Đề thi học kì 1 Toán 10 Cánh diều - Đề số 14
Đề bài
Câu 1 : Phủ định của mệnh đề: “∀x∈R:x2+1>0” là
-
A.
“∀x∈R:x2+1=0”.
-
B.
“∃x∈R:x2+1≤0”.
-
C.
“∃x∈R:x2+1>0”.
-
D.
“∀x∈R:x2+1<0”.
Câu 2 : Cho hai tập hợp A và B. Sơ đồ ven phần bị gạch dưới đây mô tả phép tập hợp nào?
-
A.
CAB.
-
B.
A∖B.
-
C.
A∪B.
-
D.
A∩B.
Câu 3 : Cho hệ phương trình {x+3y−2≥02x+y+1≤0. Trong các điểm sau, điểm nào thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho?
-
A.
N(−1;1).
-
B.
M(0;1).
-
C.
P(1;3).
-
D.
Q(−1;0).
Câu 4 : Bạn Hoa tiết kiệm được 420 nghìn đồng. Trong đợt ủng hộ đồng bào bị lũ lụt thiệt hại do bão Yagi vừa qua, Hoa đã ủng hộ x tờ tiền loại 10 nghìn đồng và y tờ tiền loại 20 nghìn đồng. Bất phương trình nào dưới đây thể hiện số tờ tiền 10 nghìn và 20 nghìn mà bạn Hoa có thể ủng hộ.
-
A.
x+2y<420.
-
B.
x+2y≤420.
-
C.
x+2y≤42.
-
D.
x+2y≥42.
Câu 5 : Cho △ABC có ˆB=60o, BC=8, AB=5. Độ dài cạnh AC bằng
-
A.
129.
-
B.
49.
-
C.
7.
-
D.
√129.
Câu 6 : Cho tam giác ABC có a = 4, b = 6, c = 8 Khi đó diện tích tam giác bằng
-
A.
3√15.
-
B.
9√15.
-
C.
2√15.
-
D.
2√153.
Câu 7 : Quan sát ròng rọc hoạt động khi dùng lực để kéo một đầu của ròng rọc. Chuyển động của các đoạn dây được mô tả bằng các vectơ ⃗a,⃗b,⃗c (hình vẽ). Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau.
-
A.
⃗c và ⃗b là hai vectơ cùng phương.
-
B.
⃗c và ⃗b là hai vectơ cùng hướng.
-
C.
⃗a và ⃗c là hai vectơ cùng hướng.
-
D.
⃗a và ⃗b là hai vectơ cùng phương.
Câu 8 : Rút gọn biểu thức →AB−→MB+→MC+→CD−→ED có kết quả là:
-
A.
→AC.
-
B.
→AE.
-
C.
→AD.
-
D.
→AM.
Câu 9 : Tập xác định của hàm số y=x+3x−4 là
-
A.
R∖{3}.
-
B.
R∖{−4}.
-
C.
R∖{4}.
-
D.
R∖{−3}.
Câu 10 : Hàm số nào sau đây là hàm số bậc hai?
-
A.
y=x2−2x+1.
-
B.
y=x−12x+3.
-
C.
y=−x3−x+3.
-
D.
√x2−x+3.
Câu 11 : Tam thức nào sau đây nhận giá trị không âm với mọi x∈R ?
-
A.
x2−x−5.
-
B.
2x2+x.
-
C.
−x2−x−1.
-
D.
x2+x+1.
Câu 12 : Tập nghiệm của bất phương trình x2−x−6≤0 là
-
A.
(−∞;−2]∪[3;+∞).
-
B.
(−2;3).
-
C.
[−2;3].
-
D.
(−∞;−2)∪(3;+∞).
Câu 1 : Cho tam giác ABC. Gọi I là điểm nằm trên cạnh BC sao cho BI = 3IC. Gọi K là điểm nằm trên cạnh AB sao cho 2AK = 3KB.
a) →AI=14→AB+34→AC.
b) →AI−→CI=→CA.
c) →BK⋅→BI=−310.AB.BC.cosˆABC.
d) →IB và →IC cùng hướng.
