Đề thi giữa kì 2 Toán 12 - Đề số 6

Câu 1 : Hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng K nếu

A.

$F^{'} (x) = f (x), \forall x \in K$ .
B.

$f^{'} (x) = - F (x), \forall x \in K$ .
C.

$f^{'} (x) = F (x), \forall x \in K$ .
D.

$F^{'} (x) = - f (x), \forall x \in K$ .

Câu 2 : Chọn câu sai về tính chất của nguyên hàm.

A.

$\int [f (x) + g (x)] d x = \int f (x) d x + \int g (x) d x$
B.

$\int [f (x) - g (x)] d x = \int f (x) d x - \int g (x) d x$
C.

$\int [f (x) . g (x)] d x = \int f (x) d x . \int g (x) d x$
D.

$\int k f (x) d x = k \int f (x) d x$

Câu 3 : Nguyên hàm của hàm số $y = \sin x + 2 \cos x$ là

A.

$\cos x - 2 \sin x + C$ .
B.

$- \cos x + 2 \sin x + C$ .
C.

$\cos x + 2 \sin x + C$ .
D.

$- \cos x - 2 \sin x + C$ .

Câu 4 : Cho hàm số $f (x) = 2 - e^{x}$ . Tìm một nguyên hàm $F (x)$ của hàm số $f (x)$ thoả mãn $F (0) = 2024$ .

A.

$F (x) = 2 x - e^{x} + 2025$ .
B.

$F (x) = 2 x - e^{x} - 2025$ .
C.

$F (x) = 2 x - e^{x} - 2024$ .
D.

$F (x) = 2 x - e^{x} + 2024$ .

Câu 5 : Cho f là hàm số liên tục trên [1; 2]. Biết F là nguyên hàm của f trên [1; 2] thỏa F(1) = -2 và F(2) = 4. Khi đó $\int_{1}^{2} f (x) d x$ bằng

A.

$6$ .
B.

$2$ .
C.

$- 6$ .
D.

$- 2$ .

Câu 6 : Cho $\int_{0}^{1} f (x) d x = 3$ và $\int_{0}^{1} g (x) d x = - 2$ . Giá trị của $\int_{0}^{1} [f (x) + g (x)] d x$ bằng

A.

$3.$
B.

$- 6.$
C.

$5.$
D.

$1.$

Câu 7 : Tính tích phân $I = \int_{- 1}^{0} (2 x + 1) d x$ .

A.

I = 0
B.

I = 1
C.

I = 2
D.

I = $- \frac{1}{2}$

Câu 8 : Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình dưới và diện tích hai phần A, B lần lượt bằng 11 và 2.

Tính tích phân $\int_{- 2}^{1} f (x) d x$ .

A.

$13$ .
B.

$- 9$ .
C.

$- 13$ .
D.

$9$ .

Câu 9 : Trong không gian Oxyz, vectơ nào dưới đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(α) : 2 x - 3 y + 1 = 0 ?$

A.

$\vec{a} = (2; - 3; 1)$ .
B.

$\vec{b} = (2; 1; - 3)$ .
C.

$\vec{c} = (2; - 3; 0)$ .
D.

$\vec{d} = (3; 2; 0)$ .

Câu 10 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm $A (2; 1; - 4)$ nhận $\vec{u} = (3; 2; - 1)$ làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là

A.

$2 (x - 3) + (y - 2) - 4 (z + 1) = 0$ .
B.

$3 (x - 2) + 2 (y - 1) - (z + 4) = 0$ .
C.

$3 (x + 2) + 2 (y + 1) - (z - 4) = 0$ .
D.

$2 (x + 3) + (y + 2) - 4 (z - 1) = 0$ .

Câu 11 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) tương ứng có phương trình là 2x + 6y – 4z + 8 = 0, 5x + 15y – 10z + 20 = 0 và 6x + 18y – 12z – 24 = 0. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A.

(P) // (Q)
B.

(P) cắt (Q)
C.

(Q) cắt (R)
D.

(R) // (P)

Câu 12 : Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm A(4;1;5) đến (P): 5x – 10y + 10z – 5 = 0 bằng

A.

10
B.

$\frac{29}{100}$
C.

$\frac{11}{3}$
D.

