Đề thi học kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo - Đề số 14

Câu 1 : Phủ định của mệnh đề: “ $\forall x \in R : x^{2} + 1 > 0$ ” là

A.

“ $\forall x \in R : x^{2} + 1 = 0$ ”.
B.

“ $\exists x \in R : x^{2} + 1 \leq 0$ ”.
C.

“ $\exists x \in R : x^{2} + 1 > 0$ ”.
D.

“ $\forall x \in R : x^{2} + 1 < 0$ ”.

Câu 2 : Cho hai tập hợp A và B. Sơ đồ ven phần bị gạch dưới đây mô tả phép tập hợp nào?

A.

$C_{A} B$ .
B.

$A ∖ B$ .
C.

$A \cup B$ .
D.

$A \cap B$ .

Câu 3 : Cho hệ phương trình ${\begin{cases} x + 3 y - 2 \geq 0 \\ 2 x + y + 1 \leq 0 \end{cases}$ . Trong các điểm sau, điểm nào thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho?

A.

$N (- 1; 1)$ .
B.

$M (0; 1)$ .
C.

$P (1; 3)$ .
D.

$Q (- 1; 0)$ .

Câu 4 : Bạn Hoa tiết kiệm được 420 nghìn đồng. Trong đợt ủng hộ đồng bào bị lũ lụt thiệt hại do bão Yagi vừa qua, Hoa đã ủng hộ $x$ tờ tiền loại 10 nghìn đồng và $y$ tờ tiền loại 20 nghìn đồng. Bất phương trình nào dưới đây thể hiện số tờ tiền 10 nghìn và 20 nghìn mà bạn Hoa có thể ủng hộ.

A.

$x + 2 y < 420$ .
B.

$x + 2 y \leq 420$ .
C.

$x + 2 y \leq 42$ .
D.

$x + 2 y \geq 42$ .

Câu 5 : Cho $△ A B C$ có $\hat{B} = 60^{o}$ , $B C = 8$ , $A B = 5$ . Độ dài cạnh $A C$ bằng

A.

129.
B.

49.
C.

7.
D.

$\sqrt{129}$ .

Câu 6 : Cho tam giác ABC có a = 4, b = 6, c = 8 Khi đó diện tích tam giác bằng

A.

$3 \sqrt{15}$ .
B.

$9 \sqrt{15}$ .
C.

$2 \sqrt{15}$ .
D.

$\frac{2 \sqrt{15}}{3}$ .

Câu 7 : Quan sát ròng rọc hoạt động khi dùng lực để kéo một đầu của ròng rọc. Chuyển động của các đoạn dây được mô tả bằng các vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ (hình vẽ). Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau.

A.

$\vec{c}$ và $\vec{b}$ là hai vectơ cùng phương.
B.

$\vec{c}$ và $\vec{b}$ là hai vectơ cùng hướng.
C.

$\vec{a}$ và $\vec{c}$ là hai vectơ cùng hướng.
D.

$\vec{a}$ và $\vec{b}$ là hai vectơ cùng phương.

Câu 8 : Rút gọn biểu thức $\vec{A B} - \vec{M B} + \vec{M C} + \vec{C D} - \vec{E D}$ có kết quả là:

A.

$\vec{A C}$ .
B.

$\vec{A E}$ .
C.

$\vec{A D}$ .
D.

$\vec{A M}$ .

Câu 9 : Tập xác định của hàm số $y = \frac{x + 3}{x - 4}$ là

A.

$R ∖ {3} .$
B.

$R ∖ {- 4} .$
C.

$R ∖ {4} .$
D.

$R ∖ {- 3} .$

Câu 10 : Hàm số nào sau đây là hàm số bậc hai?

A.

$y = x^{2} - 2 x + 1.$
B.

$y = \frac{x - 1}{2 x + 3} .$
C.

$y = - x^{3} - x + 3.$
D.

$\sqrt{x^{2} - x + 3} .$

Câu 11 : Cho giá trị gần đúng của $\frac{8}{17}$ là 0,47. Sai số tuyệt đối của 0,47 là

A.

0,002.
B.

0,003.
C.

0,001.
D.

0,004.

Câu 12 : Mẫu số liệu sau cho biết số ghế trống tại một rạp chiếu phim trong 9 ngày:

9 8 22 20 18 15 19 13 11

Số ghế trống trung bình trong 9 ngày của rạp chiếu phim trên là

A.

