Đề thi giữa kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức - Đề số 10

Câu 1 : Rút gọn biểu thức $\frac{5 x^{2} - 10 x y}{2 {(x - 2 y)}^{3}}$ được kết quả bằng

A.

$\frac{5 x}{2 {(x - 2 y)}^{2}}$ .
B.

$\frac{5 x y}{2 {(x - 2 y)}^{2}}$ .
C.

$\frac{5 x}{{(x - 2 y)}^{2}}$ .
D.

$\frac{5}{2 {(x - 2 y)}^{2}}$ .

Câu 2 : Phân thức đối của phân thức $\frac{- 2 y}{5 x^{3}}$ là:

A.

$- \frac{2 y}{5 x^{3}}$ .
B.

$\frac{2 y}{5 x^{3}}$ .
C.

$- \frac{5 x^{3}}{2 y}$ .
D.

$\frac{5 x^{3}}{2 y}$ .

Câu 3 : Mẫu thức chung của hai phân thức $\frac{3}{2 x^{3} y^{4}}$ và $\frac{4}{5 x^{4} y^{3}}$ là

A.

$10 x^{4} y^{4}$ .
B.

$10 x^{4} y^{3}$ .
C.

$10 x^{3} y^{3}$ .
D.

$x^{4} y^{4}$ .

Câu 4 : Kết quả rút gọn của biểu thức $\frac{x^{2} + 4 x + 4}{9 - {(x + 5)}^{2}}$ bằng

A.

$\frac{x + 2}{8 - x}$ .
B.

$\frac{- x - 2}{x + 8}$ .
C.

$\frac{x + 2}{x - 8}$ .
D.

$\frac{x + 2}{x + 8}$ .

Câu 5 : Kết quả của phép tính $\frac{x y^{2}}{x y} + \frac{x^{2} y}{x y}$ bằng

A.

${(x y)}^{2}$ .
B.

$x y$ .
C.

$2 x y^{2}$ .
D.

$x + y$ .

Câu 6 : Phân thức $K (x)$ thỏa mãn $K (x) : \frac{x}{4 - x} = \frac{4 - x}{2}$ là

A.

$\frac{4 - x}{x - 2}$ .
B.

$\frac{2}{x}$ .
C.

$\frac{x}{2}$ .
D.

$\frac{x - 2}{4}$ .

Câu 7 : Cho $Δ G H I ∽ Δ F E I$ có các kính thước như hình vẽ, khi đó tỉ số độ dài của $x$ và $y$ bằng:

A.

6.
B.

2.
C.

3.
D.

$\frac{1}{2}$ .

Câu 8 : Cho hình thang vuông ABCD ( $\hat{A} = \hat{D} = 90^{\circ}$ ) có $D B ⊥ B C$ , AB = 4cm, CD = 9cm. Độ dài đoạn thẳng BD là:

A.

6cm.
B.

8cm.
C.

9cm.
D.

12cm.

Câu 9 : Ngọn hải đăng Lý Sơn (thuộc tỉnh Quảng Ngãi) cao 45m. Một con tàu đậu cách chân ngọn hải đăng 60m. Khoảng cách từ tàu đến đỉnh ngọn hải đăng là

A.

75m.
B.

105m.
C.

85m.
D.

55m.

Câu 10 : Cho tam giác $A B C$ , điểm $M$ thuộc cạnh $B C$ sao cho $\frac{M B}{M C} = \frac{1}{2}$ . Đường thẳng đi qua $M$ và song song với $A C$ cắt $A B$ ở $D$ . Đường thẳng đi qua $M$ và song song với $A B$ cắt $A C$ ở $E$ . Tỉ số chu vi hai tam giác $Δ D B M$ và $Δ E M C$ là

A.

$\frac{2}{3}$ .
B.

$\frac{1}{2}$ .
C.

$\frac{1}{4}$ .
D.

$\frac{1}{3}$ .

Câu 11 : Cho $Δ A B C$ và $Δ M N P$ có: $\hat{A} = \hat{M} = 90^{\circ}$ . Để kết luận $Δ A B C ∽ Δ M N P$ theo trường hợp cạnh huyền – cạnh góc vuông thì cần có thêm điều kiện nào sau đây

A.

$\hat{B} = \hat{N}$ .
B.

$\frac{A B}{M N} = \frac{A C}{M P}$ .
C.

