Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh diều - Đề số 9

Câu 1 : Nghiệm của phương trình $cos x = cos \frac{π}{3}$ là:

A.

$x = \pm \frac{π}{4} + k 2 π, k \in Z$ .
B.

$x = \pm \frac{π}{6} + k 2 π, k \in Z$ .
C.

$x = \pm \frac{π}{2} + k 2 π, k \in Z$ .
D.

$x = \pm \frac{π}{3} + k 2 π, k \in Z$ .

Câu 2 : Cho đồ thị hàm số $y = sin x$ như hình vẽ sau:

A diagram of a function

Description automatically generated

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.

Hàm số $y = sin x$ đồng biến trên $(\frac{π}{2}; \frac{3 π}{2})$ .
B.

Hàm số $y = sin x$ đồng biến trên $(\frac{- 3 π}{2}; - π)$ .
C.

Hàm số $y = sin x$ nghịch biến trên $(\frac{- π}{2}; \frac{π}{2})$ .
D.

Hàm số $y = sin x$ đồng biến trên $(- \frac{π}{2}; 0)$ .

Câu 3 : Cấp số cộng -5; -2; 1; 4;... có công sai là

A.

8.
B.

3.
C.

-3.
D.

-5.

Câu 4 : Một cấp số nhân có 6 số hạng với công bội bằng 2 và tổng số các số hạng bằng 189. Tìm số hạng cuối $u_{6}$ của cấp số nhân đã cho.

A.
32
B.
104
C.
48
D.
96

Câu 5 : Giá trị của $lim x \to + \infty \frac{2^{n} + 1}{3^{n}}$ bằng

A.

2
B.

1
C.

-1
D.

0

Câu 6 : Cho hàm số $f (x)$ xác định trên $R,$ liên tục tại $x = 1$ và thỏa mãn $lim x \to 1 f (x) = 5.$ Khi đó $f (1)$ bằng bao nhiêu?

A.

$f (1) = - 5$ .
B.

$f (1) = 1$ .
C.

$f (1) = - 1$ .
D.

$f (1) = 5$ .

Câu 7 :

Tìm $lim x \to 1^{+} \frac{4 x - 3}{x - 1}$

A.

$+ \infty$ .
B.

$2$ .
C.

$- \infty$ .
D.

$- 2$ .

Câu 8 : Cho $0 < α < \frac{π}{2}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A.

$cot (α + \frac{π}{2}) > 0$
B.

$cot (α + \frac{π}{2}) \geq 0$
C.

$tan (α + π) < 0$
D.

$tan (α + π) > 0$

Câu 9 : Nếu $lim x \to 3 f (x) = 2$ thì $lim x \to 3 [4 x - 3 f (x)]$ bằng

A.

$2$ .
B.

$- 1$ .
C.

$3$ .
D.

$6$ .

Câu 10 : Cho hình chóp S.ACBD có đáy ABCD là hình thang có đáy lớn AB. Gọi M là trung điểm của SC. Giao điểm của BC với mặt phẳng (ADM) là:

A.

Giao điểm của BC và DM.
B.

Giao điểm của BC và AM.
C.

Giao điểm của BC và AD.
D.

Giao điểm của BC và SD.

Câu 11 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SC. Đường thẳng MN song song với đường thẳng nào dưới đây?

A.

BC.
B.

BD.
C.

AB.
D.

AC.

Câu 12 : Cho mặt phẳng (P) và điểm A nằm ngoài mặt phẳng (P). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.

Qua A có đúng một mặt phẳng song song với (P).
B.

Qua A có vô số mặt phẳng song song với (P).
C.

Qua A không có mặt phẳng nào song song với (P).
D.

Qua A có đúng hai mặt phẳng song song với (P).

Câu 1 : Cho hàm số $f (x) = {\begin{matrix} \frac{x^{2} - 3 x + 2}{x - 2} 1 \end{matrix}$ $\begin{matrix} k h i k h i \end{matrix}$ $\begin{matrix} x \neq 2 x = 2 \end{matrix}$ .

a) Giá trị của $f (2)$ bằng 1.

