Đề thi giữa kì 2 Toán 11 Cánh diều - Đề số 4

Câu 1 : Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.
$4^{- 6} = 6^{- 4}$ .
B.
$4^{- 6} = \frac{1}{4^{6}}$ .
C.
$4^{- 6} = \frac{1}{6^{4}}$ .
D.
$4^{- 6} = {(- 4)}^{6}$ .

Câu 2 : Chọn đáp án đúng.

Cho số thực a và số nguyên dương n $(n \geq 2)$ . Số b được gọi là căn bậc n của số a nếu:

A.
$a^{n} = b$ .
B.
$b^{n} = a$ .
C.
$a . n = b$ .
D.
$a . b = n$ .

Câu 3 : Chọn đáp án đúng:

A.
$\sqrt[3]{{(1 - \sqrt{5})}^{3}} = 1 - \sqrt{5}$ .
B.
$\sqrt[3]{{(1 - \sqrt{5})}^{3}} = - 1 - \sqrt{5}$ .
C.
$\sqrt[3]{{(1 - \sqrt{5})}^{3}} = - 1 + \sqrt{5}$ .
D.
$\sqrt[3]{{(1 - \sqrt{5})}^{3}} = 1 + \sqrt{5}$ .

Câu 4 : Rút gọn biểu thức $(9^{3 + \sqrt{3}} - 9^{\sqrt{3} - 1}) {.3}^{- 2 \sqrt{3}}$ được kết quả là:

A.
$\frac{6560}{9}$ .
B.
$\frac{6562}{9}$ .
C.
$\frac{6560}{3}$ .
D.
$\frac{6562}{3}$ .

Câu 5 : Cho a, b là các số thực dương. Rút gọn biểu thức $\frac{{(\sqrt[4]{a^{3} b^{2}})}^{8}}{\sqrt[3]{\sqrt{a^{12} b^{6}}}}$

A.
$a^{2} b^{2}$ .
B.
$a b$ .
C.
$a^{3} b^{4}$ .
D.
$a^{4} b^{3}$ .

Câu 6 : Chọn đáp án đúng.

A.
$\ln e^{2} = 2$ .
B.
$\ln e^{2} = e^{2}$ .
C.
$\ln e^{2} = e$ .
D.
$\ln e^{2} = \frac{1}{e^{2}}$ .

Câu 7 : Chọn đáp án đúng.

Cho a, b là các số thực dương. Giá trị của $\ln \frac{a}{b} + \ln \frac{b}{a}$ bằng:

A.
$\ln (a b)$ .
B.
$\ln (\frac{a}{b} + \frac{b}{a})$ .
C.
1.
D.
0.

Câu 8 : Chọn đáp án đúng.

Cho $a > 0, a \neq 1, b > 0$ . Với mọi số nguyên dương $n \geq 2$ ta có:

A.
$\log_{a} \sqrt[n]{b} = n \log_{a} b$ .
B.
$\log_{a} \sqrt[n]{b} = \frac{1}{n} \log_{a} b$ .
C.
$\log_{a} \sqrt[n]{b} = \frac{1}{n} \log_{b} a$ .
D.
$\log_{a} \sqrt[n]{b} = n \log_{b} a$ .

Câu 9 : Cho $\log_{a} b = 4$ . Giá trị của $\log_{a} (a^{3} b^{2})$ bằng:

A.
12.
B.
13.
C.
14.
D.
11.

Câu 10 : Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn $a^{3} b^{2} = 1000$ . Giá trị của biểu thức $P = 3 \log a + 2 \log b$ là:

A.
1.
B.
2.
C.
3.
D.
4.

Câu 11 : Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào nghịch biến trên $(0; + \infty)$ ?

A.
$y = \ln 2 x$ .
B.
$y = \log_{\frac{1}{π}} x$ .
C.
$y = \log_{1 + \sqrt{3}} x$ .
D.
$y = \log x$ .

Câu 12 : Hàm số nào dưới đây là hàm số đồng biến trên $R$ ?

A.
$y = 3^{x}$ .
B.
$y = {(\frac{1}{2})}^{x}$ .
C.
Cả A và B đều đúng.
D.
Cả A và b đều sai.

Câu 13 : Đồ thị hàm số $y = 6^{2 x}$ luôn đi qua điểm nào dưới đây?

A.
(0; 1).
B.
(0; -1).
C.
(0; 6).
D.
$(0; \frac{1}{6})$ .

Câu 14 : Chọn đáp án đúng.

Hàm số $y = \log x$ có cơ số là:

A.
1.
B.
10.
C.
e.
D.
Cả A, B, C đều sai.

Câu 15 : Cho ba số thực dương a, b, c khác 1. Đồ thị các hàm số $y = \log_{a} x, y = \log_{b} x, y = \log_{c} x$ thể hiện ở hình vẽ dưới đây.

Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A.
$b < c < a$ .
B.
$b < a < c$ .
C.
$a < b < c$ .
D.
$a < c < b$ .

Câu 16 : Tập xác định của hàm số $y = \frac{1}{\sqrt{3 - x}} + \ln (x - 1)$ là:

A.
$D = [1; 3]$ .
B.
$D = (- \infty; 1) \cup (3; + \infty)$ .
C.
$D = (1; 3)$ .
D.
$D = (- \infty; 1] \cup [3; + \infty)$ .

Câu 17 : Thống kê chiều cao của 40 học sinh lớp 11A (đơn vị: cm), ta có bảng số liệu sau:

Giá trị đại diện của nhóm $[160; 165)$ là:

A.
$160 c m$ .
B.
$162, 5 c m$ .
C.
$165 c m$ .
D.
16.

Câu 18 : Nếu hai biến cố A và B độc lập và $P (A) = 0, 7, P (A B) = 0, 28$ thì:

A.
$P (B) = 0, 42$ .
B.
$P (B) = 0, 4$ .
C.
$P (B) = 0, 98$ .
D.
$P (B) = 0, 196$ .

Câu 19 : Bảng tần số ghép nhóm cho ở bảng dưới:

Giá trị trung bình $\bar{x}$ của nhóm mẫu số liệu là:

A.
$\bar{x} = \frac{2 (n_{1} x_{1} + n_{2} x_{2} + . . . + n_{m} x_{m})}{n}$ .
B.
$\bar{x} = \frac{n_{1} x_{1} + n_{2} x_{2} + . . . + n_{m} x_{m}}{2 n}$ .
C.
$\bar{x} = \frac{n_{1} x_{1} + n_{2} x_{2} + . . . + n_{m} x_{m}}{n + 1}$ .
D.
$\bar{x} = \frac{n_{1} x_{1} + n_{2} x_{2} + . . . + n_{m} x_{m}}{n}$ .