22.
B.

18.
C.

15.
D.

135.

Câu 1 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vecto $\vec{a} = (1; 2)$ , $\vec{b} = (- 3; 1)$ , $\vec{c} = (- 3; 4)$ .

a) a, b là hai vecto cùng phương.

Đúng

Sai

b) $2 \vec{a} = (2; 4)$ .

Đúng

Sai

c) $\vec{a} + 2 \vec{b} - 3 \vec{c} = (4; - 12)$ .

Đúng

Sai

d) $\vec{c} = m . \vec{a} + n . \vec{b}$ và $m + n = \frac{19}{7}$ .

Đúng

Sai

Câu 2 : Quan sát đồ thị hàm số bậc hai $y = f (x) = a x^{2} + b x + c$ ở hình vẽ sau:

Khi đó, các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Parabol có toạ độ đỉnh I(2; -1), trục đối xứng x = 2.

Đúng

Sai

b) Khi $x \in (- \infty; 1) \cup (3; + \infty)$ thì f(x) > 0.

Đúng

Sai

c) Hàm số đồng biến trên khoảng $(- \infty; 2)$ ; nghịch biến trên khoảng $(2; + \infty)$ .

Đúng

Sai

d) Hệ số a > 0.

Đúng

Sai

Câu 1 : Cho tập hợp $A = {x \in R | (\frac{6}{5} x - 31) (x^{2} + 1) \leq 0}$ . Khi đó, tập hợp $A \cap N$ có tất cả bao nhiêu phần tử?

Câu 2 : Một cột điện cao 20 m được dựng thẳng trên một triền dốc nghiêng hợp với phương ngang một góc $17^{o}$ , đáy cột nằm theo phương ngang với điểm cuối dốc. Người ta nối một dây cáp từ đỉnh cột điện đến cuối dốc. Tìm chiều dài của dây cáp biết rằng đoạn đường từ đáy cột đến cuối dốc bằng 72 m. (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Câu 3 : Một công ty, trong một tháng cần sản xuất ít nhất 12 viên kim cương to và 9 viên kim cương nhỏ. Từ một tấn cacbon loại 1 (giá 100 triệu đồng) có thể chiết xuất được 5 viên kim cương to và 3 viên kim cương nhỏ, từ một tấn cacbon loại 2 (giá 40 triệu đồng) có thể chiết xuất được 2 viên kim cương to và 3 viên kim cương nhỏ. Mỗi viên kim cương to giá 20 triệu đồng, mỗi viên kim cương nhỏ giá 10 triệu đồng. Hỏi mỗi tháng công ty lãi được nhiều nhất bao nhiêu triệu đồng? Biết mỗi tháng chỉ sử dụng tối đa 4 tấn cacbon mỗi loại và tổng số tiền mua cacbon không vượt quá 500 triệu đồng.

Câu 4 : Cho ba lực $\vec{F_{1}} = \vec{M A}$ , $\vec{F_{2}} = \vec{M B}$ , $\vec{F_{3}} = \vec{M C}$ cùng tác động vào một vật tại điểm M và vật đứng yên (tham khảo hình vẽ). Cho biết cường độ của $\vec{F_{1}}$ , $\vec{F_{2}}$ đều bằng $100 \sqrt{2}$ N và góc $\hat{A M B} = 90^{o}$ . Tính cường độ của lực $\vec{F_{3}}$ (đơn vị N).

Câu 1 : Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh $\vec{A B} . \vec{C D} + \vec{A C} . \vec{D B} + \vec{A D} . \vec{B C} = 0$ (*).

Câu 2 : Một rạp chiếu phim có sức chứa 1 000 người. Với giá vé là 40 000 đồng, trung bình sẽ có khoảng 300 người đến rạp xem phim mỗi ngày. Để tăng số lượng vé bán ra, rạp chiếu phim đã kháo sát thị trường và thấy rằng nếu giá vé cứ giảm 10 000 đồng thì sẽ có thêm 100 người đến xem phim mỗi ngày.

a) Tìm công thức của hàm số R(x) mô tả doanh thu từ tiền bán vé mỗi ngày của rạp chiếu phim khi giá vé là x nghìn đồng.

b) Tìm mức giá vé để doanh thu từ tiền bán vé mỗi ngày của rạp là lớn nhất.

