Đề thi giữa kì 2 Toán 10 - Đề số 6
Đề bài
Câu 1 : Cho bảng dữ liệu sau thống kê về doanh thu mỗi tháng của một cửa hàng trong 6 tháng cuối năm 2021:
Hãy cho biết doanh thu của cửa hàng trong tháng 11?
-
A.
40,8.
-
B.
30,4.
-
C.
70,6.
-
D.
50,2.
Câu 2 : Tìm tập xác định D của hàm số y=x−1x+2.
-
A.
D=R∖{2}.
-
B.
D=R∖{−2}.
-
C.
D=R.
-
D.
D=[2;+∞).
Câu 3 : Hàm số nào sau đây là hàm số bậc hai?
-
A.
y=x3+5x−7.
-
B.
y=x2−4x+3.
-
C.
y=1x2+3x−1.
-
D.
y=1x2+3x−1.
Câu 4 : Parabol y=x2+4x−5 có trục đối xứng là đường thẳng:
-
A.
x = -4.
-
B.
x = -2.
-
C.
x = 4.
-
D.
x = 2.
Câu 5 : Cho hàm số y=f(x)=ax2+bx+c có đồ thị như hình vẽ. Đặt Δ=b2−4ac, tìm dấu của a và Δ.
-
A.
a<0,Δ=0.
-
B.
a>0,Δ=0.
-
C.
a<0,Δ>0.
-
D.
a>0,Δ>0.
Câu 6 : Bảng xét dấu sau đây là của tam thức bậc hai nào?
-
A.
x2−x−6.
-
B.
x2−x+6.
-
C.
−x2+x+6.
-
D.
x2+x+6.
Câu 7 : Tập nghiệm của bất phương trình x2−x−12≥0 là
-
A.
(−3;4).
-
B.
(−∞;−3)∪(4;+∞).
-
C.
[−3;4].
-
D.
(−∞;−3]∪[4;+∞).
Câu 8 : Số nghiệm nguyên dương của phương trình √x2−3x=√x−3 là
-
A.
1.
-
B.
2.
-
C.
3.
-
D.
0.
Câu 9 : Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, một vectơ chỉ phương của đường thẳng là:
-
A.
.
-
B.
.
-
C.
.
-
D.
.
Câu 10 : Cho đường thẳng d có phương trình tham số: . Phương trình tổng quát của đường thẳng d là
-
A.
.
-
B.
.
-
C.
.
-
D.
.
Câu 11 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng và . Xét vị trí tương đối của và .
-
A.
và cắt nhau và vuông góc.
-
B.
và song song.
-
C.
và cắt nhau và không vuông góc.
-
D.
và trùng nhau.
Câu 12 : Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng được tính theo công thức
-
A.
-
B.
-
C.
-
D.
Câu 1 : Cho hàm số . Mỗi kết quả dưới đây đúng hay sai?
a) f(0) = -1.
b) Tập xác định .
c) Phương trình f(x) = x – 1 có 1 nghiệm duy nhất.
d) Tồn tại 4 số nguyên x để f(x) là nguyên.
Câu 2 : Trong hệ toạ độ Oxy cho vectơ và đường thẳng . Các mệnh đề sau đây là đúng hay sai?
a) Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng là .
b) Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng là: x + 2y – 5 = 0.
c) Toạ độ của điểm A là A(1; 2).
d) Vectơ pháp tuyến của đường thẳng có toạ độ là (2; -1).
Câu 1 : Một người cao 1,7 m đang chơi cầu lông. Trái cầu được đánh lên ở vị trí ngang đầu của người đánh. Giả sử quỹ đạo bay của quả cầu là một parabol. Tìm vị trí cao nhất của quả cầu (đơn vị: mét; kết quả làm tròn đến hàng phần trăm) biết rằng, sau khoảng thời gian 7,5 giây thì quả cầu ở vị trí ngang đầu của người đánh và sau 8,9 giây thì trái cầu chạm đất.
Câu 2 : Một chú thỏ ngày nào cũng ra bờ suối ở vị trí A, cách cửa hang của mình tại vị trí B là 370 m để uống nước, sau đó chú thỏ sẽ đến vị trí C cách vị trí A 120 m để ăn cỏ rồi trở về hang. Tuy nhiên, hôm nay sau khi uống nước ở bờ suối, chú thỏ không đến vị trí C như mọi ngày mà chạy đến vị trí D để tìm cà rốt rồi mới trở về hang (xem hình bên dưới). Biết rằng, tổng thời gian chú thỏ chạy từ vị trí A đến vị trí D rồi về hang là 30 giây (không kể thời gian tìm cà rốt), trên đoạn AD chú thỏ chạy với vận tốc là 13 m/s, trên đoạn BD chú thỏ chạy với vận tốc là 15 m/s. Tính khoảng cách giữa hai vị trí C và D (đơn vị: mét).
