Đề thi học kì 1 Toán 12 - Đề số 6

Câu 1 : Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như hình vẽ.

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A.

$(- \infty; 0)$ .
B.

$(1; + \infty)$ .
C.

$(- \infty; + \infty)$ .
D.

$(0; 1)$ .

Câu 2 : Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đạt cực đại tại

A.

$x = - 2$ .
B.

$x = 1$ .
C.

$x = - 1$ .
D.

$x = 2$ .

Câu 3 : Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình bên. Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn [-2;4] bằng

A.

-1
B.

10
C.

1
D.

8

Câu 4 : Tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = \frac{3 x - 7}{x + 2}$ là:

A.

(3;-2)
B.

(-2;3)
C.

(2;-3)
D.

(-3;2)

Câu 5 : Cho hàm số y = f(x) liên tục trên $R$ và có bảng xét dấu f’(x) như hình vẽ dưới đây.

Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A.

$(2; 3)$
B.

$(- 10; - 5)$
C.

$(0; 1)$
D.

$(0; 2)$

Câu 6 : Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D' (tham khảo hình vẽ).

Góc giữa hai vecto $- - \to A B$ và $- - \to C D^{'}$ bằng

A.

$135^{o}$
B.

$60^{o}$
C.

$30^{o}$
D.

$45^{o}$

Câu 7 : Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm A(3; 5; 2) trên mặt phẳng (Oxy) có tọa độ là

A.

(5; 3; 0)
B.

(3; 5; 0)
C.

(0; 5; 2)
D.

(3; 0; 2)

Câu 8 : Không gian với trục hệ tọa độ $O x y z$ , cho $\to a = 2 \to j - \to i + 3 \to k .$ Tọa độ của vectơ $\to a$ là

A.

$\to a (- 1; 2; - 3)$
B.

$\to a (2; - 1; 3)$
C.

$\to a (- 1; 2; 3)$
D.

$\to a (2; - 1; - 3)$

Câu 9 : Trong không gian Oxy, cho hai điểm A(-2;1;0), B(3;-2;1). Tọa độ của vecto $- - \to A B$ là

A.

$(- 5; 3; - 1)$
B.

$(5; - 3; 1)$
C.

$(1; - 1; 1)$
D.

$(- 1; 1; - 1)$

Câu 10 : Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; -1) và B(2; 4; 1). Trọng tâm của tam giác OAB có tọa độ là

A.

(1; 2; 0).
B.

(-1; -2; 0).
C.

(3; 6; 0).
D.

(1; 3; 0).

Câu 11 : Bảng thống kê dưới đây cho biết thu nhập bình quân đầu người/tháng của người dân Hà Nội (tính theo triệu đồng) trong giai đoạn từ năm 2018 đến năm 2024:

Mẫu số liệu thống kê trên có khoảng biến thiên bằng bao nhiêu (tính theo triệu đồng)?

A.

2,660
B.

1,645
C.

0,867
D.

2,290

Câu 12 : Một bệnh viện thống kê lại số cân nặng của 20 bé sơ sinh trong bảng sau:

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

A.

3,39
B.

11,62
C.

0,1314
D.

0,36

Câu 1 : Trong không gian với hệ toạ độ $O x y z$ , cho ba vectơ $⃗ a = (- 2; 1; 1)$ , $⃗ b = (2; - 1; 1)$ , $⃗ c = (x; 1; y)$ . Xét tính đúng sai các mệnh đề sau:

a) $| ⃗ a | = \sqrt{6}$ .

Đúng

Sai

b) Tọa độ của $⃗ u = - 2 ⃗ a + 3 ⃗ b$ là $(10; - 5; 4)$ .

Đúng

Sai

c) Vectơ $⃗ c$ cùng phương với vectơ $⃗ b$ thì $x + y = 3$ .

Đúng

Sai

d) Gọi $φ$ là góc giữa hai vectơ $⃗ a$ và $⃗ b$ . Khi đó $cos φ = - \frac{2}{3}$ .

Đúng

Sai

Câu 2 : Kết quả khảo sát năng suất (đơn vị: tấn/ha) của một số thửa ruộng được minh họa ở biểu đồ sau:

a) Có 25 thửa ruộng đã được khảo sát.

Đúng

Sai

b) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là 1,2 (tấn/ha).

Đúng

Sai

c) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 6,33.