$\frac{A B}{M N} = \frac{B C}{N P}$ .
D.

$\frac{A B}{M N} = \frac{B C}{M P}$ .

Câu 12 : Trong các hình sau hình nào có 2 hình đồng dạng

A.

Hình 1.
B.

Hình 2.
C.

Hình 3.
D.

Hình 4.

Câu 1 : Cho biểu thức $A = (\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + x} + \frac{2}{x + 1}) : \frac{{(x + 1)}^{2}}{2 x}$ với $x \neq 0; x \neq - 1$ .

a) Rút gọn biểu thức A ta được kết quả $A = - \frac{2}{x + 1}$ .

Đúng

Sai

b) Khi $x = - 1$ thì giá trị biểu thức là 2.

Đúng

Sai

c) Biểu thức $A = 1$ khi $x = 1$ .

Đúng

Sai

d) Để $A \in Z$ thì $x \in {- 3; - 2; 1; 0}$ .

Đúng

Sai

Câu 2 : Cho $Δ A B C$ có AB = 2cm, AC = 4cm. Qua B dựng đường thẳng cắt AC tại D sao cho $\hat{A B D} = \hat{A C B}$ . Gọi AH là đường cao của $Δ A B C$ , AE là đường cao của $Δ A B D$ .

a) $Δ A B D ∽ Δ A C B$ .

Đúng

Sai

b) $\hat{A D B} = \hat{A B C}$ .

Đúng

Sai

c) $A D = 0, 5 c m, D C = 3, 5 c m$ .

Đúng

Sai

d) $S_{Δ A B H} = 4 S_{Δ A D E}$ .

Đúng

Sai

Câu 1 : Cho phân thức $H (x)$ thỏa mãn $\frac{x}{3 - x} - H (x) = \frac{2}{3 - x}$ . Giá trị của $H (x)$ tại $x = 2$ là.

Đáp án:

Câu 2 : Biết cái cây có chiều cao $C D = 5 m$ và khoảng cách $A C = 32 m$ , $E C = 8 m$ . Chiều cao $A B$ của ngôi nhà là …m.

Đáp án:

Câu 3 : Một chiếc ti vi 24 inch có nghĩa là đường chéo màn hình của nó có độ dài là 24 inch (inch: đơn vị đo độ dài sử dụng ở nước Anh và một số nước khác, 1 inch $\approx$ 2,54cm). Biết một ti vi màn hình phẳng có chiều dài, chiều rộng của màn hình lần lượt là 14,8 inch và 11,8 inch thì tivi đó thuộc loại bao nhiêu inch? (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)

Đáp án:

Câu 4 : Tổng các giá trị của y để biểu thức $\frac{1 + y^{2} + \frac{1}{y}}{2 + \frac{1}{y}}$ bằng 1 là

Đáp án:

Câu 1 : a) Thực hiện phép tính: $\frac{1}{2 (x + 3)} + \frac{3}{2 x (x + 3)}$ .

b) Tìm đa thức A thỏa mãn $\frac{A}{x - 2} = \frac{2 x^{3} + 4 x^{2}}{x^{2} - 4}$ , $x \neq \pm 2$ .

Câu 2 : Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

a) Chứng minh $Δ A B C ∽ Δ H B A$ .

b) Tia phân giác của góc AHC cắt AC tại D. Chứng minh $\frac{H B}{H C} = \frac{A D^{2}}{D C^{2}}$ .

Câu 3 : Một người tiến hành đo khoảng cách từ điểm A bên này sông đến điểm B bên kia sông như hình vẽ sau. Người đó vạch trên bờ sông một đường thẳng d đi qua A và vuông góc với đường thẳng AB, sau đó xác định hai điểm C và D sao cho $\hat{A C B} = 50^{\circ}$ và $\hat{A D C} = 40^{\circ}$ . Người đó đo được $A C = 12, 25 m; A D = 16 m$ . Tính khoảng cách AB.

Câu 1 : Rút gọn biểu thức $\frac{5 x^{2} - 10 x y}{2 {(x - 2 y)}^{3}}$ được kết quả bằng

A.

$\frac{5 x}{2 {(x - 2 y)}^{2}}$ .
B.

$\frac{5 x y}{2 {(x - 2 y)}^{2}}$ .
C.

$\frac{5 x}{{(x - 2 y)}^{2}}$ .
D.

