Đề thi học kì 2 Toán 10

Đề bài

PHẦN I: TRẮC NGHIỆM ( 35 câu - 7 điểm)

Câu 1:         Bạn A có 7 cái bút chì và 8 cái bút mực. Hỏi có bao nhiêu cách để bạn An chọn một chiếc bút?

A. 15.                              B. 7                               C. 8.                              D. 56.

Câu 2:         Cho 6 chữ số 2, 3, 4, 5, 6, 7. Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số được lập thành từ 6 chữ số đó

A. 36.                              B. 18.                            C. 256                           D. 216.

Câu 3:         Xếp 7 người vào một băng ghế dài có 9 chỗ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp?

A. 36.                              B. 5040.                        C. 181440.                    D. 2250.

Câu 4:         Có 6 quyển sách toán, 5 quyển sách hóa và 3 quyển sách lí (các quyển sách đều khác nhau) Hỏi có bao nhiêu cách xếp 14 quyển sách trên thành một hàng dài lên giá sách sao cho các quyển sách cùng loại được xếp cạnh nhau?

A. 518400.                      B. 3110400.                  C. 86400.                      D. 46800.

Câu 5:         Có 12 quyển sách khác nhau. Chọn ra 5 cuốn, hỏi có bao nhiêu cách?

A. 95040.                        B. 792.                          C. 120.                          D. 5040.

Câu 6:         Có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu khó, 10 câu TB, 15 câu dễ. Từ 30 câu đó lập được bao nhiêu đề, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau trong đó phải có đủ cả 3 loại câu hỏi và số câu dễ không ít hơn 2.

A. 85631.                        B. 56875.                      C. 34125.                      D. 22750.

Câu 7:         Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?

A. \({\left( {a + b} \right)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}\).

B. \({\left( {a - b} \right)^4} = {a^4} - 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} - 4a{b^3} + {b^4}\).

C. \({\left( {a + b} \right)^4} = {b^4} + 4{b^3}a + 6{b^2}{a^2} + 4b{a^3} + {a^4}\).

D. \({\left( {a + b} \right)^4} = {a^4} + {b^{4.}}\).

Câu 8:         Hệ số của \({x^3}\)trong khai triển biểu thức \({\left( {2x - 1} \right)^4}\) là

A. 32.                              B. -32.                           C. 8.                              D. -8.

Câu 9:         Số quy tròn của 314, 87 đến hàng đơn vị là:

A. 315.                            B. 314,9.                       C. 310.                          D. 314.

Câu 10:      Cho mẫu số liệu: 1 3 6 8 9 12. Số trung bình cộng của mẫu số liệu là:

A. 6.                                B. 9.                              C. 7.                              D. 6,5.

Câu 11:      Điểm kiểm tra 15 phút môn Toán của 9 bạn tổ 1 như sau:

6 ; 7,3; 8; 6; 7,5; 9; 9; 8,7; 8,5

Tứ phân vị của mẫu số liệu trên là:

A. \({Q_1} = 7,5;{Q_2} = 7,65;{Q_3} = 8,85\).                          

B. \({Q_1} = 7,65;{Q_2} = 7,5;{Q_3} = 8,85\).

C. \({Q_1} = 6,5;{Q_2} = 8;{Q_3} = 8,85\).                               

D. \({Q_1} = 8;{Q_2} = 6,65;{Q_3} = 8,85\).

Câu 12:      Gieo lần lượt hai con súc sắc. Tính xác suất để tổng số chấm trên hai mặt bằng hoặc lớn hơn 8?

A. \(\frac{{11}}{{36}}\)    B.\(\frac{1}{6}\)            C. \(\frac{5}{{18}}\)                                        D.\(\frac{5}{{12}}\)

Câu 13:      Gieo một đồng xu hai lần liên tiếp, ta có không gian mẫu là:

A. \(\left\{ {S;N} \right\}\).

B. \(\left\{ {SS;NN} \right\}\).

C. \(\left\{ {SS;SN;NS;NN} \right\}\).                       

D. \(\left\{ {S;N;SN} \right\}\).

Câu 14:      Xác xuất của biến cố A trong trò chơi tung một đồng xu hai lần liên tiếp được tính bằng công thức nào sau đây?

A. \(\frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}}\).                                B. \(\frac{{n\left( \Omega  \right)}}{{n\left( A \right)}}\).                                     C. \(\frac{A}{\Omega }\).       D. \(\frac{\Omega }{A}\).

Câu 15:      Gieo một xúc xắc hai lần liên tiếp. Xác suất của biến cố “ lần thứ nhất xuất hiện mặt 6 chấm” là:

A. \(\frac{1}{2}.\)              B. \(\frac{1}{{36}}.\)       C. \(\frac{1}{6}.\)            D. \(\frac{1}{4}.\)

Câu 16:      Xét một phép thử có không gian mẫu  và  là một biến cố của phép thử đó. Phát biểu nào dưới đây là sai?

A. Xác suất của biến cố A là số \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( P \right)}}.\)

B. \(0 \le P\left( A \right) \le 1.\)

C. \(P\left( A \right) = 0\) khi và chỉ khi  là chắc chắn.

D. \(P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right)\).

Câu 17:      Số phần tử không gian mẫu của phép thử gieo đồng thời 1 con xúc xắc và 1 đồng xu là

A. 2.                                B. 12.                            C. 8.                              D. 36.

Câu 18:      Có 4 viên bi đỏ và 3 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 3 viên. Tính xác suất trong 3 viên có 2 viên màu đỏ.

A. \(\frac{6}{{35}}.\)         

B. \(\frac{{18}}{{35}}.\)  

C. \(\frac{9}{{35}}.\)      

D. \(\frac{8}{{35}}.\)

Câu 19:      Trong mặt phẳng Oxy, cho vecto \(\vec a =  - 3\vec i + \vec j\). Tọa độ của \(\vec a\) là:

A. \(\left( {3;1} \right)\).   

B. \(\left( {1;3} \right)\). 

C. \(\left( {3; - 1} \right)\).                                       

D. \(\left( { - 3;1.} \right)\)

Câu 20:      Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm \(A\left( {2; - 3} \right),B\left( {4;7} \right)\). Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là:

A. \(\left( {3;2} \right).\)   

B. \(\left( { - 1; - 5} \right).\)                                 

C. \(\left( {1;5} \right)\).        

D. \(\left( {2;3} \right).\)

Câu 21:      Cho tam giác ABC có \(A\left( {2;6} \right),B\left( { - 2;2} \right),C\left( {8;0} \right)\). Tam giác ABC là:

A. Tam giác đều.           

B. Tam giác cân tại A

C. Tam giác vuông tại A

D. Tam giác vuông cân tại A

Câu 22:      Trong mặt phẳng \(Oxy,\) cho đường thẳng \(d:\,\,3x - 2y + 5 = 0.\) Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của \(d\,?\)

A. \(\vec n = \left( {3;\,2} \right).\)                         

B. \(\vec n = \left( {3;\, - 2} \right).\)                           

C. \(\vec n = \left( {2;\,3} \right).\)                       

D. \(\vec n = \left( { - 2;\,3} \right).\)

Câu 23:      Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm  và .

A. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 + t\end{array} \right.\)                 

B.\(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 - 2t\\y = 3 - t\end{array} \right.\)                 

C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y =  - 1 + t\end{array} \right.\)              

D. \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 - 2t\\y = 3 + t\end{array} \right.\)

Câu 24:      Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng   \({d_1}:x - 2y + 1 = 0\)và \({d_2}: - 3x + 6y - 10 = 0\).

A. Song song.                

B. Trùng nhau.

C. Vuông góc với nhau. 

D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.

Câu 25:      Cho đường thẳng  và . Tính cosin của góc tạo bởi hai đường thẳng đã cho.

A. \(\frac{{3\sqrt {10} }}{{10}}\)                             

B. \(\frac{3}{5}\)            

C. \(\frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\)

D. \(\frac{3}{{10}}\)

Câu 26:      Tọa độ độ tâm I và bán kính R của đường tròn  \((C):{(x - 1)^2} + {(y + 3)^2} = 16\) là:

A. I( - 1;3),R = 4                                                

B. I(1; - 3),R = 4

C. I(1; - 3),R = 16         

D. I( - 1;3),R = 16

Câu 27:      Đường tròn  có tâm  và bán kính  lần lượt là:

A. \(I(3; - 1),R = 4\)                                                

B.\(I( - 3;1),R = 4\)

C. \(I(3; - 1),R = 2\)           

D. \(I( - 3;1),R = 2\)

Câu 28:      Đường tròn đường kính  với  có phương trình là:

A. \({\left( {x - 2} \right)^2} + {(y - 3)^2} = 5\)          

B. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {(y + 2)^2} = 17\)

C. \({\left( {x - 2} \right)^2} + {(y + 3)^2} = \sqrt 5 \) 

D. \({\left( {x - 2} \right)^2} + {(y + 3)^2} = 5\)

Câu 29:          Elip có độ dài trục lớn là 10 và có một tiêu điểm . Phương trình chính tắc của elip là:

A. \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\)       

B. \(\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\) 

C. \(\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{81}} = 1\) 

D. \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\)

Câu 30:      Hyperbol trong hệ trục tọa độ Oxy nào dưới đây có phương trình chính tắc dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {a > 0,b > 0} \right)\)?

 

Câu 31:      Parabol (P) có phương trình đường chuẩn là \(x + \frac{1}{4} = 0\). Phương trình chính tắc của (P) là:

A. \({y^2} = \frac{1}{2}x.\)

B. \({y^2} = 2x\).              

C. \({y^2} = x.\)                

D. \({y^2} = 4x.\)

Câu 32:      Hệ số lớn nhất trong khai triển biểu thức \({\left( {x + 1} \right)^5}\)là:

A. 10.                              B. 5.                             

C. 6.                                D. 4.

Biểu đồ ở hình 1 biểu diễn nhiệt độ không khí tại Hà Nội giai đoạn 2014 – 2019. Sử dụng mẫu số liệu từ biểu đồ này để hoàn thành các câu 34, 34, 35.

 

Câu 33:      Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là:

A. 1.                                B. 1,3.                           C. 50,5.                         D. 0,65.

Câu 34:      Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là:

A. 0,2.                             B. 0,15.                         C. 25,15.                       D. 0,05.

Câu 35:      Phương sai của mẫu số liệu gần nhất với số nào sau đây:

A. 0,1.                             B. 0,15.                         C. 0,147.                       D. 1.

PHẦN II: TỰ LUẬN ( 2 câu - 3 điểm)

Câu 36:      a)  (1.0 điểm) Giả sử hệ số của x trong khai triển biểu thức \({\left( {ax + \frac{1}{x}} \right)^5}\) bằng 270. Tìm giá trị của a.

b)  (0.5 điểm) Tìm số đường chéo của 1 đa giác lồi có 10 cạnh.

Câu 37:      a) (1.0 điểm ) Cho tam giác ABC có phương trình các đường thẳng \(AB:2x - 3y - 1 = 0;\)

\(BC:x + 3y + 7 = 0;\) \(CA:5x - 2y + 1 = 0\). Viết phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ \(B.\)

b) (0.5 điểm) Cho tam giác ABC với \(A\left( { - 1;0} \right),B\left( {2;3} \right),C\left( {3; - 6} \right)\) và đường thẳng \(d:x - 2y - 3 = 0\). Tìm điểm M trên d sao cho \(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right|\) nhỏ nhất.

Lời giải

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

THỰC HIỆN: BAN CHYÊN MÔN trithuchub.com

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (35 câu - 7,0 điểm).

 

Câu 1:         Bạn A có 7 cái bút chì và 8 cái bút mực. Hỏi có bao nhiêu cách để bạn An chọn một chiếc bút?

A. 15.                              B. 7                               C. 8.                              D. 56.

Phương pháp

Áp dụng quy tắc cộng

Giải

Chọn A

- TH1: chọn 1 bút chì trong số 7 bút chì: 7 cách

- TH2: chọn 1 bút mực trong số 8 bút mực: 8 cách

Theo qt cộng có: 7+8=15 cách thỏe đề

Câu 2:         Cho 6 chữ số 2, 3, 4, 5, 6, 7. Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số được lập thành từ 6 chữ số đó

A. 36.                              B. 18.                            C. 256                           D. 216.

Phương pháp

Áp dụng quy tắc nhân

Giải

Chọn D

Gọi số cần lập là \(\overline {abc} \).

- B1: chọn 1 chữ số cho a: 6 cách

- B2: chọn 1 chữ số cho b: 6 cách

- B3: chọn 1 chữ số cho c: 6 cách

Theo qt nhân, có \({6^3} = 216\) số thỏa đề.

Câu 3:         Xếp 7 người vào một băng ghế dài có 9 chỗ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp?

A. 36.                              B. 5040.                        C. 181440.                    D. 2250.

Phương pháp

Số tổ hợp chập k của n phần tử là \(C_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!k!}}\)

Giải

Chọn C

- B1: chọn 7 ghế từ 9 ghế: \(C_9^7\) cách

- B2: sắp xếp 7 người vào 7 ghế đã chọn: 7! Cách

Vậy có 7!.\(C_9^7\)= 181440 cách thỏa đề

Câu 4:         Có 6 quyển sách toán, 5 quyển sách hóa và 3 quyển sách lí (các quyển sách đều khác nhau) Hỏi có bao nhiêu cách xếp 14 quyển sách trên thành một hàng dài lên giá sách sao cho các quyển sách cùng loại được xếp cạnh nhau?

A. 518400.                      B. 3110400.                  C. 86400.                      D. 46800.

Phương pháp

Áp dụng công thức hoán vị

Giải

Chọn B

- Xếp 6 quyển toán thành một hàng: 6! Cách

- Xếp 5 quyển hóa thành một hàng: 5! Cách

- Xếp 3 quyển lí thành một hàng: 3! Cách

- Hoán đổi vị trí 3 nhóm trên: 3! Cách

Vậy có 6!.5!.3!.3! = 3110400 cách

Câu 5:         Có 12 quyển sách khác nhau. Chọn ra 5 quyển, hỏi có bao nhiêu cách?

A. 95040.                        B. 792.                          C. 120.                          D. 5040.

Phương pháp

Số tổ hợp chập k của n phần tử là \(C_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!k!}}\)

Giải

Chọn B

Có \(C_{12}^5 = 792\)cách

Câu 6:         Có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu khó, 10 câu TB, 15 câu dễ. Từ 30 câu đó lập được bao nhiêu đề, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau trong đó phải có đủ cả 3 loại câu hỏi và số câu dễ không ít hơn 2.

A. 85631.                        B. 56875.                      C. 34125.                      D. 22750.

Phương pháp

Số tổ hợp chập k của n phần tử là \(C_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!k!}}\)

Giải

Chọn B

- TH1: 2 câu dễ + 1 câu TB + 2 câu khó: \(C_{15}^2.C_{10}^1.C_5^2 = 10500\)cách

- TH2: 2 câu dễ + 2 câu TB + 1 câu khó: \(C_{15}^2.C_{10}^2.C_5^1 = 23625\)cách

- TH3: 3 câu dễ + 1 câu TB + 1 câu khó: \(C_{15}^3.C_{10}^1.C_5^1 = 22750\)cách

Vậy có 10500+23625+22750 = 56875 cách

Câu 7:         Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?

A. \({\left( {a + b} \right)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}\).

B. \({\left( {a - b} \right)^4} = {a^4} - 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} - 4a{b^3} + {b^4}\).

C. \({\left( {a + b} \right)^4} = {b^4} + 4{b^3}a + 6{b^2}{a^2} + 4b{a^3} + {a^4}\).

D. \({\left( {a + b} \right)^4} = {a^4} + {b^{4.}}\).

Phương pháp

Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton

Giải

Chọn D

\({\left( {a + b} \right)^4} = {a^4} + {b^{4.}}\)

Câu 8:         Hệ số của \({x^3}\)trong khai triển biểu thức \({\left( {2x - 1} \right)^4}\) là

A. 32.                              B. -32.                           C. 8.                              D. -8.

Phương pháp

Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton

Giải

Chọn B

\(\begin{array}{l}{\left( {2x - 1} \right)^4} = {\left( {2x} \right)^4} - 4{\left( {2x} \right)^3} + 6{\left( {2x} \right)^2} - 4.2x + 1\\ = 16{x^4} - 32{x^3} + 24{x^2} - 8x + 1\end{array}\)

Vậy hệ số của \({x^3}\) là -32.

Câu 9:         Số quy tròn của 314, 87 đến hàng đơn vị là:

A. 315.                            B. 314,9.                       C. 310.                          D. 314.

Phương pháp

Khi quy tròn một số nguyên hoặc một số thập phân đến một hàng nào đó thì số nhận được gọi là số quy tròn của số ban đầu.

- Nếu chữ số ngay sau hàng quy tròn nhỏ hơn 5 thì ta chỉ việc thay thế chữ số đó và các số bên phải nó bởi 0

- Nếu chữ số ngay sau hàng quy tròn lớn hơn hoặc bằng 5 thì ta cũng làm như trên nhưng cộng thêm một đơn vị vào chữ số của hàng quy tròn.

Lời giải

Chọn A

Số quy tròn của 314, 87 đến hàng đơn vị là: 315

 

Câu 10:      Cho mẫu số liệu: 1; 3; 6; 8; 9; 12. Số trung bình cộng của mẫu số liệu là:

A. 6.                                B. 9.                              C. 7.                              D. 6,5.

Phương pháp

Số trung bình cộng \(\overline x \) của mẫu số liệu \({x_1},{x_2},...,{x_n}\) là:

\(\overline x  = \frac{{{x_1} + {x_2} + ... + {x_n}}}{n}.\)

Lời giải

Chọn D

Số trung bình cộng \(\overline x \) của mẫu số liệu 1; 3; 6; 8; 9; 12 là:

\(\overline x  = \frac{{1 + 3 + 6 + 8 + 9 + 12}}{6} = 6,5.\)

Câu 11:      Điểm kiểm tra 15 phút môn Toán của 9 bạn tổ 1 như sau:

6 ; 7,3; 8; 6; 7,5; 9; 9; 8,7; 8,5

Tứ phân vị của mẫu số liệu trên là:

A. \({Q_1} = 7,5;{Q_2} = 7,65;{Q_3} = 8,85\).                          

B. \({Q_1} = 7,65;{Q_2} = 7,5;{Q_3} = 8,85\).

D. \({Q_1} = 6,5;{Q_2} = 8;{Q_3} = 8,85\).                               

D. \({Q_1} = 8;{Q_2} = 6,65;{Q_3} = 8,85\).

Phương pháp

Sắp thứ tự mẫu số liệu gồm n số liệu thành một dãy không giảm.

Tứ phân vị của mẫu số liệu trên là bộ ba giá trị : Tứ phân vị thứ nhất, Tứ phân vị thứ hai và Tứ phân vị thứ ba; ba giá trị này chia mẫu số liệu thành bốn phần có số lượng phần tử bằng nhau.

-  Tứ phân vị thứ hai \({Q_2}\) bằng trung vị.

-  Nết n chẵn thì tứ phân vị thứ nhất \({Q_2}\) bằng trung vị của nửa dãy phía dưới, và tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) bằng trung vị của nửa dãy phía trên.

-  Nếu n là số lẻ thì tứ phân vị thứ nhất \({Q_2}\) bằng trung vị của nửa dãy phía dưới (không bào gồm \({Q_2}\)) và tứ phân vị thứ ba \({Q_2}\) bằng trung vị của nửa dãy phía trên ( không bao gồm \({Q_2}\))

Giải

Chọn D

Xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: 6 6 7,3 7,5 8 8,5 8,7 9 9

- Trung vị của dãy số trên là \({Q_2} = 8\).

- Trung vị của dãy 6 6 7,3 7,5 là \({Q_1} = \frac{{6 + 7,3}}{2} = 6,65\).

- Trung vị của dãy 8,5 8,7 9 9 là \({Q_3} = \frac{{8,7 + 9}}{2} = 8,85\).

Câu 12:      Gieo lần lượt hai con súc sắc. Tính xác suất để tổng số chấm trên hai mặt bằng hoặc lớn hơn 8?

A. \(\frac{{11}}{{36}}\)   

B.\(\frac{1}{6}\)           

C. \(\frac{5}{{18}}\)                                       

D.\(\frac{5}{{12}}\)

Phương pháp

Áp dụng công thức tính xác suất

Giải

Chọn D

\(n\left( \Omega  \right) = 36\)

Gọi A là biến cố “ tổng số chấm trên hai mặt bằng hoặc lớn hơn 8”.

\(A = \left\{ {\left\{ {2;6} \right\};\left\{ {3;5} \right\};\left\{ {3;6} \right\};\left\{ {4;4} \right\};\left\{ {4;5} \right\};\left\{ {4;6} \right\};\left\{ {5;3} \right\};\left\{ {5;4} \right\};\left\{ {5;5} \right\};\left\{ {5;6} \right\};\left\{ {6;2} \right\};\left\{ {6;3} \right\};\left\{ {6;4} \right\};\left\{ {6;5} \right\};\left\{ {6;6} \right\}} \right\}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow n\left( A \right) = 15\\ \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{15}}{{36}} = \frac{5}{{12}}.\end{array}\)

Câu 13:      Gieo một đồng xu hai lần liên tiếp, ta có không gian mẫu là:

A. \(\left\{ {S;N} \right\}\).

B. \(\left\{ {SS;NN} \right\}\).                                 

C. \(\left\{ {SS;SN;NS;NN} \right\}\).                       

D. \(\left\{ {S;N;SN} \right\}\).

Phương pháp

Áp dụng quy tắc đếm

Giải

Chọn C

Gieo một đồng xu hai lần liên tiếp, ta có không gian mẫu là:

\(\left\{ {SS;SN;NS;NN} \right\}\)

Câu 14:      Xác xuất của biến cố A trong trò chơi tung một đồng xu hai lần liên tiếp được tính bằng công thức nào sau đây?

A. \(\frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}}\).                               

B. \(\frac{{n\left( \Omega  \right)}}{{n\left( A \right)}}\).                               

C. \(\frac{A}{\Omega }\).  

D. \(\frac{\Omega }{A}\).

Phương pháp

Áp dụng công thức tính xác suất

Giải

Chọn A

Xác xuất của biến cố A trong trò chơi tung một đồng xu hai lần liên tiếp được tính bằng công thức :\(\frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}}\)

Câu 15:      Gieo một xúc xắc hai lần liên tiếp. Xác suất của biến cố “ lần thứ nhất xuất hiện mặt 6 chấm” là:

A. \(\frac{1}{2}.\)             

B. \(\frac{1}{{36}}.\)      

C. \(\frac{1}{6}.\)           

D. \(\frac{1}{4}.\)

Phương pháp

Áp dụng công thức tính xác suất

Giải

Chọn C

Gieo một xúc xắc hai lần liên tiếp. Xác suất của biến cố “ lần thứ nhất xuất hiện mặt 6 chấm” là: \(\frac{1}{6}.\)

Câu 16:      Xét một phép thử có không gian mẫu  và  là một biến cố của phép thử đó. Phát biểu nào dưới đây là sai?

A. Xác suất của biến cố A là số \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( P \right)}}.\)

B. \(0 \le P\left( A \right) \le 1.\)

C. \(P\left( A \right) = 0\) khi và chỉ khi  là chắc chắn.

D. \(P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right)\).

Phương pháp

Áp dụng công thức tính xác suất

Giải

Chọn C: \(P\left( A \right) = 0\) khi và chỉ khi  là chắc chắn.

Câu 17:      Số phần tử không gian mẫu của phép thử gieo đồng thời 1 con xúc xắc và 1 đồng xu là

A. 2.                                B. 12.                            C. 8.                              D. 36.

Phương pháp

Áp dụng quy tăc nhân

Giải

Chọn B

Số phần tử không gian mẫu của phép thử gieo đồng thời 1 con xúc xắc và 1 đồng xu là: 2.6=12

Câu 18:      Có 4 viên bi đỏ và 3 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 3 viên. Tính xác suất trong 3 viên có 2 viên màu đỏ.

A. \(\frac{6}{{35}}.\)         

B. \(\frac{{18}}{{35}}.\)  

C. \(\frac{9}{{35}}.\)      

D. \(\frac{8}{{35}}.\)

Phương pháp

Áp dụng công thức tính xác suất

Giải

Chọn B

\(n\left( \Omega  \right) = C_7^3 = 35\)

Gọi A là biến cố “ có 2 viên màu đỏ”

\(n\left( A \right) = C_4^2.C_3^1 = 18\)

\(p\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{18}}{{35}}.\)

Câu 19:      Trong mặt phẳng Oxy, cho vecto \(\vec a =  - 3\vec i + \vec j\). Tọa độ của \(\vec a\) là:

A. \(\left( {3;1} \right)\).   

B. \(\left( {1;3} \right)\).   

C. \(\left( {3; - 1} \right)\).

D. \(\left( { - 3;1.} \right)\)

Phương pháp

Trong mặt phẳng Oxy, tọa độ của \(\vec a\) là: \(\vec a = a\vec i + b\vec j = (a,b)\)

Giải

Chọn D

Trong mặt phẳng Oxy, cho vecto \(\vec a =  - 3\vec i + \vec j\). Tọa độ của \(\vec a\) là:\(\left( { - 3;1.} \right)\)

Câu 20:      Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm \(A\left( {2; - 3} \right),B\left( {4;7} \right)\). Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là:

A. \(\left( {3;2} \right).\)   

B. \(\left( { - 1; - 5} \right).\)                                   

C. \(\left( {1;5} \right)\).   

D. \(\left( {2;3} \right).\)

Phương pháp

Tọa độ trung điểm của AB : \(I = \left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}} \right)\) với \(A({x_A};{y_A});B({x_B};{y_B})\)

Giải

Chọn D

Tọa độ trung điểm của AB: \(I = \left( {\frac{{2 + 4}}{2};\frac{{ - 3 + 7}}{2}} \right) = \left( {3;2} \right)\).

Câu 21:      Cho tam giác ABC có \(A\left( {2;6} \right),B\left( { - 2;2} \right),C\left( {8;0} \right)\). Tam giác ABC là:

A. Tam giác đều                                                  

B. Tam giác cân tại \(A\)

C. Tam giác vuông tại\(A\)                                  

D. Tam giác vuông cân tại \(A\)

Phương pháp

Với \(A({x_A};{y_A});B({x_B};{y_B})\) thì \(\overrightarrow {AB}  = \left( {({x_B} - {x_A});({y_B} - {y_A})} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} \)

Giải

Chọn C

\(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 4; - 4} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}}  = 4\sqrt 2 \)

\(\overrightarrow {AC}  = \left( {6; - 6} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{6^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}}  = 6\sqrt 2 \)

\(\overrightarrow {BC}  = \left( {10; - 2} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{{10}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}}  = 2\sqrt {26} \)

Ta có \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  =  - 4.6 + \left( { - 4} \right).\left( { - 6} \right) = 0 \Rightarrow AB \bot AC\)

Vậy \(\Delta ABC\) vuông tại \(A.\)

Câu 22:      Trong mặt phẳng \(Oxy,\) cho đường thẳng \(d:\,\,3x - 2y + 5 = 0.\) Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của \(d\,?\)

A. \(\vec n = \left( {3;\,2} \right).\)                         

B. \(\vec n = \left( {3;\, - 2} \right).\)                       

C. \(\vec n = \left( {2;\,3} \right).\)                         

D. \(\vec n = \left( { - 2;\,3} \right).\)

Phương pháp

Phương trình đường thẳng \(d:ax + by + c = 0\)có VTPT là \(\overrightarrow n  = (a;b).\)

Giải

Chọn B

Phương trình đường thẳng \(d:\,\,3x - 2y + 5 = 0.\)có VTPT là \(\vec n = \left( {3;\, - 2} \right).\)

Câu 23:      Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm  và .

A. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 + t\end{array} \right.\)                 

B.\(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 - 2t\\y = 3 - t\end{array} \right.\)                 

C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y =  - 1 + t\end{array} \right.\)              

D. \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 - 2t\\y = 3 + t\end{array} \right.\)  

Phương pháp

Phương trình đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\end{array} \right.\) có VTCP là \(\overrightarrow u  = (a;b).\) đi qua điểm \(A({x_0},{y_0})\)

Giải

Chọn D

\(\overrightarrow {AB}  = \left( {4; - 2} \right)\)=> một vtcp của đường thẳng AB là \(\left( { - 2;1} \right)\)

Đường thẳng AB đi qua A và có vtcp \(\left( {2; - 1} \right)\) nên có ptts: .

Câu 24:      Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng  \({d_1}:x - 2y + 1 = 0\)và \({d_2}: - 3x + 6y - 10 = 0\).

A. Song song.                                                      

B. Trùng nhau.

C. Vuông góc với nhau.                                      

D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.

Phương pháp

Sử dụng công thức vị trí tương đối của hai đường thẳng.

Giải

Chọn A

Hai đường thẳng trên có vtpt lần lượt là \({\vec n_1}\left( {1; - 2} \right),{\vec n_2}\left( { - 3;6} \right)\)

Ta có \({\vec n_2} =  - 3{\vec n_1}\) và \(1 \ne  - 10\) nên hai đường thẳng đã cho song song với nhau.

Câu 25:      Cho đường thẳng  và . Tính cosin của góc tạo bởi hai đường thẳng đã cho.

A. \(\frac{{3\sqrt {10} }}{{10}}\)                             

B. \(\frac{3}{5}\)            

C. \(\frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\)

D. \(\frac{3}{{10}}\)

Phương pháp

Áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng có:  \(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}\).