Đúng

Sai

d) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 0,086656.

Đúng

Sai

Câu 1 : Cho hàm số $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ có đồ thị như sau:

Tính giá trị biểu thức T = a + 2b + 3c + 4d.

Câu 2 : Một doanh nghiệp dự định sản xuất 200 máy tính bảng dành cho học sinh. Nếu doanh nghiệp đó bán x máy tính bảng $(1 \leq x \leq 200, x \in N)$ thì giá bán cho mỗi máy tính bảng là $p (x) = 4000 - 10 x$ (nghìn đồng), trong đó chi phí để sản xuất mỗi máy tính bảng là $c (x) = x^{2} - 70 x + 400 + \frac{1000}{x}$ (nghìn đồng). Hỏi doanh nghiệp đó sẽ bán bao nhiêu máy tính bảng để lợi nhuận cao nhất?

Câu 3 : Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không dãn xuất phát từ điểm O trên trần nhà và lần lượt buộc vào ba điểm A, B, C trên đèn tròn sao cho các lực căng $_{1},_{2},_{3}$ lần lượt trên mỗi dây OA, OB, OC đều có độ lớn bằng 60 (N). Cho biết các đường thẳng OA, OB, OC cùng tạo với mặt phẳng ngang một góc bằng $30^{o}$ . Tính trọng lượng của chiếc đèn tròn đó.

Câu 4 : Một phòng học có thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài là 8 m, chiều rộng là 6 m và chiều cao là 3 m. Một chiếc đèn được treo tại chính giữa trần nhà của phòng học. Xét hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O trùng với một góc phòng và mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt sàn, đơn vị đo được lấy theo mét. Khi đó, tọa độ của điểm treo đèn là I(x; y; z), hãy tính x + y + z.

Câu 1 : a) Lập bảng biến thiên của hàm số $y = \frac{x^{2}}{x + 1}$ .

b) Tìm các giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M = \frac{{cos}^{2} α}{cos α + 1}$ .

Câu 2 : Trong không gian Oxyz, cho A(0; 2; 1), B(3; -2; 1) và C(-2; 5; 7).

a) Tính chu vi của tam giác ABC.

b) Tính $ˆ B A C$ .

Câu 3 : Kết quả khảo sát cân nặng của 80 con tôm càng xanh 5 tháng tuổi ở một khu nuôi tôm được biểu diễn ở biểu đồ tần số dưới đây.

a) Hãy lập bảng tần số ghép nhóm cho mẫu số liệu trên.

b) Hãy tìm khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Câu 1 : Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như hình vẽ.

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A.

$(- \infty; 0)$ .
B.

$(1; + \infty)$ .
C.

$(- \infty; + \infty)$ .
D.

$(0; 1)$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Dựa vào đồ thị hàm số, chỉ ra sự biến thiên.

Lời giải chi tiết :

Hàm số đã cho nghịch biến trên $(0; 1)$ .

Câu 2 : Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đạt cực đại tại

A.

$x = - 2$ .
B.

$x = 1$ .
C.

$x = - 1$ .
D.

$x = 2$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Quan sát bảng biến thiên và nhận xét.

Lời giải chi tiết :

Hàm số đạt cực đại tại $x = - 1$ .

Câu 3 : Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình bên. Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn [-2;4] bằng

A.

-1
B.

10
C.

1
D.

8

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Quan sát bảng biến thiên và nhận xét.

Lời giải chi tiết :

Quan sát bảng biến thiên, ta thấy giá trị lớn nhất của f(x) trên [-2;4] là f(-1) = 10.

Câu 4 : Tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = \frac{3 x - 7}{x + 2}$ là:

A.

(3;-2)
B.

(-2;3)
C.

(2;-3)
D.

(-3;2)

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Tâm đối xứng của đồ thị là giao điểm của các đường tiệm cận.

Lời giải chi tiết :

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = -2 và tiệm cận ngang y = 3, suy ra tâm đối xứng là giao điểm của hai tiệm cận có tọa độ (-2;3).

Câu 5 : Cho hàm số y = f(x) liên tục trên $R$ và có bảng xét dấu f’(x) như hình vẽ dưới đây.

Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A.

$(2; 3)$
B.

$(- 10; - 5)$
C.

$(0; 1)$
D.

$(0; 2)$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Quan sát bảng xét dấu và nhận xét.

