Đề thi giữa kì 2 Toán 11 Cánh diều - Đề số 6

Câu 1 : Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.

Số đo của góc nhị diện nhận giá trị từ $0^{o}$ đến $180^{o}$
B.

Số đo của góc nhị diện nhận giá trị từ $90^{o}$ đến $180^{o}$
C.

Số đo của góc nhị diện nhận giá trị từ $0^{o}$ đến $90^{o}$
D.

Hai mặt phẳng cắt nhau tạo thành hai góc nhị diện

Câu 2 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.

(SB,CD) = (SB,AD)
B.

(SB,CD) = (SC,CD)
C.

(SB,CD) = (SD,CD)
D.

(SB,CD) = (SB,AB)

Câu 3 : Trong không gian, cho 3 đường thẳng a, b, c phân biệt và mặt phẳng (P). Mệnh đề nào sau đây
đúng?

A.

Nếu $a ⊥ c$ và $b ⊥ c$ thì a // b
B.

Nếu $a ⊥ b$ và $b ⊥ c$ thì $a ⊥ c$
C.

Nếu $a ⊥ b$ thì a và b cắt nhau hoặc chéo nhau
D.

Nếu $a ⊥ c$ và $(P) ⊥ c$ thì a // (P)

Câu 4 : Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (A’B’C’D’) bằng

A.

$a \sqrt{2}$
B.

$\frac{a}{3}$
C.

$a$
D.

$\frac{a}{2}$

Câu 5 : Thể tích khối chóp có diện tích đáy bằng B và chiều cao bằng h là

A.

$V = \frac{1}{3} π B^{2} h$
B.

$V = \frac{1}{3} B h$
C.

$V = \frac{π}{3} B h$
D.

$V = B h$

Câu 6 : Cho bảng khảo sát về chiều cao học sinh trong lớp:

Nhóm số liệu nào có độ dài bằng 7?

A.

[150;160)
B.

[160;167)
C.

[167;170)
D.

[170;175)

Câu 7 : Xét phép thử gieo ngẫu nhiên một con xúc xắc đồng chất sáu mặt. Gọi A là biến cố: “Số chấm thu được là số chẵn”, B là biến cố: “Số chấm thu được là số không chia hết cho 4”. Hãy mô tả biến cố giao AB.

A.

{2;6}
B.

{2;4;6}
C.

{1;2;3;5;6}
D.

{1;2;3}

Câu 8 : Cho A và $¯ ¯¯ ¯ A$ là hai biến cố đối nhau. Chọn khẳng định đúng:

A.

$P (A) = 1 + P (¯ ¯¯ ¯ A)$
B.

$P (A) = P (¯ ¯¯ ¯ A)$
C.

$P (A) = 1 - P (¯ ¯¯ ¯ A)$
D.

$P (A) + P (¯ ¯¯ ¯ A) = 0$

Câu 9 : Tập nghiệm S của bất phương trình $5^{x + 2} < {(\frac{1}{125})}^{- x}$ là

A.

$S = (- \infty; 1)$
B.

$S = (- \infty; 2)$
C.

$S = (2; + \infty)$
D.

$S = (1; + \infty)$

Câu 10 : Tìm tập xác định D của hàm số ${log}_{2} (x^{2} - 2 x - 3)$ .

A.

$D = (- \infty; - 1] \cup [3; + \infty)$
B.

$D = [- 1; 3]$
C.

$D = (- \infty; - 1) \cup (3; + \infty)$
D.

$D = (- 1; 3)$

Câu 11 : Rút gọn biểu thức $P = x^{2} . \sqrt[3]{x}$ , x > 0.

A.

$P = x^{\frac{4}{3}}$
B.

$P = x^{\frac{5}{3}}$
C.

$P = x^{\frac{7}{3}}$
D.

$P = x^{\frac{8}{3}}$

Câu 12 : Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình bên?

A.

$y = {log}_{\frac{1}{2}} x$
B.

$y = {log}_{2} x$
C.

$y = 2^{x}$
D.

