Đề thi học kì 1 Toán 7 Kết nối tri thức - Đề số 17

Câu 1 : Chọn khẳng định đúng:

A.

$- 7 \in N$ .
B.

$\frac{2}{3} \in Z$ .
C.

$\frac{- 2}{9} \notin Q$ .
D.

$\frac{1}{10} \in Q$ .

Câu 2 : Viết gọn tích ${(\frac{1}{3})}^{3} . {(\frac{1}{3})}^{5}$ ta được:

A.

${(\frac{1}{3})}^{15}$ .
B.

${(\frac{1}{3})}^{8}$ .
C.

${(\frac{1}{3})}^{2}$ .
D.

${(\frac{1}{3})}^{7}$ .

Câu 3 : Cho $x = 6, 67291$ . Giá trị của $x$ khi làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai là:

A.

6,673.
B.

6,672.
C.

6,67.
D.

6,6729.

Câu 4 : Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng ta có thể kẻ được mấy đường thẳng song song với đường thẳng đó.

A.

0.
B.

1.
C.

2.
D.

vô số.

Câu 5 : Nếu $\sqrt{x} = 3$ thì $x$ bằng

A.

6.
B.

12.
C.

-9.
D.

9.

Câu 6 : Câu nào dưới đây là đúng:

A.

Nếu $| x | = 3, 9$ thì $x = 3, 9$ .
B.

Nếu $| - x | = 3, 9$ thì $x = - 3, 9$ .
C.

Nếu $x = - 3, 9$ thì $| x | = 3, 9$ .
D.

Nếu $- x = 3, 9$ thì $| - x | = - 3, 9$ .

Câu 7 : Cho hình bên, đường thẳng a song song với b nếu

A.

$\hat{A_{4}} = \hat{B_{1}}$ .
B.

$\hat{A_{2}} = \hat{B_{1}}$ .
C.

$\hat{A_{1}} = \hat{B_{1}}$ .
D.

$\hat{A_{4}} = \hat{B_{3}}$ .

Câu 8 : Cho $\hat{x O y} = 76^{\circ}$ , tia Oz là tia phân giác của $\hat{x O y}$ . Số đo của $\hat{y O z}$ là:

A.

$33^{\circ}$ .
B.

$152^{\circ}$ .
C.

$38^{\circ}$ .
D.

$42^{\circ}$ .

Câu 9 : Cho $Δ A B C$ có $\hat{A} = 60^{\circ}, \hat{B} = 55^{\circ}$ . Số đo của $\hat{C}$ là:

A.

$55^{\circ}$ .
B.

$65^{\circ}$ .
C.

$45^{\circ}$ .
D.

$75^{\circ}$ .

Câu 10 : Chọn câu sai trong các câu sau:

A.

$- \frac{11}{4} < 0$ .
B.

$2 \frac{1}{2} > \frac{3}{2}$ .
C.

$0, 45 > 0, 5$ .
D.

$\frac{3}{4} = 0, 75$ .

Câu 11 : Cho $Δ M N P = Δ D H K$ , khẳng định nào sau đây là đúng:

A.

NP = KD.
B.

MP = HK.
C.

MN = DH.
D.

$\hat{M P N} = \hat{D H K}$ .

Câu 12 : Cho biểu đồ sau:

Năm nào có tỉ lệ học sinh THCS nghiện điện thoại cao nhất?

A.

2018.
B.

2019.
C.

2020.
D.

2021.

Câu 1 : Thực hiện phép tính:

a) $\frac{11}{24} + \frac{- 5}{41} + \frac{13}{24} + \frac{- 36}{41} + \frac{1}{2}$

b) $\frac{2}{5} + \frac{3}{5} . \frac{7}{6} - \sqrt{\frac{16}{25}}$

c) $\frac{4}{5} .1 \frac{2}{9} - \frac{4}{5} . \frac{2}{9} + \frac{3}{5}$

Câu 2 : Tìm $x$ :

a) $x - \frac{1}{4} = \frac{2}{3}$

b) $\frac{1}{4} + \frac{3}{4} x = \frac{- 13}{8}$

c) $| \frac{3}{4} x - \frac{1}{2} | + {(\frac{- 1}{2})}^{2} = \sqrt{\frac{4}{9}}$

Câu 3 : Cho biểu đồ:

a) Câu lạc bộ nào được học sinh yêu thích nhất khi đăng ký?

b) Em hãy lập bảng thống kê tỉ lệ phần trăm số học sinh đăng ký các câu lạc bộ hè của trường THCS đó.

c) Biết trường THCS đó có 500 học sinh đăng ký các câu lạc bộ hè. Hãy tính số học sinh đăng ký câu lạc bộ bơi lội?

