Đề thi giữa kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức - Đề số 1

Đề bài

Phần trắc nghiệm (7 điểm)

Câu 1: Tập xác định của hàm số $y=\frac{x+1}{x-1}$ là:

A. $R\setminus \left\{\pm 1\right\}$.

B. $R\setminus \left\{-1\right\}$.

C. $R\setminus \left\{1\right\}$.

D. $\left(1;+\infty \right)$.

Câu 2: Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên $R$?

A. $y=x$.

B. $y=-2x$.

C. $y=2x$.

D. $y=\frac{1}{2}x$

Câu 3: Cho hàm số $f\left(x\right)=\sqrt{2x^2+1}$. Giá trị $f\left(-2\right)$ bằng

A. $-3$.

B. $3$.

C. $4$.

D. Không xác định.

Câu 4: Khoảng đồng biến của hàm số $y=x^2-4x+3$là

A. $\left(-\infty ;-2\right)$.

B. $\left(-\infty ;2\right)$.

C. $\left(-2;+\infty \right)$.

D. $\left(2;+\infty \right)$.

Câu 5: Trục đối xứng của đồ thị hàm số $y=a{x}^2+bx+c$, $(a\ne 0)$ là đường thẳng nào dưới đây?

A. $x=-\frac{b}{2a}.$

B. $x=-\frac{c}{2a}.$

C. $x=-\frac{\Delta }{4a}.$

D. $x=\frac{b}{2a}$.

Câu 6: Cho parabol $y=a{x}^2+bx+c$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Khẳng định nào dưới đây đúng?

 

A. $a>0.$

B. $a<0.$

C. $a=1.$

D. $a=2.$

Câu 7: Cho $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$, $\left(a\ne 0\right)$ và $\Delta =b^2-4ac$. Cho biết dấu của $\Delta$ khi $f\left(x\right)$ luôn cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $x\in R$.

A. $\Delta <0$.

B. $\Delta =0$.

C. $\Delta >0$.

D. $\Delta \ge 0$.

Câu 8: Tập nghiệm $S$ của bất phương trình $x^2-x-6\le 0$.

A. $S=\left(-\infty ;-3\right)\cup \left(2:+\infty \right)$.

B. $\left[-2;3\right]$.

C. $\left[-3;2\right]$.

D. $\left(-\infty ;-3\right]\cup \left[2;+\infty \right)$.

Câu 9: Tìm tập nghiệm $S$ của bất phương trình $x^2-4x+4>0$.

A. $S=R\setminus \left\{2\right\}$.

B. $S=R$.

C. $S=\left(2;+\infty \right)$.

D. $S=R\setminus \left\{-2\right\}$.

Câu 10: Phương trình $\sqrt{x-1}=x-3$ có tập nghiệm là

A. $S=\left\{5\right\}$.

B. $S=\left\{2;5\right\}$.

C. $S=\left\{2\right\}$.

D. $S=\varnothing$.

Câu 11: Số nghiệm của phương trình $\sqrt{x^2-4x+3}=\sqrt{1-x}$là

A. Vô số.

B. 2.

C. 1.

D. 0.

Câu 12: Trong mặt phẳng $Oxy$, đường thẳng $\left(d\right):ax+by+c=0,\left(a^2+b^2\ne 0\right)$. Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\left(d\right)$?

A. $\overrightarrow{n}=\left(a;-b\right)$.

B. $\overrightarrow{n}=\left(b;a\right)$.

C. $\overrightarrow{n}=\left(b;-a\right)$.

D. $\overrightarrow{n}=\left(a;b\right)$.

Câu 13: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm $A\left(2;-1\right)$ và $B\left(2;5\right)$ là

A. $\{\begin{array}{c}x=2t\\ y=-6t\end{array}$.

B. $\{\begin{array}{c}x=2+t\\ y=5+6t\end{array}$.

C. $\{\begin{array}{c}x=1\\ y=2+6t\end{array}$.

D. $\{\begin{array}{c}x=2\\ y=-1+6t\end{array}$.

Câu 14: Trong mặt phẳng $Oxy$, đường thẳng $d:x-2y-1=0$ song song với đường thẳng có phương trình nào sau đây?

A. $x+2y+1=0$.

B. $2x-y=0$.

C. $-x+2y+1=0$.

D. $-2x+4y-1=0$.

Câu 15: Tính góc giữa hai đường thẳng $\Delta :x-\sqrt{3}y+2=0$ và ${\Delta }^{\prime }:x+\sqrt{3}y-1=0$.

A. ${90}^{\circ }$.

B. ${120}^{\circ }$.

C. ${60}^{\circ }$.

D. ${30}^{\circ }$.

Câu 16: Khoảng cách từ điểm $M\left(5;-1\right)$ đến đường thẳng $3x+2y+13=0$ là:

A. $2\sqrt{13}$.

B. $\frac{28}{\sqrt{13}}$.

C. $26$.

D. $\frac{\sqrt{13}}{2}$.

Câu 17: Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn?

A. $x^2+y^2-6x-10y+30=0$.

B. $x^2+y^2-3x-2y+30=0$.

C. $4x^2+y^2-10x-6y-2=0$.

D. $x^2+2y^2-4x-8y+1=0$.

Câu 18: Phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn tâm $I\left(-1;2\right)$, bán kính bằng $3$?

A. ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2=9$.

B. ${\left(x+1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2=9$.

C. ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=9$.

D. ${\left(x+1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=9$.

Câu 19: Đường elip $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{7}=1$ cắt trục tung tại hai điểm $B_1$, $B_2$. Độ dài $B_1{B}_2$ bằng

A. $2\sqrt{7}$.

B. $\sqrt{7}$.

C. $3$.

D. $6$.

Câu 20: Tọa độ các tiêu điểm của hypebol $\left(H\right):\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$ là

A. $F_1=\left(-5;0\right);F_2=\left(5;0\right)$.

B. $F_1=\left(0;-5\right);F_2=\left(0;5\right)$.

C. $F_1=\left(0;-\sqrt{7}\right);F_2=\left(0;\sqrt{7}\right)$.

D. $F_1=\left(-\sqrt{7};0\right);F_2=\left(\sqrt{7};0\right)$.

Câu 21: Tập xác định của hàm số $y=\sqrt{4-x}+\sqrt{x-2}$ là

A. $D=\left(2;4\right)$

B. $D=\left[2;4\right]$

C. $D=\left\{2;4\right\}$

D. $D=\left(-\infty ;2\right)\cup \left(4;+\infty \right)$

Câu 22: Cho hàm số có đồ thị như hình bên dưới.

 

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(0;3\right)$.

B. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;1\right)$.

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(0;2\right)$.

D. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;3\right)$.

Câu 23: Đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}2x+3khix\le 2\\ x^2-3khix>2\end{array}$ đi qua điểm có tọa độ nào sau đây ?

A. $\left(0;-3\right)$

B. $\left(3;6\right)$

C. $\left(2;5\right)$

D. $\left(2;1\right)$

Câu 24: Cho parabol $y=a{x}^2+bx+c$ có đồ thị như hình sau

 

Phương trình của parabol này là

A. $y=-x^2+x-1$.

B. $y=2x^2+4x-1$.

C. $y=x^2-2x-1$.

D. $y=2x^2-4x-1$.

Câu 25: Tọa độ giao điểm của $\left(P\right):y=x^2-4x$ với đường thẳng $d:y=-x-2$ là

A. $M\left(0;-2\right)$, $N\left(2;-4\right)$.

B. $M\left(-1;-1\right)$, $N\left(-2;0\right)$.

C. $M\left(-3;1\right)$, $N\left(3;-5\right)$.

D. $M\left(1;-3\right)$, $N\left(2;-4\right)$.

Câu 26: Số nghiệm nguyên của bất phương trình $2x^2-3x-15\le 0$ là

A. $6$.

B. $5$.

C. $8$.

D. $7$.

Câu 27: Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để bất phương trình $x^2-\left(m+2\right)x+8m+1\le 0$ vô nghiệm.

A. $m\in \left[0;28\right]$.

B. $m\in \left(-\infty ;0\right)\cup \left(28;+\infty \right)$.

C. $m\in \left(-\infty ;0\right]\cup \left[28;+\infty \right)$.

D. $m\in \left(0;28\right)$.

Câu 28: Số nghiệm của phương trình $\sqrt{x^2-3x+1}=4x-1$ là

A. $0$.

B. $3$.

C. $2$.

D. $1$.

Câu 29: Cho đường thẳng $d$ có phương trình tham số $\{\begin{array}{c}x=5+t\\ y=-9-2t\end{array}$. Phương trình tổng quát của đường thẳng $d$ là

A. $2x+y-1=0$.

B. $-2x+y-1=0$.

C. $x+2y+1=0$.

D. $2x+3y-1=0$.

Câu 30: Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M\left(-2;1\right)$ và vuông góc với đường thẳng $\Delta :\{\begin{array}{c}x=1-3t\\ y=-2+5t\end{array}$ có phương trình tham số là:

A. $\{\begin{array}{c}x=-2-3t\\ y=1+5t\end{array}.$

B. $\{\begin{array}{c}x=-2+5t\\ y=1+3t\end{array}.$

C. $\{\begin{array}{c}x=1-3t\\ y=2+5t\end{array}.$

D. $\{\begin{array}{c}x=1+5t\\ y=2+3t\end{array}.$

Câu 31: Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để khoảng cách từ điểm $A\left(-1;2\right)$ đến đường thẳng $\Delta :mx+y-m+4=0$ bằng $2\sqrt{5}$.

A. $m=2.$

B. $[\begin{array}{c}m=-2\\ m=\frac{1}{2}\end{array}$.

C. $m=-\frac{1}{2}$.

D. Không tồn tại $m$.

Câu 32: Trong mặt phẳng $Oxy$, đường tròn đi qua ba điểm $A\left(1;2\right)$, $B\left(5;2\right)$, $C\left(1;-3\right)$ có phương trình là.

