Đề thi học kì 1 Toán 10 Cánh diều - Đề số 5

Đề bài

Phần 1: Trắc nghiệm (25 câu – 5 điểm)

Câu 1: (ID: 592114) Câu nào sau đây không phải là mệnh đề?

A. Bạn bao nhiêu tuổi? B. Hôm nay là chủ nhật. C. Trái đất hình tròn. D. $4 \neq 5$

Câu 2: (ID: 592018) Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ khác $\vec{0}$ . Xác định góc $α$ giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ khi $2 \vec{a} . \vec{b} = - | \vec{a} | . | \vec{b} |$ .

A. $α = 180^{0} .$ B. $α = 120^{0} .$ C. $α = 90^{0} .$ D. $α = 60^{0} .$

Câu 3: (ID: 592116) Cho tam giác ABC có M, N, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA. Khi đó vectơ $\vec{A B} + \vec{B M} + \vec{N A} + \vec{B Q}$ bằng vectơ nào sau đây?

A. $\vec{C B} .$ B. $\vec{B A} .$ C. $\vec{0} .$ D. $\vec{B C} .$

Câu 4: (ID: 592117) Cho tam giác ABC có AB = 6, AC = 8 và $∠ B A C = 120^{0}$ . Độ dài cạnh BC bằng:

A. 10. B. $2 \sqrt{13} .$ C. 12. D. $2 \sqrt{37} .$

Câu 5: (ID: 592118) Cặp số (x;y) nào là sau đây là một nghiệm của bất phương trình x – y + 3 > 0.

A. (x;y) = (0;4). B. (x;y) = (2;5). C. (x;y) = (1;3). D. (x;y) = (1;4).

Câu 6: (ID: 592119) Cho hình bình hành ABCD. Nếu viết được $\vec{A B} + \vec{A C} + \vec{A D} = k \vec{A C}$ thì k bằng

A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.

Câu 7: (ID: 592120) Gọi a, b, c, r, R, S lần lượt là độ dài ba cạnh, bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp và diện tích của tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây là đúng

A. $S = p . R$ với $p = \frac{a + b + c}{2} .$

B. $S = \frac{a b c}{4 R}$ .

C. $S = \frac{1}{2} \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ với $p = \frac{a + b + c}{2} .$

D. $S = \frac{1}{2} a b \cos C$ .

Câu 8: Tập xác định của hàm số $y = \sqrt{x^{2} - 3 x + 2} + \frac{1}{\sqrt{x + 3}}$ là

A. $(- 3; + \infty)$ . B. $(- 3; 1] \cup [2; + \infty)$ . C. $(- 3; 1] \cup (2; + \infty)$ . D. $(- 3; 1) \cup (2; + \infty)$ .

Câu 9: (ID: 590741) Cho hai tập hợp $P = [- 4; 5)$ và $Q = (- 3; + \infty)$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $P ∖ Q = [- 4; - 3] .$ B. $P \cap Q = (- 3; 5] .$

C. $P \cup Q = [- 4; 5) .$ D. $C_{R} P = (- \infty; - 4] \cup [5; + \infty) .$

Câu 10: (ID: 592122) Cho các tập hợp A, B, C được minh họa bằng biểu đồ Ven như hình vẽ. Phần tô màu xám trong hình là biểu diễn của tập hợp nào sau đây?

A. $A \cap B \cap C .$ B. $(A ∖ C) \cup (A ∖ B) .$ C. $(A \cup B) ∖ C .$ D. $(A \cap B) ∖ C .$

Câu 11: (ID: 592123) Khoảng cách từ điểm A đến điểm B không thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy. Người ta xác định được một điểm C mà từ đó có thể nhìn được A và B dưới một góc 52⁰16’. Biết CA = 200m, BC = 180m. Tính khoảng cách từ A đến B (làm tròn đến hàng đơn vị).