Giải

Chọn A

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {{n_1}} \left( {10;5} \right)\\\overrightarrow {{u_2}} \left( {1; - 1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_2}} \left( {1;1} \right)\end{array}\)

\(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {10.1 + 5.1} \right|}}{{\sqrt {{{10}^2} + {5^2}} \sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}}\).

Câu 26:         Tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn   \( (C):{(x - 1)^2} + {(y + 3)^2} = 16 \)là:

A. I( - 1;3),R = 4                                               

B. I(1; -3),R = 4

C. I(1; -3),R = 16          

D. I(- 1;3),R = 16

Phương pháp

Phương trình đường tròn (O) có tâm I(a,b) và bán kính R là : \( {(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2} \)

Giải

Chọn B

 

Tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn\( (C):{(x - 1)^2} + {(y + 3)^2} = 16 \) là:\( I(1; - 3),R = 4 \)

Câu 27:      Đường tròn  có tâm  và bán kính  lần lượt là:

A. \(I(3; - 1),R = 4\)                                                

B.\(I( - 3;1),R = 4\)

C. \(I(3; - 1),R = 2\)           

D. \(I( - 3;1),R = 2\)

Phương pháp

Phương trình đường tròn có dạng \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\,\,\left( {{a^2} + {b^2} - c > 0} \right)\). và  tọa độ tâm     \(I(a,b)\), bán kính \(\,R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} \)

Giải

Chọn C

\(I\left( {\frac{{ - 6}}{{ - 2}};\frac{2}{{ - 2}}} \right) = \left( {3; - 1} \right);\,R = \sqrt {{3^2} + {1^2} - 6}  = 2\).

Câu 28:      Đường tròn đường kính  với  có phương trình là:

A. \({\left( {x - 2} \right)^2} + {(y - 3)^2} = 5\)          

B. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {(y + 2)^2} = 17\)

C. \({\left( {x - 2} \right)^2} + {(y + 3)^2} = \sqrt 5 \) 

D. \({\left( {x - 2} \right)^2} + {(y + 3)^2} = 5\)

Phương pháp

Phương trình đường tròn (O) có tâm I(a,b) và bán kính R là : \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\)

Giải

Chọn D

Tâm I của đường tròn chính là trung điểm của AB

\(\begin{array}{l}I\left( {\frac{{3 + 1}}{2};\frac{{ - 1 - 5}}{2}} \right) = \left( {2; - 3} \right)\\AB = \sqrt {{{\left( {3 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1 + 5} \right)}^2}}  = 2\sqrt 5  \Rightarrow R = \frac{{AB}}{2} = \sqrt 5 \end{array}\)

Phương trình đường tròn:

Câu 29:          Elip có độ dài trục lớn là 10 và có một tiêu điểm . Phương trình chính tắc của elip là:

A. \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\)       

B. \(\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\) 

C. \(\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{81}} = 1\) 

D. \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\)

Phương pháp

Phương trình Elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

Giải

Chọn D

Độ dài trục lớn 2a=10 => a = 5.

\(c = 3 \Rightarrow {b^2} = {a^2} - {c^2} = {5^2} - {3^2} = 16\)

Phương trình chính tắc của elip:

Câu 30:      Hyperbol trong hệ trục tọa độ Oxy nào dưới đây có phương trình chính tắc dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {a > 0,b > 0} \right)\)?

 

 

 Phương pháp

Dựa vào dáng điệu của hypebol \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

Giải

Chọn B.

Hai tiêu điểm thuộc trục hoành và nhận O làm trung điểm.

Câu 31:      Parabol (P) có phương trình đường chuẩn là \(x + \frac{1}{4} = 0\). Phương trình chính tắc của (P) là:

A. \({y^2} = \frac{1}{2}x.\)

B. \({y^2} = 2x\).           

C. \({y^2} = x.\)             

D. \({y^2} = 4x.\)

Phương pháp

Phương trình parabol: \({y^2} = 2px\).

Giải

Chọn C.

Phương trình đường chuẩn là \(x + \frac{1}{4} = 0 \Rightarrow p = \frac{1}{2}\).

Phương trình parabol: \({y^2} = 2px = 2.\frac{1}{2}x = x\).

Câu 32:      Hệ số lớn nhất trong khai triển biểu thức \({\left( {x + 1} \right)^5}\)là:

A. 10.                              B. 5.                              C. 6.                              D. 4.

Phương pháp

Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton

Lời giải

Chọn A

Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của \({\left( {x + 1} \right)^5} = {x^5} + 5{x^4} + 10{x^3} + 10{x^2} + 5x + 1\) có \(4 + 1 = 5\)

Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển biểu thức \({\left( {x + 1} \right)^5}\)là: 10

Biểu đồ ở hình 1 biểu diễn nhiệt độ không khí tại Hà Nội giai đoạn 2014 – 2019. Sử dụng mẫu số liệu từ biểu đồ này để hoàn thành các câu 34, 34, 35.

 

Câu 33:      Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là:

A. 1.                                B. 1,3.                           C. 50,5.                         D. 0,65.

Phương pháp

Trong một mẫu số liệu, khoảng biến thiên là hiệu số giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu đó.

Ta có thể tính khoảng bến thiên R của mẫu số liệu theo công thức \(R = {x_{\max }} - {x_{\min }}\), trong đó \({x_{\max }}\) là giá trị lớn nhất, \({x_{\min }}\)là giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu đó.

Giải

Chọn B.

Khoảng biến thiên: 25,9 -24,6 = 1,3.

Câu 34:      Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là:

A. 0,2.                             B. 0,15.                         C. 25,15.                       D. 0,05.

Phương pháp

Giả sử \({Q_1},{Q_2},{Q_3}\) là tứ phân vị của mẫu số liệu.

Sắp thứ tự mẫu số liệu gồm n số liệu thành một dãy không giảm.

Tứ phân vị của mẫu số liệu trên là bộ ba giá trị : Tứ phân vị thứ nhất, Tứ phân vị thứ hai và Tứ phân vị thứ ba; ba giá trị này chia mẫu số liệu thành bốn phần có số lượng phần tử bằng nhau.

-        Tứ phân vị thứ hai \({Q_2}\) bằng trung vị.

-        Nết n chẵn thì tứ phân vị thứ nhất \({Q_2}\) bằng trung vị của nửa dãy phía dưới, và tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) bằng trung vị của nửa dãy phía trên.

-        Nếu n là số lẻ thì tứ phân vị thứ nhất \({Q_2}\) bằng trung vị của nửa dãy phía dưới (không bào gồm \({Q_2}\)) và tứ phân vị thứ ba \({Q_2}\) bằng trung vị của nửa dãy phía trên ( không bao gồm \({Q_2}\))

Ta gọi hiệu \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1}\) là khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu đó.

Giải

Chọn A.

Xếp dãy số liệu theo thứ tự không giảm: 24,6 25,1 25,1 25,2 25,3 25,9

\({Q_2} = \frac{{25,1 + 25,2}}{2} = 25,15;{Q_1} = 25,1;{Q_3} = 25,3\)

Khoảng tứ phân vị \({Q_3} - {Q_1} = 0,2\).

Câu 35:      Phương sai của mẫu số liệu gần nhất với số nào sau đây:

A. 0,1.                             B. 0,15.                         C. 0,147.                       D. 1.

Phương pháp

Cho mẫu số liêu thống kê có n giá trị \({x_1},{x_2},...,{x_n}\) và số trung bình cộng \(\overline x \).

Ta gọi số \({s^2} = \frac{{{{({x_1} - \overline x )}^2} + {{({x_2} - \overline x )}^2} + ... + {{({x_n} - \overline x )}^2}}}{n}\) là phương sai của mẫu số liệu

Giải

Chọn C.

Trung bình cộng \(\overline X  = \frac{{24,6 + 25,1.2 + 25,2 + 25,3 + 25,9}}{6} = 25,2\)

Phương sai: \(\begin{array}{l}\frac{{{{\left( {24,6 - 25,2} \right)}^2} + {{\left( {25,1 - 25,2} \right)}^2}.2 + {{\left( {25,2 - 25,2} \right)}^2} + {{\left( {25,3 - 25,2} \right)}^2} + {{\left( {25,9 - 25,2} \right)}^2}}}{6}\\ = 0,14666667\end{array}\)

PHẦN II: TỰ LUẬN

Câu 36:      a) (1.0 điểm) Giả sử hệ số của x trong khai triển biểu thức \({\left( {ax + \frac{1}{x}} \right)^5}\) bằng 270. Tìm giá trị của a.

b) (0.5 điểm) Tìm số đường chéo của 1 đa giác lồi có 10 cạnh.

                                                                        Phương pháp

a) Sử dụng khai triển nhị thức Newton

b) Sử dụng công thức tổ hợp

Giải

a) \(\begin{array}{l}{\left( {ax + \frac{1}{x}} \right)^5} = {\left( {ax} \right)^5} + 5{\left( {ax} \right)^4}.\frac{1}{x} + 10{\left( {ax} \right)^3}.\frac{1}{{{x^2}}} + 10{\left( {ax} \right)^2}.\frac{1}{{{x^3}}} + 5ax.\frac{1}{{{x^4}}} + \frac{1}{{{x^5}}}\\ = {a^5}{x^5} + 5{a^4}{x^3} + 10{a^3}x + \frac{{10{a^2}}}{x} + \frac{{5a}}{{{x^3}}} + \frac{1}{{{x^5}}}\end{array}\)

Theo đề ta có \(10{a^3} = 270 \Rightarrow {a^3} = 27 \Rightarrow a = 3\).

b) Cứ hai đỉnh của đa giác tạo thành 1 cạnh hoặc 1 đường chéo.

Tổng số đường chéo và cạnh: \(C_{10}^2\)

Số đường chéo: \(C_{10}^2\)-10=35.

Câu 37:      a) (1.0 điểm ) Cho tam giác ABC có phương trình các đường thẳng \(AB:2x - 3y - 1 = 0;\)

\(BC:x + 3y + 7 = 0;\) \(CA:5x - 2y + 1 = 0\). Viết phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ     \(B\)

b)  (0.5 điểm) Cho tam giác ABC với \(A\left( { - 1;0} \right),B\left( {2;3} \right),C\left( {3; - 6} \right)\) và đường thẳng \(d:x - 2y - 3 = 0\). Tìm điểm M trên d sao cho \(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right|\) nhỏ nhất.

Phương pháp

Phương trình đường thẳng \(d:ax + by + c = 0\)có VTPT là \(\overrightarrow n  = (a;b).\)

Giải

a) Đỉnh B là giao điểm của hai đường thẳng AB và BC nên tọa độ đỉnh B là nghiệm của hpt \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 1\\x + 3y =  - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\y = \frac{{ - 5}}{3}\end{array} \right.\) =>\(B\left( { - 2; - \frac{3}{5}} \right)\).

Gọi d là đường cao kẻ từ \(B.\) Vì d vuông góc với AC nên d có dạng \(2x + 5y + c = 0\).

Mà \(B \in d \Leftrightarrow 2\left( { - 2} \right) + 5\left( {\frac{{ - 3}}{5}} \right) + c = 0 \Leftrightarrow c = 7\).

Vậy d: \(2x + 5y + 7 = 0.\)

b) Gọi \(M\left( {2y + 3;y} \right)\)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {MA}  = \left( { - 4 - 2y; - y} \right),\overrightarrow {MB}  = \left( { - 1 - 2y;3 - y} \right),\overrightarrow {MC}  = \left( { - 2y; - 6 - y} \right)\\ \Rightarrow \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = \left( {4 - 3x; - 3 - 3y} \right)\\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 5 - 6y} \right)}^2} + \left( { - 3 - 3y} \right)}  = \sqrt {45{y^2} + 78y + 34} \end{array}\)

Xét parabol \(\left( P \right):y = 45{x^2} + 78x + 34\) có hệ số a = 45 >0 và đỉnh \(I\left( {\frac{{ - 78}}{{90}};\frac{{ - 13}}{{15}}} \right)\)

Do đó, \(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right|\) nhỏ nhất đạt GTNN là \(\frac{{ - 13}}{{15}}\) khi \(y = \frac{{ - 78}}{{90}}\).

Vậy \(M\left( {\frac{{19}}{{15}};\frac{{ - 78}}{{90}}} \right)\).    

Đề bài

                 PHẦN TRẮC NGHIỆM (7,0 điểm)

Câu 1.     Từ thành phố \(A\) tới thành phố \(B\) có \(4\) con đường, từ thành phố \(B\) tới thành phố \(C\) có \(6\) con đường. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ \(A\) tới \(C\) qua \(B\)?

A. \(24\).                          B. \(7\).                          C. \(6\).                         D. \(12\).

Câu 2.     Tính số chỉnh hợp chập \(3\) của \(5\) phần tử.

A. \(10\).                          B. \(720\).                      C. \(60\).                        D. \(6\).

Câu 3.     Một tổ có \(7\) học sịnh nam và \(11\) học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn \(7\) học sinh đi lao động, trong đó có đúng \(3\) học sinh nam?

A. \(C_7^3 + C_{11}^4\).   B. \(C_7^3C_{15}^4\).     C. \(A_7^3A_{11}^4\).     D. \(C_7^3C_{11}^4\).

Câu 4.     Số hạng tổng quát trong khai triển của \({\left( {3 - 5x} \right)^{16}}\) là:

A. \({\left( { - 3} \right)^k}C_{16}^k5{x^k}\).             

B. \({\left( { - 3} \right)^k}C_{16}^k{5^k}{x^k}\).       

C. \({\left( { - 3} \right)^{16 - k}}C_{16}^k{5^k}{x^k}\).                                   

D. \(C_{16}^k{5^k}{x^{16 - k}}\).

Câu 5.     Cho khai triển \({\left( {1 - 2x} \right)^{30}} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} +  \cdots  + {a_{30}}{x^{30}}\). Giá trị của \({a_0} + {a_1} + {a_2} +  \cdots  + {a_{30}}\) bằng:

A. \(1\).                            B. \({3^{30}}\).               C. \(0\).                         D. \( - 1\).

Câu 6.     Tìm số hạng không chứa \(x\) trong khai triển nhị thức Newton \({\left( {x - \frac{4}{{{x^2}}}} \right)^{27}}\), \(\left( {x \ne 0,\,\,n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).

A. \({4^9}C_{27}^9\).       

B. \({4^{18}}C_{27}^{18}\).                                     

C. \( - {4^{18}}C_{27}^{18}\).                                  

D. \( - {4^9}C_{27}^9\).

Câu 7.     Từ các chữ số \(0\), \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(6\), \(7\), \(8\), \(9\) có thể lập được bao nhiêu số gồm \(4\) chữ số khác nhau và không chia hết cho \(5\)?

A. \(4088\).                      B. \(4032\).                    C. \(3584\).                    D. \(952\).

Câu 8.     Tính số cách xếp \(9\) quyển sách Toán, \(8\) quyển sách Lý và \(7\) quyển sách Hóa lên một giá sách theo từng môn.

A. \(9!.8!.7!\).                   B. \(9! + 8! + 7!\).           C. \(9!.8!.7!.3!\).            D. \(9.8.7\).

Câu 9.     Cho một đa giác đều có \(24\) đỉnh nội tiếp trong một đường tròn tâm \(O\). Gọi \(X\) là tập các tam giác có các đỉnh là các đỉnh của đa giá trên. Tính xác suất để chọn được một tam giác từ tập \(X\) là tam giác cân nhưng không phải là tam giác đều.

A. \(\frac{{32}}{{253}}\).   

B. \(\frac{3}{{23}}\).         

C. \(\frac{{221}}{{253}}\). 

D. \(\frac{1}{{253}}\).

Câu 10.   Kết quả đo chiều dài của một cây cầu được ghi là \(154m \pm 0,4m\). Tìm sai số tương đối của phép         đo chiều dài cây cầu.

A. \({\delta _a} < 0,25974\% \).                              

B. \({\delta _a} < 1,25974\% \).                              

C. \({\delta _a} = 0,25974\% \).                              

D. \({\delta _a} > 0,25974\% \).

Câu 11.   Giá của một số loại giày (đơn vị nghìn đồng) như sau:

 

Mốt của mẫu số liệu trên là

A. \(400\).                        B. \(500\).                      C. \(300\).                      D. \(600\).

Câu 12.   Cho mẫu số liệu gồm \(20\) số dương không hoàn toàn giống nhau. Khoảng tứ phân vị sẽ thay đổi như thế nào nếu nhân mỗi giá trị của mẫu số liệu với \(2\)

A. Giảm \(2\) lần.           B. Tăng \(2\) lần.          C. Giữ nguyên.             D. Tăng \(4\) lần.

Câu 13.   Từ mẫu số liệu về thuế thuốc lá của \(69\) thành phố tại một quốc gia, người ta tính được: Giá trị nhỏ nhất bằng \(2,5\); \({Q_1} = 36\); \({Q_2} = 60\); \({Q_3} = 100\); giá trị lớn nhất bằng \(205\). Hỏi tỷ lệ thành phố có thuế thuốc lá lớn hơn \(36\) là bao nhiêu?

A. \(\frac{{35}}{{69}}\).      B. \(\frac{{34}}{{69}}\).   C. \(\frac{{17}}{{69}}\).   D. \(\frac{{52}}{{69}}\).

Câu 14.   Nhiệt độ của thành phố Hà Nội đo trong \(30\) ngày có nhiệt độ lớn nhất là \(35^\circ {\rm{C}}\), nhỏ nhất là \(27^\circ {\rm{C}}\); \({Q_1} = 30\); \({Q_3} = 33\). Hỏi trong \(30\) ngày có bao nhiêu ngày nhiệt độ nhỏ hơn \(33^\circ {\rm{C}}\)?

A. \(8\).                            B. \(22\).                        C. \(7\).                         D. \(14\).

Câu 15.   Thời gian chạy của một học sinh chạy \(100\,m\) được ghi lại trong \(6\) lần là

 

Tìm số trung bình của mẫu số liệu trên

A. \(15,22\).                     B. \(10,87\).                   C. \(12,68\).                   D. \(13,84\).

Câu 16.   Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất, xác suất để mặt có số chấm lẻ xuất hiện là

A. \(1\).                            B. \(\frac{1}{2}\).            C. \(\frac{1}{3}\).            D. \(\frac{2}{3}\).

Câu 17.   Gieo hai con súc sắc cân đối, đồng chất. Xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai mặt của hai con súc sắc bằng \(6\) là

A. \(\frac{{31}}{{36}}\).      B. \(\frac{1}{6}\).            C. \(\frac{5}{{36}}\).       D. \(\frac{5}{6}\).

Câu 18.   Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để xuất hiện mặt có số chấm không chia hết cho \(3\).

A. \(1\).                            B. \(\frac{2}{3}\).            C. \(3\).                         D. \(\frac{1}{3}\).

Câu 19.   Trong trò chơi “Chiếc nón kỳ diệu” chiếc kim của bánh xe có thể dừng lại ở một trong \(9\) vị trí với khả năng như nhau. Tính xác suất để trong ba lần quay, chiếc kim của bánh xe đó lần lượt dừng lại ở ba vị trí khác nhau.

A. \(\frac{{28}}{{243}}\).    B. \(\frac{{56}}{{81}}\).   C. \(\frac{8}{{243}}\).      D. \(\frac{8}{{81}}\).

Câu 20.   Lấy ngẫu nhiên hai viên bi từ một thùng gồm \(7\) bi xanh, \(8\) bi đỏ và \(9\) bi vàng. Tính xác suất để lấy được hai viên bi khác màu?

A. \(76,45\% \).                B. \(23,54\% \).              C. \(30,8\% \).                D. \(69,2\% \).

Câu 21.  Lớp \(11B\) có \(30\) đoàn viên trong đó có \(19\) nam. Chọn ngẫu nhiên \(3\) đoàn viên trong lớp để tham dự hội trại ngày \(26\) tháng \(3\). Tính xác suất để \(3\) đoàn viên được chọn có \(2\) nữ và \(1\) nam.

A. \(\frac{{1881}}{{4060}}\).                                   

B. \(\frac{{603}}{{812}}\). 

C. \(\frac{{209}}{{812}}\). 

D. \(\frac{{2179}}{{4060}}\).

Câu 22.   Một cái hộp chứa \(9\) viên bi đỏ và \(8\) viên bi xanh. Lấy lần lượt \(2\) viên bi từ cái hộp đó. Tính xác suất để viên bi được lấy lần thứ \(2\) là bi xanh.

A. \(\frac{8}{{17}}\).         

B. \(\frac{{25}}{{68}}\).     

C. \(\frac{{25}}{{34}}\).     

D. \(\frac{9}{{17}}\).

Câu 23.   Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho \(A\left( {2\,;\,5} \right)\); \(B\left( {3\,;\,7} \right)\). Tìm tọa độ của véctơ \(\overrightarrow {AB} \).

A. \(\left( { - 1\,;\, - 2} \right)\).                              

B. \(\left( {1\,;\,2} \right)\).                                    

C. \(\left( {5\,;\,12} \right)\).                                  

D. \(\left( {2\,;\,1} \right)\).

Câu 24.   Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho \(\vec a = \left( {2\,;\,6} \right)\); \(\vec b = \left( { - 1\,;\,3} \right)\). Tọa độ vectơ \(4\overrightarrow a  - 3\overrightarrow b \) là:

A. \(\left( { - 11\,;\,15} \right)\).                              

B. \(\left( {15\,;\, - 11} \right)\).                              

C. \(\left( {15\,;\,11} \right)\).                                

D. \(\left( {11\,;\,15} \right)\).

Câu 25.   Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A\left( {5\,;\,4} \right)\);\(B\left( { - 2\,;\,7} \right)\). Xác định tọa độ điểm \(E\) trên đoạn \(AB\) sao cho \(AE = 3EB\).

A. \(E\left( { - \frac{1}{4}\,;\,\frac{{25}}{4}} \right)\).

B. \(E\left( { - \frac{1}{4}\,;\, - \frac{{25}}{4}} \right)\).                                   

C. \(E\left( {\frac{1}{4}\,;\,\frac{{25}}{4}} \right)\).   

D. \(E\left( {\frac{1}{4}\,;\, - \frac{{25}}{4}} \right)\).

Câu 26.   Cho đường thẳng \(d:3x + 5y - 7 = 0\). Véc tơ nào sau đây là véctơ chỉ phương của \(d\)?

A. \(\overrightarrow u  = \left( {3\,;\, - 5} \right)\).  

B. \(\overrightarrow u  = \left( {5\,;\,3} \right)\).     

C. \(\overrightarrow u  = \left( {5\,;\, - 3} \right)\).  

D. \(\overrightarrow u  = \left( {3\,;\,5} \right)\).

Câu 27.   Trong hệ tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {3\,;\,6} \right)\); \(B\left( { - 1\,;\,5} \right)\); \(C\left( {3\,;\,3} \right)\). Phương trình đường trung tuyến kẻ từ đỉnh \(A\) của tam giác \(ABC\) là:

A. \(x - y + 3 = 0\).             B. \(x + y - 9 = 0\).          C. \(x + 2y - 15 = 0\).       D. \(x - 2y = 0\).

Câu 28.   Tìm các giá trị thực của tham số \(m\) để đường thẳng \(y = \left( {{m^2} - 6} \right)x + 2m + 5\) song song với đường thẳng \(y = 3x - 1\).

A. \(m =  \pm 3\).             B. \(m =  \pm 2\).           C. \(m =  - 3\).                D. \(m = 3\).

Câu 29.   Trong mặt phẳng tọa độ \({\rm{Ox}}y\), gọi \(d\) là đường thẳng đi qua \(M\left( {3\,;\,4} \right)\) và cách điểm \(A\left( {2\,;\,5} \right)\) một khoảng bằng \(\frac{{3\sqrt 5 }}{5}\). Biết rằng phương trình đường thẳng \(d\) có dạng \(x + by + c = 0\) với \(b\); \(c\) là hai số nguyên. Tính \(b + c\).

A. \(7\).                            B. \( - 3\).                       C. \(3\).                         D. \(7\).

Câu 30.   Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({x^2} + {y^2} + 2\left( {m - 3} \right)x + 6my + 9m + 19 = 0\) là phương trình đường tròn.

A. \( - \frac{1}{2} < m < 2\).                                                                          

B. \(m <  - 2\) hoặc \(m > \frac{1}{2}\).

C. \(m < \frac{1}{2}\) hoặc \(m > 2\).                                                           

D. \(m <  - \frac{1}{2}\) hoặc \(m > 2\).

Câu 31.   Trong mặt phẳng \(Oxy\), đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 6x + 2y - 26 = 0\) có tâm là

A. \(I\left( { - 3\,;\, - 1} \right)\).                              

B. \(I\left( {3\,;\,1} \right)\).                                   

C. \(I\left( {2\,;\,6} \right)\).                                   

D. \(I\left( { - 2\,;\, - 6} \right)\).

Câu 32.   Trên mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho các điểm \(A\left( {8\,;\,0} \right)\) và \(B\left( {0\,;\,6} \right)\). Đường tròn nội tiếp tam giác \(OAB\) có phương trình

A. \({\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 16\).                           

B. \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 9\).

C. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1\).                                                                    

D. \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\).

Câu 33.   Cặp điểm nào là các tiêu điểm của elip \(\left( E \right)\): \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{5} = 1\)?

A. \({F_1} = \left( {0\,;\,2} \right)\); \({F_2} = \left( {0\,;\, - 2} \right)\).           

B. \({F_1} = \left( {2\,;\,0} \right)\); \({F_2} = \left( { - 2\,;\,0} \right)\).

C. \({F_1} = \left( {3\,;\,0} \right)\); \({F_2} = \left( { - 3\,;\,0} \right)\).           

D. \({F_1} = \left( {0\,;\,3} \right)\); \({F_2} = \left( {0\,;\, - 3} \right)\).

Câu 34.  Ông Hoàng có một mảnh vườn hình elip có chiều dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là \(80\,m\) và \(40\,m\). Ông chia thành hai nửa bằng một đường tròn tiếp xúc trong với elip để làm mục đích sử dụng khác nhau. Nửa bên trong đường tròn ông trồng cây lâu năm, nửa bên ngoài đường tròn ông trồng hoa màu. Tính tỷ số diện tích \(T\) giữa phần trồng cây lâu năm so với diện tích trồng hoa màu. Biết diện tích elip được tính theo công thức \(S = \pi ab\) trong đó \(a\); \(b\) lần lượt là độ dài nửa trục lớn và nửa trục bé của elip, biết độ rộng của đường elip không đáng kể.

 

A. \(T = \frac{2}{3}\).        B. \(T = 1\).                    C. \(T = \frac{1}{3}\).      D. \(T = \frac{3}{2}\).

Câu 35.   Cho elip . Tìm toạ độ điểm \(M \in \left( E \right)\) sao cho M  nhìn \({F_1}{F_2}\) dưới một góc vuông:

A. \(M\left( {\sqrt 6 \,;\,\frac{{\sqrt {30} }}{2}} \right)\); \(M\left( { - \sqrt 6 \,;\,\frac{{\sqrt {30} }}{2}} \right)\); \(M\left( {\sqrt 6 \,;\, - \frac{{\sqrt {30} }}{2}} \right)\); \(M\left( { - \sqrt 6 \,;\, - \frac{{\sqrt {30} }}{2}} \right)\).

B. \(M\left( {\sqrt 3 \,;\,\frac{{\sqrt {33} }}{2}} \right)\); \(M\left( { - \sqrt 3 \,;\,\frac{{\sqrt {33} }}{2}} \right)\); \(M\left( {\sqrt 3 \,;\, - \frac{{\sqrt {33} }}{2}} \right)\); \(M\left( { - \sqrt 3 \,;\, - \frac{{\sqrt {33} }}{2}} \right)\).

C. \(M\left( {2\sqrt 3 \,;\,\sqrt 6 } \right)\); \(M\left( { - 2\sqrt 3 \,;\,\sqrt 6 } \right)\); \(M\left( {2\sqrt 3 \,;\, - \sqrt 6 } \right)\); \(M\left( { - 2\sqrt 3 \,;\, - \sqrt 6 } \right)\).

D. \(M\left( {2\sqrt 6 \,;\,\sqrt 3 } \right)\); \(M\left( { - 2\sqrt 6 \,;\,\sqrt 3 } \right)\); \(M\left( {2\sqrt 6 \,;\, - \sqrt 3 } \right)\); \(M\left( { - 2\sqrt 6 \,;\, - \sqrt 3 } \right)\).

PHẦN TỰ LUẬN (3,0 điểm)

Bài 1.       (1,0 điểm) Từ \(2\) chữ số \(1\) và \(9\) lập được bao nhiêu số tự nhiên có \(9\) chữ số sao cho không có \(2\) chữ số \(1\) đứng cạnh nhau?

Bài 2.       (0,5 điểm) Cho đa giác đều \(2023\) đỉnh. Hỏi có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác và có một góc lớn hơn \(120^\circ \)?

Bài 3.       (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho ba điểm \(A\left( {2\,;\,5} \right)\); \(B\left( {4\,;\,1} \right)\); \(C\left( { - 3\,;\,3} \right)\). Tìm tọa độ điểm \(M\) trên đường thẳng \(d:2x - 3y + 20 = 0\) sao cho \(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right|\) nhỏ nhất.

Bài 4.       (0,5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A\left( {5\,;\,2} \right)\); \(B\left( {1\,;\,9} \right)\) và điểm \(M\) thay đổi thuộc đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x - 4y + 1 = 0\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = MA + 2MB\).

Lời giải

 

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

THỰC HIỆN: BAN CHYÊN MÔN trithuchub.com

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (35 câu - 7,0 điểm).

