Đề thi giữa kì 2 Toán 12 - Đề số 7

Câu 1 : Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K. Các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A.

$\int f (x) d x = F (x) + C$ .
B.

${(\int f (x) d x)}^{'} = f (x)$ .
C.

${(\int f (x) d x)}^{'} = f^{'} (x)$ .
D.

${(\int f (x) d x)}^{'} = F^{'} (x)$ .

Câu 2 : Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A.

$\int 4 f (x) d x = 4 F^{'} (x) + C$ .
B.

$\int 4 f (x) d x = 4 F (x) + C$ .
C.

$\int 4 f (x) d x = 4 f (x) + C$ .
D.

$\int 4 f (x) d x = F^{'} (4 x) + C$ .

Câu 3 : Cho hàm số $f (x) = 1 + cos x$ . Khẳng định nào dưới đây đúng?

A.

$\int f (x) d x = x + cos x + C$ .
B.

$\int f (x) d x = x + sin x + C$ .
C.

$\int f (x) d x = x - cos x + C$ .
D.

$\int f (x) d x = cos x + C$ .

Câu 4 : Biết $F (x)$ là nguyên hàm của hàm số $\frac{1}{x}$ và $F (1) = 1$ . Khi đó $F (3)$ bằng bao nhiêu?

A.

$ln 3 + 1$ .
B.

$\frac{1}{2}$ .
C.

$ln \frac{3}{2}$ .
D.

$ln 3$ .

Câu 5 : Cho $F (x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x)$ trên $R$ thỏa $F (1) = 9$ và $F (2) = 5$ . Giá trị của $\int_{1}^{2} f (x) d x$ bằng

A.
4
B.
45
C.
14
D.
-4

Câu 6 : Cho $1 \int 0 f (x) d x = 3$ , $1 \int 0 g (x) d x = - 2$ . Tính giá trị của biểu thức $I = 1 \int 0 [2 f (x) - 3 g (x)] d x$ .

A.

-6.
B.

12.
C.

6.
D.

9.

Câu 7 : Tính tích phân $I = 4 \int 3 2 x d x$ .

A.

$\frac{7}{2}$
B.

$6$
C.

$7$
D.

$- 6$

Câu 8 : Công thức nào sau đây mô tả diện tích của phần gạch chéo trong hình vẽ bên dưới?

Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây?

A.

$S = 2 \int - 1 (2 x^{2} - 2 x - 4) d x$ .
B.

$S = 2 \int - 1 (- 2 x^{2} + 2 x + 4) d x$ .
C.

$S = 2 \int - 1 (- 2 x + 2) d x$ .
D.

$S = π 2 \int - 1 (2 x^{2} + 2 x - 4) d x$ .

Câu 9 : Trong không gian Oxy, cho mặt phẳng $(α) : x - 3 y + 12 = 0$ . Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của $(α)$ ?

A.

$_{3} = (1; - 3; 0)$ .
B.

$_{2} = (0; 1; - 3)$ .
C.

$_{1} = (1; - 3; 12)$ .
D.

$_{4} = (1; 0; - 3)$ .

Câu 10 : Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P) đi qua điểm M(3; -1; 4) đồng thời vuông góc với giá của vectơ $⃗ a = (1; - 1; 2)$ có phương trình là

A.

$3 x - y + 4 z - 12 = 0$ .
B.

$3 x - y + 4 z + 12 = 0$ .
C.

$x - y + 2 z - 12 = 0$ .
D.

$x - y + 2 z + 12 = 0$ .

Câu 11 : Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x – 3y + 4z + 20 = 0 và (Q): 4x – 13y – 6z + 40 = 40. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.

(P) // (Q)
B.

(P) $\equiv$ (Q)
C.

(P) cắt (Q)
D.

(P) $⊥$ (Q)

Câu 12 : Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm M(1;4;-7) đến (P): 2x – y + 2z + 7 = 0 là

A.

3
B.

5
C.

7
D.

12

Câu 1 : Một chất điểm chuyển động thẳng trong 19 giây với vận tốc $v (t)$ (đơn vị: m/s) là hàm số phụ thuộc thời gian $t$ (đơn vị: giây) có đồ thị như hình vẽ.

a) Tại thời điểm $t = 19$ giây, vận tốc của chất điểm bằng 16m/s.

Đúng

Sai

b) Quãng đường chất điểm đi được trong khoảng thời gian từ 0 giây đến 4 giây bằng 24 m.