$y = {(\frac{1}{2})}^{x}$

Câu 1 : Trong một đề tài nghiên cứu về bệnh A, người ta ghi lại tuổi của bệnh nhân mắc bệnh này, số liệu thống kê được trình bày trong bảng sau:

a) Cỡ mẫu là n = 50.

Đúng

Sai

b) Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu là [55;65).

Đúng

Sai

c) Trung vị của mẫu số liệu thuộc nhóm [25;35).

Đúng

Sai

d) Trung vị của mẫu số liệu gần bằng 37,14.

Đúng

Sai

Câu 2 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và $S A ⊥ (A B C D)$ . Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các đường thẳng SB và SD.

a) $S A ⊥ A O$ .

Đúng

Sai

b) $A C ⊥ (S B D)$ .

Đúng

Sai

c) Đường thẳng AM không vuông góc với mặt phẳng (SBC).

Đúng

Sai

d) Gọi K là giao điểm của SC với mặt phẳng (AMN). Khi đó tứ giác AMNK có hai đường chéo vuông góc với nhau.

Đúng

Sai

Câu 1 : Năng lượng giải tỏa E của một trận động đất tại tâm địa chấn ở M độ Richte được xác định bởi công thức log(E) = 11,4 + 1,5M. Vào năm 1995, Thành phố X xảy ra một trận động đất 8 độ Richte và năng lượng giải tỏa tại tâm địa chấn của nó gấp 14 lần trận động đất xảy ra tại thành phố Y vào năm 1997. Hỏi khi đó độ lớn của trận động đất tại thành phố Y là bao nhiêu độ Richte (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Đáp án:

Câu 2 : Kim tự tháp có hình dạng là một khối chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy bằng 230 m, độ dài cạnh bên bằng 214 m. Tính khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt bên của kim tự tháp (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Đáp án:

Câu 3 : Phỏng vấn một số học sinh khối 11 về thời gian (giờ) ngủ của một buổi tối, thu được bảng số liệu sau:

Hãy cho biết 75% học sinh khối 11 ngủ nhiều nhất bao nhiêu giờ?

Đáp án:

Câu 4 : Hai xạ thủ cùng bắn vào bia một cách độc lập với nhau. Xác suất bắn trúng bia của xạ thủ thứ nhất bằng $\frac{1}{2}$ , xác suất bắn trúng bia của xạ thủ thứ hai bằng $\frac{1}{3}$ . Tính xác suất của biến cố xạ thủ thứ nhất bắn trúng bia, xạ thủ thứ hai bắt trật bia (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Đáp án:

Câu 1 : Bác Minh có một khối gỗ có kích thước như hình vẽ. Biết ABCD, A’B’C’D’, A’B’BA, CDD’C’ là các hình chữ nhật, A’D’DA, B’C’CB là các hình thang vuông. Bác Minh muốn làm đẹp khối gỗ đó bằng cách cắt khối gỗ theo mặt phẳng (P) đi qua C và song song với mặt phẳng (A’B’C’D’). Khi đó, bác Minh cần đặt mép BC của khối gỗ tạo với lưỡi cắt của máy cắt một góc bao nhiêu độ?

Câu 2 : Một người gửi tiết kiệm theo thể thức lãi suất kép với lãi suất 8,4%/năm. Giả sử lãi suất không thay đổi, hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó thu được số tiền gấp đôi số tiền ban đầu?

Câu 3 : Cho $x = a^{2}$ , ${log}_{b} x = 8$ với a, b là các số thực lớn hơn 1. Tính ${log}_{\frac{a}{b^{2}}} x$ .

Câu 1 : Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.

Số đo của góc nhị diện nhận giá trị từ $0^{o}$ đến $180^{o}$
B.

Số đo của góc nhị diện nhận giá trị từ $90^{o}$ đến $180^{o}$
C.

Số đo của góc nhị diện nhận giá trị từ $0^{o}$ đến $90^{o}$
D.

Hai mặt phẳng cắt nhau tạo thành hai góc nhị diện

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Dựa vào lý thuyết góc nhị diện.

