Đề thi học kì 1 Toán 12 - Đề số 10

Câu 1 : Cho hàm số y = f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A.

$(0; + \infty)$
B.

$(- 3; 0)$
C.

$(0; 2)$
D.

$(- \infty; - 3)$

Câu 2 : Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên $R$ và có $f^{'} (x) = (x - 1)^{2} (x^{2} - 5 x + 6)$ . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A.

3.
B.

5.
C.

2.
D.

4.

Câu 3 :

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên $R ∖ {1}$ có bảng biến thiên như hình vẽ. Tổng số đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) là

A.

1
B.

4
C.

2
D.

3

Câu 4 : Cho hàm số $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ có bảng biến thiên như hình vẽ:

Xác định công thức của hàm số.

A.

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 1$
B.

$y = - x^{3} - 3 x^{2} + 1$
C.

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 2$
D.

$y = - x^{3} - 3 x^{2} - 1$

Câu 5 : Cho ba điểm M, N, P tùy ý. Khẳng định nào sau đây đúng?

A.

$\to M N + \to N P = \to M P$ .
B.

$\to M N - \to N P = \to M P$ .
C.

$\to P N - \to P M = \to N M$ .
D.

$\to M P + \to P N = ⃗ 0$ .

Câu 6 : Cho hình lập phương $A B C D . E F G H$ . Số đo góc giữa hai vectơ $\to A D$ và $\to B G$ là

A.

$30^{\circ}$ .
B.

$45^{\circ}$ .
C.

$90^{\circ}$ .
D.

$135^{\circ}$ .

Câu 7 : Trong không gian Oxy, cho vecto $- - \to O M = 2 \to i - 3 \to j + 4 \to k$ . Tọa độ của điểm M là

A.

$(2; - 3; 4)$
B.

$(2; 4; - 3)$
C.

$(2; 3; 4)$
D.

$(- 2; 3; - 4)$

Câu 8 : Trong không gian Oxyz, cho điểm M(4;1;3). Điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng (Oxz) có tọa độ

A.

(-4;-1;3)
B.

(-4;-1;-3)
C.

(4;-1;3)
D.

(4;1;-3)

Câu 9 : Trong không gian Oxy, cho hai vecto $\to u = (1; 3; - 2)$ và $\to v = (2; 1; - 1)$ . Tọa độ của vecto $\to u - \to v$ là

A.

(3;4;-3)
B.

(-1;2;-3)
C.

(-1;2;-1)
D.

(1;-2;1)

Câu 10 : Trong không gian Oxyz, gọi A’ là hình chiếu vuông góc của điểm A(1;2;3) lên mặt phẳng (Oyz). Tọa độ vecto $- - \to A A^{'}$ là

A.

(0;2;3)
B.

(-1;0;0)
C.

(1;0;0)
D.

(0;2;0)

Câu 11 : Thời gian hoàn thành bài kiểm tra cuối học kỳ II môn Toán của các bạn học sinh lớp 12A được cho trong bảng sau:

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là

A.

25.
B.

20.
C.

30.
D.

15.

Câu 12 : Một mẫu số liệu ghép nhóm có tứ phân vị là $Q_{1} = 3$ , $Q_{2} = 5$ , $Q_{3} = 9$ . Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là

A.

2
B.

4
C.

5
D.

6

Câu 1 : Một sân vận động với sân bóng phẳng hình chữ nhật có chấm trắng trung tâm là nơi giao bóng, một đường kẻ vạch chia đôi sân và các khán đài. Khán đài A gồm những dãy ghế nằm vuông góc với vạch chia đôi sân có độ cao tăng dần (các ghế cùng hàng thì cùng độ cao so với mặt sân). Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O trùng với điểm giao bóng, mặt phẳng Oxy trùng với mặt sân, trục Ox trùng với vạch chia đôi sân, tia Oz vuông góc với mặt sân (đơn vị đo lấy theo mét).

