Đề thi học kì 1 Toán 10 Cánh diều - Đề số 15

Câu 1 : Mệnh đề phủ định của P: " $\forall x \in R, x^{2} > 0$ " là

A.

$\bar{P}$ : " $\exists x \in R, x^{2} \leq 0$ ".
B.

$\bar{P}$ : " $\exists x \in R, x^{2} < 0$ ".
C.

$\bar{P}$ : " $\forall x \in R, x^{2} \leq 0$ ".
D.

$\bar{P}$ : " $\forall x \in R, x^{2} < 0$ ".

Câu 2 : Cho $A, B$ là hai tập hợp được minh họa như hình vẽ bên. Phần không bị gạch trong hình vẽ là tập hợp nào sau đây?

A.

$A \cup B$ .
B.

$A \cap B$ .
C.

$B ∖ A$ .
D.

$A ∖ B$ .

Câu 3 : Miền nghiệm của hệ bất phương trình ${\begin{cases} 3 - y < 0 \\ 2 x - 3 y + 1 > 0 \end{cases}$ chứa điểm nào sau đây?

A.

$A (3; 4)$ .
B.

$B (4; 3)$ .
C.

$C (7; 4)$ .
D.

$D (4; 4) .$

Câu 4 : Bạn Hoa làm một bài thi giữa kỳ I môn Toán. Đề thi gồm 35 câu hỏi trắc nghiệm và 3 câu hỏi tự luận. Khi làm đúng mỗi câu trắc nghiệm được 0,2 điểm, làm đúng mỗi câu tự luận được 1 điểm. Giả sử bạn Hoa làm đúng x câu trắc nghiệm, y câu tự luận. Viết bất phương trình bậc nhất 2 ẩn x, y để đảm bảo bạn Hoa được ít nhất 9 điểm.

A.

$x + 0, 2 y \leq 9.$ .
B.

$0, 2 x + y \leq 9$ .
C.

$0, 2 x + y \geq 9$ .
D.

$x + 0, 2 y > 9$ .

Câu 5 : Cho tam giác ABC có $\hat{A B C} = 45^{o}$ , $\hat{A C B} = 60^{o}$ và AB = 3. Tính AC.

A.

$A C = \sqrt{6}$ .
B.

$A C = 3 \sqrt{2}$ .
C.

$A C = 6$ .
D.

$A C = 2 \sqrt{3}$ .

Câu 6 : Cho $Δ A B C$ có diện tích $S = 20 \sqrt{3}$ , chu vi bằng 20. Độ dài bán kính đường tròn nội tiếp r của tam giác ABC là

A.

$3$ .
B.

$2 \sqrt{3}$ .
C.

$\sqrt{3}$ .
D.

$2$ .

Câu 7 : Cho tam giác ABC đều. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC. Cặp vectơ nào sau đây cùng hướng?

A.

$\vec{M A}$ và $\vec{M B}$ .
B.

$\vec{M N}$ và $\vec{C B}$ .
C.

$\vec{A B}$ và $\vec{M B}$ .
D.

$\vec{A N}$ và $\vec{C A}$ .

Câu 8 : Cho ba điểm I, A, B được biểu diễn như hình vẽ sau:

Khẳng định nào sau đây đúng?

A.

$\vec{I B} = \frac{3}{2} \vec{I A} .$
B.

$\vec{I B} = - \frac{3}{5} \vec{I A} .$
C.

$\vec{I B} = \frac{3}{5} \vec{I A} .$
D.

$\vec{I B} = - \frac{2}{3} \vec{I A} .$

Câu 9 : Tập xác định của hàm số $y = \frac{1}{x} + \sqrt{3 - x}$ là

A.

$(- \infty; 3]$ .
B.

$[3; + \infty)$ .
C.

$R ∖ {0}$ .
D.

$(- \infty; 3] ∖ {0}$ .

Câu 10 : Hàm số nào dưới đây là hàm số bậc hai?

A.

$y = (x^{2} - 4 x + 1) (x + 2)$ .
B.

$y = \frac{2 x}{x + 2}$ .
C.

$y = - 2 x^{2} + 3 x + 1$ .
D.

$y = 3 x + 5$ .

