Đề thi giữa kì 2 Toán 10 - Đề số 8

Câu 1 : Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị như hình vẽ. Khi đó $f (0)$ bằng

A.

$- 3$ .
B.

$4$ .
C.

$2$ .
D.

$1$ .

Câu 2 : Tìm tập xác định D của hàm số $y = \frac{2 x - 5}{x + 2}$ .

A.

$D = (- \infty; 2)$ .
B.

$D = R ∖ {- 2}$ .
C.

$D = (2; + \infty)$ .
D.

$D = R$ .

Câu 3 : Hàm số nào sau đây là hàm số bậc hai?

A.

$y = x^{2} - 2 x + 1.$
B.

$y = \frac{x - 1}{2 x + 3} .$
C.

$y = - x^{3} - x + 3.$
D.

$\sqrt{x^{2} - x + 3} .$

Câu 4 : Parabol $y = - x^{2} + 2 x - 3$ có tọa độ đỉnh là

A.

$I (2; - 3)$ .
B.

$I (1; 2)$ .
C.

$I (1; - 2)$ .
D.

$I (- 1; - 6)$ .

Câu 5 : Dựa vào đồ thị hàm số (Hình), $f (x) = x^{2} - 3 x + 2$ , tìm x để $f (x) > 0$ .

A.

$R$ .
B.

$(- \infty; 1) \cup (2; + \infty)$ .
C.

$(- \infty; 1] \cup [2; + \infty)$ .
D.

$[1; 2]$ .

Câu 6 : Bảng xét dấu sau là của tam thức bậc hai nào?

A.

$f (x) = 3 x^{2} + 2 x - 5.$
B.

$f (x) = x^{2} - 5 x + 4.$
C.

$f (x) = x^{2} + 2 x - 5.$
D.

$f (x) = - x^{2} + 5 x - 4.$

Câu 7 : Tìm tập nghiệm của bất phương trình $- 2 x^{2} + 3 x - 7 \geq 0$ .

A.

$S = R$ .
B.

$S = 0$ .
C.

$S = {0}$ .
D.

$S = \emptyset$ .

Câu 8 : Tập nghiệm của phương trình $\sqrt{2 x^{2} - 6 x + 4} = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ là

A.

$S = {1}$ .
B.

$S = {1; 3}$ .
C.

$S = \emptyset$ .
D.

$S = {3}$ .

Câu 9 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d có phương trình -2x + 3y + 5 = 0. Xác định một vectơ pháp tuyến của đường thẳng d.

A.

$⃗ n = (- 3; 2)$ .
B.

$⃗ n = (- 2; 3)$ .
C.

$⃗ n = (3; 2)$ .
D.

$⃗ n = (2; 3)$ .

Câu 10 : Trong mặt phẳng $O x y$ , phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $A (- 2; 1)$ và nhận $⃗ u = (- 1; 3)$ làm véctơ chỉ phương là

A.

${\begin{matrix} x = 2 - t y = - 1 + 3 t \end{matrix} .$
B.

${\begin{matrix} x = - 2 - t y = 1 + 3 t \end{matrix} .$
C.

${\begin{matrix} x = - 1 - 2 t y = 3 + t \end{matrix} .$
D.

${\begin{matrix} x = 1 - 2 t y = - 3 + t \end{matrix} .$

Câu 11 : Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng $d_{1}$ : 3x - 2y - 6 = 0 và $d_{2}$ : ${\begin{matrix} x = 1 + 2 t y = - 1 + 6 t \end{matrix} (t \in R)$ .

A.

Trùng nhau.
B.

Song song.
C.

Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.
D.

Vuông góc với nhau.

Câu 12 : Khoảng cách từ điểm $A (1; 3)$ đến đường thẳng $Δ : 3 x + 4 y - 5 = 0$ là

A.

1.
B.

2.
C.

3.
D.

4.

Câu 1 : Cho hàm số bậc hai $y = a x^{2} + b x + c$ (P) có đồ thị như hình vẽ. Biết thêm giao điểm của đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm có tung độ bằng 2.

A graph of a function

Description automatically generated

a) (P) có tung độ đỉnh bằng 2.

Đúng

Sai

b) $\forall x < 0 \Rightarrow y > 2$ .