Câu 4 : Cho $Δ A B C$ có AB = AC. Gọi I là trung điểm của BC.

a) Chứng minh $Δ A B I = Δ A C I$ và $A I ⊥ B C$ .

b) Trên tia đối của tia IA lấy điểm K sao cho IA = IK. Chứng minh AB = KC.

c) Kẻ $I E ⊥ A B (E \in A B)$ , $I F ⊥ K C (F \in K C)$ . Chứng minh E, I, F thẳng hàng.

Câu 5 : Chứng tỏ biểu thức sau không phải số nguyên.

$S = \frac{3}{4} + \frac{8}{9} + \frac{15}{16} + . . . + \frac{n^{2} - 1}{n^{2}} (n \in N, n > 1)$

Câu 1 : Chọn khẳng định đúng:

A.

$- 7 \in N$ .
B.

$\frac{2}{3} \in Z$ .
C.

$\frac{- 2}{9} \notin Q$ .
D.

$\frac{1}{10} \in Q$ .

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Kiểm tra xem các số có thuộc tập hợp số đó hay không.

$N$ là tập hợp số tự nhiên.

$Z$ là tập hợp số nguyên.

$Q$ là tập hợp số hữu tỉ.

Lời giải chi tiết :

$- 7$ không phải là số tự nhiên nên $- 7 \in N$ là sai.

$\frac{2}{3}$ không phải là số nguyên nên $\frac{2}{3} \in Z$ là sai.

$\frac{- 2}{9}$ là số hữu tỉ nên $\frac{- 2}{9} \notin Q$ là sai.

$\frac{1}{10}$ là số hữu tỉ nên $\frac{1}{10} \in Q$ là đúng.

Đáp án D

Câu 2 : Viết gọn tích ${(\frac{1}{3})}^{3} . {(\frac{1}{3})}^{5}$ ta được:

A.

${(\frac{1}{3})}^{15}$ .
B.

${(\frac{1}{3})}^{8}$ .
C.

${(\frac{1}{3})}^{2}$ .
D.

${(\frac{1}{3})}^{7}$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về tích hai lũy thừa cùng cơ số: $a^{m} . a^{n} = a^{m + n}$ .

Lời giải chi tiết :

Ta có: ${(\frac{1}{3})}^{3} . {(\frac{1}{3})}^{5} = {(\frac{1}{3})}^{3 + 5} = {(\frac{1}{3})}^{8}$ .

Đáp án B

Câu 3 : Cho $x = 6, 67291$ . Giá trị của $x$ khi làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai là:

A.

6,673.
B.

6,672.
C.

6,67.
D.

6,6729.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Áp dụng quy tắc Làm tròn số thập phân dương:

- Đối với chữ số hàng làm tròn:

+ Giữ nguyên nếu chữ số ngay bên phải nhỏ hơn 5;

+ Tăng 1 đơn vị nếu chữ số ngay bên phải lớn hơn hoặc bằng 5.

- Đối với chữ số sau hàng làm tròn:

+ Bỏ đi nếu ở phần thập phân;

+ Thay bằng các chữ số 0 nếu ở phần số nguyên.

Lời giải chi tiết :

Số $x = 6, 67291$ khi làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai là 6,67 (vì số 2 < 5).

Đáp án C

Câu 4 : Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng ta có thể kẻ được mấy đường thẳng song song với đường thẳng đó.

A.

0.
B.

1.
C.

2.
D.

vô số.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Áp dụng tiên đề Euclid về đường thẳng song song.

