Đề thi giữa kì 2 Toán 11 Cánh diều - Đề số 2

Câu 1 : Cho số thực dương a và số hữu tỉ $r = \frac{m}{n}$ , trong đó $m, n \in Z, n > 0$ . Ta có:

A.

$a^{r} = a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n m]{a}$ .
B.
$a^{r} = a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[m]{a^{n}}$ .
C.
$a^{r} = a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}$ .
D.
$a^{r} = a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}$ .

Câu 2 : Chọn đáp án đúng

Cho a, b là những số thực dương, $α$ là số thực bất kì. Khi đó:

A.
${(\frac{a}{b})}^{α} = \frac{a^{α}}{b^{α}}$ .
B.
${(\frac{a}{b})}^{α} = \frac{a}{b^{α}}$ .
C.
${(\frac{a}{b})}^{α} = \frac{a^{α}}{b}$ .
D.
Cả A, B, C đều sai.

Câu 3 : Chọn đáp án đúng:

A.
${(\sqrt[3]{5})}^{2} = \sqrt[6]{5}$ .
B.
${(\sqrt[3]{5})}^{2} = \sqrt[3]{10}$ .
C.
${(\sqrt[3]{5})}^{2} = \sqrt{5^{^{3}}}$ .
D.
${(\sqrt[3]{5})}^{2} = \sqrt[3]{5^{2}}$ .

Câu 4 : Rút gọn biểu thức ${(a^{\sqrt{3}} . b^{\frac{- 6}{\sqrt{3}}})}^{\frac{1}{\sqrt{3}}}$ (với $a, b > 0$ ) được kết quả là:

A.
$a^{2}$ .
B.
$\frac{a}{b^{2}}$ .
C.
$\frac{b}{a}$ .
D.
$a b^{2}$ .

Câu 5 : Giá trị của biểu thức ${(\sqrt{5} - 2)}^{2024} . {(\sqrt{5} + 2)}^{2025}$

A.
$\sqrt{5} + 2$ .
B.
$\sqrt{5} - 2$ .
C.
$- \sqrt{5} + 2$ .
D.
$- \sqrt{5} - 2$ .

Câu 6 : Chọn đáp án đúng.

Với $0 < a \neq 1, b, c > 0$ thì:

A.
$\log_{a} (b c) = \log_{a} b + \log_{a} c$ .
B.
$\log_{a} (b c) = \log_{a} b . \log_{a} c$ .
C.
$\log_{a} (b c) = \frac{1}{2} \log_{a} b . \log_{a} c$ .
D.
$\log_{a} (b c) = \log_{a} b - \log_{a} c$ .

Câu 7 : Chọn đáp án đúng.

Với a, b, c là các số dương và $a \neq 1, b \neq 1$ thì:

A.
$\log_{a} c = \log_{b} c . \log_{b} a$ .
B.
$\log_{a} c = \frac{\log_{b} c}{\log_{b} a}$ .
C.
$\log_{a} c = \log_{b} c + \log_{b} a$ .
D.
$\log_{a} c = \frac{\log_{a} c}{\log_{b} c}$ .

Câu 8 : Khẳng định nào sau đây đúng?

A.
Lôgarit tự nhiên của số thực dương a kí hiệu là $\frac{1}{\ln a}$ .
B.
Lôgarit tự nhiên của số thực dương của a kí hiệu là $\log a$ .
C.
Lôgarit tự nhiên của số thực dương a kí hiệu là $\frac{1}{\log a}$ .
D.
Lôgarit tự nhiên của số thực dương a kí hiệu là $\ln a$ .

Câu 9 : Tính $\log_{8} 1250$ theo a biết $a = \log_{2} 5$ .

A.
$\log_{8} 1250 = 4 a + 3$ .
B.
$\log_{8} 1250 = \frac{4}{3} a + \frac{1}{3}$ .
C.
$\log_{8} 1250 = 2 a + \frac{1}{3}$ .
D.
$\log_{8} 1250 = 2 a - \frac{1}{3}$ .

Câu 10 : Chọn đáp án đúng:

A.
$\log_{a} (a^{2} \sqrt[3]{a \sqrt{a}}) = \frac{5}{2}$ .
B.
$\log_{a} (a^{2} \sqrt[3]{a \sqrt{a}}) = 1$ .
C.
$\log_{a} (a^{2} \sqrt[3]{a \sqrt{a}}) = \frac{5}{4}$ .
D.
$\log_{a} (a^{2} \sqrt[3]{a \sqrt{a}}) = \frac{5}{3}$ .

Câu 11 : Đồ thị hàm số $y = \log_{a} x (a > 0, a \neq 1)$ đi qua điểm:

A.
$A (1; 0)$ .
B.
$B (0; 1)$ .
C.
$C (0; - 1)$ .
D.
$D (a; 0)$ .

Câu 12 : Hàm số nào dưới đây là hàm số lôgarit cơ số 2?

A.
$y = 2^{x}$ .
B.
$y = \log_{x} 2$ .
C.
$y = \log_{2} x$ .
D.
$y = \ln (2 x)$ .

Câu 13 : Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên $R$ ?

A.
$y = 2^{x}$ .
B.
$y = {(\frac{1}{2})}^{x}$ .
C.
$y = e^{x}$ .
D.
$y = π^{x}$ .

Câu 14 : Tập giá trị của hàm số $y = a^{x} (a > 0, a \neq 1)$ là:

A.
$T = R$ .
B.
$T = (- \infty; 0)$ .
C.
$T = (0; + \infty)$ .
D.
$T = (- 1; 1)$ .

Câu 15 : Tập xác định của hàm số $y = 8^{\sqrt{x^{2} - 4}}$ là:

A.
$D = (- 2; 2)$ .
B.
$D = (- \infty; - 2] \cup [2; + \infty)$ .
C.
$D = [- 2; 2]$ .
D.
$D = (- \infty; - 2) \cup (2; + \infty)$ .

