Đề thi giữa kì 2 Toán 10

Đề bài

Phần trắc nghiệm (7 điểm)

Câu 1: Tập xác định của hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\) là:

A. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { \pm 1} \right\}\).

B. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

C. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

D. \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Câu 2: Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)?

A. \(y = x\).

B. \(y =  - 2x\).

C. \(y = 2x\).

D. \(y = \frac{1}{2}x\)

Câu 3: Cho hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {2{x^2} + 1} \). Giá trị \(f\left( { - 2} \right)\) bằng

A. \( - 3\).

B. \(3\).

C. \(4\).

D. Không xác định.

Câu 4: Khoảng đồng biến của hàm số \(y = {x^2} - 4x + 3\)là

A. \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\).

B. \(\left( { - \infty ;2} \right)\).

C. \(\left( { - 2; + \infty } \right)\).

D. \(\left( {2; + \infty } \right)\).

Câu 5: Trục đối xứng của đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\), \((a \ne 0)\) là đường thẳng nào dưới đây?

A. \(x =  - \frac{b}{{2a}}.\)

B. \(x =  - \frac{c}{{2a}}.\)

C. \(x =  - \frac{\Delta }{{4a}}.\)

D. \(x = \frac{b}{{2a}}\).

Câu 6: Cho parabol \(y = a{x^2} + bx + c\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Khẳng định nào dưới đây đúng?

 

A. \(a > 0.\)

B. \(a < 0.\)

C. \(a = 1.\)

D. \(a = 2.\)

Câu 7: Cho \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\), \(\left( {a \ne 0} \right)\) và \(\Delta  = {b^2} - 4ac\). Cho biết dấu của \(\Delta \) khi \(f\left( x \right)\) luôn cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

A. \(\Delta  < 0\).

B. \(\Delta  = 0\).

C. \(\Delta  > 0\).

D. \(\Delta  \ge 0\).

Câu 8: Tập nghiệm \(S\) của bất phương trình \({x^2} - x - 6 \le 0\).

A. \(S = \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( {2: + \infty } \right)\).

B. \(\left[ { - 2;3} \right]\).

C. \(\left[ { - 3;2} \right]\).

D. \(\left( { - \infty ; - 3} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\).

Câu 9: Tìm tập nghiệm \(S\) của bất phương trình \({x^2} - 4x + 4 > 0\).

A. \(S = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).

B. \(S = \mathbb{R}\).

C. \(S = \left( {2; + \infty } \right)\).

D. \(S = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\).

Câu 10: Phương trình \(\sqrt {x - 1}  = x - 3\) có tập nghiệm là

A. \(S = \left\{ 5 \right\}\).

B. \(S = \left\{ {2;5} \right\}\).

C. \(S = \left\{ 2 \right\}\).

D. \(S = \emptyset \).

Câu 11: Số nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} - 4x + 3}  = \sqrt {1 - x} \)là

A. Vô số.

B. 2.

C. 1.

D. 0.

Câu 12: Trong mặt phẳng \(Oxy\), đường thẳng \(\left( d \right):\,\,ax + by + c = 0,\,\,\,\left( {{a^2} + {b^2} \ne 0} \right)\). Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\left( d \right)\)?

A. \(\overrightarrow n  = \left( {a; - b} \right)\).

B. \(\overrightarrow n  = \left( {b;a} \right)\).

C. \(\overrightarrow n  = \left( {b; - a} \right)\).

D. \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\).

Câu 13: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( {2; - 1} \right)\) và \(B\left( {2;5} \right)\) là

A. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y =  - 6t\end{array} \right.\).

B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 5 + 6t\end{array} \right.\).

C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2 + 6t\end{array} \right.\).

D. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y =  - 1 + 6t\end{array} \right.\).

Câu 14: Trong mặt phẳng \(Oxy\), đường thẳng \(d:\,x - 2y - 1 = 0\) song song với đường thẳng có phương trình nào sau đây?

A. \(x + 2y + 1 = 0\).

B. \(2x - y = 0\).

C. \( - x + 2y + 1 = 0\).

D. \( - 2x + 4y - 1 = 0\).

Câu 15: Tính góc giữa hai đường thẳng \(\Delta :x - \sqrt 3 y + 2 = 0\) và \(\Delta ':x + \sqrt 3 y - 1 = 0\).

A. \({90^ \circ }\).

B. \({120^ \circ }\).

C. \({60^ \circ }\).

D. \({30^ \circ }\).

Câu 16: Khoảng cách từ điểm \(M\left( {5\,;\, - 1} \right)\) đến đường thẳng \(3x + 2y + 13 = 0\) là:

A. \(2\sqrt {13} \).

B. \(\frac{{28}}{{\sqrt {13} }}\).

C. \(26\).

D. \(\frac{{\sqrt {13} }}{2}\).

Câu 17: Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn?

A. \({x^2} + {y^2} - 6x - 10y + 30 = 0\).

B. \({x^2} + {y^2} - 3x - 2y + 30 = 0\).

C. \(4{x^2} + {y^2} - 10x - 6y - 2 = 0\).

D. \({x^2} + 2{y^2} - 4x - 8y + 1 = 0\).

Câu 18: Phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn tâm \(I\left( { - 1;2} \right)\), bán kính bằng \(3\)?

A. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 9\).

B. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 9\).

C. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9\).

D. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9\).

Câu 19: Đường elip \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{7} = 1\) cắt trục tung tại hai điểm \({B_1}\), \({B_2}\). Độ dài \({B_1}{B_2}\) bằng

A. \(2\sqrt 7 \).

B. \(\sqrt 7 \).

C. \(3\).

D. \(6\).

Câu 20: Tọa độ các tiêu điểm của hypebol \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{3} = 1\) là

A. \({F_1} = \left( { - 5;0} \right);{F_2} = \left( {5;0} \right)\).

B. \({F_1} = \left( {0; - 5} \right);{F_2} = \left( {0;5} \right)\).

C. \({F_1} = \left( {0; - \sqrt 7 } \right);{F_2} = \left( {0;\sqrt 7 } \right)\).

D. \({F_1} = \left( { - \sqrt 7 ;0} \right);{F_2} = \left( {\sqrt 7 ;0} \right)\).

Câu 21: Tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {4 - x}  + \sqrt {x - 2} \) là

A. \(D = \left( {2;4} \right)\)

B. \(D = \left[ {2;4} \right]\)

C. \(D = \left\{ {2;4} \right\}\)

D. \(D = \left( { - \infty ;2} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right)\)

Câu 22: Cho hàm số có đồ thị như hình bên dưới.

 

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;3} \right)\).

B. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\).

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\).

D. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;3} \right)\).

Câu 23: Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x + 3{\rm{ }}\,\,\,khi{\rm{ }}x \le 2\\{x^2} - 3{\rm{ }}\,\,\,khi{\rm{ }}x > 2\end{array} \right.\) đi qua điểm có tọa độ nào sau đây ?

A. \(\left( {0; - 3} \right)\)

B. \(\left( {3;6} \right)\)

C. \(\left( {2;5} \right)\)

D. \(\left( {2;1} \right)\)

Câu 24: Cho parabol \(y = a{x^2} + bx + c\) có đồ thị như hình sau

 

Phương trình của parabol này là

A. \(y =  - {x^2} + x - 1\).

B. \(y = 2{x^2} + 4x - 1\).

C. \(y = {x^2} - 2x - 1\).

D. \(y = 2{x^2} - 4x - 1\).

Câu 25: Tọa độ giao điểm của \(\left( P \right)\,:\,y = {x^2} - 4x\) với đường thẳng \(d\,:\,y =  - x - 2\) là

A. \(M\left( {0;\, - 2} \right)\), \(N\left( {2;\, - 4} \right)\).

B. \(M\left( { - 1;\, - 1} \right)\), \(N\left( { - 2;\,0} \right)\).

C. \(M\left( {\, - 3;\,1} \right)\), \(N\left( {3;\, - 5} \right)\).

D. \(M\left( {1;\, - 3} \right)\), \(N\left( {2;\, - 4} \right)\).

Câu 26: Số nghiệm nguyên của bất phương trình \(2{x^2} - 3x - 15 \le 0\) là

A. \(6\).

B. \(5\).

C. \(8\).

D. \(7\).

Câu 27: Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để bất phương trình \({x^2} - \left( {m + 2} \right)x + 8m + 1 \le 0\) vô nghiệm.

A. \(m \in \left[ {0;28} \right]\).

B. \(m \in \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {28; + \infty } \right)\).

C. \(m \in \left( { - \infty ;0} \right] \cup \left[ {28; + \infty } \right)\).

D. \(m \in \left( {0;28} \right)\).

Câu 28: Số nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} - 3x + 1}  = 4x - 1\) là

A. \(0\).

B. \(3\).

C. \(2\).

D. \(1\).

Câu 29: Cho đường thẳng \(d\) có phương trình tham số \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + t\\y =  - 9 - 2t\end{array} \right.\). Phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) là

A. \(2x + y - 1 = 0\).

B. \( - 2x + y - 1 = 0\).

C. \(x + 2y + 1 = 0\).

D. \(2x + 3y - 1 = 0\).

Câu 30: Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( { - 2;1} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 3t\\y =  - 2 + 5t\end{array} \right.\) có phương trình tham số là:

A. \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 - 3t\\y = 1 + 5t\end{array} \right..\)

B. \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + 5t\\y = 1 + 3t\end{array} \right..\)

C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 3t\\y = 2 + 5t\end{array} \right..\)

D. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 5t\\y = 2 + 3t\end{array} \right..\)

Câu 31: Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để khoảng cách từ điểm \(A\left( { - 1;2} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta :mx + y - m + 4 = 0\) bằng \(2\sqrt 5 \).

A. \(m = 2.\)

B. \(\left[ \begin{array}{l}m =  - 2\\m = \frac{1}{2}\end{array} \right.\).

C. \(m =  - \frac{1}{2}\).

D. Không tồn tại \(m\).

Câu 32: Trong mặt phẳng \(Oxy\), đường tròn đi qua ba điểm \(A\left( {1;2} \right)\), \(B\left( {5;2} \right)\), \(C\left( {1; - 3} \right)\) có phương trình là.

A. \({x^2} + {y^2} + 25x + 19y - 49 = 0\).

B. \(2{x^2} + {y^2} - 6x + y - 3 = 0\).

C. \({x^2} + {y^2} - 6x + y - 1 = 0\).

D. \({x^2} + {y^2} - 6x + xy - 1 = 0\).

Câu 33: Trong hệ trục tọa độ \(Oxy\), cho đường tròn \(\left( C \right)\) đi qua hai điểm \(A\left( {1;\,2} \right),\,B\left( {3,\,4} \right)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta :\,3x + y - 3 = 0\), biết tâm của \(\left( C \right)\) có tọa độ là những số nguyên. Phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) là

A. \({x^2} + {y^2} - 3x - 7y + 12 = 0.\)

B. \({x^2} + {y^2} - 6x - 4y + 5 = 0.\)

C. \({x^2} + {y^2} - 8x - 2y + 7 = 0.\)

D. \({x^2} + {y^2} - 2x - 8y + 20 = 0.\)

Câu 34: Cho đường hypebol có phương trình \(\left( H \right):100{x^2} - 25{y^2} = 100\). Tiêu cự của hypebol đó là

A. \(2\sqrt {10} \).

B. \(2\sqrt {104} \).

C. \(\sqrt {10} \).

D. \(\sqrt {104} \).

Câu 35: Cho parabol \(\left( P \right):{y^2} = 8x\) có tiêu điểm là

A. \(F\left( {0;4} \right)\).

B. \(F\left( {0;2} \right)\).

C. \(F\left( {2;0} \right)\).

D. \(F\left( {4;0} \right)\).

Phần tự luận (3 điểm)

Bài 1. Một chiếc cổng hình parabol bao gồm một cửa chính hình chữ nhật ở giữa và hai cánh cửa phụ hai bên như hình vẽ. Biết chiều cao cổng parabol là 4m còn kích thước cửa ở giữa là 3m x 4m. Hãy tính khoảng cách giữa hai điểm A và B.

Bài 2. Cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {1;3} \right)\) và hai đường trung tuyến \(BM:x + 7y - 10 = 0\)và p\(CN:x - 2y + 2 = 0\). Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh \(BC\) của tam giác \(ABC\).

Bài 3. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\)để hàm số \(y = \frac{{mx}}{{\sqrt {x - m + 2}  - 1}}\)xác định trên \(\left( {0;1} \right)\).

 

Bài 4. Cho tam giác \(ABC\) biết \(H\left( {3;2} \right)\), \(G\left( {\frac{5}{3};\frac{8}{3}} \right)\) lần lượt là trực tâm và trọng tâm của tam giác, đường thẳng \(BC\) có phương trình \(x + 2y - 2 = 0\). Tìm phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\)?

 

-------- Hết --------

Lời giải

Phần trắc nghiệm

 

Câu 1. C	Câu 2. B	Câu 3. B	Câu 4. D	Câu 5. A	Câu 6. B	Câu 7. A
Câu 8. B	Câu 9. A	Câu 10. A	Câu 11. C	Câu 12. D	Câu 13. D	Câu 14. D
Câu 15. C	Câu 16. A	Câu 17. A	Câu 18. D	Câu 19. A	Câu 20. D	Câu 21. B
Câu 22. C	Câu 23. B	Câu 24. D	Câu 25. D	Câu 26. A	Câu 27. D	Câu 28. D
Câu 29. A	Câu 30. B	Câu 31. B	Câu 32. C	Câu 33. C	Câu 34. B	Câu 35. C

Câu 1: Tập xác định của hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\) là:

A. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { \pm 1} \right\}\).

B. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

C. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

D. \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Lời giải

Điều kiện xác định: \(x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1\)

Vậy tập xác định của hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\) là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)

Đáp án C.

Câu 2: Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)?

A. \(y = x\).

B. \(y =  - 2x\).

C. \(y = 2x\).

D. \(y = \frac{1}{2}x\)

Lời giải

Hàm số \(y = ax + b\) với \(a \ne 0\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(a < 0\).

Đáp án B.

Câu 3: Cho hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {2{x^2} + 1} \). Giá trị \(f\left( { - 2} \right)\) bằng

A. \( - 3\).

B. \(3\).

C. \(4\).

D. Không xác định.

Lời giải

Ta có \(f\left( { - 2} \right) = \sqrt {2.{{\left( { - 2} \right)}^2} + 1}  = 3\).

Đáp án B.

Câu 4: Khoảng đồng biến của hàm số \(y = {x^2} - 4x + 3\)là

A. \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\).

B. \(\left( { - \infty ;2} \right)\).

C. \(\left( { - 2; + \infty } \right)\).

D. \(\left( {2; + \infty } \right)\).

Lời giải

Hàm số \(y = {x^2} - 4x + 3\)có \(a = 1 > 0\) nên đồng biến trên khoảng \(\left( { - \frac{b}{{2a}}; + \infty } \right)\).

Vì vậy hàm số đồng biến trên \(\left( {2; + \infty } \right)\).

Đáp án D.

Câu 5: Trục đối xứng của đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\), \((a \ne 0)\) là đường thẳng nào dưới đây?

A. \(x =  - \frac{b}{{2a}}.\)

B. \(x =  - \frac{c}{{2a}}.\)

C. \(x =  - \frac{\Delta }{{4a}}.\)

D. \(x = \frac{b}{{2a}}\).

Lời giải

Đáp án A.

Câu 6: Cho parabol \(y = a{x^2} + bx + c\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Khẳng định nào dưới đây đúng?

 

A. \(a > 0.\)

B. \(a < 0.\)

C. \(a = 1.\)

D. \(a = 2.\)

Lời giải

Bề lõm hướng xuống \(a < 0.\)

Đáp án B.

Câu 7: Cho \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\), \(\left( {a \ne 0} \right)\) và \(\Delta  = {b^2} - 4ac\). Cho biết dấu của \(\Delta \) khi \(f\left( x \right)\) luôn cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

A. \(\Delta  < 0\).

B. \(\Delta  = 0\).

C. \(\Delta  > 0\).

D. \(\Delta  \ge 0\).

Lời giải

Theo định lý về dấu của tam thức bậc hai thì \(f\left( x \right)\) luôn cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) khi \(\Delta  < 0\).

Đáp án A.

Câu 8: Tập nghiệm \(S\) của bất phương trình \({x^2} - x - 6 \le 0\).

A. \(S = \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( {2: + \infty } \right)\).

B. \(\left[ { - 2;3} \right]\).

C. \(\left[ { - 3;2} \right]\).

D. \(\left( { - \infty ; - 3} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\).

Lời giải

Ta có: \({x^2} - x - 6 \le 0 \Leftrightarrow  - 2 \le x \le 3\).

Tập nghiệm bất phương trình là: \(S = \left[ { - 2;3} \right]\).

Đáp án B.

Câu 9: Tìm tập nghiệm \(S\) của bất phương trình \({x^2} - 4x + 4 > 0\).

A. \(S = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).

B. \(S = \mathbb{R}\).

C. \(S = \left( {2; + \infty } \right)\).

D. \(S = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\).

Lời giải

* Bảng xét dấu:

* Tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).

Đáp án A.