Câu 1.     Từ thành phố \(A\) tới thành phố \(B\) có \(4\) con đường, từ thành phố \(B\) tới thành phố \(C\) có \(6\) con đường. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ \(A\) tới \(C\) qua \(B\)?

A. \(24\).                          B. \(7\).                          C. \(6\).                         D. \(12\).

Phương pháp

Áp dụng quy tắc nhân

Lời giải

Chọn A

Từ \(A\) đến \(B\) có \(4\) cách chọn đường đi, từ \(B\) đến \(C\) có \(6\) cách chọn đường đi.

Vậy số cách chọn đường đi từ \(A\) đến \(C\) phải đi qua \(B\) là : \(4.6 = 24\) cách.

Câu 2.     Tính số chỉnh hợp chập \(3\) của \(5\) phần tử.

A. \(10\).                          B. \(720\).                      C. \(60\).                        D. \(6\).

Phương pháp

Áp dụng công thức chỉnh hợp

Lời giải

Chọn C

Ta có: \(A_5^3 = \frac{{5!}}{{2!}} = 60\).

Câu 3.     Một tổ có \(7\) học sịnh nam và \(11\) học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn \(7\) học sinh đi lao động, trong đó có đúng \(3\) học sinh nam?

A. \(C_7^3 + C_{11}^4\).  

B. \(C_7^3C_{15}^4\).      

C. \(A_7^3A_{11}^4\).      

D. \(C_7^3C_{11}^4\).

Phương pháp

Số tổ hợp chập k của n phần tử là \(C_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!k!}}\)

Lời giải

Chọn D

Chọn \(3\) học sinh nam, có \(C_7^3\) cách.

Chọn \(4\) học sinh nữ, có \(C_{11}^4\) cách.

Vậy có \(C_7^3C_{11}^4\) cách chọn thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 4.     Số hạng tổng quát trong khai triển của \({\left( {3 - 5x} \right)^{16}}\) là:

A. \({\left( { - 3} \right)^k}C_{16}^k5{x^k}\).             

B. \({\left( { - 3} \right)^k}C_{16}^k{5^k}{x^k}\).                                

C. \({\left( { - 3} \right)^{16 - k}}C_{16}^k{5^k}{x^k}\).    

D. \(C_{16}^k{5^k}{x^{16 - k}}\).

Phương pháp

Số hạng tổng quát trong khai triển \({\left( {a + b} \right)^n}\) có dạng: \(C_n^k{a^{n - k}}{b^k}\).

Lời giải

Chọn C

Số hạng tổng quát trong khai triển \({\left( {a + b} \right)^n}\) có dạng: \(C_n^k{a^{n - k}}{b^k}\).

Do đó số hạng tổng quát trong khai triển của \({\left( {3 - 5x} \right)^{16}} = {\left( { - 3 + 5x} \right)^{16}}\) là: \(C_{16}^k{\left( { - 3} \right)^{16 - k}}{\left( {5x} \right)^k} = {\left( { - 3} \right)^{16 - k}}C_{16}^k{5^k}{x^k}\).

Câu 5.     Cho khai triển \({\left( {1 - 2x} \right)^{30}} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} +  \cdots  + {a_{30}}{x^{30}}\). Giá trị của \({a_0} + {a_1} + {a_2} +  \cdots  + {a_{30}}\) bằng:

A. \(1\).                            B. \({3^{30}}\).               C. \(0\).                         D. \( - 1\).

Lời giải

Chọn A

\({\left( {1 - 2x} \right)^{30}} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} +  \cdots  + {a_{30}}{x^{30}}\) \(\left( 1 \right)\).

Thay \(x = 1\) vào \(\left( 1 \right)\) ta có: \(\)\({a_0} + {a_1} + {a_2} +  \cdots  + {a_{30}} = {\left( { - 1} \right)^{30}} = 1\).

Câu 6.     Tìm số hạng không chứa \(x\) trong khai triển nhị thức Newton \({\left( {x - \frac{4}{{{x^2}}}} \right)^{27}}\), \(\left( {x \ne 0,\,\,n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).

A. \({4^9}C_{27}^9\).       

B. \({4^{18}}C_{27}^{18}\).                                     

C. \( - {4^{18}}C_{27}^{18}\).                                  

D. \( - {4^9}C_{27}^9\).

Phương pháp

Số hạng tổng quát trong khai triển \({\left( {a + b} \right)^n}\) có dạng: \(C_n^k{a^{n - k}}{b^k}\).

Lời giải

Chọn D

Ta có \(C_n^k{a^{n - k}}{b^k} = C_{27}^k{x^{27 - k}}.{\left( { - \frac{4}{{{x^2}}}} \right)^k} = {\left( { - 4} \right)^k}C_{27}^k{x^{27 - 3k}}\).

Theo yêu cầu bài toán\( \Leftrightarrow 27 - 3k = 0 \Leftrightarrow k = 9\). Vậy hệ số cần tìm là \( - {4^9}C_{27}^9\).

Câu 7.     Từ các chữ số \(0\), \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(6\), \(7\), \(8\), \(9\) có thể lập được bao nhiêu số gồm \(4\) chữ số khác nhau và không chia hết cho \(5\)?

A. \(4088\).                      B. \(4032\).                    C. \(3584\).                    D. \(952\).

Phương pháp

Áp dụgn các quy tắc đếm

Lời giải

Chọn C

Gọi số cần tìm dạng: \(\overline {abcd} \), \(\left( {a \ne 0} \right)\).

Số các số tự nhiên có \(4\) chữ số khác nhau là: \(9.A_9^3 = 4536\) số.

Số các số tự nhiên có \(4\) chữ số khác nhau chia hết cho \(5\) là: \(A_9^3 + 8.A_8^2 = 952\) số.

Vậy số các số tự nhiên có \(4\) chữ số khác nhau không chia hết cho \(5\) là: \(4536 - 952 = 3584\) số.

Câu 8.     Tính số cách xếp \(9\) quyển sách Toán, \(8\) quyển sách Lý và \(7\) quyển sách Hóa lên một giá sách theo từng môn.

A. \(9!.8!.7!\).                   B. \(9! + 8! + 7!\).           C. \(9!.8!.7!.3!\).            D. \(9.8.7\).

Phương pháp

Áp dụgn các quy tắc đếm

Lời giải

Chọn C

Các bước thực hiện:

* Bước 1: Chọn vị trí cho từng môn học\( \Rightarrow \) Có \(3!\) cách.

* Bước 2: Xếp sách Toán vào\( \Rightarrow \) Có \(9!\) cách.

* Bước 3: Xếp sách Lý vào\( \Rightarrow \) Có \(8!\) cách.

* Bước 4: Xếp sách Hóa vào\( \Rightarrow \) Có \(7!\) cách.

Áp dụng quy tắc nhân ta có tổng số cách xếp là: \(9!.8!.7!.3!\) cách.

Câu 9.     Cho một đa giác đều có \(24\) đỉnh nội tiếp trong một đường tròn tâm \(O\). Gọi \(X\) là tập các tam giác có các đỉnh là các đỉnh của đa giá trên. Tính xác suất để chọn được một tam giác từ tập \(X\) là tam giác cân nhưng không phải là tam giác đều.

A. \(\frac{{32}}{{253}}\).   

B. \(\frac{3}{{23}}\).         

C. \(\frac{{221}}{{253}}\). 

D. \(\frac{1}{{253}}\).

Phương pháp

Áp dụng công thức tính xác suất

Lời giải

Chọn A

Số các tam giác bất kỳ là \(n\left( \Omega  \right) = C_{24}^3\).

Số các tam giác đều là \(\frac{{24}}{3} = 8\).

Có \(24\) cách chọn một đỉnh của đa giác, mỗi đỉnh có \(11\) các chọn \(2\) đỉnh còn lại để được một tam giác cân.

Số các tam giác cân là: \(24.11 = 264\).

Số các tam giác cân không đều là: \(264 - 8 = 256 \Rightarrow n\left( A \right) = 256\).

\( \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{256}}{{C_{24}^3}} = \frac{{32}}{{253}}\).

Câu 10.   Kết quả đo chiều dài của một cây cầu được ghi là \(154m \pm 0,4m\). Tìm sai số tương đối của phép         đo chiều dài cây cầu.

A. \({\delta _a} < 0,25974\% \).                              

B. \({\delta _a} < 1,25974\% \).                              

C. \({\delta _a} = 0,25974\% \).                              

D. \({\delta _a} > 0,25974\% \).

Phương pháp

Ta nói a là số gần đúng của số đúng \(\overline a \) với độ chính xác d nếu \({\Delta _a} = \left| {\overline a  - a} \right| \le d\) và quy ước viết gọn là \(\overline a  = a \pm d\)

Tỉ số \({\delta _a} = \frac{{{\Delta _a}}}{{\left| a \right|}}\) được gọi là sai số tương đối của số gần đúng a.

Lời giải

Chọn A

Sai số tương đối \({\delta _a} \le \frac{{0,4}}{{154}} \approx 0,0025974 \approx 0,25974\% \).

Câu 11.   Giá của một số loại giày (đơn vị nghìn đồng) như sau:

 

Mốt của mẫu số liệu trên là

A. \(400\).                        B. \(500\).                      C. \(300\).                      D. \(600\).

Phương pháp

Mốt của mẫu số liệu là giá trị có tần số lớn nhất trong bảng phân bố tần số và kí hiệu là \({M_0}\).

Lời giải

Chọn A

Số \(400\) xuất hiện nhiều nhất trên mẫu số liệu trên nên mốt là \(400\).

Câu 12.   Cho mẫu số liệu gồm \(20\) số dương không hoàn toàn giống nhau. Khoảng tứ phân vị sẽ thay đổi như thế nào nếu nhân mỗi giá trị của mẫu số liệu với \(2\).

A. Giảm \(2\) lần.           B. Tăng \(2\) lần.          C. Giữ nguyên.             D. Tăng \(4\) lần.

Phương pháp

Giả sử \({Q_1},{Q_2},{Q_3}\) là tứ phân vị của mẫu số liệu. Ta gọi hiệu \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1}\) là khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu đó.

Lời giải

Chọn B

Nhân mỗi giá trị của mẫu số liệu với \(2\) thì khoảng tứ phân vị tăng gấp \(2\) lần.

Câu 13.   Từ mẫu số liệu về thuế thuốc lá của \(69\) thành phố tại một quốc gia, người ta tính được: Giá trị nhỏ nhất bằng \(2,5\); \({Q_1} = 36\); \({Q_2} = 60\); \({Q_3} = 100\); giá trị lớn nhất bằng \(205\). Hỏi tỷ lệ thành phố có thuế thuốc lá lớn hơn \(36\) là bao nhiêu?

A. \(\frac{{35}}{{69}}\).     

B. \(\frac{{34}}{{69}}\).     

C. \(\frac{{17}}{{69}}\).     

D. \(\frac{{52}}{{69}}\).

Phương pháp

Sắp thứ tự mẫu số liệu gồm n số liệu thành một dãy không giảm.

Tứ phân vị của mẫu số liệu trên là bộ ba giá trị : Tứ phân vị thứ nhất, Tứ phân vị thứ hai và Tứ phân vị thứ ba; ba giá trị này chia mẫu số liệu thành bốn phần có số lượng phần tử bằng nhau.

-        Tứ phân vị thứ hai \({Q_2}\) bằng trung vị.

-        Nết n chẵn thì tứ phân vị thứ nhất \({Q_2}\) bằng trung vị của nửa dãy phía dưới, và tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) bằng trung vị của nửa dãy phía trên.

-        Nếu n là số lẻ thì tứ phân vị thứ nhất \({Q_2}\) bằng trung vị của nửa dãy phía dưới (không bào gồm \({Q_2}\)) và tứ phân vị thứ ba \({Q_2}\) bằng trung vị của nửa dãy phía trên ( không bao gồm \({Q_2}\))

Lời giải

Chọn D

Từ mẫu số liệu về thuế thuốc lá của \(69\) thành phố tại một quốc gia, người ta tính được \({Q_1} = 36\) nên có \(52\) thành phố có thuế thuốc lá lớn hơn \(36\).

Vì vậy, tỷ lệ thành phố có thuế thuốc lá lớn hơn 36 là: \(\frac{{52}}{{69}}\).

Câu 14.   Nhiệt độ của thành phố Hà Nội đo trong \(30\) ngày có nhiệt độ lớn nhất là \(35^\circ {\rm{C}}\), nhỏ nhất là \(27^\circ {\rm{C}}\); \({Q_1} = 30\); \({Q_3} = 33\). Hỏi trong \(30\) ngày có bao nhiêu ngày nhiệt độ nhỏ hơn \(33^\circ {\rm{C}}\)?

A. \(8\).                            B. \(22\).                        C. \(7\).                         D. \(14\).

Phương pháp

Sắp thứ tự mẫu số liệu gồm n số liệu thành một dãy không giảm.

Tứ phân vị của mẫu số liệu trên là bộ ba giá trị : Tứ phân vị thứ nhất, Tứ phân vị thứ hai và Tứ phân vị thứ ba; ba giá trị này chia mẫu số liệu thành bốn phần có số lượng phần tử bằng nhau.

-        Tứ phân vị thứ hai \({Q_2}\) bằng trung vị.

-        Nết n chẵn thì tứ phân vị thứ nhất \({Q_2}\) bằng trung vị của nửa dãy phía dưới, và tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) bằng trung vị của nửa dãy phía trên.

-        Nếu n là số lẻ thì tứ phân vị thứ nhất \({Q_2}\) bằng trung vị của nửa dãy phía dưới (không bào gồm \({Q_2}\)) và tứ phân vị thứ ba \({Q_2}\) bằng trung vị của nửa dãy phía trên ( không bao gồm \({Q_2}\))

Lời giải

Chọn B

Vì \({Q_3} = 33\) nên có \(22\) ngày nhiệt độ nhỏ hơn \(33^\circ {\rm{C}}\).

Câu 15.   Thời gian chạy của một học sinh chạy \(100\,m\) được ghi lại trong \(6\) lần là

 

Tìm số trung bình của mẫu số liệu trên

A. \(15,22\).                     B. \(10,87\).                   C. \(12,68\).                   D. \(13,84\).

Phương pháp

               Số trung bình cộng \(\overline x \) của mẫu số liệu \({x_1},{x_2},...,{x_n}\) là:

\(\overline x  = \frac{{{x_1} + {x_2} + ... + {x_n}}}{n}.\)

Lời giải

Chọn C

Số trung bình của mẫu số liệu trên là \(\overline x  = \frac{{13,5 + 12,1 + 12,8 + 13,2 + 12,1 + 12,4}}{6} = \frac{{761}}{{60}} \approx 12,68\).

Câu 16.   Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất, xác suất để mặt có số chấm lẻ xuất hiện là

A. \(1\).                            B. \(\frac{1}{2}\).            C. \(\frac{1}{3}\).            D. \(\frac{2}{3}\).

Phương pháp

 Áp dụng công thức tính xác suất

Lời giải

Chọn B

Ta có: Không gian mẫu \(\Omega  = \left\{ {1,2,3,4,5,6} \right\}\).

Suy ra \(n\left( \Omega  \right) = 6\).

Gọi biến cố \(A\): “Con súc sắc có số chấm lẻ xuất hiện” hay \(A = \left\{ {1;3;5} \right\}\) suy ra \(n\left( A \right) = 3\).

Từ đó suy ra \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\).

Vậy xác suất để mặt có số chấm lẻ xuất hiện là \(\frac{1}{2}\).

Câu 17.   Gieo hai con súc sắc cân đối, đồng chất. Xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai mặt của hai con súc sắc bằng \(6\) là

A. \(\frac{{31}}{{36}}\).     

B. \(\frac{1}{6}\).             

C. \(\frac{5}{{36}}\).         

D. \(\frac{5}{6}\).

Phương pháp

Áp dụng công thức tính xác suất

Lời giải

Chọn C

Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega  \right) = 6 \times 6 = 36\).

Gọi \(A\) là biến cố “Tổng số chấm xuất hiện trên hai mặt của hai con súc sắc bằng \(6\)”.

Ta có \(A = \left\{ {\left( {1;5} \right),\left( {2;4} \right),\left( {3;3} \right),\left( {4;2} \right),\left( {5;1} \right)} \right\}\)\( \Rightarrow \)\(n\left( A \right) = 5\).

Vậy \(P\left( A \right) = \frac{5}{{36}}\).

Câu 18.   Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để xuất hiện mặt có số chấm không chia hết cho \(3\).

A. \(1\).                           

B. \(\frac{2}{3}\).             

C. \(3\).                           

D. \(\frac{1}{3}\).

Phương pháp

Áp dụng công thức tính xác suất

Lời giải

Chọn B

Ta có \(n\left( \Omega  \right) = 6\).

Mà \(A = \left\{ {1\,;\,2\,;\,4\,;\,5} \right\}\)\( \Rightarrow \)\(n\left( A \right) = 4\).

Vậy \(P\left( A \right) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\).

Câu 19.   Trong trò chơi “Chiếc nón kỳ diệu” chiếc kim của bánh xe có thể dừng lại ở một trong \(9\) vị trí với khả năng như nhau. Tính xác suất để trong ba lần quay, chiếc kim của bánh xe đó lần lượt dừng lại ở ba vị trí khác nhau.

A. \(\frac{{28}}{{243}}\).   

B. \(\frac{{56}}{{81}}\).     

C. \(\frac{8}{{243}}\).       

D. \(\frac{8}{{81}}\).

Phương pháp

 Áp dụng công thức tính xác suất

Lời giải

Chọn B

Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega  \right) = C_9^1C_9^1C_9^1 = {9^3}\).

Gọi \(A\) là biến cố “Trong ba lần quay, chiếc kim của bánh xe dừng lại ở ba vị trí khác nhau”.

Số kết quả thuận lợi cho biến cố \(A\) là \(n\left( A \right) = C_9^1C_8^1C_7^1\).

Vậy xác suất của biến cố \(A\) là \(\mathbb{P}\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{C_9^1C_8^1C_7^1}}{{{9^3}}} = \frac{{56}}{{81}}\).

Câu 20.   Lấy ngẫu nhiên hai viên bi từ một thùng gồm \(7\) bi xanh, \(8\) bi đỏ và \(9\) bi vàng. Tính xác suất để lấy được hai viên bi khác màu?

A. \(76,45\% \).                B. \(23,54\% \).              C. \(30,8\% \).                D. \(69,2\% \).

Lời giải

Chọn D

Tổng số bi trong thùng là \(7 + 8 + 9 = 24\) (bi).

Số kết quả có thể khi lấy ra \(2\) viên bi bất kỳ từ \(24\) viên bi là \(C_{24}^2 = 276\).

Số kết quả thuận lợi khi lấy ra hai bi khác màu là \(C_7^1C_8^1 + C_8^1C_9^1 + C_9^1C_7^1 = 191\).

Gọi \(A\) là biến cố lấy ra hai viên bi khác màu\( \Rightarrow \)\(n\left( A \right) = 191\).

Xác suất xảy ra \(A\) là \(P\left( A \right) = \frac{{191}}{{276}} \simeq 69,2\% \).

Câu 21.  Lớp \(11B\) có \(30\) đoàn viên trong đó có \(19\) nam. Chọn ngẫu nhiên \(3\) đoàn viên trong lớp để tham dự hội trại ngày \(26\) tháng \(3\). Tính xác suất để \(3\) đoàn viên được chọn có \(2\) nữ và \(1\) nam.

A. \(\frac{{1881}}{{4060}}\).                                   

B. \(\frac{{603}}{{812}}\). 

C. \(\frac{{209}}{{812}}\). 

D. \(\frac{{2179}}{{4060}}\).

Phương pháp

Áp dụng công thức tính xác suất

Lời giải

Chọn C

Số phần tử của không gian mẫu: \(n\left( \Omega  \right) = C_{30}^3\).

Gọi \(A\) là biến cố: “\(3\) đoàn viên được chọn có \(2\) nữ và \(1\) nam” thì \(n\left( A \right) = C_{11}^2.C_{19}^1\).

Vậy \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{C_{11}^2.C_{19}^1}}{{C_{30}^3}} = \frac{{209}}{{812}}\).

Câu 22.   Một cái hộp chứa \(9\) viên bi đỏ và \(8\) viên bi xanh. Lấy lần lượt \(2\) viên bi từ cái hộp đó. Tính xác suất để viên bi được lấy lần thứ \(2\) là bi xanh.

A. \(\frac{8}{{17}}\).         

B. \(\frac{{25}}{{68}}\).     

C. \(\frac{{25}}{{34}}\).     

D. \(\frac{9}{{17}}\).

Phương pháp

Áp dụng công thức tính xác suất

Lời giải

Chọn A

Ta có: Số phần tử của không gian mẫu \(n\left( \Omega  \right) = C_{17}^1.C_{16}^1\).

Gọi \(A\) là biến cố: “ Viên bi được lấy lần thứ \(2\) là bi xanh”.

Trường hợp 1: Lần \(1\) lấy viên đỏ, lần \(2\) lấy viên xanh: Có \(C_9^1.C_8^1\) cách chọn.

Trường hợp 2: Lần \(1\) lấy viên xanh, lần \(2\) lấy viên xanh: Có \(C_8^1.C_7^1\) cách chọn.

\( \Rightarrow \)\(n\left( A \right) = C_9^1.C_8^1 + C_8^1.C_7^1\).

Vậy \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{C_9^1.C_8^1 + C_8^1.C_7^1}}{{C_{17}^1.C_{16}^1}} = \frac{8}{{17}}\).

Câu 23.   Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho \(A\left( {2\,;\,5} \right)\); \(B\left( {3\,;\,7} \right)\). Tìm tọa độ của véctơ \(\overrightarrow {AB} \).

A. \(\left( { - 1\,;\, - 2} \right)\).                              

B. \(\left( {1\,;\,2} \right)\).                                    

C. \(\left( {5\,;\,12} \right)\).                                  

D. \(\left( {2\,;\,1} \right)\).

Phương pháp

Với \(A({x_A};{y_A});B({x_B};{y_B})\) thì \(\overrightarrow {AB}  = \left( {({x_B} - {x_A});({y_B} - {y_A})} \right)\)

Lời giải

Chọn B

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1\,;\,2} \right)\).

Câu 24.   Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho \(\vec a = \left( {2\,;\,6} \right)\); \(\vec b = \left( { - 1\,;\,3} \right)\). Tọa độ vectơ \(4\overrightarrow a  - 3\overrightarrow b \) là:

A. \(\left( { - 11\,;\,15} \right)\).

B. \(\left( {15\,;\, - 11} \right)\).

C. \(\left( {15\,;\,11} \right)\).  

D. \(\left( {11\,;\,15} \right)\).

Phương pháp

Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho \(\vec a = \left( {{a_1}\,;\,{a_2}} \right)\); \(\vec b = \left( {{b_1}\,;\,{b_2}} \right)\). Tọa độ vectơ \(k\overrightarrow a  + t\overrightarrow b  = (k{a_1} + t{b_1};k{a_2} + t{b_2})\)

Lời giải

Chọn D

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\vec a = \left( {2\,;\,6} \right)\\\vec b = \left( { - 1\,;\,3} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}4\vec a = \left( {8\,;\,24} \right)\\3\vec b = \left( { - 3\,;\,9} \right)\end{array} \right. \Rightarrow 4\overrightarrow a  - 3\vec b = \left( {11\,;\,15} \right)\).

Câu 25.   Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A\left( {5\,;\,4} \right)\);\(B\left( { - 2\,;\,7} \right)\). Xác định tọa độ điểm \(E\) trên đoạn \(AB\) sao cho \(AE = 3EB\).

A. \(E\left( { - \frac{1}{4}\,;\,\frac{{25}}{4}} \right)\).

B. \(E\left( { - \frac{1}{4}\,;\, - \frac{{25}}{4}} \right)\).                                   

C. \(E\left( {\frac{1}{4}\,;\,\frac{{25}}{4}} \right)\).   

D. \(E\left( {\frac{1}{4}\,;\, - \frac{{25}}{4}} \right)\).

Phương pháp

Sử dụng công thức tính tọa độ

Lời giải

Chọn A

Vì \(E\) trên đoạn \(AB\) và \(AE = 3EB\) suy ra \(\overrightarrow {AE}  = 3\overrightarrow {EB} \).

Gọi \(E\left( {x;y} \right)\) khi đó \(\overrightarrow {AE}  = \left( {x - 5\,;\,y - 4} \right)\); \(\overrightarrow {EB}  = \left( { - 2 - x\,;\,7 - y} \right)\).

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}x - 5 = 3\left( { - 2 - x} \right)\\y - 4 = 3\left( {7 - y} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{1}{4}\\y = \frac{{25}}{4}\end{array} \right.\).

Vậy \(E\left( { - \frac{1}{4}\,;\,\frac{{25}}{4}} \right)\).

Câu 26.   Cho đường thẳng \(d:3x + 5y - 7 = 0\). Véc tơ nào sau đây là véctơ chỉ phương của \(d\)?

A. \(\overrightarrow u  = \left( {3\,;\, - 5} \right)\).  

B. \(\overrightarrow u  = \left( {5\,;\,3} \right)\).     

C. \(\overrightarrow u  = \left( {5\,;\, - 3} \right)\).  

D. \(\overrightarrow u  = \left( {3\,;\,5} \right)\).

Phương pháp

Phương trình đường thẳng \(d:ax + by + c = 0\)có VTPT là \(\overrightarrow n  = (a;b).\)

Lời giải

Chọn C

Đường thẳng \(d\) có một véctơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {3\,;\,5} \right)\) nên \(d\) có một véctơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( {5\,;\, - 3} \right)\).

Câu 27.   Trong hệ tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {3\,;\,6} \right)\); \(B\left( { - 1\,;\,5} \right)\); \(C\left( {3\,;\,3} \right)\). Phương trình đường trung tuyến kẻ từ đỉnh \(A\) của tam giác \(ABC\) là:

A. \(x - y + 3 = 0\).            

B. \(x + y - 9 = 0\).            

C. \(x + 2y - 15 = 0\).        

D. \(x - 2y = 0\).

Phương pháp

Phương trình đường thẳng \(d:a(x - {x_0}) + b(y - {y_0}) = 0\) có VTPT là \(\overrightarrow n  = (a;b).\) đi qua điểm \(A({x_0},{y_0})\)

Lời giải

Chọn A

Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\)\( \Rightarrow \)\(I\left( {1\,;\,4} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {AI}  = \left( { - 2\,;\, - 2} \right)\)\( \Rightarrow \)\(\overrightarrow n  = \left( {1\,;\, - 1} \right)\) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(AI\).

Phương trình đường thẳng \(AI\) là: \(1\left( {x - 3} \right) - 1\left( {y - 6} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y + 3 = 0\)

Câu 28.   Tìm các giá trị thực của tham số \(m\) để đường thẳng \(y = \left( {{m^2} - 6} \right)x + 2m + 5\) song song với đường thẳng \(y = 3x - 1\).

A. \(m =  \pm 3\).            

B. \(m =  \pm 2\).            

C. \(m =  - 3\).                 

D. \(m = 3\).

Phương pháp

Để đường thẳng \(y = ax + b\) song song với đường thẳng \(y = a'x + b'\)thì \(\left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b \ne b'\end{array} \right.\)

Lời giải

Chọn D

Để đường thẳng \(y = \left( {{m^2} - 6} \right)x + 2m + 5\) song song với đường thẳng \(y = 3x - 1\) thì điều kiện là

\(\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 6 = 3\\2m + 5 \ne  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m =  \pm 3\\m \ne  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 3\).

Câu 29.   Trong mặt phẳng tọa độ \({\rm{Ox}}y\), gọi \(d\) là đường thẳng đi qua \(M\left( {3\,;\,4} \right)\) và cách điểm \(A\left( {2\,;\,5} \right)\) một khoảng bằng \(\frac{{3\sqrt 5 }}{5}\). Biết rằng phương trình đường thẳng \(d\) có dạng \(x + by + c = 0\) với \(b\); \(c\) là hai số nguyên. Tính \(b + c\).

A. \(7\).                            B. \( - 3\).                       C. \(3\).                         D. \(7\).

Phương pháp

Khoảng cách từ điểm \(A({x_0},{y_0})\) đến đường thẳng \(d:ax + by + c = 0\) là \(d\left( {A,d} \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Lời giải

Chọn C

Ta có: \(M\left( {3\,;\,4} \right) \in d \Rightarrow 3 + 4b + c = 0 \Rightarrow c =  - 3 - 4b\) \(\left( 1 \right)\).

\(d\left( {A,d} \right) = \frac{{\left| {2 + 5b + c} \right|}}{{\sqrt {1 + {b^2}} }} = \frac{{3\sqrt 5 }}{5} \Leftrightarrow 5{\left( {2 + 5b + c} \right)^2} = 9\left( {1 + {b^2}} \right)\) \(\left( 2 \right)\).

Thay \(c =  - 3 - 4b\) vào \(\left( 2 \right)\) ta được:

\(5{\left( {b - 1} \right)^2} = 9\left( {1 + {b^2}} \right)\)\( \Leftrightarrow \).

\( \Rightarrow \)\(b =  - 2\); \(c = 5\)\( \Rightarrow \)\(b + c = 3\).

Câu 30.   Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({x^2} + {y^2} + 2\left( {m - 3} \right)x + 6my + 9m + 19 = 0\) là phương trình đường tròn.

