Đề thi học kì 1 Toán 12 - Đề số 7

Câu 1 : Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trong khoảng nào dưới đây?

A.

$(- \infty; 2)$ .
B.

$(- 1; - 1)$ .
C.

$(- 1; 0)$ .
D.

$(1; + \infty)$ .

Câu 2 : Cho hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 1$ . Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng

A.

1.
B.

-2.
C.

4.
D.

3.

Câu 3 : Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ sau.

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là

A.

2.
B.

4.
C.

3.
D.

1.

Câu 4 : Một chất điểm chuyển động có phương trình chuyển động là $s (t) = - t^{3} + 6 t^{2} + 5 t$ , với t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Trong khoảng thời gian 5 giây đầu tiên, vận tốc của chất điểm đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu?

A.

19
B.

5
C.

17
D.

10

Câu 5 : Cho hình hộp ABCD.EFGH (minh họa như hình bên). Vecto nào sau đây bằng vecto $\vec{F H}$ ?

A.

$\vec{B D}$
B.

$\vec{D B}$
C.

$\vec{B A}$
D.

$\vec{A B}$

Câu 6 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Khẳng định nào sau đây đúng?

A.

$\vec{S A} + \vec{S B} + \vec{S C} + \vec{S D} = \frac{1}{2} \vec{S O}$
B.

$\vec{S A} + \vec{S B} + \vec{S C} + \vec{S D} = 2 \vec{S O}$
C.

$\vec{S A} + \vec{S B} + \vec{S C} + \vec{S D} = \frac{1}{4} \vec{S O}$
D.

$\vec{S A} + \vec{S B} + \vec{S C} + \vec{S D} = 4 \vec{S O}$

Câu 7 : Trong không gian Oxy, cho điểm A(1; 2; -3). Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (Oxy) có tọa độ là

A.

(0; 2; -3)
B.

(1; 0; -3)
C.

(1; 2; 0)
D.

(1; 0; 0)

Câu 8 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có ba đỉnh A(2; 1; -3), B(4; 2; 1), C(3; 0; 5). Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là

A.

G(3;1;-1)
B.

G(3;1;1)
C.

G(1;3;1)
D.

G(-1;3;1)

Câu 9 : Trong không gian Oxyz, cho hai vecto $\vec{a} = (1; - 2; 1)$ và $\vec{b} = (2; - 4; - 2)$ . Khi đó $\vec{a} . \vec{b}$ bằng

A.

8
B.

-8
C.

12
D.

-12

Câu 10 : Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2;1;3), B(1;-1;5). Độ dài đoạn thẳng AB là

A.

3
B.

4
C.

5
D.

6

Câu 11 : Bảng sau thống kê cân nặng của 50 quả xoài được lựa chọn ngẫu nhiên sau khi thu hoạch ở một nông trường.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là

A.

40
B.

540
C.

200
D.

450

Câu 12 : Khảo sát thời gian chơi thể thao trong một ngày của 42 học sinh được cho trong bảng sau (thời gian đơn vị phút):

Phương sai của mẫu số liệu (được làm tròn đến hàng đơn vị) bằng

A.

598
B.

597
C.

2477
D.

256

Câu 1 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có A(4; 6; -5), B(5; 7; -4), C(5; 6; -4), D'(2; 0; 2). Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:

a) Ta có: $\vec{A B} = (1; 1; 1)$ .

Đúng

Sai

b) Tọa độ của điểm D là (4; 5; -5).

Đúng

Sai

c) $\vec{A A} = \vec{B B} = \vec{C C} = \vec{D D^{'}}$ .

Đúng

Sai

d) Tọa độ của điểm C' là (1; 3; 1).

Đúng

Sai

Câu 2 : Thầy giáo thống kê lại điểm trung bình cuối năm của các học sinh lớp 11A và 11B ở bảng sau:

a) So sánh theo độ lệch chuẩn thì các học sinh lớp 11A học đồng đều hơn lớp 11B.

Đúng

Sai

b) Điểm trung bình của lớp 11A nhỏ hơn lớp 11B.

Đúng

Sai

c) Phương sai của mẫu số liệu lớp 11B là 1,05 (làm tròn đến hàng phần trăm).

Đúng

Sai

d) Điểm trung bình của lớp 11A là 8,3 (làm tròn đến hàng phần chục).