Lời giải chi tiết :

Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, ta chỉ có thể kẻ được 1 đường thẳng song song với đường đó.

Đáp án B

Câu 5 : Nếu $\sqrt{x} = 3$ thì $x$ bằng

A.

6.
B.

12.
C.

-9.
D.

9.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Áp dụng kiến thức về căn bậc hai của một số: $\sqrt{x} = a$ thì $x = a^{2}$ .

Lời giải chi tiết :

Nếu $\sqrt{x} = 3$ thì $x = 3^{2} = 9$ .

Đáp án D

Câu 6 : Câu nào dưới đây là đúng:

A.

Nếu $| x | = 3, 9$ thì $x = 3, 9$ .
B.

Nếu $| - x | = 3, 9$ thì $x = - 3, 9$ .
C.

Nếu $x = - 3, 9$ thì $| x | = 3, 9$ .
D.

Nếu $- x = 3, 9$ thì $| - x | = - 3, 9$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về giá trị tuyệt đối của một số:

+ Giá trị tuyệt đối của một số dương là chính nó

+ Giá trị tuyệt đối của một số âm là số đối của nó

Lời giải chi tiết :

Nếu |x| = 3,9 thì x = 3,9 hoặc -3,9 nên đáp án A sai (chưa đủ kết quả của x).

Nếu $| - x | = 3, 9$ thì $x = - 3, 9$ thì x = 3,9 hoặc -3,9 đều thỏa mãn nên B sai (chưa đủ kết quả của x).

Nếu $x = - 3, 9$ thì $| x | = | - 3, 9 | = 3, 9$ nên C đúng.

Nếu $- x = 3, 9$ thì $x = - 3, 9$ nên $| - x | = | - (- 3, 9) | = | 3, 9 | = 3, 9$ nên D sai

Đáp án C

Câu 7 : Cho hình bên, đường thẳng a song song với b nếu

A.

$\hat{A_{4}} = \hat{B_{1}}$ .
B.

$\hat{A_{2}} = \hat{B_{1}}$ .
C.

$\hat{A_{1}} = \hat{B_{1}}$ .
D.

$\hat{A_{4}} = \hat{B_{3}}$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng a, b và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau hoặc một cặp góc đồng vị bằng nhau thì a và b song song với nhau.

Lời giải chi tiết :

Quan sát hình vẽ, ta thấy hai góc $\hat{A_{1}}$ và $\hat{B_{1}}$ ở vị trí đồng vị nên nếu $\hat{A_{1}} = \hat{B_{1}}$ thì đường thẳng a song song với b.

Đáp án C

Câu 8 : Cho $\hat{x O y} = 76^{\circ}$ , tia Oz là tia phân giác của $\hat{x O y}$ . Số đo của $\hat{y O z}$ là:

A.

$33^{\circ}$ .
B.

$152^{\circ}$ .
C.

$38^{\circ}$ .
D.

$42^{\circ}$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất của tia phân giác: tia phân giác chia một góc thành hai góc bằng nhau và bằng một nửa góc đó.

Lời giải chi tiết :

Oz là tia phân giác của $\hat{x O y}$ thì $\hat{y O z} = \frac{1}{2} \hat{x O y} = \frac{1}{2} {.76}^{\circ} = 38^{\circ}$ .

Đáp án C

Câu 9 : Cho $Δ A B C$ có $\hat{A} = 60^{\circ}, \hat{B} = 55^{\circ}$ . Số đo của $\hat{C}$ là:

A.

$55^{\circ}$ .
B.

$65^{\circ}$ .
C.

$45^{\circ}$ .
D.

$75^{\circ}$ .

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Áp dụng định lí tổng ba góc của một tam giác bằng $180^{\circ}$ .

Lời giải chi tiết :

Tam giác ABC có:

$\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180^{\circ}$ suy ra $\hat{C} = 180^{\circ} - \hat{A} - \hat{B} = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 55^{\circ} = 65^{\circ}$ .

Đáp án B

Câu 10 : Chọn câu sai trong các câu sau:

A.

$- \frac{11}{4} < 0$ .
B.

