Đề thi học kì 1 Toán 10 Cánh diều - Đề số 9

Câu 1: Tìm tập xác định ({rm{D}}) của hàm số (y = sqrt {6 - 3x} + frac{1}{{sqrt {x - 1} }}.) A. ({rm{D}} = left[ {1;2} right].) B. ({rm{D}} = left( {1;2} right).) C. ({rm{D}} = (1;2].) D. ({rm{D}} = left[ { - 1;2} right].)

Đề bài

I. Trắc nghiệm (6 điểm)

Câu 1: Tìm tập xác định $D$ của hàm số $y = \sqrt{6 - 3 x} + \frac{1}{\sqrt{x - 1}} .$

A. $D = [1; 2] .$ B. $D = (1; 2) .$ C. $D = (1; 2] .$ D. $D = [- 1; 2] .$

Câu 2: Cho mệnh đề P(x): “ $\forall x \in R$ , $x^{2} + x + 1 > 0$ ”. Mệnh đề phủ định của mệnh đề P(x) là

A. “ $\forall x \in R$ , $x^{2} + x + 1 < 0$ ”. B. “ $\forall x \in R$ , $x^{2} + x + 1 \leq 0$ ”.

C. “ $\exists x \in R$ , $x^{2} + x + 1 \leq 0$ ”. D. “ $\exists x \in R$ , $x^{2} + x + 1 > 0$ ”.

Câu 3: Cho hàm số $. y = \frac{\sqrt{x - 2} - 2}{x - 6}$ . Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số:

A. $(6; 0)$ . B. $(2; - 0, 5)$ . C. $(2; 0, 5)$ . D. $(0; 6)$ .

Câu 4: Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là tập hợp rỗng:

A. $A = {x \in R | | x | < 1}$ B. $A = {x \in Z | 6 x^{2} - 7 x + 1 = 0}$ C. $A = {x \in Z | x^{2} - 4 x + 2 = 0}$ D. $A = {x \in N | x^{2} - 4 x + 3 = 0}$

Câu 5: Cho hai tập hợp $A = (- \infty; 2]$ và $B = (- 3; 5]$ . Tìm mệnh đề sai.

A. $A \cap B = (- 3; 2] .$ B. $A ∖ B = (- \infty; - 3)$ . C. $A \cup B = (- \infty; 5]$ . D. $B ∖ A = (2; 5]$ .

Câu 6: Cho tập hợp: $B = {x; y; z; 1; 5} .$ Số tập hợp con của tập hợp $B$ là

A. 29 B. 30 C. 31 D. 32

Câu 7: Hàm số $y = a x^{2} + b x + c$ , $(a > 0)$ nghịch biến trong khoảng nào sau đậy?

A. $(- \infty; - \frac{b}{2 a}) .$ B. $(- \frac{b}{2 a}; + \infty) .$ C. $(- \frac{Δ}{4 a}; + \infty) .$ D. $(- \infty; - \frac{Δ}{4 a}) .$

Câu 8: Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. $2 x^{2} + 3 y > 0$ B. $x^{2} + y^{2} < 2$ C. $x + y^{2} \geq 0$ D. $x + y \geq 0$

Câu 9: Miền nghiệm của bất phương trình $(1 + \sqrt{3}) x - (1 - \sqrt{3}) y \geq 2$ chứa điểm nào sau đây?

A. A(1;-1) B. B(-1;-1) C. C(-1;1) D. $D (- \sqrt{3}; \sqrt{3})$

Câu 10: (ID: 590544) Trong tam giác EFG, chọn mệnh đề đúng.

A. $E F^{2} = E G^{2} + F G^{2} + 2 E G . F G . \cos G .$ B. $E F^{2} = E G^{2} + F G^{2} + 2 E G . F G . \cos E .$

C. $E F^{2} = E G^{2} + F G^{2} - 2 E G . F G . \cos E .$ D. $E F^{2} = E G^{2} + F G^{2} - 2 E G . F G . \cos G .$

Câu 11: Cho hình chữ nhật ABCD có $A B = a$ và $A D = a \sqrt{2}$ . Gọi K là trung điểm của cạnh AD. Tính $\vec{B K} . \vec{A C}$

A. $\vec{B K} . \vec{A C} = \vec{0}$ B. $\vec{B K} . \vec{A C} = - a^{2} \sqrt{2}$ C. $\vec{B K} . \vec{A C} = a^{2} \sqrt{2}$ D. $\vec{B K} . \vec{A C} = 2 a^{2}$

Câu 12: (ID: 590546) Cho tam giác ABC có b = 7, c = 5, $\cos A = \frac{3}{5} .$ Độ dài đường cao $h_{a}$ của tam giác ABC là:

A. $8.$ B. $8 \sqrt{3} .$ C. $\frac{7 \sqrt{2}}{2} .$ D. $7 \sqrt{2} .$

Câu 13: Hàm số bậc hai nào sau đây có đồ thị là parabol có đỉnh là $S (\frac{5}{2}; \frac{1}{2})$ và đi qua $A (1; - 4)$ ?

