Đề thi giữa kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo - Đề số 3

Đề bài

Phần trắc nghiệm (7 điểm)

Câu 1: Cho hàm số bậc hai $y=f\left(x\right)$ có đồ thị như hình vẽ sau:

 

Nhận định nào sau đây là đúng?

A. Bất phương trình $f\left(x\right)>0$ nghiệm đúng với mọi $x>1$.

B. Phương trình $f\left(x\right)=0$ có hai nghiệm là $x=0$ và $x=1$.

C. Bất phương trình $f\left(x\right)<0$ có tập nghiệm là $S=(1;3)$.

D. Bất phương trình $f\left(x\right)>0$ có tập nghiệm là $S=(1;3)$.

Câu 2: Tam thức bậc hai nào sau đây luôn nhận giá trị dương với mọi $x\in R$?

A. $x^2-3x+2$.

B. $x^2-4x+3$.

C. $-x^2+x-1$.

D. $x^2-3x+3$.

Câu 3: Tập nghiệm của bất phương trình $x^2-5x+6>0$ là:

A. $S=(-\infty ;2)\cup (3;+\infty )$.

B. $S=(-\infty ;3)$.

C. $S=(2;3)$.

D. $S=(2;+\infty )$.

Câu 4: Bất phương trình nào sau đây nghiệm đúng với mọi $x\in \left(\frac{1}{2};1\right)$?

A. $3x^2-2x-1>0$.

B. $x^2-3x+2>0$.

C. $x^2-x-2>0$.

D. $2x^2-5x+2>0$.

Câu 5: Tập nghiệm của bất phương trình $(1-2x)\left(2x^2-3x-5\right)<0$ là:

A. $S=\left(-1;\frac{1}{2}\right)$.

B. $S=\left(-1;\frac{5}{2}\right)$.

C. $S=\left(-1;\frac{1}{2}\right)\cup \left(\frac{5}{2};+\infty \right)$.

D. $S=(-1;+\infty )$.

Câu 6: Tam thức bậc hai $f\left(x\right)=-x^2+5x-6$ nhận giá trị âm với $x$ thuộc khoảng nào dưới đây?

A. $x\in (-\infty ;3)$.

B. $(3;+\infty )$.

C. $x\in (2;+\infty )$.

D. $x\in (2;3)$.

Câu 7: Tam thức bậc hai $f\left(x\right)=x^2+(1-\sqrt{3})x-8-5\sqrt{3}$

A. Âm với mọi $x\in (-2-\sqrt{3};1+2\sqrt{3})$.

B. Âm với mọi $x\in R$.

C. Dương với mọi $x\in R$.

D. Âm với mọi $x\in (-\infty ;1)$.

Câu 8: Tam thức nào sau đây nhận giá trị âm với $x<2$

A. $x^2-5x+6$.

B. $16-x^2$.

C. $x^2-2x+3$.

D. $-x^2+5x-6$.

Câu 9: Tập nghiệm của bất phương trình $x^2-4\sqrt{2}x+8<0$ là:

A. $(-\infty ;2\sqrt{2})$.

B. $R\setminus \left\{2\sqrt{2}\right\}$.

C. $\varnothing$.

D. $R$.

Câu 10: Bảng xét dấu nào sau đây là của tam thức $f\left(x\right)=-x^2-x+6$?

 

Câu 11: Cho các tam thức $f\left(x\right)=2x^2-3x+4;g\left(x\right)=-x^2+3x-4;h\left(x\right)=4-3x^2$; $k\left(x\right)=3x^2+x+1$. Số tam thức đổi dấu trên $R$ là?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Câu 12: Cho $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$ và $\Delta =b^2-4ac$. Cho biết dấu của $\Delta$ khi $f\left(x\right)$ luôn cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $x\in R$.

A. $\Delta <0$.

B. $\Delta =0$.

C. $\Delta >0$.

D. $\Delta \ge 0$.

Câu 13: Tập nghiệm của phương trình $\sqrt{5x^2-6x-4}=2(x-1)$ là

A. $S=\{-4\}$.

B. $S=\{-4;2\}$.

C. $S=\left\{1\right\}$.

D. $S=\left\{2\right\}$.

Câu 14: Số nghiệm của phương trình $\sqrt{4x+7}=2x-1$ là

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 0.

Câu 15: Số nghiệm của phương trình $\sqrt{3-x}=\sqrt{x+2}+1$ là

A. $1.$

B. 2.

C. 3.

D. 0.

Câu 16: Số nghiệm của phương trình $\sqrt{2x^2+4x+5}=x-2$ là

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Câu 17: Với giá trị nào của tham số $a$ thì phương trình $\left(x^2-5x+4\right)\sqrt{x-a}=0$ có 2 nghiệm phân biệt?