A. 165m. B. 166m. C. 169m. D. 168m.

Câu 12: (ID: 590916) Biết $\sin x = \frac{1}{2}$ . Giá trị của biểu thức $P = \sin^{2} x - \cos^{2} x$ là

A. $\frac{1}{2}$ B. $- \frac{1}{2}$ C. $- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$ D. $- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Câu 13: Cho hàm số $f (x) = \frac{4}{x + 1}$ . Khi đó:

A. $f (x)$ tăng trên khoảng $(- \infty; - 1)$ và giảm trên khoảng $(- 1; + \infty)$ .

B. $f (x)$ tăng trên hai khoảng $(- \infty; - 1)$ và $(- 1; + \infty)$ .

C. $f (x)$ giảm trên khoảng $(- \infty; - 1)$ và giảm trên khoảng $(- 1; + \infty)$ .

D. $f (x)$ giảm trên hai khoảng $(- \infty; - 1)$ và $(- 1; + \infty)$ .

Câu 14: (ID: 592124) Giá trị của biểu thức $A = \sin^{2} 51^{0} + \sin^{2} 55^{0} + \sin^{2} 39^{0} + \sin^{2} 35^{0}$ là:

A. 3. B. 4. C. 1. D. 2.

Câu 15: (ID: 592125) Cho ba lực $\vec{F_{1}} = \vec{M A}$ , $\vec{F_{2}} = \vec{M B}$ , $\vec{F_{3}} = \vec{M C}$ cùng tác động vào một vật tại điểm M và vật đứng yên. Cho biết cường độ của $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}$ đều bằng 100N và $∠ A M B = 60^{0}$ . Khi đó cường độ lực $\vec{F_{3}}$ là:

A. $50 \sqrt{2} N$ . B. $50 \sqrt{3} N$ . C. $25 \sqrt{3} N$ . D. $100 \sqrt{3} N$ .

Câu 16: Tọa độ đỉnh của parabol $y = - 2 x^{2} - 4 x + 6$ là

A. $I (- 1; 8)$ . B. $I (1; 0)$ . C. $I (2; - 10)$ . D. $I (- 1; 6)$ .

Câu 17: (ID: 591056) Trong đợt hội diễn văn nghệ chào mừng 20/11, lớp 10A đăng kí tham gia 3 tiết mục là hát tốp ca, múa và diễn kịch. Trong danh sách đăng kí, có 7 học sinh đăng kí tiết mục hát tốp ca, 6 học sinh đăng kí tiết mục múa, 8 học sinh đăng kí diễn kịch; trong đó có 3 học sinh đăng kí cả tiết mục hát tốp ca và tiết mục múa, 4 học sinh đăng kí cả tiết mục hát tốp ca và diễn kịch, 2 học sinh đăng kí cả tiết mục múa và diễn kịch, 1 học sinh đăng kí cả 3 tiết mục. Hỏi lớp 10A có tất cả bao nhiêu học sinh đăng kí tham gia hội diễn văn nghệ?

A. 14. B. 13. C. 21. D. 11.

Câu 18: (ID: 591999) Cho hình chữ nhật ABCD biết AB = 4a, AD = 3a. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Tính độ dài $\vec{A B} + \vec{O D}$ .

A. 7a. B. $\frac{7}{2} a .$ C. $\frac{5}{2} a .$ D. 5a.

Câu 19: Biết đồ thị hàm số $y = a x^{2} + b x + c$ , $(a, b, c \in R; a \neq 0)$ đi qua điểm $A (2; 1)$ và có đỉnh $I (1; - 1)$ . Tính giá trị biểu thức $T = a^{3} + b^{2} - 2 c$ .

A. $T = 22$ . B. $T = 9$ . C. $T = 6$ . D. $T = 1$ .

Câu 20: Cho parabol $y = a x^{2} + b x + c$ có đồ thị như hình dưới

Phương trình của parabol này là

A. $y = - x^{2} + x - 1$ . B. $y = 2 x^{2} + 4 x - 1$ . C. $y = x^{2} - 2 x - 1$ . D. $y = 2 x^{2} - 4 x - 1$ .

Câu 21: (ID: 590911) Đường thẳng $- x + 3 y > 2$ chia mặt phẳng tọa độ thành các miền như hình vẽ. Xác định miền nghiệm của $- x + 3 y > 2$ .

A. Nửa mặt phẳng có bờ là d cùng phía gốc tọa độ O và có lấy đường thẳng d.

B. Nửa mặt phẳng có bờ là d khác phía gốc tọa độ O và có lấy đường thẳng d.

C. Nửa mặt phẳng có bờ là d cùng phía gốc tọa độ O và không lấy đường thẳng d.

D. Nửa mặt phẳng có bờ là d khác phía gốc tọa độ O và không lấy đường thẳng d.

Câu 22: (ID: 590913) Điểm nào dưới đây thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình ${\begin{array}{l} x + 2 y > - 4 \\ 3 x - y < 5 \\ x + 1 > 0 \end{array}$ .