Câu 11 : Cho tam thức bậc hai $f (x) = a x^{2} + b x + c$ $(a \neq 0)$ , $Δ = b^{2} - 4 a c$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.

Nếu $Δ < 0$ thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số b, với mọi $x \in R$ .
B.

Nếu $Δ > 0$ thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, với mọi $x \in R$ .
C.

Nếu $Δ = 0$ thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, với mọi $x \in R ∖ {- \frac{b}{2 a}}$ .
D.

Nếu $Δ < 0$ thì f(x) luôn trái dấu với hệ số a, với mọi $x \in R$ .

Câu 12 : Tập nghiệm của bất phương trình $- x^{2} + x + 12 \geq 0$ là

A.

$(- \infty; - 3] \cup [4; + \infty)$ .
B.

$\emptyset$ .
C.

$(- \infty; - 4] \cup [3; + \infty)$ .
D.

$[- 3; 4]$ .

Câu 1 : Cho tam giác ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Gọi G là giao điểm của AM và BN. Các khẳng định sau đây là đúng hay sai?

$C:\Users\USER\Desktop\Capture 1.PNG$

a) $\vec{G A} + \vec{G B} = 2 \vec{G C}$ .

Đúng

Sai

b) $\vec{A P} + \frac{1}{2} \vec{B C} = \vec{N A}$ .

Đúng

Sai

c) $| \vec{A G} | = 3 | \vec{M G} |$ .

Đúng

Sai

d) $\vec{M B} + \vec{M C} = \vec{0}$ .

Đúng

Sai

Câu 2 : Cho hàm số $y = f (x) = a x^{2} + b x + c$ $(a \neq 0)$ (P) có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

a) Trục đối xứng của đồ thị hàm số là y = 2.

Đúng

Sai

b) Hàm số đồng biến trong khoảng $(- 1; + \infty)$ .

Đúng

Sai

c) Tọa độ đỉnh I của parabol (P) nằm trên đường thẳng $3 x + y - 5 = 0$ .

Đúng

Sai

d) Hệ số a > 0.

Đúng

Sai

Câu 1 : Cho các tập hợp $A = [m - 1; 2 m + 1)$ và $B = (- 2; 3)$ với $A \neq \emptyset$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để $A \subset B$ ?

Câu 2 : Trong một cuộc đua thuyền ghe được tổ chức trên sông, hai ghe A và B ở vị trí như hình vẽ. Điểm K là vị trí khán giả đứng xem và quan sát thấy ghe A và ghe B theo các góc tạo với bờ IK lần lượt là $50^{o}$ và $65^{o}$ . Điểm I là đích đến của cuộc đua, cách K một khoảng 380 mét. Vị trí ghe A, ghe B và đích I nằm trên một đường thẳng tạo với bờ IK một góc bằng $60^{o}$ . Tính khoảng cách giữa hai ghe thuyền (đơn vị: mét, làm tròn đến hàng đơn vị).

Câu 3 : Gia đình chị Minh dự định trồng rau và hoa trên một mảnh đất có diện tích 8 ha. Nếu trồng 1 ha rau thì cần 20 ngày công và thu lợi 3 triệu đồng. Nếu trồng 1 ha hoa thì cần 30 ngày công và thu lợi 4 triệu đồng. Biết rằng, gia đình chị Minh chỉ có thể sử dụng không quá 180 ngày công cho công việc trồng rau và hoa. Hỏi từ việc trồng rau và hoa nói trên, chị Minh có thể thu về lợi nhuận cao nhất là bao nhiêu triệu đồng?

Câu 4 : Ba lực $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}, \vec{F_{3}}$ tác động vào vật M như hình vẽ, làm vật đứng yên. Biết cường độ của các lực $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}$ lần lượt là 10 N, 20 N. Tính cường độ của lực $\vec{F_{3}}$ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Câu 1 : Một dòng sông chảy từ phía bắc xuống phía nam với vận tốc là 10 km/h. Một chiếc ca nô chuyển động từ phía đông sang phía tây với vận tốc 40 km/h so với mặt nước. Tìm vận tốc của ca nô so với bờ sông.

Câu 2 : Giải phương trình $\sqrt{2 x - 1} = \sqrt{x^{2} + 4 x - 4}$ .

