Đề thi giữa kì 2 Toán 10 - Đề số 7

Câu 1 : Cho hàm số $f (x) = \sqrt{5 x + 1}$ . Giá trị f(3) bằng:

A.

4.
B.

Không xác định.
C.

16.
D.

3.

Câu 2 : Hàm số $y = 3 x^{2} + x - 4$ có tập xác định là:

A.

$D = R ∖ {3} .$
B.

$D = [1; + \infty) .$
C.

$D = R .$
D.

$D = R ∖ {1} .$

Câu 3 : Hàm số nào dưới đây là hàm số bậc hai?

A.

$y = (x^{2} - 4 x + 1) (x + 2)$ .
B.

$y = \frac{2 x}{x + 2}$ .
C.

$y = - 2 x^{2} + 3 x + 1$ .
D.

$y = 3 x + 5$ .

Câu 4 : Parabol $(P) : y = 3 x^{2} - 2 x + 1$ có đỉnh I là:

A.

$I (- \frac{1}{3}; \frac{2}{3})$ .
B.

$I (\frac{1}{3}; \frac{2}{3})$ .
C.

$I (\frac{1}{3}; - \frac{2}{3})$ .
D.

$I (\frac{1}{3}; \frac{3}{2})$ .

Câu 5 : Cho đồ thị của hàm số bậc hai $f (x)$ như hình vẽ:

A graph of a function

Description automatically generated

Nghiệm của bất phương trình $f (x) > 0$ là

A.

$x \in (- \infty; 0) \cup (2; + \infty)$ .
B.

$x \in (0; 2)$ .
C.

$x \in (2; + \infty)$ .
D.

$x \in R$ .

Câu 6 : Bảng xét dấu nào dưới đây là bảng xét dấu của tam thức bậc hai $f (x) = - x^{2} + 3 x + 4$ ?

A.
B.
C.
D.

Câu 7 : Tập nghiệm của bất phương trình $- x^{2} - 5 x + 6 \geq 0$ là

A.

$S = (- \infty; - 6] .$
B.

$S = [1; + \infty) .$
C.

$S = [- 6; 1] .$
D.

$S = (- \infty; - 6] \cup [1; + \infty) .$

Câu 8 : Tập nghiệm của phương trình $\sqrt{3 - x} = \sqrt{x + 1}$ là

A.

S = {2}.
B.

S = {3}.
C.

S = {1}.
D.

S = {-1}.

Câu 9 : Vectơ pháp tuyến của đường thẳng $Δ : 4 x - 7 y + 1 = 0$ có tọa độ là:

A.

$\vec{n} = (- 7; 4)$ .
B.

$\vec{n} = (4; - 7)$ .
C.

$\vec{n} = (7; 4)$ .
D.

$\vec{n} = (4; 7)$ .

Câu 10 : Phương trình tham số của đường thẳng (d) đi qua điểm $M (- 2; 3)$ và có một vectơ chỉ phương $\vec{u} (3; - 4)$ là

A.

${\begin{cases} x = - 2 + 3 t \\ y = 3 - 4 t \end{cases}$ .
B.

${\begin{cases} x = - 2 + 3 t \\ y = 3 + 4 t \end{cases}$ .
C.

${\begin{cases} x = 5 + 4 t \\ y = 6 - 3 t \end{cases}$ .
D.

${\begin{cases} x = - 2 + 4 t \\ y = 3 + 3 t \end{cases}$ .

Câu 11 : Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng d: 3x – 6y – 9 = 0 và d’: x – 2y + 3 = 0.

A.

Cắt nhau nhưng không vuông góc.
B.

Trùng nhau.
C.

Song song với nhau.
D.

Cắt nhau và vuông góc.

Câu 12 : Trong mặt phẳng $O x y,$ khoảng cách từ điểm $M (- 2; 1)$ đến đường thẳng $Δ : 3 x - 4 y - 10 = 0$ là

A.

$5.$
B.

$2.$
C.

$3.$
D.