Lời giải chi tiết :

Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (2;3) vì trên khoảng đó, f’(x) > 0.

Câu 6 : Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D' (tham khảo hình vẽ).

Góc giữa hai vecto $- - \to A B$ và $- - \to C D^{'}$ bằng

A.

$135^{o}$
B.

$60^{o}$
C.

$30^{o}$
D.

$45^{o}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Nếu a // b thì (a,c) = (b,c).

Lời giải chi tiết :

$(- - \to A B, - - \to C D^{'}) = (- - \to D C, - - \to C D^{'}) = 180^{o} - (- - \to C D, - - \to C D^{'}) = 180^{o} - 45^{o} = 135^{o}$ .

Câu 7 : Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm A(3; 5; 2) trên mặt phẳng (Oxy) có tọa độ là

A.

(5; 3; 0)
B.

(3; 5; 0)
C.

(0; 5; 2)
D.

(3; 0; 2)

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Hình chiếu vuông góc của điểm (x; y; z) trên mặt phẳng (Oxy) có tọa độ là (x; y; 0).

Lời giải chi tiết :

Hình chiếu vuông góc của điểm (3; 5; 2) trên mặt phẳng (Oxy) có tọa độ là (3; 5; 0).

Câu 8 : Không gian với trục hệ tọa độ $O x y z$ , cho $\to a = 2 \to j - \to i + 3 \to k .$ Tọa độ của vectơ $\to a$ là

A.

$\to a (- 1; 2; - 3)$
B.

$\to a (2; - 1; 3)$
C.

$\to a (- 1; 2; 3)$
D.

$\to a (2; - 1; - 3)$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

$\to a = m \to i + n \to j + p \to k = (m; n; p)$ .

Lời giải chi tiết :

$\to a = - \to i + 2 \to j + 3 \to k = (- 1; 2; 3)$ .

Câu 9 : Trong không gian Oxy, cho hai điểm A(-2;1;0), B(3;-2;1). Tọa độ của vecto $- - \to A B$ là

A.

$(- 5; 3; - 1)$
B.

$(5; - 3; 1)$
C.

$(1; - 1; 1)$
D.

$(- 1; 1; - 1)$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

$- - \to A B = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A})$ .

Lời giải chi tiết :

$- - \to A B = (3 + 2; - 2 - 1; 1 - 0) = (5; - 3; 1)$ .

Câu 10 : Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; -1) và B(2; 4; 1). Trọng tâm của tam giác OAB có tọa độ là

A.

(1; 2; 0).
B.

(-1; -2; 0).
C.

(3; 6; 0).
D.

(1; 3; 0).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm $A (x_{A}; y_{A}; z_{A})$ , $B (x_{B}; y_{B}; z_{B})$ , $C (x_{C}; y_{C}; z_{C})$ .

Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC là $G (\frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3}; \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3}; \frac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3})$ .

Lời giải chi tiết :

Trọng tâm tam giác là $G (\frac{0 + 1 + 2}{3}; \frac{0 + 2 + 4}{3}; \frac{0 - 1 + 1}{3}) \Rightarrow G (1; 2; 0)$ .

Câu 11 : Bảng thống kê dưới đây cho biết thu nhập bình quân đầu người/tháng của người dân Hà Nội (tính theo triệu đồng) trong giai đoạn từ năm 2018 đến năm 2024:

Mẫu số liệu thống kê trên có khoảng biến thiên bằng bao nhiêu (tính theo triệu đồng)?

A.

2,660
B.

1,645
C.

0,867
D.

2,290

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Lấy đầu mút phải của nhóm cuối cùng trừ đi đầu mút trái của nhóm đầu tiên (chứa mẫu số liệu).

Lời giải chi tiết :

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là $R = 7, 546 - 5, 901 = 1, 645$ .

Câu 12 : Một bệnh viện thống kê lại số cân nặng của 20 bé sơ sinh trong bảng sau:

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

A.

3,39
B.

11,62
C.

0,1314
D.

0,36

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Lập bảng tần số theo giá trị đại diện, tính số trung bình rồi tính phương sai.

Lời giải chi tiết :

Số trung bình: $¯ ¯ ¯ x = \frac{3.2, 85 + 6.3, 15 + 5.3, 45 + 4.3, 75 + 2.4, 05}{20} = 3, 39$ .