Câu 2 : Quan sát đồ thị hàm số bậc hai y=f(x)=ax2+bx+c ở hình vẽ sau:
Khi đó, các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Parabol có toạ độ đỉnh I(2; -1), trục đối xứng x = 2.
b) Khi x∈(−∞;1)∪(3;+∞) thì f(x) > 0.
c) Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;2); nghịch biến trên khoảng (2;+∞).
d) Hệ số a > 0.
Câu 1 : Cho tập hợp A={x∈R|(65x−31)(x2+1)≤0}. Khi đó, tập hợp A∩N có tất cả bao nhiêu phần tử?
Câu 2 : Một cột điện cao 20 m được dựng thẳng trên một triền dốc nghiêng hợp với phương ngang một góc 17o, đáy cột nằm theo phương ngang với điểm cuối dốc. Người ta nối một dây cáp từ đỉnh cột điện đến cuối dốc. Tìm chiều dài của dây cáp biết rằng đoạn đường từ đáy cột đến cuối dốc bằng 72 m. (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Câu 3 : Một công ty, trong một tháng cần sản xuất ít nhất 12 viên kim cương to và 9 viên kim cương nhỏ. Từ một tấn cacbon loại 1 (giá 100 triệu đồng) có thể chiết xuất được 5 viên kim cương to và 3 viên kim cương nhỏ, từ một tấn cacbon loại 2 (giá 40 triệu đồng) có thể chiết xuất được 2 viên kim cương to và 3 viên kim cương nhỏ. Mỗi viên kim cương to giá 20 triệu đồng, mỗi viên kim cương nhỏ giá 10 triệu đồng. Hỏi mỗi tháng công ty lãi được nhiều nhất bao nhiêu triệu đồng? Biết mỗi tháng chỉ sử dụng tối đa 4 tấn cacbon mỗi loại và tổng số tiền mua cacbon không vượt quá 500 triệu đồng.
Câu 4 : Cho ba lực −→F1=−−→MA, −→F2=−−→MB, −→F3=−−→MC cùng tác động vào một vật tại điểm M và vật đứng yên (tham khảo hình vẽ). Cho biết cường độ của −→F1, −→F2 đều bằng 100√2 N và góc ˆAMB=90o. Tính cường độ của lực −→F3 (đơn vị N).
Lời giải và đáp án
Câu 1 : Phủ định của mệnh đề: “∀x∈R:x2+1>0” là
-
A.
“∀x∈R:x2+1=0”.
-
B.
“∃x∈R:x2+1≤0”.
-
C.
“∃x∈R:x2+1>0”.
-
D.
“∀x∈R:x2+1<0”.
Đáp án : B
Phủ định của mệnh đề “∀x∈R: A” là “∃x∈R: Không phải A”.
Phủ định của mệnh đề “∀x∈R:x2+1>0” là “∃x∈R:x2+1≤0”.
Câu 2 : Cho hai tập hợp A và B. Sơ đồ ven phần bị gạch dưới đây mô tả phép tập hợp nào?
-
A.
CAB.
-
B.
A∖B.
-
C.
A∪B.
-
D.
A∩B.
Đáp án : C
Áp dụng lý thuyết về hợp, giao, phần bù, hiêu của hai tập hợp.
Sơ đồ Ven phần bị gạch mô tả tập hợp A∪B.
Câu 3 : Cho hệ phương trình {x+3y−2≥02x+y+1≤0. Trong các điểm sau, điểm nào thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho?
-
A.
N(−1;1).
-
B.
M(0;1).
-
C.
P(1;3).
-
D.
Q(−1;0).
Đáp án : A
Thay tọa độ từng điểm vào hệ đã cho, nếu thỏa mãn thì điểm đó thuộc miền nghiệm của hệ đó.
Ta thấy {−1+3.1−2=0≥02.(−1)+1+1=0≤0 (thỏa mãn) nên N(-1;1) thuộc miền nghiệm của hệ.
Câu 4 : Bạn Hoa tiết kiệm được 420 nghìn đồng. Trong đợt ủng hộ đồng bào bị lũ lụt thiệt hại do bão Yagi vừa qua, Hoa đã ủng hộ x tờ tiền loại 10 nghìn đồng và y tờ tiền loại 20 nghìn đồng. Bất phương trình nào dưới đây thể hiện số tờ tiền 10 nghìn và 20 nghìn mà bạn Hoa có thể ủng hộ.