$4.$

Câu 1 : Quan sát đồ thị hàm số bậc hai $y = f (x) = a x^{2} + b x + c$ ở hình vẽ sau:

Khi đó, các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Parabol có toạ độ đỉnh I(2; -1), trục đối xứng x = 2.

Đúng

Sai

b) Khi $x \in (- \infty; 1) \cup (3; + \infty)$ thì f(x) > 0.

Đúng

Sai

c) Hàm số đồng biến trên khoảng $(- \infty; 2)$ ; nghịch biến trên khoảng $(2; + \infty)$ .

Đúng

Sai

d) Hệ số a > 0.

Đúng

Sai

Câu 2 : Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng $Δ$ đi qua hai điểm A(5; 0), B(0; -2) và đường thẳng $d : {\begin{cases} x = 1 - 3 t \\ y = 5 + 4 t \end{cases}$ . Khi đó:

a) Phương trình tổng quát của $Δ$ là 2x – 5y – 10 = 0.

Đúng

Sai

b) $Δ$ cắt d.

Đúng

Sai

c) Gọi góc giữa hai đường thẳng $Δ$ và d là $α$ . Ta có $50^{o} < α < 70^{o}$ .

Đúng

Sai

d) Khoảng cách từ điểm A(5; 0) đến đường thẳng d bằng $\frac{1}{5}$ .

Đúng

Sai

Câu 1 : Trong một công trình, người ta xây dựng một cổng ra vào hình parabol (minh họa ở Hình 13) sao cho khoảng cách giữa hai chân cổng BC là 9 m. Từ một điểm M trên thân cổng người ta đo được khoảng cách tới mặt đất là MK = 1,6 m và khoảng cách từ K tới chân cổng gần nhất là BK = 0,5 m. Tính chiều cao của cổng theo đơn vị mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Câu 2 : Người ta làm ra một cái thang bắc lên tầng hai của một ngôi nhà (hình vẽ), muốn vậy họ cần làm một thanh đỡ BC có chiều dài bằng 4 m, đồng thời muốn đảm bảo kỹ thuật thì tỉ số độ dài $\frac{C E}{B D} = \frac{5}{3}$ . Hỏi vị trí A cách vị trí B bao nhiêu mét?

Câu 3 : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình thoi ABCD có A(0; 2), B(4; 3), giao điểm hai đường chéo nằm trên đường thẳng $Δ : x - 3 y = 0$ . Khi đó có bao nhiêu điểm C có tọa độ nguyên?

Câu 4 : Có hai con tàu A, B xuất phát từ hai bến, chuyển động theo đường thẳng ngoài biển. Trên màn hình ra-đa của trạm điều khiển (xem như mặt phẳng tọa độ Oxy với đơn vị trên các trục tính bằng ki-lô-met), tại thời điểm t (giờ), vị trí của tàu A có tọa độ được xác định bởi công thức ${\begin{cases} x = 3 - 33 t \\ y = - 4 + 25 t \end{cases}$ ; vị trí tàu B có tọa độ là (4 - 30t; 3 - 40t). Nếu tàu A đứng yên ở vị trí ban đầu, tàu B chạy thì khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu bằng bao nhiêu kilômét?

Câu 1 : Xét dấu tam thức $2 x^{2} - 6 x + \frac{9}{2}$ .

Câu 2 : Tìm m để $f (x) = - x^{2} + 2 (m - 3) x - 9 < 0$ với mọi x.

Câu 3 : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai điểm M(-2; 3), N(4; -1). Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn MN và sau đó viết phương trình đường trung trục của đoạn MN.

Câu 1 : Cho hàm số $f (x) = \sqrt{5 x + 1}$ . Giá trị f(3) bằng:

A.

4.
B.

Không xác định.
C.

16.
D.

3.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Thay x = 3 vào công thức hàm số.

Lời giải chi tiết :

$f (3) = \sqrt{5.3 + 1} = 4$ .

Câu 2 : Hàm số $y = 3 x^{2} + x - 4$ có tập xác định là:

A.

$D = R ∖ {3} .$
B.

$D = [1; + \infty) .$
C.

$D = R .$
D.