Lời giải chi tiết :

Số đo của góc nhị diện nhận giá trị từ $0^{o}$ đến $180^{o}$ .

Câu 2 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.

(SB,CD) = (SB,AD)
B.

(SB,CD) = (SC,CD)
C.

(SB,CD) = (SD,CD)
D.

(SB,CD) = (SB,AB)

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Nếu a // b thì (a,c) = (b,c).

Lời giải chi tiết :

Vì AB // CD nên (SB,CD) = (SB,AB).

Câu 3 : Trong không gian, cho 3 đường thẳng a, b, c phân biệt và mặt phẳng (P). Mệnh đề nào sau đây
đúng?

A.

Nếu $a ⊥ c$ và $b ⊥ c$ thì a // b
B.

Nếu $a ⊥ b$ và $b ⊥ c$ thì $a ⊥ c$
C.

Nếu $a ⊥ b$ thì a và b cắt nhau hoặc chéo nhau
D.

Nếu $a ⊥ c$ và $(P) ⊥ c$ thì a // (P)

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Dựa vào quan hệ song song và vuông góc trong không gian.

Lời giải chi tiết :

Xét phương án A: Nếu $a ⊥ c$ và $b ⊥ c$ thì a, b có thể vuông góc, cắt nhau hoặc chéo nhau hoặc song song. Vậy A sai.

Xét phương án B: Nếu $a ⊥ b$ và $b ⊥ c$ thì a, b có thể vuông góc, cắt nhau hoặc chéo nhau hoặc song song. Vậy B sai.

Xét phương án C: Nếu $a ⊥ b$ thì a và b cắt nhau hoặc chéo nhau. Vậy C đúng.

Xét phương án D: Nếu $a ⊥ c$ và $(P) ⊥ c$ thì a // (P) hoặc $a \subset (P)$ . Vậy A sai.

Câu 4 : Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (A’B’C’D’) bằng

A.

$a \sqrt{2}$
B.

$\frac{a}{3}$
C.

$a$
D.

$\frac{a}{2}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Đưa về tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Lời giải chi tiết :

Vì (ABCD) // (A’B’C’D’) nên $d ((A B C D), (A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})) = d (A, (A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}))$ .

Mặt khác, A’ là hình chiếu vuông góc của A lên (A’B’C’D’) nên $d (A, (A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})) = A A^{'}$ .

Vậy $d ((A B C D), (A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})) = A A^{'} = a$ .

Câu 5 : Thể tích khối chóp có diện tích đáy bằng B và chiều cao bằng h là

A.

$V = \frac{1}{3} π B^{2} h$
B.

$V = \frac{1}{3} B h$
C.

$V = \frac{π}{3} B h$
D.

$V = B h$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp.

Lời giải chi tiết :

Thể tích khối chóp có diện tích đáy bằng B và chiều cao bằng h là $V = \frac{1}{3} B h$ .

Câu 6 : Cho bảng khảo sát về chiều cao học sinh trong lớp:

Nhóm số liệu nào có độ dài bằng 7?

A.

[150;160)
B.

[160;167)
C.

[167;170)
D.

[170;175)

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Tính độ dài của nhóm số liệu bằng cách lấy đầu mút phải trừ đầu mút trái.

Lời giải chi tiết :

Nhóm số liệu có độ dài bằng 7 là [160;167) vì 167 – 160 = 7.

Câu 7 : Xét phép thử gieo ngẫu nhiên một con xúc xắc đồng chất sáu mặt. Gọi A là biến cố: “Số chấm thu được là số chẵn”, B là biến cố: “Số chấm thu được là số không chia hết cho 4”. Hãy mô tả biến cố giao AB.

A.

{2;6}
B.

{2;4;6}
C.

{1;2;3;5;6}
D.

{1;2;3}

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Giao của hai tập hợp A và B là tập hợp chứa các phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B.

Lời giải chi tiết :

A = {2;4;6}; B = {1;2;3;5;6}.

Vậy $A B = {2; 6}$ .

Câu 8 : Cho A và $¯ ¯¯ ¯ A$ là hai biến cố đối nhau. Chọn khẳng định đúng:

A.

