Đề thi học kì 1 Toán 10 Kết nối tri thức - Đề số 15

Câu 1 : Mệnh đề phủ định của P: " $\forall x \in R, x^{2} > 0$ " là

A.

$\bar{P}$ : " $\exists x \in R, x^{2} \leq 0$ ".
B.

$\bar{P}$ : " $\exists x \in R, x^{2} < 0$ ".
C.

$\bar{P}$ : " $\forall x \in R, x^{2} \leq 0$ ".
D.

$\bar{P}$ : " $\forall x \in R, x^{2} < 0$ ".

Câu 2 : Cho $A, B$ là hai tập hợp được minh họa như hình vẽ bên. Phần không bị gạch trong hình vẽ là tập hợp nào sau đây?

A.

$A \cup B$ .
B.

$A \cap B$ .
C.

$B ∖ A$ .
D.

$A ∖ B$ .

Câu 3 : Miền nghiệm của hệ bất phương trình ${\begin{cases} 3 - y < 0 \\ 2 x - 3 y + 1 > 0 \end{cases}$ chứa điểm nào sau đây?

A.

$A (3; 4)$ .
B.

$B (4; 3)$ .
C.

$C (7; 4)$ .
D.

$D (4; 4) .$

Câu 4 : Bạn Hoa làm một bài thi giữa kỳ I môn Toán. Đề thi gồm 35 câu hỏi trắc nghiệm và 3 câu hỏi tự luận. Khi làm đúng mỗi câu trắc nghiệm được 0,2 điểm, làm đúng mỗi câu tự luận được 1 điểm. Giả sử bạn Hoa làm đúng x câu trắc nghiệm, y câu tự luận. Viết bất phương trình bậc nhất 2 ẩn x, y để đảm bảo bạn Hoa được ít nhất 9 điểm.

A.

$x + 0, 2 y \leq 9.$ .
B.

$0, 2 x + y \leq 9$ .
C.

$0, 2 x + y \geq 9$ .
D.

$x + 0, 2 y > 9$ .

Câu 5 : Cho tam giác ABC có $\hat{A B C} = 45^{o}$ , $\hat{A C B} = 60^{o}$ và AB = 3. Tính AC.

A.

$A C = \sqrt{6}$ .
B.

$A C = 3 \sqrt{2}$ .
C.

$A C = 6$ .
D.

$A C = 2 \sqrt{3}$ .

Câu 6 : Cho $Δ A B C$ có diện tích $S = 20 \sqrt{3}$ , chu vi bằng 20. Độ dài bán kính đường tròn nội tiếp r của tam giác ABC là

A.

$3$ .
B.

$2 \sqrt{3}$ .
C.

$\sqrt{3}$ .
D.

$2$ .

Câu 7 : Cho tam giác ABC đều. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC. Cặp vectơ nào sau đây cùng hướng?

A.

$\vec{M A}$ và $\vec{M B}$ .
B.

$\vec{M N}$ và $\vec{C B}$ .
C.

$\vec{A B}$ và $\vec{M B}$ .
D.

$\vec{A N}$ và $\vec{C A}$ .

Câu 8 : Cho ba điểm I, A, B được biểu diễn như hình vẽ sau:

Khẳng định nào sau đây đúng?

A.

$\vec{I B} = \frac{3}{2} \vec{I A} .$
B.

$\vec{I B} = - \frac{3}{5} \vec{I A} .$
C.

$\vec{I B} = \frac{3}{5} \vec{I A} .$
D.

$\vec{I B} = - \frac{2}{3} \vec{I A} .$

Câu 9 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M(4; -1), N(2; 5). Tìm tọa độ trung điểm P của MN.

A.

(6; 4).
B.

(1; -3).
C.

(-1; 3).
D.

(3; 2).

Câu 10 : Cho tam giác $A B C$ có tọa độ ba đỉnh lần lượt là $A (2; 3)$ , $B (5; 4)$ , $C (2; 2)$ . Tính $\vec{A B} . \vec{B C}$ .

A.

$11$ .
B.

$- 11$ .
C.

$- 6$ .
D.

$6$ .