Câu 20 : Chọn đáp án đúng.

Trong hộp kín có 6 quả bóng màu xanh và 8 quả bóng màu đỏ, các quả bóng có kích thước và khối lượng giống nhau. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 quả bóng. Xét các biến cố:

A: “Hai quả bóng lấy ra có màu xanh”;

B: “Hai quả bóng lấy ra có màu đỏ”.

Biến cố hợp của hai biến cố A và B là:

A.
Hai quả bóng lấy ra cùng có màu đỏ hoặc màu xanh.
B.
Hai quả bóng lấy ra có màu khác nhau.
C.
Hai quả bóng lấy ra không có quả nào màu đỏ.
D.
Hai quả bóng lấy ra không có quả nào màu xanh.

Câu 21 : Một đội văn nghệ có 4 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Giao viên phụ trách muốn chọn ra một đội tốp ca gồm 3 học sinh sao cho có cả nam và nữ cùng tham gia. Giáo viên có bao nhiêu cách chọn đội tốp ca như vậy?

A.
70 cách.
B.
40 cách.
C.
30 cách.
D.
50 cách.

Câu 22 : Cho A và B là hai biến cố độc lập với nhau. Biết rằng $P (A) = 0, 8$ và $P (A B) = 0, 4$ . Xác suất của biến cố $\bar{A} \bar{B}$ là:

A.
0,5.
B.
0,2.
C.
0,1.
D.
0,3.

Câu 23 : Bảng tần số ghép nhóm số liệu dưới đây thống kê kết quả kiểm môn toán của lớp 11E như sau:

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên là (làm tròn kết quả đến hàng phần mười):

A.
7,2.
B.
7,5.
C.
6,2.
D.
6,5.

Câu 24 : Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các mặt là các hình vuông. Góc giữa hai đường thẳng AA’ và CD bằng:

A.

$90^{o}$ .
B.

$60^{o}$ .
C.

$30^{o}$ .
D.

$70^{o}$ .

Câu 25 : Cho tứ diện ABCD. Lấy điểm I bất kì thuộc cạnh AC. Qua I kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại M. Qua I kẻ đường thẳng song song với CD cắt AD tại N. Khi đó, góc giữa hai đường thẳng AB và CD là:

A.
$(I M, M N)$ .
B.
$(I N, N M)$ .
C.
$(I M, I N)$ .
D.
$(I M, I C)$ .

Câu 26 : Cho hình chóp S. ABCD có ABCD là hình vuông cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, SD. Góc giữa hai đường thẳng MN và SC bằng:

A.
$90^{0}$ .
B.
$60^{0}$ .
C.
$30^{0}$ .
D.
$70^{0}$ .

Câu 27 : Cho hình chóp S. ABCD với đáy ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi I, J lần lượt thuộc các cạnh SC, BC sao cho tam giác IJC là tam giác đều. Khi đó, góc giữa hai đường thẳng IJ và AD bằng:

A.
$60^{0}$ .
B.
$90^{0}$ .
C.
$120^{0}$ .
D.
$70^{0}$ .

Câu 28 : Cho hình chóp S.ABC có $S A ⊥ (A B C)$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.
$S A ⊥ B C$ .
B.
$S A ⊥ A C$ .
C.
$S A ⊥ A B$ .
D.
Cả A, B, C đều đúng.

Câu 29 : Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có $A A^{'} ⊥ (A B C D)$ . Khẳng định nào dưới đây đúng?

A.
(ABCD) $⊥$ (A’B’C’D).
B.
$B B^{'} ⊥ (A B C D)$ .
C.
Cả A và B đều đúng.
D.
Cả A và B đều sai.

Câu 30 : Trong không gian, cho điểm A và mặt phẳng (P). Mệnh nào dưới đây đúng?

A.
Có đúng hai đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P).
B.
Có đúng một đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P).
C.
Không tồn tại đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P).
D.
Có vô số đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P).

Câu 31 : Phát biểu nào sau đây là đúng?

A.
Nếu đường thẳng d vuông góc hai đường thẳng trong mặt phẳng (P) thì d vuông góc với tất cả các đường thẳng thuộc mặt phẳng (P).
B.
Nếu đường thẳng d vuông góc với một đường thẳng trong mặt phẳng (P) thì d vuông góc với (P).
C.
Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng bất kì trong mặt phẳng (P) thì d vuông góc với (P).
D.
Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng (P) thì d vuông góc với (P).

Câu 32 : Cho tứ diện ABCD có ABC và BCD là các tam giác cân tại A và D. Gọi I là trung điểm của BC. Kẻ $A H ⊥ D I (H \in D I)$ . Hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (BCD) là:

A.
I.
B.
H.
C.
D.
D.
C.

Câu 33 : Cho hình chóp S. ABC có $S A ⊥ (A B C)$ , M là trung điểm của BC. Tam giác ABC cân tại A. Mệnh đề nào sau đây sai?

A.
$B C ⊥ S B$ .
B.
$B C ⊥ S M$ .
C.
$S A ⊥ B C$ .
D.
$B C ⊥ A M$ .

Câu 34 : Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi và $S A = S C, S B = S D$ . Gọi O là giao điểm của AC và BD. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là:

A.
A.
B.
C.
C.
O.
D.
D.

Câu 35 : Cho tứ diện ABCD có $D A ⊥ (A B C)$ , ABC là tam giác cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Gọi G, K lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và DBC. Góc giữa hai đường thẳng GK và AB bằng:

A.
$45^{0}$ .
B.
$60^{0}$ .
C.
$90^{0}$ .
D.
$70^{0}$ .

Câu 1 : Cho hàm số: $y = \log [(m - 2) x^{2} + 2 (m + 1) x + 2 m]$ .

a) Với $m = 3$ , hãy tìm tập xác định của hàm số trên.

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số trên có tập xác định với mọi giá trị thực của x.

Câu 2 : Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, $S A ⊥ (A B C D)$ , $A D = 2 a, A B = B C = a$ . Chứng minh rằng:

a) Tam giác SBC là tam giác vuông.

b) $C D ⊥ S C$ .