Đúng

Sai

Câu 1 : Một xe buýt của hãng xe A có sức chứa tối đa là 50 hành khách. Nếu một chuyến xe buýt chở x hành khách thì giá tiền cho mỗi hành khách là $20 {(3 - \frac{x}{40})}^{2}$ (nghìn đồng). Hỏi một chuyến xe buýt thu được số tiền nhiều nhất là bao nhiêu triệu đồng?

Câu 2 : Trong không gian Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có A(0; 0; 0), B(2; 0; 0), D(0; 2; 0), A'(0; 0; 2). Khi đó, tọa độ điểm C'(a; b; c), hãy tính: a + b + c.

Câu 3 : Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các mặt đều là hình thoi cạnh $\sqrt{6}$ và các góc $\hat{B A A^{'}} = \hat{B A D} = \hat{D A A^{'}} = 60^{o}$ . Tính độ dài AC'.

Câu 4 : Một công ty viễn thông đang lên kế hoạch xây dựng một tháp viễn thông tại một thành phố để cung cấp dịch dụ tốt hơn. Công ty cần xác định vị trí của tháp sao cho có thể phủ sóng hiệu quả đến ba toà nhà quan trọng trong thành phố. Giả sử các toà nhà này được đặt tại các vị trí có toạ độ như sau:

Toà nhà A(0; 0; 0);

Toà nhà B(6; 0; 0);

Toà nhà $C (3; \sqrt{3}; 2 \sqrt{6})$ .

Tháp viễn thông phải đặt ở vị trí sao cho tổng khoảng cách từ tháp đến 3 toà nhà là nhỏ nhất. Khi đó tổng khoảng cách từ vị trí của tháp đến ba toà nhà bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 1 : Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = f (x) = \frac{x^{2} - 3 x + 2}{x + 3}$ .

Câu 2 : Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(4; 1; -1), B(2; -1; 5), C(3; 0; 2). Chứng minh rằng ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Câu 3 : Kết quả điều tra tổng thu nhập trong năm 2022 của một số hộ gia đình trong một địa phương được ghi lại ở bảng sau:

a) Hãy tìm các tứ phân vị $Q_{1}$ và $Q_{3}$ .

b) Một doanh nghiệp địa phương muốn hướng dịch vụ của mình đến các gia đình có mức thu nhập ở tầm trung, tức là 50% các hộ gia đình có mức thu nhập ở chính giữa so với tất cả các hộ gia đình của địa phương. Hỏi doanh nghiệp cần hướng đến các gia đình có mức thu nhập trong khoảng nào?

Câu 1 : Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trong khoảng nào dưới đây?

A.

$(- \infty; 2)$ .
B.

$(- 1; - 1)$ .
C.

$(- 1; 0)$ .
D.

$(1; + \infty)$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Hàm số nghịch biến trong khoảng y' < 0.

Lời giải chi tiết :

Hàm số đã cho nghịch biến trong khoảng (-1; 0).

Câu 2 : Cho hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 1$ . Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng

A.

1.
B.

-2.
C.

4.
D.

3.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Đồ thị hàm đa thức bậc ba hệ số a > 0 có điểm cực đại nằm bên trái của điểm cực tiểu.

Lời giải chi tiết :

$y^{'} = x^{2} - 4 x + 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = 3 \end{array}$

Vì hàm số là hàm đa thức bậc ba với a > 0, do đó hàm số đạt cực tiểu tại x = 3.

Giá trị cực tiểu là $y (3) = \frac{1}{3} {.3}^{3} - {2.3}^{2} + 3.3 + 1 = 1$ .

Câu 3 : Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ sau.

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là

A.

2.
B.

4.
C.

3.
D.

1.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng khái niệm đường tiệm cận của đồ thị hàm số: Cho hàm số $y = f (x)$ .

Đường thẳng $y = y_{0}$ là TCN của đồ thị hàm số nếu thỏa mãn một trong những điều kiện sau:

$lim_{x \to + \infty} y = y_{0}$ hoặc $lim_{x \to - \infty} y = y_{0}$ .

Đường thằng $x = x_{0}$ là TCĐ của đồ thị hàm số nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

$lim_{x \to x_{0} +} y = + \infty$ hoặc $lim_{x \to x_{0} +} y = - \infty$ hoặc $lim_{x \to x_{0} -} y = + \infty$ hoặc $lim_{x \to x_{0} -} y = - \infty$ .