Câu 11 : Kết quả đo chiều dài một cây cầu có độ chính xác là 0,75 m với dụng cụ đo đảm bảo sai số tương đối không vượt quá 0,15%. Tính độ dài gần đúng của cây cầu.

A.

500,1 m.
B.

500 m.
C.

501 m.
D.

499,9 m.

Câu 12 : Cho mẫu số liệu dưới dạng bảng tần số như sau:

Tìm số trung bình $\bar{x}$ của mẫu số liệu đã cho.

A.

$\bar{x} = 5, 1$ .
B.

$\bar{x} = 18$ .
C.

$\bar{x} = 3, 75$ .
D.

$\bar{x} = 2, 9$ .

Câu 1 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho $Δ A B C$ với A(-2; 5), B(-4; -2), C(1; 5). Các khẳng định sau đây là đúng hay sai?

a) Toạ độ vectơ $\vec{u} = 2 \vec{A B} + \vec{A C}$ là (1; 14).

Đúng

Sai

b) Trọng tâm G của tam giác có tọa độ là $(- \frac{5}{3}; - \frac{8}{3})$ .

Đúng

Sai

c) Độ dài $A B = \sqrt{53}$ .

Đúng

Sai

d) $cos (\vec{A B}, \vec{C G}) > 0, 8$ với G là trọng tâm của tam giác ABC.

Đúng

Sai

Câu 2 : Nhóm bạn Dũng gieo ngẫu nhiên con xúc sắc 100 lần liên tiếp và ghi lại kết quả được thu lại bảng sau:

a) Mốt của mẫu số liệu trên là 6.

Đúng

Sai

b) Số chấm trung bình xuất hiện cho 100 lần gieo là 3,96.

Đúng

Sai

c) Giá trị của tứ phân vị thứ ba là $Q_{3} = 6$ .

Đúng

Sai

d) Giá trị trung vị của mẫu số liệu trên là $M_{e} = 4, 5$ .

Đúng

Sai

Câu 1 : Cho các tập hợp $A = [m - 1; 2 m + 1)$ và $B = (- 2; 3)$ với $A \neq \emptyset$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để $A \subset B$ ?

Câu 2 : Trong một cuộc đua thuyền ghe được tổ chức trên sông, hai ghe A và B ở vị trí như hình vẽ. Điểm K là vị trí khán giả đứng xem và quan sát thấy ghe A và ghe B theo các góc tạo với bờ IK lần lượt là $50^{o}$ và $65^{o}$ . Điểm I là đích đến của cuộc đua, cách K một khoảng 380 mét. Vị trí ghe A, ghe B và đích I nằm trên một đường thẳng tạo với bờ IK một góc bằng $60^{o}$ . Tính khoảng cách giữa hai ghe thuyền (đơn vị: mét, làm tròn đến hàng đơn vị).

Câu 3 : Gia đình chị Minh dự định trồng rau và hoa trên một mảnh đất có diện tích 8 ha. Nếu trồng 1 ha rau thì cần 20 ngày công và thu lợi 3 triệu đồng. Nếu trồng 1 ha hoa thì cần 30 ngày công và thu lợi 4 triệu đồng. Biết rằng, gia đình chị Minh chỉ có thể sử dụng không quá 180 ngày công cho công việc trồng rau và hoa. Hỏi từ việc trồng rau và hoa nói trên, chị Minh có thể thu về lợi nhuận cao nhất là bao nhiêu triệu đồng?

Câu 4 : Ba lực $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}, \vec{F_{3}}$ tác động vào vật M như hình vẽ, làm vật đứng yên. Biết cường độ của các lực $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}$ lần lượt là 10 N, 20 N. Tính cường độ của lực $\vec{F_{3}}$ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Câu 1 : Một dòng sông chảy từ phía bắc xuống phía nam với vận tốc là 10 km/h. Một chiếc ca nô chuyển động từ phía đông sang phía tây với vận tốc 40 km/h so với mặt nước. Tìm vận tốc của ca nô so với bờ sông.