A. \( - \frac{1}{2} < m < 2\).                                                                          

B. \(m <  - 2\) hoặc \(m > \frac{1}{2}\).

C. \(m < \frac{1}{2}\) hoặc \(m > 2\).                                                           

D. \(m <  - \frac{1}{2}\) hoặc \(m > 2\).

Phương pháp

Phương trình đường tròn có dạng \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\,\,\left( {{a^2} + {b^2} - c > 0} \right)\). và  tọa độ tâm     \(I(a,b)\), bán kính \(\,R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} \)

Lời giải

Chọn D

Ta có \({x^2} + {y^2} + 2\left( {m - 3} \right)x + 6my + 9m + 19 = 0{\rm{  }}\left( 1 \right)\).

Phương trình \(\left( 1 \right)\) là phương trình đường tròn\( \Leftrightarrow \)\({\left( {m - 3} \right)^2} + {\left( {3m} \right)^2} - \left( {9m + 19} \right) > 0\)

\( \Leftrightarrow \)\(10{m^2} - 15m - 10 > 0\)\( \Leftrightarrow \)\(\left[ \begin{array}{l}m <  - \frac{1}{2}\\m > 2\end{array} \right.\).

Câu 31.   Trong mặt phẳng \(Oxy\), đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 6x + 2y - 26 = 0\) có tâm là

A. \(I\left( { - 3\,;\, - 1} \right)\).                              

B. \(I\left( {3\,;\,1} \right)\).                                   

C. \(I\left( {2\,;\,6} \right)\).                                   

D. \(I\left( { - 2\,;\, - 6} \right)\).

Phương pháp

Phương trình đường tròn có dạng \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\,\,\left( {{a^2} + {b^2} - c > 0} \right)\). và  tọa độ tâm     \(I(a,b)\), bán kính \(\,R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} \)

Lời giải

Chọn A

Ta có phương trình đường tròn là: \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 36\).

Vậy tâm đường tròn là: \(I\left( { - 3\,;\, - 1} \right)\).

Câu 32.   Trên mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho các điểm \(A\left( {8\,;\,0} \right)\) và \(B\left( {0\,;\,6} \right)\). Đường tròn nội tiếp tam giác \(OAB\) có phương trình

A. \({\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 16\).                           

B. \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 9\).

C. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1\).                                                                    

D. \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\).

Phương pháp

Phương trình đường tròn (O) có tâm I(a,b) và bán kính R là : \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\)

Lời giải

Chọn D

 

Phương trình đường thẳng \(AB\) theo đoạn chắn là: \(\frac{x}{8} + \frac{y}{6} = 1\) hay \(3x + 4y - 24 = 0\).

Ta có: \(d\left( {O;AB} \right) = \frac{{24}}{5}\).

Vì các điểm \(A\left( {8\,;\,0} \right)\) và \(B\left( {0\,;\,6} \right)\) nằm trong góc phần tư thứ nhất nên tam giác \(OAB\) cũng nằm trong góc phần tư thứ nhất. Do vậy gọi tâm đường tròn nội tiếp là \(I\left( {a\,;\,b} \right)\) thì \(0 < a < \frac{{24}}{5}\); \(0 < b < \frac{{24}}{5}\).

Theo đề ra ta có: \(d\left( {I;Ox} \right) = d\left( {I;Oy} \right) = d\left( {I;AB} \right)\).

Do vậy ta có: .

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\).

Câu 33.   Cặp điểm nào là các tiêu điểm của elip \(\left( E \right)\): \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{5} = 1\)?

A. \({F_1} = \left( {0\,;\,2} \right)\); \({F_2} = \left( {0\,;\, - 2} \right)\).           

B. \({F_1} = \left( {2\,;\,0} \right)\); \({F_2} = \left( { - 2\,;\,0} \right)\).

C. \({F_1} = \left( {3\,;\,0} \right)\); \({F_2} = \left( { - 3\,;\,0} \right)\).           

D. \({F_1} = \left( {0\,;\,3} \right)\); \({F_2} = \left( {0\,;\, - 3} \right)\).

Phương pháp

Phương trình Elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) có hai tiêu điểm \({F_1} = \left( {c\,;\,0} \right)\); \({F_2} = \left( { - c\,;\,0} \right)\) với \(c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} \)

Lời giải

Chọn B

Ta có: \({a^2} = 9\); \({b^2} = 5\)\( \Rightarrow \)\({c^2} = {a^2} - {b^2} = 4\)\( \Rightarrow \)\(c = 2\)\( \Rightarrow \)\({F_1} = \left( {2\,;\,0} \right)\); \({F_2} = \left( { - 2\,;\,0} \right)\).

Câu 34.  Ông Hoàng có một mảnh vườn hình elip có chiều dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là \(80\,m\) và \(40\,m\). Ông chia thành hai nửa bằng một đường tròn tiếp xúc trong với elip để làm mục đích sử dụng khác nhau. Nửa bên trong đường tròn ông trồng cây lâu năm, nửa bên ngoài đường tròn ông trồng hoa màu. Tính tỷ số diện tích \(T\) giữa phần trồng cây lâu năm so với diện tích trồng hoa màu. Biết diện tích elip được tính theo công thức \(S = \pi ab\) trong đó \(a\); \(b\) lần lượt là độ dài nửa trục lớn và nửa trục bé của elip, biết độ rộng của đường elip không đáng kể.

 

A. \(T = \frac{2}{3}\).        B. \(T = 1\).                    C. \(T = \frac{1}{3}\).      D. \(T = \frac{3}{2}\).

Phương pháp

Diện tích hình tròn: \({S_T} = \pi .{R^2}\)với R là bán kính hình tròn, diện tích elip là  \(S = \pi ab\) trong đó \(a\); \(b\) lần lượt là độ dài nửa trục lớn và nửa trục bé của elip.

Lời giải

Chọn B

Diện tích hình tròn: \({S_T} = \pi {.20^2}\), diện tích elip là \({S_E} = \pi .40.20\).

Tỷ số diện tích \(T = \frac{{{S_T}}}{{{S_E} - {S_T}}} = \frac{{\pi {{.20}^2}}}{{\pi .40.20 - \pi {{.20}^2}}} = 1\).

Câu 35.   Cho elip . Tìm toạ độ điểm \(M \in \left( E \right)\) sao cho M  nhìn \({F_1}{F_2}\) dưới một góc vuông:

A. \(M\left( {\sqrt 6 \,;\,\frac{{\sqrt {30} }}{2}} \right)\); \(M\left( { - \sqrt 6 \,;\,\frac{{\sqrt {30} }}{2}} \right)\); \(M\left( {\sqrt 6 \,;\, - \frac{{\sqrt {30} }}{2}} \right)\); \(M\left( { - \sqrt 6 \,;\, - \frac{{\sqrt {30} }}{2}} \right)\).

B. \(M\left( {\sqrt 3 \,;\,\frac{{\sqrt {33} }}{2}} \right)\); \(M\left( { - \sqrt 3 \,;\,\frac{{\sqrt {33} }}{2}} \right)\); \(M\left( {\sqrt 3 \,;\, - \frac{{\sqrt {33} }}{2}} \right)\); \(M\left( { - \sqrt 3 \,;\, - \frac{{\sqrt {33} }}{2}} \right)\).

C. \(M\left( {2\sqrt 3 \,;\,\sqrt 6 } \right)\); \(M\left( { - 2\sqrt 3 \,;\,\sqrt 6 } \right)\); \(M\left( {2\sqrt 3 \,;\, - \sqrt 6 } \right)\); \(M\left( { - 2\sqrt 3 \,;\, - \sqrt 6 } \right)\).

D. \(M\left( {2\sqrt 6 \,;\,\sqrt 3 } \right)\); \(M\left( { - 2\sqrt 6 \,;\,\sqrt 3 } \right)\); \(M\left( {2\sqrt 6 \,;\, - \sqrt 3 } \right)\); \(M\left( { - 2\sqrt 6 \,;\, - \sqrt 3 } \right)\).

Phương pháp

Điểm \(M\) nhìn \({F_1}{F_2}\) dưới một góc vuông khi và chỉ khi \({\left( {M{F_1}} \right)^2} + {\left( {M{F_2}} \right)^2} = {\left( {{F_1}{F_2}} \right)^2}\)

Lời giải

Chọn D

Ta có: \({a^2} = 36\); \({b^2} = 9\)\( \Rightarrow \)\({c^2} = {a^2} - {b^2} = 27\)\( \Rightarrow \)\(a = 6\); \(b = 3\); \(c = 3\sqrt 3 \).

\( \Rightarrow \)\(M{F_1} = 6 + \frac{{\sqrt 3 }}{2}x\); \(M{F_2} = 6 - \frac{{\sqrt 3 }}{2}x\).

\(M\) nhìn \({F_1}{F_2}\) dưới một góc vuông khi và chỉ khi \({\left( {M{F_1}} \right)^2} + {\left( {M{F_2}} \right)^2} = {\left( {{F_1}{F_2}} \right)^2}\).

\( \Leftrightarrow \)\({\left( {6 + \frac{{\sqrt 3 }}{2}x} \right)^2} + {\left( {6 - \frac{{\sqrt 3 }}{2}x} \right)^2} = 108\)\( \Leftrightarrow \)\(x =  \pm 2\sqrt 6 \)\( \Rightarrow \)\(x =  \pm \sqrt 3 \).

\( \Rightarrow \)\(M\left( {2\sqrt 6 \,;\,\sqrt 3 } \right)\); \(M\left( { - 2\sqrt 6 \,;\,\sqrt 3 } \right)\); \(M\left( {2\sqrt 6 \,;\, - \sqrt 3 } \right)\); \(M\left( { - 2\sqrt 6 \,;\, - \sqrt 3 } \right)\).

PHẦN TỰ LUẬN (3,0 điểm)

Bài 1.       (1,0 điểm) Từ \(2\) chữ số \(1\) và \(9\) lập được bao nhiêu số tự nhiên có \(9\) chữ số sao cho không có \(2\) chữ số \(1\) đứng cạnh nhau?

Phương pháp

Sử dụng các quy tắc đếm

Lời giải

TH 1: Có \(9\) chữ số \(9\): Có \(1\) số.

TH 2: Có \(1\) chữ số \(1\); \(8\) chữ số \(9\): Có \(9\) cách xếp chữ số \(1\) nên có \(9\) số.

TH 3: Có \(2\) chữ số \(1\); \(7\) chữ số \(9\):

Xếp \(7\) chữ số \(9\) ta có \(1\) cách.

Từ \(7\) số \(9\) ta có có \(8\) chỗ trống để xếp \(2\) chữ số \(1\).

Suy ra có: \(C_8^2\) số.

TH 4: Có \(3\) chữ số \(1\); \(6\) chữ số \(9\):

Từ \(6\) chữ số \(9\) ta có \(7\) chỗ trống để xếp \(3\) chữ số \(1\).

Suy ra có: \(C_7^3\) số.

TH 5: Có \(4\) chữ số \(1\); \(5\) chữ số \(9\):

Từ \(5\) chữ số \(9\) ta có \(6\) chỗ trống để xếp \(4\) chữ số \(1\).

Suy ra có: \(C_6^4\) số.

TH 6: Có \(5\) chữ số \(1\); \(4\) chữ số \(9\): Có \(1\) số.

Vậy có: \(1 + 9 + C_8^2 + C_7^3 + C_6^4 + 1 = 89\) số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 2.       (0,5 điểm) Cho đa giác đều \(2023\) đỉnh. Hỏi có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác và có một góc lớn hơn \(120^\circ \)?

Phương pháp

Sử dụng các quy tắc đếm

Lời giải

 

Gọi \({A_1}{A_2}...{A_{2023}}\) là các đỉnh của đa giác đều \(2023\) đỉnh.

Gọi \(\left( O \right)\) là đường tròn ngoại tiếp đa giác đều \({A_1}{A_2}...{A_{2023}}\). Các đỉnh của đa giác đều chia \(\left( O \right)\) thành \(2023\) cung tròn bằng nhau, mỗi cung tròn có số đo bằng \(\frac{{360^\circ }}{{2023}}\).

Vì tam giác cần đếm có đỉnh là đỉnh của đa giác nên các góc của tam giác là các góc nội tiếp của \(\left( O \right)\).

Suy ra góc lớn hơn \(120^\circ \) sẽ chắn cung có số đo lớn hơn \(240^\circ \). Cố định một đỉnh \({A_i}\). Có \(2023\) cách chọn \({A_i}\). Gọi \({A_i}\); \({A_j}\); \({A_k}\) là các đỉnh sắp thứ tự theo chiều kim đồng hồ sao cho cung nhỏ  thì cung lớn \( \Rightarrow \)\(\widehat {{A_i}{A_j}{A_k}} > 120^\circ \) và tam giác \({A_i}{A_j}{A_k}\) là tam giác cần đếm.

Khi đó  là hợp liên tiếp của nhiều nhất \(\left[ {\frac{{120}}{{\frac{{360}}{{2023}}}}} \right] = 674\) cung tròn nói trên.

\(674\) cung tròn này có \(675\) đỉnh. Trừ đi đỉnh \({A_i}\) thì còn \(674\) đỉnh. Do đó có \(C_{674}^2\) cách chọn hai đỉnh \({A_j}\);\({A_k}\). Vậy có tất cả \(2023C_{674}^2\) tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 3.       (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho ba điểm \(A\left( {2\,;\,5} \right)\); \(B\left( {4\,;\,1} \right)\); \(C\left( { - 3\,;\,3} \right)\). Tìm tọa độ điểm \(M\) trên đường thẳng \(d:2x - 3y + 20 = 0\) sao cho \(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right|\) nhỏ nhất.

Phương pháp

\(M\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) xuống đường thẳng \(d\)với \(I\) là điểm sao cho \(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \)

Lời giải

Gọi \(I\) là điểm sao cho \(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \). Suy ra \(I\left( {1\,;\,3} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = 3\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC} \).

\(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right| = 3\left| {\overrightarrow {MI} } \right| = 3IM\).

Vậy \(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right|\) nhỏ nhất khí \(IM\) nhỏ nhất.

\( \Leftrightarrow \)\(M\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) xuống đường thẳng \(d\).

Đường thẳng \(d'\) đi qua \(I\) và vuông góc với \(d\) có phương trình: \(3x + 2y - 9 = 0\).

\(M\) là giao điểm của \(d\) và \(d'\) nên \(M\) là nghiệm của hệ phương trinh:

\(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y + 20 = 0\\3x + 2y - 9 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = 6\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \)\(M\left( { - 1\,;\,6} \right)\).

Bài 4.       (0,5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A\left( {5\,;\,2} \right)\); \(B\left( {1\,;\,9} \right)\) và điểm \(M\) thay đổi thuộc đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x - 4y + 1 = 0\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = MA + 2MB\).

Phương pháp

\(M\) là giao điểm của đoạn \(BP\) và đường tròn \(\left( C \right)\) với \(P\) là trung điểm \(IN\), \(N\) là giao điểm của đoạn \(IA\) và đường tròn \(\left( C \right)\), I là tâm đường tròn.

Lời giải

 

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1\,;\,2} \right)\) bán kính \(R = 2\).

\(IA = 4 > R\); \(IB = 7 > R\) nên \(A\); \(B\) nằm ngoài đường tr

Đề bài

           I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (7 Điểm)

Câu 1.     Lớp 10A có 20 bạn nữ và 18 bạn nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một học sinh làm lớp trưởng?

A. cách.                 B. cách.                C. cách.               D. .

Câu 2.     Mã khoá số của chiếc Vali du lịch là một dãy số gồm ba chữ số. Mỗi chữ số có thể là một chữ số bất kì từ 0 đến 9. Hỏi có thể có bao nhiêu mã mở khoá khác nhau?

A. .                    B.                     C.                     D.

Câu 3.     Trong kì thi THPT Quốc gia năm 2022 tại một điểm thi có sinh viên tình nguyện được phân công trực hướng dẫn thi sinh ở vị trí khác nhau. Yêu cầu mỗi vị trí có đúng sinh viên. Hỏi có bao nhiêu cách phân công vị trí trực cho 5 sinh viên đó?

A. .                        B. .                   C. .                     D. .

Câu 4.     Có thể tạo thành bao nhiêu véc-tơ khác vectơ không từ hai mươi điểm phân biệt trên mặt phẳng?

A.                          B.               C.                        D.

Câu 5.     Một hộp đựng quả cầu trắng và quả cầu đỏ. Lấy ngẫu nhiên quả. Có bao nhiêu cách để lấy ra được quả đỏ?

A. .                          B. .                       C. .                       D. .

Câu 6.     Một đề kiểm tra trắc nghiệm có 10 câu hỏi, mỗi câu hỏi chỉ có 1 đáp án đúng trong 4 đáp án. Giả sử các đáp án được chọn ngẫu nhiên. Số khả năng để bạn Uyên làm đúng 5 câu trong 10 câu hỏi của đề thi đó là:

A. .                B. .             C. .     D. .

Câu 7.     Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu-tơn của biểu thức . 

A. .              

B. .

C. .                 

D. .

Câu 8.     Hệ số của trong khai triển biểu thức  là:

A. .                      B..                  C..                        D. .

Câu 9.     Tìm tổng

A. .                     B. .              C.  .             D.  .

Câu 10.   Cho số gần đúng với độ chính xác . Hãy viết số quy tròn của số a

A. .             B. .          C.          D. .

Câu 11.   Điểm trung bình thi học kỳ II môn Toán của một nhóm gồm học sinh lớp 12A6 là . Biết rằng tổng điểm môn toán của nhóm này là . Tìm số học sinh của nhóm.

A. .                          B. .                         C. .                         D. .

Câu 12.   Thống kê điểm kiểm tra môn Toán của lớp 10A1 trường THPT Chu Văn An được ghi lại như sau:

 

Số trung vị của mẫu số liệu trên là

A. .                           B. .                         C. .                         D. .

Câu 13.   Theo kết quả thống kê điểm thi học kỳ 1 môn toán khối 10 của trường THPT Chu Văn An, người ta tính  được phương sai của bảng thống kê đó là . Độ lệch chuẩn của bảng thống kê đó bằng:

A. .                    B. .                 C. .                 D. .

Câu 14.   Tính phương sai của dãy số liệu:

A. .    

B. .                                    

C. .                        

D. .

Câu 15.   Mẫu số liệu sau cho biết chiều cao (đơn vị cm) của các bạn trong tổ:

                                                163    159   172    167    165    168    170    161.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là:

A. .                          B. .                       C. .                       D. .

Câu 16.   Gieo một đồng xu cân đối và đồng chất liên tiếp lần thì là bao nhiêu?

A. .                           B. .                        C. .                      D. .

Câu 17.   Gieo một con súc sắc. Xác suất để mặt lẻ chẵn xuất hiện là:

A. 0,2                              B. 0,3                            C. 0,4.                           D. 0,5

Câu 18.   Gieo hai con súc xắc cân đối và đồng chất. Xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai  con  súc xắc bằng 5 là:

A. .             B. .           C. .           D. .

Câu 19.   Gieo hai con xúc xắc một cách vô tư. Tính xác suất của biến cố “Các mặt xuất hiện có số chấm   bằng nhau”.

A. .             B. .           C. .           D. .

Câu 20.   Gieo một con súc xắc cân đối và đồng chất hai lần. Xác suất để ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu chấm là

A. .     B. .   C. .       D. .

Câu 21.   Cho tập hợp . Chọn ngẫu nhiên từ ra ba số tự nhiên. Xác suất để chọn được ba số có tích là một số chẵn là:

A. .                 

B. .                                 

C. .                                     

D. .

Câu 22.   Trường THPT Cao Bá Quát có 23 lớp, trong đó khối 10 có 8 lớp, khối 11 có 8 lớp,  khối 12 có 7 lớp, mỗi lớp có một chi đoàn, mỗi chi đoàn có một em làm bí thư. Các em bí thư  đều giỏi và rất năng động nên Ban chấp hành Đoàn trường chọn ngẫu nhiên 9 em bí thư đi thi cán bộ đoàn giỏi cấp thành phố. Tính xác suất để 9 em được chọn có đủ cả ba khối?

A. .                                   

B. .             

C. .             

D. .

Câu 23.   Trong mặt phẳng toạ độ cho hai điểm .Toạ độ của vectơ là:

A.                                         

B.                  

C.                  

D.

Câu 24.   Trong mặt phẳng toạ độ cho .Toạ độ của vectơ là:

A.                                         

B.                   

C.                     

D.

Câu 25.   Cho tam giác với . Tìm toạ độ điểm thuộc trục để   đạt giá trị nhỏ nhất.

A.                         

B.                                       

C.  

D.

Câu 26.   Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của ?

A..                                     

B. .              

C. .              

D. .

Câu 27.   Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương có phương trình tham  số là:

A. .           

B. .                        

C. .                         

D. .

Câu 28.   Trong mặt phẳng với hệ tọa độ  cho đường thẳng  và đường thẳng  .Nêu vị trí tương đối của và

A. Cắt nhau và không vuông góc.  

B. Vuông góc với nhau.

C. Song song với nhau.                                                       

D. Trùng nhau.

Câu 29.   Tìm tất cả các giá trị của tham số để khoảng cách từ điểm đến đường thẳng    bằng .

A.                      B. .                C. .                   D. .

Câu 30.   Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ , cho đường tròn có phương trình . Gọi là tâm của đường tròn . Tính tổng

A. .                      B. .                    C. .                 D. .

Câu 31.   Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ cho điểm . Viết phương trình đường tròn tâm , bán kính .

A. .                   

B. .

C. .                    

D. .

Câu 32.   Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho đường tròn tâm tiếp xúc với đường thẳng . Viết phương trình đường tròn .

A. .                            

B. .

C. .                            

D. .

Câu 33.   Trong mặt phẳng cho elip có độ dài trục lớn bằng 10, độ dài tiêu cự bằng 8. Viết phương trình chính tắc của .

A.  

B.                  

C.                        

D.

Câu 34.   Trong mặt phẳng , Hyperbol có một tiêu điểm là điểm nào dưới đây?

A.                                      

B.                

C.                                

D.

Câu 35.   Cho Parabol và đường thẳng . Tìm điểm sao cho     khoảng cách từ đến là ngắn nhất.

A.                                 

B.                 

C.                                    

D.

II. PHẦN TỰ LUẬN (3 Điểm)

Câu 36.   (1 điểm)     Bạn An đo chiều dài của một sân bóng ghi được . Bạn Bình đo chiều cao của một cột cờ  được . Trong 2 bạn A và B, bạn nào có phép đo chính xác hơn và sai số tương đối trong phép đo của bạn đó là bao nhiêu?

Câu 37.   (1 điểm) Tìm tất cả các giá trị của tham số sao cho hai đường thẳng và   hợp với nhau một góc .

Câu 38.   (0,5 điểm) Cho đa giác đều nội tiếp trong đường tròn tâm . Biết rằng số tam giác có đỉnh là trong điểm gấp lần so với số hình chữ nhật có đỉnh là trong điểm .  Tìm ?

Câu 39.   (0,5 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ , cho điểm . Viết phương trình đường thẳng đi qua cắt các tia tại và sao cho nhỏ nhất.

                                                       -----------------------------------------------------

Lời giải

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

THỰC HIỆN: BAN CHYÊN MÔN trithuchub.com

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (35 câu - 7,0 điểm).

Câu 1.     Lớp 10A có 20 bạn nữ và 18 bạn nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một học sinh làm lớp trưởng?

A. cách.                  B. cách.                C. cách.               D. .

Phương pháp

Áp dụng quy tắc cộng

Lời giải:

Chọn A

Chọn một học sinh trong số 20 hs nữ và 18 học sinh nam có: cách.

Câu 2.     Mã khoá số của chiếc Vali du lịch là một dãy số gồm ba chữ số. Mỗi chữ số có thể là một chữ số bất kì từ 0 đến 9. Hỏi có thể có bao nhiêu mã mở khoá khác nhau?

A. .                     B.                     C.                     D.

Phương pháp

Áp dụng quy tắc nhân

Lời giải:

Chọn A

Chữ số thứ nhất có 10 cách chọn

Chữ số thứ hai có 10 cách chọn

Chữ số thứ ba có 10 cách chọn

Vậy có: (mã).

Câu 3.     Trong kì thi THPT Quốc gia năm 2022 tại một điểm thi có sinh viên tình nguyện được phân công trực hướng dẫn thi sinh ở vị trí khác nhau. Yêu cầu mỗi vị trí có đúng sinh viên. Hỏi có bao nhiêu cách phân công vị trí trực cho 5 sinh viên đó?

A. .                     B. .                   C. .                     D. .

Phương pháp

Áp dụng công thức hoán vị

Lời giải:

Chọn C

Mỗi cách phân công sinh viên trực ở vị trí khác nhau là hoán vị củaphần tử.

Vậy có tất cả là .

Câu 4.     Có thể tạo thành bao nhiêu véc-tơ khác vectơ không từ hai mươi điểm phân biệt trên mặt phẳng?

A.                     B.               C.                        D.

Phương pháp

Áp dụng công thức chỉnh hợp

Lời giải:

Chọn D

Mỗi vectơ khác vectơ không được tạo thành bằng cách lấy hai điểm từ hai mươi điểm đã cho và phân biệt thứ tự điểm đầu và điểm cuối. Như vậy, mỗi vectơ là một chỉnh hợp chập 2 của 20. Vậy     số các vectơ tạo thành là: .

Câu 5.     Một hộp đựng quả cầu trắng và quả cầu đỏ. Lấy ngẫu nhiên quả. Có bao nhiêu cách để lấy ra được quả đỏ?

A. .                      B. .                          C. .                       D. .

Phương pháp

Áp dụng công thức tổ hợp

Lời giải:

Chọn D

Lấy quả gồm quả đỏ và quả trắng,

Với quả cầu đỏ lấy quả, ta có cách.

Với quả cầu trắng lấy quả, ta có cách.

Vậy có cách.

Câu 6.     Một đề kiểm tra trắc nghiệm có 10 câu hỏi, mỗi câu hỏi chỉ có 1 đáp án đúng trong 4 đáp án. Giả sử các đáp án được chọn ngẫu nhiên. Số khả năng để bạn Uyên làm đúng 5 câu trong 10 câu hỏi của đề thi đó là:

A. .                B. .             C. .     D. .

Phương pháp

Áp dụng công thức tổ hợp

Lời giải:

Chọn C

Mỗi cách chọn 5 câu làm đúng trong 10 câu là một tổ hợp chập 5 của 10 phần tử nên có

Vì 5 câu còn lại làm sai, mỗi câu có 3 đáp án sai nên có

Vậy có                 

Câu 7.     Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu-tơn của biểu thức . 

A. .              

B. .

C. .                 

D. .

Phương pháp

Áp dụng công thức nhị thức Newton

Lời giải:

Chọn A

Câu 8.     Hệ số của trong khai triển biểu thức  là:

A. .                     B..                  C..                        D. .

Phương pháp

Áp dụng công thức nhị thức Newton

Lời giải:

Chọn B

Ta có .

Hệ số của là .

Câu 9.     Tìm tổng

A. .                                     

B. .             

C.  .            

D.  .

Phương pháp

Áp dụng công thức nhị thức Newton

Lời giải:

Chọn D

 Xét khai triển

Cho ta có:

Câu 10.   Cho số gần đúng với độ chính xác . Hãy viết số quy tròn của số a

A. .                             B. .          C.          D. .

Phương pháp

Khi thay số đúng bởi số quy tròn đến một hàng nào đó thì sai số tuyệt đối của số quy tròn không   vượt quá nửa đơn vị của hàng quy tròn. Như vậy, độ chính sác của số quy tròn bằng nửa đơn vị của hàng quy tròn.

Lời giải:

Chọn B

Số quy tròn của số là

Câu 11.   Điểm trung bình thi học kỳ II môn Toán của một nhóm gồm học sinh lớp 12A6 là . Biết rằng tổng điểm môn toán của nhóm này là . Tìm số học sinh của nhóm.

A. .                                          B. .                         C. .                         D. .

Phương pháp

Số trung bình cộng của mẫu số liệu là:

Lời giải:

Chọn B

Ta có giá giá trị (học sinh).

Câu 12.   Thống kê điểm kiểm tra môn Toán của lớp 10A1 trường THPT Chu Văn An được ghi lại như sau:

 

Số trung vị của mẫu số liệu trên là

A. .  B. .                            C. .                         D. .

Phương pháp

Sắp thứ tự mẫu số liệu gồm n số liệu thành một dãy không giảm ( hoặc không tăng).

- Nếu n là lẻ thì số liệu đứng ở vị trí thứ ( số đứng chính giữa) gọi là trung vị

- Nếu n là chẵn thì số trung bình cộng của hai số liệu đứng ở vị trí thứ và gọi là trung vị

Lời giải

Chọn C

Các số liệu đã được xếp theo thức tự tăng dần.

Tổng số có 35 số liệu nên số trung vị là giá trị ở vị trí 18.

Vậy số trung vị là 7.

Câu 13.   Theo kết quả thống kê điểm thi học kỳ 1 môn toán khối 10 của trường THPT Chu Văn An, người ta tính  được phương sai của bảng thống kê đó là . Độ lệch chuẩn của bảng thống kê đó bằng:

A. .                                    B. .                 C. .                 D. .

Phương pháp

Căn bậc hai của phương sai gọi là Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu thống kê

Lời giải

Chọn B

Ta có công thức tính độ lệch chuẩn là .

Câu 14.   Tính phương sai của dãy số liệu:

A. .                     

B. .                 

C. .                   

D. .

Phương sai

Cho mẫu số liêu thống kê có n giá trị và số trung bình cộng .

Ta gọi số là phương sai của mẫu số liệu

Lời giải

Chọn D

Bảng phân bố tần số của dãy số liệu:

               

Ta có .