$D = R ∖ {1} .$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Hàm đa thức có tập xác định là $D = R$ .

Lời giải chi tiết :

Hàm số $y = 3 x^{2} + x - 4$ có tập xác định là $D = R$ .

Câu 3 : Hàm số nào dưới đây là hàm số bậc hai?

A.

$y = (x^{2} - 4 x + 1) (x + 2)$ .
B.

$y = \frac{2 x}{x + 2}$ .
C.

$y = - 2 x^{2} + 3 x + 1$ .
D.

$y = 3 x + 5$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Hàm số bậc hai có dạng $y = a x^{2} + b x + c$ .

Lời giải chi tiết :

$y = - 2 x^{2} + 3 x + 1$ là hàm số bậc hai.

Câu 4 : Parabol $(P) : y = 3 x^{2} - 2 x + 1$ có đỉnh I là:

A.

$I (- \frac{1}{3}; \frac{2}{3})$ .
B.

$I (\frac{1}{3}; \frac{2}{3})$ .
C.

$I (\frac{1}{3}; - \frac{2}{3})$ .
D.

$I (\frac{1}{3}; \frac{3}{2})$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Tọa độ đỉnh của parabol $(P) : y = a x^{2} + b x + c$ là $I (- \frac{b}{2 a}; f (- \frac{b}{2 a}))$ .

Lời giải chi tiết :

$x_{I} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{- 2}{2.3} = \frac{1}{3} \Rightarrow y_{I} = 3. {(\frac{1}{3})}^{2} - 2. \frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}$ .

Câu 5 : Cho đồ thị của hàm số bậc hai $f (x)$ như hình vẽ:

A graph of a function

Description automatically generated

Nghiệm của bất phương trình $f (x) > 0$ là

A.

$x \in (- \infty; 0) \cup (2; + \infty)$ .
B.

$x \in (0; 2)$ .
C.

$x \in (2; + \infty)$ .
D.

$x \in R$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Quan sát đồ thị.

Lời giải chi tiết :

Nghiệm của bất phương trình $f (x) > 0$ là là các giá trị của x sao cho đồ thị nằm phía trên trục hoành.

Do đó nghiệm là $x \in (- \infty; 0) \cup (2; + \infty)$ .

Câu 6 : Bảng xét dấu nào dưới đây là bảng xét dấu của tam thức bậc hai $f (x) = - x^{2} + 3 x + 4$ ?

A.
B.
C.
D.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Áp dụng quy tắc xét dấu của tam thức bậc hai.

Lời giải chi tiết :

Tam thức bậc hai f(x) có nghiệm x = -1 và x = 4.

Hệ số của $x^{2}$ là -1 < 0 nên tam thức mang dấu âm ngoài khoảng (1; 4), mang dấu dương trong khoảng (1; 4).

Câu 7 : Tập nghiệm của bất phương trình $- x^{2} - 5 x + 6 \geq 0$ là

A.

$S = (- \infty; - 6] .$
B.

$S = [1; + \infty) .$
C.

$S = [- 6; 1] .$
D.

$S = (- \infty; - 6] \cup [1; + \infty) .$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Áp dụng quy tắc “trong trái, ngoài cùng”.

Lời giải chi tiết :

$- x^{2} - 5 x + 6 \geq 0 \Leftrightarrow - 6 \leq x \leq 1$ .

Câu 8 : Tập nghiệm của phương trình $\sqrt{3 - x} = \sqrt{x + 1}$ là

A.

S = {2}.
B.

S = {3}.
C.

S = {1}.
D.

S = {-1}.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Tìm ĐKXĐ của hàm số và bình phương hai vế để giải.

Lời giải chi tiết :

$\sqrt{3 - x} = \sqrt{x + 1} \Leftrightarrow {\begin{cases} 3 - x > 0 \\ 3 - x = x + 1 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x < 3 \\ x = 1 \end{cases} \Leftrightarrow x = 1$ .

Câu 9 : Vectơ pháp tuyến của đường thẳng $Δ : 4 x - 7 y + 1 = 0$ có tọa độ là:

A.

$\vec{n} = (- 7; 4)$ .
B.