A. $y = - x^{2} + 5 x - 8$ . B. $y = - 2 x^{2} + 10 x - 12$ .

C. $y = x^{2} - 5 x$ . D. $y = - 2 x^{2} + 5 x + \frac{1}{2}$ .

Câu 14: Cho hệ bất phương trình ${\begin{array}{l} 2 x - 5 y - 1 > 0 \\ 2 x + y + 5 > 0 \\ x + y + 1 < 0 \end{array}$ . Trong các điểm sau, điểm nào thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình?

A. $O (0; 0)$ B. $M (1; 0)$ C. $N (0; - 2)$ D. $P (0; 2)$

Câu 15: Cho parabol $y = a x^{2} + b x + c$ có đồ thị như hình sau

Phương trình của parabol này là

A. $y = - x^{2} + x - 1$ . B. $y = 2 x^{2} + 4 x + 1$ . C. $y = x^{2} - 2 x - 1$ . D. $y = 2 x^{2} - 4 x - 1$ .

Câu 16: Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh a.

A. $r = \frac{a \sqrt{3}}{4}$ B. $r = \frac{a \sqrt{2}}{5}$ C. $r = \frac{a \sqrt{3}}{6}$ D. $r = \frac{a \sqrt{5}}{7}$

Câu 17: Tam giác ABC có $A B = \sqrt{2}, A C = \sqrt{3}$ và $C = 45^{0}$ . Tính độ dài cạnh BC.

A. $B C = \sqrt{5}$ B. $B C = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$ C. $B C = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$ D. $B C = \sqrt{6}$

Câu 18: Bảng biến thiên của hàm số $y = - x^{2} + 2 x - 1$ là:

A. B.

C. D.

Câu 19: Phần không bị gạch trên hình vẽ dưới đây minh họa cho tập hợp nào?

A. $(- 3; + \infty) .$ B. $(5; + \infty) .$ C. ${- 3; 5}$ D. $(- 3; 5] .$

Câu 20: Giá trị lớn nhất của hàm số $y = - 3 x^{2} + 2 x + 1$ trên đoạn $[1; 3]$ là:

A. $\frac{4}{5}$ B. 0 C. $\frac{1}{3}$ D. $- 20$

Câu 21: Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ thỏa mãn $| \vec{a} | = 3,$ $| \vec{b} | = 2$ và $\vec{a} . \vec{b} = - 3.$ Xác định góc $α$ giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b} .$

A. $α = 30^{0} .$ B. $α = 45^{0} .$ C. $α = 60^{0} .$ D. $α = 120^{0} .$

Câu 22: Cho tam giác cân $A B C$ có $\hat{A} = 120^{0}$ và $A B = A C = a$ . Lấy điểm $M$ trên cạnh $B C$ sao cho $B M = \frac{2 B C}{5}$ . Tính độ dài $A M .$

A. $\frac{a \sqrt{3}}{3}$ B. $\frac{11 a}{5}$ C. $\frac{a \sqrt{7}}{5}$ D. $\frac{a \sqrt{6}}{4}$

Câu 23: Nửa mặt phẳng không bị gạch chéo ở hình dưới đây là miền nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương trình sau?

A. $2 x - y < 3$ B. $2 x - y > 3$ C. $x - 2 y < 3$ D. $x - 2 y > 3$

Câu 24: Cho góc $α$ với $0^{0} < α < 180^{0}$ . Tính giá trị của $\cos α$ , biết $\tan α = - 2 \sqrt{2}$ .

A. $- \frac{1}{3} .$ B. $\frac{1}{3} .$ C. $\frac{2 \sqrt{2}}{3} .$ D. $\frac{\sqrt{2}}{3} .$

Câu 25: Để đo khoảng cách từ một điểm A trên bờ sông đến gốc cây C trên cù lao giữa sông, người ta chọn cùng một điểm trên bờ với A sao cho từ A và B có thể nhìn thấy điểm C. Ta đo được khoảng cách AB = 40cm, $∠ C A B = 45^{0}$ , $∠ C B A = 70^{0}$ . Vậy sau khi đo đạc và tính toán được khoảng cách AC gần nhất với giá trị nào sau đây?