Phương sai là:

Câu 15.   Mẫu số liệu sau cho biết chiều cao (đơn vị cm) của các bạn trong tổ:

               163    159   172    167    165    168    170    161.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là:

A. .                                          B. .                       C. .                       D. .

Phương pháp

Trong một mẫu số liệu, khoảng biến thiên là hiệu số giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của   mẫu số liệu đó.

Ta có thể tính khoảng bến thiên R của mẫu số liệu theo công thức , trong đó là giá trị lớn nhất, là giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu đó.

Lời giải

Chọn B

Chiều cao thấp nhất, cao nhất tương ứng là 159; 172.

Do đó, khoảng biến thiên là: .

Câu 16.   Gieo một đồng xu cân đối và đồng chất liên tiếp lần thì là bao nhiêu?

A. .                  B. .                           C. .                      D. .

Phương pháp

Sử dụng các quy tắc đếm

Lời giải

Chọn C

 .

Câu 17.   Gieo một con súc sắc. Xác suất để mặt lẻ chẵn xuất hiện là:

A. 0,2.                    B. 0,3.                              C. 0,4.                           D. 0,5.

Phương pháp

Áp dụng công thức tính xác suất

Lời giải

Chọn D

Không gian mẫu:

Biến cố xuất hiện mặt chẵn:

Suy ra 

Câu 18.   Gieo hai con súc xắc cân đối và đồng chất. Xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai  con  súc xắc bằng 5 là:

A. .                B. .           C. .           D. .

Phương pháp

Áp dụng công thức tính xác suất

Lời giải

Chọn C

Gọi A:”tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc xắc bằng 5”.

Vậy  

Câu 19.   Gieo hai con xúc xắc một cách vô tư. Tính xác suất của biến cố “Các mặt xuất hiện có số chấm   bằng nhau”.

A. .                    B. .           C. .          D. .

Phương pháp

Áp dụng công thức tính xác suất

Lời giải

Chọn B

Ta có:  .

Số cách xuất hiện các mặt có số chấm bằng nhau là:

Vậy

Câu 20.   Gieo một con súc xắc cân đối và đồng chất hai lần. Xác suất để ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu chấm là

A. .                     

B. .                     

C. .                         

D. .

Phương pháp

Áp dụng công thức tính xác suất

Lời giải

Chọn B

. Gọi :”ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu chấm”.

Khi đó :”không có lần nào xuất hiện mặt sáu chấm”.

Ta có. Vậy .

Câu 21.   Cho tập hợp . Chọn ngẫu nhiên từ ra ba số tự nhiên. Xác suất để chọn được ba số có tích là một số chẵn là:

A. .                                 

B. .                                 

C. .                                     

D. .

Phương pháp

Áp dụng công thức tính xác suất

Lời giải

Chọn C

Mỗi phần tử của không gian mẫu ứng với một tổ hợp chập 3 của 9 phần tử

Ta có:  cách chọn.

Tích ba số là một số chẵn thì ít nhất 1 trong 3 số phải là số chẵn.

Gọi là biến cố: 3 số được chọn có ít nhất một số chẵn;

là biến cố: 3 số được chọn là 3 số lẻ. Suy ra cách chọn.

Vậy xác suất để chọn được ba số có tích là một số chẵn là .

Câu 22.   Trường THPT Cao Bá Quát có 23 lớp, trong đó khối 10 có 8 lớp, khối 11 có 8 lớp,  khối 12 có 7 lớp, mỗi lớp có một chi đoàn, mỗi chi đoàn có một em làm bí thư. Các em bí thư  đều giỏi và rất năng động nên Ban chấp hành Đoàn trường chọn ngẫu nhiên 9 em bí thư đi thi cán bộ đoàn giỏi cấp thành phố. Tính xác suất để 9 em được chọn có đủ cả ba khối?

A. .             

B. .             

C. .             

D. .

Phương pháp

Áp dụng công thức tính xác suất

Lời giải

Chọn C

Số phần tử của không gian mẫu là:

Gọi A là biến cố “9 em được chọn có đủ cả ba khối”

 “9 em được chọn không có đủ ba khối”

Vì mỗi khối số bí thư đều nhỏ hơn 9 nên có các khả năng sau:

                TH1: Chỉ có học sinh ở khối 10 và 11. Có cách.

                TH2: Chỉ có học sinh ở khối 11 và 12. Có cách.

                TH3: Chỉ có học sinh ở khối 10 và 12. Có cách.

Số phần tử của biến cố là:

Xác suất của biến cố là: .

Xác suất của biến cố A là: .

Câu 23.   Trong mặt phẳng toạ độ cho hai điểm .Toạ độ của vectơ là:

A.                    

B.                  

C.                  

D.

Phương pháp

Với thì

Lời giải

Chọn C

 

Câu 24.   Trong mặt phẳng toạ độ cho .Toạ độ của vectơ là:

A.                    

B.                   

C.                     

D.

Phương pháp

Trong mặt phẳng , cho ; . Tọa độ vectơ

Lời giải

Chọn A

Ta có

Vậy

Câu 25.   Cho tam giác với . Tìm toạ độ điểm thuộc trục để   đạt giá trị nhỏ nhất.

A.    

B.                                       

C.    

D.

Phương pháp

M là hình chiếu vuông góc của lên với là trọng tâm tam giác

Lời giải

Chọn D

Gọi là trọng tâm tam giác

Ta có

nhỏ nhất khi nhỏ nhất

mà là hình chiếu vuông góc của lên

Câu 26.   Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của ?

A..               

B. .              

C. .              

D. .

Phương pháp

Phương trình đường thẳng có VTPT là

Lời giải

Chọn B

 (d:x - 2y + 2023 = 0 \Rightarrow VTPT\overrightarrow {{n_d}}  = \left( {1; - 2} \right)\)

 

Câu 27.   Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương có phương trình tham  số là:

A. .                            

B. .                        

C. .                         

D. .

Phương pháp

Phương trình tham số đường thẳng đi qua điểm và có VTCP là

Lời giải

Chọn B

 PTTS đường thẳng đi qua điểm và có VTCP là

 

Câu 28.   Trong mặt phẳng với hệ tọa độ  cho đường thẳng  và đường thẳng  .Nêu vị trí tương đối của và

A. Cắt nhau và không vuông góc.  

B. Vuông góc với nhau.

C. Song song với nhau.                                                       

D. Trùng nhau.

Phương pháp

Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Lời giải

Chọn A

Câu 29.   Tìm tất cả các giá trị của tham số để khoảng cách từ điểm đến đường thẳng    bằng .

A.                                     

B. .               

C. .                  

D. .

Phương pháp

Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng là

Lời giải

Chọn D

Câu 30.   Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ , cho đường tròn có phương trình . Gọi là tâm của đường tròn . Tính tổng

A. .                  B. .                    C. .                 D. .

Phương pháp

Phương trình đường tròn có dạng . và  tọa độ tâm     , bán kính

Lời giải

Chọn C

Đường tròn có tâm   và bán kính

Câu 31.   Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ cho điểm . Viết phương trình đường tròn tâm , bán kính .

A. .                                   

B. .

C. .                                    

D. .

Phương pháp

Phương trình đường tròn (O) có tâm I(a,b) và bán kính R là :

Lời giải

Chọn A

Đường tròn có tâm và bán kính có phương trình là: .

Câu 32.   Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho đường tròn tâm tiếp xúc với đường thẳng . Viết phương trình đường tròn .

A. .      

B. .

C. .                            

D. .

Phương pháp

Phương trình đường tròn (O) có tâm I(a,b) và bán kính R là :

Lời giải

Chọn D

Do tiếp xúc với nên có bán kính .

.

Câu 33.   Trong mặt phẳng cho elip có độ dài trục lớn bằng 10, độ dài tiêu cự bằng 8. Viết phương trình chính tắc của .

A.                  

B.                  

C.                        

D.

Phương pháp

Phương trình Elip có hai tiêu điểm ; với

Lời giải

Chọn D

 Ta có: . Độ dài trục bé: .

Phương trình chính tắc của Elíp là:

Câu 34.   Trong mặt phẳng , Hyperbol có một tiêu điểm là điểm nào dưới đây?

A.                 

B.           

C.           

D.

Phương pháp

Phương trình Hypebol có hai tiêu điểm ; với

Lời giải

Chọn A

Ta có:

Vậy hai tiêu điểm của hyperbol là .

Câu 35.   Cho Parabol và đường thẳng . Tìm điểm sao cho     khoảng cách từ đến là ngắn nhất.

A.            

B.               

C.               

D.

Phương pháp

Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng là

Lời giải

Chọn A

 Gọi

Ta có

II. PHẦN TỰ LUẬN (3 Điểm)

Câu 36.   (1 điểm) Bạn An đo chiều dài của một sân bóng ghi được . Bạn Bình đo chiều cao của một cột cờ được . Trong 2 bạn A và B, bạn nào có phép đo chính xác hơn và sai số tương đối trong  phép đo của bạn đó là bao nhiêu?

Phương pháp

Ta nói a là số gần đúng của số đúng với độ chính xác d nếu và quy ước viết gọn là

Tỉ số được gọi là sai số tương đối của số gần đúng a.

Lời giải:

Phép đo của bạn An có sai số tương đối

Phép đo của bạn Bình có sai số tương đối

Như vậy phép đo của bạn An có độ chính xác cao hơn.

Câu 37.   (1 điểm) Tìm tất cả các giá trị của tham số sao cho hai đường thẳng và   hợp với nhau một góc .

Phương pháp

Sử dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng

Lời giải:

  có VTPT

có VTCP VTPT

Câu 38.   (0,5 điểm) Cho đa giác đều nội tiếp trong đường tròn tâm . Biết rằng số tam giác có đỉnh là trong điểm gấp lần so với số hình chữ nhật có đỉnh là trong  điểm .  Tìm ?

Phương pháp

Sử dụng các quy tắc đếm

Lời giải:

Số tam giác có 3 đỉnh là trong điểm là .

Ứng với hai đường chéo đi qua tâm của đa giác cho tương ứng một hình chữ nhật có 4 đỉnh

là điểm trong điểm và ngược lại mỗi hình chữ nhật như vậy sẽ cho ra đường chéo đi qua tâm của đa giác.

Mà số đường chéo đi qua tâm của đa giác đều đỉnh là nên số hình chữ nhật có đỉnh là trong điểm là

Theo đề bài ta có: .

Câu 39.   (0,5 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ , cho điểm . Viết phương trình đường thẳng đi qua cắt các tia tại và sao cho nhỏ nhất.

Phương pháp

PT đường thẳng cắt tia tại , tia tại có dạng:

Lời giải:

PT đường thẳng cắt tia tại , tia tại có dạng:

nên .

Mà

Mà

Vậy phương trình đường thẳng là:

------------------------------------------------                                    

Đề bài

Trắc nghiệm ( 7 điểm)

Câu 1. Lớp \(10\;A\) có 21 bạn nam và 18 bạn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một học sinh làm lớp trưởng?

A. 168 cách.                    B. 29 cách.                    C. 39 cách.                    D. 158 cách.

Câu 2. Một quán ăn phục vụ 5 món ăn vặt và 2 loại nước uống. Hỏi bạn Mai có bao nhiêu cách để gọi một món ăn và một loại nước uống?

A. 5 cách.                        B. 7 cách.                      C. 10 cách.                    D. 3 cách.

Câu 3. Ví dụ nào sau đây là một ví dụ về hoán vị?

A. Số cách xếp hàng theo hàng dọc của 10 bạn.

B. Số cách chia 10 bạn vào hai nhóm.

C. Số cách chọn ra 4 bạn trong nhóm 10 bạn.

D. Số cách xếp hàng của 5 bạn trong nhóm 10 bạn.

Câu 4. Đội tuyển toán có 5 bạn nam và 7 bạn nữ. Giáo viên phải chọn ra một nhóm bốn bạn. Hỏi giáo viên có bao nhiêu cách chọn?

A. \(\frac{{12!}}{{4!}}\).     B. 12!.                           C. \(C_{12}^4\).              D. \(A_{12}^4\).

Câu 5. Cho tập hợp \(A = \{ 1;2;3;4;5;6;7\} \). Hỏi có bao nhiêu cách lập được số có ba chữ số khác nhau từ các chữ số thuộc tập hợp \(A\)?

A. \(C_7^3\).                    B. \(C_7^4\).                  C. \(A_7^3\).                  D. \(A_7^4\).

Câu 6. Số cách chia 10 học sinh thành ba nhóm lần lượt có \(2,3,5\) học sinh là:

A. \(C_{10}^2 + C_{10}^3 + C_{10}^5\).                   

B. \(C_{10}^2 \cdot C_8^3 \cdot C_5^5\).

C. \(C_{10}^2 + C_8^3 + C_5^5\).                           

D. \(C_{10}^5 + C_5^3 + C_2^2\).

Câu 7. Có bao nhiêu cách xếp 5 sách Văn khác nhau và 7 sách Toán khác nhau trên một kệ sách dài nếu các sách Văn phải xếp kề nhau?

A. 5!.7!.                           B. \(2.5!.7!\).                 C. \(5!.8!\).                    D. \(12!\).

Câu 8. Giả sử ta dùng 5 màu để tô cho 3 nước khác nhau trên bản đồ và không có màu nào được dùng hai lần. Số các cách để chọn những màu cần dùng là:

A. \(\frac{{5!}}{{2!}}\).      

B. 8.                                

C. \(\frac{{5!}}{{3!2!}}\).   

D. \({5^3}\).

Câu 9. Khai triển của \({(x + 1)^4}\) là:

A. \({x^4} + 2{x^2} + 1\).                                        

B. \({x^4} + 4{x^3} + 6{x^2} + 4x + 1\).                    

C. \({x^4} + 5{x^3} + 10{x^2} + 5x + 1\).                  

D. \({x^4} + 3{x^3} + 4{x^2} + 3x + 1\).

Câu 10. Hệ số của \({x^3}\) trong khai triển của \({(2x + 1)^4}\) là:

A. 4.                                B. 6.                              C. 10.                            D. 32.

Câu 11. Giả sử có khai triển \({(1 - 2x)^n} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} +  \ldots  + {a_n}{x^n}\). Tìm \({a_4}\) biết \({a_0} + {a_1} + {a_2} = 31\).

A. 80.                              B. \( - 80\).                     C. 40.                            D. \( - 40\).

Câu 12. Hình chữ nhật có các cạnh:\(x = 2m \pm 1cm\), \(y = 5m \pm 2cm\). Diện tích hình chữ nhật và sai số tuyệt đối của giá trị đó là:

A. \(10{m^2}\) và \(900c{m^2}\).                           

B. \(10{m^2}\) và \(500c{m^2}\).                           

C. \(10{m^2}\) và \(400c{m^2}\).                           

D. \(10{m^2}\) và \(1404\;c{m^2}\).

Câu 13. Một hình chữ nhật có diện tích là \(S = 108,57c{m^2} \pm 0,06c{m^2}.\) Số các chữ số chắc của \(S\)là:

A. \(5.\)                            B. \(4.\)                         C. \(3.\)                         D. \(2.\)

Câu 14. Cho tam giác \(ABC\) có độ dài ba cạnh đo được như sau \(a = 12\,{\rm{cm}} \pm 0,2\,{\rm{cm}}\); \(b = 10,2\,{\rm{cm}} \pm 0,2\,{\rm{cm}}\); \(c = 8\,{\rm{cm}} \pm 0,1\,{\rm{cm}}\). Tính chu vi \(P\) của tam giác và đánh giá sai số tuyệt đối, sai số tương đối của số gần đúng của chu vi qua phép đo.

A. \(1,6\% \)                     B. \(1,7\% \)                  C. \(1,662\% \)               D. \(1,66\% \)

Câu 15. Số áo bán được trong một quý ở cửa hàng bán áo sơ mi nam được thống kê như sau:

Cỡ áo	36	37	38	39	40	41	42
Tần số (Số áo bán được)	13	45	126	125	110	40	12

Giá trị mốt của bảng phân bố tần số trên bằng

 

A. \(38\).                          B. \(126\).                      C. \(42\).                        D. \(12\).

Câu 16. Tiền lương hàng tháng của \(7\) nhân viên trong một công ty du lịch lần lượt là:\(6,5\); \(8,4\); \(6,9\); \(7,2\); \(2,5\); \(6,7\); \(3,0\) (đơn vị: triệu đồng). Số trung vị của dãy số liệu thống kê trên bằng

A. \(6,7\) triệu đồng.      

B. \(7,2\) triệu đồng.      

C. \(6,8\) triệu đồng.      

D. \(6,9\) triệu đồng.

Câu 17. Cho phương sai của các số liệu bằng \(4\). Tìm độ lệch chuẩn.

A. \(4\).                            B. \(2\).                         C. \(16\).                        D. \(8\).

Câu 18. Độ lệch chuẩn là

A. Căn bậc hai của phương sai.                           

B. Bình phương của phương sai.

C. Một nửa của phương sai.                                

D. Không phải các công thức trên.

Câu 19. Có 100 học sinh tham dự kì thi học sinh giỏi Toán (thang điểm 20). Kết quả cho trong bảng sau:

 

Khi đó độ lệch chuẩn là

A. \(1,98\).                       B. \(3,96\).                     C. \(15,23\)                    D. \(1,99\).

Câu 20. Điểm thi của lớp 10C của một trường Trung học Phổ Thông được trình bày ở bảng phân bố tần số sau:

 Phương sai của bảng phân bố tần số đã cho là:

A. \(0,94\)                        B. \(3,94.\)                     C. \(2,94.\)                     D. \(1,94.\)

Câu 21. Điểm thi môn Toán lớp 10A₂ của một Trường trung học phổ thông được trình bày ở bảng phân bố tần số sau

Điểm thi	\(5\)	\(6\)	\(7\)	\(8\)	\(9\)	\(10\)
Tần số	\(7\)	\(5\)	\(10\)	\(12\)	\(4\)	\(2\)	\(n = 40\)

Trong các giá trị dưới đây, giá trị nào gần nhất với phương sai của bảng phân bố tần số trên?

A. \(0,94\).                       B. \(3,94\).                     C. \(2,94\).                     D. \(1,94\).

Câu 22. Gieo một đồng xu cân đối và đồng chất liên tiếp ba lần. Gọi \(A\) là biến cố “Có ít nhất hai mặt sấp xuất hiện liên tiếp” và \(B\) là biến cố “Kết quả ba lần gieo là như nhau”. Xác định biến cố \(A \cup B.\)

A. \(A \cup B = \left\{ {SSS,\,SSN,\,NSS,\,SNS,\,NNN} \right\}\)                      

B. \(A \cup B = \left\{ {SSS,\,NNN} \right\}\).

C. \(A \cup B = \left\{ {SSS,\,SSN,\,NSS,\,NNN} \right\}\)                           

D. \(A \cup B = \Omega \).

Câu 23. Gieo ngẫu nhiên một đồng tiền cân đối và đồng chất \(5\) lần. Tính số phần tử không gian mẫu.

A. \(64\).                          B. \(10\).                        C. \(32\).                        D. \(16\).

Câu 24. Gieo một con súc sắc. Xác suất để mặt \(6\) chấm xuất hiện.

A. \(\frac{1}{6}\).            B. \(\frac{5}{6}\).          C. \(\frac{1}{2}\).          D. \(\frac{1}{3}\).

Câu 25. Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất 2 lần. Tính xác suất để tổng số chấm trong hai lần gieo nhỏ hơn 6.

A. \(\frac{2}{9}\).             

B. \(\frac{{11}}{{36}}\).  

C. \(\frac{1}{6}\).           

D. \(\frac{5}{{18}}\).

Câu 26. Trong hệ trục \(Oxy,\) cho Elip \(\left( E \right)\) có các tiêu điểm \({F_1}\left( { - 4;0} \right),{F_2}\left( {4;0} \right)\) và một điểm \(M\) nằm trên \(\left( E \right)\). Biết rằng chu vi của tam giác \(M{F_1}{F_2}\) bằng 18. Xác định tâm sai e của \(\left( E \right).\)

A. \(e = \frac{4}{5}\).       

B. \(e = \frac{4}{{18}}\).   

C. \(e =  - \frac{4}{5}\).     

D. \(e = \frac{4}{9}\).

Câu 27. Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(\vec a = (1;2),\vec b = (3; - 3)\). Toạ độ của vectơ \(\vec c = 3\vec a - 2\vec b\) là:

A. \(( - 3;12)\).                 

B. \((3;12)\).                    

C. \((9;0)\).                      

D. \(( - 3;0)\).

Câu 28. Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho ba điểm \(A( - 1;2),B(2; - 2),C(3;1)\). Toạ độ của vectơ \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} \) là:

A. \(( - 4; - 1)\).                 B. \((4; - 1)\).                 C. \(( - 4;1)\).                 D. \((4;1)\).

Câu 29. Một đường thẳng có bao nhiêu vectơ pháp tuyến?

A. 0.                                B. 1.                              C. 2.                              D. Vô số.

Câu 30. Phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n(a;b)\) là:

A. \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b}\).       

B. \(b\left( {x - {x_0}} \right) - a\left( {y - {y_0}} \right) = 0\).

C. \(a\left( {x + {x_0}} \right) + b\left( {y + {y_0}} \right) = 0\).

D. \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0\).

Câu 31. Đường Hyperbol \(\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\) có một tiêu điểm là điểm nào dưới đây ?

A.\(\left( { - 5;0} \right)\).

B.\(\left( {0;\sqrt 7 } \right)\).                              

C. \(\left( {\sqrt 7 ;0} \right)\).                                    

D. \(\left( {0;5} \right)\).

Câu 32. Đường elip \(\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{7} = 1\) có tiêu cự bằng

A. \(3\).                           B. \(9\).                        C. \(6\).                        D. \(18\).

Câu 33. Trong mặt phẳng \(Oxy\), phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn?

A. \({x^2} + 2{y^2} - 4x - 8y + 1 = 0\).                      

B. \({x^2} + {y^2} - 4x + 6y - 12 = 0\).

C. \({x^2} + {y^2} - 2x - 8y + 20 = 0\).                      

D. \(4{x^2} + {y^2} - 10x - 6y - 2 = 0\).

Câu 34. Trong mặt phẳng \(Oxy\), đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 4x + 6y - 12 = 0\) có tâm là.

A. \(I\left( { - 2; - 3} \right)\).                                   B. \(I\left( {2;3} \right)\). C. \(I\left( {4;6} \right)\).        D. \(I\left( { - 4; - 6} \right)\).

Câu 35. Đường tròn \(\left( C \right)\) đi qua hai điểm \(A\left( {1;1} \right)\), \(B\left( {5;3} \right)\) và có tâm \(I\) thuộc trục hoành có phương trình là

A. \({\left( {x + 4} \right)^2} + {y^2} = 10\).              

B. \({\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} = 10\).

C. \({\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} = \sqrt {10} \).   

D. \({\left( {x + 4} \right)^2} + {y^2} = \sqrt {10} \).

Tự luận (3 điểm)

Câu 1. Từ một nhóm 30 học sinh lớp 12 gồm 15 học sinh khối \(A,10\) học sinh khối \(B\) và 5 học sinh khối \(C\), cần chọn ra 15 học sinh, hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho:

a) Số học sinh mỗi khối là bằng nhau?

b) Có ít nhất 5 học sinh khối \(A\) và có đúng 2 học sinh khối \(C\)?

Câu 2. Cho biểu thức \(Q = {(xy - 1)^5}\).

a) Viết khai triển biểu thức \(Q\) bằng nhị thức Newton.

b) Tìm số hạng có chứa \({x^2}{y^2}\) trong khai triển trên.

Câu 3. Người ta tiến hành phỏng vấn một số người về chất lượng của một loại sản phẩm mới. người điều tra yêu cầu cho điểm sản phẩm ( thang điểm 100) kết quả như sau:

80        65        51        48        45        61        30        35        84        83        60            58        75

72        68        39        41        54        61        72        75        72        61        58            65

a) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn. Nhận xét gì về các kết quả nhận được.

b) Tìm khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị

c) Tìm giá trị bất thường

Câu 4. Cho tam giác \(ABC\) với \(A( - 1; - 2)\) và phương trình đường thẳng chứa cạnh \(BC\) là \(x - y + 4 = 0\).

a) Viết phương trình đường cao \(AH\) của tam giác.

b) Viết phương trình đường trung bình ứng với cạnh đáy \(BC\) của tam giác.

Lời giải

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

THỰC HIỆN: BAN CHYÊN MÔN trithuchub.com

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (35 câu - 7,0 điểm).

Câu 1. Lớp \(10\;A\) có 21 bạn nam và 18 bạn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một học sinh làm lớp trưởng?

A. 168 cách.                    B. 29 cách.                    C. 39 cách.                    D. 158 cách.

Phương pháp

 Áp dụng quy tắc cộng

Lời giải

Chọn C.

Áp dụng quy tắc cộng số cách chọn một học sinh làm lớp trưởng là \(21 + 18 = 39\)

Câu 2. Một quán ăn phục vụ 5 món ăn vặt và 2 loại nước uống. Hỏi bạn Mai có bao nhiêu cách để gọi một món ăn và một loại nước uống?

A. 5 cách.                        B. 7 cách.                      C. 10 cách.                    D. 3 cách.

Phương pháp

Áp dụng quy tắc nhân

Lời giải

Chọn C.

Áp dụng quy tắc nhân số cách để gọi một món ăn và một loại nước uống là \(21 + 18 = 39\)

Câu 3. Ví dụ nào sau đây là một ví dụ về hoán vị?

A. Số cách xếp hàng theo hàng dọc của 10 bạn.

B. Số cách chia 10 bạn vào hai nhóm.

C. Số cách chọn ra 4 bạn trong nhóm 10 bạn.

D. Số cách xếp hàng của 5 bạn trong nhóm 10 bạn.

Phương pháp

Áp dụng công thức hoán vị

Lời giải

Chọn A.

Câu 4. Đội tuyển toán có 5 bạn nam và 7 bạn nữ. Giáo viên phải chọn ra một nhóm bốn bạn. Hỏi giáo viên có bao nhiêu cách chọn?

A. \(\frac{{12!}}{{4!}}\).     B. 12!.                           C. \(C_{12}^4\).              D. \(A_{12}^4\).

Phương pháp

Áp dụng công thức tổ hợp

Lời giải

Chọn C.

Số học sinh ở đội tuyển toán là \(5 + 7 = 12\)

Vậy giáo viên có \(C_{12}^4\) cách chọn.

Câu 5. Cho tập hợp \(A = \{ 1;2;3;4;5;6;7\} \). Hỏi có bao nhiêu cách lập được số có ba chữ số khác nhau từ các chữ số thuộc tập hợp \(A\)?

A. \(C_7^3\).                    B. \(C_7^4\).                  C. \(A_7^3\).                  D. \(A_7^4\).

Phương pháp

 Áp dụng công thức chỉnh hợp

Lời giải

Chọn C.

 Số cách lập được số có ba chữ số khác nhau từ các chữ số thuộc tập hợp  là \(A_7^3\)

Câu 6. Số cách chia 10 học sinh thành ba nhóm lần lượt có \(2,3,5\) học sinh là:

A. \(C_{10}^2 + C_{10}^3 + C_{10}^5\).                    B. \(C_{10}^2 \cdot C_8^3 \cdot C_5^5\).

C. \(C_{10}^2 + C_8^3 + C_5^5\).                            D. \(C_{10}^5 + C_5^3 + C_2^2\).

Phương pháp

 Áp dụng công thức tổ hợp

Lời giải

Chọn \(B\).

Chọn 2 trong 10 học sinh vào nhóm thứ nhất: có \(C_{10}^2\) cách.

Chọn 3 trong 8 học sinh còn lại vào nhóm thứ hai: có \(C_8^3\) cách.

Chọn 5 trong 5 học sinh cuối cùng vào nhóm thứ ba: có \(C_5^5\) cách.

Vậy có \(C_{10}^2 \cdot C_8^3 \cdot C_5^5\) cách chọn thỏa mãn đề bài.

Câu 7. Có bao nhiêu cách xếp 5 sách Văn khác nhau và 7 sách Toán khác nhau trên một kệ sách dài nếu các sách Văn phải xếp kề nhau?

A. 5!.7!.                          

B. \(2.5!.7!\).                   

C. \(5!.8!\).                      

D. \(12!\).

Phương pháp

Áp dụng công thức hoán vị

Lời giải

Chọn C

Sắp xếp 5 quyển Văn chung một nhóm ngang (nhóm \(V)\): có 5! cách.

Sắp xếp 7 quyển Toán với \(V\) (ta xem như sắp xếp 8 phần tử): có \(8!\) cách. Vậy có tất cả \(5!.8!\) cách sắp xếp thỏa mãn đề bài.

Câu 8. Giả sử ta dùng 5 màu để tô cho 3 nước khác nhau trên bản đồ và không có màu nào được dùng hai lần. Số các cách để chọn những màu cần dùng là:

A. \(\frac{{5!}}{{2!}}\).       B. 8.                              C. \(\frac{{5!}}{{3!2!}}\). D. \({5^3}\).

Phương pháp

 Áp dụng công thức chỉnh hợp

Lời giải

Chọn A

Chọn 3 trong 5 màu để tô vào 3 nước khác nhau: có \(A_5^3 = \frac{{5!}}{{2!}}\) cách.