A. $a\ge 1$.

B. $1\le a<4$.

C. $1\le a\le 4$.

D. $a<4$.

Câu 18: Có ba ngôi làng $A,B,C$ mỗi làng cách nhau $6km$ (ba ngôi làng không cùng nằm trên một đường thẳng). Vào lúc 6 giờ sáng, một người chạy từ $A$ đến $B$ với vận tốc $10km/h$ và cùng lúc đó một người đạp xe từ $C$ đến $B$ với vận tốc $12km/h$. Thời điểm sớm nhất mà hai người cách nhau $1km$ (theo đường chim bay) là

A. 6 giờ 25 phút.

B. 6 giờ 30 phút.

C. 7 giờ kém 25 phút.

D. 6 giờ 50 phút.

Câu 19: Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho ba điểm $A(-1;2),B(2;-2),C(3;1)$. Toạ độ của vectơ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ là:

A. $(-4;-1)$.

B. $(4;-1)$.

C. $(-4;1)$.

D. $(4;1)$.

Câu 20: Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho ba điểm $A(-1;2),B(0;-2),C(3;3)$. Toạ độ của vectơ $2\overrightarrow{AB}-4\overrightarrow{BC}$ là:

A. $(14;12)$.

B. $(-10;-28)$.

C. $(-14;-12)$.

D. $(10;28)$.

Câu 21: Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cặp vectơ nào sau đây có cùng phương?

A. $\vec{a}=\left(-\frac{2}{3};2\right)$ và $\vec{b}=(2;-6)$.

B. $\vec{u}=(2;1)$ và $\vec{v}=(2;-6)$.

C. $\vec{c}=(\sqrt{2};2\sqrt{2})$ và $\vec{d}=(2;2)$.

D. $\vec{e}=(1;-1)$ và $\vec{f}=(3;3)$.

Câu 22: Trong mặt phẳng toạ độ, cho đường thẳng $\Delta :x-2y+3=0$. Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta$?

A. $\vec{n}=(2;1)$.

B. $\vec{n}=(-2;-1)$.

C. $\vec{n}=(1;2)$.

D. $\vec{n}=(2;-4)$.

Câu 23: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua $A(-2;1)$, nhận $\vec{u}=(3;-1)$ làm vectơ chỉ phương là

A. $\{\begin{array}{c}x=-2+3t\\ y=1-t\end{array}$.

B. $\{\begin{array}{c}x=3-2t\\ y=-1+t\end{array}$.

C. $3x-y+7=0$.

D. $-2x+y+7=0$.

Câu 24: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua 2 điểm $A(3;0)$ và $B(0;-5)$ là

A. $\{\begin{array}{c}x=3+3t\\ y=-5t\end{array}$.

B. $\{\begin{array}{c}x=3+3t\\ y=-5+5t\end{array}$.

C. $\{\begin{array}{c}x=3+3t\\ y=-5-5t\end{array}$.

D. $\{\begin{array}{c}x=3+3t\\ y=5t\end{array}$.

Câu 25: Đường thẳng đi qua $A(-1;2)$, nhận $\vec{n}=(2;-4)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

A. $2x-4y+5=0$.

B. $-x+2y+10=0$.

C. $x-2y+5=0$.

D. $4x+2y+8=0$.

Câu 26: Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác $ABC$ có $A(1;2),B(3;1)$ và $C(5;4)$. Phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ $A$ là

A. $3x-2y-5=0$.

B. $3x-2y+5=0$.

C. $5x-6y+7=0$.

D. $2x+3y-8=0$.

Câu 27: Trong mặt phẳng toạ độ, cho đường thẳng $d$ đi qua hai điểm $A,B$ và đường thẳng $\Delta$ đi qua $C$ và song song với đường thẳng $d$.

 

Phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ là

A. $3x+4y-11=0$.

B. $3x+4y-2=0$.

C. $4x-3y+2=0$.

D. $4x-3y+14=0$.

Câu 28: Fahrenheit là một thang đo nhiệt độ nhiệt động lực học, với điểm đóng băng của nước là 32 độ $F\left({}^{0}F\right)$ và điểm sôi là ${212}^{0}F$ (ở áp suất khí quyển tiêu chuẩn). Việc quy đổi nhiệt độ giữa đơn vị độ $C$ và đơn vị độ $F$ được xác định bởi hai điểm trên mặt phẳng toạ độ: Điểm đóng băng của nước là $(0;32)$ và Điểm sôi của (Kết quả làm tròn đến chữ số hàng phần trăm)

 