Đúng

Sai

c) (P) cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ trái dấu.

Đúng

Sai

d) (P) đi qua điểm $M (3; \frac{- 1}{4})$ .

Đúng

Sai

Câu 2 : Trong mặt phẳng toạ độ, cho đường thẳng $Δ_{1} : 2 x - y + 3 = 0$ và $Δ_{2} : 5 x + y - 1 = 0$ .

Xét tính đúng - sai của các khẳng định sau:

a) $Δ_{1}$ có một véctơ pháp tuyến là $⃗ n (2; - 1)$ .

Đúng

Sai

b) $Δ_{2}$ có một véctơ chỉ phương là $⃗ u (5; 1)$ .

Đúng

Sai

c) Côsin góc giữa hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ bằng $\frac{9 \sqrt{130}}{130}$ .

Đúng

Sai

d) Điểm $M (x_{0}; y_{0})$ (hoành độ là số nguyên) thuộc đường thẳng $Δ_{2}$ . Biết khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng $Δ_{1}$ bằng $\sqrt{5}$ . Giá trị $x_{0} + y_{0} = - \frac{5}{7}$ .

Đúng

Sai

Câu 1 : Một cửa hàng nhập vào một loại máy tính xách tay với giá 15 triệu đồng và bán ra với giá 18 triệu đồng. Với giá bán này, một tháng cửa hàng đó bán được 20 cái máy tính xách tay. Cửa hàng dự định giảm giá bán, ước tính nếu cứ giảm giá bán mỗi máy 500.000 đồng thì số máy tính bán được trong một tháng tăng thêm 5 cái. Xác định giá bán mỗi cái máy tính để lợi nhuận thu được là cao nhất (đơn vị: triệu đồng).

Câu 2 : Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng cách AB = 6 km. Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng là 15 km. Để nhận lương thực và các nhu yếu phẩm mỗi tháng người canh hải đăng phải đi xuống máy từ A đến bến tàu M trên bờ biển với vận tốc 10 km/h rồi đi xe gắn máy đến C với vận tốc 30 km/h (xem hình vẽ).

Tính tổng quãng đường (km) người đó phải đi, biết rằng thời gian đi từ A đến C là 1 giờ 14 phút.

Câu 3 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng $Δ : {\begin{matrix} x = 3 + 2 t y = - t \end{matrix}$ và điểm A(3; 10). Điểm M(a; b) thuộc đường thẳng $Δ$ sao cho đoạn thẳng AM ngắn nhất. Tính S = a + b.

Câu 4 : Một chiếc Phà chở khách qua sông từ điểm A(3; 4) đến điểm B(3; 50) bên kia sông. Nhưng vì có gió và nước chảy mạnh nên chiếc Phà qua bên kia sông tại điểm C(38; 50). Góc lệch của con thuyền với lúc dự tính ban đầu là bao nhiêu độ? Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị.

Câu 1 : Xét dấu tam thức $3 x^{2} - 2 x - 8$ .

Câu 2 : Tìm m sao cho: $- x^{2} + 2 (m + 1) x - m^{2} + m < 0$ với mọi $x \in R$ .

Câu 3 : Trong mặt phẳng $O x y$ , cho đường thẳng d có phương trình $y = - 2 x + 3$ . Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d.

Câu 1 : Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị như hình vẽ. Khi đó $f (0)$ bằng

A.

$- 3$ .
B.

$4$ .
C.

$2$ .
D.

$1$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Quan sát hình vẽ.

Lời giải chi tiết :

f(0) = -3.

Câu 2 : Tìm tập xác định D của hàm số $y = \frac{2 x - 5}{x + 2}$ .

A.

$D = (- \infty; 2)$ .
B.

$D = R ∖ {- 2}$ .
C.

$D = (2; + \infty)$ .
D.

$D = R$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Tìm ĐKXĐ của hàm số.

Lời giải chi tiết :

ĐKXĐ: $x + 2 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq - 2$ .

Vậy $D = R ∖ {- 2}$ .

Câu 3 : Hàm số nào sau đây là hàm số bậc hai?

A.

$y = x^{2} - 2 x + 1.$
B.

$y = \frac{x - 1}{2 x + 3} .$
C.

$y = - x^{3} - x + 3.$
D.