$2 \frac{1}{2} > \frac{3}{2}$ .
C.

$0, 45 > 0, 5$ .
D.

$\frac{3}{4} = 0, 75$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

So sánh số hữu tỉ với nhau.

Lời giải chi tiết :

$0, 45 < 0, 5$ suy ra C sai.

Đáp án C

Câu 11 : Cho $Δ M N P = Δ D H K$ , khẳng định nào sau đây là đúng:

A.

NP = KD.
B.

MP = HK.
C.

MN = DH.
D.

$\hat{M P N} = \hat{D H K}$ .

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Hai tam giác bằng nhau thì các cạnh tương ứng và các góc tương ứng bằng nhau.

Lời giải chi tiết :

$Δ M N P = Δ D H K$ thì $\hat{M} = \hat{D}; \hat{N} = \hat{H}; \hat{P} = \hat{K}$ và $M N = D H; M P = D K; N P = H K$ .

Vậy ta chọn đáp án C

Đáp án C

Câu 12 : Cho biểu đồ sau:

Năm nào có tỉ lệ học sinh THCS nghiện điện thoại cao nhất?

A.

2018.
B.

2019.
C.

2020.
D.

2021.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Quan sát xem điểm biểu diễn năm nào lớn nhất thì năm đó có tỉ lệ học sinh THCS nghiện điện thoại cao nhất.

Lời giải chi tiết :

Ta thấy năm 2021 có tỉ lệ lớn nhất (15%) nên tỉ lệ học sinh THCS nghiện điện thoại năm 2021 cao nhất

Đáp án D

Câu 1 : Thực hiện phép tính:

a) $\frac{11}{24} + \frac{- 5}{41} + \frac{13}{24} + \frac{- 36}{41} + \frac{1}{2}$

b) $\frac{2}{5} + \frac{3}{5} . \frac{7}{6} - \sqrt{\frac{16}{25}}$

c) $\frac{4}{5} .1 \frac{2}{9} - \frac{4}{5} . \frac{2}{9} + \frac{3}{5}$

Phương pháp giải :

a) Sử dụng tính chất kết hợp để đưa các số thành các nhóm.

b) Thực hiện phép tính với số hữu tỉ và căn bậc hai của một số hữu tỉ.

c) Sử dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép trừ.

Lời giải chi tiết :

a) $\frac{11}{24} + \frac{- 5}{41} + \frac{13}{24} + \frac{- 36}{41} + \frac{1}{2}$

$\begin{array}{l} = (\frac{11}{24} + \frac{13}{24}) + (\frac{- 5}{41} + \frac{- 36}{41}) + \frac{1}{2} \\ = \frac{24}{24} + \frac{- 41}{41} + \frac{1}{2} \\ = 1 - 1 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \end{array}$

b) $\frac{2}{5} + \frac{3}{5} . \frac{7}{6} - \sqrt{\frac{16}{25}}$

$\begin{array}{l} = \frac{2}{5} + \frac{3}{5} . \frac{7}{6} - \frac{4}{5} \\ = \frac{2}{5} + \frac{7}{10} - \frac{4}{5} \\ = \frac{2.2 + 7 - 4.2}{10} \\ = \frac{3}{10} \end{array}$

c) $\frac{4}{5} .1 \frac{2}{9} - \frac{4}{5} . \frac{2}{9} + \frac{3}{5}$

$\begin{array}{l} = \frac{4}{5} . (1 \frac{2}{9} - \frac{2}{9}) + \frac{3}{5} \\ = \frac{4}{5} .1 + \frac{3}{5} \\ = \frac{4}{5} + \frac{3}{5} = \frac{7}{5} \end{array}$

Câu 2 : Tìm $x$ :

a) $x - \frac{1}{4} = \frac{2}{3}$

b) $\frac{1}{4} + \frac{3}{4} x = \frac{- 13}{8}$

c) $| \frac{3}{4} x - \frac{1}{2} | + {(\frac{- 1}{2})}^{2} = \sqrt{\frac{4}{9}}$

Phương pháp giải :

Áp dụng quy tắc chuyển vế đổi dấu.

c) Đưa về dạng $| A | = B$ , chia hai trường hợp: A = B hoặc A = -B.