Câu 3 : Ông A gửi tiền tiết kiệm vào ngân hàng với hình thức cứ mỗi đầu tháng đóng 5 triệu đồng với lãi suất 0,3%/tháng. Tính số tiền mà ông A thu được từ ngân hàng sau 5 năm.

Câu 1 : Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.
$4^{- 6} = 6^{- 4}$ .
B.
$4^{- 6} = \frac{1}{4^{6}}$ .
C.
$4^{- 6} = \frac{1}{6^{4}}$ .
D.
$4^{- 6} = {(- 4)}^{6}$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Cho n là một số nguyên dương. Với a là số thực tùy ý khác 0, ta có $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$ .

Lời giải chi tiết :

$4^{- 6} = \frac{1}{4^{6}}$

Đáp án B.

Câu 2 : Chọn đáp án đúng.

Cho số thực a và số nguyên dương n $(n \geq 2)$ . Số b được gọi là căn bậc n của số a nếu:

A.
$a^{n} = b$ .
B.
$b^{n} = a$ .
C.
$a . n = b$ .
D.
$a . b = n$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Cho số thực a và số nguyên dương n $(n \geq 2)$ . Số b được gọi là căn bậc n của số a nếu $b^{n} = a$ .

Lời giải chi tiết :

Cho số thực a và số nguyên dương n $(n \geq 2)$ . Số b được gọi là căn bậc n của số a nếu $b^{n} = a$ .

Đáp án B.

Câu 3 : Chọn đáp án đúng:

A.
$\sqrt[3]{{(1 - \sqrt{5})}^{3}} = 1 - \sqrt{5}$ .
B.
$\sqrt[3]{{(1 - \sqrt{5})}^{3}} = - 1 - \sqrt{5}$ .
C.
$\sqrt[3]{{(1 - \sqrt{5})}^{3}} = - 1 + \sqrt{5}$ .
D.
$\sqrt[3]{{(1 - \sqrt{5})}^{3}} = 1 + \sqrt{5}$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

$\sqrt[n]{a^{n}} = a$ khi n lẻ (với các biểu thức đều có nghĩa).

Lời giải chi tiết :

$\sqrt[3]{{(1 - \sqrt{5})}^{3}} = 1 - \sqrt{5}$ .

Đáp án A.

Câu 4 : Rút gọn biểu thức $(9^{3 + \sqrt{3}} - 9^{\sqrt{3} - 1}) {.3}^{- 2 \sqrt{3}}$ được kết quả là:

A.
$\frac{6560}{9}$ .
B.
$\frac{6562}{9}$ .
C.
$\frac{6560}{3}$ .
D.
$\frac{6562}{3}$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Với a là số thực dương, $α, β$ là những số thực bất kì thì: ${(a^{α})}^{β} = a^{α β}, a^{α} . a^{β} = a^{α + β}$ .

Cho n là một số nguyên dương. Với a là số thực tùy ý khác 0, ta có $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$ .

Lời giải chi tiết :

$(9^{3 + \sqrt{3}} - 9^{\sqrt{3} - 1}) {.3}^{- 2 \sqrt{3}} = (3^{2 (3 + \sqrt{3})} - 3^{2 (\sqrt{3} - 1)}) {.3}^{- 2 \sqrt{3}} = 3^{6 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}} - 3^{2 \sqrt{3} - 2 - 2 \sqrt{3}} = 3^{6} - 3^{- 2} = 3^{6} - \frac{1}{3^{2}} = \frac{6560}{9}$

Đáp án A.

Câu 5 : Cho a, b là các số thực dương. Rút gọn biểu thức $\frac{{(\sqrt[4]{a^{3} b^{2}})}^{8}}{\sqrt[3]{\sqrt{a^{12} b^{6}}}}$

A.
$a^{2} b^{2}$ .
B.
$a b$ .
C.
$a^{3} b^{4}$ .
D.
$a^{4} b^{3}$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

$\sqrt[n]{a^{n}} = | a |$ nếu n là số chẵn.

$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m n]{a}$ (các biểu thức đều có nghĩa)

Lời giải chi tiết :

$\frac{{(\sqrt[4]{a^{3} b^{2}})}^{8}}{\sqrt[3]{\sqrt{a^{12} b^{6}}}} = \frac{{({(\sqrt[4]{a^{3} b^{2}})}^{4})}^{2}}{\sqrt[6]{{(a^{2} b)}^{6}}} = \frac{{(a^{3} b^{2})}^{2}}{a^{2} b} = \frac{a^{6} b^{4}}{a^{2} b} = a^{4} b^{3}$

Đáp án D.

Câu 6 : Chọn đáp án đúng.

A.
$\ln e^{2} = 2$ .
B.
$\ln e^{2} = e^{2}$ .
C.
$\ln e^{2} = e$ .
D.
$\ln e^{2} = \frac{1}{e^{2}}$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Với số thực dương a, b và $a \neq 1$ thì:

+ $\log_{a} a^{b} = b$

+ $\log_{e} b$ được viết là ln b

Lời giải chi tiết :

$\ln e^{2} = 2$

Đáp án A.

Câu 7 : Chọn đáp án đúng.

Cho a, b là các số thực dương. Giá trị của $\ln \frac{a}{b} + \ln \frac{b}{a}$ bằng:

A.
$\ln (a b)$ .
B.
$\ln (\frac{a}{b} + \frac{b}{a})$ .
C.
1.
D.
0.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Với số thực dương a, b, c và $a \neq 1$ thì:

+ $\log_{e} b$ được viết là ln b.

+ $\log_{a} 1 = 0$ , $\log_{a} (b c) = \log_{a} b + \log_{a} c$ .

Lời giải chi tiết :

$\ln \frac{a}{b} + \ln \frac{b}{a} = \ln (\frac{a}{b} . \frac{b}{a}) = \ln 1 = 0$

Đáp án D.

Câu 8 : Chọn đáp án đúng.