A. 53 m B. 30 m C. 41,5 m D. 41 m

Câu 26: Cho hình vuông ABCD cạnh $a$ , $M$ là điểm thay đổi. Độ dài véctơ $\vec{u} = \vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} - 3 \vec{M D}$ là:

A. $4 a \sqrt{2}$ B. $a \sqrt{2}$ C. $3 a \sqrt{2}$ D. $2 a \sqrt{2}$

Câu 27: Cho tam giác ABC đều cạnh a, G là trọng tâm. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. $\vec{A B} . \vec{A C} = \frac{1}{2} a^{2} .$ B. $\vec{A C} . \vec{C B} = - \frac{1}{2} a^{2} .$ C. $\vec{G A} . \vec{G B} = \frac{1}{6} a^{2} .$ D. $\vec{A B} . \vec{A G} = \frac{1}{2} a^{2} .$

Câu 28: Cho bốn điểm A,B,C,D phân biệt. Khi đó, $\vec{A B} - \vec{D C} + \vec{B C} - \vec{A D}$ bằng véctơ nào sau đây?

A. $\vec{0}$ B. $\vec{B D}$ C. $\vec{A C}$ D. $2 \vec{D C}$

Câu 29: Cho hình chữ nhật ABCD. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\vec{A C} = \vec{B D}$ B. $\vec{A B} + \vec{A C} + \vec{A D} = \vec{0}$

C. $| \vec{A B} - \vec{A D} | = | \vec{A B} + \vec{A D} |$ D. $| \vec{B C} + \vec{B D} | = | \vec{A C} - \vec{A B} |$

Câu 30: Cho tam giác ABC có trung tuyến BM và trọng tâm $G$ . Đặt $\vec{B C} = \vec{a}, \vec{B A} = b$ . Hãy phân tích vectơ $\vec{B G}$ theo $\vec{a}$ và $\vec{b}$ .

A. $\vec{B G} = \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$ B. $\vec{B G} = \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$ C. $\vec{B G} = \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$ D. $\vec{B G} = \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$

II. Tự luận (4 điểm)

Câu 1: Cho ba lực $\vec{F_{1}} = \vec{M A}$ , $\vec{F_{2}} = \vec{M B}$ , $\vec{F_{3}} = \vec{M C}$ cùng tác động vào một vật tại điểm M và vật đứng yên. Cho biết cường độ lực $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}$ đều bằng 50 N và tam giác MAB vuông tại M. Tìm hướng và cường độ lực $\vec{F_{3}}$

Câu 2: Muốn đo chiều cao của tháp chàm Por Klong Garai ở Ninh Thuận, người ta lấy hai điểm A và B trên mặt đất có khoảng cách $A B = 12 m$ , cùng thẳng hàng với chân C của tháp để đặt giác kế. Chân của giác kế có chiều cao h = 1,3m. Gọi D là đỉnh tháp và hai điểm $A_{1}, B_{1}$ cùng thẳng hàng với $C_{1}$ thuộc chiều cao CD của tháp. Người ta đo được $\hat{D A_{1} C_{1}} = 49^{\circ}$ và $\hat{D B_{1} C_{1}} = 35^{\circ}$ . Tính chiều cao CD của tháp đó.

Câu 3: Tìm parabol (P) $y = a x^{2} + b x + c$ biết (P) có đỉnh $I (2; 3)$ và giao với Oy tại điểm có tung độ bằng -1. Vẽ đồ thị hàm số tìm được.

-----HẾT-----

Lời giải

I. Trắc nghiệm (6 điểm)

1. C	2. C	3. C	4. C	5. B	6. D	7.A	8. D
9. A	10. D	11. A	12. C	13. B	14. C	15. D	16. C
17. B	18. A	19. D	20. B	21. D	22. C	23. D	24. C
25. C	26. D	27. C	28. A	29.A	30. A

Câu 1 (NB):

Phương pháp:

$\sqrt{P (x)}$ có nghĩa khi $P (x) \geq 0$ .
$\frac{Q (x)}{\sqrt{P (x)}}$ có nghĩa khi $P (x) > 0$ .