$\frac{29 \sqrt{10}}{10}$

Câu 1 : Một máy bay di chuyển ra đến đường băng và bắt đầu chạy đà để cất cánh. Giả sử vận tốc của máy bay khi chạy đà được cho bởi v(t) = 5 + 3t (m/s), với t là thời gian kể từ khi máy bay bắt đầu chạy đà. Sau 35 giây thì máy bay cất cánh trên đường băng. Gọi s(t) là quãng đường máy bay di chuyển được sau t giây kể từ lúc bắt đầu chạy đà. Mỗi mệnh đề sau đúng hay sai?

a) v(t) = s’(t).

Đúng

Sai

b) $s (t) = \frac{3}{2} t^{2} + 5 t + 5$ .

Đúng

Sai

c) Quãng đường máy bay di chuyển được sau 6 giây kể từ khi bắt đầu chạy đà là 85 mét.

Đúng

Sai

d) Quãng đường máy bay đã di chuyển từ khi bắt đầu chạy đà đến khi rời đường băng là 2013 mét ( Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Đúng

Sai

Câu 2 : Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 2; -3), B(-2; 0; -1), M(2; -1; 4) và mặt phẳng (P): 3x – 2y + z + 1 = 0. Khi đó mỗi mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\vec{n} = (3; - 2; 1)$ .

Đúng

Sai

b) Điểm $A \in (P)$ .

Đúng

Sai

c) Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, M nhận vectơ $\vec{m} (8; - 23; - 11)$ làm vectơ pháp tuyến.

Đúng

Sai

d) Mặt phẳng (ABM) và mặt phẳng (P) vuông góc với nhau.

Đúng

Sai

Câu 1 : $\int_{1}^{3} \frac{x + 2}{x} d x = a + b \ln c$ , với $a, b, c \in R$ , c < 9. Tính tổng S = a + b + c.

Câu 2 : Nhà ông Hải có một cái cổng hình chữ nhật, lối vào cổng có dạng parabol có kích thước như hình vẽ. Ông Hải cần trang trí bề mặt (phần gạch chéo) của cổng. Hỏi ông Hải cần bao nhiêu tiền (đơn vị: triệu đồng) để trang trí, biết giá thành trang trí là 1200000 đồng/ $m^{2}$ ?

Câu 3 : Một bình hoa có dạng khối tròn xoay với chiều cao là 25 cm (tham khảo hình vẽ). Khi cắt bình hoa theo một mặt phẳng vuông góc với trục của nó thì ta luôn được thiết diện là một hình tròn có bán kính $R = \frac{4}{9} x^{3} - \frac{5}{3} x^{2} + \frac{4}{3} x + \frac{25}{36}$ với $x \in [0; \frac{5}{2}]$ là khoảng cách từ mặt cắt tới mặt đáy của bình hoa (tính theo đơn vị dm). Lượng nước cần đổ vào bình để mức nước trong bình cao bằng $\frac{2}{3}$ chiều cao của bình chiếm tỉ lệ bao nhiêu phần trăm so với thể tích của bình hoa (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Câu 4 : Để chuẩn bị cho ngày hội thao, người ta dựng bốn chiếc cột tại bốn góc của một sân bóng hình chữ nhật với kích thước là 15 m x 25 m. Bốn chiếc cột vuông góc với mặt sân và có chiều cao lần lượt là 3 mét, 4 mét, 6 mét và c mét. Một tấm bạt lớn được căng phẳng với bốn góc được cố định vào đầu bốn cột.

Xét hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ trên (đơn vị trên các trục là mét) thì điểm D’ có tọa độ là (a; b; c). Tìm a – 2b + c.

Câu 1 : Cho $f (x) = {\begin{cases} 1 \\ 2 x - 1 \end{cases}$ $\begin{array}{l} k h i \\ k h i \end{array}$ $\begin{array}{l} x \geq 1 \\ x < 1 \end{array}$ . Tính $J = \int_{- 1}^{2} f (x) d x$ .

Câu 2 : Cường độ dòng điện (đơn vị: A) trong một dây dẫn tại thời điểm t giây là:

$I (t) = Q^{'} (t) = 3 t^{2} - 6 t + 5$ ,

với $Q (t)$ là điện lượng (đơn vị: C) truyền trong dây dẫn tại thời điểm t. Biết khi $t = 1$ giây, điện lượng truyền trong dây dẫn là $Q (1) = 4$ . Tính điện lượng truyền trong dây dẫn khi $t = 3$ .

