Đề thi giữa kì 2 Toán 8 - Đề số 5 - Kết nối tri thức

Câu 1 : Phân thức $\frac{2}{x - 3}$ không có nghĩa khi:

A.
$x = 3$ .
B.
$x > 3$ .
C.
$x < 3$ .
D.
$x \neq 3$ .

Câu 2 : Cho $\frac{{(x + y)}^{2}}{x - y} = \frac{P}{x^{2} - y^{2}}$ . Đa thức P là:

A.
$P = x^{3} - y^{3}$ .
B.
$P = {(x - y)}^{3}$ .
C.
$P = {(x + y)}^{3}$ .
D.
$P = x^{3} + y^{3}$ .

Câu 3 : Rút gọn phân thức $\frac{x^{3} - 2 x^{2}}{2 x^{2} - 4 x}$ ta được

A.
$\frac{- x^{2}}{2}$ .
B.
$\frac{2}{x}$ .
C.
$\frac{x}{2}$ .
D.
$\frac{x^{2} - 2 x}{2 x - 4}$ .

Câu 4 : Thương của hai phân thức $\frac{2 x}{x - 3}$ và $\frac{4 x^{2}}{3 - x}$ là:

A.
$\frac{1}{2 x}$ .
B.
$\frac{- 1}{2 x}$ .
C.
$\frac{3 - x}{2 (x - 3)}$ .
D.
$\frac{8 x^{3}}{{(x - 3)}^{2}}$ .

Câu 5 : Cho hình vẽ sau, giá trị của x là:

A.
2,52.
B.
4,20.
C.
3,78.
D.
9,45.

Câu 6 : Cho ABC có AB = 24cm, AC = 30cm, BC = 36cm . Trên cạnh AB lấy E sao cho AE = 20cm . Trên cạnh AC lấy F sao cho AF = 16cm. Độ dài cạnh EF là

A.
18cm.
B.
20cm.
C.
24cm.
D.
30cm.

Câu 7 : Ông An có một khu vườn, trong đó có miếng đất dạng hình tam giác vuông ABC như hình vẽ bên. Biết M là trung điểm của BC; AC = 40m; AM = 25m. Ông muốn trang trí lại khu vườn của mình nên cần biết khoảng cách từ A đến B. Em hãy giúp ông tính khoảng cách từ A đến B.

A.
25m.
B.
35m.
C.
30m.
D.
40m.

Câu 8 : Cho $Δ A B C ∽ Δ H I K$ , biết $ˆ A = 80^{0}, ˆ B = 25^{0}$ . Khi đó số đo $ˆ K$ bằng

A.
$85^{0}$ .
B.
$50^{0}$ .
C.
$75^{0}$ .
D.
$70^{0}$ .

Câu 1 : 1. Một vườn cây có $x^{2} + 2 x - y^{2} - 2 y$ cây, trong đó có $x^{2} - y^{2}$ cây lấy gỗ còn lại là cây ăn quả.

a) Viết phân thức biểu thị tỉ số cây lấy gỗ và số cây ăn quả.

b) Tính giá trị của phân thức đó tại $x = 100; y = 10$ .

2. Thực hiện phép tính:

a) $\frac{1 - 3 x}{2 x} + \frac{3 x - 2}{2 x - 1} + \frac{3 x - 2}{2 x - 4 x^{2}}$

b) $\frac{x^{2} + x}{5 x^{2} - 10 x + 5} : \frac{3 x + 3}{5 x - 5}$

Câu 2 : Cho các biểu thức $P = \frac{1}{x + 5} + \frac{2}{x - 5} - \frac{2 x + 10}{(x + 5) (x - 5)}$ ; $Q = \frac{x - 4}{x^{2} - 25}$ với $x \neq \pm 5$ .

a) Tính giá trị Q với $x = 6$ .

b) Rút gọn biểu thức P.

c) Đặt $A = \frac{P}{Q}$ . Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.

Câu 3 : Cho hình vẽ bên. Tính chiều dài của cánh buồm?

(Làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 4 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Đường cao AF, BE cắt nhau tại H. Từ A kẻ tia Ax vuông góc với AC, từ B kẻ tia By vuông góc với BC. Tia Ax và By cắt nhau tại K.

a) Tứ giác AHBK là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh $Δ H A E ∽ Δ H B F$ .

c) Chứng minh $C E . C A = C F . C B$ .

d) $Δ A B C$ cần thêm điều kiện gì để tứ giác AHBK là hình thoi.

Câu 5 : Cho a, b, c và x, y, z là các số khác nhau và khác 0. Chứng minh rằng:

Nếu $\frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z} = 0$ và $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ thì $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1$ .

Câu 1 : Phân thức $\frac{2}{x - 3}$ không có nghĩa khi:

A.
$x = 3$ .
B.
$x > 3$ .
C.
$x < 3$ .
D.
$x \neq 3$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Phân thức $\frac{A}{B}$ có nghĩa khi $B \neq 0$ nên phân thức $\frac{A}{B}$ không có nghĩa khi $B = 0$ .

Lời giải chi tiết :

Phân thức $\frac{2}{x - 3}$ có nghĩa khi $x - 3 = 0$ hay $x = 3$ .

Câu 2 : Cho $\frac{{(x + y)}^{2}}{x - y} = \frac{P}{x^{2} - y^{2}}$ . Đa thức P là:

A.
$P = x^{3} - y^{3}$ .
B.
$P = {(x - y)}^{3}$ .
C.
$P = {(x + y)}^{3}$ .
D.
$P = x^{3} + y^{3}$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về hai phân thức bằng nhau.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\frac{{(x + y)}^{2}}{x - y} = \frac{P}{x^{2} - y^{2}}$

Câu 3 : Rút gọn phân thức ta được

A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Thực hiện rút gọn phân thức theo 2 bước:

+ Bước 1: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần).

+ Bước 2: Tìm nhân tử chung của tử và mẫu rồi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó.

Lời giải chi tiết :

Ta có: .

Câu 4 : Thương của hai phân thức và là:

A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng quy tắc chia hai phân thức.

Lời giải chi tiết :

Ta có: .

Câu 5 : Cho hình vẽ sau, giá trị của x là:

A.
2,52.
B.
4,20.
C.
3,78.
D.
9,45.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Dựa vào định lí hai tam giác đồng dạng.

Lời giải chi tiết :

Ta có: MN // BC nên (định lí hai tam giác đồng dạng)

.

Câu 6 : Cho ABC có AB = 24cm, AC = 30cm, BC = 36cm . Trên cạnh AB lấy E sao cho AE = 20cm . Trên cạnh AC lấy F sao cho AF = 16cm. Độ dài cạnh EF là

A.
18cm.
B.
20cm.
C.
24cm.
D.
30cm.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Chứng minh suy ra tỉ số đồng dạng.

Lời giải chi tiết :

Xét và có:

chung

Câu 7 : Ông An có một khu vườn, trong đó có miếng đất dạng hình tam giác vuông ABC như hình vẽ bên. Biết M là trung điểm của BC; AC = 40m; AM = 25m. Ông muốn trang trí lại khu vườn của mình nên cần biết khoảng cách từ A đến B. Em hãy giúp ông tính khoảng cách từ A đến B.

A.
25m.
B.
35m.
C.
30m.
D.
40m.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác để tính BC, định lí Pythagore để tính AB.

Lời giải chi tiết :

Vì tam giác ABC vuông tại A và M là trung điểm của BC nên AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác ABC.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông ABC, ta có:

Câu 8 : Cho , biết . Khi đó số đo bằng

A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng đặc điểm của hai tam giác đồng dạng.

Lời giải chi tiết :

Vì nên

.

Câu 1 : 1. Một vườn cây có cây, trong đó có cây lấy gỗ còn lại là cây ăn quả.

a) Viết phân thức biểu thị tỉ số cây lấy gỗ và số cây ăn quả.

b) Tính giá trị của phân thức đó tại .