$\frac{5}{2 {(x - 2 y)}^{2}}$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Chia cả tử và mẫu thức của biểu thức cho nhân tử chung.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\frac{5 x^{2} - 10 x y}{2 {(x - 2 y)}^{3}} = \frac{5 x (x - 2 y)}{2 {(x - 2 y)}^{3}} = \frac{5 x}{2 {(x - 2 y)}^{2}}$

Đáp án A

Câu 2 : Phân thức đối của phân thức $\frac{- 2 y}{5 x^{3}}$ là:

A.

$- \frac{2 y}{5 x^{3}}$ .
B.

$\frac{2 y}{5 x^{3}}$ .
C.

$- \frac{5 x^{3}}{2 y}$ .
D.

$\frac{5 x^{3}}{2 y}$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Phân thức đối của phân thức $\frac{A}{B}$ là $- \frac{A}{B}$ .

Lời giải chi tiết :

Phân thức đối của phân thức $\frac{- 2 y}{5 x^{3}}$ là $- (\frac{- 2 y}{5 x^{3}}) = \frac{2 y}{5 x^{3}}$ .

Đáp án B

Câu 3 : Mẫu thức chung của hai phân thức $\frac{3}{2 x^{3} y^{4}}$ và $\frac{4}{5 x^{4} y^{3}}$ là

A.

$10 x^{4} y^{4}$ .
B.

$10 x^{4} y^{3}$ .
C.

$10 x^{3} y^{3}$ .
D.

$x^{4} y^{4}$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+ Phân tích mẫu thức của mỗi phân thức đã cho thành nhân tử

+ Mẫu thức chung cần tìm là một tích mà các nhân tử được chọn như sau:

* Nhân tử bằng số của mẫu thức chung là tích các nhân tử bằng số của các mẫu dương ở Bước 1 (nếu các nhân tử bằng số của các mẫu thức là các số nguyên dương thì nhân tử bằng số của mẫu thức chung là BCNN của chúng);

* Với mỗi lũy thừa của cùng một biểu thức có mặt trong các mẫu thức, ta chọn lũy thừa có số mũ cao nhất.

Lời giải chi tiết :

Mẫu thức chung của hai phân thức $\frac{3}{2 x^{3} y^{4}}$ và $\frac{4}{5 x^{4} y^{3}}$ là: $10 x^{4} y^{4}$ .

Đáp án A

Câu 4 : Kết quả rút gọn của biểu thức $\frac{x^{2} + 4 x + 4}{9 - {(x + 5)}^{2}}$ bằng

A.

$\frac{x + 2}{8 - x}$ .
B.

$\frac{- x - 2}{x + 8}$ .
C.

$\frac{x + 2}{x - 8}$ .
D.

$\frac{x + 2}{x + 8}$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Phân tích tử thức, mẫu thức thành nhân tử sử dụng hằng đẳng thức sau đó chia cà tử và mẫu cho nhân tử chung.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\begin{array}{l} \frac{x^{2} + 4 x + 4}{9 - {(x + 5)}^{2}} = \frac{{(x + 2)}^{2}}{(3 - x - 5) (3 + x + 5)} \\ = \frac{{(x + 2)}^{2}}{(- x - 2) (x + 8)} = \frac{{(x + 2)}^{2}}{- (x + 2) (x + 8)} = \frac{- x - 2}{x + 8} \end{array}$

Đáp án B

Câu 5 : Kết quả của phép tính $\frac{x y^{2}}{x y} + \frac{x^{2} y}{x y}$ bằng

A.

${(x y)}^{2}$ .
B.

$x y$ .
C.

$2 x y^{2}$ .
D.

$x + y$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng quy tắc cộng hai phân thức cùng mẫu: $\frac{A}{B} + \frac{C}{B} = \frac{A + C}{B}$ .

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\frac{x y^{2}}{x y} + \frac{x^{2} y}{x y} = \frac{x y^{2} + x^{2} y}{x y} = \frac{x y (y + x)}{x y} = x + y$ .

Đáp án D

Câu 6 : Phân thức $K (x)$ thỏa mãn $K (x) : \frac{x}{4 - x} = \frac{4 - x}{2}$ là

A.

$\frac{4 - x}{x - 2}$ .
B.

$\frac{2}{x}$ .
C.

$\frac{x}{2}$ .
D.