Lời giải chi tiết :

Quan sát bảng biến thiên, thấy đồ thị có hai tiệm cận ngang là y = 2 và y = 3, tiệm cận đứng là x = 0.

Vậy tổng số tiệm cận đứng và ngang là 3.

Câu 4 : Một chất điểm chuyển động có phương trình chuyển động là $s (t) = - t^{3} + 6 t^{2} + 5 t$ , với t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Trong khoảng thời gian 5 giây đầu tiên, vận tốc của chất điểm đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu?

A.

19
B.

5
C.

17
D.

10

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng quy tắc dựa vào đạo hàm bậc hai cho hàm vận tốc để tìm giá trị lớn nhất.

Lời giải chi tiết :

Có $v (t) = s^{'} (t) = - 3 t^{2} + 12 t + 5$ .

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của $v (t) = - 3 t^{2} + 12 t + 5$ trên [0; 5].

Có $v^{'} (t) = - 6 t + 12$ ; $v^{'} (t) = 0 \Leftrightarrow v = 2$ (nhận).

Có v(0) = 5 m/s, v(2) = 17 m/s, v(5) = -10 m/s.

Do đó vận tốc chất điểm lớn nhất là 17 m/s khi t = 2 giây.

Câu 5 : Cho hình hộp ABCD.EFGH (minh họa như hình bên). Vecto nào sau đây bằng vecto $\vec{F H}$ ?

A.

$\vec{B D}$
B.

$\vec{D B}$
C.

$\vec{B A}$
D.

$\vec{A B}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Hai vecto bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có độ dài bằng nhau.

Lời giải chi tiết :

$\vec{F H} = \vec{B D}$ vì chúng cùng hướng và FH = BD.

Câu 6 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Khẳng định nào sau đây đúng?

A.

$\vec{S A} + \vec{S B} + \vec{S C} + \vec{S D} = \frac{1}{2} \vec{S O}$
B.

$\vec{S A} + \vec{S B} + \vec{S C} + \vec{S D} = 2 \vec{S O}$
C.

$\vec{S A} + \vec{S B} + \vec{S C} + \vec{S D} = \frac{1}{4} \vec{S O}$
D.

$\vec{S A} + \vec{S B} + \vec{S C} + \vec{S D} = 4 \vec{S O}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Áp dụng quy tắc trung điểm của vecto.

Lời giải chi tiết :

Vì O là trung điểm của AC và BD nên ta có $\vec{S A} + \vec{S C} = 2 \vec{S O}$ và $\vec{S B} + \vec{S D} = 2 \vec{S O}$ .

Suy ra $\vec{S A} + \vec{S B} + \vec{S C} + \vec{S D} = 4 \vec{S O}$ .

Câu 7 : Trong không gian Oxy, cho điểm A(1; 2; -3). Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (Oxy) có tọa độ là

A.

(0; 2; -3)
B.

(1; 0; -3)
C.

(1; 2; 0)
D.

(1; 0; 0)

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Hình chiếu A’ của điểm A(a; b; c) trên mặt phẳng (Oxy) có tọa độ (a; b; 0).

Lời giải chi tiết :

Hình chiếu vuông góc của A(1; 2; -3) lên mặt phẳng (Oxy) có tọa độ là (1; 2; 0).

Câu 8 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có ba đỉnh A(2; 1; -3), B(4; 2; 1), C(3; 0; 5). Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là

A.

G(3;1;-1)
B.

G(3;1;1)
C.

G(1;3;1)
D.

G(-1;3;1)

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Với G là trọng tâm tam giác ABC, ta có ${\begin{cases} x_{G} = \frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} \\ y_{G} = \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} \\ z_{G} = \frac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3} \end{cases}$ .

Lời giải chi tiết :

${\begin{cases} x_{G} = \frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} = \frac{2 + 4 + 3}{3} = 3 \\ y_{G} = \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} = \frac{1 + 2 + 0}{3} = 1 \\ z_{G} = \frac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3} = \frac{- 3 + 1 + 5}{3} = 1 \end{cases} \Rightarrow G (3; 1; 1)$ .

Câu 9 : Trong không gian Oxyz, cho hai vecto $\vec{a} = (1; - 2; 1)$ và $\vec{b} = (2; - 4; - 2)$ . Khi đó $\vec{a} . \vec{b}$ bằng

A.

8
B.

-8
C.

12
D.

-12

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Áp dụng biểu thức tọa độ tích vô hướng của hai vecto.