Cách giải:

Hàm số $y = \sqrt{6 - 3 x} + \frac{1}{\sqrt{x - 1}}$ xác định khi ${\begin{cases} 6 - 3 x \geq 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x \leq 2 \\ x > 1 \end{cases} \Leftrightarrow 1 < x \leq 2$

Vậy tập xác định $D = (1; 2]$

Chọn C.

Câu 2 (TH):

Phương pháp:

Phủ định của mệnh đề “ $\forall x \in K, P (x)$ ” là mệnh đề “ $\exists x \in K, \bar{P (x)}$ ”.

Cách giải:

Mệnh đề phủ định của mệnh đề P(x): “ $\forall x \in R$ , $x^{2} + x + 1 > 0$ ” là “ $\exists x \in R$ , $x^{2} + x + 1 \leq 0$ ”.

Chọn C.

Câu 3 (TH):

Phương pháp:

Thay tọa độ các điểm vào hàm số

Cách giải:

Với $x = 6, x = 0$ thì $y = \frac{\sqrt{x - 2} - 2}{x - 6}$ không xác định. Suy ra điểm $(6; 0)$ và $(0; 6)$ không thuộc đồ thị hàm số

Với $x = 2$ thì $y = \frac{\sqrt{2 - 2} - 2}{2 - 6} = 0, 5 \neq - 0, 5$ . Suy ra điểm $(2; - 0, 5)$ không thuộc đồ thị hàm số, điểm $(2; 0, 5)$ thuộc đồ thị hàm số

Chọn C.

Câu 4 (TH):

Phương pháp:

Tập hợp rỗng không chứa phần tử nào.

Cách giải:

+) Xét đáp án A: ${\begin{array}{l} x \in R \\ | x | < 1 \end{array} \Rightarrow - 1 < x < 1$ $\Rightarrow A = (- 1; 1) \neq \emptyset$

$\Rightarrow$ Loại đáp án A.

+) Xét đáp án B: $6 x^{2} - 7 x + 1 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = \frac{1}{6} \end{array}$ $\Rightarrow A = {1} \neq \emptyset$

$\Rightarrow$ Loại đáp án B.

+) Xét đáp án C: $x^{2} - 4 x + 2 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 + \sqrt{2} \\ x = 2 - \sqrt{2} \end{array}$ $\Rightarrow A = \emptyset$

Chọn C.

Câu 5 (VD):

Phương pháp:

Thực hiện các phép toán trên tập hợp. Sử dụng trục số.

Cách giải:

+) $A \cap B = (- 3; 2]$

=> A đúng.

+) $A ∖ B = (- \infty; - 3]$

=> B sai.

+) $A \cup B = (- \infty; 5]$

=> C đúng.

+) $B ∖ A = (2; 5]$ .

=> D đúng.

Chọn B.

Câu 6 (TH):

Phương pháp:

Cho tập hợp B có n phần tử. Số tập hợp con của B là $2^{n}$

Cách giải:

Tập hợp $B = {x; y; z; 1; 5}$ có 5 phần tử.

Số tập hợp con của tập B là: $2^{5} = 32$

Chọn D.

Câu 7 (NB):

Cách giải:

Với $a > 0$ , ta có bảng biến thiên

Hàm số nghịch biến trên $(- \infty; - \frac{b}{2 a}) .$

Chọn A.

Câu 8 (TH):

Phương pháp:

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là $a x + b y + c < 0$ , $a x + b y + c > 0$ , $a x + b y + c \leq 0$ , $a x + b y + c \geq 0$ , trong đó a, b, c là các số cho trước sao cho $a^{2} + b^{2} \neq 0$ .

Cách giải:

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là $x + y \geq 0$ .

Chọn D.

Câu 9 (TH):

Phương pháp:

Thay tọa độ các điểm ở các đáp án vào bất phương trình.

Cách giải:

Thay tọa độ điểm A(1;-1) ta có: $(1 + \sqrt{3}) + (1 - \sqrt{3}) = 2 \geq 2$ (Đúng).

Vậy điểm A thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Chọn A.

Câu 10 (NB):

Phương pháp:

Sử dụng định lí cosin trong tam giác: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c . \cos A .$

Cách giải:

$E F^{2} = E G^{2} + F G^{2} - 2 E G . F G . \cos G$ là mệnh đề đúng.

Chọn D.