Câu 3 : Cho hai mặt phẳng $(P) : 2 x + y + 2 z + 12 = 0$ , $(Q) : 4 x + 2 y + 4 z - 6 = 0$ .

a) Chứng minh $(P) ∥ (Q)$ .

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ .

Câu 1 : Hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng K nếu

A.

$F^{'} (x) = f (x), \forall x \in K$ .
B.

$f^{'} (x) = - F (x), \forall x \in K$ .
C.

$f^{'} (x) = F (x), \forall x \in K$ .
D.

$F^{'} (x) = - f (x), \forall x \in K$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Áp dụng định nghĩa nguyên hàm.

Lời giải chi tiết :

$F^{'} (x) = f (x), \forall x \in K$ .

Câu 2 : Chọn câu sai về tính chất của nguyên hàm.

A.

$\int [f (x) + g (x)] d x = \int f (x) d x + \int g (x) d x$
B.

$\int [f (x) - g (x)] d x = \int f (x) d x - \int g (x) d x$
C.

$\int [f (x) . g (x)] d x = \int f (x) d x . \int g (x) d x$
D.

$\int k f (x) d x = k \int f (x) d x$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Dựa vào lý thuyết tính chất của nguyên hàm.

Lời giải chi tiết :

Trong các tính chất của nguyên hàm, không có tính chất $\int [f (x) . g (x)] d x = \int f (x) d x . \int g (x) d x$ .

Câu 3 : Nguyên hàm của hàm số $y = \sin x + 2 \cos x$ là

A.

$\cos x - 2 \sin x + C$ .
B.

$- \cos x + 2 \sin x + C$ .
C.

$\cos x + 2 \sin x + C$ .
D.

$- \cos x - 2 \sin x + C$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số lượng giác:

+ $\int \cos x d x = \sin x + C$ .

+ $\int \sin x d x = - \cos x + C$ .

Lời giải chi tiết :

$\int (\sin x + 2 \cos x) d x = - \cos x + 2 \sin x + C$ .

Câu 4 : Cho hàm số $f (x) = 2 - e^{x}$ . Tìm một nguyên hàm $F (x)$ của hàm số $f (x)$ thoả mãn $F (0) = 2024$ .

A.

$F (x) = 2 x - e^{x} + 2025$ .
B.

$F (x) = 2 x - e^{x} - 2025$ .
C.

$F (x) = 2 x - e^{x} - 2024$ .
D.

$F (x) = 2 x - e^{x} + 2024$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Tính $F (x) = \int f (x) d x = g (x) + C$ .

Theo giả thiết $F (0) = 2024 \Leftrightarrow g (0) + C = 2024 \Leftrightarrow C = 2024 - g (0)$ .

Từ đó kết luận $F (x) = g (x) + C$ .

Lời giải chi tiết :

$F (x) = \int f (x) d x = \int (2 - e^{x}) d x = 2 x - e^{x} + C$ .

Mà $F (0) = 2024 \Leftrightarrow 2.0 - e^{0} + C = 2024 \Leftrightarrow C = 2025$ .

Vậy $F (x) = 2 x - e^{x} + 2025$ .

Câu 5 : Cho f là hàm số liên tục trên [1; 2]. Biết F là nguyên hàm của f trên [1; 2] thỏa F(1) = -2 và F(2) = 4. Khi đó $\int_{1}^{2} f (x) d x$ bằng

A.

$6$ .
B.

$2$ .
C.

$- 6$ .
D.

$- 2$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Áp dụng định nghĩa tích phân: $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (x) | \begin{matrix} ^{b} \\ _{a} \end{matrix} = F (b) - F (a)$ .

Lời giải chi tiết :

$\int_{1}^{2} f (x) d x = F (2) - F (1) = 4 - (- 2) = 6$ .

Câu 6 : Cho $\int_{0}^{1} f (x) d x = 3$ và $\int_{0}^{1} g (x) d x = - 2$ . Giá trị của $\int_{0}^{1} [f (x) + g (x)] d x$ bằng

A.

$3.$
B.

$- 6.$
C.

$5.$
D.

$1.$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Áp dụng tính chất của tích phân: $\int_{a}^{b} [f (x) + g (x)] d x = \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{a}^{b} g (x) d x$ .

Lời giải chi tiết :

$\int_{0}^{1} [f (x) + g (x)] d x = \int_{0}^{1} f (x) d x + \int_{0}^{1} g (x) d x = 3 + (- 2) = 1$ .

