Đề thi giữa kì 2 Toán 12 - Đề số 8

Câu 1 : Hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng K nếu

A.

$F^{'} (x) = - f (x), \forall x \in K$ .
B.

$f^{'} (x) = F (x), \forall x \in K$ .
C.

$F^{'} (x) = f (x), \forall x \in K$ .
D.

$f^{'} (x) = - F (x), \forall x \in K$ .

Câu 2 : Cho hàm số f(x) liên tục trên $R .$ Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.

$\int 5 f (x) d x = 5 \int f (x) d x .$
B.

$\int 5 f (x) d x = 5 + \int f (x) d x .$
C.

$\int 5 f (x) d x = \int f (x) d x .$
D.

$\int 5 f (x) d x = \frac{1}{5} \int f (x) d x .$

Câu 3 : Nguyên hàm của hàm số $f (x) = 1 + cos x$ là

A.

$1 - sin x + C$ .
B.

$1 + sin x + C$ .
C.

$x - sin x + C$ .
D.

$x + sin x + C$ .

Câu 4 : Cho $F (x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = 1 + 2 x + 3 x^{2}$ thỏa mãn $F (1) = 2$ . Tính $F (0) + F (- 1)$ .

A.

-3
B.

-4
C.

3
D.

4

Câu 5 : Cho hàm số $f (x)$ liên tục trên R. Biết hàm số $F (x)$ là một nguyên hàm của $f (x)$ trên R và $F (3) = 5, F (1) = 1$ . Tích phân $\int_{1}^{3} f (x) d x$ bằng

A.

6.
B.

4.
C.

5.
D.

-4.

Câu 6 : Nếu $10 \int 0 f (t) d t = 17$ và $8 \int 0 f (y) d y = 12$ thì $10 \int 8 (- 3) f (x) d x$ bằng

A.

$15$ .
B.

$29$ .
C.

$- 15$ .
D.

$5$ .

Câu 7 : Tính tích phân $I = 2 \int 0 (2 x + 1) d x$ .

A.

I = 5.
B.

I = 6.
C.

I = 2.
D.

I = 4.

Câu 8 : Trong mặt phẳng tọa độ $O x y,$ cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sqrt{x}$ , trục hoành và đường thẳng $y = x - 2$ được minh họa là phần gạch sọc như hình vẽ. Diện tích $S$ của hình phẳng $(H)$ là

A.

$S = \frac{8}{3}$ .
B.

$S = \frac{11}{3}$ .
C.

$S = \frac{10}{3}$ .
D.

$S = \frac{7}{3}$ .

Câu 9 : Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(α) : 2 x - 3 y - 4 z + 1 = 0$ . Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của $(α)$ ?

A.

$⃗ n = (2; - 3; - 4)$ .
B.

$⃗ n = (2; - 3; 4)$ .
C.

$⃗ n = (2; 3; 4)$ .
D.

$⃗ n = (- 2; 3; 1)$ .

Câu 10 : Trong không gian Oxyz, phương trình của mặt phẳng (Oxy) là

A.

x = 0.
B.

x + y + z = 0.
C.

y = 0.
D.

z = 0.

Câu 11 : Trong không gian cho mặt phẳng $(α) : x + y + 2 z - 1 = 0$ . Mặt phẳng nào sau đây song song với mặt phẳng $(α)$ .

A.

$(γ) : x + y - 2 z - 1 = 0$ .
B.

$(λ) : 2 x + 2 y + 4 z - 2 = 0$ .
C.

$(β) : 2 x + 2 y + 4 z - 7 = 0$ .
D.

$(μ) : x - y + 2 z - 1 = 0$ .

Câu 12 : Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm M(-2;1;2) đến mặt phẳng $(α)$ : x – 5y + 2z – 7 = 0 là

A.

$\frac{\sqrt{10}}{3}$
B.

$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{3}}$
C.

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$
D.