Câu 2 : Trên màn hình ra đa của đài kiểm soát không lưu (được coi như mặt phẳng toạ độ Oxy với đơn vị trên các trục tính theo ki-lô-mét), một máy bay trực thăng chuyển động thẳng đều từ thành phố A có toạ độ (600; 200) đến thành phố B có toạ độ (200; 500) và thời gian bay quãng đường AB là 3 giờ. Hãy tìm toạ độ của máy bay trực thăng tại thời điểm sau khi xuất phát 1 giờ.

Câu 3 : Mẫu số liệu về số lượng áo bán ra lần lượt từ tháng 1 đến tháng 12 của một doanh nghiệp là:

430 560 450 550 760 430

525 410 635 450 800 900

Tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đó.

Câu 1 : Mệnh đề phủ định của P: " $\forall x \in R, x^{2} > 0$ " là

A.

$\bar{P}$ : " $\exists x \in R, x^{2} \leq 0$ ".
B.

$\bar{P}$ : " $\exists x \in R, x^{2} < 0$ ".
C.

$\bar{P}$ : " $\forall x \in R, x^{2} \leq 0$ ".
D.

$\bar{P}$ : " $\forall x \in R, x^{2} < 0$ ".

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Mệnh đề phủ định của P: " $\forall x \in R, P (x) > a$ " là $\bar{P}$ : " $\exists x \in R, P (x) \leq a$ ".

Lời giải chi tiết :

Mệnh đề phủ định của P: " $\forall x \in R, x^{2} > 0$ " là $\bar{P}$ : " $\exists x \in R, x^{2} \leq 0$ ".

Câu 2 : Cho $A, B$ là hai tập hợp được minh họa như hình vẽ bên. Phần không bị gạch trong hình vẽ là tập hợp nào sau đây?

A.

$A \cup B$ .
B.

$A \cap B$ .
C.

$B ∖ A$ .
D.

$A ∖ B$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

M\N là tập hợp gồm các phần tử thuộc M mà không thuộc N.

Lời giải chi tiết :

Phần không bị gạch là B\A.

Câu 3 : Miền nghiệm của hệ bất phương trình ${\begin{cases} 3 - y < 0 \\ 2 x - 3 y + 1 > 0 \end{cases}$ chứa điểm nào sau đây?

A.

$A (3; 4)$ .
B.

$B (4; 3)$ .
C.

$C (7; 4)$ .
D.

$D (4; 4) .$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Thay tọa độ từng điểm vào hệ, nếu thỏa mãn hệ thì điểm đó thuộc miền nghiệm.

Lời giải chi tiết :

Thấy ${\begin{cases} 3 - 4 = - 1 < 0 \\ 2.7 - 3.4 + 1 = 13 > 0 \end{cases}$ thỏa mãn hệ nên điểm C(7;4) thuộc miền nghiệm của hệ.

Câu 4 : Bạn Hoa làm một bài thi giữa kỳ I môn Toán. Đề thi gồm 35 câu hỏi trắc nghiệm và 3 câu hỏi tự luận. Khi làm đúng mỗi câu trắc nghiệm được 0,2 điểm, làm đúng mỗi câu tự luận được 1 điểm. Giả sử bạn Hoa làm đúng x câu trắc nghiệm, y câu tự luận. Viết bất phương trình bậc nhất 2 ẩn x, y để đảm bảo bạn Hoa được ít nhất 9 điểm.

A.

$x + 0, 2 y \leq 9.$ .
B.

$0, 2 x + y \leq 9$ .
C.

$0, 2 x + y \geq 9$ .
D.

$x + 0, 2 y > 9$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Từ giả thiết, lập bất phương trình.

Lời giải chi tiết :

$0, 2 x + y \geq 9.$

Câu 5 : Cho tam giác ABC có $\hat{A B C} = 45^{o}$ , $\hat{A C B} = 60^{o}$ và AB = 3. Tính AC.

A.

$A C = \sqrt{6}$ .
B.

$A C = 3 \sqrt{2}$ .
C.

$A C = 6$ .
D.

$A C = 2 \sqrt{3}$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Áp dụng định lí sin.

Lời giải chi tiết :

$\frac{A C}{\sin B} = \frac{A B}{\sin C} \Leftrightarrow A C = \frac{A B \sin B}{\sin C} = \frac{3. \sin 45^{o}}{\sin 60^{o}} = \sqrt{6}$ .