A. $(- 2, - 3)$ B. $(2, - 3)$ C. $(4, 0)$ D. $(0, 2)$

Câu 23: (ID: 590761) Cho tam giác ABC thỏa mãn hệ thức b + c = 2a. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. $\cos B + \cos C = 2 \cos A .$ B. $\sin B + \sin C = 2 \sin A .$

C. $\sin B + \sin C = \frac{1}{2} \sin A .$ D. $\sin B + \cos C = 2 \sin A .$

Câu 24: (ID: 591057) Cho tam giác đều ABC có độ dài các cạnh bằng 4 và điểm M thỏa mãn $\vec{B M} = - \frac{1}{2} \vec{B C}$ . Tính tích vô hướng $\vec{B M} . \vec{B A}$ .

A. $\vec{B M} . \vec{B A} = 4.$ B. $\vec{B M} . \vec{B A} = - 4 \sqrt{3} .$ C. $\vec{B M} . \vec{B A} = 4 \sqrt{3} .$ D. $\vec{B M} . \vec{B A} = - 4.$

Câu 25: Cho hàm số $y = a x^{2} + b x + c$ có bảng biến thiên dưới đây. Đáp án nào sau đây là đúng?

A. $y = x^{2} + 2 x - 2.$ B. $y = x^{2} - 2 x - 2.$ C. $y = x^{2} + 3 x - 2.$ D. $y = - x^{2} - 2 x - 2.$

Phần 2: Tự luận (5 điểm)

Câu 1: (ID: 592127) Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm thỏa mãn $3 \vec{M B} + \vec{M C} = \vec{0}$ và G là trọng tâm của tam giác ABC.

a) Chứng minh rằng $\vec{M G} = \frac{1}{12} \vec{A C} - \frac{5}{12} \vec{A B}$ .

b) Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng AC và MG. Tính tỉ số $\frac{K A}{K C} .$

Câu 2:

a) Xác định parabol $(P) : y = a x^{2} + b x + c$ , biết rằng $(P)$ có đỉnh $I (2; - 1)$ và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -3.

b) Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (P) tìm được.

Câu 3: (ID: 592128) Cho tam giác ABC có BC = 3 thỏa mãn $4 \sin A \tan A = \sin B \sin C$ . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tính giá trị biểu thức $S = G B^{2} + G C^{2} + 9 G A^{2}$ .

----- HẾT -----

Lời giải

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Phần 1: Trắc nghiệm (25 câu – 5 điểm)

1.A	2.B	3.B	4.D	5.C	6.C	7.D	8.B	9.A	10.D
11.D	12.B	13.C	14.D	15.D	16.A	17.B	18.C	19.A	20.D
21.D	22.D	23.B	24.B	25.B

Câu 1 (NB):

Phương pháp:

Mệnh đề là câu khẳng định có tính đúng hoặc sai.

Cách giải:

Bạn bao nhiêu tuổi? là câu nghi vấn nên không phải là mệnh đề.

Chọn A.

Câu 2 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ: $\vec{a} . \vec{b} = | \vec{a} | . | \vec{b} | . \cos (\vec{a}, \vec{b})$ .

Cách giải:

Ta có:

$\begin{array}{l} \vec{a} . \vec{b} = | \vec{a} | . | \vec{b} | . \cos (\vec{a}, \vec{b}) \\ \Leftrightarrow 2 \vec{a} . \vec{b} = 2 | \vec{a} | . | \vec{b} | . \cos (\vec{a}, \vec{b}) \\ \Leftrightarrow - | \vec{a} | . | \vec{b} | = 2 | \vec{a} | . | \vec{b} | . \cos (\vec{a}, \vec{b}) \\ \Leftrightarrow | \vec{a} | . | \vec{b} | [1 + 2 \cos (\vec{a}, \vec{b})] = 0 \\ \Leftrightarrow \cos (\vec{a}, \vec{b}) = - \frac{1}{2} (d o \vec{a} \neq \vec{0}, \vec{b} \neq \vec{0}) \end{array}$

$\Leftrightarrow (\vec{a}, \vec{b}) = 120^{0} .$

Chọn B.

Câu 3 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng quy tắc ba điểm.

Sử dụng hai vectơ bằng nhau.

