Đề thi giữa kì 2 Toán 11 - Đề số 9

Câu 1 : Cho a, b là hai số thực dương và m, n là hai số thực tùy ý. Đẳng thức nào sau đây là sai?

A.

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ .
B.

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ .
C.

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .
D.

$a^{m} b^{n} = {(a b)}^{m + n}$ .

Câu 2 : Với a là số thực dương tùy ý, $\sqrt[5]{a^{3}}$ bằng

A.

$a^{\frac{1}{15}}$ .
B.

$a^{15}$ .
C.

$a^{\frac{3}{5}}$ .
D.

$a^{\frac{5}{3}}$ .

Câu 3 : Trong các hàm số sau, hàm số nào không phải là hàm số mũ?

A.

$y = \frac{1}{5^{x}}$ .
B.

$y = 5^{x}$ .
C.

$y = {\sqrt{3}}^{x}$ .
D.

$y = {(- \sqrt{3})}^{x}$ .

Câu 4 : Cho a, b là hai số thực dương và $a \neq 1$ , $b \neq 1$ , x và y là hai số dương. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A.

$\log_{b} x = \log_{b} a . \log_{a} x .$
B.

$\log_{a} \frac{x}{y} = \frac{\log_{a} x}{\log_{a} y} .$
C.

$\log_{a} \frac{1}{x} = \frac{1}{\log_{a} x} .$
D.

$\log_{a} (x + y) = \log_{a} x + \log_{a} y .$

Câu 5 : Với a, b là các số thực dương tuỳ ý thoả mãn $a \neq 1$ và $\log_{a} b = 2$ , giá trị của $\log_{a} (a b^{2})$ bằng

A.

$\frac{5}{2}$ .
B.

$\frac{3}{2}$ .
C.

$\frac{1}{2}$ .
D.

5.

Câu 6 : Tập xác định của hàm số $y = {log}_{3} (x - 5)$ là

A.

$D = (5; + \infty)$ .
B.

$D = R ∖ {5}$ .
C.

$D = (- \infty; 5)$ .
D.

$D = [5; + \infty)$ .

Câu 7 : Trong không gian, cho đường thẳng d và điểm O. Qua O có bao nhiêu đường thẳng vuông góc với đường thẳng d?

A.

3.
B.

Vô số.
C.

1.
D.

2.

Câu 8 : Trong không gian cho đường thẳng $Δ$ không nằm trong mặt phẳng $(P)$ , đường thẳng $Δ$ được gọi là vuông góc với mặt phẳng $(P)$ nếu:

A.

Đường thẳng $Δ$ vuông góc với đường thẳng $a$ nằm trong mặt phẳng $(P)$ .
B.

Đường thẳng $Δ$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng $(P)$ .
C.

Đường thẳng $Δ$ vuông góc với hai đường thẳng phân biệt nằm trong mặt phẳng $(P)$ .
D.

Đường thẳng $Δ$ vuông góc với đường thẳng $a$ mà $a$ song song với mặt phẳng $(P)$ .

Câu 9 : Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.

Góc giữa đường thẳng BD và B’C’ bằng

A.

$45^{\circ}$ .
B.

$30^{\circ}$ .
C.

$90^{\circ}$ .
D.

$60^{\circ}$ .

Câu 10 : Cho hình chóp S.ACBD có $S A ⊥ (A B C)$ và tam giác ABC vuông tại B. Mệnh đề nào sau đây sai?

A.

$B C ⊥ S A$ .
B.

$B C ⊥ A B$ .
C.

$B C ⊥ S B$ .
D.

$B C ⊥ S C$ .

Câu 11 : Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc mặt đáy (ABC). Góc tạo bởi SB và đáy tương ứng là:

A.

$\hat{S C A}$ .
B.

$\hat{S B A}$ .
C.

$\hat{S B C}$ .
D.

$\hat{S A B}$ .

Câu 12 : Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Mặt phẳng nào vuông góc với mặt phẳng (ABCD)?

A.

(A’B’C’D’).
B.

(CDA’B’).
C.

(AA’C’C).
D.

(ABC’D’).