Đúng

Sai

b) Giá trị của $lim x \to 2 f (x)$ bằng -1.

Đúng

Sai

c) Hàm số đã cho liên tục trên $R$ .

Đúng

Sai

d) Giá trị của $lim x \to - \infty \frac{\sqrt{x f (x) + 1}}{x + 1}$ bằng 1.

Đúng

Sai

Câu 2 : Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy là hình thang, $A B // C D$ và $A B = 2 C D$ , O là giao điểm của hai đường thẳng AC và BD. Gọi $M$ , $N$ lần lượt là trung điểm $S A$ và $S B$ .

a) $A B // M C$ .

Đúng

Sai

b) Tứ giác CDMN là hình thang cân.

Đúng

Sai

c) E là trung điểm của SC, G là trọng tâm của tam giác SBC, khi đó OG song song với DE.

Đúng

Sai

d) Giao tuyến của (CDE) và (SAC) là đường thẳng EO.

Đúng

Sai

Câu 1 : Một chiếc quạt trần năm cánh quay với tốc độ 45 vòng trong một phút. Chọn chiều quay của quạt là chiều thuận. Sau 3 giây, quạt quay được một góc có số đo bao nhiêu radian (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Câu 2 : Một ruộng bậc thang có thửa thấp nhất (bậc thứ nhất) nằm ở độ cao 950 m so với mực nước biểu, độ chênh lệch giữa thửa trên và thửa dưới trung bình là 1,5 m. Hỏi thửa ruộng ở bậc thứ 12 có độ cao là bao nhiêu mét so với mực nước biển (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Câu 3 : Một cơ sở sản xuất bếp gas, tính chi phí sản xuất x (sản phẩm) xác định bởi hàm số: C(x) = 200 + 120x (ngàn đồng). Chi phí trung bình để sản xuất một sản phẩm bằng bao nhiêu ngàn đồng nếu sản xuất số lượng lớn (xem như $t \to + \infty$ )?

Câu 4 : Cho hình chóp S.ABC có G là trọng tâm tam giác ABC. Gọi $(α)$ là mặt phẳng qua G và song song với mặt phẳng (SBC). Gọi thiết diện của hình chóp S.ABC cắt bởi mặt phẳng $(α)$ là tam giác MNP với $M \in S A$ , $N \in A B$ , $P \in A C$ . Tính giá trị của biểu thức $\frac{S M}{S A}$ . (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 1 : Từ độ cao 100 m, người ta thả một quả bóng cao su xuống đất. Giả sử cứ sau mỗi lần chạm đất, quả bóng này nảy lên một độ cao bằng $\frac{1}{4}$ độ cao mà quả bóng đạt được trước đó. Gọi $h_{n}$ là độ cao quả bóng đạt được ở lần nảy thứ $n$ .

a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số $(h_{n})$ .

b) Tính giới hạn của dãy số $(h_{n})$ và nêu ý nghĩa giới hạn của dãy số $(h_{n})$ .

Câu 2 : Cho $s i n x = - \frac{1}{3}$ , $x \in (π; \frac{3 π}{2})$ . Tính giá trị $c o s (2 x - \frac{π}{3})$ .

Câu 3 : Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng có tâm lần lượt là O và O’.

a) Chứng minh OO’ song song với các mặt phẳng (ADF) và (BCE).

b) Gọi M, N lần lượt là hai điểm thuộc hai cạnh AF, AD sao cho $A M = \frac{1}{3} A F,$ $A N = \frac{1}{3} A D$ . Chứng minh MN//(DCEF).

Câu 1 : Nghiệm của phương trình $cos x = cos \frac{π}{3}$ là:

A.

$x = \pm \frac{π}{4} + k 2 π, k \in Z$ .
B.

$x = \pm \frac{π}{6} + k 2 π, k \in Z$ .
C.

$x = \pm \frac{π}{2} + k 2 π, k \in Z$ .
D.