Câu 7 : Tính tích phân $I = \int_{- 1}^{0} (2 x + 1) d x$ .

A.

I = 0
B.

I = 1
C.

I = 2
D.

I = $- \frac{1}{2}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức tính tích phân của hàm số lũy thừa $\int_{a}^{b} x^{α} d x = \frac{x^{α + 1}}{α + 1} | \begin{matrix} ^{b} \\ _{a} \end{matrix}$ .

Lời giải chi tiết :

$I = \int_{- 1}^{0} (2 x + 1) d x = {(x^{2} + x) |}_{- 1}^{0} = (0^{2} + 0) - ({(- 1)}^{2} - 1) = 0$ .

Câu 8 : Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình dưới và diện tích hai phần A, B lần lượt bằng 11 và 2.

Tính tích phân $\int_{- 2}^{1} f (x) d x$ .

A.

$13$ .
B.

$- 9$ .
C.

$- 13$ .
D.

$9$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức $\int_{a}^{c} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{b}^{c} f (x) d x$ .

Lời giải chi tiết :

$\int_{- 2}^{1} f (x) d x = \int_{- 2}^{0} f (x) d x + \int_{0}^{1} f (x) d x$

$= A - B = 11 - 2 = 9$ .

Câu 9 : Trong không gian Oxyz, vectơ nào dưới đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(α) : 2 x - 3 y + 1 = 0 ?$

A.

$\vec{a} = (2; - 3; 1)$ .
B.

$\vec{b} = (2; 1; - 3)$ .
C.

$\vec{c} = (2; - 3; 0)$ .
D.

$\vec{d} = (3; 2; 0)$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0.

Một vecto pháp tuyến của (P) là $\vec{n} = (A; B; C)$ .

Khi đó, với số thực $k \neq 0$ , $k \vec{n} = (k A; k B; k C)$ cũng là một vecto pháp tuyến của (P).

Lời giải chi tiết :

$\vec{c} = (2; - 3; 0)$ là một vecto pháp tuyến của $(α)$ .

Câu 10 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm $A (2; 1; - 4)$ nhận $\vec{u} = (3; 2; - 1)$ làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là

A.

$2 (x - 3) + (y - 2) - 4 (z + 1) = 0$ .
B.

$3 (x - 2) + 2 (y - 1) - (z + 4) = 0$ .
C.

$3 (x + 2) + 2 (y + 1) - (z - 4) = 0$ .
D.

$2 (x + 3) + (y + 2) - 4 (z - 1) = 0$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Mặt phẳng đi qua điểm $M (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ , nhận $\vec{u} = (a; b; c)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$ .

Lời giải chi tiết :

Phương trình mặt phẳng: $3 (x - 2) + 2 (y - 1) - (z + 4) = 0$ .

Câu 11 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) tương ứng có phương trình là 2x + 6y – 4z + 8 = 0, 5x + 15y – 10z + 20 = 0 và 6x + 18y – 12z – 24 = 0. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A.

(P) // (Q)
B.

(P) cắt (Q)
C.

(Q) cắt (R)
D.

(R) // (P)

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Xét tỉ lệ các hệ số.

Lời giải chi tiết :

Các vecto pháp tuyến tương ứng với ba mặt phẳng (P), (Q), (R) là $\vec{n_{P}} = (2; 6; - 4)$ , $\vec{n_{Q}} = (5; 15; - 10)$ và $\vec{n_{R}} = (6; 18; - 12)$ .

Mà $\frac{5}{2} = \frac{15}{6} = \frac{- 10}{- 4} = \frac{20}{8}$ nên (P) trùng (Q).

Lại có $\frac{6}{2} = \frac{18}{6} = \frac{- 12}{- 4} \neq \frac{- 24}{8}$ nên (P) // (R).

Câu 12 : Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm A(4;1;5) đến (P): 5x – 10y + 10z – 5 = 0 bằng

A.

10
B.

$\frac{29}{100}$
C.

$\frac{11}{3}$
D.

$\frac{29 \sqrt{10}}{10}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Lời giải chi tiết :

$d (A, (P)) = \frac{| 5.4 - 10.1 + 10.5 - 5 |}{\sqrt{5^{2} + {(- 10)}^{2} + 10^{2}}} = \frac{11}{3}$ .