-
A.
x+2y<420.
-
B.
x+2y≤420.
-
C.
x+2y≤42.
-
D.
x+2y≥42.
Đáp án : C
Lập bất phương trình thể hiện số tiền Hoa ủng hộ dựa theo giả thiết.
Với x tờ 10 nghìn đồng, Hoa ủng hộ được 10x nghìn đồng.
Với y tờ 20 nghìn đồng, Hoa ủng hộ được 20y nghìn đồng.
Vì Hoa tiết kiệm được 420 nghìn đồng nên số tiền ủng hộ không vượt quá 420 nghìn đồng.
Do đó, ta có bất phương trình 10x+20y≤420 hay x+2y≤42.
Câu 5 : Cho △ABC có ˆB=60o, BC=8, AB=5. Độ dài cạnh AC bằng
-
A.
129.
-
B.
49.
-
C.
7.
-
D.
√129.
Đáp án : C
Áp dụng định lí cosin: AC=√AB2+BC2−2AB.BC.cosABC.
AC=√AB2+BC2−2AB.BC.cosABC
=√52+82−2.5.8.cos60o=7.
Câu 6 : Cho tam giác ABC có a = 4, b = 6, c = 8 Khi đó diện tích tam giác bằng
-
A.
3√15.
-
B.
9√15.
-
C.
2√15.
-
D.
2√153.
Đáp án : A
Áp dụng công thức Heron: S=√p(p−a)(p−b)(p−c).
p=a+b+c2=4+6+82=9.
S=√p(p−a)(p−b)(p−c)
=√9(9−4)(9−6)(9−8)=3√15.
Câu 7 : Quan sát ròng rọc hoạt động khi dùng lực để kéo một đầu của ròng rọc. Chuyển động của các đoạn dây được mô tả bằng các vectơ ⃗a,⃗b,⃗c (hình vẽ). Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau.
-
A.
⃗c và ⃗b là hai vectơ cùng phương.
-
B.
⃗c và ⃗b là hai vectơ cùng hướng.
-
C.
⃗a và ⃗c là hai vectơ cùng hướng.
-
D.
⃗a và ⃗b là hai vectơ cùng phương.
Đáp án : B
Quan sát hình vẽ và trả lời.
⃗c và ⃗b là hai vectơ ngược hướng nên mệnh đề ở đáp án B sai.
Câu 8 : Rút gọn biểu thức →AB−→MB+→MC+→CD−→ED có kết quả là:
-
A.
→AC.
-
B.
→AE.
-
C.
→AD.
-
D.
→AM.
Đáp án : B
Áp dụng quy tắc ba điểm.
−−→AB−−−→MB+−−→MC+−−→CD−−−→ED=−−→AB+−−→BM+−−→MC+−−→CD+−−→DE=−−→AE.
Câu 9 : Tập xác định của hàm số y=x+3x−4 là
-
A.
R∖{3}.
-
B.
R∖{−4}.
-
C.
R∖{4}.
-
D.
R∖{−3}.
Đáp án : C
Điều kiện để hàm phân thức xác định là mẫu thức khác 0.
Tập xác định của hàm số y=x+3x−4 là R∖{4}.
Câu 10 : Hàm số nào sau đây là hàm số bậc hai?
-
A.
y=x2−2x+1.
-
B.
y=x−12x+3.
-
C.
y=−x3−x+3.
-
D.
√x2−x+3.
Đáp án : A
Hàm số bậc hai có dạng y=ax2+bx+c.
y=x2−2x+1 là hàm số bậc hai.
Câu 11 : Tam thức nào sau đây nhận giá trị không âm với mọi x∈R ?
-
A.
x2−x−5.
-
B.
2x2+x.
-
C.
−x2−x−1.
-
D.
x2+x+1.
Đáp án : D
Áp dụng quy tắc xét dấu tam thức bậc hai.
x2+x+1=0 vô nghiệm và hệ số a = 1 > 0 nên x2+x+1>0 với mọi x∈R.
Câu 12 : Tập nghiệm của bất phương trình x2−x−6≤0 là
-
A.
(−∞;−2]∪[3;+∞).
-
B.
(−2;3).
-
C.
[−2;3].
-
D.
(−∞;−2)∪(3;+∞).