$\frac{\sqrt{3}}{10}$

Câu 1 : Một chất điểm chuyển động trên đường thẳng nằm ngang (chiều dương hướng sang phải) với gia tốc phụ thuộc vào thời gian t(s) là a(t) = 2t – 7 $(m / s^{2})$ Biết vận tốc ban đầu bằng 6 (m/s).

a) Phương trình vận tốc của chất điểm tại tời điểm t được xác định bởi công thức $v (t) = \int a (t) d t$ .

Đúng

Sai

b) Tại thời điểm t = 7 (s), vận tốc của chất điểm là 6 (m/s).

Đúng

Sai

c) Độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian $1 \leq t \leq 7$ là 18 m.

Đúng

Sai

d) Trong 8 giây đầu tiên, thời điểm chất điểm xa nhất về phía bên phải là t = 7 (s).

Đúng

Sai

Câu 2 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết AB = 1, AD = 2 và SA = 3. Xét hệ trục tọa độ Oxyz với O trùng A, các tia Ox, Oy, Oz lần lượt trùng với các tia AB, AD, AS (như hình vẽ).

a) Tọa độ điểm C là (1; 2; 0).

Đúng

Sai

b) $[- - \to S C, - - \to B D] = (6; - 3; 4)$ .

Đúng

Sai

c) Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng SC và song song với đường thẳng BD. Phương trình mặt phẳng (P) là $6 x + 3 y + 4 z - 12 = 0$ .

Đúng

Sai

d) Khoảng cách giữa đường thẳng BD và mặt phẳng $(P)$ bằng $\frac{6}{61}$ .

Đúng

Sai

Câu 1 : Cho $0 \leq m \leq 2$ và tích phân $I = \int_{0}^{m} | x - 2 | d x = 2$ . Tìm m.

Câu 2 : Một công ty quảng cáo muốn làm một bức tranh trang trí hình MNEIF ở chính giữa của một bức tường hình chữ nhật ABCD có chiều cao BC = 6 m, chiều dài CD = 12 m (hình vẽ bên). Cho biết MNEF là hình chữ nhật có MN = 4 m, cung EIF có hình dạng là một phần của parabol có đỉnh I là trung điểm của cạnh AB và đi qua 2 điểm C, D. Đơn giá làm bức tranh là 900 000 đồng/ $m^{2}$ . Hỏi công ty đó cần bao nhiêu tiền để làm bức tranh đó (đơn vị: triệu đồng)?

Câu 3 : Một bác thợ gốm làm một cái chậu trồng cây, phần trong chậu cây có dạng khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng được tô đậm như hình sau quanh trục Ox (đơn vị trên trục là decimet), biết đường cong trong hình là đồ thị hàm số $y = \sqrt{x + 1}$ , đáy chậu và miệng chậu có đường kính lần lượt là 2 dm và 4 dm. Dung tích của chậu là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Câu 4 : Hình bên vẽ minh họa mái hiên ABCD song song với mái nhà PQRS trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (mái hiên và mái nhà đều phẳng) có Q(-10; 0; 200), P(-490; 0; 200), R(0; 1600; 0) và A(0; 0; -65). Mặt phẳng (ABCD) có phương trình y + az + 65a = 0. Tìm giá trị của a.

Câu 1 : Tìm đạo hàm của hàm số $F (x) = \sqrt{4 x + 1}$ . Từ đó, tính tích phân $1 \int 0 \frac{1}{\sqrt{4 x + 1}} d x$ .

Câu 2 : Người ta truyền nhiệt cho một bình nuôi cấy vi sinh vật từ 1°C. Tốc độ tăng nhiệt độ của bình tại thời điểm 𝑡 phút (0≤ 𝑡 ≤5) được cho bởi hàm số $f (t) = 3 t^{2}$ (°C/phút). Biết rằng nhiệt độ của bình đó tại thời điểm 𝑡 là một nguyên hàm của hàm số $f (t)$ , tìm nhiệt độ của bình tại thời điểm 3 phút kể từ khi truyền nhiệt.