Câu 16 : Cho hàm số $y = f (x) = \log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} x$ . Biết rằng: $max_{x \in [\frac{1}{3}; 3]} y = M, min_{x \in [\frac{1}{3}; 3]} y = m$ . Khi đó:

A.
$M . m = 2$ .
B.
$M . m = - 1$ .
C.
$M . m = 4$ .
D.
$M . m = 1$ .

Câu 17 : Mỗi nhóm số liệu gồm một số giá trị của mẫu số liệu được ghép nhóm theo một tiêu chí xác định có dạng $[a; b)$ . Độ dài của nhóm $[a; b)$ là:

A.
$a + b$ .
B.
$a - b$ .
C.
$b - a$ .
D.
$b + 2 a$ .

Câu 18 : Cho hai biến cố A và B. Chọn đáp án đúng.

A.
$P (A \cup B) = P (A) + P (B) + P (A \cap B)$ .
B.
$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ .
C.
$P (A \cup B) = P (A) . P (B)$ .
D.
$P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ .

Câu 19 : Kết quả kiểm tra môn Tiếng Anh của lớp 11E được cho ở bảng tần số ghép nhóm sau:

Nhóm $[7; 9)$ có tần số là:

A.
6.
B.
10.
C.
16.
D.
9.

Câu 20 : Cho hai biến cố A và B, biến cố giao của hai biến cố A và B kí hiệu là:

A.
$A \cup B$ .
B.
$A \cap B$ .
C.
$\frac{A}{B}$ .
D.
$A + B$ .

Câu 21 : Một hộp có 12 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1; 2; 3; …; 12; hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một chiếc thẻ trong hộp. Gọi A là biến cố: “Số xuất hiện trên thẻ rút ra là số chia hết cho 3”, B là biến cố: “Số xuất hiện trên thẻ rút ra là số chia hết cho 2”. Chọn đáp án đúng.

A.
$A \cup B = {3; 6; 9; 12}$ .
B.
$A \cup B = {2; 4; 6; 8; 10; 12}$ .
C.
$A \cup B = {6; 12}$ .
D.
$A \cup B = {2; 3; 4; 6; 8; 9; 10; 12}$ .

Câu 22 : Cho hai biến cố độc lập A và B. Biết rằng $P (A) = 0, 4$ và $P (B) = 0, 6$ . Xác suất của biến cố $\bar{A} B$ là:

A.
0,36.
B.
0,24.
C.
0,6.
D.
0,4.

Câu 23 : Bảng tần số ghép nhóm số liệu dưới đây thống kê cân nặng của 40 học sinh lớp 11A trong một trường trung học phổ thông (đơn vị: kilôgam). Cân nặng trung bình của 40 học sinh đó là:

A.
54kg.
B.
51kg.
C.
55kg.
D.
56kg.

Câu 24 : Hai đường thẳng a, b được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng:

A.
180⁰.
B.
150⁰.
C.
90⁰.
D.
Cả A, B, C đều sai.

Câu 25 : Trong không gian, khẳng định nào sau đây là đúng?

A.
Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại.
B.
Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì song song với đường thẳng còn lại.
C.
Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
D.
Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.

Câu 26 : Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, $S A = a \sqrt{3}$ và $S A ⊥ B C$ . Góc giữa SD và BC bằng:

A.
$45^{0}$ .
B.
$60^{0}$ .
C.
$30^{0}$ .
D.
$70^{0}$ .

Câu 27 : Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của SA và SC. Góc giữa IJ và BD bằng:

A.
$60^{0}$ .
B.
$90^{0}$ .
C.
$80^{0}$ .
D.
$70^{0}$ .

Câu 28 : Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A.
Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng (P) thì d vuông góc với bất kì đường thẳng nào nằm trong (P).
B.
Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) thì d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P).
C.
Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) thì d vuông góc với mặt phẳng (P).
D.
Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) thì nó vuông góc với bất kì đường thẳng nào trong mặt phẳng (P).

Câu 29 : Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A.
Cho hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc nhau. Khi đó, có một và chỉ một mặt phẳng chứa hai đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia.
B.
Qua một điểm O cho trước có duy nhất một đường thẳng vuông góc với đường thẳng cho trước.
C.
Qua một điểm O cho trước có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng cho trước.
D.
Qua một điểm O cho trước có duy nhất một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

Câu 30 : Chọn đáp án đúng.

Trong không gian, cho đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng (P), đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu d:

A.
Vuông góc với hai đường thẳng phân biệt trong mặt phẳng (P).
B.
Vuông góc với đường thẳng a mà đường thẳng a song song mặt phẳng (P).
C.
Vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P).
D.
Vuông góc với đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P).

Câu 31 : Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P) và b là đường thẳng không nằm trong (P) và không vuông góc với (P). Gọi b’ là hình chiếu vuông góc của b trên (P). Khi đó, a vuông góc với b khi và chỉ khi…

Cụm từ thích hợp điền vào… để được đáp án đúng là:

A.
a vuông góc với $b^{'}$ .
B.
a song song với $b^{'}$ .
C.
a cắt $b^{'}$ .
D.
a và $b^{'}$ chéo nhau.

Câu 32 : Cho hình chóp S. ABC có ABC là tam giác cân tại C, SA vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB và SB. Khẳng định nào dưới đây là sai?

A.
$C H ⊥ A K$ .
B.
$C H ⊥ S B$ .
C.
$C H ⊥ S A$ .
D.
$S B ⊥ A K$ .

Câu 33 : Cho hình chóp S.ABC có $S A ⊥ (A B C)$ và tam giác ABC vuông tại B. Kẻ $A H ⊥ S B (H \in S B)$ . Khẳng định nào dưới đây là sai?

A.
$B C ⊥ S A$ .
B.
$B C ⊥ A H$ .
C.
$A H ⊥ A C$ .
D.
$A H ⊥ S C$ .

Câu 34 : Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết rằng $S A = S C, S B = S D$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.
$A B ⊥ (S A C)$ .
B.
$C D ⊥ A C$ .
C.
$C D ⊥ (S B D)$ .
D.
$S O ⊥ (A B C D)$ .

