Đề thi học kì 1 Toán 10 Cánh diều - Đề số 6

Đề bài

I. Trắc nghiệm (7 điểm)

Câu 1: Tìm tập xác định $D$ của hàm số $y = \sqrt{6 - 3 x} - \sqrt{x - 1} .$

A. $D = [1; 2] .$ B. $D = (1; 2) .$ C. $D = [1; 3] .$ D. $D = [- 1; 2] .$

Câu 2: Mệnh đề phủ định của mệnh đề “ $\forall x \in R, x - 2 > 5$ ” là:

A. “ $\exists x \in R, x - 2 \leq 5$ ”. B. “ $\exists x \in R, x - 2 \geq 5$ ”. C. “ $\forall x \in R, x - 2 \leq 5$ ”. D. “ $\forall x \in R, x - 2 \geq 5$ ”.

Câu 3: Cho tập hợp $D = {x \in N^{*} | x (x - 2) (x - 3) = 0}$ . Viết lại tập hợp D dưới dạng liệt kê các phần tử của tập hợp đó.

A. D = {2;3}. B. D = {0;1;2}. C. D = {1;2}. D. D = {0;2;3}.

Câu 4: Xét sự biến thiên của hàm số $y = \frac{1}{x^{2}}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên $(- \infty; 0)$ , nghịch biến trên $(0; + \infty)$ .

B. Hàm số đồng biến trên $(0; + \infty)$ , nghịch biến trên $(- \infty; 0)$ .

C. Hàm số đồng biến trên $(- \infty; 1)$ , nghịch biến trên $(1; + \infty)$ .

D. Hàm số nghịch biến trên $(- \infty; 0) \cup (0; + \infty)$ .

Câu 5: Cho hai tập hợp $A = (- \infty; - 2]$ và $B = (- 3; 5]$ . Tìm mệnh đề sai.

A. $A \cap B = (- 3; - 2] .$ B. $A ∖ B = (- \infty; - 3)$ . C. $A \cup B = (- \infty; 5]$ . D. $B ∖ A = (- 2; 5]$ .

Câu 6: Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là tập con của tập hợp $A = {1; 2; 3; 4; 5}$ ?

A. $A_{1} = {1; 6} .$ B. $A_{2} = {0; 1; 3} .$ C. $A_{3} = {4; 5} .$ D. $A_{4} = {0} .$

Câu 7: Cho parabol $(P) : y = 3 x^{2} - 2 x + 1$ . Điểm nào sau đây là đỉnh của $(P)$ ?

A. $I (0; 1)$ . B. $I (\frac{1}{3}; \frac{2}{3})$ . C. $I (- \frac{1}{3}; \frac{2}{3})$ . D. $I (\frac{1}{3}; - \frac{2}{3})$ .

Câu 8: Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. $2 x^{3} + 1 \geq y + 2 x^{2} .$ B. $2 x - 6 y + 5 < 2 x - 6 y + 3.$

C. $2 x^{2} + 1 \geq y + 2 x^{2} .$ D. $4 x^{2} < 2 x + 5 y - 6.$

Câu 9: Điểm nào dưới đây thuộc miền nghiệm của bất phương trình $3 x + 2 y < 10$ ?

A. (5;1). B. (4;2). C. (1;5). D. (1;2).

Câu 10: Trong tam giác EFG, chọn mệnh đề đúng.

A. $E F^{2} = E G^{2} + F G^{2} + 2 E G . F G . \cos G .$ B. $E F^{2} = E G^{2} + F G^{2} + 2 E G . F G . \cos E .$

C. $E F^{2} = E G^{2} + F G^{2} - 2 E G . F G . \cos E .$ D. $E F^{2} = E G^{2} + F G^{2} - 2 E G . F G . \cos G .$

Câu 11: Cho parabol $(P) : y = x^{2} + m x + n$ ( $m, n$ là tham số). Xác định $m, n$ để $(P)$ nhận đỉnh $I (2; - 1)$ .

A. $m = 4, n = - 3$ . B. $m = 4, n = 3$ . C. $m = - 4, n = - 3$ . D. $m = - 4, n = 3$ .

Câu 12: Cho tam giác ABC có b = 7, c = 5, $\cos A = \frac{3}{5} .$ Độ dài đường cao $h_{a}$ của tam giác ABC là:

A. $8.$ B. $8 \sqrt{3} .$ C. $\frac{7 \sqrt{2}}{2} .$ D. $7 \sqrt{2} .$

Câu 13: Cho hàm số $f (x) = a x^{2} + b x + c$ đồ thị như hình. Tính giá trị biểu thức $T = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ .

A. $0$ . B. $26$ . C. $8$ . D. $20$ .

Câu 14: Trong các hệ bất phương trình sau, hệ bất phương trình nào là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. ${\begin{cases} x^{2} - 4 \geq 0 \\ 3 x + 4 y < 2 \end{cases}$ . B. $x - y > 0$ . C. ${\begin{cases} y^{2} + 2 y - 3 > 0 \\ 5 x - y > 2 \end{cases}$ . D. ${\begin{cases} x - 4 \geq y \\ 3 x + 4 y < 5 \end{cases}$ .

Câu 15: Giá trị của biểu thức $T = 2 + \sin^{2} 90^{0} + 2 \cos^{2} 60^{0} - 3 \tan^{2} 45^{0}$ bằng:

A. 3. B. $- \frac{1}{2}$ . C. 1. D. $\frac{1}{2}$ .

Câu 16: Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c, có R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp và h_c là độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh C. Chọn mệnh đề sai.

A. $S_{A B C} = a b \sin C .$ B. $S_{A B C} = p r .$ C. $S_{A B C} = \frac{a b c}{4 R} .$ D. $S_{A B C} = \frac{1}{2} c . h_{c} .$

Câu 17: Tam giác ABC có BC = 1, AC = 3, $∠ C = 60^{0}$ . Tính độ dài cạnh AB.

A. $\sqrt{13} .$ B. $\sqrt{7} .$ C. $\frac{\sqrt{34}}{2} .$ D. $\frac{\sqrt{46}}{2} .$

Câu 18: Bảng biến thiên nào dưới đây là của hàm số $y = - x^{2} + 2 x + 2$ ?

A. . B. .

C. . D.

Câu 19: Phần không bị gạch trên hình vẽ dưới đây minh họa cho tập hợp nào?

A. $(0; 1) .$ B. $(1; + \infty) .$ C. $[1; + \infty) .$ D. $(0; 1] .$

Câu 20: Cho $α$ và $β$ là hai góc khác nhau và bù nhau, trong các đẳng thức sau đây đẳng thức nào sai?

A. $\sin α = \sin β .$ B. $\cos α = - \cos β .$ C. $\tan α = - \tan β .$ D. $\cot α = \cot β .$

Câu 21: Cho hàm số $y = a x^{2} + b x + c$ có đồ thị như hình bên dưới. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $a > 0, b < 0, c < 0$ . B. $a > 0, b < 0, c > 0$ . C. $a > 0, b > 0, c > 0$ . D. $a < 0, b < 0, c < 0$ .

Câu 22: Tam giác ABC có AB = 4, BC = 6, $A C = 2 \sqrt{7}$ . Điểm M thuộc đoạn BC sao cho MC = 2MB. Tính độ dài cạnh AM.

A. $A M = 3 \sqrt{2} .$ B. $A M = 4 \sqrt{2} .$ C. $A M = 2 \sqrt{3} .$ D. $A M = 3.$

Câu 23: Nửa mặt phẳng không bị gạch chéo ở hình dưới đây là miền nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương trình sau?

A. $2 x + y < 1.$ B. $2 x - y > 1.$ C. $x + 2 y > 1.$ D. $2 x + y > 1.$

Câu 24: Cho góc $α$ với $0^{0} < α < 180^{0}$ . Tính giá trị của $\cos α$ , biết $\tan α = - 2 \sqrt{2}$ .

A. $- \frac{1}{3} .$ B. $\frac{1}{3} .$ C. $\frac{2 \sqrt{2}}{3} .$ D. $\frac{\sqrt{2}}{3} .$

Câu 25: Một ca nô xuất phát từ cảng A, chạy theo hướng đông với vận tốc 50 km/h. Cùng lúc đó, một tàu cá, xuất phát từ A, chạy theo hướng N30°E với vận tốc 40 km/h. Sau 3 giờ, hai tàu cách nhau bao nhiêu kilômét?

A. 135,7km. B. 237,5km. C. 110km. D. 137,5km.

Câu 26. Cho tam giác $A B C$ và điểm $M$ thỏa mãn điều kiện $\vec{M A} - \vec{M B} + \vec{M C} = \vec{0}$ . Mệnh đề nào sau đây sai?