Đúng

Sai

c) Trong khoảng thời gian từ 13 giây đến 19 giây, đồ thị của $v (t)$ là một phần của đường parabol. Khi đó $v (t) = - t^{2} + 30 t - 209$ (m/s).

Đúng

Sai

d) Quãng đường chất điểm đi được từ lúc xuất phát đến khi dừng lại bằng 204 m.

Đúng

Sai

Câu 2 : Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 6; -7), B(3; 2; 1) và mặt phẳng (P) có phương trình 2x + y – 3z – 14 = 0.

a) Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $⃗ n (2; 1; 3)$ .

Đúng

Sai

b) Mặt phẳng (Q) đi qua điểm B và song song với mặt phẳng (P) có phương trình là 2x + y – 3z – 5 = 0.

Đúng

Sai

c) Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB là x – 2y + 4z + 18 = 0.

Đúng

Sai

d) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) bằng $\frac{13}{\sqrt{14}}$ .

Đúng

Sai

Câu 1 : Cho tích phân $\int_{1}^{2} (\frac{x^{2} + 1}{x}) d x = ln a + \frac{b}{c}$ , biết a, b, c là số nguyên. Tính tổng a + b + c.

Câu 2 : Bạn Hải nhận thiết kế logo hình con mắt (phần được tô đậm) cho một cơ sở y tế: Logo là hình phẳng giới hạn bởi hai parabol y = f(x) và y = g(x) như hình bên (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là decimét). Bạn Hải cần tính diện tích của logo để báo giá cho cơ sở y tế đó trước khi ký hợp đồng. Diện tích của logo là bao nhiêu decimét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Câu 3 : Bạn An xác định được phần thân của ấm đun nước siêu tốc được tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi một parabol quay quanh trục của nó. Các kích thước của ấm bạn đo được như sau: đường kính đáy ấm bằng 14 cm, đường kính miệng ấm bằng 8 cm, chiều cao thân ấm (phần đựng nước không kể nắp) bằng 20 cm. Hỏi thể tích phần thân ấm là bao nhiêu lít (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Câu 4 : Trong tiết thể dục học về kĩ thuật chuyền bóng hơi, Thanh và Minh đang tập chuyền bóng cho nhau. Thanh ném bóng cho Minh đỡ, quả bóng bay lên cao nhưng lại lệch sang phải của Thanh và rơi xuống vị trí cách Minh 0,5 (m) và cách Thanh 4,5 (m) được mô tả bằng hình vẽ bên dưới.

Biết rằng quỹ đạo của quả bóng nằm trong mặt phẳng $(α)$ : ax + by + cz + d = 0 và vuông góc với mặt đát. Khoảng cách từ bạn Minh đến mặt phẳng $(α)$ bằng bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất)?

Câu 1 : Cho hàm số $f (x)$ có đạo hàm $f^{'} (x) = \frac{\sqrt{x} - 1}{x}, x > 0$ . Tính giá trị của $f (4) - f (1)$ .

Câu 2 : Tốc độ tăng trưởng của một đàn gấu mèo tại thời điểm $t$ tháng kể từ khi người ta thả 100 cá thể đầu tiên vào một khu rừng được ước lượng bởi công thức $P^{'} (t) = 8 t + 30$ (con/tháng), với $P (t)$ là số lượng cá thể trong đàn tại thời điểm $t$ tháng tương ứng. Dựa vào tốc độ tăng trưởng đã cho, hãy ước tính số cá thể của đàn gấu mèo này tại thời điểm 3 tháng kể từ khi chúng được thả vào rừng.

Câu 3 : Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(α) : x - 2 y - 2 z + 9 = 0$ và điểm $A (2; - 1; 3)$ .

a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng $(α)$ .

b) Viết phương trình mặt phẳng $(β)$ đi qua A và song song với $(α)$ .

Câu 1 : Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K. Các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A.

$\int f (x) d x = F (x) + C$ .
B.

${(\int f (x) d x)}^{'} = f (x)$ .
C.

${(\int f (x) d x)}^{'} = f^{'} (x)$ .
D.

${(\int f (x) d x)}^{'} = F^{'} (x)$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x thuộc K. Ta viết $\int f (x) d x = F (x) + C$ .

Lời giải chi tiết :

${(\int f (x) d x)}^{'} = f^{'} (x)$ sai vì ${(\int f (x) d x)}^{'} = f (x)$ .