$\vec{n} = (4; - 7)$ .
C.

$\vec{n} = (7; 4)$ .
D.

$\vec{n} = (4; 7)$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Đường thẳng ax + by + c = 0 có một vecto pháp tuyến là $\vec{n} = (a; b)$ .

Lời giải chi tiết :

Vecto pháp tuyến của $Δ$ là $\vec{n} = (4; - 7)$ .

Câu 10 : Phương trình tham số của đường thẳng (d) đi qua điểm $M (- 2; 3)$ và có một vectơ chỉ phương $\vec{u} (3; - 4)$ là

A.

${\begin{cases} x = - 2 + 3 t \\ y = 3 - 4 t \end{cases}$ .
B.

${\begin{cases} x = - 2 + 3 t \\ y = 3 + 4 t \end{cases}$ .
C.

${\begin{cases} x = 5 + 4 t \\ y = 6 - 3 t \end{cases}$ .
D.

${\begin{cases} x = - 2 + 4 t \\ y = 3 + 3 t \end{cases}$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua $M (x_{0}; y_{0})$ , nhận $\vec{u} = (a; b)$ làm vecto chỉ phương là ${\begin{cases} x = x_{0} + a t \\ y = y_{0} + b t \end{cases}$ $(t \in Z)$ .

Lời giải chi tiết :

Phương trình tham số của đường thẳng (d) đi qua điểm $M (- 2; 3)$ và có một vectơ chỉ phương $\vec{u} (3; - 4)$ là ${\begin{cases} x = - 2 + 3 t \\ y = 3 - 4 t \end{cases}$ .

Chú ý

null

Câu 11 : Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng d: 3x – 6y – 9 = 0 và d’: x – 2y + 3 = 0.

A.

Cắt nhau nhưng không vuông góc.
B.

Trùng nhau.
C.

Song song với nhau.
D.

Cắt nhau và vuông góc.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Xét tỉ lệ các hệ số tương ứng của phương trình đường thẳng.

Lời giải chi tiết :

Ta có $\frac{3}{1} = \frac{- 6}{- 2} \neq \frac{- 9}{3}$ nên d và d’ song song với nhau.

Câu 12 : Trong mặt phẳng $O x y,$ khoảng cách từ điểm $M (- 2; 1)$ đến đường thẳng $Δ : 3 x - 4 y - 10 = 0$ là

A.

$5.$
B.

$2.$
C.

$3.$
D.

$4.$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm $M (x_{M}; y_{M})$ đến đường thẳng $Δ : a x + b y + c = 0$ :

$d (M, Δ) = \frac{| a x_{M} + b y_{M} + c |}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ .

Lời giải chi tiết :

$d (M, Δ) = \frac{| 3. (- 2) - 4.1 - 10 |}{\sqrt{3^{2} + {(- 4)}^{2}}} = 4$ .

Câu 1 : Quan sát đồ thị hàm số bậc hai $y = f (x) = a x^{2} + b x + c$ ở hình vẽ sau:

Khi đó, các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Parabol có toạ độ đỉnh I(2; -1), trục đối xứng x = 2.

Đúng

Sai

b) Khi $x \in (- \infty; 1) \cup (3; + \infty)$ thì f(x) > 0.

Đúng

Sai

c) Hàm số đồng biến trên khoảng $(- \infty; 2)$ ; nghịch biến trên khoảng $(2; + \infty)$ .

Đúng

Sai

d) Hệ số a > 0.

Đúng

Sai

Đáp án

a) Parabol có toạ độ đỉnh I(2; -1), trục đối xứng x = 2.

Đúng

Sai

b) Khi $x \in (- \infty; 1) \cup (3; + \infty)$ thì f(x) > 0.

Đúng

Sai

c) Hàm số đồng biến trên khoảng $(- \infty; 2)$ ; nghịch biến trên khoảng $(2; + \infty)$ .

Đúng

Sai

d) Hệ số a > 0.

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Quan sát đặc điểm của đồ thị và trả lời.