Câu 9. Khai triển của \({(x + 1)^4}\) là:

A. \({x^4} + 2{x^2} + 1\).                                        

B. \({x^4} + 4{x^3} + 6{x^2} + 4x + 1\).                    

C. \({x^4} + 5{x^3} + 10{x^2} + 5x + 1\).                  

D. \({x^4} + 3{x^3} + 4{x^2} + 3x + 1\).

Phương pháp

Áp dụng công thức \({(a + b)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}\)

Lời giải

Chọn B

Áp dụng công thức \({(a + b)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}\)

Câu 10. Hệ số của \({x^3}\) trong khai triển của \({(2x + 1)^4}\) là:

A. 4.                                B. 6.                              C. 10.                            D. 32.

Phương pháp

Áp dụng công thức \({(a + b)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}\)

Lời giải

Chọn D

Số hạng chúa \({x^3}\) trong khai triển của \({(2x + 1)^4}\) là \(C_4^1{(2x)^3}.1\)

Hệ số của \({x^3}\) trong khai triển của \({(2x + 1)^4}\) là: \(C_4^1{.2^3}.1 = 32\)

Câu 11. Giả sử có khai triển \({(1 - 2x)^n} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} +  \ldots  + {a_n}{x^n}\). Tìm \({a_4}\)biết \({a_0} + {a_1} + {a_2} = 31\).

A. 80.                              B. \( - 80\).                     C. 40.                            D. \( - 40\).

Phương pháp

 Sử dụng công thức \({(1 - 2x)^n} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} +  \ldots  + {a_n}{x^n}\)

Lời giải

Chọn A Ta có:

\({(1 - 2x)^n} = C_n^0{1^n}{( - 2x)^0} + C_n^1{n^{n - 1}}( - 2x) + C_n^2{n^{n - 2}}{( - 2x)^2} +  \ldots  = 1 - 2C_n^1x + 4C_n^2{x^2} +  \ldots \)

Vậy \({a_0} = 1;{a_1} =  - 2C_n^1;{a_2} = 4C_n^2\). Theo bài ra \({a_0} + {a_1} + {a_2} = 31\) nên ta có:

\(1 - 2C_n^1 + 4C_n^2 = 31 \Leftrightarrow 1 - 2\frac{{n!}}{{1!(n - 1)!}} + 4\frac{{n!}}{{2!(n - 2)!}} = 31 \Leftrightarrow 1 - 2n + 2n(n - 1) = 31\)

\( \Leftrightarrow 2{n^2} - 4n - 30 = 0 \Leftrightarrow {n^2} - 2n - 15 = 0 \Rightarrow n = 5\). Từ đó ta có \({a_4} = C_5^4{( - 2)^4} = 80\).

Câu 12. Hình chữ nhật có các cạnh:\(x = 2m \pm 1cm\), \(y = 5m \pm 2cm\). Diện tích hình chữ nhật và sai số tuyệt đối của giá trị đó là:

A. \(10{m^2}\) và \(900c{m^2}\).                           

B. \(10{m^2}\) và \(500c{m^2}\).                           

C. \(10{m^2}\) và \(400c{m^2}\).                           

D. \(10{m^2}\) và \(1404\;c{m^2}\).

Phương pháp

Nếu a là sai số gần đúng của \(\overline a \) thì \({\Delta _a} = \left| {\overline a  - a} \right|\) được gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng a

Lời giải

Chọn D.

Ta có \(x = 2m \pm 1cm \Rightarrow 1,98m \le x \le 2,02m\) và \(y = 5m \pm 2cm \Rightarrow 4,98m \le y \le 5,02m\).

Do đó diện tích hình chữ nhật là \(S = xy\) và \(9,8604 \le S \le 10,1404 \Rightarrow S = 10 \pm 0,1404\).

Câu 13. Một hình chữ nhật có diện tích là \(S = 108,57c{m^2} \pm 0,06c{m^2}.\) Số các chữ số chắc của \(S\) là:

A. \(5.\)                            B. \(4.\)                         C. \(3.\)                         D. \(2.\)

Phương pháp

Nhắc lại định nghĩa số chắc:

Trong cách ghi thập phân của a, ta bảo chữ số k cuả a là chữ số đáng tin (hay chữ số chắc) nếu sai số tuyệt đối ∆_a không vượt quá một đơn vị của hàng có chữ số k.

+ Ta có sai số tuyệt đối bằng \(0,06 > 0,01 \Rightarrow \)chữ số 7 là số không chắc, \(0,06 < 0,1 \Rightarrow \)chữ số 5 là số chắc.

+ Chữ số k là số chắc thì tất cả các chữ số đứng bên trái k đều là các chữ số chắc \( \Rightarrow \) các chữ số \(1,0,8\) là các chữ số chắc. Như vậy ta có số các chữ số chắc của \(S\)là: \(1,0,8,5.\)

Lời giải

Chọn B. Số các chữ số chắc của \(S\)là: 4

Câu 14. Cho tam giác \(ABC\) có độ dài ba cạnh đo được như sau \(a = 12\,{\rm{cm}} \pm 0,2\,{\rm{cm}}\); \(b = 10,2\,{\rm{cm}} \pm 0,2\,{\rm{cm}}\); \(c = 8\,{\rm{cm}} \pm 0,1\,{\rm{cm}}\). Tính chu vi \(P\) của tam giác và đánh giá sai số tuyệt đối, sai số tương đối của số gần đúng của chu vi qua phép đo.

A. \(1,6\% \)                     B. \(1,7\% \)                  C. \(1,662\% \)               D. \(1,66\% \)

Phương pháp

Nếu a là sai số gần đúng của \(\overline a \) thì \({\Delta _a} = \left| {\overline a  - a} \right|\) được gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng

+)Ta nói a là số gần đúng của số đúng \(\overline a \) với độ chính xác d nếu \({\Delta _a} = \left| {\overline a  - a} \right| \le d\) và quy ước viết gọn là \(\overline a  = a \pm d\)

+) Tỉ số \({\delta _a} = \frac{{{\Delta _a}}}{{\left| a \right|}}\) được gọi là sai số tương đối của số gần đúng a.

Lời giải

Chọn D

Giả sử\(a = 12 + {d_1},{\rm{ }}b = 10,2 + {d_2},{\rm{ }}c = 8 + {d_3}\).

Ta có \(P = a + b + c + {d_1} + {d_2} + {d_3} = 30,2 + {d_1} + {d_2} + {d_3}\).

Theo giả thiết, ta có

\( - 0,2 \le {d_1} \le 0,2\, \) ;\({\rm{ }} - 0,2 \le {d_2} \le 0,2\ \) ;\( {\rm{ }} - 0,1 \le {d_3} \le 0,1\)

Suy ra \(--0,5 \le {d_1} + {d_2} + {d_3} \le 0,5\).

Do đó \(P{\rm{ }} = 30,2{\rm{ cm}} \pm 0,5{\rm{ cm}}\).

Sai số tuyệt đối \({\Delta _P} \le 0,5\). Sai số tương đối \({\delta _P} \le \frac{d}{P} \approx 1,66\% \).

Câu 15. Số áo bán được trong một quý ở cửa hàng bán áo sơ mi nam được thống kê như sau:

Cỡ áo	36	37	38	39	40	41	42
Tần số (Số áo bán được)	13	45	126	125	110	40	12

Giá trị mốt của bảng phân bố tần số trên bằng

A. \(38\).                          B. \(126\).                      C. \(42\).                        D. \(12\).

Phương pháp

Mốt của mẫu số liệu là giá trị có tần số lớn nhất trong bảng phân bố tần số và kí hiệu là \({M_0}\).

Lời giải

Chọn A

Vì giá trị \({x_3} = 38\) có tần số \({n_3} = 126\) lớn nhất.

Câu 16. Tiền lương hàng tháng của \(7\) nhân viên trong một công ty du lịch lần lượt là:\(6,5\); \(8,4\); \(6,9\); \(7,2\); \(2,5\); \(6,7\); \(3,0\) (đơn vị: triệu đồng). Số trung vị của dãy số liệu thống kê trên bằng

A. \(6,7\) triệu đồng.      

B. \(7,2\) triệu đồng.      

C. \(6,8\) triệu đồng.      

D. \(6,9\) triệu đồng.

Phương pháp

Sắp thứ tự mẫu số liệu gồm n số liệu thành một dãy không giảm ( hoặc không tăng).

- Nếu n là lẻ thì số liệu đứng ở vị trí thứ \(\frac{{n + 1}}{2}\) ( số đứng chính giữa) gọi là trung vị

- Nếu n là chẵn thì số trung bình cộng của hai số liệu đứng ở vị trí thứ \(\frac{n}{2}\) và \(\frac{n}{2} + 1\) gọi là trung vị

Lời giải

Chọn A

Sắp xếp thứ tự các số liệu thống kê, ta thu dược dãy tăng các số liệu sau:\(2,5\);\(3,0\);\(6,5\);\(6,7\);\(6,9\);\(7,2\); \(8,4\) (đơn vị: triệu đồng).

Số trung vị \({M_e} = 6,7\) triệu đồng.

Số các số liệu thống kê quá ít (\(n = 7 < 10\)), do đó không nên chọn số trung bình cộng làm đại diện cho các số liệu đã cho. Trong trường hợp này ta chọn số trung vị \({M_e} = 6,7\) triệu đồng làm đại diện cho tiền lương hàng tháng của \(7\) nhân viên.

Câu 17. Cho phương sai của các số liệu bằng \(4\). Tìm độ lệch chuẩn.

A. \(4\).                            B. \(2\).                         C. \(16\).                        D. \(8\).

Phương pháp

Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai

Lời giải

Ta có độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai

Nên \({s_x} = \sqrt {s_x^2}  = \sqrt 4  = 2\).

Câu 18. Độ lệch chuẩn là

A. Căn bậc hai của phương sai.                           

B. Bình phương của phương sai.

C. Một nửa của phương sai.                                

D. Không phải các công thức trên.

Phương pháp

Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai

Lời giải

Chọn A.Căn bậc hai của phương sai.

Câu 19. Có 100 học sinh tham dự kì thi học sinh giỏi Toán (thang điểm 20). Kết quả cho trong bảng sau:

 

Khi đó độ lệch chuẩn là

A. \(1,98\).                       B. \(3,96\).                     C. \(15,23\)                    D. \(1,99\).

Phương pháp

Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai

Lời giải

Chọn D

Ta có:

\(\overline x  = \frac{{1.9 + 1.10 + 3.11 + 5.12 + 8.13 + 13.14 + 19.15 + 24.16 + 14.17 + 10.18 + 2.19}}{{100}} = 15,23\)

\(\overline {{x^2}}  = \frac{{{{1.9}^2} + {{1.10}^2} + {{3.11}^2} + {{5.12}^2} + {{8.13}^2} + {{13.14}^2} + {{19.15}^2} + {{24.16}^2} + {{14.17}^2} + {{10.18}^2} + {{2.19}^2}}}{{100}} = 235,91\)

Phương sai của bảng số liệu là: \({s^2} = \overline {{x^2}}  - {\left( {\overline x } \right)^2} = 235,91 - {15,23^2} = 3,9571\).

Độ lệch chuẩn là: \(s = \sqrt {{s^2}}  = \sqrt {3,9571}  \approx 1,99\).

Câu 20. Điểm thi của lớp 10C của một trường Trung học Phổ Thông được trình bày ở bảng phân bố tần số sau:

 

Phương sai của bảng phân bố tần số đã cho là:

A. \(0,94\)                        B. \(3,94.\)                     C. \(2,94.\)                     D. \(1,94.\)

Phương pháp

Cho mẫu số liêu thống kê có n giá trị \({x_1},{x_2},...,{x_n}\) và số trung bình cộng \(\overline x \).

Ta gọi số \({s^2} = \frac{{{{({x_1} - \overline x )}^2} + {{({x_2} - \overline x )}^2} + ... + {{({x_n} - \overline x )}^2}}}{n}\) là phương sai của mẫu số liệu

Lời giải

Chọn D

Trong dãy số liệu về điểm thi của lớp 10C ta có:

\(\overline x  = \frac{1}{n} \cdot \left( {{n_1}{x_1} + {n_2}{x_2} + ... + {n_6}{x_6}} \right) = \frac{1}{{40}} \cdot \left( {7.5 + 5.6 + 10.7 + 12.8 + 4.9 + 2.10} \right) \)

\(= 7,175\)

Phương sai:

\(\begin{array}{l}{s^2} = \frac{1}{n}.\left( {{n_1}.{{\left( {{x_1} - \overline x } \right)}^2} + {n_2}.{{\left( {{x_2} - \overline x } \right)}^2} + ... + {n_6}.{{\left( {{x_6} - \overline x } \right)}^2}} \right)\\\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{{40}}.\left( {7.{{\left( {5 - 7,175} \right)}^2} + 5.{{\left( {6 - 7,175} \right)}^2} + 10.{{\left( {7 - 7,175} \right)}^2}} \right.\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left. { + 12.{{\left( {8 - 7,175} \right)}^2} + 4.{{\left( {9 - 7,175} \right)}^2} + 2.{{\left( {10 - 7,175} \right)}^2}} \right)\\\,\,\,\,\,\, \approx 1,94.\end{array}\)

Câu 21. Điểm thi môn Toán lớp 10A₂ của một Trường trung học phổ thông được trình bày ở bảng phân bố tần số sau

Điểm thi	\(5\)	\(6\)	\(7\)	\(8\)	\(9\)	\(10\)
Tần số	\(7\)	\(5\)	\(10\)	\(12\)	\(4\)	\(2\)	\(n = 40\)

Trong các giá trị dưới đây, giá trị nào gần nhất với phương sai của bảng phân bố tần số trên?

A. \(0,94\).                       B. \(3,94\).                     C. \(2,94\).                     D. \(1,94\).

Phương pháp

Cho mẫu số liêu thống kê có n giá trị \({x_1},{x_2},...,{x_n}\) và số trung bình cộng \(\overline x \).

Ta gọi số \({s^2} = \frac{{{{({x_1} - \overline x )}^2} + {{({x_2} - \overline x )}^2} + ... + {{({x_n} - \overline x )}^2}}}{n}\) là phương sai của mẫu số liệu

Lời giải

Trong dãy số liệu về điểm thi môn Toán lớp 10A₂ ta có

\(\overline x  = \frac{1}{n}.\left( {{n_1}{x_1} + {n_2}{x_2} + ... + {n_6}{x_6}} \right) = \frac{1}{{40}}.\left( {7.5 + 5.6 + 10.7 + 12.8 + 4.9 + 2.10} \right)\)

\(= 7,175\)

Phương sai là:

\(\begin{array}{l}{s^2} = \frac{1}{n}.\left( {{n_1}.{{\left( {{x_1} - \overline x } \right)}^2} + {n_2}.{{\left( {{x_2} - \overline x } \right)}^2} + ... + {n_6}.{{\left( {{x_6} - \overline x } \right)}^2}} \right)\\\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{{40}}.\left( {7.{{\left( {5 - 7,175} \right)}^2} + 5.{{\left( {6 - 7,175} \right)}^2} + 10.{{\left( {7 - 7,175} \right)}^2}} \right.\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left. { + 12.{{\left( {8 - 7,175} \right)}^2} + 4.{{\left( {9 - 7,175} \right)}^2} + 2.{{\left( {10 - 7,175} \right)}^2}} \right)\\\,\,\,\,\,\, \approx 1,94.\end{array}\)

Câu 22. Gieo một đồng xu cân đối và đồng chất liên tiếp ba lần. Gọi \(A\) là biến cố “Có ít nhất hai mặt sấp xuất hiện liên tiếp” và \(B\) là biến cố “Kết quả ba lần gieo là như nhau”. Xác định biến cố \(A \cup B.\)

A. \(A \cup B = \left\{ {SSS,\,SSN,\,NSS,\,SNS,\,NNN} \right\}\).                      

B. \(A \cup B = \left\{ {SSS,\,NNN} \right\}\).

C. \(A \cup B = \left\{ {SSS,\,SSN,\,NSS,\,NNN} \right\}\).                               

D. \(A \cup B = \Omega \).

Phương pháp

Sử dụng các quy tắc đếm

Lời giải

Chọn C

\(A = \left\{ {SSS,\,SSN,\,NSS} \right\}\), \(B = \left\{ {SSS,\,NNN} \right\}\). Suy ra \(A \cup B = \left\{ {SSS,\,SSN,\,NSS,\,NNN} \right\}\).

Câu 23. Gieo ngẫu nhiên một đồng tiền cân đối và đồng chất \(5\) lần. Tính số phần tử không gian mẫu.

A. \(64\).                          B. \(10\).                        C. \(32\).                        D. \(16\).

Phương pháp

Sử dụng các quy tắc đếm

Lời giải

Chọn C

Mỗi lần gieo có hai khả năng nên gieo 5 lần theo quy tắc nhân ta có \({2^5} = 32\).

Số phần tử không gian mẫu là \(n\left( \Omega  \right) = 32\).

Câu 24. Gieo một con súc sắc. Xác suất để mặt \(6\) chấm xuất hiện.

A. \(\frac{1}{6}\).            B. \(\frac{5}{6}\).          C. \(\frac{1}{2}\).          D. \(\frac{1}{3}\).

Phương pháp

Sử dụng công thức tính xác suất

Lời giải

Chọn A

Gieo một con súc sắc có không gian mẫu \(\Omega  = \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\} \Rightarrow n\left( \Omega  \right) = 6\)

Xét biến cố \(A\): “mặt \(6\) chấm xuất hiện”. \(A = \left\{ 6 \right\} \Rightarrow n\left( A \right) = 1\).

Do đó \(P\left( A \right) = \frac{1}{6}\).

Câu 25. Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất 2 lần. Tính xác suất để tổng số chấm trong hai lần gieo nhỏ hơn 6.

A. \(\frac{2}{9}\).             

B. \(\frac{{11}}{{36}}\).  

C. \(\frac{1}{6}\).           

D. \(\frac{5}{{18}}\).

Phương pháp

Sử dụng công thức tính xác suất

Lời giải

Chọn D

Số phần tử của không gian mẫu là: \(n\left( \Omega  \right) = {6^2} = 36\).

Gọi A là biến cố “Tổng số chấm trong hai lần gieo nhỏ hơn 6”.

Tập hợp các quả của biến cố A là:

\(A = \left\{ {\left( {1;1} \right);\left( {1;2} \right);\left( {1;3} \right);\left( {1;4} \right);\left( {2;1} \right);\left( {2;2} \right);\left( {2;3} \right);\left( {3;1} \right);\left( {3;2} \right);\left( {4;1} \right)} \right\}\).

Số phần tử của biến cố A là: \(n\left( A \right) = 10\).

Xác suất của biến cố A là: \(P\left( A \right) = \frac{{10}}{{36}} = \frac{5}{{18}}\).

Câu 26. Trong hệ trục \(Oxy,\) cho Elip \(\left( E \right)\) có các tiêu điểm \({F_1}\left( { - 4;0} \right),{F_2}\left( {4;0} \right)\) và một điểm \(M\) nằm trên \(\left( E \right)\). Biết rằng chu vi của tam giác \(M{F_1}{F_2}\) bằng 18. Xác định tâm sai e của \(\left( E \right).\)

A. \(e = \frac{4}{5}\).        B. \(e = \frac{4}{{18}}\).  C. \(e =  - \frac{4}{5}\).   D. \(e = \frac{4}{9}\).

Phương pháp

Tâm sai \(e = \frac{c}{a}\).

Lời giải

Chọn A

Ta có \({F_1}\left( { - 4;0} \right) \Rightarrow c = 4\).

\(\begin{array}{l}{P_{\Delta M{F_1}{F_2}}} = \underbrace {M{F_1} + M{F_2}}_{2a} + {F_1}{F_2}\\ \Leftrightarrow \,\,\,18 = 2a + 2c \Leftrightarrow 18 = 2a + 8 \Leftrightarrow a = 5.\end{array}\)

Tâm sai \(e = \frac{c}{a} = \frac{4}{5}\).

Câu 27. Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(\vec a = (1;2),\vec b = (3; - 3)\). Toạ độ của vectơ \(\vec c = 3\vec a - 2\vec b\) là:

A. \(( - 3;12)\).                  B. \((3;12)\).                   C. \((9;0)\).                     D. \(( - 3;0)\).

Phương pháp

Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho \(\vec a = \left( {{a_1}\,;\,{a_2}} \right)\); \(\vec b = \left( {{b_1}\,;\,{b_2}} \right)\). Tọa độ vectơ \(k\overrightarrow a  + t\overrightarrow b  = (k{a_1} + t{b_1};k{a_2} + t{b_2})\)

Lời giải

Chọn A.

Ta có: \(3\vec a = (3;6)\) và \( - 2\vec b = ( - 6;6)\). Suy ra \(3\vec a - 2\vec b = ( - 3;12)\).

Câu 28. Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho ba điểm \(A( - 1;2),B(2; - 2),C(3;1)\). Toạ độ của vectơ \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} \) là:

A. \(( - 4; - 1)\).                 B. \((4; - 1)\).                 C. \(( - 4;1)\).                 D. \((4;1)\).

Phương pháp

Với \(A({x_A};{y_A});B({x_B};{y_B})\) thì \(\overrightarrow {AB}  = \left( {({x_B} - {x_A});({y_B} - {y_A})} \right)\)

Lời giải

Chọn\({\bf{B}}\).

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC}  = (4; - 1)\)

Câu 29. Một đường thẳng có bao nhiêu vectơ pháp tuyến?

A. 0.                                B. 1.                              C. 2.                              D. Vô số.

Phương pháp

Vecto pháp tuyến có giá vuông góc với đường thẳng.

Lời giải

Chọn D.

Một đường thẳng có vô số các vecto pháp tuyến.

Câu 30. Phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n(a;b)\) là:

A. \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b}\).       

B. \(b\left( {x - {x_0}} \right) - a\left( {y - {y_0}} \right) = 0\).

C. \(a\left( {x + {x_0}} \right) + b\left( {y + {y_0}} \right) = 0\).

D. \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0\).

Phương pháp

Phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n(a;b)\) là: \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0\)

Lời giải

Chọn D

Phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n(a;b)\) là: \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0\)

Câu 31. Đường Hyperbol \(\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\) có một tiêu điểm là điểm nào dưới đây ?

A.\(\left( { - 5;0} \right)\).

B.\(\left( {0;\sqrt 7 } \right)\).                              

C. \(\left( {\sqrt 7 ;0} \right)\).                                    

D. \(\left( {0;5} \right)\).

Phương pháp

Đường Hyperbol \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) có tiêu điểm là \({F_1}\left( { - c;0} \right),{F_2}\left( {c;0} \right);\) với \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

Lời giải

Chọn A.

Ta có \(\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 16\\{b^2} = 9\end{array} \right. \Rightarrow {c^2} = {a^2} + {b^2} = 25 \Leftrightarrow c = 5\).

Tiêu điểm \({F_1}\left( { - 5;0} \right),{F_2}\left( {5;0} \right)\).

Câu 32. Đường elip \(\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{7} = 1\) có tiêu cự bằng

A. \(3\).                           B. \(9\).                        C. \(6\).                        D. \(18\).

Phương pháp

Đường elip \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) có tiêu cự \(2c\)với \(c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} \)

Lời giải

Chọn C

 Ta có: \({a^2} = 16\), \({b^2} = 7\) nên \({c^2} = {a^2} - {b^2} = 9\)\( \Rightarrow c = 3\).

 Tiêu cự của elip là \(2c = 6\).

Câu 33. Trong mặt phẳng \(Oxy\), phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn?

A. \({x^2} + 2{y^2} - 4x - 8y + 1 = 0\).                      

B. \({x^2} + {y^2} - 4x + 6y - 12 = 0\).

C. \({x^2} + {y^2} - 2x - 8y + 20 = 0\).                      

D. \(4{x^2} + {y^2} - 10x - 6y - 2 = 0\).

Phương pháp

Phương trình đường tròn (O) có tâm I(a,b) và bán kính R là : \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\)

Lời giải

Chọn B

Để là phương trình đường tròn thì điều kiện cần là hệ số của \({x^2}\) và \({y^2}\) phải bằng nhau nên loại được đáp án A và D.

Ta có: \({x^2} + {y^2} - 2x - 8y + 20 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + 3 = 0\) vô lý.

Ta có:\({x^2} + {y^2} - 4x + 6y - 12 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 25\) là phương trình đường tròn tâm \(I\left( {2; - 3} \right)\), bán kính \(R = 5\).

Câu 34. Trong mặt phẳng \(Oxy\), đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 4x + 6y - 12 = 0\) có tâm là.

A. \(I\left( { - 2; - 3} \right)\).                                  

B. \(I\left( {2;3} \right)\).  

C. \(I\left( {4;6} \right)\).  

D. \(I\left( { - 4; - 6} \right)\).

Phương pháp

Phương trình đường tròn (O) có tâm I(a,b) và bán kính R là : \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\)

Lời giải

Chọn A

Ta có phương trình đường tròn là: \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 25\).

Vậy tâm đường tròn là: \(I\left( { - 2; - 3} \right)\).

Câu 35. Đường tròn \(\left( C \right)\) đi qua hai điểm \(A\left( {1;1} \right)\), \(B\left( {5;3} \right)\) và có tâm \(I\) thuộc trục hoành có phương trình là

A. \({\left( {x + 4} \right)^2} + {y^2} = 10\).              

B. \({\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} = 10\).

C. \({\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} = \sqrt {10} \).   

D. \({\left( {x + 4} \right)^2} + {y^2} = \sqrt {10} \).

Phương pháp

Phương trình đường tròn có dạng \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\,\,\left( {{a^2} + {b^2} - c > 0} \right)\). và  tọa độ tâm     \(I(a,b)\), bán kính \(\,R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} \)

Lời giải

Chọn B

Gọi \(I\left( {x;0} \right) \in Ox\); \(I{A^2} = I{B^2}\) \( \Leftrightarrow {\left( {1 - x} \right)^2} + {1^2} = {\left( {5 - x} \right)^2} + {3^2}\) \( \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 + 1 = {x^2} - 10x + 25 + 9\) \( \Leftrightarrow x = 4\). Vậy tâm đường tròn là \(I\left( {4;0} \right)\) và bán kính \(R = IA = \sqrt {{{\left( {1 - 4} \right)}^2} + {1^2}}  = \sqrt {10} \).

Phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) có dạng \({\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} = 10\).

Tự luận ( 3 điểm)

Câu 1. Từ một nhóm 30 học sinh lớp 12 gồm 15 học sinh khối \(A,10\) học sinh khối \(B\) và 5 học sinh khối \(C\), cần chọn ra 15 học sinh, hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho:

a) Số học sinh mỗi khối là bằng nhau?

b) Có ít nhất 5 học sinh khối \(A\) và có đúng 2 học sinh khối \(C\)?

Phương pháp

Sử dụng các quy tắc đếm

Lời giải:

a) Số cách chọn 5 học sinh mỗi khối \((A,B,C)\) lần lượt là: \(C_{15}^5,C_{10}^5,C_5^5\).

Vậy số cách chọn thỏa mãn là \(C_{15}^5 \times C_{10}^5 \times C_5^5 = 756756\) (cách).

b) Ta sử dụng quy tắc loại trừ như Lời giải sau:

Xét bài toán 1: Chọn 2 học sinh khối \(C,13\) học sinh khối \(B\) hoặc khối \(A\): có \(C_5^2C_{25}^{13}\) cách.

Xét bài toán 2: Chọn 2 học sinh khối \(C,13\) học sinh khối \(B\) và khối \(A\) nhưng không thỏa mãn yêu cầu đề bài.

- Trường hợp 1: Chọn 2 học sinh khối \(C,10\) học sinh khối \(B\) và 3 học sinh khối A có \(C_5^2C_{10}^{10}C_{15}^3\) cách.

- Trường hợp 2: Chọn 2 học sinh khối \(C,9\) học sinh khối \(B\) và 4 học sinh khối A có \(C_5^2C_{10}^9C_{15}^4\) cách.

Vậy số cách chọn thỏa mãn là \(C_5^2C_{25}^{13} - C_5^2C_{10}^{10}C_{15}^3 - C_5^2C_{10}^9C_{15}^4 = 51861950\) (cách).

Câu 2. Cho biểu thức \(Q = {(xy - 1)^5}\).

a) Viết khai triển biểu thức \(Q\) bằng nhị thức Newton.

b) Tìm số hạng có chứa \({x^2}{y^2}\) trong khai triển trên.

Phương pháp

Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton

Lời giải

a) Ta có: \(Q = {(xy - 1)^5} = C_5^0{(xy)^5} + C_5^1{(xy)^4}( - 1) + C_5^2{(xy)^3}{( - 1)^2}\)

\(\begin{array}{l} + C_5^3{(xy)^2}{( - 1)^3} + C_5^4(xy){( - 1)^4} + C_5^5{( - 1)^5}\\ = {x^5}{y^5} - 5{x^4}{y^4} + 10{x^3}{y^3} - 10{x^2}{y^2} + 5xy - 1.\end{array}\)

b) Số hạng có chứa \({x^2}{y^2}\) trong khai triển là \( - 10{x^2}{y^2}\).

Câu 3. Người ta tiến hành phỏng vấn một số người về chất lượng của một loại sản phẩm mới. người điều tra yêu cầu cho điểm sản phẩm ( thang điểm 100) kết quả như sau:

80   65        51        48        45        61        30        35        84        83        60       58        75

72   68        39        41        54        61        72        75        72        61        58       65

a) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn. Nhận xét gì về các kết quả nhận được.

b) Tìm khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị

c) Tìm giá trị bất thường

Phương pháp

a) - Cho mẫu số liêu thống kê có n giá trị \({x_1},{x_2},...,{x_n}\) và số trung bình cộng \(\overline x \).