Câu 2 : Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A.

$\int 4 f (x) d x = 4 F^{'} (x) + C$ .
B.

$\int 4 f (x) d x = 4 F (x) + C$ .
C.

$\int 4 f (x) d x = 4 f (x) + C$ .
D.

$\int 4 f (x) d x = F^{'} (4 x) + C$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x), hay có thể viết $\int f (x) d x = F (x) + C$ , với mọi x thuộc K.

Áp dụng tính chất của nguyên hàm: $\int k f (x) d x = k \int f (x) d x$ $(k \in R$ , $k \neq 0)$ .

Lời giải chi tiết :

$\int 4 f (x) d x = 4 \int f (x) d x = 4 F (x) + C$ .

Câu 3 : Cho hàm số $f (x) = 1 + cos x$ . Khẳng định nào dưới đây đúng?

A.

$\int f (x) d x = x + cos x + C$ .
B.

$\int f (x) d x = x + sin x + C$ .
C.

$\int f (x) d x = x - cos x + C$ .
D.

$\int f (x) d x = cos x + C$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức $\int d x = \int 1 d x = x + C$ và $\int cos x d x = sin x + C$ .

Lời giải chi tiết :

$\int f (x) d x = x + sin x + C$ .

Câu 4 : Biết $F (x)$ là nguyên hàm của hàm số $\frac{1}{x}$ và $F (1) = 1$ . Khi đó $F (3)$ bằng bao nhiêu?

A.

$ln 3 + 1$ .
B.

$\frac{1}{2}$ .
C.

$ln \frac{3}{2}$ .
D.

$ln 3$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức $\int \frac{1}{x} d x = ln | x | + C$ .

Từ $F (1) = 1$ tìm C.

Có C, ta tính $F (3)$ .

Lời giải chi tiết :

$\int \frac{1}{x} d x = ln | x | + C$ .

$F (1) = 1 \Leftrightarrow ln | 1 | + C = 1 \Leftrightarrow C = 1$ .

$F (3) = ln | 3 | + 1 = ln 3 + 1$ .

Câu 5 : Cho $F (x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x)$ trên $R$ thỏa $F (1) = 9$ và $F (2) = 5$ . Giá trị của $\int_{1}^{2} f (x) d x$ bằng

A.
4
B.
45
C.
14
D.
-4

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Định nghĩa tích phân.

Lời giải chi tiết :

$\int_{1}^{2} f (x) d x = F (2) - F (1) = 5 - 9 = - 4$ .

Câu 6 : Cho $1 \int 0 f (x) d x = 3$ , $1 \int 0 g (x) d x = - 2$ . Tính giá trị của biểu thức $I = 1 \int 0 [2 f (x) - 3 g (x)] d x$ .

A.

-6.
B.

12.
C.

6.
D.

9.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Áp dụng tính chất của tích phân: Cho các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a;b], $c \in (a; b)$ , k là số thực. Khi đó:

+ $b \int a k f (x) d x = k b \int a f (x) d x$ ;

+ $b \int a [f (x) + g (x)] d x = b \int a f (x) d x + b \int a g (x) d x$ ;

+ $b \int a [f (x) - g (x)] d x = b \int a f (x) d x - b \int a g (x) d x$ ;

+ $c \int a f (x) d x + b \int c f (x) d x = b \int a f (x) d x$ .

Lời giải chi tiết :

Ta có $I = 1 \int 0 [2 f (x) - 3 g (x)] d x$

$= 2 1 \int 0 f (x) d x - 3 1 \int 0 g (x) d x$

$= 2.3 - 3. (- 2) = 12$ .

Câu 7 : Tính tích phân $I = 4 \int 3 2 x d x$ .

A.

$\frac{7}{2}$
B.

$6$
C.

$7$
D.

$- 6$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Nếu F’(x) = f(x) thì $b \int a f (x) d x = F (b) - F (a)$ .

Lời giải chi tiết :

$I = 4 \int 3 2 x d x = 2 \frac{x^{2}}{2} ∣ ∣_{3}^{4} = x^{2} ∣ ∣_{3}^{4} = 4^{2} - 3^{2} = 7$ .

Câu 8 : Công thức nào sau đây mô tả diện tích của phần gạch chéo trong hình vẽ bên dưới?

Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây?

A.