Câu 1 : Cho biểu thức $f (x) = \log_{3} (5 x - 3)$ . Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Nghiệm của phương trình f(x) = 1 là $x = \frac{6}{5}$ .

Đúng

Sai

b) $f (\frac{9}{5}) - f (1) = 1$ .

Đúng

Sai

c) Điều kiện để biểu thức f(x) có nghĩa là x > 0.

Đúng

Sai

d) Tập nghiệm của bất phương trình $f (x) \leq 2$ có đúng 2 số nguyên.

Đúng

Sai

Câu 2 : Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tam giác ABC vuông cân tại A, hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm H của tam giác ABC. Biết $A A^{'} = B C = a \sqrt{2}$ .

a) Độ dài đường cao hình lăng trụ bằng $\frac{4 a}{3}$ .

Đúng

Sai

b) Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng $\frac{2 a^{3}}{9}$ .

Đúng

Sai

c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng BB’ và AC gấp ba lần khoảng cách từ H đến mặt phẳng (ACC’A”).

Đúng

Sai

d) Khoảng cách giữa hai đường thẳng BB’ và AC bằng $\frac{4 a \sqrt{17}}{51}$ .

Đúng

Sai

Câu 1 : Trong điều kiện nuôi cấy thích hợp, cứ 20 phút vi khuẩn E. Coli lại phân đôi một lần. Giả sử lúc đầu có 5 vi khuẩn và sau n phút $(n \in N)$ có hơn 2000 vi khuẩn. Giá trị nhỏ nhất của n là bao nhiêu?

Câu 2 : Cường độ một trận động đất M Richte được cho bởi công thức $M = \log A - \log A_{0}$ , với A là biên độ rung chấn tối đa và $A_{0}$ là một biên độ chuẩn (hằng số). Đầu thế kỷ 20, một trận động đất ở San Francisco có cường độ 8 độ Richte. Trong cùng năm đó, trận động đất khác ở Nam Mỹ có biên độ mạnh hơn gấp 4 lần. Hỏi cường độ của trận động đất ở Nam Mỹ là bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?

Câu 3 : Trong hình dưới đây, chiếc laptop được mở gợi nên hình ảnh của một góc nhị diện. Ta gọi số đo góc nhị diện đó là độ mở của laptop, tính độ mở của laptop (đơn vị: độ; làm tròn đến hàng đơn vị).

Câu 4 : Một người cần sơn các mặt của một cái bục (trừ đáy lớn) để đặt một bức tượng. Bục có dạng hình chóp cụt tứ giác đều có cạnh đáy lớn 1 m, cạnh bên và cạnh đáy nhỏ bằng 0,7 m. Tính tổng diện tích cần sơn. (Kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 1 : Giải các phương trình sau:

a) $3^{1 - 2 x} = 4^{x}$ ;

b) $\log_{3} (x + 1) + \log_{3} (x + 4) = 2$ .

Câu 2 : Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y = \sqrt{4^{x} - 2^{x + 1}}$ ;

b) $y = \ln (1 - \ln x)$ .

Câu 3 : Cho hình chóp S.ABC có $S A ⊥ (A B C)$ có đáy ABC là tam giác vuông tại B. Biết $S A = 2 \sqrt{3}$ , AB = 6.

a) Chứng minh $B C ⊥ (S A B)$ .

b) Tính góc giữa SB và (ABC).

Câu 1 : Cho a, b là hai số thực dương và m, n là hai số thực tùy ý. Đẳng thức nào sau đây là sai?

A.

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ .
B.

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ .
C.

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .
D.

$a^{m} b^{n} = {(a b)}^{m + n}$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Dựa vào các công thức biến đổi lũy thừa đã học.

Lời giải chi tiết :

$a^{m} b^{n} = {(a b)}^{m + n}$ là đẳng thức sai.

Câu 2 : Với a là số thực dương tùy ý, $\sqrt[5]{a^{3}}$ bằng

A.

$a^{\frac{1}{15}}$ .
B.

$a^{15}$ .
C.

$a^{\frac{3}{5}}$ .
D.

$a^{\frac{5}{3}}$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

$\sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}}$ .