Câu 10: Phương trình \(\sqrt {x - 1}  = x - 3\) có tập nghiệm là

A. \(S = \left\{ 5 \right\}\).

B. \(S = \left\{ {2;5} \right\}\).

C. \(S = \left\{ 2 \right\}\).

D. \(S = \emptyset \).

Lời giải

Ta có: \(\sqrt {x - 1}  = x - 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3 \ge 0\\x - 1 = {\left( {x - 3} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\{x^2} - 7x + 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 5\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 5\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S = \left\{ 5 \right\}\).

Đáp án A.

Câu 11: Số nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} - 4x + 3}  = \sqrt {1 - x} \)là

A. Vô số.

B. 2.

C. 1.

D. 0.

Lời giải

Ta có \(\sqrt {{x^2} - 4x + 3}  = \sqrt {1 - x} \)

\( \Leftrightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l}1 - x \ge 0\\{x^2} - 4x + 3 = 1 - x\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}x \le 1\\{x^2} - 3x + 2 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l}x \le 1\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \)\(x = 1\).

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm.

Đáp án C.

Câu 12: Trong mặt phẳng \(Oxy\), đường thẳng \(\left( d \right):\,\,ax + by + c = 0,\,\,\,\left( {{a^2} + {b^2} \ne 0} \right)\). Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\left( d \right)\)?

A. \(\overrightarrow n  = \left( {a; - b} \right)\).

B. \(\overrightarrow n  = \left( {b;a} \right)\).

C. \(\overrightarrow n  = \left( {b; - a} \right)\).

D. \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\).

Lời giải

Ta có một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\left( d \right)\)là \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\).

Do đó chọn đáp án

D. \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( { - a;b} \right).\)

Đáp án D.

Câu 13: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( {2; - 1} \right)\) và \(B\left( {2;5} \right)\) là

A. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y =  - 6t\end{array} \right.\).

B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 5 + 6t\end{array} \right.\).

C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2 + 6t\end{array} \right.\).

D. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y =  - 1 + 6t\end{array} \right.\).

Lời giải

Vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB}  = \left( {0;6} \right)\).

Phương trình đường thẳng \(AB\) đi qua \(A\) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {AB}  = \left( {0;6} \right)\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y =  - 1 + 6t\end{array} \right.\)

Đáp án D.

Câu 14: Trong mặt phẳng \(Oxy\), đường thẳng \(d:\,x - 2y - 1 = 0\) song song với đường thẳng có phương trình nào sau đây?

A. \(x + 2y + 1 = 0\).

B. \(2x - y = 0\).

C. \( - x + 2y + 1 = 0\).

D. \( - 2x + 4y - 1 = 0\).

Lời giải

Ta kiểm tra lần lượt các đường thẳng

.+) Với \(d{}_1:x + 2y + 1 = 0\) có \(\frac{1}{1} \ne \frac{2}{{ - 2}} \Rightarrow d\) cắt \(d{}_1\).

.+) Với \(d{}_2:2x - y = 0\) có \(\frac{2}{1} \ne \frac{{ - 1}}{{ - 2}} \Rightarrow d\)cắt \(d{}_2\).

.+) Với \(d{}_3: - x + 2y + 1 = 0\) có \(\frac{{ - 1}}{1} = \frac{2}{{ - 2}} \ne \frac{1}{{ - 1}} \Rightarrow d\)trùng \(d{}_3\).

.+) Với \(d{}_4: - 2x + 4y - 1 = 0\) có \(\frac{1}{{ - 2}} = \frac{{ - 2}}{4} \ne \frac{{ - 1}}{{ - 1}} \Rightarrow d\) song song \(d{}_4\).

Đáp án D.

Câu 15: Tính góc giữa hai đường thẳng \(\Delta :x - \sqrt 3 y + 2 = 0\) và \(\Delta ':x + \sqrt 3 y - 1 = 0\).

A. \({90^ \circ }\).

B. \({120^ \circ }\).

C. \({60^ \circ }\).

D. \({30^ \circ }\).

Lời giải

Đường thẳng \(\Delta \) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {1; - \sqrt 3 } \right)\), đường thẳng \(\Delta '\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {n'}  = \left( {1;\sqrt 3 } \right)\).

Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai đường thẳng \(\Delta ,\Delta '.\)\(\cos \alpha  = \left| {\cos \left( {\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1 - 3} \right|}}{{\sqrt {1 + 3} .\sqrt {1 + 3} }} = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha  = {60^ \circ }\).

Đáp án C.

Câu 16: Khoảng cách từ điểm \(M\left( {5\,;\, - 1} \right)\) đến đường thẳng \(3x + 2y + 13 = 0\) là:

A. \(2\sqrt {13} \).

B. \(\frac{{28}}{{\sqrt {13} }}\).

C. \(26\).

D. \(\frac{{\sqrt {13} }}{2}\).

Lời giải

Khoảng cách \(d = \frac{{\left| {3.5 + 2.\left( { - 1} \right) + 13} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2}} }} = \frac{{26}}{{\sqrt {13} }} = 2\sqrt {13} \).

Đáp án A.

Câu 17: Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn?

A. \({x^2} + {y^2} - 6x - 10y + 30 = 0\).

B. \({x^2} + {y^2} - 3x - 2y + 30 = 0\).

C. \(4{x^2} + {y^2} - 10x - 6y - 2 = 0\).

D. \({x^2} + 2{y^2} - 4x - 8y + 1 = 0\).

Lời giải

Phương trình đường tròn đã cho có dạng: \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) là phương trình đường tròn \( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - c > 0.\)

Xét đáp án A, ta có \(a = 3,\,b = 5,\,c = 30\) \( \Rightarrow {a^2} + {b^2} - c = 4 > 0\).

Đáp án A.

Câu 18: Phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn tâm \(I\left( { - 1;2} \right)\), bán kính bằng \(3\)?

A. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 9\).

B. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 9\).

C. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9\).

D. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9\).

Lời giải

Phương trình đường tròn tâm \(I\left( { - 1;2} \right)\) và bán kính \(R = 3\) là: \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9\).

Đáp án D.

Câu 19: Đường elip \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{7} = 1\) cắt trục tung tại hai điểm \({B_1}\), \({B_2}\). Độ dài \({B_1}{B_2}\) bằng

A. \(2\sqrt 7 \).

B. \(\sqrt 7 \).

C. \(3\).

D. \(6\).

Lời giải

Ta có \(x = 0 \Rightarrow y =  \pm \sqrt 7 \).

Elip cắt trục tung tại hai điểm \({B_1}\left( {0; - \sqrt 7 } \right)\), \({B_2}\left( {0;\sqrt 7 } \right)\). Suy ra \({B_1}{B_2} = 2\sqrt 7 \).

Đáp án A.

Câu 20: Tọa độ các tiêu điểm của hypebol \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{3} = 1\) là

A. \({F_1} = \left( { - 5;0} \right);{F_2} = \left( {5;0} \right)\).

B. \({F_1} = \left( {0; - 5} \right);{F_2} = \left( {0;5} \right)\).

C. \({F_1} = \left( {0; - \sqrt 7 } \right);{F_2} = \left( {0;\sqrt 7 } \right)\).

D. \({F_1} = \left( { - \sqrt 7 ;0} \right);{F_2} = \left( {\sqrt 7 ;0} \right)\).

Lời giải

Gọi \({F_1} = \left( { - c;0} \right);{F_2} = \left( {c;0} \right)\) là hai tiêu điểm của \(\left( H \right)\).

Từ phương trình \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{3} = 1\), ta có: \({a^2} = 4\) và \({b^2} = 3\) suy ra \({c^2} = {a^2} + {b^2} = 7 \Rightarrow c = \sqrt 7 ,\left( {c > 0} \right)\).

Vậy tọa độ các tiêu điểm của \(\left( H \right)\)là \({F_1} = \left( { - \sqrt 7 ;0} \right);{F_2} = \left( {\sqrt 7 ;0} \right)\).

Đáp án D.

Câu 21: Tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {4 - x}  + \sqrt {x - 2} \) là

A. \(D = \left( {2;4} \right)\)

B. \(D = \left[ {2;4} \right]\)

C. \(D = \left\{ {2;4} \right\}\)

D. \(D = \left( { - \infty ;2} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right)\)

Lời giải

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}4 - x \ge 0\\x - 2 \ge 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 4\\x \ge 2\end{array} \right.\) suy ra TXĐ: \(D = \left[ {2;4} \right]\).

Đáp án B.

Câu 22: Cho hàm số có đồ thị như hình bên dưới.

 

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;3} \right)\).

B. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\).

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\).

D. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;3} \right)\).

Lời giải

Trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\), đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải nên hàm số nghịch biến.

Đáp án C.

Câu 23: Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x + 3{\rm{ }}\,\,\,khi{\rm{ }}x \le 2\\{x^2} - 3{\rm{ }}\,\,\,khi{\rm{ }}x > 2\end{array} \right.\) đi qua điểm có tọa độ nào sau đây ?

A. \(\left( {0; - 3} \right)\)

B. \(\left( {3;6} \right)\)

C. \(\left( {2;5} \right)\)

D. \(\left( {2;1} \right)\)

Lời giải

Thay tọa độ điểm \(\left( {0; - 3} \right)\)vào hàm số ta được : \(f\left( 0 \right) = 3 \ne  - 3\) nên loại đáp án A

Thay tọa độ điểm \(\left( {3;6} \right)\)vào hàm số ta được : \(f\left( 3 \right) = 9 - 3 = 6\), thỏa mãn nên chọn đáp án B

Đáp án B.

Câu 24: Cho parabol \(y = a{x^2} + bx + c\) có đồ thị như hình sau

 

Phương trình của parabol này là

A. \(y =  - {x^2} + x - 1\).

B. \(y = 2{x^2} + 4x - 1\).

C. \(y = {x^2} - 2x - 1\).

D. \(y = 2{x^2} - 4x - 1\).

Lời giải

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm \(\left( {0\,\,;\,\, - 1} \right)\) nên \(c =  - 1\).

Tọa độ đỉnh \(I\left( {1\,\,;\, - 3} \right)\), ta có phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{{2a}} = 1\\a{.1^2} + b.1 - 1 =  - 3\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + b = 0\\a + b =  - 2\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b =  - 4\end{array} \right.\).

Vậy parabol cần tìm là: \(y = 2{x^2} - 4x - 1\).

Đáp án D.

Câu 25: Tọa độ giao điểm của \(\left( P \right)\,:\,y = {x^2} - 4x\) với đường thẳng \(d\,:\,y =  - x - 2\) là

A. \(M\left( {0;\, - 2} \right)\), \(N\left( {2;\, - 4} \right)\).

B. \(M\left( { - 1;\, - 1} \right)\), \(N\left( { - 2;\,0} \right)\).

C. \(M\left( {\, - 3;\,1} \right)\), \(N\left( {3;\, - 5} \right)\).

D. \(M\left( {1;\, - 3} \right)\), \(N\left( {2;\, - 4} \right)\).

Lời giải

Hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(d\) là nghiệm của phương trình:

\({x^2} - 4x =  - x - 2\, \Leftrightarrow \,{x^2} - 3x + 2 = 0\, \Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\).

Vậy tọa độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(d\) là \(M\left( {1;\, - 3} \right)\), \(N\left( {2;\, - 4} \right)\).

Đáp án D.

Câu 26: Số nghiệm nguyên của bất phương trình \(2{x^2} - 3x - 15 \le 0\) là

A. \(6\).

B. \(5\).

C. \(8\).

D. \(7\).

Lời giải

Xét \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 3x - 15\).

\(f\left( x \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x = \frac{{3 \pm \sqrt {129} }}{4}\).

Ta có bảng xét dấu:

 

 Tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left[ {\frac{{3 - \sqrt {129} }}{4};\,\frac{{3 + \sqrt {129} }}{4}} \right]\).

Do đó bất phương trình có \(6\) nghiệm nguyên là \( - 2\), \( - 1\), \(0\), \(1\), \(2\), \(3\).

Đáp án A.

Câu 27: Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để bất phương trình \({x^2} - \left( {m + 2} \right)x + 8m + 1 \le 0\) vô nghiệm.

A. \(m \in \left[ {0;28} \right]\).

B. \(m \in \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {28; + \infty } \right)\).

C. \(m \in \left( { - \infty ;0} \right] \cup \left[ {28; + \infty } \right)\).

D. \(m \in \left( {0;28} \right)\).

Lời giải

Bất phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi \({\left( {m + 2} \right)^2} - 4\left( {8m + 1} \right) < 0\)\( \Leftrightarrow {m^2} - 28m < 0\) \(0 < m < 28\)

Đáp án D.

Câu 28: Số nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} - 3x + 1}  = 4x - 1\) là

A. \(0\).

B. \(3\).

C. \(2\).

D. \(1\).

Lời giải

Phương trình \(\sqrt {{x^2} - 3x + 1}  = 4x - 1\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x - 1 \ge 0\\{x^2} - 3x + 1 = {\left( {4x - 1} \right)^2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \frac{1}{4}\\15{x^2} - 5x = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \frac{1}{4}\\\left[ \begin{array}{l}x = 0\left( l \right)\\x = \frac{1}{3}\left( n \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}\).

Đáp án B.

Câu 29: Cho đường thẳng \(d\) có phương trình tham số \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + t\\y =  - 9 - 2t\end{array} \right.\). Phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) là

A. \(2x + y - 1 = 0\).

B. \( - 2x + y - 1 = 0\).

C. \(x + 2y + 1 = 0\).

D. \(2x + 3y - 1 = 0\).

Lời giải

Đường thẳng \(\left( d \right):\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + t\\y =  - 9 - 2t\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = x - 5\\y =  - 9 - 2t\end{array} \right.\)\( \Rightarrow y =  - 9 - 2\left( {x - 5} \right)\)\( \Leftrightarrow 2x + y - 1 = 0\).

Đáp án A.

Câu 30: Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( { - 2;1} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 3t\\y =  - 2 + 5t\end{array} \right.\) có phương trình tham số là:

A. \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 - 3t\\y = 1 + 5t\end{array} \right..\)

B. \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + 5t\\y = 1 + 3t\end{array} \right..\)

C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 3t\\y = 2 + 5t\end{array} \right..\)

D. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 5t\\y = 2 + 3t\end{array} \right..\)

Lời giải

\(\left\{ \begin{array}{l}M\left( { - 2;1} \right) \in d\\{{\vec u}_\Delta } = \left( { - 3;5} \right)\\d \bot \Delta \end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}M\left( { - 2;1} \right) \in d\\{{\vec n}_d} = \left( { - 3;5} \right) \to {{\vec u}_d} = \left( {5;3} \right)\end{array} \right. \to d:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + 5t\\y = 1 + 3t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right).\)

Đáp án B.

Câu 31: Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để khoảng cách từ điểm \(A\left( { - 1;2} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta :mx + y - m + 4 = 0\) bằng \(2\sqrt 5 \).

A. \(m = 2.\)

B. \(\left[ \begin{array}{l}m =  - 2\\m = \frac{1}{2}\end{array} \right.\).

C. \(m =  - \frac{1}{2}\).

D. Không tồn tại \(m\).

Lời giải

\(d\left( {A;\Delta } \right) = \frac{{\left| { - m + 2 - m + 4} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} = 2\sqrt 5  \Leftrightarrow \left| {m - 3} \right| = \sqrt 5 .\sqrt {{m^2} + 1}  \Leftrightarrow 4{m^2} + 6m - 4 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 2\\m = \frac{1}{2}\end{array} \right..\)

Đáp án B.

Câu 32: Trong mặt phẳng \(Oxy\), đường tròn đi qua ba điểm \(A\left( {1;2} \right)\), \(B\left( {5;2} \right)\), \(C\left( {1; - 3} \right)\) có phương trình là.

A. \({x^2} + {y^2} + 25x + 19y - 49 = 0\).

B. \(2{x^2} + {y^2} - 6x + y - 3 = 0\).

C. \({x^2} + {y^2} - 6x + y - 1 = 0\).

D. \({x^2} + {y^2} - 6x + xy - 1 = 0\).

Lời giải

Gọi \(\left( C \right)\) là phương trình đường tròn đi qua ba điểm \(A,B,C\) với tâm \(I\left( {a;b} \right)\)

\( \Rightarrow \left( C \right)\)có dạng: \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\). Vì đường tròn \(\left( C \right)\) đi qua qua ba điểm \(A,B,C\) nên ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}1 + 4 - 2a - 4b + c = 0\\25 + 4 - 10a - 4b + c = 0\\1 + 9 - 2a + 6b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a - 4b + c =  - 5\\ - 10a - 4b + c =  - 29\\ - 2a + 6b + c =  - 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b =  - \frac{1}{2}\\c =  - 1\end{array} \right.\).

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là \({x^2} + {y^2} - 6x + y - 1 = 0\).

Đáp án C.

Câu 33: Trong hệ trục tọa độ \(Oxy\), cho đường tròn \(\left( C \right)\) đi qua hai điểm \(A\left( {1;\,2} \right),\,B\left( {3,\,4} \right)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta :\,3x + y - 3 = 0\), biết tâm của \(\left( C \right)\) có tọa độ là những số nguyên. Phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) là

A. \({x^2} + {y^2} - 3x - 7y + 12 = 0.\)

B. \({x^2} + {y^2} - 6x - 4y + 5 = 0.\)

C. \({x^2} + {y^2} - 8x - 2y + 7 = 0.\)

D. \({x^2} + {y^2} - 2x - 8y + 20 = 0.\)

Lời giải

Ta có : \(\overrightarrow {AB}  = (2;2)\) ; đoạn \(AB\) có trung điểm \(M\left( {2;\,3} \right)\)

\( \Rightarrow \)Phương trình đường trung trực của đoạn \(AB\) là \(d:\,x + y - 5 = 0\).