Cách giải:

Ta có:

$\begin{array}{l} \vec{A B} + \vec{B M} + \vec{N A} + \vec{B Q} \\ = \vec{A M} + \vec{N A} + \vec{B Q} \\ = \vec{M B} + \vec{B Q} + \vec{N A} \\ = \vec{M Q} + \vec{N A} \\ = \vec{B N} + \vec{N A} \\ = \vec{B A} \end{array}$

Chọn B.

Câu 4 (NB):

Phương pháp:

Sử dụng định lí cosin trong tam giác: $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2 A B . A C . \cos ∠ B A C .$

Cách giải:

Ta có:

$\begin{array}{l} B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2 A B . A C . \cos ∠ B A C . \\ = 6^{2} + 8^{2} - 2.6.8. \cos 120^{0} \\ = 148 \\ \Rightarrow B C = \sqrt{148} = 2 \sqrt{37} . \end{array}$

Chọn D.

Câu 5 (NB):

Phương pháp:

Cặp số nào thỏa mãn bất phương trình là nghiệm của bất phương trình.

Cách giải:

Thay cặp số (x;y) = (0;4) vào bất phương trình: 0 – 4 + 3 > 0 => Sai.

Thay cặp số (x;y) = (2;5) vào bất phương trình: 2 – 5 + 3 > 0 => Sai.

Thay cặp số (x;y) = (1;3) vào bất phương trình: 1 – 3 + 3 > 0 => Đúng.

Thay cặp số (x;y) = (1;4) vào bất phương trình: 1 – 4 + 3 > 0 => Sai.

Chọn C.

Câu 6 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng quy tắc hình bình hành.

Cách giải:

Theo quy tắc hình bình hành ta có:

$\begin{array}{l} \vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C} \\ \Rightarrow \vec{A B} + \vec{A C} + \vec{A D} = \vec{A C} + \vec{A C} = 2 \vec{A C} \\ \Rightarrow k = 2. \end{array}$

Chọn C.

Câu 7 (NB):

Phương pháp:

Sử dụng các công thức tính diện tích tam giác: $S = \frac{a b c}{4 R}$ , $S = \frac{1}{2} a b \sin C$ , $S = \frac{1}{2} \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ , $S = p . R$ với $p = \frac{a + b + c}{2} .$

Cách giải:

$S = \frac{1}{2} a b \sin C$ nên đáp án D sai.

Chọn D.

Câu 8 (TH):

Phương pháp:

$\sqrt{f (x)}$ xác định khi $f (x) \geq 0$

$\frac{1}{g (x)}$ xác định khi $g (x) \neq 0$

Cách giải:

Điều kiện: ${\begin{cases} x^{2} - 3 x + 2 \geq 0 \\ x + 3 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x \in (- \infty; 1] \cup [2; + \infty) \\ x > - 3 \end{cases} \Leftrightarrow x \in (- 3; 1] \cup [2; + \infty)$ .

Chọn B.

Câu 9 (TH):

Phương pháp:

Biểu diễn các tập hợp trên trục số và thực hiện các phép toán trên tập hợp.

Cách giải:

$P ∖ Q = [- 4; - 3] \Rightarrow A$ đúng.

$P \cap Q = (- 3; 5) \Rightarrow B$ sai.

$P \cup Q = [- 4; + \infty) \Rightarrow C$ sai.

$C_{R} P = R ∖ P = (- \infty; - 4) \cup [5; + \infty) \Rightarrow D$ sai.

Chọn A.

Câu 10 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng khái niệm các phép toán trên tập hợp.

Cách giải:

Phần tô đậm trong hình vẽ biểu diễn cho tập hợp $(A \cap B) ∖ C .$

Chọn D.

Câu 11 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng định lí Cosin trong tam giác ABC ta có: $A B^{2} = A C^{2} + B C^{2} - 2 A C . B C . \cos C .$

Cách giải:

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác ABC ta có:

$\begin{array}{l} A B^{2} = A C^{2} + B C^{2} - 2 A C . B C . \cos C \\ = 200^{2} + 180^{2} - 2.200.180. \cos 52^{0} 16^{'} \approx 28337 \\ \Rightarrow A B \approx 168 (m) \end{array}$

Chọn D.

Câu 12 (TH):

Phương pháp:

Dùng công thức $\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1$ để tính cos x

Cách giải:

$\begin{array}{l} \sin x = \frac{1}{2} \Rightarrow \sin x^{2} = \frac{1}{4} \Rightarrow \cos^{2} x = 1 - \sin^{2} x = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \\ \Rightarrow \sin^{2} x - \cos^{2} x = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} = \frac{- 1}{2} \end{array}$

Chọn B.