Câu 35 : Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, $S A ⊥ (A B C D)$ . Hình chiếu vuông góc của điểm D trên mặt phẳng (SAB) là điểm:

A.
S.
B.
A.
C.
B.
D.
E (với E là trung điểm của SB).

Câu 1 : Cho hàm số: $y = \ln [(2 - m) x^{2} - 2 x + 1]$ .

a) Với $m = 1$ , hãy tìm tập xác định của hàm số trên.

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số trên có tập xác định với mọi giá trị thực của x.

Câu 2 : Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên CC’ vuông góc với đáy và $C C^{'} = a$ . Gọi M, I lần lượt là trung điểm của BB’, BC.

a) Chứng minh rằng: $A M ⊥ B C^{'}$ .

b) Gọi K là điểm trên đoạn A’B’ sao cho $B^{'} K = \frac{a}{4}$ và J là trung điểm của B’C’. Chứng minh rằng: $A M ⊥ M K$ và $A M ⊥ K J$ .

Câu 3 : Cho $a x^{3} = b y^{3} = c z^{3}$ và $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1$ (với x, y, z khác 0). Chứng minh rằng:

$\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{c} = \sqrt[3]{a x^{2} + b y^{2} + c z^{2}}$ .

Câu 1 : Cho số thực dương a và số hữu tỉ $r = \frac{m}{n}$ , trong đó $m, n \in Z, n > 0$ . Ta có:

A.

$a^{r} = a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n m]{a}$ .
B.
$a^{r} = a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[m]{a^{n}}$ .
C.
$a^{r} = a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}$ .
D.
$a^{r} = a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Cho số thực dương a và số hữu tỉ $r = \frac{m}{n}$ , trong đó $m, n \in Z, n > 0$ . Ta có: $a^{r} = a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}$ .

Lời giải chi tiết :

Cho số thực dương a và số hữu tỉ $r = \frac{m}{n}$ , trong đó $m, n \in Z, n > 0$ . Ta có: $a^{r} = a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}$ .

Câu 2 : Chọn đáp án đúng

Cho a, b là những số thực dương, $α$ là số thực bất kì. Khi đó:

A.
${(\frac{a}{b})}^{α} = \frac{a^{α}}{b^{α}}$ .
B.
${(\frac{a}{b})}^{α} = \frac{a}{b^{α}}$ .
C.
${(\frac{a}{b})}^{α} = \frac{a^{α}}{b}$ .
D.
Cả A, B, C đều sai.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Cho a, b là những số thực dương, $α$ là số thực bất kì. Khi đó, ${(\frac{a}{b})}^{α} = \frac{a^{α}}{b^{α}}$ .

Lời giải chi tiết :

Cho a, b là những số thực dương, $α$ là số thực bất kì. Khi đó, ${(\frac{a}{b})}^{α} = \frac{a^{α}}{b^{α}}$ .

Đáp án A.

Câu 3 : Chọn đáp án đúng:

A.
${(\sqrt[3]{5})}^{2} = \sqrt[6]{5}$ .
B.
${(\sqrt[3]{5})}^{2} = \sqrt[3]{10}$ .
C.
${(\sqrt[3]{5})}^{2} = \sqrt{5^{^{3}}}$ .
D.
${(\sqrt[3]{5})}^{2} = \sqrt[3]{5^{2}}$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

${(\sqrt[n]{a})}^{m} = \sqrt[n]{a^{m}}$ (với các biểu thức đều có nghĩa).

Lời giải chi tiết :

Ta có: ${(\sqrt[3]{5})}^{2} = \sqrt[3]{5^{2}}$ .

Đáp án D.

Câu 4 : Rút gọn biểu thức ${(a^{\sqrt{3}} . b^{\frac{- 6}{\sqrt{3}}})}^{\frac{1}{\sqrt{3}}}$ (với $a, b > 0$ ) được kết quả là:

A.
$a^{2}$ .
B.
$\frac{a}{b^{2}}$ .
C.
$\frac{b}{a}$ .
D.
$a b^{2}$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}, a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$ (a khác 0).

Lời giải chi tiết :

${(a^{\sqrt{3}} . b^{\frac{- 6}{\sqrt{3}}})}^{\frac{1}{\sqrt{3}}} = {(a^{\sqrt{3}})}^{\frac{1}{\sqrt{3}}} . {(b^{\frac{- 6}{\sqrt{3}}})}^{\frac{1}{\sqrt{3}}} = a . b^{\frac{- 6}{3}} = \frac{a}{b^{2}}$

Đáp án B.

Câu 5 : Giá trị của biểu thức ${(\sqrt{5} - 2)}^{2024} . {(\sqrt{5} + 2)}^{2025}$

A.
$\sqrt{5} + 2$ .
B.
$\sqrt{5} - 2$ .
C.
$- \sqrt{5} + 2$ .
D.
$- \sqrt{5} - 2$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}, a^{m} . b^{m} = {(a . b)}^{m}, a^{m} . a^{n} = a^{m + n}$ (a khác 0).

Lời giải chi tiết :

${(\sqrt{5} - 2)}^{2024} . {(\sqrt{5} + 2)}^{2025} = {(\sqrt{5} - 2)}^{2024} . {(\sqrt{5} + 2)}^{2024} . (\sqrt{5} + 2)$

$= {[(\sqrt{5} - 2) (\sqrt{5} + 2)]}^{2024} . (\sqrt{5} + 2) = {(5 - 4)}^{2024} (\sqrt{5} + 2) = \sqrt{5} + 2$

Đáp án A.

Câu 6 : Chọn đáp án đúng.