Lời giải chi tiết :

Ta có $\sqrt[5]{a^{3}} = a^{\frac{3}{5}}$ .

Câu 3 : Trong các hàm số sau, hàm số nào không phải là hàm số mũ?

A.

$y = \frac{1}{5^{x}}$ .
B.

$y = 5^{x}$ .
C.

$y = {\sqrt{3}}^{x}$ .
D.

$y = {(- \sqrt{3})}^{x}$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Hàm số mũ có dạng $y = a^{x}$ với a dương và a khác 1.

Lời giải chi tiết :

Vì $- \sqrt{3} < 0$ nên $y = {(- \sqrt{3})}^{x}$ không phải hàm số mũ.

Câu 4 : Cho a, b là hai số thực dương và $a \neq 1$ , $b \neq 1$ , x và y là hai số dương. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A.

$\log_{b} x = \log_{b} a . \log_{a} x .$
B.

$\log_{a} \frac{x}{y} = \frac{\log_{a} x}{\log_{a} y} .$
C.

$\log_{a} \frac{1}{x} = \frac{1}{\log_{a} x} .$
D.

$\log_{a} (x + y) = \log_{a} x + \log_{a} y .$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Dựa vào các công thức logarit.

Lời giải chi tiết :

$\log_{b} x = \log_{b} a . \log_{a} x .$

Câu 5 : Với a, b là các số thực dương tuỳ ý thoả mãn $a \neq 1$ và $\log_{a} b = 2$ , giá trị của $\log_{a} (a b^{2})$ bằng

A.

$\frac{5}{2}$ .
B.

$\frac{3}{2}$ .
C.

$\frac{1}{2}$ .
D.

5.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Áp dụng các tính chất của logarit.

Lời giải chi tiết :

$\log_{a} (a b^{2}) = \log_{a} a + \log_{a} b^{2}$

$= 1 + 2 \log_{a} b = 1 + 2.2 = 5$ .

Câu 6 : Tập xác định của hàm số $y = {log}_{3} (x - 5)$ là

A.

$D = (5; + \infty)$ .
B.

$D = R ∖ {5}$ .
C.

$D = (- \infty; 5)$ .
D.

$D = [5; + \infty)$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Tìm ĐKXĐ của hàm số logarit.

Lời giải chi tiết :

ĐKXĐ: $x - 5 > 0 \Leftrightarrow x > 5$ .

Vậy $D = (5; + \infty)$ .

Câu 7 : Trong không gian, cho đường thẳng d và điểm O. Qua O có bao nhiêu đường thẳng vuông góc với đường thẳng d?

A.

3.
B.

Vô số.
C.

1.
D.

2.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Dựa vào lí thuyết về hai đường thẳng vuông góc trong không gian.

Lời giải chi tiết :

Qua O có vô số đường thẳng vuông góc với đường thẳng d. Tập hợp các đường thẳng đó tạo thành mặt phẳng vuông góc với d.

Câu 8 : Trong không gian cho đường thẳng $Δ$ không nằm trong mặt phẳng $(P)$ , đường thẳng $Δ$ được gọi là vuông góc với mặt phẳng $(P)$ nếu:

A.

Đường thẳng $Δ$ vuông góc với đường thẳng $a$ nằm trong mặt phẳng $(P)$ .
B.

Đường thẳng $Δ$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng $(P)$ .
C.

Đường thẳng $Δ$ vuông góc với hai đường thẳng phân biệt nằm trong mặt phẳng $(P)$ .
D.

Đường thẳng $Δ$ vuông góc với đường thẳng $a$ mà $a$ song song với mặt phẳng $(P)$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Dựa vào định nghĩa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

Lời giải chi tiết :

Đường thẳng $Δ$ được gọi là vuông góc với mặt phẳng $(P)$ nếu đường thẳng $Δ$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng $(P)$ .

Câu 9 : Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.

Góc giữa đường thẳng BD và B’C’ bằng

A.

$45^{\circ}$ .
B.

$30^{\circ}$ .
C.

$90^{\circ}$ .
D.

$60^{\circ}$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Góc giữa hai đường thẳng m và n trong không gian, kí hiệu (m, n) là góc giữa hai đường thẳng a và b cùng đi qua một điểm và tương ứng song song (hoặc trùng) với m và n.