A. $x^2+y^2+25x+19y-49=0$.

B. $2x^2+y^2-6x+y-3=0$.

C. $x^2+y^2-6x+y-1=0$.

D. $x^2+y^2-6x+xy-1=0$.

Câu 33: Trong hệ trục tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $\left(C\right)$ đi qua hai điểm $A\left(1;2\right),B\left(3,4\right)$ và tiếp xúc với đường thẳng $\Delta :3x+y-3=0$, biết tâm của $\left(C\right)$ có tọa độ là những số nguyên. Phương trình đường tròn $\left(C\right)$ là

A. $x^2+y^2-3x-7y+12=0.$

B. $x^2+y^2-6x-4y+5=0.$

C. $x^2+y^2-8x-2y+7=0.$

D. $x^2+y^2-2x-8y+20=0.$

Câu 34: Cho đường hypebol có phương trình $\left(H\right):100x^2-25y^2=100$. Tiêu cự của hypebol đó là

A. $2\sqrt{10}$.

B. $2\sqrt{104}$.

C. $\sqrt{10}$.

D. $\sqrt{104}$.

Câu 35: Cho parabol $\left(P\right):y^2=8x$ có tiêu điểm là

A. $F\left(0;4\right)$.

B. $F\left(0;2\right)$.

C. $F\left(2;0\right)$.

D. $F\left(4;0\right)$.

Phần tự luận (3 điểm)

Bài 1. Một chiếc cổng hình parabol bao gồm một cửa chính hình chữ nhật ở giữa và hai cánh cửa phụ hai bên như hình vẽ. Biết chiều cao cổng parabol là 4m còn kích thước cửa ở giữa là 3m x 4m. Hãy tính khoảng cách giữa hai điểm A và B.

Bài 2. Cho tam giác $ABC$ có $A\left(1;3\right)$ và hai đường trung tuyến $BM:x+7y-10=0$và p$CN:x-2y+2=0$. Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh $BC$ của tam giác $ABC$.

Bài 3. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$để hàm số $y=\frac{mx}{\sqrt{x-m+2}-1}$xác định trên $\left(0;1\right)$.

 

Bài 4. Cho tam giác $ABC$ biết $H\left(3;2\right)$, $G\left(\frac{5}{3};\frac{8}{3}\right)$ lần lượt là trực tâm và trọng tâm của tam giác, đường thẳng $BC$ có phương trình $x+2y-2=0$. Tìm phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$?

 

-------- Hết --------

Lời giải

Phần trắc nghiệm

 

Câu 1. C	Câu 2. B	Câu 3. B	Câu 4. D	Câu 5. A	Câu 6. B	Câu 7. A
Câu 8. B	Câu 9. A	Câu 10. A	Câu 11. C	Câu 12. D	Câu 13. D	Câu 14. D
Câu 15. C	Câu 16. A	Câu 17. A	Câu 18. D	Câu 19. A	Câu 20. D	Câu 21. B
Câu 22. C	Câu 23. B	Câu 24. D	Câu 25. D	Câu 26. A	Câu 27. D	Câu 28. D
Câu 29. A	Câu 30. B	Câu 31. B	Câu 32. C	Câu 33. C	Câu 34. B	Câu 35. C

Câu 1: Tập xác định của hàm số $y=\frac{x+1}{x-1}$ là:

A. $R\setminus \left\{\pm 1\right\}$.

B. $R\setminus \left\{-1\right\}$.

C. $R\setminus \left\{1\right\}$.

D. $\left(1;+\infty \right)$.

Lời giải

Điều kiện xác định: $x-1\ne 0\iff x\ne 1$

Vậy tập xác định của hàm số $y=\frac{x+1}{x-1}$ là $D=R\setminus \left\{1\right\}$

Đáp án C.

Câu 2: Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên $R$?

A. $y=x$.

B. $y=-2x$.

C. $y=2x$.

D. $y=\frac{1}{2}x$

Lời giải

Hàm số $y=ax+b$ với $a\ne 0$ nghịch biến trên $R$ khi và chỉ khi $a<0$.

Đáp án B.

Câu 3: Cho hàm số $f\left(x\right)=\sqrt{2x^2+1}$. Giá trị $f\left(-2\right)$ bằng

A. $-3$.

B. $3$.

C. $4$.

D. Không xác định.

Lời giải

Ta có $f\left(-2\right)=\sqrt{2.{\left(-2\right)}^2+1}=3$.

Đáp án B.

Câu 4: Khoảng đồng biến của hàm số $y=x^2-4x+3$là

A. $\left(-\infty ;-2\right)$.

B. $\left(-\infty ;2\right)$.

C. $\left(-2;+\infty \right)$.

D. $\left(2;+\infty \right)$.

Lời giải

Hàm số $y=x^2-4x+3$có $a=1>0$ nên đồng biến trên khoảng $\left(-\frac{b}{2a};+\infty \right)$.

Vì vậy hàm số đồng biến trên $\left(2;+\infty \right)$.

Đáp án D.

Câu 5: Trục đối xứng của đồ thị hàm số $y=a{x}^2+bx+c$, $(a\ne 0)$ là đường thẳng nào dưới đây?

A. $x=-\frac{b}{2a}.$

B. $x=-\frac{c}{2a}.$

C. $x=-\frac{\Delta }{4a}.$

D. $x=\frac{b}{2a}$.

Lời giải

Đáp án A.

Câu 6: Cho parabol $y=a{x}^2+bx+c$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Khẳng định nào dưới đây đúng?

 

A. $a>0.$

B. $a<0.$

C. $a=1.$

D. $a=2.$

Lời giải

Bề lõm hướng xuống $a<0.$

Đáp án B.

Câu 7: Cho $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$, $\left(a\ne 0\right)$ và $\Delta =b^2-4ac$. Cho biết dấu của $\Delta$ khi $f\left(x\right)$ luôn cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $x\in R$.