Câu 3 : Lợi nhuận thu được từ việc sản xuất và bán x sản phẩm thủ công của một cửa hàng là:

$I (x) = - 0, 1 x^{2} + 235 x - 70000$

Với I được tính bằng đơn vị nghìn đồng. Với số lượng sản phẩm bán ra là bao nhiêu thì cửa hàng có lãi?

Câu 1 : Mệnh đề phủ định của P: " $\forall x \in R, x^{2} > 0$ " là

A.

$\bar{P}$ : " $\exists x \in R, x^{2} \leq 0$ ".
B.

$\bar{P}$ : " $\exists x \in R, x^{2} < 0$ ".
C.

$\bar{P}$ : " $\forall x \in R, x^{2} \leq 0$ ".
D.

$\bar{P}$ : " $\forall x \in R, x^{2} < 0$ ".

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Mệnh đề phủ định của P: " $\forall x \in R, P (x) > a$ " là $\bar{P}$ : " $\exists x \in R, P (x) \leq a$ ".

Lời giải chi tiết :

Mệnh đề phủ định của P: " $\forall x \in R, x^{2} > 0$ " là $\bar{P}$ : " $\exists x \in R, x^{2} \leq 0$ ".

Câu 2 : Cho $A, B$ là hai tập hợp được minh họa như hình vẽ bên. Phần không bị gạch trong hình vẽ là tập hợp nào sau đây?

A.

$A \cup B$ .
B.

$A \cap B$ .
C.

$B ∖ A$ .
D.

$A ∖ B$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

M\N là tập hợp gồm các phần tử thuộc M mà không thuộc N.

Lời giải chi tiết :

Phần không bị gạch là B\A.

Câu 3 : Miền nghiệm của hệ bất phương trình ${\begin{cases} 3 - y < 0 \\ 2 x - 3 y + 1 > 0 \end{cases}$ chứa điểm nào sau đây?

A.

$A (3; 4)$ .
B.

$B (4; 3)$ .
C.

$C (7; 4)$ .
D.

$D (4; 4) .$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Thay tọa độ từng điểm vào hệ, nếu thỏa mãn hệ thì điểm đó thuộc miền nghiệm.

Lời giải chi tiết :

Thấy ${\begin{cases} 3 - 4 = - 1 < 0 \\ 2.7 - 3.4 + 1 = 13 > 0 \end{cases}$ thỏa mãn hệ nên điểm C(7;4) thuộc miền nghiệm của hệ.

Câu 4 : Bạn Hoa làm một bài thi giữa kỳ I môn Toán. Đề thi gồm 35 câu hỏi trắc nghiệm và 3 câu hỏi tự luận. Khi làm đúng mỗi câu trắc nghiệm được 0,2 điểm, làm đúng mỗi câu tự luận được 1 điểm. Giả sử bạn Hoa làm đúng x câu trắc nghiệm, y câu tự luận. Viết bất phương trình bậc nhất 2 ẩn x, y để đảm bảo bạn Hoa được ít nhất 9 điểm.

A.

$x + 0, 2 y \leq 9.$ .
B.

$0, 2 x + y \leq 9$ .
C.

$0, 2 x + y \geq 9$ .
D.

$x + 0, 2 y > 9$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Từ giả thiết, lập bất phương trình.

Lời giải chi tiết :

$0, 2 x + y \geq 9.$

Câu 5 : Cho tam giác ABC có $\hat{A B C} = 45^{o}$ , $\hat{A C B} = 60^{o}$ và AB = 3. Tính AC.

A.

$A C = \sqrt{6}$ .
B.

$A C = 3 \sqrt{2}$ .
C.

$A C = 6$ .
D.

$A C = 2 \sqrt{3}$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Áp dụng định lí sin.

Lời giải chi tiết :

$\frac{A C}{\sin B} = \frac{A B}{\sin C} \Leftrightarrow A C = \frac{A B \sin B}{\sin C} = \frac{3. \sin 45^{o}}{\sin 60^{o}} = \sqrt{6}$ .

Câu 6 : Cho $Δ A B C$ có diện tích $S = 20 \sqrt{3}$ , chu vi bằng 20. Độ dài bán kính đường tròn nội tiếp r của tam giác ABC là

A.