$S = 2 \int - 1 (2 x^{2} - 2 x - 4) d x$ .
B.

$S = 2 \int - 1 (- 2 x^{2} + 2 x + 4) d x$ .
C.

$S = 2 \int - 1 (- 2 x + 2) d x$ .
D.

$S = π 2 \int - 1 (2 x^{2} + 2 x - 4) d x$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = f(x), g(x) liên tục trên $[a; b]$ và hai đường thẳng x = a, x = b được tính bằng công thức $S = b \int a | f (x) - g (x) | d x$ .

Lời giải chi tiết :

$S = 2 \int - 1 ∣ ∣ - x^{2} + 3 - x^{2} + 2 x + 1 ∣ ∣ d x$

$= 2 \int - 1 ∣ ∣ - 2 x^{2} + 2 x + 4 ∣ ∣ d x$

$= 2 \int - 1 (- 2 x^{2} + 2 x + 4) d x$ .

Câu 9 : Trong không gian Oxy, cho mặt phẳng $(α) : x - 3 y + 12 = 0$ . Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của $(α)$ ?

A.

$_{3} = (1; - 3; 0)$ .
B.

$_{2} = (0; 1; - 3)$ .
C.

$_{1} = (1; - 3; 12)$ .
D.

$_{4} = (1; 0; - 3)$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0.

Một vecto pháp tuyến của (P) là $\to n = (A; B; C)$ .

Khi đó, với số thực $k \neq 0$ , $k \to n = (k A; k B; k C)$ cũng là một vecto pháp tuyến của (P).

Lời giải chi tiết :

$\to n_{3} = (1; - 3; 0)$ là một vecto pháp tuyến của $(α)$ .

Câu 10 : Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P) đi qua điểm M(3; -1; 4) đồng thời vuông góc với giá của vectơ $⃗ a = (1; - 1; 2)$ có phương trình là

A.

$3 x - y + 4 z - 12 = 0$ .
B.

$3 x - y + 4 z + 12 = 0$ .
C.

$x - y + 2 z - 12 = 0$ .
D.

$x - y + 2 z + 12 = 0$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và có vecto pháp tuyến $\to n = (A; B; C)$ là:

$A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + C (z - z_{0}) = 0$

hay $A x + B y + C z + D = 0$ với $D = - A x_{0} - B y_{0} - C z_{0}$ .

Lời giải chi tiết :

Ta có phương trình mặt phẳng là:

$(x - 3) - (y + 1) + 2 (z - 4) = 0$

$\Leftrightarrow x - y + 2 z - 12 = 0$ .

Câu 11 : Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x – 3y + 4z + 20 = 0 và (Q): 4x – 13y – 6z + 40 = 40. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.

(P) // (Q)
B.

(P) $\equiv$ (Q)
C.

(P) cắt (Q)
D.

(P) $⊥$ (Q)

Đáp án : C

Phương pháp giải :

So sánh tỉ lệ các hệ số và áp dụng công thức tính tích vô hướng của hai vecto.

Lời giải chi tiết :

Ta có $\frac{2}{4} \neq \frac{- 3}{- 13} \neq \frac{4}{- 6}$ và $2.4 - 3. (- 13) + 4. (- 6) = 23$ nên (P) cắt (Q).

Câu 12 : Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm M(1;4;-7) đến (P): 2x – y + 2z + 7 = 0 là

A.

3
B.

5
C.

7
D.

12

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Lời giải chi tiết :

$d (M, (P)) = \frac{| 2.1 - 1.4 + 2. (- 7) + 7 |}{\sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2} + 2^{2}}} = \frac{9}{3} = 3$ .

Câu 1 : Một chất điểm chuyển động thẳng trong 19 giây với vận tốc $v (t)$ (đơn vị: m/s) là hàm số phụ thuộc thời gian $t$ (đơn vị: giây) có đồ thị như hình vẽ.

a) Tại thời điểm $t = 19$ giây, vận tốc của chất điểm bằng 16m/s.

Đúng

Sai

b) Quãng đường chất điểm đi được trong khoảng thời gian từ 0 giây đến 4 giây bằng 24 m.

Đúng

Sai

c) Trong khoảng thời gian từ 13 giây đến 19 giây, đồ thị của $v (t)$ là một phần của đường parabol. Khi đó $v (t) = - t^{2} + 30 t - 209$ (m/s).