Câu 3 : Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $(P) : 2 x + 2 y - z + 8 = 0$ và $(Q) : 2 x + 2 y - z + 2 = 0$ .

a) Chứng minh rằng $(P) ∥ (Q)$ .

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ .

Câu 1 : Hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng K nếu

A.

$F^{'} (x) = - f (x), \forall x \in K$ .
B.

$f^{'} (x) = F (x), \forall x \in K$ .
C.

$F^{'} (x) = f (x), \forall x \in K$ .
D.

$f^{'} (x) = - F (x), \forall x \in K$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Dựa vào định nghĩa nguyên hàm.

Lời giải chi tiết :

$F^{'} (x) = f (x), \forall x \in K$ .

Câu 2 : Cho hàm số f(x) liên tục trên $R .$ Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.

$\int 5 f (x) d x = 5 \int f (x) d x .$
B.

$\int 5 f (x) d x = 5 + \int f (x) d x .$
C.

$\int 5 f (x) d x = \int f (x) d x .$
D.

$\int 5 f (x) d x = \frac{1}{5} \int f (x) d x .$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Dựa vào tính chất cơ bản của nguyên hàm: $\int k f (x) d x = k \int f (x) d x$ .

Lời giải chi tiết :

$\int 5 f (x) d x = 5 \int f (x) d x$ .

Câu 3 : Nguyên hàm của hàm số $f (x) = 1 + cos x$ là

A.

$1 - sin x + C$ .
B.

$1 + sin x + C$ .
C.

$x - sin x + C$ .
D.

$x + sin x + C$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức tính nguyên hàm của hàm số lượng giác.

Lời giải chi tiết :

$\int (1 + cos x) d x = x + sin x + C$ .

Câu 4 : Cho $F (x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = 1 + 2 x + 3 x^{2}$ thỏa mãn $F (1) = 2$ . Tính $F (0) + F (- 1)$ .

A.

-3
B.

-4
C.

3
D.

4

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức $\int x^{n} d x = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C$ .

Lời giải chi tiết :

$F (x) = \int (1 + 2 x + 3 x^{2}) d x = x + x^{2} + x^{3} + C$ .

Theo giả thiết: $F (1) = 2 \Leftrightarrow 1 + 1^{2} + 1^{3} + C = 2 \Leftrightarrow C = - 1$ .

Vậy $F (x) = x + x^{2} + x^{3} - 1$ .

Từ đó ta có:

$F (0) + F (- 1) = 0 + 0^{2} + 0^{3} - 1 + (- 1) + (- 1)^{2} + (- 1)^{3} - 1 = - 3$ .

Câu 5 : Cho hàm số $f (x)$ liên tục trên R. Biết hàm số $F (x)$ là một nguyên hàm của $f (x)$ trên R và $F (3) = 5, F (1) = 1$ . Tích phân $\int_{1}^{3} f (x) d x$ bằng

A.

6.
B.

4.
C.

5.
D.

-4.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Áp dụng định nghĩa tích phân.

Lời giải chi tiết :

$\int_{1}^{3} f (x) d x = F (x) ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} ^{3}_{1} \end{matrix} = F (3) - F (1) = 5 - 1 = 4$ .

Câu 6 : Nếu $10 \int 0 f (t) d t = 17$ và $8 \int 0 f (y) d y = 12$ thì $10 \int 8 (- 3) f (x) d x$ bằng

A.

$15$ .
B.

$29$ .
C.

$- 15$ .
D.

$5$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Áp dụng tính chất của tích phân:

$b \int a f (x) d x = b \int a f (t) d t$ ;

$b \int a f (x) d x + c \int b f (x) d x = c \int a f (x) d x$ .

Lời giải chi tiết :

$10 \int 0 f (x) d x = 10 \int 0 f (t) d t = 17$ ;

$8 \int 0 f (x) d x = 8 \int 0 f (y) d y = 12$ .

$10 \int 8 (- 3) f (x) d x = - 3 10 \int 8 f (x) d x = - 3 (10 \int 0 f (x) d x - 8 \int 0 f (x) d x)$

$= - 3 (17 - 12) = - 15$ .