$x = \pm \frac{π}{3} + k 2 π, k \in Z$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

$cos x = m \Leftrightarrow cos x = cos α \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = α + k 2 π x = - a + k 2 π \end{matrix}$ $(k \in Z)$ .

Lời giải chi tiết :

$cos x = cos \frac{π}{3} \Leftrightarrow x = \pm \frac{π}{3} + k 2 π$ , $k \in Z$ .

Câu 2 : Cho đồ thị hàm số $y = sin x$ như hình vẽ sau:

A diagram of a function

Description automatically generated

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.

Hàm số $y = sin x$ đồng biến trên $(\frac{π}{2}; \frac{3 π}{2})$ .
B.

Hàm số $y = sin x$ đồng biến trên $(\frac{- 3 π}{2}; - π)$ .
C.

Hàm số $y = sin x$ nghịch biến trên $(\frac{- π}{2}; \frac{π}{2})$ .
D.

Hàm số $y = sin x$ đồng biến trên $(- \frac{π}{2}; 0)$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Hàm số đồng biến trên khoảng đồ thị đi lên từ trái sang.

Lời giải chi tiết :

Hàm số $y = sin x$ đồng biến trên $(- \frac{π}{2}; 0)$ .

Câu 3 : Cấp số cộng -5; -2; 1; 4;... có công sai là

A.

8.
B.

3.
C.

-3.
D.

-5.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Tính $d = u_{n + 1} - u_{n}$ .

Lời giải chi tiết :

Ta có d = 4 - 1 = 1 - (-2) = -2 - (-5) = 3. Vậy công sai bằng 3.

Câu 4 : Một cấp số nhân có 6 số hạng với công bội bằng 2 và tổng số các số hạng bằng 189. Tìm số hạng cuối $u_{6}$ của cấp số nhân đã cho.

A.
32
B.
104
C.
48
D.
96

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Cấp số nhân $(u_{n})$ công bội $q \neq 1$ .

Khi đó tổng $S_{n} = \frac{u_{1} (1 - q^{n})}{1 - q}$ .

Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân: $u_{n} = u_{1} . q^{n - 1}$ .

Lời giải chi tiết :

${\begin{matrix} q = 2 S_{6} = 189 = u_{1} . \frac{1 - q^{6}}{1 - q} \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} q = 2 u_{1} = 3 \end{matrix}$

$u_{6} = u_{1} q^{5} = {3.2}^{5} = 96$ .

Câu 5 : Giá trị của $lim x \to + \infty \frac{2^{n} + 1}{3^{n}}$ bằng

A.

2
B.

1
C.

-1
D.

0

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Chia cả tử và mẫu cho $3^{n}$ .

Lời giải chi tiết :

$lim x \to + \infty \frac{2^{n} + 1}{3^{n}} = lim x \to + \infty \frac{{(\frac{2}{3})}^{n} + {(\frac{1}{3})}^{n}}{1} = 0$ .

Câu 6 : Cho hàm số $f (x)$ xác định trên $R,$ liên tục tại $x = 1$ và thỏa mãn $lim x \to 1 f (x) = 5.$ Khi đó $f (1)$ bằng bao nhiêu?

A.

$f (1) = - 5$ .
B.

$f (1) = 1$ .
C.

$f (1) = - 1$ .
D.

$f (1) = 5$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Hàm số f(x) liên tục tại $x_{0}$ khi $lim x \to x_{0} f (x) = a$ và $f (x_{0}) = a$ .

Lời giải chi tiết :

Vì $lim x \to 1 f (x) = 5$ và hàm số f(x) liên tục tại x = 1 nên f(1) = 5.

Câu 7 :

Tìm $lim x \to 1^{+} \frac{4 x - 3}{x - 1}$

A.

$+ \infty$ .
B.

$2$ .
C.

$- \infty$ .
D.

$- 2$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng quy tắc tính giới hạn của hàm số tại một điểm.

Lời giải chi tiết :

$lim x \to 1^{+} (4 x - 3) = 1$ ;

$lim x \to 1^{+} (x - 1) = 0$ với x > 1 nên x – 1 > 0.