Một khán giả ngồi tại vị trí M của khán đài A, có hình chiếu vuông góc lên mặt phẳng chứa sân là một điểm thuộc Ox. Góc hợp bởi OM và mặt sân là $α$ với $sin α = \frac{1}{3}$ , nếu người này di chuyển 10 (m) trên hàng ngang đó đến ngồi tại một vị trí N thì góc hợp bởi ON và mặt sân là $β$ với $sin β = \frac{\sqrt{10}}{10}$ . Gọi h (m) là độ cao tại M so với mặt sân.

a) Điểm M có cao độ bằng 0.

Đúng

Sai

b) Điểm N có cùng tung độ với điểm M.

Đúng

Sai

c) OM = 3h.

Đúng

Sai

d) h = 10 m.

Đúng

Sai

Câu 2 : Tìm hiểu về số giờ nắng/ngày (tính theo hiệu suất của tấm pin năng lượng mặt trời thu được trong một ngày) vào tháng 9/2024 để theo dõi sản lượng điện mặt trời mái nhà của một hộ dân tại TP Buôn Ma Thuột, thu được bảng số liệu sau:

a) Số giờ nắng/ngày trung bình của bảng số liệu này (làm tròn đến hàng phần trăm) là 3,57.

Đúng

Sai

b) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm này là 5.

Đúng

Sai

c) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên (làm trong đến hàng phần chục) là $s^{2} = 3, 2$ .

Đúng

Sai

d) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm này là $2, 75$ .

Đúng

Sai

Câu 1 : Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số $y = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2$ cắt đồ thị hàm số $y = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + m$ tại 3 điểm phân biệt?

Câu 2 : Một sân điền kinh gồm hai sân hình bán nguyệt có bán kính x (m, x > 0) và một sân hình chữ nhật như hình vẽ. Biết chu vi của sân điền kinh là 400 m, tìm diện tích lớn nhất của sân hình chữ nhật theo mét vuông (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Câu 3 : Theo định luật II: Gia tốc của một vật có cùng hướng với lực tác dụng lên vật. Độ lớn của gia tốc tỉ lệ thuận với độ lớn của lực và tỉ lệ nghịch với khối lượng của vật: $\to F = m \to a$ , trong đó $\to F$ là vecto lực (N), $\to a$ là vector gia tốc $(m / s^{2})$ , m (kg) là khối lượng của vật. Muốn truyền cho quả bóng có khối lượng 0,5 (kg) một gia tốc 50 $(m / s^{2})$ thì cần một lực đá có độ lớn là bao nhiêu?

Câu 4 : Hình dưới đây mô tả một sân cầu lông với kích thước theo tiêu chuẩn quốc tế. Ta chọn hệ trục Oxyz cho sân đó (đơn vị trên mỗi trục là mét) và hai điểm A, B như hình. Khi đó, tọa độ của , hãy tính: a + b + c (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 1 : Một chất điểm chuyển động lên, xuống theo phương thẳng đứng. Độ cao $h (t)$ của chất điểm tại thời điểm $t$ (giây) được cho bởi công thức

$h (t) = \frac{1}{3} t^{3} - 4 t^{2} + 12 t + 1$ với $0 \leq t \leq 8$ .

a) Viết công thức tính vận tốc của chất điểm.

b) Trong khoảng thời gian nào chất điểm chuyển động lên, trong thời gian nào chất điểm chuyển động đi xuống?

Câu 2 : Trong không gian $O x y z$ , cho hai vectơ $\to a = (m; 3; 6), \to b = (1; 2; 3)$ .

Xác định giá trị của $m$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $\to a - 2 \to b = (3; - 1; 0)$ .

b) $\to a \cdot \to b = 10$ .

c) $∣ ∣ \to a ∣ ∣ = 9$ .

Câu 3 : Bảng dưới đây thống kê cự li ném tạ của một vận động viên.

Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Câu 1 : Cho hàm số y = f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A.

$(0; + \infty)$
B.

$(- 3; 0)$
C.

$(0; 2)$
D.

$(- \infty; - 3)$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng f’(x) < 0.

Lời giải chi tiết :

Hàm số nghịch biến trên khoảng (-3;0) vì f’(x) < 0 trên (-3;0).

Câu 2 : Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên $R$ và có $f^{'} (x) = (x - 1)^{2} (x^{2} - 5 x + 6)$ . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A.

3.
B.

5.
C.

2.
D.

4.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Tìm số nghiệm bội lẻ của phương trình y = f'(x).

Lời giải chi tiết :

$f^{'} (x) = (x - 1)^{2} (x^{2} - 5 x + 6)$

$= (x - 1)^{2} (x - 2) (x - 3)$ .

Phương trình f’(x) = 0 có hai nghiệm bội lẻ là x = 2 và x = 3 nên hàm số f(x) có hai điểm cực trị.

Câu 3 :

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên $R ∖ {1}$ có bảng biến thiên như hình vẽ. Tổng số đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) là

A.

1
B.

4
C.

2
D.

3

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Quan sát bảng biến thiên và nhận xét.

Lời giải chi tiết :

Ta có ${lim}_{x \to 1^{+}} y = - \infty$ ; ${lim}_{x \to 1^{-}} x = + \infty$ nên ta có một tiệm cận đứng là $x = 1$ .

Mặt khác ${lim}_{x \to + \infty} y = - 1$ ; ${lim}_{x \to - \infty} y = 1$ nên ta có hai tiệm cận ngang là $y = 1$ và $y = - 1$ .

Vậy, đồ thị hàm số đã cho có tổng số TCĐ và TCN là 3.

Câu 4 : Cho hàm số $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ có bảng biến thiên như hình vẽ:

Xác định công thức của hàm số.

A.

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 1$
B.

$y = - x^{3} - 3 x^{2} + 1$
C.

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 2$
D.

$y = - x^{3} - 3 x^{2} - 1$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Quan sát bảng biến thiên, tìm đạo hàm, xét các điểm cực trị và các giá trị của hàm số tại điểm đó, thay số vào f(x), f’(x) để tìm các hệ số của phương trình.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $f^{'} (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c$ . Đồ thị đạt cực trị tại các điểm (0;1) và (-2;-3) nên f’(0) = 0, f’(-2) = 0.

Đồ thị hàm số đi qua các điểm (-2;-3) và (0;1) nên f(-2) = -3, f(0) = 1.

Ta có hệ phương trình sau:

$⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ \begin{matrix} f^{'} (0) = 0 f (0) = 1 f^{'} (- 2) = 0 f (- 2) = - 3 \end{matrix} \Leftrightarrow ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ \begin{matrix} c = 0 d = 1 12 a - 4 b = 0 - 8 a + 4 b + 1 = - 3 \end{matrix} \Leftrightarrow ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ \begin{matrix} c = 0 d = 1 a = - 1 b = - 3 \end{matrix}$

Vậy hàm số cần tìm là: $y = - x^{3} - 3 x^{2} + 1$ .

Câu 5 : Cho ba điểm M, N, P tùy ý. Khẳng định nào sau đây đúng?

A.

$\to M N + \to N P = \to M P$ .
B.

$\to M N - \to N P = \to M P$ .
C.

$\to P N - \to P M = \to N M$ .
D.

$\to M P + \to P N = ⃗ 0$ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Áp dụng quy tắc ba điểm.

Lời giải chi tiết :

Theo quy tắc ba điểm, ta có $\to M N + \to N P = \to M P$ .

Câu 6 : Cho hình lập phương $A B C D . E F G H$ . Số đo góc giữa hai vectơ $\to A D$ và $\to B G$ là

A.

$30^{\circ}$ .
B.

$45^{\circ}$ .
C.