$\frac{x - 2}{4}$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Chuyển vế để tìm K(x).

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\begin{array}{l} K (x) : \frac{x}{4 - x} = \frac{4 - x}{2} \\ K (x) = \frac{4 - x}{2} . \frac{x}{4 - x} \\ K (x) = \frac{(4 - x) . x}{2 (4 - x)} \\ K (x) = \frac{x}{2} \end{array}$

Đáp án C

Câu 7 : Cho $Δ G H I ∽ Δ F E I$ có các kính thước như hình vẽ, khi đó tỉ số độ dài của $x$ và $y$ bằng:

A.

6.
B.

2.
C.

3.
D.

$\frac{1}{2}$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Dựa vào hai tam giác đồng dạng suy ra tỉ lệ giữa các cạnh tương ứng của hai tam giác đó.

Lời giải chi tiết :

$Δ G H I ∽ Δ F E I$ nên $\frac{H I}{I E} = \frac{G H}{E F}$

Thay số: $\frac{x}{y} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ .

Đáp án D

Câu 8 : Cho hình thang vuông ABCD ( $\hat{A} = \hat{D} = 90^{\circ}$ ) có $D B ⊥ B C$ , AB = 4cm, CD = 9cm. Độ dài đoạn thẳng BD là:

A.

6cm.
B.

8cm.
C.

9cm.
D.

12cm.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Chứng minh $Δ A B D ∽ Δ B D C$ suy ra tỉ lệ giữa các cặp cạnh tương ứng, biến đổi để tính BD.

Lời giải chi tiết :

Xét $Δ A B D$ và $Δ B D C$ có:

$\hat{B A D} = \hat{D B C} (= 90^{\circ})$

$\hat{A B D} = \hat{B D C}$ (hai góc so le trong)

nên $Δ A B D ∽ Δ B D C$ (g.g)

suy ra $\frac{A B}{B D} = \frac{B D}{C D}$ , do đó $B D^{2} = A B . C D = 4.9 = 36$

suy ra $B D = \sqrt{36} = 6 (c m)$ .

Đáp án A

Câu 9 : Ngọn hải đăng Lý Sơn (thuộc tỉnh Quảng Ngãi) cao 45m. Một con tàu đậu cách chân ngọn hải đăng 60m. Khoảng cách từ tàu đến đỉnh ngọn hải đăng là

A.

75m.
B.

105m.
C.

85m.
D.

55m.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A.

Lời giải chi tiết :

Khoảng cách từ tàu đến đỉnh ngọn hải đăng là độ dài đoạn BC trong hình vẽ.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:

$B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} = 45^{2} + 60^{2}$

Suy ra $B C = \sqrt{45^{2} + 60^{2}} = 75 (m)$

Đáp án A

Câu 10 : Cho tam giác $A B C$ , điểm $M$ thuộc cạnh $B C$ sao cho $\frac{M B}{M C} = \frac{1}{2}$ . Đường thẳng đi qua $M$ và song song với $A C$ cắt $A B$ ở $D$ . Đường thẳng đi qua $M$ và song song với $A B$ cắt $A C$ ở $E$ . Tỉ số chu vi hai tam giác $Δ D B M$ và $Δ E M C$ là

A.

$\frac{2}{3}$ .
B.

$\frac{1}{2}$ .
C.

$\frac{1}{4}$ .
D.

$\frac{1}{3}$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng định lí hai tam giác đồng dạng để chứng minh $Δ B D M ∽ Δ B A C, Δ C E M ∽ Δ C A B$ , suy ra $Δ B D M ∽ Δ M E C$ .

Tỉ số chu vi của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số các cạnh tương ứng của hai tam giác đồng dạng đó.

Lời giải chi tiết :

Vì DM // AC nên $Δ B D M ∽ Δ B A C$ (định lí hai tam giác đồng dạng)

Vì ME // AC nên $Δ C E M ∽ Δ C A B$ (định lí hai tam giác đồng dạng)

Suy ra $Δ B D M ∽ Δ M E C$ .

Do đó $\frac{B D}{M E} = \frac{B M}{M C} = \frac{D M}{E C} = \frac{1}{2}$ .

Do đó $\frac{C_{Δ B D M}}{C_{Δ M E C}} = \frac{1}{2}$ .