A. $23,{56}^{0}C$.

B. $122,4^{0}C$.

C. $37,{78}^{0}C$.

D. ${212}^{0}C$.

Câu 29: Góc giữa hai đường thẳng ${\Delta }_1:x-5=0$ và ${\Delta }_2:\{\begin{array}{c}x=-1-2t\\ y=5-2t\end{array}$ là

A. ${30}^0$.

B. ${45}^0$.

C. ${60}^0$.

D. ${90}^0$.

Câu 30: Khoảng cách từ $M(1;2)$ đến đường thẳng $d:3x-4y-5=0$ là

A. $\frac{10\sqrt{5}}{5}$.

B. $\sqrt{5}$.

C. $-2$.

D. 2.

Câu 31: Khoảng cách từ $M(4;2)$ đến đường thẳng $d:\{\begin{array}{c}x=1-2t\\ y=1+t\end{array}$ là

A. 5.

B. $\sqrt{5}$.

C. $-1$.

D. $\sqrt{3}$.

Câu 32: Cho hai đường thẳng ${\Delta }_1:ax-y+5=0$ và ${\Delta }_2:x+y+1=0$. Có bao nhiêu giá trị của $a$ để ${\Delta }_1$ tạo với ${\Delta }_2$ một góc ${60}^{\circ }$?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Câu 33: Cho đường tròn $\left(C\right):x^2+y^2+6x-4y-12=0$. Tiếp tuyến của đường tròn $\left(C\right)$ tại điểm $M(1;5)$ có phương trình là:

A. $4x-3y-19=0$.

B. $-4x-3y+19=0$.

C. $4x+3y+19=0$.

D. $-4x-3y-19=0$.

Câu 34: Cho đường tròn $\left(C\right):x^2+y^2-4x+6y-5=0$ vả đường thẳng $\Delta :x+y+m=0$. Giá trị của $m$ để đường thẳng $\Delta$ tiếp xúc với đường tròn $\left(C\right)$ là:

A. $m=-5$ hoặc $m=7$.

B. $m=-8$ hoặc $m=13$.

C. $m=-15$ hoặc $m=21$.

D. $m=15$ hoặc $m=-8$.

Câu 35: Cho đường tròn $\left(C\right)$ có phương trình $(x-2{)}^2+(y+4{)}^2=9$. Tâm $I$ và bán kính $R$ của đường tròn $\left(C\right)$ là

A. $I(2;-4),R=3$.

B. $I(2;4),R=3$.

C. $I(2;-4),R=9$.

D. $I(2;4),R=9$.

Phần tự luận (3 điểm)

Bài 1. Một quả bóng được đá lên từ mặt đất, biết rằng chiều cao $y$ (mét) của quả bóng so với mặt đất được biểu diễn bởi một hàm số bậc hai theo thời gian $t$ (giây). Sau 3 giây kể từ lúc được đá lên, quả bóng đạt chiều cao tối đa là $21m$ và bắt đầu rơi xuống. Hỏi thời điểm $t$ lớn nhất là bao nhiêu ( $t$ nguyên) để quả bóng vẫn đang ở độ cao trên $10m$ so với mặt đất?

Bài 2. Giải phương trình sau:$\sqrt{5x+10}=8-x$

Bài 3. Cho các vectơ $\vec{a}=\frac{1}{2}\vec{i}-5\vec{j},\vec{b}=x\vec{i}-4\vec{j}$. Tìm $x$ để:

a) $\vec{a}\perp \vec{b}$

b) $|\vec{a}|=|\vec{b}|$.

c) $\vec{a},\vec{b}$ cùng phương với nhau.

Bài 4. Tìm tham số $m$ để góc giữa hai đường thẳng ${\Delta }_1:\{\begin{array}{c}x=-1+mt\\ y=9+t\end{array}$, ${\Delta }_2:x+my-4=0$ bằng ${60}^{\circ }$.

-------- Hết --------

Lời giải

Phần trắc nghiệm

 

Câu 1. C	Câu 2. D	Câu 3. A	Câu 4. B	Câu 5. C	Câu 6. B	Câu 7. A
Câu 8. D	Câu 9. C	Câu 10. C	Câu 11. B	Câu 12. A	Câu 13. D	Câu 14. A
Câu 15. A	Câu 16. A	Câu 17. B	Câu 18. B	Câu 19. B	Câu 20. B	Câu 21. A
Câu 22. D	Câu 23. A	Câu 24. D	Câu 25. C	Câu 26. D	Câu 27. A	Câu 28. C
Câu 29. B	Câu 30. D	Câu 31. B	Câu 32. C	Câu 33. B	Câu 34. A	Câu 35. A

 

Câu 1: Cho hàm số bậc hai $y=f\left(x\right)$ có đồ thị như hình vẽ sau:

 

Nhận định nào sau đây là đúng?