Câu 7 : Tính tích phân $I = 2 \int 0 (2 x + 1) d x$ .

A.

I = 5.
B.

I = 6.
C.

I = 2.
D.

I = 4.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số lũy thừa và sử dụng định nghĩa tích phân để tính.

Lời giải chi tiết :

Ta có $I = 2 \int 0 (2 x + 1) d x = {(x^{2} + x) ∣ ∣}_{0}^{2} = 4 + 2 = 6$ .

Câu 8 : Trong mặt phẳng tọa độ $O x y,$ cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sqrt{x}$ , trục hoành và đường thẳng $y = x - 2$ được minh họa là phần gạch sọc như hình vẽ. Diện tích $S$ của hình phẳng $(H)$ là

A.

$S = \frac{8}{3}$ .
B.

$S = \frac{11}{3}$ .
C.

$S = \frac{10}{3}$ .
D.

$S = \frac{7}{3}$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng bằng tích phân: $S = b \int a | f (x) | d x$ .

Lời giải chi tiết :

$S = 4 \int 0 \sqrt{x} d x + 4 \int 2 [\sqrt{x} - (x - 2)] d x = \frac{10}{3}$ .

Câu 9 : Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(α) : 2 x - 3 y - 4 z + 1 = 0$ . Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của $(α)$ ?

A.

$⃗ n = (2; - 3; - 4)$ .
B.

$⃗ n = (2; - 3; 4)$ .
C.

$⃗ n = (2; 3; 4)$ .
D.

$⃗ n = (- 2; 3; 1)$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0.

Một vecto pháp tuyến của (P) là $\to n = (A; B; C)$ .

Khi đó, với số thực $k \neq 0$ , $k \to n = (k A; k B; k C)$ cũng là một vecto pháp tuyến của (P).

Lời giải chi tiết :

$\to n = (2; - 3; - 4)$ là một vectơ pháp tuyến của $(α)$ .

Câu 10 : Trong không gian Oxyz, phương trình của mặt phẳng (Oxy) là

A.

x = 0.
B.

x + y + z = 0.
C.

y = 0.
D.

z = 0.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và có vecto pháp tuyến $\to n = (A; B; C)$ là:

$A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + C (z - z_{0}) = 0$

hay $A x + B y + C z + D = 0$ với $D = - A x_{0} - B y_{0} - C z_{0}$ .

Lời giải chi tiết :

Mặt phẳng (Oxy) nhận $\to k = (0; 0; 1)$ làm VTPT và đi qua O(0; 0; 0). Do đó phương trình của (Oxy) là:

$0 (x - 0) + 0 (y - 0) + 1 (z - 0) = 0 \Leftrightarrow z = 0$ .

Câu 11 : Trong không gian cho mặt phẳng $(α) : x + y + 2 z - 1 = 0$ . Mặt phẳng nào sau đây song song với mặt phẳng $(α)$ .

A.

$(γ) : x + y - 2 z - 1 = 0$ .
B.

$(λ) : 2 x + 2 y + 4 z - 2 = 0$ .
C.

$(β) : 2 x + 2 y + 4 z - 7 = 0$ .
D.

$(μ) : x - y + 2 z - 1 = 0$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P) và (Q) có phương trình:

(P): Ax + By + Cz + D = 0, $A^{2} + B^{2} + C^{2} \neq 0$ .

(Q): A’x + B’y + C’z + D’ = 0, $A^{' 2} + B^{' 2} + C^{' 2} \neq 0$ .

(P) và (Q) song song khi $\frac{A}{A^{'}} = \frac{B}{B^{'}} = \frac{C}{C^{'}} \neq \frac{D}{D^{'}}$ .

Lời giải chi tiết :

$(β) : 2 x + 2 y + 4 z - 7 = 0$ song song với $(α) : x + y + 2 z - 1 = 0$ vì $\frac{2}{1} = \frac{2}{1} = \frac{4}{2} \neq \frac{- 1}{- 7}$ .