Đáp án B

Câu 11 : Cho $Δ A B C$ và $Δ M N P$ có: $\hat{A} = \hat{M} = 90^{\circ}$ . Để kết luận $Δ A B C ∽ Δ M N P$ theo trường hợp cạnh huyền – cạnh góc vuông thì cần có thêm điều kiện nào sau đây

A.

$\hat{B} = \hat{N}$ .
B.

$\frac{A B}{M N} = \frac{A C}{M P}$ .
C.

$\frac{A B}{M N} = \frac{B C}{N P}$ .
D.

$\frac{A B}{M N} = \frac{B C}{M P}$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Trường hợp cạnh huyền – cạnh góc vuông: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

Lời giải chi tiết :

Để $Δ A B C ∽ Δ M N P (\hat{A} = \hat{M} = 90^{\circ})$ theo trường hợp cạnh huyền – cạnh góc vuông thì ta cần thêm điều kiện $\frac{A B}{M N} = \frac{B C}{N P}$ hoặc $\frac{A C}{M P} = \frac{B C}{N P}$ .

Vậy đáp án C đúng.

Đáp án C

Câu 12 : Trong các hình sau hình nào có 2 hình đồng dạng

A.

Hình 1.
B.

Hình 2.
C.

Hình 3.
D.

Hình 4.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về hai hình đồng dạng:

+ Hai hình H, H’ được gọi là đồng dạng nếu có hình H1 đồng dạng phối cảnh với hình H và bằng hình H’.

+ Hình H đồng dạng với hình H’ nếu hình H’ bằng H hoặc bằng một hình phóng to hoặc thu nhỏ của H.

Lời giải chi tiết :

Cặp hình trong hình 1 là hai hình đồng dạng.

Đáp án A

Câu 1 : Cho biểu thức $A = (\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + x} + \frac{2}{x + 1}) : \frac{{(x + 1)}^{2}}{2 x}$ với $x \neq 0; x \neq - 1$ .

a) Rút gọn biểu thức A ta được kết quả $A = - \frac{2}{x + 1}$ .

Đúng

Sai

b) Khi $x = - 1$ thì giá trị biểu thức là 2.

Đúng

Sai

c) Biểu thức $A = 1$ khi $x = 1$ .

Đúng

Sai

d) Để $A \in Z$ thì $x \in {- 3; - 2; 1; 0}$ .

Đúng

Sai

Đáp án

a) Rút gọn biểu thức A ta được kết quả $A = - \frac{2}{x + 1}$ .

Đúng

Sai

b) Khi $x = - 1$ thì giá trị biểu thức là 2.

Đúng

Sai

c) Biểu thức $A = 1$ khi $x = 1$ .

Đúng

Sai

d) Để $A \in Z$ thì $x \in {- 3; - 2; 1; 0}$ .

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

a) Sử dụng các quy tắc tính toán với phân thức.

b) Kiểm tra xem $x = - 1$ có thoả mãn điều kiện không, nếu có, thay $x = - 1$ vào A.

c) Từ $A = 1$ giải để tìm x.

d) Để A nguyên thì $\frac{k}{g (x)}$ nguyên, hay $k ⋮ g (x)$ .

Lập bảng để tìm các giá trị của x.

Lời giải chi tiết :

a) Sai

Ta có:

$A = (\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + x} + \frac{2}{x + 1}) : \frac{{(x + 1)}^{2}}{2 x}$ với $x \neq 0; x \neq - 1$

$\begin{array}{l} = [\frac{x^{2} + 1}{x (x + 1)} + \frac{2 x}{x (x + 1)}] . \frac{2 x}{{(x + 1)}^{2}} \\ = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x (x + 1)} . \frac{2 x}{{(x + 1)}^{2}} \\ = \frac{{(x + 1)}^{2} .2 x}{x {(x + 1)}^{3}} \\ = \frac{2}{x + 1} \end{array}$

b) Sai

Vì $x = - 1$ không thoả mãn điều kiện xác định nên ta không tính được giá trị của A.

c) Đúng

Ta có:

$\begin{array}{l} A = 1 \\ \frac{2}{x + 1} = 1 \\ x + 1 = 2 \\ x = 2 - 1 \\ x = 1 \end{array}$

Vậy $x = 1$ thì $A = 1$ .

d) Sai

Để $A \in Z$ thì $\frac{2}{x + 1}$ nguyên, hay $(x + 1) \in$ Ư $(2) = {- 2; - 1; 1; 2}$ .