$3$ .
B.

$2 \sqrt{3}$ .
C.

$\sqrt{3}$ .
D.

$2$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức $S = p r$ .

Lời giải chi tiết :

$S = p r \Leftrightarrow r = \frac{S}{p} = \frac{20 \sqrt{3}}{10} = 2 \sqrt{3}$ .

Câu 7 : Cho tam giác ABC đều. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC. Cặp vectơ nào sau đây cùng hướng?

A.

$\vec{M A}$ và $\vec{M B}$ .
B.

$\vec{M N}$ và $\vec{C B}$ .
C.

$\vec{A B}$ và $\vec{M B}$ .
D.

$\vec{A N}$ và $\vec{C A}$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Vẽ hình, quan sát và nhận xét.

Lời giải chi tiết :

Ta thấy $\vec{A B}$ và $\vec{M B}$ cùng hướng.

Câu 8 : Cho ba điểm I, A, B được biểu diễn như hình vẽ sau:

Khẳng định nào sau đây đúng?

A.

$\vec{I B} = \frac{3}{2} \vec{I A} .$
B.

$\vec{I B} = - \frac{3}{5} \vec{I A} .$
C.

$\vec{I B} = \frac{3}{5} \vec{I A} .$
D.

$\vec{I B} = - \frac{2}{3} \vec{I A} .$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Dựa vào tỉ số đoạn thẳng và hướng của hai vecto để xác định.

Lời giải chi tiết :

Ta có $I B = \frac{3}{5} I A$ và $\vec{I B}$ cùng chiều $\vec{I A}$ nên $\vec{I B} = \frac{3}{5} \vec{I A}$ .

Câu 9 : Tập xác định của hàm số $y = \frac{1}{x} + \sqrt{3 - x}$ là

A.

$(- \infty; 3]$ .
B.

$[3; + \infty)$ .
C.

$R ∖ {0}$ .
D.

$(- \infty; 3] ∖ {0}$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Tìm ĐKXĐ của hàm số.

Lời giải chi tiết :

ĐKXĐ: ${\begin{cases} x \neq 0 \\ 3 - x \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x \neq 0 \\ x \leq 3 \end{cases}$

Suy ra TXĐ: $(- \infty; 3] ∖ {0}$ .

Câu 10 : Hàm số nào dưới đây là hàm số bậc hai?

A.

$y = (x^{2} - 4 x + 1) (x + 2)$ .
B.

$y = \frac{2 x}{x + 2}$ .
C.

$y = - 2 x^{2} + 3 x + 1$ .
D.

$y = 3 x + 5$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Hàm số bậc hai có dạng $y = a x^{2} + b x + c$ .

Lời giải chi tiết :

$y = - 2 x^{2} + 3 x + 1$ là hàm số bậc hai.

Câu 11 : Cho tam thức bậc hai $f (x) = a x^{2} + b x + c$ $(a \neq 0)$ , $Δ = b^{2} - 4 a c$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.

Nếu $Δ < 0$ thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số b, với mọi $x \in R$ .
B.

Nếu $Δ > 0$ thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, với mọi $x \in R$ .
C.

Nếu $Δ = 0$ thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, với mọi $x \in R ∖ {- \frac{b}{2 a}}$ .
D.

Nếu $Δ < 0$ thì f(x) luôn trái dấu với hệ số a, với mọi $x \in R$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Dựa vào quy tắc xét dấu tam thức bậc hai.

Lời giải chi tiết :

Nếu $Δ = 0$ thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, với mọi $x \in R ∖ {- \frac{b}{2 a}}$ .

Câu 12 : Tập nghiệm của bất phương trình $- x^{2} + x + 12 \geq 0$ là

A.

$(- \infty; - 3] \cup [4; + \infty)$ .
B.

$\emptyset$ .
C.

$(- \infty; - 4] \cup [3; + \infty)$ .
D.

$[- 3; 4]$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Áp dụng quy tắc “trong trái ngoài cùng”.

Lời giải chi tiết :

$- x^{2} + x + 12 \geq 0 \Leftrightarrow - 3 \leq x \leq 4$ .