Câu 12 : Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm M(-2;1;2) đến mặt phẳng $(α)$ : x – 5y + 2z – 7 = 0 là

A.

$\frac{\sqrt{10}}{3}$
B.

$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{3}}$
C.

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$
D.

$\frac{\sqrt{3}}{10}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng.

Lời giải chi tiết :

$d (M, (α)) = \frac{| 1. (- 2) - 5.1 + 2.2 - 7 |}{\sqrt{1^{2} + {(- 5)}^{2} + 2^{2}}} = \frac{10}{\sqrt{30}} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{3}}$ .

Câu 1 : Một chất điểm chuyển động trên đường thẳng nằm ngang (chiều dương hướng sang phải) với gia tốc phụ thuộc vào thời gian t(s) là a(t) = 2t – 7 $(m / s^{2})$ Biết vận tốc ban đầu bằng 6 (m/s).

a) Phương trình vận tốc của chất điểm tại tời điểm t được xác định bởi công thức $v (t) = \int a (t) d t$ .

Đúng

Sai

b) Tại thời điểm t = 7 (s), vận tốc của chất điểm là 6 (m/s).

Đúng

Sai

c) Độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian $1 \leq t \leq 7$ là 18 m.

Đúng

Sai

d) Trong 8 giây đầu tiên, thời điểm chất điểm xa nhất về phía bên phải là t = 7 (s).

Đúng

Sai

Đáp án

a) Phương trình vận tốc của chất điểm tại tời điểm t được xác định bởi công thức $v (t) = \int a (t) d t$ .

Đúng

Sai

b) Tại thời điểm t = 7 (s), vận tốc của chất điểm là 6 (m/s).

Đúng

Sai

c) Độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian $1 \leq t \leq 7$ là 18 m.

Đúng

Sai

d) Trong 8 giây đầu tiên, thời điểm chất điểm xa nhất về phía bên phải là t = 7 (s).

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Ứng dụng nguyên hàm để tìm công thức tính vận tốc và độ dịch chuyển. Ứng dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất.

Lời giải chi tiết :

a) Đúng. Phương trình vận tốc của chất điểm tại thời điểm t được xác định bởi công thức $v (t) = \int a (t) d t .$

b) Đúng. Ta có $v (t) = \int a (t) d t = \int (2 t - 7) d t = t^{2} - 7 t + C$ .

$v (0) = 6 \Rightarrow C = 6 \Rightarrow v (t) = t^{2} - 7 t + 6.$

Vậy $v (7) = 7^{2} - 7.7 + 6 = 6$ (m/s).

c) Sai. Độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian $1 \leq t \leq 7$ là:

$S = 7 \int 1 v (t) d t = 7 \int 1 (t^{2} - 7 t + 6) d t = {(\frac{t^{3}}{3} - \frac{7 t^{2}}{2} + 6 t) ∣ ∣}_{1}^{7} = - 18.$

d) Sai. Vị trí của chất điểm so với vị trí ban đầu tại thời điểm t là

$s (t) = \int v (t) d t = \int (t^{2} - 7 t + 6) d t = \frac{t^{3}}{3} - \frac{7 t^{2}}{2} + 6 t + C$

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của s(t) với $t \in [0; 8]$ .

Do s’(t) = v (t) nên $s^{'} (t) = 0 \Leftrightarrow v (t) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} t = 1 t = 6 \end{matrix}$ .

Lại có $s (0) = C$ , $s (1) = \frac{17}{6} + C$ , $s (6) = - 18 + C$ , $s (8) = - \frac{16}{3} + C$ .

Vậy giá trị lớn nhất của s(t) với $t \in [0; 8]$ đạt được khi t = 1.

Câu 2 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết AB = 1, AD = 2 và SA = 3. Xét hệ trục tọa độ Oxyz với O trùng A, các tia Ox, Oy, Oz lần lượt trùng với các tia AB, AD, AS (như hình vẽ).

a) Tọa độ điểm C là (1; 2; 0).