Cho $a > 0, a \neq 1, b > 0$ . Với mọi số nguyên dương $n \geq 2$ ta có:

A.
$\log_{a} \sqrt[n]{b} = n \log_{a} b$ .
B.
$\log_{a} \sqrt[n]{b} = \frac{1}{n} \log_{a} b$ .
C.
$\log_{a} \sqrt[n]{b} = \frac{1}{n} \log_{b} a$ .
D.
$\log_{a} \sqrt[n]{b} = n \log_{b} a$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Cho $a > 0, a \neq 1, b > 0$ . Với mọi số nguyên dương $n \geq 2$ ta có $\log_{a} \sqrt[n]{b} = \frac{1}{n} \log_{a} b$ .

Lời giải chi tiết :

Cho $a > 0, a \neq 1, b > 0$ . Với mọi số nguyên dương $n \geq 2$ ta có $\log_{a} \sqrt[n]{b} = \frac{1}{n} \log_{a} b$ .

Đáp án B.

Câu 9 : Cho $\log_{a} b = 4$ . Giá trị của $\log_{a} (a^{3} b^{2})$ bằng:

A.
12.
B.
13.
C.
14.
D.
11.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+ Với a, b là số thực dương và $a \neq 1$ thì $\log_{a} a^{α} = α, \log_{a} b^{α} = α \log_{a} b$

+ Với $0 < a \neq 1, b, c > 0$ thì $\log_{a} (b c) = \log_{a} b + \log_{a} c$ .

Lời giải chi tiết :

$\log_{a} (a^{3} b^{2}) = \log_{a} a^{3} + \log_{a} b^{2} = 3 + 2 \log_{a} b = 3 + 2.4 = 11$

Đáp án D.

Câu 10 : Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn $a^{3} b^{2} = 1000$ . Giá trị của biểu thức $P = 3 \log a + 2 \log b$ là:

A.
1.
B.
2.
C.
3.
D.
4.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

+ Với a, b là số thực dương và $a \neq 1$ thì $\log_{a} a^{α} = α, \log_{a} b^{α} = α \log_{a} b$ .

+ Với $0 < a \neq 1, b, c > 0$ thì $\log_{a} (b c) = \log_{a} b + \log_{a} c$ .

Lời giải chi tiết :

$P = 3 \log a + 2 \log b = \log a^{3} + \log b^{2} = \log (a^{3} b^{2}) = \log 1000 = \log 10^{3} = 3$

Đáp án C.

Câu 11 : Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào nghịch biến trên $(0; + \infty)$ ?

A.
$y = \ln 2 x$ .
B.
$y = \log_{\frac{1}{π}} x$ .
C.
$y = \log_{1 + \sqrt{3}} x$ .
D.
$y = \log x$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Với $0 < a < 1$ thì hàm số $y = \log_{a} x (a > 0, a \neq 1)$ nghịch biến trên $(0; + \infty)$ .

Lời giải chi tiết :

Vì $0 < \frac{1}{π} < 1$ nên hàm số $y = \log_{\frac{1}{π}} x$ nghịch biến trên $(0; + \infty)$ .

Đáp án B.

Câu 12 : Hàm số nào dưới đây là hàm số đồng biến trên $R$ ?

A.
$y = 3^{x}$ .
B.
$y = {(\frac{1}{2})}^{x}$ .
C.
Cả A và B đều đúng.
D.
Cả A và b đều sai.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Với $a > 1$ thì hàm số $y = a^{x} (a > 0, a \neq 1)$ đồng biến trên $R$ .

Lời giải chi tiết :

Vì $3 > 1$ nên hàm số $y = 3^{x}$ đồng biến trên $R$ .

Đáp án A.

Câu 13 : Đồ thị hàm số $y = 6^{2 x}$ luôn đi qua điểm nào dưới đây?

A.
(0; 1).
B.
(0; -1).
C.
(0; 6).
D.
$(0; \frac{1}{6})$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Đồ thị hàm số $y = a^{x} (a > 0, a \neq 1)$ luôn đi qua điểm (0; 1).

Lời giải chi tiết :

Đồ thị hàm số $y = 6^{2 x}$ luôn đi qua điểm (0; 1).

Đáp án A.

Câu 14 : Chọn đáp án đúng.

Hàm số $y = \log x$ có cơ số là:

A.
1.
B.
10.
C.
e.
D.
Cả A, B, C đều sai.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Hàm số $y = \log_{a} x (a > 0, a \neq 1)$ được gọi là hàm số lôgarit cơ số a.

Lời giải chi tiết :

Hàm số $y = \log x$ có cơ số là 10.

Đáp án B.

Câu 15 : Cho ba số thực dương a, b, c khác 1. Đồ thị các hàm số $y = \log_{a} x, y = \log_{b} x, y = \log_{c} x$ thể hiện ở hình vẽ dưới đây.

Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A.
$b < c < a$ .
B.
$b < a < c$ .
C.
$a < b < c$ .
D.
$a < c < b$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Nếu $0 < a < 1$ thì hàm số $y = \log_{a} x (a > 0, a \neq 1)$ nghịch biến trên $(0; + \infty)$ .

Nếu $a > 1$ thì hàm số $y = \log_{a} x (a > 0, a \neq 1)$ đồng biến trên $(0; + \infty)$ .

Lời giải chi tiết :

Ta thấy hàm số $y = \log_{b} x$ nghịch biến trên $(0; + \infty)$ nên $b < 1$ .

Hàm số $y = \log_{a} x, y = \log_{c} x$ đồng biến trên $(0; + \infty)$ nên $a > 1, c > 1$ .

Xét tại một điểm $x > 1$ thì: $\log_{c} x > \log_{a} x \Rightarrow \log_{c} x > \frac{1}{\log_{x} a} \Rightarrow \log_{c} x . \log_{x} a > 1 \Rightarrow a > c$

Do đó, $b < c < a$ .

Đáp án A.

Câu 16 : Tập xác định của hàm số $y = \frac{1}{\sqrt{3 - x}} + \ln (x - 1)$ là:

A.
$D = [1; 3]$ .
B.
$D = (- \infty; 1) \cup (3; + \infty)$ .
C.
$D = (1; 3)$ .
D.
$D = (- \infty; 1] \cup [3; + \infty)$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Hàm số $y = \ln u (x)$ xác định khi $u (x) > 0$ .

Hàm số $y = \frac{1}{\sqrt{u (x)}}$ xác định khi $u (x) > 0$ .

Lời giải chi tiết :

Hàm số $y = \frac{1}{\sqrt{3 - x}} + \ln (x - 1)$ xác định khi ${\begin{cases} 3 - x > 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x < 3 \\ x > 1 \end{cases}$

Vậy tập xác định của hàm số là: $D = (1; 3)$ .