Ta có bảng giá trị sau:

Vậy $x = {- 3; - 2; 1}$ thì A có giá trị nguyên.

Đáp án: SSĐS

Câu 2 : Cho $Δ A B C$ có AB = 2cm, AC = 4cm. Qua B dựng đường thẳng cắt AC tại D sao cho $\hat{A B D} = \hat{A C B}$ . Gọi AH là đường cao của $Δ A B C$ , AE là đường cao của $Δ A B D$ .

a) $Δ A B D ∽ Δ A C B$ .

Đúng

Sai

b) $\hat{A D B} = \hat{A B C}$ .

Đúng

Sai

c) $A D = 0, 5 c m, D C = 3, 5 c m$ .

Đúng

Sai

d) $S_{Δ A B H} = 4 S_{Δ A D E}$ .

Đúng

Sai

Đáp án

a) $Δ A B D ∽ Δ A C B$ .

Đúng

Sai

b) $\hat{A D B} = \hat{A B C}$ .

Đúng

Sai

c) $A D = 0, 5 c m, D C = 3, 5 c m$ .

Đúng

Sai

d) $S_{Δ A B H} = 4 S_{Δ A D E}$ .

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

a) Sử dụng trường hợp đồng dạng góc – góc.

b) Từ hai tam giác đồng dạng suy ra các góc tương ứng bằng nhau.

c) Từ hai tam giác đồng dạng tỉ lệ giữa các cạnh tương ứng.

d) Chứng minh $Δ A B H ∽ Δ A D E$ suy ra tỉ số đồng dạng k của hai tam giác.

Tỉ số đồng dạng của diện tích hai tam giác bằng $k^{2}$ .

Lời giải chi tiết :

a) Đúng

Xét $Δ A B D$ và $Δ A C B$ có:

$\hat{A B D} = \hat{A C B}$ (chung)

$\hat{A}$ chung

suy ra $Δ A B D ∽ Δ A C B$ (g.g)

b) Đúng

Vì $Δ A B D ∽ Δ A C B$ (ý a) nên $\hat{A D B} = \hat{A B C}$ (2 góc tương ứng)

c) Sai

Vì $Δ A B D ∽ Δ A C B$ nên $\frac{A B}{A C} = \frac{A D}{A B}$

Thay số $\frac{2}{4} = \frac{A D}{2}$ , suy ra $A D = \frac{2.2}{4} = 1 (c m)$ .

Do đó $D C = A C - A D = 4 - 1 = 3 (c m)$ .

d) Đúng

Ta có: $\hat{A D B} = \hat{A B C}$ (ý b), hay $\hat{A D E} = \hat{A B H}$ .

Xét $Δ A B H$ và $Δ A D E$ có:

$\hat{A H B} = \hat{A E D} (= 90^{\circ})$

$\hat{A D E} = \hat{A B H}$ (cmt)

suy ra $Δ A B H ∽ Δ A D E$ (g.g)

Suy ra $\frac{A E}{A H} = \frac{D E}{B H} = \frac{A B}{A D} = \frac{2}{1} = 2 = k$ .

Do đó $\frac{S_{Δ A B H}}{S_{Δ A D E}} = k^{2} = 2^{2} = 4$ . Suy ra $S_{Δ A B H} = 4 S_{Δ A D E}$ .

Đáp án: ĐĐSĐ

Câu 1 : Cho phân thức $H (x)$ thỏa mãn $\frac{x}{3 - x} - H (x) = \frac{2}{3 - x}$ . Giá trị của $H (x)$ tại $x = 2$ là.

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

Sử dụng quy tắc chuyển vế và trừ hai phân thức cùng mẫu để tính $H (x)$ .

Sau đó thay $x = 2$ (kiểm tra điều kiện của $H (x)$ ) vào phân thức $H (x)$ .

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\begin{array}{l} \frac{x}{3 - x} - H (x) = \frac{2}{3 - x} \\ H (x) = \frac{x}{3 - x} - \frac{2}{3 - x} \\ H (x) = \frac{x - 2}{3 - x} \end{array}$

ĐKXĐ của $H (x)$ là $x \neq 3$ .

Thay $x = 2$ (TM) vào $H (x)$ , ta được:

$H (2) = \frac{2 - 2}{3 - 2} = 0$ .