Lời giải chi tiết :

$(B D, B^{'} C^{'}) = (B D, B C) = \hat{C B D} = 45^{o}$ .

Chú ý

null

Câu 10 : Cho hình chóp S.ACBD có $S A ⊥ (A B C)$ và tam giác ABC vuông tại B. Mệnh đề nào sau đây sai?

A.

$B C ⊥ S A$ .
B.

$B C ⊥ A B$ .
C.

$B C ⊥ S B$ .
D.

$B C ⊥ S C$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng điều kiện và tính chất của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

Lời giải chi tiết :

Ta có ${\begin{cases} S A ⊥ (A B C) \Rightarrow S A ⊥ B C \\ A B ⊥ B C \end{cases}$

$\Rightarrow B C ⊥ (S A B) \Rightarrow B C ⊥ S B$ .

Vậy $B C ⊥ S C$ là mệnh đề sai.

Câu 11 : Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc mặt đáy (ABC). Góc tạo bởi SB và đáy tương ứng là:

A.

$\hat{S C A}$ .
B.

$\hat{S B A}$ .
C.

$\hat{S B C}$ .
D.

$\hat{S A B}$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là góc giữa d và d’ - hình chiếu của d lên (P).

Lời giải chi tiết :

$S A ⊥ (A B C)$ nên hình chiếu của S lên (ABC) là A. Mặt khác, hình chiếu của B lên (ABC) là B. Do đó, hình chiếu của SB lên (ABC) là AB.

Vậy $(S B, (A B C)) = (S B, A B) = \hat{S B A}$ .

Câu 12 : Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Mặt phẳng nào vuông góc với mặt phẳng (ABCD)?

A.

(A’B’C’D’).
B.

(CDA’B’).
C.

(AA’C’C).
D.

(ABC’D’).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Nếu mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (Q) thì (P) vuông góc với (Q).

Lời giải chi tiết :

Có ${\begin{cases} A A^{'} ⊥ (A B C D) \\ A A^{'} \subset (A A^{'} C^{'} C) \end{cases} \Rightarrow (A A^{'} C^{'} C) ⊥ (A B C D)$ .

Câu 1 : Cho biểu thức $f (x) = \log_{3} (5 x - 3)$ . Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Nghiệm của phương trình f(x) = 1 là $x = \frac{6}{5}$ .

Đúng

Sai

b) $f (\frac{9}{5}) - f (1) = 1$ .

Đúng

Sai

c) Điều kiện để biểu thức f(x) có nghĩa là x > 0.

Đúng

Sai

d) Tập nghiệm của bất phương trình $f (x) \leq 2$ có đúng 2 số nguyên.

Đúng

Sai

Đáp án

a) Nghiệm của phương trình f(x) = 1 là $x = \frac{6}{5}$ .

Đúng

Sai

b) $f (\frac{9}{5}) - f (1) = 1$ .

Đúng

Sai

c) Điều kiện để biểu thức f(x) có nghĩa là x > 0.

Đúng

Sai

d) Tập nghiệm của bất phương trình $f (x) \leq 2$ có đúng 2 số nguyên.

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Tìm ĐKXĐ và giải phương trình, bất phương trình logarit cơ bản.

Lời giải chi tiết :

a) Đúng. $f (x) = 1 \Leftrightarrow \log_{3} (5 x - 3) = 1$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} 5 x - 3 > 0 \\ 5 x - 3 = 3^{1} \end{cases} \Leftrightarrow x = \frac{6}{5}$ .

b) Đúng. $f (\frac{9}{5}) - f (1)$

$= \log_{3} (5. \frac{9}{5} - 3) - \log_{3} (5.1 - 3)$

$= \log_{3} 6 - \log_{3} 2 = \log_{3} \frac{6}{2}$

$= \log_{3} 3 = 1$ .

c) Sai. Để f(x) có nghĩa thì $5 x - 3 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{3}{5}$ .

d) Đúng. $f (x) \leq 2 \Leftrightarrow \log_{3} (5 x - 3) \leq 2$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} 5 x - 3 > 0 \\ 5 x - 3 \leq 3^{2} \end{cases} \Leftrightarrow \frac{3}{5} \leq x \leq \frac{12}{5}$ .