Đúng

Sai

d) Quãng đường chất điểm đi được từ lúc xuất phát đến khi dừng lại bằng 204 m.

Đúng

Sai

Đáp án

a) Tại thời điểm $t = 19$ giây, vận tốc của chất điểm bằng 16m/s.

Đúng

Sai

b) Quãng đường chất điểm đi được trong khoảng thời gian từ 0 giây đến 4 giây bằng 24 m.

Đúng

Sai

c) Trong khoảng thời gian từ 13 giây đến 19 giây, đồ thị của $v (t)$ là một phần của đường parabol. Khi đó $v (t) = - t^{2} + 30 t - 209$ (m/s).

Đúng

Sai

d) Quãng đường chất điểm đi được từ lúc xuất phát đến khi dừng lại bằng 204 m.

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Ứng dụng nguyên hàm, tích phân.

Lời giải chi tiết :

a) Sai. Tại thời điểm $t = 19$ giây, vận tốc của chất điểm bằng 0 m/s.

b) Đúng. Với $t \in [0; 4]$ ta có hàm vận tốc là $v_{1} (t) = 3 t$ .

Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian này là:

$S_{1} = 4 \int 0 v_{1} (t) d t = 4 \int 0 3 t d t = 24$ (m).

c) Đúng. Với $t \in [13; 19]$ ta có hàm vận tốc là $v_{3} (t) = a t^{2} + b t + c$ .

Dựa vào đồ thị, ta có hoành độ đỉnh parabol là $\frac{- b}{2 a} = 15 \Leftrightarrow 30 a + b = 0$ .

Parabol đi qua các điểm $(13; 12), (19; 0)$ , ta có hệ phương trình:

$⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ \begin{matrix} 30 a + b = 0 13^{2} a + 13 b + c = 12 19^{2} a + 19 b + c = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ \begin{matrix} a = - 1 b = 30 c = - 209 \end{matrix}$ .

Suy ra $v_{3} (t) = - t^{2} + 30 t - 209$ .

d) Đúng. Ta có:

$S_{1} = 24$ ; $S_{2} = 13 \int 4 v_{2} (t) d t = 13 \int 4 12 d t = 108$ ;

$S_{3} = 19 \int 13 v_{3} (t) d t = 19 \int 13 - t^{2} + 30 t - 209 d t = 72$

Tổng quãng đường chất điểm đi được là $S = S_{1} + S_{2} + S_{3} = 204$ m.

Câu 2 : Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 6; -7), B(3; 2; 1) và mặt phẳng (P) có phương trình 2x + y – 3z – 14 = 0.

a) Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $⃗ n (2; 1; 3)$ .

Đúng

Sai

b) Mặt phẳng (Q) đi qua điểm B và song song với mặt phẳng (P) có phương trình là 2x + y – 3z – 5 = 0.

Đúng

Sai

c) Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB là x – 2y + 4z + 18 = 0.

Đúng

Sai

d) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) bằng $\frac{13}{\sqrt{14}}$ .

Đúng

Sai

Đáp án

a) Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $⃗ n (2; 1; 3)$ .

Đúng

Sai

b) Mặt phẳng (Q) đi qua điểm B và song song với mặt phẳng (P) có phương trình là 2x + y – 3z – 5 = 0.

Đúng

Sai

c) Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB là x – 2y + 4z + 18 = 0.

Đúng

Sai

d) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) bằng $\frac{13}{\sqrt{14}}$ .

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

a) Mặt phẳng Ax + By + Cz + D = 0 có một vecto pháp tuyến là $\to n = (A; B; C)$ .

b) Hai mặt phẳng song song có cùng vecto pháp tuyến.

c) Lập phương trình mặt phẳng đi qua trung điểm của $A B$ và nhận $- - \to A B$ làm vecto pháp tuyến.

d) Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:

$d (M, (P)) = \frac{| A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} + D |}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}$ .

Lời giải chi tiết :

a) Sai. Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\to n (2; 1; - 3)$ .

b) Đúng. Mặt phẳng $(Q)$ đi qua điểm $B$ và song song với mặt phẳng $(P)$ có phương trình là:

$2 (x - 3) + (y - 2) - 3 (z - 1) = 0 \Leftrightarrow 2 x + y - 3 z - 5 = 0$ .

c) Đúng. Mặt phẳng trung trực của đoạn $A B$ đi qua trung điểm $I (2; 4; - 3)$ của đoạn $A B$ và nhận $- - \to A B (2; - 4; 8)$ làm vecto pháp tuyến có phương trình:

$2 (x - 2) - 4 (y - 4) + 8 (z + 3) = 0 \Leftrightarrow x - 2 y + 4 z + 18 = 0$ .

d) Sai. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) là: $\frac{| 2.1 + 6 - 3. (- 7) - 14 |}{\sqrt{14}} = \frac{15}{\sqrt{14}}$ .