Ta gọi số \({s^2} = \frac{{{{({x_1} - \overline x )}^2} + {{({x_2} - \overline x )}^2} + ... + {{({x_n} - \overline x )}^2}}}{n}\) là phương sai của mẫu số liệu

- Căn bậc hai của phương sai gọi là Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu thống kê

b) - Ta có thể tính khoảng bến thiên R của mẫu số liệu theo công thức \(R = {x_{\max }} - {x_{\min }}\), trong đó \({x_{\max }}\) là giá trị lớn nhất, \({x_{\min }}\)là giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu đó.

- Giả sử \({Q_1},{Q_2},{Q_3}\) là tứ phân vị của mẫu số liệu. Ta gọi hiệu \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1}\) là khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu đó.

Lời giải

a) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn. Nhận xét gì về các kết quả nhận được.

Ta lập bảng phân bố tần số như sau:

Điểm	30   35   39   41   45   48   50   51   54   58   60   61   65   68   72   75   80   83   84
Tần số	1     1     1     1     1     1     1     1     1     1     1     3     2     1     3     2     1      1    1

Ta có:

\( x  = \frac{1}{n}\left( {{n_1}{x_1} + {n_2}{x_2} + ... + {n_k}{x_k}} \right)\\ \)

\(= \frac{1}{{25}}\left( {1.30 + 1.35 + 1.39 + 1.41 + 1.45 + 1.48 + .... + 1.60+ 3.61 + 2.65 + 1.68 + 3.72 + 2.75 + 1.80 + 1.83 + 1.84} \right)\\ = 60,\)

Phương sai:

\(s_x^2 = \frac{1}{n}\left[ {{n_1}{{({x_1} - \overline x )}^2} + {n_2}{{({x_2} - \overline x )}^2} + ... + {n_k}{{({x_k} - \overline x )}^2}} \right] = 216,8\)

Độ lệch chuẩn \({s_x} = \sqrt {s_x^2}  = \sqrt {216,8}  \approx 14,724\)

Nhận xét: mức độ chênh lệch điểm giữa các giá trị là khá lớn

b) Tìm khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị

Khoảng biến thiên \(84 - 30 = 54\)

Nửa số liệu bên trái là  gồm 12 giá trị, hai phần tử chính giữa là 48,50 .

Do đó, \({Q_1} = (48 + 50):2 = 49\).

Nửa số liệu bên phải là  gồm 12 giá tri, hai phần tử chính giữa là 72,72.

Do đó, \({Q_3} = (72 + 72):2 = 72\).

Vậy khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu là \({\Delta _Q} = 72 - 49 = 23\).

c) Tìm giá trị bất thường

Không có giá trị bất thường

Câu 4. Cho tam giác \(ABC\) với \(A( - 1; - 2)\) và phương trình đường thẳng chứa cạnh \(BC\) là \(x - y + 4 = 0\).

a) Viết phương trình đường cao \(AH\) của tam giác.

b) Viết phương trình đường trung bình ứng với cạnh đáy \(BC\) của tam giác.

Phương pháp

Phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n(a;b)\) là: \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0\)

Lời giải

a) Đường cao \(AH\) vuông góc với \(BC\) nên nhận \(\vec u = (1; - 1)\) làm vectơ chỉ phương, suy ra \(AH\) có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (1;1)\).

Phương trình tổng quát \(AH:1(x + 1) + 1(y + 2) = 0\) hay \(x + y + 3 = 0\).

b) Chọn điểm \(K(0;4)\) thuộc \(BC\), gọi \(E\) là trung điểm đoạn \(AK\) nên \(E\left( { - \frac{1}{2};1} \right)\). Gọi \(d\) là đường trung bình ứng với cạnh đáy \(BC\) của tam giác \(ABC\), suy ra \(d\) qua \(E\) và có một vectơ pháp tuyến .

Phương trình tổng quát \(d:1\left( {x + \frac{1}{2}} \right) - 1(y - 1) = 0\) hay \(2x - 2y + 3 = 0\).

Đề bài

I - PHẦN TRẮC NGHIỆM (7 ĐIỂM)

Câu 1.     Tung một đồng xu bốn lần liên tiếp và ghi lại kết quả. Số kết quả có thể xảy ra là

A. \(8\).                            B. \(16\).                        C. \(2\).                         D. \(4\).

Câu 2.     Từ các chữ số \(2;\,3;\,4;\,9\). Lập ra các số có bốn chữ số khác nhau, số các số lập được là

A. \(120\).                        B. \(240\).                      C. \(24\).                        D. \(12\).

Câu 3.     Số tập con gồm \(4\) phần tử khác nhau của một tập hợp gồm \(7\) phần tử là

A. \(\frac{{7!}}{{4!}}\).       B. \(C_7^4\).                  C. \(A_7^4\).                  D. \(7\).

Câu 4.     Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?

A. \({(a + b)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}\).               

B. \({(a - b)^4} = {a^4} - 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} - 4a{b^3} + {b^4}\).                 

C. \({(a + b)^4} = {b^4} + 4{b^3}a + 6{b^2}{a^2} + 4b{a^3} + {a^4}\).              

D. \({(a + b)^4} = {a^4} - 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} - 4a{b^3} + {b^4}\).

Câu 5.     Trong khai triển nhị thức \({(a + 3)^{n - 5}}\) với \(n \in \mathbb{N}\) có tất cả \(6\) số hạng. Giá trị của \(n\) là

A. \(11\).                          B. \(12\).                        C. \(25\).                        D. \(10\).

Câu 6.     Hãy viết số quy tròn của số gần đúng \(a = 17658\), biết \(\overline a  = 17658 \pm 16\).

A. \(17700\).                     B. \(17800\).                  C. \(17500\).                  D. \(17600\).

Câu 7.     Trung tâm kiểm soát bệnh tật thành phố Đà Nẵng công bố số lượng ca nhiễm dương tính tính từ 12 giờ ngày 17/08/2021 đến 12 giờ ngày 18/08/2021 tại các quận Sơn Trà, Thanh Khê, Liên Chiểu, Cẩm Lệ, Hải Châu, Ngũ Hành Sơn và huyện Hoà Vang lần lượt như sau: \(17;\,24;\,7;\,23;\,39;\,19;\,5\). Trung vị của mẫu số liệu trên là bao nhiêu?

A. \(5\).                            B. \(17\).                        C. \(19\).                        D. \(24\).

Câu 8.     Năng suất lúa hè thu (tạ/ha) năm 1998 của 31 tỉnh thành ở Việt Nam được thống kê trong bảng sau

Năng suất lúa (tạ/ha)	\(25\)	\(30\)	\(35\)	\(40\)	\(45\)
Tần số	\(4\)	\(7\)	\(9\)	\(6\)	\(5\)

Hãy tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên.

A. \(40\).                          B. \(20\).                        C. \(61\).                        D. \(1\).

Câu 9.     Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau.

A. Phương sai luôn là một số không âm.            

B. Phương sai là bình phương của độ lệch chuẩn.                                    

C. Phương sai càng lớn thì độ phân tán so với số trung bình cộng càng lớn.                                       

D. Phương sai luôn lớn hơn độ lệch chuẩn.

Câu 10.   Số phần tử của không gian mẫu các kết quả có thể xảy ra đối với mặt xuất hiện của một xúc xắc sau \(4\) lần gieo liên tiếp là

A. \(36\).                          B. \(24\).                        C. \(216\).                      D. \(1296\).

Câu 11.   Gọi \(G\) là biến cố tổng số chấm bằng \(8\) khi gieo một xúc xắc hai lần liên tiếp. Số phần tử của \(G\) là

A. \(4\).                            B. \(5\).                         C. \(6\).                         D. \(7\).

Câu 12.   Gieo một đồng xu và một con xúc xắc. Số phần tử của không gian mẫu là

A. \(24\).                          B. \(12\).                        C. \(8\).                         D. \(6\).

Câu 13.   Cho \(A\) là một biến cố liên quan đến phép thử \(T\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. \(P\left( A \right)\) là số dương.                                                             

B. \(P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right)\).                                 

C. \(P\left( A \right) = 0 \Leftrightarrow A = \Omega \).                                                                        

D. \(P\left( A \right)\) là số nhỏ hơn \(1\).

Câu 14.   Cho phép thử với không gian mẫu \(\Omega  = \left\{ {1;\,2;\,3;\,4;\,5;\,6} \right\}\). Đâu không phải cặp biến cố đối nhau?

A. \(A = \left\{ 1 \right\}\) và \(B = \left\{ {2;\,3;\,4;\,5;\,6} \right\}\).            

B. \(C = \left\{ {1;\,4;\,6} \right\}\) và \(D = \left\{ {2;\,3;\,5} \right\}\).          

C. \(E = \left\{ {1;\,3} \right\}\) và \(F = \left\{ {2;\,4;\,5;\,6} \right\}\).          

D. \(G = \left\{ {1;\,2;\,4} \right\}\) và \(K = \left\{ {3;\,4;\,5;\,6} \right\}\).

Câu 15.   Cho \(M = (3;4)\) và \(N(5; - 2)\). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {MN} \) là

A. \(\left( { - 2;\,6} \right)\).                                   

B. \(\left( {15;\, - 8} \right)\).                                       

C. \(\left( {2;\, - 6} \right)\).                                 

D. \(\left( {8;\,2} \right)\).

Câu 16.   Cho \(\overrightarrow c  = \left( {4;\, - 2} \right)\) và \(\overrightarrow d  = \left( { - 1;\,5} \right)\). Tọa độ của vectơ \(2\overrightarrow c  + 3\overrightarrow d \) là

A. \(\left( {11;\,11} \right)\).                                  

B. \(\left( { - 5;\,11} \right)\).                                       

C. \(\left( {5;\,11} \right)\).                                  

D. \(\left( { - 5;\, - 11} \right)\).

Câu 17.   Đường trung trực của đoạn \(AB\) với \(A(5;\,2)\) và \(B(3;\,0)\) có phương trình là

A. \(x + y + 5 = 0\).                                                      

B. \(x + y + 7 = 0\).

C. \(x + y - 7 = 0\).                                                       

 D. \(x + y - 5 = 0\).

Câu 18.   Trong mặt phẳng , cho hai đường thẳng  lần lượt có phương trình tổng quát \(9x + 4y - 3 = 0\) và \(4x - 9y + 6 = 0\). Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng .

A. Song song.                 B. Vuông góc.              C. Cắt nhau.                  D. Trùng nhau.

Câu 19.   Trong mặt phẳng , đường tròn \(C\) có tâm \(I(2;\, - 3)\) và đi qua gốc tọa độ  có phương trình là

A. \({x^2} + {y^2} + 4x - 6y = 0\).                                                                  

B. \({x^2} + {y^2} - 4x + 6y - 4 = 0\).                        

C. \({x^2} + {y^2} - 4x + 6y = 0\)                                                                   

D. \({x^2} + {y^2} + 4x + 6y = 0\).

Câu 20.   Đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 2x - 8y + 8 = 0\) có tâm \(I\) và bán kính \(\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{8} = 1\) lần lượt là

A. \(I\left( { - 1;\,4} \right)\) và \(R = 3\).                                                    

B. \(I\left( {1;\, - 4} \right)\) và \(R = 3\).                      

C. \(I\left( {2;\,4} \right)\) và \(R = \sqrt 5 \).                                                      

D. \(I\left( { - 2;\,4} \right)\) và \(R = 3\).

Câu 21.   Trong mặt phẳng  cho elip  có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1.\) Tính tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn elip

A. .                               B. .                            C. .                         D. .

Câu 22.   Cho elip \(\left( E \right)\) có độ dài trục lớn bằng \(12\), độ dài trục bé bằng tiêu cự. Phương trình chính tắc của \(\left( E \right)\) là:

A. \(\frac{{{x^2}}}{8} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).      

B. \(\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{8} = 1\).      

C. \(\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).  

D. \(\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1\).

Câu 23.   Số \(253\,125\,000\) có bao nhiêu ước số tự nhiên?

A. \(160\).                       B. \(240\).                    C. \(180\).                    D. \(120\).

Câu 24.   Trong một trường có \(4\) học sinh giỏi lớp \(12\); \(3\) học sinh giỏi lớp \(11\); \(5\) học sinh giỏi lớp \(10\). Cần chọn \(5\) học sinh giỏi để tham gia một cuộc thi với trường khác sao cho khối \(12\) có \(3\) em và mỗi khối \(10,\,11\) có đúng \(1\) em. Số các cách chọn là

A. \(60\).                          B. \(180\).                      C. \(330\).                      D. \(4\).

Câu 25.   Từ danh sách gồm \(9\) học sinh của lớp \(10A1\), cần bầu ra các ban cán sự lớp gồm một lớp trưởng, hai lớp phó và một bí thư. Có bao nhiêu khả năng cho kết quả bầu ban cán sự này?

A. \(126\).                       B. \(3024\).                  C. \(84\).                      D. \(6561\).

Câu 26.   Hệ số của \({x^5}\) trong khai triển của \({(5 - 2x)^5}\) là

A. \(400\).                        B. \( - 32\).                     C. \(3125\).                    D. \( - 6250\).

Câu 27.   Tiến hành đo huyết áp của \(8\) người. Ta thu được kết quả sau:

             \(77\)    \(105\)  \(117\)  \(84\)    \(96\)    \(72\)    \(105\)  \(124\)

Tứ phân vị của mẫu số liệu trên là

A. \({Q_1} = 80,5\,;\,\,{Q_2} = 100,5\,;\,\,{Q_3} = 111\,\).                             

B. \({Q_1} = 80\,;\,\,{Q_2} = 100\,;\,\,{Q_3} = 111\,\).                                   

C. \({Q_1} = 80,5\,;\,\,{Q_2} = 100,5\,;\,\,{Q_3} = 111,5\) .                           

D. \({Q_1} = 80,5\,;\,\,{Q_2} = 105\,;\,\,{Q_3} = 111\,\).

Câu 28.   Sản lượng vải thiều (tạ) thu hoạch được của 20 hộ gia đình được ghi lại như sau:

\(15\)	\(13\)	\(15\)	\(12\)	\(13\)	\(12\)	\(15\)	\(15\)	\(14\)	\(14\)
\(14\)	\(18\)	\(17\)	\(12\)	\(12\)	\(14\)	\(16\)	\(14\)	\(18\)	\(15\)

Phương sai \({s^2}\) là

A. \(3,4\).                         B. \(1,84\).                     C. \(1,8\).                       D. \(3,24\).

Câu 29.   Gieo hai con xúc xắc. Xác suất để tổng số chấm trên hai mặt xúc xắc chia hết cho \(3\) là

A. \(\frac{1}{3}\).             

B. \(\frac{{13}}{{36}}\).  

C. \(\frac{{11}}{{36}}\).  

D. \(\frac{1}{6}\).

Câu 30.   Trên giá sách có \(4\) quyển sách Toán, \(2\) quyển sách Lí và \(3\) quyển sách Hóa. Lấy ngẫu nhiên \(3\) quyển sách. Tính xác suất để \(3\) quyển lấy ra có ít nhất \(1\) quyển sách Toán.

A. \(\frac{{37}}{{42}}\).     

B. \(\frac{2}{7}\).           

C. \(\frac{1}{{21}}\).      

D. \(\frac{5}{{42}}\).

Câu 31.   Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(B\left( { - 1\,;\,3} \right)\) và \(C\left( {4\,;\,3} \right)\). Tìm tọa độ điểm \(H\) là chân đường cao kẻ từ đỉnh \(A\) của \(\Delta ABC\), biết \(AB = 3\), \(AC = 4\):

A. \(H\left( {3\,;\,\frac{4}{5}} \right)\).                    

B. \(H\left( {\frac{4}{5}\,;\,3} \right)\)                     

C. \(H\left( {3\,;\,\frac{{ - 4}}{5}} \right)\).               

D. \(H\left( {\frac{{ - 4}}{5}\,;\,3} \right)\).

Câu 32.   Cho \(\Delta ABC\) với \(A\left( {5;\,2} \right)\); \(B\left( {1;\,5} \right)\) và \(C\left( { - 3;\,2} \right)\). Phương trình trung tuyến \(AM\) của \(\Delta ABC\) là

 A. \(x + 4y + 13 = 0\).       

B. \(x + 4y - 13 = 0\).      

C. \(4x - y + 18 = 0\).     

D. \(4x - y - 18 = 0\).

Câu 33.   Trong mặt phẳng , cho đường thẳng \(d\) song song với đường thẳng \(\Delta :3x - 5y + 7 = 0\) và

cắt  tại  sao cho \(AB = \sqrt {34} \). Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến .

A. \(\frac{{15}}{{\sqrt {34} }}\).                               

B. \(\frac{5}{{\sqrt {34} }}\).                                       

C. \(\frac{3}{{\sqrt {34} }}\).                                 

D. \(\frac{8}{{\sqrt {34} }}\).

Câu 34.   Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn \((C):{x^2} + {y^2} - 2x + 4y - 11 = 0\), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng \(d:4x - 3y + 6 = 0\).

A. \(4x - 3y + 10 = 0\) hoặc \(4x - 3y - 30 = 0\).                                 

B. \(4x - 3y - 10 = 0\) hoặc \(4x - 3y + 30 = 0\).

C. \(4x - 3y + 10 = 0\) hoặc \(4x - 3y + 30 = 0\).            

D. \(4x - 3y - 10 = 0\) hoặc \(4x - 3y - 30 = 0\).

Câu 35.   Trong mặt phẳng , cho elip \(\left( E \right):{x^2} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\) và điểm \(C\left( {1;\,0} \right)\). Hai điểm ,  thuộc  thỏa mãn ,  đối xứng nhau qua trục hoành và tam giác  là tam giác đều. Tính độ dài đoạn thẳng .

A. \(10,\,11\).                  

B. \(1\).                           

C. \(60\).                         

D. \(180\).

II - PHẦN TỰ LUẬN (3 ĐIỂM)

Câu 1:     (1,0 điểm) Thời gian chạy \(50m\) của \(20\) học sinh được ghi lại trong bảng sau:

Thời gia (giây)	\(8,3\)	\(8,4\)	\(8,5\)	\(8,7\)	\(8,8\)
Tần số	\(2\)	\(3\)	\(9\)	\(5\)	\(1\)

 Tìm độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đã cho.

Câu 2:     (1,0 điểm) Cho \(x\) là số thực dương. Tìm số hạng chứa \(x\) trong khai triển \({\left( {x + \frac{2}{{\sqrt x }}} \right)^4}\).

Câu 3:     (0,5 điểm) Trong mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\), cho đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 20\). Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\) biết tiếp tuyến tạo với \(\Delta :\,\,3x + y - 5 = 0\) một góc bằng \(45^\circ \).

Câu 4:     (0,5 điểm) Tìm số tự nhiên \(n\) thỏa mãn \(14.{P_3}.C_{n - 1}^{n - 3} = A_{n + 1}^4\).

Lời giải

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

THỰC HIỆN: BAN CHYÊN MÔN trithuchub.com

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (35 câu - 7,0 điểm).

Câu 1.     Tung một đồng xu bốn lần liên tiếp và ghi lại kết quả. Số kết quả có thể xảy ra là

A. \(8\).                            B. \(16\).                        C. \(2\).                         D. \(4\).

Phương pháp

Áp dụng quy tắc nhân

Lời giải

Chọn B.

Số kết quả có thể xảy ra là \({2^4} = 16\).

Câu 2.     Từ các chữ số \(2;\,3;\,4;\,9\). Lập ra các số có bốn chữ số khác nhau, số các số lập được là

A. \(120\).                        B. \(240\).                      C. \(24\).                        D. \(12\).

Phương pháp

 Áp dụng công thức hoán vị

Lời giải

Chọn C.

Số các số lập được là \(P(4) = 4! = 24\).

Câu 3.     Số tập con gồm \(4\) phần tử khác nhau của một tập hợp gồm \(7\) phần tử là

A. \(\frac{{7!}}{{4!}}\).       B. \(C_7^4\).                  C. \(A_7^4\).                  D. \(7\).

Phương pháp

Áp dụng công thức tổ hợp

Lời giải

Chọn B.

Số tập con gồm \(4\) phần tử khác nhau của một tập hợp gồm \(7\) phần tử là \(C_7^4\)

Câu 4.     Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?

A. \({(a + b)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}\).               

B. \({(a - b)^4} = {a^4} - 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} - 4a{b^3} + {b^4}\).                 

C. \({(a + b)^4} = {b^4} + 4{b^3}a + 6{b^2}{a^2} + 4b{a^3} + {a^4}\).              

D. \({(a + b)^4} = {a^4} - 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} - 4a{b^3} + {b^4}\).

Phương pháp

Sử dụng công thức khai triển Newton

Lời giải

Chọn D.

Ta có: \({(a + b)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}\).

 Vậy đáp án D sai.

Câu 5.     Trong khai triển nhị thức \({(a + 3)^{n - 5}}\) với \(n \in N\) có tất cả \(6\) số hạng. Giá trị của \(n\) là

A. \(11\).                          B. \(12\).                        C. \(25\).                        D. \(10\).

 Phương pháp

Sử dụng công thức khai triển Newton

 Lời giải

Chọn D.

Ta có trong khai triển \({(a + b)^n}\) có \(n + 1\) số hạng.

Trong khai triển \({(a + 3)^{n - 5}}\) có tất cả \(6\) số hạng nên \(n - 5 + 1 = 6\), suy ra \(n = 10\).

Câu 6.     Hãy viết số quy tròn của số gần đúng \(a = 17658\), biết \(\overline a  = 17658 \pm 16\).

A. \(17700\).                     B. \(17800\).                  C. \(17500\).                  D. \(17600\).

Phương pháp

Khi quy tròn một số nguyên hoặc một số thập phân đến một hàng nào đó thì số nhận  được gọi là số quy tròn của số ban đầu.

- Nếu chữ số ngay sau hàng quy tròn nhỏ hơn 5 thì ta chỉ việc thay thế chữ số đó và các số bên phải nó bởi 0

- Nếu chữ số ngay sau hàng quy tròn lớn hơn hoặc bằng 5 thì ta cũng làm như trên nhưng cộng thêm một đơn vị vào chữ số của hàng quy tròn.

Lời giải

Chọn A.

Ta có \(\overline a  = 17658 \pm 16\) nên \(d = 16\) (hàng chục).

Ta làm tròn số \(a\) đến hàng trăm, được số \(17700\).

Câu 7.     Trung tâm kiểm soát bệnh tật thành phố Đà Nẵng công bố số lượng ca nhiễm dương tính tính từ 12 giờ ngày 17/08/2021 đến 12 giờ ngày 18/08/2021 tại các quận Sơn Trà, Thanh Khê, Liên Chiểu, Cẩm Lệ, Hải Châu, Ngũ Hành Sơn và huyện Hoà Vang lần lượt như sau: \(17;\,24;\,7;\,23;\,39;\,19;\,5\). Trung vị của mẫu số liệu trên là bao nhiêu?

A. \(5\).                            B. \(17\).                        C. \(19\).                        D. \(24\).

Phương pháp

Sắp thứ tự mẫu số liệu gồm n số liệu thành một dãy không giảm ( hoặc không tăng).

- Nếu n là lẻ thì số liệu đứng ở vị trí thứ \(\frac{{n + 1}}{2}\) ( số đứng chính giữa) gọi là trung vị

 - Nếu n là chẵn thì số trung bình cộng của hai số liệu đứng ở vị trí thứ \(\frac{n}{2}\) và \(\frac{n}{2} + 1\) gọi là trung

Lời giải

Chọn C.

Sắp xếp các số liệu của mẫu trên theo thứ tự không giảm là \(5;\,7;\,17 ;\,19;\,23;\,24;\,39\).

Mẫu số liệu trên có \(7\) số nên trung vị là số liệu thứ \(4\).

Vậy trung vị \({M_e} = 19\).

Câu 8.     Năng suất lúa hè thu (tạ/ha) năm 1998 của 31 tỉnh thành ở Việt Nam được thống kê trong bảng sau

Năng suất lúa (tạ/ha)	\(25\)	\(30\)	\(35\)	\(40\)	\(45\)
Tần số	\(4\)	\(7\)	\(9\)	\(6\)	\(5\)

Hãy tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên.

A. \(40\).                          B. \(20\).                        C. \(61\).                        D. \(1\).

 Phương pháp

 Ta có thể tính khoảng bến thiên R của mẫu số liệu theo công thức \(R = {x_{\max }} - {x_{\min }}\), trong đó \({x_{\max }}\) là giá trị lớn nhất, \({x_{\min }}\)là giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu đó.

 Lời giải

Chọn B.

Theo bảng số liệu trên ta có: Giá trị lớn nhất của số liệu là \(45\); giá trị nhỏ nhất của số liệu là \(25\).

Khoảng biến thiên: \(R = 45 - 25 = 20\).

Câu 9.     Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau.

A. Phương sai luôn là một số không âm.            

B. Phương sai là bình phương của độ lệch chuẩn.                                    

C. Phương sai càng lớn thì độ phân tán so với số trung bình cộng càng lớn.                                       

D. Phương sai luôn lớn hơn độ lệch chuẩn.

 Phương pháp

 Căn bậc hai của phương sai gọi là Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu thống kê

 Lời giải

Chọn D.

Câu 10.   Số phần tử của không gian mẫu các kết quả có thể xảy ra đối với mặt xuất hiện của một xúc xắc sau \(4\) lần gieo liên tiếp là

A. \(36\).                          B. \(24\).                        C. \(216\).                      D. \(1296\).

 Phương pháp

 Sử dụng các quy tắc đếm

 Lời giải

Chọn D.

Số phần tử của không gian mẫu là \({6^4} = 1296\).

Câu 11.   Gọi \(G\) là biến cố tổng số chấm bằng \(8\) khi gieo một xúc xắc hai lần liên tiếp. Số phần tử của \(G\) là

A. \(4\).                            B. \(5\).                         C. \(6\).                         D. \(7\).

Phương pháp

Sử dụng các quy tắc đếm

Lời giải

Chọn B.

Ta có: \(G = \left\{ {(2;\,6)\,;\,(6;\,2)\,;\,(3;\,5)\,;\,(5;\,3);\,(4;\,4)} \right\}\).

Vậy \(n(G) = 5\).

Câu 12.   Gieo một đồng xu và một con xúc xắc. Số phần tử của không gian mẫu là

A. \(24\).                          B. \(12\).                        C. \(8\).                         D. \(6\).

Phương pháp

Sử dụng các quy tắc đếm

Lời giải

Chọn B.

Ta có: \(\Omega  = \left\{ {S1;\,S2;\,S3;\,S4;\,S5;\,S6;\,N1;\,N2;\,N3;\,N4;\,N5;\,N6} \right\}\).

Vậy \(n(\Omega ) = 12\).

Câu 13.   Cho \(A\) là một biến cố liên quan đến phép thử \(T\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. \(P\left( A \right)\) là số dương.                                                             

B. \(P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right)\).                                 

C. \(P\left( A \right) = 0 \Leftrightarrow A = \Omega \).                                                                        

D. \(P\left( A \right)\) là số nhỏ hơn \(1\).

Phương pháp

Sử dụng các quy tắc trong xác suất

Lời giải

Chọn B.

Ta có:

\(0 \le P\left( A \right) \le 1\); \(P\left( A \right) = 0 \Leftrightarrow A = \emptyset \).

Câu 14.   Cho phép thử với không gian mẫu \(\Omega  = \left\{ {1;\,2;\,3;\,4;\,5;\,6} \right\}\). Đâu không phải cặp biến cố đối nhau?

A. \(A = \left\{ 1 \right\}\) và \(B = \left\{ {2;\,3;\,4;\,5;\,6} \right\}\).            

B. \(C = \left\{ {1;\,4;\,6} \right\}\) và \(D = \left\{ {2;\,3;\,5} \right\}\).          

C. \(E = \left\{ {1;\,3} \right\}\) và \(F = \left\{ {2;\,4;\,5;\,6} \right\}\).          

D. \(G = \left\{ {1;\,2;\,4} \right\}\) và \(K = \left\{ {3;\,4;\,5;\,6} \right\}\).

Phương pháp

Sử dụng các quy tắc đếm

Lời giải

Chọn D.

Ta có: \(\overline A  = \Omega \backslash A\).

 Biến cố đối của biến cố \(G = \left\{ {1;\,2;\,4} \right\}\) là: \(K = \left\{ {3;\,5;\,6} \right\}\).

Câu 15.   Cho \(M = (3;4)\) và \(N(5; - 2)\). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {MN} \) là

A. \(\left( { - 2;\,6} \right)\).                                   

B. \(\left( {15;\, - 8} \right)\).                                       

C. \(\left( {2;\, - 6} \right)\).                                 

D. \(\left( {8;\,2} \right)\).

Phương pháp

Với \(A({x_A};{y_A});B({x_B};{y_B})\) thì \(\overrightarrow {AB}  = \left( {({x_B} - {x_A});({y_B} - {y_A})} \right)\)

Lời giải

Chọn C.

Ta có: \(\overrightarrow {MN}  = \left( {5 - 3;\, - 2 - 4} \right) = \left( {2;\, - 6} \right)\).

Câu 16.   Cho \(\overrightarrow c  = \left( {4;\, - 2} \right)\) và \(\overrightarrow d  = \left( { - 1;\,5} \right)\). Tọa độ của vectơ \(2\overrightarrow c  + 3\overrightarrow d \) là

A. \(\left( {11;\,11} \right)\).                                  

B. \(\left( { - 5;\,11} \right)\).                                     

C. \(\left( {5;\,11} \right)\).                                  

D. \(\left( { - 5;\, - 11} \right)\).

Phương pháp

Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho \(\vec a = \left( {{a_1}\,;\,{a_2}} \right)\); \(\vec b = \left( {{b_1}\,;\,{b_2}} \right)\). Tọa độ vectơ \(k\overrightarrow a  + t\overrightarrow b  = (k{a_1} + t{b_1};k{a_2} + t{b_2})\)

Lời giải

Chọn C.