Câu 13 (VD):

Cách giải:

TXĐ: $D = R ∖ {- 1}$ .

Xét $x_{1}; x_{2} \in D$ và $x_{1} < x_{2} \Leftrightarrow x_{1} - x_{2} < 0$

Khi đó với hàm số $y = f (x) = \frac{4}{x + 1}$

$\Rightarrow f (x_{1}) - f (x_{2}) = \frac{4}{x_{1} + 1} - \frac{4}{x_{2} + 1} = 4. \frac{(x_{2} - x_{1})}{(x_{1} + 1) (x_{2} + 1)}$

Trên $(- \infty; - 1)$ $\Rightarrow f (x_{1}) - f (x_{2}) = 4. \frac{(x_{2} - x_{1})}{(x_{1} + 1) (x_{2} + 1)} > 0$ nên hàm số nghịch biến.

Trên $(- 1; + \infty)$ $\Rightarrow f (x_{1}) - f (x_{2}) = 4. \frac{(x_{2} - x_{1})}{(x_{1} + 1) (x_{2} + 1)} > 0$ nên hàm số nghịch biến.

Vậy $y = | x + 1 | - | 1 - x |$ không là hàm số chẵn.

Chọn C.

Câu 14 (TH):

Phương pháp:

Nếu $α + β = 90^{0}$ thì $\sin α = \cos β$ .

Cách giải:

Ta có:

$\begin{array}{l} A = \sin^{2} 51^{0} + \sin^{2} 55^{0} + \sin^{2} 39^{0} + \sin^{2} 35^{0} \\ A = (\sin^{2} 51 + \sin^{2} 39^{0}) + (\sin^{2} 55^{0} + \sin^{2} 35^{0}) \\ A = (\sin^{2} 51 + \sin^{2} (90^{0} - 51^{0})) + (\sin^{2} 55^{0} + \sin^{2} (90^{0} - 55^{0})) \\ A = (\sin^{2} 51 + \cos^{2} 51^{0}) + (\sin^{2} 55^{0} + \cos^{2} 55^{0}) \\ A = 1 + 1 = 2. \end{array}$

Chọn D.

Câu 15 (TH):

Phương pháp:

Vì M đứng yên nên $\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} + \vec{F_{3}} = \vec{0} \Rightarrow \vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = \vec{0}$ .

Sử dụng quy tắc hình bình hành.

Cách giải:

Vì M đứng yên nên $\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} + \vec{F_{3}} = \vec{0} \Rightarrow \vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = \vec{0}$ .

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có: $\vec{M A} + \vec{M B} = \vec{M D}$ , với D là đỉnh thứ tư của hình bình hành AMBD như hình vẽ.

$\begin{array}{l} \Rightarrow \vec{M D} + \vec{M C} = \vec{0} \Rightarrow \vec{M C} = - \vec{M D} \\ \Rightarrow | \vec{F_{3}} | = | \vec{M C} | = | - \vec{M D} | = M D \end{array}$

Vì MA = MB = 100, $∠ A M B = 60^{0}$ nên tam giác AMB đều $\Rightarrow M D = 100 \sqrt{3}$ .

Vậy $| \vec{F_{3}} | = 100 \sqrt{3} N .$

Chọn D.

Câu 16 (TH):

Phương pháp:

Tọa độ đỉnh của parabol $y = a x^{2} + b x + c$ là $I (- \frac{b}{2 a}; \frac{- Δ}{4 a})$

Cách giải:

Tọa độ đỉnh của parabol $y = - 2 x^{2} - 4 x + 6$ là ${\begin{cases} x = - \frac{- 4}{2. (- 2)} = - 1 \\ y = - 2. {(- 1)}^{2} - 4. (- 1) + 6 = 8 \end{cases} \Rightarrow I (- 1; 8)$ .

Chọn A.

Câu 17 (VD):

Phương pháp:

Sử dụng công thức $n (A \cup B \cup C) = n (A) + n (B) + n (C) - n (A \cap B) - n (B \cap C) - n (C \cap A) + n (A \cap B \cap C)$ .

