Đề thi giữa kì 2 Toán 11 Kết nối tri thức - Đề số 1

Câu 1 : Cho a là số thực dương và m, n là hai số thực tùy ý. Đẳng thức nào sau đây là đúng?

A.

${(a^{m})}^{n} = a^{m + n}$
B.

${(a^{m})}^{n} = a^{m - n}$
C.

${(a^{m})}^{n} = a^{m . n}$
D.

${(a^{m})}^{n} = a^{\frac{m}{n}}$

Câu 2 : Chọn đáp án đúng.

Cho n là một số nguyên dương. Với a là số thực tùy ý khác 0 thì:

A.

$a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$
B.

$a^{1 - n} = \frac{1}{a^{n}}$
C.

$a^{\frac{1}{n}} = \frac{1}{a^{n}}$
D.

Cả A, B, C đều sai

Câu 3 : Chọn đáp án đúng:

A.
$\sqrt[3]{a} . \sqrt[3]{b} = \sqrt[6]{a b}$ .
B.
$\sqrt[3]{a} . \sqrt[3]{b} = \sqrt[9]{a b}$ .
C.
$\sqrt[3]{a} . \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{a + b}$ .
D.
$\sqrt[3]{a} . \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{a b}$ .

Câu 4 : Rút gọn biểu thức $P = \frac{a^{\sqrt{5} + 1} . a^{7 - \sqrt{5}}}{{(a^{3 + \sqrt{2}})}^{3 - \sqrt{2}}}$ (với $a > 0$ ).

A.
$a^{2}$ .
B.
a.
C.
$\frac{1}{a}$ .
D.
$2 a^{2}$ .

Câu 5 : Với giá trị nào của a thì $a^{\sqrt{8}} < \frac{1}{a^{- 3}}$ ?

A.

$a = \frac{3}{4}$
B.

$a = \frac{1}{2}$
C.

$a = 1$
D.

$a = \frac{3}{2}$

Câu 6 : Chọn đáp án đúng.

$\log_{a} b$ xác định khi và chỉ khi:

A.
$a > 0$ .
B.
$a > 1$ .
C.
$a > 0, a \neq 1, b > 0$ .
D.
$a > 1, b > 0$ .

Câu 7 : Chọn đáp án đúng.

A.
$\log_{1000} 1000^{3} = 1000^{3}$ .
B.
$\log_{1000} 1000^{3} = \frac{1}{3}$ .
C.
$\log_{1000} 1000^{3} = 3$ .
D.
$\log_{1000} 1000^{3} = 3^{1000}$ .

Câu 8 : Khẳng định nào sau đây đúng?

A.
Lôgarit cơ số 10 của số thực dương a kí hiệu là $\frac{1}{\ln a}$ .
B.
Lôgarit cơ số 10 của số thực dương a kí hiệu là $\log a$ .
C.
Lôgarit cơ số 10 của số thực dương a kí hiệu là $\frac{1}{\log a}$ .
D.
Lôgarit cơ số 10 của số thực dương a kí hiệu là $\ln a$ .

Câu 9 : Giá trị của phép tính $4^{\log_{\sqrt{2}} 3}$ là:

A.
81.
B.
$9$ .
C.
$\frac{1}{81}$ .
D.
$\frac{1}{9}$ .

Câu 10 : Chọn đáp án đúng:

A.
$\log_{5} 15 - 2 \log_{5} \sqrt{3} = - 1$ .
B.
$\log_{5} 15 - 2 \log_{5} \sqrt{3} = 1$ .
C.
$\log_{5} 15 - 2 \log_{5} \sqrt{3} = 0$ .
D.
$\log_{5} 15 - 2 \log_{5} \sqrt{3} = \frac{1}{2}$ .

Câu 11 : Đồ thị hàm số $y = a^{x} (a > 0, a \neq 1)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng:

A.
0.
B.
1.
C.
2.
D.
3.

Câu 12 : Hàm số $y = a^{x} (a > 0, a \neq 1)$ có tập xác định là:

A.
$D = (0; + \infty)$ .
B.
$D = (- \infty; 0)$ .
C.
$D = (- \infty; + \infty)$ .
D.
Cả A, B, C đều sai.

Câu 13 : Hàm số $y = \log_{2} x$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A.
$(- 1; + \infty)$ .
B.
$[0; + \infty)$ .
C.
$[- 1; + \infty)$ .
D.
$(1; + \infty)$ .

Câu 14 : Hàm số nào dưới đây là hàm số mũ?

A.
$y = x^{\sqrt{2}}$ .
B.
$y = x^{\log 4}$ .
C.
$y = {(\frac{π}{2})}^{x}$ .
D.
$y = \log_{2} x$ .

Câu 15 : Hàm số nào dưới đây có đồ thị như hình dưới?