Vậy $lim x \to 1^{+} \frac{4 x - 3}{x - 1} = + \infty$ .

Câu 8 : Cho $0 < α < \frac{π}{2}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A.

$cot (α + \frac{π}{2}) > 0$
B.

$cot (α + \frac{π}{2}) \geq 0$
C.

$tan (α + π) < 0$
D.

$tan (α + π) > 0$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Dựa vào vị trí điểm cuối của góc lượng giác để xét dấu.

Lời giải chi tiết :

Vì $0 < α < \frac{π}{2}$ nên $\frac{π}{2} < α + \frac{π}{2} < π$ . Khi đó $sin (α + \frac{π}{2}) > 0$ , $cos (α + \frac{π}{2}) < 0$ suy ra $cot (α + \frac{π}{2}) < 0$ .

Vì $0 < α < \frac{π}{2}$ nên $π < α + π < \frac{3 π}{2}$ . Khi đó $sin (α + π) < 0$ , $cos (α + π) < 0$ suy ra $tan (α + π) > 0$ .

Câu 9 : Nếu $lim x \to 3 f (x) = 2$ thì $lim x \to 3 [4 x - 3 f (x)]$ bằng

A.

$2$ .
B.

$- 1$ .
C.

$3$ .
D.

$6$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Áp dụng các tính chất của giới hạn hàm số.

Lời giải chi tiết :

$lim x \to 3 [4 x - 3 f (x)] = 4 lim x \to 3 x - 3 lim x \to 3 f (x) = 4.3 - 3.2 = 6$ .

Câu 10 : Cho hình chóp S.ACBD có đáy ABCD là hình thang có đáy lớn AB. Gọi M là trung điểm của SC. Giao điểm của BC với mặt phẳng (ADM) là:

A.

Giao điểm của BC và DM.
B.

Giao điểm của BC và AM.
C.

Giao điểm của BC và AD.
D.

Giao điểm của BC và SD.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Tìm điểm cùng thuộc đường thẳng và mặt phẳng.

Lời giải chi tiết :

Gọi E là giao điểm của AD và BC.

Vì E thuộc AD nên E thuộc (AMD), mà E thuộc BC, do đó E là giao điểm của BC và (AMD).

Câu 11 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SC. Đường thẳng MN song song với đường thẳng nào dưới đây?

A.

BC.
B.

BD.
C.

AB.
D.

AC.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Dựa vào tính chất đường trung bình trong tam giác.

Lời giải chi tiết :

Vì MN là đường trung bình của tam giác SAC nên MN // AC.

Câu 12 : Cho mặt phẳng (P) và điểm A nằm ngoài mặt phẳng (P). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.

Qua A có đúng một mặt phẳng song song với (P).
B.

Qua A có vô số mặt phẳng song song với (P).
C.

Qua A không có mặt phẳng nào song song với (P).
D.

Qua A có đúng hai mặt phẳng song song với (P).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Dựa vào lí thuyết hai mặt phẳng song song.

Lời giải chi tiết :

Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng, có duy nhất một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.

Câu 1 : Cho hàm số $f (x) = {\begin{matrix} \frac{x^{2} - 3 x + 2}{x - 2} 1 \end{matrix}$ $\begin{matrix} k h i k h i \end{matrix}$ $\begin{matrix} x \neq 2 x = 2 \end{matrix}$ .

a) Giá trị của $f (2)$ bằng 1.

Đúng

Sai

b) Giá trị của $lim x \to 2 f (x)$ bằng -1.

Đúng

Sai

c) Hàm số đã cho liên tục trên $R$ .

Đúng

Sai

d) Giá trị của $lim x \to - \infty \frac{\sqrt{x f (x) + 1}}{x + 1}$ bằng 1.

Đúng

Sai

Đáp án

a) Giá trị của $f (2)$ bằng 1.

Đúng

Sai

b) Giá trị của $lim x \to 2 f (x)$ bằng -1.

Đúng

Sai

c) Hàm số đã cho liên tục trên $R$ .