Với $0 < a \neq 1, b, c > 0$ thì:

A.
$\log_{a} (b c) = \log_{a} b + \log_{a} c$ .
B.
$\log_{a} (b c) = \log_{a} b . \log_{a} c$ .
C.
$\log_{a} (b c) = \frac{1}{2} \log_{a} b . \log_{a} c$ .
D.
$\log_{a} (b c) = \log_{a} b - \log_{a} c$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Với $0 < a \neq 1, b, c > 0$ thì $\log_{a} (b c) = \log_{a} b + \log_{a} c$ .

Lời giải chi tiết :

Với $0 < a \neq 1, b, c > 0$ thì $\log_{a} (b c) = \log_{a} b + \log_{a} c$ .

Đáp án A.

Câu 7 : Chọn đáp án đúng.

Với a, b, c là các số dương và $a \neq 1, b \neq 1$ thì:

A.
$\log_{a} c = \log_{b} c . \log_{b} a$ .
B.
$\log_{a} c = \frac{\log_{b} c}{\log_{b} a}$ .
C.
$\log_{a} c = \log_{b} c + \log_{b} a$ .
D.
$\log_{a} c = \frac{\log_{a} c}{\log_{b} c}$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Với a, b, c là các số dương và $a \neq 1, b \neq 1$ thì $\log_{a} c = \frac{\log_{b} c}{\log_{b} a}$ .

Lời giải chi tiết :

Với a, b, c là các số dương và $a \neq 1, b \neq 1$ thì $\log_{a} c = \frac{\log_{b} c}{\log_{b} a}$ .

Đáp án B.

Câu 8 : Khẳng định nào sau đây đúng?

A.
Lôgarit tự nhiên của số thực dương a kí hiệu là $\frac{1}{\ln a}$ .
B.
Lôgarit tự nhiên của số thực dương của a kí hiệu là $\log a$ .
C.
Lôgarit tự nhiên của số thực dương a kí hiệu là $\frac{1}{\log a}$ .
D.
Lôgarit tự nhiên của số thực dương a kí hiệu là $\ln a$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Lôgarit cơ số e của số thực dương b được gọi là lôgarit tự nhiên của b và kí hiệu ln b.

Lời giải chi tiết :

Lôgarit tự nhiên của số thực dương a kí hiệu là $\ln a$ .

Đáp án D.

Câu 9 : Tính $\log_{8} 1250$ theo a biết $a = \log_{2} 5$ .

A.
$\log_{8} 1250 = 4 a + 3$ .
B.
$\log_{8} 1250 = \frac{4}{3} a + \frac{1}{3}$ .
C.
$\log_{8} 1250 = 2 a + \frac{1}{3}$ .
D.
$\log_{8} 1250 = 2 a - \frac{1}{3}$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Với a, b là số thực dương và $a \neq 1$ thì $\log_{a} b^{α} = α \log_{a} b, \log_{a} a = 1$ , $\log_{a^{α}} b = \frac{1}{α} \log_{a} b$

Với a là số thực dương, $a \neq 1$ , $M > 0, N > 0$ thì $\log_{a} M N = \log_{a} M + \log_{a} N$ .

Lời giải chi tiết :

$\log_{8} 1250 = \log_{2^{3}} (5^{4} .2) = \frac{1}{3} (\log_{2} 5^{4} + \log_{2} 2) = \frac{4}{3} \log_{2} 5 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} a + \frac{1}{3}$

Đáp án B.

Câu 10 : Chọn đáp án đúng:

A.
$\log_{a} (a^{2} \sqrt[3]{a \sqrt{a}}) = \frac{5}{2}$ .
B.
$\log_{a} (a^{2} \sqrt[3]{a \sqrt{a}}) = 1$ .
C.
$\log_{a} (a^{2} \sqrt[3]{a \sqrt{a}}) = \frac{5}{4}$ .
D.
$\log_{a} (a^{2} \sqrt[3]{a \sqrt{a}}) = \frac{5}{3}$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Với a, b là số thực dương và $a \neq 1$ thì $\log_{a} a = 1; \log_{a} b^{α} = α \log_{a} b, \log_{a} a^{α} = α$ .

Lời giải chi tiết :

$\log_{a} (a^{2} \sqrt[3]{a \sqrt{a}}) = \log_{a} (a^{2} {(a . a^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3}}) = \log_{a} (a^{2} . a^{\frac{1}{2}}) = \log_{a} a^{\frac{5}{2}} = \frac{5}{2}$

Đáp án A.

Câu 11 : Đồ thị hàm số $y = \log_{a} x (a > 0, a \neq 1)$ đi qua điểm:

A.
$A (1; 0)$ .
B.
$B (0; 1)$ .
C.
$C (0; - 1)$ .
D.
$D (a; 0)$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Đồ thị hàm số $y = \log_{a} x (a > 0, a \neq 1)$ đi qua điểm $(1; 0)$ và điểm $(a; 1)$ .

Lời giải chi tiết :

Đồ thị hàm số $y = \log_{a} x (a > 0, a \neq 1)$ đi qua điểm $(1; 0)$ .

Đáp án A.

Câu 12 : Hàm số nào dưới đây là hàm số lôgarit cơ số 2?

A.
$y = 2^{x}$ .
B.
$y = \log_{x} 2$ .
C.
$y = \log_{2} x$ .
D.
$y = \ln (2 x)$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Hàm số $y = \log_{a} x (a > 0, a \neq 1)$ được gọi là hàm số lôgarit cơ số a.

Lời giải chi tiết :

Hàm số $y = \log_{2} x$ có cơ số là 2.

Đáp án C.

Câu 13 : Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên $R$ ?

A.
$y = 2^{x}$ .
B.
$y = {(\frac{1}{2})}^{x}$ .
C.
$y = e^{x}$ .
D.
$y = π^{x}$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Nếu $0 < a < 1$ thì hàm số $y = a^{x} (a > 0, a \neq 1)$ nghịch biến trên $R$ .

Lời giải chi tiết :

Vì $0 < \frac{1}{2} < 1$ nên hàm số $y = {(\frac{1}{2})}^{x}$ nghịch biến trên $R$ .

Đáp án B.