Gọi \(I\) là tâm của \(\left( C \right)\) \( \Rightarrow I \in d\)\( \Rightarrow I\left( {a;\,5 - a} \right)\,,\,a \in \mathbb{Z}.\)

Ta có: \(R = IA = d\left( {I;\,\Delta } \right) = \sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {{\left( {a - 3} \right)}^2}}  = \frac{{\left| {2a + 2} \right|}}{{\sqrt {10} }} \Leftrightarrow a = 4 \Rightarrow I\left( {4;\,1} \right),\,R = \sqrt {10} .\)

Vậy phương trình đường tròn là: \({\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 10 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 8x - 2y + 7 = 0.\)

Đáp án C.

Câu 34: Cho đường hypebol có phương trình \(\left( H \right):100{x^2} - 25{y^2} = 100\). Tiêu cự của hypebol đó là

A. \(2\sqrt {10} \).

B. \(2\sqrt {104} \).

C. \(\sqrt {10} \).

D. \(\sqrt {104} \).

Lời giải

\(\left( H \right):100{x^2} - 25{y^2} = 100 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{100}} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1\).

\(a = 10,b = 2 \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = \sqrt {104} \).

Tiêu cự của hypebol là \(2\sqrt {104} \).

Đáp án B.

Câu 35: Cho parabol \(\left( P \right):{y^2} = 8x\) có tiêu điểm là

A. \(F\left( {0;4} \right)\).

B. \(F\left( {0;2} \right)\).

C. \(F\left( {2;0} \right)\).

D. \(F\left( {4;0} \right)\).

Lời giải

Ta có \(2p = 8 \Rightarrow p = 4\).

Parabol có tiêu điểm \(F\left( {2;0} \right)\).

Đáp án C.

Phần tự luận (3 điểm)

Bài 1. Một chiếc cổng hình parabol bao gồm một cửa chính hình chữ nhật ở giữa và hai cánh cửa phụ hai bên như hình vẽ. Biết chiều cao cổng parabol là 4m còn kích thước cửa ở giữa là 3m x 4m. Hãy tính khoảng cách giữa hai điểm A và B.

 

Lời giải

 

Gắn hệ trục tọa độ Oxy  như hình vẽ, chiếc cổng là 1 phần của parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\) với \(a < 0\).

Do parabol \((P)\) đối xứng qua trục tung nên có trục đối xứng \(x = 0 \Rightarrow  - \frac{b}{{2a}} = 0 \Leftrightarrow b = 0\) .

Chiều cao của cổng parabol là 4m nên \(G\left( {0;4} \right) \Rightarrow c = 4\)

\( \Rightarrow \left( P \right):y = a{x^2} + 4\).

Lại có, kích thước cửa ở giữa là 3m x 4m nên \(E\left( {2;3} \right) \Rightarrow 3 = 4a + 4 \Rightarrow a =  - \frac{1}{4}\) .

Vậy \(\left( P \right):y =  - \frac{1}{4}{x^2} + 4\).

Ta có \( - \frac{1}{4}{x^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x =  - 4\end{array} \right.\)  nên \(A\left( { - 4;0} \right);B\left( {4;0} \right)\) hay \(AB = 8\).

Bài 2. Cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {1;3} \right)\) và hai đường trung tuyến \(BM:x + 7y - 10 = 0\) và \(CN:x - 2y + 2 = 0\). Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh \(BC\) của tam giác \(ABC\).

Lời giải

 

Vì \(B \in BM\) nên tọa độ điểm \(B\) có dạng \(B\left( { - 7b + 10;\,b} \right)\).

Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\).

Khi đó tọa độ điểm \(G\) là nghiệm của hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}x + 7y - 10 = 0\\x - 2y + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{2}{3}\\y = \frac{4}{3}\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {\frac{2}{3};\,\frac{4}{3}} \right)\).

Gọi \(P\left( {x;\,y} \right)\) là trung điểm của \(BC\).

Khi đó \(AP\) là đường trung tuyến của tam giác \(ABC\).

Suy ra \(\overrightarrow {AG}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {AP}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{3} - 1 = \frac{2}{3}\left( {x - 1} \right)\\\frac{4}{3} - 3 = \frac{2}{3}\left( {y - 3} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\y = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow P\left( {\frac{1}{2};\,\frac{1}{2}} \right)\).

Vì \(P\) là trung điểm của \(BC\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 2{x_P} - {x_B}\\{y_C} = 2{y_P} - {y_B}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 7b - 9\\{y_C} = 1 - b\end{array} \right.\) \( \Rightarrow C\left( {7b - 9;\,1 - b} \right)\).

Vì \(C \in CN\) nên \(7b - 9 - 2.\left( {1 - b} \right) + 2 = 0 \Leftrightarrow b = 1\).

Khi đó \(B\left( {3;\,1} \right)\), \(C\left( { - 2;\,0} \right)\).

Vậy phương trình đường thẳng \(BC\) đi qua hai điểm \(B\) và \(C\) là \(x - 5y + 2 = 0\).

Bài 3. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\)để hàm số \(y = \frac{{mx}}{{\sqrt {x - m + 2}  - 1}}\)xác định trên \(\left( {0;1} \right)\).

Lời giải

Hàm số xác định trên \(\left( {0;1} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - m + 2 \ge 0\\\sqrt {x - m + 2}  - 1 \ne 0\end{array} \right.\forall x \in \left( {0;1} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge m - 2\\\sqrt {x - m + 2}  \ne 1\end{array} \right.\forall x \in \left( {0;1} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge m - 2\\x \ne m - 1\end{array} \right.\forall x \in \left( {0;1} \right)\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 2 \le 0\\\left[ \begin{array}{l}m - 1 \ge 1\\m - 1 \le 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 2\\\left[ \begin{array}{l}m \ge 2\\m \le 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le 1\\m = 2\end{array} \right.\)

Vậy \(m \in \left( { - \infty ;1} \right] \cup \left\{ 2 \right\}\).

Bài 4. Cho tam giác \(ABC\) biết \(H\left( {3;2} \right)\), \(G\left( {\frac{5}{3};\frac{8}{3}} \right)\) lần lượt là trực tâm và trọng tâm của tam giác, đường thẳng \(BC\) có phương trình \(x + 2y - 2 = 0\). Tìm phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\)?

Lời giải

*) Gọi \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {HI}  = \frac{3}{2}\overrightarrow {HG} \)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} - 3 = \frac{3}{2}\left( {\frac{5}{3} - 3} \right)\\{y_I} - 2 = \frac{3}{2}\left( {\frac{8}{3} - 2} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = 1\\{y_I} = 3\end{array} \right.\)

*) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\) \( \Rightarrow IM \bot BC\) \( \Rightarrow IM:2x - y + 1 = 0\).

\(M = IM \cap BC\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - y =  - 1\\x + 2y = 2\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 1\end{array} \right.\)\( \Rightarrow M\left( {0;1} \right)\).

Lại có: \(\overrightarrow {MA}  = 3\overrightarrow {MG} \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 3.\frac{5}{3}\\{y_A} - 1 = 3.\left( {\frac{8}{3} - 1} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 5\\{y_A} = 6\end{array} \right.\).

Suy ra: bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là \(R = IA = 5\).

Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 25\).

Đề bài

Phần trắc nghiệm (7 điểm)

Câu 1: Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}x + \sqrt {x - 2} ,\,\,khi\,\,x \ge 2\\1 - 3x,\,\,\,khi\,\,x < 2\end{array} \right.\). Giá trị \(f\left( 1 \right)\) bằng

A. \( - 2\).

B. \(0\).

C. không xác định.

D. \(2\).

Câu 2: Tập xác định của hàm số \(y = \frac{1}{x} + \sqrt {3 - x} \) là

A. \(\left( { - \infty ;3} \right]\).

B. \(\left[ {3; + \infty } \right)\).

C. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\).

D. \(\left( { - \infty ;3} \right]\backslash \left\{ 0 \right\}\).

Câu 3: Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^2}\) xác định trên \(\mathbb{R}.\) Xét các mệnh đề sau:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right).\)

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right).\)

Tìm tất cả các mệnh đề sai trong ba mệnh đề trên.

A. I và II.

B. I và III.

C. II và III.

D. I, II và III.

Câu 4: Cho hàm số \(y = 2{x^2} + 4x - 2023\). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 2; + \infty } \right)\).

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( { - 2; + \infty } \right)\).

C. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).

Câu 5: Hàm số nào có đồ thị như hình vẽ bên dưới?

 

A. \(y =  - {x^2} + 4x - 3\).

B. \(y =  - {x^2} - 4x - 3\).

C. \(y =  - 2{x^2} - x - 3\).

D. \(y = {x^2} - 4x - 3\).

Câu 6: Tọa độ giao điểm của \(\left( P \right)\,:\,y = {x^2} - 4x\) với đường thẳng \(d\,:\,y =  - x - 2\) là

A. \(M\left( {0;\, - 2} \right)\), \(N\left( {2;\, - 4} \right)\).

B. \(M\left( { - 1;\, - 1} \right)\), \(N\left( { - 2;\,0} \right)\).

C. \(M\left( {\, - 3;\,1} \right)\), \(N\left( {3;\, - 5} \right)\).

D. \(M\left( {1;\, - 3} \right)\), \(N\left( {2;\, - 4} \right)\).

Câu 7: Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là tam thức bậc 2?

A. \(f(x) = x + 3\).

B. \(f(x) = (m - 1){x^2} + 2x + 5\).

C. \(f(x) = 2{x^2} + x - 5\).

D. \(f(x) = \frac{{{x^2} + 1}}{{x - 2}}\).

Câu 8: Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\;\;\left( {a \ne 0} \right)\). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \(f\left( x \right) > 0,\forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta  < 0\end{array} \right.\).

B. \(f\left( x \right) > 0,\forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta  > 0\end{array} \right.\).

C. \(f\left( x \right) > 0,\forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta  > 0\end{array} \right.\).

D. \(f\left( x \right) > 0,\forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta  < 0\end{array} \right.\).

Câu 9: Bảng xét dấu sau đây là của tam thức bậc 2 nào?

 

A. \(f(x) =  - {x^2} + 5x - 6\).

B. \(f(x) = {x^2} + 5x - 6\).

C. \(f(x) = {x^2} - 5x - 6\).

D. \(f(x) =  - {x^2} - 5x + 6\).

Câu 10: Tập nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} + 3x - 2}  = \sqrt {1 + x} \) là

A. \(\emptyset \)

B. \(\left\{ { - 3} \right\}\)

C. \(\left\{ {1; - 3} \right\}\).

D. \(\left\{ 1 \right\}\).

Câu 11: Phương trình \(\sqrt {3{x^2} + 6x + 3}  = 2x + 1\)có tập nghiệm là :

A. \(\left\{ {1 - \sqrt 3 ;1 + \sqrt 3 } \right\}\).

B. \(\left\{ {1 - \sqrt 3 } \right\}\).

C. \(\left\{ {1 + \sqrt 3 } \right\}\)

D. \(\emptyset \).

Câu 12: Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(d\) có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 - t\end{array} \right.,t \in \mathbb{R}\). Xác định một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\)

A. \(\overrightarrow n  = \left( {1;2} \right)\).

B. \(\overrightarrow n  = \left( {2; - 1} \right)\).

C. \(\overrightarrow n  = \left( { - 2;1} \right)\).

D. \(\overrightarrow n  = \left( { - 1;2} \right)\).

Câu 13: Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), viết phương trình đường thẳng đi qua điểm \(M\left( {2; - 3} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {2;1} \right)\)

A. \(x + y + 1 = 0\).

B. \(2x + y - 5 = 0\).

C. \(2x - 3y - 1 = 0\).

D. \(2x + y - 1 = 0\).

Câu 14: Trong mặt phẳng tọa độ \(O\,xy\), cho hai đường thẳng \({d_1}:2x - y\, + \,3 = 0\) và \({d_2}:x + 2y\, + \,1 = 0\). Vị trí tương đối của hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) là

A. \({d_1}\, \equiv \,{d_2}\).

B. \({d_1}\,{\rm{//}}\,{d_2}\).

C. \({d_1} \bot \,\,{d_2}\).

D. Cắt nhau và không vuông góc.

Câu 15: Trong mặt phẳng \(Oxy,\) góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = 4 - 2t\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 3 + 2t\\y = 1 + 3t\end{array} \right.\) bằng

A. \(90^\circ \).

B. \(45^\circ \).

C. \(60^\circ \).

D. \(30^\circ \).

Câu 16: Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho điểm \(M\left( { - 2\,\,;\,\,1} \right)\) và đường thẳng \(\Delta :\,\,x - 3y + 6 = 0\). Khoảng cách từ điểm \(M\) đến đường thẳng \(\Delta \) bằng

A. \(\frac{{\sqrt {10} }}{{10}}.\)

B. \(2\sqrt {10} .\)

C. \(\frac{{\sqrt {10} }}{5}.\)

D. \(\frac{2}{{\sqrt {10} }}.\)

Câu 17: Phương trình nào sau đây không phải là phương trình đường tròn?

A. \({x^2} + {y^2} - 100y + 1 = 0\).

B. \({x^2} + {y^2} - y = 0\).

C. \({x^2} + {y^2} - 2 = 0\).

D. \({x^2} + {y^2} - x + y + 4 = 0\).

Câu 18: Viết phương trình đường tròn có tâm \(A\left( {2\;;\; - 5} \right)\) và tiếp xúc với đường thẳng

\(d:3x - 4y - 1 = 0\).

A. \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 5} \right)^2} = 25\).

B. \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = 25\).

C. \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 5} \right)^2} = 5\).

D. \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = 5\).

Câu 19: Tọa độ các đỉnh của hypebol \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\) là

A. \({A_1} = \left( { - 5;0} \right);{A_2} = \left( {5;0} \right)\).

B. \({A_1} = \left( {0; - 4} \right);{A_2} = \left( {0;4} \right)\).

C. \({A_1} = \left( { - 4;0} \right);{A_2} = \left( {4;0} \right)\).

D. \({A_1} = \left( {0; - 5} \right);{A_2} = \left( {0;5} \right)\).

Câu 20: Cho Parapol\(\left( P \right):{y^2} = 2px\,\left( {p > 0} \right)\). Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. \(\left( P \right)\) có tiêu điểm \(F\left( {0\,;\,\frac{p}{2}} \right).\)

B. \(\left( P \right)\) có tiêu điểm \(F\left( { - \frac{p}{2}\,;\,0} \right).\)

C. \(\left( P \right)\) có phương trình đường chuẩn \(\Delta :y = \frac{p}{2}.\)

D. \(\left( P \right)\) có phương trình đường chuẩn \(\Delta :x =  - \frac{p}{2}.\)

Câu 21: Tìm tập xác định \({\rm{D}}\) của hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{\left( {x - 3} \right)\sqrt {2x - 1} }}\).

A. \({\rm{D}} = \left( { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)\backslash \left\{ 3 \right\}\).

B. \({\rm{D}} = \left[ {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\backslash \left\{ 3 \right\}\).

C. \({\rm{D}} = \left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\backslash \left\{ 3 \right\}\).

D. \({\rm{D}} = \mathbb{R}\).

Câu 22: Có bao nhiêu số nguyên \(m \in \left[ { - 2022;\,2022} \right]\)để hàm số \(y = \sqrt {m - 2x} \) xác định trên khoảng \(\left( { - 3; - 1} \right)\)?

A. \(2022\).

B. \(2025\).

C. \(2021\).

D. \(4042\).

Câu 23: Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\)để hàm số \(y = f\left( x \right) = \left( {m - 4} \right)x + {m^2} - m - 2\) đồng biến trên tập xác định của nó.

A. \(m > 4\).

B. \(m \ge 4\).

C. \(m < 4\).

D. \(m \le 4\).

Câu 24: Biết rằng \(\left( P \right):y = a{x^2} - 4x + c\) có hoành độ đỉnh bằng \( - 3\) và đi qua điểm \(M\left( { - 2;1} \right)\). Tính tổng \(S = a + c\)

A. \(S = 5\).

B. \(S =  - 5\).

C. \(S = 4\).

D. \(S = 1\).

Câu 25: Xác định \(\left( P \right):y = a{x^2} - 6x + c\), biết \(\left( P \right)\) có trục đối xứng \(x =  - 4\) và cắt \(Ox\) tại hai điểm có độ dài bằng \(4\).

A. \(\left( P \right):y =  - \frac{3}{4}{x^2} - 6x - 9\).

B. \(\left( P \right):y = \frac{3}{4}{x^2} - 6x - 9\).

C. \(\left( P \right):y =  - \frac{3}{4}{x^2} - 6x + 9\).

D. \(\left( P \right):y = \frac{3}{4}{x^2} - 6x + 9\).

Câu 26: Tìm tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {2{x^2} - 5x + 2} \).