Lời giải chi tiết :

Ta có $\vec{a} . \vec{b} = 1.2 + (- 2) . (- 4) + 1. (- 2) = 8$ .

Câu 10 : Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2;1;3), B(1;-1;5). Độ dài đoạn thẳng AB là

A.

3
B.

4
C.

5
D.

6

Đáp án : A

Phương pháp giải :

$A B = \sqrt{{(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(y_{B} - y_{A})}^{2}}$ .

Lời giải chi tiết :

$A B = \sqrt{{(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(y_{B} - y_{A})}^{2} + {(z_{B} - z_{A})}^{2}} = \sqrt{{(1 - 2)}^{2} + {(- 1 - 1)}^{2} + {(5 - 3)}^{2}} = 3$ .

Câu 11 : Bảng sau thống kê cân nặng của 50 quả xoài được lựa chọn ngẫu nhiên sau khi thu hoạch ở một nông trường.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là

A.

40
B.

540
C.

200
D.

450

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Để tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm, ta lấy đầu mút phải của nhóm cuối cùng trừ đi đầu mút trái của nhóm đầu tiên.

Lời giải chi tiết :

R = 450 – 250 = 200.

Câu 12 : Khảo sát thời gian chơi thể thao trong một ngày của 42 học sinh được cho trong bảng sau (thời gian đơn vị phút):

Phương sai của mẫu số liệu (được làm tròn đến hàng đơn vị) bằng

A.

598
B.

597
C.

2477
D.

256

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Tính số trung bình của mẫu số liệu, sau đó tính áp dụng công thức tính phương sai.

Lời giải chi tiết :

Trung bình thời gian chơi thể thao trong một ngày của một học sinh là:

$\bar{x} = \frac{10.5 + 30.9 + 50.12 + 70.10 + 90.6}{42} = \frac{360}{7}$ .

Phương sai của mẫu số liệu là:

$S^{2} = \frac{10^{2} .5 + 30^{2} .9 + 50^{2} .12 + 70^{2} .10 + 90^{2} .6}{42} - {(\frac{360}{7})}^{2} = \frac{29300}{49} \approx 598$ .

Câu 1 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có A(4; 6; -5), B(5; 7; -4), C(5; 6; -4), D'(2; 0; 2). Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:

a) Ta có: $\vec{A B} = (1; 1; 1)$ .

Đúng

Sai

b) Tọa độ của điểm D là (4; 5; -5).

Đúng

Sai

c) $\vec{A A} = \vec{B B} = \vec{C C} = \vec{D D^{'}}$ .

Đúng

Sai

d) Tọa độ của điểm C' là (1; 3; 1).

Đúng

Sai

Đáp án

a) Ta có: $\vec{A B} = (1; 1; 1)$ .

Đúng

Sai

b) Tọa độ của điểm D là (4; 5; -5).

Đúng

Sai

c) $\vec{A A} = \vec{B B} = \vec{C C} = \vec{D D^{'}}$ .

Đúng

Sai

d) Tọa độ của điểm C' là (1; 3; 1).

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Với hai điểm $A (x_{A}; y_{A}; z_{A})$ và $B (x_{B}; y_{B}; z_{B})$ , ta có $\vec{A B} = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}; z_{B} - z_{A})$ .

Áp dụng định nghĩa hai vecto bằng nhau.

Lời giải chi tiết :

a) Đúng. Ta có: $\vec{A B} = (1; 1; 1)$ .

b) Đúng. Gọi toạ độ của điểm D là $(x_{D}; y_{D}; z_{D})$ , ta có: $\vec{D C} = (5 - x_{D}; 6 - y_{D}; - 4 - z_{D})$ . Trong hình hộp ABCD.A'B'C'D', ta có: $\vec{A B} = \vec{D C}$ .

Suy ra: ${\begin{array}{l} 5 - x_{D} = 1 \\ 6 - y_{D} = 1 \\ - 4 - z_{D} = 1 \end{array} \Leftrightarrow {\begin{array}{l} x_{D} = 4 \\ y_{D} = 5 \\ z_{D} = - 5 \end{array}$ .

Vậy tọa độ của điểm D(4; 5; -5).

c) Sai. $\vec{A A} = \vec{B B} = \vec{C C} = \vec{D D}$ .

d) Sai. Tương tự, từ các đẳng thức vectơ $\vec{A A^{'}} = \vec{B B^{'}} = \vec{C C^{'}} = \vec{D D^{'}}$ , ta suy ra được toạ độ của các điểm còn lại A'(2; 1; 2), B'(3; 2; 3) và C'(3; 1; 3).