$90^{\circ}$ .
D.

$135^{\circ}$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Trong không gian, cho hai vecto $\to a, \to b \neq \to 0$ . Lấy một điểm O bất kì và gọi A, B là hai điểm sao cho $- - \to O A = \to a$ , $- - \to O B = \to b$ . Khi đó, $ˆ A O B$ $(0^{o} < ˆ A O B < 180^{o})$ được gọi là góc giữa hai vecto $\to a$ và $\to b$ , kí hiệu là $(\to a, \to b)$ .

Lời giải chi tiết :

$(- - \to A D; - - \to B G) = (- - \to B C; - - \to B G) = ˆ C B G = 45^{o}$ .

Câu 7 : Trong không gian Oxy, cho vecto $- - \to O M = 2 \to i - 3 \to j + 4 \to k$ . Tọa độ của điểm M là

A.

$(2; - 3; 4)$
B.

$(2; 4; - 3)$
C.

$(2; 3; 4)$
D.

$(- 2; 3; - 4)$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

$\to a = m \to i + n \to j + p \to k = (m; n; p)$ .

Lời giải chi tiết :

$- - \to O M = 2 \to i - 3 \to j + 4 \to k = (2; - 3; 4)$ .

Câu 8 : Trong không gian Oxyz, cho điểm M(4;1;3). Điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng (Oxz) có tọa độ

A.

(-4;-1;3)
B.

(-4;-1;-3)
C.

(4;-1;3)
D.

(4;1;-3)

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Điểm M’ đối xứng với M(a;b;c) qua mặt phẳng (Oxz) có tọa độ M’(a;-b;c).

Lời giải chi tiết :

Điểm M’ đối xứng với M(4;1;3) qua mặt phẳng (Oxz) có tọa độ M’(4;-1;3).

Câu 9 : Trong không gian Oxy, cho hai vecto $\to u = (1; 3; - 2)$ và $\to v = (2; 1; - 1)$ . Tọa độ của vecto $\to u - \to v$ là

A.

(3;4;-3)
B.

(-1;2;-3)
C.

(-1;2;-1)
D.

(1;-2;1)

Đáp án : C

Phương pháp giải :

$\to u - \to v = (x_{u} - x_{v}; y_{u} - y_{v}; z_{u} - z_{v})$ .

Lời giải chi tiết :

$\to u - \to v = (1 - 2; 3 - 1; - 2 + 1) = (- 1; 2; - 1)$ .

Câu 10 : Trong không gian Oxyz, gọi A’ là hình chiếu vuông góc của điểm A(1;2;3) lên mặt phẳng (Oyz). Tọa độ vecto $- - \to A A^{'}$ là

A.

(0;2;3)
B.

(-1;0;0)
C.

(1;0;0)
D.

(0;2;0)

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Hình chiếu của điểm M(a;b;c) lên mặt phẳng (Oyz) là điểm M’(0;b;c).

Lời giải chi tiết :

Ta có A’(0;2;3) suy ra $- - \to A A^{'} = (0 - 1; 2 - 2; 3 - 3) = (- 1; 0; 0)$ .

Câu 11 : Thời gian hoàn thành bài kiểm tra cuối học kỳ II môn Toán của các bạn học sinh lớp 12A được cho trong bảng sau:

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là

A.

25.
B.

20.
C.

30.
D.

15.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Lấy đầu mút phải của nhóm cuối cùng trừ đi đầu mút trái của nhóm đầu tiên (chứa mẫu số liệu).

Lời giải chi tiết :

Khoảng biến thiên: $R = 90 - 65 = 25$ .

Câu 12 : Một mẫu số liệu ghép nhóm có tứ phân vị là $Q_{1} = 3$ , $Q_{2} = 5$ , $Q_{3} = 9$ . Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là

A.

2
B.

4
C.

5
D.

6

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm được tính bởi công thức: $Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1}$ .