Câu 1 : Cho tích phân $\int_{1}^{2} (\frac{x^{2} + 1}{x}) d x = ln a + \frac{b}{c}$ , biết a, b, c là số nguyên. Tính tổng a + b + c.

Phương pháp giải :

Chia tử cho mẫu để tách tích phân phức tạp thành các phân thức đơn giản, từ đó áp dụng công thức tích phân của hàm số lũy thừa.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

$\int_{1}^{2} (\frac{x^{2} + 1}{x}) d x = \int_{1}^{2} (x + \frac{1}{x}) d x$

$= (\frac{x^{2}}{2} + ln | x |) {∣ ∣ ∣}_{1}^{2} = ln 2 + \frac{3}{2} = ln a + \frac{b}{c}$

$\Rightarrow a = 2, b = 3, c = 2$

$\Rightarrow a + b + c = 7$ .

Câu 2 : Bạn Hải nhận thiết kế logo hình con mắt (phần được tô đậm) cho một cơ sở y tế: Logo là hình phẳng giới hạn bởi hai parabol y = f(x) và y = g(x) như hình bên (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là decimét). Bạn Hải cần tính diện tích của logo để báo giá cho cơ sở y tế đó trước khi ký hợp đồng. Diện tích của logo là bao nhiêu decimét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Phương pháp giải :

Dựa vào các điểm thuộc đồ thị, viết phương trình $f (x)$ và $g (x)$ .

Giải phương trình hoành độ giao điểm của $f (x)$ và $g (x)$ để tìm cận.

Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng ứng dụng tích phân: $S = b \int a | f (x) - g (x) | d x$ .

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Gọi parabol $y = f (x)$ có phương trình $y = a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1}$ $(a_{1} > 0)$ .

Parabol đi qua các điểm có tọa độ (-2; 0), (2; 0), (0; -1) nên ta có:

$⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ \begin{matrix} 0 = a_{1} (- 2)^{2} + b_{1} (- 2) + c_{1} 0 = a_{1} 2^{2} + b_{1} 2 + c_{1} - 1 = a_{1} 0^{2} + b_{1} 0 + c_{1} \end{matrix} \Leftrightarrow ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ \begin{matrix} a_{1} = \frac{1}{4} b_{1} = 0 c_{1} = - 1 \end{matrix}$

Vậy $y = f (x) = \frac{1}{4} x^{2} - 1$ .

Gọi parabol $y = g (x)$ có phương trình $y = a_{2} x^{2} + b_{2} x + c_{2}$ $(a_{1} > 0)$ .

Parabol đi qua các điểm có tọa độ (0; 2), (2; 1), đỉnh (0; 2) nên ta có:

$⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ \begin{matrix} 2 = a_{2} 0^{2} + b_{2} 0 + c_{2} 1 = a_{2} 2^{2} + b_{2} 2 + c_{2} - \frac{b_{2}}{2 a_{2}} = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ \begin{matrix} a_{2} = - \frac{1}{4} b_{2} = 0 c_{2} = 2 \end{matrix}$

Vậy $y = g (x) = - \frac{1}{4} x^{2} + 2$ .

Phương trình hoành độ giao điểm của $f (x)$ và $g (x)$ :

$\frac{1}{4} x^{2} - 1 = - \frac{1}{4} x^{2} + 2$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2} x^{2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{6}$ .

Diện tích logo là:

$\sqrt{6} \int - \sqrt{6} ∣ ∣ (- \frac{1}{4} x^{2} + 2) - (\frac{1}{4} x^{2} - 1) ∣ ∣ d x$

$= \sqrt{6} \int - \sqrt{6} [(- \frac{1}{4} x^{2} + 2) - (\frac{1}{4} x^{2} - 1)] d x$

$= \sqrt{6} \int - \sqrt{6} (3 - \frac{1}{2} x^{2}) d x$

$= (3 x - \frac{x^{3}}{6}) ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} ^{\sqrt{6}}_{- \sqrt{6}} \end{matrix}$

$= 4 \sqrt{6} \approx 9, 8$ $(d m^{2})$ .