Câu 1 : Một máy bay di chuyển ra đến đường băng và bắt đầu chạy đà để cất cánh. Giả sử vận tốc của máy bay khi chạy đà được cho bởi v(t) = 5 + 3t (m/s), với t là thời gian kể từ khi máy bay bắt đầu chạy đà. Sau 35 giây thì máy bay cất cánh trên đường băng. Gọi s(t) là quãng đường máy bay di chuyển được sau t giây kể từ lúc bắt đầu chạy đà. Mỗi mệnh đề sau đúng hay sai?

a) v(t) = s’(t).

Đúng

Sai

b) $s (t) = \frac{3}{2} t^{2} + 5 t + 5$ .

Đúng

Sai

c) Quãng đường máy bay di chuyển được sau 6 giây kể từ khi bắt đầu chạy đà là 85 mét.

Đúng

Sai

d) Quãng đường máy bay đã di chuyển từ khi bắt đầu chạy đà đến khi rời đường băng là 2013 mét ( Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Đúng

Sai

Đáp án

a) v(t) = s’(t).

Đúng

Sai

b) $s (t) = \frac{3}{2} t^{2} + 5 t + 5$ .

Đúng

Sai

c) Quãng đường máy bay di chuyển được sau 6 giây kể từ khi bắt đầu chạy đà là 85 mét.

Đúng

Sai

d) Quãng đường máy bay đã di chuyển từ khi bắt đầu chạy đà đến khi rời đường băng là 2013 mét ( Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

a) Áp dụng ý nghĩa cơ học của đạo hàm.

b) Tìm s(t).

c) Tính $\int_{0}^{6} v (t) d t$ .

d) $\int_{0}^{35} v (t) d t$ .

Lời giải chi tiết :

a) Đúng. Từ ý nghĩa cơ học của đạo hàm, ta có v(t) = s’(t).

b) Sai. Ta có v(t) = s’(t). Do đó s(t) là một nguyên hàm của hàm số vận tốc v(t).

$s (t) = \int v (t) d t = \int (5 + 3 t) d t = \int 5 d t + \int 3 t d t = \frac{3}{2} t^{2} + 5 t + C$ .

Theo đề $s (t) = 0 \Leftrightarrow \frac{3}{2} {.0}^{2} + 5.0 + C = 0 \Leftrightarrow C = 0$ .

Vậy $s (t) = \frac{3}{2} t^{2} + 5 t$ .

c) Sai. Ta có: $s = \int_{0}^{6} v (t) d t = {(\frac{3}{2} t^{2} + 5 t) |}_{0}^{6} = \frac{3}{2} {.6}^{2} + 5.6 = 84$ .

d) Đúng. Máy bay rời đường băng khi t = 35 giây nên $s = \int_{0}^{35} v (t) d t = {(\frac{3}{2} t^{2} + 5 t) |}_{0}^{35} = 2012, 5$ .

Quãng đường máy bay đã di chuyển từ khi bắt đầu chạy đà đến khi rời đường bằng làm tròn đến hàng đơn vị là 2013 m.

Câu 2 : Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 2; -3), B(-2; 0; -1), M(2; -1; 4) và mặt phẳng (P): 3x – 2y + z + 1 = 0. Khi đó mỗi mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\vec{n} = (3; - 2; 1)$ .

Đúng

Sai

b) Điểm $A \in (P)$ .

Đúng

Sai

c) Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, M nhận vectơ $\vec{m} (8; - 23; - 11)$ làm vectơ pháp tuyến.

Đúng

Sai

d) Mặt phẳng (ABM) và mặt phẳng (P) vuông góc với nhau.

Đúng

Sai

Đáp án

a) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\vec{n} = (3; - 2; 1)$ .

Đúng

Sai

b) Điểm $A \in (P)$ .

Đúng

Sai

c) Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, M nhận vectơ $\vec{m} (8; - 23; - 11)$ làm vectơ pháp tuyến.

Đúng

Sai

d) Mặt phẳng (ABM) và mặt phẳng (P) vuông góc với nhau.

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

a) Mặt phẳng Ax + By + Cz + D = 0 có một vecto pháp tuyến là $\vec{n} = (A; B; C)$ .

b) Thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng, nếu thỏa mãn thì A thuộc (P).

c) Mặt phẳng đi qua ba điểm $A, B, M$ nhận vectơ ${\vec{n}}_{1} = [\vec{A B}; \vec{A M}]$ làm vectơ pháp tuyến.

d) Hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi tích vecto pháp tuyến của chúng bằng 0.