Câu 6 : Cho $Δ A B C$ có diện tích $S = 20 \sqrt{3}$ , chu vi bằng 20. Độ dài bán kính đường tròn nội tiếp r của tam giác ABC là

A.

$3$ .
B.

$2 \sqrt{3}$ .
C.

$\sqrt{3}$ .
D.

$2$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức $S = p r$ .

Lời giải chi tiết :

$S = p r \Leftrightarrow r = \frac{S}{p} = \frac{20 \sqrt{3}}{10} = 2 \sqrt{3}$ .

Câu 7 : Cho tam giác ABC đều. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC. Cặp vectơ nào sau đây cùng hướng?

A.

$\vec{M A}$ và $\vec{M B}$ .
B.

$\vec{M N}$ và $\vec{C B}$ .
C.

$\vec{A B}$ và $\vec{M B}$ .
D.

$\vec{A N}$ và $\vec{C A}$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Vẽ hình, quan sát và nhận xét.

Lời giải chi tiết :

Ta thấy $\vec{A B}$ và $\vec{M B}$ cùng hướng.

Câu 8 : Cho ba điểm I, A, B được biểu diễn như hình vẽ sau:

Khẳng định nào sau đây đúng?

A.

$\vec{I B} = \frac{3}{2} \vec{I A} .$
B.

$\vec{I B} = - \frac{3}{5} \vec{I A} .$
C.

$\vec{I B} = \frac{3}{5} \vec{I A} .$
D.

$\vec{I B} = - \frac{2}{3} \vec{I A} .$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Dựa vào tỉ số đoạn thẳng và hướng của hai vecto để xác định.

Lời giải chi tiết :

Ta có $I B = \frac{3}{5} I A$ và $\vec{I B}$ cùng chiều $\vec{I A}$ nên $\vec{I B} = \frac{3}{5} \vec{I A}$ .

Câu 9 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M(4; -1), N(2; 5). Tìm tọa độ trung điểm P của MN.

A.

(6; 4).
B.

(1; -3).
C.

(-1; 3).
D.

(3; 2).

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Nếu M là trung điểm đoạn thẳng AB thì $x_{M} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2}$ ; $y_{M} = \frac{y_{A} + y_{B}}{2}$ .

Lời giải chi tiết :

$P = (\frac{4 + 2}{2}; \frac{- 1 + 5}{2}) = (3; 2)$ .

Câu 10 : Cho tam giác $A B C$ có tọa độ ba đỉnh lần lượt là $A (2; 3)$ , $B (5; 4)$ , $C (2; 2)$ . Tính $\vec{A B} . \vec{B C}$ .

A.

$11$ .
B.

$- 11$ .
C.

$- 6$ .
D.

$6$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức tính tích vô hướng của hai vecto.

Lời giải chi tiết :

$\vec{A B} = (5 - 2; 4 - 3) = (3; 1)$ , $\vec{B C} = (2 - 5; 2 - 4) = (- 3; - 2)$ .

$\vec{A B} . \vec{B C} = 3. (- 3) + 1. (- 2) = - 11$ .

Câu 11 : Kết quả đo chiều dài một cây cầu có độ chính xác là 0,75 m với dụng cụ đo đảm bảo sai số tương đối không vượt quá 0,15%. Tính độ dài gần đúng của cây cầu.

A.

500,1 m.
B.

500 m.
C.

501 m.
D.

499,9 m.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức $δ_{a} \leq \frac{d}{| a |}$ .

Lời giải chi tiết :

Ta có $0, 15 % \leq \frac{0, 75}{| a |} \Leftrightarrow | a | = 500$ .

Câu 12 : Cho mẫu số liệu dưới dạng bảng tần số như sau:

Tìm số trung bình $\bar{x}$ của mẫu số liệu đã cho.

A.

$\bar{x} = 5, 1$ .
B.

$\bar{x} = 18$ .
C.

$\bar{x} = 3, 75$ .
D.

$\bar{x} = 2, 9$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức tính số trung bình: $\bar{x} = \frac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + . . . + x_{n}}{n}$ .

Lời giải chi tiết :

$\bar{x} = \frac{2.6 + 3.18 + 4.26 + 5.20 + 8.30}{6 + 18 + 26 + 20 + 30} = 5, 1$ .