Câu 2 : Thầy giáo thống kê lại điểm trung bình cuối năm của các học sinh lớp 11A và 11B ở bảng sau:

a) So sánh theo độ lệch chuẩn thì các học sinh lớp 11A học đồng đều hơn lớp 11B.

Đúng

Sai

b) Điểm trung bình của lớp 11A nhỏ hơn lớp 11B.

Đúng

Sai

c) Phương sai của mẫu số liệu lớp 11B là 1,05 (làm tròn đến hàng phần trăm).

Đúng

Sai

d) Điểm trung bình của lớp 11A là 8,3 (làm tròn đến hàng phần chục).

Đúng

Sai

Đáp án

a) So sánh theo độ lệch chuẩn thì các học sinh lớp 11A học đồng đều hơn lớp 11B.

Đúng

Sai

b) Điểm trung bình của lớp 11A nhỏ hơn lớp 11B.

Đúng

Sai

c) Phương sai của mẫu số liệu lớp 11B là 1,05 (làm tròn đến hàng phần trăm).

Đúng

Sai

d) Điểm trung bình của lớp 11A là 8,3 (làm tròn đến hàng phần chục).

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức tính số trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn của từng mẫu số liệu rồi so sánh.

Lời giải chi tiết :

Ta có bảng thống kê điểm trung bình theo giá trị đại diện:

Điểm trung bình của lớp 11A là ${\bar{x}}_{1} = \frac{1 \cdot 5, 5 + 11 \cdot 7, 5 + 22 \cdot 8, 5 + 6 \cdot 9, 5}{40} = 8, 3.$

Điểm trung bình của lớp 11B là ${\bar{x}}_{2} = \frac{6 \cdot 6, 5 + 8 \cdot 7, 5 + 14 \cdot 8, 5 + 12 \cdot 9, 5}{40} = 8, 3.$

Phương sai của mẫu số liệu lớp 11A là $s_{1}^{2} = \frac{1}{40} (1 \cdot 5, 5^{2} + 11 \cdot 7, 5^{2} + 22 \cdot 8, 5^{2} + 6 \cdot 9, 5^{2}) - 8, 3^{2} = 0, 61.$

Phương sai của mẫu số liệu lớp 11B là $s_{2}^{2} = \frac{1}{40} (6 \cdot 6, 5^{2} + 8 \cdot 7, 5^{2} + 14 \cdot 8, 5^{2} + 12 \cdot 9, 5^{2}) - 8, 3^{2} = 1, 06.$

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu lớp 11A là $s_{1} = \sqrt{0, 61}$ .

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu lớp 11B là $s_{2} = \sqrt{1, 06}$ .

a) Đúng. Do $s_{1} < s_{2}$ nên nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì học sinh lớp 11A có điểm trung bình ít phân tán hơn học sinh lớp 11B, nghĩa là lớp 11A học đồng đều hơn lớp 11B.

b) Sai. Hai lớp 11A và 11B có điểm trung bình bằng nhau.

c) Sai. Phương sai của mẫu số liệu lớp 11B là 1,06 (làm tròn đến hàng phần trăm).

d) Đúng. Điểm trung bình của lớp 11A là 8,3 (làm tròn đến hàng phần chục).

Câu 1 : Một xe buýt của hãng xe A có sức chứa tối đa là 50 hành khách. Nếu một chuyến xe buýt chở x hành khách thì giá tiền cho mỗi hành khách là $20 {(3 - \frac{x}{40})}^{2}$ (nghìn đồng). Hỏi một chuyến xe buýt thu được số tiền nhiều nhất là bao nhiêu triệu đồng?

Phương pháp giải :

Lập hàm số biểu diễn số tiền thu được khi chở x khách.

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên trên [0;50].

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: $0 \leq x \leq 50$ .

Số tiền thu được khi chở x khách là: $f (x) = 20 x {(3 - \frac{x}{40})}^{2}$ (nghìn đồng).

$f^{'} (x) = 20 {(3 - \frac{x}{40})}^{2} - x (3 - \frac{x}{40}) = (3 - \frac{x}{40}) (60 - \frac{3 x}{2})$ .