Lời giải chi tiết :

a) Đúng. Do $(P) : 3 x - 2 y + z + 1 = 0$ nên suy ra vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\vec{n} = (3; - 2; 1)$ .

b) Sai. Thay tọa độ của điểm $A$ vào phương trình mặt phẳng $(P)$ , ta được $3.1 - 2.2 - 3 + 1 = - 3 \neq 0 \Rightarrow A \notin (P)$ .

c) Đúng. Ta có: $\vec{A B} = (- 3; - 2; 2), \vec{A M} = (1; - 3; 7)$ .

Mặt phẳng đi qua ba điểm $A, B, M$ nhận vectơ ${\vec{n}}_{1} = [\vec{A B}; \vec{A M}] = (- 8; 23; 11)$ làm vectơ pháp tuyến.

d) Sai. Vì $\vec{n} . {\vec{n}}_{1} = 3.8 - 2. (- 23) + 1. (- 11) \neq 0$ nên hai mặt phẳng $(A B M)$ và $(P)$ không vuông góc với nhau.

Câu 1 : $\int_{1}^{3} \frac{x + 2}{x} d x = a + b \ln c$ , với $a, b, c \in R$ , c < 9. Tính tổng S = a + b + c.

Phương pháp giải :

Chia tử cho mẫu để tách tích phân phức tạp thành các phân thức đơn giản, từ đó áp dụng công thức tích phân của hàm số lũy thừa.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Ta có $\int_{1}^{3} \frac{x + 2}{x} d x = \int_{1}^{3} (1 + \frac{2}{x}) d x$

$= \int_{1}^{3} d x + \int_{1}^{3} \frac{2}{x} d x = 2 + 2 \ln | x | |_{1}^{3}$

$= 2 + 2 \ln 3$ .

Do đó $a = 2, b = 2, c = 3 \Rightarrow S = 7$ .

Câu 2 : Nhà ông Hải có một cái cổng hình chữ nhật, lối vào cổng có dạng parabol có kích thước như hình vẽ. Ông Hải cần trang trí bề mặt (phần gạch chéo) của cổng. Hỏi ông Hải cần bao nhiêu tiền (đơn vị: triệu đồng) để trang trí, biết giá thành trang trí là 1200000 đồng/ $m^{2}$ ?

Phương pháp giải :

Gắn hệ trục tọa độ phù hợp. Từ các điểm thuộc đồ thị, tìm phương trình của parabol rồi áp dụng công thức tính diện tích bằng tích phân.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Gắn hệ trục tọa độ Oxy như hình.

Giả sử parabol có phương trình $y = a x^{2} + b x + c$ (a < 0).

Vì parabol đi qua các điểm (0;5), (-2,5;0), (2,5;0) nên ta có:

${\begin{cases} 5 = a {.0}^{2} + b .0 + c \\ 0 = a .2, 5^{2} + b .2, 5 + c \\ 0 = a . (- 2, 5)^{2} + b . (- 2, 5) + c \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} a = - \frac{4}{5} \\ b = 0 \\ c = 5 \end{cases} \Rightarrow y = - \frac{4}{5} x^{2} + 5$ .

Diện tích lối vào giới hạn bởi cổng là: $S_{1} = \int_{- 2, 5}^{2, 5} (- \frac{4}{5} x^{2} + 5) d x = \frac{50}{3}$ $(m^{2})$ .

Diện tích toàn bộ hình chữ nhật là 5.6 = 30 $(m^{2})$ .

Diện tích phần gạch chéo là: $S_{2} = S - S_{1} = 30 - \frac{50}{3} = \frac{40}{3}$ $(m^{2})$ .

Số tiền cần để trang trí là $\frac{40}{3} .1200000 = 16000000$ đồng = 16 triệu đồng.

Câu 3 : Một bình hoa có dạng khối tròn xoay với chiều cao là 25 cm (tham khảo hình vẽ). Khi cắt bình hoa theo một mặt phẳng vuông góc với trục của nó thì ta luôn được thiết diện là một hình tròn có bán kính $R = \frac{4}{9} x^{3} - \frac{5}{3} x^{2} + \frac{4}{3} x + \frac{25}{36}$ với $x \in [0; \frac{5}{2}]$ là khoảng cách từ mặt cắt tới mặt đáy của bình hoa (tính theo đơn vị dm). Lượng nước cần đổ vào bình để mức nước trong bình cao bằng $\frac{2}{3}$ chiều cao của bình chiếm tỉ lệ bao nhiêu phần trăm so với thể tích của bình hoa (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Phương pháp giải :

Gắn hệ trục tọa độ ở vị trí phù hợp.