Câu 3 : Kết quả dự báo nhiệt độ cao nhất trong 10 ngày liên tiếp ở Nghệ An cuối tháng 01 năm 2022 được cho ở bảng sau:

Ngày	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31
Nhiệt độ (độ C)	23	25	26	27	27	27	27	21	19	18

a) Viết mẫu số liệu thống kê nhiệt độ nhận được từ bảng trên.

b) Tính số trung bình cộng, phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đó.

Câu 1 : Phủ định của mệnh đề: “ $\forall x \in R : x^{2} + 1 > 0$ ” là

A.

“ $\forall x \in R : x^{2} + 1 = 0$ ”.
B.

“ $\exists x \in R : x^{2} + 1 \leq 0$ ”.
C.

“ $\exists x \in R : x^{2} + 1 > 0$ ”.
D.

“ $\forall x \in R : x^{2} + 1 < 0$ ”.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Phủ định của mệnh đề “ $\forall x \in R :$ A” là “ $\exists x \in R :$ Không phải A”.

Lời giải chi tiết :

Phủ định của mệnh đề “ $\forall x \in R : x^{2} + 1 > 0$ ” là “ $\exists x \in R : x^{2} + 1 \leq 0$ ”.

Câu 2 : Cho hai tập hợp A và B. Sơ đồ ven phần bị gạch dưới đây mô tả phép tập hợp nào?

A.

$C_{A} B$ .
B.

$A ∖ B$ .
C.

$A \cup B$ .
D.

$A \cap B$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Áp dụng lý thuyết về hợp, giao, phần bù, hiêu của hai tập hợp.

Lời giải chi tiết :

Sơ đồ Ven phần bị gạch mô tả tập hợp $A \cup B$ .

Câu 3 : Cho hệ phương trình ${\begin{cases} x + 3 y - 2 \geq 0 \\ 2 x + y + 1 \leq 0 \end{cases}$ . Trong các điểm sau, điểm nào thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho?

A.

$N (- 1; 1)$ .
B.

$M (0; 1)$ .
C.

$P (1; 3)$ .
D.

$Q (- 1; 0)$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Thay tọa độ từng điểm vào hệ đã cho, nếu thỏa mãn thì điểm đó thuộc miền nghiệm của hệ đó.

Lời giải chi tiết :

Ta thấy ${\begin{cases} - 1 + 3.1 - 2 = 0 \geq 0 \\ 2. (- 1) + 1 + 1 = 0 \leq 0 \end{cases}$ (thỏa mãn) nên N(-1;1) thuộc miền nghiệm của hệ.

Câu 4 : Bạn Hoa tiết kiệm được 420 nghìn đồng. Trong đợt ủng hộ đồng bào bị lũ lụt thiệt hại do bão Yagi vừa qua, Hoa đã ủng hộ $x$ tờ tiền loại 10 nghìn đồng và $y$ tờ tiền loại 20 nghìn đồng. Bất phương trình nào dưới đây thể hiện số tờ tiền 10 nghìn và 20 nghìn mà bạn Hoa có thể ủng hộ.

A.

$x + 2 y < 420$ .
B.

$x + 2 y \leq 420$ .
C.

$x + 2 y \leq 42$ .
D.

$x + 2 y \geq 42$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Lập bất phương trình thể hiện số tiền Hoa ủng hộ dựa theo giả thiết.

Lời giải chi tiết :

Với x tờ 10 nghìn đồng, Hoa ủng hộ được 10x nghìn đồng.

Với y tờ 20 nghìn đồng, Hoa ủng hộ được 20y nghìn đồng.

Vì Hoa tiết kiệm được 420 nghìn đồng nên số tiền ủng hộ không vượt quá 420 nghìn đồng.

Do đó, ta có bất phương trình $10 x + 20 y \leq 420$ hay $x + 2 y \leq 42$ .

Câu 5 : Cho $△ A B C$ có $\hat{B} = 60^{o}$ , $B C = 8$ , $A B = 5$ . Độ dài cạnh $A C$ bằng

A.

129.
B.

49.
C.

7.
D.

$\sqrt{129}$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Áp dụng định lí cosin: $A C = \sqrt{A B^{2} + B C^{2} - 2 A B . B C . \cos A B C}$ .

Lời giải chi tiết :

$A C = \sqrt{A B^{2} + B C^{2} - 2 A B . B C . \cos A B C}$

$= \sqrt{5^{2} + 8^{2} - 2.5.8. \cos 60^{o}} = 7$ .