Câu 1 : Cho tam giác ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Gọi G là giao điểm của AM và BN. Các khẳng định sau đây là đúng hay sai?

$C:\Users\USER\Desktop\Capture 1.PNG$

a) $\vec{G A} + \vec{G B} = 2 \vec{G C}$ .

Đúng

Sai

b) $\vec{A P} + \frac{1}{2} \vec{B C} = \vec{N A}$ .

Đúng

Sai

c) $| \vec{A G} | = 3 | \vec{M G} |$ .

Đúng

Sai

d) $\vec{M B} + \vec{M C} = \vec{0}$ .

Đúng

Sai

Đáp án

a) $\vec{G A} + \vec{G B} = 2 \vec{G C}$ .

Đúng

Sai

b) $\vec{A P} + \frac{1}{2} \vec{B C} = \vec{N A}$ .

Đúng

Sai

c) $| \vec{A G} | = 3 | \vec{M G} |$ .

Đúng

Sai

d) $\vec{M B} + \vec{M C} = \vec{0}$ .

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Áp dụng tính chất trung điểm, tính chất trọng tâm, quy tắc hình bình hành.

Lời giải chi tiết :

a) Sai. Theo tính chất trọng tâm: $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0} \Rightarrow \vec{G A} + \vec{G B} = \vec{C G}$ .

b) Sai. Vì PM là đường trung bình của tam giác ABC nên PM // AN và PM = AN (= AC/2).

Do đó APMN là hình bình hành, suy ra $\vec{A P} + \vec{A N} = \vec{A M} \Rightarrow \vec{A P} + \vec{M A} = \vec{N A}$ .

Mà $\vec{M A} \neq \frac{1}{2} \vec{B C}$ nên $\vec{A P} + \frac{1}{2} \vec{B C} = \vec{N A}$ sai.

c) Sai. Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên $| \vec{A G} | = 2 | \vec{M G} |$ .

d) Đúng. Vì M là trung điểm của BC nên $\vec{M B} + \vec{M C} = \vec{0}$ .

Câu 2 : Cho hàm số $y = f (x) = a x^{2} + b x + c$ $(a \neq 0)$ (P) có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

a) Trục đối xứng của đồ thị hàm số là y = 2.

Đúng

Sai

b) Hàm số đồng biến trong khoảng $(- 1; + \infty)$ .

Đúng

Sai

c) Tọa độ đỉnh I của parabol (P) nằm trên đường thẳng $3 x + y - 5 = 0$ .

Đúng

Sai

d) Hệ số a > 0.

Đúng

Sai

Đáp án

a) Trục đối xứng của đồ thị hàm số là y = 2.

Đúng

Sai

b) Hàm số đồng biến trong khoảng $(- 1; + \infty)$ .

Đúng

Sai

c) Tọa độ đỉnh I của parabol (P) nằm trên đường thẳng $3 x + y - 5 = 0$ .

Đúng

Sai

d) Hệ số a > 0.

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Quan sát đặc điểm của đồ thị và trả lời.

Lời giải chi tiết :

a) Đúng. Trục đói xứng của đồ thị hàm số là y = 2.

b) Sai. Hàm số đồng biến trên khoảng $(2; + \infty)$ .

c) Đúng. Thay tọa độ đỉnh I(2; -1) vào phương trình 3x + y – 5 = 0, ta được:

3.2 + (-1) – 5 = 0. Vậy I nằm trên đường thẳng 3x + y – 5 = 0.

d) Đúng. Bề lõm của đồ thị hướng lên trên nên a > 0.

Câu 1 : Cho các tập hợp $A = [m - 1; 2 m + 1)$ và $B = (- 2; 3)$ với $A \neq \emptyset$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để $A \subset B$ ?

Phương pháp giải :

$A \subset B$ khi và chỉ khi mọi phần tử thuộc A đều thuộc B.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: $m - 1 < 2 m + 1 \Leftrightarrow m > - 2$ .

Để $A \subset B$ thì: ${\begin{array}{l} - 2 < m - 1 \\ 2 m + 1 \leq 3 \end{array} \Rightarrow {\begin{array}{l} m > - 1 \\ m \leq 1 \end{array} \Rightarrow - 1 < m \leq 1.$

So sánh với điều kiện ta được $- 1 < m \leq 1$ . Mà $m \in Z \Rightarrow m \in {0; 1}$ .

