Đề thi học kì 1 Toán 8 Kết nối tri thức - Đề số 8

a) Vì tam giác ABC vuông tại A nên $\hat{A}={90}^{\circ }$

Vì E và F lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AB, AC nên $HE\perp AB,HF\perp AC$, suy ra $\widehat{AEH}=\widehat{HFA}={90}^{\circ }$.

Xét tứ giác AEHF có $\hat{A}=\widehat{AEH}=\widehat{HFA}={90}^{\circ }$ nên AEHF là hình chữ nhật.

b) Do tam giác ABC vuông ở A nên $AB\perp AC$. Mà $BD\perp AB$ nên $AC//BD$, do đó $\widehat{FCB}=\widehat{CBD}$ (hai góc so le trong)

Xét $\Delta FMC$ và $\Delta DMB$ có:

$\widehat{FCB}=\widehat{CBD}$ (cmt)

CM = BM (vì M là trung điểm của BC)

$\widehat{FMC}=\widehat{DMB}$ (hai góc so le trong)

Suy ra $\Delta FMC=\Delta DMB\left(g.c.g\right)$, do đó MF = MD (hai cạnh tương ứng).

Tứ giác BDCF có hai đường chéo BC và DF cắt nhau tại M và BM = MC, MF = MD nên BDCF là hình bình hành.

c) Vì AEHF là hình chữ nhật nên HE // AF, HF // AE nên HE // AC, HF // AB.

Áp dụng định lí Thalès trong tam giác, ta có:

$\frac{BE}{AB}=\frac{BH}{BC}$; $\frac{CF}{AC}=\frac{CH}{BC}$.

Do đó $\frac{BE}{AB}+\frac{CF}{AC}=\frac{BH}{BC}+\frac{CH}{BC}=\frac{BC}{BC}=1$

Suy ra $\frac{BE.AC}{AB.AC}+\frac{CF.AB}{AB.AC}=\frac{AB.AC}{AB.AC}$, do đó $BE.AC+CF.AB=AB.AC$.