Câu 1 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho $Δ A B C$ với A(-2; 5), B(-4; -2), C(1; 5). Các khẳng định sau đây là đúng hay sai?

a) Toạ độ vectơ $\vec{u} = 2 \vec{A B} + \vec{A C}$ là (1; 14).

Đúng

Sai

b) Trọng tâm G của tam giác có tọa độ là $(- \frac{5}{3}; - \frac{8}{3})$ .

Đúng

Sai

c) Độ dài $A B = \sqrt{53}$ .

Đúng

Sai

d) $cos (\vec{A B}, \vec{C G}) > 0, 8$ với G là trọng tâm của tam giác ABC.

Đúng

Sai

Đáp án

a) Toạ độ vectơ $\vec{u} = 2 \vec{A B} + \vec{A C}$ là (1; 14).

Đúng

Sai

b) Trọng tâm G của tam giác có tọa độ là $(- \frac{5}{3}; - \frac{8}{3})$ .

Đúng

Sai

c) Độ dài $A B = \sqrt{53}$ .

Đúng

Sai

d) $cos (\vec{A B}, \vec{C G}) > 0, 8$ với G là trọng tâm của tam giác ABC.

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

a) $\vec{A B} = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A})$ .

b) Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì: $x_{M} = \frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3}$ ; $y_{M} = \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3}$ .

c) Nếu $\vec{a} = (x; y)$ thì $| \vec{a} | = \sqrt{\vec{a} . \vec{a}} = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

d) Cho $\vec{u} (x; y)$ và $\vec{v} = (x^{'}; y^{'})$ .

$\cos (\vec{u}, \vec{v}) = \frac{\vec{u} . \vec{v}}{| \vec{u} | . | \vec{v} |} = \frac{x x^{'} + y y^{'}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}} . \sqrt{x^{' 2} + y^{' 2}}}$ .

Lời giải chi tiết :

a) Sai. $\vec{A B} = (- 2; - 7)$ , $\vec{A C} = (3; 0)$ . Khi đó:

$\vec{u} = 2 \vec{A B} + \vec{A C} = (- 2.2 + 3; - 7.2 + 0) = (- 1; - 14)$ .

b) Sai. $G = (\frac{- 2 - 4 + 1}{3}; \frac{5 - 2 + 5}{3}) = (\frac{- 5}{3}; \frac{8}{3})$ .

c) Đúng. $A B = \sqrt{{(- 2)}^{2} + {(- 7)}^{2}} = \sqrt{53}$ .

d) Đúng. $\vec{C G} = (\frac{- 8}{3}; \frac{- 7}{3}) \Rightarrow C G = \sqrt{{(\frac{- 8}{3})}^{2} + {(\frac{- 7}{3})}^{2}} = \frac{\sqrt{113}}{3}$ .

$c o s (\vec{A B}, \vec{C G}) = \frac{\vec{A B} . \vec{C G}}{A B . C G} = \frac{- 2. (\frac{- 8}{3}) - 7. (\frac{- 7}{3})}{\sqrt{53} . \frac{\sqrt{113}}{3}} \approx 0, 84$ .

Câu 2 : Nhóm bạn Dũng gieo ngẫu nhiên con xúc sắc 100 lần liên tiếp và ghi lại kết quả được thu lại bảng sau:

a) Mốt của mẫu số liệu trên là 6.

Đúng

Sai

b) Số chấm trung bình xuất hiện cho 100 lần gieo là 3,96.

Đúng

Sai

c) Giá trị của tứ phân vị thứ ba là $Q_{3} = 6$ .

Đúng

Sai

d) Giá trị trung vị của mẫu số liệu trên là $M_{e} = 4, 5$ .

Đúng

Sai

Đáp án

a) Mốt của mẫu số liệu trên là 6.

Đúng

Sai

b) Số chấm trung bình xuất hiện cho 100 lần gieo là 3,96.

Đúng

Sai

c) Giá trị của tứ phân vị thứ ba là $Q_{3} = 6$ .

Đúng

Sai

d) Giá trị trung vị của mẫu số liệu trên là $M_{e} = 4, 5$ .