Câu 14 : Tập giá trị của hàm số $y = a^{x} (a > 0, a \neq 1)$ là:

A.
$T = R$ .
B.
$T = (- \infty; 0)$ .
C.
$T = (0; + \infty)$ .
D.
$T = (- 1; 1)$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Tập giá trị của hàm số $y = a^{x} (a > 0, a \neq 1)$ là $T = (0; + \infty)$ .

Lời giải chi tiết :

Tập giá trị của hàm số $y = a^{x} (a > 0, a \neq 1)$ là $T = (0; + \infty)$ .

Đáp án C.

Câu 15 : Tập xác định của hàm số $y = 8^{\sqrt{x^{2} - 4}}$ là:

A.
$D = (- 2; 2)$ .
B.
$D = (- \infty; - 2] \cup [2; + \infty)$ .
C.
$D = [- 2; 2]$ .
D.
$D = (- \infty; - 2) \cup (2; + \infty)$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Hàm số $y = \sqrt{u (x)}$ xác định khi $u (x) \geq 0$ .

Lời giải chi tiết :

Hàm số $y = 8^{\sqrt{x^{2} - 4}}$ xác định khi $x^{2} - 4 \geq 0 \Leftrightarrow (x - 2) (x + 2) \geq 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x \geq 2 \\ x \leq - 2 \end{array}$

Vậy tập xác định của hàm số $y = 8^{\sqrt{x^{2} - 4}}$ là: $D = (- \infty; - 2] \cup [2; + \infty)$

Đáp án B.

Câu 16 : Cho hàm số $y = f (x) = \log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} x$ . Biết rằng: $max_{x \in [\frac{1}{3}; 3]} y = M, min_{x \in [\frac{1}{3}; 3]} y = m$ . Khi đó:

A.
$M . m = 2$ .
B.
$M . m = - 1$ .
C.
$M . m = 4$ .
D.
$M . m = 1$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Cho hàm số $y = \log_{a} x (a > 0, a \neq 1)$ :

+ Nếu $a > 1$ thì hàm số đồng biến trên $(0; + \infty)$ .

+ Nếu $0 < a < 1$ thì hàm số nghịch biến trên $(0; + \infty)$ .

Lời giải chi tiết :

Hàm số $y = f (x) = \log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} x$ có $0 < \frac{1}{\sqrt{3}} < 1$ nên nghịch biến trên $(0; + \infty)$ .

Do đó, $max_{x \in [\frac{1}{3}; 3]} y = f (\frac{1}{3}) = \log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} \frac{1}{3} = 2, min_{x \in [\frac{1}{3}; 3]} y = f (3) = \log_{\frac{1}{\sqrt{3}}} 3 = - 2$

Do đó, $M . m = - 1$

Đáp án B.

Câu 17 : Mỗi nhóm số liệu gồm một số giá trị của mẫu số liệu được ghép nhóm theo một tiêu chí xác định có dạng $[a; b)$ . Độ dài của nhóm $[a; b)$ là:

A.
$a + b$ .
B.
$a - b$ .
C.
$b - a$ .
D.
$b + 2 a$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Mỗi nhóm số liệu gồm một số giá trị của mẫu số liệu được ghép nhóm theo một tiêu chí xác định có dạng $[a; b)$ . Độ dài của nhóm $[a; b)$ là $b - a$ .

Lời giải chi tiết :

Mỗi nhóm số liệu gồm một số giá trị của mẫu số liệu được ghép nhóm theo một tiêu chí xác định có dạng $[a; b)$ . Độ dài của nhóm $[a; b)$ là $b - a$ .

Đáp án C.

Câu 18 : Cho hai biến cố A và B. Chọn đáp án đúng.

A.
$P (A \cup B) = P (A) + P (B) + P (A \cap B)$ .
B.
$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ .
C.
$P (A \cup B) = P (A) . P (B)$ .
D.
$P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Cho hai biến cố A và B. Khi đó $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$

Lời giải chi tiết :

Cho hai biến cố A và B. Khi đó $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$

Đáp án B.

Câu 19 : Kết quả kiểm tra môn Tiếng Anh của lớp 11E được cho ở bảng tần số ghép nhóm sau:

Nhóm $[7; 9)$ có tần số là:

A.
6.
B.
10.
C.
16.
D.
9.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Bảng tần số ghép nhóm cho ở bảng dưới:

Trong đó, mẫu số liệu gồm n số liệu được chia thành m nhóm ứng với m nửa khoảng $[a_{1}; a_{2})$ ; $[a_{2}; a_{3})$ ;...; $[a_{m}; a_{m + 1})$ , ở đó $a_{1} < a_{2} < a_{3} < . . . < a_{m} < a_{m + 1}$ và $n = n_{1} + n_{2} + . . . + n_{m}$ .

Lời giải chi tiết :

Nhóm $[7; 9)$ có tần số là 16.

Đáp án C.

Câu 20 : Cho hai biến cố A và B, biến cố giao của hai biến cố A và B kí hiệu là:

A.
$A \cup B$ .
B.
$A \cap B$ .
C.
$\frac{A}{B}$ .
D.
$A + B$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Biến cố giao của hai biến cố A và B kí hiệu là $A \cap B$ .

Lời giải chi tiết :

Biến cố giao của hai biến cố A và B kí hiệu là $A \cap B$ .

Đáp án B.

Câu 21 : Một hộp có 12 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1; 2; 3; …; 12; hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một chiếc thẻ trong hộp. Gọi A là biến cố: “Số xuất hiện trên thẻ rút ra là số chia hết cho 3”, B là biến cố: “Số xuất hiện trên thẻ rút ra là số chia hết cho 2”. Chọn đáp án đúng.

A.
$A \cup B = {3; 6; 9; 12}$ .
B.
$A \cup B = {2; 4; 6; 8; 10; 12}$ .
C.
$A \cup B = {6; 12}$ .
D.
$A \cup B = {2; 3; 4; 6; 8; 9; 10; 12}$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Cho hai biến cố A và B. Khi đó, A, B là các tập con của không gian mẫu $Ω$ . Đặt $C = A \cup B$ , ta có C là một biến cố và được gọi là biến cố hợp của hai biến cố A và B. Kí hiệu là $A \cup B$ .