Câu 6 : Cho tam giác ABC có a = 4, b = 6, c = 8 Khi đó diện tích tam giác bằng

A.

$3 \sqrt{15}$ .
B.

$9 \sqrt{15}$ .
C.

$2 \sqrt{15}$ .
D.

$\frac{2 \sqrt{15}}{3}$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức Heron: $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ .

Lời giải chi tiết :

$p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{4 + 6 + 8}{2} = 9$ .

$S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$

$= \sqrt{9 (9 - 4) (9 - 6) (9 - 8)} = 3 \sqrt{15}$ .

Câu 7 : Quan sát ròng rọc hoạt động khi dùng lực để kéo một đầu của ròng rọc. Chuyển động của các đoạn dây được mô tả bằng các vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ (hình vẽ). Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau.

A.

$\vec{c}$ và $\vec{b}$ là hai vectơ cùng phương.
B.

$\vec{c}$ và $\vec{b}$ là hai vectơ cùng hướng.
C.

$\vec{a}$ và $\vec{c}$ là hai vectơ cùng hướng.
D.

$\vec{a}$ và $\vec{b}$ là hai vectơ cùng phương.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Quan sát hình vẽ và trả lời.

Lời giải chi tiết :

$\vec{c}$ và $\vec{b}$ là hai vectơ ngược hướng nên mệnh đề ở đáp án B sai.

Câu 8 : Rút gọn biểu thức $\vec{A B} - \vec{M B} + \vec{M C} + \vec{C D} - \vec{E D}$ có kết quả là:

A.

$\vec{A C}$ .
B.

$\vec{A E}$ .
C.

$\vec{A D}$ .
D.

$\vec{A M}$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Áp dụng quy tắc ba điểm.

Lời giải chi tiết :

$\vec{A B} - \vec{M B} + \vec{M C} + \vec{C D} - \vec{E D} = \vec{A B} + \vec{B M} + \vec{M C} + \vec{C D} + \vec{D E} = \vec{A E}$ .

Câu 9 : Tập xác định của hàm số $y = \frac{x + 3}{x - 4}$ là

A.

$R ∖ {3} .$
B.

$R ∖ {- 4} .$
C.

$R ∖ {4} .$
D.

$R ∖ {- 3} .$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Điều kiện để hàm phân thức xác định là mẫu thức khác 0.

Lời giải chi tiết :

Tập xác định của hàm số $y = \frac{x + 3}{x - 4}$ là $R ∖ {4}$ .

Câu 10 : Hàm số nào sau đây là hàm số bậc hai?

A.

$y = x^{2} - 2 x + 1.$
B.

$y = \frac{x - 1}{2 x + 3} .$
C.

$y = - x^{3} - x + 3.$
D.

$\sqrt{x^{2} - x + 3} .$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Hàm số bậc hai có dạng $y = a x^{2} + b x + c$ .

Lời giải chi tiết :

$y = x^{2} - 2 x + 1$ là hàm số bậc hai.

Câu 11 : Cho giá trị gần đúng của $\frac{8}{17}$ là 0,47. Sai số tuyệt đối của 0,47 là

A.

0,002.
B.

0,003.
C.

0,001.
D.

0,004.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức $Δ_{a} = | \bar{a} - a |$ .

Lời giải chi tiết :

$Δ_{a} = | \frac{8}{17} - 0, 47 | \approx 0, 0006 \approx 0, 001$ .

Câu 12 : Mẫu số liệu sau cho biết số ghế trống tại một rạp chiếu phim trong 9 ngày:

9 8 22 20 18 15 19 13 11

Số ghế trống trung bình trong 9 ngày của rạp chiếu phim trên là

A.

22.
B.

18.
C.

15.
D.

135.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức: $\bar{x} = \frac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + . . . + x_{n}}{n}$ .

Lời giải chi tiết :

Số ghế trống trung bình trong 9 ngày của rạp là:

$\bar{x} = \frac{9 + 8 + 22 + 20 + 18 + 15 + 19 + 13 + 11}{9} = 15$ .

Câu 1 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vecto $\vec{a} = (1; 2)$ , $\vec{b} = (- 3; 1)$ , $\vec{c} = (- 3; 4)$ .

a) a, b là hai vecto cùng phương.

Đúng

Sai

b) $2 \vec{a} = (2; 4)$ .