Cách giải:

Gọi A là tập hợp các bạn đăng kí tiết mục tốp ca $\Rightarrow n (A) = 7.$

B là tập hợp các bạn đăng kí tiết mục múa $\Rightarrow n (B) = 6.$

C là tập hợp các bạn đăng kí tiết mục diễn kịch $\Rightarrow n (C) = 8.$

$\Rightarrow A \cap B :$ tập hợp các bạn đăng kí cả 2 tiết mục tốp ca và múa $\Rightarrow n (A \cap B) = 3.$

$A \cap C$ : tập hợp các bạn đăng kí cả 2 tiết mục tốp ca và diễn kịch $\Rightarrow n (A \cap C) = 4.$

$B \cap C$ : tập hợp các bạn đăng kí cả 2 tiết mục múa và diễn kịch $\Rightarrow n (B \cap C) = 2.$

$A \cap B \cap C$ : tập hợp các bạn đăng kí cả 3 tiết mục tốp ca, múa và diễn kịch $\Rightarrow n (A \cap B \cap C) = 1.$

$A \cup B \cup C$ : tập hợp các bạn đăng kí ít nhất 1 tiết mục.

Ta có: $n (A \cup B \cup C) = n (A) + n (B) + n (C) - n (A \cap B) - n (B \cap C) - n (C \cap A) + n (A \cap B \cap C)$

$\Rightarrow n (A \cup B \cup C) = 7 + 6 + 8 - 3 - 4 - 2 + 1 = 13.$

Chọn B.

Câu 18 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng hai vectơ bằng nhau, đưa về hai vectơ chung điểm đầu và cuối, sử dụng quy tắc ba điểm.

Cách giải:

Ta có: $\vec{A B} + \vec{O D} = \vec{O D} + \vec{A B} = \vec{O D} + \vec{D C} = \vec{O C}$ .

$\Rightarrow | \vec{A B} + \vec{O D} | = | \vec{O C} | = O C$ .

Áp dụng định lí Pytago ta có:

$A C = \sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = \sqrt{{(4 a)}^{2} + {(3 a)}^{2}} = 5 a \Rightarrow O C = \frac{1}{2} A C = \frac{5}{2} a .$

Vậy $| \vec{A B} + \vec{O D} | = O C = \frac{5}{2} a .$

Chọn C.

Câu 19 (TH):

Phương pháp:

Tọa độ đỉnh của parabol $y = a x^{2} + b x + c$ là $I (- \frac{b}{2 a}; \frac{- Δ}{4 a})$

Cách giải:

Đồ thị hàm số $y = a x^{2} + b x + c$ đi qua điểm $A (2; 1)$ và có đỉnh $I (1; - 1)$ nên có hệ phương trình

${\begin{cases} 4 a + 2 b + c = 1 \\ - \frac{b}{2 a} = 1 \\ a + b + c = - 1 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} 4 a + 2 b + c = 1 \\ b = - 2 a \\ a + b + c = - 1 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} c = 1 \\ b = - 2 a \\ - a + c = - 1 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} c = 1 \\ b = - 4 \\ a = 2 \end{cases}$ .

Vậy $T = a^{3} + b^{2} - 2 c = 22$ .

Chọn A.

Câu 20 (TH):

Phương pháp:

Tọa độ đỉnh của parabol $y = a x^{2} + b x + c$ là $I (- \frac{b}{2 a}; \frac{- Δ}{4 a})$

Cách giải:

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm $(0; - 1)$ nên $c = - 1$ .

Tọa độ đỉnh $I (1; - 3)$ , ta có phương trình: ${\begin{cases} - \frac{b}{2 a} = 1 \\ a {.1}^{2} + b .1 - 1 = - 3 \end{cases}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} 2 a + b = 0 \\ a + b = - 2 \end{cases}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} a = 2 \\ b = - 4 \end{cases}$ .

Vậy parabol cần tìm là: $y = 2 x^{2} - 4 x - 1$ .

Chọn D.

Câu 21 (NB):

Phương pháp:

Chọn điểm bất kì thỏa mãn bất phương trình để chọn miền nghiệm

Cách giải:

Vì O(0,0) không thuộc miền nghiệm nên nửa mặt phẳng có bờ là d khác phía gốc tọa độ O và không lấy đường thẳng d

Chọn D.

Câu 22 (NB):

Phương pháp:

Vẽ đồ thị hoặc thử các đáp án

Cách giải:

$(0, 2)$ thỏa mãn 3 phương trình trong hệ phương trình nên chọn D

Chọn D.

Câu 23 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng định lí Sin trong tam giác $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2 R$ .