Đúng

Sai

d) Giá trị của $lim x \to - \infty \frac{\sqrt{x f (x) + 1}}{x + 1}$ bằng 1.

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Tính biểu thức $f (x)$ tại $x = 2$ .

Tính $lim x \to 2 f (x)$ , xét tính liên tục của hàm số.

Lời giải chi tiết :

a) Đúng. Khi $x = 2$ thì $f (x) = 1$ . Do đó $f (2) = 1$ .

b) Sai. Có $lim x \to 2 f (x) = lim x \to 2 \frac{x^{2} - 3 x + 2}{x - 2}$

$= lim x \to 2 \frac{(x - 2) (x - 1)}{x - 2} = lim x \to 2 (x - 1) = 2 - 1 = 1$ .

c) Đúng. Ta có:

${\begin{matrix} lim x \to 2 f (x) = 1 f (2) = 1 \end{matrix}$ suy ra $lim x \to 2 f (x) = f (2) = 1$ .

Vậy hàm số liên tục trên $R$ .

d) Sai. Khi $x \neq 2$ thì $f (x) = \frac{x^{2} - 3 x + 2}{x - 2} = x - 1$ nên ta có:

$lim x \to - \infty \frac{\sqrt{x f (x) + 1}}{x + 1} = lim x \to - \infty \frac{\sqrt{x (x - 1) + 1}}{x + 1} = lim x \to - \infty \frac{\sqrt{x^{2} - x + 1}}{x + 1}$

$= lim x \to - \infty \frac{\sqrt{x^{2} (1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}})}}{x + 1} = lim x \to - \infty \frac{| x | \sqrt{1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}{x + 1} = lim x \to - \infty \frac{- x \sqrt{1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}{x + 1} = - 1$ .

Câu 2 : Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy là hình thang, $A B // C D$ và $A B = 2 C D$ , O là giao điểm của hai đường thẳng AC và BD. Gọi $M$ , $N$ lần lượt là trung điểm $S A$ và $S B$ .

a) $A B // M C$ .

Đúng

Sai

b) Tứ giác CDMN là hình thang cân.

Đúng

Sai

c) E là trung điểm của SC, G là trọng tâm của tam giác SBC, khi đó OG song song với DE.

Đúng

Sai

d) Giao tuyến của (CDE) và (SAC) là đường thẳng EO.

Đúng

Sai

Đáp án

a) $A B // M C$ .

Đúng

Sai

b) Tứ giác CDMN là hình thang cân.

Đúng

Sai

c) E là trung điểm của SC, G là trọng tâm của tam giác SBC, khi đó OG song song với DE.

Đúng

Sai

d) Giao tuyến của (CDE) và (SAC) là đường thẳng EO.

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Áp dụng tính chất của hình thang, đường trung bình, định lí Thales để chứng minh hai đường thẳng song song.

Lời giải chi tiết :

a) Sai. AB không song song với MC.

b) Sai. MN // AB và $M N = \frac{1}{2} A B$ theo tính chất đường trung bình trong tam giác.

Mà DC // AB và $D C = \frac{1}{2} A B$ theo giả thiết.

Do đó MN // DC và MN = DC. Suy ra CDMN là hình bình hành.

c) Đúng. Vì G là trọng tâm tam giác SBC nên $\frac{B G}{G E} = 2$ .

Theo định lí Thales, vì DC // AB nên $\frac{B D}{O D} = \frac{A B}{D C} = 2$ .

Vì $\frac{B G}{G E} = \frac{B D}{O D} = 2$ nên theo định lí Thales đảo, suy ra OG // DE.

d) Sai. Vì O không thuộc (CDE) nên EO không phải giao tuyến của (CDE) và (SAC).

Câu 1 : Một chiếc quạt trần năm cánh quay với tốc độ 45 vòng trong một phút. Chọn chiều quay của quạt là chiều thuận. Sau 3 giây, quạt quay được một góc có số đo bao nhiêu radian (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Phương pháp giải :

Tìm số đo góc lượng giác quạt quay được trong 1 giây, từ đó tính số đo góc lượng giác quạt quay được trong 3 giây.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Tốc độ góc của quạt trần là: $\frac{45 \cdot 2 π}{60} = \frac{3 π}{2}$ (rad/s).