Đúng

Sai

c) $\vec{a} + 2 \vec{b} - 3 \vec{c} = (4; - 12)$ .

Đúng

Sai

d) $\vec{c} = m . \vec{a} + n . \vec{b}$ và $m + n = \frac{19}{7}$ .

Đúng

Sai

Đáp án

a) a, b là hai vecto cùng phương.

Đúng

Sai

b) $2 \vec{a} = (2; 4)$ .

Đúng

Sai

c) $\vec{a} + 2 \vec{b} - 3 \vec{c} = (4; - 12)$ .

Đúng

Sai

d) $\vec{c} = m . \vec{a} + n . \vec{b}$ và $m + n = \frac{19}{7}$ .

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Áp dụng biểu thức tọa độ của các phép toán vecto.

Lời giải chi tiết :

a) Sai. $\frac{1}{- 3} \neq \frac{2}{1}$ nên a, b là hai vecto không cùng phương.

b) Đúng. $2 a = (2.1; 2.2) = (2; 4)$ .

c) Sai. $a + 2 b - 3 c = (4; - 8)$ .

d) Đúng. $\vec{c} = m \vec{a} + n \vec{b} \Leftrightarrow {\begin{array}{l} m - 3 n = - 3 \\ 2 m + n = 4 \end{array}$

$\Leftrightarrow {\begin{array}{l} m = \frac{9}{7} \\ n = \frac{10}{7} \end{array} \Rightarrow m + n = \frac{19}{7}$ .

Câu 2 : Quan sát đồ thị hàm số bậc hai $y = f (x) = a x^{2} + b x + c$ ở hình vẽ sau:

Khi đó, các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Parabol có toạ độ đỉnh I(2; -1), trục đối xứng x = 2.

Đúng

Sai

b) Khi $x \in (- \infty; 1) \cup (3; + \infty)$ thì f(x) > 0.

Đúng

Sai

c) Hàm số đồng biến trên khoảng $(- \infty; 2)$ ; nghịch biến trên khoảng $(2; + \infty)$ .

Đúng

Sai

d) Hệ số a > 0.

Đúng

Sai

Đáp án

a) Parabol có toạ độ đỉnh I(2; -1), trục đối xứng x = 2.

Đúng

Sai

b) Khi $x \in (- \infty; 1) \cup (3; + \infty)$ thì f(x) > 0.

Đúng

Sai

c) Hàm số đồng biến trên khoảng $(- \infty; 2)$ ; nghịch biến trên khoảng $(2; + \infty)$ .

Đúng

Sai

d) Hệ số a > 0.

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Quan sát đặc điểm của đồ thị và trả lời.

Lời giải chi tiết :

a) Đúng. Parabol có toạ độ đỉnh I(2; -1), trục đối xứng x = 2.

b) Đúng. Khi $x \in (- \infty; 1) \cup (3; + \infty)$ thì đồ thị nằm phía trên của trục hoành, do đó f(x) > 0.

c) Sai. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(- \infty; 2)$ ; đồng biến trên khoảng $(2; + \infty)$ .

d) Đúng. Đồ thị có bề lõm hướng lên trên nên hệ số a > 0.

Câu 1 : Cho tập hợp $A = {x \in R | (\frac{6}{5} x - 31) (x^{2} + 1) \leq 0}$ . Khi đó, tập hợp $A \cap N$ có tất cả bao nhiêu phần tử?

Phương pháp giải :

Giải bất phương trình rồi tìm giao (phần chung) của hai tập hợp.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Do $x^{2} + 1 > 0$ , $\forall x \in R$ nên bất phương trình: $(\frac{6}{5} x - 31) (x^{2} + 1) \leq 0 \Leftrightarrow \frac{6}{5} x - 31 \leq 0 \Leftrightarrow x \leq \frac{155}{6}$ .

Do đó $A = (- \infty; \frac{155}{6}] \Rightarrow A \cap N = {0; 1; 2; . . .; 25}$ .

Vậy $A \cap N$ có 26 phần tử.

Câu 2 : Một cột điện cao 20 m được dựng thẳng trên một triền dốc nghiêng hợp với phương ngang một góc $17^{o}$ , đáy cột nằm theo phương ngang với điểm cuối dốc. Người ta nối một dây cáp từ đỉnh cột điện đến cuối dốc. Tìm chiều dài của dây cáp biết rằng đoạn đường từ đáy cột đến cuối dốc bằng 72 m. (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Phương pháp giải :

Áp dụng định lí cosin.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Ta coi đáy cọc là điểm B, chân dốc là điểm A, cột điện được chôn tại điểm C như hình vẽ dưới đây.