Đáp án C.

Câu 17 : Thống kê chiều cao của 40 học sinh lớp 11A (đơn vị: cm), ta có bảng số liệu sau:

Giá trị đại diện của nhóm $[160; 165)$ là:

A.
$160 c m$ .
B.
$162, 5 c m$ .
C.
$165 c m$ .
D.
16.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Mỗi nhóm số liệu gồm một số giá trị của mẫu số liệu được ghép nhóm theo một tiêu chí xác định có dạng $[a; b)$ . Giá trị đại diện của nhóm $[a; b)$ là $x_{i} = \frac{a + b}{2}$ .

Lời giải chi tiết :

Giá trị đại diện của nhóm $[160; 165)$ là: $\frac{160 + 165}{2} = 162, 5 (c m)$

Đáp án B.

Câu 18 : Nếu hai biến cố A và B độc lập và $P (A) = 0, 7, P (A B) = 0, 28$ thì:

A.
$P (B) = 0, 42$ .
B.
$P (B) = 0, 4$ .
C.
$P (B) = 0, 98$ .
D.
$P (B) = 0, 196$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Nếu hai biến cố A và B độc lập thì $P (A \cap B) = P (A) . P (B)$ .

Lời giải chi tiết :

Vì hai biến cố A và B độc lập nên $P (A \cap B) = P (A) . P (B) \Rightarrow P (B) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)} = \frac{0, 28}{0, 7} = 0, 4$

Đáp án B.

Câu 19 : Bảng tần số ghép nhóm cho ở bảng dưới:

Giá trị trung bình $\bar{x}$ của nhóm mẫu số liệu là:

A.
$\bar{x} = \frac{2 (n_{1} x_{1} + n_{2} x_{2} + . . . + n_{m} x_{m})}{n}$ .
B.
$\bar{x} = \frac{n_{1} x_{1} + n_{2} x_{2} + . . . + n_{m} x_{m}}{2 n}$ .
C.
$\bar{x} = \frac{n_{1} x_{1} + n_{2} x_{2} + . . . + n_{m} x_{m}}{n + 1}$ .
D.
$\bar{x} = \frac{n_{1} x_{1} + n_{2} x_{2} + . . . + n_{m} x_{m}}{n}$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Bảng tần số ghép nhóm cho ở bảng dưới:

+ Trung điểm $x_{i}$ của nửa khoảng (tính bằng trung bình cộng hai đầu mút) ứng với nhóm i là giá trị đại diện của nhóm đó.

+ Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu $\bar{x}$ , được tính theo công thức: $\bar{x} = \frac{n_{1} x_{1} + n_{2} x_{2} + . . . + n_{m} x_{m}}{n}$

Lời giải chi tiết :

Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu $\bar{x}$ , được tính theo công thức: $\bar{x} = \frac{n_{1} x_{1} + n_{2} x_{2} + . . . + n_{m} x_{m}}{n}$

Đáp án D.

Câu 20 : Chọn đáp án đúng.

Trong hộp kín có 6 quả bóng màu xanh và 8 quả bóng màu đỏ, các quả bóng có kích thước và khối lượng giống nhau. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 quả bóng. Xét các biến cố:

A: “Hai quả bóng lấy ra có màu xanh”;

B: “Hai quả bóng lấy ra có màu đỏ”.

Biến cố hợp của hai biến cố A và B là:

A.
Hai quả bóng lấy ra cùng có màu đỏ hoặc màu xanh.
B.
Hai quả bóng lấy ra có màu khác nhau.
C.
Hai quả bóng lấy ra không có quả nào màu đỏ.
D.
Hai quả bóng lấy ra không có quả nào màu xanh.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Biến cố $A \cup B$ có thể phát biểu dưới đạng mệnh đề nêu sự kiện là: “A xảy ra hoặc B xảy ra” hay “Có ít nhất một trong các biến cố A, B xảy ra”.

Lời giải chi tiết :

Biến cố hợp của hai biến cố A và B là: Hai quả bóng lấy ra cùng có màu đỏ hoặc màu xanh

Đáp án A.

Câu 21 : Một đội văn nghệ có 4 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Giao viên phụ trách muốn chọn ra một đội tốp ca gồm 3 học sinh sao cho có cả nam và nữ cùng tham gia. Giáo viên có bao nhiêu cách chọn đội tốp ca như vậy?

A.
70 cách.
B.
40 cách.
C.
30 cách.
D.
50 cách.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+ Cho hai biến cố A và B. Khi đó A, B là các tập con của không gian mẫu $Ω$ . Đặt $C = A \cup B$ , ta có C là một biến cố và được gọi là biến cố hợp của hai biến cố A và B, kí hiệu là $A \cup B$ .

+ Cho hai biến cố A và B. Khi đó A, B là các tập con của không gian mẫu $Ω$ . Đặt $C = A \cap B$ , ta có C là một biến cố và được gọi là biến cố giao của hai biến cố A và B, kí hiệu là $C = A \cap B$ hay AB.

Lời giải chi tiết :

Xét các biến cố:

H: “Trong 3 học sinh chọn ra có cả nam và nữ”.

A: “Trong 3 học sinh chọn ra có 2 học sinh nam và 1 học sinh nữ”.

B: “Trong 3 học sinh chọn ra có 1 học sinh nam và 2 học sinh nữ”.

Khi đó, $H = A \cup B$ và $A \cap B = \emptyset$

Do A và B là hai biến cố xung khắc nên $n (H) = n (A) + n (B)$ .

Số các kết quả thuận lợi cho biến cố A là: $n (A) = C_{4}^{2} . C_{5}^{1} = \frac{4!}{2! .2!} . \frac{5!}{1! .4!} = 6.5 = 30$

Số các kết quả thuận lợi cho biến cố B là: $n (B) = C_{4}^{1} . C_{5}^{2} = \frac{4!}{1! .3!} . \frac{5!}{2! .3!} = 4.10 = 40$

Số các kết quả thuận lợi cho biến cố H là: $n (H) = n (A) + n (B) = 30 + 40 = 70$

Vậy có 70 cách chọn một đội tốp ca gồm 3 học sinh sao cho có cả nam và nữ cùng tham gia.

Đáp án A.