A. Bất phương trình $f\left(x\right)>0$ nghiệm đúng với mọi $x>1$.

B. Phương trình $f\left(x\right)=0$ có hai nghiệm là $x=0$ và $x=1$.

C. Bất phương trình $f\left(x\right)<0$ có tập nghiệm là $S=(1;3)$.

D. Bất phương trình $f\left(x\right)>0$ có tập nghiệm là $S=(1;3)$.

Lời giải

Đáp án C.

Câu 2: Tam thức bậc hai nào sau đây luôn nhận giá trị dương với mọi $x\in R$?

A. $x^2-3x+2$.

B. $x^2-4x+3$.

C. $-x^2+x-1$.

D. $x^2-3x+3$.

Lời giải

Đáp án D.

Câu 3: Tập nghiệm của bất phương trình $x^2-5x+6>0$ là:

A. $S=(-\infty ;2)\cup (3;+\infty )$.

B. $S=(-\infty ;3)$.

C. $S=(2;3)$.

D. $S=(2;+\infty )$.

Lời giải

Đáp án A.

Câu 4: Bất phương trình nào sau đây nghiệm đúng với mọi $x\in \left(\frac{1}{2};1\right)$?

A. $3x^2-2x-1>0$.

B. $x^2-3x+2>0$.

C. $x^2-x-2>0$.

D. $2x^2-5x+2>0$.

Lời giải

Đáp án B.

Câu 5: Tập nghiệm của bất phương trình $(1-2x)\left(2x^2-3x-5\right)<0$ là:

A. $S=\left(-1;\frac{1}{2}\right)$.

B. $S=\left(-1;\frac{5}{2}\right)$.

C. $S=\left(-1;\frac{1}{2}\right)\cup \left(\frac{5}{2};+\infty \right)$.

D. $S=(-1;+\infty )$.

Lời giải

Xét $f\left(x\right)=(1-2x)\left(2x^2-3x-5\right)$

$f\left(x\right)=0\iff [\begin{array}{c}\begin{array}{c}1-2x=0\\ 2x^2-3x-5=0\end{array}\end{array}\iff [\begin{array}{c}\begin{array}{c}x=\frac{1}{2}\\ x=-1\vee x=\frac{5}{2}\end{array}\end{array}$

Bảng xét dấu:

Ta có: $f\left(x\right)<0\iff x\in \left(-1;\frac{1}{2}\right)\cup \left(\frac{5}{2};+\infty \right)$.

Đáp án C.

Câu 6: Tam thức bậc hai $f\left(x\right)=-x^2+5x-6$ nhận giá trị âm với $x$ thuộc khoảng nào dưới đây?

A. $x\in (-\infty ;3)$.

B. $(3;+\infty )$.

C. $x\in (2;+\infty )$.

D. $x\in (2;3)$.

Lời giải

Ta có bảng xét dấu

Đáp án B.

Câu 7: Tam thức bậc hai $f\left(x\right)=x^2+(1-\sqrt{3})x-8-5\sqrt{3}$

A. Âm với mọi $x\in (-2-\sqrt{3};1+2\sqrt{3})$.

B. Âm với mọi $x\in R$.

C. Dương với mọi $x\in R$.

D. Âm với mọi $x\in (-\infty ;1)$.

Lời giải

Ta có bảng xét dấu

Đáp án A.

Câu 8: Tam thức nào sau đây nhận giá trị âm với $x<2$

A. $x^2-5x+6$.

B. $16-x^2$.

C. $x^2-2x+3$.

D. $-x^2+5x-6$.

Lời giải

Vì bảng xét dấu của $-x^2+5x-6$ thỏa $ycbt$

Đáp án D.

Câu 9: Tập nghiệm của bất phương trình $x^2-4\sqrt{2}x+8<0$ là:

A. $(-\infty ;2\sqrt{2})$.

B. $R\setminus \left\{2\sqrt{2}\right\}$.

C. $\varnothing$.

D. $R$.

Lời giải

Ta có: $x^2-4\sqrt{2}x+8<0\iff (x-2\sqrt{2}{)}^2<0\iff x\in \varnothing$.

Đáp án C.

Câu 10: Bảng xét dấu nào sau đây là của tam thức $f\left(x\right)=-x^2-x+6$?

Lời giải

Áp dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai.

Đáp án C.

Câu 11: Cho các tam thức $f\left(x\right)=2x^2-3x+4;g\left(x\right)=-x^2+3x-4;h\left(x\right)=4-3x^2$; $k\left(x\right)=3x^2+x+1$. Số tam thức đổi dấu trên $R$ là?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Lời giải

Tam thức đổi dấu khi tam thức có 2 nghiệm phân biệt.