$P (A) = 1 + P (¯ ¯¯ ¯ A)$
B.

$P (A) = P (¯ ¯¯ ¯ A)$
C.

$P (A) = 1 - P (¯ ¯¯ ¯ A)$
D.

$P (A) + P (¯ ¯¯ ¯ A) = 0$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Áp dụng lý thuyết xác suất của biến cố đối.

Lời giải chi tiết :

Ta có $P (A) + P (¯ ¯¯ ¯ A) = 1 \Leftrightarrow P (A) = 1 - P (¯ ¯¯ ¯ A)$ .

Câu 9 : Tập nghiệm S của bất phương trình $5^{x + 2} < {(\frac{1}{125})}^{- x}$ là

A.

$S = (- \infty; 1)$
B.

$S = (- \infty; 2)$
C.

$S = (2; + \infty)$
D.

$S = (1; + \infty)$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Đưa hai vế của bất phương trình về cùng cơ số.

Lời giải chi tiết :

$5^{x + 2} < {(\frac{1}{125})}^{- x} \Leftrightarrow 5^{x + 2} < {(5^{- 3})}^{- x} \Leftrightarrow 5^{x + 2} < 5^{3 x} \Leftrightarrow x + 2 < 3 x \Leftrightarrow x > 1$ .

Câu 10 : Tìm tập xác định D của hàm số ${log}_{2} (x^{2} - 2 x - 3)$ .

A.

$D = (- \infty; - 1] \cup [3; + \infty)$
B.

$D = [- 1; 3]$
C.

$D = (- \infty; - 1) \cup (3; + \infty)$
D.

$D = (- 1; 3)$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Điều kiện xác định của hàm ${log}_{a} x$ là x > 0.

Lời giải chi tiết :

ĐKXĐ: $x^{2} - 2 x - 3 > 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x > 3 x < - 1 \end{matrix}$ .

Vậy $D = (- \infty; - 1) \cup (3; + \infty)$ .

Câu 11 : Rút gọn biểu thức $P = x^{2} . \sqrt[3]{x}$ , x > 0.

A.

$P = x^{\frac{4}{3}}$
B.

$P = x^{\frac{5}{3}}$
C.

$P = x^{\frac{7}{3}}$
D.

$P = x^{\frac{8}{3}}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức $x^{m} . x^{n} = x^{m + n}$ , $\sqrt[b]{x^{a}} = x^{\frac{a}{b}}$ .

Lời giải chi tiết :

$P = x^{2} . \sqrt[3]{x} = x^{2} . x^{\frac{1}{3}} = x^{2 + \frac{1}{3}} = x^{\frac{7}{3}}$ .

Câu 12 : Hàm số nào sau đây có đồ thị như hình bên?

A.

$y = {log}_{\frac{1}{2}} x$
B.

$y = {log}_{2} x$
C.

$y = 2^{x}$
D.

$y = {(\frac{1}{2})}^{x}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Dựa vào điểm đồ thị đi qua và xét sự đồng biến, nghịch biến.

Lời giải chi tiết :

Vì đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ (1;0) và x > 0 nên đây là hàm số logarit có dạng $y = {log}_{a} x$ .

Đồ thị đi lên từ trái sang nên hàm số đồng biến trên $(0; + \infty)$ . Do đó, a > 1.

Câu 1 : Trong một đề tài nghiên cứu về bệnh A, người ta ghi lại tuổi của bệnh nhân mắc bệnh này, số liệu thống kê được trình bày trong bảng sau:

a) Cỡ mẫu là n = 50.

Đúng

Sai

b) Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu là [55;65).

Đúng

Sai

c) Trung vị của mẫu số liệu thuộc nhóm [25;35).

Đúng

Sai

d) Trung vị của mẫu số liệu gần bằng 37,14.

Đúng

Sai

Đáp án

a) Cỡ mẫu là n = 50.

Đúng

Sai

b) Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu là [55;65).

Đúng

Sai

c) Trung vị của mẫu số liệu thuộc nhóm [25;35).