Đúng

Sai

b) $[- - \to S C, - - \to B D] = (6; - 3; 4)$ .

Đúng

Sai

c) Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng SC và song song với đường thẳng BD. Phương trình mặt phẳng (P) là $6 x + 3 y + 4 z - 12 = 0$ .

Đúng

Sai

d) Khoảng cách giữa đường thẳng BD và mặt phẳng $(P)$ bằng $\frac{6}{61}$ .

Đúng

Sai

Đáp án

a) Tọa độ điểm C là (1; 2; 0).

Đúng

Sai

b) $[- - \to S C, - - \to B D] = (6; - 3; 4)$ .

Đúng

Sai

c) Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng SC và song song với đường thẳng BD. Phương trình mặt phẳng (P) là $6 x + 3 y + 4 z - 12 = 0$ .

Đúng

Sai

d) Khoảng cách giữa đường thẳng BD và mặt phẳng $(P)$ bằng $\frac{6}{61}$ .

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Áp dụng các biểu thức tọa độ trong không gian, quy tắc lập phương trình tổng quát của mặt phẳng, công thức tính khoảng cách.

Lời giải chi tiết :

a) Đúng. Có B(1; 0; 0), D(0; 2; 0).

Điểm $C \in (O x y)$ và ABCD là hình chữ nhật nên C(1; 2; 0).

b) Sai. Vì SA = 3 nên S(0; 0; 3).

Ta có $- - \to S C (1; 2; - 3)$ và $- - \to B D (- 1; 2; 0)$ suy ra $[- - \to S C, - - \to B D] = (6; 3; 4)$ .

c) Đúng. Mặt phẳng $(P)$ song song với đường thẳng BD nên ta có $- \to n_{P} = [- - \to S C, - - \to B D] = (6; 3; 4)$ .

Có $S \in (P)$ nên phương trình mặt phẳng $(P) :$ $6 x + 3 y + 4 z - 12 = 0$ .

d) Sai. Có khoảng cách giữa đường thẳng BD và mặt phẳng $(P)$ :

$d (B D, (P)) = d (B, (P)) = \frac{| 6.1 - 12 |}{\sqrt{6^{2} + 3^{2} + 4^{2}}} = \frac{6 \sqrt{61}}{61}$ .

Câu 1 : Cho $0 \leq m \leq 2$ và tích phân $I = \int_{0}^{m} | x - 2 | d x = 2$ . Tìm m.

Phương pháp giải :

Xác định dấu của x - 2 để phá dấu trị tuyệt đối và áp dụng công thức tích phân tìm m.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Do $x \in [0; m] \Rightarrow x - 2 \leq x - m \leq 0$

$\Rightarrow | x - 2 | = 2 - x$ .

Vậy $I = \int_{0}^{m} (2 - x) d x = (2 x - \frac{1}{2} x^{2}) {∣ ∣ ∣}_{0}^{m}$

$= 2 m - \frac{m^{2}}{2} = 2 \Rightarrow m = 2$ .

Câu 2 : Một công ty quảng cáo muốn làm một bức tranh trang trí hình MNEIF ở chính giữa của một bức tường hình chữ nhật ABCD có chiều cao BC = 6 m, chiều dài CD = 12 m (hình vẽ bên). Cho biết MNEF là hình chữ nhật có MN = 4 m, cung EIF có hình dạng là một phần của parabol có đỉnh I là trung điểm của cạnh AB và đi qua 2 điểm C, D. Đơn giá làm bức tranh là 900 000 đồng/ $m^{2}$ . Hỏi công ty đó cần bao nhiêu tiền để làm bức tranh đó (đơn vị: triệu đồng)?

Phương pháp giải :

Gắn hệ trục tọa độ ở vị trí phù hợp.

Từ tọa độ các điểm đồ thị đi qua, lập phương trình parabol.

Áp dụng công thức tính diện tích ứng dụng tích phân.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Gắn hệ trục tọa độ với O là trung điểm của MN, các điểm N, C thuộc tia Ox, đỉnh I thuộc tia Oy.