$f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 3 - \frac{x}{40} = 0 \\ 60 - \frac{3 x}{2} = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 120 \notin [0; 50] \\ x = 40 \in [0; 50] \end{array}$

Ta có $f (0) = 0$ ; $f (40) = 3200$ ; $f (50) = 3062, 5$ .

Vậy một chuyển xe buýt thu được số tiền nhiều nhất là 3 200 000 đồng = 3,2 triệu đồng.

Câu 2 : Trong không gian Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có A(0; 0; 0), B(2; 0; 0), D(0; 2; 0), A'(0; 0; 2). Khi đó, tọa độ điểm C'(a; b; c), hãy tính: a + b + c.

Phương pháp giải :

Vẽ hình và trả lời.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Ta có: A(0; 0; 0), B(2; 0; 0), D(0; 2; 0), A'(0; 0; 2).

$\Rightarrow$ C(2; 2; 0), B'(2; 0; 2), D'(0; 2; 2), C'(2; 2; 2).

Câu 3 : Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các mặt đều là hình thoi cạnh $\sqrt{6}$ và các góc $\hat{B A A^{'}} = \hat{B A D} = \hat{D A A^{'}} = 60^{o}$ . Tính độ dài AC'.

Phương pháp giải :

Áp dụng quy tắc hình bình hành và công thức tích vô hướng của hai vecto.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Ta có $\vec{A C^{'}} = \vec{A A^{'}} + \vec{A B} + \vec{A D}$ .
Xét $A {C^{'}}^{2} = {\vec{A C^{'}}}^{2} = {(\vec{A A^{'}} + \vec{A B} + \vec{A D})}^{2}$
$= A {A^{'}}^{2} + A B^{2} + A D^{2} + 2 A A^{'} . A B . \cos \hat{B A A^{'}} + 2 A A^{'} . A D . \cos \hat{A^{'} A D} + 2 A B . A D . \cos \hat{B A D}$
$= 3 {(\sqrt{6})}^{2} + 3.2 \sqrt{6} \cdot \sqrt{6} . \cos 60^{o} = 6$ .

Câu 4 : Một công ty viễn thông đang lên kế hoạch xây dựng một tháp viễn thông tại một thành phố để cung cấp dịch dụ tốt hơn. Công ty cần xác định vị trí của tháp sao cho có thể phủ sóng hiệu quả đến ba toà nhà quan trọng trong thành phố. Giả sử các toà nhà này được đặt tại các vị trí có toạ độ như sau:

Toà nhà A(0; 0; 0);

Toà nhà B(6; 0; 0);

Toà nhà $C (3; \sqrt{3}; 2 \sqrt{6})$ .

Tháp viễn thông phải đặt ở vị trí sao cho tổng khoảng cách từ tháp đến 3 toà nhà là nhỏ nhất. Khi đó tổng khoảng cách từ vị trí của tháp đến ba toà nhà bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Phương pháp giải :

Gọi vị trí tháp là T(x; y; z).

Chứng minh tam giác ABC đều, khi đó TA + TB + TC nhỏ nhất khi T là trọng tâm tam giác ABC.

Áp dụng biểu thức tọa độ trọng tâm của tam giác để tìm tọa độ điểm T.

Đáp án :

Lời giải chi tiết :

Gọi vị trí tháp là T(x; y; z).

$A B = \sqrt{{(6 - 0)}^{2} + {(0 - 0)}^{2} + {(0 - 0)}^{2}} = 6$ ;

$B C = \sqrt{{(3 - 6)}^{2} + {(\sqrt{3} - 0)}^{2} + {(2 \sqrt{6} - 0)}^{2}} = 6$ ;

$C A = \sqrt{{(3 - 0)}^{2} + {(\sqrt{3} - 0)}^{2} + {(2 \sqrt{6} - 0)}^{2}} = 6$ .

Như vậy AB = BC = CA, suy ra tam giác ABC đều.

Khi đó, vị trí T để TA + TB + TC ngắn nhất là trọng tâm tam giác ABC.

Ta có: ${\begin{cases} x = \frac{0 + 6 + 3}{3} = 3 \\ y = \frac{0 + 0 + \sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3} \\ z = \frac{0 + 0 + 2 \sqrt{6}}{3} = \frac{2 \sqrt{6}}{3} \end{cases} \Rightarrow T (3; \frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{2 \sqrt{6}}{3})$ .