Cách giải:

Sử dụng định lí Sin trong tam giác $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2 R$ $\Rightarrow {\begin{array}{l} a = 2 R \sin A \\ b = 2 R \sin B \\ c = 2 R \sin C \end{array}$ .

Theo giả thiết ta có:

$\begin{array}{l} b + c = 2 a \\ \Leftrightarrow 2 R \sin B + 2 R \sin C = 2.2 R \sin A \\ \Leftrightarrow \sin B + \sin C = 2 \sin A . \end{array}$

Chọn B.

Câu 24 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng công thức $\vec{B M} . \vec{B A} = B M . B A . \cos (\vec{B M}, \vec{B A}) .$

Cách giải:

Ta có: $\vec{B M} . \vec{B A} = - \frac{1}{2} \vec{B C} . \vec{B A} = - \frac{1}{2} B C . B A . \cos (\vec{B C}, \vec{B A}) .$

Vì tam giác ABC đều nên $\cos (\vec{B C}, \vec{B A}) = ∠ A B C = 60^{0}$ .

$\Rightarrow \vec{B M} . \vec{B A} = - \frac{1}{2} .4 .4 . \frac{\sqrt{3}}{2} = - 4 \sqrt{3} .$

Chọn B.

Câu 25 (TH):

Phương pháp:

Tọa độ đỉnh của parabol $y = a x^{2} + b x + c$ là $I (- \frac{b}{2 a}; \frac{- Δ}{4 a})$

Cách giải:

Từ BBT ta có $a > 0$ nên loại đáp án D. Đỉnh $I (1; - 3)$ nên $- \frac{b}{2 a} = 1$

Đáp án A. $y = x^{2} + 2 x - 2$ có $a = 1, b = 2 \Rightarrow \frac{- b}{2 a} = - 1$ (Loại)

Đáp án B. $y = x^{2} - 2 x - 2$ có $a = 1, b = - 2 \Rightarrow \frac{- b}{2 a} = 1$ (TM)

Đáp án C. $y = x^{2} + 3 x - 2$ có $a = 1, b = 3 \Rightarrow \frac{- b}{2 a} = - \frac{3}{2}$ (Loại)

Chọn B.

Phần 2: Tự luận (5 điểm)

Câu 1 (VD):

Phương pháp:

a) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh M là trung điểm của BI.

Sử dụng quy tắc ba điểm, công thức trung điểm.

b) Sử dụng điều kiện để hai vectơ cùng phương.

Cách giải:

a) Gọi I là trung điểm của BC.

Ta có: $3 \vec{M B} + \vec{M C} = \vec{0} \Rightarrow 3 M B = M C \Rightarrow M B = \frac{1}{4} B C = \frac{1}{2} B I$ .

=> M là trung điểm của BI.

Khi đó ta có:

$\begin{array}{l} \vec{M G} = \vec{M I} + \vec{I G} = \frac{1}{4} \vec{B C} - \frac{1}{3} \vec{A I} \\ = \frac{1}{4} (\vec{A C} - \vec{A B}) - \frac{1}{3} . \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C}) \\ = \frac{1}{4} \vec{A C} - \frac{1}{4} \vec{A B} - \frac{1}{6} \vec{A B} - \frac{1}{6} \vec{A C} \\ = \frac{1}{12} \vec{A C} - \frac{5}{12} \vec{A B} (d p c m) . \end{array}$

b) Đặt $\vec{A K} = x \vec{A C} (x > 0)$ , ta có:

$\begin{array}{l} \vec{G K} = \vec{A K} - \vec{A G} = x \vec{A C} - \frac{2}{3} \vec{A I} \\ = x \vec{A C} - \frac{2}{3} . \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C}) = (x - \frac{1}{3}) \vec{A C} - \frac{1}{3} \vec{A B} \end{array}$

Vì M, G, K thẳng hàng nên $\frac{x - \frac{1}{3}}{\frac{1}{12}} = \frac{- \frac{1}{3}}{- \frac{5}{12}} \Leftrightarrow x = \frac{2}{5} .$

Vậy $\vec{A K} = \frac{2}{5} \vec{A C}$ nên $A K = \frac{2}{5} A C \Rightarrow \frac{K A}{K C} = \frac{2}{3} .$

Câu 2 (VD):

Phương pháp:

a) Hàm số $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ có đỉnh $(- \frac{b}{2 a}; \frac{- Δ}{4 a})$ .

b) Sự biến thiên

* Vẽ đồ thị

+ Đỉnh I $(- \frac{b}{2 a}; \frac{- Δ}{4 a})$

+ Trục đối xứng $x = - \frac{b}{2 a}$

+ Giao với các trục (nếu có)

+ Lấy các điểm thuộc đồ thị (đối xứng nhau qua trục đối xứng).