Sau 3 giây, quạt quay được một góc có số đo là:

$\frac{3 π}{2} \cdot 3 = \frac{9 π}{2} \approx 14, 1$ (rad).

Câu 2 : Một ruộng bậc thang có thửa thấp nhất (bậc thứ nhất) nằm ở độ cao 950 m so với mực nước biểu, độ chênh lệch giữa thửa trên và thửa dưới trung bình là 1,5 m. Hỏi thửa ruộng ở bậc thứ 12 có độ cao là bao nhiêu mét so với mực nước biển (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng: $u_{n} = u_{1} + (n - 1) d$ .

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Kí hiệu $u_{n}$ là chiều cao so với mực nước biển của thửa ruộng ở bậc thứ n.

Khi đó, dãy số $(u_{n})$ là một cấp số cộng với $u_{1} = 950$ và d = 1,5.

Ta có: $u_{12} = u_{1} + 11 d = 950 + 11.1, 5 = 966, 5$ .

Vậy thửa ruộng ở bậc thứ 12 có độ cao xấp xỉ 967 m so với mực nước biển.

Câu 3 : Một cơ sở sản xuất bếp gas, tính chi phí sản xuất x (sản phẩm) xác định bởi hàm số: C(x) = 200 + 120x (ngàn đồng). Chi phí trung bình để sản xuất một sản phẩm bằng bao nhiêu ngàn đồng nếu sản xuất số lượng lớn (xem như $t \to + \infty$ )?

Phương pháp giải :

Lập hàm chi phí trung bình $¯ ¯¯ ¯ C (x)$ và tính ${lim}_{x \to + \infty} ¯ ¯¯ ¯ C (x)$ .

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Gọi $¯ ¯¯ ¯ C (x)$ là chi phí trung bình để sản xuất một sản phẩm.

$¯ ¯¯ ¯ C (x) = \frac{C (x)}{x} = \frac{200 + 120 x}{x}$ .

${lim}_{x \to + \infty} ¯ ¯¯ ¯ C (x) = {lim}_{x \to + \infty} \frac{200 + 120 x}{x} = 120$ (ngàn đồng).

Câu 4 : Cho hình chóp S.ABC có G là trọng tâm tam giác ABC. Gọi $(α)$ là mặt phẳng qua G và song song với mặt phẳng (SBC). Gọi thiết diện của hình chóp S.ABC cắt bởi mặt phẳng $(α)$ là tam giác MNP với $M \in S A$ , $N \in A B$ , $P \in A C$ . Tính giá trị của biểu thức $\frac{S M}{S A}$ . (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Phương pháp giải :

Áp dụng định lí Thales và tính chất của hai mặt phẳng song song.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Gọi I là trung điểm BC. Khi đó A, G, I thẳng hàng.

Ta có $⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ \begin{matrix} (S B C) / / (α) (S B C) \cap (S I A) = S I (α) \cap (S I A) = M G \end{matrix} \Rightarrow S I / / M G$ .

Theo định lí Thales, ta có $\frac{S M}{S A} = \frac{I G}{I A} = \frac{1}{3}$ .

Câu 1 : Từ độ cao 100 m, người ta thả một quả bóng cao su xuống đất. Giả sử cứ sau mỗi lần chạm đất, quả bóng này nảy lên một độ cao bằng $\frac{1}{4}$ độ cao mà quả bóng đạt được trước đó. Gọi $h_{n}$ là độ cao quả bóng đạt được ở lần nảy thứ $n$ .

a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số $(h_{n})$ .

b) Tính giới hạn của dãy số $(h_{n})$ và nêu ý nghĩa giới hạn của dãy số $(h_{n})$ .

Phương pháp giải :

Xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân, áp dụng công thức $u_{n} = u_{1} q^{n - 1}$ .

Áp dụng quy tắc tính giới hạn của hàm số.