Câu 3 : Bạn An xác định được phần thân của ấm đun nước siêu tốc được tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi một parabol quay quanh trục của nó. Các kích thước của ấm bạn đo được như sau: đường kính đáy ấm bằng 14 cm, đường kính miệng ấm bằng 8 cm, chiều cao thân ấm (phần đựng nước không kể nắp) bằng 20 cm. Hỏi thể tích phần thân ấm là bao nhiêu lít (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Phương pháp giải :

Gắn hệ trục tọa độ ở vị trí phù hợp.

Tìm phương trình parabol giới hạn thân ấm.

Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay bằng tích phân.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Gắn hệ trục tọa độ như hình.

Giả sử parabol giới hạn thân ấm có phương trình $y = a x^{2} + b x + c$ $(a \neq 0)$ .

Parabol đi qua các điểm có tọa độ (7;0), (4;20), (-4;20) nên ta có hệ:

$⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ \begin{matrix} 0 = a {.7}^{2} + b .7 + c 20 = a {.4}^{2} + b .4 + c 20 = a (- 4)^{2} + b (- 4) + c \end{matrix} \Leftrightarrow ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ \begin{matrix} a = - \frac{20}{30} b = 0 c = \frac{980}{33} \end{matrix}$

$\Rightarrow (P) : y = - \frac{20}{30} x^{2} + \frac{980}{33} \Leftrightarrow x^{2} = \frac{980 - 33 y}{20}$ .

Ta có $V = π 20 \int 0 \frac{980 - 33 y}{20} d y = 650 π$ $(c m^{3})$ .

Vậy thể tích thân ấm là $\frac{650 π}{1000} \approx 2, 04$ (lít).

Câu 4 : Trong tiết thể dục học về kĩ thuật chuyền bóng hơi, Thanh và Minh đang tập chuyền bóng cho nhau. Thanh ném bóng cho Minh đỡ, quả bóng bay lên cao nhưng lại lệch sang phải của Thanh và rơi xuống vị trí cách Minh 0,5 (m) và cách Thanh 4,5 (m) được mô tả bằng hình vẽ bên dưới.

Biết rằng quỹ đạo của quả bóng nằm trong mặt phẳng $(α)$ : ax + by + cz + d = 0 và vuông góc với mặt đát. Khoảng cách từ bạn Minh đến mặt phẳng $(α)$ bằng bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất)?

Phương pháp giải :

Tìm tọa độ của Minh và vị trí bóng rơi M.

Lập phương trình mặt phẳng $(α)$ đi qua gốc tọa độ, nhận $\to n = [- - \to O M, \to k]$ làm vecto pháp tuyến.

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ Minh đến $(α)$ .

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Chọn hệ trục như hình vẽ. Gọi M là điểm mà quả bóng chạm đất.

Khi đó $x_{M} = 0, 5$ , $y_{M} = \sqrt{4, 5^{2} - 0, 5^{2}} = 2 \sqrt{5}$ .

Ta có $- - \to O M = (0, 5; 2 \sqrt{5}; 0)$ và vecto pháp tuyến của (Oxy) là $\to k = (0; 0; 1)$ .

Vì O, M thuộc $(α)$ và $(α) ⊥ (O x y)$ nên giả sử vecto pháp tuyến của $(α)$ là $\to n$ , ta có: $⎧ ⎨ ⎩ \begin{matrix} \to n ⊥ - - \to O M \to n ⊥ \to k \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \to n = [- - \to O M, \to k] = (- 2 \sqrt{5}; 0, 5; 0)$

$= - \frac{1}{2} (4 \sqrt{5}; - 1; 0)$ .

Phương trình mặt phẳng $(α)$ là:

$4 \sqrt{5} (x - 0) - (y - 0) + 0 (z - 0) = 0$

$\Leftrightarrow 4 \sqrt{5} x - y = 0$ .

Vị trí bạn Minh có tọa độ là $(0; 2 \sqrt{5}; 0)$ .

Khoảng cách từ bạn Minh đến mặt phẳng $(α)$ là:

$\frac{∣ ∣ 4 \sqrt{5} .0 - 1.2 \sqrt{5} + 0.0 ∣ ∣}{\sqrt{{(4 \sqrt{5})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 0^{2}}} = \frac{2 \sqrt{5}}{9} \approx 0, 5$ (m).