A. \(\left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right]\).

B. \(\left[ {2; + \infty } \right)\).

C. \(\left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\).

D. \(\left[ {\frac{1}{2};2} \right]\).

Câu 27: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để bất phương trình \(\left( {2{m^2} + m - 6} \right){x^2} + \left( {2m - 3} \right)x - 1 > 0\)?

A. \( - \frac{5}{6} < m \le \frac{3}{2}\).

B. \( - \frac{5}{6} < m < \frac{3}{2}\).

C. \( - \frac{5}{6} \le m < \frac{3}{2}\).

D. \( - \frac{5}{6} \le m \le \frac{3}{2}\).

Câu 28: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y = \sqrt {\left( {m - 2} \right){x^2} - 2\left( {m - 3} \right)x + m - 1} \) có tập xác định là \(\mathbb{R}\)?

A. \(m > \frac{7}{3}\).

B. \(m < \frac{7}{3}\).

C. \(m \le \frac{7}{3}\).

D. \(m \ge \frac{7}{3}\).

Câu 29: Phương trình \(\sqrt {{x^2} + 2x - 3}  = 5 - x\) có nghiệm là \(x = \frac{a}{b}\). Khi đó \(a + 2b\)bằng:

A. \(10\).

B. \(33\).

C. \(17\).

D. \(13\).

Câu 30: Phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {1; - 2} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(\Delta :3x - 2y + 1 = 0\) là:

A. \(3x - 2y - 7 = 0.\)

B. \(2x + 3y + 4 = 0.\)

C. \(x + 3y + 5 = 0.\)

D. \(2x + 3y - 3 = 0.\)

Câu 31: Trong mặt phẳng \(Oxy,\) gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để góc giữa hai đường thẳng \(d:mx + \left( {m - 1} \right)y + 2 = 0\) và \(\Delta :x - y + 2 = 0\) bằng \(30^\circ .\) Tích tất cả các phần tử của tập S bằng

A. \(1\).

B. \( - \frac{1}{6}\).

C. \(\frac{1}{6}\).

D. \( - 1\).

Câu 32: Tâm đường tròn \({x^2} + {y^2} - 10x + 1 = 0\) cách trục \(Oy\) một khoảng bằng

A. \(5\).

B. \(0\).

C. \(10\).

D. \( - 5\).

Câu 33: Tìm tất cả giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({x^2} + {y^2} + 2mx - 10y + 4m = 0\) là

phương trình đường tròn và có bán kính nhỏ nhất.

A. \(m = \frac{1}{2}\).

B. \(m = 1\).

C. \(m =  - 2\).

D. \(m = 2\).

Câu 34: Tổng các khoảng cách từ một điểm bất kỳ nằm trên elip \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\) tới hai tiêu điểm bằng

A. \(4.\)

B. \(6.\)

C. \(12.\)

D. \(\sqrt 5 .\)

Câu 35: Cho của hypebol \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{5} = 1\). Hiệu các khoảng cách từ mỗi điểm nằm trên \(\left( H \right)\) đến hai tiêu điểm có giá trị tuyệt đối bằng bao nhiêu?

A. \(8\).

B. \(16\).

C. \(4\).

D. \(5\).

Phần tự luận (3 điểm)

Bài 1. Một công ty bắt đầu sản xuất và bán một loại xe máy từ năm 2018. Số lượng loại xe máy đó bán được trong hai năm liên tiếp 2018 và 2019 lần lượt là 4 nghìn và \(4,5\) nghìn chiếc. Theo nghiên cứu dự báo thị trường của công ty, trong khoảng 10 năm kể từ 2018, số lượng xe máy loại đó bán được mỗi năm có thể được xấp xỉ bởi một hàm số bậc hai. Giả sử \(t\) là thời gian (theo đơn vị năm) tính từ năm 2018. Số lượng loại xe máy đó bán được trong năm 2018 và năm 2019 lần lượt được biểu diễn bởi các điểm \(\left( {0;\,4} \right)\) và \(\left( {1;\,4,5} \right)\). Giả sử điểm \(\left( {0;\,4} \right)\) là đỉnh đồ thị của hàm số bậc hai này. Hỏi đến năm bao nhiêu thì số lượng xe máy đó bán được trong năm sẽ vượt mức 40 nghìn chiếc?

Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( {1;2} \right)\) và cắt tia \(Ox\), tia \(Oy\) lần lượt tại \(A,B\) sao cho tam giác \(OAB\) có diện tích nhỏ nhất. Hãy viết phương trình của \(d.\)

Bài 3. Khi một quả bóng được đá lên, nó sẽ đạt đến độ cao nào đó rồi rơi xuống. Biết rằng quỹ đạo của quả bóng là một cung parabol trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oth,\) trong đó \(t\) là thời gian (tính bằng giây) kể từ khi quả bóng được đá lên; \(h\) là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng. Giả thiết rằng quả bóng được đá lên từ độ cao \(1,2m\). Sau đó \(1\) giây, nó đạt độ cao \(8,5m\)và \(2\) giây sau khi đá lên, nó đạt độ cao \(6m\). Hỏi sau bao lâu thì quả bóng sẽ chạm đất kể từ khi được đá lên (tính chính xác đến hàng phần trăm)?

Bài 4. Cho hình chữ nhật \(ABCD\) ( tham khảo hình bên), biết \(AB = a,AD = b\). Cạnh \(DC\) được chia thành \(n\) đoạn thẳng bằng nhau bởi các điểm chia \({C_1},{C_2},...,{C_{n - 1}}\), cạnh \(AD\) cũng được chia thành \(n\) đoạn thẳng bằng nhau bởi các điểm chia \({D_1},{D_2},...,{D_{n - 1}}\). Gọi \({I_k}\) là giao điểm của đoạn \(A{C_k}\) với đường thẳng qua \({D_k}\) và song song với \(AB\). Biết rằng các điểm \({I_k},(k = 1,2,3,...,n - 1)\) nằm trên một parabol có đỉnh \(A\) và trục đối xứng là \(AB\). Tính tham số tiêu của parabol nói trên.

 

-------- Hết --------

Lời giải

Phần trắc nghiệm

 

Câu 1. A	Câu 2. D	Câu 3. D	Câu 4. D	Câu 5. A	Câu 6. D	Câu 7. C
Câu 8. D	Câu 9. A	Câu 10. D	Câu 11. C	Câu 12. A	Câu 13. D	Câu 14. C
Câu 15. A	Câu 16. A	Câu 17. D	Câu 18. A	Câu 19. A	Câu 20. D	Câu 21. C
Câu 22. B	Câu 23. A	Câu 24. B	Câu 25. A	Câu 26. C	Câu 27. D	Câu 28. D
Câu 29. D	Câu 30. B	Câu 31. C	Câu 32. A	Câu 33. D	Câu 34. B	Câu 35. A

Câu 1: Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}x + \sqrt {x - 2} ,\,\,khi\,\,x \ge 2\\1 - 3x,\,\,\,khi\,\,x < 2\end{array} \right.\). Giá trị \(f\left( 1 \right)\) bằng

A. \( - 2\).

B. \(0\).

C. không xác định.

D. \(2\).

Lời giải

Với \(x = 1 < 2 \Rightarrow f\left( 1 \right) = 1 - 3.1 =  - 2\).

Đáp án A.

Câu 2: Tập xác định của hàm số \(y = \frac{1}{x} + \sqrt {3 - x} \) là

A. \(\left( { - \infty ;3} \right]\).

B. \(\left[ {3; + \infty } \right)\).

C. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\).

D. \(\left( { - \infty ;3} \right]\backslash \left\{ 0 \right\}\).

Lời giải

Điều kiện xác định của hàm số đã cho là

\(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\3 - x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x \le 3\end{array} \right.\).

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là \(D = \left( { - \infty ;3} \right]\backslash \left\{ 0 \right\}\).

Đáp án D.

Câu 3: Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^2}\) xác định trên \(\mathbb{R}.\) Xét các mệnh đề sau:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right).\)

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right).\)

Tìm tất cả các mệnh đề sai trong ba mệnh đề trên.

A. I và II.

B. I và III.

C. II và III.

D. I, II và III.

Lời giải

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right).\)

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right).\)

Đáp án D.

Câu 4: Cho hàm số \(y = 2{x^2} + 4x - 2023\). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 2; + \infty } \right)\).

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( { - 2; + \infty } \right)\).

C. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).

Lời giải

Hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) với \(a > 0\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \frac{b}{{2a}}; + \infty } \right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - \frac{b}{{2a}}} \right)\).

Áp dụng: Ta có \( - \frac{b}{{2a}} =  - 1\). Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).

Đáp án D.

Câu 5: Hàm số nào có đồ thị như hình vẽ bên dưới?

 

A. \(y =  - {x^2} + 4x - 3\).

B. \(y =  - {x^2} - 4x - 3\).

C. \(y =  - 2{x^2} - x - 3\).

D. \(y = {x^2} - 4x - 3\).

Lời giải

Đồ thị có bề lõm quay xuống dưới nên \(a < 0\). Loại phương án D.

Trục đối xứng: \(x = 2\) do đó chọn A.

Đáp án A.

Câu 6: Tọa độ giao điểm của \(\left( P \right)\,:\,y = {x^2} - 4x\) với đường thẳng \(d\,:\,y =  - x - 2\) là

A. \(M\left( {0;\, - 2} \right)\), \(N\left( {2;\, - 4} \right)\).

B. \(M\left( { - 1;\, - 1} \right)\), \(N\left( { - 2;\,0} \right)\).

C. \(M\left( {\, - 3;\,1} \right)\), \(N\left( {3;\, - 5} \right)\).

D. \(M\left( {1;\, - 3} \right)\), \(N\left( {2;\, - 4} \right)\).

Lời giải

Hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(d\) là nghiệm của phương trình:

\({x^2} - 4x =  - x - 2\, \Leftrightarrow \,{x^2} - 3x + 2 = 0\, \Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\).

Vậy tọa độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(d\) là \(M\left( {1;\, - 3} \right)\), \(N\left( {2;\, - 4} \right)\).

Đáp án D.

Câu 7: Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là tam thức bậc 2?

A. \(f(x) = x + 3\).

B. \(f(x) = (m - 1){x^2} + 2x + 5\).

C. \(f(x) = 2{x^2} + x - 5\).

D. \(f(x) = \frac{{{x^2} + 1}}{{x - 2}}\).

Lời giải

Đáp án C.

Câu 8: Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\;\;\left( {a \ne 0} \right)\). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \(f\left( x \right) > 0,\forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta  < 0\end{array} \right.\).

B. \(f\left( x \right) > 0,\forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta  > 0\end{array} \right.\).

C. \(f\left( x \right) > 0,\forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta  > 0\end{array} \right.\).

D. \(f\left( x \right) > 0,\forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta  < 0\end{array} \right.\).

Lời giải

Ta có \(f\left( x \right) > 0,\forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta  < 0\end{array} \right.\).

Đáp án D.

Câu 9: Bảng xét dấu sau đây là của tam thức bậc 2 nào?

 

A. \(f(x) =  - {x^2} + 5x - 6\).

B. \(f(x) = {x^2} + 5x - 6\).

C. \(f(x) = {x^2} - 5x - 6\).

D. \(f(x) =  - {x^2} - 5x + 6\).

Lời giải

Từ bảng xét dấu ta có \(f(x) = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \(x = 2,\,x = 3\)và \(f(x) > 0\,khi\,x \in \left( {2;3} \right)\)

Do đó \(f(x) =  - {x^2} + 5x - 6\).

Đáp án A.

Câu 10: Tập nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} + 3x - 2}  = \sqrt {1 + x} \) là

A. \(\emptyset \)

B. \(\left\{ { - 3} \right\}\)

C. \(\left\{ {1; - 3} \right\}\).

D. \(\left\{ 1 \right\}\).

Lời giải

\(\sqrt {{x^2} + 3x - 2}  = \sqrt {1 + x} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 + x \ge 0\\{x^2} + 3x - 2 = 1 + x\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 1\\{x^2} + 2x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\).

Đáp án D.

Câu 11: Phương trình \(\sqrt {3{x^2} + 6x + 3}  = 2x + 1\)có tập nghiệm là :

A. \(\left\{ {1 - \sqrt 3 ;1 + \sqrt 3 } \right\}\).

B. \(\left\{ {1 - \sqrt 3 } \right\}\).

C. \(\left\{ {1 + \sqrt 3 } \right\}\)

D. \(\emptyset \).

Lời giải

Ta có : \(\sqrt {3{x^2} + 6x + 3}  = 2x + 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 1 \ge 0\\3{x^2} + 6x + 3 = 4{x^2} + 4x + 1\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - \frac{1}{2}\\{x^2} - 2x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - \frac{1}{2}\\\left[ \begin{array}{l}x = 1 - \sqrt 3 \left( l \right)\\x = 1 + \sqrt 3 \left( n \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\).

Đáp án C.

Câu 12: Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(d\) có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 - t\end{array} \right.,t \in \mathbb{R}\). Xác định một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\)

A. \(\overrightarrow n  = \left( {1;2} \right)\).

B. \(\overrightarrow n  = \left( {2; - 1} \right)\).

C. \(\overrightarrow n  = \left( { - 2;1} \right)\).

D. \(\overrightarrow n  = \left( { - 1;2} \right)\).

Lời giải

Đường thẳng \(d\) có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 - t\end{array} \right.,\;t \in \mathbb{R}\) nên một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 1} \right)\) do đó một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {1;2} \right)\).

Đáp án A.

Câu 13: Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), viết phương trình đường thẳng đi qua điểm \(M\left( {2; - 3} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {2;1} \right)\)

A. \(x + y + 1 = 0\).

B. \(2x + y - 5 = 0\).

C. \(2x - 3y - 1 = 0\).

D. \(2x + y - 1 = 0\).

Lời giải

Đường thẳng đi qua điểm \(M\left( {2; - 3} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {2;1} \right)\)có phương trình \(2\left( {x - 2} \right) + 1\left( {y + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - 1 = 0\).

Đáp án D.

Câu 14: Trong mặt phẳng tọa độ \(O\,xy\), cho hai đường thẳng \({d_1}:2x - y\, + \,3 = 0\) và \({d_2}:x + 2y\, + \,1 = 0\). Vị trí tương đối của hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) là

A. \({d_1}\, \equiv \,{d_2}\).

B. \({d_1}\,{\rm{//}}\,{d_2}\).

C. \({d_1} \bot \,\,{d_2}\).

D. Cắt nhau và không vuông góc.

Lời giải

Ta có: \({d_1}\) và \({d_2}\) lần lượt có véctơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} \, = \,\left( {2\,;\, - 1} \right),\,\overrightarrow {{n_2}} \, = \,\left( {1\,;\,2} \right)\,\).

Mà \(\overrightarrow {{n_1}} \,.\,\overrightarrow {{n_2}} \, = \,2.1\, + \,\left( { - 1} \right).2\, = \,0\,\, \Rightarrow \,\overrightarrow {{n_1}} \, \bot \,\overrightarrow {{n_2}} \,\) \( \Rightarrow {d_1}\) và \({d_2}\) vuông góc.

Đáp án C.

Câu 15: Trong mặt phẳng \(Oxy,\) góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = 4 - 2t\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 3 + 2t\\y = 1 + 3t\end{array} \right.\) bằng

A. \(90^\circ \).

B. \(45^\circ \).

C. \(60^\circ \).

D. \(30^\circ \).

Lời giải

Hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) lần lượt có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {3; - 2} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {2;3} \right)\).

Vì \(\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}}  = 0\) nên \({\Delta _1} \bot {\Delta _2}\). Suy ra \(\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = 90^\circ .\)

Đáp án A.

Câu 16: Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho điểm \(M\left( { - 2\,\,;\,\,1} \right)\) và đường thẳng \(\Delta :\,\,x - 3y + 6 = 0\). Khoảng cách từ điểm \(M\) đến đường thẳng \(\Delta \) bằng

A. \(\frac{{\sqrt {10} }}{{10}}.\)

B. \(2\sqrt {10} .\)

C. \(\frac{{\sqrt {10} }}{5}.\)

D. \(\frac{2}{{\sqrt {10} }}.\)

Lời giải

Công thức tính khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_{\rm{o}}}\,;\,\,{y_{\rm{o}}}} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta :\,\,Ax + By + C = 0\) là

\(d\left( {M,\,\Delta } \right) = \frac{{\left| {A{x_{\rm{o}}} + B{y_{\rm{o}}} + C} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} }}\).

Vậy khoảng cách từ điểm \(M\left( { - 2\,;\,\,1} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta :\,\,x - 3y + 6 = 0\) bằng

\(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| { - 2 - 3.1 + 6} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\).

Đáp án A.

Câu 17: Phương trình nào sau đây không phải là phương trình đường tròn?

A. \({x^2} + {y^2} - 100y + 1 = 0\).

B. \({x^2} + {y^2} - y = 0\).

C. \({x^2} + {y^2} - 2 = 0\).

D. \({x^2} + {y^2} - x + y + 4 = 0\).

Lời giải

Xét đáp án A ta có \({a^2} + {b^2} - c = {0^2} + {50^2} - 1 = 2499 > 0\) là phương trình đường tròn.

Xét đáp án B ta có \({a^2} + {b^2} - c = {0^2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} - 0 = \frac{1}{4} > 0\) là phương trình đường tròn.

Xét đáp án C ta có \({a^2} + {b^2} - c = {0^2} + {0^2} + 2 = 2 > 0\) là phương trình đường tròn.