Lời giải chi tiết :

a) Theo đề bài ta có, $h_{n} = \frac{1}{4} h_{n - 1}$ nên $(h_{n})$ là một cấp số nhân với $h_{1} = \frac{1}{4} . 100 = 25$ và công bội $q = \frac{1}{4}$ .

Suy ra số hạng tổng quát của dãy số $(h_{n})$ : $h_{n} = u_{1} q^{n - 1} = 25 . {(\frac{1}{4})}^{n - 1} = \frac{100}{4^{n}}$ .

b) Ta có: $lim h_{n} = lim \frac{100}{4^{n}} = lim (100 . \frac{1}{4^{n}}) = lim 100 . lim {(\frac{1}{4})}^{n} = 100 . 0 = 0$ .

Từ giới hạn đó, ta rút ra được ý nghĩa: Khi $n$ càng dần tới vô cực thì độ cao của quả bóng đạt được sau khi nảy ngày càng nhỏ và độ cao đó dần tới 0.

Câu 2 : Cho $s i n x = - \frac{1}{3}$ , $x \in (π; \frac{3 π}{2})$ . Tính giá trị $c o s (2 x - \frac{π}{3})$ .

Phương pháp giải :

Xét dấu $cos x$ khi $x \in (π; \frac{3 π}{2})$ .

Thay vào đẳng thức ${sin}^{2} x + {cos}^{2} x = 1$ ta tìm được $cos x$ .

Áp dụng công thức cộng:

$cos (a - b) = cos a . cos b + sin a . sin b$ .

Lời giải chi tiết :

$x \in (π; \frac{3 π}{2}) \Rightarrow cos x < 0$ .

$\Rightarrow cos x = - \sqrt{1 - {sin}^{2} x}$

$= - \sqrt{1 - {(- \frac{1}{3})}^{2}} = - \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ .

Ta tính được: $cos x = - \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ .

Khi đó: $cos (2 x - \frac{π}{3}) = \frac{1}{2} cos 2 x + \frac{\sqrt{3}}{2} sin 2 x$

$= \frac{1}{2} (1 - 2 {sin}^{2} x) + \sqrt{3} sin x cos x = \frac{7 + 4 \sqrt{6}}{18}$ .

Câu 3 : Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng có tâm lần lượt là O và O’.

a) Chứng minh OO’ song song với các mặt phẳng (ADF) và (BCE).

b) Gọi M, N lần lượt là hai điểm thuộc hai cạnh AF, AD sao cho $A M = \frac{1}{3} A F,$ $A N = \frac{1}{3} A D$ . Chứng minh MN//(DCEF).

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng để chứng minh: Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và song song với một đường thẳng b nào đó nằm trong (P) thì a song song với (P).

Lời giải chi tiết :

a) Vì O, O’ lần lượt là tâm của hình bình hành ABCD và ABEF nên O là trung điểm của BD, AC và O’ là trung điểm của BF, AE.

Vì O là trung điểm của BD, O’ là trung điểm của BF nên OO’ là đường trung bình của tam giác BDF. Do đó, OO’//DF (1)

Vì O là trung điểm của AC, O’ là trung điểm của AE nên OO’ là đường trung bình của tam giác ACE. Do đó, OO’//CE (2)

Từ (1) và (2) ta có: OO’//DF//CE

Vì OO’//DF, OO’ không nằm trên mặt phẳng (ADF) và $D F \subset (A D F)$ nên OO’//(ADF).

Vì OO’//CE, OO’ không nằm trên mặt phẳng (BCE) và $C E \subset (B C E)$ nên OO’//(BCE).

b) Vì $A M = \frac{1}{3} A F, A N = \frac{1}{3} A D \Rightarrow \frac{A M}{A F} = \frac{A N}{A D} = \frac{1}{3}$

Tam giác ADF có: $\frac{A M}{A F} = \frac{A N}{A D} = \frac{1}{3}$ nên MN//DF (định lí Thalès đảo)

Vì MN//DF, MN không nằm trên mặt phẳng (DCEF) và $D F \subset (D C E F)$ nên MN//(DCEF).