A. $M A B C$ là hình bình hành. B. $\vec{A M} + \vec{A B} = \vec{A C} .$

C. $\vec{B A} + \vec{B C} = \vec{B M} .$ D. $\vec{M A} = \vec{B C} .$

Câu 27. Cho hình bình hành ABCD. Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. $\vec{A C} + \vec{B D} = 2 \vec{B C}$ B. $\vec{A C} + \vec{B C} = \vec{A B}$

C. $\vec{A C} - \vec{B D} = 2 \vec{C D}$ D. $\vec{A C} - \vec{A D} = \vec{C D}$

Câu 28. Cho tam giác OAB vuông cân tại O, cạnh $O A = a$ . Khẳng định nào sau đây sai?

A. $| 3 \vec{O A} + 4 \vec{O B} | = 5 a$ B. $| 2 \vec{O A} | + | 3 \vec{O B} | = 5 a$

C. $| 7 \vec{O A} - 2 \vec{O B} | = 5 a$ D. $| 11 \vec{O A} | - | 6 \vec{O B} | = 5 a$

Câu 29. Cho tam giác $A B C$ có $B C = a, C A = b, A B = c .$ Gọi $M$ là trung điểm cạnh $B C .$ Tính $\vec{A M} . \vec{B C} .$

A. $\vec{A M} . \vec{B C} = \frac{b^{2} - c^{2}}{2} .$ B. $\vec{A M} . \vec{B C} = \frac{c^{2} + b^{2}}{2} .$

C. $\vec{A M} . \vec{B C} = \frac{c^{2} + b^{2} + a^{2}}{3} .$ D. $\vec{A M} . \vec{B C} = \frac{c^{2} + b^{2} - a^{2}}{2} .$

Câu 30. Cho hình vuông $A B C D$ cạnh $a .$ Tính $P = (\vec{A B} + \vec{A C}) . (\vec{B C} + \vec{B D} + \vec{B A}) .$

A. $P = 2 \sqrt{2} a .$ B. $P = 2 a^{2} .$ C. $P = a^{2} .$ D. $P = - 2 a^{2} .$

II. Tự luận (4 điểm)

Câu 1: (1,5 điểm) Cho tam giác ABC, M là điểm bất kỳ.

a) Chứng minh rằng $\vec{M A} . \vec{B C} + \vec{M B} . \vec{C A} + \vec{M C} . \vec{A B} = 0$

b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh: $M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} = 3 M G^{2} + G A^{2} + G B^{2} + G C^{2}$

c) Chứng minh rằng $G A^{2} + G B^{2} + G C^{2} = \frac{1}{3} (a^{2} + b^{2} + c^{2})$ , với a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác.

Câu 2: (1 điểm) Từ hai vị trí $A$ và $B$ của một tòa nhà, người ta quan sát đỉnh $C$ của ngọn núi. Biết rằng độ cao $A B = 70 m$ , phương nhìn $A C$ tạo với phương nằm ngang góc $30^{0}$ , phương nhìn $B C$ tạo với phương nằm ngang góc $15^{0} 30^{'}$ . Tìm độ cao của ngọn núi đó có độ cao so với mặt đất.

Câu 3: (1,5 điểm) Xác định và vẽ đồ thị hàm số $y = a x^{2} + b x + c$ biết đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ là $- 3$ và giá trị nhỏ nhất của hàm số là $- \frac{25}{8}$ tại $x = \frac{1}{4}$ .

-----HẾT-----

Lời giải

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

I. Trắc nghiệm (6 điểm)

1. A	6. C	11. D	16. A	21. A	26. D
2.A	7. B	12. C	17. B	22. C	27. A
3. A	8. C	13. B	18. C	23. D	28. C
4. A	9. D	14. D	19. C	24. A	29. A
5. B	10. D	15. D	20. D	25. D	30. D

Câu 1 (TH):

Phương pháp:

$\sqrt{f (x)}$ xác định khi $f (x) \geq 0$ .

Cách giải:

Hàm số $y = \sqrt{6 - 3 x} - \sqrt{x - 1}$ xác định khi ${\begin{cases} 6 - 3 x \geq 0 \\ x - 1 \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} 6 \geq 3 x \\ x \geq 1 \end{cases} \Leftrightarrow 1 \leq x \leq 2$

Do đó tập xác định là $D = [1; 2] .$

Chọn A.

Câu 2 (TH):

Phương pháp:

Phủ định của $\forall$ là $\exists$ , phủ định của > là $\leq$ .

Cách giải:

Mệnh đề phủ định của mệnh đề “ $\forall x \in R, x - 2 > 5$ ” là “ $\exists x \in R, x - 2 \leq 5$ ”.