Đáp án: 0

Câu 2 : Biết cái cây có chiều cao $C D = 5 m$ và khoảng cách $A C = 32 m$ , $E C = 8 m$ . Chiều cao $A B$ của ngôi nhà là …m.

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

Từ đề bài xác định được độ dài các đoạn thẳng tương ứng.

Sử dụng định lí hai tam giác đồng dạng để chứng minh $Δ C D E ∽ Δ A B E$ .

Từ đó biểu diễn tỉ lệ giữa các cạnh tương ứng để tính AB.

Lời giải chi tiết :

Vì cái cây và ngôi nhà cùng vuông góc với mặt đất nên chúng song song với nhau nên CD // AB.

Do đó $Δ C D E ∽ Δ A B E$ (định lí hai tam giác bằng nhau)

Suy ra $\frac{C E}{A E} = \frac{C D}{A B}$ hay $\frac{C E}{A C + C E} = \frac{C D}{A B}$

Thay số: $\frac{8}{32 + 8} = \frac{5}{A B}$ , suy ra $A B = 5 : \frac{8}{32 + 8} = 25 (m)$

Vậy chiều cao $A B$ của ngôi nhà là 25m.

Đáp án: 25

Câu 3 : Một chiếc ti vi 24 inch có nghĩa là đường chéo màn hình của nó có độ dài là 24 inch (inch: đơn vị đo độ dài sử dụng ở nước Anh và một số nước khác, 1 inch $\approx$ 2,54cm). Biết một ti vi màn hình phẳng có chiều dài, chiều rộng của màn hình lần lượt là 14,8 inch và 11,8 inch thì tivi đó thuộc loại bao nhiêu inch? (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông để tính được đường chéo của tam giác vuông.

Lời giải chi tiết :

Giả sử ta có tam giác ABC với chiều rộng AB = 11,8 inch, chiều dài AC = 14,8 inch.

Khi đó đường chéo của tam giác ABC là:

$B C = \sqrt{A B^{2} + A C^{2}} = \sqrt{11, 8^{2} + 14, 8^{2}} \approx 19 (i n c h)$

Vậy tivi đó thuộc loại 19 inch.

Đáp án: 19

Câu 4 : Tổng các giá trị của y để biểu thức $\frac{1 + y^{2} + \frac{1}{y}}{2 + \frac{1}{y}}$ bằng 1 là

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

Viết biểu thức bằng 1 rồi giải để tìm các giá trị y thoả mãn.

Lời giải chi tiết :

$\frac{1 + y^{2} + \frac{1}{y}}{2 + \frac{1}{y}}$ (ĐKXĐ: $y \neq 0$ , $y \neq - \frac{1}{2}$ )

Ta có: $\frac{1 + y^{2} + \frac{1}{y}}{2 + \frac{1}{y}} = 1$

$\begin{array}{l} 1 + y^{2} + \frac{1}{y} = 2 + \frac{1}{y} \\ 1 + y^{2} + \frac{1}{y} - 2 - \frac{1}{y} = 0 \\ y^{2} - 1 = 0 \\ y^{2} = 1 \\ y = \pm 1 \end{array}$

Vậy tổng các giá trị của y để biểu thức $\frac{1 + y^{2} + \frac{1}{y}}{2 + \frac{1}{y}}$ bằng 1 là: $- 1 + 1 = 0$

Đáp án: 0

Câu 1 : a) Thực hiện phép tính: $\frac{1}{2 (x + 3)} + \frac{3}{2 x (x + 3)}$ .

b) Tìm đa thức A thỏa mãn $\frac{A}{x - 2} = \frac{2 x^{3} + 4 x^{2}}{x^{2} - 4}$ , $x \neq \pm 2$ .

Phương pháp giải :

a) Sử dụng quy tắc cộng hai phân thức khác mẫu:

- Quy đồng mẫu thức

- Cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức

- Rút gọn phân thức (nếu cần).

b) Rút gọn biểu thức ở vế trái, khi đó ta sẽ tìm được đa thức A.