Câu 11 (VD):

Cách giải:

Ta có:

$A C = B D = \sqrt{A B^{2} + A D^{2}} = \sqrt{2 a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{3}$

Lại có:

${\begin{cases} \vec{B K} = \vec{B A} + \vec{A K} = \vec{B A} + \frac{1}{2} \vec{A D} \\ \vec{A C} = \vec{A B} + \vec{A D} \end{cases}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \vec{B K} . \vec{A C} = (\vec{B A} + \frac{1}{2} \vec{A D}) . (\vec{A B} + \vec{A D}) \\ = \vec{B A} . \vec{A B} + \vec{B A} . \vec{A D} + \frac{1}{2} \vec{A D} . \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D} . \vec{A D} \\ = - a^{2} + 0 + 0 + \frac{1}{2} {(a \sqrt{2})}^{2} \\ = 0 \end{array}$

Chọn A.

Câu 12 (VD):

Phương pháp:

Tính sinA.

Tính diện tích tam giác ABC: $S = \frac{1}{2} b c . \sin A .$

Sử dụng định lí cosin trong tam giác tính a: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c . \cos A .$

Sử dụng công thức tính diện tích tam giác: $S = \frac{1}{2} a h_{a}$ , từ đó tính $h_{a}$ .

Cách giải:

Ta có:

$\begin{array}{l} \sin^{2} A + \cos^{2} A = 1 \\ \Leftrightarrow \sin^{2} A + {(\frac{3}{5})}^{2} = 1 \\ \Leftrightarrow \sin^{2} A = \frac{16}{25} \end{array}$

Vì $0^{0} < A < 180^{0}$ nên sinA > 0 $\Rightarrow \sin A = \frac{4}{5} .$

Diện tích tam giác ABC là: $S = \frac{1}{2} b c . \sin A . = \frac{1}{2} .7 .5 . \frac{4}{5} = 14.$

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

$\begin{array}{l} a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c . \cos A . \\ = 7^{2} + 5^{2} - 2.7.5. \frac{3}{5} \\ = 32 \\ \Rightarrow a = 4 \sqrt{2} . \end{array}$

Lại có: $S = \frac{1}{2} a h_{a} \Rightarrow h_{a} = \frac{2 S}{a} = \frac{2.14}{4 \sqrt{2}} = \frac{7 \sqrt{2}}{2} .$

Chọn C.

Câu 13 (TH):

Cách giải:

Hàm số bậc hai cần tìm có phương trình: $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$

Hàm số bậc hai có đồ thị là parabol có đỉnh là $S (\frac{5}{2}; \frac{1}{2})$ và đi qua $A (1; - 4)$

$\Rightarrow {\begin{cases} \frac{- b}{2 a} = \frac{5}{2} \\ a . \frac{25}{4} + b . \frac{5}{2} + c = \frac{1}{2} \\ a + b + c = - 4 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} \frac{- b}{a} = 5 \\ 25 a + 10 b + 2 c = 2 \\ a + b + c = - 4 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} 5 a + b = 0 \\ 25 a + 10 b + 2 c = 2 \\ a + b + c = - 4 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} a = - 2 \\ b = 10 \\ c = - 12 \end{cases}$

Chọn B.

Câu 14 (TH):

Phương pháp:

Thay tọa độ các điểm vào hệ bất phương trình.

Cách giải:

Dễ thấy các điểm $O (0; 0)$ , $M (1; 0)$ , $P (0; 2)$ không thỏa mãn bất phương trình $x + y + 1 < 0$ nên không thỏa mãn cả hệ bất phương trình.

Chọn C.

Câu 15 (TH):

Cách giải:

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm $(0; - 1)$ nên $c = - 1$ .

Tọa độ đỉnh $I (1; - 3)$ , ta có phương trình: ${\begin{cases} - \frac{b}{2 a} = 1 \\ a {.1}^{2} + b .1 - 1 = - 3 \end{cases}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} 2 a + b = 0 \\ a + b = - 2 \end{cases}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} a = 2 \\ b = - 4 \end{cases}$ .

Vậy parabol cần tìm là: $y = 2 x^{2} - 4 x - 1$ .

Chọn D.

Câu 16 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính diện tích tam giác $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)} = p r$ .

Cách giải:

Nửa chu vi tam giác đều cạnh a là $p = \frac{a + a + a}{2} = \frac{3 a}{2}$ .

Tam giác đều cạnh a có diện tích $S = \sqrt{\frac{3 a}{2} (\frac{3 a}{2} - a) (\frac{3 a}{2} - a) (\frac{3 a}{2} - a)} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$ .