Phương sai: $s^{2} = \frac{3.2, 85^{2} + 6.3, 15^{2} + 5.3, 45^{2} + 4.3, 75^{2} + 2.4, 05^{2}}{20} - 3, 39^{2} = 0, 1314$ .

Câu 1 : Trong không gian với hệ toạ độ $O x y z$ , cho ba vectơ $⃗ a = (- 2; 1; 1)$ , $⃗ b = (2; - 1; 1)$ , $⃗ c = (x; 1; y)$ . Xét tính đúng sai các mệnh đề sau:

a) $| ⃗ a | = \sqrt{6}$ .

Đúng

Sai

b) Tọa độ của $⃗ u = - 2 ⃗ a + 3 ⃗ b$ là $(10; - 5; 4)$ .

Đúng

Sai

c) Vectơ $⃗ c$ cùng phương với vectơ $⃗ b$ thì $x + y = 3$ .

Đúng

Sai

d) Gọi $φ$ là góc giữa hai vectơ $⃗ a$ và $⃗ b$ . Khi đó $cos φ = - \frac{2}{3}$ .

Đúng

Sai

Đáp án

a) $| ⃗ a | = \sqrt{6}$ .

Đúng

Sai

b) Tọa độ của $⃗ u = - 2 ⃗ a + 3 ⃗ b$ là $(10; - 5; 4)$ .

Đúng

Sai

c) Vectơ $⃗ c$ cùng phương với vectơ $⃗ b$ thì $x + y = 3$ .

Đúng

Sai

d) Gọi $φ$ là góc giữa hai vectơ $⃗ a$ và $⃗ b$ . Khi đó $cos φ = - \frac{2}{3}$ .

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

a) $\to a = (x; y; z) \Rightarrow ∣ ∣ \to a ∣ ∣ = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$ .

b) Cho $\to a (x_{a}; y_{a}; z_{a})$ , $\to b (x_{b}; y_{b}; z_{b})$ và số thực k.

+ $\to a + \to b = (x_{a} + x_{b}; y_{a} + y_{b}; z_{a} + z_{b})$ .

+ $\to a - \to b = (x_{a} - x_{b}; y_{a} - y_{b}; z_{a} - z_{b})$ .

+ $k \to a = (k x_{a}; k y_{a}; k z_{a})$ .

c) Nếu $\to a$ cùng phương với $\to b$ thì $\to a = k \to b$ .

d) $cos α = \frac{\to a . \to b}{∣ ∣ \to a ∣ ∣ . ∣ ∣ ∣ \to b ∣ ∣ ∣} = \frac{x_{a} . x_{b} + y_{a} . y_{b} + z_{a} . z_{b}}{\sqrt{{x_{a}}^{2} + {y_{a}}^{2} + {z_{a}}^{2}} . \sqrt{{x_{b}}^{2} + {y_{b}}^{2} + {z_{b}}^{2}}}$ .

Lời giải chi tiết :

a) Đúng. $∣ ∣ \to a ∣ ∣ = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{6}$ .

b) Sai. $\to u = (- 2. (- 2) + 3.2; - 2.1 + 3. (- 1); - 2.1 + 3.1) = (10; - 5; 1)$ .

c) Sai. $\to c$ cùng phương với $\to b$ khi $\to c = k \to b \Leftrightarrow ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ \begin{matrix} x = 2 k 1 = - k y = k \end{matrix}$

$\Leftrightarrow ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ \begin{matrix} k = - 1 x = - 2 y = - 1 \end{matrix} \Rightarrow x + y = - 3$ .

d) Đúng. $cos φ = \frac{\to a . \to b}{∣ ∣ \to a ∣ ∣ . ∣ ∣ ∣ \to b ∣ ∣ ∣} = \frac{- 2.2 + 1. (- 1) + 1.1}{\sqrt{{(- 2)}^{2} + 1^{2} + 1^{2}} . \sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}} = - \frac{2}{3}$ .

Câu 2 : Kết quả khảo sát năng suất (đơn vị: tấn/ha) của một số thửa ruộng được minh họa ở biểu đồ sau:

a) Có 25 thửa ruộng đã được khảo sát.

Đúng

Sai

b) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là 1,2 (tấn/ha).

Đúng

Sai

c) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 6,33.

Đúng

Sai

d) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 0,086656.

Đúng

Sai

Đáp án

a) Có 25 thửa ruộng đã được khảo sát.