Lời giải chi tiết :

a) $x - \frac{1}{4} = \frac{2}{3}$

$\begin{array}{l} x = \frac{2}{3} + \frac{1}{4} \\ x = \frac{11}{12} \end{array}$

Vậy $x = \frac{11}{12}$

b) $\frac{1}{4} + \frac{3}{4} x = \frac{- 13}{8}$

$\begin{array}{l} \frac{3}{4} x = \frac{- 13}{8} - \frac{1}{4} \\ \frac{3}{4} x = \frac{- 15}{8} \\ x = \frac{- 15}{8} : \frac{3}{4} \\ x = \frac{- 5}{2} \end{array}$

Vậy $x = \frac{- 5}{2}$

c) $| \frac{3}{4} x - \frac{1}{2} | + {(\frac{- 1}{2})}^{2} = \sqrt{\frac{4}{9}}$

$\begin{array}{l} | \frac{3}{4} x - \frac{1}{2} | + \frac{1}{4} = \frac{2}{3} \\ | \frac{3}{4} x - \frac{1}{2} | = \frac{2}{3} - \frac{1}{4} \\ | \frac{3}{4} x - \frac{1}{2} | = \frac{5}{12} \\ \frac{3}{4} x - \frac{1}{2} = \pm \frac{5}{12} \end{array}$

TH1: $\frac{3}{4} x - \frac{1}{2} = \frac{5}{12}$

$\begin{array}{l} \frac{3}{4} x = \frac{5}{12} + \frac{1}{2} \\ \frac{3}{4} x = \frac{11}{12} \\ x = \frac{11}{12} : \frac{3}{4} \\ x = \frac{11}{9} \end{array}$

TH2: $\frac{3}{4} x - \frac{1}{2} = - \frac{5}{12}$

$\begin{array}{l} \frac{3}{4} x = - \frac{5}{12} + \frac{1}{2} \\ \frac{3}{4} x = \frac{1}{12} \\ x = \frac{1}{12} : \frac{3}{4} \\ x = \frac{1}{9} \end{array}$

Vậy $x \in {\frac{11}{9}; \frac{1}{9}}$

Câu 3 : Cho biểu đồ:

a) Câu lạc bộ nào được học sinh yêu thích nhất khi đăng ký?

b) Em hãy lập bảng thống kê tỉ lệ phần trăm số học sinh đăng ký các câu lạc bộ hè của trường THCS đó.

c) Biết trường THCS đó có 500 học sinh đăng ký các câu lạc bộ hè. Hãy tính số học sinh đăng ký câu lạc bộ bơi lội?

Phương pháp giải :

a) Quan sát biểu đồ, câu lạc bộ được yêu thích nhất có tỉ lệ phần trăm học sinh đăng ký nhiều nhất.

b) Từ số liệu trong biểu đồ để lập bảng thống kê.

c) Tính giá trị phần trăm m% của một số a cho trước theo công thức: $m % . a$ .

Lời giải chi tiết :

a) Câu lạc bộ được học sinh yêu thích nhất khi đăng ký là Mĩ thuật (39%).

b) Bảng thống kê:

c) Số học sinh đăng ký câu lạc bộ bơi lội là: $18 % .500 = 90$ (học sinh)

Câu 4 : Cho $Δ A B C$ có AB = AC. Gọi I là trung điểm của BC.

a) Chứng minh $Δ A B I = Δ A C I$ và $A I ⊥ B C$ .

b) Trên tia đối của tia IA lấy điểm K sao cho IA = IK. Chứng minh AB = KC.

c) Kẻ $I E ⊥ A B (E \in A B)$ , $I F ⊥ K C (F \in K C)$ . Chứng minh E, I, F thẳng hàng.

Phương pháp giải :

a) Chứng minh $Δ A B I = Δ A C I$ theo trường hợp cạnh – cạnh – cạnh.

Suy ra $\hat{A I B} = \hat{A I C}$ .