Ta có $\hat{A C D} = 90^{o} + 17^{o} = 107^{o}$ .

Trong tam giác ABC vuông tại B có $A C = \frac{A B}{\cos 17^{o}} \approx 75, 3$ m.

Áp dụng định lý cosin trong tam giác $A C D$ , ta có:

$A D^{2} = A C^{2} + C D^{2} - 2 . A C . C D . \cos A C D$

$\approx 75, 3^{2} + 20^{2} - 2.75, 3.20 . \cos 107^{o} \approx 6950, 7$ .

$\Rightarrow A D \approx 83, 4$ (m).

Câu 3 : Một công ty, trong một tháng cần sản xuất ít nhất 12 viên kim cương to và 9 viên kim cương nhỏ. Từ một tấn cacbon loại 1 (giá 100 triệu đồng) có thể chiết xuất được 5 viên kim cương to và 3 viên kim cương nhỏ, từ một tấn cacbon loại 2 (giá 40 triệu đồng) có thể chiết xuất được 2 viên kim cương to và 3 viên kim cương nhỏ. Mỗi viên kim cương to giá 20 triệu đồng, mỗi viên kim cương nhỏ giá 10 triệu đồng. Hỏi mỗi tháng công ty lãi được nhiều nhất bao nhiêu triệu đồng? Biết mỗi tháng chỉ sử dụng tối đa 4 tấn cacbon mỗi loại và tổng số tiền mua cacbon không vượt quá 500 triệu đồng.

Phương pháp giải :

Ứng dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Gọi x, y (tấn) lần lượt là số tấn cacbon loại 1 và loại 2 sử dụng mỗi tháng,

Số viên kim cương loại to là 5x + 2y.

Số viên kim cương loại nhỏ là 3x + 3y.

Tổng số tiền mua cacbon là 100x + 40y.

Số tiền thu vào từ bán kim cương là 20(5x + 2y) + 10(3x + 3y) = 130x + 70y.

Ta có hệ bất phương trình: ${\begin{array}{l} x, y \geq 0 \\ x \leq 4 \\ y \leq 4 \\ 100 x + 40 y \leq 500 \\ 5 x + 2 y \geq 12 \\ 3 x + 3 y \geq 9 \end{array}$

Miền nghiệm của bất phương trình là ngũ giác ABCDEG, trong đó tọa độ các đỉnh là A(3; 0), B(2; 1), $C (\frac{4}{5}; 4)$ , $D (\frac{17}{5}; 4)$ , $E (4; \frac{5}{2})$ , G(4; 0).

Số tiền lãi mỗi tháng là f(x; y) = 30x + 30y.

Tại điểm $D (\frac{17}{5}; 4)$ ta có $f (\frac{17}{5}; 4) = 222$ là giá trị lớn nhất. Vậy mỗi tháng công ty lãi nhiều nhất là 222 triệu đồng.

Câu 4 : Cho ba lực $\vec{F_{1}} = \vec{M A}$ , $\vec{F_{2}} = \vec{M B}$ , $\vec{F_{3}} = \vec{M C}$ cùng tác động vào một vật tại điểm M và vật đứng yên (tham khảo hình vẽ). Cho biết cường độ của $\vec{F_{1}}$ , $\vec{F_{2}}$ đều bằng $100 \sqrt{2}$ N và góc $\hat{A M B} = 90^{o}$ . Tính cường độ của lực $\vec{F_{3}}$ (đơn vị N).

Phương pháp giải :

Áp dụng quy tắc hình bình hành.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Gọi D là điểm để tứ giác MADB là hình vuông.

Theo bài ra ta có $| \vec{F_{3}} | = | \vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} | = | \vec{M A} + \vec{M B} |$

$= | \vec{M D} | = 100 \sqrt{2} . \sqrt{2} = 200$ N.

Câu 1 : Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh $\vec{A B} . \vec{C D} + \vec{A C} . \vec{D B} + \vec{A D} . \vec{B C} = 0$ (*).

Phương pháp giải :

Tách vectơ và đưa về các vectơ chung gốc (gốc A).