Xét đáp án D ta có \({a^2} + {b^2} - c = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{ - 1}}{2}} \right)^2} - 4 =  - \frac{7}{2} < 0\) không là phương trình đường tròn.

Đáp án D.

Câu 18: Viết phương trình đường tròn có tâm \(A\left( {2\;;\; - 5} \right)\) và tiếp xúc với đường thẳng

\(d:3x - 4y - 1 = 0\).

A. \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 5} \right)^2} = 25\).

B. \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = 25\).

C. \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 5} \right)^2} = 5\).

D. \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = 5\).

Lời giải

Đường tròn có tâm \(A\left( {2\;;\; - 5} \right)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(d:3x - 4y - 1 = 0\)

\( \Rightarrow R = d\left( {A\;,\;d} \right) = \frac{{\left| {3.2 - 4.\left( { - 5} \right) - 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{{25}}{5} = 5\).

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 5} \right)^2} = 25\).

Đáp án A.

Câu 19: Tọa độ các đỉnh của hypebol \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\) là

A. \({A_1} = \left( { - 5;0} \right);{A_2} = \left( {5;0} \right)\).

B. \({A_1} = \left( {0; - 4} \right);{A_2} = \left( {0;4} \right)\).

C. \({A_1} = \left( { - 4;0} \right);{A_2} = \left( {4;0} \right)\).

D. \({A_1} = \left( {0; - 5} \right);{A_2} = \left( {0;5} \right)\).

Lời giải

Từ phương trình \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\), ta có: \({a^2} = 25 \Rightarrow a = 5,\left( {a > 0} \right)\).

Gọi \({A_1}\) và \({A_2}\) là hai đỉnh của \(\left( H \right)\).

Vậy tọa độ các đỉnh của \(\left( H \right)\)là \({A_1} = \left( { - 5;0} \right);{A_2} = \left( {5;0} \right)\).

Đáp án A.

Câu 20: Cho Parapol\(\left( P \right):{y^2} = 2px\,\left( {p > 0} \right)\). Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. \(\left( P \right)\) có tiêu điểm \(F\left( {0\,;\,\frac{p}{2}} \right).\)

B. \(\left( P \right)\) có tiêu điểm \(F\left( { - \frac{p}{2}\,;\,0} \right).\)

C. \(\left( P \right)\) có phương trình đường chuẩn \(\Delta :y = \frac{p}{2}.\)

D. \(\left( P \right)\) có phương trình đường chuẩn \(\Delta :x =  - \frac{p}{2}.\)

Lời giải

Theo tính chất của Parabol \(\left( P \right):{y^2} = 2px\,\left( {p > 0} \right).\)

Ta có \(\left( P \right)\) có tiêu điểm \(F\left( {\frac{p}{2}\,;\,0} \right)\)và có phương trình đường chuẩn \(\Delta :x =  - \frac{p}{2}.\)

Do đó mệnh đề đúng là đáp án D.

Đáp án D.

Câu 21: Tìm tập xác định \({\rm{D}}\) của hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{\left( {x - 3} \right)\sqrt {2x - 1} }}\).

A. \({\rm{D}} = \left( { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)\backslash \left\{ 3 \right\}\).

B. \({\rm{D}} = \left[ {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\backslash \left\{ 3 \right\}\).

C. \({\rm{D}} = \left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\backslash \left\{ 3 \right\}\).

D. \({\rm{D}} = \mathbb{R}\).

Lời giải

Hàm số xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3 \ne 0\\2x - 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 3\\x > \frac{1}{2}\end{array} \right..\)

Vậy tập xác định của hàm số là \({\rm{D}} = \left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\backslash \left\{ 3 \right\}\).

Đáp án C.

Câu 22: Có bao nhiêu số nguyên \(m \in \left[ { - 2022;\,2022} \right]\)để hàm số \(y = \sqrt {m - 2x} \) xác định trên khoảng \(\left( { - 3; - 1} \right)\)?

A. \(2022\).

B. \(2025\).

C. \(2021\).

D. \(4042\).

Lời giải

Hàm số xác định khi và chỉ khi \(m - 2x \ge 0 \Leftrightarrow x \le \frac{m}{2}\).

TXĐ của hàm số là \(D = \left( { - \infty ;\,\frac{m}{2}} \right]\).

Hàm số xác định trên khoảng \(\left( { - 3;\, - 1} \right)\) khi \(\left( { - 3;\, - 1} \right) \subset \left( { - \infty ;\,\frac{m}{2}} \right] \Leftrightarrow  - 1 \le \frac{m}{2} \Leftrightarrow m \ge  - 2\).

Với \(m \in \left[ { - 2022;\,2022} \right]\), \(m \in \mathbb{Z}\), suy ra \(m \in \left\{ { - 2; - 1;...;2022} \right\}\). Vậy có \(2025\) số thỏa mãn.

Đáp án B.

Câu 23: Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\)để hàm số \(y = f\left( x \right) = \left( {m - 4} \right)x + {m^2} - m - 2\) đồng biến trên tập xác định của nó.

A. \(m > 4\).

B. \(m \ge 4\).

C. \(m < 4\).

D. \(m \le 4\).

Lời giải

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).

Hàm số đã cho đồng biến trên \(\mathbb{R} \Leftrightarrow \) \(m - 4 > 0 \Leftrightarrow m > 4\)

Đáp án B.

Câu 24: Biết rằng \(\left( P \right):y = a{x^2} - 4x + c\) có hoành độ đỉnh bằng \( - 3\) và đi qua điểm \(M\left( { - 2;1} \right)\). Tính tổng \(S = a + c\)

A. \(S = 5\).

B. \(S =  - 5\).

C. \(S = 4\).

D. \(S = 1\).

Lời giải

Vì \(\left( P \right)\) có hoành độ đỉnh bằng \( - 3\) và đi qua điểm \(M\left( { - 2;1} \right)\) nên ta có hệ

\(\left\{ \begin{array}{l} - \frac{{ - 4}}{{2a}} =  - 3\\4a + 8 + c = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4 = 6a\\4a + c =  - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{2}{3}\\c =  - \frac{{13}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow S = a + c =  - 5\)

Đáp án B.

Câu 25: Xác định \(\left( P \right):y = a{x^2} - 6x + c\), biết \(\left( P \right)\) có trục đối xứng \(x =  - 4\) và cắt \(Ox\) tại hai điểm có độ dài bằng \(4\).

A. \(\left( P \right):y =  - \frac{3}{4}{x^2} - 6x - 9\).

B. \(\left( P \right):y = \frac{3}{4}{x^2} - 6x - 9\).

C. \(\left( P \right):y =  - \frac{3}{4}{x^2} - 6x + 9\).

D. \(\left( P \right):y = \frac{3}{4}{x^2} - 6x + 9\).

Lời giải

Vì \(\left( P \right):y = a{x^2} - 6x + c\), biết \(\left( P \right)\) có trục đối xứng \(x =  - 4\) nên

\(\frac{6}{{2a}} =  - 4 \Leftrightarrow a =  - \frac{3}{4}\) \( \Rightarrow \left( P \right):y =  - \frac{3}{4}{x^2} - 6x + c\).

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(Ox\) là: \( - \frac{3}{4}{x^2} - 6x + c = 0\,\,\,\,\left( * \right)\).

\(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' = 9 + \frac{3}{4}c > 0 \Leftrightarrow c >  - 12\).

Khi đó \(\left( * \right)\) có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - 8\\{x_1}.{x_2} =  - \frac{{4c}}{3}\end{array} \right.\).

Mà \(\left| {{x_2} - {x_1}} \right| = 4\)

\( \Leftrightarrow {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} = 16 \Leftrightarrow {\left( {{x_2} + {x_1}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 16\)

\( \Leftrightarrow {( - 8)^2} + \frac{{16c}}{3} = 16\, \Leftrightarrow c =  - 9\) (t/m).

Vậy \(\left( P \right):y =  - \frac{3}{4}{x^2} - 6x - 9\).

Đáp án A.

Câu 26: Tìm tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {2{x^2} - 5x + 2} \).

A. \(\left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right]\).

B. \(\left[ {2; + \infty } \right)\).

C. \(\left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\).

D. \(\left[ {\frac{1}{2};2} \right]\).

Lời giải

Điều kiện \(2{x^2} - 5x + 2 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \le \frac{1}{2}\end{array} \right.\). Vậy tập xác định của hàm số là \(\left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\).

Đáp án C.

Câu 27: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để bất phương trình \(\left( {2{m^2} + m - 6} \right){x^2} + \left( {2m - 3} \right)x - 1 > 0\)?

A. \( - \frac{5}{6} < m \le \frac{3}{2}\).

B. \( - \frac{5}{6} < m < \frac{3}{2}\).

C. \( - \frac{5}{6} \le m < \frac{3}{2}\).

D. \( - \frac{5}{6} \le m \le \frac{3}{2}\).

Lời giải

Bất phương trình \(\left( {2{m^2} + m - 6} \right){x^2} + \left( {2m - 3} \right)x - 1 > 0{\rm{   }}\left( * \right)\) vô nghiệm khi và chỉ khi \(\left( {2{m^2} + m - 6} \right){x^2} + \left( {2m - 3} \right)x - 1 \le 0,\forall x \in \mathbb{R}\)

* Xét \(2{m^2} + m - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 2\\m = \frac{3}{2}\end{array} \right.\)

Với \(m =  - 2\) thì bpt \(\left( * \right)\) \( \Leftrightarrow  - 7x - 1 > 0 \Leftrightarrow x <  - \frac{1}{7}\), loại \(m =  - 2\).

Với \(m = \frac{3}{2}\) thì bpt \(\left( * \right)\) \( \Leftrightarrow 0x - 1 > 0\) bpt vô nghiệm, nhận \(m = \frac{3}{2}\).

* Xét \(2{m^2} + m - 6 \ne 0\)

\(\left( {2{m^2} + m - 6} \right){x^2} + \left( {2m - 3} \right)x - 1 \le 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{m^2} + m - 6 < 0\\{\left( {2m - 3} \right)^2} - 4.\left( {2{m^2} + m - 6} \right).\left( { - 1} \right) \le 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2 < m < \frac{3}{2}\\ - \frac{5}{6} \le m \le \frac{3}{2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow  - \frac{5}{6} \le m < \frac{3}{2}\)

Vậy \( - \frac{5}{6} \le m \le \frac{3}{2}\) thì bất phương trình \(\left( * \right)\) vô nghiệm.

Đáp án D.

Câu 28: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y = \sqrt {\left( {m - 2} \right){x^2} - 2\left( {m - 3} \right)x + m - 1} \) có tập xác định là \(\mathbb{R}\)?

A. \(m > \frac{7}{3}\).

B. \(m < \frac{7}{3}\).

C. \(m \le \frac{7}{3}\).

D. \(m \ge \frac{7}{3}\).

Lời giải

Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(f\left( x \right) = \left( {m - 2} \right){x^2} - 2\left( {m - 3} \right)x + m - 1 \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\)

* Xét \(m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = 2\) thì \(f\left( x \right) = 2x + 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge  - \frac{1}{2}\), loại \(m = 2\).

* Xét \(m \ne 2\)

\(\left( {m - 2} \right){x^2} - 2\left( {m - 3} \right)x + m - 1 \ge 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 2 > 0\\{\left( {m - 3} \right)^2} - \left( {m - 2} \right)\left( {m - 1} \right) \le 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 2\\m \ge \frac{7}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge \frac{7}{3}\)

Vậy \(m \ge \frac{7}{3}\)

Đáp án D.

Câu 29: Phương trình \(\sqrt {{x^2} + 2x - 3}  = 5 - x\) có nghiệm là \(x = \frac{a}{b}\). Khi đó \(a + 2b\)bằng:

A. \(10\).

B. \(33\).

C. \(17\).

D. \(13\).

Lời giải

Ta có: \(\sqrt {{x^2} + 2x - 3}  = 5 - x\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2x - 3 \ge 0\\5 - x \ge 0\\{x^2} + 2x - 3 = {\left( {5 - x} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \le  - 3\\x \ge 1\end{array} \right.\\x \le 5\\12x = 28\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \le  - 3\\x \ge 1\end{array} \right.\\x \le 5\\x = \frac{7}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{7}{3}\).

Vậy \(a = 7;b = 3\). Suy ra \(a + 2b = 13\).

Đáp án D.

Câu 30: Phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {1; - 2} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(\Delta :3x - 2y + 1 = 0\) là:

A. \(3x - 2y - 7 = 0.\)

B. \(2x + 3y + 4 = 0.\)

C. \(x + 3y + 5 = 0.\)

D. \(2x + 3y - 3 = 0.\)

Lời giải

Ta có \(d \bot \Delta \) nên \(d\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {2;3} \right).\)

Mà đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {1; - 2} \right)\) nên phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) là:

\(2\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 3y + 4 = 0.\)

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng \(d:2x + 3y + 4 = 0.\)

Đáp án B.

Câu 31: Trong mặt phẳng \(Oxy,\) gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để góc giữa hai đường thẳng \(d:mx + \left( {m - 1} \right)y + 2 = 0\) và \(\Delta :x - y + 2 = 0\) bằng \(30^\circ .\) Tích tất cả các phần tử của tập S bằng

A. \(1\).

B. \( - \frac{1}{6}\).

C. \(\frac{1}{6}\).

D. \( - 1\).

Lời giải

Đường thẳng \(d\) nhận \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {m;m - 1} \right)\) là 1 véctơ pháp tuyến.

Đường thẳng \(\Delta \) nhận \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1; - 1} \right)\) là 1 véctơ pháp tuyến.

Ta có: \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\left| {m - 1.\left( {m - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + {{\left( {m - 1} \right)}^2}} \sqrt 2 }}\).

\( \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{1}{{\sqrt 2 \sqrt {2{m^2} - 2m + 1} }} \Leftrightarrow \sqrt {3\left( {2{m^2} - 2m + 1} \right)}  = \sqrt 2  \Leftrightarrow 6{m^2} - 6m + 1 = 0.\)

Vì \(\Delta ' = 3 > 0 \Rightarrow \) phương trình có 2 nghiệm phân biệt và \({m_1}.{m_2} = \frac{1}{6}\).

Đáp án C.

Câu 32: Tâm đường tròn \({x^2} + {y^2} - 10x + 1 = 0\) cách trục \(Oy\) một khoảng bằng

A. \(5\).

B. \(0\).

C. \(10\).

D. \( - 5\).

Lời giải

Đường tròn \({x^2} + {y^2} - 10x + 1 = 0\) có tâm \(I\left( {5;0} \right)\).

Khoảng cách từ \(I\) đến \(Oy\) là \(d\left( {I,Oy} \right) = 5\).

Đáp án A.

Câu 33: Tìm tất cả giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({x^2} + {y^2} + 2mx - 10y + 4m = 0\) là

phương trình đường tròn và có bán kính nhỏ nhất.

A. \(m = \frac{1}{2}\).

B. \(m = 1\).

C. \(m =  - 2\).

D. \(m = 2\).

Lời giải

Phương trình \({x^2} + {y^2} + 2mx - 10y + 4m = 0\) là phương trình đường tròn

\( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - c > 0\)\( \Leftrightarrow {\left( { - m} \right)^2} + {5^2} - 4m > 0\)\( \Leftrightarrow {m^2} - 4m + 25 > 0\)\( \Leftrightarrow m \in \mathbb{R}\).

Bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c}  = \sqrt {{m^2} - 4m + 25}  = \sqrt {{m^2} - 4m + 4 + 21}  = \sqrt {{{\left( {m - 2} \right)}^2} + 21}  \ge \sqrt {21} \).

Bán kính nhỏ nhất là \(R = \sqrt {21} \) khi \(m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = 2\).

Đáp án D.

Câu 34: Tổng các khoảng cách từ một điểm bất kỳ nằm trên elip \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\) tới hai tiêu điểm bằng

A. \(4.\)

B. \(6.\)

C. \(12.\)

D. \(\sqrt 5 .\)

Lời giải

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 9\\{b^2} = 4\end{array} \right.\)\( \Rightarrow a = 3\).

Tổng các khoảng cách từ một điểm bất kỳ nằm trên elip tới hai tiêu điểm bằng \(2a = 2.3 = 6\).

Đáp án B.

Câu 35: Cho của hypebol \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{5} = 1\). Hiệu các khoảng cách từ mỗi điểm nằm trên \(\left( H \right)\) đến hai tiêu điểm có giá trị tuyệt đối bằng bao nhiêu?

A. \(8\).

B. \(16\).

C. \(4\).

D. \(5\).

Lời giải

Gọi \({F_1}\) và \({F_2}\) là hai tiêu điểm của \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1,\left( {a > 0,b > 0} \right)\).

Điểm \(M \in \left( H \right) \Leftrightarrow \left| {M{F_1} - M{F_2}} \right| = 2a\).

Từ phương trình \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{5} = 1\) suy ra \({a^2} = 16 \Rightarrow a = 4,\left( {a > 0} \right)\).

Vậy hiệu các khoảng cách từ mỗi điểm \(M\)nằm trên \(\left( H \right)\)đến hai tiêu điểm có giá trị tuyệt đối là \(\left| {M{F_1} - M{F_2}} \right| = 2a = 8\).

Đáp án A.