Đúng

Sai

b) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là 1,2 (tấn/ha).

Đúng

Sai

c) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 6,33.

Đúng

Sai

d) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 0,086656.

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Lập bảng tần số ghép nhóm từ biểu đồ. Áp dụng công thức tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm.

Lời giải chi tiết :

a) Đúng. Số thửa ruộng được khảo sát là: n = 3 + 4 + 6 + 5 + 5 + 2 = 25.

b) Đúng. Từ biểu đồ, ta có bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu như sau:

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu đã cho là: R = 6,7 – 5,5 = 1,2 (tấn/ha).

c) Sai. Ta có:

Cỡ mẫu n = 25.

Gọi $x_{1}; . . .; x_{25}$ là mẫu số liệu gốc về năng suất của một số thửa ruộng được khảo sát được xếp theo thứ tự không giảm.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{x_{6} + x_{7}}{2} \in$ [5,7; 5,9). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: $Q_{1} = 5, 7 + \frac{\frac{25}{4} - 3}{4} (5, 9 - 5, 7) = 5, 8625$ .

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{x_{19} + x_{20}}{2} \in$ [6,3; 6,5). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: $Q_{3} = 6, 3 + \frac{\frac{3.25}{4} - (3 + 4 + 6 + 5)}{5} (6, 5 - 6, 3) = 6, 33$ .

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: $Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = 6, 33 - 5, 8625 = 0, 4675$ .

d) Đúng. Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$¯ ¯ ¯ x = \frac{3.5, 6 + 4.5, 8 + 6.6, 2 + 5.6, 4 + 2.6, 6}{25} = 6, 088$ .

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S^{2} = \frac{1}{25} ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 3. {(5, 6)}^{2} + 4. {(5, 8)}^{2} + 6. {(6, 0)}^{2} + 5. {(6, 2)}^{2} + 5. {(6, 4)}^{2} + 2. {(6, 6)}^{2} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ - {(6, 088)}^{2} = 0, 086656$ .

Câu 1 : Cho hàm số $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ có đồ thị như sau:

Tính giá trị biểu thức T = a + 2b + 3c + 4d.

Phương pháp giải :

Tìm 4 điểm đồ thị đi qua, thay tọa độ vào hàm số, giải hệ tìm các hệ số a, b, c, d.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Do đồ thị đi qua 4 điểm (-1; 0), (0; 4), (1; 2), (2; 0) nên ta có hệ phương trình:

$⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ \begin{matrix} - a + b - c + d = 0 \begin{matrix} d = 4 a + b + c + d = 2 8 a + 4 b + 2 c + d = 0 \end{matrix} \end{matrix} \Leftrightarrow ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ \begin{matrix} a = 1 b = - 3 c = 0 d = 4 \end{matrix}$ . Suy ra T = 11.

Câu 2 : Một doanh nghiệp dự định sản xuất 200 máy tính bảng dành cho học sinh. Nếu doanh nghiệp đó bán x máy tính bảng $(1 \leq x \leq 200, x \in N)$ thì giá bán cho mỗi máy tính bảng là $p (x) = 4000 - 10 x$ (nghìn đồng), trong đó chi phí để sản xuất mỗi máy tính bảng là $c (x) = x^{2} - 70 x + 400 + \frac{1000}{x}$ (nghìn đồng). Hỏi doanh nghiệp đó sẽ bán bao nhiêu máy tính bảng để lợi nhuận cao nhất?

Phương pháp giải :

Lập hàm số biểu diễn lợi nhuận của doanh nghiệp theo x.

Tìm x sao cho hàm số đạt GTLN bằng cách sử dụng đạo hàm.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Lợi nhuận = Doanh thu – Chi phí.

Lợi nhuận khi bán x chiếc máy tính bảng là:

$L (x) = x . p (x) - x . c (x)$

$= x . (4000 - 10 x) - x . (x^{2} - 70 x + 400 + \frac{1000}{x})$

$= 4000 x - 10 x^{2} - x^{3} + 70 x^{2} - 400 x - 1000$

$= - x^{3} + 60 x^{2} + 3600 x - 1000$ .

Ta có $L^{'} (x) = - 3 x^{2} + 120 x + 3600 = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 60 x = - 20 \end{matrix}$

Xét trên đoạn [1;200], ta có:

L(1) = 2659; L(60) = 215000; L(200) = -4881000.

