Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh diều - Đề số 8
Đề bài
Câu 1 : Khi biểu diễn trên đường tròn lượng giác, góc lượng giác nào trong các góc lượng giác có số đo dưới đây có cùng điểm cuối với góc lượng giác có số đo π4?
-
A.
10π3
-
B.
−5π4
-
C.
25π4
-
D.
7π4
Câu 2 : Cho 0<α<π2. Khẳng định nào sau đây đúng?
-
A.
cot(α+π2)>0
-
B.
cot(α+π2)≥0
-
C.
tan(α+π)<0
-
D.
tan(α+π)>0
Câu 3 : Cho dãy số (un) với un=(−1)n−1n+1. Số hạng thứ 9 của dãy là
-
A.
u9=110
-
B.
u9=−110
-
C.
u9=−19
-
D.
u9=19
Câu 4 : Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số cộng?
-
A.
1; -2; -4; -6; -8
-
B.
1; -3; -6; -9; -12
-
C.
1; -3; -7; -11; -15
-
D.
1; -3; -5; -7; -9
Câu 5 : Cho dãy số (un) là cấp số nhân có số hạng đầu u1=4, công bội q = 3. Giá trị của u2 bằng
-
A.
8
-
B.
9
-
C.
6
-
D.
12
Câu 6 : Giới hạn lim12n+5 bằng
-
A.
12
-
B.
0
-
C.
+∞
-
D.
15
Câu 7 : Cho hàm số f(x)=2x−1x+2. Hàm số gián đoạn tại điểm
-
A.
x0=−2
-
B.
x0=12
-
C.
x0=2
-
D.
x0=1
Câu 8 : Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
-
A.
Mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua hai điểm
-
B.
Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng
-
C.
Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa
-
D.
Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường
thẳng đều thuộc mặt phẳng đó
Câu 9 : Cho tứ diện ABCD. Cặp đường thẳng nào sau đây chéo nhau?
-
A.
AB, AD
-
B.
AB, CB
-
C.
BC, BD
-
D.
BC, AD
Câu 10 : Hình chiếu của hình chữ nhật không thể là hình nào trong các hình sau?
-
A.
Hình chữ nhật
-
B.
Hình thang
-
C.
Hình bình hành
-
D.
Hình thoi
Câu 11 : Cho dãy số (un) thỏa mãn lim(4+un)=3. Giá trị của lim(un) bằng
-
A.
-1
-
B.
1
-
C.
7
-
D.
3
Câu 12 : Công thức nào sau đây sai?
-
A.
cos(a−b)=cosacosb+sinasinb
-
B.
cos(a+b)=cosacosb+sinasinb
-
C.
sin(a−b)=sinacosb−cosasinb
-
D.
sin(a+b)=sinacosb+cosasinb
Câu 1 : Cho hàm số y = sinx.
a) sinx < 0 khi −π2<x<0.
b) Hàm số y = sinx là hàm số lẻ với mọi x∈R.
c) Phương trình sinx = 1 có nghiệm x=π2+kπ, k∈Z.
d) Hàm số y = sinx có chặn dưới là 0.
Câu 2 : Cho dãy số (un) biết {u1=2023;u2=20242un+1=un+un+2 với n≥1.
a) Dãy (vn):vn=un−un−1 là dãy không đổi.
b) Biểu thị un qua un−1 ta được un=un−1+1.
c) u3=2025.
d) u2024=4044.
Câu 3 : Cho g(x) = {x2−x−6x+22x+a khikhi x≠−2x=−2.
a) limx→−2x2−x−6x+2=−4.
b) g(x) liên tục tại x = -2 thì a = 1.
c) g(x) liên tục tại x = -2 thì bộ ba số a; 2; 5 tạo thành một cấp số cộng.
d) g(x) liên tục tại x = -2 thì bộ ba số 1; a; 1 tạo thành một cấp số nhân.
Câu 4 : Cho tứ diện ABCD có điểm G là trọng tâm tam giác ABD và điểm M thuộc cạnh BC sao cho MB = 2MC.
a) MG cắt AC.
b) MG//AB.
c) MG//(ACD).
d) (BGM)∩(ACD)=MG.
Câu 1 : Chiều cao h (m) của một cabin trên vòng quay vào thời điểm t giây sau khi bắt đầu chuyển động được cho bởi công thức h=30+20sin(π25t+π3). Sau bao nhiêu giây thì cabin đạt độ cao 40 m lần đầu tiên (viết kết quả ở dạng số thập phân)?