2. Thực hiện phép tính:

a)

b)

Phương pháp giải :

1. Sử dụng quy tắc trừ đa thức để tính số cây ăn quả.

a) Viết phân thức có số cây lấy gỗ là tử và số cây ăn quả là mẫu.

b) Thay x = 100 và y = 10 vào phân thức để tính giá trị.

2. Sử dụng các quy tắc tính với phân thức để tính.

Lời giải chi tiết :

1. Số cây ăn quả là:

a) Phân thức biểu thị tỉ số cây lấy gỗ và số cây ăn quả là: .

b) Ta có: .

Thay vào phân thức ta được: .

2.

a) (ĐK: )

b) (ĐK: )

Câu 2 : Cho các biểu thức ; với .

a) Tính giá trị Q với .

b) Rút gọn biểu thức P.

c) Đặt . Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.

Phương pháp giải :

a) Kiểm tra điều kiện của x, nếu thỏa mãn thì thay giá trị của x vào Q để tính Q.

b) Sử dụng các quy tắc tính với phân thức để rút gọn P.

c) Tính . Để A nguyên thì tử thức chia hết cho mẫu thức.

Lời giải chi tiết :

a) Ta có x = 6 thỏa mãn điều kiện nên thay x = 6 vào Q, ta được:

Vậy với .

b) Ta có:

Vậy .

c) Ta có:

.

Để A nguyên thì là số nguyên hay suy ra Ư(1); Ư(1) = .

Với x – 4 = 1 thì x = 5 (không thỏa mãn)

Với x – 4 = -1 thì x = 3 (thỏa mãn)

Vậy với x = 3 thì A nguyên.

Câu 3 : Cho hình vẽ bên. Tính chiều dài của cánh buồm?

(Làm tròn đến hàng phần trăm).

Phương pháp giải :

Áp dụng Định lí Pythagore để tính chiều dài của cánh buồm.

Lời giải chi tiết :

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:

Vậy chiều dài cánh buồm là 6,6.

Câu 4 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Đường cao AF, BE cắt nhau tại H. Từ A kẻ tia Ax vuông góc với AC, từ B kẻ tia By vuông góc với BC. Tia Ax và By cắt nhau tại K.

a) Tứ giác AHBK là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh .

c) Chứng minh .

d) cần thêm điều kiện gì để tứ giác AHBK là hình thoi.

Phương pháp giải :

a) Chứng minh AHBK có hai cặp cạnh đối song song nên là hình bình hành.

b) Chứng minh theo trường hợp góc – góc.

c) Chứng minh (g.g) để chứng minh .

d) Gọi D là giao điểm KH và AB

Để tứ giác AHBK là hình thoi thì KH vuông góc AB

Ta có: H là trực tâm CH vuông góc AB

C, H, D thẳng hàng CD là đường cao và D là trung điểm của AB CD cũng là đường trung tuyến

Tam giác ABC cân tại C

Lời giải chi tiết :

a) Ta có:

Xét tứ giác AHBK có:

AHBK là hình bình hành.

b) Xét và có:

(hai góc đối đỉnh)

(g.g) (đpcm)

c) Xét và có:

chung

(đpcm)

d) Gọi D là giao điểm của AB và HK D là trung điểm của AB và HK.

Để AHBK là hình thoi thì .

Mà H trực tâm của tam giác ABC nên .

C, H, K thẳng hàng hay C, H, D thẳng hàng.

Khi đó CD là đường cao của tam giác ABC.

Mà D là trung điểm của AB nên CD cũng là đường trung tuyến của tam giác ABC

Tam giác ABC cân tại C.

Vậy để AHBK là hình thoi thì tam giác ABC cân tại C.

Câu 5 : Cho a, b, c và x, y, z là các số khác nhau và khác 0. Chứng minh rằng:

Nếu và thì .

Phương pháp giải :

Biến đổi và để có đpcm.

Sử dụng hằng đẳng thức nâng cao: .

Lời giải chi tiết :

Ta có:

Ta lại có:

Ta được điều phải chứng minh.