A.
$y = 3^{x}$ .
B.
$y = {(\frac{1}{2})}^{x}$ .
C.
$y = {(\frac{1}{3})}^{x}$ .
D.
$y = {(\sqrt{2})}^{x}$ .

Câu 16 : Cho hàm số $f (x) = 2^{x}$ . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f(x) trên đoạn $[- 2; 3]$ . Khi đó:

A.
$M . m = 2$ .
B.
$M . m = \frac{1}{2}$
C.
$M . m = 4$ .
D.
$M . m = \frac{1}{4}$ .

Câu 17 : Nghiệm của phương trình $2^{x} = 9$ là:

A.
$x = \log_{9} 2$ .
B.
$x = \log_{2} 9$ .
C.
$x = 2^{- 9}$
D.
$x = \frac{9}{2}$ .

Câu 18 : Nghiệm của phương trình $2^{2 x - 1} = 2^{x}$ là:

A.
$x = 0$ .
B.
$x = 2$ .
C.
$x = - 1$ .
D.
$x = 1$ .

Câu 19 : Phương trình $π^{x - 3} = \frac{1}{π}$ có nghiệm là:

A.
$x = 0$ .
B.
$x = 2$ .
C.
$x = - 1$ .
D.
$x = 1$ .

Câu 20 : Nghiệm của phương trình ${(\frac{1}{16})}^{x + 1} = 64^{2 x}$ là:

A.
$x = \frac{- 1}{4}$ .
B.
$x = \frac{1}{4}$ .
C.
$x = \frac{- 1}{8}$ .
D.
$x = \frac{1}{8}$ .

Câu 21 : Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{\frac{2}{3}} (x - 3) \geq 1$ là:

A.
$S = (3; \frac{11}{3})$ .
B.
$S = (3; \frac{11}{3}]$ .
C.
$S = [3; \frac{11}{3}]$ .
D.
$S = [3; \frac{11}{3})$ .

Câu 22 : Phương trình $\log_{3} x + \log_{3} (x + 1) = \log_{3} (5 x + 12)$ có bao nhiêu nghiệm?

A.
0.
B.
1.
C.
2.
D.
Vô số.

Câu 23 : Tập nghiệm của bất phương trình ${(\frac{1}{\sqrt{5}})}^{2 x} < 25^{1 - x}$ là:

A.
$S = (- 2; + \infty)$ .
B.
$S = (2; + \infty)$ .
C.
$S = (- \infty; - 2)$ .
D.
$S = (- \infty; 2)$ .

Câu 24 : Góc giữa hai đường thẳng a và b có thể bằng:

A.
180⁰.
B.
150⁰.
C.
90⁰.
D.
Cả A, B, C đều sai.

Câu 25 : Trong không gian cho hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau. Mệnh đề nào dưới đúng?

A.
a và b cắt nhau.
B.
a và b chéo nhau.
C.
a và b cùng nằm trên một mặt phẳng.
D.
Góc giữa a và b bằng $90^{0}$ .

Câu 26 : Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và $\hat{S A B} = 100^{0}$ . Góc giữa hai đường thẳng SA và CD bằng bao nhiêu độ?

A.
$100^{0}$ .
B.
$90^{0}$ .
C.
$80^{0}$ .
D.
$70^{0}$ .

Câu 27 : Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB và SD. Khi đó, góc giữa hai đường thẳng AC và MN bằng bao nhiêu độ?

A.
$100^{0}$ .
B.
$90^{0}$ .
C.
$80^{0}$ .
D.
$70^{0}$ .

Câu 28 : Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước?

A.
Vô số.
B.
1.
C.
2.
D.
3.

Câu 29 : Chọn đáp án đúng:

A.
Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
B.
Hai đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
C.
Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì vuông góc với nhau.
D.
Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì cắt nhau.

Câu 30 : Chọn đáp án đúng.

A.
Có hai đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
B.
Có vô số đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
C.
Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
D.
Có ba đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

Câu 31 : Cho đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng d’ nằm trong mặt phẳng P. Góc giữa hai đường thẳng d và d’ bằng bao nhiêu độ?

A.
$30^{0}$ .
B.
$45^{0}$ .
C.
$60^{0}$ .
D.
$90^{0}$ .

Câu 32 : Cho hình chóp S. ABCD có ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy. Đường thẳng BC vuông góc với mặt phẳng nào?

A.
(SAD).
B.
(SCD).
C.
(SAC).
D.
(SAB).

Câu 33 : Cho hình chóp S.ABC có $S A ⊥ (A B C)$ và H là hình chiếu vuông góc của S lên BC. Chọn khẳng định đúng.

A.
$B C ⊥ A B$ .
B.
$B C ⊥ A H$ .
C.
$B C ⊥ S C$ .
D.
Cả A, B, C đều sai.

Câu 34 : Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Góc giữa hai đường thẳng A’A và D’B’ bằng:

A.
$30^{0}$ .
B.
$60^{0}$ .
C.
$90^{0}$ .
D.
$45^{0}$ .

Câu 35 : Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, $S A ⊥ (A B C D)$ . Chọn đáp án đúng.

A.

$(A B, S D) = 90^{o}$ .
B.

$(A B, S D) = 85^{o}$ .
C.

$(A B, S D) = 70^{o}$ .
D.

$(A B, S D) = 75^{o}$ .