Đáp án:
Câu 2 : Một cơ sở khoan giếng đưa ra định mức giá như sau: Giá của mét khoan đầu tiên là 100 nghìn đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 30 nghìn đồng so với giá của mét khoan ngay trước đó. Một người cần khoan một giếng sâu 20 m để lấy nước dùng cho sinh hoạt của gia đình. Hỏi sau khi hoàn thành việc khoan giếng, gia đình đó phải thanh toán cho cơ sở khoan giếng số tiền bao nhiêu nghìn đồng?
Đáp án:
Câu 3 : Tìm công bội của cấp số nhân thỏa {u1+u2+u3=135u4+u5+u6=40.
Đáp án:
Câu 4 : Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số f(x)={√x−1x2−1m2x khikhi x≠1x=1 liên tục tại điểm x0=1?
Đáp án:
Câu 5 : Cho tứ diện ABCD có I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và BD. Gọi (P) là mặt phẳng qua I, J và cắt hai cạnh AC và AD lần lượt tại M và N. Để IJNM là hình thoi thì AC = kAM và AB = mCD. Khi đó giá trị của k + m bằng bao nhiêu?
Đáp án:
Câu 6 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng (α) qua BD và song song với SA, mặt phẳng (α) cắt SC tại K. Biết SK = mKC. Tính giá trị biểu thức m2+2.
Đáp án:
Lời giải và đáp án
Câu 1 : Khi biểu diễn trên đường tròn lượng giác, góc lượng giác nào trong các góc lượng giác có số đo dưới đây có cùng điểm cuối với góc lượng giác có số đo π4?
-
A.
10π3
-
B.
−5π4
-
C.
25π4
-
D.
7π4
Đáp án : C
Các góc lượng giác hơn kém nhau k2π có cùng điểm cuối.
Ta có 25π4=π4+3.2π.
Câu 2 : Cho 0<α<π2. Khẳng định nào sau đây đúng?
-
A.
cot(α+π2)>0
-
B.
cot(α+π2)≥0
-
C.
tan(α+π)<0
-
D.
tan(α+π)>0
Đáp án : D
Dựa vào vị trí điểm cuối của góc lượng giác để xét dấu.
Vì 0<α<π2 nên π2<α+π2<π. Khi đó sin(α+π2)>0, cos(α+π2)<0 suy ra cot(α+π2)<0.
Vì 0<α<π2 nên π<α+π<3π2. Khi đó sin(α+π)<0, cos(α+π)<0 suy ra tan(α+π)>0.
Câu 3 : Cho dãy số (un) với un=(−1)n−1n+1. Số hạng thứ 9 của dãy là
-
A.
u9=110
-
B.
u9=−110
-
C.
u9=−19
-
D.
u9=19
Đáp án : A
Thay 9 vào n và tính.
u9=(−1)9−19+1=110.
Câu 4 : Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số cộng?
-
A.
1; -2; -4; -6; -8
-
B.
1; -3; -6; -9; -12
-
C.
1; -3; -7; -11; -15
-
D.
1; -3; -5; -7; -9
Đáp án : C
Dãy số (un) có tính chất un+1=un+d thì được gọi là một cấp số cộng.
Ta thấy dãy số 1; -3; -7; -11; -15 là một cấp số cộng có số hạng đầu và công sai d = -4.
Câu 5 : Cho dãy số (un) là cấp số nhân có số hạng đầu u1=4, công bội q = 3. Giá trị của u2 bằng
-
A.
8
-
B.
9
-
C.
6
-
D.
12
Đáp án : D
un=u1qn−1.
u2=u1q=4.3=12.
Câu 6 : Giới hạn lim12n+5 bằng
-
A.
12
-
B.
0
-
C.
+∞
-
D.
15
Đáp án : B
Sử dụng quy tắc tính giới hạn của dãy số.
Ta có lim(2n+5)=+∞ suy ra lim12n+5=0.
Câu 7 : Cho hàm số f(x)=2x−1x+2. Hàm số gián đoạn tại điểm
-
A.
x0=−2
-
B.
x0=12
-
C.
x0=2
-
D.
x0=1
Đáp án : A
f(x) gián đoạn tại điểm mà hàm số không xác định.
Hàm số có tập xác định là D=R∖{−2}, do đó hàm số không liên tục tại x0=−2.
Câu 8 : Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
-
A.
Mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua hai điểm
-
B.
Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng
-
C.
Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa
-
D.
Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường
thẳng đều thuộc mặt phẳng đó
Đáp án : A
Sử dụng khái niệm, tính chất của đường thẳng, mặt phẳng trong không gian.
A sai vì mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua ba điểm.
Câu 9 : Cho tứ diện ABCD. Cặp đường thẳng nào sau đây chéo nhau?
-
A.
AB, AD
-
B.
AB, CB
-
C.
BC, BD
-
D.
BC, AD
Đáp án : D
Dựa vào định nghĩa tứ diện.
BC, AD là hai đường chéo nhau.
Câu 10 : Hình chiếu của hình chữ nhật không thể là hình nào trong các hình sau?
-
A.
Hình chữ nhật
-
B.
Hình thang
-
C.
Hình bình hành
-
D.
Hình thoi
Đáp án : B
Dựa vào tính chất của phép chiếu song song.
Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
Vì hình chữ nhật có hai cặp cạnh song song nên hình chiếu của nó cũng phải là tứ giác có hai cặp cạnh song song hoặc trở thành một đoạn thẳng.
Vì hình thang chỉ có một cặp cạnh song song nên không thể là hình chiếu của hình chữ nhật.
Câu 11 : Cho dãy số (un) thỏa mãn lim(4+un)=3. Giá trị của lim(un) bằng
-
A.
-1
-
B.
1
-
C.
7
-
D.
3
Đáp án : A
Sử dụng tính chất của giới hạn.
lim(4+un)=3⇔lim4+limun=3⇔limun=3−lim4=3−4=−1.
Câu 12 : Công thức nào sau đây sai?
-
A.
cos(a−b)=cosacosb+sinasinb
-
B.
cos(a+b)=cosacosb+sinasinb
-
C.
sin(a−b)=sinacosb−cosasinb
-
D.
sin(a+b)=sinacosb+cosasinb
Đáp án : B
Dựa vào công thức cộng lượng giác.
B sai vì cos(a+b)=cosacosb−sinasinb.
Câu 1 : Cho hàm số y = sinx.
a) sinx < 0 khi −π2<x<0.
b) Hàm số y = sinx là hàm số lẻ với mọi x∈R.
c) Phương trình sinx = 1 có nghiệm x=π2+kπ, k∈Z.
d) Hàm số y = sinx có chặn dưới là 0.
a) sinx < 0 khi −π2<x<0.
b) Hàm số y = sinx là hàm số lẻ với mọi x∈R.
c) Phương trình sinx = 1 có nghiệm x=π2+kπ, k∈Z.
d) Hàm số y = sinx có chặn dưới là 0.
a) Dựa vào vị trí điểm cuối của góc lượng giác để nhận xét dấu của giá trị lượng giác.
b) Hàm số f(x) là hàm số lẻ khi thỏa mãn các điều kiện:
- Nếu x∈D thì −x∈D.
- Có f(−x)=−f(x).
c) Sử dụng công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản.
d) Dựa vào tập giá trị của hàm số.
a) Đúng. −π2<x<0 nên điểm cuối của góc lượng giác nằm ở góc phần tư thứ IV.
Khi đó sinx < 0.
b) Đúng. Tập xác định của hàm số y = sinx là D=R nên x∈D thì −x∈D.
Mặt khác f(−x)=sin(−x)=−sinx=−f(x).
Vậy hàm số y = sinx là hàm số lẻ.
c) Sai. sinx=1⇔x=π2+k2π, k∈Z.
d) Sai. Ta có −1≤sinx≤1 nên hàm số y = sinx có chặn dưới là -1.
Câu 2 : Cho dãy số (un) biết {u1=2023;u2=20242un+1=un+un+2 với n≥1.
a) Dãy (vn):vn=un−un−1 là dãy không đổi.
b) Biểu thị un qua un−1 ta được un=un−1+1.
c) u3=2025.
d) u2024=4044.
a) Dãy (vn):vn=un−un−1 là dãy không đổi.
b) Biểu thị un qua un−1 ta được un=un−1+1.
c) u3=2025.
d) u2024=4044.
Chứng minh dãy trên là cấp số cộng thông qua tính chất của cấp số cộng rồi sử dụng công thức số hạng tổng quát.
a) Đúng. Ta có 2un+1=un+un+2⇔un=2un+1−un+2.
Từ đó, thay n - 1 vào n ta được un−1=2un−1+1−un−1+2⇔un−1=2un−un+1⇔2un=un−1+un+1⇔un=un−1+un+12.