Vậy $f (x) \leq 2$ có hai nghiệm nguyên là x = 1, x = 2.

Câu 2 : Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tam giác ABC vuông cân tại A, hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm H của tam giác ABC. Biết $A A^{'} = B C = a \sqrt{2}$ .

a) Độ dài đường cao hình lăng trụ bằng $\frac{4 a}{3}$ .

Đúng

Sai

b) Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng $\frac{2 a^{3}}{9}$ .

Đúng

Sai

c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng BB’ và AC gấp ba lần khoảng cách từ H đến mặt phẳng (ACC’A”).

Đúng

Sai

d) Khoảng cách giữa hai đường thẳng BB’ và AC bằng $\frac{4 a \sqrt{17}}{51}$ .

Đúng

Sai

Đáp án

a) Độ dài đường cao hình lăng trụ bằng $\frac{4 a}{3}$ .

Đúng

Sai

b) Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng $\frac{2 a^{3}}{9}$ .

Đúng

Sai

c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng BB’ và AC gấp ba lần khoảng cách từ H đến mặt phẳng (ACC’A”).

Đúng

Sai

d) Khoảng cách giữa hai đường thẳng BB’ và AC bằng $\frac{4 a \sqrt{17}}{51}$ .

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

a) Tính AH bằng định lí Pythagore.

b) Áp dụng công thức V = Bh.

c, d) Đưa về tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng/mặt phẳng.

Lời giải chi tiết :

a) Đúng. Ta có: $A M = \frac{1}{2} B C = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow A H = \frac{2}{3} A M = \frac{a \sqrt{2}}{3}$

$\Rightarrow A^{'} H = \sqrt{A {A^{'}}^{2} - A H^{2}} = \frac{4 a}{3}$ .

b) Sai. $A B = A C = a \Rightarrow S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} A B^{2} = \frac{a^{2}}{2}$

$\Rightarrow V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = \frac{2 a^{3}}{3}$ .

c) Đúng. Do $B B^{'} / / (A C C^{'} A^{'})$ nên:

$d (B B^{'}, A C) = d (B B^{'}, (A C C^{'} A^{'})) = d (B, (A C C^{'} A^{'}))$ .

Ta có $\frac{d (B, (A C C^{'} A^{'}))}{d (H, (A C C^{'} A^{'}))} = \frac{B N}{H N} = 3$ .

Suy ra $d (B B^{'}, A C) = 3. d (H, (A C C^{'} A^{'}))$ .

d) Sai. Kẻ $H K ⊥ A C$ và $H I ⊥ A^{'} K$ .

Khi đó $H I ⊥ (A C C^{'} A^{'}) \Rightarrow d (H; (A C C^{'} A^{'})) = H I$ .

Ta có $H K / / A B \Rightarrow \frac{H K}{A B} = \frac{N H}{N B} = \frac{1}{3}$

$\Rightarrow H K = \frac{1}{3} A B = \frac{a}{3}$ .

$d (B B^{'}, A C) = 3. d (H, (A C C^{'} A^{'}))$

$= 3. H I = 3. \frac{A^{'} H . H K}{\sqrt{A^{'} H^{2} + H K^{2}}} = \frac{4 a}{\sqrt{17}}$ .

Câu 1 : Trong điều kiện nuôi cấy thích hợp, cứ 20 phút vi khuẩn E. Coli lại phân đôi một lần. Giả sử lúc đầu có 5 vi khuẩn và sau n phút $(n \in N)$ có hơn 2000 vi khuẩn. Giá trị nhỏ nhất của n là bao nhiêu?

Phương pháp giải :

Ứng dụng bất phương trình logarit để giải.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Số lần phân đôi của vi khuẩn là $\frac{n}{20}$ $(\frac{n}{20} \in N)$ .

Số vi khuẩn lập thành cấp số nhân với $u_{1} = 5$ , công bội q = 2.