Đúng

Sai

d) Trung vị của mẫu số liệu gần bằng 37,14.

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

a) Cỡ mẫu bằng tổng tần số trong bảng số liệu.

b) Nhóm chứa mốt có tần số lớn nhất trong bảng số liệu.

c) Trung vị là giá trị chính giữa trong các giá trị sắp xếp theo thứ tự không giảm.

d) Công thức tính trung vị: $M_{e} = u_{m} + \frac{\frac{n}{2} - C}{n_{m}} . (u_{m + 1} - u_{m})$ .

Lời giải chi tiết :

a) Đúng. n = 10 + 12 + 14 + 9 + 5 = 50.

b) Sai. Nhóm chứa mốt là [35;45).

c) Sai. Ta có $\frac{n}{2} = 25$ nên trung vị là $M_{e} = \frac{x_{25} + x_{26}}{2} \in [35; 45)$ .

d) Đúng. $M_{e} = 35 + \frac{\frac{50}{2} - (10 + 12)}{14} . (45 - 35) = \frac{260}{7} \approx 37, 14$ .

Câu 2 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và $S A ⊥ (A B C D)$ . Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các đường thẳng SB và SD.

a) $S A ⊥ A O$ .

Đúng

Sai

b) $A C ⊥ (S B D)$ .

Đúng

Sai

c) Đường thẳng AM không vuông góc với mặt phẳng (SBC).

Đúng

Sai

d) Gọi K là giao điểm của SC với mặt phẳng (AMN). Khi đó tứ giác AMNK có hai đường chéo vuông góc với nhau.

Đúng

Sai

Đáp án

a) $S A ⊥ A O$ .

Đúng

Sai

b) $A C ⊥ (S B D)$ .

Đúng

Sai

c) Đường thẳng AM không vuông góc với mặt phẳng (SBC).

Đúng

Sai

d) Gọi K là giao điểm của SC với mặt phẳng (AMN). Khi đó tứ giác AMNK có hai đường chéo vuông góc với nhau.

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Áp dụng điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng; quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng.

Lời giải chi tiết :

a) Đúng. Vì $S A ⊥ (A B C D)$ , mà $A O \subset (A B C D)$ nên $S A ⊥ A O$ .

b) Sai. Giả sử $A C ⊥ (S B D)$ , khi đó $A C ⊥ S O$ . Điều đó vô lí vì $A C ⊥ S A$ .

c) Sai. Vì $S A ⊥ (A B C D)$ nên $S A ⊥ B C$ . Mặt khác, vì ABCD là hình vuông nên $A B ⊥ B C$ .

Ta có ${\begin{matrix} B C ⊥ A B B C ⊥ S A \end{matrix} \Rightarrow B C ⊥ (S A B) \Rightarrow B C ⊥ A M$ .

Lại có ${\begin{matrix} B C ⊥ A M S B ⊥ A M \end{matrix} \Rightarrow A M ⊥ (S B C)$ .

d) Đúng. Hai tam giác vuông SAB và SAD bằng nhau có các đường cao tương ứng là AM và AN nên BM = DN.
Mặt khác tam giác SBD cân tại đỉnh S nên MN // BD.

Do ABCD là hình vuông nên $A C ⊥ B D$ , mà $S A ⊥ B D$ nên $B D ⊥ (S A C)$ .
Vì MN // BD nên $M N ⊥ (S A C) \Rightarrow M N ⊥ A K$ .

Câu 1 : Năng lượng giải tỏa E của một trận động đất tại tâm địa chấn ở M độ Richte được xác định bởi công thức log(E) = 11,4 + 1,5M. Vào năm 1995, Thành phố X xảy ra một trận động đất 8 độ Richte và năng lượng giải tỏa tại tâm địa chấn của nó gấp 14 lần trận động đất xảy ra tại thành phố Y vào năm 1997. Hỏi khi đó độ lớn của trận động đất tại thành phố Y là bao nhiêu độ Richte (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

Thay các giá trị từ đề bài vào công thức đã cho. Áp dụng quy tắc biến đổi phương trình logarit.