Câu 22 : Cho A và B là hai biến cố độc lập với nhau. Biết rằng $P (A) = 0, 8$ và $P (A B) = 0, 4$ . Xác suất của biến cố $\bar{A} \bar{B}$ là:

A.
0,5.
B.
0,2.
C.
0,1.
D.
0,3.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Nếu hai biến cố A và B độc lập thì $P (A \cap B) = P (A) . P (B)$ .

Lời giải chi tiết :

Do A và B là hai biến cố độc lập $P (B) = \frac{P (A B)}{P (A)} = \frac{0, 4}{0, 8} = 0, 5$

Vì $\bar{A}$ là biến cố đối của biến cố A nên $P (\bar{A}) = 1 - P (A) = 1 - 0, 8 = 0, 2$ .

Vì $\bar{B}$ là biến cố đối của biến cố B nên $P (\bar{B}) = 1 - P (B) = 1 - 0, 5 = 0, 5$ .

Xác suất của biến cố $\bar{A} \bar{B}$ là: $P (\bar{A} \bar{B}) = P (\bar{A}) P (\bar{B}) = 0, 2.0, 5 = 0, 1$

Đáp án C.

Câu 23 : Bảng tần số ghép nhóm số liệu dưới đây thống kê kết quả kiểm môn toán của lớp 11E như sau:

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên là (làm tròn kết quả đến hàng phần mười):

A.
7,2.
B.
7,5.
C.
6,2.
D.
6,5.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Bảng tần số ghép nhóm cho ở bảng dưới:

Giả sử nhóm i là nhóm có tần số lớn nhất. Ta gọi u, g, $n_{i}$ lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của nhóm i; $n_{i - 1}, n_{i + 1}$ lần lượt là tần số của nhóm $i - 1; i + 1$ . Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu $M_{o}$ được tính theo công thức sau: $M_{o} = u + (\frac{n_{i} - n_{i - 1}}{2 n_{i} - n_{i - 1} - n_{i + 1}}) . g$ .

Lời giải chi tiết :

Ta thấy: Nhóm 2 ứng với nửa khoảng $[5; 7)$ là nhóm có tần số lớn nhất với $u = 5; g = 2, n_{2} = 18$ . Nhóm 1 có tần số $n_{1} = 5$ và nhóm 3 có tần số $n_{3} = 10$ .

Mốt của mẫu số liệu là: $M_{o} = 5 + \frac{18 - 5}{2.18 - 5 - 10} .2 \approx 6, 2$

Đáp án C.

Câu 24 : Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các mặt là các hình vuông. Góc giữa hai đường thẳng AA’ và CD bằng:

A.

$90^{o}$ .
B.

$60^{o}$ .
C.

$30^{o}$ .
D.

$70^{o}$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm O và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b; kí hiệu $(a, b)$ hoặc $\hat{(a; b)}$ .

Lời giải chi tiết :

Vì AB // CD nên $(A A^{'}, C D) = (A A^{'}, A B) = \hat{A^{'} A B} = 90^{o}$ .

Câu 25 : Cho tứ diện ABCD. Lấy điểm I bất kì thuộc cạnh AC. Qua I kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại M. Qua I kẻ đường thẳng song song với CD cắt AD tại N. Khi đó, góc giữa hai đường thẳng AB và CD là:

A.
$(I M, M N)$ .
B.
$(I N, N M)$ .
C.
$(I M, I N)$ .
D.
$(I M, I C)$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm O và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b; kí hiệu $(a, b)$ hoặc $\hat{(a; b)}$ .

Lời giải chi tiết :

Vì MI//AB, IN//CD nên $(A B, C D) = (I M, I N)$ .

Đáp án C.

Câu 26 : Cho hình chóp S. ABCD có ABCD là hình vuông cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, SD. Góc giữa hai đường thẳng MN và SC bằng:

A.
$90^{0}$ .
B.
$60^{0}$ .
C.
$30^{0}$ .
D.
$70^{0}$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm O và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b; kí hiệu $(a, b)$ hoặc $\hat{(a; b)}$ .

Lời giải chi tiết :

Vì M, N lần lượt là trung điểm của AD, SD nên MN là đường trung bình của tam giác SAD. Do đó, MN//AS. Suy ra, $(M N, S C) = (S A, S C) = \hat{S A C}$ .

Vì tam giác ABC vuông tại B nên $A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} = 2 a^{2}$

Vì $A C^{2} = S A^{2} + A C^{2}$ nên tam giác SAC vuông tại S (định lí Pythagore đảo)

Do đó, $\hat{A S C} = 90^{0}$ . Vậy $(M N, S C) = 90^{0}$ .

Đáp án A.

Câu 27 : Cho hình chóp S. ABCD với đáy ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi I, J lần lượt thuộc các cạnh SC, BC sao cho tam giác IJC là tam giác đều. Khi đó, góc giữa hai đường thẳng IJ và AD bằng:

A.
$60^{0}$ .
B.
$90^{0}$ .
C.
$120^{0}$ .
D.
$70^{0}$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm O và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b; kí hiệu $(a, b)$ hoặc $\hat{(a; b)}$ .

Lời giải chi tiết :

Tứ giác ABCD có: $A B = B C = C D = D A$ nên tứ giác ABCD là hình thoi. Do đó, AD//BC.

Suy ra: $(I J, A D) = (I J, B C) = \hat{C J I}$

Tam giác IJC là tam giác đều nên $\hat{I J C} = 60^{0}$ . Do đó, góc giữa hai đường thẳng IJ và AD bằng $60^{0}$ .

Đáp án A.

Câu 28 : Cho hình chóp S.ABC có $S A ⊥ (A B C)$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.
$S A ⊥ B C$ .
B.
$S A ⊥ A C$ .
C.
$S A ⊥ A B$ .
D.
Cả A, B, C đều đúng.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết :

Vì $S A ⊥ (A B C)$ và $A B, B C, C A \subset (A B C)$ nên $S A ⊥ B C$ , $S A ⊥ A C$ , $S A ⊥ A B$ .

Đáp án D.

Câu 29 : Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có $A A^{'} ⊥ (A B C D)$ . Khẳng định nào dưới đây đúng?

A.
(ABCD) $⊥$ (A’B’C’D).
B.
$B B^{'} ⊥ (A B C D)$ .
C.
Cả A và B đều đúng.
D.
Cả A và B đều sai.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Cho hai đường thẳng song song, mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.