Cách giải:

a) Ta có: (P) giao với Oy tại điểm có tung độ bằng -3 hay điểm (0;-3). Suy ra $a .0 + b .0 + c = - 3 \Leftrightarrow c = - 3$

Vì (P) có đỉnh I(2;-1) nên ${\begin{cases} \frac{- b}{2 a} = 2 \\ a {.2}^{2} + b .2 + (- 3) = - 1 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} - b = 4 a \\ 4 a + 2 b - 2 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} a = - \frac{1}{2} \\ b = 2 \end{cases}$

Vậy parabol (P) là $y = - \frac{1}{2} x^{2} + 2 x - 3$

b) Hàm số $y = - \frac{1}{2} x^{2} + 2 x - 3$ có $a = - \frac{1}{2} < 0$ , đỉnh I(2;-1) nên có bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên $(- \infty; 2)$ và nghịch biến trên khoảng $(2; + \infty)$

* Vẽ đồ thị

Đỉnh I(2;-1)

Trục đối xứng $x = 2$

Cắt trục tung tại A(0;-3) và không cắt Ox

Lấy B(4;-3) thuộc (P), đối xứng với A(0;-3) qua trục đối xứng

Lấy $C (1; - \frac{3}{2}), D (3; - \frac{3}{2})$ thuộc (P).

Câu 3 (VDC):

Phương pháp:

Ta thường dùng các chữ cái in hoa để kí hiệu tập hợp và chữ cái in thường để kí hiệu phần tử thuộc tập hợp.

Cách giải:

Ta có

$\begin{array}{l} S = G B^{2} + G C^{2} + 9 G A^{2} \\ = {(\frac{2}{3} m_{b})}^{2} + {(\frac{2}{3} m_{c})}^{2} + 9. {(\frac{2}{3} m_{a})}^{2} \\ = \frac{4}{9} {m_{b}}^{2} + \frac{4}{9} {m_{c}}^{2} + 4 {m_{a}}^{2} \\ = \frac{4}{9} . (\frac{2 a^{2} + 2 c^{2} - b^{2}}{4} + \frac{2 a^{2} + 2 b^{2} - c^{2}}{4}) + 4. \frac{2 b^{2} + 2 c^{2} - a^{2}}{4} \\ = \frac{4}{9} . \frac{4 a^{2} + b^{2} + c^{2}}{4} + 2 b^{2} + 2 c^{2} - a^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{4 a^{2} + b^{2} + c^{2}}{9} + 2 b^{2} + 2 c^{2} - a^{2} \\ = \frac{19}{9} (b^{2} + c^{2}) - \frac{5}{9} a^{2} \end{array}$

Theo giả thiết ta có: $4 \sin A \tan A = \sin B \sin C \Leftrightarrow 4 \sin^{2} A = \sin B \sin C \cos A (*)$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ta có: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2 R \Rightarrow {\begin{array}{l} \sin A = \frac{a}{2 R} \\ \sin B = \frac{b}{2 R} \\ \sin C = \frac{c}{2 R} \end{array}$

Thay vào (*) ta có:

$\begin{array}{l} (*) \Leftrightarrow 4 {(\frac{a}{2 R})}^{2} = \frac{b}{2 R} . \frac{c}{2 R} \cos A \\ \Leftrightarrow 4. \frac{a^{2}}{4 R^{2}} = \frac{b c}{4 R^{2}} \cos A \\ \Leftrightarrow 4 a^{2} = b c \cos A \end{array}$

Lại theo định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

$\begin{array}{l} a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos A \\ \Rightarrow b c \cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2} \end{array}$

Khi đó ta có:

$\begin{array}{l} (*) \Leftrightarrow 4 a^{2} = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2} \\ \Leftrightarrow 8 a^{2} = b^{2} + c^{2} - a^{2} \\ \Leftrightarrow 9 a^{2} = b^{2} + c^{2} \end{array}$

Do đó: $S = \frac{19}{9} (b^{2} + c^{2}) - \frac{5}{9} a^{2} = \frac{19}{9} .9 a^{2} - \frac{5}{9} a^{2} = \frac{166 a^{2}}{9} = 166.$

Vậy S = 166.