Lời giải chi tiết :

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là $Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = 9 - 3 = 6$ .

Câu 1 : Một sân vận động với sân bóng phẳng hình chữ nhật có chấm trắng trung tâm là nơi giao bóng, một đường kẻ vạch chia đôi sân và các khán đài. Khán đài A gồm những dãy ghế nằm vuông góc với vạch chia đôi sân có độ cao tăng dần (các ghế cùng hàng thì cùng độ cao so với mặt sân). Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O trùng với điểm giao bóng, mặt phẳng Oxy trùng với mặt sân, trục Ox trùng với vạch chia đôi sân, tia Oz vuông góc với mặt sân (đơn vị đo lấy theo mét).

Một khán giả ngồi tại vị trí M của khán đài A, có hình chiếu vuông góc lên mặt phẳng chứa sân là một điểm thuộc Ox. Góc hợp bởi OM và mặt sân là $α$ với $sin α = \frac{1}{3}$ , nếu người này di chuyển 10 (m) trên hàng ngang đó đến ngồi tại một vị trí N thì góc hợp bởi ON và mặt sân là $β$ với $sin β = \frac{\sqrt{10}}{10}$ . Gọi h (m) là độ cao tại M so với mặt sân.

a) Điểm M có cao độ bằng 0.

Đúng

Sai

b) Điểm N có cùng tung độ với điểm M.

Đúng

Sai

c) OM = 3h.

Đúng

Sai

d) h = 10 m.

Đúng

Sai

Đáp án

a) Điểm M có cao độ bằng 0.

Đúng

Sai

b) Điểm N có cùng tung độ với điểm M.

Đúng

Sai

c) OM = 3h.

Đúng

Sai

d) h = 10 m.

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Quan sát hình vẽ và xác định tọa độ các điểm.

Gọi K là hình chiếu của N trên (Oxy).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông và định lí Pythagore để tính.

Lời giải chi tiết :

a) Sai. Điểm M không thuộc (Oxy) nên cao độ khác 0.

b) Sai. Điểm M có tung độ bằng 0 và điểm N có tung độ khác 0.

c) Đúng. $α = (O M, (O x y))$

$= (O M, O H) = ˆ M O H$ .

Xét tam giác MHN vuông tại H:

$sin α = \frac{M H}{O M} \Leftrightarrow O M = \frac{M H}{sin α} = \frac{h}{\frac{1}{3}} = 3 h$ .

d) Đúng. Gọi K là hình chiếu của N trên (Oxy).

$β = (O N, (O x y)) = (O N, O K) = ˆ N O K$ .

Xét tam giác NOK vuông tại K:

$sin β = \frac{\sqrt{10}}{10} \Leftrightarrow \frac{h}{O N} = \frac{\sqrt{10}}{10} \Leftrightarrow O N = h \sqrt{10}$ .

Xét tam giác MON vuông tại M:

$\sqrt{O N^{2} - O M^{2}} = M N$

$\Leftrightarrow \sqrt{10 h^{2} - 9 h^{2}} = 10 \Leftrightarrow h = 10$ (m).

Câu 2 : Tìm hiểu về số giờ nắng/ngày (tính theo hiệu suất của tấm pin năng lượng mặt trời thu được trong một ngày) vào tháng 9/2024 để theo dõi sản lượng điện mặt trời mái nhà của một hộ dân tại TP Buôn Ma Thuột, thu được bảng số liệu sau:

a) Số giờ nắng/ngày trung bình của bảng số liệu này (làm tròn đến hàng phần trăm) là 3,57.

Đúng

Sai

b) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm này là 5.

Đúng

Sai

c) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên (làm trong đến hàng phần chục) là $s^{2} = 3, 2$ .

Đúng

Sai

d) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm này là $2, 75$ .

Đúng

Sai

Đáp án

a) Số giờ nắng/ngày trung bình của bảng số liệu này (làm tròn đến hàng phần trăm) là 3,57.