Parabol có phương trình dạng $y = a x^{2} + b x + c$ (a < 0).

Vì parabol đi qua các điểm I(0; 6), C(6; 0), D(-6; 0) nên ta có:

$⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ \begin{matrix} 6 = a {.0}^{2} + b .0 + c 0 = a {.6}^{2} + b .6 + c 0 = a (- 6)^{2} + b (- 6) + c \end{matrix} \Leftrightarrow ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ \begin{matrix} a = - \frac{1}{6} b = 0 c = 6 \end{matrix} \Rightarrow y = - \frac{1}{6} x^{2} + 6$ .

Diện tích bức tranh là $S = 2 \int - 2 ∣ ∣ - \frac{1}{6} x^{2} + 6 ∣ ∣ d x = 2 \int - 2 (- \frac{1}{6} x^{2} + 6) d x = \frac{208}{9}$ $(m^{2})$ .

Số tiền cần dùng là $\frac{208}{9} .900000 = 20800000$ đồng = 20,8 triệu đồng.

Câu 3 : Một bác thợ gốm làm một cái chậu trồng cây, phần trong chậu cây có dạng khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng được tô đậm như hình sau quanh trục Ox (đơn vị trên trục là decimet), biết đường cong trong hình là đồ thị hàm số $y = \sqrt{x + 1}$ , đáy chậu và miệng chậu có đường kính lần lượt là 2 dm và 4 dm. Dung tích của chậu là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Phương pháp giải :

Từ bán kính đáy chậu và miệng chậu suy ra cận.

Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Với bán kính đáy chậu là 1 dm thì $y = 1 \Rightarrow \sqrt{x + 1} = 1 \Leftrightarrow x = 0$ .

Với bán kính đáy chậu là 2 dm thì $y = 2 \Rightarrow \sqrt{x + 1} = 2 \Leftrightarrow x = 3$ .

Thể tích khối chậu là:

$V = π 3 \int 0 {(\sqrt{x + 1})}^{2} d x = \frac{15 π}{2} \approx 23, 6$ $(d m^{3})$ .

Câu 4 : Hình bên vẽ minh họa mái hiên ABCD song song với mái nhà PQRS trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (mái hiên và mái nhà đều phẳng) có Q(-10; 0; 200), P(-490; 0; 200), R(0; 1600; 0) và A(0; 0; -65). Mặt phẳng (ABCD) có phương trình y + az + 65a = 0. Tìm giá trị của a.

Phương pháp giải :

Tìm vecto pháp tuyến của (PQRS) bằng cách tính tích có hướng $[- - \to P Q, - - \to P R]$ .

Lập phương trình mặt phẳng (PQRS), từ đó lập phương trình (ABCD) song song với (PQRS) và đi qua A.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Ta có $- - \to P Q = (- 10 + 490; 0 - 0; 200 - 200) = (480; 0; 0)$ ;

$- - \to P R = (0 + 490; 1600 - 0; 0 - 200) = (490; 1600; - 200)$ .

$[- - \to P Q, - - \to P R] = (∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 0 1600 & - 200 \end{matrix} ∣ ∣ ∣; ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 480 - 200 & 490 \end{matrix} ∣ ∣ ∣; ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 480 & 0 490 & 1600 \end{matrix} ∣ ∣ ∣) = (0; 96000; 768000)$ .

Suy ra một vecto pháp tuyến của (PQRS) là $- --- \to n_{P Q R S} = \frac{1}{96000} [- - \to P Q, - - \to P R] = (0; 1; 8)$ .

Phương trình mặt phẳng (PQRS) là:

$0 (x - 0) + 1 (y - 1600) + 8 (z - 0) = 0 \Leftrightarrow y + 8 z - 1600 = 0$ .

Vì (ABCD) // (PQRS) nên phương trình của (ABCD) có dạng $y + 8 z + d = 0$ .