Lời giải chi tiết :

a) Đúng. Parabol có toạ độ đỉnh I(2; -1), trục đối xứng x = 2.

b) Đúng. Khi $x \in (- \infty; 1) \cup (3; + \infty)$ thì đồ thị nằm phía trên của trục hoành, do đó f(x) > 0.

c) Sai. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(- \infty; 2)$ ; đồng biến trên khoảng $(2; + \infty)$ .

d) Đúng. Đồ thị có bề lõm hướng lên trên nên hệ số a > 0.

Câu 2 : Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng $Δ$ đi qua hai điểm A(5; 0), B(0; -2) và đường thẳng $d : {\begin{cases} x = 1 - 3 t \\ y = 5 + 4 t \end{cases}$ . Khi đó:

a) Phương trình tổng quát của $Δ$ là 2x – 5y – 10 = 0.

Đúng

Sai

b) $Δ$ cắt d.

Đúng

Sai

c) Gọi góc giữa hai đường thẳng $Δ$ và d là $α$ . Ta có $50^{o} < α < 70^{o}$ .

Đúng

Sai

d) Khoảng cách từ điểm A(5; 0) đến đường thẳng d bằng $\frac{1}{5}$ .

Đúng

Sai

Đáp án

a) Phương trình tổng quát của $Δ$ là 2x – 5y – 10 = 0.

Đúng

Sai

b) $Δ$ cắt d.

Đúng

Sai

c) Gọi góc giữa hai đường thẳng $Δ$ và d là $α$ . Ta có $50^{o} < α < 70^{o}$ .

Đúng

Sai

d) Khoảng cách từ điểm A(5; 0) đến đường thẳng d bằng $\frac{1}{5}$ .

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Áp dụng biểu thức tọa độ các phép toán vecto trong mặt phẳng.

Lời giải chi tiết :

a) Đúng. $\vec{A B} = (- 5; - 2)$ là một VTCP của $Δ$ , từ đó ta có một VTPT của $Δ$ là $\vec{n_{Δ}} = (2; - 5)$ .

$Δ$ : $2 (x - 5) - 5 (y - 0) = 0 \Leftrightarrow 2 x - 5 y - 10 = 0$ .

b) Đúng. d có một VTCP là $\vec{u} = (- 3; 4)$ , từ đó suy ra một VTPT của d là $\vec{n_{d}} = (4; 3)$ .

Vì $\vec{n_{Δ}} = (2; - 5)$ và $\vec{n_{d}} = (4; 3)$ không cùng phương nên $Δ$ và d cắt nhau.

c) Sai. $\cos α = \frac{| 2.4 - 5.3 |}{\sqrt{2^{2} + {(- 5)}^{2}} . \sqrt{4^{2} + 3^{2}}} = \frac{7}{5 \sqrt{29}} \Rightarrow α \approx 75^{o} > 70^{o}$ .

d) Đúng. Phương trình tổng quát của đường thẳng d là:

$4 (x - 1) + 3 (y - 5) = 0 \Leftrightarrow 4 x + 3 y - 19 = 0$ .

$d (A, d) = \frac{| 4.5 + 3.0 - 19 |}{\sqrt{4^{2} + 3^{2}}} = \frac{1}{5}$ .

Câu 1 : Trong một công trình, người ta xây dựng một cổng ra vào hình parabol (minh họa ở Hình 13) sao cho khoảng cách giữa hai chân cổng BC là 9 m. Từ một điểm M trên thân cổng người ta đo được khoảng cách tới mặt đất là MK = 1,6 m và khoảng cách từ K tới chân cổng gần nhất là BK = 0,5 m. Tính chiều cao của cổng theo đơn vị mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Phương pháp giải :

Gắn hệ trục tọa độ cho cổng parabol, lập phương trình parabol thể hiện cổng, từ đó tính chiều cao cổng.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ:

Tọa độ các điểm lần lượt là: B(– 4,5; 0); C(4,5; 0).

Vì BK = 0,5 m nên OK = 4,5 – 0,5 = 4 m. Do đó M(4; 1,6).

Cổng có hình parabol nên gọi phương trình hàm số là $y = a x^{2} + b x + c$ (a ≠ 0) (1).