Đáp án B.

Câu 12: Cho $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$ và $\Delta =b^2-4ac$. Cho biết dấu của $\Delta$ khi $f\left(x\right)$ luôn cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $x\in R$.

A. $\Delta <0$.

B. $\Delta =0$.

C. $\Delta >0$.

D. $\Delta \ge 0$.

Lời giải

Áp dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai.

Đáp án A.

Câu 13: Tập nghiệm của phương trình $\sqrt{5x^2-6x-4}=2(x-1)$ là

A. $S=\{-4\}$.

B. $S=\{-4;2\}$.

C. $S=\left\{1\right\}$.

D. $S=\left\{2\right\}$.

Lời giải

Đáp án D.

Câu 14: Số nghiệm của phương trình $\sqrt{4x+7}=2x-1$ là

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 0.

Lời giải

Đáp án A.

Câu 15: Số nghiệm của phương trình $\sqrt{3-x}=\sqrt{x+2}+1$ là

A. $1.$

B. 2.

C. 3.

D. 0.

Lời giải

Đáp án A.

Câu 16: Số nghiệm của phương trình $\sqrt{2x^2+4x+5}=x-2$ là

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Lời giải

Đáp án A.

Câu 17: Với giá trị nào của tham số $a$ thì phương trình $\left(x^2-5x+4\right)\sqrt{x-a}=0$ có 2 nghiệm phân biệt?

A. $a\ge 1$.

B. $1\le a<4$.

C. $1\le a\le 4$.

D. $a<4$.

Lời giải

Điều kiện: $x\ge a$.

Ta có: $\left(x^2-5x+4\right)\sqrt{x-a}=0\iff [\begin{array}{c}{x}^2-5x+4=0\\ x-a=0\end{array}\iff [\begin{array}{c}x=1\\ x=4\\ x=a\end{array}$.

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $1\le a<4$.

Đáp án B.

Câu 18: Có ba ngôi làng $A,B,C$ mỗi làng cách nhau $6km$ (ba ngôi làng không cùng nằm trên một đường thẳng). Vào lúc 6 giờ sáng, một người chạy từ $A$ đến $B$ với vận tốc $10km/h$ và cùng lúc đó một người đạp xe từ $C$ đến $B$ với vận tốc $12km/h$. Thời điểm sớm nhất mà hai người cách nhau $1km$ (theo đường chim bay) là

A. 6 giờ 25 phút.

B. 6 giờ 30 phút.

C. 7 giờ kém 25 phút.

D. 6 giờ 50 phút.

Lời giải

Ta mô hình hoá bài toán bằng hình bên.

Gọi $t$ (giờ) là thời gian hai người di chuyển, ta có $AM=10t,CN=12t$.

Áp dụng định lí côsin cho tam giác $BMN$: $MN=\sqrt{{(6-10t)}^2+{(6-12t)}^2-2\cdot (6-10t)\cdot (6-12t)\cdot \cos {60}^{\circ }}=1.$

Bình phương và rút gọn ta được $124t^2-132t+35=0$.

Giải phương trình ta được $t=0,5$ và $t=\frac{35}{62}$.

Vậy thời gian sớm nhất hai người cách nhau $1km$ là 6 giờ 30 phút.

Đáp án B.

Câu 19: Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho ba điểm $A(-1;2),B(2;-2),C(3;1)$. Toạ độ của vectơ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ là:

A. $(-4;-1)$.

B. $(4;-1)$.

C. $(-4;1)$.

D. $(4;1)$.

Lời giải

Ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}=(4;-1)$.

Đáp án B.

Câu 20: Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho ba điểm $A(-1;2),B(0;-2),C(3;3)$. Toạ độ của vectơ $2\overrightarrow{AB}-4\overrightarrow{BC}$ là:

A. $(14;12)$.

B. $(-10;-28)$.

C. $(-14;-12)$.

D. $(10;28)$.

Lời giải

Ta có: $\overrightarrow{AB}=(1;-4)\Rightarrow 2\overrightarrow{AB}=(2;-8)$; $\overrightarrow{BC}=(3;5)\Rightarrow 4\overrightarrow{BC}=(12;20).$

Suy ra $2\overrightarrow{AB}-4\overrightarrow{BC}=(-10;-28)$.

Đáp án B.

Câu 21: Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cặp vectơ nào sau đây có cùng phương?

A. $\vec{a}=\left(-\frac{2}{3};2\right)$ và $\vec{b}=(2;-6)$.

B. $\vec{u}=(2;1)$ và $\vec{v}=(2;-6)$.

C. $\vec{c}=(\sqrt{2};2\sqrt{2})$ và $\vec{d}=(2;2)$.

D. $\vec{e}=(1;-1)$ và $\vec{f}=(3;3)$.

Lời giải

Đáp án A.