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Cho mẫu số liệu $x_{1}, x_{2}, x_{3}, . . ., x_{n}$ .

+) Mốt của mẫu số liệu là giá trị xuất hiện với tần số lớn nhất, kí hiệu: $M_{e}$ .

+) Số trung bình (hay TB cộng) của mẫu số liệu kí hiệu là $\bar{x}$ , được tính bằng công thức:

$\bar{x} = \frac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + . . . + x_{n}}{n}$ .

+) Để tìm các tứ phân vị của mẫu số liệu có n giá trị, ta làm như sau:

- Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm.

- Tìm trung vị. Giá trị này là $Q_{2}$ .

- Tìm trung vị của nửa số liệu bên trái $Q_{2}$ (không bao gồm $Q_{2}$ nếu n lẻ). Giá trị này là $Q_{1}$ , được gọi là tứ phân vị thứ nhất hay tứ phân vị dưới.

- Tìm trung vị của nửa số liệu bên phải $Q_{2}$ (không bao gồm $Q_{2}$ nếu n lẻ). Giá trị này là $Q_{3}$ , được gọi là tứ phân vị thứ ba hay tứ phân vị trên.

Lời giải chi tiết :

Gọi $x_{1}; x_{2}; . . .; x_{100}$ lần lượt là số chấm của 100 lần gieo xúc xắc được sắp xếp theo giá trị từ nhỏ đến lớn.

a) Đúng. Mốt của mẫu số liệu trên là 6 vì 6 có tần số lớn nhất.

b) Sai. $\bar{x} = \frac{1.14 + 2.16 + 3.18 + 4.8 + 5.10 + 6.34}{100} = 3, 86$ .

c) Đúng. $Q_{3} = \frac{x_{75} + x_{76}}{2} = \frac{6 + 6}{2} = 6$ .

d) Sai. $M_{e} = \frac{x_{50} + x_{51}}{2} = \frac{4 + 4}{2} = 4$ .

Câu 1 : Cho các tập hợp $A = [m - 1; 2 m + 1)$ và $B = (- 2; 3)$ với $A \neq \emptyset$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để $A \subset B$ ?

Phương pháp giải :

$A \subset B$ khi và chỉ khi mọi phần tử thuộc A đều thuộc B.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: $m - 1 < 2 m + 1 \Leftrightarrow m > - 2$ .

Để $A \subset B$ thì: ${\begin{array}{l} - 2 < m - 1 \\ 2 m + 1 \leq 3 \end{array} \Rightarrow {\begin{array}{l} m > - 1 \\ m \leq 1 \end{array} \Rightarrow - 1 < m \leq 1.$

So sánh với điều kiện ta được $- 1 < m \leq 1$ . Mà $m \in Z \Rightarrow m \in {0; 1}$ .

Vậy có 2 giá trị nguyên của $m$ để $A \subset B$ .

Câu 2 : Trong một cuộc đua thuyền ghe được tổ chức trên sông, hai ghe A và B ở vị trí như hình vẽ. Điểm K là vị trí khán giả đứng xem và quan sát thấy ghe A và ghe B theo các góc tạo với bờ IK lần lượt là $50^{o}$ và $65^{o}$ . Điểm I là đích đến của cuộc đua, cách K một khoảng 380 mét. Vị trí ghe A, ghe B và đích I nằm trên một đường thẳng tạo với bờ IK một góc bằng $60^{o}$ . Tính khoảng cách giữa hai ghe thuyền (đơn vị: mét, làm tròn đến hàng đơn vị).

Phương pháp giải :

Áp dụng định lí sin.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Trong tam giác AKI ta có:

$\hat{I A K} = 180^{o} - \hat{A I K} - \hat{A K I} = 180^{o} - 60^{o} - 50^{o} = 70^{o}$ .

Áp dụng định lí sin vào tam giác AKI ta có: $\frac{A K}{\sin A I K} = \frac{I K}{\sin K A I}$

$\Rightarrow A K = \frac{I K \cdot \sin A I K}{\sin K A I} = \frac{380 \cdot \sin 60^{o}}{\sin 70^{o}} \approx 350, 21$ (m).