Lời giải chi tiết :

a) Ta có:

$\begin{array}{l} \frac{1}{2 (x + 3)} + \frac{3}{2 x (x + 3)} \\ = \frac{x}{2 x (x + 3)} + \frac{3}{2 x (x + 3)} \\ = \frac{x + 3}{2 x (x + 3)} \\ = \frac{1}{2 x} \end{array}$

b) Ta có:

$\frac{A}{x - 2} = \frac{2 x^{3} + 4 x^{2}}{x^{2} - 4}$

$\begin{array}{l} \frac{A}{x - 2} = \frac{2 x^{2} (x + 2)}{(x + 2) (x - 2)} \\ \frac{A}{x - 2} = \frac{2 x^{2}}{x - 2} \end{array}$

suy ra $A = 2 x^{2}$ .

Câu 2 : Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

a) Chứng minh $Δ A B C ∽ Δ H B A$ .

b) Tia phân giác của góc AHC cắt AC tại D. Chứng minh $\frac{H B}{H C} = \frac{A D^{2}}{D C^{2}}$ .

Phương pháp giải :

a) Chứng minh $Δ A B C ∽ Δ H B A$ theo trường hợp góc – góc.

b) Chứng minh $Δ A H C ∽ Δ B H A (g . g)$ , suy ra tỉ lệ giữa các cạnh tương ứng, từ đó ta có: $A H^{2} = H B . H C$

Nhân cả hai vế với HC và biểu diễn tỉ lệ thức tạo thành: $\frac{H B}{H C} = \frac{A H^{2}}{H C^{2}}$ .

Sử dụng tính chất của đường phân giác trong tam giác, ta có: $\frac{A H}{H C} = \frac{A D}{D C}$ (HD là đường phân giác của tam giác AHC)

Kết hợp ta được điều phải chứng minh.

Lời giải chi tiết :

a) Xét $Δ A B C$ và $Δ H B A$ , ta có:

$\begin{array}{l} \hat{A} = \hat{H} (= 90^{\circ}) \\ \hat{B} c h u n g \end{array}$

Suy ra $Δ A B C ∽ Δ H B A (g . g)$ .

c) Xét $Δ A H C$ và $Δ B H A$ có:

$\hat{A H C} = \hat{B H A} (= 90^{\circ})$

$\hat{C A H} = \hat{A B H}$ (cùng phụ với $\hat{C}$ )

Suy ra $Δ A H C ∽ Δ B H A (g . g)$

Do đó $\frac{A H}{H C} = \frac{H B}{A H}$

suy ra $A H^{2} = H B . H C$

Nhân cả hai vế với HC, ta được:

$A H^{2} . H C = H B . H C^{2}$

Do đó $\frac{H B}{H C} = \frac{A H^{2}}{H C^{2}}$

Mà HD là đường phân giác của tam giác AHC nên $\frac{A H}{H C} = \frac{A D}{D C}$

Do đó $\frac{H B}{H C} = \frac{A D^{2}}{D C^{2}}$ (đpcm).

Câu 3 : Một người tiến hành đo khoảng cách từ điểm A bên này sông đến điểm B bên kia sông như hình vẽ sau. Người đó vạch trên bờ sông một đường thẳng d đi qua A và vuông góc với đường thẳng AB, sau đó xác định hai điểm C và D sao cho $\hat{A C B} = 50^{\circ}$ và $\hat{A D C} = 40^{\circ}$ . Người đó đo được $A C = 12, 25 m; A D = 16 m$ . Tính khoảng cách AB.

Phương pháp giải :

Sử dụng định lí tổng 3 góc trong một tam giác bằng $180^{\circ}$ suy ra $\hat{B} = 90^{\circ}$ .

Chứng minh $Δ A B C ∽ Δ A D B (g . g)$ , suy ra tỉ lệ đồng dạng giữa các cạnh tương ứng, từ đó tính AB.

Lời giải chi tiết :

Xét tam giác ABC có $\hat{B} = 180^{\circ} - (\hat{C} + \hat{D}) = 180^{\circ} - (50^{\circ} + 40^{\circ}) = 90^{\circ}$

Xét $Δ A B C$ và $Δ A D B$ có:

$\hat{C A B} = \hat{B A D} (= 90^{\circ})$

$\hat{C} = \hat{A B D}$ (cùng phụ với $\hat{D}$ )

nên $Δ A B C ∽ Δ A D B (g . g)$

suy ra $\frac{A B}{A D} = \frac{A C}{A B}$

Do đó $A B^{2} = A D . A C$

Suy ra $A B = \sqrt{A D . A C} = \sqrt{16.12, 25} = 14$

Vậy khoảng cách AB là 14m.