A. $\Delta <0$.

B. $\Delta =0$.

C. $\Delta >0$.

D. $\Delta \ge 0$.

Lời giải

Theo định lý về dấu của tam thức bậc hai thì $f\left(x\right)$ luôn cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $x\in R$ khi $\Delta <0$.

Đáp án A.

Câu 8: Tập nghiệm $S$ của bất phương trình $x^2-x-6\le 0$.

A. $S=\left(-\infty ;-3\right)\cup \left(2:+\infty \right)$.

B. $\left[-2;3\right]$.

C. $\left[-3;2\right]$.

D. $\left(-\infty ;-3\right]\cup \left[2;+\infty \right)$.

Lời giải

Ta có: $x^2-x-6\le 0\iff -2\le x\le 3$.

Tập nghiệm bất phương trình là: $S=\left[-2;3\right]$.

Đáp án B.

Câu 9: Tìm tập nghiệm $S$ của bất phương trình $x^2-4x+4>0$.

A. $S=R\setminus \left\{2\right\}$.

B. $S=R$.

C. $S=\left(2;+\infty \right)$.

D. $S=R\setminus \left\{-2\right\}$.

Lời giải

* Bảng xét dấu:

* Tập nghiệm của bất phương trình là $S=R\setminus \left\{2\right\}$.

Đáp án A.

Câu 10: Phương trình $\sqrt{x-1}=x-3$ có tập nghiệm là

A. $S=\left\{5\right\}$.

B. $S=\left\{2;5\right\}$.

C. $S=\left\{2\right\}$.

D. $S=\varnothing$.

Lời giải

Ta có: $\sqrt{x-1}=x-3\iff \{\begin{array}{c}x-3\ge 0\\ x-1={\left(x-3\right)}^2\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x\ge 3\\ x^2-7x+10=0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x\ge 3\\ [\begin{array}{c}x=2\\ x=5\end{array}\end{array}\iff x=5$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S=\left\{5\right\}$.

Đáp án A.

Câu 11: Số nghiệm của phương trình $\sqrt{x^2-4x+3}=\sqrt{1-x}$là

A. Vô số.

B. 2.

C. 1.

D. 0.

Lời giải

Ta có $\sqrt{x^2-4x+3}=\sqrt{1-x}$

$\iff$ $\{\begin{array}{c}1-x\ge 0\\ x^2-4x+3=1-x\end{array}$$\iff$$\{\begin{array}{c}x\le 1\\ x^2-3x+2=0\end{array}$$\iff$ $\{\begin{array}{c}x\le 1\\ [\begin{array}{c}x=1\\ x=2\end{array}\end{array}$$\iff$$x=1$.

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm.

Đáp án C.

Câu 12: Trong mặt phẳng $Oxy$, đường thẳng $\left(d\right):ax+by+c=0,\left(a^2+b^2\ne 0\right)$. Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\left(d\right)$?

A. $\overrightarrow{n}=\left(a;-b\right)$.

B. $\overrightarrow{n}=\left(b;a\right)$.

C. $\overrightarrow{n}=\left(b;-a\right)$.

D. $\overrightarrow{n}=\left(a;b\right)$.

Lời giải

Ta có một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\left(d\right)$là $\overrightarrow{n}=\left(a;b\right)$.

Do đó chọn đáp án

D. $\overrightarrow{n_1}=\left(-a;b\right).$

Đáp án D.

Câu 13: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm $A\left(2;-1\right)$ và $B\left(2;5\right)$ là

A. $\{\begin{array}{c}x=2t\\ y=-6t\end{array}$.

B. $\{\begin{array}{c}x=2+t\\ y=5+6t\end{array}$.

C. $\{\begin{array}{c}x=1\\ y=2+6t\end{array}$.

D. $\{\begin{array}{c}x=2\\ y=-1+6t\end{array}$.

Lời giải

Vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}=\left(0;6\right)$.

Phương trình đường thẳng $AB$ đi qua $A$ và có vecto chỉ phương $\overrightarrow{AB}=\left(0;6\right)$ là $\{\begin{array}{c}x=2\\ y=-1+6t\end{array}$

Đáp án D.

Câu 14: Trong mặt phẳng $Oxy$, đường thẳng $d:x-2y-1=0$ song song với đường thẳng có phương trình nào sau đây?

A. $x+2y+1=0$.

B. $2x-y=0$.

C. $-x+2y+1=0$.

D. $-2x+4y-1=0$.

Lời giải

Ta kiểm tra lần lượt các đường thẳng

.+) Với $d{}_1:x+2y+1=0$ có $\frac{1}{1}\ne \frac{2}{-2}\Rightarrow d$ cắt $d{}_1$.

.+) Với $d{}_2:2x-y=0$ có $\frac{2}{1}\ne \frac{-1}{-2}\Rightarrow d$cắt $d{}_2$.

.+) Với $d{}_3:-x+2y+1=0$ có $\frac{-1}{1}=\frac{2}{-2}\ne \frac{1}{-1}\Rightarrow d$trùng $d{}_3$.

.+) Với $d{}_4:-2x+4y-1=0$ có $\frac{1}{-2}=\frac{-2}{4}\ne \frac{-1}{-1}\Rightarrow d$ song song $d{}_4$.

Đáp án D.

Câu 15: Tính góc giữa hai đường thẳng $\Delta :x-\sqrt{3}y+2=0$ và ${\Delta }^{\prime }:x+\sqrt{3}y-1=0$.