Phần tự luận (3 điểm)

Bài 1. Một công ty bắt đầu sản xuất và bán một loại xe máy từ năm 2018. Số lượng loại xe máy đó bán được trong hai năm liên tiếp 2018 và 2019 lần lượt là 4 nghìn và \(4,5\) nghìn chiếc. Theo nghiên cứu dự báo thị trường của công ty, trong khoảng 10 năm kể từ 2018, số lượng xe máy loại đó bán được mỗi năm có thể được xấp xỉ bởi một hàm số bậc hai. Giả sử \(t\) là thời gian (theo đơn vị năm) tính từ năm 2018. Số lượng loại xe máy đó bán được trong năm 2018 và năm 2019 lần lượt được biểu diễn bởi các điểm \(\left( {0;\,4} \right)\) và \(\left( {1;\,4,5} \right)\). Giả sử điểm \(\left( {0;\,4} \right)\) là đỉnh đồ thị của hàm số bậc hai này. Hỏi đến năm bao nhiêu thì số lượng xe máy đó bán được trong năm sẽ vượt mức 40 nghìn chiếc?

Lời giải

Vì số lượng xe máy loại đó bán được mỗi năm có thể được xấp xỉ bởi một hàm số bậc hai nên gọi hàm số này có dạng \(y = a{t^2} + bt + c\) (trong đó \(t\) là thời gian (đơn vị năm), \(y\) là số lượng xe máy bán được qua từng năm (đơn vị nghìn chiếc)).

Điểm \(\left( {0;\,4} \right)\) là đỉnh đồ thị của hàm số bậc hai, ta có \(\left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{{2a}} = 0\\c = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 0\\c = 4\end{array} \right.\).

Đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {1;\,4,5} \right)\), ta có \(a + 4 = 4,5 \Leftrightarrow a = 0,5\).

Hàm số cần tìm là \(y = 0,5{t^2} + 4\).

Để số lượng xe máy đó bán được vượt mức 40 nghìn chiếc thì

\(0,5{t^2} + 4 > 40\)\( \Leftrightarrow {t^2} > 72\)\( \Rightarrow t > \sqrt {72}  \approx 8,5\)\( \Rightarrow t \approx 9\) (năm).

Vậy đến năm 2027 thì số lượng xe máy đó bán được vượt mức 40 nghìn chiếc.

Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( {1;2} \right)\) và cắt tia \(Ox\), tia \(Oy\) lần lượt tại \(A,B\) sao cho tam giác \(OAB\) có diện tích nhỏ nhất. Hãy viết phương trình của \(d.\)

Lời giải

Do \(A,B\) lần lượt thuộc tia \(Ox,Oy\) và tồn tại tam giác \(OAB\) nên ta có \(A\left( {a;0} \right),B\left( {0;b} \right)\) với \(a > 0\), \(b > 0\). Lúc này, ta có:

+ Phương trình đường thẳng \(d\) là \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\).

\(M\left( {1;2} \right) \in d\)\( \Rightarrow \)\(\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = 1\).

+ Diện tích tam giác \(OAB\): \({S_{OAB = }}\frac{1}{2}OA.OB = \frac{1}{2}ab\) (do \(OA = |a| = a,OB = |b| = b\)).

+ Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

\(\frac{1}{a} + \frac{2}{b} \ge 2\sqrt {\frac{1}{a}.\frac{2}{b}} \)\( \Rightarrow \)\(\frac{1}{2}ab \ge 4\)\( \Rightarrow \)\({S_{OAB}} \ge 4\).

Dấu  xảy ra \( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = 1\\\frac{1}{a} = \frac{2}{b}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 4\end{array} \right.\).

Vậy phương trình đường thẳng \(d\) là \(\frac{x}{2} + \frac{y}{4} = 1 \Leftrightarrow 2x + y - 4 = 0\).

Bài 3. Khi một quả bóng được đá lên, nó sẽ đạt đến độ cao nào đó rồi rơi xuống. Biết rằng quỹ đạo của quả bóng là một cung parabol trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oth,\) trong đó \(t\) là thời gian (tính bằng giây) kể từ khi quả bóng được đá lên; \(h\) là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng. Giả thiết rằng quả bóng được đá lên từ độ cao \(1,2m\). Sau đó \(1\) giây, nó đạt độ cao \(8,5m\)và \(2\) giây sau khi đá lên, nó đạt độ cao \(6m\). Hỏi sau bao lâu thì quả bóng sẽ chạm đất kể từ khi được đá lên (tính chính xác đến hàng phần trăm)?

Lời giải

Gọi phương trình của parabol quỹ đạo là \(h = a{t^2} + bt + c\).

Từ giả thiết suy ra parabol đi qua các điểm \(\left( {0;1;2} \right)\), \(\left( {1;8;5} \right)\) và \(\left( {2;6} \right)\).

 

Từ đó ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}c = 1,2\\a + b + c = 8,5\\4a + 2b + c = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 4,9\\b = 12,2\\c = 1,2\end{array} \right.\).

Vậy phương trình của parabol quỹ đạo là \(h =  - 4,9{t^2} + 12,2t + 1,2\).

Giải phương trình

\(h = 0 \Leftrightarrow  - 4,9{t^2} + 12,2t + 1,2 = 0\) ta tìm được một nghiệm dương là \(t \approx 2,58\).

Bài 4. Cho hình chữ nhật \(ABCD\) ( tham khảo hình bên), biết \(AB = a,AD = b\). Cạnh \(DC\) được chia thành \(n\) đoạn thẳng bằng nhau bởi các điểm chia \({C_1},{C_2},...,{C_{n - 1}}\), cạnh \(AD\) cũng được chia thành \(n\) đoạn thẳng bằng nhau bởi các điểm chia \({D_1},{D_2},...,{D_{n - 1}}\). Gọi \({I_k}\) là giao điểm của đoạn \(A{C_k}\) với đường thẳng qua \({D_k}\) và song song với \(AB\). Biết rằng các điểm \({I_k},(k = 1,2,3,...,n - 1)\) nằm trên một parabol có đỉnh \(A\) và trục đối xứng là \(AB\). Tính tham số tiêu của parabol nói trên.

 

Lời giải

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho \(O\) trùng với điểm \(A\), \(AB\) nằm trên tia \(Ox\) và \(AD\) nằm trên tia \(Oy\).

Khi đó ta có phương trình đường thẳng qua \({D_k}\) và song song với \(AB\) là \(y = k.\frac{b}{n}\).

Tọa độ điểm \({C_k}\left( {k.\frac{a}{n};b} \right)\), suy ra phương trình đường \(A{C_k}\) là \(y = \frac{{bn}}{{ak}}x\).

Tọa độ điểm \({I_k}\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}y = k.\frac{b}{n}\\y = \frac{{bn}}{{ak}}x\end{array} \right.\).

Giải hệ phương trình ta được \(\left\{ \begin{array}{l}x = a.\frac{{{k^2}}}{{{n^2}}}\\y = k.\frac{b}{n}\end{array} \right. \Rightarrow {I_k}\left( {a.\frac{{{k^2}}}{{{n^2}}};k.\frac{b}{n}} \right)\).

Giả sử \({I_k}\left( {{x_k};{y_k}} \right) \Rightarrow y_k^2 = \frac{{{b^2}}}{a}{x_k}.\) Suy ra điểm \({I_k}\) thuộc parabol có phương trình \({y^2} = \frac{{{b^2}}}{a}x\). Khi đó tham số tiêu của parabol nói trên bằng \(\frac{{{b^2}}}{{2a}}\).

 

Đề bài

Phần trắc nghiệm (7 điểm)

Câu 1: Tập xác định của hàm số \(y = \frac{{x - 3}}{{2x - 2}}\) là

A. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

B. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}\).

C. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).

D. \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Câu 2: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình bên dưới. Khẳng định nào sao đây là đúng?

 

A. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\).

B. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\).

C. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\).

D. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Câu 3: Trong mặt phẳng \(Oxy\), biết điểm \(M( - 1;{y_0})\) thuộc đồ thị hàm số \(y = 4x + 7.\) Giá trị của \({y_0}\) bằng:

A. \(7\).

B. \( - 1\).

C. \( - 2\).

D. \(3\).

Câu 4: Parabol \(\left( P \right):{\rm{ }}y =  - 2{x^2} - 6x + 3\)có hoành độ đỉnh là

A. \(x =  - 3\).

B. \(x = \frac{3}{2}\).

C. \(x =  - \frac{3}{2}\).

D. \(x = 3\).

Câu 5: Bảng biến thiên của hàm số \(y =  - {x^2} + 2x - 1\) là:

Câu 6: Cho hàm số \(y =  - {x^2} + 4x + 3.\) Chọn khẳng định đúng.

A. Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)

B. Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}.\)

C. Hàm số đồng biến trên \(\left( {2; + \infty } \right)\).

D. Hàm số nghịch biến trên \(\left( {2; + \infty } \right)\).

Câu 7: Tập nghiệm \(S\) của bất phương trình \({x^2} - x - 6 \le 0\).

A. \(S = \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( {2: + \infty } \right)\).

B. \(\left[ { - 2;3} \right]\).

C. \(\left[ { - 3;2} \right]\).

D. \(\left( { - \infty ; - 3} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\).

Câu 8: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \({x^2} + mx + 4 = 0\) có nghiệm

A. \( - 4 \le m \le 4\).

B. \(m \le  - 4\;\;hay\;\;m \ge 4\).

C. \(m \le  - 2\;\;hay\;\;m \ge 2\).

D. \( - 2 \le m \le 2\).

Câu 9: Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + 2x + m\). Với giá trị nào của tham số \(m\) thì \(f\left( x \right) \ge 0,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

A. \(m \ge 1\).

B. \(m > 1\).

C. \(m > 0\).

D. \(m < 2\).

Câu 10: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình và \(\sqrt {{x^2} - 3x + 2}  = \sqrt {x + 2} \)là

A. \(3\).

B. \(4\).

C. \( - 1\).

D. \( - 3\).

Câu 11: Phương trình \(\sqrt {x - 1}  = x - 3\) có tập nghiệm là

A. \(S = \left\{ 5 \right\}\).

B. \(S = \left\{ {2;5} \right\}\).

C. \(S = \left\{ 2 \right\}\).

D. \(S = \emptyset \).

Câu 12: Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\): \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 4t\\y =  - 2 + 3t\end{array} \right.\) là:

A. \(\overrightarrow u  = \left( { - 4;3} \right)\).

B. \(\overrightarrow u  = \left( {4;3} \right)\).

C. \(\overrightarrow u  = \left( {3;4} \right)\).

D. \(\overrightarrow u  = \left( {1; - 2} \right)\).

Câu 13: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( {3; - 1} \right),B\left( { - 6;2} \right)\) là

A. \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 3t\\y = 2t\end{array} \right.\).

B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 3t\\y =  - 1 - t\end{array} \right.\).

C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 3t\\y =  - 6 - t\end{array} \right.\).

D. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 3t\\y =  - 1 + t\end{array} \right.\).

Câu 14: Trong mặt phẳng \(Oxy\), đường thẳng \(d:\,x - 2y - 1 = 0\) song song với đường thẳng có phương trình nào sau đây?

A. \(x + 2y + 1 = 0\).

B. \(2x - y = 0\).

C. \( - x + 2y + 1 = 0\).

D. \( - 2x + 4y - 1 = 0\).

Câu 15: Tìm cosin góc giữa \(2\) đường thẳng \({d_1}:x + 2y - 7 = 0,{d_2}:2x - 4y + 9 = 0\).

A. \(\frac{3}{{\sqrt 5 }}\).

B. \(\frac{2}{{\sqrt 5 }}\).

C. \(\frac{1}{5}\).

D. \(\frac{3}{5}\).

Câu 16: Khoảng cách từ điểm \(A( - 3;2)\) đến đường thẳng \(\Delta :3x - y + 1 = 0\) bằng:

A. \(\sqrt {10} .\)

B. \(\frac{{11\sqrt 5 }}{5}.\)

C. \(\frac{{10\sqrt 5 }}{5}.\)

D. \(\frac{{11}}{{\sqrt {10} }}.\)

Câu 17: Tìm tọa độ tâm \(I\) và bán kính \(R\) của đường tròn \(\left( C \right)\): \({x^2} + {y^2} - 2x + 4y + 1 = 0\).

A. \(I\left( { - 1;2} \right);R = 4\).

B. \(I\left( {1; - 2} \right);R = 2\).

C. \(I\left( { - 1;2} \right);R = \sqrt 5 \).

D. \(I\left( {1; - 2} \right);R = 4\).

Câu 18: Phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn tâm \(I\left( { - 1;2} \right)\), bán kính bằng \(3\)?

A. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 9\).

B. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 9\).

C. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9\).

D. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9\).

Câu 19: Tọa độ các tiêu điểm của hypebol \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{3} = 1\) là

A. \({F_1} = \left( { - 5;0} \right);{F_2} = \left( {5;0} \right)\).

B. \({F_1} = \left( {0; - 5} \right);{F_2} = \left( {0;5} \right)\).

C. \({F_1} = \left( {0; - \sqrt 7 } \right);{F_2} = \left( {0;\sqrt 7 } \right)\).

D. \({F_1} = \left( { - \sqrt 7 ;0} \right);{F_2} = \left( {\sqrt 7 ;0} \right)\).

Câu 20: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình chính tắc của đường parabol?

A. \({y^2} =  - 6x\).

B. \({y^2} = 6x\).

C. \({x^2} =  - 6y\).

D. \({x^2} = 6y\).

Câu 21: Tìm tập xác định \(D\)của hàm số \(y = \sqrt {2 - x}  - \frac{4}{{\sqrt {x + 4} }}\).

A. \(D = \left[ { - 4;2} \right]\).

B. \(D = \left( { - 4;2} \right]\).

C. \(D = \left[ { - 4;2} \right)\).

D. \(D = \left( { - 2;4} \right]\).

Câu 22: Tìm tất cả các giá trị của \(m\)để hàm số \(y = \frac{{2x}}{{x - m + 1}}\)xác định trên khoảng \(\left( {0\,;2} \right)\)?

A. \(1 < m < 3\).

B. \(\left[ \begin{array}{l}m < 1\\m > 5\end{array} \right.\).

C. \(3 < m < 5\).

D. \(\left[ \begin{array}{l}m \le 1\\m \ge 3\end{array} \right.\).

Câu 23: Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x + a}}{{x + 5}}\)có \(f\left( { - 4} \right) = 13\). Khi đó giá trị của \(a\)là

A. \(a = 11\).

B. \(a = 21\).

C. \(a =  - 3\).

D. \(a = 3\).

Câu 24: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số \(y = {x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x - 3\) đồng biến trên khoảng \(\left( {4;2018} \right)\)?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Câu 25: Cho hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) có đồ thị như bên.

 

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \(a > 0,b < 0,c < 0.\)

B. \(a > 0,b < 0,c > 0.\)

C. \(a > 0,b > 0,c < 0.\)

D. \(a < 0,b < 0,c > 0.\)

Câu 26: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của \(x\) thỏa mãn \(\frac{{x + 3}}{{{x^2} - 4}} - \frac{1}{{x + 2}} < \frac{{2x}}{{2x - {x^2}}}\)?

A. \(0.\)

B. \(2.\)

C. \(1.\)

D. \(3.\)

Câu 27: Định \(m\) để hàm số \(y = f\left( x \right) =  - {x^2} + 2\left( {m - 4} \right)x + 2m - 11\) luôn âm.

A. \(\left[ \begin{array}{l}m < 1\\m > 5\end{array} \right.\).

B. \(1 < m < 5\).

C. \(\left[ \begin{array}{l}m <  - 5\\m >  - 1\end{array} \right.\).

D. \( - 5 < m <  - 1\).

Câu 28: Tổng các nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} + 2x - 3}  = \sqrt {15 - 5x} \)là

A. \(S = 7\).

B. \(S =  - 7\).

C. \(S = 6\).

D. \(S = 4\).

Câu 29: Phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {1; - 2} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(\Delta :3x - 2y + 1 = 0\) là:

A. \(3x - 2y - 7 = 0\).

B. \(2x + 3y + 4 = 0\).

C. \(x + 3y + 5 = 0\).

D. \(2x + 3y - 3 = 0\).

Câu 30: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {1;4} \right)\), \(B\left( {3;2} \right)\) và \(C\left( {7;3} \right).\) Viết phương trình tham số của đường trung tuyến \(CM\) của tam giác.

A. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 7\\y = 3 + 5t\end{array} \right..\)

B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 5t\\y =  - 7\end{array} \right..\)

C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 7 + t\\y = 3\end{array} \right..\)

D. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3 - t\end{array} \right..\)

Câu 31: Trong mặt phẳng tọa độ \(\left( {Oxy} \right),\) cho các điểm \(A\left( {1;2} \right),B\left( {2; - 1} \right)\). Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A\), sao cho khoảng cách từ điểm \(B\) đến đường thẳng \(\Delta \) nhỏ nhất có phương trình là?

A. \(3x + y - 5 = 0\).

B. \(x - 3y + 5 = 0\).

C. \(3x + y - 1 = 0\).

D. \(x - 3y - 1 = 0\).

Câu 32: Trong mặt phẳng \(Oxy\), đường tròn đi qua ba điểm \(A\left( {1;2} \right)\), \(B\left( {5;2} \right)\), \(C\left( {1; - 3} \right)\) có phương trình là.