Suy ra (un) là cấp số cộng, tức un=un−1+d.
Do đó vn=un−un−1=d không đổi.
b) Đúng. (un) là cấp số cộng với công sai d=u2−u1=2024−2023=1.
Do đó un=un−1+d=un−1+1.
c) Đúng. u3=u2+d=2024+1=2025.
d) Sai. u2024=u1+(2024−1).d=2023+(2024−1).1=4046.
Câu 3 : Cho g(x) = {x2−x−6x+22x+a khikhi x≠−2x=−2.
a) limx→−2x2−x−6x+2=−4.
b) g(x) liên tục tại x = -2 thì a = 1.
c) g(x) liên tục tại x = -2 thì bộ ba số a; 2; 5 tạo thành một cấp số cộng.
d) g(x) liên tục tại x = -2 thì bộ ba số 1; a; 1 tạo thành một cấp số nhân.
a) limx→−2x2−x−6x+2=−4.
b) g(x) liên tục tại x = -2 thì a = 1.
c) g(x) liên tục tại x = -2 thì bộ ba số a; 2; 5 tạo thành một cấp số cộng.
d) g(x) liên tục tại x = -2 thì bộ ba số 1; a; 1 tạo thành một cấp số nhân.
Sử dụng quy tắc tính giới hạn của hàm số tại một điểm.
Hàm số f(x) liên tục tại x0 khi limx→x0f(x)=f(x0).
a) Sai limx→−2x2−x−6x+2=limx→−2(x−3)(x+2)x+2=limx→−2(x−3)=−2−3=−5.
b) Sai. Ta có:
limx→−2g(x)=limx→−2x2−x−6x+2=−5;
g(−2)=2.(−2)+a=a−4.
Để g(x) liên tục tại x = -2 thì limx→−2g(x)=g(−2)⇔−5=a−4⇔a=−1.
c) Đúng. Bộ ba số -1; 2; 5 tạo thành cấp số cộng với công sai d = 3.
d) Đúng. Bộ ba số 1; -1; 1 tạo thành một cấp số nhân với công bội q = -1.
Câu 4 : Cho tứ diện ABCD có điểm G là trọng tâm tam giác ABD và điểm M thuộc cạnh BC sao cho MB = 2MC.
a) MG cắt AC.
b) MG//AB.
c) MG//(ACD).
d) (BGM)∩(ACD)=MG.
a) MG cắt AC.
b) MG//AB.
c) MG//(ACD).
d) (BGM)∩(ACD)=MG.
Sử dụng các điều kiện, tính chất của đường thẳng và mặt phẳng song song.
Gọi I là trung điểm của AD. Khi đó BI là đường trung tuyến tam giác ABD.
Suy ra BGBI=23.
Vì MB = 2MC suy ra BMBC=23.
Xét tam giác BCI có BGBI=BMBC=23 suy ra MG//CI (định lí Thales đảo).
Mà MG/⊂(ACD), CI⊂(ACD) nên MG//(ACD).
a) Sai. Có MG//(ACD) mà AC⊂(ACD) nên MG không cắt AC.
b) Sai. MG và AB là hai đường thẳng chéo nhau.
c) Đúng. MG//(ACD).
d) Sai. Ta có:
Vì {C∈BM⊂(BMG)C∈(ACD) nên C∈(BGM)∩(ACD).
Vì {I∈BG⊂(BMG)I∈AD⊂(ACD) nên I∈(BGM)∩(ACD).
Vậy (BGM)∩(ACD)=CI.
Câu 1 : Chiều cao h (m) của một cabin trên vòng quay vào thời điểm t giây sau khi bắt đầu chuyển động được cho bởi công thức h=30+20sin(π25t+π3). Sau bao nhiêu giây thì cabin đạt độ cao 40 m lần đầu tiên (viết kết quả ở dạng số thập phân)?
Đáp án:
Đáp án:
Giải phương trình 30+20sin(π25t+π3)=40 và tìm nghiệm t dương nhỏ nhất.
30+20sin(π25t+π3)=40⇔sin(π25t+π3)=12⇔sin(π25t+π3)=sinπ6
⇔[π25t+π3=π6+k2ππ25t+π3=5π6+k2π⇔[t=−256+k50t=252+k50⇔[t=−256+k50t=252+k50 (k∈Z).
Ta thấy nghiệm dương nhỏ nhất là t=252=12,5 (giây) khi k = 0.