A. ${90}^{\circ }$.

B. ${120}^{\circ }$.

C. ${60}^{\circ }$.

D. ${30}^{\circ }$.

Lời giải

Đường thẳng $\Delta$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(1;-\sqrt{3}\right)$, đường thẳng ${\Delta }^{\prime }$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n^{\prime }}=\left(1;\sqrt{3}\right)$.

Gọi $\alpha$ là góc giữa hai đường thẳng $\Delta ,{\Delta }^{\prime }.$$\cos \alpha =\left|\cos \left(\overrightarrow{n},\overrightarrow{n^{\prime }}\right)\right|=\frac{\left|1-3\right|}{\sqrt{1+3}.\sqrt{1+3}}=\frac{1}{2}\Rightarrow \alpha ={60}^{\circ }$.

Đáp án C.

Câu 16: Khoảng cách từ điểm $M\left(5;-1\right)$ đến đường thẳng $3x+2y+13=0$ là:

A. $2\sqrt{13}$.

B. $\frac{28}{\sqrt{13}}$.

C. $26$.

D. $\frac{\sqrt{13}}{2}$.

Lời giải

Khoảng cách $d=\frac{\left|3.5+2.\left(-1\right)+13\right|}{\sqrt{3^2+2^2}}=\frac{26}{\sqrt{13}}=2\sqrt{13}$.

Đáp án A.

Câu 17: Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn?

A. $x^2+y^2-6x-10y+30=0$.

B. $x^2+y^2-3x-2y+30=0$.

C. $4x^2+y^2-10x-6y-2=0$.

D. $x^2+2y^2-4x-8y+1=0$.

Lời giải

Phương trình đường tròn đã cho có dạng: $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ là phương trình đường tròn $\iff a^2+b^2-c>0.$

Xét đáp án A, ta có $a=3,b=5,c=30$ $\Rightarrow a^2+b^2-c=4>0$.

Đáp án A.

Câu 18: Phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn tâm $I\left(-1;2\right)$, bán kính bằng $3$?

A. ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2=9$.

B. ${\left(x+1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2=9$.

C. ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=9$.

D. ${\left(x+1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=9$.

Lời giải

Phương trình đường tròn tâm $I\left(-1;2\right)$ và bán kính $R=3$ là: ${\left(x+1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=9$.

Đáp án D.

Câu 19: Đường elip $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{7}=1$ cắt trục tung tại hai điểm $B_1$, $B_2$. Độ dài $B_1{B}_2$ bằng

A. $2\sqrt{7}$.

B. $\sqrt{7}$.

C. $3$.

D. $6$.

Lời giải

Ta có $x=0\Rightarrow y=\pm \sqrt{7}$.

Elip cắt trục tung tại hai điểm $B_1\left(0;-\sqrt{7}\right)$, $B_2\left(0;\sqrt{7}\right)$. Suy ra $B_1{B}_2=2\sqrt{7}$.

Đáp án A.

Câu 20: Tọa độ các tiêu điểm của hypebol $\left(H\right):\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$ là

A. $F_1=\left(-5;0\right);F_2=\left(5;0\right)$.

B. $F_1=\left(0;-5\right);F_2=\left(0;5\right)$.

C. $F_1=\left(0;-\sqrt{7}\right);F_2=\left(0;\sqrt{7}\right)$.

D. $F_1=\left(-\sqrt{7};0\right);F_2=\left(\sqrt{7};0\right)$.

Lời giải

Gọi $F_1=\left(-c;0\right);F_2=\left(c;0\right)$ là hai tiêu điểm của $\left(H\right)$.

Từ phương trình $\left(H\right):\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$, ta có: $a^2=4$ và $b^2=3$ suy ra $c^2=a^2+b^2=7\Rightarrow c=\sqrt{7},\left(c>0\right)$.

Vậy tọa độ các tiêu điểm của $\left(H\right)$là $F_1=\left(-\sqrt{7};0\right);F_2=\left(\sqrt{7};0\right)$.

Đáp án D.

Câu 21: Tập xác định của hàm số $y=\sqrt{4-x}+\sqrt{x-2}$ là

A. $D=\left(2;4\right)$

B. $D=\left[2;4\right]$

C. $D=\left\{2;4\right\}$

D. $D=\left(-\infty ;2\right)\cup \left(4;+\infty \right)$

Lời giải

Điều kiện: $\{\begin{array}{c}4-x\ge 0\\ x-2\ge 0\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{c}x\le 4\\ x\ge 2\end{array}$ suy ra TXĐ: $D=\left[2;4\right]$.

Đáp án B.

Câu 22: Cho hàm số có đồ thị như hình bên dưới.

 

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(0;3\right)$.

B. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;1\right)$.

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(0;2\right)$.

D. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;3\right)$.

Lời giải

Trên khoảng $\left(0;2\right)$, đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải nên hàm số nghịch biến.

Đáp án C.

Câu 23: Đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}2x+3khix\le 2\\ x^2-3khix>2\end{array}$ đi qua điểm có tọa độ nào sau đây ?

A. $\left(0;-3\right)$

B. $\left(3;6\right)$

C. $\left(2;5\right)$

D. $\left(2;1\right)$

Lời giải

Thay tọa độ điểm $\left(0;-3\right)$vào hàm số ta được : $f\left(0\right)=3\ne -3$ nên loại đáp án A

Thay tọa độ điểm $\left(3;6\right)$vào hàm số ta được : $f\left(3\right)=9-3=6$, thỏa mãn nên chọn đáp án B

Đáp án B.