Lời giải chi tiết :

Biến cố hợp của biến cố A và B là: “Chiếc thẻ rút ra là số chia hết cho 2 hoặc chia hết cho 3”.

Do đó, $A \cup B = {2; 3; 4; 6; 8; 9; 10; 12}$

Đáp án D.

Câu 22 : Cho hai biến cố độc lập A và B. Biết rằng $P (A) = 0, 4$ và $P (B) = 0, 6$ . Xác suất của biến cố $\bar{A} B$ là:

A.
0,36.
B.
0,24.
C.
0,6.
D.
0,4.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Nếu hai biến cố A và B độc lập thì $P (A \cap B) = P (A) . P (B)$ .

Lời giải chi tiết :

Vì $\bar{A}$ là biến cố đối của biến cố A nên $P (\bar{A}) = 1 - P (A) = 1 - 0, 4 = 0, 6$ .

Do $\bar{A}$ và B là hai biến cố độc lập nên xác suất của biến cố $\bar{A} B$ là:

$P (\bar{A} B) = P (\bar{A}) . P (B) = 0, 6.0, 6 = 0, 36$

Đáp án A.

Câu 23 : Bảng tần số ghép nhóm số liệu dưới đây thống kê cân nặng của 40 học sinh lớp 11A trong một trường trung học phổ thông (đơn vị: kilôgam). Cân nặng trung bình của 40 học sinh đó là:

A.
54kg.
B.
51kg.
C.
55kg.
D.
56kg.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Bảng tần số ghép nhóm cho ở bảng dưới:

+ Trung điểm $x_{i}$ của nửa khoảng (tính bằng trung bình cộng hai đầu mút) ứng với nhóm i là giá trị đại diện của nhóm đó.

+ Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu $\bar{x}$ , được tính theo công thức: $\bar{x} = \frac{n_{1} x_{1} + n_{2} x_{2} + . . . + n_{m} x_{m}}{n}$

Lời giải chi tiết :

Ta có bảng:

Vậy cân nặng trung bình của 40 học sinh là: $\bar{x} = \frac{35.2 + 45.10 + 55.16 + 65.8 + 75.2 + 85.2}{40} = 56 (k g)$

Đáp án D.

Câu 24 : Hai đường thẳng a, b được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng:

A.
180⁰.
B.
150⁰.
C.
90⁰.
D.
Cả A, B, C đều sai.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Hai đường thẳng a, b được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90⁰.

Lời giải chi tiết :

Hai đường thẳng a, b được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90⁰.

Đáp án C.

Câu 25 : Trong không gian, khẳng định nào sau đây là đúng?

A.
Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại.
B.
Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì song song với đường thẳng còn lại.
C.
Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
D.
Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Trong không gian, cho hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại.

Lời giải chi tiết :

Trong không gian, cho hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại.

Đáp án A.

Câu 26 : Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, $S A = a \sqrt{3}$ và $S A ⊥ B C$ . Góc giữa SD và BC bằng:

A.
$45^{0}$ .
B.
$60^{0}$ .
C.
$30^{0}$ .
D.
$70^{0}$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+ Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm O và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b; kí hiệu $(a, b)$ hoặc $\hat{(a; b)}$ .

+ Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó vuông góc với đường thẳng còn lại.

Lời giải chi tiết :

Vì ABCD là hình thoi nên BC//AD. Do đó, $(S D, B C) = (S D, A D) = \hat{S D A}$

Vì BC//AD, $S A ⊥ B C$ nên $S A ⊥ A D$ . Do đó, tam giác SAD vuông tại A, suy ra:

$\tan \hat{S D A} = \frac{S A}{A D} = \frac{a \sqrt{3}}{a} = \sqrt{3} \Rightarrow \hat{S D A} = 60^{0}$

Đáp án B.

Câu 27 : Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của SA và SC. Góc giữa IJ và BD bằng:

A.
$60^{0}$ .
B.
$90^{0}$ .
C.
$80^{0}$ .
D.
$70^{0}$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó vuông góc với đường thẳng còn lại.

Lời giải chi tiết :

Vì I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh SA và SC nên IJ là đường trung bình của tam giác SAC, do đó, IJ//AC.

Vì ABCD là hình thoi nên $A C ⊥ B D$

Vì $A C ⊥ B D$ , IJ//AC nên $B D ⊥ I J \Rightarrow (B D, I J) = 90^{0}$ .

Đáp án B.

Câu 28 : Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A.
Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng (P) thì d vuông góc với bất kì đường thẳng nào nằm trong (P).
B.
Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) thì d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P).
C.
Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) thì d vuông góc với mặt phẳng (P).
D.
Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) thì nó vuông góc với bất kì đường thẳng nào trong mặt phẳng (P).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng phân biệt nằm trong mặt phẳng (P) thì d vuông góc với mặt phẳng (P).

Lời giải chi tiết :

Câu sai vì d phải vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng (P) thì d vuông góc với (P).

Các đáp án còn lại đều đúng.

Đáp án B.

Câu 29 : Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A.
Cho hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc nhau. Khi đó, có một và chỉ một mặt phẳng chứa hai đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia.
B.
Qua một điểm O cho trước có duy nhất một đường thẳng vuông góc với đường thẳng cho trước.
C.
Qua một điểm O cho trước có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng cho trước.
D.
Qua một điểm O cho trước có duy nhất một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Qua một điểm O cho trước có vô số đường thẳng vuông góc với đường thẳng cho trước cho trước.

Lời giải chi tiết :

Qua một điểm O cho trước có vô số đường thẳng vuông góc với đường thẳng cho trước cho trước nên đáp án B sai.

Hình minh họa:

Các đáp án còn lại đều đúng.