Điểm B thuộc parabol nên thay tọa độ điểm B vào (1) ta được:

$a (- 4, 5)^{2} + b (- 4, 5) + c = 0 \Leftrightarrow 20, 25 a - 4, 5 b + c = 0$ (2).

Điểm C thuộc parabol nên thay tọa độ điểm C vào (1) ta được:

$a (4, 5)^{2} + b (4, 5) + c = 0 \Leftrightarrow 20, 25 a + 4, 5 b + c = 0$ (3).

Điểm M thuộc parabol nên thay tọa độ điểm M vào (1) ta được:

$1, 6 = a {.4}^{2} + b .4 + c \Leftrightarrow 16 a + 4 b + c = 0$ (4).

Từ (2), (3) và (4) ta có hệ:

${\begin{matrix} 20, 25 - 4, 5 b + c = 0 \\ 20, 25 + 4, 5 b + c = 0 \\ 16 a + 4 b + c = 1, 6 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} a = - \frac{32}{85} \\ b = 0 \\ c = \frac{648}{85} \end{matrix}$

Suy ra parabol cần tìm là $y = \frac{- 32}{85} x^{2} + \frac{648}{85}$ .

Điểm N là điểm đỉnh của parabol thuộc vào trục tung Oy nên hoành độ điểm N bằng 0.

Thay x = 0 vào hàm số ta được $y = \frac{648}{85}$ , đó cũng chính là chiều cao của cổng.

Vậy chiều cao của cổng khoảng 7,6 m.

Câu 2 : Người ta làm ra một cái thang bắc lên tầng hai của một ngôi nhà (hình vẽ), muốn vậy họ cần làm một thanh đỡ BC có chiều dài bằng 4 m, đồng thời muốn đảm bảo kỹ thuật thì tỉ số độ dài $\frac{C E}{B D} = \frac{5}{3}$ . Hỏi vị trí A cách vị trí B bao nhiêu mét?

Phương pháp giải :

Áp dụng định lí Thales, ứng dụng giải phương trình quy về phương trình bậc hai để tính.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Đặt AB = x > 0. Xét tam giác ABC vuông tại B có:

$A C = \sqrt{x^{2} + 4^{2}} = \sqrt{x^{2} + 16}$ .

Theo tính chất định lí Ta-lét, ta có:

$\frac{A C}{A B} = \frac{C E}{B D} \Leftrightarrow \frac{\sqrt{x^{2} + 16}}{x} = \frac{5}{3}$

$\Leftrightarrow 3 \sqrt{x^{2} + 16} = 5 x$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} 5 x \geq 0 \\ 9 (x^{2} + 16) = 25 x^{2} \end{cases}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} x \geq 0 \\ 16 x^{2} = 144 \end{cases}$

$\Leftrightarrow x = 3$ .

Vậy hai vị trí A, B cách nhau 3 m.

Câu 3 : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình thoi ABCD có A(0; 2), B(4; 3), giao điểm hai đường chéo nằm trên đường thẳng $Δ : x - 3 y = 0$ . Khi đó có bao nhiêu điểm C có tọa độ nguyên?

Phương pháp giải :

Biểu diễn tọa độ điểm I, $\vec{I A}$ , $\vec{I A}$ theo t. Vì ABCD là hình thoi nên $\vec{I A} . \vec{I B} = 0$ , tìm t và kết luận tọa độ điểm C.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Gọi I là giao điểm của hai đường chéo. Vì I thuộc $Δ$ nên giả sử I(3t; t).

Khi đó IA = (-3t; 2 - t), IB = (4 - 3t; 3 - t).

Vì tứ giác ABCD là hình thoi nên $\vec{I A} . \vec{I B} = 0$

$\Leftrightarrow (- 3 t) (4 - 3 t) + (2 - t) (3 - t) = 0$

$\Leftrightarrow 10 t^{2} - 17 t + 6 = 0$ .

Suy ra $t = \frac{1}{2}$ hoặc $t = \frac{6}{5}$ .