Để có hơn 2000 vi khuẩn thì:

${5.2}^{\frac{n}{20}} > 2000 \Leftrightarrow 2^{\frac{n}{20}} > 400 \Leftrightarrow \frac{n}{20} > \log_{2} 400 \approx 8, 64$ .

Vì $\frac{n}{20} \in N$ nên GTNN của $\frac{n}{20}$ là 9 . Khi đó, n = 180.

Vậy, sau ít nhất 180 phút thì số vi khuẩn nhiều hơn 2000.

Câu 2 : Cường độ một trận động đất M Richte được cho bởi công thức $M = \log A - \log A_{0}$ , với A là biên độ rung chấn tối đa và $A_{0}$ là một biên độ chuẩn (hằng số). Đầu thế kỷ 20, một trận động đất ở San Francisco có cường độ 8 độ Richte. Trong cùng năm đó, trận động đất khác ở Nam Mỹ có biên độ mạnh hơn gấp 4 lần. Hỏi cường độ của trận động đất ở Nam Mỹ là bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?

Phương pháp giải :

Để tính cường độ của trận động đất ở Nam Mỹ ta sử dụng công thức đề bài cho $M = \log A - \log A_{0}$ . Trong đó $A_{0}$ là hằng số, vậy muốn tính M phải tính được biên độ A.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Trận động đất ở San Francisco có cường độ 8 độ Richte khi đó áp dụng công thức:

$M_{1} = \log A - \log A_{0} \Rightarrow 8 = \log A - \log A_{0}$ .

Trận động đất ở Nam Mỹ có biên độ là: $4 A$ , khi đó cường độ của trận động đất ở Nam Mỹ là:

$M_{2} = \log (4 A) - \log A_{0}$

$\Leftrightarrow M_{2} = \log 4 + \log A - \log A_{0}$

$\Rightarrow M_{2} = \log 4 + 8 \approx 8, 6$ độ Richte.

Câu 3 : Trong hình dưới đây, chiếc laptop được mở gợi nên hình ảnh của một góc nhị diện. Ta gọi số đo góc nhị diện đó là độ mở của laptop, tính độ mở của laptop (đơn vị: độ; làm tròn đến hàng đơn vị).

Phương pháp giải :

Tính $\hat{B A C}$ , sử dụng định lí cosin cho tam giác ABC cân tại A.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Độ mở của laptop là $\hat{B A C}$ .

Tam giác ABC cân tại A. Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC có:

$\cos B A C = \frac{25^{2} + 25^{2} - 40^{2}}{2.25.25} = - \frac{7}{25}$ .

Vậy độ mở của laptop là $B A C \approx 106^{o}$ .

Câu 4 : Một người cần sơn các mặt của một cái bục (trừ đáy lớn) để đặt một bức tượng. Bục có dạng hình chóp cụt tứ giác đều có cạnh đáy lớn 1 m, cạnh bên và cạnh đáy nhỏ bằng 0,7 m. Tính tổng diện tích cần sơn. (Kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm).

Phương pháp giải :

Tính diện tích đáy nhỏ và diện tích 4 mặt bên là hình thang.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Xét một mặt của hình chóp cụt tứ giác đều giả sử là hình thang cân $A B C D$ , chiều cao $A H$ ta có:

$D H = 0, 15$ (m).

$A H = \sqrt{0, 7^{2} - 0, 15^{2}} = \frac{\sqrt{187}}{20}$ (m).

Diện tích hình thang $A B C D$ là:

$S_{A B C D} = \frac{(1 + 0, 7) \sqrt{187}}{2.20} = \frac{17 \sqrt{187}}{400}$ $(m^{2})$ .

Diện tích mặt đáy nhỏ là $0, 7^{2} = 0, 49$ $(m^{2})$ .

Tổng diện tích cần sơn là:

$\frac{17 \sqrt{187}}{400} \cdot 4 + 0, 49 \approx 2, 81$ $(m^{2})$ .

Câu 1 : Giải các phương trình sau:

a) $3^{1 - 2 x} = 4^{x}$ ;

b) $\log_{3} (x + 1) + \log_{3} (x + 4) = 2$ .

Phương pháp giải :

- Tìm điều kiện của phương trình.

- Sử dụng công thức lôgarit để biến đổi giải phương trình.

Lời giải chi tiết :

a) $3^{1 - 2 x} = 4^{x}$ (lấy lôgarit cơ số 3 hai vế)

$\Leftrightarrow \log_{3} 3^{1 - 2 x} = \log_{3} 4^{x}$

$\Leftrightarrow 1 - 2 x = x \log_{3} 4$

$\Leftrightarrow x \log_{3} 4 + 2 x = 1$

$\Leftrightarrow x (\log_{3} 4 + 2) = 1$

$\Leftrightarrow x = \frac{1}{\log_{3} 4 + 2} = \frac{1}{\log_{3} 4 + \log_{3} 9}$

$= \frac{1}{\log_{3} 36} = \log_{36} 3$ .

Vậy phương trình có nghiệm $x = \log_{36} 3$ .

b) $\log_{3} (x + 1) + \log_{3} (x + 4) = 2$ (ĐK: x > -1)

$\Leftrightarrow \log_{3} [(x + 1) (x + 4)] = 2$

$\Leftrightarrow (x + 1) (x + 4) = 3^{2}$

$\Leftrightarrow x^{2} + 5 x + 4 - 9 = 0$

$\Leftrightarrow x^{2} + 5 x - 5 = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{- 5 + 3 \sqrt{5}}{2} (T M) \\ x = \frac{- 5 - 3 \sqrt{5}}{2} (K T M) \end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm $x = \frac{- 5 + 3 \sqrt{5}}{2}$ .

Câu 2 : Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y = \sqrt{4^{x} - 2^{x + 1}}$ ;

b) $y = \ln (1 - \ln x)$ .

Phương pháp giải :

Điều kiện để:

- $\sqrt{a}$ có nghĩa: $a \geq 0$ .

- $\log_{a} x$ có nghĩa: $x > 0$ .

Lời giải chi tiết :

a) Điều kiện để hàm số $y = \sqrt{4^{x} - 2^{x + 1}}$ có nghĩa là:

$4^{x} - 2^{x + 1} \geq 0$

$\Leftrightarrow 2^{2 x} - {2.2}^{x} \geq 0$

$\Leftrightarrow 2^{x} (2^{x} - 2) \geq 0$ .

Mà $2^{x} > 0$

$\Leftrightarrow 2^{x} - 2 \geq 0$

$\Leftrightarrow 2^{x} \geq 2$

$\Leftrightarrow x \geq 1$ .

Vậy tập xác định của hàm số $y = \sqrt{4^{x} - 2^{x + 1}}$ là $[1; + \infty)$ .

b) Điều kiện để hàm số $y = \ln (1 - \ln x)$ có nghĩa là

${\begin{cases} x > 0 \\ 1 - \ln x > 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x > 0 \\ \ln x < 1 \end{cases}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} x > 0 \\ x < e \end{cases} \Leftrightarrow 0 < x < e$ .

Vậy tập xác định của hàm số $y = \ln (1 - \ln x)$ là $(0; e)$ .

Câu 3 : Cho hình chóp S.ABC có $S A ⊥ (A B C)$ có đáy ABC là tam giác vuông tại B. Biết $S A = 2 \sqrt{3}$ , AB = 6.

a) Chứng minh $B C ⊥ (S A B)$ .

b) Tính góc giữa SB và (ABC).

Phương pháp giải :

a) Chứng minh BC vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc (SAB).

b) Tính góc giữa SB và hình chiếu của SB lên (ABC), sử dụng hệ thức lượng.

Lời giải chi tiết :

a) ${\begin{array}{l} \begin{array}{l} S A ⊥ (A B C) \Rightarrow S A ⊥ B C \\ B C ⊥ A B \\ S A \cap A B = A \end{array} \end{array} \Rightarrow B C ⊥ (S A B)$ .

b) Hình chiếu của SB lên (ABC) là AB.

Suy ra $(S B, (A B C)) = (S B, A B) = \hat{S B A}$ .

$\tan \hat{S B A} = \frac{S A}{A B} = \frac{2 \sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow \hat{S B A} = 30^{o}$ .