Đúng

Sai

b) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm này là 5.

Đúng

Sai

c) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên (làm trong đến hàng phần chục) là $s^{2} = 3, 2$ .

Đúng

Sai

d) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm này là $2, 75$ .

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Khoảng biến thiên, kí hiệu R, của mẫu số liệu ghép nhóm là hiếu số giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên chứa dữ liệu của mẫu số liệu.

Phương sai:

- Công thức 1: $S^{2} = \frac{1}{n} [n_{1} {(c_{1} - ¯ ¯ ¯ x)}^{2} + n_{2} {(c_{2} - ¯ ¯ ¯ x)}^{2} + . . . + n_{k} {(c_{k} - ¯ ¯ ¯ x)}^{2}]$ .

- Công thức 2: $S^{2} = \frac{1}{n} (n_{1} {c_{1}}^{2} + n_{2} {c_{2}}^{2} + . . . + n_{k} {c_{k}}^{2}) - {¯ ¯ ¯ x}^{2}$ .

Trong đó: $n = n_{1} + n_{2} + . . . + n_{k}$ là cỡ mẫu; $¯ ¯ ¯ x = \frac{1}{n} (n_{1} c_{1} + n_{2} c_{2} + . . . + n_{k} c_{k})$ là số trung bình.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm: $Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1}$ .

Lời giải chi tiết :

a) Đúng. Số giờ nắng/ngày trung bình là:

$¯ ¯ ¯ x = \frac{1.5 + 2.4 + 3.2 + 4.7 + 5.12 + 6.0}{5 + 4 + 2 + 7 + 12} = \frac{107}{30} \approx 3, 57$ .

b) Đúng. Khoảng biến thiên: R = 5,5 – 0,5 = 5.

c) Sai. Phương sai:

$s^{2} = \frac{1}{30} ({5.1}^{2} + {4.2}^{2} + {2.3}^{2} + {7.4}^{2} + {12.5}^{2}) - {(\frac{107}{30})}^{2} = \frac{2081}{900} \approx 2, 3$ .

d) Đúng. $Q_{1} = 1, 5 + \frac{\frac{30}{4} - 5}{4} . (2, 5 - 1, 5) = 2, 125$ .

$Q_{3} = 4, 5 + \frac{\frac{3.30}{4} - (5 + 4 + 2 + 7)}{12} . (5, 5 - 4, 5) = 4, 875$ .

$Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = 4, 875 - 2, 125 = 2, 75$ .

Câu 1 : Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số $y = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2$ cắt đồ thị hàm số $y = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + m$ tại 3 điểm phân biệt?

Phương pháp giải :

Lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số.

Cô lập m, lập bảng biến thiên để xác định m sao cho hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm phân biệt.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Phương trình hoành độ giao điểm là của hai đồ thị trên là:

$2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + m \Leftrightarrow x^{3} + 3 x^{2} - 9 x + 2 = m$ (*)

Hai đồ thị cắt nhau tại 3 điểm phân biệt $\Leftrightarrow$ (*) có 3 nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow$ (C): $y = x^{3} + 3 x^{2} - 9 x + 2$ cắt $d : y = m$ tại 3 điểm phân biệt.

Xét (C): $y = x^{3} + 3 x^{2} - 9 x + 2$ .

Ta có $y^{'} = 3 x^{2} + 6 x - 9$ ; $y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = - 3 \lor x = 1$ .

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy (C) cắt d tại 3 điểm phân biệt $\Leftrightarrow - 3 < m < 29$ .

Do m nguyên nên $m \in {- 2; - 1; 0; 1; 2; . . ., 28}$ . Vậy có 31 giá trị của m thỏa mãn.