Câu 3 : Cho tam giác ABC có A(2; -1), B(4; 5), C(-3; 2). Giả sử phương trình tổng quát đường cao AH của tam giác ABC là ax + 3y + b = 0. Tính a – b.
Câu 4 : Có hai con tàu A, B xuất phát từ hai bến, chuyển động theo đường thẳng ngoài biển. Trên màn hình ra-đa của trạm điều khiển (xem như mặt phẳng tọa độ Oxy với đơn vị trên các trục tính bằng ki-lô-mét), tại thời điểm (giờ), vị trí của tàu có tọa độ được xác định bởi công thức vị trí tàu B có tọa độ là (4 - 30t; 3 - 40t). Sau bao lâu kể từ thời điểm xuất phát, hai tàu gần nhau nhất (đơn vị: giờ, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
Lời giải và đáp án
Câu 1 : Cho bảng dữ liệu sau thống kê về doanh thu mỗi tháng của một cửa hàng trong 6 tháng cuối năm 2021:
Hãy cho biết doanh thu của cửa hàng trong tháng 11?
-
A.
40,8.
-
B.
30,4.
-
C.
70,6.
-
D.
50,2.
Đáp án : D
Quan sát bảng dữ liệu và nhận xét.
Doanh thu của cửa hàng tháng 11 là 50,2 triệu đồng.
Câu 2 : Tìm tập xác định của hàm số .
-
A.
-
B.
-
C.
-
D.
Đáp án : B
Tìm ĐKXĐ của hàm số rồi kết luận TXĐ.
ĐKXĐ: .
Câu 3 : Hàm số nào sau đây là hàm số bậc hai?
-
A.
.
-
B.
.
-
C.
.
-
D.
.
Đáp án : B
Hàm số bậc hai có dạng .
là hàm số bậc hai.
Câu 4 : Parabol có trục đối xứng là đường thẳng:
-
A.
x = -4.
-
B.
x = -2.
-
C.
x = 4.
-
D.
x = 2.
Đáp án : B
Trục đối xứng của đồ thị hàm số có phương trình .
Parabol có trục đối xứng là đường thẳng .
Câu 5 : Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Đặt , tìm dấu của a và .
-
A.
.
-
B.
.
-
C.
.
-
D.
.
Đáp án : D
Xét dấu của a dựa vào hướng bề lõm của đồ thị, xét dấu của dựa vào số giao điểm với trục hoành.
Đồ thị hướng bề lõm lên trên, cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt nên .
Câu 6 : Bảng xét dấu sau đây là của tam thức bậc hai nào?
-
A.
.
-
B.
.
-
C.
.
-
D.
.
Đáp án : A
Áp dụng quy tắc "trong trái, ngoài cùng".
Theo bảng xét dấu, f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt là x = -2 và x = 3. Ta loại đáp án B và D.
Theo quy tắc “trong trái, ngoài cùng”, ta suy ra hệ số a > 0. Loại đáp án C.
Câu 7 : Tập nghiệm của bất phương trình là
-
A.
-
B.
-
C.
-
D.
Đáp án : D
Áp dụng quy tắc xét dấu của bất phương trình bậc hai.
.
Câu 8 : Số nghiệm nguyên dương của phương trình là
-
A.
1.
-
B.
2.
-
C.
3.
-
D.
0.
Đáp án : A
Bình phương hai vế.
.
Câu 9 : Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, một vectơ chỉ phương của đường thẳng là:
-
A.
.
-
B.
.
-
C.
.
-
D.
.
Đáp án : C
Từ phương trình tham số , ta xác định được vecto chỉ phương .
Một vectơ chỉ phương của đường thẳng là .
Câu 10 : Cho đường thẳng d có phương trình tham số: . Phương trình tổng quát của đường thẳng d là
-
A.
.
-
B.
.
-
C.
.
-
D.
.
Đáp án : C
Từ phương trình tham số, xác định VTCP của d và 1 điểm thuộc d, từ đó suy ra VTPT của d và viết phương trình tổng quát.
d có một VTCP là nên suy ra một VTPT là .
d đi qua điểm M(5; -9), nhận làm VTPT nên có phương trình tổng quát:
.