 Ta có: \(2\overrightarrow c  + 3\overrightarrow d  = (2.4 - 3.1;\, - 2.2 + 3.5) = \left( {5;\,11} \right)\).

Câu 17.   Đường trung trực của đoạn \(AB\) với \(A(5;\,2)\) và \(B(3;\,0)\) có phương trình là

A. \(x + y + 5 = 0\).                                                      

B. \(x + y + 7 = 0\).

C. \(x + y - 7 = 0\).                                                       

D. \(x + y - 5 = 0\).

Phương pháp

Phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n(a;b)\) là: \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0\)

Lời giải

Chọn D.

Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\) và \(d\) là trung trực đoạn \(AB\).

Ta có: \(A(5;\,2)\); \(B(3;\,0)\) \( \Rightarrow M(4;\,1)\).

\(d \bot AB \to {\vec n_d} = \overrightarrow {AB}  = \left( { - 2;\, - 2} \right) =  - 2.(1;\,1)\).

Phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm \(M(4;\,1)\) và có vectơ pháp tuyến \({\vec n_d} = (1;\,1)\) là: \(\left( {x - 4} \right) + \left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - 5 = 0\)

Câu 18.   Trong mặt phẳng , cho hai đường thẳng  lần lượt có phương trình tổng quát \(9x + 4y - 3 = 0\) và \(4x - 9y + 6 = 0\). Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng .

A. Song song.                 B. Vuông góc.              C. Cắt nhau.                  D. Trùng nhau.

Phương pháp

Sử dụng vị trí tương đối giữa hai đường thẳng.

Lời giải

Chọn B.

Hai đường thẳng  có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {9;\,4} \right)\) và \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {4;\, - 9} \right)\).

 \( \Rightarrow \overrightarrow {{n_1}}  \bot \overrightarrow {{n_2}}  \Rightarrow {d_1} \bot {d_2}\).

Câu 19.   Trong mặt phẳng , đường tròn \(C\) có tâm \(I(2;\, - 3)\) và đi qua gốc tọa độ  có phương trình là

A. \({x^2} + {y^2} + 4x - 6y = 0\).                                                                  

B. \({x^2} + {y^2} - 4x + 6y - 4 = 0\).                        

C. \({x^2} + {y^2} - 4x + 6y = 0\)                                                                   

D. \({x^2} + {y^2} + 4x + 6y = 0\).

Phương pháp

Phương trình đường tròn có dạng \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\,\,\left( {{a^2} + {b^2} - c > 0} \right)\). và  tọa độ tâm     \(I(a,b)\), bán kính \(\,R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} \)

Lời giải

Chọn C.

Bán kính đường tròn \(C\) là: \(R = OI = \sqrt {{{(2 - 0)}^2} + {{( - 3 - 0)}^2}}  = \sqrt {13} \).

Phương trình đường tròn \(C\) là:

\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = {\left( {\sqrt {13} } \right)^2}\)\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 4x + 6y = 0\).

Câu 20.   Đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 2x - 8y + 8 = 0\) có tâm \(I\) và bán kính \(\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{8} = 1\) lần lượt là

A. \(I\left( { - 1;\,4} \right)\) và \(R = 3\).                                                    

B. \(I\left( {1;\, - 4} \right)\) và \(R = 3\).                      

C. \(I\left( {2;\,4} \right)\) và \(R = \sqrt 5 \).                                                                                     

D. \(I\left( { - 2;\,4} \right)\) và \(R = 3\).

Phương pháp

Phương trình đường tròn có dạng \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\,\,\left( {{a^2} + {b^2} - c > 0} \right)\). và  tọa độ tâm     \(I(a,b)\), bán kính \(\,R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} \)

Lời giải

Chọn A.

\(\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 2x - 8y + 6 = 0\)\( \Leftrightarrow {(x + 1)^2} + {(y - 4)^2} = {3^2}\)

Suy ra \(I\left( { - 1;\,4} \right)\) và \(R = 3\).

Câu 21.   Trong mặt phẳng  cho elip  có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1.\) Tính tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn elip

A. \(\frac{5}{3}\).              B. \(\frac{3}{5}\).            C. \( - \frac{4}{5}\).         D. \(\frac{4}{5}\).

Phương pháp

Sử dụng các công thức của Elip

Lời giải

Chọn B.

Ta có: \({a^2} = 25 \Rightarrow a = 5;\,\,\,{b^2} = 16 \Rightarrow b = 4\)

Suy ra \(c = \sqrt {25 - 16}  = 3\)

Suy ra \(\frac{{2c}}{{2a}} = \frac{6}{{10}} = \frac{3}{5}.\)

Câu 22.   Cho elip \(\left( E \right)\) có độ dài trục lớn bằng \(12\), độ dài trục bé bằng tiêu cự. Phương trình chính tắc của \(\left( E \right)\) là:

A. \(\frac{{{x^2}}}{8} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).      

B. \(\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{8} = 1\).      

C. \(\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).  

D. \(\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1\).

Phương pháp

Sử dụng các công thức của Elip

Lời giải

Chọn B.

Elip \(\left( E \right)\) có độ dài trục lớn bằng \(8\) nên \(2a = 8 \Rightarrow a = 4\).

Độ dài trục bé bằng tiêu cự nên: \(2b = 2c \Rightarrow b = c\).

Mà: \({b^2} + {c^2} = {a^2}\) nên \({b^2} + {b^2} = {4^2} \Rightarrow {b^2} = 8\).

Vậy phương trình \(\left( E \right)\) là: \(\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{8} = 1\).

Câu 23.   Số \(253\,125\,000\) có bao nhiêu ước số tự nhiên?

A. \(160\).                       B. \(240\).                    C. \(180\).                    D. \(120\).

Phương pháp

Sử dụng các công thức đếm

Lời giải

Chọn C.

Ta có \(253\,125\,000 = {2^3}{.3^4}{.5^8}\).

Mỗi ước tự nhiên của số \(253\,125\,000\) có dạng \({2^x}{.3^y}{.5^z}\) với \(0 \le x \le 3;\,\,0 \le y \le 4;\,\,0 \le z \le 8\).

\(x\) có \(4\) cách chọn, \(y\) có \(5\) cách chọn, \(z\) có \(9\) cách chọn.

 Số ước tự nhiên của \(253\,125\,000\) là \(4.5.9 = 180\).

Câu 24.   Trong một trường có \(4\) học sinh giỏi lớp \(12\); \(3\) học sinh giỏi lớp \(11\); \(5\) học sinh giỏi lớp \(10\). Cần chọn \(5\) học sinh giỏi để tham gia một cuộc thi với trường khác sao cho khối \(12\) có \(3\) em và mỗi khối \(10,\,11\) có đúng \(1\) em. Số các cách chọn là

A. \(60\).                          B. \(180\).                      C. \(330\).                      D. \(90\).

Phương pháp

 Sử dụng các công thức của đếm

Lời giải

Chọn A.

Chọn \(3\) học sinh lớp \(12\): \(C_4^3\) cách.

Chọn \(1\) học sinh lớp \(11\): \(C_3^1\) cách.

Chọn \(1\) học sinh lớp \(10\): \(C_5^1\) cách.

Vậy số các cách chọn là: \(C_4^3.C_3^1.C_5^1 = 60\).

Câu 25.   Từ danh sách gồm \(9\) học sinh của lớp \(10A1\), cần bầu ra các ban cán sự lớp gồm một lớp trưởng, hai lớp phó và một bí thư. Có bao nhiêu khả năng cho kết quả bầu ban cán sự này?

A. \(126\).                      

B. \(3024\).                 

C. \(2034\) 

D. \(6561\).

Phương pháp

Sử dụng các công thức đếm

Lời giải

Chọn B.

Số khả năng cho kết quả bầu ban cán sự này là \(A_9^4 = 3024\).

Câu 26.   Hệ số của \({x^5}\) trong khai triển của \({(5 - 2x)^5}\) là

A. \(400\).                        B. \( - 32\).                     C. \(3125\).                    D. \( - 6250\).

Phương pháp

Sử dụng các công thức khai triển nhị thức Newton

Lời giải

Chọn B

Ta có \({(5 - 2x)^5} = {5^5} + {5.5^4}.( - 2x) + {10.5^3}.{( - 2x)^2} + {10.5^2}.{( - 2x)^3} + 5.5.{( - 2x)^4} + {( - 2x)^5}\)

\( = 3125 - 6250x + 5000{x^2} - 2000{x^3} + 400{x^4} - 32{x^5}\).

Vậy hệ số của \({x^5}\) trong khai triển của \({(5 - 2x)^5}\) là \( - 32\).

Câu 27.   Tiến hành đo huyết áp của \(8\) người. Ta thu được kết quả sau:

               \(77\)    \(105\)  \(117\)  \(84\)    \(96\)    \(72\)    \(105\)  \(124\)

Tứ phân vị của mẫu số liệu trên là

A. \({Q_1} = 80,5\,;\,\,{Q_2} = 100,5\,;\,\,{Q_3} = 111\,\)                              

B. \({Q_1} = 80\,;\,\,{Q_2} = 100\,;\,\,{Q_3} = 111\,\)                                    

C. \({Q_1} = 80,5\,;\,\,{Q_2} = 100,5\,;\,\,{Q_3} = 111,5\)                              

D. \({Q_1} = 80,5\,;\,\,{Q_2} = 105\,;\,\,{Q_3} = 111\,\)

Phương pháp

Sắp thứ tự mẫu số liệu gồm n số liệu thành một dãy không giảm ( hoặc không tăng).

- Nếu n là lẻ thì số liệu đứng ở vị trí thứ \(\frac{{n + 1}}{2}\) ( số đứng chính giữa) gọi là trung vị

- Nếu n là chẵn thì số trung bình cộng của hai số liệu đứng ở vị trí thứ \(\frac{n}{2}\) và \(\frac{n}{2} + 1\) gọi là trung

Lời giải

Chọn A

Mẫu số liệu sắp xếp theo thứ tự tăng dần: \(72;\,77;\,84;\,96;\,105;\,105;\,117;\,124\).

Trung vị là \(\frac{{96 + 105}}{2} = 100,5 \Rightarrow {Q_2} = 100,5\).

Nửa dãy phía dưới số \(100,5\) gồm \(72;\,77;\,84;\,96\) có trung vị là \(\frac{{77 + 84}}{2} = 180,5 \Rightarrow {Q_1} = 80,5\).

Nửa dãy phía dưới số \(100,5\) gồm \(105;\,105;\,117;\,124\) có trung vị là \(\frac{{105 + 117}}{2} = 111 \Rightarrow {Q_3} = 111\).

Câu 28.   Sản lượng vải thiều (tạ) thu hoạch được của 20 hộ gia đình được ghi lại như sau:

\(15\)	\(13\)	\(15\)	\(12\)	\(13\)	\(12\)	\(15\)	\(15\)	\(14\)	\(14\)
\(14\)	\(18\)	\(17\)	\(12\)	\(12\)	\(14\)	\(16\)	\(14\)	\(18\)	\(15\)

Phương sai \({s^2}\) là

A. \(3,4\).                         B. \(1,84\).                     C. \(1,8\).                       D. \(3,24\).

Phương pháp

Cho mẫu số liêu thống kê có n giá trị \({x_1},{x_2},...,{x_n}\) và số trung bình cộng \(\overline x \).

Ta gọi số \({s^2} = \frac{{{{({x_1} - \overline x )}^2} + {{({x_2} - \overline x )}^2} + ... + {{({x_n} - \overline x )}^2}}}{n}\) là phương sai của mẫu số liệu

Lời giải

Chọn D.

Từ bảng số liệu trên, ta có bảng tần số:

Sản lượng (tạ)	\(12\)	\(13\)	\(14\)	\(15\)	\(16\)	\(17\)	\(18\)
Tần số	\(4\)	\(2\)	\(5\)	\(5\)	\(1\)	\(1\)	\(2\)

Sản lượng vải trung bình là: \(\overline x  = \frac{{12.4 + 13.2 + 14.5 + 15.5 + 16.1 + 17.1 + 18.2}}{{20}} = 14,5\)

Phương sai là:

\({s^2} = \frac{{{{(12 - 14,4)}^2}.4 + {{(13 - 14,4)}^2}.2 + {{(14 - 14,4)}^2}.5 + {{(15 - 14,4)}^2}.5 + {{(16 - 14,4)}^2}.1 + {{(17 - 14,4)}^2}.1 + {{(18 - 14,4)}^2}.2}}{{20}}\)

\({s^2} = 3,24\).

Câu 29.   Gieo hai con xúc xắc. Xác suất để tổng số chấm trên hai mặt xúc xắc chia hết cho \(3\) là

A. \(\frac{1}{3}\).              B. \(\frac{{13}}{{36}}\).   C. \(\frac{{11}}{{36}}\).   D. \(\frac{1}{6}\).

Phương pháp

Sử dụng công thức tính xác suất

 Lời giải

Chọn A.

Ta có: \(n\left( \Omega  \right) = 6.6 = 36\).

Gọi \(F\) là biến cố tổng số chấm trên hai mặt xúc xắc chia hết cho \(3\).

\(F = \left\{ {(1;\,2)\,;\,(2;\,1)\,;\,(1;\,5)\,;\,(5;\,1)\,;\,(2;\,4)\,;\,(4;\,2)\,;\,(3;\,3)\,;\,(3;\,6)\,;\,(4\,;\,5)\,;\,(5;\,4)\,;\,(6;\,3)\,;\,(6;\,6)} \right\}\)

\( \Rightarrow n(F) = 12\).

Xác suất của biến cố \(F\) là: \(\frac{{n(F)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{12}}{{36}} = \frac{1}{3}\).

Câu 30.   Trên giá sách có \(4\) quyển sách Toán, \(2\) quyển sách Lí và \(3\) quyển sách Hóa. Lấy ngẫu nhiên \(3\) quyển sách. Tính xác suất để \(3\) quyển lấy ra có ít nhất \(1\) quyển sách Toán.

A. \(\frac{{37}}{{42}}\).      B. \(\frac{2}{7}\).            C. \(\frac{1}{{21}}\).       D. \(\frac{5}{{42}}\).

 Phương pháp

Sử dụng công thức tính xác suất

Lời giải

Chọn A.

Mỗi lần lấy \(3\) quyển sách bất kì từ \(9\) quyển sách cho ta một tổ hợp chập \(3\) của \(9\) nên \(n\left( \Omega  \right) = C_9^3 = 84\).

Gọi \(C\) là biến cố: “\(3\) quyển lấy ra có ít nhất \(1\) quyển sách Toán”.

\( \Rightarrow \overline C \) là biến cố: “\(3\) quyển lấy ra không có quyển nào là sách Toán”.

Mỗi lần lấy \(3\) quyển sách bất kì từ \(5\) quyển sách Lí và Hóa cho ta một tổ hợp chập \(3\) của \(5\) nên \(n\left( {\overline C } \right) = C_5^3 = 10\).

\( \Rightarrow P\left( {\overline C } \right) = \frac{{n\left( {\overline C } \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{10}}{{84}} = \frac{5}{{42}}\).

Vậy \(P\left( C \right) = 1 - P\left( {\overline C } \right) = 1 - \frac{5}{{42}} = \frac{{37}}{{42}}\).

Câu 31.   Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(B\left( { - 1\,;\,3} \right)\) và \(C\left( {4\,;\,3} \right)\). Tìm tọa độ điểm \(H\) là chân đường cao kẻ từ đỉnh \(A\) của \(\Delta ABC\), biết \(AB = 3\), \(AC = 4\):

A. \(H\left( {3\,;\,\frac{4}{5}} \right)\).                    

B. \(H\left( {\frac{4}{5}\,;\,3} \right)\)                     

C. \(H\left( {3\,;\,\frac{{ - 4}}{5}} \right)\).               

D. \(H\left( {\frac{{ - 4}}{5}\,;\,3} \right)\).

Phương pháp

Viết phương trình đường thẳng và tìm giao điểm.

Lời giải

Chọn B.

Ta có \(A{B^2} = BH.BC\) và \(A{C^2} = CH.CB\). Do đó: \(\frac{{CH}}{{BH}} = \frac{{A{C^2}}}{{A{B^2}}} = \frac{{16}}{9}\)\( \Rightarrow HC = \frac{{16}}{9}.HB\).

Mà \(\overrightarrow {HC} ,\overrightarrow {HB} \) ngược hướng nên \(\overrightarrow {HC}  =  - \frac{{16}}{9}\overrightarrow {HB} \).

Khi đó, gọi \(H\left( {x;y} \right)\) thì \(\overrightarrow {HC}  = \left( {4 - x\,;3 - y} \right)\), \(\overrightarrow {HB}  = \left( { - 1 - x\,;3 - y} \right)\).

Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}4 - x =  - \frac{{16}}{9}\left( { - 1 - x} \right)\\3 - y =  - \frac{{16}}{9}\left( {3 - y} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{4}{5}\\y = 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow H\left( {\frac{4}{5}\,;\,3} \right)\).

Câu 32.   Cho \(\Delta ABC\) với \(A\left( {5;\,2} \right)\); \(B\left( {1;\,5} \right)\) và \(C\left( { - 3;\,2} \right)\). Phương trình trung tuyến \(AM\) của \(\Delta ABC\) là

A. \(x + 4y + 13 = 0\).       

B. \(x + 4y - 13 = 0\).        

C. \(4x - y + 18 = 0\).        

D. \(4x - y - 18 = 0\).

Phương pháp

Sử dụng công thức viết phương trình đường thẳng dạng tổng quát

Lời giải

Chọn B.

Trọng tâm \(G\) của \(\Delta ABC\) là \(G\left( {1;\,3} \right)\).

\(\overrightarrow {AG}  = \left( { - 4;\,1} \right)\).

Đường trung tuyến \(AM\) của \(\Delta ABC\) đi qua điểm \(A\left( {5;\,2} \right)\), nhận \(\overrightarrow {AG} \) là vectơ chỉ phương.

Phương trình trung tuyến \(AM\) của \(\Delta ABC\) là: \(x + 4y - 13 = 0\).

Câu 33.   Trong mặt phẳng , cho đường thẳng \(d\) song song với đường thẳng \(\Delta :3x - 5y + 7 = 0\) và

cắt  tại  sao cho \(AB = \sqrt {34} \). Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến .

A. \(\frac{{15}}{{\sqrt {34} }}\).                               

B. \(\frac{5}{{\sqrt {34} }}\).                                       

C. \(\frac{3}{{\sqrt {34} }}\).                                 

D. \(\frac{8}{{\sqrt {34} }}\).

Phương pháp

 Sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Lời giải

Chọn A.

 Vì \(d\) song song với đường thẳng \(\Delta :3x - 5y + 7 = 0\)\( \Rightarrow d:3x - 5y + c = 0\).

\( \Rightarrow A\left( { - \frac{c}{3};0} \right),B\left( {0;\frac{c}{5}} \right) \Rightarrow AB = \frac{{\sqrt {34{c^2}} }}{{15}}\)\( \Rightarrow \frac{{\sqrt {34{c^2}} }}{{15}} = \sqrt {34}  \Leftrightarrow c =  \pm 15\).

\( \Rightarrow d:3x - 5y \pm 15 = 0\)\( \Rightarrow d\left( {O,d} \right) = \frac{{15}}{{\sqrt {34} }}\).

Câu 34.   Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn \((C):{x^2} + {y^2} - 2x + 4y - 11 = 0\), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng \(d:4x - 3y + 6 = 0\).

A. \(4x - 3y + 10 = 0\) hoặc \(4x - 3y - 30 = 0\).             

B. \(4x - 3y - 10 = 0\) hoặc \(4x - 3y + 30 = 0\).

C. \(4x - 3y + 10 = 0\) hoặc \(4x - 3y + 30 = 0\).            

D. \(4x - 3y - 10 = 0\) hoặc \(4x - 3y - 30 = 0\).

Phương pháp

Phương trình đường tròn (O) có tâm I(a,b) và bán kính R là : \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\)

Lời giải

Chọn A.

Đường tròn (C) có tâm \(I\left( {1; - 2} \right);\,\,R = 4\) và tiếp tuyến có dạng \(\Delta :4x - 3y + c = 0\,\,\left( {c\not  = 6} \right).\)

Ta có \(R = d\left( {I;\Delta } \right) \Leftrightarrow \frac{{\left| {c + 10} \right|}}{5} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 10\\c =  - 30\end{array} \right..\)

Câu 35.   Trong mặt phẳng , cho elip \(\left( E \right):{x^2} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\) và điểm \(C\left( {1;\,0} \right)\). Hai điểm ,  thuộc  thỏa mãn ,  đối xứng nhau qua trục hoành và tam giác  là tam giác đều. Tính độ dài đoạn thẳng .

A. \(4\).                           

B. \(2\).                           

C. \(\frac{{16\sqrt {13} }}{{13}}\).                           

D. \(\frac{{16\sqrt 3 }}{{13}}\).

Phương pháp

Sử dụng công thức tính khoảng cách hai điểm.

Lời giải

Chọn D.

 Ta có , đối xứng nhau qua trục hoành.

Đặt \(A\left( {x;y} \right)\), \(B\left( {x; - y} \right)\) với \( - 1 \le x \le 1\), \( - 2 \le y \le 2\), \(y \ne 0\).

Do tam giác \(ABC\) đều nên \(AB = AC\)\( \Leftrightarrow 4{y^2} = {\left( {1 - x} \right)^2} + {y^2}\) \( \Leftrightarrow 3{y^2} = {\left( {1 - x} \right)^2}\).

Do \(A \in \left( E \right)\)\( \Rightarrow {x^2} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\)\( \Rightarrow {y^2} = 4 - 4{x^2}\).

\( \Rightarrow 3\left( {4 - 4{x^2}} \right) = {\left( {1 - x} \right)^2}\) \( \Leftrightarrow 13{x^2} - 2x - 11 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \to y = 0\,\,(KTM)\\x = \frac{{ - 11}}{{13}} \to {y^2} = \frac{{192}}{{169}}\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow AB = \sqrt {4{y^2}}  = \frac{{16\sqrt 3 }}{{13}}\). 

II - PHẦN TỰ LUẬN (3 ĐIỂM) 

Câu 1:     (1,0 điểm) Thời gian chạy \(50m\) của \(20\) học sinh được ghi lại trong bảng sau:

Thời gian (giây)	\(8,3\)	\(8,4\)	\(8,5\)	\(8,7\)	\(8,8\)
Tần số	\(2\)	\(3\)	\(9\)	\(5\)	\(1\)

Tìm độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đã cho.

Phương pháp

- Cho mẫu số liêu thống kê có n giá trị \({x_1},{x_2},...,{x_n}\) và số trung bình cộng \(\overline x \).

Ta gọi số \({s^2} = \frac{{{{({x_1} - \overline x )}^2} + {{({x_2} - \overline x )}^2} + ... + {{({x_n} - \overline x )}^2}}}{n}\) là phương sai của mẫu số liệu

- Căn bậc hai của phương sai gọi là Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu thống kê

Lời giải

Ta có: \(\overline x  = \frac{{2.8,3 + 3.8,4 + 9.8,5 + 5.8,7 + 1.8,8}}{{20}} = 8,53\).

Phương sai là: \({s^2} = \frac{{2.{{(8,3 - 8,53)}^2} + 3.{{(8,4 - 8,53)}^2} + 9.{{(8,5 - 8,53)}^2} + 5.{{(8,7 - 8,53)}^2} + 1.{{(8,8 - 8,53)}^2}}}{{20}}\)

 \({s^2} = 0,0191\)

 Độ lệch chuẩn là: \(s = \sqrt {0,0191}  \approx 0,14\).

Câu 2:     (1,0 điểm) Cho \(x\) là số thực dương. Tìm số hạng chứa \(x\) trong khai triển \({\left( {x + \frac{2}{{\sqrt x }}} \right)^4}\).

 Phương pháp

 Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton

 Lời giải

Ta có: \({\left( {x + \frac{2}{{\sqrt x }}} \right)^4} = {x^4} + 4{x^3}.\left( {\frac{2}{{\sqrt x }}} \right) + 6{x^2}.{\left( {\frac{2}{{\sqrt x }}} \right)^2} + 4x.{\left( {\frac{2}{{\sqrt x }}} \right)^3} + {\left( {\frac{2}{{\sqrt x }}} \right)^4}\)

\( = {x^4} + 4{x^3}.\frac{2}{{\sqrt x }} + 6{x^2}.\frac{4}{x} + 4x.\frac{8}{{x\sqrt x }} + \frac{{16}}{{{x^2}}}\)

\( = {x^4} + 8{x^2}\sqrt x  + 24x + \frac{{32}}{{\sqrt x }} + \frac{{16}}{{{x^2}}}\).

 Vậy số hạng chứa \(x\) trong khai triển \({\left( {x + \frac{2}{{\sqrt x }}} \right)^4}\) là \(24x\).

Câu 3:     (0,5 điểm) Trong mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\), cho đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 20\). Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\) biết tiếp tuyến tạo với \(\Delta :\,\,3x + y - 5 = 0\) một góc bằng \(45^\circ \).

Phương pháp

Sử dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng

Lời giải

 Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {2; - 3} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {20} \).

Giả sử tiếp điểm là \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\), khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng:

\(d:\,\,\left( {x - 2} \right)\left( {{x_0} - 2} \right) + \left( {y + 3} \right)\left( {{y_0} + 3} \right) = 20 \Leftrightarrow \left( {{x_0} - 2} \right)x + \left( {{y_0} + 3} \right)y - 2{x_0} + 3{y_0} - 7 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\).

Vì \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right) \Leftrightarrow {\left( {{x_0} - 2} \right)^2} + {\left( {{y_0} + 3} \right)^2} = 20\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\).

Đường thẳng \(\Delta :\,\,3x + y - 5 = 0\) tạo với \(\Delta \) một góc bằng \({45^0}\) khi và chỉ khi

\(\cos {45^0} = \frac{{\left| {3\left( {{x_0} - 2} \right) + 1.\left( {{y_0} + 3} \right)} \right|}}{{\sqrt {9 + 1} .\sqrt {{{\left( {{x_0} - 2} \right)}^2} + {{\left( {{y_0} + 3} \right)}^2}} }}\)\( \Leftrightarrow \left| {3{x_0} + {y_0} - 3} \right| = 10 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{y_0} = 13 - 3{x_0}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\\{y_0} =  - 7 - 3{x_0}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.\).

Giải hệ phương trình tạo bởi \(\left( 2 \right),\,\left( 3 \right)\) ta được:\(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 6\\{y_0} =  - 5\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 4\\{y_0} = 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{M_1}\left( {6;\, - 5} \right)\\{M_2}\left( {4;\,1} \right)\end{array} \right..\)

Giải hệ phương trình tạo bởi \(\left( 2 \right),\,\left( 4 \right)\) ta được:\(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x_0} =  - 2\\{y_0} =  - 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{y_0} =  - 7\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{M_3}\left( { - 2; - 1} \right)\\{M_4}\left( {0; - 7} \right)\end{array} \right..\)

Với \({M_1}\left( {6; - 5} \right)\), thay vào \(\left( 1 \right)\) ta được tiếp tuyến \({d_1}:\,\,4x - 2y - 34 = 0 \Leftrightarrow 2x - y - 17 = 0.\)

Với \({M_2}\left( {4;1} \right)\), thay vào \(\left( 1 \right)\) ta được tiếp tuyến \({d_2}:\,\,2x + 4y - 12 = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 6 = 0.\)

Với \({M_3}\left( { - 2; - 1} \right)\), thay vào \(\left( 1 \right)\) ta được tiếp tuyến \({d_3}:\,\, - 4x + 2y - 6 = 0 \Leftrightarrow 2x - y + 3 = 0.\)

Với \({M_4}\left( {0; - 7} \right)\), thay vào \(\left( 1 \right)\) ta được tiếp tuyến \({d_4}:\,\, - 2x - 4y - 28 = 0 \Leftrightarrow x + 2y + 14 = 0.\)

Vậy có bốn tiếp tuyến \({d_1},\,\,\,{d_2},\,\,\,{d_3},\,\,\,{d_4}\) tới \(\left( C \right)\) thỏa mãn điều kiện đề bài.

Câu 4:     (0,5 điểm) Tìm số tự nhiên \(n\) thỏa mãn \(14.{P_3}.C_{n - 1}^{n - 3} = A_{n + 1}^4\).

Phương pháp

Sử dụng các công thức liên quan tới tổ hợp và chỉnh hợp

Lời giải

 Điều kiện: \(n \in {N^*};\,n \ge 3\).

 Ta có: \(14.{P_3}.C_{n - 1}^{n - 3} = A_{n + 1}^4\)

\( \Leftrightarrow 14.3!.\frac{{(n - 1)!}}{{(n - 3)!.(n - 1 - n + 3)!}} = \frac{{(n + 1)!}}{{(n + 1 - 4)!}}\)

\( \Leftrightarrow 14.3.2.1.\frac{{(n - 1)!}}{{(n - 3)!.2!}} = \frac{{(n + 1)!}}{{(n - 3)!}}\)

 \( \Leftrightarrow 42.\frac{{(n - 1)!}}{{(n - 3)!}} = \frac{{(n + 1)!}}{{(n - 3)!}}\)

 \( \Leftrightarrow 42 = (n + 1).n\)

 \( \Leftrightarrow {n^2} + n - 42 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 6\,\,\,(TM)\\n =  - 7\,\,\,(KTM)\end{array} \right.\).

 Vậy \(n = 6\).