Lại có $S = p r \Leftrightarrow r = \frac{S}{p} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} : \frac{3 a}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{6}$ .

Chọn C.

Câu 17 (NB):

Phương pháp:

Sử dụng hệ quả định lí Cosin trong tam giác: $\cos C = \frac{A C^{2} + B C^{2} - A B^{2}}{2 A C . B C}$ .

Cách giải:

Áp dụng hệ quả định lí Cosin trong tam giác ABC ta có:

$\begin{array}{l} \cos C = \frac{A C^{2} + B C^{2} - A B^{2}}{2 A C . B C} \\ \Leftrightarrow \cos 45^{0} = \frac{{(\sqrt{3})}^{2} + B C^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}}{2. \sqrt{3} . B C} \\ \Leftrightarrow \sqrt{6} B C = B C^{2} + 1 \\ \Leftrightarrow B C^{2} - \sqrt{6} B C + 1 = 0 \\ \Leftrightarrow B C = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2} \end{array}$ .

Chọn B.

Câu 18 (TH):

Phương pháp:

Số chính phương có các chữ số tận cùng là $0, 1, 4, 5, 6, 9$ . Dùng loại trừ để đưa ra đáp án đúng.

Cách giải:

Hàm số $y = - x^{2} + 2 x - 1$ có $a = - 1 < 0$ , nên loại C,D.

Hoành độ đỉnh $x_{I} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{2}{2. (- 1)} = 1$

Chọn A.

Câu 19 (NB):

Phương pháp:

Biểu diễn tập hợp trên trục số.

Cách giải:

Hình vẽ đã cho là minh họa cho tập hợp $(- 3; 5]$

Chọn D.

Câu 20 (VD):

Cách giải:

Ta có $- \frac{b}{2 a} = \frac{1}{3}$ và $a = - 3 < 0$ . Suy ra hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(\frac{1}{3}; + \infty)$ .

Mà $[1; 3] \subset (\frac{1}{3}; + \infty)$ .

Do đó trên đoạn $[1; 3]$ hàm số đạt giá trị lớn nhất tại $x = 1$ , tức là $max_{[1; 3]} f (x) = f (1) = 0$ .

Chọn B.

Câu 21 (TH):

Phương pháp:

Áp dụng công thức $\cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{| \vec{a} | . | \vec{b} |}$

Cách giải:

Ta có $\vec{a} . \vec{b} = | \vec{a} | . | \vec{b} | . \cos (\vec{a}, \vec{b}) \Rightarrow \cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{| \vec{a} | . | \vec{b} |} = \frac{- 3}{3.2} = - \frac{1}{2}$

$\Rightarrow (\vec{a}, \vec{b}) = 120^{o}$

Chọn D.

Câu 22 (VD):

Phương pháp:

- Tính BC dựa vào định lí côsin trong tam giác cân ABC.

- Tính BM.

- Tính AM dựa vào định lí côsin trong tam giác ABM.

Cách giải:

$B C = \sqrt{A B^{2} + A C^{2} - 2 A B A C \cos 120^{0}} = \sqrt{a^{2} + a^{2} - 2 a . a . (- \frac{1}{2})} = a \sqrt{3} \Rightarrow B M = \frac{2 a \sqrt{3}}{5}$

$A M = \sqrt{A B^{2} + B M^{2} - 2 A B . B M . c o s 30^{0}} = \sqrt{a^{2} + {(\frac{2 a \sqrt{3}}{5})}^{2} - 2 a . \frac{2 a \sqrt{3}}{5} . \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{a \sqrt{7}}{5}$ .

Chọn C.

Câu 23 (TH):

Phương pháp:

Tìm phương trình đường thẳng d. Loại đáp án.

Thay tọa độ điểm O(0;0) vào các bất phương trình chưa bị loại ở các đáp án, tiếp tục loại đáp án.

Cách giải:

Đường thẳng d đi qua điểm (3;0) nên loại đáp án A, B.

Ta thấy điểm O(0;0) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

+ Thay tọa độ điểm O(0;0) vào biểu thức $x - 2 y$ ta có: $0 - 2.0 = 0 < 3$

Do đó bất phươn trình cần tìm là $x - 2 y > 3$

Chọn D.