A. \({x^2} + {y^2} + 25x + 19y - 49 = 0\).

B. \(2{x^2} + {y^2} - 6x + y - 3 = 0\).

C. \({x^2} + {y^2} - 6x + y - 1 = 0\).

D. \({x^2} + {y^2} - 6x + xy - 1 = 0\).

Câu 33: Trên hệ trục tọa độ \(Oxy\), cho đường tròn \((C)\) có tâm \(I\left( { - 3;2} \right)\) và một tiếp tuyến của nó có phương trình là \(3x + 4y - 9 = 0\). Viết phương trình của đường tròn \((C)\).

A. \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 2\).

B. \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 2\).

C. \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\)

D. \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\).

Câu 34: Cho elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{169}} + \frac{{{y^2}}}{{144}} = 1\) và điểm \(M\) thuộc \(\left( E \right)\) có hoành độ \({x_M} =  - 13\). Khoảng cách từ \(M\) đến hai tiêu điểm của \(\left( E \right)\) lần lượt là

A. \(10\) và \(6\).

B. \(8\) và \(18\).

C. \(13\) và \( \pm \sqrt 5 \).

D. \(13\) và \( \pm \sqrt {10} \).

Câu 35: Cho parabol \(\left( P \right):\,{y^2} = 4x\) và hai điểm \(M\left( {0;\, - 4} \right),\,N\left( { - 6;\,4} \right)\). Tìm toạ độ điểm \(A \in \left( P \right)\) sao cho \(\Delta AMN\) vuông tại \(M\)?

A. \({A_1}\left( {16;\,8} \right),\,\,{A_2}\left( {\frac{{16}}{9};\, - \frac{8}{3}} \right)\).

B. \({A_1}\left( {16;\,9} \right),\,\,{A_2}\left( {\frac{{16}}{9};\, - \frac{8}{3}} \right)\).

C. \({A_1}\left( {16;\,8} \right),\,\,{A_2}\left( {\frac{{16}}{9};\, - \frac{1}{3}} \right)\).

D. \({A_1}\left( {16;\,8} \right),\,\,{A_2}\left( {\frac{{15}}{9};\, - \frac{8}{3}} \right)\).

Phần tự luận (3 điểm)

Bài 1. Cổng Arch tại thành phố St.Louis của Mỹ có hình dạng là một parabol. Biết khoảng cách giữa hai chân cổng bằng m. Trên thành cổng, tại vị trí có độ cao m so với mặt đất, người ta thả một sợi dây chạm đất. Vị trí chạm đất của đầu sợi dây này cách chân cổng  một đoạn m. Giả sử các số liệu trên là chính xác. Hãy tính độ cao của cổng Arch.

 

Bài 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \(M\left( {2;0} \right)\) là trung điểm của cạnh \(AB\). Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là \(7x - 2y - 3 = 0\) và \(6x - y - 4 = 0\). Viết phương trình đường thẳng \(AC\).

Bài 3. Tìm \(m\) để hàm số \(y = \frac{{2\sqrt {x - 2m + 3} }}{{3\left( {x - m} \right)}} + \frac{{x - 2}}{{\sqrt { - x + m + 5} }}\) xác định trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\).

Bài 4. Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho điểm \(C\left( {2;\, - 3} \right)\). Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) qua \(C\) cắt tia \(Ox,\,Oy\) lần lượt tại \(A,\,B\) sao cho \(OA + OB = 4\) và \(OA < OB.\)

-------- Hết --------

Lời giải

Phần trắc nghiệm

 

Câu 1. A	Câu 2. C	Câu 3. D	Câu 4. C	Câu 5. A	Câu 6. D	Câu 7. B
Câu 8. B	Câu 9. A	Câu 10. B	Câu 11. A	Câu 12. A	Câu 13. B	Câu 14. D
Câu 15. D	Câu 16. A	Câu 17. B	Câu 18. D	Câu 19. D	Câu 20. B	Câu 21. B
Câu 22. D	Câu 23. B	Câu 24. D	Câu 25. A	Câu 26. C	Câu 27. B	Câu 28. B
Câu 29. B	Câu 30. C	Câu 31. A	Câu 32. C	Câu 33. D	Câu 34. B	Câu 35. A

Câu 1: Tập xác định của hàm số \(y = \frac{{x - 3}}{{2x - 2}}\) là

A. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

B. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}\).

C. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).

D. \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Lời giải

Điều kiện xác định : \(2x - 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1\)

Nên tập xác định của hàm số là : \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Đáp án A.

Câu 2: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình bên dưới. Khẳng định nào sao đây là đúng?

 

A. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\).

B. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\).

C. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\).

D. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Lời giải

Dựa vào bảng biến thiên: khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) có mũi tên hướng lên, diễn tả hàm số đồng biến.

Đáp án C.

Câu 3: Trong mặt phẳng \(Oxy\), biết điểm \(M( - 1;{y_0})\) thuộc đồ thị hàm số \(y = 4x + 7.\) Giá trị của \({y_0}\) bằng:

A. \(7\).

B. \( - 1\).

C. \( - 2\).

D. \(3\).

Lời giải

Điểm \(M( - 1;{y_0})\) thuộc đồ thị hàm số \(y = 4x + 7\)nên thay \(x =  - 1\) vào \(y = 4x + 7\)ta được:

\({y_0} = 4.( - 1) + 7 = 3\). Vậy \({y_0} = 3.\)

Đáp án D.

Câu 4: Parabol \(\left( P \right):{\rm{ }}y =  - 2{x^2} - 6x + 3\)có hoành độ đỉnh là

A. \(x =  - 3\).

B. \(x = \frac{3}{2}\).

C. \(x =  - \frac{3}{2}\).

D. \(x = 3\).

Lời giải

Parabol \(\left( P \right):{\rm{ }}y =  - 2{x^2} - 6x + 3\)có hoành độ đỉnh là \(x =  - \frac{b}{{2a}}\)\( =  - \frac{{ - 6}}{{2\left( { - 2} \right)}}\)\( =  - \frac{3}{2}\).

Đáp án C.

Câu 5: Bảng biến thiên của hàm số \(y =  - {x^2} + 2x - 1\) là:

Lời giải

\(y =  - {x^2} + 2x - 1\)

Có \(a =  - 1 < 0\), nên loại C và D.

Tọa độ đỉnh \(I\left( {1;0} \right)\), nên nhận A.

Đáp án A.

Câu 6: Cho hàm số \(y =  - {x^2} + 4x + 3.\) Chọn khẳng định đúng.

A. Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)

B. Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}.\)

C. Hàm số đồng biến trên \(\left( {2; + \infty } \right)\).

D. Hàm số nghịch biến trên \(\left( {2; + \infty } \right)\).

Lời giải

Do \(a =  - 1\) nên hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ;2} \right)\) nghịch biến trên \(\left( {2; + \infty } \right)\).

Đáp án D.

Câu 7: Tập nghiệm \(S\) của bất phương trình \({x^2} - x - 6 \le 0\).

A. \(S = \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( {2: + \infty } \right)\).

B. \(\left[ { - 2;3} \right]\).

C. \(\left[ { - 3;2} \right]\).

D. \(\left( { - \infty ; - 3} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\).

Lời giải

Ta có: \({x^2} - x - 6 \le 0 \Leftrightarrow  - 2 \le x \le 3\).

Tập nghiệm bất phương trình là: \(S = \left[ { - 2;3} \right]\).

Đáp án B.

Câu 8: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \({x^2} + mx + 4 = 0\) có nghiệm

A. \( - 4 \le m \le 4\).

B. \(m \le  - 4\;\;hay\;\;m \ge 4\).

C. \(m \le  - 2\;\;hay\;\;m \ge 2\).

D. \( - 2 \le m \le 2\).

Lời giải

Phương trình \({x^2} + mx + 4 = 0\) có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta  \ge 0\)\( \Leftrightarrow {m^2} - 16 \ge 0\)\( \Leftrightarrow m \le  - 4\;\;hay\;\;m \ge 4\)

Đáp án B.

Câu 9: Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + 2x + m\). Với giá trị nào của tham số \(m\) thì \(f\left( x \right) \ge 0,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

A. \(m \ge 1\).

B. \(m > 1\).

C. \(m > 0\).

D. \(m < 2\).

Lời giải

Ta có \(f\left( x \right) \ge 0,\,\forall x \in \mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1 > 0\\\Delta ' = 1 - m \le 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow m \ge 1\).

Đáp án A.

Câu 10: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình và \(\sqrt {{x^2} - 3x + 2}  = \sqrt {x + 2} \)là

A. \(3\).

B. \(4\).

C. \( - 1\).

D. \( - 3\).

Lời giải

Ta có \(\sqrt {{x^2} - 3x + 2}  = \sqrt {x + 2}  \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge  - 2}\\{{x^2} - 3x + 2 = x + 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge  - 2}\\{{x^2} - 4x = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge  - 2}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 4}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\).

Vậy tập nghiệm của phương trình \(S = \left\{ {0;4} \right\}\) nên tổng các nghiệm là \(4\).

Đáp án B.

Câu 11: Phương trình \(\sqrt {x - 1}  = x - 3\) có tập nghiệm là

A. \(S = \left\{ 5 \right\}\).

B. \(S = \left\{ {2;5} \right\}\).

C. \(S = \left\{ 2 \right\}\).

D. \(S = \emptyset \).

Lời giải

Ta có: \(\sqrt {x - 1}  = x - 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3 \ge 0\\x - 1 = {\left( {x - 3} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\{x^2} - 7x + 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 5\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 5\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S = \left\{ 5 \right\}\).

Đáp án A.

Câu 12: Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\): \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 4t\\y =  - 2 + 3t\end{array} \right.\) là:

A. \(\overrightarrow u  = \left( { - 4;3} \right)\).

B. \(\overrightarrow u  = \left( {4;3} \right)\).

C. \(\overrightarrow u  = \left( {3;4} \right)\).

D. \(\overrightarrow u  = \left( {1; - 2} \right)\).

Lời giải

Đường thẳng \(d\): \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 4t\\y =  - 2 + 3t\end{array} \right.\)có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( { - 4;3} \right)\).

Đáp án A.

Câu 13: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( {3; - 1} \right),B\left( { - 6;2} \right)\) là

A. \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 3t\\y = 2t\end{array} \right.\).

B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 3t\\y =  - 1 - t\end{array} \right.\).

C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 3t\\y =  - 6 - t\end{array} \right.\).

D. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 3t\\y =  - 1 + t\end{array} \right.\).

Lời giải

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 9;3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_{AB}}}  = \left( {3; - 1} \right).\)

Suy ra phương trình tham số của đường thẳng \(AB\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 3t\\y =  - 1 - t\end{array} \right.\).

Đáp án B.

Câu 14: Trong mặt phẳng \(Oxy\), đường thẳng \(d:\,x - 2y - 1 = 0\) song song với đường thẳng có phương trình nào sau đây?

A. \(x + 2y + 1 = 0\).

B. \(2x - y = 0\).

C. \( - x + 2y + 1 = 0\).

D. \( - 2x + 4y - 1 = 0\).

Lời giải

Ta kiểm tra lần lượt các đường thẳng

.+) Với \(d{}_1:x + 2y + 1 = 0\) có \(\frac{1}{1} \ne \frac{2}{{ - 2}} \Rightarrow d\) cắt \(d{}_1\).

.+) Với \(d{}_2:2x - y = 0\) có \(\frac{2}{1} \ne \frac{{ - 1}}{{ - 2}} \Rightarrow d\) cắt \(d{}_2\).

.+) Với \(d{}_3: - x + 2y + 1 = 0\) có \(\frac{{ - 1}}{1} = \frac{2}{{ - 2}} \ne \frac{1}{{ - 1}} \Rightarrow d\) trùng \(d{}_3\).

.+) Với \(d{}_4: - 2x + 4y - 1 = 0\) có \(\frac{1}{{ - 2}} = \frac{{ - 2}}{4} \ne \frac{{ - 1}}{{ - 1}} \Rightarrow d\) song song \(d{}_4\).

Đáp án D.

Câu 15: Tìm cosin góc giữa \(2\) đường thẳng \({d_1}:x + 2y - 7 = 0,{d_2}:2x - 4y + 9 = 0\).

A. \(\frac{3}{{\sqrt 5 }}\).

B. \(\frac{2}{{\sqrt 5 }}\).

C. \(\frac{1}{5}\).

D. \(\frac{3}{5}\).

Lời giải

Ta có \(vtpt{\overrightarrow n _{{d_1}}} = \left( {1;2} \right);vtpt{\overrightarrow n _{{d_2}}} = \left( {2; - 4} \right)\)

\(cos\left( {d;d'} \right) = \frac{{\left| {{{\overrightarrow n }_{{d_1}}}.{{\overrightarrow n }_{{d_2}}}} \right|}}{{\left| {{{\overrightarrow n }_{{d_1}}}} \right|.\left| {{{\overrightarrow n }_{{d_2}}}} \right|}} = \frac{{\left| {1.2 - 2.4} \right|}}{{\sqrt 5 .2\sqrt 5 }} = \frac{3}{5}.\)

Đáp án D.

Câu 16: Khoảng cách từ điểm \(A( - 3;2)\) đến đường thẳng \(\Delta :3x - y + 1 = 0\) bằng:

A. \(\sqrt {10} .\)

B. \(\frac{{11\sqrt 5 }}{5}.\)

C. \(\frac{{10\sqrt 5 }}{5}.\)

D. \(\frac{{11}}{{\sqrt {10} }}.\)

Lời giải

Ta có \(d\left( {A;\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.\left( { - 3} \right) - 2 + 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{10}}{{\sqrt {10} }} = \sqrt {10} .\)

Đáp án A.

Câu 17: Tìm tọa độ tâm \(I\) và bán kính \(R\) của đường tròn \(\left( C \right)\): \({x^2} + {y^2} - 2x + 4y + 1 = 0\).

A. \(I\left( { - 1;2} \right);R = 4\).

B. \(I\left( {1; - 2} \right);R = 2\).

C. \(I\left( { - 1;2} \right);R = \sqrt 5 \).

D. \(I\left( {1; - 2} \right);R = 4\).

Lời giải

\(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1; - 2} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} - 1}  = 2\).

Đáp án B.

Câu 18: Phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn tâm \(I\left( { - 1;2} \right)\), bán kính bằng \(3\)?

A. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 9\).

B. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 9\).

C. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9\).

D. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9\).

Lời giải

Phương trình đường tròn tâm \(I\left( { - 1;2} \right)\) và bán kính \(R = 3\) là: \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9\).

Đáp án D.

Câu 19: Tọa độ các tiêu điểm của hypebol \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{3} = 1\) là

A. \({F_1} = \left( { - 5;0} \right);{F_2} = \left( {5;0} \right)\).

B. \({F_1} = \left( {0; - 5} \right);{F_2} = \left( {0;5} \right)\).

C. \({F_1} = \left( {0; - \sqrt 7 } \right);{F_2} = \left( {0;\sqrt 7 } \right)\).

D. \({F_1} = \left( { - \sqrt 7 ;0} \right);{F_2} = \left( {\sqrt 7 ;0} \right)\).

Lời giải

Gọi \({F_1} = \left( { - c;0} \right);{F_2} = \left( {c;0} \right)\) là hai tiêu điểm của \(\left( H \right)\).

Từ phương trình \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{3} = 1\), ta có: \({a^2} = 4\) và \({b^2} = 3\) suy ra \({c^2} = {a^2} + {b^2} = 7 \Rightarrow c = \sqrt 7 ,\left( {c > 0} \right)\).

Vậy tọa độ các tiêu điểm của \(\left( H \right)\)là \({F_1} = \left( { - \sqrt 7 ;0} \right);{F_2} = \left( {\sqrt 7 ;0} \right)\).

Đáp án D.

Câu 20: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình chính tắc của đường parabol?

A. \({y^2} =  - 6x\).

B. \({y^2} = 6x\).

C. \({x^2} =  - 6y\).

D. \({x^2} = 6y\).

Lời giải

Phương trình chính tắc của parabol có dạng \({y^2} = 2px\left( {p > 0} \right)\) nên chỉ có trường hợp B là phương trình chính tắc của đường parabol.

Đáp án B.

Câu 21: Tìm tập xác định \(D\)của hàm số \(y = \sqrt {2 - x}  - \frac{4}{{\sqrt {x + 4} }}\).

A. \(D = \left[ { - 4;2} \right]\).

B. \(D = \left( { - 4;2} \right]\).

C. \(D = \left[ { - 4;2} \right)\).

D. \(D = \left( { - 2;4} \right]\).

Lời giải

Hàm số xác định khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}2 - x \ge 0\\x + 4 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\x >  - 4\end{array} \right..\)

Vậy \(D = \left( { - 4;2} \right]\).

Đáp án B.

Câu 22: Tìm tất cả các giá trị của \(m\)để hàm số \(y = \frac{{2x}}{{x - m + 1}}\) xác định trên khoảng \(\left( {0\,;2} \right)\)?

A. \(1 < m < 3\).

B. \(\left[ \begin{array}{l}m < 1\\m > 5\end{array} \right.\).

C. \(3 < m < 5\).

D. \(\left[ \begin{array}{l}m \le 1\\m \ge 3\end{array} \right.\).

Lời giải

Hàm số \(y = \frac{{2x}}{{x - m + 1}}\) xác định khi \(x - m + 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne m - 1\).