Lời giải chi tiết :

Biến đổi vế trái (*) ta có:

$\vec{A B} . \vec{C D} + \vec{A C} . \vec{D B} + \vec{A D} . \vec{B C}$

$= \vec{A B} . (\vec{A D} - \vec{A C}) + \vec{A C} . (\vec{A B} - \vec{A D}) + \vec{A D} . (\vec{A C} - \vec{A B})$

$= \vec{A B} . \vec{A D} - \vec{A B} . \vec{A C} + \vec{A B} . \vec{A C} - \vec{A C} . \vec{A D} + \vec{A C} . \vec{A D} - \vec{A B} . \vec{A D} = 0$ = VP (*) (ĐPCM)

Câu 2 : Một rạp chiếu phim có sức chứa 1 000 người. Với giá vé là 40 000 đồng, trung bình sẽ có khoảng 300 người đến rạp xem phim mỗi ngày. Để tăng số lượng vé bán ra, rạp chiếu phim đã kháo sát thị trường và thấy rằng nếu giá vé cứ giảm 10 000 đồng thì sẽ có thêm 100 người đến xem phim mỗi ngày.

a) Tìm công thức của hàm số R(x) mô tả doanh thu từ tiền bán vé mỗi ngày của rạp chiếu phim khi giá vé là x nghìn đồng.

b) Tìm mức giá vé để doanh thu từ tiền bán vé mỗi ngày của rạp là lớn nhất.

Phương pháp giải :

Bước 1: Biểu diễn số người đến rạp mỗi ngày sau khi giảm giá theo x.

Bước 2: Lập công thức biểu diễn doanh thu bán vé R(x).

Bước 3: Tìm x để hàm số R(x) đạt giá trị lớn nhất.

Lời giải chi tiết :

a) Ta có: Với giá vé là x nghìn đồng thì số tiền giảm giá so với giá vé cũ là 40 – x (nghìn đồng).

Số người tăng lên sau khi giảm giá vé là: $\frac{40 - x}{10} .100 = 400 - 10 x$ .

Số người đến rạp mỗi ngày sau khi giảm giá là: $300 + 400 - 10 x = 700 - 10 x$ .

$\Rightarrow$ Doanh thu từ tiền bán vé mỗi ngày của rạp là: $R (x) = x (700 - 10 x) = - 10 x^{2} + 700 x$ (nghìn đồng).

b) Hàm số $R (x) = - 10 x^{2} + 700 x$ đạt giá trị lớn nhất tại $x = - \frac{b}{2 a} = 35$ .

Vậy với giá vé 35 nghìn đồng thì doanh thu từ tiền bán vé mỗi ngày của rạp là lớn nhất.

Câu 3 : Kết quả dự báo nhiệt độ cao nhất trong 10 ngày liên tiếp ở Nghệ An cuối tháng 01 năm 2022 được cho ở bảng sau:

Ngày	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31
Nhiệt độ (độ C)	23	25	26	27	27	27	27	21	19	18

a) Viết mẫu số liệu thống kê nhiệt độ nhận được từ bảng trên.

b) Tính số trung bình cộng, phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đó.

Phương pháp giải :

+ Viết mẫu số liệu theo thứ tự không tăng.

+ Dùng công thức tính số trung bình: $\bar{x} = \frac{x_{1} + x_{2} + . . . + x_{n}}{n}$ .

+ Tìm phương sai theo công thức $S^{2} = \frac{1}{n} (n_{1} {x_{1}}^{2} + n_{2} {x_{2}}^{2} + . . . + n_{k} {x_{k}}^{2}) - {\bar{x}}^{2}$ và độ lệch chuẩn $S = \sqrt{S^{2}}$ .

Lời giải chi tiết :

a) Viết mẫu số liệu theo thứ tự không tăng: 23; 25; 26; 27; 27; 27; 26; 21; 19; 18.

b)

+ Số trung bình của mẫu số liệu là: $\bar{x} = \frac{23 + 25 + 26 + 27 + 27 + 27 + 26 + 21 + 19 + 18}{10} = 24$ .

+ Phương sai: $S^{2} = \frac{1}{10} (23^{2} + 25^{2} + . . . + 18^{2}) - 24^{2} = 11, 2$ .

+ Độ lệch chuẩn: $S = \sqrt{S^{2}} = \sqrt{11, 2} = \frac{2 \sqrt{70}}{5}$ .