Đáp án : C
Áp dụng quy tắc "trong trái ngoài cùng".
x2−x−6≤0⇔−2≤x≤3.
Câu 1 : Cho tam giác ABC. Gọi I là điểm nằm trên cạnh BC sao cho BI = 3IC. Gọi K là điểm nằm trên cạnh AB sao cho 2AK = 3KB.
a) →AI=14→AB+34→AC.
b) →AI−→CI=→CA.
c) →BK⋅→BI=−310.AB.BC.cosˆABC.
d) →IB và →IC cùng hướng.
a) →AI=14→AB+34→AC.
b) →AI−→CI=→CA.
c) →BK⋅→BI=−310.AB.BC.cosˆABC.
d) →IB và →IC cùng hướng.
Áp dụng các phép toán vecto.
a) Đúng. Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó:
−→AI=−−→AM+−−→MI=12−−→AB+12−−→AC+14−−→BC
=12−−→AB+12−−→AC+14−−→BA+14−−→AC=14−−→AB+34−−→AC.
b) Sai. −→AI−−→CI=−→AI+−→IC=−−→AC.
c) Sai. −−→BK⋅−→BI=35−−→BA.34−−→BC=920.BA.BC.cosˆABC.
d) Sai. I nằm giữa B, C nên −→IB và −→IC ngược hướng.
Câu 2 : Quan sát đồ thị hàm số bậc hai y=f(x)=ax2+bx+c ở hình vẽ sau:
Khi đó, các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Parabol có toạ độ đỉnh I(2; -1), trục đối xứng x = 2.
b) Khi x∈(−∞;1)∪(3;+∞) thì f(x) > 0.
c) Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;2); nghịch biến trên khoảng (2;+∞).
d) Hệ số a > 0.
a) Parabol có toạ độ đỉnh I(2; -1), trục đối xứng x = 2.
b) Khi x∈(−∞;1)∪(3;+∞) thì f(x) > 0.
c) Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;2); nghịch biến trên khoảng (2;+∞).
d) Hệ số a > 0.
Quan sát đặc điểm của đồ thị và trả lời.
a) Đúng. Parabol có toạ độ đỉnh I(2; -1), trục đối xứng x = 2.
b) Đúng. Khi x∈(−∞;1)∪(3;+∞) thì đồ thị nằm phía trên của trục hoành, do đó f(x) > 0.
c) Sai. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;2); đồng biến trên khoảng (2;+∞).
d) Đúng. Đồ thị có bề lõm hướng lên trên nên hệ số a > 0.
Câu 1 : Cho tập hợp A={x∈R|(65x−31)(x2+1)≤0}. Khi đó, tập hợp A∩N có tất cả bao nhiêu phần tử?
Giải bất phương trình rồi tìm giao (phần chung) của hai tập hợp.
Do x2+1>0, ∀x∈R nên bất phương trình: (65x−31)(x2+1)≤0⇔65x−31≤0⇔x≤1556.
Do đó A=(−∞;1556]⇒A∩N={0;1;2;...;25}.
Vậy A∩N có 26 phần tử.
Câu 2 : Một cột điện cao 20 m được dựng thẳng trên một triền dốc nghiêng hợp với phương ngang một góc 17o, đáy cột nằm theo phương ngang với điểm cuối dốc. Người ta nối một dây cáp từ đỉnh cột điện đến cuối dốc. Tìm chiều dài của dây cáp biết rằng đoạn đường từ đáy cột đến cuối dốc bằng 72 m. (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Áp dụng định lí cosin.
Ta coi đáy cọc là điểm B, chân dốc là điểm A, cột điện được chôn tại điểm C như hình vẽ dưới đây.
Ta có ˆACD=90o+17o=107o.
Trong tam giác ABC vuông tại B có AC=ABcos17o≈75,3 m.
Áp dụng định lý cosin trong tam giác ACD, ta có:
AD2=AC2+CD2−2.AC.CD.cosACD
≈75,32+202−2.75,3.20.cos107o≈6950,7.
⇒AD≈83,4 (m).