Câu 24 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng công thức: $1 + \tan^{2} α = \frac{1}{\cos^{2} α} .$

Cách giải:

Ta có:

$\begin{array}{l} 1 + \tan^{2} α = \frac{1}{\cos^{2} α} \\ \Leftrightarrow 1 + {(- 2 \sqrt{2})}^{2} = \frac{1}{\cos^{2} α} \\ \Leftrightarrow \cos^{2} α = \frac{1}{9} \\ \Leftrightarrow \sin^{2} α = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \\ \Leftrightarrow \sin α = \pm \frac{2 \sqrt{2}}{3} \end{array}$

Vì $0^{0} < α < 180^{0}$ $\Rightarrow \sin α > 0$ .

Vậy $\sin α = \frac{2 \sqrt{2}}{3} .$

Chọn C.

Câu 25 (VD):

Phương pháp:

Áp dụng hệ quả định lí Sin trong tam giác ABC.

Cách giải:

Ta có: $∠ A C B = 180^{0} - 45^{0} - 70^{0} = 65^{0}$

Áp dụng hệ quả định lí Sin trong tam giác ABC ta có:

$\begin{array}{l} \frac{A C}{\sin B} = \frac{A B}{\sin C} \Rightarrow \frac{A C}{\sin 70^{0}} = \frac{40}{\sin 65^{0}} \\ \Rightarrow A C = \frac{40}{\sin 65^{0}} . \sin 70^{0} \approx 41, 47 (m) \end{array}$

Chọn C.

Câu 26 (VD):

Phương pháp:

Áp dụng quy tắc cộng vecto để tìm được vecto $\vec{u}$ .

Cách giải:

Vì ABCD là hình vuông nên ta có: $A B = B C = C D = D A = 2$ ; $A C = B D = a \sqrt{2}$ .

Ta có:

$\vec{u} = \vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} - 3 \vec{M D}$

$= (\vec{M D} + \vec{D A}) + (\vec{M D} + \vec{D B}) + (\vec{M D} + \vec{D C}) - 3 \vec{M D}$

$= \vec{M D} + \vec{D A} + \vec{M D} + \vec{D B} + \vec{M D} + \vec{D C} - 3 \vec{M D}$

$= \vec{D A} + \vec{D B} + \vec{D C}$

$= (\vec{D A} + \vec{D C}) + \vec{D B}$

$= \vec{D B} + \vec{D B}$

$= 2 \vec{D B}$

$\Rightarrow \vec{u} = 2 \vec{D B}$

$\Rightarrow | \vec{u} | = | 2. \vec{D B} | = 2. a . \sqrt{2} = 2 \sqrt{2} a$

Chọn D.

Câu 27 (VD):

Phương pháp:

Áp dụng tích vô hướng $\vec{a} . \vec{b} = a . b . \cos (\vec{a}, \vec{b})$

Cách giải:

Ta có:

$\vec{A B} . \vec{A C} = A B . A C . \cos (\vec{A B}, \vec{A C}) = a . a . \cos A = a^{2} \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2} a^{2}$ => A đúng

$\vec{A C} . \vec{C B} = A C . C B . \cos (\vec{A C}, \vec{C B}) = a . a . \cos 120^{\circ} = - \frac{1}{2} a^{2}$ => B đúng

+ $A G = \frac{2}{3} A M; A M = A C . \sin C = a . \sin 60^{\circ} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow A G = B G = \frac{a \sqrt{3}}{3}$

$\vec{G A} . \vec{G B} = G A . G B . \cos (\vec{G A}, \vec{G B}) = \frac{a \sqrt{3}}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{3} . \cos 120^{\circ} = - \frac{1}{6} a^{2}$ => C sai.

$\vec{A B} . \vec{A G} = A B . A G . \cos (\vec{A B}, \vec{A G}) = a . \frac{a \sqrt{3}}{3} . \cos 30^{\circ} = \frac{1}{2} a^{2}$ => D đúng.

Chọn C.

Câu 28 (NB):

Phương pháp:

Nhóm $\vec{A B}, \vec{B C}$ ; $\vec{D C}, \vec{A D}$ , áp dụng quy tắc cộng vectơ.

Cách giải:

Ta có: $\vec{A B} - \vec{D C} + \vec{B C} - \vec{A D} = (\vec{A B} + \vec{B C}) - (\vec{A D} + \vec{D C}) = \vec{A C} - \vec{A C} = \vec{0}$ .

Chọn A.

Câu 29 (NB):

Phương pháp:

Sử dụng quy tắc hình bình hành tính $\vec{A B} + \vec{B C}$ .

Tính độ dài vectơ vừa tìm được.