Áp dụng công thức tính thể tích $V = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x$ .

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Gắn hệ trục tọa độ Oxy sao cho O trùng với tâm của đáy bình, trục Ox trùng với trục dọc của bình.

Thể tích bình là: $V_{b} = π \int_{0}^{\frac{5}{2}} {(\frac{4}{9} x^{3} - \frac{5}{3} x^{2} + \frac{4}{3} x + \frac{25}{36})}^{2} d x$ .

Độ cao mực nước trong bình là $\frac{2}{3} . \frac{5}{2} = \frac{5}{3}$ (dm).

Thể tích nước là: $V_{n} = π \int_{0}^{\frac{5}{3}} {(\frac{4}{9} x^{3} - \frac{5}{3} x^{2} + \frac{4}{3} x + \frac{25}{36})}^{2} d x$ .

Vậy thể tích nước so với thể tích bình là $T = \frac{V_{n}}{V_{b}} .100 % \approx 92 %$ .

Câu 4 : Để chuẩn bị cho ngày hội thao, người ta dựng bốn chiếc cột tại bốn góc của một sân bóng hình chữ nhật với kích thước là 15 m x 25 m. Bốn chiếc cột vuông góc với mặt sân và có chiều cao lần lượt là 3 mét, 4 mét, 6 mét và c mét. Một tấm bạt lớn được căng phẳng với bốn góc được cố định vào đầu bốn cột.

Xét hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ trên (đơn vị trên các trục là mét) thì điểm D’ có tọa độ là (a; b; c). Tìm a – 2b + c.

Phương pháp giải :

Quan sát hình vẽ, tìm tọa độ ba điểm A’, B’, C’, từ đó lập phương trình mặt phẳng (A’B’C’D’).

Vì D’ thuộc mặt phẳng (A’B’C’D’) nên tìm được c.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Từ hình vẽ, ta có tọa độ các điểm: A’(0; 0; 3), B’(15; 0; 4), C’(15; 25; 6), D(0; 25; c).

Suy ra $\vec{A^{'} B^{'}} = (15; 0; 1)$ , $\vec{A^{'} C^{'}} = (15; 25; 3)$ .

Ta có $[\vec{A^{'} B^{'}}, \vec{A^{'} C^{'}}] = (| \begin{matrix} 0 & 1 \\ 25 & 3 \end{matrix} |; | \begin{matrix} 1 & 15 \\ 3 & 15 \end{matrix} |; | \begin{matrix} 15 & 0 \\ 15 & 25 \end{matrix} |)$

$= (0.3 - 25.1; 1.15 - 3.15; 15.25 - 15.0) = (- 25; - 30; 375)$ .

Do đó $\vec{n} = \frac{1}{5} [\vec{A^{'} B^{'}}, \vec{A^{'} C^{'}}] = (- 5; - 6; 75)$ là một vecto pháp tuyến của (A’B’C’D’).

Phương trình mặt phẳng (A’B’C’D’) là:

$- 5 (x - 0) - 6 (y - 0) + 75 (z - 3) = 0$

$\Leftrightarrow - 5 x - 6 y + 75 z - 225 = 0$ .

Vì D’(0; 25; c) thuộc mặt phẳng (A’B’C’D’) nên:

$- 5.0 - 6.25 + 75 c - 225 = 0 \Leftrightarrow c = 5$ .

Suy ra D’(0; 25; 5).

Vậy a – 2b + c = 0 – 2.25 + 5 = -45.

Câu 1 : Cho $f (x) = {\begin{cases} 1 \\ 2 x - 1 \end{cases}$ $\begin{array}{l} k h i \\ k h i \end{array}$ $\begin{array}{l} x \geq 1 \\ x < 1 \end{array}$ . Tính $J = \int_{- 1}^{2} f (x) d x$ .

Phương pháp giải :

Áp dụng tính chất của tích phân: $\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x$ .

Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số lũy thừa: $\int x^{α} d x = \frac{x^{α + 1}}{α + 1} + C$ .