$\sqrt{x^{2} - x + 3} .$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Hàm số bậc hai có dạng $y = a x^{2} + b x + c$ .

Lời giải chi tiết :

$y = x^{2} - 2 x + 1$ là hàm số bậc hai.

Câu 4 : Parabol $y = - x^{2} + 2 x - 3$ có tọa độ đỉnh là

A.

$I (2; - 3)$ .
B.

$I (1; 2)$ .
C.

$I (1; - 2)$ .
D.

$I (- 1; - 6)$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Hoành độ đỉnh parabol là $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ .

Tọa độ đỉnh parabol là $(x_{0}; f (x_{0}))$ .

Lời giải chi tiết :

Hoành độ đỉnh parabol là $x_{0} = - \frac{2}{2. (- 1)} = 1$ .

Tọa độ đỉnh parabol là $(1; - 2)$ .

Câu 5 : Dựa vào đồ thị hàm số (Hình), $f (x) = x^{2} - 3 x + 2$ , tìm x để $f (x) > 0$ .

A.

$R$ .
B.

$(- \infty; 1) \cup (2; + \infty)$ .
C.

$(- \infty; 1] \cup [2; + \infty)$ .
D.

$[1; 2]$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Quan sát đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết :

$f (x) > 0$ khi $x \in (- \infty; 1) \cup (2; + \infty)$ .

Câu 6 : Bảng xét dấu sau là của tam thức bậc hai nào?

A.

$f (x) = 3 x^{2} + 2 x - 5.$
B.

$f (x) = x^{2} - 5 x + 4.$
C.

$f (x) = x^{2} + 2 x - 5.$
D.

$f (x) = - x^{2} + 5 x - 4.$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Áp dụng quy tắc xét dấu của tam thức bậc hai.

Lời giải chi tiết :

Bảng xét dấu sau là của tam thức bậc hai $f (x) = - x^{2} + 5 x - 4$ vì tam thức trên có hai nghiệm x = 1, x = 4 và xét dấu đúng với quy tắc trong trái ngoài cùng.

Câu 7 : Tìm tập nghiệm của bất phương trình $- 2 x^{2} + 3 x - 7 \geq 0$ .

A.

$S = R$ .
B.

$S = 0$ .
C.

$S = {0}$ .
D.

$S = \emptyset$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng quy tắc xét dấu của tam thức bậc hai.

Lời giải chi tiết :

$- 2 x^{2} + 3 x - 7 = 0$ vô nghiệm vì $Δ < 0$ , mặt khác a = -2 < 0 nên tam thức bậc hai $- 2 x^{2} + 3 x - 7$ luôn âm với mọi x. Vậy bất phương trình $- 2 x^{2} + 3 x - 7 \geq 0$ vô nghiệm.

Câu 8 : Tập nghiệm của phương trình $\sqrt{2 x^{2} - 6 x + 4} = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ là

A.

$S = {1}$ .
B.

$S = {1; 3}$ .
C.

$S = \emptyset$ .
D.

$S = {3}$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Bình phương hai vế, giải phương trình rồi thay các giá trị x tìm được vào phương trình ban đầu để kết luận nghiệm.

Lời giải chi tiết :

$\sqrt{2 x^{2} - 6 x + 4} = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$

$2 x^{2} - 6 x + 4 = x^{2} - 2 x + 1$

$x^{2} - 4 x + 3 = 0$ .

Suy ra x = 1 hoặc x = 3. Thay vào phương trình ban đầu thấy đều thỏa mãn.

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1 và x = 3.

Câu 9 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d có phương trình -2x + 3y + 5 = 0. Xác định một vectơ pháp tuyến của đường thẳng d.

A.

$⃗ n = (- 3; 2)$ .
B.

$⃗ n = (- 2; 3)$ .
C.

$⃗ n = (3; 2)$ .
D.

$⃗ n = (2; 3)$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Từ phương trình tổng quát $a x + b y + c = 0$ , ta xác định được vecto pháp tuyến $\to n = (a; b)$ .

Lời giải chi tiết :

Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là $\to n = (- 2; 3)$ .

Câu 10 : Trong mặt phẳng $O x y$ , phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $A (- 2; 1)$ và nhận $⃗ u = (- 1; 3)$ làm véctơ chỉ phương là

A.