Câu 2 : Một sân điền kinh gồm hai sân hình bán nguyệt có bán kính x (m, x > 0) và một sân hình chữ nhật như hình vẽ. Biết chu vi của sân điền kinh là 400 m, tìm diện tích lớn nhất của sân hình chữ nhật theo mét vuông (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Phương pháp giải :

Lập hàm số biểu diễn diện tích hình chữ nhật theo x.

Sử dụng đạo hàm tìm GTLN của hàm số.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Theo hình vẽ, một cạnh của hình chữ nhật có chiều dài 2x (m, x > 0).

Gọi độ dài cạnh còn lại là y (m, y > 0).

Chu vi sân là $C = 2 π x + 2 y = 400$ (m).

Do đó $y = \frac{400 - 2 π x}{2} = 200 - π x$ (m).

Vì $y > 0 \Leftrightarrow 200 - π x > 0 \Leftrightarrow x < \frac{200}{π}$ .

Diện tích sân hình chữ nhật là:

$S = 2 x y = 2 x (200 - x π) = 400 x - 2 π x^{2}$ $(m^{2})$ .

$S^{'} = 400 - 4 π x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{100}{π}$ .

Ta có S(0) = 0, $S (\frac{100}{π}) \approx 6366$ , $S (\frac{200}{π}) = 0$ .

Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật là khoảng 6366 mét vuông.

Câu 3 : Theo định luật II: Gia tốc của một vật có cùng hướng với lực tác dụng lên vật. Độ lớn của gia tốc tỉ lệ thuận với độ lớn của lực và tỉ lệ nghịch với khối lượng của vật: $\to F = m \to a$ , trong đó $\to F$ là vecto lực (N), $\to a$ là vector gia tốc $(m / s^{2})$ , m (kg) là khối lượng của vật. Muốn truyền cho quả bóng có khối lượng 0,5 (kg) một gia tốc 50 $(m / s^{2})$ thì cần một lực đá có độ lớn là bao nhiêu?

Phương pháp giải :

Thay số vào công thức đã cho.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\to F = m \to a$ , suy ra $∣ ∣ ∣ \to F ∣ ∣ ∣ = ∣ ∣ m \to a ∣ ∣ = m ∣ ∣ \to a ∣ ∣ = 0, 5.50 = 25$ .

Vậy muốn truyền cho quả bóng khối lượng 0,5 (kg) một gia tốc 50 thì cần một lực có độ lớn bằng 25 (N).

Câu 4 : Hình dưới đây mô tả một sân cầu lông với kích thước theo tiêu chuẩn quốc tế. Ta chọn hệ trục Oxyz cho sân đó (đơn vị trên mỗi trục là mét) và hai điểm A, B như hình. Khi đó, tọa độ của , hãy tính: a + b + c (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Phương pháp giải :

Quan sát hình vẽ, xác định tọa độ các điểm A, B.

Ta có $- - \to A B = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}; z_{B} - z_{A})$ .

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Từ hình vẽ ta có A(6,7; 0; 0), B(6,7; 6,1; 1,55).

$- - \to A B = (6, 7 - 6, 7; 6, 1 - 0; 1, 55 - 0) = (0; 6, 1; 1, 55)$ .

$\Rightarrow a + b + c = 0 + 6, 1 + 1, 55 = 7, 65$ .

Câu 1 : Một chất điểm chuyển động lên, xuống theo phương thẳng đứng. Độ cao $h (t)$ của chất điểm tại thời điểm $t$ (giây) được cho bởi công thức

$h (t) = \frac{1}{3} t^{3} - 4 t^{2} + 12 t + 1$ với $0 \leq t \leq 8$ .

a) Viết công thức tính vận tốc của chất điểm.

b) Trong khoảng thời gian nào chất điểm chuyển động lên, trong thời gian nào chất điểm chuyển động đi xuống?

Phương pháp giải :

• $v (t) = h^{'} (t)$ .