Vậy lợi nhuận lớn nhất khi doanh nghiệp bán 60 máy tính.

Câu 3 : Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không dãn xuất phát từ điểm O trên trần nhà và lần lượt buộc vào ba điểm A, B, C trên đèn tròn sao cho các lực căng $_{1},_{2},_{3}$ lần lượt trên mỗi dây OA, OB, OC đều có độ lớn bằng 60 (N). Cho biết các đường thẳng OA, OB, OC cùng tạo với mặt phẳng ngang một góc bằng $30^{o}$ . Tính trọng lượng của chiếc đèn tròn đó.

Phương pháp giải :

Áp dụng tính chất trọng tâm của vecto và hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Theo giả thiết ta có O.ABC là hình chóp đều với OA = OB = OC = 60 và góc tạo bởi mỗi đường thẳng OA, OB, OC với (ABC) là $30^{o}$ .

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC thì $O G ⊥ (A B C)$ và $ˆ O A G = ˆ O B G = ˆ O C G = 30^{o}$ .

Gọi T là trọng lượng của đèn tròn thì $T = ∣ ∣ ∣ \to O A + \to O B + \to O C ∣ ∣ ∣ = ∣ ∣ ∣ 3 \to O G ∣ ∣ ∣ = 3 O G$ .

Trong tam giác OAG vuông tại G, ta có:

$O G = O A sin ˆ O A G = 60 sin 30^{o} = 30$ .

Vậy trọng lượng của đèn là T = 3.30 = 90 (N).

Câu 4 : Một phòng học có thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài là 8 m, chiều rộng là 6 m và chiều cao là 3 m. Một chiếc đèn được treo tại chính giữa trần nhà của phòng học. Xét hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O trùng với một góc phòng và mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt sàn, đơn vị đo được lấy theo mét. Khi đó, tọa độ của điểm treo đèn là I(x; y; z), hãy tính x + y + z.

Phương pháp giải :

Áp dụng định nghĩa vecto bằng nhau.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Giả sử căn phòng hình hộp chữ nhật được mô phỏng như hình vẽ.

Khi đó ta có B'(6; 8; 3) và O'(0; 0; 3).

Gọi I(x; y; z) là điểm chính giữa trần nhà của phòng học.

Vì O'A'B'C' là hình chữ nhật nên $\to O^{'} I = \to I B^{'}$ .

Ta có $\to O^{'} I = (x - 0; y - 0; z - 3)$ ), $\to I B^{'} = (6 - x; 8 - y; 3 - z)$ nên:

$\to O^{'} I = \to I B^{'} \Leftrightarrow ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ \begin{matrix} x - 0 = 6 - x y - 0 = 8 - y z - 3 = 3 - z \end{matrix} \Leftrightarrow ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ \begin{matrix} x = 3 y = 4 z = 3 \end{matrix}$

Vậy tọa độ điểm treo đèn là I(3; 4; 3) $\Rightarrow$ x + y + z = 3 + 4 + 3 = 10.

Câu 1 : a) Lập bảng biến thiên của hàm số $y = \frac{x^{2}}{x + 1}$ .

b) Tìm các giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M = \frac{{cos}^{2} α}{cos α + 1}$ .

Phương pháp giải :

a) Tìm tập xác định, xét dấu đạo hàm.

b) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của $y = \frac{x^{2}}{x + 1}$ trên $(- 1; 1]$ .

Lời giải chi tiết :

a) Tập xác định: $R ∖ {- 1}$ .

Ta có $y^{'} = \frac{x^{2} + 2 x}{{(x + 1)}^{2}} \Rightarrow y^{'} = 0 \Leftrightarrow \frac{x^{2} + 2 x}{{(x + 1)}^{2}} = 0 \Leftrightarrow x = - 2$ hoặc $x = 0$ .

Ta có bảng biến thiên:

b) Đặt $x = cos α$ , ta có $M = \frac{x^{2}}{x + 1}, x \in (- 1; 1]$ .

Dựa vào bảng biến thiên ta có $min M = min (- 1; 1] \frac{x^{2}}{x + 1} = 0$ và $max M = max (- 1; 1] \frac{x^{2}}{x + 1} = y (1) = \frac{1}{2}$ .