${\begin{matrix} x = 2 - t y = - 1 + 3 t \end{matrix} .$
B.

${\begin{matrix} x = - 2 - t y = 1 + 3 t \end{matrix} .$
C.

${\begin{matrix} x = - 1 - 2 t y = 3 + t \end{matrix} .$
D.

${\begin{matrix} x = 1 - 2 t y = - 3 + t \end{matrix} .$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Trong mặt phẳng $O x y$ , phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $A (x_{0}; y_{0})$ và nhận $⃗ u = (a; b)$ làm véctơ chỉ phương là ${\begin{matrix} x = x_{0} + a t y = y_{0} + b t \end{matrix}$ .

Lời giải chi tiết :

Trong mặt phẳng , phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm và nhận làm véctơ chỉ phương là .

Câu 11 : Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng : 3x - 2y - 6 = 0 và : .

A.

Trùng nhau.
B.

Song song.
C.

Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.
D.

Vuông góc với nhau.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Dựa vào vecto pháp tuyến của hai đường thẳng.

Lời giải chi tiết :

Vecto pháp tuyến của hai đường thẳng lần lượt là và .

Vì nên hai đường thẳng cắt nhau.

Tích vô hướng của hai vecto pháp tuyến trên không bằng nhau nên chúng không vuông góc.

Câu 12 : Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng là

A.

1.
B.

2.
C.

3.
D.

4.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng là:

.

Lời giải chi tiết :

Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng bằng:

.

Câu 1 : Cho hàm số bậc hai (P) có đồ thị như hình vẽ. Biết thêm giao điểm của đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm có tung độ bằng 2.

A graph of a function

Description automatically generated

a) (P) có tung độ đỉnh bằng 2.

Đúng

Sai

b) .

Đúng

Sai

c) (P) cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ trái dấu.

Đúng

Sai

d) (P) đi qua điểm .

Đúng

Sai

Đáp án

a) (P) có tung độ đỉnh bằng 2.

Đúng

Sai

b) .

Đúng

Sai

c) (P) cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ trái dấu.

Đúng

Sai

d) (P) đi qua điểm .

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Quan sát đồ thị và trả lời. Từ các điểm thuộc đồ thị, tìm hệ số a, b, c. Thay tọa độ điểm M vào phương trình của (P), nếu thỏa mãn thì (P) đi qua M.

Lời giải chi tiết :

a) Sai. (P) có tung độ đỉnh bằng 2.

b) Đúng. .

c) Sai. (P) cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ trái dấu.

d) Đúng. (P) đi qua điểm có tọa độ (0; 2) và đỉnh có tọa độ (2; -1), ta có hệ:

.

Ta có . Vậy (P) đi qua M.

Chú ý

null

Câu 2 : Trong mặt phẳng toạ độ, cho đường thẳng và .

Xét tính đúng - sai của các khẳng định sau:

a) có một véctơ pháp tuyến là .

Đúng

Sai

b) có một véctơ chỉ phương là .

Đúng

Sai

c) Côsin góc giữa hai đường thẳng và bằng .

Đúng

Sai

d) Điểm (hoành độ là số nguyên) thuộc đường thẳng . Biết khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng bằng . Giá trị .

Đúng

Sai

Đáp án

a) có một véctơ pháp tuyến là .

Đúng

Sai

b) có một véctơ chỉ phương là .

Đúng

Sai

c) Côsin góc giữa hai đường thẳng và bằng .

Đúng

Sai

d) Điểm (hoành độ là số nguyên) thuộc đường thẳng . Biết khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng bằng . Giá trị .

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Áp dụng các công thức liên quan đến phương trình đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ.

Lời giải chi tiết :

a) Đúng. có một véctơ pháp tuyến là .

b) Sai. là một vecto pháp tuyến của .

c) Đúng.

.

d) Sai. M thuộc nên ta có .

Vì hoành độ M nguyên nên .

Vậy .

Câu 1 : Một cửa hàng nhập vào một loại máy tính xách tay với giá 15 triệu đồng và bán ra với giá 18 triệu đồng. Với giá bán này, một tháng cửa hàng đó bán được 20 cái máy tính xách tay. Cửa hàng dự định giảm giá bán, ước tính nếu cứ giảm giá bán mỗi máy 500.000 đồng thì số máy tính bán được trong một tháng tăng thêm 5 cái. Xác định giá bán mỗi cái máy tính để lợi nhuận thu được là cao nhất (đơn vị: triệu đồng).

