\).

Lời giải

Đáp án A.

Phần tự luận (3 điểm)

Bài 1. Một quả bóng được đá lên từ mặt đất, biết rằng chiều cao \(y\) (mét) của quả bóng so với mặt đất được biểu diễn bởi một hàm số bậc hai theo thời gian \(t\) (giây). Sau 3 giây kể từ lúc được đá lên, quả bóng đạt chiều cao tối đa là \(21\;m\) và bắt đầu rơi xuống. Hỏi thời điểm \(t\) lớn nhất là bao nhiêu ( \(t\) nguyên) để quả bóng vẫn đang ở độ cao trên \(10\;m\) so với mặt đất?

Lời giải

Xét hàm số bậc hai \(y = a{t^2} + bt + c(a \ne 0)\).

Theo giả thiết, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{c = 0}\\{ - \frac{b}{{2a}} = 3}\\{9a + 3b + c = 21}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{c = 0}\\{6a + b = 0}\\{9a + 3b = 21}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a =  - \frac{7}{3}}\\{b = 14}\\{c = 0}\end{array}} \right.} \right.} \right.\).

Vì vậy \(y =  - \frac{7}{3}{t^2} + 14t\).

Ta cần xét: \(y =  - \frac{7}{3}{t^2} + 14t > 10\) hay \( - \frac{7}{3}{t^2} + 14t - 10 > 0\).

Đặt \(f(t) =  - \frac{7}{3}{t^2} + 14t - 10;\) cho \(f(t) = 0 \Rightarrow {t_1} = \frac{{21 - \sqrt {231} }}{7},{t_2} = \frac{{21 + \sqrt {231} }}{7}\).

Bảng xét dấu \(f(t)\)

Kết luận: \(f(t) > 0\) khi \({t_1} < t < {t_2}\) hay \(\underbrace {\frac{{21 - \sqrt {231} }}{7}}_{ \approx 0,83} < t < \underbrace {\frac{{21 + \sqrt {231} }}{7}}_{ \approx 5,17}\).

Vì \(t\) nguyên nên \(t \in [1;5]\). Do vậy giá trị \(t = 5\) thỏa mãn bài

Bài 2. Giải phương trình sau:\(\sqrt {5x + 10}  = 8 - x\)

Lời giải

\(\sqrt {5x + 10}  = 8 - x\).

Cách 1:

Bình phương hai vế phương trình, ta được:

\(5x + 10 = 64 - 16x + {x^2} \Leftrightarrow {x^2} - 21x + 54 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x = 3\\x = 18\end{array}\end{array}.} \right.\)

Thay \(x = 3\) vào phương trình đã cho: \(\sqrt {25}  = 5\) (thỏa mãn).

Thay \(x = 18\) vào phương trình đã cho: \(\sqrt {100}  =  - 10\) (không thỏa mãn). Vậy tập nghiệm phương trình: \(S = \{ 3\} \).

Cách 2:

Ta có: \(\sqrt {5x + 10}  = 8 - x \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{8 - x \ge 0}\\{5x + 10 = 64 - 16x + {x^2}}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \le 8\\{x^2} - 21x + 54 = 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \le 8\\x = 3 \vee x = 18\end{array}\end{array} \Leftrightarrow x = 3} \right.} \right.\)

Vậy tập nghiệm phương trình: \(S = \{ 3\} \).

Bài 3. Cho các vectơ \(\vec a = \frac{1}{2}\vec i - 5\vec j,\vec b = x\vec i - 4\vec j\). Tìm \(x\) để:

a) \(\vec a \bot \vec b\)

b) \(|\vec a| = |\vec b|\).

c) \(\vec a,\vec b\) cùng phương với nhau.

Lời giải

a) Ta có: \(\vec a = \left( {\frac{1}{2}; - 5} \right),\vec b = (x; - 4);\vec a \bot \vec b \Leftrightarrow \frac{1}{2}x + ( - 5)( - 4) = 0 \Leftrightarrow x =  - 40\).

b) Ta có: \(|\vec a| = |\vec b| \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{( - 5)}^2}}  = \sqrt {{x^2} + {{( - 4)}^2}}  \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 16}  = \frac{{\sqrt {101} }}{2}\) \( \Leftrightarrow {x^2} + 16 = \frac{{101}}{4} \Leftrightarrow x =  \pm \frac{{\sqrt {37} }}{2}\).

c) Ta có: \(\vec a,\vec b\) cùng phương khi và chỉ khi \(\frac{x}{{\frac{1}{2}}} = \frac{{ - 4}}{{ - 5}} \Leftrightarrow x = \frac{2}{5}\).

Bài 4. Tìm tham số \(m\) để góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1 + mt}\\{y = 9 + t}\end{array}} \right.\), \({\Delta _2}:x + my - 4 = 0\) bằng \(60^\circ \).

Lời giải

Hai đường thẳng đã cho có cặp vectơ pháp tuyến \({\vec n_1} = (1; - m),{\vec n_2} = (1;m)\).

Ta có: \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {{{\vec n}_1} \cdot {{\vec n}_2}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_1}} \right| \cdot \left| {{{\vec n}_2}} \right|}} = \frac{{\left| {1 - {m^2}} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2}}  \cdot \sqrt {1 + {m^2}} }} = \cos 60^\circ  \Rightarrow \frac{{\left| {1 - {m^2}} \right|}}{{1 + {m^2}}} = \frac{1}{2}\)

\( \Rightarrow 2\left| {1 - {m^2}} \right| = 1 + {m^2} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{2(1 - {m^2}) = 1 + {m^2}}\\{2(1 - {m^2}) =  - 1 - {m^2}}\end{array} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{3{m^2} = 1}\\{{m^2} = 3}\end{array} \Rightarrow m =  \pm \sqrt 3  \vee m =  \pm \sqrt {\frac{1}{3}} } \right.} \right.{\rm{. }}\)

Vậy \(m =  \pm \sqrt 3  \vee m =  \pm \sqrt {\frac{1}{3}} \) thỏa mãn đề bài.