Lời giải chi tiết :

Năng lượng giải tỏa của trận động đất ở thành phố X là:

$E_{X} = 10^{11, 4 + 1, 5.8} = 10^{23, 4}$ .

Theo đề bài, ta có năng lượng giải tỏa của trận động đất ở thành phố Y là:

$E_{Y} = \frac{E_{1}}{14} = \frac{10^{23, 4}}{14}$ .

Độ lớn của trận động đất ở thành phố Y là:

$log (E_{Y}) = 11, 4 + 1, 5 M_{Y}$

$\Rightarrow M = \frac{log (E_{Y}) - 11, 4}{1, 5}$

$= \frac{log (\frac{10^{23, 4}}{14}) - 11, 4}{1, 5} \approx 7, 2$ độ Richte.

Câu 2 : Kim tự tháp có hình dạng là một khối chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy bằng 230 m, độ dài cạnh bên bằng 214 m. Tính khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt bên của kim tự tháp (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng là khoảng cách từ hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng tới điểm đó.

Lời giải chi tiết :

S.ABCD là chóp tứ giác đều nên ABCD là hình vuông.

Giả sử O là tâm hình vuông ABCD, khi đó $S O ⊥ (A B C D) \Rightarrow S O ⊥ C D$ .

Gọi I là trung điểm của CD. Khi đó OI // AD (tính chất đường trung bình) và $C D ⊥ O I$ .

Lấy H thuộc SI sao cho $O H ⊥ S I$ .

Ta có ${\begin{matrix} C D ⊥ O I C D ⊥ S O \end{matrix} \Rightarrow C D ⊥ (S O I) \Rightarrow C D ⊥ O H$ .

Mặt khác ${\begin{matrix} O H ⊥ S I O H ⊥ C D \end{matrix} \Rightarrow O H ⊥ (S C D) \Rightarrow d (O, (S C D)) = O H$ (do H thuộc (SCD).

$S O = \sqrt{S A^{2} - A O^{2}} = \sqrt{S A^{2} - {(\frac{A C}{2})}^{2}} = \sqrt{214^{2} - {(\frac{230 \sqrt{2}}{2})}^{2}} = \sqrt{19346}$ (m).

$O H = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{S O^{2}} + \frac{1}{O I^{2}}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{19346} + \frac{1}{{(\frac{230}{2})}^{2}}}} \approx 89$ (m).

Vậy khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt bên của kim tự tháp xấp xỉ 89 mét.

Câu 3 : Phỏng vấn một số học sinh khối 11 về thời gian (giờ) ngủ của một buổi tối, thu được bảng số liệu sau:

Hãy cho biết 75% học sinh khối 11 ngủ nhiều nhất bao nhiêu giờ?

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

Tìm tứ phân vị thứ ba.

Lời giải chi tiết :

Cỡ mẫu: n = 6 + 12 + 13 + 10 + 3 = 44.

Do $\frac{3 n}{4} = 33$ nên $Q_{3} = \frac{x_{33} + x_{34}}{2} \in [7; 8)$ .

$Q_{3} = 7 + \frac{\frac{3.44}{4} - (6 + 12 + 13)}{10} (8 - 7) = 7, 2$ .

Vậy 75% học sinh khối 11 ngủ nhiều nhất 7,2 giờ.

Câu 4 : Hai xạ thủ cùng bắn vào bia một cách độc lập với nhau. Xác suất bắn trúng bia của xạ thủ thứ nhất bằng $\frac{1}{2}$ , xác suất bắn trúng bia của xạ thủ thứ hai bằng $\frac{1}{3}$ . Tính xác suất của biến cố xạ thủ thứ nhất bắn trúng bia, xạ thủ thứ hai bắt trật bia (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập.

Lời giải chi tiết :

A: “Xạ thủ thứ nhất bắn trúng bia”. $P (A) = \frac{1}{2}$ .

B: Xạ thủ thứ hai bắn trúng bia”, $¯ ¯¯ ¯ B$ : “Xạ thủ thứ hai bắn trật bia”. $P (¯ ¯¯ ¯ B) = 1 - P (B) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ .

Vì hai xạ thủ cùng bắn vào bia một cách độc lập với nhau nên xác suất để xạ thủ thứ nhất bắn trúng bia, xạ thủ thứ hai bắt trật bia là $P (A B) = P (A) . P (B) = \frac{1}{2} . \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \approx 0, 3$ .

Câu 1 : Bác Minh có một khối gỗ có kích thước như hình vẽ. Biết ABCD, A’B’C’D’, A’B’BA, CDD’C’ là các hình chữ nhật, A’D’DA, B’C’CB là các hình thang vuông. Bác Minh muốn làm đẹp khối gỗ đó bằng cách cắt khối gỗ theo mặt phẳng (P) đi qua C và song song với mặt phẳng (A’B’C’D’). Khi đó, bác Minh cần đặt mép BC của khối gỗ tạo với lưỡi cắt của máy cắt một góc bao nhiêu độ?

Phương pháp giải :

Dựng mặt phẳng (P) theo yêu cầu đề bài. Tính góc giữa (P) và (ABCD) bằng cách đưa về tính góc giữa hai đường thẳng thuộc hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến của của hai mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết :

Dựng mặt phẳng hình chữ nhật (CDEF) song song với mặt phẳng (A’B’C’D’) với E thuộc AA’, F thuộc BB’.

Xét hai mặt phẳng (CDEF) và (ABCD) có giao tuyến là CD. Vì CF và CB cùng vuông góc với CD nên $(C D E F, A B C D) = (C F, C B) = ˆ F C B$ .

Ta có BB’ = 1 m = 100 cm; B’F = 65 cm; BF = BB’ – B’F = 100 – 65 = 35 cm; CF = 4 m = 400 cm.

Xét tam giác BCF vuông tại F, ta có $tan ˆ F C B = \frac{F B}{F C} = \frac{35}{400} = \frac{7}{80} \Rightarrow ˆ F C B \approx 5^{o}$ .

Vậy, bác Minh cần đặt mép BC của khối gỗ tạo với lưỡi cắt của máy cắt một góc xấp xỉ $5^{o}$ .

Câu 2 : Một người gửi tiết kiệm theo thể thức lãi suất kép với lãi suất 8,4%/năm. Giả sử lãi suất không thay đổi, hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó thu được số tiền gấp đôi số tiền ban đầu?

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức tính lãi kép: $P = A {(1 + r)}^{n}$ .

Lời giải chi tiết :

Gọi A là số tiền ban đầu gửi tiết kiệm theo thể thức lãi suất kép với lãi suất 8,4%/năm.

Khi đó sau n năm số tiền thu được là $P = A {(1 + 8, 4 %)}^{n}$ .

Để thu được số tiền gấp đôi số tiền ban đầu thì $2 A = A {(1 + 8, 4 %)}^{n} \Leftrightarrow {(1 + 8, 4 %)}^{n} = 2 \Leftrightarrow n = {log}_{1 + 8, 4 %} 2 \approx 8, 59$ (năm).

Vậy sau ít nhất 9 năm người đó thu được số tiền gấp đôi số tiền ban đầu.

Câu 3 : Cho $x = a^{2}$ , ${log}_{b} x = 8$ với a, b là các số thực lớn hơn 1. Tính ${log}_{\frac{a}{b^{2}}} x$ .

Phương pháp giải :

Áp dụng các công thức biến đổi logarit, tính a theo b rồi thay vào biểu thức ${log}_{\frac{a}{b^{2}}} x$ và rút gọn.

Lời giải chi tiết :

${log}_{b} x = 8 \Leftrightarrow x = b^{8}$ , mà $x = a^{2}$ suy ra $a^{2} = b^{8} \Leftrightarrow a = b^{4}$ (vì a > 1).

${log}_{\frac{a}{b^{2}}} x = {log}_{\frac{b^{4}}{b^{2}}} x = {log}_{b^{2}} x = \frac{1}{2} {log}_{b} x = \frac{1}{2} .8 = 4$ .