Câu 3 : Một công ty, trong một tháng cần sản xuất ít nhất 12 viên kim cương to và 9 viên kim cương nhỏ. Từ một tấn cacbon loại 1 (giá 100 triệu đồng) có thể chiết xuất được 5 viên kim cương to và 3 viên kim cương nhỏ, từ một tấn cacbon loại 2 (giá 40 triệu đồng) có thể chiết xuất được 2 viên kim cương to và 3 viên kim cương nhỏ. Mỗi viên kim cương to giá 20 triệu đồng, mỗi viên kim cương nhỏ giá 10 triệu đồng. Hỏi mỗi tháng công ty lãi được nhiều nhất bao nhiêu triệu đồng? Biết mỗi tháng chỉ sử dụng tối đa 4 tấn cacbon mỗi loại và tổng số tiền mua cacbon không vượt quá 500 triệu đồng.
Ứng dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải.
Gọi x, y (tấn) lần lượt là số tấn cacbon loại 1 và loại 2 sử dụng mỗi tháng,
Số viên kim cương loại to là 5x + 2y.
Số viên kim cương loại nhỏ là 3x + 3y.
Tổng số tiền mua cacbon là 100x + 40y.
Số tiền thu vào từ bán kim cương là 20(5x + 2y) + 10(3x + 3y) = 130x + 70y.
Ta có hệ bất phương trình: ⎧⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩x,y≥0x≤4y≤4100x+40y≤5005x+2y≥123x+3y≥9
Miền nghiệm của bất phương trình là ngũ giác ABCDEG, trong đó tọa độ các đỉnh là A(3; 0), B(2; 1), C(45;4), D(175;4), E(4;52), G(4; 0).
Số tiền lãi mỗi tháng là f(x; y) = 30x + 30y.
Tại điểm D(175;4) ta có f(175;4)=222 là giá trị lớn nhất. Vậy mỗi tháng công ty lãi nhiều nhất là 222 triệu đồng.
Câu 4 : Cho ba lực −→F1=−−→MA, −→F2=−−→MB, −→F3=−−→MC cùng tác động vào một vật tại điểm M và vật đứng yên (tham khảo hình vẽ). Cho biết cường độ của −→F1, −→F2 đều bằng 100√2 N và góc ˆAMB=90o. Tính cường độ của lực −→F3 (đơn vị N).
Áp dụng quy tắc hình bình hành.
Gọi D là điểm để tứ giác MADB là hình vuông.
Theo bài ra ta có ∣∣∣−→F3∣∣∣=∣∣∣−→F1+−→F2∣∣∣=∣∣∣−−→MA+−−→MB∣∣∣
=∣∣∣−−→MD∣∣∣=100√2.√2=200 N.
Tách vectơ và đưa về các vectơ chung gốc (gốc A).
Biến đổi vế trái (*) ta có:
−−→AB.−−→CD+−−→AC.−−→DB+−−→AD.−−→BC
=−−→AB.(−−→AD−−−→AC)+−−→AC.(−−→AB−−−→AD)+−−→AD.(−−→AC−−−→AB)
=−−→AB.−−→AD−−−→AB.−−→AC+−−→AB.−−→AC−−−→AC.−−→AD+−−→AC.−−→AD−−−→AB.−−→AD=0 = VP (*) (ĐPCM)
Bình phương hai vế, sau khi giải ra nghiệm thì thay vào phương trình gốc để kiểm tra.
√x2−4x+3=√1−x⇒x2−4x+3=1−x
⇔x2−3x+2=0⇔[x=1x=2
Thử lại ta thấy chỉ x=1 là nghiệm của phương trình.
Vậy tập nghiệm của phương trình là S={1}.
Bước 1: Từ giả thiết lập bất phương trình.
Bước 2: Giải bất phương trình vừa tìm được.
15 triệu đồng = 15000 nghìn đồng.
Từ giả thiết bài toán ta có bất phương trình:
p(x)≥15000⇔−30x2+2100x−15000≥15000
⇒−30x2+2100x−30000≥0.
Xét tam thức f(x)=−30x2+2100x−30000 có Δ=810000>0, có hai nghiệm phân biệt là x1=20,x2=50 và a=−30<0.
Ta có bảng xét dấu như sau:
Nếu muốn lợi nhuận không dưới 15 triệu đồng một tháng thì giá bán trung bình của các món ăn cần nằm trong khoảng 20 đến 50 nghìn đồng.