Vậy có 2 giá trị nguyên của $m$ để $A \subset B$ .

Câu 2 : Trong một cuộc đua thuyền ghe được tổ chức trên sông, hai ghe A và B ở vị trí như hình vẽ. Điểm K là vị trí khán giả đứng xem và quan sát thấy ghe A và ghe B theo các góc tạo với bờ IK lần lượt là $50^{o}$ và $65^{o}$ . Điểm I là đích đến của cuộc đua, cách K một khoảng 380 mét. Vị trí ghe A, ghe B và đích I nằm trên một đường thẳng tạo với bờ IK một góc bằng $60^{o}$ . Tính khoảng cách giữa hai ghe thuyền (đơn vị: mét, làm tròn đến hàng đơn vị).

Phương pháp giải :

Áp dụng định lí sin.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Trong tam giác AKI ta có:

$\hat{I A K} = 180^{o} - \hat{A I K} - \hat{A K I} = 180^{o} - 60^{o} - 50^{o} = 70^{o}$ .

Áp dụng định lí sin vào tam giác AKI ta có: $\frac{A K}{\sin A I K} = \frac{I K}{\sin K A I}$

$\Rightarrow A K = \frac{I K \cdot \sin A I K}{\sin K A I} = \frac{380 \cdot \sin 60^{o}}{\sin 70^{o}} \approx 350, 21$ (m).

Lại có: $\hat{K A B} = 180^{o} - \hat{K A I} = 180^{o} - 70^{o} = 110^{o}$ .

Áp dụng định lí sin vào tam giác AKB ta có: $\frac{A B}{\sin A K B} = \frac{A K}{\sin A B K}$

$\Rightarrow A B = \frac{A K \cdot \sin A K B}{\sin A B K} \approx \frac{350, 21 \cdot \sin (65^{o} - 50^{o})}{\sin (180^{o} - 110^{o} - 15^{o})} \approx 111$ (m).

Câu 3 : Gia đình chị Minh dự định trồng rau và hoa trên một mảnh đất có diện tích 8 ha. Nếu trồng 1 ha rau thì cần 20 ngày công và thu lợi 3 triệu đồng. Nếu trồng 1 ha hoa thì cần 30 ngày công và thu lợi 4 triệu đồng. Biết rằng, gia đình chị Minh chỉ có thể sử dụng không quá 180 ngày công cho công việc trồng rau và hoa. Hỏi từ việc trồng rau và hoa nói trên, chị Minh có thể thu về lợi nhuận cao nhất là bao nhiêu triệu đồng?

Phương pháp giải :

Ứng dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Gọi x, y $(x \geq 0, y \geq 0)$ lần lượt là số ha đất trồng rau và hoa.

Diện tích đất trồng canh tác không vượt quá 8 ha nên ta có: $x + y \leq 8$ .

Số ngày công sử dụng không vượt quá 180 ngày nên $20 x + 30 y \leq 180$ .

Từ đó, ta có hệ bất phương trình: ${\begin{array}{l} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ x + y \leq 8 \\ 20 x + 30 y \leq 180 \end{array}$

Ta cần tìm x, y sao cho T(x, y) = 3x + 4y lớn nhất.

Miền nghiệm của hệ được biểu diễn như sau:

Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là miền trong của tứ giác OABC, kể cả 4 cạnh của tứ giác đó, với O(0;0), A(8;0), B(6;2), C(0;6).

Tại O(0;0), ta có: T = 3.0 + 4.0 = 0;

Tại A(8;0), ta có: T = 3.8 + 4.0 = 24;

Tại B(6;2), ta có: T = 3.6 + 4.2 = 26;

Tại C(0;6), ta có: T = 3.0 + 4.6 = 24.

Vậy số lợi nhuận cao nhất mà gia đình chị Minh thu được từ trồng rau và hoa là 26 triệu đồng.