Khi đó khoảng cách từ tháp đến các toà nhà là: $T A = T B = T C = 2 \sqrt{3}$ .

Vậy tổng khoảng cách cần tìm là: $S = T A + T B + T C = 6 \sqrt{3} \approx 10, 4$ .

Câu 1 : Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = f (x) = \frac{x^{2} - 3 x + 2}{x + 3}$ .

Phương pháp giải :

Đưởng thẳng $y = a x + b (a \neq 0)$ được gọi là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = f (x)$ nếu:

$lim_{x \to + \infty} [f (x) - (a x + b)] = 0$ hoặc $lim_{x \to - \infty} [f (x) - (a x + b)] = 0$ .

Lời giải chi tiết :

Ta có: $y = f (x) = \frac{x^{2} - 3 x + 2}{x + 3} = x - 6 + \frac{20}{x + 3}$ .

Xét $lim_{x \to + \infty} [f (x) - (x - 6)] = lim_{x \to + \infty} \frac{20}{x + 3} = 0$ .

Vậy đường thẳng $y = x - 6$ là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = f (x) = \frac{x^{2} - 3 x + 2}{x + 3}$ .

Câu 2 : Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(4; 1; -1), B(2; -1; 5), C(3; 0; 2). Chứng minh rằng ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Phương pháp giải :

Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$ cùng phương.

Lời giải chi tiết :

Tính các vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$ :

$\vec{A B} = (2 - 4; - 1 - 1; 5 + 1) = (- 2; - 2; 6)$ ;

$\vec{A C} = (3 - 4; 0 - 1; 2 + 1) = (- 1; - 1; 3)$ .

Ta có $\frac{- 2}{- 1} = \frac{- 2}{- 1} = \frac{6}{3} = 2$ .

Do đó $\vec{A B} = 2 \vec{A C}$ hay $\vec{A B}$ cùng phương với $\vec{A C}$ .

Vậy A, B, C thẳng hàng.

Câu 3 : Kết quả điều tra tổng thu nhập trong năm 2022 của một số hộ gia đình trong một địa phương được ghi lại ở bảng sau:

a) Hãy tìm các tứ phân vị $Q_{1}$ và $Q_{3}$ .

b) Một doanh nghiệp địa phương muốn hướng dịch vụ của mình đến các gia đình có mức thu nhập ở tầm trung, tức là 50% các hộ gia đình có mức thu nhập ở chính giữa so với tất cả các hộ gia đình của địa phương. Hỏi doanh nghiệp cần hướng đến các gia đình có mức thu nhập trong khoảng nào?

Phương pháp giải :

Tứ phân vị thứ k, kí hiệu là $Q_{k}$ , với k = 1, 2, 3 của mẫu số liệu ghép nhóm được xác định như sau:

$Q_{k} = u_{m} + \frac{\frac{k n}{4} - C}{n_{m}} (u_{m + 1} - u_{m})$

trong đó:

$n = n_{1} + n_{2} + n_{3} + . . . + n_{k}$ là cỡ mẫu;

$[u_{m}; u_{m + 1}]$ là nhóm chứa tứ phân vị thứ k;

$n_{m}$ là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ k;

$C = n_{1} + n_{2} + n_{3} + . . . + n_{m - 1}$ .

Lời giải chi tiết :

a) Cỡ mẫu n = 150.

Gọi $x_{1}; x_{2}; \dots; x_{150}$ là mẫu số liệu gốc gồm thu nhập của 150 hộ gia đình được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: $x_{1}; x_{2}; \dots; x_{24} \in [200; 250)$ ; $x_{25}; \dots; x_{86} \in [250; 300)$ ; $x_{87}; \dots; x_{120} \in [300; 350)$ ; $x_{121}; \dots; x_{141} \in [350; 400)$ ; $x_{142}; \dots; x_{150} \in [400; 450)$ .

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $x_{38} \in [250; 300)$ . Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: $Q_{1} = 250 + \frac{\frac{150}{4} - 24}{62} (300 - 250) = \frac{16175}{62}$ .

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $x_{113} \in [300; 350)$ . Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: $Q_{3} = 300 + \frac{\frac{3.150}{4} - (24 + 62)}{34} (350 - 300) = \frac{11525}{34}$ .

b) Doanh nghiệp cần hướng đến các gia đình có mức thu nhập trong khoảng $[Q_{1}; Q_{3}) = [260, 89; 338, 97)$ (triệu đồng).