Câu 24: Cho parabol $y=a{x}^2+bx+c$ có đồ thị như hình sau

 

Phương trình của parabol này là

A. $y=-x^2+x-1$.

B. $y=2x^2+4x-1$.

C. $y=x^2-2x-1$.

D. $y=2x^2-4x-1$.

Lời giải

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm $\left(0;-1\right)$ nên $c=-1$.

Tọa độ đỉnh $I\left(1;-3\right)$, ta có phương trình: $\{\begin{array}{c}-\frac{b}{2a}=1\\ a{.1}^2+b.1-1=-3\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{c}2a+b=0\\ a+b=-2\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{c}a=2\\ b=-4\end{array}$.

Vậy parabol cần tìm là: $y=2x^2-4x-1$.

Đáp án D.

Câu 25: Tọa độ giao điểm của $\left(P\right):y=x^2-4x$ với đường thẳng $d:y=-x-2$ là

A. $M\left(0;-2\right)$, $N\left(2;-4\right)$.

B. $M\left(-1;-1\right)$, $N\left(-2;0\right)$.

C. $M\left(-3;1\right)$, $N\left(3;-5\right)$.

D. $M\left(1;-3\right)$, $N\left(2;-4\right)$.

Lời giải

Hoành độ giao điểm của $\left(P\right)$ và $d$ là nghiệm của phương trình:

$x^2-4x=-x-2\iff x^2-3x+2=0\iff [\begin{array}{c}x=1\\ x=2\end{array}$.

Vậy tọa độ giao điểm của $\left(P\right)$ và $d$ là $M\left(1;-3\right)$, $N\left(2;-4\right)$.

Đáp án D.

Câu 26: Số nghiệm nguyên của bất phương trình $2x^2-3x-15\le 0$ là

A. $6$.

B. $5$.

C. $8$.

D. $7$.

Lời giải

Xét $f\left(x\right)=2x^2-3x-15$.

$f\left(x\right)=0$$\iff x=\frac{3\pm \sqrt{129}}{4}$.

Ta có bảng xét dấu:

 

 Tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left[\frac{3-\sqrt{129}}{4};\frac{3+\sqrt{129}}{4}\right]$.

Do đó bất phương trình có $6$ nghiệm nguyên là $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$, $3$.

Đáp án A.

Câu 27: Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để bất phương trình $x^2-\left(m+2\right)x+8m+1\le 0$ vô nghiệm.

A. $m\in \left[0;28\right]$.

B. $m\in \left(-\infty ;0\right)\cup \left(28;+\infty \right)$.

C. $m\in \left(-\infty ;0\right]\cup \left[28;+\infty \right)$.

D. $m\in \left(0;28\right)$.

Lời giải

Bất phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi ${\left(m+2\right)}^2-4\left(8m+1\right)<0$$\iff m^2-28m<0$ $0<m<28$

Đáp án D.

Câu 28: Số nghiệm của phương trình $\sqrt{x^2-3x+1}=4x-1$ là

A. $0$.

B. $3$.

C. $2$.

D. $1$.

Lời giải

Phương trình $\sqrt{x^2-3x+1}=4x-1$$\iff \{\begin{array}{c}4x-1\ge 0\\ x^2-3x+1={\left(4x-1\right)}^2\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}x\ge \frac{1}{4}\\ 15x^2-5x=0\end{array}$$\iff \{\begin{array}{c}x\ge \frac{1}{4}\\ [\begin{array}{c}x=0\left(l\right)\\ x=\frac{1}{3}\left(n\right)\end{array}\end{array}$$\iff x=\frac{1}{3}$.

Đáp án B.

Câu 29: Cho đường thẳng $d$ có phương trình tham số $\{\begin{array}{c}x=5+t\\ y=-9-2t\end{array}$. Phương trình tổng quát của đường thẳng $d$ là

A. $2x+y-1=0$.

B. $-2x+y-1=0$.

C. $x+2y+1=0$.

D. $2x+3y-1=0$.

Lời giải

Đường thẳng $\left(d\right):\{\begin{array}{c}x=5+t\\ y=-9-2t\end{array}$$\iff \{\begin{array}{c}t=x-5\\ y=-9-2t\end{array}$$\Rightarrow y=-9-2\left(x-5\right)$$\iff 2x+y-1=0$.

Đáp án A.

Câu 30: Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M\left(-2;1\right)$ và vuông góc với đường thẳng $\Delta :\{\begin{array}{c}x=1-3t\\ y=-2+5t\end{array}$ có phương trình tham số là:

A. $\{\begin{array}{c}x=-2-3t\\ y=1+5t\end{array}.$

B. $\{\begin{array}{c}x=-2+5t\\ y=1+3t\end{array}.$

C. $\{\begin{array}{c}x=1-3t\\ y=2+5t\end{array}.$

D. $\{\begin{array}{c}x=1+5t\\ y=2+3t\end{array}.$

Lời giải

$\{\begin{array}{c}M\left(-2;1\right)\in d\\ {\vec{u}}_{\Delta }=\left(-3;5\right)\\ d\perp \Delta \end{array}\to \{\begin{array}{c}M\left(-2;1\right)\in d\\ {\vec{n}}_d=\left(-3;5\right)\to {\vec{u}}_d=\left(5;3\right)\end{array}\to d:\{\begin{array}{c}x=-2+5t\\ y=1+3t\end{array}\left(t\in R\right).$

Đáp án B.