Câu 11 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng và . Xét vị trí tương đối của và .
-
A.
và cắt nhau và vuông góc.
-
B.
và song song.
-
C.
và cắt nhau và không vuông góc.
-
D.
và trùng nhau.
Đáp án : D
Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai đường thẳng và lần lượt có vectơ chỉ phương là , . Khi đó:
a) cắt khi và chỉ khi , không cùng phương.
b) song song với khi và chỉ khi , cùng phương và có một điểm thuộc một đường thẳng mà không thuộc đường thẳng còn lại.
c) trùng với khi và chỉ khi , cùng phương và có một điểm thuộc cả hai đường thẳng đó.
Do nên và trùng nhau.
Câu 12 : Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng được tính theo công thức
-
A.
-
B.
-
C.
-
D.
Đáp án : D
Nhớ lại công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng.
Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng được tính theo công
thức .
Câu 1 : Cho hàm số . Mỗi kết quả dưới đây đúng hay sai?
a) f(0) = -1.
b) Tập xác định .
c) Phương trình f(x) = x – 1 có 1 nghiệm duy nhất.
d) Tồn tại 4 số nguyên x để f(x) là nguyên.
a) f(0) = -1.
b) Tập xác định .
c) Phương trình f(x) = x – 1 có 1 nghiệm duy nhất.
d) Tồn tại 4 số nguyên x để f(x) là nguyên.
a) Thay x = 0 vào hàm số rồi tính.
b) Tìm ĐKXĐ của hàm số.
c) Giải phương trình.
d) Biến đổi f(x) về dạng với a, b nguyên.
f(x) nguyên khi nguyên, hay x + 1 là ước của b. Tìm các giá trị x nguyên thỏa mãn.
a) Đúng. .
b) Đúng. ĐKXĐ: . Vậy .
c) Sai.
Suy ra x = 0 (TM) hoặc x = 1 (TM).
Vậy phương trình f(x) = x – 1 có 2 nghiệm là x = 0 và x = 1.
d) Đúng. .
f(x) nguyên khi và chỉ khi nguyên, hay x + 1 là ước của 2.
Khi đó .
Vậy tồn tại 4 số nguyên x để f(x) là nguyên.
Câu 2 : Trong hệ toạ độ Oxy cho vectơ và đường thẳng . Các mệnh đề sau đây là đúng hay sai?
a) Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng là .
b) Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng là: x + 2y – 5 = 0.
c) Toạ độ của điểm A là A(1; 2).
d) Vectơ pháp tuyến của đường thẳng có toạ độ là (2; -1).
a) Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng là .
b) Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng là: x + 2y – 5 = 0.
c) Toạ độ của điểm A là A(1; 2).
d) Vectơ pháp tuyến của đường thẳng có toạ độ là (2; -1).
a) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng có phương trình () và điểm . Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng , kí hiệu là , được tính bởi công thức sau:
.
b) Vecto pháp tuyến của đường thẳng cần tìm vuông góc với vecto pháp tuyến của .
c) Toạ độ của vecto là toạ độ của điểm M.
d) Từ phương trình tổng quát , ta xác định được vecto pháp tuyến .
a) Đúng. .
.
b) Đúng. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng có toạ độ là (2; -1), do đó vecto pháp tuyến của đường thẳng vuông góc với có tọa độ là (1; 2). Phương trình đường thẳng cần tìm là:
.
c) Đúng. Toạ độ của điểm A là A(1; 2).
d) Đúng. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng có toạ độ là (2; -1).
Câu 1 : Một người cao 1,7 m đang chơi cầu lông. Trái cầu được đánh lên ở vị trí ngang đầu của người đánh. Giả sử quỹ đạo bay của quả cầu là một parabol. Tìm vị trí cao nhất của quả cầu (đơn vị: mét; kết quả làm tròn đến hàng phần trăm) biết rằng, sau khoảng thời gian 7,5 giây thì quả cầu ở vị trí ngang đầu của người đánh và sau 8,9 giây thì trái cầu chạm đất.
Chọn hệ trục tọa độ ở vị trí phù hợp. Tìm phương trình của parabol, từ đó tính được vị trí cao nhất của quả cầu.
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với góc tọa độ O là vị trí đứng của người chơi.
Gọi .