Hàm số xác định trên khoảng \(\left( {0\,;2} \right)\) khi và chỉ khi \(\left[ \begin{array}{l}m - 1 \le 0\\m - 1 \ge 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le 1\\m \ge 3\end{array} \right.\).

Đáp án D.

Câu 23: Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x + a}}{{x + 5}}\) có \(f\left( { - 4} \right) = 13\). Khi đó giá trị của \(a\)là

A. \(a = 11\).

B. \(a = 21\).

C. \(a =  - 3\).

D. \(a = 3\).

Lời giải

Ta có \(f\left( { - 4} \right) = \frac{{2.\left( { - 4} \right) + a}}{{ - 4 + 5}} = 13 \Leftrightarrow a = 21\).

Đáp án B.

Câu 24: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số \(y = {x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x - 3\) đồng biến trên khoảng \(\left( {4;2018} \right)\)?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Lời giải

Hàm số có \(a = 1 > 0,\frac{{ - b}}{{2a}} = m + 1\) nên đồng biến trên khoảng \(\left( {m + 1; + \infty } \right)\).

Do đó để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {4;2018} \right)\) thì ta phải có

\(\left( {4;2018} \right) \subset \left( {m + 1; + \infty } \right) \Leftrightarrow m + 1 \le 4 \Leftrightarrow m \le 3\).

Vậy có ba giá trị nguyên dương của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là 1, 2, 3.

Đáp án D.

Câu 25: Cho hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) có đồ thị như bên.

 

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \(a > 0,b < 0,c < 0.\)

B. \(a > 0,b < 0,c > 0.\)

C. \(a > 0,b > 0,c < 0.\)

D. \(a < 0,b < 0,c > 0.\)

Lời giải

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ \(\left( { = c} \right)\) âm nên \(c < 0\). Suy ra loại B, D.

Đồ thị hướng bề lõm lên trên nên \(a > 0\), hoành độ đỉnh \(\left( { = \frac{{ - b}}{{2a}}} \right)\) dương nên \(\frac{{ - b}}{{2a}} > 0,a > 0 \Rightarrow b < 0\).

Đáp án A.

Câu 26: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của \(x\) thỏa mãn \(\frac{{x + 3}}{{{x^2} - 4}} - \frac{1}{{x + 2}} < \frac{{2x}}{{2x - {x^2}}}\)?

A. \(0.\)

B. \(2.\)

C. \(1.\)

D. \(3.\)

Lời giải

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4 \ne 0\\x + 2 \ne 0\\2x - {x^2} \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x \ne  \pm \,2\end{array} \right..\) Bất phương trình:

\(\frac{{x + 3}}{{{x^2} - 4}} - \frac{1}{{x + 2}} < \frac{{2x}}{{2x - {x^2}}} \Leftrightarrow \frac{{x + 3}}{{{x^2} - 4}} - \frac{1}{{x + 2}} + \frac{{2x}}{{{x^2} - 2x}} < 0 \Leftrightarrow \frac{{2x + 9}}{{{x^2} - 4}} < 0.\)

Bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy \(\frac{{2x + 9}}{{{x^2} - 4}} < 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \,\infty ; - \frac{9}{2}} \right) \cup \left( { - \,2;2} \right).\)

Vậy có chỉ có duy nhất một giá trị nguyên dương của \(x\) \(\left( {x = 1} \right)\) thỏa mãn yêu cầu.

Đáp án C.

Câu 27: Định \(m\) để hàm số \(y = f\left( x \right) =  - {x^2} + 2\left( {m - 4} \right)x + 2m - 11\) luôn âm.

A. \(\left[ \begin{array}{l}m < 1\\m > 5\end{array} \right.\).

B. \(1 < m < 5\).

C. \(\left[ \begin{array}{l}m <  - 5\\m >  - 1\end{array} \right.\).

D. \( - 5 < m <  - 1\).

Lời giải

Ta có \(f\left( x \right) =  - {x^2} + 2\left( {m - 4} \right)x + 2m - 11 < 0,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1 < 0\\\Delta ' = {\left( {m - 4} \right)^2} + 2m - 11 < 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow {m^2} - 6m + 5 < 0 \Leftrightarrow 1 < m < 5\).

Đáp án B.

Câu 28: Tổng các nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} + 2x - 3}  = \sqrt {15 - 5x} \) là

A. \(S = 7\).

B. \(S =  - 7\).

C. \(S = 6\).

D. \(S = 4\).

Lời giải

\(\sqrt {{x^2} + 2x - 3}  = \sqrt {15 - 5x}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}15 - 5x \ge 0\\{x^2} + 2x - 3 = 15 - 5x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 3\\{x^2} + 7x - 18 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 3\\x = 2 \vee x =  - 9\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow x = 2 \vee x =  - 9\)

Vậy \(S = 2 - 9 =  - 7\).

Đáp án B.

Câu 29: Phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {1; - 2} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(\Delta :3x - 2y + 1 = 0\) là:

A. \(3x - 2y - 7 = 0\).

B. \(2x + 3y + 4 = 0\).

C. \(x + 3y + 5 = 0\).

D. \(2x + 3y - 3 = 0\).

Lời giải

Do \(d \bot \Delta  \Rightarrow \overrightarrow {{n_d}} \left( {2;3} \right)\)

Mà đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {1; - 2} \right)\) nên ta có phương trình: \(2\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 3y + 4 = 0\).

Vậy phương trình đường thẳng \(d:2x + 3y + 4 = 0\).

Đáp án B.

Câu 30: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {1;4} \right)\), \(B\left( {3;2} \right)\) và \(C\left( {7;3} \right).\) Viết phương trình tham số của đường trung tuyến \(CM\) của tam giác.

A. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 7\\y = 3 + 5t\end{array} \right..\)

B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 5t\\y =  - 7\end{array} \right..\)

C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 7 + t\\y = 3\end{array} \right..\)

D. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3 - t\end{array} \right..\)

Lời giải

\(\left\{ \begin{array}{l}A\left( {1;4} \right)\\B\left( {3;2} \right)\end{array} \right. \to M\left( {2;3} \right) \to \overrightarrow {MC}  = \left( {5;0} \right) = 5\left( {1;0} \right) \to CM:\left\{ \begin{array}{l}x = 7 + t\\y = 3\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right).\)

Đáp án C.

Câu 31: Trong mặt phẳng tọa độ \(\left( {Oxy} \right),\) cho các điểm \(A\left( {1;2} \right),B\left( {2; - 1} \right)\). Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A\), sao cho khoảng cách từ điểm \(B\) đến đường thẳng \(\Delta \) nhỏ nhất có phương trình là?

A. \(3x + y - 5 = 0\).

B. \(x - 3y + 5 = 0\).

C. \(3x + y - 1 = 0\).

D. \(x - 3y - 1 = 0\).

Lời giải

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1; - 3} \right)\).

Khoảng cách từ điểm \(B\) đến đường thẳng \(\Delta \) nhỏ nhất khi và chỉ khi \(\Delta \) đi qua \(B\), suy ra véc-tơ \(\overrightarrow {AB} \) là véc-tơ chỉ phương của \(\Delta ,\) do đó đường thẳng \(\Delta \) có một véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_\Delta }} \left( {3;1} \right)\).

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là \(3\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + y - 5 = 0.\)

Đáp án A.

Câu 32: Trong mặt phẳng \(Oxy\), đường tròn đi qua ba điểm \(A\left( {1;2} \right)\), \(B\left( {5;2} \right)\), \(C\left( {1; - 3} \right)\) có phương trình là.

A. \({x^2} + {y^2} + 25x + 19y - 49 = 0\).

B. \(2{x^2} + {y^2} - 6x + y - 3 = 0\).

C. \({x^2} + {y^2} - 6x + y - 1 = 0\).

D. \({x^2} + {y^2} - 6x + xy - 1 = 0\).

Lời giải

Gọi \(\left( C \right)\) là phương trình đường tròn đi qua ba điểm \(A,B,C\) với tâm \(I\left( {a;b} \right)\)

\( \Rightarrow \left( C \right)\)có dạng: \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\). Vì đường tròn \(\left( C \right)\) đi qua qua ba điểm \(A,B,C\) nên ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}1 + 4 - 2a - 4b + c = 0\\25 + 4 - 10a - 4b + c = 0\\1 + 9 - 2a + 6b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a - 4b + c =  - 5\\ - 10a - 4b + c =  - 29\\ - 2a + 6b + c =  - 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b =  - \frac{1}{2}\\c =  - 1\end{array} \right.\).

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là \({x^2} + {y^2} - 6x + y - 1 = 0\).

Đáp án C.

Câu 33: Trên hệ trục tọa độ \(Oxy\), cho đường tròn \((C)\) có tâm \(I\left( { - 3;2} \right)\) và một tiếp tuyến của nó có phương trình là \(3x + 4y - 9 = 0\). Viết phương trình của đường tròn \((C)\).

A. \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 2\).

B. \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 2\).

C. \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\)

D. \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\).

Lời giải

Vì đường tròn \((C)\) có tâm \(I\left( { - 3;2} \right)\) và một tiếp tuyến của nó là đường thẳng \(\Delta \) có phương trình là \(3x + 4y - 9 = 0\) nên bán kính của đường tròn là \(R = d(I,\Delta ) = \frac{{\left| {3.( - 3) + 4.2 - 9} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 2\)

Vậy phương trình đường tròn là: \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\)

Đáp án D.

Câu 34: Cho elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{169}} + \frac{{{y^2}}}{{144}} = 1\) và điểm \(M\) thuộc \(\left( E \right)\) có hoành độ \({x_M} =  - 13\). Khoảng cách từ \(M\) đến hai tiêu điểm của \(\left( E \right)\) lần lượt là

A. \(10\) và \(6\).

B. \(8\) và \(18\).

C. \(13\) và \( \pm \sqrt 5 \).

D. \(13\) và \( \pm \sqrt {10} \).

Lời giải

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} =  - 13\\M \in \left( E \right)\end{array} \right. \Rightarrow {y_M} = 0 \Rightarrow M\left( { - 13;0} \right)\).

Ta có \({a^2} = 169\); \({b^2} = 144\) \( \Rightarrow {c^2} = 25 \Rightarrow c = 5\).

Các tiêu điểm của \(\left( E \right)\) là \({F_1}\left( { - 5;0} \right)\), \({F_2}\left( {5;0} \right)\), suy ra \(M{F_1} = 8\), \(M{F_2} = 18\).

Đáp án B.

Câu 35: Cho parabol \(\left( P \right):\,{y^2} = 4x\) và hai điểm \(M\left( {0;\, - 4} \right),\,N\left( { - 6;\,4} \right)\). Tìm toạ độ điểm \(A \in \left( P \right)\) sao cho \(\Delta AMN\) vuông tại \(M\)?

A. \({A_1}\left( {16;\,8} \right),\,\,{A_2}\left( {\frac{{16}}{9};\, - \frac{8}{3}} \right)\).

B. \({A_1}\left( {16;\,9} \right),\,\,{A_2}\left( {\frac{{16}}{9};\, - \frac{8}{3}} \right)\).

C. \({A_1}\left( {16;\,8} \right),\,\,{A_2}\left( {\frac{{16}}{9};\, - \frac{1}{3}} \right)\).

D. \({A_1}\left( {16;\,8} \right),\,\,{A_2}\left( {\frac{{15}}{9};\, - \frac{8}{3}} \right)\).

Lời giải

Gọi \(A\left( {\frac{{{t^2}}}{4};\,t} \right) \in \left( P \right)\).

\(\overrightarrow {MN}  = \left( { - 6;\,8} \right)\), \(\overrightarrow {MA}  = \left( {\frac{{{t^2}}}{4};\,t + 4} \right)\).

\(\Delta AMN\) vuông tại \(M \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {MA}  = 0 \Leftrightarrow  - \frac{3}{2}{t^2} + 8t + 32 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 8\\t =  - \frac{8}{3}\end{array} \right.\)

Vậy có hai điểm cần tìm là \({A_1}\left( {16;\,8} \right),\,\,{A_2}\left( {\frac{{16}}{9};\, - \frac{8}{3}} \right)\).

Đáp án A.

Phần tự luận (3 điểm)

Bài 1. Cổng Arch tại thành phố St.Louis của Mỹ có hình dạng là một parabol. Biết khoảng cách giữa hai chân cổng bằng m. Trên thành cổng, tại vị trí có độ cao m so với mặt đất, người ta thả một sợi dây chạm đất. Vị trí chạm đất của đầu sợi dây này cách chân cổng  một đoạn m. Giả sử các số liệu trên là chính xác. Hãy tính độ cao của cổng Arch.

 

Lời giải

Gắn hệ toạ độ  sao cho gốc toạ độ trùng với trung điểm của AB, tia  là chiều dương của trục hoành.

 

Parabol có phương trình , đi qua các điểm:  và  nên ta có hệ

 

Suy ra chiều cao của cổng là m.

Bài 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \(M\left( {2;0} \right)\) là trung điểm của cạnh \(AB\). Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là \(7x - 2y - 3 = 0\) và \(6x - y - 4 = 0\). Viết phương trình đường thẳng \(AC\).

Lời giải

 

+) Gọi \(AH\) và \(AD\) lần lượt là các đường cao và trung tuyến kẻ từ \(A\) của tam giác \(ABC\).

+) Tọa độ \(A\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}7x - 2y - 3 = 0\\6x - y - 4 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {1;2} \right)\).

+) \(M\) là trung điểm của \(AB\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 2{x_M} - {x_A} = 3\\{y_B} = 2{y_M} - {y_A} =  - 2\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {3; - 2} \right)\).

+) Đường thẳng \(BC\) đi qua \(B\left( {3; - 2} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(AH\):\(6x - y - 4 = 0\) nên có phương trình \(x--3 + 6\left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 6y + 9 = 0\).

+) \(D\) là giao điểm của \(BC\) và \(AN\) nên tọa độ \(D\) là nghiệm của hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}7x - 2y - 3 = 0\\x + 6y + 9 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y =  - \frac{3}{2}\end{array} \right.\,\, \Rightarrow D\left( {0;\,\, - \frac{3}{2}} \right)\) mà D là trung điểm của BC suy ra \(C\left( { - 3; - 1} \right)\)

+) Đường thẳng \(AC\) đi qua \(A\left( {1;2} \right)\)và \(C\left( { - 3; - 1} \right)\) có phương trình là \(3x - 4y + 5 = 0\).

Bài 3. Tìm \(m\) để hàm số \(y = \frac{{2\sqrt {x - 2m + 3} }}{{3\left( {x - m} \right)}} + \frac{{x - 2}}{{\sqrt { - x + m + 5} }}\) xác định trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\).

Lời giải

*Gọi \(D\)là tập xác định của hàm số \(y = \frac{{2\sqrt {x - 2m + 3} }}{{3\left( {x - m} \right)}} + \frac{{x - 2}}{{\sqrt { - x + m + 5} }}\).

*\(x \in {\rm{D}}\)\( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2m + 3 \ge 0\\x - m\not  = 0\\ - x + m + 5 > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2m - 3\\x\not  = m\\x < m + 5\end{array} \right.\).

*Hàm số \(y = \frac{{\sqrt {x - 2m + 3} }}{{x - m}} + \frac{{3x - 1}}{{\sqrt { - x + m + 5} }}\)xác định trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\)

\( \Leftrightarrow \)\(\left( {0;1} \right) \subset D\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m - 3 \le 0\\m + 5 \ge 1\\m \notin \left( {0;1} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le \frac{3}{2}\\m \ge  - 4\\\left[ \begin{array}{l}m \ge 1\\m \le 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow m \in \left[ { - 4;0} \right] \cup \left[ {1;\frac{3}{2}} \right]\).

Bài 4. Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho điểm \(C\left( {2;\, - 3} \right)\). Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) qua \(C\) cắt tia \(Ox,\,Oy\) lần lượt tại \(A,\,B\) sao cho \(OA + OB = 4\) và \(OA < OB.\)

Lời giải

Gọi \(A\left( {a;\,0} \right),\,\,B\left( {0;\,b} \right)\) với \(a > 0,\,\,b > 0.\)

\(OA < OB\)\( \Leftrightarrow 0 < a < b\,\,\,\,\,(1).\)

Đường thẳng \(\Delta \) qua \(A,\,B\) có phương trình: \(\Delta :\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\).

Đường thẳng \(\Delta \) qua \(C\) \( \Leftrightarrow \frac{2}{a} + \frac{{ - 3}}{b} = 1\,\,\,\,(*).\)

\(OA + OB = 4 \Leftrightarrow a + b = 4 \Leftrightarrow b = 4 - a\) thay vào, ta có:\(\frac{2}{a} + \frac{{ - 3}}{{4 - a}} = 1\,\)

\( \Leftrightarrow {a^2} - 9a + 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1 \Rightarrow b = 3\\a = 8 \Rightarrow b =  - 4\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,(2).\)

Từ và, suy ra \(a = 1,\,\,b = 3\).

Phương trình đường thẳng \(\Delta \) có phương trình là \(\frac{x}{1} + \frac{y}{3} = 1\) hay \(3x + y - 3 = 0.\)