Vậy sau 12,5 giây thì cabin đạt độ cao 40m lần đầu tiên.
Câu 2 : Một cơ sở khoan giếng đưa ra định mức giá như sau: Giá của mét khoan đầu tiên là 100 nghìn đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 30 nghìn đồng so với giá của mét khoan ngay trước đó. Một người cần khoan một giếng sâu 20 m để lấy nước dùng cho sinh hoạt của gia đình. Hỏi sau khi hoàn thành việc khoan giếng, gia đình đó phải thanh toán cho cơ sở khoan giếng số tiền bao nhiêu nghìn đồng?
Đáp án:
Đáp án:
Sử dụng công thức tổng n số hạng đầu của cấp số cộng: Sn=n[2u1+(n−1)d]2.
Số tiền khoan mỗi mét lập thành một cấp số cộng với u1=100 và d = 30 (nghìn đồng).
Tổng số tiền cần để khoan 20m giếng là:
S20=20.[2.100+(20−1).30]2=7700.
Vậy số tiền cần thanh toán là 7700 nghìn đồng.
Câu 3 : Tìm công bội của cấp số nhân thỏa {u1+u2+u3=135u4+u5+u6=40.
Đáp án:
Đáp án:
Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân un=u1qn−1.
{u1+u5=51u2+u6=102⇔{u1+u1q4=51u1q+u1q5=102⇔{u1(1+q4)=51u1q(1+q4)=102⇔q=10251=2.
Suy ra u1=511+24=3.
Vậy u3=u1q2=3.22=12.
Câu 4 : Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số f(x)={√x−1x2−1m2x khikhi x≠1x=1 liên tục tại điểm x0=1?
Đáp án:
Đáp án:
Hàm số liên tục tại x0 khi limx→x0+f(x)=limx→x0−f(x)=f(x0).
Ta có:
f(1)=m2.1=m2limx→∞.
limx→1f(x)=limx→1√x−1x2−1=limx→1√x−1(√x−1)(√x+1)(x+1)
=limx→11(√x+1)(x+1)=1(√1+1)(1+1)=14.
Để hàm số liên tục tại x0=1 thì limx→1f(x)=f(1)⇔m2=14⇔m=±12.
Vậy không có giá trị nguyên m nào để f(x) liên tục tại x0=1.
Câu 5 : Cho tứ diện ABCD có I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và BD. Gọi (P) là mặt phẳng qua I, J và cắt hai cạnh AC và AD lần lượt tại M và N. Để IJNM là hình thoi thì AC = kAM và AB = mCD. Khi đó giá trị của k + m bằng bao nhiêu?
Đáp án:
Đáp án:
Sử dụng tính chất đường trung bình, định lí Thales.
Vì IJ là đường trung bình của tam giác ABC nên IJ//CD và IJ=12CD.
Để IJNM là hình thoi thì IJNM phải là hình bình hành và có NM = MI.
Để IJNM là hình bình hành thì cần MN//IJ và MN = IJ, hay MN//CD và MN=12CD.
Khi đó, MN là đường trung bình tam giác ACD, tức M, N lần lượt là trung điểm của AC, AD.
Do đó AC = 2AM nên k = 2.
Ta cũng có MI là đường trung bình tam giác ABC nên MI=12AB.
Để MN = MI thì AB = CD, suy ra m = 1.
Vậy k + m = 2 + 1 = 3.
Câu 6 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng (α) qua BD và song song với SA, mặt phẳng (α) cắt SC tại K. Biết SK = mKC. Tính giá trị biểu thức m2+2.
Đáp án:
Đáp án:
Sử dụng điều kiện và tính chất của đường thẳng song song với mặt phẳng.
Sử dụng định lý Thales.
Mặt phẳng (α) qua BD, cắt AC tại K nên mặt phẳng (α) cũng là mặt phẳng (BKD).
Giả sử AC giao BD tại O. Khi đó O là trung điểm của AC, hay OCAC=12.
Vì O∈BD⊂(BKD) nên OK⊂(BKD).
Vì SA//(BKD) nên SA không cắt OK (1)
Mà {O∈AC⊂(SAC)K∈SC⊂(SAC) suy ra OK⊂(SAC) (2)
Lại có SA⊂(SAC) (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra SA//OK.
Xét tam giác SAC có OK//SA: OCAC=CKSC=12 (định lí Thales).
Suy ra SK = KC, do đó m = 1.
Vậy m2+2=12+2=3.