Chọn A.

Câu 3 (TH):

Phương pháp:

Viết tập hợp theo cách liệt kê các phần tử.

Cách giải:

Giải phương trình $x (x - 2) (x - 3) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 \\ x = 3 \end{array}$ .

Mà $x \in N^{*} \Rightarrow x \in {2; 3} .$

Vậy D = {2;3}.

Chọn A.

Câu 4 (TH):

Cách giải:

TXĐ: $D = R ∖ {0}$

Xét $x_{1}; x_{2} \in D$ và $x_{1} < x_{2} \Leftrightarrow x_{1} - x_{2} < 0$

Khi đó với hàm số $y = f (x) = \frac{1}{x^{2}}$

$\Rightarrow f (x_{1}) - f (x_{2}) = \frac{1}{{x_{1}}^{2}} - \frac{1}{{x_{2}}^{2}} = \frac{(x_{2} - x_{1}) (x_{2} + x_{1})}{x_{2}^{2} . x_{1}^{2}}$

Trên $(- \infty; 0)$ $\Rightarrow f (x_{1}) - f (x_{2}) = \frac{(x_{2} - x_{1}) (x_{2} + x_{1})}{{x_{2}}^{2} . {x_{1}}^{2}} < 0$ nên hàmsố đồng biến.

Trên $(0; + \infty)$ $\Rightarrow f (x_{1}) - f (x_{2}) = \frac{(x_{2} - x_{1}) (x_{2} + x_{1})}{{x_{2}}^{2} . {x_{1}}^{2}} > 0$ nên hàm số nghịch biến.

Chọn A.

Câu 5 (VD):

Phương pháp:

Thực hiện các phép toán trên tập hợp. Sử dụng trục số.

Cách giải:

+) $A \cap B = (- 3; - 2]$

=> A đúng.

+) $A ∖ B = (- \infty; - 3]$

=> B sai.

+) $A \cup B = (- \infty; 5]$

=> C đúng.

+) $B ∖ A = (- 2; 5]$ .

=> D đúng.

Chọn B.

Câu 6 (NB):

Phương pháp:

Tập hợp A được gọi là tập con của tập hợp B nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập hợp B.

Cách giải:

$A_{3} = {4; 5} \subset A = {1; 2; 3; 4; 5}$ .

Chọn C.

Câu 7 (TH):

Cách giải:

Hoành độ đỉnh của $(P) : y = 3 x^{2} - 2 x + 1$ là $x = - \frac{b}{2 a} = \frac{1}{3}$ $\Rightarrow y = 3 {(\frac{1}{3})}^{2} - 2. \frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}$ .

Vậy $I (\frac{1}{3}; \frac{2}{3})$ .

Chọn B.

Câu 8 (TH):

Phương pháp:

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là

$a x + b y \leq c$ ( $a x + b y \geq c$ , $a x + b y < c$ , $a x + b y > c$ )

Trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn số.

Cách giải:

Ta có: $2 x^{2} + 1 \geq y + 2 x^{2} \Leftrightarrow y - 1 \leq 0$ nên đây là một bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Chọn C.

Câu 9 (NB):

Phương pháp:

Thay các tọa độ điểm vào bất phương trình, điểm nào thỏa mãn bất phương trình thì thuộc miền nghiệm của bất phương trình đó.

Cách giải:

+) Thay tọa độ điểm (5;1) vào bất phương trình ta có: 3.5 + 2.1 < 10 (Vô lí) => (5;1) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

+) Thay tọa độ điểm (4;2) vào bất phương trình ta có: 3.4 + 2.2 < 10 (Vô lí) => (4;2) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

+) Thay tọa độ điểm (1;5) vào bất phương trình ta có: 3.1 + 2.5 < 10 (Vô lí) => (1;5) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

+) Thay tọa độ điểm (1;2) vào bất phương trình ta có: 3.1 + 2.2 < 10 (Đúng) => (1;2) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Chọn D.

Câu 10 (NB):

Phương pháp:

Sử dụng định lí cosin trong tam giác: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c . \cos A .$

Cách giải:

$E F^{2} = E G^{2} + F G^{2} - 2 E G . F G . \cos G$ là mệnh đề đúng.

Chọn D.