Câu 22: Trong mặt phẳng toạ độ, cho đường thẳng $\Delta :x-2y+3=0$. Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta$?

A. $\vec{n}=(2;1)$.

B. $\vec{n}=(-2;-1)$.

C. $\vec{n}=(1;2)$.

D. $\vec{n}=(2;-4)$.

Lời giải

Đáp án D.

Câu 23: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua $A(-2;1)$, nhận $\vec{u}=(3;-1)$ làm vectơ chỉ phương là

A. $\{\begin{array}{c}x=-2+3t\\ y=1-t\end{array}$.

B. $\{\begin{array}{c}x=3-2t\\ y=-1+t\end{array}$.

C. $3x-y+7=0$.

D. $-2x+y+7=0$.

Lời giải

Đáp án A.

Câu 24: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua 2 điểm $A(3;0)$ và $B(0;-5)$ là

A. $\{\begin{array}{c}x=3+3t\\ y=-5t\end{array}$.

B. $\{\begin{array}{c}x=3+3t\\ y=-5+5t\end{array}$.

C. $\{\begin{array}{c}x=3+3t\\ y=-5-5t\end{array}$.

D. $\{\begin{array}{c}x=3+3t\\ y=5t\end{array}$.

Lời giải

Ta có $\overrightarrow{BA}=(3;5)$. Đường thẳng $AB$ đi qua điểm $A(3;0)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{BA}=(3;5)$ nên phương trình đường thẳng $AB$ là: $\{\begin{array}{c}x=3+3t\\ y=5t\end{array}$.

Đáp án D.

Câu 25: Đường thẳng đi qua $A(-1;2)$, nhận $\vec{n}=(2;-4)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

A. $2x-4y+5=0$.

B. $-x+2y+10=0$.

C. $x-2y+5=0$.

D. $4x+2y+8=0$.

Lời giải

Đáp án C.

Câu 26: Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác $ABC$ có $A(1;2),B(3;1)$ và $C(5;4)$. Phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ $A$ là

A. $3x-2y-5=0$.

B. $3x-2y+5=0$.

C. $5x-6y+7=0$.

D. $2x+3y-8=0$.

Lời giải

Kẻ $AH\perp BC$ tại $H$. Suy ra vectơ pháp tuyến của đường cao $AH$ là $\vec{n}=\overrightarrow{BC}=(2;3)$. Phương trình tổng quát của $AH$ là $2(x-1)+3(y-2)=0\iff 2x+3y-8=0.$

Đáp án D.

Câu 27: Trong mặt phẳng toạ độ, cho đường thẳng $d$ đi qua hai điểm $A,B$ và đường thẳng $\Delta$ đi qua $C$ và song song với đường thẳng $d$.

Phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ là

A. $3x+4y-11=0$.

B. $3x+4y-2=0$.

C. $4x-3y+2=0$.

D. $4x-3y+14=0$.

Lời giải

Ta có $A(-2;2),B(2;-1),C(1;2)$. Vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ là $\vec{u}=\overrightarrow{AB}=(4;-3)$ suy ra vectơ pháp tuyến của nó là $\vec{n}=(3;4)$.

Vì $\Delta //d$ nên vectơ chỉ phương của nó là $\vec{n}=(3;4)$.

Do đó phương tình tổng quát của $\Delta$ là $4x-3y+14=0$.

Đáp án A.

Câu 28: Fahrenheit là một thang đo nhiệt độ nhiệt động lực học, với điểm đóng băng của nước là 32 độ $F\left({}^{0}F\right)$ và điểm sôi là ${212}^{0}F$ (ở áp suất khí quyển tiêu chuẩn). Việc quy đổi nhiệt độ giữa đơn vị độ $C$ và đơn vị độ $F$ được xác định bởi hai điểm trên mặt phẳng toạ độ: Điểm đóng băng của nước là $(0;32)$ và Điểm sôi của (Kết quả làm tròn đến chữ số hàng phần trăm)

A. $23,{56}^{0}C$.

B. $122,4^{0}C$.

C. $37,{78}^{0}C$.

D. ${212}^{0}C$.

Lời giải

Giả sử $x\left({}^{0}C\right)$ tương ứng với $y\left({}^{0}F\right)$. Khi đó trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$, điểm $M(x;y)$ thuộc đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm đóng băng $(0;32)$ và điểm sôi $(100;212)$ của nước.

Vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\vec{u}=(100;180)=20(5;9)$. Suy ra vectơ pháp tuyến của $\Delta$ là $\vec{n}=(9;-5)$. Phương trình đường thẳng là: $9x-5y+160=0$.

Đáp án C.

Câu 29: Góc giữa hai đường thẳng ${\Delta }_1:x-5=0$ và ${\Delta }_2:\{\begin{array}{c}x=-1-2t\\ y=5-2t\end{array}$ là

A. ${30}^0$.

B. ${45}^0$.

C. ${60}^0$.

D. ${90}^0$.

Lời giải

Đáp án B.

Câu 30: Khoảng cách từ $M(1;2)$ đến đường thẳng $d:3x-4y-5=0$ là

A. $\frac{10\sqrt{5}}{5}$.

B. $\sqrt{5}$.

C. $-2$.

D. 2.

Lời giải

Đáp án D.

Câu 31: Khoảng cách từ $M(4;2)$ đến đường thẳng $d:\{\begin{array}{c}x=1-2t\\ y=1+t\end{array}$ là

A. 5.

B. $\sqrt{5}$.

C. $-1$.

D. $\sqrt{3}$.

Lời giải

Đáp án B.

Câu 32: Cho hai đường thẳng ${\Delta }_1:ax-y+5=0$ và ${\Delta }_2:x+y+1=0$. Có bao nhiêu giá trị của $a$ để ${\Delta }_1$ tạo với ${\Delta }_2$ một góc ${60}^{\circ }$?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Lời giải

Ta có ${\vec{n}}_1(a;-1)$ và ${\vec{n}}_2(1;1)$. Theo bài ra ${\Delta }_1$ tạo với ${\Delta }_2$ một góc ${60}^{\circ }$ nên:

$\cos {60}^{\circ }=\frac{|a-1|}{\sqrt{a^2+{(-1)}^2}\cdot \sqrt{1^2+1^2}}\iff \frac{1}{2}=\frac{|a-1|}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{a^2+1}}\iff \sqrt{a^2+1}=\sqrt{2}|a-1|$

$\iff a^2-4a+1=0\Rightarrow [\begin{array}{c}a=2+\sqrt{3}\\ a=2-\sqrt{3}.\end{array}$ Vậy có hai giá trị của $a$.

Đáp án C.

Câu 33: Cho đường tròn $\left(C\right):x^2+y^2+6x-4y-12=0$. Tiếp tuyến của đường tròn $\left(C\right)$ tại điểm $M(1;5)$ có phương trình là:

A. $4x-3y-19=0$.

B. $-4x-3y+19=0$.

C. $4x+3y+19=0$.

D. $-4x-3y-19=0$.

Lời giải

Đáp án B.

Câu 34: Cho đường tròn $\left(C\right):x^2+y^2-4x+6y-5=0$ vả đường thẳng $\Delta :x+y+m=0$. Giá trị của $m$ để đường thẳng $\Delta$ tiếp xúc với đường tròn $\left(C\right)$ là:

A. $m=-5$ hoặc $m=7$.

B. $m=-8$ hoặc $m=13$.

C. $m=-15$ hoặc $m=21$.

D. $m=15$ hoặc $m=-8$.

Lời giải

Đáp án A.

Câu 35: Cho đường tròn $\left(C\right)$ có phương trình $(x-2{)}^2+(y+4{)}^2=9$. Tâm $I$ và bán kính $R$ của đường tròn $\left(C\right)$ là

A. $I(2;-4),R=3$.

B. $I(2;4),R=3$.

C. $I(2;-4),R=9$.

D. $I(2;4),R=9$.

Lời giải

Đáp án A.

Phần tự luận (3 điểm)

Bài 1. Một quả bóng được đá lên từ mặt đất, biết rằng chiều cao $y$ (mét) của quả bóng so với mặt đất được biểu diễn bởi một hàm số bậc hai theo thời gian $t$ (giây). Sau 3 giây kể từ lúc được đá lên, quả bóng đạt chiều cao tối đa là $21m$ và bắt đầu rơi xuống. Hỏi thời điểm $t$ lớn nhất là bao nhiêu ( $t$ nguyên) để quả bóng vẫn đang ở độ cao trên $10m$ so với mặt đất?

Lời giải

Xét hàm số bậc hai $y=a{t}^2+bt+c(a\ne 0)$.

Theo giả thiết, ta có: $\{\begin{array}{c}c=0\\ -\frac{b}{2a}=3\\ 9a+3b+c=21\end{array}\iff \{\begin{array}{c}c=0\\ 6a+b=0\\ 9a+3b=21\end{array}\iff \{\begin{array}{c}a=-\frac{7}{3}\\ b=14\\ c=0\end{array}$.