Lời giải chi tiết :

Vì $A A^{'} ⊥ (A B C D)$ và AA’//BB’ nên $B B^{'} ⊥ (A B C D)$

Đáp án B.

Câu 30 : Trong không gian, cho điểm A và mặt phẳng (P). Mệnh nào dưới đây đúng?

A.
Có đúng hai đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P).
B.
Có đúng một đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P).
C.
Không tồn tại đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P).
D.
Có vô số đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Có đúng một đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P).

Lời giải chi tiết :

Có đúng một đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P).

Đáp án B.

Câu 31 : Phát biểu nào sau đây là đúng?

A.
Nếu đường thẳng d vuông góc hai đường thẳng trong mặt phẳng (P) thì d vuông góc với tất cả các đường thẳng thuộc mặt phẳng (P).
B.
Nếu đường thẳng d vuông góc với một đường thẳng trong mặt phẳng (P) thì d vuông góc với (P).
C.
Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng bất kì trong mặt phẳng (P) thì d vuông góc với (P).
D.
Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng (P) thì d vuông góc với (P).

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng (P) thì d vuông góc với (P).

Lời giải chi tiết :

Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng (P) thì d vuông góc với (P).

Đáp án D.

Câu 32 : Cho tứ diện ABCD có ABC và BCD là các tam giác cân tại A và D. Gọi I là trung điểm của BC. Kẻ $A H ⊥ D I (H \in D I)$ . Hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (BCD) là:

A.
I.
B.
H.
C.
D.
D.
C.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì $d ⊥ (P)$ .

+ Cho mặt phẳng (P). Xét một điểm M tùy ý trong không gian. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với (P). Gọi M’ là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Khi đó, điểm M’ được gọi là hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (P).

Lời giải chi tiết :

Vì tam giác ABC cân tại A nên AI là đường trung tuyến đồng thời là đường cao. Do đó, $A I ⊥ B C$ .

Vì tam giác DBC cân tại D nên DI là đường trung tuyến đồng thời là đường cao. Do đó, $D I ⊥ B C$ .

Ta có: $A I ⊥ B C$ , $D I ⊥ B C$ , DI và AI cắt nhau tại I và nằm trong mặt phẳng (AID) nên $B C ⊥ (A I D)$ . Mà $A H \subset (A D I) \Rightarrow A H ⊥ C B$

Lại có: $A H ⊥ D I$ , DI và BC cắt nhau tại I và nằm trong mặt phẳng (BCD). Do đó, $A H ⊥ (B C D)$ . Do đó, hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (BCD) là điểm H.

Đáp án B.

Câu 33 : Cho hình chóp S. ABC có $S A ⊥ (A B C)$ , M là trung điểm của BC. Tam giác ABC cân tại A. Mệnh đề nào sau đây sai?

A.
$B C ⊥ S B$ .
B.
$B C ⊥ S M$ .
C.
$S A ⊥ B C$ .
D.
$B C ⊥ A M$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì $d ⊥ (P)$ .

Lời giải chi tiết :

Vì $S A ⊥ (A B C), B C \subset (A B C) \Rightarrow S A ⊥ B C$

Tam giác ABC cân tại A nên AM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao.

Do đó, $B C ⊥ A M$

Vì $S A ⊥ B C$ , $B C ⊥ A M$ , SA và AM cắt nhau tại A và nằm trong mặt phẳng (SAM) nên $B C ⊥ (S A M)$ , mà $S M \subset (S A M)$ $\Rightarrow B C ⊥ S M$

Tam giác SBC có $B C ⊥ S M$ nên BC không thể vuông góc với SB. Do đó, câu A sai.

Đáp án A.

Câu 34 : Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi và $S A = S C, S B = S D$ . Gọi O là giao điểm của AC và BD. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là:

A.
A.
B.
C.
C.
O.
D.
D.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

+ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì $d ⊥ (P)$ .

+ Cho mặt phẳng (P). Xét một điểm M tùy ý trong không gian. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với (P). Gọi M’ là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Khi đó, điểm M’ được gọi là hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (P).

Lời giải chi tiết :

Vì ABCD là hình thoi, O là giao điểm của AC và BD nên O là trung điểm của AC, O là trung điểm của BD.

Vì $S A = S C$ nên tam giác SAC cân tại S. Do đó, SO là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác. Suy ra, $S O ⊥ A C$ .

Vì $S B = S D$ nên tam giác SBD cân tại S. Do đó, SO là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác. Suy ra, $S O ⊥ B D$ .

Vì $S O ⊥ A C$ , $S O ⊥ B D$ và BD và AC cắt nhau tại O và nằm trong mặt phẳng (ABCD) nên $S O ⊥ (A B C D)$ . Do đó, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm O.

Đáp án C.

Câu 35 : Cho tứ diện ABCD có $D A ⊥ (A B C)$ , ABC là tam giác cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Gọi G, K lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và DBC. Góc giữa hai đường thẳng GK và AB bằng:

A.
$45^{0}$ .
B.
$60^{0}$ .
C.
$90^{0}$ .
D.
$70^{0}$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Cho hai đường thẳng song song, mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.

Lời giải chi tiết :

Vì K là trọng tâm của tam giác DBC, DM là đường trung tuyến của tam giác DBC nên $\frac{M K}{M D} = \frac{1}{3}$

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC, AM là đường trung tuyến của tam giác ABC nên $\frac{M G}{M A} = \frac{1}{3}$

Tam giác DMA có: $\frac{M K}{M D} = \frac{M G}{M A} (= \frac{1}{3})$ nên GK//AD

Mà $A D ⊥ (A B C)$ suy ra $G K ⊥ (A B C)$ . Mà $A B \subset (A B C) \Rightarrow G K ⊥ A B$

Do đó, góc giữa hai đường thẳng GK và AB bằng $90^{0}$ .

Đáp án C.

Câu 1 : Cho hàm số: $y = \log [(m - 2) x^{2} + 2 (m + 1) x + 2 m]$ .

a) Với $m = 3$ , hãy tìm tập xác định của hàm số trên.

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số trên có tập xác định với mọi giá trị thực của x.

Phương pháp giải :

Hàm số $y = \log u (x)$ xác định khi $u (x) > 0$ .

Lời giải chi tiết :

a) Với $m = 3$ ta có: $y = \log (x^{2} + 8 x + 6)$ .