Đáp án B.

Câu 30 : Chọn đáp án đúng.

Trong không gian, cho đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng (P), đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu d:

A.
Vuông góc với hai đường thẳng phân biệt trong mặt phẳng (P).
B.
Vuông góc với đường thẳng a mà đường thẳng a song song mặt phẳng (P).
C.
Vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P).
D.
Vuông góc với đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Trong không gian, cho đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng (P), đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P).

Lời giải chi tiết :

Trong không gian, cho đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng (P), đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P).

Đáp án C.

Câu 31 : Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P) và b là đường thẳng không nằm trong (P) và không vuông góc với (P). Gọi b’ là hình chiếu vuông góc của b trên (P). Khi đó, a vuông góc với b khi và chỉ khi…

Cụm từ thích hợp điền vào… để được đáp án đúng là:

A.
a vuông góc với $b^{'}$ .
B.
a song song với $b^{'}$ .
C.
a cắt $b^{'}$ .
D.
a và $b^{'}$ chéo nhau.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P) và b là đường thẳng không nằm trong (P) và không vuông góc với (P). Gọi b’ là hình chiếu vuông góc của b trên (P). Khi đó, a vuông góc với b khi và chỉ khi a vuông góc với $b^{'}$ .

Lời giải chi tiết :

Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P) và b là đường thẳng không nằm trong (P) và không vuông góc với (P). Gọi b’ là hình chiếu vuông góc của b trên (P). Khi đó, a vuông góc với b khi và chỉ khi a vuông góc với $b^{'}$ .

Đáp án A.

Câu 32 : Cho hình chóp S. ABC có ABC là tam giác cân tại C, SA vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB và SB. Khẳng định nào dưới đây là sai?

A.
$C H ⊥ A K$ .
B.
$C H ⊥ S B$ .
C.
$C H ⊥ S A$ .
D.
$S B ⊥ A K$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì $d ⊥ (P)$ .

+ Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết :

Vì H là trung điểm của AB, mà tam giác ABC cân tại C nên $C H ⊥ A B$ .

Ta có: $S A ⊥ (A B C), C H \subset (A B C) \Rightarrow S A ⊥ C H$

Ta có: $C H ⊥ A B$ , $S A ⊥ C H$ , SA và AB cắt nhau tại A và nằm trong mặt phẳng (SAB) nên $C H ⊥ (S A B)$ . Mà $A K, S B \subset (S A B) \Rightarrow A K ⊥ C H, S B ⊥ C H$

Do đó, đáp án sai là D.

Đáp án D.

Câu 33 : Cho hình chóp S.ABC có $S A ⊥ (A B C)$ và tam giác ABC vuông tại B. Kẻ $A H ⊥ S B (H \in S B)$ . Khẳng định nào dưới đây là sai?

A.
$B C ⊥ S A$ .
B.
$B C ⊥ A H$ .
C.
$A H ⊥ A C$ .
D.
$A H ⊥ S C$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

+ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì $d ⊥ (P)$ .

+ Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết :

Vì $S A ⊥ (A B C), B C \subset (A B C) \Rightarrow S A ⊥ B C$ .

Tam giác ABC vuông tại B nên $A B ⊥ B C$

Ta có: $S A ⊥ B C$ , $A B ⊥ B C$ , SA và AB cắt nhau tại A và nằm trong mặt phẳng (SAB) nên $B C ⊥ (S A B)$ . Mà $A H \subset (S A B) \Rightarrow B C ⊥ A H$

Ta có: $B C ⊥ A H, A H ⊥ S B$ , SB và BC cắt nhau tại B và nằm trong mặt phẳng (SBC). Do đó, $A H ⊥ (S B C)$ , mà $S C \subset (S B C) \Rightarrow S C ⊥ A H$

Nếu $A H ⊥ A C$ , mà $S A ⊥ A C \Rightarrow A C ⊥ (S A H) \Rightarrow A B ⊥ A C$ (vô lí)

Đáp án C.

Câu 34 : Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết rằng $S A = S C, S B = S D$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.
$A B ⊥ (S A C)$ .
B.
$C D ⊥ A C$ .
C.
$C D ⊥ (S B D)$ .
D.
$S O ⊥ (A B C D)$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì $d ⊥ (P)$ .

Lời giải chi tiết :

Vì $S A = S C$ nên tam giác SAC cân tại S, mà SO là đường trung tuyến nên SO là đường cao của tam giác SAC. Do đó, $S O ⊥ A C$ (1)

Vì $S B = S D$ nên tam giác SBD cân tại S, mà SO là đường trung tuyến nên SO là đường cao của tam giác SBD. Do đó, $S O ⊥ B D$ (2)

Lại có: BD và AC cắt nhau tại O và nằm trong mặt phẳng (ABCD) (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có: $S O ⊥ (A B C D)$ .

Đáp án D.

Câu 35 : Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, $S A ⊥ (A B C D)$ . Hình chiếu vuông góc của điểm D trên mặt phẳng (SAB) là điểm:

A.
S.
B.
A.
C.
B.
D.
E (với E là trung điểm của SB).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Cho mặt phẳng (P). Xét một điểm M tùy ý trong không gian. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với (P). Gọi M’ là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Khi đó, điểm M’ được gọi là hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (P).

Lời giải chi tiết :

Vì $S A ⊥ (A B C D), A D \subset (A B C D) \Rightarrow S A ⊥ A D$

Vì ABCD là hình chữ nhật nên $A B ⊥ A D$ .

Mà SA và AB cắt nhau tại A và nằm trong mặt phẳng (SAB). Do đó, $A D ⊥ (S A B)$ .

Do đó, A là hình chiếu vuông góc của điểm D trên mặt phẳng (SAB).

Đáp án B.

Câu 1 : Cho hàm số: $y = \ln [(2 - m) x^{2} - 2 x + 1]$ .

a) Với $m = 1$ , hãy tìm tập xác định của hàm số trên.