Câu 31: Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để khoảng cách từ điểm $A\left(-1;2\right)$ đến đường thẳng $\Delta :mx+y-m+4=0$ bằng $2\sqrt{5}$.

A. $m=2.$

B. $[\begin{array}{c}m=-2\\ m=\frac{1}{2}\end{array}$.

C. $m=-\frac{1}{2}$.

D. Không tồn tại $m$.

Lời giải

$d\left(A;\Delta \right)=\frac{\left|-m+2-m+4\right|}{\sqrt{m^2+1}}=2\sqrt{5}\iff \left|m-3\right|=\sqrt{5}.\sqrt{m^2+1}\iff 4m^2+6m-4=0$

$\iff [\begin{array}{c}m=-2\\ m=\frac{1}{2}\end{array}.$

Đáp án B.

Câu 32: Trong mặt phẳng $Oxy$, đường tròn đi qua ba điểm $A\left(1;2\right)$, $B\left(5;2\right)$, $C\left(1;-3\right)$ có phương trình là.

A. $x^2+y^2+25x+19y-49=0$.

B. $2x^2+y^2-6x+y-3=0$.

C. $x^2+y^2-6x+y-1=0$.

D. $x^2+y^2-6x+xy-1=0$.

Lời giải

Gọi $\left(C\right)$ là phương trình đường tròn đi qua ba điểm $A,B,C$ với tâm $I\left(a;b\right)$

$\Rightarrow \left(C\right)$có dạng: $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$. Vì đường tròn $\left(C\right)$ đi qua qua ba điểm $A,B,C$ nên ta có hệ phương trình:

$\{\begin{array}{c}1+4-2a-4b+c=0\\ 25+4-10a-4b+c=0\\ 1+9-2a+6b+c=0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}-2a-4b+c=-5\\ -10a-4b+c=-29\\ -2a+6b+c=-10\end{array}\iff \{\begin{array}{c}a=3\\ b=-\frac{1}{2}\\ c=-1\end{array}$.

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là $x^2+y^2-6x+y-1=0$.

Đáp án C.

Câu 33: Trong hệ trục tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $\left(C\right)$ đi qua hai điểm $A\left(1;2\right),B\left(3,4\right)$ và tiếp xúc với đường thẳng $\Delta :3x+y-3=0$, biết tâm của $\left(C\right)$ có tọa độ là những số nguyên. Phương trình đường tròn $\left(C\right)$ là

A. $x^2+y^2-3x-7y+12=0.$

B. $x^2+y^2-6x-4y+5=0.$

C. $x^2+y^2-8x-2y+7=0.$

D. $x^2+y^2-2x-8y+20=0.$

Lời giải

Ta có : $\overrightarrow{AB}=(2;2)$ ; đoạn $AB$ có trung điểm $M\left(2;3\right)$

$\Rightarrow$Phương trình đường trung trực của đoạn $AB$ là $d:x+y-5=0$.

Gọi $I$ là tâm của $\left(C\right)$ $\Rightarrow I\in d$$\Rightarrow I\left(a;5-a\right),a\in Z.$

Ta có: $R=IA=d\left(I;\Delta \right)=\sqrt{{\left(a-1\right)}^2+{\left(a-3\right)}^2}=\frac{\left|2a+2\right|}{\sqrt{10}}\iff a=4\Rightarrow I\left(4;1\right),R=\sqrt{10}.$

Vậy phương trình đường tròn là: ${\left(x-4\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=10\iff x^2+y^2-8x-2y+7=0.$

Đáp án C.

Câu 34: Cho đường hypebol có phương trình $\left(H\right):100x^2-25y^2=100$. Tiêu cự của hypebol đó là

A. $2\sqrt{10}$.

B. $2\sqrt{104}$.

C. $\sqrt{10}$.

D. $\sqrt{104}$.

Lời giải

$\left(H\right):100x^2-25y^2=100\iff \frac{x^2}{100}-\frac{y^2}{4}=1$.

$a=10,b=2\Rightarrow c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{104}$.

Tiêu cự của hypebol là $2\sqrt{104}$.

Đáp án B.

Câu 35: Cho parabol $\left(P\right):y^2=8x$ có tiêu điểm là

A. $F\left(0;4\right)$.

B. $F\left(0;2\right)$.

C. $F\left(2;0\right)$.

D. $F\left(4;0\right)$.

Lời giải

Ta có $2p=8\Rightarrow p=4$.

Parabol có tiêu điểm $F\left(2;0\right)$.

Đáp án C.

Phần tự luận (3 điểm)

Bài 1. Một chiếc cổng hình parabol bao gồm một cửa chính hình chữ nhật ở giữa và hai cánh cửa phụ hai bên như hình vẽ. Biết chiều cao cổng parabol là 4m còn kích thước cửa ở giữa là 3m x 4m. Hãy tính khoảng cách giữa hai điểm A và B.

 

Lời giải

 

Gắn hệ trục tọa độ Oxy  như hình vẽ, chiếc cổng là 1 phần của parabol $\left(P\right):y=a{x}^2+bx+c$ với $a<0$.