Hàm số $y = \log (x^{2} + 8 x + 6)$ xác định khi $x^{2} + 8 x + 6 > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x > - 4 + \sqrt{10} \\ x < - 4 - \sqrt{10} \end{array}$

Vậy với $m = 3$ thì tập xác định của hàm số là: $D = (- \infty; - 4 - \sqrt{10}) \cup (- 4 + \sqrt{10}; + \infty)$ .

b) Hàm số $y = \log [(m - 2) x^{2} + 2 (m + 1) x + 2 m]$ xác định với mọi giá trị thực của x khi và chỉ khi $f (x) = (m - 2) x^{2} + 2 (m + 1) x + 2 m > 0$ với mọi $x \in R$

Trường hợp 1: Với $m = 2$ ta có: $f (x) = 6 x + 4 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{- 2}{3}$ .

Do đó, f(x) không xác định với mọi giá trị thực của x. Do đó, $m = 2$ không thỏa mãn.

Trường hợp 2: Với $m \neq 2$ .

Hàm số $f (x) = (m - 2) x^{2} + 2 (m + 1) x + 2 m > 0$ với mọi $x \in R$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} m - 2 > 0 \\ Δ^{'} = {(m + 1)}^{2} - (m - 2) 2 m < 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} m > 2 \\ - m^{2} + 6 m + 1 < 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} m > 2 \\ [\begin{array}{l} m < 3 - \sqrt{10} \\ m > 3 + \sqrt{10} \end{array} \end{cases} \Leftrightarrow m > 3 + \sqrt{10}$

Vậy với $m \in (3 + \sqrt{10}; + \infty)$ thì hàm số $y = \log [(m - 2) x^{2} + 2 (m + 1) x + 2 m]$ có tập xác định với mọi giá trị thực của x.

Câu 2 : Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, $S A ⊥ (A B C D)$ , $A D = 2 a, A B = B C = a$ . Chứng minh rằng:

a) Tam giác SBC là tam giác vuông.

b) $C D ⊥ S C$ .

Phương pháp giải :

+ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì $d ⊥ (P)$ .

+ Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết :

a) Vì $S A ⊥ (A B C D), B C \subset (A B C D) \Rightarrow S A ⊥ B C$ .

Vì ABCD là hình thang vuông tại A và B nên $A B ⊥ B C$ .

Ta có: $S A ⊥ B C$ , $A B ⊥ B C$ , SA và AB cắt nhau tại A và nằm trong mặt phẳng (SAB) nên $B C ⊥ (S A B)$ . Lại có, $S B \subset (S B C) \Rightarrow B C ⊥ S B$ . Suy ra, tam giác SBC vuông tại B.

b) Gọi I là trung điểm của AD. Do đó, $A I = I D = \frac{1}{2} A D = a$

Tứ giác ABCI có: AI//BC (do tứ giác ABCD là hình thang vuông tại A, B), $A I = B C (= a)$ nên tứ giác ABCI là hình bình hành. Lại có: $B C = A B$ nên tứ giác ABCI là hình thoi. Mà $\hat{B A I} = 90^{0}$ nên ABCI là hình vuông. Do đó, $\hat{A I C} = 90^{0} \Rightarrow \hat{C I D} = 90^{0}$

Tam giác CID có: $\hat{C I D} = 90^{0}, C I = I D (= a)$ nên tam giác CID vuông cân tại I.

Suy ra: $\hat{D C I} = 45^{0}$ .

Lại có: CA là phân giác góc ICB (do ABCI là hình vuông) nên $\hat{A C I} = \frac{1}{2} \hat{I C B} = \frac{1}{2} {.90}^{0} = 45^{0}$

Suy ra: $\hat{A C D} = \hat{A C I} + \hat{I C D} = 90^{0}$ hay $A C ⊥ C D$

Vì $S A ⊥ (A B C D), D C \subset (A B C D) \Rightarrow S A ⊥ D C$

Ta có: $A C ⊥ C D$ , $S A ⊥ D C$ , SA và AC cắt nhau tại A và nằm trong mặt phẳng (SAC) nên $D C ⊥ (S A C)$ . Mà $S C \subset (S A C) \Rightarrow C D ⊥ S C$

Câu 3 : Ông A gửi tiền tiết kiệm vào ngân hàng với hình thức cứ mỗi đầu tháng đóng 5 triệu đồng với lãi suất 0,3%/tháng. Tính số tiền mà ông A thu được từ ngân hàng sau 5 năm.

Phương pháp giải :

$a^{n} = a . a . . . a (a \in R, n \in N *)$ (có n thừa số a)

Lời giải chi tiết :

Đặt $a = 5$ triệu đồng, $r = 0, 33 %$ .

Gọi $P_{n}$ là số tiền ông A thu được sau n tháng $(n \geq 1)$ .

Sau tháng thứ nhất, ông A tiết kiệm được:

$P_{1} = a (1 + r)$ (triệu đồng).

Sau tháng thứ hai, ông A tiết kiệm được:

$P_{2} = (P_{1} + a) (1 + r)$

$= [a (1 + r) + a] (1 + r)$

$= a {(1 + r)}^{2} + a (1 + r)$ (triệu đồng).

Sau tháng thứ ba, ông A tiết kiệm được:

$P_{3} = (P_{2} + a) (1 + r)$

$= a {(1 + r)}^{3} + a {(1 + r)}^{2} + a (1 + r)$ (triệu đồng).

…

Sau tháng thứ n, ông A tiết kiệm được:

$P_{n} = (P_{n - 1} + a) (1 + r)$

$= a {(1 + r)}^{n} + a {(1 + r)}^{n - 1} + . . . + a (1 + r)$ (triệu đồng).

Xét cấp số nhân có số hạng đầu $u_{1} = a (1 + r)$ và công bội $q = 1 + r$ thì $P_{n} = u_{1} + u_{2} + . . . + u_{n} = u_{1} . \frac{1 - q^{n}}{1 - q}$ .

Vậy số tiền ông A nhận được từ ngân hàng sau 5 năm là:

$P_{60} = u_{1} . \frac{1 - q^{60}}{1 - q} = 5.1, 003. \frac{1 - 1, 003^{60}}{- 0, 003} \approx 329$ (triệu đồng).

Vậy sau 5 năm ông A thu được từ ngân hàng khoảng 329 triệu đồng.