Câu 11 (TH):

Cách giải:

Parabol $(P) : y = x^{2} + m x + n$ nhận $I (2; - 1)$ là đỉnh, khi đó ta có

${\begin{cases} 4 + 2 m + n = - 1 \\ - \frac{m}{2} = 2 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} 2 m + n = - 5 \\ m = - 4 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} n = 3 \\ m = - 4 \end{cases}$ .

Vậy $m = - 4, n = 3$ .

Chọn D.

Câu 12 (VD):

Phương pháp:

Tính sinA.

Tính diện tích tam giác ABC: $S = \frac{1}{2} b c . \sin A .$

Sử dụng định lí cosin trong tam giác tính a: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c . \cos A .$

Sử dụng công thức tính diện tích tam giác: $S = \frac{1}{2} a h_{a}$ , từ đó tính $h_{a}$ .

Cách giải:

Ta có:

$\begin{array}{l} \sin^{2} A + \cos^{2} A = 1 \\ \Leftrightarrow \sin^{2} A + {(\frac{3}{5})}^{2} = 1 \\ \Leftrightarrow \sin^{2} A = \frac{16}{25} \end{array}$

Vì $0^{0} < A < 180^{0}$ nên sinA > 0 $\Rightarrow \sin A = \frac{4}{5} .$

Diện tích tam giác ABC là: $S = \frac{1}{2} b c . \sin A . = \frac{1}{2} .7 .5 . \frac{4}{5} = 14.$

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

$\begin{array}{l} a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c . \cos A . \\ = 7^{2} + 5^{2} - 2.7.5. \frac{3}{5} \\ = 32 \\ \Rightarrow a = 4 \sqrt{2} . \end{array}$

Lại có: $S = \frac{1}{2} a h_{a} \Rightarrow h_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2.14}{4 \sqrt{2}} = \frac{7 \sqrt{2}}{2} .$

Chọn C.

Câu 13 (TH):

Cách giải:

Do đồ thị hàm số có đỉnh là $I (2; - 1)$ $\Rightarrow {\begin{cases} \frac{- b}{2 a} = 2 \\ f (2) = - 1 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} 4 a + b = 0 \\ 4 a + 2 b + c = - 1 \end{cases}$ $(1)$

Do đồ thị hàm số đi qua điểm $(0; 3) \Rightarrow f (0) = 3 \Leftrightarrow c = 3$ $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ $\Rightarrow {\begin{cases} a = 1 \\ b = - 4 \\ c = 3 \end{cases}$ $\Rightarrow T = 26$

Chọn B.

Câu 14 (NB):

Phương pháp:

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Cách giải:

${\begin{cases} x - 4 \geq y \\ 3 x + 4 y < 5 \end{cases}$ là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Chọn D.

Câu 15 (NB):

Phương pháp:

Nhớ bảng giá trị lượng giác của các góc thường dùng hoặc sử dụng máy tính cầm tay.

Cách giải:

$\begin{array}{l} T = 2 + \sin^{2} 90^{0} + 2 \cos^{2} 60^{0} - 3 \tan^{2} 45^{0} \\ T = 2 + 1^{2} + 2. {(\frac{1}{2})}^{2} - {3.1}^{2} \\ T = \frac{1}{2} . \end{array}$

Chọn D.

Câu 16 (NB):

Phương pháp:

Sử dụng các công thức tính diện tích tam giác: $S_{A B C} = \frac{1}{2} a b \sin C = p r = \frac{a b c}{4 S} = \frac{1}{2} c . h_{c} .$

Cách giải:

$S_{A B C} = \frac{1}{2} a b \sin C$ nên đáp án A sai.

Chọn A.

Câu 17 (NB):

Phương pháp:

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác: $A B^{2} = B C^{2} + A C^{2} - 2 B C . A C . \cos C$ .

Cách giải:

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác ABC:

$\begin{array}{l} A B^{2} = B C^{2} + A C^{2} - 2 B C . A C . \cos C \\ = 1^{2} + 3^{2} - 2.1.3. \cos 60^{0} = 7 \\ \Rightarrow A B = \sqrt{7} . \end{array}$

Chọn B.

Câu 18 (TH):

Cách giải:

Hàm số $y = - x^{2} + 2 x + 2$ là hàm số bậc hai, có $a = - 1 < 0, b = 2$

=> Loại A, D.

Parabol có hoành độ đỉnh $- \frac{b}{2 a} = - \frac{2}{2. (- 1)} = 1$ => Loại B

Chọn C.

Câu 19 (NB):

Phương pháp:

Biểu diễn tập hợp trên trục số.

Cách giải:

Hình vẽ đã cho là minh họa cho tập hợp $[1; + \infty) .$

Chọn C.