Lại có: $\hat{K A B} = 180^{o} - \hat{K A I} = 180^{o} - 70^{o} = 110^{o}$ .

Áp dụng định lí sin vào tam giác AKB ta có: $\frac{A B}{\sin A K B} = \frac{A K}{\sin A B K}$

$\Rightarrow A B = \frac{A K \cdot \sin A K B}{\sin A B K} \approx \frac{350, 21 \cdot \sin (65^{o} - 50^{o})}{\sin (180^{o} - 110^{o} - 15^{o})} \approx 111$ (m).

Câu 3 : Gia đình chị Minh dự định trồng rau và hoa trên một mảnh đất có diện tích 8 ha. Nếu trồng 1 ha rau thì cần 20 ngày công và thu lợi 3 triệu đồng. Nếu trồng 1 ha hoa thì cần 30 ngày công và thu lợi 4 triệu đồng. Biết rằng, gia đình chị Minh chỉ có thể sử dụng không quá 180 ngày công cho công việc trồng rau và hoa. Hỏi từ việc trồng rau và hoa nói trên, chị Minh có thể thu về lợi nhuận cao nhất là bao nhiêu triệu đồng?

Phương pháp giải :

Ứng dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Gọi x, y $(x \geq 0, y \geq 0)$ lần lượt là số ha đất trồng rau và hoa.

Diện tích đất trồng canh tác không vượt quá 8 ha nên ta có: $x + y \leq 8$ .

Số ngày công sử dụng không vượt quá 180 ngày nên $20 x + 30 y \leq 180$ .

Từ đó, ta có hệ bất phương trình: ${\begin{array}{l} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ x + y \leq 8 \\ 20 x + 30 y \leq 180 \end{array}$

Ta cần tìm x, y sao cho T(x, y) = 3x + 4y lớn nhất.

Miền nghiệm của hệ được biểu diễn như sau:

Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là miền trong của tứ giác OABC, kể cả 4 cạnh của tứ giác đó, với O(0;0), A(8;0), B(6;2), C(0;6).

Tại O(0;0), ta có: T = 3.0 + 4.0 = 0;

Tại A(8;0), ta có: T = 3.8 + 4.0 = 24;

Tại B(6;2), ta có: T = 3.6 + 4.2 = 26;

Tại C(0;6), ta có: T = 3.0 + 4.6 = 24.

Vậy số lợi nhuận cao nhất mà gia đình chị Minh thu được từ trồng rau và hoa là 26 triệu đồng.

Câu 4 : Ba lực $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}, \vec{F_{3}}$ tác động vào vật M như hình vẽ, làm vật đứng yên. Biết cường độ của các lực $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}$ lần lượt là 10 N, 20 N. Tính cường độ của lực $\vec{F_{3}}$ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Phương pháp giải :

Áp dụng quy tắc hình bình hành và định lí cos.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Gọi A, B, C là điểm cuối của các vectơ lực $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}, \vec{F_{3}}$ và dựng hình bình hành MADB.

Gọi $\vec{F_{12}}$ là hợp lực của hai lực $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}$ .

Ta có $\hat{M B D} = 180^{o} - \hat{A M B} = 120^{o}$ . $M B = | \vec{F_{2}} | = 20$ , $B D = M A = | \vec{F_{1}} | = 10$ .

$| \vec{F_{12}} | = M D = \sqrt{M B^{2} + B D^{2} - 2. M B . B D . \cos M B D} = 10 \sqrt{7}$ (N).

Vật đứng yên nên $\vec{F_{3}} = - \vec{F_{12}} \Rightarrow | \vec{F_{3}} | = | \vec{F_{12}} | = 10 \sqrt{7} \approx 26, 5$ (N).

Câu 1 : Một dòng sông chảy từ phía bắc xuống phía nam với vận tốc là 10 km/h. Một chiếc ca nô chuyển động từ phía đông sang phía tây với vận tốc 40 km/h so với mặt nước. Tìm vận tốc của ca nô so với bờ sông.

Phương pháp giải :

Bước 1: Xác định hướng, độ lớn của các vecto vận tốc.

Bước 2: Từ giả thiết “vật đứng yên” suy ra cường độ và hướng của lực $\vec{F_{3}}$ .