Với $t = \frac{1}{2}$ ta có:

$I (\frac{3}{2}; \frac{1}{2}) \Rightarrow C (3; - 1)$ (nhận).

Với $t = \frac{6}{5}$ ta có:

$I (\frac{18}{5}; \frac{6}{5}) \Rightarrow C (\frac{36}{5}; \frac{2}{5})$ (loại).

Vậy có 1 điểm C có tọa độ nguyên.

Câu 4 : Có hai con tàu A, B xuất phát từ hai bến, chuyển động theo đường thẳng ngoài biển. Trên màn hình ra-đa của trạm điều khiển (xem như mặt phẳng tọa độ Oxy với đơn vị trên các trục tính bằng ki-lô-met), tại thời điểm t (giờ), vị trí của tàu A có tọa độ được xác định bởi công thức ${\begin{cases} x = 3 - 33 t \\ y = - 4 + 25 t \end{cases}$ ; vị trí tàu B có tọa độ là (4 - 30t; 3 - 40t). Nếu tàu A đứng yên ở vị trí ban đầu, tàu B chạy thì khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu bằng bao nhiêu kilômét?

Phương pháp giải :

Biểu diễn vị trí tàu B và tính khoảng cách giữa hai tàu theo t. Tìm t để khoảng cách đó nhỏ nhất.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Khi tàu A đứng yên, vị trí ban đầu của nó có tọa độ P(3; -4); vị trí tàu B ứng với thời gian t là Q(4 - 30t; 3 - 40t).

$P Q = \sqrt{(1 - 30 t)^{2} + (7 - 40 t)^{2}}$

$= \sqrt{2500 t^{2} - 620 t + 50}$ .

Đoạn PQ ngắn nhất ứng với:

$t = - \frac{b}{2 a} = - \frac{620}{2.2500} = - \frac{31}{500} = 0, 124$ (giờ).

$P Q_{min} = \sqrt{2500 . (0, 124)^{2} - 620 . (0, 124) + 50}$

$= \frac{17}{5} = 3, 4$ (km).

Câu 1 : Xét dấu tam thức $2 x^{2} - 6 x + \frac{9}{2}$ .

Phương pháp giải :

Áp dụng quy tắc xét dấu tam thức bậc hai.

Lời giải chi tiết :

Ta có $Δ = 0$ , nghiệm kép $x_{0} = \frac{3}{2}$ và hệ số a = 2 > 0 nên $2 x^{2} - 6 x + \frac{9}{2} > 0$ $\forall x \in R ∖ {\frac{3}{2}}$ .

Câu 2 : Tìm m để $f (x) = - x^{2} + 2 (m - 3) x - 9 < 0$ với mọi x.

Phương pháp giải :

Áp dụng quy tắc xét dấu của tam thức bậc hai.

Lời giải chi tiết :

YCĐB $\Leftrightarrow {\begin{cases} Δ^{'} < 0 \\ a < 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} (m - 3)^{2} - 9 \\ a = - 1 < 0 \end{cases} \Leftrightarrow m^{2} - 6 m < 0 \Leftrightarrow 0 < m < 6$ .

Câu 3 : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai điểm M(-2; 3), N(4; -1). Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn MN và sau đó viết phương trình đường trung trục của đoạn MN.

Phương pháp giải :

Nếu $M (x_{M}; y_{M})$ là trung điểm đoạn thẳng AB thì $x_{M} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2}$ ; $y_{M} = \frac{y_{A} + y_{B}}{2}$ .

Đường thẳng $Δ$ đi qua $M_{0} (x_{0}; y_{0})$ và nhận $\vec{n} = (a; b)$ làm vecto pháp tuyến có phương trình là $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) = 0$ .

Lời giải chi tiết :

I là trung điểm MN $\Rightarrow I (1; 1)$ .

Phương trình đường trung trực của đoạn $M N$ qua $I (1; 1)$ nhận $\vec{M N} = (6; - 4)$ là vectơ pháp tuyến có dạng:

$6 (x - 1) - 4 (y - 1) = 0 \Leftrightarrow 3 x - 2 y - 1 = 0$ .