Câu 20 (NB):

Phương pháp:

Sử dụng mối liên hệ giá trị lượng giác của hai góc bù nhau: Cho $α$ và $β$ là hai góc khác nhau và bù nhau ta có: $\sin α = \sin β,$ $\cos α = - \cos β$ , $\tan α = - \tan β$ , $\cot α = - \cot β .$

Cách giải:

$α$ và $β$ là hai góc khác nhau và bù nhau nên $\sin α = \sin β,$ $\cos α = - \cos β$ , $\tan α = - \tan β$ , $\cot α = - \cot β .$

Vậy đẳng thức ở đáp án D sai.

Chọn D.

Câu 21 (TH):

Cách giải:

Parabol có bề lõm quay lên $\Rightarrow a > 0$ loại D.

Parabol cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên $c < 0$ loại B, C.

Chọn A.

Câu 22 (VD):

Phương pháp:

Sử dụng hệ quả định lí cosin trong tam giác ABC tính cosB: $\cos B = \frac{A B^{2} + B C^{2} - A C^{2}}{2 A B . B C}$ .

Tính BM, CM.

Sử dụng định lí cosin trong tam giác ABM tính AM: $A M^{2} = A B^{2} + B M^{2} - 2 A B . B M . \cos B$ .

Cách giải:

Ta có:

$\begin{array}{l} \cos B = \frac{A B^{2} + B C^{2} - A C^{2}}{2 A B . B C} \\ = \frac{4^{2} + 6^{2} - {(2 \sqrt{7})}^{2}}{2.4.6} = \frac{1}{2} \end{array}$

Vì MC = 2MB, BC = 6 nên $B M = \frac{1}{3} B C = \frac{1}{3} .6 = 2.$

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABM ta có:

$\begin{array}{l} A M^{2} = A B^{2} + B M^{2} - 2 A B . B M . \cos B \\ = 4^{2} + 2^{2} - 2.4.2. \frac{1}{2} = 12 \\ \Rightarrow A M = 2 \sqrt{3} . \end{array}$

Chọn C.

Câu 23 (TH):

Phương pháp:

Tìm phương trình đường thẳng d. Loại đáp án.

Thay tọa độ điểm O(0;0) vào các bất phương trình chưa bị loại ở các đáp án, tiếp tục loại đáp án.

Cách giải:

Đường thẳng d đi qua điểm (0;1) nên loại đáp án B, C.

Ta thấy điểm O(0;0) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

+ Thay tọa độ điểm O(0;0) vào bất phương trình $2 x + y < 1$ ta có: 2.0 + 0 < 1 (Đúng) => Loại.

+ Thay tọa độ điểm O(0;0) vào bất phương trình $2 x + y > 1$ ta có: 2.0 + 0 > 1 (Vô lí) => Thỏa mãn.

Chọn D.

Câu 24 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng công thức: $1 + \tan^{2} α = \frac{1}{\cos^{2} α} .$

Cách giải:

Ta có:

$\begin{array}{l} 1 + \tan^{2} α = \frac{1}{\cos^{2} α} \\ \Leftrightarrow 1 + {(- 2 \sqrt{2})}^{2} = \frac{1}{\cos^{2} α} \\ \Leftrightarrow \cos^{2} α = \frac{1}{9} \\ \Leftrightarrow \cos α = \pm \frac{1}{3} \end{array}$

Vì $0^{0} < α < 180^{0}$ $\Rightarrow \sin α > 0$ . Mà $\tan α = \frac{\sin α}{\cos α} < 0$ nên $\cos α < 0$ .

Vậy $\cos α = - \frac{1}{3} .$

Chọn A.

Câu 25 (VD):

Phương pháp:

Hướng N30⁰E là hướng tạo với hướng bắc một góc 30⁰ và tạo với hướng đông một góc $90^{0} - 30^{0} = 60^{0}$ .

Áp dụng định lí cosin trong tam giác.

Cách giải:

Hướng N30⁰E là hướng tạo với hướng bắc một góc 30⁰ và tạo với hướng đông một góc $90^{0} - 30^{0} = 60^{0}$ .

A là vị trí cảng.

Ca nô đi theo hướng đông từ A đến B, sau 3 giờ đi được quãng đường AB = 50.3 = 150 (km).

Tàu cá đi theo hướng N30⁰E từ A đến C, sau 3 giờ đi được quãng đường AC = 40.3 = 120 (km).