Do parabol $\left(P\right)$ đối xứng qua trục tung nên có trục đối xứng $x=0\Rightarrow -\frac{b}{2a}=0\iff b=0$ .

Chiều cao của cổng parabol là 4m nên $G\left(0;4\right)\Rightarrow c=4$

$\Rightarrow \left(P\right):y=a{x}^2+4$.

Lại có, kích thước cửa ở giữa là 3m x 4m nên $E\left(2;3\right)\Rightarrow 3=4a+4\Rightarrow a=-\frac{1}{4}$ .

Vậy $\left(P\right):y=-\frac{1}{4}{x}^2+4$.

Ta có $-\frac{1}{4}{x}^2+4=0\iff [\begin{array}{c}x=4\\ x=-4\end{array}$  nên $A\left(-4;0\right);B\left(4;0\right)$ hay $AB=8$.

Bài 2. Cho tam giác $ABC$ có $A\left(1;3\right)$ và hai đường trung tuyến $BM:x+7y-10=0$ và $CN:x-2y+2=0$. Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh $BC$ của tam giác $ABC$.

Lời giải

 

Vì $B\in BM$ nên tọa độ điểm $B$ có dạng $B\left(-7b+10;b\right)$.

Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$.

Khi đó tọa độ điểm $G$ là nghiệm của hệ phương trình

$\{\begin{array}{c}x+7y-10=0\\ x-2y+2=0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=\frac{2}{3}\\ y=\frac{4}{3}\end{array}\Rightarrow G\left(\frac{2}{3};\frac{4}{3}\right)$.

Gọi $P\left(x;y\right)$ là trung điểm của $BC$.

Khi đó $AP$ là đường trung tuyến của tam giác $ABC$.

Suy ra $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AP}\iff \{\begin{array}{c}\frac{2}{3}-1=\frac{2}{3}\left(x-1\right)\\ \frac{4}{3}-3=\frac{2}{3}\left(y-3\right)\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=\frac{1}{2}\\ y=\frac{1}{2}\end{array}\Rightarrow P\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$.

Vì $P$ là trung điểm của $BC$ nên $\{\begin{array}{c}{x}_C=2x_P-x_B\\ y_C=2y_P-y_B\end{array}\iff \{\begin{array}{c}{x}_C=7b-9\\ y_C=1-b\end{array}$ $\Rightarrow C\left(7b-9;1-b\right)$.

Vì $C\in CN$ nên $7b-9-2.\left(1-b\right)+2=0\iff b=1$.

Khi đó $B\left(3;1\right)$, $C\left(-2;0\right)$.

Vậy phương trình đường thẳng $BC$ đi qua hai điểm $B$ và $C$ là $x-5y+2=0$.

Bài 3. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$để hàm số $y=\frac{mx}{\sqrt{x-m+2}-1}$xác định trên $\left(0;1\right)$.

Lời giải

Hàm số xác định trên $\left(0;1\right)\iff \{\begin{array}{c}x-m+2\ge 0\\ \sqrt{x-m+2}-1\ne 0\end{array}\forall x\in \left(0;1\right)$

$\iff \{\begin{array}{c}x\ge m-2\\ \sqrt{x-m+2}\ne 1\end{array}\forall x\in \left(0;1\right)\iff \{\begin{array}{c}x\ge m-2\\ x\ne m-1\end{array}\forall x\in \left(0;1\right)$ $\iff \{\begin{array}{c}m-2\le 0\\ [\begin{array}{c}m-1\ge 1\\ m-1\le 0\end{array}\end{array}\iff \{\begin{array}{c}m\le 2\\ [\begin{array}{c}m\ge 2\\ m\le 1\end{array}\end{array}\iff [\begin{array}{c}m\le 1\\ m=2\end{array}$

Vậy $m\in \left(-\infty ;1\right]\cup \left\{2\right\}$.

Bài 4. Cho tam giác $ABC$ biết $H\left(3;2\right)$, $G\left(\frac{5}{3};\frac{8}{3}\right)$ lần lượt là trực tâm và trọng tâm của tam giác, đường thẳng $BC$ có phương trình $x+2y-2=0$. Tìm phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$?

Lời giải

*) Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

$\Rightarrow \overrightarrow{HI}=\frac{3}{2}\overrightarrow{HG}$$\Rightarrow \{\begin{array}{c}{x}_I-3=\frac{3}{2}\left(\frac{5}{3}-3\right)\\ y_I-2=\frac{3}{2}\left(\frac{8}{3}-2\right)\end{array}$ $\Rightarrow \{\begin{array}{c}{x}_I=1\\ y_I=3\end{array}$

*) Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ $\Rightarrow IM\perp BC$ $\Rightarrow IM:2x-y+1=0$.

$M=IM\cap BC$ $\Rightarrow \{\begin{array}{c}2x-y=-1\\ x+2y=2\end{array}$$\Rightarrow \{\begin{array}{c}x=0\\ y=1\end{array}$$\Rightarrow M\left(0;1\right)$.

Lại có: $\overrightarrow{MA}=3\overrightarrow{MG}$ $\Rightarrow \{\begin{array}{c}{x}_A=3.\frac{5}{3}\\ y_A-1=3.\left(\frac{8}{3}-1\right)\end{array}$ $\Rightarrow \{\begin{array}{c}{x}_A=5\\ y_A=6\end{array}$.

Suy ra: bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là $R=IA=5$.

Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=25$.