Cách giải:

Ta có: $| \vec{A B} + \vec{B C} | = | \vec{A C} | = A C = a$ .

Chọn A.

Câu 30 (TH):

Phương pháp:

Áp dụng quy tắc cộng vecto, quy tắc hình bình hành để biểu diễn véctơ.

Cách giải:

$\vec{B M} = \frac{1}{2} (\vec{B A} + \vec{B C}) = \frac{1}{2} \vec{B A} + \frac{1}{2} \vec{B C}$

$\Rightarrow \vec{B G} = \frac{2}{3} \vec{B M} = \frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{2} \vec{B A} + \frac{1}{2} \vec{B C}) = \frac{1}{3} \vec{B A} + \frac{1}{3} \vec{B C}$

Mặt khác, $\vec{B A} = \vec{a}, \vec{B C} = \vec{b}$ nên ta có: $\vec{B G} = \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$

Vậy $\vec{B G} = \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$ .

Chọn A.

II. Tự luận (3 điểm)

Câu 1 (VD):

Phương pháp:

Áp dụng quy tắc hình bình hành.

Vật đứng yên khi tổng các lực tác động lên điểm bằng 0.

Cách giải:

Có cường độ lực $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}$ đều bằng 50 N và tam giác MAB vuông tại M

$\Rightarrow$ Tam giác MAB vuông cân tại M

Lấy điểm D sao cho MADB là hình vuông

$\Rightarrow M D = \sqrt{M A^{2} + A D^{2}} = \sqrt{M A^{2} + M B^{2}} = 50 \sqrt{2} N$

Vì vật đứng yên nên tổng các lực tác động lên điểm bằng 0

$\Rightarrow \vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} + \vec{F_{3}} = \vec{0}$ hay $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{F_{3}} = \vec{0}$

$\Rightarrow \vec{F_{3}} = - (\vec{M A} + \vec{M B}) = - \vec{M D}$

Vậy lực $\vec{F_{3}}$ có hướng ngược với $\vec{M D}$ và có cường độ bằng $50 \sqrt{2} N \approx 70, 71 N$

Câu 2 (VD):

Cách giải:

Ta có: $\hat{D A_{1} B} = 180^{\circ} - 49^{\circ} = 131^{\circ}; \hat{A_{1} D B_{1}} = 49^{\circ} - 35^{\circ} = 14^{\circ}$

Áp dụng định lý sin trong tam giác $D A_{1} B_{1}$ ta có:

$\begin{array}{l} \frac{A_{1} B_{1}}{\sin \hat{A_{1} D B_{1}}} = \frac{D B_{1}}{\sin \hat{D A_{1} B_{1}}} \Leftrightarrow \frac{3}{\sin 14^{\circ}} = \frac{D B_{1}}{\sin 131^{\circ}} \\ \Rightarrow D B_{1} = \sin 131^{\circ} . \frac{3}{\sin 14^{\circ}} \end{array}$

Lại có: $Δ D C_{1} B_{1}$ vuông tại $C_{1}$ nên $D C_{1} = D B_{1} . \sin B_{1} = D B_{1} . \sin 35^{\circ}$

$\Rightarrow D C_{1} = \sin 131^{\circ} . \frac{3}{\sin 14^{\circ}} . \sin 35^{\circ} \approx 5, 37$

Chiều cao CD của tháp là $5, 37 + 2 = 7, 37 (m)$

Vậy tháp cao khoảng 7,37m.

Câu 3 (VD):

Cách giải:

Parabol (P) $y = a x^{2} + b x + c$ giao với Oy tại điểm có tọa độ $(0; c)$ , do đó $c = - 1$

(P) có hoành độ đỉnh $x_{I} = - \frac{b}{2 a} = 2 \Rightarrow b = - 4 a$

Điểm $I (2; 3)$ thuộc (P) nên $a {.2}^{2} + b .2 - 1 = 3$ hay $4 a + 2 b = 4$

Từ đó ta có hệ phương trình ${\begin{cases} 4 a + 2 b = 4 \\ b = - 4 a \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} b = 4 \\ a = - 1 \end{cases}$

Vậy parabol cần tìm là $y = - x^{2} + 4 x - 1$

* Vẽ parabol

Đỉnh $I (2; 3)$

Trục đối xứng $x = 2$

Giao với Oy tại A(0;-1), lấy điểm B(4;-1) đối xứng với A qua trục đối xứng

Lấy điểm C(1;2) và D(3;2) thuộc đồ thị.