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác ABC ta có:

$\begin{array}{l} B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2 A B . A C . \cos 60^{} \\ = 150^{2} + 120^{2} - 2.150.120. \frac{1}{2} \\ = 18 900 \\ \Rightarrow B C = 30 \sqrt{21} \approx 137, 5. \end{array}$

Vậy sau 3 giờ hai tàu cách nhau khoảng 137,5km.

Chọn D.

Câu 26.

Cách giải:

Ta có $\vec{M A} - \vec{M B} + \vec{M C} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{B A} + \vec{M C} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{M C} = \vec{A B}$

$\Rightarrow M A B C$ là hình bình hành

$\Rightarrow \vec{M A} = \vec{C B} .$

Do đó D sai.

Chọn D.

Câu 27.

Cách giải:

Vì ABCD là hình bình hành nên $\vec{A B} = \vec{D C}$ hay $\vec{A B} + \vec{C D} = \vec{0}$

Ta có: ${\begin{cases} \vec{A C} = \vec{A B} + \vec{B C} \\ \vec{B D} = \vec{B C} + \vec{C D} \end{cases}$ $\Rightarrow \vec{A C} + \vec{B D} = 2 \vec{B C} + \vec{A B} + \vec{C D} = 2 \vec{B C}$

Vậy A đúng.

$\vec{A C} + \vec{C B} = \vec{A B}$ => B sai.

$\vec{A C} - \vec{B D} = \vec{A B} - \vec{C D} = \vec{D C} + \vec{D C} = 2 \vec{D C} = - 2 \vec{C D}$ => C sai

$\vec{A C} - \vec{A D} = \vec{D C}$ => D sai.

Chọn A.

Câu 28.

Cách giải:

Ta có: $O A = O B = a$

$\Rightarrow | 2 \vec{O A} | + | 3 \vec{O B} | = 2 a + 3 a = 5 a$ . Vậy B đúng.

Tương tự, ta có $| 11 \vec{O A} | - | 6 \vec{O B} | = 11 a - 6 a = 5 a$ . Do đó D đúng.

Lấy C, D sao cho $\vec{O C} = 3 \vec{O A}; \vec{O D} = 4 \vec{O B};$

Dựng hình bình hành OCED. Do $\hat{A O B} = 90^{\circ}$ nên OCED là hình chữ nhật.

Ta có: $3 \vec{O A} + 4 \vec{O B} = \vec{O C} + \vec{O D} = \vec{O E}$

$\Rightarrow | 3 \vec{O A} + 4 \vec{O B} | = | \vec{O E} | = O E$

Lại có: $O C = 3 O A = 3 a, O D = 4 O B = 4 a .$

$\Rightarrow O E = \sqrt{O C^{2} + C E^{2}} = \sqrt{O C^{2} + O D^{2}} = \sqrt{{(3 a)}^{2} + {(4 a)}^{2}} = 5 a$

Do đó A đúng.

Chọn C

Câu 29.

Cách giải:

Vì M là trung điểm của BC suy ra $\vec{A B} + \vec{A C} = 2 \vec{A M}$

Khi đó $\vec{A M} . \vec{B C} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C}) . \vec{B C} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C}) . (\vec{B A} + \vec{A C})$

$= \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C}) . (\vec{A C} - \vec{A B}) = \frac{1}{2} ({\vec{A C}}^{2} - {\vec{A B}}^{2}) = \frac{1}{2} (A C^{2} - A B^{2}) = \frac{b^{2} - c^{2}}{2}$

Chọn A.

Câu 30.

Cách giải:

Ta có ${\begin{cases} B D = a \sqrt{2} \\ \vec{B C} + \vec{B D} + \vec{B A} = (\vec{B C} + \vec{B A}) + \vec{B D} = \vec{B D} + \vec{B D} = 2 \vec{B D} \end{cases}$

Khi đó $P = (\vec{A B} + \vec{A C}) .2 \vec{B D} = 2 \vec{A B} . \vec{B D} + 2 \vec{A C} . \vec{B D} = - 2 \vec{B A} . \vec{B D} + \vec{0}$

$= - 2 B A . B D \cos (\vec{B A}, \vec{B D}) = - 2. a . a \sqrt{2} . \frac{\sqrt{2}}{2} = - 2 a^{2}$

Chọn D.