Câu 1 : Cho hàm số $f (x)$ có đạo hàm $f^{'} (x) = \frac{\sqrt{x} - 1}{x}, x > 0$ . Tính giá trị của $f (4) - f (1)$ .

Phương pháp giải :

Sử dụng các công thức:

• $b \int a f (x) d x = F (b) - F (a)$ .

• $\int x^{α} d x = \frac{x^{α + 1}}{α + 1} + C$ .

• $\int \frac{1}{x} d x = ln | x | + C$ .

Lời giải chi tiết :

$f (4) - f (1) = 4 \int 1 f^{'} (x) d x = 4 \int 1 \frac{\sqrt{x} - 1}{x} d x$

$= 4 \int 1 (x^{- \frac{1}{2}} - \frac{1}{x}) d x = {(2 x^{\frac{1}{2}} - ln x) ∣ ∣}_{1}^{4}$

$= ({2.4}^{\frac{1}{2}} - ln 4) - ({2.1}^{\frac{1}{2}} - ln 1) = 2 - 2 ln 2$ .

Câu 2 : Tốc độ tăng trưởng của một đàn gấu mèo tại thời điểm $t$ tháng kể từ khi người ta thả 100 cá thể đầu tiên vào một khu rừng được ước lượng bởi công thức $P^{'} (t) = 8 t + 30$ (con/tháng), với $P (t)$ là số lượng cá thể trong đàn tại thời điểm $t$ tháng tương ứng. Dựa vào tốc độ tăng trưởng đã cho, hãy ước tính số cá thể của đàn gấu mèo này tại thời điểm 3 tháng kể từ khi chúng được thả vào rừng.

Phương pháp giải :

Tìm hàm số lượng cá thể $P (t)$ :

- Biết $P^{'} (t) = 8 t + 30$ là đạo hàm của hàm số lượng cá thể $P (t)$ , ta tìm $P (t)$ bằng cách lấy tích phân của $P^{'} (t)$ và thêm hằng số tích phân $C$ .

- Sử dụng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $C$ .

Tính số lượng cá thể tại $t = 3$ :

- Thay $t = 3$ vào hàm $P (t)$ đã tìm được để tính số lượng cá thể tại thời điểm 3 tháng.

Lời giải chi tiết :

Đạo hàm của hàm số lượng cá thể là $P^{'} (t) = 8 t + 30$ . Tích phân của $P^{'} (t)$ là:

$P (t) = \int (8 t + 30) d t = 4 t^{2} + 30 t + C$

với $C$ là hằng số tích phân.

Theo đề bài, tại thời điểm $t = 0$ , số lượng cá thể là 100:

$P (0) = 4 (0)^{2} + 30 (0) + C = 100$

Do đó, $C = 100$ . Vậy hàm số lượng cá thể là:

$P (t) = 4 t^{2} + 30 t + 100$

Thay $t = 3$ vào hàm $P (t)$ :

$P (3) = 4 (3)^{2} + 30 (3) + 100 = 4 (9) + 90 + 100 = 36 + 90 + 100 = 226$

Số lượng cá thể của đàn gấu mèo tại thời điểm 3 tháng là 226 cá thể.

Câu 3 : Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(α) : x - 2 y - 2 z + 9 = 0$ và điểm $A (2; - 1; 3)$ .

a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng $(α)$ .

b) Viết phương trình mặt phẳng $(β)$ đi qua A và song song với $(α)$ .

Phương pháp giải :

a) Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

b) Mặt phẳng $(β)$ đi qua A và có cùng vectơ pháp tuyến với $(α)$ .

Lời giải chi tiết :

a) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng $(α)$ là:

$d (A, α) = \frac{| 2 - 2 \cdot (- 1) - 2 \cdot 3 + 9 |}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + 2^{2}}} = \frac{7}{3}$ .

b) Ta có $(β)$ song song với $(α)$ nên $(β)$ có cùng vectơ pháp tuyến với $(α)$ .

Suy ra vectơ pháp tuyến của $(β)$ là $\to n = (1; - 2; - 2)$ .

Phương trình mặt phẳng của $(β)$ là:

$1 (x - 2) - 2 (y + 1) - 2 (z - 3) = 0$

$\Leftrightarrow x - 2 y - 2 z + 2 = 0$ .