Câu 4 : Ba lực $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}, \vec{F_{3}}$ tác động vào vật M như hình vẽ, làm vật đứng yên. Biết cường độ của các lực $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}$ lần lượt là 10 N, 20 N. Tính cường độ của lực $\vec{F_{3}}$ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Phương pháp giải :

Áp dụng quy tắc hình bình hành và định lí cos.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Gọi A, B, C là điểm cuối của các vectơ lực $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}, \vec{F_{3}}$ và dựng hình bình hành MADB.

Gọi $\vec{F_{12}}$ là hợp lực của hai lực $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}$ .

Ta có $\hat{M B D} = 180^{o} - \hat{A M B} = 120^{o}$ . $M B = | \vec{F_{2}} | = 20$ , $B D = M A = | \vec{F_{1}} | = 10$ .

$| \vec{F_{12}} | = M D = \sqrt{M B^{2} + B D^{2} - 2. M B . B D . \cos M B D} = 10 \sqrt{7}$ (N).

Vật đứng yên nên $\vec{F_{3}} = - \vec{F_{12}} \Rightarrow | \vec{F_{3}} | = | \vec{F_{12}} | = 10 \sqrt{7} \approx 26, 5$ (N).

Câu 1 : Một dòng sông chảy từ phía bắc xuống phía nam với vận tốc là 10 km/h. Một chiếc ca nô chuyển động từ phía đông sang phía tây với vận tốc 40 km/h so với mặt nước. Tìm vận tốc của ca nô so với bờ sông.

Phương pháp giải :

Bước 1: Xác định hướng, độ lớn của các vecto vận tốc.

Bước 2: Từ giả thiết “vật đứng yên” suy ra cường độ và hướng của lực $\vec{F_{3}}$ .

Lời giải chi tiết :

Gọi O là vị trí của ca nô.

Vẽ $\vec{O A}$ là vận tốc dòng nước (chảy từ phía bắc xuống phía nam);

$\vec{O B}$ là vận tốc riêng của ca nô (chuyển động từ phía đông sang phía tây).

Khi đó vecto vận tốc của ca nô so với bờ sông là vecto $\vec{O A} + \vec{O B}$ .

Gọi C là đỉnh thứ tư của hình bình hành OACB, ta có: $\vec{O C} = \vec{O A} + \vec{O B}$

Xét tam giác OBC vuông tại B ta có:

BC = 40; BC = OA = 10.

$\Rightarrow O C = \sqrt{O B^{2} + B C^{2}} = 10 \sqrt{17}$ .

Vậy vận tốc của ca nô so với bờ sông là $10 \sqrt{17}$ km/h.

Câu 2 : Giải phương trình $\sqrt{2 x - 1} = \sqrt{x^{2} + 4 x - 4}$ .

Phương pháp giải :

Bình phương hai vế rồi giải phương trình.

Thay các giá trị x tìm được vào phương trình ban đầu xem có thỏa mãn, từ đó kết luận nghiệm.

Lời giải chi tiết :

Bình phương hai vế ta được: $2 x - 1 = x^{2} + 4 x - 4 \Leftrightarrow x^{2} + 2 x - 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = - 3 \end{array}$

Thay x = 1; x = -3 vào phương trình kiểm tra và kết luận phương trình có nghiệm là x = 1.

Câu 3 : Lợi nhuận thu được từ việc sản xuất và bán x sản phẩm thủ công của một cửa hàng là:

$I (x) = - 0, 1 x^{2} + 235 x - 70000$

Với I được tính bằng đơn vị nghìn đồng. Với số lượng sản phẩm bán ra là bao nhiêu thì cửa hàng có lãi?

Phương pháp giải :

Cửa hàng có lãi khi lợi nhuận dương.

Tìm x để I(x) > 0.

Lời giải chi tiết :

Ta biết cửa hàng có lãi khi và chỉ khi $I (x) > 0 \Leftrightarrow - 0, 1 x^{2} + 235 x - 70000 > 0$ .

Xét tam thức bậc hai $- 0, 1 x^{2} + 235 x - 70000$ có $a = - 0, 1 < 0$ và hai nghiệm là $x = 350$ và $x = 2000$ .

Do đó $- 0, 1 x^{2} + 235 x - 70000 > 0 \Leftrightarrow 350 < x < 2000$ .

Vậy khi số lượng sản phẩm sản xuất và bán ra từ 351 đến 1999 thì của hàng trên có lãi.