Lời giải chi tiết :

$\int_{- 1}^{2} f (x) d x = \int_{- 1}^{1} f (x) d x + \int_{1}^{2} f (x) d x$

$= \int_{- 1}^{1} (2 x - 1) d x + \int_{1}^{2} 1 d x (x^{2} - x) | \begin{matrix} ^{1} \\ _{- 1} \end{matrix} + x | \begin{matrix} ^{2} \\ _{1} \end{matrix}$

$= (1^{2} - 1) - ({(- 1)}^{2} - (- 1)) + 2 - 1 = - 1$ .

Câu 2 : Cường độ dòng điện (đơn vị: A) trong một dây dẫn tại thời điểm t giây là:

$I (t) = Q^{'} (t) = 3 t^{2} - 6 t + 5$ ,

với $Q (t)$ là điện lượng (đơn vị: C) truyền trong dây dẫn tại thời điểm t. Biết khi $t = 1$ giây, điện lượng truyền trong dây dẫn là $Q (1) = 4$ . Tính điện lượng truyền trong dây dẫn khi $t = 3$ .

Phương pháp giải :

Để tính điện lượng truyền trong dây dẫn khi $t = 3$ giây, ta thực hiện các bước sau:

- Xác định hàm lượng điện $Q (t)$ bằng cách tìm nguyên hàm của $I (t)$ .

- Dựa trên dữ liệu tại $t = 1$ để tìm hằng số C.

- Thay $t = 3$ để tính điện lượng.

Lời giải chi tiết :

Ta biết rằng cường độ dòng điện $I (t)$ là đạo hàm của hàm điện lượng $Q (t)$ :

$I (t) = Q^{'} (t)$

Để tìm hàm $Q (t)$ , ta tích phân hàm $Q^{'} (t)$ :

$Q (t) = \int (3 t^{2} - 6 t + 5) d t = t^{3} - 3 t^{2} + 5 t + C$

Theo đề bài ta có $t = 1$ giây, $Q (1) = 4$ . Sử dụng điều kiện này để tìm $C$ :

$Q (1) = 1^{3} - 3 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1 + C$

$4 = 1 - 3 + 5 + C$

$4 = 3 + C$

$C = 1$

Vậy hàm $Q (t)$ là:

$Q (t) = t^{3} - 3 t^{2} + 5 t + 1$

Thay $t = 3$ vào hàm $Q (t)$ :

$Q (3) = 3^{3} - 3 \cdot 3^{2} + 5 \cdot 3 + 1$

$Q (3) = 27 - 27 + 15 + 1$

$Q (3) = 16$

Điện lượng truyền trong dây dẫn khi $t = 3$ giây là $Q (3) = 16$ .

Câu 3 : Cho hai mặt phẳng $(P) : 2 x + y + 2 z + 12 = 0$ , $(Q) : 4 x + 2 y + 4 z - 6 = 0$ .

a) Chứng minh $(P) ∥ (Q)$ .

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ .

Phương pháp giải :

‒ Cho hai mặt phẳng $(α_{1}) : A_{1} x + B_{1} y + C_{1} z + D_{1} = 0$ và $(α_{2}) : A_{2} x + B_{2} y + C_{2} z + D_{2} = 0$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\vec{n_{1}} = (A_{1}; B_{1}; C_{1}), \vec{n_{2}} = (A_{2}; B_{2}; C_{2})$ .

Khi đó $(α_{1}) ∥ (α_{2}) \Leftrightarrow {\begin{cases} \vec{n_{1}} = k \vec{n_{2}} \\ D_{1} \neq k D_{2} \end{cases} (k \in R)$

‒ Để tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song ta đưa về tính khoảng cách từ một điểm trên mặt phẳng này đến mặt phẳng còn lại.

Lời giải chi tiết :

a) Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n_{1}} = (2; 1; 2)$ , mặt phẳng $(Q)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n_{2}} = (4; 2; 4)$ .

Ta có: $\vec{n_{1}} = \frac{1}{2} \vec{n_{2}}$ và $12 \neq \frac{1}{2} . (- 6)$ nên $(P) ∥ (Q)$ .

b) Lấy điểm $A (0; 0; - 6) \in (P)$ . Khi đó ta có:

$d ((P); (Q)) = d (A; (Q)) = \frac{| 4.0 + 2.0 + 4. (- 6) - 6 |}{\sqrt{4^{2} + 2^{2} + 4^{2}}} = 5$ .