II. Tự luận (4 điểm)

Câu 1 (TH):

Cách giải:

a) Ta có:

$= \vec{M A} \cdot (\vec{M C} - \vec{M B}) + \vec{M B} (\vec{M A} - \vec{M C}) + \vec{M C} (\vec{M B} - \vec{M A}) =$

$= \vec{M A} \cdot \vec{M C} - \vec{M A} \cdot \vec{M B} + \vec{M B} \cdot \vec{M A} - \vec{M B} \cdot \vec{M C} + \vec{M C} \cdot \vec{M B} - \vec{M C} \cdot \vec{M A}$

$= \vec{M A} \cdot \vec{M C} - \vec{M C} \cdot \vec{M A} - \vec{M A} \cdot \vec{M B} + \vec{M B} \cdot \vec{M A} - \vec{M B} \cdot \vec{M C} + \vec{M C} \cdot \vec{M B} = 0$

$M A^{2} = {\vec{M A}}^{2} = (\vec{M G} + \vec{G A})^{2} = M G^{2} + G A^{2} + 2 \vec{M G} \cdot \vec{G A}$

$M B^{2} = {\vec{M B}}^{2} = (\vec{M G} + \vec{G B})^{2} = M G^{2} + G B^{2} + 2 \vec{M G} \cdot \vec{G B}$

$M C^{2} = {\vec{M C}}^{2} = (\vec{M G} + \vec{G C})^{2} = M G^{2} + G C^{2} + 2 \vec{M G} \cdot \vec{G C}$

$\Rightarrow M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} = 3 M G^{2} + G A^{2} + G B^{2} + G C^{2} + 2 (\vec{M G} \cdot \vec{G A} + \vec{M G} \cdot \vec{G B} + \vec{M G} \cdot \vec{G C})$

$= 3 M G^{2} + G A^{2} + G B^{2} + G C^{2} + 2 \vec{M G} (\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C}) = 3 M G^{2} + G A^{2} + G B^{2} + G C^{2}$

c) Vì $M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} = 3 M G^{2} + G A^{2} + G B^{2} + G C^{2}$ đúng với M bất kì.

Chọn $M \equiv A$ ta được:

$A A^{2} + A B^{2} + A C^{2} = 3 A G^{2} + G A^{2} + G B^{2} + G C^{2}$

$\Leftrightarrow A B^{2} + A C^{2} = 4 G A^{2} + G B^{2} + G C^{2}$

Tương tự,

$M \equiv B \Rightarrow B A^{2} + B C^{2} = 4 G B^{2} + G A^{2} + G C^{2}$

$M \equiv C \Rightarrow C B^{2} + A C^{2} = 4 G C^{2} + G B^{2} + G A^{2}$

Thay $A B = c, A C = b, B C = a$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 6 (G A^{2} + G B^{2} + G C^{2}) = 2 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) \\ \Leftrightarrow G A^{2} + G B^{2} + G C^{2} = \frac{1}{3} (a^{2} + b^{2} + c^{2}) \end{array}$

Câu 2 (VD):

Cách giải:

Từ giả thiết, ta suy ra tam giác ABC có

và $c = 70$

Khi đó

Theo định lí sin, ta có $\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$ hay

Do đó

Gọi CH là khoảng cách từ C đến mặt đất. Tam giác vuông ACH có cạnh CH đối diện với góc ${30^^\circ }$ nên $C H = \frac{A C}{2} = \frac{269, 4}{2} = 134, 7 m$

Vậy ngọn núi cao khoảng 135m.

Câu 3 (VD):

Cách giải:

+ Đồ thị cắt trục tung tại điểm $A (0; c)$ $\Rightarrow c = - 3$ .

+ Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $- \frac{25}{8}$ tại $x = \frac{1}{4}$ nên đỉnh của đồ thị hàm số là $I (\frac{1}{4}; - \frac{25}{8})$

Suy ra ${\begin{cases} \frac{- b}{2 a} = \frac{1}{4} \\ a . \frac{1}{16} + \frac{1}{4} b - 3 = - \frac{25}{8} \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} 2 a + 4 b = 0 \\ a + 4 b = - 2 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} a = 2 \\ b = - 1 \end{cases}$

Vậy hàm số cần tìm là $y = 2 x^{2} - x - 3$ .

Vẽ đồ thị hàm số

Đỉnh $I (\frac{1}{4}; - \frac{25}{8})$

Trục đối xứng $x = \frac{1}{4}$

Giao với trục Oy tại $A (0; - 3)$ , giao với Ox tại $B (- 1; 0), C (\frac{3}{2}; 0)$

Lấy điểm $D (2; 3), E (- \frac{3}{2}; 3) \in (P)$