Vì vậy $y=-\frac{7}{3}{t}^2+14t$.

Ta cần xét: $y=-\frac{7}{3}{t}^2+14t>10$ hay $-\frac{7}{3}{t}^2+14t-10>0$.

Đặt $f\left(t\right)=-\frac{7}{3}{t}^2+14t-10;$ cho $f\left(t\right)=0\Rightarrow t_1=\frac{21-\sqrt{231}}{7},t_2=\frac{21+\sqrt{231}}{7}$.

Bảng xét dấu $f\left(t\right)$

Kết luận: $f\left(t\right)>0$ khi $t_1<t<t_2$ hay $\underset{\approx 0,83}{\underset{}{\frac{21-\sqrt{231}}{7}}}<t<\underset{\approx 5,17}{\underset{}{\frac{21+\sqrt{231}}{7}}}$.

Vì $t$ nguyên nên $t\in [1;5]$. Do vậy giá trị $t=5$ thỏa mãn bài

Bài 2. Giải phương trình sau:$\sqrt{5x+10}=8-x$

Lời giải

$\sqrt{5x+10}=8-x$.

Cách 1:

Bình phương hai vế phương trình, ta được:

$5x+10=64-16x+x^2\iff x^2-21x+54=0\iff [\begin{array}{c}\begin{array}{c}x=3\\ x=18\end{array}\end{array}.$

Thay $x=3$ vào phương trình đã cho: $\sqrt{25}=5$ (thỏa mãn).

Thay $x=18$ vào phương trình đã cho: $\sqrt{100}=-10$ (không thỏa mãn). Vậy tập nghiệm phương trình: $S=\left\{3\right\}$.

Cách 2:

Ta có: $\sqrt{5x+10}=8-x\iff \{\begin{array}{c}8-x\ge 0\\ 5x+10=64-16x+x^2\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}\begin{array}{c}x\le 8\\ x^2-21x+54=0\end{array}\end{array}\iff \{\begin{array}{c}\begin{array}{c}x\le 8\\ x=3\vee x=18\end{array}\end{array}\iff x=3$

Vậy tập nghiệm phương trình: $S=\left\{3\right\}$.

Bài 3. Cho các vectơ $\vec{a}=\frac{1}{2}\vec{i}-5\vec{j},\vec{b}=x\vec{i}-4\vec{j}$. Tìm $x$ để:

a) $\vec{a}\perp \vec{b}$

b) $|\vec{a}|=|\vec{b}|$.

c) $\vec{a},\vec{b}$ cùng phương với nhau.

Lời giải

a) Ta có: $\vec{a}=\left(\frac{1}{2};-5\right),\vec{b}=(x;-4);\vec{a}\perp \vec{b}\iff \frac{1}{2}x+(-5)(-4)=0\iff x=-40$.

b) Ta có: $|\vec{a}|=|\vec{b}|\iff \sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{(-5)}^2}=\sqrt{x^2+{(-4)}^2}\iff \sqrt{x^2+16}=\frac{\sqrt{101}}{2}$ $\iff x^2+16=\frac{101}{4}\iff x=\pm \frac{\sqrt{37}}{2}$.

c) Ta có: $\vec{a},\vec{b}$ cùng phương khi và chỉ khi $\frac{x}{\frac{1}{2}}=\frac{-4}{-5}\iff x=\frac{2}{5}$.

Bài 4. Tìm tham số $m$ để góc giữa hai đường thẳng ${\Delta }_1:\{\begin{array}{c}x=-1+mt\\ y=9+t\end{array}$, ${\Delta }_2:x+my-4=0$ bằng ${60}^{\circ }$.

Lời giải

Hai đường thẳng đã cho có cặp vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_1=(1;-m),{\vec{n}}_2=(1;m)$.

Ta có: $\cos \left({\Delta }_1,{\Delta }_2\right)=\frac{\left|{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2\right|}{\left|{\vec{n}}_1\right|\cdot \left|{\vec{n}}_2\right|}=\frac{\left|1-m^2\right|}{\sqrt{1+m^2}\cdot \sqrt{1+m^2}}=\cos {60}^{\circ }\Rightarrow \frac{\left|1-m^2\right|}{1+m^2}=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow 2\left|1-m^2\right|=1+m^2\Rightarrow [\begin{array}{c}2(1-m^2)=1+m^2\\ 2(1-m^2)=-1-m^2\end{array}\Rightarrow [\begin{array}{c}3m^2=1\\ m^2=3\end{array}\Rightarrow m=\pm \sqrt{3}\vee m=\pm \sqrt{\frac{1}{3}}.$

Vậy $m=\pm \sqrt{3}\vee m=\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ thỏa mãn đề bài.