Câu 1 : Cho hàm số: $y = \frac{1}{\sqrt{\log_{3} (x^{2} - 2 x + 3 m)}}$ .

a) Với $m = \frac{1}{3}$ , hãy tìm tập xác định của hàm số trên.

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số trên có tập xác định là $R$ .

Câu 2 : Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông và $S A ⊥ (A B C D)$ . Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB, SC và SD. Chứng minh rằng:

a) $S C ⊥ (A H K)$ .

b) $H K ⊥ (S A C)$ và $H K ⊥ A I$ .

Câu 3 : Có bao nhiêu số tự nhiên x thỏa mãn bất phương trình $l o g_{3} \frac{x^{2} - 16}{343} < l o g_{7} \frac{(x - 4) (x + 4)}{27}$ ?

Câu 1 : Cho a là số thực dương và m, n là hai số thực tùy ý. Đẳng thức nào sau đây là đúng?

A.

${(a^{m})}^{n} = a^{m + n}$
B.

${(a^{m})}^{n} = a^{m - n}$
C.

${(a^{m})}^{n} = a^{m . n}$
D.

${(a^{m})}^{n} = a^{\frac{m}{n}}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Áp dụng tính chất của phép tính lũy thừa.

Lời giải chi tiết :

Với a là số thực dương và m, n là hai số thực tùy ý thì ${(a^{m})}^{n} = a^{m . n}$ .

Câu 2 : Chọn đáp án đúng.

Cho n là một số nguyên dương. Với a là số thực tùy ý khác 0 thì:

A.

$a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$
B.

$a^{1 - n} = \frac{1}{a^{n}}$
C.

$a^{\frac{1}{n}} = \frac{1}{a^{n}}$
D.

Cả A, B, C đều sai

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Cho n là một số nguyên dương. Với a là số thực tùy ý khác 0 thì $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$ .

Lời giải chi tiết :

Cho n là một số nguyên dương. Với a là số thực tùy ý khác 0 thì $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$ .

Câu 3 : Chọn đáp án đúng:

A.
$\sqrt[3]{a} . \sqrt[3]{b} = \sqrt[6]{a b}$ .
B.
$\sqrt[3]{a} . \sqrt[3]{b} = \sqrt[9]{a b}$ .
C.
$\sqrt[3]{a} . \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{a + b}$ .
D.
$\sqrt[3]{a} . \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{a b}$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

$\sqrt[n]{a} . \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a b}$ (với các biểu thức đều có nghĩa).

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\sqrt[3]{a} . \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{a b}$ .

Câu 4 : Rút gọn biểu thức $P = \frac{a^{\sqrt{5} + 1} . a^{7 - \sqrt{5}}}{{(a^{3 + \sqrt{2}})}^{3 - \sqrt{2}}}$ (với $a > 0$ ).

A.
$a^{2}$ .
B.
a.
C.
$\frac{1}{a}$ .
D.
$2 a^{2}$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

$a^{m} . a^{n} = a^{m + n}; {(a^{m})}^{n} = a^{m n}, a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$ (a khác 0).

Lời giải chi tiết :

$P = \frac{a^{\sqrt{5} + 1} . a^{7 - \sqrt{5}}}{{(a^{3 + \sqrt{2}})}^{3 - \sqrt{2}}}$

$= \frac{a^{\sqrt{5} + 1 + 7 - \sqrt{5}}}{a^{(3 + \sqrt{2}) (3 - \sqrt{2})}} = \frac{a^{8}}{a^{7}} = a$ .

Câu 5 : Với giá trị nào của a thì $a^{\sqrt{8}} < \frac{1}{a^{- 3}}$ ?

A.

$a = \frac{3}{4}$
B.

$a = \frac{1}{2}$
C.

$a = 1$
D.

$a = \frac{3}{2}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Nếu $a > 1$ thì $a^{α} > a^{β} \Leftrightarrow α > β$ .

Nếu $0 < a < 1$ thì $a^{α} > a^{β} \Leftrightarrow α < β$ .

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\frac{1}{a^{- 3}} = a^{3} = a^{\sqrt{9}}$ nên $a^{\sqrt{8}} < \frac{1}{a^{- 3}} \Leftrightarrow a^{\sqrt{8}} < a^{\sqrt{9}}$ .

Vì $\sqrt{8} < \sqrt{9}$ , mà $a^{\sqrt{8}} < a^{\sqrt{9}}$ nên $a > 1$ . Do đó, $a = \frac{3}{2}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 6 : Chọn đáp án đúng.

$\log_{a} b$ xác định khi và chỉ khi:

A.
$a > 0$ .
B.
$a > 1$ .
C.
$a > 0, a \neq 1, b > 0$ .
D.
$a > 1, b > 0$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

$\log_{a} b$ xác định khi và chỉ khi $a > 0, a \neq 1, b > 0$ .

Lời giải chi tiết :

$\log_{a} b$ xác định khi và chỉ khi $a > 0, a \neq 1, b > 0$ .

Câu 7 : Chọn đáp án đúng.

A.
$\log_{1000} 1000^{3} = 1000^{3}$ .
B.
$\log_{1000} 1000^{3} = \frac{1}{3}$ .
C.
$\log_{1000} 1000^{3} = 3$ .
D.
$\log_{1000} 1000^{3} = 3^{1000}$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Với a, b là số thực dương và $a \neq 1$ thì $\log_{a} a^{b} = b$ .

Lời giải chi tiết :

$\log_{1000} 1000^{3} = 3$

Câu 8 : Khẳng định nào sau đây đúng?

A.
Lôgarit cơ số 10 của số thực dương a kí hiệu là $\frac{1}{\ln a}$ .
B.
Lôgarit cơ số 10 của số thực dương a kí hiệu là $\log a$ .
C.
Lôgarit cơ số 10 của số thực dương a kí hiệu là $\frac{1}{\log a}$ .
D.
Lôgarit cơ số 10 của số thực dương a kí hiệu là $\ln a$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Lôgarit cơ số 10 của số thực dương b được gọi là lôgarit thập phân của b và kí hiệu logb hay lg b.

Lôgarit cơ số e của số thực dương b được gọi là lôgarit tự nhiên của b và kí hiệu ln b.

Lời giải chi tiết :

Lôgarit cơ số 10 của số thực dương a kí hiệu là $\log a$ .

Câu 9 : Giá trị của phép tính $4^{\log_{\sqrt{2}} 3}$ là:

A.
81.
B.
$9$ .
C.
$\frac{1}{81}$ .
D.
$\frac{1}{9}$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Với a, b là số thực dương và $a \neq 1$ thì $a^{\log_{a} b} = b, \log_{a^{α}} b = \frac{1}{α} \log_{a} b; \log_{a} b^{α} = α \log_{a} b$ .

Lời giải chi tiết :

$4^{\log_{\sqrt{2}} 3} = 2^{2 \log_{2^{\frac{1}{2}}} 3} = 2^{4 \log_{2} 3} = 2^{\log_{2} 3^{4}} = 81$

Câu 10 : Chọn đáp án đúng:

A.
$\log_{5} 15 - 2 \log_{5} \sqrt{3} = - 1$ .
B.
$\log_{5} 15 - 2 \log_{5} \sqrt{3} = 1$ .
C.
$\log_{5} 15 - 2 \log_{5} \sqrt{3} = 0$ .
D.
$\log_{5} 15 - 2 \log_{5} \sqrt{3} = \frac{1}{2}$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Với a, b là số thực dương và $a \neq 1$ thì $\log_{a} b^{α} = α \log_{a} b, \log_{a} a = 1$

Với a là số thực dương, $a \neq 1$ , $M > 0, N > 0$ thì $\log_{a} \frac{M}{N} = \log_{a} M - \log_{a} N$ .

Lời giải chi tiết :

$\log_{5} 15 - 2 \log_{5} \sqrt{3} = \log_{5} 15 - \log_{5} 3 = \log_{5} \frac{15}{3} = \log_{5} 5 = 1$

Câu 11 : Đồ thị hàm số $y = a^{x} (a > 0, a \neq 1)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng:

A.
0.
B.
1.
C.
2.
D.
3.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Đồ thị hàm số hàm số $y = a^{x} (a > 0, a \neq 1)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1.

Lời giải chi tiết :

Đồ thị hàm số hàm số $y = a^{x} (a > 0, a \neq 1)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1.

Câu 12 : Hàm số $y = a^{x} (a > 0, a \neq 1)$ có tập xác định là:

A.
$D = (0; + \infty)$ .
B.
$D = (- \infty; 0)$ .
C.
$D = (- \infty; + \infty)$ .
D.
Cả A, B, C đều sai.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Hàm số $y = a^{x} (a > 0, a \neq 1)$ có tập xác định là $D = (- \infty; + \infty)$ .

Lời giải chi tiết :

Hàm số $y = a^{x} (a > 0, a \neq 1)$ có tập xác định là $D = (- \infty; + \infty)$ .

Câu 13 : Hàm số $y = \log_{2} x$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A.
$(- 1; + \infty)$ .
B.
$[0; + \infty)$ .
C.
$[- 1; + \infty)$ .
D.
$(1; + \infty)$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Nếu $a > 1$ thì hàm số $y = \log_{2} x$ đồng biến trên $(0; + \infty)$ .

Lời giải chi tiết :

Vì $2 > 1$ nên hàm số $y = \log_{2} x$ đồng biến trên $(0; + \infty)$ . Do đó, hàm số $y = \log_{2} x$ đồng biến trên $(1; + \infty)$

Câu 14 : Hàm số nào dưới đây là hàm số mũ?

A.
$y = x^{\sqrt{2}}$ .
B.
$y = x^{\log 4}$ .
C.
$y = {(\frac{π}{2})}^{x}$ .
D.
$y = \log_{2} x$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Hàm số $y = a^{x} (a > 0, a \neq 1)$ được gọi là hàm số mũ cơ số a.

Lời giải chi tiết :

Hàm số $y = {(\frac{π}{2})}^{x}$ được gọi là hàm số mũ.

Câu 15 : Hàm số nào dưới đây có đồ thị như hình dưới?

A.
$y = 3^{x}$ .
B.
$y = {(\frac{1}{2})}^{x}$ .
C.
$y = {(\frac{1}{3})}^{x}$ .
D.
$y = {(\sqrt{2})}^{x}$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Xét xem đồ thị hàm số nào đi qua điểm $(- 1; 3)$ và (0;1) thì đó là đồ thị hàm số cần tìm.

Lời giải chi tiết :

Ta thấy đồ thị hàm số $y = {(\frac{1}{3})}^{x}$ đi qua điểm $(- 1; 3)$ và (0;1) nên hàm số $y = {(\frac{1}{3})}^{x}$ là hàm số cần tìm.

Câu 16 : Cho hàm số $f (x) = 2^{x}$ . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f(x) trên đoạn $[- 2; 3]$ . Khi đó:

A.
$M . m = 2$ .
B.
$M . m = \frac{1}{2}$
C.
$M . m = 4$ .
D.
$M . m = \frac{1}{4}$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Cho hàm số $y = a^{x} (a > 0, a \neq 1)$ :

+ Nếu $a > 1$ thì hàm số đồng biến trên $R$ .

+ Nếu $0 < a < 1$ thì hàm số nghịch biến trên $R$ .

Lời giải chi tiết :

Vì $2 > 1$ nên hàm số $f (x) = 2^{x}$ đồng biến trên $R$ .

Do đó, $max_{[- 2; 3]} f (x) = f (3) = 2^{3} = 8; min_{[- 2; 3]} f (x) = f (- 2) = 2^{- 2} = \frac{1}{4}$

Suy ra: $M = 8, m = \frac{1}{4} \Rightarrow M m = 8. \frac{1}{4} = 2$ .

Câu 17 : Nghiệm của phương trình $2^{x} = 9$ là:

A.
$x = \log_{9} 2$ .
B.
$x = \log_{2} 9$ .
C.
$x = 2^{- 9}$
D.
$x = \frac{9}{2}$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Cho phương trình $a^{x} = b (a > 0, a \neq 1)$ :

+ Nếu $b \leq 0$ thì phương trình vô nghiệm.

+ Nếu $b > 0$ thì phương trình có nghiệm duy nhất $x = \log_{a} b$ .

Lời giải chi tiết :

$2^{x} = 9 \Leftrightarrow x = \log_{2} 9$

Vậy phương trình có nghiệm là $x = \log_{2} 9$ .

Câu 18 : Nghiệm của phương trình $2^{2 x - 1} = 2^{x}$ là:

A.
$x = 0$ .
B.
$x = 2$ .
C.
$x = - 1$ .
D.
$x = 1$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

$a^{u (x)} = a^{v (x)} \Leftrightarrow u (x) = v (x)$

Lời giải chi tiết :

$2^{2 x - 1} = 2^{x} \Leftrightarrow 2 x - 1 = x \Leftrightarrow x = 1$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = 1$

Câu 19 : Phương trình $π^{x - 3} = \frac{1}{π}$ có nghiệm là:

A.
$x = 0$ .
B.
$x = 2$ .
C.
$x = - 1$ .
D.
$x = 1$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

$a^{u (x)} = a^{v (x)} \Leftrightarrow u (x) = v (x)$

Lời giải chi tiết :

$π^{x - 3} = \frac{1}{π} \Leftrightarrow π^{x - 3} = π^{- 1} \Leftrightarrow x - 3 = - 1 \Leftrightarrow x = 2$

Vậy phương trình có nghiệm $x = 2$ .

Câu 20 : Nghiệm của phương trình ${(\frac{1}{16})}^{x + 1} = 64^{2 x}$ là:

A.
$x = \frac{- 1}{4}$ .
B.
$x = \frac{1}{4}$ .
C.
$x = \frac{- 1}{8}$ .
D.
$x = \frac{1}{8}$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

$a^{u (x)} = a^{v (x)} \Leftrightarrow u (x) = v (x)$

Lời giải chi tiết :

${(\frac{1}{16})}^{x + 1} = 64^{2 x} \Leftrightarrow 4^{- 2 (x + 1)} = 4^{3.2 x} \Leftrightarrow - 2 x - 2 = 6 x \Leftrightarrow 8 x = - 2 \Leftrightarrow x = \frac{- 1}{4}$

Câu 21 : Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{\frac{2}{3}} (x - 3) \geq 1$ là:

A.
$S = (3; \frac{11}{3})$ .
B.
$S = (3; \frac{11}{3}]$ .
C.
$S = [3; \frac{11}{3}]$ .
D.
$S = [3; \frac{11}{3})$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Nếu $0 < a < 1$ thì $\log_{a} u (x) > \log_{a} v (x) \Leftrightarrow {\begin{cases} u (x) > 0 \\ u (x) \leq v (x) \end{cases}$ .

Lời giải chi tiết :

$\log_{\frac{2}{3}} (x - 3) \geq 1 \Leftrightarrow \log_{\frac{2}{3}} (x - 3) \geq \log_{\frac{2}{3}} \frac{2}{3} \Leftrightarrow {\begin{cases} x - 3 > 0 \\ x - 3 \leq \frac{2}{3} \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x > 3 \\ x \leq \frac{11}{3} \end{cases}$

Do đó, tập nghiệm của bất phương trình là: $S = (3; \frac{11}{3}]$ .

Câu 22 : Phương trình $\log_{3} x + \log_{3} (x + 1) = \log_{3} (5 x + 12)$ có bao nhiêu nghiệm?

A.
0.
B.
1.
C.
2.
D.
Vô số.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Với $a > 0, a \neq 1$ thì $\log_{a} u (x) = \log_{a} v (x) \Leftrightarrow {\begin{cases} u (x) > 0 \\ u (x) = v (x) \end{cases}$ (có thể thay $u (x) > 0$ bằng $v (x) > 0$ )

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: $x > 0$

$\log_{3} x + \log_{3} (x + 1) = \log_{3} (5 x + 12) \Leftrightarrow \log_{3} x (x + 1) = \log_{3} (5 x + 12)$

$\Leftrightarrow x^{2} + x = 5 x + 12 \Leftrightarrow x^{2} - 4 x - 12 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 2 (L) \\ x = 6 (T M) \end{array}$

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm là $x = 6$

Câu 23 : Tập nghiệm của bất phương trình ${(\frac{1}{\sqrt{5}})}^{2 x} < 25^{1 - x}$ là:

A.
$S = (- 2; + \infty)$ .
B.
$S = (2; + \infty)$ .
C.
$S = (- \infty; - 2)$ .
D.
$S = (- \infty; 2)$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Với $a > 1$ thì $a^{u (x)} > a^{v (x)} \Leftrightarrow u (x) > v (x)$

Lời giải chi tiết :

${(\frac{1}{\sqrt{5}})}^{2 x} < 25^{1 - x} \Leftrightarrow 5^{\frac{- 2 x}{2}} < 5^{2 (1 - x)} \Leftrightarrow - x < 2 - 2 x (d o 5 > 1) \Leftrightarrow x < 2$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: $S = (- \infty; 2)$ .

Câu 24 : Góc giữa hai đường thẳng a và b có thể bằng:

A.
180⁰.
B.
150⁰.
C.
90⁰.
D.
Cả A, B, C đều sai.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Góc giữa hai đường thẳng có số đo không vượt quá 90⁰.

Lời giải chi tiết :

Vì góc giữa hai đường thẳng có số đo không vượt quá 90⁰nên góc giữa hai đường thẳng có thể bằng 90⁰.

Câu 25 : Trong không gian cho hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau. Mệnh đề nào dưới đúng?

A.
a và b cắt nhau.
B.
a và b chéo nhau.
C.
a và b cùng nằm trên một mặt phẳng.
D.
Góc giữa a và b bằng $90^{0}$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Hai đường thẳng vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng $90^{0}$ .

Lời giải chi tiết :

Trong không gian cho hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau thì góc giữa chúng bằng $90^{0}$ .

Câu 26 : Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và $\hat{S A B} = 100^{0}$ . Góc giữa hai đường thẳng SA và CD bằng bao nhiêu độ?

A.
$100^{0}$ .
B.
$90^{0}$ .
C.
$80^{0}$ .
D.
$70^{0}$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

+ Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm O và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b, kí hiệu $(a, b)$ hoặc $\hat{(a; b)}$ .

+ Góc giữa hai đường thẳng không vượt quá $90^{0}$ .

Lời giải chi tiết :

Vì ABCD là hình bình hành nên $A B / / C D$

Do đó, $(S A, C D) = (S A, A B) = 180^{0} - \hat{S A B} = 80^{0}$

Câu 27 : Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB và SD. Khi đó, góc giữa hai đường thẳng AC và MN bằng bao nhiêu độ?

A.
$100^{0}$ .
B.
$90^{0}$ .
C.
$80^{0}$ .
D.
$70^{0}$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó vuông góc với đường thẳng còn lại.

Lời giải chi tiết :

Vì M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB và SD nên MN là đường trung bình của tam giác SBD, do đó, MN//BD.

Vì ABCD là hình thoi nên $A C ⊥ B D$

Vì $A C ⊥ B D$ , MN//BD nên $A C ⊥ M N \Rightarrow (A C, M N) = 90^{0}$ .

Câu 28 : Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước?

A.
Vô số.
B.
1.
C.
2.
D.
3.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Lời giải chi tiết :

Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Câu 29 : Chọn đáp án đúng:

A.
Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
B.
Hai đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
C.
Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì vuông góc với nhau.
D.
Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì cắt nhau.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

Lời giải chi tiết :

Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

Câu 30 : Chọn đáp án đúng.

A.
Có hai đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
B.
Có vô số đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
C.
Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
D.
Có ba đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

Lời giải chi tiết :

Có duy nhất một đường thẳng cùng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

Câu 31 : Cho đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng d’ nằm trong mặt phẳng P. Góc giữa hai đường thẳng d và d’ bằng bao nhiêu độ?

A.
$30^{0}$ .
B.
$45^{0}$ .
C.
$60^{0}$ .
D.
$90^{0}$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết :

Vì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng d’ nằm trong mặt phẳng P nên $d ⊥ d^{'} \Rightarrow (d, d^{'}) = 90^{0}$

Câu 32 : Cho hình chóp S. ABCD có ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy. Đường thẳng BC vuông góc với mặt phẳng nào?

A.
(SAD).
B.
(SCD).
C.
(SAC).
D.
(SAB).

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì $d ⊥ (P)$ .

+ Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết :

Vì $S A ⊥ (A B C D), B C \subset (A B C D) \Rightarrow S A ⊥ B C$

Mà ABCD là hình chữ nhật nên $B C ⊥ A B$

Ta có: $S A ⊥ B C, B C ⊥ A B,$ AB và SA cắt nhau tại A và nằm trong mặt phẳng (SAB).

Do đó, $B C ⊥ (S A B)$

Câu 33 : Cho hình chóp S.ABC có $S A ⊥ (A B C)$ và H là hình chiếu vuông góc của S lên BC. Chọn khẳng định đúng.

A.
$B C ⊥ A B$ .
B.
$B C ⊥ A H$ .
C.
$B C ⊥ S C$ .
D.
Cả A, B, C đều sai.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì $d ⊥ (P)$ .

+ Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết :

Vì $S A ⊥ (A B C), B C \subset (A B C) \Rightarrow S A ⊥ B C$ , mà $B C ⊥ S H$ và SA và SH cắt nhau tại S và nằm trong mặt phẳng (SAH) nên $B C ⊥ (S A H)$ .

Lại có: $A H \subset (S A H)$ nên $B C ⊥ A H$ .

Câu 34 : Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Góc giữa hai đường thẳng A’A và D’B’ bằng:

A.
$30^{0}$ .
B.
$60^{0}$ .
C.
$90^{0}$ .
D.
$45^{0}$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết :

Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên $A A^{'} ⊥ (A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})$ , mà $B^{'} D^{'} \subset (A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})$ nên $A A^{'} ⊥ B^{'} D^{'}$ . Do đó, góc giữa hai đường thẳng A’A và D’B’ bằng $90^{0}$ .

Câu 35 : Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, $S A ⊥ (A B C D)$ . Chọn đáp án đúng.

A.

$(A B, S D) = 90^{o}$ .
B.

$(A B, S D) = 85^{o}$ .
C.

$(A B, S D) = 70^{o}$ .
D.

$(A B, S D) = 75^{o}$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì $d ⊥ (P)$ .

+ Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết :

Vì $S A ⊥ (A B C D)$ và $A B \subset (A B C D) \Rightarrow S A ⊥ A B$ .

Vì ABCD là hình thang vuông tại A nên $A B ⊥ A D$ .

Ta có: $A B ⊥ A D$ , $S A ⊥ A B$ và SA và AD cắt nhau tại A và nằm trong mặt phẳng (SAD).

Do đó, $A B ⊥ (S A D) \Rightarrow A B ⊥ S D$ . Suy ra, $(A B, S D) = 90^{o}$ .

Câu 1 : Cho hàm số: $y = \frac{1}{\sqrt{\log_{3} (x^{2} - 2 x + 3 m)}}$ .

a) Với $m = \frac{1}{3}$ , hãy tìm tập xác định của hàm số trên.

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số trên có tập xác định là $R$ .

Phương pháp giải :

+ Hàm số có dạng $y = \frac{1}{\sqrt{u (x)}}$ xác định khi $u (x) > 0$ .

+ Hàm $y = \log_{a} u (x) (a > 0, a \neq 1)$ xác định khi $u (x) > 0$ .

Lời giải chi tiết :

a) Với $m = \frac{1}{3}$ ta có: $y = \frac{1}{\sqrt{\log_{3} (x^{2} - 2 x + 1)}}$ .

Hàm số $y = \frac{1}{\sqrt{\log_{3} (x^{2} - 2 x + 1)}}$ xác định khi $\log_{3} (x^{2} - 2 x + 1) > 0 \Leftrightarrow x^{2} - 2 x + 1 > 1 \Leftrightarrow x^{2} - 2 x > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x > 2 \\ x < 0 \end{array}$

Vậy với $m = \frac{1}{3}$ thì tập xác định của hàm số là: $D = (- \infty; 0) \cup (2; + \infty)$ .

b) Hàm số $y = \frac{1}{\sqrt{\log_{3} (x^{2} - 2 x + 3 m)}}$ có tập xác định là $R$ khi và chỉ khi $\log_{3} (x^{2} - 2 x + 3 m) > 0$ với mọi $x \in R$

$\Leftrightarrow x^{2} - 2 x + 3 m > 1$ với mọi $x \in R$

$\Leftrightarrow x^{2} - 2 x + 3 m - 1 > 0$ với mọi $x \in R$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} 1 > 0 \\ Δ^{'} < 0 \end{cases} \Leftrightarrow {(- 1)}^{2} - 3 m + 1 < 0 \Leftrightarrow m > \frac{2}{3}$

Vậy với $m > \frac{2}{3}$ thì hàm số $y = \frac{1}{\sqrt{\log_{3} (x^{2} - 2 x + 3 m)}}$ có tập xác định là $R$ .

Câu 2 : Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông và $S A ⊥ (A B C D)$ . Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB, SC và SD. Chứng minh rằng:

a) $S C ⊥ (A H K)$ .

b) $H K ⊥ (S A C)$ và $H K ⊥ A I$ .

Phương pháp giải :

+ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì $d ⊥ (P)$ .

+ Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết :

a) Vì $S A ⊥ (A B C D), D C \subset (A B C D) \Rightarrow S A ⊥ D C$

Vì ABCD là hình vuông nên $D C ⊥ A D$ .

Mà SA và AD cắt nhau tại A và nằm trong mặt phẳng (SAD). Do đó, $D C ⊥ (S A D)$

Lại có: $A K \subset (S A D) \Rightarrow D C ⊥ A K$ . Mặt khác, $A K ⊥ S D \Rightarrow A K ⊥ (S D C) \Rightarrow A K ⊥ S C$

Vì $S A ⊥ (A B C D), B C \subset (A B C D) \Rightarrow S A ⊥ B C$

Vì ABCD là hình vuông nên $B C ⊥ A B$ .

Mà SA và AB cắt nhau tại A và nằm trong mặt phẳng (SAB). Do đó, $B C ⊥ (S A B)$

Lại có: $A H \subset (S A B) \Rightarrow B C ⊥ A H$ . Mặt khác, $A H ⊥ S B \Rightarrow A H ⊥ (S B C) \Rightarrow A H ⊥ S C$

Ta có: $A K ⊥ S C$ , $A H ⊥ S C$ và AK và AH cắt nhau tại A nằm trong mặt phẳng (AHK) nên $S C ⊥ (A H K)$ .

b) Ta có: $S A ⊥ (A B C D) \Rightarrow {\begin{cases} S A ⊥ A B \\ S A ⊥ A D \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} \hat{S A B} = 90^{0} \\ \hat{S A D} = 90^{0} \end{cases}$

Tam giác SAB và tam giác SAD có: SA là cạnh chung, $\hat{S A B} = \hat{S A D} = 90^{0}$ , $A B = A D$ .

Do đó, $Δ S A B = Δ S A D (c . g . c) \Rightarrow S B = S D$ , $S H = S K$ .

Suy ra: $\frac{S H}{S B} = \frac{S K}{S D}$ . Do đó, HK//BD (1)

Vì ABCD là hình vuông nên $A C ⊥ B D$ .

Vì $S A ⊥ (A B C D), D B \subset (A B C D) \Rightarrow S A ⊥ D B$

Mà SA và AC cắt nhau tại A và nằm trong mặt phẳng (SAC) nên $D B ⊥ (S A C)$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $H K ⊥ (S A C)$ . Mà $A I \subset (S A C)$ , suy ra $H K ⊥ A I$ .

Câu 3 : Có bao nhiêu số tự nhiên x thỏa mãn bất phương trình $l o g_{3} \frac{x^{2} - 16}{343} < l o g_{7} \frac{(x - 4) (x + 4)}{27}$ ?

Phương pháp giải :

Nếu $a > 1$ thì $\log_{a} u (x) < \log_{a} v (x) \Leftrightarrow {\begin{cases} u (x) > 0 \\ u (x) < v (x) \end{cases}$ .

Lời giải chi tiết :

TXĐ: $D = (- \infty; - 4) \cup (4; + \infty)$ .

Ta có: $l o g_{3} \frac{x^{2} - 16}{343} < l o g_{7} \frac{(x - 4) (x + 4)}{27}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow l o g_{3} \frac{x^{2} - 16}{343} < l o g_{7} \frac{x^{2} - 16}{27} \\ \Leftrightarrow l o g_{3} 7. [l o g_{7} (x^{2} - 16) - 3] < l o g_{7} (x^{2} - 16) - 3 l o g_{7} 3 \\ \Leftrightarrow (l o g_{3} 7 - 1) . l o g_{7} (x^{2} - 16) < 3 l o g_{3} 7 - 3 l o g_{7} 3 \\ \Leftrightarrow \log_{7} (x^{2} - 16) < \frac{3 (\log_{3} 7 - \log_{7} 3)}{\log_{3} 7 - 1} \end{array}$

$\Leftrightarrow \log_{7} (x^{2} - 16) < \frac{3 (\log_{3} 7 - \frac{1}{\log_{3} 7})}{\log_{3} 7 - 1}$ $\Leftrightarrow \log_{7} (x^{2} - 16) < \frac{3 (\log_{3} 7 + 1)}{\log_{3} 7}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \log_{7} (x^{2} - 16) < 3 (1 + \log_{7} 3) \\ \Leftrightarrow \log_{7} (x^{2} - 16) < \log_{7} 21^{3} \end{array}$

$\Leftrightarrow x^{2} - 16 < 21^{3} \Leftrightarrow - \sqrt{9277} < x < \sqrt{9277}$

Kết hợp với điều kiện xác định ta có: $[\begin{array}{l} - \sqrt{9277} < x < - 4 \\ 4 < x < \sqrt{9277} \end{array}$

Vì x là số tự nhiên nên $x \in {5; 6; 7; . . .; 96}$ .