• Xét hàm số $h (t)$ trên đoạn $[0; 8]$ , lập bảng biến thiên và tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Lời giải chi tiết :

a) $v (t) = h^{'} (t) = t^{2} - 8 t + 12$ .

b) Xét hàm số $h (t) = \frac{1}{3} t^{3} - 4 t^{2} + 12 t + 1$ trên đoạn $[0; 8]$ .

Ta có:

$h^{'} (t) = t^{2} - 8 t + 12; h^{'} (t) = 0 \Leftrightarrow t = 6$ hoặc $t = 2$ .

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $(0; 2)$ và $(6; 8)$ , hàm số nghịch biến trên khoảng $(2; 6)$ .

Vậy chất điểm chuyển động lên trong khoảng thời gian từ 0 giây đến 2 giây và từ 6 giây đến 8 giây, chất điểm chuyển động đi xuống trong khoảng thời gian từ 2 giây đến 6 giây.

Câu 2 : Trong không gian $O x y z$ , cho hai vectơ $\to a = (m; 3; 6), \to b = (1; 2; 3)$ .

Xác định giá trị của $m$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $\to a - 2 \to b = (3; - 1; 0)$ .

b) $\to a \cdot \to b = 10$ .

c) $∣ ∣ \to a ∣ ∣ = 9$ .

Phương pháp giải :

a) Tính $\to a - 2 \to b$ phụ thuộc tham số m sau đó giải từng điều kiện của tọa độ.

b) Tính $\to a \cdot \to b$ theo tham số m sau đó giải theo điều kiện đề bài để tìm m.

c) Tính $∣ ∣ \to a ∣ ∣$ theo m sau đó giải theo điều kiện của đề để tìm m.

Lời giải chi tiết :

a) Ta có $\to a - 2 \to b = (m - 2; - 1; 0)$ . Để $\to a - 2 \to b = (3; - 1; 0)$ thì $⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ \begin{matrix} m - 2 = 3 - 1 = - 1 0 = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow m = 5$ .

b) Ta có $\to a \cdot \to b = m + 6 + 18 = m + 24$ . Để $\to a \cdot \to b = 10$ thì $m + 24 = 10 \Leftrightarrow m = - 14$

c) Ta có $∣ ∣ \to a ∣ ∣ = \sqrt{m^{2} + 3^{3} + 6^{2}} = \sqrt{m^{2} + 45}$ .

Để $∣ ∣ \to a ∣ ∣ = 9$ thì $\sqrt{m^{2} + 45} = 9 \Leftrightarrow m^{2} + 45 = 81 \Leftrightarrow m = \pm 6$ .

Câu 3 : Bảng dưới đây thống kê cự li ném tạ của một vận động viên.

Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Phương pháp giải :

Tính giá trị đại diện

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu $S^{2}$ , được tính bởi công thức:

$S^{2} = \frac{1}{n} [n_{1} (c_{1} - ¯ ¯ ¯ x)^{2} + n_{2} (c_{2} - ¯ ¯ ¯ x)^{2} + . . . + n_{k} (c_{k} - ¯ ¯ ¯ x)^{2}]$

Trong đó: $n = n_{1} + n_{2} + . . . + n_{k}$ là cỡ mẫu

$¯ ¯ ¯ x = \frac{1}{n} (n_{1} c_{1} + n_{2} c_{2} + . . . + n_{k} c_{k})$ là số trung bình

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu $S$ , là căn bậc hai số học của phương sai.

Lời giải chi tiết :

Cỡ mẫu: n = 100

Số trung bình: $¯ ¯ ¯ x = \frac{13.19, 25 + 45.19, 75 + 24.20, 25 + 12.20, 75 + 6.21, 25}{100} = 20, 015$

Phương sai: $S^{2} = \frac{13.19, 25^{2} + 45.19, 75^{2} + 24.20, 25^{2} + 12.20, 75^{2} + 6.21, 25^{2}}{100} - 20, 015^{2} \approx 0, 28$

Độ lệch chuẩn: $σ = \sqrt{0, 28} \approx 0, 53$