Lời giải chi tiết :

Gọi O là vị trí của ca nô.

Vẽ $\vec{O A}$ là vận tốc dòng nước (chảy từ phía bắc xuống phía nam);

$\vec{O B}$ là vận tốc riêng của ca nô (chuyển động từ phía đông sang phía tây).

Khi đó vecto vận tốc của ca nô so với bờ sông là vecto $\vec{O A} + \vec{O B}$ .

Gọi C là đỉnh thứ tư của hình bình hành OACB, ta có: $\vec{O C} = \vec{O A} + \vec{O B}$

Xét tam giác OBC vuông tại B ta có:

BC = 40; BC = OA = 10.

$\Rightarrow O C = \sqrt{O B^{2} + B C^{2}} = 10 \sqrt{17}$ .

Vậy vận tốc của ca nô so với bờ sông là $10 \sqrt{17}$ km/h.

Câu 2 : Trên màn hình ra đa của đài kiểm soát không lưu (được coi như mặt phẳng toạ độ Oxy với đơn vị trên các trục tính theo ki-lô-mét), một máy bay trực thăng chuyển động thẳng đều từ thành phố A có toạ độ (600; 200) đến thành phố B có toạ độ (200; 500) và thời gian bay quãng đường AB là 3 giờ. Hãy tìm toạ độ của máy bay trực thăng tại thời điểm sau khi xuất phát 1 giờ.

Phương pháp giải :

Gọi C là địa điểm máy bay đến sau khi xuất phát 1 giờ. Tìm tọa độ điểm C.

Bước 1: Tính tọa độ $\vec{A B}$ .

Bước 2: Từ giả thiết tìm điểm C thỏa mãn $\vec{A C} = \frac{1}{3} \vec{A B}$ rồi kết luận.

Lời giải chi tiết :

Gọi C(a; b) là địa điểm máy bay đến sau khi xuất phát 1 giờ.

Ta có: $\vec{A B} = (- 400; 300)$ .

Theo giả thiết, AC = $\frac{1}{3} A B$ $\Rightarrow \vec{A C} = \frac{1}{3} \vec{A B} \Leftrightarrow {\begin{cases} a - 600 = \frac{1}{3} . (- 400) \\ b - 200 = \frac{1}{3} .300 \end{cases}$ $\Leftrightarrow {\begin{cases} a = \frac{1400}{3} \\ b = 300 \end{cases} \Rightarrow C (\frac{1400}{3}; 300)$ .

Vậy toạ độ của máy bay trực thăng tại thời điểm sau khi xuất phát 1 giờ là $(\frac{1400}{3}; 300)$ .

Câu 3 : Mẫu số liệu về số lượng áo bán ra lần lượt từ tháng 1 đến tháng 12 của một doanh nghiệp là:

430 560 450 550 760 430

525 410 635 450 800 900

Tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đó.

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức $s = \sqrt{s^{2}}$ , trong đó:

$s^{2} = \frac{{(x_{1} - \bar{x})}^{2} + {(x_{2} - \bar{x})}^{2} + \dots + {(x_{n} - \bar{x})}^{2}}{n}$

$= \frac{1}{n} (n_{1} {x_{1}}^{2} + n_{2} {x_{2}}^{2} + . . . + n_{k} {x_{k}}^{2}) - {\bar{x}}^{2}$ .

Lời giải chi tiết :

+) Ta có bàng tần số:

+) Từ bảng tần số ta có số lượng áo trung bình bán ra trong 1 tháng là: $\bar{x} = 575$ ( chiếc áo).

+) Phương sai của mẫu số liệu là:

$s^{2}$

$= \frac{{(410 - \bar{x})}^{2} + {(430 - \bar{x})}^{2} + {(450 - \bar{x})}^{2} + {(525 - \bar{x})}^{2} + {(550 - \bar{x})}^{2} + {(560 - \bar{x})}^{2} + {(635 - \bar{x})}^{2} + {(760 - \bar{x})}^{2} + {(800 - \bar{x})}^{2} + {(900 - \bar{x})}^{2}}{12}$

$= 25401$ .

+) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là: $s = \sqrt{s^{2}} = 159, 4$ .