Trái cầu ban đầu được đánh lên ở vị trí ngang đầu của người đánh cao 1,7 m nên:
(1)
Sau khoảng thời gian 7,5 giây thì quả cầu ở vị trí ngang đầu của người đánh nên:
(2)
Sau 8,9 giây thì trái cầu chạm đất nên:
(3)
Từ (1), (2), (3) ta có hệ phương trình:
Suy ra: .
Khi đó điểm cao nhất mà quả cầu có thể đạt tới chính là tung độ của đỉnh m.
Câu 2 : Một chú thỏ ngày nào cũng ra bờ suối ở vị trí A, cách cửa hang của mình tại vị trí B là 370 m để uống nước, sau đó chú thỏ sẽ đến vị trí C cách vị trí A 120 m để ăn cỏ rồi trở về hang. Tuy nhiên, hôm nay sau khi uống nước ở bờ suối, chú thỏ không đến vị trí C như mọi ngày mà chạy đến vị trí D để tìm cà rốt rồi mới trở về hang (xem hình bên dưới). Biết rằng, tổng thời gian chú thỏ chạy từ vị trí A đến vị trí D rồi về hang là 30 giây (không kể thời gian tìm cà rốt), trên đoạn AD chú thỏ chạy với vận tốc là 13 m/s, trên đoạn BD chú thỏ chạy với vận tốc là 15 m/s. Tính khoảng cách giữa hai vị trí C và D (đơn vị: mét).
Gọi thời gian chú thỏ chạy trên đoạn AD là x. Biểu diễn độ dài CD theo x, ứng dụng giải phương trình quy về phương trình bậc hai để tìm x.
Gọi thời gian chú thỏ chạy trên đoạn AD là x (0 < x < 30) (giây), khi đó thời gian chú thỏ chạy trên đoạn BD là 30 - x (giây). Do đó, quãng đường AD và BD lần lượt là 13x (m) và 15(30 - x) (m).
Độ dài quãng đường BC là:
(m).
Tam giác ACD vuông tại C nên:
(m).
Mặt khác, CD = BC - BD = 350 - 15(30 - x) (m).
Do đó, ta có: .
Giải phương trình này và kết hợp với điều kiện 0 < x < 30, ta nhận x = 10 (giây).
Vậy khoảng cách giữa vị trí C và vị trí D là: 350 - 15(30 - 10) = 50 (m).
Câu 3 : Cho tam giác ABC có A(2; -1), B(4; 5), C(-3; 2). Giả sử phương trình tổng quát đường cao AH của tam giác ABC là ax + 3y + b = 0. Tính a – b.
Lập phương trình đường thẳng AH đi qua A và nhận làm vectơ pháp tuyến.
AH đi qua A(2; -1) và nhận làm vectơ pháp tuyến, vì vậy phương trình tổng quát của AH là: 7(x - 2) + 3(y + 1) = 0 hay 7x + 3y - 11 = 0.
Vậy a – b = 7 – (-11) = 18.
Câu 4 : Có hai con tàu A, B xuất phát từ hai bến, chuyển động theo đường thẳng ngoài biển. Trên màn hình ra-đa của trạm điều khiển (xem như mặt phẳng tọa độ Oxy với đơn vị trên các trục tính bằng ki-lô-mét), tại thời điểm (giờ), vị trí của tàu có tọa độ được xác định bởi công thức vị trí tàu B có tọa độ là (4 - 30t; 3 - 40t). Sau bao lâu kể từ thời điểm xuất phát, hai tàu gần nhau nhất (đơn vị: giờ, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
Xác định vị trí của hai tàu và tính khoảng cách giữa hai tàu theo t. Tìm t để khoảng cách đó nhỏ nhất.
Tại thời điểm t, vị trí tàu A là M(3 - 33t; -4 + 25t), vị trí của tàu B là N(4 - 30t; 3 - 40t).
Ta có
.
MN nhỏ nhất khi hàm bậc hai đạt giá trị nhỏ nhất, lúc đó:
(giờ).
Áp dụng quy tắc xét dấu tam thức bậc hai.
Ta có
Bảng xét dấu:
Suy ra và .
Áp dụng quy tắc xét dấu của tam thức bậc hai.
.
Ta có: ,
.
Đường thẳng đi qua và nhận làm vecto pháp tuyến có phương trình là .
Ta có .
Vecto pháp tuyến của đường thẳng đi qua A(1; 2) và B(3; 1) là
Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng là: (x - 1) + 2(y - 2) = 0 hay x + 2y - 5 = 0.