Mà hai góc này kề bù nên suy ra $\hat{A I B} = 90^{\circ}$ hay $A I ⊥ B C$ .

b) Chứng minh $Δ A B I = Δ K C I$ suy ra AB = KC.

c) Chứng minh $Δ B I E = Δ C I F$ suy ra $\hat{B I E} = \hat{C I F}$ . Sử dụng tính chất hai góc kề bù suy ra $\hat{E I F} = 180^{\circ}$ nên E, I, F thẳng hàng.

Lời giải chi tiết :

a) Xét $Δ A B I$ và $Δ A C I$ có:

$A B = A C$ (gt)

$B I = C I$ (I là trung điểm của BC)

$A I$ chung

Suy ra $Δ A B I = Δ A C I$ (c.c.c)

Suy ra $\hat{A I B} = \hat{A I C}$ .

Mà hai góc này kề bù nên $\hat{A I B} + \hat{A I C} = 180^{\circ}$ , suy ra $\hat{A I B} = \hat{A I C} = \frac{180^{\circ}}{2} = 90^{\circ}$ hay $A I ⊥ B C$ .

b) Xét $Δ A B I$ và $Δ K C I$ có:

$A I = K I$ (gt)

$\hat{A I B} = \hat{K I C} (= 90^{\circ})$

$B I = C I$

Suy ra $Δ A B I = Δ K C I$ (c.g.c) suy ra AB = KC.

c) Vì $Δ A B I = Δ K C I$ nên $\hat{A B I} = \hat{K C I}$

Xét $Δ B I E$ và $Δ C I F$ ta có:

$\hat{B E I} = \hat{C F I} (= 90^{\circ})$

$\hat{E B I} = \hat{F C I}$

$B I = C I$

Suy ra $Δ B I E = Δ C I F$ (cạnh huyền – góc nhọn)

Do đó $\hat{B I E} = \hat{C I F}$ .

Mà $\hat{B I E}$ và $\hat{E I C}$ là hai góc kề bù nên $\hat{B I E} + \hat{E I C} = 180^{\circ}$

nên $\hat{E I C} + \hat{C I F} = 180^{\circ}$ hay $\hat{E I F} = 180^{\circ}$ nên E, I, F thẳng hàng.

Câu 5 : Chứng tỏ biểu thức sau không phải số nguyên.

$S = \frac{3}{4} + \frac{8}{9} + \frac{15}{16} + . . . + \frac{n^{2} - 1}{n^{2}} (n \in N, n > 1)$

Phương pháp giải :

Biến đổi các phân số thành $\frac{n^{2} - 1}{n^{2}}$ để rút gọn S.

Chứng minh $n - 2 < S < n - 1$ nên S không là số nguyên.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\begin{array}{l} S = \frac{3}{4} + \frac{8}{9} + \frac{15}{16} + . . . + \frac{n^{2} - 1}{n^{2}} \\ = \frac{2^{2} - 1}{2^{2}} + \frac{3^{2} - 1}{3^{2}} + \frac{4^{2} - 1}{4^{2}} + . . . + \frac{n^{2} - 1}{n^{2}} \\ = 1 - \frac{1}{2^{2}} + 1 - \frac{1}{3^{2}} + 1 - \frac{1}{4^{2}} + . . .1 + \frac{1}{n^{2}} \\ = (1 + 1 + . . . + 1) - (\frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} + . . . + \frac{1}{n^{2}}) \\ = (n - 1) - (\frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} + . . . + \frac{1}{n^{2}}) \end{array}$

+) Vì $(\frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} + . . . + \frac{1}{n^{2}}) > 0$ nên $S < n - 1$ (1)

+) $\frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} + . . . + \frac{1}{n^{2}} < \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + . . . + \frac{1}{(n - 1) . n} = 1 - \frac{1}{n} < 1$

Suy ra $- (\frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} + . . . + \frac{1}{n^{2}}) > - 1$

Suy ra $(n - 1) - (\frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} + . . . + \frac{1}{n^{2}}) > (n - 1) - 1 = n - 2$

Do đó $S > n - 2$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $n - 2 < S < n - 1$

Vì giữa n – 2 và n – 1 không có số nguyên nào nên S không là số nguyên.