Phương pháp giải :

Gọi số lần giảm giá là .

Biểu diễn lợi nhuận f(x) của cửa hàng theo .

Tìm để f(x) đạt giá trị lớn nhất.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Gọi số lần giảm giá là .

Giá bán một máy tính khi đó là (triệu đồng).

Số máy tính bán được là (chiếc).

Doanh thu trong một tháng là:

(triệu đồng).

Chi phí nhập máy tính là:

(triệu đồng).

Lợi nhuận của cửa hàng là:

.

Lợi nhuận lớn là là giá trị lớn nhất của f(x).

Đồ thị f(x) là một parabol có bề lõm hướng xuống dưới (vì a = -2,5 < 0), do đó giá trị lớn nhất của f(x) là tung độ đỉnh của parabol.

Hoành độ đỉnh parabol là:

.

Vậy khi x = 1 hay giá bán mỗi máy tính là 17,5 triệu đồng thì lợi nhuận thu được là lớn nhất.

Câu 2 : Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng cách AB = 6 km. Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng là 15 km. Để nhận lương thực và các nhu yếu phẩm mỗi tháng người canh hải đăng phải đi xuống máy từ A đến bến tàu M trên bờ biển với vận tốc 10 km/h rồi đi xe gắn máy đến C với vận tốc 30 km/h (xem hình vẽ).

Tính tổng quãng đường (km) người đó phải đi, biết rằng thời gian đi từ A đến C là 1 giờ 14 phút.

Phương pháp giải :

Gọi AM = x. Tính thời gian người đó đi theo x và ứng dụng giải phương trình quy về phương trình bậc hai để giải.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Ta có 1 giờ 14 phút = giờ. Gọi AM = x (km; x > 6).

Suy ra thời gian đi từ A đến M là (giờ).

Khi đó và (km).

Thời gian đi từ M đến C là (giờ).

Theo giả thiết ta có phương trình:

.

Giải phương trình ta được x = 10 (km).

Do đó tổng quãng đường phải đi là:

(km).

Câu 3 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng và điểm A(3; 10). Điểm M(a; b) thuộc đường thẳng sao cho đoạn thẳng AM ngắn nhất. Tính S = a + b.

Phương pháp giải :

Biểu diễn tọa độ điểm M và độ dài AM theo t. Tìm t để AM nhỏ nhất.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

.

Vậy AM ngắn nhất là khi

.

Câu 4 : Một chiếc Phà chở khách qua sông từ điểm A(3; 4) đến điểm B(3; 50) bên kia sông. Nhưng vì có gió và nước chảy mạnh nên chiếc Phà qua bên kia sông tại điểm C(38; 50). Góc lệch của con thuyền với lúc dự tính ban đầu là bao nhiêu độ? Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị.

Phương pháp giải :

Tìm vectơ pháp tuyến của AB, AC và áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

, suy ra vectơ pháp tuyến của AB là .

, suy ra vectơ pháp tuyến của AC là: .

.

Câu 1 : Xét dấu tam thức .

Phương pháp giải :

Áp dụng quy tắc xét dấu tam thức bậc hai.

Lời giải chi tiết :

Ta có

Bảng xét dấu:

Suy ra và .

Câu 2 : Tìm m sao cho: với mọi .

Phương pháp giải :

Áp dụng quy tắc xét dấu tam thức bậc hai để giải.

Lời giải chi tiết :

Xét tam thức bậc hai có:

và .

Để với mọi thì suy ra .

Câu 3 : Trong mặt phẳng , cho đường thẳng d có phương trình . Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d.

Phương pháp giải :

+ Phương trình tổng quát đường thẳng đi qua nhận là vecto pháp tuyến là:

+ Phương trình tham số của đường thẳng đi qua , nhận là vecto chỉ phương:

Lời giải chi tiết :

+ Phương trình phương trình tổng quát

+ Phương trình có vetor pháp tuyến là

Phương trình d có và đi qua điểm

Suy ra, phương trình tham số của đường thẳng d: