Đề thi giữa kì 2 Toán 12 Cánh diều - Đề số 2

Câu 1 : Nguyên hàm của hàm số f(x) = $e^{x}$ là

A.

$\frac{e^{x + 1}}{x + 1} + C$
B.

$\frac{{(e + 1)}^{x}}{e + 1} + C$
C.

$- e^{- x} + C$
D.

$e^{x} + C$

Câu 2 : Hàm số F(x) = cos3x là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?

A.

$f (x) = 3 \sin 3 x$
B.

$f (x) = \sin x^{2}$
C.

$f (x) = - 3 \sin 3 x$
D.

$f (x) = - \frac{1}{3} \sin 3 x$

Câu 3 : Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên $R$ . Khẳng định nào dưới đây đúng?

A.

$\int_{a}^{b} [f (x) + g (x)] d x = \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{a}^{b} g (x) d x$
B.

$\int_{a}^{b} [f (x) - g (x)] d x = \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{a}^{b} g (x) d x$
C.

$\int_{a}^{b} f (x) . g (x) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x . \int_{a}^{b} g (x) d x$
D.

$\int_{a}^{b} [f (x) - g (x)] d x = \int_{a}^{b} g (x) d x - \int_{a}^{b} f (x) d x$

Câu 4 : Cho hàm số $f (x) = 3 + \frac{1}{x}$ . Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của f(x) trên $(0; + \infty)$ ?

A.

$F (x) = 3 x - \frac{1}{x^{2}}$
B.

$F (x) = 3 x + \ln x$
C.

$F (x) = 3 x + \frac{1}{x^{2}}$
D.

$F (x) = 3 x - \ln x$

Câu 5 : Cho hàm số $f (x) = \frac{2 x^{2}}{3}$ . Kết quả của $\int_{0}^{3} \frac{f (x)}{2} d x$ là

A.

9
B.

3
C.

27
D.

$\frac{1}{3}$

Câu 6 : Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình bên. $S_{1}$ , $S_{2}$ , $S_{3}$ , $S_{4}$ lần lượt là phần diện tích tương ứng của đồ thị hàm số với trục hoành. Tích phân $\int_{a}^{b} f (x) d x$ có kết quả là

A.

$S_{1} + S_{2} + S_{3} + S_{4}$
B.

$- S_{1} + S_{2} - S_{3} + S_{4}$
C.

$S_{1} - S_{2} + S_{3} - S_{4}$
D.

$- S_{1} - S_{2} - S_{3} - S_{4}$

Câu 7 : Trong không gian Oxyz , mặt phẳng $(α)$ : x + 2y + 3z – 12 = 0 cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng

A.

2
B.

6
C.

3
D.

1

Câu 8 : Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm M(-2;1;2) đến mặt phẳng $(α)$ : x – 5y + 2z – 7 = 0 là

A.

$\frac{\sqrt{10}}{3}$
B.

$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{3}}$
C.

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$
D.

$\frac{\sqrt{3}}{10}$

Câu 9 : Trong không gian Oxyz, một vecto chỉ phương của mặt phẳng $(β)$ : 2x + 3y – z + 5 = 0 là

A.

$\vec{u} = (- 2; - 3; 1)$
B.

$\vec{u} = (0; 2; 6)$
C.

$\vec{u} = (2; 2; 2)$
D.

$\vec{u} = (- 1; 3; 2)$

Câu 10 : Góc giữa hai mặt phẳng (P): x + 2y + z – 1 = 0 và (Q): -x + y + 2z + 2 = 0 bằng

A.

$30^{o}$
B.

$45^{o}$
C.

$60^{o}$
D.

$90^{o}$

Câu 11 : Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + z – 1 = 0. Điểm nào sau đây không thuộc mặt phẳng (P)?

A.

E(0;0;1)
B.

F(3;1;0)
C.

M(2;-1;3)
D.

N(3;2;2)

Câu 12 : Trong không gian Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của một mặt phẳng?

A.

$x^{2} + 2 y^{2} - 3 z^{2} + 1 = 0$
B.

$\frac{1}{x} + \frac{2}{y} + \frac{3}{z} + 2 = 0$
C.

$x - y + 1 = 0$
D.

$x y + 5 = 0$

Câu 1 : Cho khối tròn xoay như hình bên.

a) Hình phẳng (A) được giới hạn các đường $y = f (x) = x^{2} - 4 x + 5$ , y = 0, x = 0, x = 4.

Đúng

Sai

b) Diện tích hình phẳng (A) được giới hạn là 6.

Đúng

Sai

c) Tổng diện tích đáy trên và đáy dưới của khối tròn xoay là $17 π$ .

Đúng

Sai

d) Thể tích khối tròn xoay này khi quay hình phẳng (A) quanh trục Ox là $\frac{78}{5} π$ .

Đúng

Sai

Câu 2 : Trong không gian Oxyz, một thiết bị phát sóng đặt tại vị trí A(4;0;0). Vùng phủ sóng của thiết bị có bán kính bằng 4.

a) Điểm M(4;2;2) thuộc vùng phủ sóng.

Đúng

Sai

b) Tập hợp tất cả các điểm thuộc vùng phủ sóng của thiết bị được giới hạn bởi mặt cầu có phương trình ${(x - 2)}^{2} + y^{2} + z^{2} = 4$ .

Đúng

Sai

c) Một bức tường được xây gần đó có phương trình (P): x + y – z = 6 sẽ chắn sóng của thiết bị.

Đúng

Sai

d) Vùng nhận được tín hiệu trên mặt phẳng (P) là hình tròn có bán kính bằng 4.

Đúng

Sai

Câu 1 : Tại một nhà máy sản xuất phân bón, gọi P(x) là lợi nhuận (tính theo triệu đồng) thu được từ việc bán x tấn sản phẩm trong một tuần. Khi đó, đạo hàm P’(x), gọi là là lợi nhuận cận biên, cho biết tốc độ tăng lợi nhuận theo lượng sản phẩm bán được. Giả sử lợi nhuận cận biên (tính theo triệu đồng trên tấn) của nhà máy được ước lượng bởi công thức P’(x) = 16 – 0,02x với $0 \leq x \leq 100$ . Tính lợi nhuận chênh lệch có được khi nhà máy bán 90 tấn sản phẩm trong tuần so với bán 20 tấn sản phẩm trong tuần (tính theo triệu đồng).

Đáp án:

Câu 2 : Một xe ô tô chuyển động với vận tốc tại giây thứ t là $v (t) = 4 t^{3} + 2 t + 3$ (m/s). Hỏi xe đã đi được quãng đường là bao nhiêu (đơn vị: mét) kể từ lúc bắt đầu (t = 0) cho đến lúc t = 5 (s)?

Đáp án:

Câu 3 : Một sinh viên thiết kế đồ họa 3D của một cánh đồng điện mặt trời trong không gian Oxyz, một tấm pin nằm trên mặt phẳng (P): x + 2y + 3z + 2 = 0; một tấm pin khác nằm trên mặt phẳng (Q) đi qua điểm M(1;2;3) và song song với mặt phẳng (P). Biết rằng phương trình mặt phẳng (Q) có dạng ax + 2y + bz + c = 0. Khi đó giá trị a + b + c bằng bao nhiêu?

Đáp án:

Câu 4 : Trong không gian Oxyz, cho điểm M (1;2;3). Mặt phẳng (P): ax + by + cz − 14 = 0 đi qua M và cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C không trùng với gốc tọa độ sao cho M là trực tâm tam giác ABC. Tính giá trị biểu thức S = 2a + 3b − 4c.

Đáp án:

Câu 1 : Cho $f (x) = {\begin{cases} 1 \\ 2 x - 1 \end{cases}$ $\begin{array}{l} k h i \\ k h i \end{array}$ $\begin{array}{l} x \geq 1 \\ x < 1 \end{array}$ . Tính $J = \int_{- 1}^{2} f (x) d x$ .

Câu 2 : Trong chương trình nông thôn mới, tại một xã Y có xây một đoạn đường hầm bằng bê tông như hình vẽ. Tính thể tích $(m^{3})$ khối bê tông để đổ đủ đoạn đường hầm, biết đường cong trong hình vẽ là các đường parabol.

Câu 3 : Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;1;1), B(−1;2;0), C(3;−1;2) và M là điểm thuộc mặt phẳng $(α)$ : 2x − y + 2z + 7 = 0. Tính giá trị nhỏ nhất của $P = | 3 \vec{M A} + 5 \vec{M B} - 7 \vec{M C} |$ .

Câu 1 : Nguyên hàm của hàm số f(x) = $e^{x}$ là

A.

$\frac{e^{x + 1}}{x + 1} + C$
B.

$\frac{{(e + 1)}^{x}}{e + 1} + C$
C.

$- e^{- x} + C$
D.

$e^{x} + C$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số mũ: $\int a^{x} d x = \frac{a^{x}}{\ln a} + C$ .

Lời giải chi tiết :

$\int e^{x} d x = \frac{e^{x}}{\ln e} + C = e^{x} + C$ .

Câu 2 : Hàm số F(x) = cos3x là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?

A.

$f (x) = 3 \sin 3 x$
B.

$f (x) = \sin x^{2}$
C.

$f (x) = - 3 \sin 3 x$
D.

$f (x) = - \frac{1}{3} \sin 3 x$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

F(x) là nguyên hàm của f(x) nếu F’(x) = f(x).

Lời giải chi tiết :

Vì $F^{'} (x) = (\cos 3 x)^{'} = - 3 \sin 3 x$ nên F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = - 3 \sin 3 x$ .

Câu 3 : Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên $R$ . Khẳng định nào dưới đây đúng?

A.

$\int_{a}^{b} [f (x) + g (x)] d x = \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{a}^{b} g (x) d x$
B.

$\int_{a}^{b} [f (x) - g (x)] d x = \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{a}^{b} g (x) d x$
C.

$\int_{a}^{b} f (x) . g (x) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x . \int_{a}^{b} g (x) d x$
D.

$\int_{a}^{b} [f (x) - g (x)] d x = \int_{a}^{b} g (x) d x - \int_{a}^{b} f (x) d x$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Áp dụng tính chất của tích phân $\int_{a}^{b} [f (x) \pm g (x)] d x = \int_{a}^{b} f (x) d x \pm \int_{a}^{b} g (x) d x$ .

Lời giải chi tiết :

$\int_{a}^{b} f (x) + g (x) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{a}^{b} g (x) d x$ là khẳng định đúng.

Câu 4 : Cho hàm số $f (x) = 3 + \frac{1}{x}$ . Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của f(x) trên $(0; + \infty)$ ?

A.

$F (x) = 3 x - \frac{1}{x^{2}}$
B.

$F (x) = 3 x + \ln x$
C.

$F (x) = 3 x + \frac{1}{x^{2}}$
D.

$F (x) = 3 x - \ln x$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số lũy thừa: $\int x^{α} d x = \frac{x^{α + 1}}{α + 1} + C$ .

Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số $y = \frac{1}{x}$ : $\int \frac{1}{x} d x = \ln | x | + C$ .

Lời giải chi tiết :

$\int f (x) d x = \int (3 + \frac{1}{x}) d x = 3 x + \ln | x | + C$ .

Câu 5 : Cho hàm số $f (x) = \frac{2 x^{2}}{3}$ . Kết quả của $\int_{0}^{3} \frac{f (x)}{2} d x$ là

A.

9
B.

3
C.

27
D.

$\frac{1}{3}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số lũy thừa $\int x^{α} d x = \frac{x^{α + 1}}{α + 1} + C$ .

Áp dụng tính chất của tích phân $\int_{a}^{b} k f (x) d x = k \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

Lời giải chi tiết :

$\int_{0}^{3} \frac{f (x)}{2} d x$

$= \int_{0}^{3} \frac{1}{2} f (x) d x$

$= \frac{1}{2} \int_{0}^{3} f (x) d x$

$= \frac{1}{2} \int_{0}^{3} \frac{2 x^{2}}{3} d x$

$= \frac{1}{3} \int_{0}^{3} x^{2} d x$

$= \frac{1}{3} . \frac{x^{3}}{3} | \begin{matrix} ^{3} \\ _{0} \end{matrix}$

$= \frac{1}{3} . \frac{3^{3}}{3}$

$= 3$ .

Câu 6 : Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình bên. $S_{1}$ , $S_{2}$ , $S_{3}$ , $S_{4}$ lần lượt là phần diện tích tương ứng của đồ thị hàm số với trục hoành. Tích phân $\int_{a}^{b} f (x) d x$ có kết quả là

A.

$S_{1} + S_{2} + S_{3} + S_{4}$
B.

$- S_{1} + S_{2} - S_{3} + S_{4}$
C.

$S_{1} - S_{2} + S_{3} - S_{4}$
D.

$- S_{1} - S_{2} - S_{3} - S_{4}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên [a;b] và hai đường thẳng x = a, x = b được tính bằng công thức $S \int_{a}^{b} | f (x) - g (x) | d x$ .

Lời giải chi tiết :

$S_{1} = \int_{a}^{c_{1}} | f (x) | d x \Rightarrow S_{1} = \int_{a}^{c_{1}} f (x) d x$ ;

$S_{2} = \int_{c_{1}}^{c_{2}} | f (x) | d x \Rightarrow S_{2} = - \int_{c_{1}}^{c_{2}} f (x) d x \Rightarrow - S_{2} = \int_{c_{1}}^{c_{2}} f (x) d x$ ;

$S_{3} = \int_{c_{3}}^{c_{3}} | f (x) | d x \Rightarrow S_{3} = \int_{c_{3}}^{c_{3}} f (x) d x$ ;

$S_{4} = \int_{c_{3}}^{b} | f (x) | d x \Rightarrow S_{4} = - \int_{c_{3}}^{b} f (x) d x \Rightarrow - S_{4} = \int_{c_{3}}^{b} f (x) d x$ .

Ta có: $\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{c_{1}} f (x) d x + \int_{c_{1}}^{c_{2}} f (x) d x + \int_{c_{2}}^{c_{3}} f (x) d x + \int_{c_{3}}^{b} f (x) d x = S_{1} - S_{2} + S_{3} - S_{4}$ .

Câu 7 : Trong không gian Oxyz , mặt phẳng $(α)$ : x + 2y + 3z – 12 = 0 cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng

A.

2
B.

6
C.

3
D.

1

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Lập phương trình tham số của trục tung. Thay tọa độ x, y, z theo t của phương trình vừa lập vào phương trình mặt phẳng để tìm t. Từ đó kết luận tung độ giao điểm.

Lời giải chi tiết :

Trục tung có phương trình tham số là ${\begin{cases} x = 0 \\ y = t \\ z = 0 \end{cases}$ $(t \in R)$ .

Xét phương trình $0 + 2 t + 3.0 - 12 = 0 \Leftrightarrow 2 t - 12 = 0 \Leftrightarrow t = 6$ .

Vậy tung độ giao điểm của trục tung và mặt phẳng $(α)$ là y = 6.

Câu 8 : Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm M(-2;1;2) đến mặt phẳng $(α)$ : x – 5y + 2z – 7 = 0 là

A.

$\frac{\sqrt{10}}{3}$
B.

$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{3}}$
C.

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$
D.

$\frac{\sqrt{3}}{10}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng.

Lời giải chi tiết :

$d (M, (α)) = \frac{| 1. (- 2) - 5.1 + 2.2 - 7 |}{\sqrt{1^{2} + {(- 5)}^{2} + 2^{2}}} = \frac{10}{\sqrt{30}} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{3}}$ .

Câu 9 : Trong không gian Oxyz, một vecto chỉ phương của mặt phẳng $(β)$ : 2x + 3y – z + 5 = 0 là

A.

$\vec{u} = (- 2; - 3; 1)$
B.

$\vec{u} = (0; 2; 6)$
C.

$\vec{u} = (2; 2; 2)$
D.

$\vec{u} = (- 1; 3; 2)$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Từ phương trình tổng quát, xác định vecto pháp tuyến của mặt phẳng, từ đó tìm vecto có giá vuông góc với vecto pháp tuyến vừa tìm.

Lời giải chi tiết :

Vecto pháp tuyến của $(β)$ là $\vec{n} = (2; 3; - 1)$ .

Xét các phương án, thấy chỉ có 0.2 + 2.3 + 6.(-1) = 0, tức $\vec{u} = (0; 2; 6)$ có giá vuông góc với $\vec{n} = (2; 3; - 1)$ .

Vậy $\vec{u} = (0; 2; 6)$ là một vecto chỉ phương của $(β)$ .

Câu 10 : Góc giữa hai mặt phẳng (P): x + 2y + z – 1 = 0 và (Q): -x + y + 2z + 2 = 0 bằng

A.

$30^{o}$
B.

$45^{o}$
C.

$60^{o}$
D.

$90^{o}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P), (Q) tương ứng có các vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (A; B; C), {\vec{n}}^{'} = (A^{'}; B^{'}; C^{'})$ . Khi đó, góc giữa (P) và (Q), kí hiệu là ((P), (Q)) được tính theo công thức:

$\cos ((P), (Q)) = \frac{| A A^{'} + B B^{'} + C C^{'} |}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}} . \sqrt{A^{' 2} + B^{' 2} + C^{' 2}}}$ .

Lời giải chi tiết :

$\cos ((P), (Q)) = \frac{| 1. (- 1) + 2.1 + 1.2 |}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + 1^{2}} . \sqrt{{(- 1)}^{2} + 1^{2} + 2^{2}}} = \frac{1}{2} \Rightarrow ((P), (Q)) = 60^{o}$ .

Câu 11 : Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + z – 1 = 0. Điểm nào sau đây không thuộc mặt phẳng (P)?

A.

E(0;0;1)
B.

F(3;1;0)
C.

M(2;-1;3)
D.

N(3;2;2)

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Thay tọa độ các điểm vào phương trình, nếu thỏa mãn thì điểm đó thuộc mặt phẳng

Lời giải chi tiết :

Thay tọa độ các điểm vào phương trình mặt phẳng, thấy chỉ có tọa độ điểm M(2;-1;3) không thỏa mãn phương trình mặt phẳng, do: 1.2 – 2.(-1) + 1.3 – 1 $\neq$ 0.

Câu 12 : Trong không gian Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của một mặt phẳng?

A.

$x^{2} + 2 y^{2} - 3 z^{2} + 1 = 0$
B.

$\frac{1}{x} + \frac{2}{y} + \frac{3}{z} + 2 = 0$
C.

$x - y + 1 = 0$
D.

$x y + 5 = 0$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng Ax + By + Cz + D = 0, với A, B, C không đồng thời bằng 0.

Lời giải chi tiết :

Chỉ có phương trình $x - y + 1 = 0$ ở đáp án C có dạng phương trình tổng quát của mặt phẳng.

Câu 1 : Cho khối tròn xoay như hình bên.

a) Hình phẳng (A) được giới hạn các đường $y = f (x) = x^{2} - 4 x + 5$ , y = 0, x = 0, x = 4.

Đúng

Sai

b) Diện tích hình phẳng (A) được giới hạn là 6.

Đúng

Sai

c) Tổng diện tích đáy trên và đáy dưới của khối tròn xoay là $17 π$ .

Đúng

Sai

d) Thể tích khối tròn xoay này khi quay hình phẳng (A) quanh trục Ox là $\frac{78}{5} π$ .

Đúng

Sai

Đáp án

a) Hình phẳng (A) được giới hạn các đường $y = f (x) = x^{2} - 4 x + 5$ , y = 0, x = 0, x = 4.

Đúng

Sai

b) Diện tích hình phẳng (A) được giới hạn là 6.

Đúng

Sai

c) Tổng diện tích đáy trên và đáy dưới của khối tròn xoay là $17 π$ .

Đúng

Sai

d) Thể tích khối tròn xoay này khi quay hình phẳng (A) quanh trục Ox là $\frac{78}{5} π$ .

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Cho hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số liên tục trên [a;b] y = f(x), y = 0, đường thẳng x = a, x = b.

a) Quan sát đồ thị và nhận xét.

b) Áp dụng công thức tính diện tích của hình phẳng $S = \int_{a}^{b} | f (x) | d x$ .

c) Bán kính hai đáy lần lượt là f(1) và f(4).

d) Áp dụng công thức tính thể tích vật thể quay quanh trục Ox $V = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x$ .

Lời giải chi tiết :

a) Sai. Hình phẳng (A) được giới hạn các đường $y = f (x) = x^{2} - 4 x + 5$ , y = 0, x = 1, x = 4.

b) Đúng. Quan sát đoạn [1;4], thấy đồ thị y = f(x) nằm phía trên trục hoành.

Do đó, trên đoạn [1;4] ta có f(x) > 0, suy ra |f(x)| = f(x).

Diện tích hình phẳng (A) là:

$S = \int_{1}^{4} | x^{2} - 4 x + 5 | d x = \int_{1}^{4} (x^{2} - 4 x + 5) d x = (\frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} + 5 x) | \begin{matrix} ^{4} \\ _{1} \end{matrix}$

$= (\frac{4^{3}}{3} - {2.4}^{2} + 5.4) - (\frac{1^{3}}{3} - {2.1}^{2} + 5.1) = 6$ .

c) Sai. Bán kính đáy nhỏ của khối tròn xoay là $f (1) = 1^{2} - 4.1 + 5 = 2$ , bán kính đáy lớn là $f (4) = 4^{2} - 4.4 + 5 = 5$ .

Tổng diện tích hai đáy là $S = π {.2}^{2} + π {.5}^{2} = 41 π$ .

d) Đúng. Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng (A) quanh trục Ox là:

$V = π \int_{1}^{4} {(x^{2} - 4 x + 5)}^{2} d x = \frac{78 π}{5}$ .

Câu 2 : Trong không gian Oxyz, một thiết bị phát sóng đặt tại vị trí A(4;0;0). Vùng phủ sóng của thiết bị có bán kính bằng 4.

a) Điểm M(4;2;2) thuộc vùng phủ sóng.

Đúng

Sai

b) Tập hợp tất cả các điểm thuộc vùng phủ sóng của thiết bị được giới hạn bởi mặt cầu có phương trình ${(x - 2)}^{2} + y^{2} + z^{2} = 4$ .

Đúng

Sai

c) Một bức tường được xây gần đó có phương trình (P): x + y – z = 6 sẽ chắn sóng của thiết bị.

Đúng

Sai

d) Vùng nhận được tín hiệu trên mặt phẳng (P) là hình tròn có bán kính bằng 4.

Đúng

Sai

Đáp án

a) Điểm M(4;2;2) thuộc vùng phủ sóng.

Đúng

Sai

b) Tập hợp tất cả các điểm thuộc vùng phủ sóng của thiết bị được giới hạn bởi mặt cầu có phương trình ${(x - 2)}^{2} + y^{2} + z^{2} = 4$ .

Đúng

Sai

c) Một bức tường được xây gần đó có phương trình (P): x + y – z = 6 sẽ chắn sóng của thiết bị.

Đúng

Sai

d) Vùng nhận được tín hiệu trên mặt phẳng (P) là hình tròn có bán kính bằng 4.

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

a) Áp dụng biểu thức tính khoảng cách giữa hai điểm. Nếu khoảng cách đó nhỏ hơn bán kính phủ sóng thì điểm M thuộc vùng phủ sóng.

b) Áp dụng quy tắc lập phương trình mặt cầu biết tâm và bán kính.

c) Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (P). Nếu khoảng cách đỏ nhỏ nhỏ hơn bán kính phủ sóng thì bức tường chắn được sóng của thiết bị.

d) Áp dụng định lí Pythagore.

Lời giải chi tiết :

a) Đúng. $A M = \sqrt{{(4 - 4)}^{2} + {(2 - 0)}^{2} + {(2 - 0)}^{2}} = 2 \sqrt{2} < 4$ .

Khoảng cách từ M đến A nhỏ hơn bán kính phủ sóng nên M thuộc vùng phủ sóng.

b) Sai. Vùng phủ sóng là mặt cầu tâm A(4;0;0), bán kính R = 4 nên có phương trình:

${(x - 4)}^{2} + y^{2} + z^{2} = 16$ .

c) Đúng. $d (A, (P)) = \frac{| 1.4 + 1.0 - 1.0 - 6 |}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} + {(- 1)}^{2}}} = \frac{2 \sqrt{3}}{3} < 4$ .

Vì khoảng cách từ bức tường tới thiết bị phát sóng nhỏ hơn bán kính phủ sóng nên bức tường đó chắn được sóng của thiết bị.

d) Sai. Bán kính vùng nhận được tín hiệu trên mặt phẳng (P) là $\sqrt{4^{2} - {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2}} = \frac{2 \sqrt{33}}{3}$ .

Câu 1 : Tại một nhà máy sản xuất phân bón, gọi P(x) là lợi nhuận (tính theo triệu đồng) thu được từ việc bán x tấn sản phẩm trong một tuần. Khi đó, đạo hàm P’(x), gọi là là lợi nhuận cận biên, cho biết tốc độ tăng lợi nhuận theo lượng sản phẩm bán được. Giả sử lợi nhuận cận biên (tính theo triệu đồng trên tấn) của nhà máy được ước lượng bởi công thức P’(x) = 16 – 0,02x với $0 \leq x \leq 100$ . Tính lợi nhuận chênh lệch có được khi nhà máy bán 90 tấn sản phẩm trong tuần so với bán 20 tấn sản phẩm trong tuần (tính theo triệu đồng).

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

Tính $\int_{20}^{90} P^{'} (x) d x$ .

Lời giải chi tiết :

$P (x) = \int_{20}^{90} P^{'} (x) d x = \int_{20}^{90} (16 - 0, 02 x) d x = (16 x - \frac{x^{2}}{100}) | \begin{matrix} ^{90} \\ _{20} \end{matrix} = 1043$ .

Câu 2 : Một xe ô tô chuyển động với vận tốc tại giây thứ t là $v (t) = 4 t^{3} + 2 t + 3$ (m/s). Hỏi xe đã đi được quãng đường là bao nhiêu (đơn vị: mét) kể từ lúc bắt đầu (t = 0) cho đến lúc t = 5 (s)?

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

Tính $\int_{0}^{5} v (t) d t$ .

Lời giải chi tiết :

$s (5) = \int_{0}^{5} v (t) d t = \int_{0}^{5} (4 t^{3} + 2 t + 3) d t = 665$ (m).

Câu 3 : Một sinh viên thiết kế đồ họa 3D của một cánh đồng điện mặt trời trong không gian Oxyz, một tấm pin nằm trên mặt phẳng (P): x + 2y + 3z + 2 = 0; một tấm pin khác nằm trên mặt phẳng (Q) đi qua điểm M(1;2;3) và song song với mặt phẳng (P). Biết rằng phương trình mặt phẳng (Q) có dạng ax + 2y + bz + c = 0. Khi đó giá trị a + b + c bằng bao nhiêu?

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

Mặt phẳng (Q) có cùng vecto pháp tuyến với mặt phẳng (Q) do hai mặt phẳng song song với nhau.

Lời giải chi tiết :

(Q) // (P) và M(1;2;3) thuộc (Q) nên phương trình mặt phẳng (Q) là:

$1 (x - 1) + 2 (y - 2) + 3 (z - 3) = 0 \Leftrightarrow x + 2 y + 3 z - 14 = 0$ .

Vậy a + b + c = 1 + 3 + (-14) = -10.

Câu 4 : Trong không gian Oxyz, cho điểm M (1;2;3). Mặt phẳng (P): ax + by + cz − 14 = 0 đi qua M và cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C không trùng với gốc tọa độ sao cho M là trực tâm tam giác ABC. Tính giá trị biểu thức S = 2a + 3b − 4c.

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

Chứng minh $O M ⊥ (P)$ và $\vec{O M}$ là một vecto pháp tuyến của (P). Từ đó viết phương trình tổng quát của (P).

Lời giải chi tiết :

Lấy $I \in A B$ sao cho $C I ⊥ A B$ . Khi đó, CI là đường cao của tam giác ABC và trực tâm M thuộc CI.

Ta có ${\begin{cases} O C ⊥ (O A B) \Rightarrow O C ⊥ A B \\ C I ⊥ A B \end{cases} \Rightarrow A B ⊥ (O C I) \Rightarrow A B ⊥ O M$ (vì OM thuộc (OCI)) (1)

Gọi E là giao điểm của BM và AC. Khi đó $B E ⊥ A C$ vì M là trực tâm tam giác ABC.

Ta có ${\begin{cases} B E ⊥ A C \\ O B ⊥ (O A C) \Rightarrow O B ⊥ A C \end{cases} \Rightarrow A C ⊥ (O B E) \Rightarrow A C ⊥ O M$ (vì OM thuộc (OBE)) (2)

Từ (1) và (2) suy ra $O M ⊥ (A B C)$ hay $O M ⊥ (P)$ .

Do đó, $\vec{O M} = (1; 2; 3)$ là một vecto pháp tuyến của (P).

Mặt phẳng (P) đi qua M(1;2;3) và nhận $\vec{O M} = (1; 2; 3)$ làm vecto pháp tuyến có phương trình:

$1 (x - 1) + 2 (y - 2) + 3 (z - 3) = 0 \Leftrightarrow x + 2 y + 3 z - 14 = 0$ .

Vậy S = 2a + 3b – 4c = 2.1 + 3.2 – 4.3 = -4.

Câu 1 : Cho $f (x) = {\begin{cases} 1 \\ 2 x - 1 \end{cases}$ $\begin{array}{l} k h i \\ k h i \end{array}$ $\begin{array}{l} x \geq 1 \\ x < 1 \end{array}$ . Tính $J = \int_{- 1}^{2} f (x) d x$ .

Phương pháp giải :

Áp dụng tính chất của tích phân: $\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x$ .

Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số lũy thừa: $\int x^{α} d x = \frac{x^{α + 1}}{α + 1} + C$ .

Lời giải chi tiết :

$\int_{- 1}^{2} f (x) d x = \int_{- 1}^{1} f (x) d x + \int_{1}^{2} f (x) d x$

$= \int_{- 1}^{1} (2 x - 1) d x + \int_{1}^{2} 1 d x (x^{2} - x) | \begin{matrix} ^{1} \\ _{- 1} \end{matrix} + x | \begin{matrix} ^{2} \\ _{1} \end{matrix}$

$= (1^{2} - 1) - ({(- 1)}^{2} - (- 1)) + 2 - 1 = - 1$ .

Câu 2 : Trong chương trình nông thôn mới, tại một xã Y có xây một đoạn đường hầm bằng bê tông như hình vẽ. Tính thể tích $(m^{3})$ khối bê tông để đổ đủ đoạn đường hầm, biết đường cong trong hình vẽ là các đường parabol.

Phương pháp giải :

Ứng dụng tích phân, tính diện tích mặt cắt khối bê tông.

Áp dụng công thức tính thể tích: V = Sh.

Lời giải chi tiết :

Gọi parabol giới hạn mặt cắt của khối bê tông lần lượt là (P) và (Q). Giả sử (P) là parabol nằm phía trên.

(P) đi qua điểm có tọa độ (10;0) và tọa độ đỉnh là (0;2,5) nên ta có hệ:

${\begin{cases} 0 = a {.10}^{2} + b .10 + c \\ \frac{5}{2} = a {.0}^{2} + b .0 + c \\ - \frac{b}{2 a} = 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} c = \frac{5}{2} \\ b = 0 \\ 100 a + 10 b = - 2, 5 \end{cases} \Rightarrow (P) : y = - \frac{1}{40} x^{2} + \frac{5}{2} = 0$ .

(Q) đi qua điểm có tọa độ (9,5;0) và tọa độ đỉnh là (0;2) nên ta có hệ:

${\begin{cases} 0 = a . {(\frac{19}{2})}^{2} + b . \frac{19}{2} + c \\ 2 = a {.0}^{2} + b .0 + c \\ - \frac{b}{2 a} = 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} c = 2 \\ b = 0 \\ \frac{361}{4} a + \frac{19}{2} b = - 2 \end{cases} \Rightarrow (Q) : y = - \frac{8}{361} x^{2} + 2 = 0$ .

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và trục hoành là:

$S_{P} = \int_{- 10}^{10} (- \frac{1}{40} x^{2} + \frac{5}{2}) d x = \frac{100}{3}$ .

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (Q) và trục hoành là:

$S_{Q} = \int_{- 9, 5}^{9, 5} (- \frac{8}{361} x^{2} + 2) d x = \frac{76}{3}$ .

Diện tích mặt cắt khối bê tông là:

$S = S_{P} - S_{Q} = \frac{100}{3} - \frac{76}{3} = 8$ $(m^{2})$ .

Thể tích khối bê tông là:

$V = S h = 8.5 = 40$ $(m^{3})$ .

Câu 3 : Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;1;1), B(−1;2;0), C(3;−1;2) và M là điểm thuộc mặt phẳng $(α)$ : 2x − y + 2z + 7 = 0. Tính giá trị nhỏ nhất của $P = | 3 \vec{M A} + 5 \vec{M B} - 7 \vec{M C} |$ .

Phương pháp giải :

Gọi I(a;b;c) là điểm thỏa mãn $3 \vec{I A} + 5 \vec{I B} - 7 \vec{I C} = \vec{0}$ .

Biến đổi biểu thức P theo điểm I.

Lời giải chi tiết :

Gọi điểm I(a;b;c) là điểm thỏa mãn $3 \vec{I A} + 5 \vec{I B} - 7 \vec{I C} = \vec{0}$ .

Khi đó ${\begin{cases} 3 (1 - a) + 5 (- 1 - a) - 7 (3 - a) = 0 \\ 3 (1 - b) + 5 (2 - b) - 7 (- 1 - b) = 0 \\ 3 (1 - c) + 5 (0 - c) - 7 (2 - c) = 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} a = - 23 \\ b = 20 \\ c = - 11 \end{cases} \Rightarrow I (- 23; 20; - 11)$ .

Ta có $P = | 3 \vec{M A} + 5 \vec{M B} - 7 \vec{M C} |$

$= | 3 \vec{M I} + \vec{3 I A} + 5 \vec{M I} + 5 \vec{B I} - 7 \vec{M I} - 7 \vec{I C} |$

$= | \vec{M I} + 3 \vec{I A} + 5 \vec{I B} - 7 \vec{I C} | = | \vec{M I} | = M I$ .

P đạt giá trị nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất. Mà M thuộc mặt phẳng $(α)$ nên MI nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng $(α)$ , hay MI là khoảng cách từ I đến mặt phẳng $(α)$ .

Ta có $d (I; (α)) = \frac{| 2. (- 23) - 1.20 + 2. (- 11) + 7 |}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + 2^{2}}} = 27$ .

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 27.