A(0;0;-65) thuộc (ABCD) nên $0 + 8. (- 65) + d = 0 \Leftrightarrow d = 520$ .

Vậy (ABCD): $y + 8 z + 520 = 0$ . Suy ra a = 8.

Câu 1 : Tìm đạo hàm của hàm số $F (x) = \sqrt{4 x + 1}$ . Từ đó, tính tích phân $1 \int 0 \frac{1}{\sqrt{4 x + 1}} d x$ .

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức $\int f^{'} (x) d x = f (x) + C$ .

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$F^{'} (x) = \frac{{(4 x + 1)}^{'}}{2 \sqrt{4 x + 1}} = \frac{4}{2 \sqrt{4 x + 1}} = \frac{2}{\sqrt{4 x + 1}} (x \in R)$ .

Do đó: $1 \int 0 \frac{1}{\sqrt{4 x + 1}} d x = 1 \int 0 \frac{1}{2} F^{'} (x) d x = {\frac{1}{2} F (x) ∣ ∣}_{0}^{1} = {\frac{\sqrt{4 x + 1}}{2} ∣ ∣}_{0}^{1}$

$= \frac{\sqrt{4.1 + 1}}{2} - \frac{\sqrt{4.0 + 1}}{2} = \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}$ .

Câu 2 : Người ta truyền nhiệt cho một bình nuôi cấy vi sinh vật từ 1°C. Tốc độ tăng nhiệt độ của bình tại thời điểm 𝑡 phút (0≤ 𝑡 ≤5) được cho bởi hàm số $f (t) = 3 t^{2}$ (°C/phút). Biết rằng nhiệt độ của bình đó tại thời điểm 𝑡 là một nguyên hàm của hàm số $f (t)$ , tìm nhiệt độ của bình tại thời điểm 3 phút kể từ khi truyền nhiệt.

Phương pháp giải :

- Tìm nguyên hàm của hàm số $f (t) = 3 t^{2}$ để xác định nhiệt độ $T (t)$ tại thời điểm $t$ .

- Sử dụng điều kiện ban đầu là nhiệt độ tại thời điểm bắt đầu là $1^{\circ} C$ để tìm hằng số tích phân.

- Tính nhiệt độ tại thời điểm $t = 3$ phút.

Lời giải chi tiết :

Nguyên hàm của hàm số $f (t) = 3 t^{2}$ là:

$T (t) = \int 3 t^{2} d t = t^{3} + C$

trong đó $C$ là hằng số tích phân.

Ta có điều kiện ban đầu là nhiệt độ tại thời điểm t = 0 là $1^{\circ} C$ , do đó:

$T (0) = 0^{3} + C = 1 \Rightarrow C = 1$

Vậy nhiệt độ tại thời điểm $t$ phút là:

$T (t) = t^{3} + 1$

Tính nhiệt độ tại thời điểm $t = 3$ phút:

$T (3) = 3^{3} + 1 = 27 + 1 = 28^{\circ} C$

Câu 3 : Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $(P) : 2 x + 2 y - z + 8 = 0$ và $(Q) : 2 x + 2 y - z + 2 = 0$ .

a) Chứng minh rằng $(P) ∥ (Q)$ .

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ .

Phương pháp giải :

a) Chứng minh hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng cùng phương và một điểm bất kỳ của mặt phẳng này không thuộc mặt phẳng còn lại.

b) Tính khoảng cách của một điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng còn lại.

Lời giải chi tiết :

a) Một vectơ pháp tuyến của (P) là $- \to n_{P} = (2; 2; - 1)$ , một vectơ pháp tuyến của (Q) là $- \to n_{Q} = (2; 2; - 1)$

Suy ra $- \to n_{P} = - \to n_{Q}$ . Mà $8 \neq 2$ do đó $(P) ∥ (Q)$ .

b) Ta có điểm $A (0; 0; 8)$ thuộc mặt phẳng $(P)$ .

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ là $d (A, (Q)) = \frac{| - 8 + 2 |}{\sqrt{4 + 4 + 1}} = 2$ .