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số trên có tập xác định với mọi giá trị thực của x.

Phương pháp giải :

Hàm số $y = \ln u (x)$ xác định khi $u (x) > 0$ .

Lời giải chi tiết :

a) Với $m = 1$ ta có: $y = \ln (x^{2} - 2 x + 1)$ .

Hàm số $y = \ln (x^{2} - 2 x + 1)$ xác định khi $x^{2} - 2 x + 1 > 0 \Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} > 0 \Leftrightarrow x - 1 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 1$ .

Vậy với $m = 1$ thì tập xác định của hàm số là: $D = (- \infty; 1) \cup (1; + \infty)$ .

b) Hàm số $y = \ln [(2 - m) x^{2} - 2 x + 1]$ xác định với mọi giá trị thực của x khi và chỉ khi $f (x) = (2 - m) x^{2} - 2 x + 1 > 0$ với mọi $x \in R$

Trường hợp 1: Với $m = 2$ ta có: $f (x) = - 2 x + 1 > 0 \Leftrightarrow x < \frac{1}{2}$ . Do đó, f(x) không xác định với mọi giá trị thực của x. Do đó, $m = 2$ không thỏa mãn

Trường hợp 2: Với $m \neq 2$ . Hàm số $f (x) = (2 - m) x^{2} - 2 x + 1 > 0$ với mọi $x \in R$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} 2 - m > 0 \\ Δ^{'} < 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} m < 2 \\ {(- 1)}^{2} - (2 - m) .1 < 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} m < 2 \\ m > 1 \end{cases} \Leftrightarrow 1 < m < 2$

Vậy với $1 < m < 2$ thì hàm số $y = \ln [(2 - m) x^{2} - 2 x + 1]$ có tập xác định với mọi giá trị thực của x.

Câu 2 : Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên CC’ vuông góc với đáy và $C C^{'} = a$ . Gọi M, I lần lượt là trung điểm của BB’, BC.

a) Chứng minh rằng: $A M ⊥ B C^{'}$ .

b) Gọi K là điểm trên đoạn A’B’ sao cho $B^{'} K = \frac{a}{4}$ và J là trung điểm của B’C’. Chứng minh rằng: $A M ⊥ M K$ và $A M ⊥ K J$ .

Phương pháp giải :

+ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì $d ⊥ (P)$ .

+ Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết :

a) Vì tam giác ABC là tam giác đều và I là trung điểm của BC nên $A I ⊥ B C$ .

Mặt khác, $A I ⊥ C C^{'}$ (do $C C^{'} ⊥ (A B C)$ ) và BC và CC’ cắt nhau tại C và nằm trong mặt phẳng (BCC’B’) nên $A I ⊥ (B C C^{'} B^{'}) \Rightarrow A I ⊥ B C^{'}$ (1)

Dễ dàng chứng minh được tứ giác BCC’B’ là hình vuông nên $B C^{'} ⊥ B^{'} C$ .

Vì M, I lần lượt là trung điểm của BB’, BC nên MI là đường trung bình của tam giác BB’C. Do đó, MI//B’C. Mà $B C^{'} ⊥ B^{'} C$ nên $M I ⊥ B C^{'}$ (2)

Lại có: $A I ⊥ B C^{'}$ và MI và AI cắt nhau tại I và nằm trong mặt phẳng (AIM) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $B C^{'} ⊥ (A I M) \Rightarrow B C^{'} ⊥ A M$ .

b) Tam giác KMB’ vuông tại B’ nên $\tan \hat{K M B^{'}} = \frac{K B^{'}}{M B^{'}} = \frac{1}{2}$ .

Tam giác AMB vuông tại B nên $\tan \hat{A M B} = \frac{A B}{B M} = 2$ .

Do đó, $\tan \hat{K M B^{'}} = \cot \hat{A M B} \Rightarrow \hat{K M B^{'}} + \hat{A M B} = 90^{o}$ .

Suy ra, $\hat{A M K} = 90^{o} \Rightarrow A M ⊥ M K$ .

Ta có MJ là đường trung bình của tam giác B’BC’ nên MJ // BC’.

Mà $B C^{'} ⊥ (A I M)$ (cmt). Do đó $M J ⊥ (A I M) \Rightarrow M J ⊥ A M$ .

Mà $A M ⊥ M K$ . Do đó, $A M ⊥ (M K J) \Rightarrow A M ⊥ K J$ .

Câu 3 : Cho $a x^{3} = b y^{3} = c z^{3}$ và $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1$ (với x, y, z khác 0). Chứng minh rằng:

$\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{c} = \sqrt[3]{a x^{2} + b y^{2} + c z^{2}}$ .

Phương pháp giải :

$\sqrt[n]{a^{n}} = a$ nếu n là số lẻ.

Lời giải chi tiết :

Đặt $A = \sqrt[3]{a x^{2} + b y^{2} + c z^{2}}$ .

Ta có: $A = \sqrt[3]{a x^{2} + b y^{2} + c z^{2}} = \sqrt[3]{\frac{a x^{3}}{x} + \frac{b y^{3}}{y} + \frac{c z^{3}}{z}} = \sqrt[3]{\frac{a x^{3}}{x} + \frac{a x^{3}}{y} + \frac{a x^{3}}{z}} = \sqrt[3]{a x^{3} (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z})}$

$= \sqrt[3]{a x^{3}} = x \sqrt[3]{a}$ $\Rightarrow \sqrt[3]{a} = \frac{A}{x}$ (1)

Chứng minh tương tự ta có: $\sqrt[3]{b} = \frac{A}{y} (2); \sqrt[3]{c} = \frac{A}{z} (3)$

Cộng vế với vế của (1), (2) và (3) ta có:

$\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{c} = \frac{A}{x} + \frac{A}{y} + \frac{A}{z} = A (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) = A = \sqrt[3]{a x^{2} + b y^{2} + c z^{2}}$

Vậy $\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{c} = \sqrt[3]{a x^{2} + b y^{2} + c z^{2}}$