Câu 2 : Trong không gian Oxyz, cho A(0; 2; 1), B(3; -2; 1) và C(-2; 5; 7).

a) Tính chu vi của tam giác ABC.

b) Tính $ˆ B A C$ .

Phương pháp giải :

a) Sử dụng kiến thức về độ dài đoạn thẳng trong không gian để tính:

Nếu $A (x_{A}; y_{A}; z_{A})$ và $B (x_{B}; y_{B}; z_{B})$ thì $A B = ∣ ∣ ∣ - - \to A B ∣ ∣ ∣ = \sqrt{{(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(y_{B} - y_{A})}^{2} + {(z_{B} - z_{A})}^{2}}$ .

b) Sử dụng kiến thức về cosin góc của 2 vectơ trong không gian để tính:

Nếu $\to a = (x; y; z)$ và $\to b = (x^{'}; y^{'}; z^{'})$ là hai vectơ khác $\to 0$ thì $cos (\to a; \to b) = \frac{\to a . \to b}{∣ ∣ \to a ∣ ∣ . ∣ ∣ ∣ \to b ∣ ∣ ∣} = \frac{x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} . \sqrt{x^{' 2} + y^{' 2} + z^{' 2}}}$ .

Lời giải chi tiết :

a) Ta có: $- - \to A B (3; - 4; 0) \Rightarrow A B = \sqrt{3^{2} + {(- 4)}^{2}} = 5$ ;

$- - \to A C (- 2; 3; 6) \Rightarrow A C = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 3^{2} + 6^{2}} = 7$ .

$- - \to B C = (- 5; 7; 6) \Rightarrow B C = \sqrt{{(- 5)}^{2} + 7^{2} + 6^{2}} = \sqrt{110}$ .

Chu vi tam giác ABC là: $5 + 7 + \sqrt{110} = 12 + \sqrt{110}$ .

b) $cos (- - \to A B; - - \to A C) = \frac{- - \to A B . - - \to A C}{∣ ∣ ∣ - - \to A B ∣ ∣ ∣ . ∣ ∣ ∣ - - \to A C ∣ ∣ ∣} = \frac{3. (- 2) + (- 4) .3 + 0.6}{5.7} = \frac{- 18}{35}$ .

$\Rightarrow cos (- - \to A B, - - \to A C) \approx 121^{o}$ .

Vậy $ˆ B A C = 121^{o}$ .

Câu 3 : Kết quả khảo sát cân nặng của 80 con tôm càng xanh 5 tháng tuổi ở một khu nuôi tôm được biểu diễn ở biểu đồ tần số dưới đây.

a) Hãy lập bảng tần số ghép nhóm cho mẫu số liệu trên.

b) Hãy tìm khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Phương pháp giải :

‒ Sử dụng công thức tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm: $R = a_{m + 1} - a_{1}$ .

‒ Sử dụng công thức tính các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm:

Tứ phân vị thứ $k$ được xác định như sau: $Q_{k} = u_{m} + \frac{\frac{k n}{4} - C}{n_{m}} (u_{m + 1} - u_{m})$

trong đó:

• $n = n_{1} + n_{2} + . . . + n_{k}$ là cỡ mẫu;

• $[u_{m}; u_{m + 1})$ là nhóm chứa tứ phân vị thứ $k$ ;

• $n_{m}$ là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ $k$ ;

• $C = n_{1} + n_{2} + . . . + n_{m - 1}$ .

‒ Sử dụng công thức tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm: $Δ Q = Q_{3} - Q_{1}$ .

Lời giải chi tiết :

a) Bảng tần số ghép nhóm:

b) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đó là: $R = 100 - 60 = 40$ (g).

Gọi $x_{1}; x_{2}; . . .; x_{80}$ là mẫu số liệu gốc gồm cân nặng của 80 con tôm càng xanh 5 tháng tuổi theo thứ tự không giảm.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2} (x_{20} + x_{21}) \in [70; 80)$ . Do đó tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$Q_{1} = 70 + \frac{\frac{1.80}{4} - 10}{20} (80 - 70) = 75$ .

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2} (x_{60} + x_{61}) \in [90; 100)$ . Do đó tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$Q_{3} = 90 + \frac{\frac{3.80}{4} - (10 + 20 + 30)}{20} (100 - 90) = 90$ .

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: $Δ Q = Q_{3} - Q_{1} = 90 - 75 = 15$ (g).